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初中数学方程解法知识点
初中数学方程解法知识点数学中的方程是一种常见且重要的数学概念，它是一个等式，其中含有一个或多个未知数。
解方程是数学学习中的基础内容之一，它在实际生活和学业中都有着广泛的应用。
本文将介绍一些初中数学中常见的方程解法知识点。
一、一元一次方程的解法一元一次方程是指只有一个未知数的一次方程，其一般形式为ax + b = 0，其中a和b为已知数，x为未知数。
解一元一次方程的常用方法有逆运算法和等式性质法。
1.逆运算法通过逆运算将未知数从方程中解出。
例如，对于方程2x - 3 = 7，我们可以首先将-3移至等式的右边，得到2x = 7 + 3。
然后，将2移至等式的左边，得到x = (7 + 3) / 2。
最后计算得x = 5。
2.等式性质法通过方程等式的性质，将方程变形为更简单的形式来解。
例如，对于方程3x + 5 = 20，我们可以通过等式性质法将方程变形为3x = 20 - 5，即3x = 15。
然后，通过除法运算得到x = 15 / 3。
最终计算得x = 5。
二、一元二次方程的解法一元二次方程是指含有一个未知数的二次项以及一次项和常数项的方程，其一般形式为ax² + bx + c = 0，其中a、b和c均为已知数，且a ≠ 0。
解一元二次方程的常用方法有因式分解法、配方法、全等变形法和求根公式法。
1.因式分解法当一元二次方程可以因式分解时，可以通过将方程分解为两个一元一次方程来解。
例如，对于方程x² - 4 = 0，我们可以通过因式分解得到(x + 2)(x - 2) = 0。
然后，通过零乘积法得到x + 2 = 0或x - 2 = 0。
最终解得x = -2或x = 2。
2.配方法当一元二次方程无法因式分解时，可以通过配方法将方程变形为平方差或完全平方式，从而解方程。
例如，对于方程x² + 3x + 2 = 0，我们可以通过配方法将方程变形为(x + 1)² - 1 = 0。
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一、初中解方程知识点
1、解一元一次方程
一元一次方程是指方程中仅有一个变量x，而次数为1，可分为一元一次实数方程、一元一次原系数方程、一元一次恰等方程和一元一次不等方程。
（1）一元一次实数方程：
ax+b=0（a,b∈R）
解：a≠0，x=−b/a
（2）一元一次原系数方程：
ax+b=c（a,b,c∈R）
解：a≠0，x=（c－b）/a
（3）一元一次恰等方程：
ax=b（a,b∈R）
解：a≠0，x=b/a
（4）一元一次不等方程：
ax+b>c（a,b,c∈R）
解：a≠0，x>（c－b）/a
2、解一元二次方程
一元二次方程是指方程中仅有一个变量x，而次数为2，也可分为方程的形式为ax²+bx+c=0（a,b,c∈R），它可用如下方法求解：（1）已知a≠0，则用Δ=b²-4ac，求出Δ，再分情况讨论：
①Δ>0，有两个不相等的实数根：x1=[（-b+√Δ）/2a]，x2=[（-b-√Δ）/2a]
②Δ=0，有两个相等的实数根：x1=x2=[-b/2a]
③Δ<0，无实根，有两个共轭虚根：x1=[-b/2a＋i√（-Δ）/2a]，x2=[-b/2a－i√（-Δ）/2a]
3、解联立方程
联立方程是指方程组中有两个或两个以上的未知数，通过求解方程组中的每个方程可求得所有未知数的值。
初中代数方程解法知识点整理
初中代数方程解法知识点整理代数方程是数学中重要的概念之一，它是由数字、字母和运算符组成的等式。
解方程是求出使等式成立的未知数的值的过程。
在初中阶段，学习代数方程的解法是非常重要的基础知识，本文将整理初中代数方程解法的知识点，帮助初中学生更好地理解和掌握。
一、一元一次方程的解法1. 移项法：一元一次方程的一般形式为ax + b = 0，其中a、b为已知数，x为未知数。
通过移项将方程化简为形如x = c的形式，其中c为常数。
2. 消元法：如果一个方程中含有未知数的两个或多个倍数，可通过消去这些倍数，将方程化简为一元一次方程。
常用的消元法有加减法消元和代入法消元。
3. 倒数法：一元一次方程中，有时可以通过将等式两边同时除以未知数的系数，将方程转化为更简单的形式。
二、一元二次方程的解法1. 因式分解法：将一元二次方程转化为两个一元一次方程，并求解每个一元一次方程的根。
2. 公式法：一元二次方程的一般形式为ax² + bx + c = 0。
其中，Δ = b² - 4ac称为判别式。
当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根；当Δ < 0时，方程没有实数根。
根据一元二次方程的求根公式x = (-b ± √Δ) / 2a，可以求解一元二次方程。
三、分式方程的解法1. 通分法：分式方程中，通过找到等式两边的最小公倍数，将分母通分，将分式方程转化为整式方程。
2. 交叉乘法：分式方程中，通过交叉相乘法将方程中的分式进行乘法运算，将分式方程转化为整式方程。
3. 求最小公倍数法：分式方程中，通过先求出等式两边的最小公倍数，再进行乘法运算，将分式方程转化为整式方程。
四、绝对值方程的解法1. 判断法：绝对值方程解的个数与等式中绝对值的取值范围相关，通过对绝对值的取值范围进行分析，可以判断绝对值方程的解的个数。
2. 分段法：对绝对值表达式进行绝对值符号的两种可能取值进行讨论，然后求解得到绝对值方程的解。
初中数学一元一次方程的解法知识点总结
初中数学一元一次方程的解法知识点总结一元一次方程是初中数学中最基本的方程类型之一，也是解题的起点和基础。
掌握一元一次方程的解法是学好数学的必备基础，本文将对一元一次方程的解法进行总结。
一、一元一次方程的定义一元一次方程是指仅含有一个未知数的一次方程，一般表现形式为：ax + b = 0。
其中，a和b为已知数，a≠0。
方程中的未知数为x。
二、一元一次方程解的概念解是指使方程成立的未知数的值。
对于一元一次方程来说，解即是能使ax + b = 0成立的x的值。
三、一元一次方程的解法1. 相反数法相反数法是一元一次方程的基本解法，其基本思想是方程两边同时加上或减去相同的数，使得方程变形后，未知数的系数或常数项可以消去。
举例说明：例1：求解方程2x - 5 = 1。
解：我们可以通过相反数法求解。
首先，将方程两边同时加上5，得到2x = 6。
然后，再将方程两边同时除以2，得到x = 3。
所以，方程2x - 5 = 1的解为x = 3。
2. 移项法移项法是一种较为常用的解一元一次方程的方法，其基本思想是将方程中包含未知数的项移动到方程的一边，使方程变形为ax = b的形式，进而求解未知数的值。
举例说明：例2：求解方程3x + 2 = 8。
解：我们可以通过移项法求解。
首先，将方程中包含未知数的项3x移动到方程的右边，得到2 = 8 - 3x。
然后，进一步化简得到3x = 8 - 2，即3x = 6。
最后，将方程两边同时除以3，得到x = 2。
所以，方程3x + 2 = 8的解为x = 2。
3. 等价方程法等价方程法是通过变形将一个方程转化为与之等价的方程，从而得到方程的解。
常用的等价方程变形方法包括通分、合并同类项等。
举例说明：例3：求解方程2(x + 3) - 5x = 3(2 - x) + 4。
解：我们可以通过等价方程法求解。
首先，将方程两边进行合并同类项，化简得到2x + 6 - 5x = 6 - 3x + 4。
初中方程重点总结知识点
初中方程重点总结知识点一、方程的概念方程是含有未知数的等式。
一元一次方程的一般形式是ax + b = 0，其中a和b是已知的数，x是未知数。
解方程就是求出未知数x的值，使得方程成立。
二、解一元一次方程的基本方法1. 移项法将方程中的项移到等式的两边，使得未知数出现在一边，常数出现在另一边。
2. 消元法将含有未知数的项合并，将不含未知数的项合并，使得方程变为简化的形式。
3. 两边乘除法将方程两边同时乘以一个数或除以一个非零数，使得方程的形式变得更简单。
4. 分类讨论解一元一次方程时，可以根据方程中的系数分别讨论各种情况，使得解题更简单明了。
三、解一元一次方程的步骤1. 对方程进行分类讨论，根据方程的形式和系数的情况选择解方程的方法。
2. 通过移项法或消元法将方程化为简化形式。
3. 通过两边乘除法，使得方程变得更简单。
4. 检查解，将解代入原方程中，验证解的正确性。
四、一元一次方程组一元一次方程组是若干个一元一次方程的集合，解方程组就是求出使所有方程同时成立的未知数的值。
五、方程的应用1. 方程在生活中的应用方程的运用在生活中非常广泛，如用方程来表示物品的价格、地图的距离、时间的关系等。
2. 利用方程解题通过列方程的方式解决实际问题，提高解题的效率。
3. 方程与几何利用方程解决几何问题，如求围长、面积等。
六、综合应用1.综合应用题的解题关键综合应用题是将数学知识综合运用到实际问题中，解题关键在于理解问题，建立方程，求解方程以及验证解的正确性。
2.综合应用题的解题过程解综合应用则需要经过以下步骤：理解问题，建立方程，解方程，验证解。
七、实例分析下面列举几个方程的实例来进行解题分析。
