《电磁场理论》6.4 波动方程
麦克斯韦方程组推导波动方程
麦克斯韦方程组推导波动方程麦克斯韦方程组是描述电磁场的基本定律。
它由四个方程组成，分别是高斯定律、高斯磁定理、法拉第电磁感应定律和安培环路定理。
这四个方程联立起来可以推导出波动方程，从而揭示出电磁波的性质。
首先，我们来看麦克斯韦方程组的四个方程如下：1. 高斯定律：电场通量与电荷密度成正比。
∮E·dA = ε0∫ρdV这个方程告诉我们，电场的产生是由电荷所形成的，电场是由正负电荷相互引力或排斥所形成的。
2. 高斯磁定理：磁场的闭合环路积分与电流和变化的电场通量成正比。
∮B·ds = μ0∫(J+ε0∂E/∂t)·dA这个方程说明了磁场是由电流和变化的电场所引起的，磁场的产生是由电流流动所形成的。
3. 法拉第电磁感应定律：感应电动势与磁通量变化率成正比。
ε = -dΦB/dt这个方程告诉我们，磁场的变化会产生感应电动势，也就是电磁感应现象。
4. 安培环路定理：磁场的闭合环路积分与通过这个环路的电流成正比。
∮B·ds = μ0I这个方程说明了磁场是由电流产生的，磁场和电流之间存在一种紧密的联系。
通过以上四个方程的联立，我们可以推导出波动方程，即电磁波的方程：∇^2E - με∂^2E/∂t^2 = 0这个方程描述了电场的传播和波动，其中∇^2是Laplace算符，μ和ε分别是真空中的磁导率和介电常数。
波动方程的解满足行波解的形式，也就是取决于时间和空间的函数的乘积：E(r,t) = E0e^(i(k·r - ωt))其中，E0是振幅，k是波矢，r是位置坐标，ω是角频率。
这个解表明电场以速度c = ω/k传播，c是真空中的光速。
通过波动方程的推导，我们可以看出电磁波的传播是由电场和磁场相互耦合形成的。
电场和磁场相互垂直并相位差90度，它们交替地变化和传播，形成了电磁波。
这种波动的传播方式是以空间和时间的函数关系来描述的，从而揭示了电磁波的特性和行为。
总结起来，麦克斯韦方程组推导出的波动方程对我们理解电磁波的本质和行为有着重要的指导意义。
波动方程
波动方程或称波方程（英语：wave equation）是一种重要的偏微分方程，主要描述自然界中的各种的波动现象，包括横波和纵波，例如声波、光波和水波。
波动方程抽象自声学，电磁学，和流体力学等领域。
历史上许多科学家，如达朗贝尔、欧拉、丹尼尔·伯努利和拉格朗日等在研究乐器等物体中的弦振动问题时，都对波动方程理论作出过重要贡献。
对于一个标量(quantity) 的波动方程的一般形式是：
这里a通常是一个固定常数，也就是波的传播速率(对于空气中的声波大约是330米/秒, 参看音速)。
对于弦的振动，这可以有很大的变化范围：在螺旋弹簧上（slinky），它可以慢到1米/秒。
但若a作为波长的函数改变，它应该用相速度代替：
注意波可能叠加到另外的运动上（例如声波的传播在气流之类的移动媒介中）。
那种情况下，标量u会包含一个马赫因子(对于沿着流运动的波为正，对于反射波为负)。
u = u(x,t), 是振幅,在特定位置x和特定时间t的波强度的一个测量。
对于空气中的声波就是局部气压，对于振动弦就使从静止位置的位移。
是相对于位置变量x的拉普拉斯算子。
注意u可能是一个标量或向量。
波动方程就是描述波动现象的偏微分方程，它的物理意义就太
宽泛了。
不过波动方程一个很重要的性质是传播速度有限（不像热传导方程）。
电磁场的运动方程是波动方程这说明电磁相互作用只能以有限的速度传播（光速c），而没有瞬时的作用（即超距作用）。
这是导致狭义相对论建立的一个重要思想。
理想介质中的波动方程理想介质中的波动方程
利用余弦展开式：
Ex cos(t kz) cos 1 sin( t kz) sin 1 2 E1 Ex cos(t kz) cos 2 sin( t kz) sin 2 2 E2 (1) (2)
Ey 2 Ey Ex 2 Ex ( ) ( ) 2( )( ) cos( 2 1 ) sin 2 ( 2 1 ) 2 E1 2 E2 2 E1 2 E2
一、直线极化
( Ey 2 Ey Ex 2 E ) ( ) 2( x )( ) cos( 2 1 ) sin 2 ( 2 1 ) 2 E1 2 E2 2 E1 2 E2
（1）当 2 1 0 时，轨迹方程蜕化为：
Ey 2 Ex ( ) 0 2 E1 2 E2
将 Ex看成 x、Ey看成 y ，得到曲线方程：
x 2 y 2 x y ( ) ( ) 2( )( ) cos(2 1 ) sin 2 (2 1 ) 2 E1 2 E2 2 E1 2 E2
根据曲线轨迹的不同，均匀平面波的极化状态分 为以下三种情况：
2 1
无源、无耗、无反射、简谐变化
5.1 无耗媒质中的均匀平面波
无耗媒 质
理想介质
完纯介质
非导电媒质
和 为实常数 = 0的媒质
本节内容
一、理想介质中的波动方程 二、波动方程的解
三、均匀平面波的传播特性
一、理想介质中的波动方程
无源无耗媒质中电磁场满足麦克斯韦方程：
E H t H E t 0 H E 0
Ey 2 Ex ( ) 0 2 E1 2 E2
Ey Ex 2 E1 2 E2
电磁场理论知识点总结
电磁场理论知识点总结电磁场与电磁波总结第1章场论初步⼀、⽮量代数A ?B =AB cos θA B ?=AB e AB sin θA ?(B ?C ) = B ?(C ?A ) = C ?(A ?B ) A ? (B ?C ) = B (A ?C ) – C ?(A ?B ) ⼆、三种正交坐标系 1. 直⾓坐标系⽮量线元 x y z =++l e e e d x y z⽮量⾯元 =++S e e e x y z d dxdy dzdx dxdy 体积元 d V = dx dy dz单位⽮量的关系 ?=e e e x y z ?=e e e y z x ?=e e e z x y 2. 圆柱形坐标系⽮量线元 =++l e e e z d d d dz ρ?ρρ?l ⽮量⾯元 =+e e z dS d dz d d ρρ?ρρ? 体积元 dV = ρ d ρ d ? d z 单位⽮量的关系 ?