初中数学专题复习(一) 化归思想
化归思想在初中数学解题中的应用策略探究
化归思想在初中数学解题中的应用策略探究【摘要】初中数学中，化归思想是一种重要的解题策略。
本文首先介绍了初中数学解题中的化归思想，并分别探讨了化归思想在代数方程、几何问题、实际问题和应用题中的具体应用策略。
通过对这些案例的分析，可以看出化归思想在数学解题过程中的重要性和作用。
结论部分总结了化归思想在提高数学解题能力和初中数学学习中的应用价值。
通过本文的阐述，读者可以更深入地了解化归思想在数学解题中的应用策略，并在实际学习和解题中灵活运用，提高数学解题能力和学习成绩。
【关键词】初中数学、化归思想、解题、应用策略、代数方程、几何问题、实际问题、应用题、重要性、数学解题能力、应用价值1. 引言1.1 化归思想在初中数学解题中的应用策略探究引言化归思想是数学解题过程中常用的一种思维方法，通过将复杂问题化简为简单问题，从而解决较困难的数学题目。
在初中数学学习中，化归思想的应用不仅可以帮助学生提高解题能力，还可以培养学生的逻辑思维能力和数学思维能力，为他们打下扎实的数学基础。
本文将围绕化归思想在初中数学解题中的应用策略展开探究，分析化归思想在代数方程解题、几何问题解题、实际问题解题以及应用题解题中的具体应用方法和策略。
通过深入研究不同类型题目中化归思想的运用，探讨其对解题过程的指导作用，帮助学生更好地掌握数学知识，提高解题效率。
通过本文的研究，相信可以揭示化归思想在初中数学解题中的重要性和作用，为学生在数学学习中更好地理解和应用化归思想提供指导和帮助。
希望本文的探究能够对初中数学教学实践提供一定的借鉴和启示，促进学生数学能力的全面提升。
2. 正文2.1 初中数学解题中的化归思想初中数学解题中的化归思想是指将一个较为复杂的问题通过分类、归纳、简化等方法，将其化归为若干个相对简单的子问题，以便更容易解决整个问题的思想和方法。
在初中数学学习中，化归思想不仅仅是一种解题策略，更是培养学生逻辑思维能力、分析问题能力和解决问题能力的重要途径。
初中数学复习中如何运用化归思想解题
初中数学复习中如何运用化归思想解题摘要】初中数学学习的内容较多，难度系数也有所增加，如何在日常的教育教学活动中提高教学效率和学生的解题能力已经成为初中数学教学面临的问题。
化归思想作为初中数学重要的解题方法之一，它可以把复杂不易分析的问题转化为简单易解的问题，把待解决的问题转化成已知问题，大大提高了解题的效率。
本文中，笔者着重分析了化归解题思想的含义与分析要点，并通过一定的案例详尽的阐述了初中数学教学和学习中对化归思想的运用，希望能对初中数学的教学起到一定的积极作用。
【关键词】初中数学；运用；化归思想；思维模式一、解析化归思想的含义在初中数学教学和学习中，化归思想成为活化解题思路，简化计算的重要思维模式，又称转换或转化思想。
在初中数学解题的过程中，运用化归思想可以把未知或者需要解决的问题，通过一定的数学关系转变成已知或者较为容易解决的问题中去，在此过程中实现了数学解题思维的变化，简化的解题的过程，最终得出问题的答案。
在苏教版初中数学解题的过程中运用化归方法需要问题建立在化未知为已知、化难为易上，具体的问题如将分式方程化为整式方程，将代数问题化为几何问题，将四边形问题转化为三角形问题等。
具体的解题过程中，运用的方法有待定系数法、配方法、整体代人法、构造法等。
化归思想在初中数学中的运用，必须遵循一定的原则，具体就是熟悉化原则，通过“旧知”解决“新知”；简单化原则，就是化繁为简；具体化原则，就是化抽象为具体；和谐化原则，把条件和结论的表现形式转化为更具数、式与形内部固有的和谐统一特点的形式。
二、化归思想的分析要点研究初中数学上运用的化归思想具有丰富性、多样性和灵活性的特点。
对于数学试题来说，往往都要有几个要素构成，并且各要素之间都是具有一定关联性的，它们相互联系、相互依存、相辅相成，它们之间的联系是可以转化的，并且转化的形式多样。
针对数学问题的转换方法没有什么标准模式可以遵循，为此，在解题的过程中要认真分析问题，因题而异，寻找恰当的解决方法。
2024年中考数学二轮复习模块专练—化归思想(含答案)
