6-3分段线性化方法
自动控制原理第七章
2013-12-13
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4、非线性系统不适用叠加原理
在线性系统中，若干个信号作用于系统上，我们可以分 别求单独信号作用的响应，然后再叠加就可以求出总的响应。
这给分析综合线性系统带来了很大方便。通常在典型输入函
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23Leabharlann 二、相平面图的分析 1．线性系统奇点的类型 假设奇点在相平面的原点上， f ( x, x) 是解析函数，可用泰勒 级数将其在原点附近展开：
f ( x, x) f ( x, x) f ( x, x) f ( x, x) x 0 x 0 x x 0 x g ( x, x ) x x x 0 x 0 x 0 其中，g ( x, x) 是包含 x, x 二次以上的项，在原点附近，x, x 都很小，g ( x, x) 可以忽略。注意到在奇点处有
即
dx d ( x) dx dx
表示在 ( x, x) 点和 ( x, x) 点相轨迹曲线的斜率大小相等，符 号相反，故关于 x 轴对称。
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若 f ( x, x)是 x 的奇函数，即 f ( x, x) f ( x, x)
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c.系统的状态沿相轨迹曲线转移的方向
求函数最值问题常用的10种方法
较大小，确定最值．
解析 因为f′(x)＝3x2－3，所以令f′(x)＝0，得x＝
－1(舍正)．又f(－3)＝－17，f(－1)＝3，f(0)＝1，
比较得，f(x)的最大值为3，最小值为－17.故填3， －17. 点评 (1)利用导数法求函数最值的三个步骤：第一， 求函数在(a，b)内的极值；第二，求函数在端点的函 数值f(a)、f(b)；第三，比较上述极值与端点函数值 的大小，即得函数的最值．(2)函数的最大值及最小 值点必在以下各点中取得：导数为零的点，导数不存 在的点及其端点．
三、换元法 换元法是指通过引入一个或几个新的变量，来替换 原来的某些变量(或代数式)，以便使问题得以解决 的一种数学方法．在学习中，常常使用的换元法有 两类，即代数换元和三角换元，我们可以根据具体 问题及题目形式去灵活选择换元的方法，以便将复 杂的函数最值问题转化为简单函数的最值问题，从 而求出原函数的最值．如可用三角代换解决形如a2 ＋b2＝1及部分根式函数形式的最值问题．
【例 4】设 x，y，z 为正实数，x－2y＋3z＝0，则 y 2 xz
的最小值为________． 分析 先利用条件将三元函数化为二元函数，再利用基 本不等式求得最值．
解析 因为x－2y＋3z＝0，
x＋3z
y2 x2＋9z2＋6xz
所以y＝
2
，所以 ＝ xz
4xz
.
y2 6xz＋6xz
又x，z为正实数，所以由基本不等式，得 ≥
∴Δ＝(3y＋3)2－4(y－1)(4y4)≥0，11
解得7≤y≤7(y≠1)．综上得ymax＝7，ymin＝7.
点评 判别式法的应用，对转化的(y－1)x2＋(3y＋3)x ＋4y－4＝0来说，应该满足二次项系数不为0，对二次 项系数为0时，要另行讨论，对本题若y－1＝0，即 y＝1，有(3＋3)x＋4－4＝0，所以x＝0.一般来说， 利用判别式法求函数的最值，即根据g(y)x2＋h(y)x＋
非线性电路
非线性电路学习报告电路是由电气、电子器件按某种特定的目的而相互连接所形成的系统的总称。
当电路中至少存在一个非线性电路元件时（例如非线性电阻、非线性电感元件等），其运动规律要由非线性微分方程或非线性算子来描述，我们称之为非线性电路或非线性系统。
一、非线性电路的特点：1、非线性电路不满足叠加定理是否满足叠加定理是线性系统与非线性系统之间的最主要区别。
2、非线性电路的解不一定唯一存在对于仅由非线性电阻元件组成的电阻性电路，或考察非线性动态电路的稳态性质时，其电路的特性有一组非线性代数方程来描述。
这组方程可能有唯一解，也可能有多个解，甚至可能根本无解。
因此，在求解之前，应该对系统的解得性质进行判断。
3、非线性系统平衡状态的稳定性问题线性系统一般存在一个平衡状态，并且很容易判断系统的平衡状态是否稳定。
而非线性系统往往存在多个平衡状态，其中有些平衡状态是稳定的，有些平衡状态则是不稳定的。
4、非线性电路中的一些特殊现象在非线性电路中常常会发生一些奇特的现象，这些奇特的现象在过去和现在一直都是非线性电路理论的重要研究课题，促进了非线性理论的研究和发展。
例如，非线性电路在周期激励作用下的次谐波振荡和超次谐波振荡；系统解的形式因为参数的微小变化而发生本质性改变的分叉现象；对于某些非线性电路和系统，还会出现一种貌似随机的混沌现象。
分叉和混沌现象的研究大大丰富了非线性系统科学的理论，促进了系统科学的发展。
二、非线性电阻电路非线性电阻电路研究的内容大体可分为理论定性分析和定量分析两大部分。
理论定性分析主要研究非线性电阻电路解得存在性和唯一性问题。
对于由无源电阻网络组成的网络，其无增益性质也是研究的重要内容之一。
定量分析大体包含四个方面：一是图解分析法和小信号分析法，二是数值分析方法，三是分段线性化方法，四是友网络法。
1、图解分析方法图解分析法用来解决简单非线性电阻电路的工作点分析、DP图和TC图分析等问题。