=?? =e e e e e =e e e e zz z ρ??ρρ?3. 球坐标系⽮量线元 d l = e r d r + e θ r d θ + e ? r sin θ d ? ⽮量⾯元 d S = e r r 2sin θ d θ d ? 体积元 dv = r 2sin θ d r d θ d ? 单位⽮量的关系 ?=??=e e e e e =e e e e r r r θ?θ??θcos sin 0sin cos 0 001x r y z z A A A A A A ??=-sin cos sin sin cos cos cos cos sin sin sin cos 0x r y z A A A A A A=--θ?θ?θ?θθ?θ?θ??sin 0cos cos 0sin 010r r z A A A A A A=-θ??θθθθ三、⽮量场的散度和旋度1. 通量与散度=??A S Sd Φ 0lim→?=??=??A S A A Sv d div v2. 环流量与旋度=??A l ?ld Γ maxnrot =lim→A l A e ?lS d S3. 计算公式=++A y x zA A A x y z11()=++A zA A A z ?ρρρρρ? 22111()(sin )sin sin =++A r A r A A r r r r ?θθθθθ?x y z ?=e e e A x y z x y z A A A=?e e e A z z z A A A ρ?ρρρ?ρ sin sin=?e e e A r r zr r r A r A r A ρθθθ?θ 4. ⽮量场的⾼斯定理与斯托克斯定理=A S A SVd dV ?=A l A S ?l四、标量场的梯度 1. ⽅向导数与梯度00()()lim→-?=??l P u M u M u llcos cos cos =++P uu u ulx y zαβγ cos ??=?e l u u θ grad = =+e e e +e n x y zu u u uu n x y z2. 计算公式=++???e e e xy zu u uu x y z1=++???e e e z u u u u z ρρρ? 11sin =++???e e e r u u u u r r r zθ?θθ五、⽆散场与⽆旋场1. ⽆散场 ()0=A =??F A2. ⽆旋场 ()0=u =?F u六、拉普拉斯运算算⼦ 1. 直⾓坐标系222222222222222222222222222222=++?=?+?+??=++?=++?=++A e e e x x y y z zy y y x x x z z z x y zu u u u A A A x y zA A A A A A A A A A A A x y z x y z x y z，，2. 圆柱坐标系22222222222222111212=++ =?--+?-++? ? ??????A e e e z z u u uu zA A A A A A A ?ρρρρρρρρρ?ρρ?ρρ?3. 球坐标系22222222111sin sin sin =++ ? ??????????u u uu r r r r r r θθθ?θ? ???+-??+?+???--??+?+???----=θθθ?θ?θθθθ?θθθθθθθ?θθA r A r A r A A r A r A r A A r A r A r A r A r r r r r 2 22222222222222222sin cos 2sin 1sin 2sin cos 2sin 12sin 22cot 22e e e A 七、亥姆霍兹定理如果⽮量场F 在⽆限区域中处处是单值的，且其导数连续有界，则当⽮量场的散度、旋度和边界条件（即⽮量场在有限区域V ’边界上的分布）给定后，该⽮量场F 唯⼀确定为()()()=-?+??F r r A r φ其中 1()()4''??'='-?F r r r r V dV φπ1()()4''??'='-?F r A r r r V dV π第2章电磁学基本规律⼀、麦克斯韦⽅程组 1. 静电场基本规律真空中⽅程： 0d ?=SE S ?qεd 0?=?lE l ? 0=E ρε 0??=E 场位关系：3''()(')'4'-=-?r r E r r r r V q dV ρπε =-?E φ 01()()d 4π''='-?r r |r r |V V ρφε介质中⽅程： d ?=?D S ?S qd 0?=?lE l ? ??=D ρ 0??=E极化：0=+D E P ε e 00(1)=+==D E E E r χεεεε极化电荷：==?P e PS n n P ρ =-??P P ρ 2. 恒定电场基本规律电荷守恒定律：0+=?J tρ传导电流： =J E σ与运流电流：ρ=J v恒定电场⽅程： d 0?=?J S ?Sd 0l=E l 0=J 0E =3. 恒定磁场基本规律真空中⽅程：0 d ?=?B l ?lI µd 0?=?SB S ? 0=B J µ 0=B场位关系：03()( )()d 4π ''?-'='-?J r r r B r r r VV µ =??B A 0 ()()d 4π'''='-?J r A r r r V V µ 介质中⽅程：d ?=?H l ?l Id 0?=?SB S ? ??=H J 0??=B磁化：0=-BH M µ m 00(1)=+B H =H =H r χµµµµ 磁化电流：m =??J M ms n =?J M e4. 电磁感应定律d d ?=-SE l B S ?lddt =-BE t5. 全电流定律和位移电流全电流定律：d ()d ??=+D H l J S ?lSt =+DH J t位移电流： d =DJ d dt6. Maxwell Equationsd ()d d d d d 0=+?=-??==D H J S B E S D S B Sl S l S SV S l t l t V d ρ 0=+???=-?