第八章矩阵特征值问题的数值解法

的逆的最大特征根）及特征向量的数值方法。
反幂法及程序
因为A1的计算比较麻烦，而且往往不能保证矩阵A
的一些好的性质，如稀疏性，因此反幂法在实际计算 时以求解方程组:
Ax(k1) x(k )
代替幂法迭代：
x(k1) A1 x(k )
反幂法及程序
即在实际计算时，不必求出A1 ,而是就方程：
求出X (k1) .
雅克比方法概述
（2）在正交相似变换下，矩阵元素的平方和不变。
设A (aij )nn , Q为正交矩阵，记B QT AQ (bij )nn ,
n
n
则
ai2j bi2j .
i, j1
i, j1
雅克比法的基本思想
基本思想
通过一次正交变换,将A中一对非零的非对角元素 化成零,并且使得非对角元素的平方和减少。反复进行 上述过程，使变换后的矩阵的非对角元素的平方和趋 于零，从而使该矩阵近似为对角矩阵，得到全部特征 值和特征向量。
k 0,1,2,...其中：Y (0) X (0) X (0)
3)幂法的收敛速度依赖于比值 2 ，比值越小，
1
收敛越快,由此ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ提出了幂法的加速收敛方法，
如原点移位法和埃特肯加速法等。(略）
2 1 0
例1 用规范幂法求矩阵 A 0 2 1
0 1 2
的最大特征值1和对应的特征向量。 解: 取初始向量V0=(0.5,0.5,1.1)T ，根据程序：
第八章矩阵特征值数值解
8.1 引言
在实际问题中，矩阵的模最大特征值往往 起重要作用，例如矩阵的谱半径就是矩阵的模最 大特征值，它决定了迭代矩阵是否收敛。因此矩阵 的模最大特征值比其他特征值的地位更加重要.
幂法就是计算矩阵的模最大特征值及特征向量 的数值方法。
反幂法就是计算矩阵的模最小特征值及特征 向量的数值方法。
A={{2,-1,0},{0,2,-1},{0,-1,2}};
v0={0.5,0.5,1.1};
Do[v1=A.v0;Print[k," ","v",k,"=",v1," ","v",k,"与 v",k-1,"的第1个分量比值是",v1[[1]]/v0[[1]]," ","v",k,"与v",k-1,"的第2个分量比值是 ",v1[[2]]/v0[[2]]];v0=v1/Max[Abs[v1]],{k,1,35}]
(4) 求A的特征多项式：Det[A-λ*IdentityMatrix[n]]
A={{1,2,1},{-1,2,1},{0,4,2}}; Print["特征多项式为："] Det[A-λ*IdentityMatrix[3]] Print["特征值为："] Solve[Det[A-λ*IdentityMatrix[3]]==0] Eigenvalues[A]; Print["特征向量为："] Eigenvectors[A] Print["特征值和特征向量为："] Eigensystem[A]
设矩阵A有特征值i , i 1,2,..., n,
其中
1 2 ... n ,
并有n个线性无关的特征向量vi ,
即：
Avi ivi i 1,2,..., n,
幂方法
任取初始向量X (0) , X (0)可以表示成A的n个
线性无关的特征向量的线性组合，
即：
X (0＝) a1v1 a2v2 ... anvn
Print[“矩阵A的精确特征值及对应的特征向量为”]； Eigensystem[A]
运行结果：
8.3 反幂法运算及程序
原理：设A为非奇异阵，那么 0且 1 为A1特征值，
即A1 x 1 x, 对应的特征向量仍是x.
显然：A的模最小特征根的倒数正是A1的模最大特征根 反幂法就是计算矩阵A的模最小特征值（即求A
k
(X (k))j ( X (k1) )
j
1
幂方法
k充
分
大
时
，( X (X(
(k) ) j k1) )
j
1
即1
x ( k 1) i x(k) i
,
i 1,2,...n
此式说明了什么？
当k充分大时，相邻两次迭代向量对应的非零
分量的比值近似等于主特征值。
解题步骤： (1)任给n维初始向量X (0) 0
下面以二阶实对称矩阵为例分析
平面上的一条二次曲线a11x12 2a12 x1 x2 a22 x22 1
雅克比方法的实例分析
矩阵形式为：
x1
x2
a11 a21
a12 x1
a22
x2
1, 其中a12
a21
可以
通
过
坐标轴的旋转
x1 x2
y1 cos y1 sin
y2 y2
sin cos
即
A1 x 1 x.