2024年中考数学二轮复习模块专练—化归思想（含答案）在于将未知的，陌生的，复杂的问题通过演绎归纳转化为已知的，熟悉的，简单的问题．三角函数，几何变换，因式分解，乃至古代数学的尺规作图等数学理论无不渗透着转化的思想．常见的转化方式有：一般特殊转化，等价转化，复杂简单转化，数形转化，构造转化，联想转化，类比转化等．转化思想亦可在狭义上称为化归思想．化归思想就是将待解决的或者难以解决的问题A 经过某种转化手段，转化为有固定解决模式的或者容易解决的问题B ，通过解决问题B 来解决问题A 的方法．考点解读：有理数减法转化为有理数的加减，有理数的除法转化为有理数的乘法；多项式乘以多项式转化为单项式乘以单项式，异分母的分式相加减转化为同分母的分式相加减；数式的化归，递进式变化，构建起数式知识与方法的脉络．【例1】（2023·广东江门·统考一模）1．在《九章算术》“割圆术”中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这里所用的割圆术所体现的是一种由有限到无限的转化思想．比如在求234111112222+++++⋅⋅⋅的和中，“…”代表按此规律无限个数相加不断求和．我们可设234111112222x =+++++⋅⋅⋅．则有234111*********x ⎛⎫=++++++⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭，即112x x =+，解得2x =，故2341111122222+++++⋅⋅⋅=．类似地，请你计算：2468111113333+++++⋅⋅⋅=．（直接填计算结果即可）【变1】考点解读：从一般的三角形到等腰三角形、等边三角形，从平行四边形到矩形、菱形，试卷第2页，共14页A ．BEA ∠B ．DEB ∠C ．ECA ∠D ．ADO∠【变1】（2023·浙江·统考中考真题）4．小贺在复习浙教版教材九上第81页第5题后，进行变式、探究与思考：如图1，O 的直径CD 垂直弦AB 于点E ，且8CE =，2DE =．(1)复习回顾：求AB 的长．(2)探究拓展：如图2，连接AC ，点G 是 BC上一动点，连接AG ，延长CG 交AB 的延长线于点F ．①当点G 是 BC的中点时，求证：GAF F ∠=∠；②设CG x =，CF y =，请写出y 关于x 的函数关系式，并说明理由；③如图3，连接DF BG ，，当CDF 为等腰三角形时，请计算BG 的长．考点解读：三元一次方程转化为二元一次方程，分式方程转化为整式方程，一元二次方程转化为一元一次方程．方程化归，构成了方程知识和方法体系．【例1】（2019·浙江台州·统考中考真题）考点解读：由正比例函数图像的平移来研究一次函数图像及性质，试卷第4页，共14页(1)求点C，D的坐标；(2)当13a=时，如图1，该抛物线与x轴交于A，B直线AD上方抛物线上一点，将直线PD沿直线AD 2试卷第6页，共14页三、解答题（2023·山西忻州·校联考模拟预测）16．下面是小彬同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务．用上面方法所作出的正方形，有一个顶点恰好是直角三角形的直角顶点．△的内接正方形的一边恰好在斜边AB上，我就可用如下方法，如图2，如果Rt ABC⊥，垂足为D；第一步：过直角顶点C作CD AB第二步，延长AB到M，使得BM AD=，连接CM；试卷第8页，共14页试卷第10页，共14页试卷第12页，共14页(1)求EPF ∠的度数；(2)设PE x =，PF y =，随着点P 的运动，32x y +的值是否会发生变化？若变化，请求出它的变化范围；若不变，请求出它的值；(3)求EF 的取值范围（可直接写出最后结果）．试卷第14页，共14页参考答案：答案第2页，共31页∵O 的直径CD 垂直弦∴10CD CE DE =+=，∴152OA OD CD ===在Rt OAE △中，AE =∵点G 是 BC的中点，∴»»CGBG =，∴GAF D ∠=∠，答案第4页，共31页∵O 的直径CD 垂直弦AB 于点∴ AC BC=，∴CAF CGA ∠=∠，在Rt CEF △中，2EF CF CE =-在Rt DEF △中，2EF DF DE =-在Rt CEF △中，2CF CE EF =+∴464BF EF BE =-=-，同理FGB FAC ∽△△，答案第6页，共31页次方程转化为二元一次方程组是解题关键．7．D【分析】利用“倍值点”的定义得到方程()210t x tx s +++=，则方程的0∆>，可得2440t ts s -->，利用对于任意的实数s 总成立，可得不等式的判别式小于0，解不等式可得出s 的取值范围．