==?D H J B E D B t t ρ ()() ()()0=+???=-?==?E H E H E E H t t εσµερµ ⼆、电与磁的对偶性e m e m e m e e m m e e m mm e 00=-??==+??=--?=?=?????=?=??B D E H D B H J E J D B D B t t &t t ρρ m e e m ??=--?=+==B E J D H J D B tt ρρ三、边界条件 1. ⼀般形式12121212()0()()()0-=-=-=-=e E E e H H J e D D e B B n n S n Sn ρ2. 理想导体界⾯和理想介质界⾯111100?=??===e E e H J e D e B n n Sn S n ρ 12121212()0()0()0()0-=-=-=-=e E E e H H e D D e B B n n n n 第3章静态场分析⼀、静电场分析1. 位函数⽅程与边界条件位函数⽅程： 220?=-电位的边界条件：121212=??-=-?s nn φφφφεερ 111=??=-?s const nφφερ（媒质2为导体） 2. 电容定义：=qC φ两导体间的电容：=C q /U任意双导体系统电容求解⽅法：2211===D SE S E lE l蜒SS d d q C U d d ε3. 静电场的能量N 个导体： 112==∑ne i i i W q φ连续分布： 12=?e V W dV φρ电场能量密度：12D E ω=?e⼆、恒定电场分析1. 位函数微分⽅程与边界条件位函数微分⽅程：20?=φ边界条件：121212=??=?nn φφφφεε 12()0?-=e J J n 1212[]0?-=J J e n σσ 2. 欧姆定律与焦⽿定律欧姆定律的微分形式： =J E σ焦⽿定律的微分形式： =??E J V3. 任意电阻的计算2211d d 1??====E l E l J SE SSSUR G Id d σ（L R =σS ）4. 静电⽐拟法：C —— G ，ε —— σ2211===D SE S E lE l蜒SS d d q C U d d ε 2211d d d ??===J S E SE lE lS S d I G Uσ三、恒定磁场分析1. 位函数微分⽅程与边界条件⽮量位：2?=-A J µ 12121211A A e A A J n s µµ()=?-=标量位：20m φ?= 211221??==??m m m m n nφφφφµµ 2. 电感定义：d d ??===??B S A l ?SlL IIIψ=+i L L L3. 恒定磁场的能量 N 个线圈：112==∑Nm j j j W I ψ连续分布：m 1d 2A J =??V W V 磁场能量密度：m 12H B ω=? 第4章静电场边值问题的解⼀、边值问题的类型●狄利克利问题：给定整个场域边界上的位函数值()=f s φ●纽曼问题：给定待求位函数在边界上的法向导数值()?=?f s nφ●混合问题：给定边界上的位函数及其向导数的线性组合：2112()()?==?f s f s nφφ●⾃然边界：lim r r φ→∞=有限值⼆、唯⼀性定理静电场的惟⼀性定理：在给定边界条件（边界上的电位或边界上的法向导数或导体表⾯电荷分布）下，空间静电场被唯⼀确定。
电磁波波动方程要点共37页文档
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
电磁波波动方程要点
41、实际上，我们想要的不是针对犯 罪的法 律，而 是针对 疯狂的 法律。 ——马 克·吐温 42、法律的力量应当跟随着公民，就 像影子 跟随着 身体一 样。— —贝卡 利亚 43、法律和制度必须跟上人类思想进 步。— —杰弗 逊 44、人类受制于法律，法律受制于情 理。— —托·富 勒
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自己的饭量自己知道
电磁场中的波动方程
电磁场中的波动方程电磁场是一种无处不在的现象，它伴随我们的生活始终存在。
电磁波是电磁场的一种传播方式，其性质包含了电场和磁场的相互作用。
电场和磁场的变化会引发电磁波的产生和传播。
这种现象是由电磁波方程描述的，也被称作麦克斯韦方程。
麦克斯韦方程是描述电磁现象的基本方程。
它包含了四个方程式，分别是麦克斯韦-安培定律、麦克斯韦-法拉第定律、高斯定律和安培定律。
这些定律可以描述电荷间的运动、电场和磁场的相互作用，以及电磁波的产生和传播。
其中最重要的是麦克斯韦-安培定律和麦克斯韦-法拉第定律，它们描述了电磁场的本质和演化过程。
麦克斯韦-安培定律表明电场和磁场的变化率决定了电流的存在和方向。
这个定律可以用于解释通过电导体产生的电流和磁感应线圈产生的感应电流。
麦克斯韦-法拉第定律则描述了电磁场相互作用的本质。
当磁变化时，会引发磁场的旋转，在这个过程中，会引发电场的变化，从而产生电磁波。
在电磁波的产生和传播的过程中，麦克斯韦方程的重要性不言而喻。
其波动方程描述了电场和磁场的演化过程，并且预测了电磁波的存在和性质。
电磁波的波长和频率是可以计算的，这在天线设计和电磁波工程中起着至关重要的作用。
电磁波波动方程具有非常特殊的形式。
它是由电场和磁场的空间导数和时间导数的求和组成的。
其中，导数的正负性质决定了电场和磁场变化的速率和方向。
这个方程式被广泛应用于电磁场的研究和电磁波的传播预测。
对于这个方程的求解，可能会需要使用不同的方法。
例如分离变量法或Fourier变换可以用于解决电磁场的向空间分布的傅立叶系数，从而找出能量传递的频带。
这些方法在研究电磁波的传播、天线设计和电磁波工程中都具有重要的应用。
总的来说，电磁波波动方程是描述电磁场演化和电磁波产生和传播的核心方程式之一。
通过这个波动方程，我们可以深入了解电磁波的物理特性、预测电磁波的传播和预测电磁波的频带等。
这对于电磁场的研究和电磁波工程具有重要的意义。
电磁场波动方程
t
B
t
E t
?