1.例一：小华和小明的年龄之和是36岁，小明比小华大6岁，求小华和小明的年龄。
解：设小华的年龄为x岁，则小明的年龄为x+6岁。
根据题意，得到方程：x+x+6=36化简得到：2x+6=36移项化简得到：2x=30两边乘除得到：x=15小华的年龄为15岁，小明的年龄为21岁。
初中数学方程及方程的解知识点总结
初中数学方程及方程的解知识点总结数学方程及方程的解是初中数学中重要的知识点之一、掌握好方程的概念、解方程的方法以及方程应用的问题会对整个数学学习产生积极的影响。
下面就初中数学方程及方程解的知识点进行总结。
首先，我们需要了解什么是方程。
方程是用等号将两个表达式连接起来的数学式子，其中至少有一个未知数。
常见的方程有一元一次方程、一元二次方程、一元高次方程等等。
一元一次方程是指只含有一个未知数，并且该未知数的最高次数为1的方程。
一元一次方程的一般形式为：ax + b = 0，其中a和b分别为已知数，x为未知数。
解一元一次方程的方法主要有逆运算法和化简法。
逆运算法是指通过逆运算的方式将方程转化为x=的形式，从而求出x的值。
逆运算法的具体步骤如下：1.将方程两边去括号；2.将含有x项的各项移至方程的一边，常数项移至方程的另一边；3.通过逆运算得到x的值。
化简法是指通过移项、集中同类项等方式将方程化简为更简单的形式，从而求出x的值。
一元二次方程是指含有一个未知数，并且该未知数的最高次数为2的方程。
一元二次方程的一般形式为：ax² + bx + c = 0，其中a、b、c为已知数，x为未知数。
解一元二次方程的方法主要有因式分解法、公式法和配方法。
因式分解法是指通过将方程进行因式分解，分解成两个一次方程的形式，从而求出x的值。
公式法是指通过一元二次方程的求根公式（也叫二次公式）来求解方程。
一元二次方程的求根公式为：x = (-b ± √(b²-4ac))/(2a)。
根据求根公式，可以求出一元二次方程的解。
配方法是指通过称方程两边的合并得到一个平方二项式，并通过平方根的性质求解方程。
配方法适用于一元二次方程的形式不完全是(a±b)²的情况。
一元高次方程是指含有一个未知数，并且该未知数的最高次数大于2的方程。
一元高次方程的解法比较复杂，通常需要通过因式分解、化简、配方法等多种方法来求解。
一元一次方程(知识点完整版)
第三章：一元一次方程本章板块⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧程实际问题与一元一次方方程的解解方程等式的基本性质定义一元一次方程.5.4.3.2.1 知识梳理【知识点一：方程的定义】方程：含有未知数的等式就叫做方程。
注意未知数的理解，n m x ,,等，都可以作为未知数。
题型：判断给出的代数式、等式是否为方程 方法：定义法例1、判定下列式子中，哪些是方程？（1）4=+y x （2）2>x （3）642=+（4）92=x （5）211=x【知识点二：一元一次方程的定义】一元一次方程：①只含有一个未知数(元)；②并且未知数的次数都是1(次)；③这样的整式方程叫做一元一次方程。
题型一：判断给出的代数式、等式是否为一元一次方程 方法：定义法例2、判定下列哪些是一元一次方程？0)(22=+-x x x ，712=+x π，0=x ，1=+y x ，31=+xx ，x x 3+，3=a题型二：形如一元一次方程，求参数的值方法：2x 的系数为0；x 的次数等于1；x 的系数不能为0。
例3、如果()051=+-mx m 是关于x 的一元一次方程，求m 的值例4、若方程()05122=+--ax x a 是关于x 的一元一次方程，求a 的值【知识点三：等式的基本性质】等式的性质1：等式两边都加上(或减去)同个数(或式子)，结果仍相等。
即：若a=b ，则a ±c=b ±c等式的性质2：等式两边同时乘以同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。
即：若b a =，则bc ac =；若b a =，0≠c 且cb c a = 例5、运用等式性质进行的变形，不正确的是（ ）A 、如果a=b ，那么a-c=b-cB 、如果a=b ，那么a+c=b+cC 、如果a=b ，那么cbc a = D 、如果a=b ，那么ac=bc 【知识点四：解方程】方程的一般式是：()00≠=+a b ax 题型一：不含参数，求一元一次方程的解 方法：步骤具体做法 依据 注意事项1.去分母在方程两边都乘以各分母的最小公倍数等式基本性质2防止漏乘（尤其整数项），注意添括号； 2.去括号先去小括号，再去中括号，最后去大括号 去括号法则、分配律括号前面是“+”号，括号可以直接去，括号前面是“-”号，括号里的每一项都要变号3.移项把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边(移项一定要变号)等式基本性质1 移项要变号，不移不变号；4.合并同类项将方程化简成()0≠=a b ax合并同类项法则计算要仔细5.化系数为1 方程两边同时除以未知数的系数a ，得到方程的解 等式基本性质2 计算要仔细，分子分母勿颠倒例7、解方程2583243=--+x x练习1、()()()35123452+--=-+-x x x x练习2、14.01.05.06.01.02.0=+--x x 练习3、x =+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+221413223题型二：解方程的题中，有相同的含x 的代数式方法：利用整体思想解方程，将相同的代数式用另一个字母来表示，从而先将方程化简，并求值。
初中解方程全解知识点汇总
初中解方程全解知识点汇总1.一元一次方程的解法：一元一次方程是指只含有一个未知数x的方程，形式为：ax+b=0。
解一元一次方程的方法主要有逆运算法、图像法和增项法。
-逆运算法：通过逆运算将方程中的常数项b移到等号右边，然后将未知数系数a移到等号左边，使x独立于常数项，从而得到方程的解。
-图像法：将方程左右两边进行图像化表示，通过观察图像的相交点来确定方程的解。
-增项法：通过在方程的左右两边增加相等的项来使方程变得更容易解。
2.一元一次方程的解集：一元一次方程的解集是指使方程成立的所有数值的集合。
如果方程存在解，解集为有限集或无限集，如果方程无解，则解集为空集。
3.一元二次方程的解法：一元二次方程是指含有一个未知数x的二次项的方程，形式为：ax^2+bx+c=0。
解一元二次方程的方法主要有因式分解法、配方法和求根公式法。
-因式分解法：将方程进行因式分解，使其化为两个一次方程的乘积，然后分别求解得到方程的解。
-配方法：通过将方程进行配方，使其化为一个完全平方的三项式，然后进行求解。
- 求根公式法：利用一元二次方程的求根公式，即x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)，求得方程的解。
4.一元二次方程的判别式：一元二次方程的判别式是指根据方程的系数a、b和c判断方程有多少个实数根的值，判别式的值可以通过D=b^2-4ac计算得到。
-如果判别式D>0，则方程有两个不相等的实数根；-如果判别式D=0，则方程有两个相等的实数根；-如果判别式D<0，则方程没有实数根。
5.一元二次方程的解集：一元二次方程的解集是指使方程成立的所有数值的集合。
根据判别式的值可以判断方程的解集情况：-当判别式D>0时，解集为两个不相等的实数；-当判别式D=0时，解集为两个相等的实数；-当判别式D<0时，解集为空集。
6.分式方程的解法：分式方程是指方程中含有分式的方程，形式为：(分式)=0。
解分式方程的方法主要有通分法、去分母法和变量代换法。
初中数学(人教版)知识点全解(完整版)(PDF版)
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（5）有理数的乘方
①乘方的定义：求相同因式积的运算，叫做乘方； an 表示 n 个 a 相乘。
乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂； 其中在初中范围内，一般地，n 为整数。 ②有理数乘方运算法则 正数的任何次幂都是正数； 负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数； 注意：当 n 为正奇数时: (-a)n=-an 或(a -b)n=-(b-a)n , 当 n 为正偶数时: (-a)n =an 或 (a-b)n=(b-a)n 。
（4）直线、线段和射线的表示方法 ①直线：用一个小写字母或一条直线上的两点表示，前面必须加直线两字。如直线 m，直线 AB。 ②线段：用一个小写字母或端点的两个大写字母表示，前面必须加线段两字。如线段 a，线 段 AB。 ③射线：用一个小写字母或端点的大写字母和射线上的另一个大写字母表示（表示端点的大 写字母在前），前面必须加射线两字。如射线 a，射线 OA。
cc
【拓展：等式性质】
①ac bc a b ② a b ac bc ； ac bc(c 0) a b a b(c 0) a b ； a b a b
cc cc