【详解】解：由“倍值点”的定义可得：()()2212x t x t x s =++++，整理得，()210t x tx s +++=∵关于x 的二次函数()()212y t x t x s =++++（,s t 为常数，1t ≠-）总有两个不同的倍值点，∴()22=41440,t t s t ts s ∆-+=-->∵对于任意实数s 总成立，∴()()24440,s s --⨯-<整理得，216160,s s +<∴20,s s +<∴()10s s +<，∴010s s <⎧⎨+>⎩，或010s s >⎧⎨+<⎩，当010s s <⎧⎨+>⎩时，解得10s -<<，当010s s >⎧⎨+<⎩时，此不等式组无解，∴10s -<<，故选：D ．【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，一元二次方程根的判别式以及二次函数与不等式的关系，理解新定义并能熟练运用是解答本题的关键．答案第8页，共31页答案第10页，共31页（3）解：①当1a =时，抛物线解析式为∴4EH EF FG ===，∴()16H ，，()56G ，，②如图3-1所示，当抛物线与∵当正方形EFGH 的边与该抛物线有且仅有两个交点，∴点T 的纵坐标为2+151 4.5a -++=如图3-2所示，当抛物线与∵当正方形EFGH的边与该抛物线有且仅有两个交点，∴15 2.5a-=，解得0.4a=（舍去，因为此时点如图3-3所示，当抛物线与∵当正方形EFGH的边与该抛物线有且仅有两个交点，∴21152 a aa a⎛⎫-⋅+⋅+⎪⎝⎭17 3.5aa=．综上所述，0.5【点睛】本题主要考查了二次函数综合，勾股定理，轴对称的性质，正方形的性质等等，利用分类讨论和数形结合的思想求解是解题的关键．9．C答案第12页，共31页答案第14页，共31页抛物线223y x x =+-交于C 、D 两点，∵0m n >>，关于x 的方程2230x x m +--=的解为()1212,x x x x <，关于x 的方程2230x x n +--=的解为3434,()x x x x <，∴1234，，，x x x x 分别是A 、B 、C 、D 的横坐标，∴1342x x x x <<<，故选B ．【点睛】本题主要考查了抛物线与一元二次方程的关系，正确把一元二次方程的解转换成直线与抛物线交点的横坐标是解题的关键．13．12x y =⎧⎨=⎩【分析】根据一次函数的交点坐标即可确定以两个一次函数解析式组成的二元一次方程组的解．【详解】解：∵一次函数y =3x -1与y =kx （k 是常数，k ≠0）的图象的交点坐标是（1，2），∴联立y =3x -1与y =kx 的方程组31y x y kx =-⎧⎨=⎩的解为：12x y =⎧⎨=⎩，即310x y kx y -=⎧⎨-=⎩的解为：12x y =⎧⎨=⎩，答案第16页，共31页答案第18页，共31页证明：FD AB ⊥ ，FE AC ⊥，90AEG GDF ∴∠=∠=︒，AGE FGD ∠=∠ ，180BAC ∠=BAC DFE ∴∠=∠；（2）解：BC CD ⊥ ，90BCD ∴∠=︒，在Rt BCD 中，tan BC CD BDC =∠在Rt BCE 中，BC CE =答案第20页，共31页解得：9m BC =，9 1.610.6m AB BC AC ∴=+=+=，答：大树的高度AB 为10.6m ．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．19．(1)当Δ0=时，方程有两个相等的实数根，∴二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图像与一次函数()0y sx t s =+≠的图像有一个交点；当Δ0<时，方程没有实数根，∴二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图像与一次函数()0y sx t s =+≠的图像没有交点；(2)16t =；(3)y x =-，答案不唯一，合理即可．【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式说明根的情况和函数图像交点的情况即可；（2）联立方程组，化简成一元二次方程的一般形式，用根的判别式Δ0=，代入求解；（3）函数图像有两个交点，保证根的判别式0∆>即可．