2E t 2
均匀、稳定的介质也不行！！
Dt Et Bt H t
一般不成立
介质的色散性质
一般的介质具有色散性质，即介质对电磁场的响应性质与电磁场
的变化频率有关：
D E B H
一、自由空间的电磁场波动方程
麦克斯韦方程组
E
B t
H
J
D t
D
B 0
无源情况下
f 0,
Jf 0
真空中： D 0E, B 0H
E
t
B
0 0
2E t 2
1电磁场波动方程亥姆霍兹方程和平面电磁波2反射和折射定律的导出振幅的位相关系3导体内的电磁波特性良导体条件趋肤效应4了解谐振腔和波导管中电磁波的运动形式电磁场波动方程电磁场波动方程时谐电磁波时谐电磁波平面电磁波平面电磁波电磁波的能量和能流电磁波的能量和能流一自由空间的电磁场波动方程在真空中电磁场满足波动方程磁波动方程横波条件但不能替代麦克斯韦方程还需要考虑电场与磁场的联系其中称为真空中光速一般不成立对介质的考虑介质中电磁场方程能否写成波动方程的形式
2E 1 2E 0 c2 t 2
E 0
电波动方程＋横波条件
2B 1 2B 0 c2 t 2
其中 c 1
00
B 0
磁波动方程＋横波条件
称为真空中光速
但不能替代麦克斯韦方程，还需要考虑电场与磁场的联系
E B t
电磁场波动方程
电磁场波动方程：宇宙中的震动之声电磁场波动方程是描述电磁波在空间中传播的数学公式。
它不仅是现代物理学的基础，也是人类观测宇宙中“震动之声”的重要手段。
在宇宙中，电磁波是各种星体之间交流信息的主要方式。
例如，从远处的星系中观察可见光波谱，可以告诉我们这些星系的物理属性、组成和运动状态。
类似地，从宇宙空间中捕捉到的微波信号可以揭示宇宙初期的温度分布，雷达信号可以检测近地天体的运动轨迹等。
这些信息均依赖于电磁波的传播和探测技术，其中的核心就是电磁场波动方程。
电磁场波动方程的基本形式是：∇²E - με∂²E/∂t² = 0∇²H - με∂²H/∂t² = 0其中E和H分别表示电场强度和磁场强度，μ和ε分别为真空中的磁导率和电介质常数，∇²表示Laplace算符，∂²/∂t²表示对时间的二阶导数。
这两个方程描述了电场和磁场的演化规律，可以用于计算和预测电磁波在不同介质中的传播方式、速度、波长等物理特性。
电磁场波动方程的研究历史可以追溯到19世纪，当时人们刚刚发现了电和磁的关系，并发现电磁波在真空中以光速传播。
经过不断的理论修正和实验验证，最终得到了现代电磁场波动方程的形式。
这一成就不仅是纯粹科学的进步，还为今后电磁波谱学、计算物理、通信工程等应用领域提供了有力支撑。
总之，电磁场波动方程是探索宇宙奥秘的重要工具，展示了人类对自然界规律精深的认知。
未来，随着技术的不断进步和深入研究，我们相信这一方程仍将为人类发现更多神秘的科学现象和应用价值提供帮助。
平面电磁波的波动方程
电磁波的能量
例题16-9 某广播电台的平均辐射功率 P 15 kW。假定辐 射出来的能流均匀地分布在以电台为中心的半个球面上,(1)求 在离电台为r =10km处的辐射强度;(2)在r=10km处一个小的空 间范围内电磁波可看作平面波,求该处电场强度和磁场强度的振 幅。
赫兹
电磁波的辐射
电磁理论证明,振荡偶极子在单位时间内辐射的能量 与频率的四次方成正比。为有效辐射电磁能量，要求： (1)振荡电路中所产生的电场和磁场必须散布到周 围的空间中 (2)提高辐射频率 pe p0 cos t 振荡偶极子电矩：
一条闭合 电场线的 形成过程
电磁波的辐射
振荡电偶极子不仅产生电场，而且产生磁场。振荡 电偶极子周围的电磁场线如下图示：
平面电磁波的波动方程
讨论一维问题,场量E 和H 是坐标 x 和时间 t 的函数。 前述方程组可简化为：
E x E x (I) 0, 0 x t H x H x (II) 0, 0 x t E y E y H z H z (III) , x t x t H H E z E z y y (IV) , x t x t
无线电 广播、 电报通 信
调频无线 电视、雷达、无 电广播、 线电导航及其他 专门用途 电视广播、 无线电导 航
电磁波谱
可见光 能使人眼产生视觉效应的电磁波段。
紫蓝 青
0.40 0.45 0.50
绿
0.55
黄 橙
0.60 0.65
红
0.70 0.75 / m
红外线 波长范围在0.76～750m之间的电磁波。 红外线最显著的性质是热效应。 紫外线 波长范围在4×10-7～10-9m之间的电磁波。 紫外线有明显的生理作用。
电磁场理论第4章
单位张量
4.5 正弦场的复数表示
电子科技大学
场源（电荷或电流）以一定的角频率 随时间作正弦变化， 它所激发的电磁场也以相同的角频率随时间作正弦变化，称为 时谐场或正弦场 广播、电视和通信的载波，都是时谐波或称正弦电磁波
电磁场的能量密度：电磁场能量的空间分布用能量密度 w来 描述，它表示单位体积中电磁场的能量，通常是坐标与时间的 函数，即 w w r , t