预备知识
(4) 设A与B为相似矩阵（即存在非奇异矩阵P使
B P1AP），则A与B有相同的特征值；
(5) A Rnn可对角化，即存在非奇异矩阵P使
1
P 1 AP
2
...
n
的充要条件是A具有n个线性无关的特征向量.
反之，如果A Rnn有m个(m n)不同的特征值
AX (k1) Y (k )
然后任取X (0) , 规范迭代
Y
(
k
1)
X (k1) X (k1)
AX (k1) Y (k )
k 0,1,2,...其中：Y (0) X (0) X (0)
最终迭代求得结果。
反幂法例题
例2
用反幂法的规范运算求矩阵
2 1 0 A 0 2 1
的模最小特征值及其特征向量. 0 1 2
会产生一个向量 x(k )， 它在u1方向上的分量不为零，
这样，以后的计算就满足所设条件。 或由初始向量的任意性，选取其它不为零的初始向量。
幂方法说明
2)幂法的规范化
为避免 x(k) 过大或过小，幂法可按下面的规范运算进行：
X (k1) AY (k)
Y (k1)
X (k1) X (k1)
雅克比方法的一般推广
如果a 0,取使得tan 2 2a /(a a ) ( / 4)则有
ij
ij
jj
ii
a(1) a(1) 0, 得到一个使A中非零的非对角元素a a
ij
ji
ij
ji
变成零的正交相似变换。
对A(1)重复上述过程 A(2) ，得到一个矩阵序列{A(k) }。
可证，虽然这种变换不一定能使矩阵中非对角元中零 元素的个数增加，但是可以保证非对角元的平方和递减。
i,
i,
i,
j)
j)
j)
如ai(j1如果) 果aaija(j1iiaj) i(0aja1),k(i(0取j01l1)),,取得a(aj使a1i到l)((kj使11i)得)一得12ta个g12(tkg2al(使2ajjjjA中a2ai2iai非)iai)jsijsi/零n(i/n(aa2的j2jjj非aaai对aiiii)ji)jc角c(o(oss元(22k素, la//iji44,))则则ja) j有有i变
可证可，证可虽，证然虽，这然虽种这然变种这换变种不换变一换不定不一能一定使定能矩能阵使使中矩矩非阵阵对中中角非非元对对中角角零元元元中中素零零的元元素素的的 个数个单数个调单数增调单加增调，加增但，加可但，保可但证可保非保证对证非角非对元雅对的角克角平元比元方的的方和平平法递方方减的和和。一递递减般减。推。广
运行结果为：
反幂法程序运行结果
8.4 雅克比方法
雅克比方法概述
雅克比方法是求实对称矩阵的全部特征值及相应
特征向量的一种方法。
预备知识
（1）任意实对称矩阵A 可通过正交相似变化成 对角阵，即存在正交矩阵Q，使得
QT AQ diag(1 , 2 ,, n )
其中i (i 1,2,, n)是A的特征值，Q中各列即为 相应的特征向量。
1 , 2 ,...m, 则对应的特征向量x1, x2 ,...xm线性无关.
8.2 幂法运算及程序
设n阶方阵A, 任取初始向量X (0) ,进行迭代计算： X (k1＝) AX (k )
得到迭代序列：｛X (k)｝，{k 1,2,3,...},
分析X (k1)与X (k)，就可得到A的模最大特征值.