【详解】（1）解：根据一元二次方程根的判别式可得：当Δ0=时，方程有两个相等的实数根，∴二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图像与一次函数()0y sx t s =+≠的图像有一个交点；当Δ0<时，方程没有实数根，∴二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图像与一次函数()0y sx t s =+≠的图像没有交点；（2）联立函数表达式：253y x x y x t ⎧=-+⎨=-+⎩，可得：253x x x t -+=-+，答案第22页，共31页由旋转的性质，可证明△BPP ′是等边三角形，再证明C 、P 、A ′、P ′四点共线，最后由勾股定理解答．【详解】（1）解：∵ACP ABP ' ≌，∴AP ′＝AP ＝3、CP ′＝BP ＝4，∠AP ′C ＝∠APB ，由题意知旋转角∠PAP ′＝60°，∴△APP ′为等边三角形，PP ′＝AP ＝3，∠AP ′P ＝60°，由旋转的性质可得：AP ′＝AP ＝PP ′=3，CP ′＝4，PC=5，∵32+42=52∴△PP ′C 为直角三角形，且∠PP ′C ＝90°，∴∠APB ＝∠AP ′C ＝∠AP ′P ＋∠PP ′C ＝60°＋90°＝150°；故答案为：150°；（2）证明：∵点P 为△ABC 的费马点，∴120APB ∠=︒，∴60APD ∠=︒，又∵AD AP =，∴APD 为等边三角形∴AP PD AD ==，60PAD ADP ∠=∠=︒，∴120ADE ∠=︒，∴ADE APC ∠=∠，在△APC 和△ADE 中，PAC DAE AP AD APC ADE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、旋转的性质、费马点等知识，是重要考点，有难度，掌握相关知识，正确做出辅助线是解题关键．21．(1)120︒(2)不会；9(3)9219 7EF≤<【分析】（1）延长EP交BC于点G，根据平行线的性质得出答案第24页，共31页，∵PE CD∠=∠，∴PGB DCB∥，∵PF AB∠=∠，∴PFC ABC答案第26页，共31页则90EHP ∠=︒，∵120EPF ∠=︒，∴18012060EPH ∠=︒-︒=︒，∴906030PEH ∠=︒-︒=︒，22．（1）60︒；（2）①丙；②10【分析】（1）连接BC '，则A BC ''△为等边三角形，即可求得既不相交也不平行的两条直线BA '与AC 所成角的大小；（2）①根据正方体侧面展开图判断即可；②根据对称关系作辅助线即可求得PM PN +的最小值．【详解】解：（1）连接BC '，∵//AC A C ''，BA '与A C ''相交与点A '，即既不相交也不平行的两条直线BA '与AC 所成角为BA C ''∠，根据正方体性质可得：A B BC A C ''''==，∴A BC ''△为等边三角形，∴=60BA C ''∠︒，即既不相交也不平行的两条直线BA '与AC 所成角为60︒；（2）①根据正方体展开图可以判断，甲中与原图形中对应点位置不符，乙图形不能拼成正方体，故答案为丙；②如图：作M 关于直线AB 的对称点M '，答案第28页，共31页∵90ABC ∠=︒，DQ ∴四边形DBNQ 是矩形，∴90DQN ∠=︒，QN答案第30页，共31页∵A ABN BNQ AQN ∠+∠+∠+∠∴180ABN AQN ∠+∠=︒，∴AQN PBN ∠=∠．。
初中数学思想方法篇——化归思想
新梦想教育中高考名校冲刺教育中心 【老师寄语：每天进步一点点，做最好的自己】解题思想之化归思想一、注解：“化归”就是转化和归结的简称。
所谓化归就是将所要解决的问题转化归结为另一个比较容易解决的问题或已经解决的问题。
具体说就是把“新知识”转化为“旧知识”，把“未知”转化为“已知”，把“复杂问题”转化为“简单问题”。
如将分式方程转化为整式方程，将高次方程转化为低次方程，将二元转化为一元，将四边形转化为三角形，将非对称图形转化为对称图形…..实现转化的方法通常有：换元法，待定系数法，配方法，整体代入法以及化动为静，由具体到抽象等方法。