电子科技大学 电磁场的能量流密度：电磁波－电磁振荡定向运动伴随电磁 场能量移动，其流动情况用电磁场能量流密度(能流密度)S表 示。S是矢量，数值为单位时间垂直流过单位面积的能量，方 向为能量流动方向，一般是坐标和时间的函数，即 S S r , t
2 A 2 A J 2 A t t
2 A 2 A 2 A J t t A 再将E 代入 D ，且利用D＝ E，得 t 2 A ② t
4.2.2 规范与规范变换
电子科技大学
前面定义的矢量位A和标量位 不是惟一确定的，对于同样 一组E和B，还可以用另一组位函数来表示，即有
A A A， 其中 为任意标量函数 t A A+ = A B
0
vt1
vt2
vt3
vt4
vt5 z 沿z方向传播
不同时刻波形最大值出现的位置 t=0，zmax=0； t=t1 ＞0，zmax= vt1＞0； t=t2 ＞t1，zmax= vt2＞vt1＞0；
zmax vt1 vt2 v t t1 t2
波动方程
波动方程或波动方程（英语：波动方程）由麦克斯韦方程组衍生并描述电磁场的波动特征的一组微分方程是重要的偏微分方程。
它主要描述了自然界中的各种波动现象，包括声波，光波和水波等S波和P波。
波动方程，抽象的自声学，电磁学和流体力学。
波动方程介绍
在历史上，许多科学家（例如d'Alembert，Euler，Daniel Bernoulli和Lagrange）在研究乐器和其他物体中弦的振动时对波动方程理论做出了重要贡献。
弦振动方程是d'Alembert等人在18世纪首次系统地研究的。
它是一大类偏微分方程的典型代表。
方程式
标量波动方程的一般形式如下：
波动方程
波动方程
在此，a通常是一个常数，即波的传播速率（空气中的声波约为330 M / s，请参见声速）。
对于琴弦振动，这可以有很大的不同：在紧身的情况下，它可以减慢到每秒一米。
但是，如果根据波长而变化，则应将其替换为相速度
请注意，波可能会叠加在另一个运动上（例如，声波在诸如气流之类的移动介质中传播）。
在这种情况下，标量u包含马赫因数（对于沿流移动的波为正，对于反射波为负）。
U = u（x，t）是幅度，特定位置X处的波强度和特定时间t的
量度。
对于空气中的声波，它是局部压力；对于振动弦，它是相对于固定位置的位移。
是相对于位置变量x的Laplace运算符。
请注意，您可以是标量或向量。
第二章 波动方程和平面波解
kR
kI
之间的夹角为未知。 在半空间介质反折射情况需要通过边界条件才可确定。
若 kR // kI 例如平面波垂直于有耗介质表面入射时的透射波
kR2 kI2 2 2kR kI
《高等电磁场理论》
kR2
2
2
1
2
1
kI2
2
2
1
材料名称 电导率σ /(S/m) 趋肤深度δ /m
银
6.17×107
紫铜
5.8×107
铝
3.72×107
钠
2.1×107
黄铜
1.6×107
锡
0.87×107
石墨
0.01×107
《高等电磁场理论》
0.064 / f 0.066 / f 0.083/ f 0.11/ f 0.13/ f 0.17 / f 1.6 / f
vphase
k
0 0
k 0
vgroup
1 dk
d
dk 0
d 0
若波数k不是频率ω的线性函数，这时 vphase vgroup，且和
频率有关，这一类介质称为色散介质。 《高等电磁场理论》
y1
cos
1
t
z c
,
1
51
y2
cos 2
t
z c
,
2
49
《高等电磁场理论》
18
E
2
E0
cos
为电子浓度 为电子电量 为电子质量
《高等电磁场理论》
5000 1000
白天 夜间
F2
电离层电子密度的典型高度分布
F1
100
时变电磁场的波动方程和坡印廷定理
将以上两式相减，得到
r r r r r r r r r ∂D r ∂B Ε ⋅∇ × H − H ⋅∇ × Ε = Ε ⋅ J + Ε ⋅ +H⋅ ∂t ∂t
在线性和各向同性的媒质，当参数都不随时间变化时，则有 r r r r r ∂D r ∂Ε 1 ∂ ( Ε ⋅ Ε ) ∂ 1 r r Ε⋅ =εΕ⋅ = ε = ( Ε ⋅ D) ∂t ∂t 2 ∂t ∂t 2 r r r r r ∂B r ∂H 1 ∂ ( H ⋅ H ) ∂ 1 r r H⋅ = μH ⋅ = μ = ( H ⋅ B) ∂t ∂t 2 ∂t ∂t 2
19:34
V S
16
惟一性定理的证明
r r uu r uu r H 1和 E2 、 一的，那么至少存在两组解 E1 、 H 2 满足同样的麦克斯韦
方程，且具有相同的初始条件和边界条件。令
利用反证法对惟一性定理给予证明。假设区域内的解不是惟
r r r E0 = E1 − E2
r r r H 0 = H1 − H 2
I2 I2 2 2 π a d z = = RI 0 2π 2 a 3σ π a 2σ
1 式中 R = 是单位长度内导体的电阻。由此可见，进入内导 2 πa σ
体中功率等于这段导体的焦耳损耗功率。 以上分析表明电磁能量是由电磁场传输的，导体仅起着定向 引导电磁能流的作用。当导体的电导率为有限值时，进入导体中 的功率全部被导体所吸收，成为导体中的焦耳热损耗功率。
r r E = eρ