(1)曲线相交法：将其中一些非线性元件用串并联方法等效为一个非线性电阻元件，将其余不含非线性电阻的部分等效一个戴维南电路，画出这两部分电路的伏女關线，它们的交点为电路的丄作点，或称为静态丄作点Q(U Q,I Q)O图1曲线相交法(2)DP图法：若某非线性一端口网络的端口伏安矢系也称为驱动点特性曲线DP确定，则已知端口的激励波形，通过图解法可求得响应的波形。
热电偶最优化分段最小二乘拟合线性化处理方法
热电偶最优化分段最小二乘拟合线性化处理方法Ξ赵明富1,2 廖强2 钟连超1 罗渝微1(1重庆工学院电子信息工程与自动化学院,重庆400050;2重庆大学动力学院工程热物理研究所,重庆400044)摘 要 针对虚拟测温仪器中的热电偶线性化问题,提出了一种适合多种热电偶和热电阻的在线拟合方法,该方法是一种基于最小二乘法低阶分段曲线拟合来实现热电偶的软件线性化处理方法,通过软件编程实现了在不等测温区间内分段运用最小二乘法获得不同的拟合函数,并给出一种热电偶的拟合结果。
运用该方法可提高测温的灵活性和准确性。
关键词 热电偶 线性化 最小二乘法 拟合 热电偶由于具有结构简单、热容最小、材料的互换性好、信号能够远距离传送和多点测量,便于检测和控制等优点,因此把热电偶与计算机配合,用热电偶作为感温元件的微机化测温仪在工业生产和科学研究中得到了广泛的应用。
但由于它的热电势—温度函数关系的非线性,在应用中必须进行冷端补偿和线性补偿处理。
通常这种线性处理的方法有两大类:硬件化线性处理,如采用硬件线性化电路板来补偿;软件线性处理,即通过具体的算法,编制程序来修正。
过去常用硬件电路板来线性化处理,但存在成本较高、误差较大,电路搭配僵化,不灵活等缺点。
然而,随着计算机的广泛应用,特别是虚拟测温仪器出现的今天,软件线性化以其方法多样,拟合精度高,速度快,偏差小而被广泛应用[1～5]。
本文针对虚拟测温仪器中的热电偶线性化问题,提出了一种适合多种热电偶和热电阻的在线拟合方法,该方法是一种基于最小二乘法低阶分段曲线拟合来实现热电偶的软件线性化处理方法。
其目的为了提高虚拟测量仪器的通用性、适应性、实时性和测量精度。
一、线性化方法中的拟合原理通常在IEC584-1标准中给出的温度t和热电偶的热电势E之间的解析表达式为:E=f(t)(1)其中f(t)为高阶多项式函数或高阶多项式函数与指数函数的复合函数。
如镍铬———镍硅热电偶在温度为0～1372℃时解析表达式为:E=∑8i=0a i t i+125exp[-12(t-12765)2](2)如果已知某一时刻的温度值,就可通过计算得出热电偶在该时刻的热电势,反之亦然。
图像增强-数字图像处理
图像增强
2.图像噪声的特点 (1)噪声在图像中的分布和大小不规则,即具有随机性。 (2)噪声与图像之间一般具有相关性。 (3)噪声具有叠加性。
图像增强
3.3.2 模板卷积 模板操作是数字图像处理中常用的一种邻域运算方式,
灰度变换就是把原图像的像素灰度经过某个函数变换成 新图像的灰度。常见的灰度变换法有直接灰度变换法和直方 图修正法。直接灰度变换法可以分为线性变换、分段线性变 换以及非线性变换。直方图修正法可以分为直方图均衡化和 直方图规定化。
图像增强
3.1.1 线性变换 假定原图像f(x,y)的灰度范围为[a ,b],希望变换后图像
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
图像增强
例如,假定一幅大小为64×64、灰度级为8个的图像,其灰 度分布及均衡化结果如表3-1 所示,均衡化前后的直方图及变 换用的累积直方图如图3-10所示,则其直方图均衡化的处理 过程如下。
图像增强
图像增强 由式(3-12)可得到一组变换函数:
依此类推:s3=0.81,s4=0.89,s5=0.95,s6=0.98,s7=1.0。变换函 数如图3-10(b)所示。
图像增强
１
图像增强
图3-1 灰度线性变换
图像增强
图3-2 灰度线性变换示例
图像增强
3.1.2 分段线性变换 为了突出感兴趣的灰度区间,相对抑制那些不感兴趣的
灰度区间,可采用分段线性变换。常用的3段线性变换如图33所示,L 表示图像总的灰度级数,其数学表达式为
图像增强
图3-3-分段线性变换
图像增强
设r 为灰度变换前的归一化灰度级(0≤r≤1),T(r)为变换函 数,s=T(r)为变换后的归一化灰度级(0≤s≤1),变换函数T(r)满足 下列条件:
分段线性拉伸
分段线性拉伸分段线性拉伸⼀、⽬的与原理（1）⽬的：图像增强，增加对⽐度，为了突出感兴趣的⽬标或灰度区间，相对抑制那些不感兴趣的灰度区间。
常⽤是三段线性变换，即对⼀个灰度区间进⾏线性拉伸，其他的区间被压缩。
（2）原理:本⽂介绍的是三段线性拉伸，通过设置两个点将线段划分为三段，当k=1的时候，图像没变化，当k<1的时候，图像灰度被抑制，灰度值变⼩，效果是变得更暗；当k>1的是偶，图像灰度变量，可以通过调节两个点的数据增加图像的对⽐度。