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初中数学（人教版）知识点全解
【探究】-----无限循环小数化分数的方法
【例】把无限循环小数 0.77777...化为分数
①字母 型，含有 的式子。
②根式型，根式中的被开方数开不尽，如 3 。
③构造型，如 0.1010010001....，数字中有变化规律，但不循环。 ④其他一般无限不循环小数。
（2）有理数的分类:
正有理数
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知识点一、解一元一次方程的一般步骤变形名称 具体做法注意事项去分母在方程两边都乘以各分母的最小公倍数(1)不要漏乘不含分母的项 (2)分子是一个整体的，去分母后应加上括号去括号先去小括号，再去中括号，最后去大括号(1)不要漏乘括号里的项 (2)不要弄错符号移项 把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边(记住移项要变号)(1)移项要变号(2)不要丢项合并同类项 把方程化成ax ＝b (a ≠0)的形式 字母及其指数不变系数化成1在方程两边都除以未知数的系数a ，得到方程的解b x a=． 不要把分子、分母写颠倒要点诠释：（1）解方程时，表中有些变形步骤可能用不到，而且也不一定要按照自上而下的顺序，有些步骤可以合并简化．(2) 去括号一般按由内向外的顺序进行，也可以根据方程的特点按由外向内的顺序进行. （3）当方程中含有小数或分数形式的分母时，一般先利用分数的性质将分母变为整数后再去分母，注意去分母的依据是等式的性质，而分母化整的依据是分数的性质，两者不要混淆． 要点二、二元一次方程组的解法 1.解二元一次方程组的思想2.解二元一次方程组的基本方法：代入消元法、加减消元法和图像法 （1）用代入消元法解二元一次方程组的一般过程：①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有x （或y ）的代数式表示y （或x ），即变成b ax y +=（或b ay x +=）的形式； ②将b ax y +=（或b ay x +=）代入另一个方程（不能代入原变形方程）中，消去y （或x ），得到一个关于x （或y ）的一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出x （或y ）的值；④把x （或y ）的值代入b ax y +=（或b ay x +=）中，求y （或x ）的值； ⑤用“{”联立两个未知数的值，就是方程组的解.（2）用加减消元法解二元一次方程组的一般过程：①根据“等式的两边都乘以（或除以）同一个不等于0的数，等式仍然成立”的性质，将原方程组化成有一个未知数的系数绝对值相等的形式； ②根据“等式两边加上（或减去）同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程”的性质，将变形后的两个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元一次方程；转化消元一元一次方程二元一次方程组③解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；④把求得的未知数的值代入原方程组中比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值；⑤将两个未知数的值用“ ”联立在一起即可.一．概念1．一元二次方程的概念：只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(2次)的整式方程，叫做一元二次方程．2．一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．3．直接开方法解一元二次方程：(1)算理：平方根的意义；即时，若，则；表示为，，有两个不等实数根．若，则x=O；表示为，有两个相等的实数根．若，则方程无实数根．(2)注意：一般先把系数化为1再开方；要正确写出根的形式．4．(1)用配方法解二次项系数是1的方程：通过配方，把方程的一边化为一个完全平方式，另一边是一个非负实数，即的形式，然后用直接开方法求根．(2)用配方法解二次项系数不是1的方程：先将二次项系数化为1，再用配方法求根．5．一元二次方程求根公式：对于一元二次方程，当时，，这个式子叫做一元二次方程的求根公式．注意：△≥0是公式使用的前提条件，是公式的重要组成部分．公式法是解一元二次方程的一般方法；由公式法可知，一元二次方程最多有两个实数根．6．归纳一元二次方程根的情况：对于一元二次方程，其中，△=称为一元二次方程根的判别式．(1)当△=时，原方程有两个不等的实数根，；(2)当△=时，原方程有两个相等的实数根；(3)当△=时，原方程没有实数根。
(完整版)初中数学方程及方程的解知识点总结
一元一次方程只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0的整式方程，叫做一元一次方程．一元一次方程的标准形式是：ax＋b=0(其中x是未知数，a、b是已知数，并且a≠0）．一元一次方程的最简形式是：ax=b(a≠0)．不定方程:一个代数方程，含有两个或两个以上未知数时，叫做不定方程，不定方程一般有无穷多解。
代数方程: 代数方程通常指整式方程。
有时也泛指方程两边都是代数式的情形，因而也包括分式方程和无理方程。
等式: 用符号“=”来表示相等关系的式子，叫做等式．在等式中，等号左、右两边的式子，分别叫做这个等式的左边、右边．性质：两边同加同减一个数或等式仍为等式; 两边同乘同除一个数或等式（除数不能是0）仍为等式。
方程的根：只含有一个未知数的方程的解，也叫做方程的根。
解一元一次方程的一般步骤：1．去分母：在方程两边都乘以各分母的最小公倍数；2．去括号：先去小括号，再去中括号，最后去大括号；3．移项：把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边；4．合并同类项：把方程化成ax=b(a≠0）的形式；5．系数化成1：在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解。
矛盾方程：一个方程，如果不存在使其左边与右边的值相等的未知数的值，这样的方程叫矛盾方程．知识点2：二元一次方程有两个未知数并且未知项的次数是1，这样的方程，叫做二元一次方程．二元一次方程组：含有相同的两个未知数的两个一次方程所组成的方程组，叫做二元一次方程组．解：使二元一次方程组的两个方程左、右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解．二元一次方程组的两种解法：（1）代入消元法，简称代入法．①把方程组里的任何一个未知数化成用另一个未知数的代数式表示．②把这个代数式代入另一个方程里，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求得一个未知数的值，然后再求另一个未知数的值．④把求得两个未知数的值写在一起，就是原方程组的解．2）加减消元法，简称加减法．①把一个方程或两个方程的两边都乘以适当的数，使同一个未知数的系数的绝对值相等．②把所得的两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．③解这个一元一次方程，求得一个未知数的值，然后再求另一个未知数的值．④把求得的两个未知数的值写在一起，就是原方程组的解．二元一次方程组解的情况：一元一次不等式（组）：不等号有＞、≥、＜、≤或≠等等．用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式．只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0的不等式，叫做一元一次不等式．如ax<b或ax>b(a≠0)几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组不等式基本性质：(1)不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等号的方向不变．(2)不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．(3)不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．一元一次不等式的解法步骤：(1)去分母(2)去括号(3)移项(4)合并同类项(5)系数化成1(如果乘数和除数是负数，要把不等号改变方向)一元一次不等式组的解法步骤：(1)分别求出不等式组中所有一元一次不等式的解集．（2)在数轴上表示各个不等式的解集．(3)写出不等式组的解集．一元一次不等式组的四种情况：知识点4一元二次方程基本概念：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程3x2+5x-2=0的常数项是-2（任意）.一次项系数为5（任意），二次项是3（任意不为0）. 