U , ρ ln(b a )
r r I H = eφ 2πρ
( a < ρ < b)
内外导体之间任意横截面上的坡印廷矢量
r r r r S = E × H = [eρ U UI r I r ] × (eφ ) = ez ρ ln(b a) 2πρ 2πρ 2 ln(b a)
《电磁场理论》
米波
微波
分米波 厘米波 毫米波
200～ 50m
50～10m 10～1m
100～ 10cm
10～ 1cm
1～ 0.1cm
1.5～ 6MHz
6～ 30MHz
30～ 300 MHz
300～ 3000 MHz
3000～ 30000 MHz
30000 ～
300000 MHz
电报通 信
无线电 广播和 电报通 信
自由电荷的代数和。
二、电场（静电场和感应电场）的环路定理：
LEdl SB t dS ( 2 ) （ 变 化 的 磁 场 一 定 伴 随 有 电 场 ）
电场强度沿任意闭合曲线的线积分等于以该曲线为边线的曲面 的磁通量的变化率的负值。 三、磁场的高斯定理：
B d S0
( 3 ) （ 磁 感 应 线 是 无 头 无 尾 的 ）
.
例1.一圆形平行板电容器，两极板的半径为a。设其
正在充放电，电荷按规律Q=Qosint变化，忽略
边缘效应。求：两极板间任意点的 jD 和 I d ？
解：(1)平行板之间的电场为：
a
D=
Q S
jD
D t
1 S
Q t
SQocos t
jD均匀分布在横截面上，与传导电流同向。
（2）位移电流强度：
IdjDSQ ocost
设单位体积中，电磁场质量为m，能量为w：w =mC2
m
w C2
1 (E2 H2)——质量密度
2C2
电磁场的动量密度： pw1E2H2 c 2c
.
16
作业： 习题六选1，5，填3，4，5，计2，3，4（例），5
.
I
L
S2 S1
《电磁场》课程介绍与教学大纲
《电磁场》课程简介课程编号：06054001课程名称：中文/英文电磁场/ Electromagnetic Field学分：2.5学时：40 （实验：0 上机：0 课外实践：0）适用专业：电气工程及其自动化建议修读学期：第4学期开课单位：电气与信息工程学院电气工程系先修课程：高等数学、大学物理、复变函数与积分变换考核方式与成绩评定标准：闭卷考试百分制评定（期末考试卷面成绩占70%,平时成绩占30%）教材与主要参考书目：焦其祥，《电磁场与电磁波》，北京：科学出版社，2010年第2版。
内容概述：中文：本门课程属于电气工程及其自动化专业的专业基础课程，通过本门课程的学习，使学生在大学物理电磁学的基础上，进一步掌握电磁场基本概念；培养学生用场的观点对电气工程中的电磁现象和电磁过程进行定性分析与判断的初步能力；了解进行定量分析的基本途径，为进一步学习和应用各种较复杂的电磁场计算方法打下基础；通过电磁场理论的逻辑推理，培养学生正确思维和严谨的科学态度。
英文：This course belongs to the professional basic course of Electrical Engineering and Its Automation. The students through studying this course can be to further understand the basic concept of electromagnetic field on the basis of in the College Physics of Electromagnetism. It will cultivate the students' ability with the preliminary view of electromagnetic field to use qualitative analysis and judgment of electromagnetic phenomena and electromagnetic process in electrical engineering. The knowledge of basic understanding methods of quantitative analysis can lay the foundation for further study and application of electromagnetic method in various complex calculations. During the logic analyzing process of electromagnetic theory, the students could be cultivated with correct thinking and rigorous scientific attitude.《电磁场》教学大纲课程编号：06054001课程名称：中文/英文电磁场/ Electromagnetic Field学分：2.5学时：40 （实验：上机：课外实践：）适用专业：电气工程及其自动化建议修读学期：第4学期开课单位：电气与信息工程学院电气工程系先修课程：高等数学、大学物理、复变函数与积分变换一、课程性质、目的与任务课程性质：本门课程属于电气工程及其自动化专业的专业基础课程，通过本门课程的学习，使学生在大学物理电磁学的基础上，进一步掌握电磁场基本概念；培养学生用场的观点对电气工程中的电磁现象和电磁过程进行定性分析与判断的初步能力；了解进行定量分析的基本途径，为进一步学习和应用各种较复杂的电磁场计算方法打下基础；通过电磁场理论的逻辑推理，培养学生正确思维和严谨的科学态度。