三段线段的斜率：① k1 = Y1/X1;② k2 = (Y2-Y1)/(X2-X1);③ k3 = (255-Y2)/(255-X2);三段线段的函数，代⼊（x，y）和k可求得b1,b2,b3：⼆、步骤1.设置两个临界点，根据这两个点将直线分成三段2.根据点计算出三条线段的斜率3.根据斜率和点，计算出三条线段的y⽅向的偏移值4.定义⼀个⼤⼩256的数组，作为表存放每个灰度值在不同线段中的频率5.根据数组（表）填充到⽬标图像中6.显⽰图像三、源码void dividedLinearStrength(cv::Mat& matInput, cv::Mat& matOutput, float x1, float x2,float y1, float y2) {//计算直线参数//L1float fK1 = y1 / x1;//L2float fK2 = (y2 - y1) / (x2- x1);float fC2 = y2 - fK2 * x2;//L3float fK3 = (255.0f - y2) / (255.0f - x2);float fC3 = 255.0f - fK3 * 255.0f;//建⽴查询表std::vector<unsigned char> loolUpTable(256);for (size_t m = 0; m < 256; m++){if (m < x1){loolUpTable[m] = static_cast<unsigned char>(m * fK1);}else if (m > x2){loolUpTable[m] = static_cast<unsigned char>(m * fK3 + fC3);}else{loolUpTable[m] = static_cast<unsigned char>(m * fK2 + fC2);}}//构造输出图像matOutput = cv::Mat::zeros(matInput.rows, matInput.cols, matInput.type());//灰度映射for (int i = 0; i < matInput.rows; i++){for (int j = 0; j < matInput.cols; j++){Vec3b* pInput = matInput.ptr<Vec3b>(i);for (int c = 0; c < matInput.channels(); c++) {//查表gamma变换matOutput.at<Vec3b>(i, j).val[c] = loolUpTable[pInput[j].val[c]]; }}}}四、结果图。
非线性电路讲解
谢谢
伏安特性可以看成G1、 G2 、G3三个电导并联后 的等效电导的伏安特性 。
G2 =Gb- Ga G3=Gc- Gb
1.3 工作在非线性范围的运算放大器
1.理想运算放大器的饱和特性
uu+ iud i+ _ + ∞ + Usat uo o ud uo
有关系式： i 0 i 0
-Usat
解
u 100i i 3 100 0.01 0.013 1 10 6 V 忽略高次项， u 100 0.01 1
性化引起的误差很小。
当输入信号很小时，把非线性问题线 表明
3.非线性电阻的串联和并联
①非线性电阻的串联
i1
i2
i i1 i2 u u1 u2
把伏安特性分解为三个特性： 当u < U1有： G1u =Gau
G1=Ga
Ga
U1 U2
当U1 <u < U2，有：
i
G1u+G2u =Gbu G1+G2 =Gb
当U2 <u ，有： o Ga U1
Gb
U2
Gc u
G1u+G2u +G3u=Gcu G1+G2 +G3=Gc
解得： G =G 1 a
结论 隧道二极管的
u
u
非线性电阻在某一工作状态 下(如P点)的电压对电流的导数。
注意
①静态电阻与动态电阻都与工作点有关。当P点 位置不同时，R 与 Rd 均变化。 ②对压控型和流控型非线性电阻，伏安特性曲 线的下倾段 Rd 为负，因此，动态电阻具有 “负电阻”性质。
例 一非线性电阻的伏安特性 u 100i i
非线性元件的特性
cos3 θ 3cos θ 4cos u 200cos314t 6cos314t 2cos942t 206 sin 314t 2 sin 942tV
3
注意 电压u中含有3倍频分量,因此利用非线
性电阻可以产生频率不同于输入频率的输出。
(3) 设 u12 = f (i1 + i2 )，问是否有u12= u1 + u2？
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③类型
电压控制型 电荷控制型
电容的电荷是两端电压的单值 函数。
电容的电压是电荷的单值函数。 库伏特性在q ~ u平面上单调 单调型 增长或单调下降。 P ④静态电容C和动态电容Cd q i
q C u C dq d du
0
u
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例
含有一非线性电容的协调电路，电容的库伏 特性为： q ku 2 2 ，试分析此电路的工作。 q 直流偏 Uo R 置电压 + 信号 L 分析 0 u U
I Q i1 (t ) g U Q u1 (t )
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I Q i1 (t ) g U Q u1 (t )
按台劳级数展开
u1 (t ) U Q
忽略高次项
dg I Q i1 (t ) g (U Q ) u1 (t ) du UQ I Q g (U Q ) i (t ) dg u (t ) 1 u (t ) 1 1 1 du U Rd
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3.研究非线性电路的依据
分析非线性电路基本依据仍然是KCL、KVL 和元件的伏安特性。
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17.1 非线性电阻
1.非线性电阻
分段函数求导知识点总结
分段函数求导知识点总结一、分段函数的概念分段函数是指一个定义域上的函数，其值随自变量的取值分段而变化。
分段函数通常由几个不同的函数组成，每个函数在定义域上的一个子集上定义。