二、实例运用：1.在实数中的运用【例1】今年2月份某市一天的最高气温11℃，最低气温-6℃，那么这一天的最高气温比最低气温高（ ）A -17℃B 17℃C 5℃D 11℃【例2】 计算：()()02324732+-++2. 在代数式的化简求值中的运用【例3】计算：111x x x ++-【例4】已知31x =-，求代数式11x x x x -⎛⎫+- ⎪⎝⎭的值。
3.在方程（组）中的运用【例5】用配方法解方程：x 2-4x+1=0【例6】解方程组：728x y x y +=⎧⎨-=⎩【例7】用换元法解方程：226212x x x x +-=+4.在确定函数解析式中的运用【例8】某闭合电路中，电源电压为定值，电流I(A)与电阻R(Ω)成反比例关系，如图为电流与电阻之间的函数图象，则电阻R 与电流I 的函数解析式为：（ ）A. 2I R =B. 3I R =C. 6I R =D. 6I R=-【例9】某商场的营业员小李销售某种商品，他的月收入与他的该月销售量成一次函数关系，如图所示，根据图象提供的信息解答下列问题：（1）求小李个人月收入y （元）与月销售量x （件）（x ≥0）之间的函数关系式。
（2）已知小李4月份的销售量为250件，求小李4月份的收入是多少元？【例10】已知二次函数y=ax 2+bx+c 过点O （0，0），A （1，3），B （-2，43）和C （-1，m ）四个点。
初中数学转化与化归思想——消元
转化与化归思想——消元转化与化归的思想所谓化归与转化的思想是指在研究数学问题时，采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而使问题得到解决的一种解题策略.一般情况下，都要将未解决的问题化归转化为已解决的问题。
化归与转化的思想方法是数学中最基本的思想方法，同时也是在解决数学问题过程中无处不存在的基本思想方法。
数形结合的思想体现了数与形的相互转化；函数与方程思想体现了函数、方程、不等式间的相互转化；分类讨论思想体现了局部与整体的相互转化，因此以上三种思想方法都是转化思想的具体体现，各种变换的方法及分析法、反证法、特定系数法、构造法等都是转化的手段。
化归与转化的原则是：将不熟悉和难解的问题转化为熟知的易解的或已经解决的问题：将抽象的问题转化为具体的直观的问题；将复杂的问题转化为简单的问题；将一般性的问题转化为特殊的问题，将实际问题转化为数学问题，使问题便于解决。
解题方法指导1．运用化归与转化的思想解题需明确三个问题：(1)明确化归对象，即对什么问题转化；2)认清化归目标，即化归到何处去；(3)把握化归方法，即如何进行化归；2．运用化归与转化的思想解题的途径：(1)借助函数进行转化；(2)借助方程（组）进行转化；(3)借助辅助命题进行转化；(4)借助等价变换进行转化；(5)借助特殊的数与式的结构进行转化；(6)借助几何特征进行转化。
消元例 用加减法解方程组34165633x y x y +=⎧⎨-=⎩ 分析：这两个方程中未知数的系数既不相反也不相同，直接加减不能消元，试一试，能否对方程变形，使得两个方程中某个未知数的系数相反或相同。
①②解：①×3,得9x+12y=48 ③②×2,得10x-12y=66 ④③＋④,得19x=114x=6把x=6代入①，得3×6+4y=164y=-2, y=-1 2所以，这个方程组的解是612 xy=⎧⎪⎨=-⎪⎩。
初中数学专题复习(一) 化归思想
初中数学专题复习(一) 化归思想本专题专门复习化归思想．所谓化归思想就是化未知为已知、化繁为简、化难为易．如将分式方程化为整式方程，将代数问题化为几何问题，将四边形问题转化为三角形问题等．实现这种转化的方法有：待定系数法、配方法、整体代人法以及化动为静、由抽象到具体等． 【典型例题剖析】一、转化思想在代数中的应用。
1.已知：n m ,满足13,1322=-=-n n m m , 求nmm n +的值。
二、转化思想在函数问题上的应用： 1.函数1y x=】 A ．第一象限 B.第一、三象限 C.第二象限 D.第二、四象限2.（2016成都）如图，在平面直角坐标系xOy 中，正比例函数的图象与反比例函数的图象都经过点A （2，2）．（1）分别求这两个函数的表达式；（2）将直线OA 向上平移3个单位长度后与y 轴交于点B ，与反比例函数图象在第四象限的交点为C ，连接AB 、AC ，求点C 的坐标及△ABC 的面积．三、转化思想在几何中的应用。
