《电磁场理论》6.4 波动方程

2 Ey x
2

2 Ey y
2

2 Ey z
2

2 Ey t
2
0
2 Ez 2 Ez 2 Ez 2 Ez 2 2 2 0 2 x y z t
波动方程的解是空间一个沿特定方向传播的电磁波。
电磁波的传播问题归结为在给定边界条件和初始条件下 求解波动方程。但需要注意的是：只有少数特殊情况可 以通过直接求解波动方程求解。
2 E 2 E 2 t 2 H 2 H t 2
齐次矢量波动方程
上两式也称为时变亥姆霍兹方程，它表明电磁 场在无耗媒质中的传播是不衰减的。
3
在直角坐标系中，波动方程可以分解为三个标量方程
2 Ex 2 Ex 2 E x 2 Ex 2 2 2 0 2 x y z t
6.4
Hale Waihona Puke Baidu
波动方程
时变电磁场问题的求解

1)由麦克斯韦方程组导出 E和H 各自所满足的波动方程，结合边 界条件和初始条件解波动方程， 得到 E和H 。 2)推导出辅助位函数 A和U 所满 足的方程，求解方程得 A和U ， 然后再根据场和位的关系得到电 场和磁场。
1
在线性、均匀和各向同性的无源媒质 ( 0, J S 0) 中，电 磁场满足的麦克斯韦方程为 E 2 E t E ( H ) 2 H E t t t t H 两边取旋度 E E H t t H 0


E 0
将矢量恒等式 E ( E ) 2 E
2
H 得 E E t




2 H H 2 H t t 2
得
2 E
E E 2 t t
2
同理
无源区电场波动方程
4
非齐次矢量波动方程
无源区磁场波动方程
2
2 E E 2 E 2 t t
2 H H 2 H 2 t t
在上面的两个式子中， 这些方程支配着无源均匀导 电媒质中电磁场的行为。 在二阶微分方程中， 一阶 项的存在, 表明电磁场在导电媒质中的传播是有衰减 的（有能量损耗）。 因此导电媒质称为有耗媒质。 当媒质为完全电介质或无耗媒质， 即媒质的电导 率 0 ，上面两式变为