分段函数在数学建模、物理、工程等领域有重要的应用。
二、分段函数的图像特点1. 分段函数的图像通常由几个部分组成，每个部分对应着定义域上的一个子集。
2. 分段函数的图像可能包含了不连续点，即在某些点上可能存在间断。
3. 分段函数的图像可能具有不同的斜率和凹凸性。
三、分段函数的导数定义1. 分段函数的导数是分段函数在定义域上的每个子集上的导数的集合。
2. 对于分段函数y=f(x)，根据导数的定义，可以得到在每个子集上的导数f’(x)。
四、分段函数的求导方法1. 分段函数的求导方法和普通函数的求导方法类似。
对于不同的子集，分别使用求导规则进行求导。
2. 对于可能存在间断点的分段函数，需要对每个子集上的导数进行单独的讨论。
五、常见的分段函数求导方法1. 绝对值函数的求导绝对值函数|x|是分段函数，在x>0和x<0时，分别定义为x和-x。
对应的导数分别为1和-1。
2. 分段常数函数的求导对于区间[a,b]上的常数函数，其导数为0。
在不同的区间上，函数的导数不同，需要进行分段讨论。
3. 分段线性函数的求导分段线性函数是由若干条线段组成的函数。
求导时需要对每个线段进行求导，然后将导数组合起来。
4. 其他类型的分段函数求导除了上述示例外，还有其它常见的分段函数，如分段多项式函数、分段指数函数等，它们的求导方法也可以根据具体的函数形式进行求导。
六、分段函数的求导应用1. 优化问题在工程、经济学等领域，常常需要对分段函数进行求导来进行最优化问题的求解。
例如，在生产成本最小化问题中，需要对生产函数进行求导确定边际成本。
2. 物理问题在物理学中，分段函数的求导可以用于描述变化的速率、加速度等物理量。
例如，对于匀速直线运动时的位置函数，可以通过求导得到速度函数。
分段线性插值法求插值-Read
分段线性插值法求插值摘要本文根据题目的要求,利用分段线性插值法对采样点和样本值进行插值计算。
为了更好的评断模型的优化性，我们同时采用了最近点插值，3次多项式插值和3次样条插值法来处理同样的问题，作为分段线性插值方法的参考模型。
根据插值函数计算区间内任意取样点的函数值。
最后再利用所得函数值画出相应的函数图象，并与原函数g(x)的图象进行对比。
通过对本题四个问题的解答，并观察对比函数图象我们得到了如下两个重要的结论：（1）在同一取样点，利用不同的插值方法可能会得到不同的函数值，所得函数值与原函数的标准函数值的误差大小决定了该插值方法的“好坏”。
而最优化的插值方法往往依赖于被插值函数。
本题中，在函数式g(x)对应X,Y的条件下，可以根据对比函数图象明显看出：分段线性插值方法和3次多项式插值方法优于3次样条插值和最近点插值。
（2）在插值计算中，取样点的多少往往会影响所得插值函数优化程度。
一般情况下，取样点越多所得插值函数越优化，对应的函数值与标准函数值越接近。
通过对本题四个问题相应对比函数图象的观察，我们也明显看出：在区间[-6 6]内，当取样点为21，41时，分段线性插值法进行插值计算得到的函数图象基本上与原函数g(x)吻合。
AbstractIn this article ,we use piecewise linear interpolation to compute the sampling point and sample value according to the request of question. In order to judge the model's quality in a better way, we use nearest interpolation, cubic interpolation and spline interpolation regarded as the model reference of piecewise linear interpolation to deal the question in the same way at the same time. Then draw the function picture by function value of any sampling point in the interval of interpolating function. Finally, we make a comparison between the original function g(x) image and the interpolating function image.At the base of analysing the final result and comparing the constrastive image . We can summarize two items of important conclusion as follows:(1)At the same sampling point , different interpolating method canobtain different function value. Usually , the optimizationalgorithm depends on the size of error between the objectfunction value .(2) When processing interpolating compute , the number of thesampling point will make an effect on the quality of a model.Commonly, the more multitudinous the sampling points wereused ,the more precise the interpolation model will be .目录一．问题的重述 (1)二．问题的分析 (1)三．问题的假设 (1)四．分段线性插值原理 (2)五．问题的求解 (2)六．插值方法的优劣性分析 (5)附录 (6)一．问题的重述已知211)(xx g +=,66≤≤-x 用分段线性插值法求插值，绘出插值结果图形，并观察插值误差。