2、已知：如图6所示在中，，∠BAC 、∠BCA 的角平分线AD 、CE 相交于O 。
求证：AC ＝AE ＋CDy kx =my x=四、代数问题与几何问题之间的化归：1.如图，已知矩形ABCD 中，E 是AB 上一点， 沿EC 折叠，使点B 落在AD 边的B‘处，若AB=6， BC=10， 求AE 的长。
2、如图，AB 是⊙O 的直径，PB 切⊙O 于点B ，PA 交⊙O 于点C ，∠APB 的平分线分别交BC 、AB 于点D 、E ，交⊙O 于点F ，∠A=60°，并且线段AE 、BD 的长是一元二次方程x 2－kx+23=0的两个根（k 为正的常数）。
⑴求证：PA ·BD=PB ·AE ； ⑵求证：⊙O 的直径为常数k ； ⑶求tan ∠FPA 的值。
【强化训练】 一、选择题与填空题1、用换元法解方程xx x x +=++2221时，若设x 2+x=y, 则原方程可化为（ ） A 、y 2+y+2=0 B 、y 2－y －2=0 C 、y 2－y+2=0 D 、y 2+y －2=02、已知如图：ΔABC 中，∠C=90°，BC=AC ，以AC 为直径的圆交AB 于D ，若AD=8cm ，则阴影部分的面积为（ ）A 、64πcm 2B 、64 cm 2C 、32 cm 2D 、48 πcm 2EABCD EFP3.如图，点A 、D 、G 、M 在半圆O 上，四边形ABOC 、DEOF 、HMNO 均为矩形，设BC=a, EF=b ，NH=c ，则下列各式中正确的是 A 、a ＞b ＞cB 、a=b=cC 、c ＞a ＞bD 、b ＞c ＞a4. 如图，圆锥的母线长是3，底面半径是1，A 是底面圆周上从点A 出发绕侧面一周，再回到点A 的最短的路线长是( )(A)(B)(C) (D) 5. 如图3－1－10，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为12 的矩形，接着把面积为12 的矩形等分成两个面积为14 的正方形，再把面积为14 的正方形等分成两个面积为18 的矩形，如此进行下去……试利用图形揭示的规律计算：11111111+++++++=_____248163264128256.三、解答题1. (2016·新疆)如图，▱ABCD 中，AB=2，AD=1，∠ADC=60°，将▱ABCD 沿过点A 的直线l 折叠，使点D 落到AB 边上的点D ′处，折痕交CD 边于点E ． （1）求证：四边形BCED ′是菱形；（2）若点P 时直线l 上的一个动点，请计算PD ′+PB 的最小值．2、已知：如图，平行四边形ABCD 中，DE ⊥AB ，DF ⊥BC ，垂足分别为E 、F ，AB ∶BC=6∶5，平行四边形ABCD 的周长为110，面积为600。
专题1第4讲转化与化归思想Word版
四、转化与化归思想转化与化归思想方法，就是在研究和解决相关数学问题时，采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而使问题得到解决的一种数学方法．一般是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题．(1)直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题．(2)换元法：使用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题．(3)数形结合法：研究原问题中数量关系(解析式)与空间形式(图形)关系，通过互相变换获得转化途径．(4)等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价问题，以达到化归的目的．(5)特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的问题的结论适合原问题．(6)构造法：“构造”一个适宜的数学模型，把问题变为易于解决的问题．(7)坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题是转化方法的一个重要途径．(8)类比法：使用类比推理，猜测问题的结论，易于探求．(9)参数法：引进参数，使原问题转化为熟悉的问题实行解决．