一元二次方程的求根公式：一元二次方程的解法：1．解一元二次方程的直接开平方法如果一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，另一边是一个非负数，则根据平方根的概念可以用直接开平方法来解．2．解一元二次方程的配方法先把方程的常数项移到方程的右边，再把左边配成一个完全平方式，如果右边是非负数，可通过直接开平方法来求方程的解，也就是先配方再求解．3．解一元二次方程的公式法利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．4．解一元二次方程的因式分解法在一元二次方程的一边是0，而另一边易于分解成两个一次因式时，可先将一边分解成两个一次因式的积，再分别令每个因式为零，通过解一元一次方程，可求得原方程的解．一元二次方程的解1．方程042=-x 的根为 .A ．x=2B ．x=-2C ．x1=2,x2=-2D ．x=42．方程x2-1=0的两根为 .A ．x=1B ．x=-1C ．x1=1,x2=-1D ．x=23．方程（x-3）（x+4）=0的两根为 .A.x1=-3,x2=4B.x1=-3,x2=-4C.x1=3,x2=4D.x1=3,x2=-44．方程x(x-2)=0的两根为 .A ．x1=0,x2=2B ．x1=1,x2=2C ．x1=0,x2=-2D ．x1=1,x2=-25．方程x2-9=0的两根为 .A ．x=3B ．x=-3C ．x1=3,x2=-3D ．x1=+3,x2=-3方程解的情况及换元法1．一元二次方程02342=-+x x 的根的情况是 .A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根2．不解方程,判别方程3x2-5x+3=0的根的情况是 .A.有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根C.只有一个实数根D. 没有实数根3．不解方程,判别方程3x2+4x+2=0的根的情况是 .A.有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根C.只有一个实数根D. 没有实数根4．不解方程,判别方程4x2+4x-1=0的根的情况是 .A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根5．不解方程,判别方程5x2-7x+5=0的根的情况是 .A.有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根C.只有一个实数根D. 没有实数根6．不解方程,判别方程5x2+7x=-5的根的情况是 .A.有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根C.只有一个实数根D. 没有实数根7．不解方程,判别方程x 2+4x+2=0的根的情况是 .A.有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根C.只有一个实数根D. 没有实数根8. 不解方程,判断方程5y 2+1=25y 的根的情况是A.有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根C.只有一个实数根D. 没有实数根9. 用 换 元 法 解方 程 4)3(5322=---xx x x 时, 令 32-x x = y ,于是原方程变为 . A.y 2-5y+4=0 B.y 2-5y-4=0 C.y 2-4y-5=0 D.y 2+4y-5=010. 用换元法解方程4)3(5322=---x x x x 时,令23x x -= y ,于是原方程变为 . A.5y 2-4y+1=0 B.5y 2-4y-1=0 C.-5y 2-4y-1=0 D. -5y 2-4y-1=011. 用换元法解方程(1+x x )2-5(1+x x )+6=0时，设1+x x =y ，则原方程化为关于y 的方程是 . A.y 2+5y+6=0 B.y 2-5y+6=0 C.y 2+5y-6=0 D.y 2-5y-6=0知识点5：直角坐标系与点的位置1．直角坐标系中，点A （3，0）在y 轴上。
九年级解方程知识点
九年级解方程知识点解方程是数学中最基本也是最重要的一部分，它对于提高数学思维能力、解决实际问题都有着重要的意义。
在九年级数学学习中，解方程成为了一个重要的知识点。
本文将介绍九年级解方程的基本概念和常见方法。
一、什么是方程方程是一个或多个变量之间等于的关系式。
方程由等号连接两个表达式组成，其中包含未知数和已知数。
求解方程的目标是找到使方程得到真值的未知数的值。
举例来说，我们考虑一个简单的一元一次方程：2x + 3 = 7。
其中2x是未知数的表达式，3和7是已知数。
解方程的目标是找到使等式成立的x的值。
二、解一元一次方程一元一次方程是指只含有一个未知数和一个一次幂的方程。
在解一元一次方程时，我们主要使用两种方法：等式性质和加减消元法。
1. 等式性质等式性质指的是两边同时加减、乘除相等的数，等式仍然成立。
通过运用等式性质，我们可以将方程进行简化。
举例来说，考虑方程2x + 3 = 7，我们可以通过减去3两边得到2x = 4，然后除以2得到x = 2。
2. 加减消元法加减消元法是通过加减两个含有未知数的方程，将其中一个未知数的系数调整为相等然后相消，从而获得只含一个未知数的方程。
举例来说，考虑方程2x + 3 = 7和3x - 2 = 7，我们可以通过将两个方程相减消去x的系数，得到x = 2。
三、解一元二次方程一元二次方程是指含有一个未知数和一个未知数的平方的方程。
在解一元二次方程时，我们可以使用因式分解法、配方法和求根公式等方法。
1. 因式分解法当一元二次方程可以因式分解时，我们可以通过因式分解将方程化为两个一元一次方程。
然后分别求解这两个一元一次方程得到方程的解。
举例来说，考虑方程x^2 - 5x + 6 = 0，我们可以通过将方程进行因式分解得到(x - 2)(x - 3) = 0，然后分别解得x = 2和x = 3。
2. 配方法当一元二次方程无法因式分解时，我们可以使用配方法将方程化为一个完全平方的二项式。
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方程复习一、一元一次方程归纳1：有关概念一元一次方程的概念1、方程：含有未知数的等式叫做方程．2、方程的解：能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解．3、一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程，其中方程叫做一元一次方程的标准形式，a是未知数x的系数，b是常数项．基本方法归纳：判断一元一次方程时只需看未知数的个数及未知数的次数为1即可；方程的解只需带入方程看等式是否成立即可．注意问题归纳：未知数的系数必须不能为零．【例1】（2017湖南省永州市）x=1是关于x的方程2x﹣a=0的解，则a的值是（）A．﹣2B．2C．﹣1D．1归纳2：一元一次方程的解法1、等式的性质（1）等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式．（2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零），所得结果仍是等式．2、解一元一次方程的步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1．基本方法归纳：根据解一元一次方程的步骤计算即可．注意问题归纳：利用等式的性质2时注意：除数不能是零；解方程去分母时应该每项都乘；去括号时注意应该变号．【例2】解方程：305 64x x--=．归纳3：一元一次方程的应用1、列一元一次方程解应用题的一般步骤：（1）审题，分析题中已知什么，未知什么，明确各量之间的关系，寻找等量关系．（2）设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数．（3）列方程，把相等关系左右两边的量用含有未知数的代数式表示出来，列出方程．（4）解方程．（5）检验，看方程的解是否符合题意．（6）写出答案．2、解应用题的书写格式：设→根据题意→解这个方程→答．基本方法归纳：解题时先理解题意找到等量关系列出方程再解方程最后检验即可．注意问题归纳：找对等量关系最后一定要检验．【例3】（2017湖南省常德市）收发微信红包已成为各类人群进行交流联系，增强感情的一部分，下面是甜甜和她的双胞胎妹妹在六一儿童节期间的对话．请问：（1）2015年到2017年甜甜和她妹妹在六一收到红包的年增长率是多少？（2）2017年六一甜甜和她妹妹各收到了多少钱的微信红包？练习题：1．（2017浙江省杭州市）设x ，y ，c 是实数，（ ）A ．若x =y ，则x +c =y ﹣cB ．若x =y ，则xc =ycC ．若x =y ，则cy c x = D ．若c y c x 32=，则2x =3y 2．（2016内蒙古包头市）若2（a +3）的值与4互为相反数，则a 的值为（ ） A ．