时间序列专题之三时间序列的分段线性表示
时间序列专题之三时间序列的分段线性表⽰在研究如何对时间序列进⾏线性分段的时候，浏览了60篇左右论⽂和教材的⽚段，对其中的6篇仔细阅读并编写程序和单元测试实现相应的算法。
同时为了直观的看到分段效果，还制作简易的曲线图呈现原始序列和分段序列。
这种超负荷的⼯作，是在⼀周之内完成的，⽬的只有⼀个:选择算法。
作为程序员，实际上并不能算是研究⼈员，多数情况下，他只需要不同的苹果中选择⼀个苹果⽽已，没有必要去种苹果树。
但凡需要“选择”的时候，⼯作步骤如下：1、确定你想要达到的⽬的，这个最为重要，你的⽬的贯穿整个⼯作，千万不要在相亲的时候，突然对对⽅的妹妹格外关注；2、区分关注的层次⽐如，简要的阅读能够排除很多不需深究的东西，上⾯说到的60篇论⽂中的54篇要么是作者本⾝显得不妥、要么是某种⽅式的抄袭、要么其提供的分段图形本⾝就不符合要求，简单的五分钟你就能够排除，⽆需浪费时间。
3、你感兴趣的算法各有优势和缺陷的时候，有⽆可能对某种主要的算法进⾏调整，或者组合应⽤其他算法的某些概念?4、实在找不到合适的算法，或者组合相应算法也⽆⼒达成的时候，能否基于你的需要⽽⾃⾏设计新的算法？当然，到这个层⾯，你也变成了那群做研究的书呆⼦之中的⼀员，不过⼀定要确定⼀点，⾄少你的⽬的明确，这和他们混稿费、混基⾦、呆在实验室空想是不同的，⾝为程序员你其实很有优势的。
下⾯对算法的描述，并没有采⽤那些很精确的命名，⽽只是从算法的特征来分类。
事实上⼤约有⼗来种主流的算法和近百种各类扩展、调整、优化的算法，每个都号称⾃⼰效果如何好、效率如何⾼、怎样⽀持在线划分等，但我们没有必要陷⼊他们的战争。
选择到最后确定⼏种分段算法，我个⼈⽤的时间是⼀周，过于沉湎细节的话，恐怕⼀个⽉都⽆法做决断。
例图中使⽤深圳A股深发展在2009年和2010年的实际收盘价⾛势，⿊线为原始数据，红线为拟合线段，红点为分段点。
⼀、对时间序列分段，是什么意思？时间序列，在⼆维平⾯上实际上是⼀条曲线，所谓分段，就是⽤⼀系列⾸尾相接的线段，近似的表达⼀条曲线。
数字图像处理知识点与考点(经典)
第 1 章 导论（知识引导）
1. 图像、数字图像和数字图像处理： 答： “图”是物体投射或反射光的分布，是客观存在的。“像”是人的视觉系统对图在大脑中形成的 印象或认识。图像（image）是图和像的有机结合，即反映物体的客观存在，又体现人的心理因素；是 客观对象的一种可视表示，它包含了被描述对象的有关信息。 数字图像是指由被称作像素（pixel）的小块区域组成的二维矩阵。将物理图像行列划分后，每个小 块区域称为像素。 数字图像处理是指用数字计算机及其它有关数字技术，对图像施加某种运算和处理，从而达到某种 预想目的的技术. 2. 数字图像处理一般包括图像处理、图像分析、图像理解三个层次。 图像处理是对图像本身进行加工，以改善其视觉效果或表现形式，为图像分析打下基础，图像处理 的输出仍是图像。 图像分析是目标图像进行检测和各种物理量的计算，以获取对图像的客观描述。 图像理解是在图像分析的基础上。理解图像所表现的内容，分析图像间的相互联系，得出对客观场 景的解释。 3. 数字图像处理主要包括哪些研究内容？ 答：图像处理的任务是将客观世界的景象进行获取并转化为数字图像、进行增强、变换、编码、恢复、 重建、编码和压缩、分割等处理，它将一幅图像转化为另一幅具有新的意义的图像。 4. 一个数字图像处理系统由哪几个模块组成？试说明各模块的作用。 答： 一个基本的数字图像处理系统由图像输入、图像处理和分析、图像存储、图像通信、图像输出5 个模块组成，如下图所示。
说明：通过细心调整折线拐点的位置及控制分段直线的斜率，可对任一灰度区间进行拉伸或压缩。 4.曝光不足或过度的情况下，图像灰度可能会局限在一个很小的范围内，故采用线性变换拉伸图像。 5.直方图的均衡化（考）（习题第四章 6 题，如下示例）与规定化
分段线性函数
矩阵所有行向量的最大无关组个数称为 行秩； 矩阵所有列向量的最大无关组个数称为 列秩； 一个矩阵的行秩等于列秩，称为矩阵的 秩。
转置
列矢量W的转置WT为一个行矢量；
N*M的矩阵A的转置AT为一个M*N的矩 阵。
矢量与矢量的乘法(1)
设W和X为N维列矢量
WT X wi xi
i 1 N
优化的准则函数
定义误差矢量e：
e XW B
定义准则函数J(W,B)：
1 2 1 1 2 T J W, B e XW B XW B XW B 2 2 2
梯度法求解
J 0 W
J 0 B
上面两个公式成立的W即为所求。
定义伪逆矩阵X*：
df f dX xij M N f x 11 f xM 1 f x1N f xMN
常用矢量微分的性质
X和W为N维矢量，A为M*N的矩阵：
f X X W
T
df X W dX df X W dX
2维特征的二次判别函数。
2 3 1 2 4 2
d X a1x1 a2 x2 a x a x a5 x1x2 a6
XOR问题的二次函数解
2 d X 0.6636x1 1.0056x2 0.4189x12 0.8578x2 3.3908x1x2 0.6207
多类问题（情况二）