(10)补集法：假如正面解决原问题有困难，可把原问题的结果看作集合A ，而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集U ，通过解决全集U 及补集∁U A 使原问题获得解决，表达了正难则反的原则．[例1] 若椭圆C 的方程为x 25＋y 2m ＝1，焦点在x 轴上，与直线y ＝kx ＋1总有公共点，那么m 的取值范围为________．[思维流程]特殊与一般的转化步骤特殊与一般转化法是在解决问题过程中将某些一般问题实行特殊化处理或将某些特殊问题实行一般化处理的方法．这类转化法一般的解题步骤是：第一步：确立需转化的目标问题：一般将要解决的问题作为转化目标．第二步：寻找“特殊元素”与“一般元素”：把一般问题转化为特殊问题时，寻找“特殊元素”；把特殊问题转化为一般问题时，寻找“一般元素”．第三步：确立新目标问题：根据新确立的“特殊元素”或者“一般元素”，明确其与需要解决问题的关系，确立新的需要解决的问题．第四步：解决新目标问题：在新的板块知识背景下用特定的知识解决新目标问题．第五步：回归目标问题．第六步：回顾反思：常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等．对于选择题，当题设在普通条件下都成立时，用特殊值实行探求，可快捷地得到答案；对于填空题，当填空题的结论唯一或题设条件提供的信息暗示答案是一个定值时，能够把题中变化的量用特殊值代替，即可得到答案．1．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1的右支上存有一点P ，使得点P 到双曲线右焦点的距离等于它到直线x ＝－a 2c(其中c 2＝a 2＋b 2)的距离，则双曲线C 离心率的取值范围是( ) A ．(1, 2 ] B ．[2，＋∞)C ．(1, 2＋1] D ．[2＋1，＋∞)[例2] (1)设x ，y 为正实数，若4x 2＋y 2＋xy ＝1，则2x ＋y 的最大值是________．(2)若关于x 的方程9x ＋(4＋a )·3x ＋4＝0有解，则实数a 的取值范围是________．[思维流程]函数、方程与不等式间的转化函数、方程与不等式就像“一胞三兄弟”，解决方程、不等式的问题需要函数协助，解决函数的问题需要方程、不等式的协助，所以借助于函数、方程、不等式实行转化与化归能够将问题化繁为简，一般可将不等式关系转化为最值(值域)问题，从而求出参变量的范围．2．已知函数f (x )＝13ax 3＋bx 2＋x ＋3，其中a ≠0. (1)当a ，b 满足什么条件时，f (x )能取得极值？(2)已知a >0，且f (x )在区间(0,1]上单调递增，试用a 表示出b 的取值范围．[例3] 若对于任意t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋⎝⎛⎭⎫m 2＋2x 2－2x 在区间(t,3)上总不为单调函数，则实数m 的取值范围是________．[思维流程]正与反的转化法正难则反，利用补集求得其解，这就是补集思想，一种充分表达对立统一、相互转化的思想方法．一般地，题目若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很少，从反面考虑较简单，所以，间接法多用于含有“至多”“至少”情形的问题中．3．若二次函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1在区间[－1,1]内至少存有一个值c ，使得f (c )>0，则实数p 的取值范围是________．[例4] 已知函数f (x )＝x 3＋3ax －1，g (x )＝f ′(x )－ax －5，其中f ′(x )是f (x )的导函数．对满足－1≤a ≤1的一切a 的值，都有g (x )<0，则实数x 的取值范围为________．[思维流程]主与次的转化法合情合理的转化是数学问题能否“明朗化”的关键所在，通过变换主元，起到了化繁为简的作用．在不等式中出现了两个字母：x 及a ，关键在于该把哪个字母看成变量，哪个看成常数．显然可将a 视作自变量，则上述问题即可转化为在[－1,1]内关于a 的一次函数小于0恒成立的问题．4．设f (x )是定义在R 上的单调增函数，若f (1－ax －x 2)≤f (2－a )对任意a ∈[－1,1]恒成立，求x 的取值范围．