无源空间中电场和磁场满足的波动方程
无源空间中电场和磁场满足的波动方程无源空间中电场和磁场满足的波动方程1. 引言在物理学中，电磁场是一个非常重要的概念，它描述了电荷和电流产生的电场和磁场在空间中的分布和演变。
无源空间是指没有电荷和电流存在的空间，也是电磁波传播的主要场所。
在无源空间中，电场和磁场满足的波动方程是电磁理论中的基本方程之一，它描述了电磁波在空间中的传播规律，具有非常重要的意义。
2. 电场和磁场的波动方程电场和磁场满足的波动方程分别可以表示为：\[\nabla^2\vec{E} = \mu\epsilon\frac{\partial^2\vec{E}}{\partialt^2}\]\[\nabla^2\vec{B} =\mu\epsilon\frac{\partial^2\vec{B}}{\partialt^2}\]其中，\(\vec{E}\)和\(\vec{B}\)分别代表电场和磁场的矢量，\(\mu\)和\(\epsilon\)分别代表真空中的磁导率和介电常数。
这两个方程描述了电场和磁场在空间中的传播规律，它们的推导和物理意义非常丰富，值得我们深入探讨。
3. 电场和磁场的耦合关系在电磁理论中，电场和磁场是密切相关的，它们通过麦克斯韦方程组相互耦合。
在波动方程中，电场和磁场的传播规律也是耦合在一起的，它们通过介质的性质共同决定了电磁波在空间中的传播速度和衰减规律。
深入理解电场和磁场的波动方程对于理解电磁波的特性至关重要。
4. 对电场和磁场波动方程的个人理解对于电场和磁场的波动方程，我个人的理解是，它们描述了电磁波在空间中的传播规律，包括波的传播速度、偏振方向、衰减规律等重要特性。
通过对波动方程的分析和求解，我们可以深入地理解电磁波的行为，为电磁场的应用提供理论依据。
电场和磁场的波动方程也是电磁理论和波动理论的重要组成部分，对于培养学生的物理直观和科学思维能力也有重要的意义。
5. 总结无源空间中电场和磁场满足的波动方程是电磁理论中的重要内容，它描述了电磁波在空间中的传播规律。
电磁波动方程的解析解
电磁波动方程的解析解电磁波动方程是具有时空变化的矢量场的基本方程，描述了电磁波在传播中的行为。
其解析解的求解一直是电磁学领域的重要研究方向之一，也是电磁场理论的基础内容。
本文将介绍电磁波动方程的解析解的求解方法和求解结果。
一、电磁波动方程电磁波动方程是麦克斯韦方程组中的一部分，具有如下形式：$$\nabla^2\mathbf{E}-\dfrac{1}{c^2}\dfrac{\partial^2\mathbf{E}}{\partial t^2}=0 \\\nabla^2\mathbf{B}-\dfrac{1}{c^2}\dfrac{\partial^2\mathbf{B}}{\partial t^2}=0 $$其中，$\mathbf{E}$和$\mathbf{B}$分别表示电场和磁场，$c$为光速。
这两个方程描述了电磁场与介质的相互作用，是电磁波在空间传播过程中的数学表达式。
二、求解方法为了求解电磁波动方程的解析解，我们需要用到一些数学工具，例如矢量分析、分离变量法以及特殊函数等。
首先，我们应该注意到电磁波动方程的形式与波动方程非常相似。
因此，我们可以尝试将$\mathbf{E}$和$\mathbf{B}$按照如下形式进行分离变量：$$\mathbf{E}=\mathbf{E}_0\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\omega t-k\cdot\mathbf{r})} \\\mathbf{B}=\mathbf{B}_0\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\omega t-k\cdot\mathbf{r})}$$其中，$\omega$为角频率，$\mathbf{k}$为波矢量。
这样，电磁波动方程就可以变形为如下形式：$$\nabla^2\mathbf{E}_0-k^2\mathbf{E}_0=0 \\\nabla^2\mathbf{B}_0-k^2\mathbf{B}_0=0$$这两个方程形式与亥姆霍兹方程非常相似，因此，我们可以使用亥姆霍兹方程的求解方法来求解电磁波动方程的解析解。
电磁场波动方程
2.1 光的波粒二象性 1、近代关于光的本性的认识光既具有波动性，又具有粒子性，即光具有波粒二象性。