d12 X x1 x3 5
d13 X x1 3
d12(X)=0
+
-
线性尺寸精度分解
角度尺寸公差
ＧＢ11334国家标准规定的角度公差数值列于书P161表9-4中。 角度公差分为１２个公差等级，依精度从高至低的顺序排列为AT1、AT2、…AT12 角度公差可以用角度单位表示，也可以用长度单位表示。当以微弧度(urad)或度、分、秒等
角度单位表示时，角度公差代号为ATa；当以微米等长度单位表示时，角度公差的代号为ATD 。 ATa与ATD的换算关系为： ATD=ATa×L×10-3 式中ATD的单位为um，ATa的单位为mm，L的单位为mm。
角度尺寸一般公差的极限偏差数值按角度短边长度确定，其公差等级分为中等级（m）、粗 糙级（c）和最粗级（v）三级。
GB11335规定的角度尺寸未注公差的极限偏差数值表可查阅有关标准。 角度尺寸的一般公差的公差等级应在图样或技术文件上用标准号和公差等级符号表示。例如
采用中等级（m）时，表示为 GB 11335－m
段，见表2-3。在标准公差和基本偏差的算公式中，基本尺寸一律以所属尺寸段的几何平均 值来计算。 按几何平均值计算出的公差值经尾数化整，即得出标准公差值。见表2-4。
标准公差计算举例
基本尺寸为20mm，求IT6、IT7的公差值。
解：基本尺寸20mm，属于18～30mm，则D=√18×30=23.24mm
公差单位i：计算公差的基本单位。与基本尺寸呈一定的线性关系。 i=0.45√D+0.001D
公差等级系数a：确定公差等级的参数。见书表2-1。 根据公差等级不同，国标规定标准公差分为20个等级，即IT01、IT0、IT1、IT2、…、IT18。
从IT01到IT18，等级依次降低，而相应的标准公差值依次增大。 基本尺寸分段：为减少标准公差的数目，简化公差表格以利生产，国标对基本尺寸进行了分
分段函数线性化
分段函数线性化
线性化是一种数学上的方法，是将原有函数经过变换，使其在特定的
范围内变成线性的，从而更加容易分析和处理。
下面简单介绍一下函
数线性化的一般步骤：
1、确定原函数：首先要确定原函数，因为要对其进行线性变换。
在
实际操作中，我们应该确定函数的参数。
2、分段函数：分段函数就是把整体函数按照一定规律拆分成多个函数，每一段函数可看作是原函数的子集，以实现线性变换。
3、定义拆分点：在拆分函数之前，应先确定拆分点。
拆分点的位置
及其数量是决定分段函数结果的重要因素。
4、定义每段函数：在确定好拆分点后，便可定义每段函数，一般而言，每段的函数类型可以相同，比如可每段函数采用一阶线性函数，
解析地将原有函数线性化。
5、使函数通过拆分点：确定好每段函数以后，即可使函数通过各个
拆分点，这时便可大致明确分段函数的形式，即有哪些函数片段组成，以及它们在拆分点处的函数值。
6、验证是否符合预期：最后，需要将生成的分段函数与原函数的差值比较，来确定是否符合预期要求。
分段函数线性化是一种重要的数学应用，它不仅可以使函数变得更加简单，更有利于分析，还可以将复杂问题拆分成几段线性运算，这大大提高了运算效率。
计算方法1.3分段线性插值
目录
• 引言 • 分段线性插值的基本原理 • 分段线性插值的构造方法
目录
• 分段线性插值的应用举例 • 分段线性插值的优缺点及改进方法 • 总结与展望
01
引言
目的和背景
数值计算中，插值是一种通过已知数 据点来估算未知数据点的方法。
分段线性插值作为一种常用的插值方 法，具有计算简单、易于实现等优点， 在实际问题中得到了广泛应用。
在许多实际问题中，函数关系往往是未知的 ，或者虽然知道函数关系但难以用解析式表 达，此时可以通过插值法来近似地表示函数 关系。
插值的概念和分类
插值的概念
在离散数据的基础上补插连续函数，使得这条连续曲线通过全部给定的离散数 据点。
插值的分类
根据插值函数的形式和构造方法的不同，插值可分为多项式插值、分段插值、 样条插值、三角插值等。其中，分段线性插值是一种简单而常用的插值方法。
每个子区间上的插值函数只与该 区间上的节点有关，因此局部数 据的改变不会影响整个插值函数。
易于实现
分段线性插值的算法相对简单， 易于编程实现，且对计算机资源 要求不高。
分段线性插值的缺点
插值精度有限
由于分段线性插值在每个子区间上都是线性的，因此对于非线性程 度较高的函数，插值精度可能较低。
不光滑
在节点处，分段线性插值函数的一阶导数可能不连续，导致插值曲 线不够光滑。
科学计算与仿真
在科学计算和仿真领域，高维分段线性插值可以作为数值 计算的基本工具之一，用于求解高维偏微分方程和其他复 杂数学问题。
05
分段线性插值的优缺点及 改进方法
分段线性插值的优点
计算简单
分段线性插值相比于其他插值方 法，如多项式插值或样条插值， 计算更为简单，不涉及复杂的数 学运算。
非线性系统的线性化处理方法
非线性系统的线性化处理方法,√j}/Z非线性系大连晨光科技开发邮王士和Tp~?/,2.在各种电气设备,自动控制装置,检查与测线段联结,用于分f与”0,则得到分段线性量用仪器仪表中经常碰到线性或近似线性系统.但是,在很多情况下,也会碰到非线性系统问题关于线性系统的理论分析与计算方法在许多文献中已有讨论但是,非线性系统的理论分析与计算方法在近二十年来一直引起人们的关注还有许多线性系统问题尚待讨论.本文试图就非线性系统中一些分支问题,探讨若干处理方法这里讨论的是稳态情况下若干种非线性问题的处理方法:1.线性化法(或分段线性化法);2.函数化法(或分段函数化法),或称经验公式法;3.数字化法等等.‘一,线性化法(或分段线性化法)假设有一含非线性铁心的电路.其磁化曲线具有图1a所示形状.