﹣1 B ．72-C ．﹣5D ．12 3.（2017丽水）若关于x 的一元一次方程x ﹣m +2=0的解是负数，则m 的取值范围是（ ）A ．m ≥2B ．m ＞2C ．m ＜2D ．m ≤24.（2017云南省）已知关于x 的方程2x +a +5=0的解是x =1，则a 的值为 ．5.（2016内蒙古赤峰市）甲乙二人在环形跑道上同时同地出发，同向运动．若甲的速度是乙的速度的2倍，则甲运动2周，甲、乙第一次相遇；若甲的速度是乙的速度3倍，则甲运动32周，甲、乙第一次相遇；若甲的速度是乙的速度4倍，则甲运动43周，甲、乙第一次相遇，…，以此探究正常走时的时钟，时针和分针从0点（12点）同时出发，分针旋转 周，时针和分针第一次相遇．6.（2017安徽省）《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物、人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价各几何？译文为：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问共有多少人？这个物品的价格是多少？二、二元一次方程归纳1：二元一次方程的有关概念1、二元一次方程：含有两个未知数，并且未知项的最高次数是1的整式方程叫做二元一次方程．2、二元一次方程的解：使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解．3、二元一次方程组：两个（或两个以上）二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组．4二元一次方程组的解：使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解．基本方法归纳：判断一个方程是不是二元一次方程关键看未知数的个数和未知项的最高次数；判断方程组的解只需带入方程组组看是不是成立即可．注意问题归纳：判断一个方程是不是二元一次方程特别注意是：未知项的最高次数而不是未知数的次数．【例1】（2017四川省眉山市）已知关于x，y的二元一次方程组231ax byax by+=⎧⎨-=⎩的解为11xy=⎧⎨=-⎩，则a﹣2b的值是（）A．﹣2B．2C．3D．﹣3归纳2：二元一次方程的解法基础知识归纳：解一元二次方程组的方法（1）代入法（2）加减法基本方法归纳：解一元二次方程组的方法关键是消元．当一个未知数能很好的表示出另一个未知数时，一般采用代入法；当两个方程中的同一个未知数的系数相等或互为相反数时，或者系数均不为2时，一般采用加减消元．注意问题归纳：根据题意选择适当的方法快速求解，注意计算中的错误．【例2】（2017广东省广州市）解方程组：5 2311x yx y+=⎧⎨+=⎩．归纳3：二元一次方程组的应用基础知识归纳：1、列二元一次方程组解应用题的一般步骤：（1）审题，分析题中已知什么，未知什么，明确各量之间的关系，寻找等量关系．（2）设未知数，一般求什么就设什么为x ，但有时也可以间接设未知数．（3）列方程组，把相等关系左右两边的量用含有未知数的代数式表示出来，列出方程组．（4）解方程组．（5）检验，看方程组的解是否符合题意．（6）写出答案．2、解应用题的书写格式：设→根据题意→解这个方程组→答．基本方法归纳：解题时先理解题意找到等量关系列出方程组再解方程组最后检验即可．注意问题归纳：找对等量关系最后一定要检验．【例3】上网流量、语音通话是手机通信消费的两大主体，目前，某通信公司推出消费优惠新招﹣﹣“定制套餐”，消费者可根据实际情况自由定制每月上网流量与语音通话时间，并按照二者的阶梯资费标准缴纳通信【小提示：阶梯定价收费计算方法，如600分钟语音通话费=0.15×500+0.12×（600﹣500）=87元】（1）甲定制了600MB 的月流量，花费48元；乙定制了2GB 的月流量，花费120.4元，求a ，b 的值．（注：1GB =1024MB ）（2）甲的套餐费用为199元，其中含600MB 的月流量；丙的套餐费用为244.2元，其中包含1GB 的月流量，二人均定制了超过1000分钟的每月通话时间，并且丙的语音通话时间比甲多300分钟，求m 的值．【例4】（2017四川省遂宁市）2017年遂宁市吹响了全国文明城市创建决胜“集结号”．为了加快创建步伐，某运输公司承担了某标段的土方运输任务，公司已派出大小两种型号的渣土运输车运输土方．已知一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车每次共运15吨；3辆大型渣土运输车和8辆小型渣土运输车每次共运70吨．（1）一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车每次各运土方多少吨？（2）该渣土运输公司决定派出大小两种型号渣土运输车共20辆参与运输土方，若每次运输土方总量不小于148吨，且小型渣土运输车至少派出7辆，问该渣土运输公司有几种派出方案？（3）在（2）的条件下，已知一辆大型渣土运输车运输话费500元/次，一辆小型渣土运输车运输花费300元/次，为了节约开支，该公司应选择哪种方案划算？练习题：1．（2016贵州省毕节市）已知关于x ，y 的方程22146m n m n x y --+++=是二元一次方程，则m ，n 的值为（ ）A ．m =1，n =﹣1B ．m =﹣1，n =1C ．m =13，n =43-D ．m =13-，n =432．（2017浙江省嘉兴市）若二元一次方程组⎩⎨⎧=-=+4533y x y x 的解为⎩⎨⎧==b y a x ，则a ﹣b =（ ） A ．1 B ．3 C ． 41-D ．47 3.（2017内蒙古包头市）若关于x 、y 的二元一次方程组325x y x ay +=⎧⎨-=⎩的解是1x b y =⎧⎨=⎩，则b a 的值为 ．4.（2016广西钦州市）若x ，y 为实数，且满足2(2)0x y +=，则y x 的值是 ．5.（2016四川省达州市）已知x ，y 满足方程组52251x y x y -=-⎧⎨+=-⎩，求代数式2()(2)(2)x y x y x y --+-的值． 6.（2017四川省乐山市）二元一次方程组2322+=-=+x y x y x 的解是 7.（2017内蒙古呼和浩特市）某专卖店有A ，B 两种商品，已知在打折前，买60件A 商品和30件B 商品用了1080元，买50件A 商品和10件B 商品用了840元，A ，B 两种商品打相同折以后，某人买500件A 商品和450件B 商品一共比不打折少花1960元，计算打了多少折？8.（2017四川省南充市）学校准备租用一批汽车，现有甲、乙两种大客车，甲种客车每辆载客量45人，乙种客车每辆载客量30人，已知1辆甲种客车和3辆乙种客车共需租金1240元，3辆甲种客车和2辆乙种客车共需租金1760元．（1）求1辆甲种客车和1辆乙种客车的租金分别是多少元？（2）学校计划租用甲、乙两种客车共8辆，送330名师生集体外出活动，最节省的租车费用是多少？9.（2016湖南省长沙市）2016年5月6日，中国第一条具有自主知识产权的长沙磁浮线正式开通运营，该路线连接了长沙火车南站和黄花国际机场两大交通枢纽，沿线生态绿化带走廊的建设尚在进行中，届时将给乘客带来美的享受．星城渣土运输公司承包了某标段的土方运输任务，拟派出大、小两种型号的渣土运输车运输土方，已知2辆大型渣土运输车与3辆小型渣土运输车一次共运输土方31吨，5辆大型渣土运输车与6辆小型渣土运输车一次共运输土方70吨．（1）一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车一次各运输土方多少吨？（2）该渣土运输公司决定派出大、小两种型号的渣土运输车共20辆参与运输土方，若每次运输土方总量不少于148吨，且小型渣土运输车至少派出2辆，则有哪几种派车方案？三、分式方程☞考点归纳归纳 1：分式方程 的有关概念1、分式方程：分母里含有未知数的方程叫做分式方程．2、分式方程的增根：分式方程化成整式方程解得的未知数的值，如果这个值令最简公分母为零则为增根． 基本方法归纳：判断分式方程时只需看分母中必须有未知数；分式方程的解只需带入方程看等式是否成立即可．注意问题归纳： 未知数的系数必须不能为零；判断一个数增根的条件缺一不可：1、这个数是解化成的整式方程的根，2、使最简公分母为零．【例1】（2017四川省成都市）已知x =3是分式方程2121kx k x x--=-的解，那么实数k 的值为（ ） A ．﹣1 B ．0 C ．1 D ．2【例2】（2017四川省泸州市）若关于x 的分式方程2322x m m x x++=--的解为正实数，则实数m 的取值范围是 ．归纳 2：分式方程的解法 1、解分式方程的步骤：解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”．它的一般解法是：（1）去分母，方程两边都乘以最简公分母（2）解所得的整式方程（3）验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根．