引言
如何计算矩阵的特征值和特征向量？在线性代数中 要历经下列步骤：
（1）计算特征多项式 即计算 E A的行列式
（2）计算特征多项式的根
即计算 Det（E A）＝0 的n个根
（3）将所求的特征根逐个代入方组中，所有 解的全体组成A的特征向量。
程序
（1）求A的全部特征值、特征向量: Eigensystem[A] （2）求A的特征值： Eigenvaluse[A] （3）求A的特征向量组: Eigenvectors[A]
运行结果：
程序运行结果
预备知识：
E预ig备en知-ve识ctor
定义: 设A Rnn ,若存在数 及非零向量x, 使得
Ax x
则称 为A的特征值，x为A的属于的特征向量。
重要结论：
Eigen-value
(1) c 为cA的特征值（c为常数c 0）;
(2) k为Ak的特征值；
(3) 设A为非奇异阵，那么 0且 1 为A1特征值，
则则有有Vij(aaaaai(((kji(j)k(aa11aj1ika11l是)))))i(((jijk(11j1ik1))))正aaaaa交ki(k(lai(aai1akii1j1)s)ki()kc(ii1ii1ji矩o)s)ncison2a阵a2si2akak2li，iakckoicks若aosaisansjaijjn记jjcjjsjcoisonsians2a2Aaj2k2aj(kjs1kj)skicnicnoaaoaVsaiisjijijijsjsssiAiininnnV222i2jT( k((a(,kkli(j1))
1 2
(a22
a21)sin 2
a21 cos 2
0,
雅克比方法的实例分析
则上式简写为： y1
y2 01
0
2
y1 y2
1
或R
a11 a21
a12 a22
RT
1
0
0
2
,
其中R
cos sin
sin
cos
容易验证R是一个正交矩阵。正交变换R把对称
矩阵A变成为对角矩阵，1与2即是矩阵A的特征值。
从而
X (k＝) AX (k-1) Ak X (0) a11kv1 a2k2v2 ... anknvn
1k (a1v1
a2
k2 1k
v2
...
an
kn 1k
vn )
1k [a1v1
n i2
ai
vi
(
i 1
)k ]
k
幂方法
i 1 lim i
1
k 1
0 则k充分大时X (k) a11kv1。
(2)按X (k) AX (k1) Ak X (0)计算X (k)
(3)如果k从某个数后分量比((XX（（kk）1）))j j c（常数）
则取1 c,而X（k）就是与1对应的一个近似特征向量。
幂方法说明
几点说明： 1）如果x (0的) 选取恰恰使得a1＝0，幂法计算仍能进行。
因为计算过程中舍入误差的影响，迭代若干次后，必然
A={{2,-1,0},{0,2,-1},{0,-1,2}}; y0={0,0,1.}; Do[x1=LinearSolve[A,y0]; Print[k," ","v",k,"=",x1," ","v",k,"与v",k-1,"的第1个 分量比值是",y0[[1]]/x1[[1]]]; y0=x1/Max[Abs[x1]],{k,1,22}] Print["最小特征值对应的特征向量是",x1] Eigensystem[A]
即
x1 x2
cos sin
sin y1
cos
y2
化为标准形状：1 y12 2 y22 1
即
y1
y2 01
0
2
y1 y2
1
雅克比方法的实例分析
过程如下：
y1
y2 csoisn
sin a11 a12 cos
cos
a21
a22
s
in
sin y1
cos
y2
y1
y2
b11 b21
b12
b22
y1 y2
1
其中b11 a11 cos2 a22 sin2 a21 sin 2 ,
b22 a11 sin2 a22 cos2 a21 sin 2 ,
b12
b21
1 2
(a22
a21)sin 2
a21
cos 2
,
若取使得b12
b21
X (k ) a11kv1 此式说明了什么？
当k足够大时,X(k)近似等于主特征向量
设v1 0,为求1，观察：
( X (k) ) j ( X (k1) ) j
1
a1(v1 ) j
n i2
ai
(
i 1
)k (vi ) j
a1(v1 ) j
n i2
ai
(
i 1
)k 1 (vi
)
j
i 1
1
lim
正交矩阵R的两个列向量分别为对应于两个特征 值的单位特征向量。
上述结果可推广到一般情况。
雅克比方法的一般推广
矩阵的旋转变换
设A为n阶实对称矩阵，考虑矩阵
1
1
cos
sin
1
Vij ( )
1
sin
cos
1
1
雅克比方法的一般推广
Vij ( )是正交矩阵，若记 A(1) Vij AVijT (ai(j1) )