由图可以看出,这是非线性的但是,如果通过原点至急剧弯曲部分画一条斜线oa代替oa弯曲线时,在理论分析与计算上可以得到符合工程实际需要的分析结论与计算结果.这一类处理工程计算的方法.称谓线性化法.H图1如果将磁化曲线画分成若干段.如图1b所……示.将O1,12,23,34,蛎,56各弯曲段甩近似直线n《■气开曩》(199鼍蹄Io-●)化法显然.它比线性化法更逼真一步.在工程分析与计算上将给出更满意的结果.二,函数化法(或分段函数化法)函数化法是将非线性特性曲线近似地用一个经验公式表达,用来分析各种工程技术问题. 显然,它能够给出的计算精确度决定于经验公式与实际曲线逼近程度例如.图l给出的磁化曲线可以用下式表示,即B:,(H)(1)或H一()(2)详见参考文献1中表1—1所示由各作者给出的磁化曲线经验公式.分段函数法是将非线性曲线分割成若干段,然后对各小段分别用某一函数表示.用这些表达式分析与处理各种技术问题.显然,比前一种方法更逼真一步.但是,应用上会带来许多麻烦.计算机的出现,给解决这类工程问题带来了方便.可以看出,分段线性化方法可视作分段函数法的一个特倒.三,数字化方法数字化方法实际上是将一连续变化的非线性特性曲线实施离散化,将其储存在计算机内, 根据计算程序需要随时调用(详见文献2)以上讨论了非线性系统的直接处理方法.主要用于:非线性元件,非线性线路非线性控制,测量与检查等系统的分析与计算.下面讨论若干间接处理方法四,非线性系统的线性变换法图2中的A环节是一个非线性元件或网路,B环节是另一个非线性元件或网络.此方法的基本思想是A环节在系统中无法直接应用其非线性输入一输出特性用B环节具有另一种非线性输入输出特性来补偿.如果B环节设一25—._,●计合理.可使总的输入一输出特性线性化,如图3所示.因此B环节称作对-A环节的整直环节(或元件).设A环节具有非缉眭函数关系X2= f.(x),B环节具有另_非线性爵数关系Xa—f(x).经过综合后.得到总的输入一输出特性为X.一c.X+线性关系.这就是通过整直环节(或元件)B将非线性环节(或元件)A的菲线性系统实现线性化的线性变换法.如果得到图3的直线,再进行技术处理就很方便.例如.如欲得到X一O时.xf一0{在x正向增加时x也正向增加.只需要在B环节后再增设一级移位倒向环节C就可H实现如图4,5趼示,网?I警l3—26I4瞄5五,非线性系统的补偿网路法非线性元件(或装置)采用线性R,L,C或非线性半导体器件等组成元件或网路可以对其非线性逐段地进行朴偿,以l达到更精确的变换, 例如,目前工业上应用的热电偶上采用的各种温度一电压线性变换网路等.六,非线性系统的数字化处理方法此方法与第四章相似,只是将非线性元件(或装置)输出的模拟量用集成电路(模片)交换成数字量,即进行A/D转换.但此数字量尚须经过专用单片机(例如EPROM或EEPR0M)处理之后,才能整直,送给数字显示器或其他控制部件.这时显示器的指示量与非线性元件(或装置)的输入量呈线性关系,关于其它特殊类型的非线性元件(或装胃=)的非线性特性需要根据要求进行线性化,例如, 开关控制元件对发电机进行电压自动调整等需要特殊处理,而不一定要求对其作线性化处理, 关于这些问题,可参考文献3,4.综上所述.在遇到非线性系统问题时.可以参考上面提出的方法进行处理当然.还可根据不同的具体问题提出新的处理方法,对于这方面的具体理论和技术工作,不仅需要对控制系统及其控制的对象有深刻的了解.而且还要有丰富的元器件的理论与实际知识.参考文献[1]王士和缩自动电礁装置,大连铁道学院, 1985[2:张冠生主编电器学,规被】:业m版社】980_l3]扬自厚主编自动控制原理,精金1:业出暖社,198O[4]蔡尚峰主编.自动控制理沧,机被业m版社,198l[5]尤德裴主编数字化酬量技术眨但器.机械】= 业出版社1980[6]常健生缩.捡j羹I与转换技术.机被丁=业m版社,1981[7]王士和郭永波带热电阻捡渊播的解舟折法电杂志】99o3[8]王士和孝章武王常有智艟化湿度控制倥●气开善》(1995N0_4)。
高等电路理论与技术课件非线性电阻电路分析方法
试用分段线性化方法确定隧道二极管的工作点。
i
R0
u
U0
i / mA
4
3 Q1
Q2
2
1
Q3
0
0.1
0.3
解 负载线方程 u 0.6 200i
第1段折线的方程 i 3102u
第2段折线的方程 i 2 102u 5 103
第3段折线的方程 i 102u 1103
－
UC0=4V，Cd＝4 10－6F， uc＝1/3(1-e-62.5t) (t) V uc＝4.33-0.33e-62.5t V，t>0
例5：已知u1＝ i13 i12 i1 (单位：V, A)， ＝(10-3/3) il3（Wb, A)， q ＝(10-3/54) uc2（C,V)，
R2d
du2 di2
I2 1A
1
6i
2 2
I2 1A
7
R3d
du3 di3
I3 1A
2
3i
2 3
I3 1A
5
画出小信号工作等效电路，求 u , i
I1 2
+
Emsinw_t
I2
I3
7
+ _U2
5
+ _ U3
I1=Emsinw t /(2+35/12)= 0.2033 Emsinw t I2= I1 5/12 =0.0847 Emsinw t I3= I1 7/12 =0.1186 Emsinw t
含有一个非线性电阻元件电路的求解:
先用戴维南等效电路化简，再用图解法求解
现代电路分析第六章ppt课件
充分非必 要条件
如果原点是平衡点且在其邻域中，正定函数W(x) 沿
着状态方程x=f(x)的解轨道的时间导数是非正的，则 平衡点是稳定的。如果 d W ( x ) 是正定函数，则
dt
平衡点是渐进稳定的。
.