基本方法归纳：分式方程首要是方程两边同乘以分母最小公倍数、去掉分母，转化为整式方程求解，其次注意一定要验根．注意问题归纳： 解完方程后一定要注意验根．【例3】（2017上海市）解方程：231133x x x -=--．归纳 3：分式方程的应用 1、分式方程解应用题的一般步骤：（1）审题，分析题中已知什么，未知什么，明确各量之间的关系，寻找等量关系．（2）设未知数，一般求什么就设什么为x ，但有时也可以间接设未知数．（3）列方程，把相等关系左右两边的量用含有未知数的代数式表示出来，列出方程．（4）解方程．（5）检验，看方程的解是否符合题意．（6）写出答案．2、解应用题的书写格式：设→根据题意→解这个方程→答．基本方法归纳：解题时先理解题意找到等量关系列出方程再解方程最后检验即可．注意问题归纳：找对等量关系最后一定要检验．【例4】（2017内蒙古通辽市）一汽车从甲地出发开往相距240km 的乙地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，1小时后比原来的速度加快14，比原计划提前24min 到达乙地，求汽车出发后第1小时内的行驶速度．练习题：1.（2017四川省凉山州）若关于x 的方程2230x x +-=与213x x a=+-有一个解相同，则a 的值为（ ） A ．1 B ．1或﹣3 C ．﹣1 D ．﹣1或32．（2017山东省聊城市）如果解关于x 的分式方程2122m x x x-=--时出现增根，那么m 的值为（ ） A ．﹣2 B ．2 C ．4 D ．﹣43．（2017黑龙江省龙东地区）已知关于x 的分式方程3133x a x -=-的解是非负数，那么a 的取值范围是（ ） A ．a ＞1 B ．a ≥1 C ．a ≥1且a ≠9 D ．a ≤14.（2017重庆）若数a 使关于x 的分式方程2411a x x +=--的解为正数，且使关于y 的不等式组21322()0y y y a +⎧->⎪⎨⎪-≤⎩的解集为y ＜﹣2，则符合条件的所有整数a 的和为（ ）A ．10B ．12C ．14D ．165.（2016重庆市）如果关于x 的分式方程1131+-=-+x x x a 有负分数解，且关于x 的不等式组2()43412a x x x x -≥--⎧⎪⎨+<+⎪⎩的解集为x ＜﹣2，那么符合条件的所有整数a 的积是（ ）A ．﹣3B ．0C ．3D ．96.（2017内蒙古赤峰市）为了尽快实施“脱贫致富奔小康”宏伟意图，某县扶贫工作队为朝阳沟村购买了一批苹果树苗和梨树苗，已知一棵苹果树苗比一棵梨树苗贵2元，购买苹果树苗的费用和购买梨树苗的费用分别是3500元和2500元．（1）若两种树苗购买的棵数一样多，求梨树苗的单价；（2）若两种树苗共购买1100棵，且购买两种树苗的总费用不超过6000元，根据（1）中两种树苗的单价，求梨树苗至少购买多少棵．四、一元二次方程五、一元一次不等式（组）归纳 1：有关概念1．不等式：用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式．2．不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解．对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集．求不等式的解集的过程，叫做解不等式．3．用数轴表示不等式的方法4．一元一次不等式：一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式．5．一元一次不等式组：几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组．几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集．求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组．基本方法归纳：判断不等式（组）时只需看未知数的个数及未知数的次数为1即可；不等式的解只需带入不等式是否成立即可；不等式（组）的解集是所有解得集合．注意问题归纳：不等式组的解集是所有解得公共部分．【例1】如图，身高为xcm的1号同学与身高为ycm的2号同学站在一起时，如果用一个不等式来表示他们的身高关系，则这个式子可以表示成x y（用“＞”或“＜”填空）．归纳2：不等式基本性质1．不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变．2．不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．3．不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．基本方法归纳：观察不等式的变化再选择应用那个性质．注意问题归纳：不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．【例2】（2017江苏省常州市）若3x＞﹣3y，则下列不等式中一定成立的是（）A．x+y＞0B．x﹣y＞0C．x+y＜0D．x﹣y＜0归纳3：一元一次不等式（组）的解法1．解一元一次不等式的步骤①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1．2．一元一次不等式组的解法（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集．基本方法归纳：根据解一元一次不等式（组）的步骤计算即可．注意问题归纳：不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．【例3】（2017四川省乐山市）求不等式组21312052x x x x +<⎧⎪+-⎨-≥⎪⎩的所有整数解． 【例4】已知关于x 的不等式组523(1)138222x x x x a +>-⎧⎪⎨≤-+⎪⎩有四个整数解，求实数a 的取值范围． 归纳 4：一元一次不等式（组）的应用1．列一元一次不等式（组）解应用题的一般步骤：（1）审题，分析题中已知什么，未知什么，明确各量之间的关系，寻找不等关系．（2）设未知数，一般求什么就设什么为x ，但有时也可以间接设未知数．（3）列一元一次不等式（组） （4）解一元一次不等式（组）．（5）检验，看解集是否符合题意．（6）写出答案．2．解应用题的书写格式：设→根据题意→解一元一次不等式（组）→答．基本方法归纳：解题时先理解题意找到不等关系列出一元一次不等式（组）求解最后检验即可．注意问题归纳：找对不等关系最后一定要检验．【例5】（2017四川省凉山州）为了推进我州校园篮球运动的发展，2017年四川省中小学生男子篮球赛于2月在西昌成功举办．在此期间，某体育文化用品商店计划一次性购进篮球和排球共60个，其进价与售价间的关系如下表：（1）商店用4200元购进这批篮球和排球，求购进篮球和排球各多少个？（2）设商店所获利润为y （单位：元），购进篮球的个数为x （单位：个），请写出y 与x 之间的函数关系式（不要求写出x 的取值范围）；（3）若要使商店的进货成本在4300元的限额内，且全部销售完后所获利润不低于1400元，请你列举出商店所有进货方案，并求出最大利润是多少？练习题：1.（2017湖南省株洲市）已知实数a ，b 满足a +1＞b +1，则下列选项错误的为（ ）A ．a ＞bB ．a +2＞b +2C ．﹣a ＜﹣bD ．2a ＞3b篮球 排球 进价（元/个） 80 50 售价（元/个）105 702．（2017山东省泰安市）不等式组29611x x x k +>+⎧⎨-<⎩的解集为x ＜2，则k 的取值范围为（ ） A ．k ＞1 B ．k ＜1 C ．k ≥1 D ．k ≤13.（2017黑龙江省龙东地区）已知关于x 的分式方程3133x a x -=-的解是非负数，那么a 的取值范围是（ ） A ．a ＞1 B ．a ≥1 C ．a ≥1且a ≠9 D ．a ≤14.（2017辽宁省鞍山市）在平面直角坐标系中，点P （m +1，2﹣m ）在第二象限，则m 的取值范围为（ ）A ．m ＜﹣1B ．m ＜2C ．m ＞2D ．﹣1＜m ＜25.（2016内蒙古包头市）不等式1123x x --≤的解集是（ ） A ．x ≤4 B ．x ≥4 C ．x ≤﹣1 D ．x ≥﹣16.（2016内蒙古巴彦淖尔市）如图，直线l 经过第一、二、四象限，l 的解析式是y =（m ﹣3）x +m +2，则m 的取值范围在数轴上表示为（ ）A ．B ．C ．D ．7.（2017内蒙古通辽市）不等式组⎪⎩⎪⎨⎧-≥-->+1312112x x x 的整数解是 ． 8.（2017内蒙古呼和浩特市）已知关于x 的不等式21122m mx x ->-． （1）当m =1时，求该不等式的解集；（2）m 取何值时，该不等式有解，并求出解集．。
完整版)初中数学方程及方程的解知识点总结
完整版)初中数学方程及方程的解知识点总结知识点1：一元一次方程是只含有一个未知数，未知数的次数为1，系数不等于0的整式方程。
其标准形式为ax+b=0（其中x是未知数，a、b是已知数，a≠0），最简形式为ax=b（a≠0）。