波动性：光是电磁波，有干涉、衍射现象粒子性：光是光子流，光子具有粒子的一切属性--- 质量、能量、动量。
有些情况下(传播过程中，能量小)波动性突出；有些情况下(和物质相互作用时，能量、动量大)粒子性突出。
2、基本关系式描述光的波动性：波长 λ，频率 ν 描述光的粒子性：能量 ε ，动量P光子质量： 静质量 m 0 = 0，动质量光子动量： p = mc = h ν/c光作为电磁波是弥散在空间而连续的，光作为粒子在空间中是集中而分立的，其二象性统一于概率波理论光子在某处出现的概率由光在该处的强度决定，光子是分立的，光强分布可以是连续的。
光电效应：在光的照射下，某些物质内部的电子会被光子激发出来而形成电流，即光生电。
h h p ενλ==2h m c ν=康普顿散射(Compton scattering)：短波电磁辐射(如X射线，伽玛射线)射入物质而被散射后，除了出现与入射波同样波长的散射外，还出现波长向长波方向移动的散射现象。
2.2 电磁场基本方程2.2.1 电磁场基本方程一般情况下，电磁场的基本方程是Maxwell’s equations，即在自由空间中（即），电场和磁场互相激发，电磁场的运动规律将由无源情况下的Maxwell’s equations导出，即其中：a) 真空情形：即对（6）式两边取旋度，并将（8）式代入，即同理，对（8）式两边取旋度，并将（6）式代入，即可得令,则得到：这就是众所周知的波动方程。
由其解可知电磁场具有波动性，电磁场的能量可以从一点转移到另一点。
即脱离电荷、电流而独立存在的自由电磁场总是以波动形式运动着。
在真空中，一切电磁波（包括各种频率范围的电磁波，如无线电波、光波、X 射线和γ射线等 （电磁波谱））都以速度C 传播，C 就是最基本的物理常量之一，即光速。
222222220222022200200E B t t E k n E B k n B k c ωωωμε∂∂==-∂∂⎧∇+=⎪⎨∇+=⎪⎩==在频域中所以其中2.2.2 电磁场的边界条件d d d d d d 0d d l S S lS S SV D H l J s s t B E l st B s D s v ρ⎧∂⋅=⋅+⋅⎪∂⎪∂⎪⎪⋅=-⋅⎨∂⎪⋅=⎪⎪⋅=⎪⎩⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰B法向分量连续、E 切向分量连续2121ˆ()ˆ()0s nD D nB B ρ⎧⋅-=⎪⎨⋅-=⎪⎩ ()()2121ˆ0ˆSnE E n H H J ⎧⨯-=⎪⎨⨯-=⎪⎩()()21212121ˆ()ˆ()0ˆ0ˆS sn D D n B B n E E n H H J ρ⎧⋅-=⎪⋅-=⎪⎪⎨⨯-=⎪⎪⨯-=⎪⎩一般形式()()212121210,0ˆ()0ˆ()0ˆ0ˆ0s J n D D n B B n E E n H H ρ==⎧⋅-=⎪⋅-=⎪⎪⎨⨯-=⎪⎪⨯-=⎪⎩良好介质（）中2.2.3 光的偏振状态光属于横波，即光的电磁场振动方向与传播方向垂直。
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波动方程
时变电磁场问题的求解
1)由麦克斯韦方程组导出 E和H 各自所满足的波动方程，结合边 界条件和初始条件解波动方程， 得到 E和H 。 2)推导出辅助位函数 A和U 所满 足的方程，求解方程得 A和U ， 然后再根据场和位的关系得到电 场和磁场。
1
在线性、均匀和各向同性的无源媒质 ( 0, J S 0) 中，电 磁场满足的麦克斯韦方程为 E 2 E t E ( H ) 2 H E t t t t H 两边取旋度 E E H t t H 0
4
2 E 2 E 2 t 2 H 2 H t 2
齐次矢量波动方程
上两式也称为时变亥姆霍兹方程，它表明电磁 场在无耗媒质中的传播是不衰减的。
3
在直角坐标系中，波动方程可以分解为三个标量方程
2 Ex 2 Ex 2 E x 2 Ex 2 2 2 0 2 x y z t
E 0
将矢量恒等式 E ( E ) 2 E
2
H 得 E E t
2 H H 2 H t t 2
得
2 E
E E 2 t t
2
同理
无源区电场波动方程
非齐次矢量波动方程
无源区磁场波动方程
2
2 E E 2 E 2 t t
2 H H 2 H 2 t t
在上面的两个式子中， 这些方程支配着无源均匀导 电媒质中电磁场的行为。 在二阶微分方程中， 一阶 项的存在, 表明电磁场在导电媒质中的传播是有衰减 的（有能量损耗）。 因此导电媒质称为有耗媒质。 当媒质为完全电介质或无耗媒质， 即媒质的电导 率 0 ，上面两式变为
2 Ey x
2
2 Ey y
2
2 Ey z
2
2 Ey t
2
0
பைடு நூலகம்
2 Ez 2 Ez 2 Ez 2 Ez 2 2 2 0 2 x y z t
波动方程的解是空间一个沿特定方向传播的电磁波。
电磁波的传播问题归结为在给定边界条件和初始条件下 求解波动方程。但需要注意的是：只有少数特殊情况可 以通过直接求解波动方程求解。