§6-5 李雅普诺夫直接法
二、李氏稳定性判断定理 2 平衡点不稳定定理 设原点是平衡点且在其邻域中存在一个连续的标量 函数W(x)，当x=0时有W(0)=0。若函数沿着状态方程 x=f(x)的解轨道的时间导数是正定函数，而且在任意 接近平衡点处至少有一点x1，使得W(x1)>0，则原点 是不稳定平衡点。
鞍点 不稳定焦点 稳定焦点
中心
非线性方程的平衡点
稳定结点 不稳定结点
鞍点 不稳定焦点 稳定焦点
不确定
.
§6-5 李雅普诺夫直接法
一、李氏稳定性的概念
如果对于任何给定的ε>0,存在δ(ε)>0,使得对任何起 始点x0=x(t0),只要距离||x(t0)-xs ||<δ,且对所有的t都 有||x(t)-xs ||< ε成立,就称平衡点是按李雅普诺夫意 义稳定的。
dxi dt
f
i(x1,x2,...xn,t)
（6-3）ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
对6-3式可能无数条轨道 通过相空间的同一点。
.
§6-3 相空间、轨道、平衡点
二、二阶自治系统、平衡点
二阶自治系统只含两个状态变量，因此相空间是 二维的，可在一个平面上进行分析研究，称为状 态平面或相平面。
二阶自治系统的状态方程为：
x=X(x,y) 或
如果极限环存在，则内部至少有一个平衡 点；如果没有平衡点，则一定不存在极限 环；如果只有一个平衡点，且指数不为+1， 则不存在极限环；如果只有一个指数为+1 的平衡点，且平面上每条轨线多趋向于它， 则极限环也不存在。
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§6-3 分段线性化方法
非线性电路的分析计算是复杂的，往往只能求得近似解。
对于一些伏一安关系不能用简单函数关系表示的非线性电阻电路，我们可以近似地利用一些直线来逼近它的伏一安关系曲线，将它的伏一安关系曲线粗略地用几段折线表示，而这些折线都可以写出它所对应的伏一安关系函数，而且都是一次的线性函数。
所以这种方法叫做分段线性化方法。
分段线性化的好处在于可以建立起完备的电路近似方程求得近似解。
例如，一个二极管的伏一安关系为：可以用折线BOA来近似表示，当电压反向时，二极管电流近于零，当加正向电压时，相当于一个线性电阻。
每一段折线对应于电压（电流）都有一个范围，称为对应的适用区间（工作区间）。
在每段折线对应的适用区间内，可以写出折线所对应的伏一安关系的一次函数方程（线性方程）。
图(b)的分段线性化等效电路：
图（c）的分段线性化等效电路：
其分段线性化等效电路：
若折线延伸不过原点，如图所示
I 区间],(B u -∞，i R u u 11+-=
其中 B
B i u u R 1
1+=)0(1>u II 区间),[+∞B u ，i R u u 22+=
其中 B
B i u u R 2
2-=
由折线伏一安关系式，可以作出各区间相应的等效电路。
I
区间：
各区间的等效电路相当于一个代维南等效电路，当然也可以相应地用诺顿等效电路的形式表示。
例
1
非线性电阻的伏安特性如图所示，且0>u ，求：u 、i 解：
V u OC
1=，A i SC 2
3=
Ω==∴3
2
0SC OC i u R
设非线性电阻工作在第一段，其等效电路为
A
i 313
21-=-=
由于其没有落在相应的线段1上，它不是电路的解。
再设非线性电阻工作在第二段，其等效电路为
A i 6.013
22
1-=+-=
，V i u 4.112=⨯+=
经检验，该电流和电压落在了相应的线段二上，所以是电路的解。
综上所述，该电路的解为
A i 6.0-=，V u 4.1=
例2 非线性电阻21,R R 的伏安特性分别如图(b),(c)所示，求图(a)中电流1i 和1u 。
解：1）代入线段组合（1，1），即假设1R 工作在线段①，2R 也工作在线段①，等效电路如图(a)所示，解得
0,011==u i
V u i 1,022==
由于1R 和2R 的解均落在了相应的线段①上，所以是电路的解。
2）代入线段组合（1，2），等效电路如图(b)所示，解得 0,011==u i V u i 1,022==
经判断，该组解同样落在了相应的线段上，所以是电路的解。
3）代入线段组合（2，1），等效电路如图(c)所示，解得
V u i 2,011== V u i 1,022-==
由于非线性电阻2R 上的解没有落在相应的线段①上，所以不是电路的解。
4）代入线段组合（2，2），等效电路如图(d)所示，解得
0,211==u A i
由于非线性电阻1R 的解没有落在相应的线段②上，所以不是电路的解。
综上分析可知，电路的解为 0,011==u i。