不定方程是含有两个或两个以上未知数的代数方程，一般有无穷多解。
等式是用符号“=”表示相等关系的式子，左、右两边分别为等式的左边和右边。
方程的根是只含有一个未知数的方程的解。
解一元一次方程的步骤为：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化成1.矛盾方程是一个方程，不存在使其左边与右边的值相等的未知数的值。
知识点2：二元一次方程是有两个未知数，未知项的次数为1的方程。
二元一次方程组是含有相同的两个未知数的两个一次方程所组成的方程组。
解二元一次方程组的两种方法为代入消元法和加减消元法。
代入消元法的步骤为：将方程组中的一个未知数化成另一个未知数的代数式，代入另一个方程中，消去一个未知数，得到一个一元一次方程，解出未知数的值，再求另一个未知数的值，得到方程组的解。
加减消元法的步骤为：将一个方程或两个方程的两边乘以适当的数，使同一个未知数的系数的绝对值相等，将所得的两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程，解出未知数的值，再求另一个未知数的值，得到方程组的解。
知识点3：一元一次不等式（组）一元一次不等式是指只含有一个未知数，未知数次数为1，系数不为0的不等式，可以用不等号（＞、≥、＜、≤或≠等等）表示。
由多个一元一次不等式组成的不等式组称为一元一次不等式组。
不等式有以下基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数或同一个整式，不等号方向不变；（2）不等式两边乘（或除）同一个正数，不等号方向不变；（3）不等式两边乘（或除）同一个负数，不等号方向改变。
解一元一次不等式的步骤为：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）系数化为1.如果乘数和除数是负数，需要改变不等号方向。
解方程的知识点总结
解方程的知识点总结一、方程的基本概念。
1. 方程的定义。
- 含有未知数的等式叫做方程。
例如：2x + 3=7，其中x是未知数，整个式子是一个等式，所以它是方程。
2. 方程的解。
- 使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。
比如在方程x + 5 = 9中，x = 4时，方程左边4 + 5=9，右边也是9，所以x = 4就是这个方程的解。
3. 解方程。
- 求方程的解的过程叫做解方程。
二、一元一次方程。
1. 定义。
- 只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程。
其一般形式是ax + b = 0(a≠0)，例如3x - 1=0就是一元一次方程。
2. 解方程的步骤。
- 移项。
- 把方程中的某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫做移项。
例如在方程2x+3 = 5x - 1中，将5x移到左边变为-5x，3移到右边变为-3，得到2x - 5x=-1 - 3。
移项的依据是等式的基本性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。
- 合并同类项。
- 对移项后的方程进行同类项合并。
在2x - 5x=-1 - 3中，2x-5x=-3x，-1 -3=-4，方程变为-3x=-4。
- 系数化为1。
- 将方程两边同时除以未知数的系数。
在-3x=-4中，两边同时除以-3，得到x=(4)/(3)。
这一步的依据是等式的基本性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。
三、二元一次方程组。
1. 定义。
- 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。
把两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。
例如x + y = 3 2x - y = 1就是一个二元一次方程组。
2. 解二元一次方程组的方法。
- 代入消元法。
- 从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来，然后代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。
人教版八年级数学上《分式方程》知识全解
《分式方程》知识全解课标要求1.会解一元一次分式方程（方程中的分式不超过两个）2.能根据具体问题中的数量关系，列出上述类型的方程，并进一步体会这类重要的刻画现实世界的数学模型的作用．知识结构1. 分式方程概念，和产生增根的原因．2. 分式方程的解法3.列出可化为一元一次方程的分式方程解决实际问题．内容解析（1）分式方程的概念：含分式，并且分母中含未知数的方程——分式方程（2）分式方程的解法： ①能化简的先化简．②方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程③解整式方程；④)验根．（3）分式方程的应用: 以工程问题为例，能将此类问题中的相等关系用分式方程表示；建立数学模型，会解含字母系数的分式方程．重点难点本节的重点是：分式方程的概念,，解分式方程和列分式方程解应用题．教学重点的解决方法：分式方程是一种有效描述现实世界的模型，把分式方程转化为整式方程来解分式方程，把未知化已知，从而渗透数学转化思想．本节内容的难点是：分式方程产生增根的原因和列分式方程解应用题教学难点的解决方法：强化用数学的意识，增进同学之间的配合，体验在数学活动中运用知识解决问题的成功体验．教法导引（1）注重渗透化归思想，实际问题紧紧扣住等量关系解分式方程注意转化的思想，而实际问题由于背景的多变性，其数量关系也是动态多变，难以把握，只能以不变应万变，紧紧扣住“等量关系”这一主线，有意识的培养学生对例题、习题的阅读理解能力．教给学生一些避免产生增根的方法,例：解方程： 22+-x x - 4162-x = 1 解：移项，得22+-x x - )2)(2(16-+x x - 1 = 0整理，得 )2)(2()2(4-+-x x x = 0 ① 化简，得24+x = 0 ② 因为 24+x ≠ 0 所以 原方程无解．（2）注重启发式设问和同学讨论相结合，使同学在讨论中解决问题，掌握分式方程解法与应用，避免负迁移．．．．．分式方程的解法理论中，我们一直采用了在分式方程两边同乘以最简公分母从而转化为整式方程的解法．这种方法充分体现了转化思想的理论精髓，而转化思想恰好是整个方程解法理论的核心思想，使各种方程（组）最终转化为一元一次方程，让人们看到一个和谐统一的体系，生动的数学展现于眼前．不过这种变形不属于方程的同解变形原理，它的恶果之一是产生增根的现象．增根并不是方程的根，它跟随非同解变形进来之后，还要用检验的方式把它清除出去，这是一种迂回的，有点费力的处理方法．是一个容易引发讨论和思考的知识点．分式方程两边同乘以最简公分母从而转化为整式方程的解法，在实践中经常对分式的四则运算产生强烈的负迁移．．．，如化简2222x y x y x y x y+-+++时经常有学生这样运算：22222x y x y x y x y x x y x y+-+=++-=++这肯定是受分式方程解法的影响所致，而且有时这种影响极其顽固，很难改正．分式的四则运算不能支持分式方程的解决，分式方程的解决又影响分式的四则运算，这种内耗和对抗大大削弱了分式理论的和谐性．学法建议分式方程的重点是解分式方程和列分式方程解应用题，难点是分式方程产生增根的原因和列分式方程解决实际问题．因而在学习中应注意：(1)分母中含有字母的方程不一定是分式方程，当且仅当字母中有未知数时，才是分式方程，如解关于x 的方程：13x a +=，22m n x m n n-=-等都是整式方程，究其原因在于限定未知数是x ，则字母a 、 m 、 n 是已知数，不满足分式方程定义． （通过观察，从中感知分式方程的特征）(2)严格遵循解分式方程的步骤：化、解、验．在解分式方程应用题时，切不可忘记检验．(3)认真审题，可借助表格、图表来分析题意，找出适合题意的相等关系，建立方程． 例：为改善居住环境，小康村拟在村后荒山上种植720棵树，由于共青团员的支持，实际每日比原计划多种20棵，结果提前4天完成任务，原计算每天种植多少棵？设原计划每天种植x 棵，根据题意得方程______ __．题目设原计划每天种植x 棵，那么可用来列方程的相等关系是实际比原计划提前4天完成任务．由题意，原计划植树720x 天，而实际每天植树(20)x +棵，实际植树天数为72020x +天，所以根据相等关系可列方程720720420x x -=+． （易错点是：已知量不会用未知数表示，找不到等量关系）(4)进行一题多解、一题多问及一题多变的训练，提高思维的敏捷性、解题方法的灵活性．(5)类比整式方程的解法和应用，使所学知识系统化，进而形成技能、技巧，巩固双基． 例 解方程：x 5 = 27-x 解：移项，得 x 5 －27-x = 0 通分，得)2(7)2(5---x x x x = 0 整理，得 )2()5(2-+x x x = 0 ① 分子取0，得 x + 5 = 0 ②即 x = -5说明：从①式到②式是此解法的关键．①式中，如分子与分母没有含未知数的公因式，那就能够做到分子取0时保证分母不得0；然后根据分式值为0的条件，把分式．．等于0的式子改写为分子．．等于0的式子，即完成了分式方程向整式方程的转化，而且符合方程的同解变形原理的精神，不会有增根或丢根的现象发生．。
初中数学方程解法知识点归纳
初中数学方程解法知识点归纳方程是数学中非常重要的内容，解方程是数学学习的一个关键环节，也是我们在实际生活中应用数学知识的一种方式。
在初中数学中，我们需要学习各种解方程的方法和技巧。
本文将对初中数学中常见的方程解法知识点进行归纳，以帮助同学们更好地掌握解方程的技巧。
一元一次方程一元一次方程是指只包含一个未知数，并且未知数的最高次数为1的方程。
常见的一元一次方程形式为ax + b = c，其中a、b和c都是已知的数，x是未知数。
解一元一次方程的基本思路是通过逆运算使方程中只剩下未知数。
常用的解方程方法有相等法、加减法、代入法和平衡法等。
一元二次方程一元二次方程是指只包含一个未知数，并且未知数的最高次数为2的方程。
一元二次方程的一般形式为ax² + bx + c = 0，其中a、b和c都是已知的数，x是未知数。
解一元二次方程的常用方法有因式分解法、配方法、公式法和完全平方公式等。
一元三次方程一元三次方程是指只包含一个未知数，并且未知数的最高次数为3的方程。
一元三次方程的一般形式为ax³ + bx² + cx + d = 0，其中a、b、c和d都是已知的数，x是未知数。
解一元三次方程的方法比较复杂，常用的方法有因式分解法、代换法和求根公式法等。
多项式方程多项式方程是指包含多个项的方程。
其中一个常见的多项式方程是二元二次方程，即同时包含两个未知数和两个未知数的最高次数为2的方程。
解多项式方程的方法主要是应用因式分解法和配方法。
分式方程分式方程是指方程中包含有分式的方程。
常见的分式方程形式为分式等于分式。
解分式方程的方法主要是通过通分和分子分母相等两种方式来寻求解。
绝对值方程绝对值方程是指方程中包含有绝对值的方程。
常见的绝对值方程形式为|ax + b| = c，其中a、b和c都是已知的数，x是未知数。
解绝对值方程的方法主要是根据绝对值的性质，拆分为正负两个方程来求解。
图像方程图像方程是指方程的解对应了某个图像上的点，解方程的过程就是求这个点的坐标。
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要变号)
(2)不要丢项
合并同类 把方程化成 ax＝b(a≠0)的形式
项
字母及其指数不变
系数化成 1
在方程两边都除以未知数的系数 a，
得到方程的解 x b ． a
不要把分子、分母写颠倒
要点诠释：
（1）解方程时，表中有些变形步骤可能用不到，而且也不一定要按照自上而下的顺序，有
些步骤可以合并简化．
(2) 去括号一般按由内向外的顺序进行，也可以根据方程的特点按由外向内的顺序进行.
6．归纳一元二次方程根的情况：对于一元二次方程 称为一元二次方程根的判别式．
，其中，△=
(1)当△=
时，原方程有两个不等的实数根 ，
；
(2)当△=
时，原方程有两个相等的实数根
；
(3)当△=
时，原方程没有实数根。
7．因式分解法算理：
或
(A、B 至少一个为 0)
先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于 0 的形式,再使两个一次式分别等于 0,从而实现降次； 这种解法叫做因式分解.所有学过的因式分解方法:提公因式法、公式法、十字相乘法.注意:
(2)用配方法解二次项系数不是 1 的方程：先将二次项系数化为 1，再用配方法求根．
5．一元二次方程求根公式：对于一元二次方程
，
当
时，
，这个式子叫做一元二次方程的求根公式．
注意：△≥0 是公式使用的前提条件，是公式的重要组成部分． 公式法是解一元二次方程的一般方法；由公式法可知，一元二次方程最多有两个实数根．
知识点一、解一元一次方程的一般步骤
变形名称
具体做法
注意事项
去分母
在方程两边都乘以各分母的最小公倍 数
(1)不要漏乘不含分母的项 (2)分子是一个整体的，去分母后应 加上括号
去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大 (1)不要漏乘括号里的项
括号
(2)不要弄错符号
移项
把含有未知数的项都移到方程的一边，
其他项都移到方程的另一边(记住移项 (1)移项要变号
c．
3. y ax h2 的性质：左加右减。
a 的符号 a0
开口方向 顶点坐标 对称轴
向上
h， 0 X=h
性质 x h 时， y 随 x 的增大而增大； x h 时， y 随 x 的增大而减小； x h 时， y 有最小值
0．
x h 时， y 随 x 的增大而减小； x h 时，
a0
①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有 x （或 y ）的代数式表
示 y （或 x ），即变成 y ax b （或 x ay b ）的形式；
②将 y ax b （或 x ay b ）代入另一个方程（不能代入原变形方程）中，消去
y （或 x ），得到一个关于 x （或 y ）的一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出 x （或 y ）的值； ④把 x （或 y ）的值代入 y ax b （或 x ay b ）中，求 y （或 x ）的值；
(不确定 A、B 的值)。
8．一元二次方程有多种解法，要根据形式择优选择解法。但所有解法都是通过“降次”实现求根的： 开方降次和分解降次。
1. 二次函数基本形式： y ax2 的性质：
a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴
a0
向上
0， 0 y 轴
a0
向下
0， 0 y 轴
a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
，有两个不等实数根．
若
，则 x=O；表示为
，有两个相等的实数根．
若
，则方程无实数根．
(2)注意：一般先把系数化为 1 再开方；要正确写出根的形式．
4．(1)用配方法解二次项系数是 1 的方程：通过配方，把方程的一边化为一个完全平方式，另一边是
一 个非负实数，即
的形式，然后用直接开方法求根．
向下
h， 0
X=h
y 随 x 的增大而增大； x h 时， y 有最大值
0．
4. y ax h2 k 的性质：
a 的符号 a0
a0
开口方向 顶点坐标 对称轴
向上
⑤用“ ”联立两个未知数的值，就是方程组的解.
（2）用加减消元法解二元一次方程组的一般过程： ①根据“等式的两边都乘以（或除以）同一个不等于 0 的数，等式仍然成立”的性质，
将原方程组化成有一个未知数的系数绝对值相等的形式； ②根据“等式两边加上（或减去）同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程”的性
叫做一元二次方程．
2．一元二次方程的一般形式：
一般地，任何一个关于 x 的一元二次方程，都能化成形如
，这种形式叫做
一元次项系数；c
是常数项．
3．直接开方法解一元二次方程：
(1)算理：平方根的意义；即
时，
若
，则
；表示为
，
性质 x 0 时， y 随 x 的增大而增大； x 0 时， y 随 x 的增大而减小； x 0 时， y 有最小值
0． x 0 时， y 随 x 的增大而减小； x 0 时， y 随 x 的增大而增大； x 0 时， y 有最大值
0．
2. y ax2 c 的性质：上加下减。
a 的符号 a0
（3）当方程中含有小数或分数形式的分母时，一般先利用分数的性质将分母变为整数后再
去分母，注意去分母的依据是等式的性质，而分母化整的依据是分数的性质，两者不要混
淆．
要点二、二元一次方程组的解法 1.解二元一次方程组的思想
二元一次方程组
消元 转化
一元一次方程
2.解二元一次方程组的基本方法：代入消元法、加减消元法和图像法 （1）用代入消元法解二元一次方程组的一般过程：
质，将变形后的两个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； ④把求得的未知数的值代入原方程组中比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值；
⑤将两个未知数的值用“ ”联立在一起即可.
一．概念
1．一元二次方程的概念：只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是 2(2 次)的整式方程，
a0
开口方向 顶点坐标 对称轴
向上
0， c y 轴
向下
0， c y 轴
性质 x 0 时， y 随 x 的增大而增大； x 0 时， y 随 x 的增大而减小； x 0 时， y 有最小值
c． x 0 时， y 随 x 的增大而减小； x 0 时， y 随 x 的增大而增大； x 0 时， y 有最大值