“化归与转化”还有“数与形的转化、数学各分支之间的转化”等，应用时还应遵循以下五条原则：1．熟悉化原则将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于使用熟知的知识和经验来解答问题．2．简单化原则将复杂的问题转化为简单的问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据．3．和谐化原则转化问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐统一的形式，或者转化命题，使其推演有利于使用某种数学方法或符合人们的思维规律．4．直观化原则将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决．5．正难则反原则当问题正面讨论遇到困难时，应想到考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获得解决，或证明问题的可能性．总来说之，化归与转化是高中数学的一种重要思想方法，掌握好化归与转化的思想方法的特点、题型、方法、要素和原则对我们学习数学是非常有协助的．一、选择题1．若a >2，则关于x 的方程13x 3－ax 2＋1＝0在(0,2)上恰好有( ) 个根A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 2.如下图，已知三棱锥P -ABC ，P A ＝BC ＝234，PB ＝AC ＝10，PC ＝AB＝241，则三棱锥P -ABC 的体积为( )A ．40B ．80C ．160D ．2403．定义运算：(a ⊕b )⊗x ＝ax 2＋bx ＋2.若关于x 的不等式(a ⊕b )⊗x <0的解集为{x |1<x <2}，则关于x 的不等式(b ⊕a )⊗x <0的解集为( )A ．(1,2)B ．(－∞，1)∪(2，＋∞)C.⎝⎛⎭⎫－23，1D.⎝⎛⎭⎫－∞，－23∪(1，＋∞) 4．已知OA ＝(cos θ1,2sin θ1)，OB ＝(cos θ2，2sin θ2)，若OA '＝(cos θ1，sin θ1)，OB '＝(cosθ2，sin θ2)，且满足OA '·OB '＝0，则S △OAB 等于( )A.12 B ．1C ．2 D ．4 5．已知函数f (x )＝4sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x －23cos 2x ＋1且给定条件p ：“π4≤x ≤π2”，又给定条件q ：“|f (x )－m |<2”，且p 是q 的充分条件，则实数m 的取值范围是( )A ．(3,5)B ．(－2,2)C ．(1,3)D ．(5,7)6．抛物线y ＝x 2上的所有弦都不能被直线y ＝m (x －3)垂直平分，则m 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫－12，＋∞B.⎝⎛⎭⎫－3，－12C.⎝⎛⎭⎫－12，＋∞ D ．(－1，＋∞) 二、填空题7. 若x ，y ∈R ，集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y ) x a －y b ＝1，a >0，b >0，当A ∩B 有且只有一个元素时，a ，b 满足的关系式是________．8．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a 2n ＋a n ，用[x ]表示不超过x 的最大整数，则⎣⎡⎦⎤1a 1＋1＋1a 2＋1＋…＋1a 2 013＋1＝________. 9．在各棱长都等于1的正四面体OABC 中，若点P 满足OP ＝x OA ＋y OB ＋z OC (x ＋y＋z ＝1)，则|OP |的最小值等于________．三、解答题10．(2013·海淀模拟)在四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，△ABC 是正三角形，AC 与BD 的交点M 恰好是AC 的中点，又∠CAD ＝30°，P A＝AB ＝4，点N 在线段PB 上，且PN NB ＝13. (1)求证：BD ⊥PC ；(2)求证：MN ∥平面PDC ；(3)设平面P AB ∩平面PCD ＝l ，试问直线l 是否与直线CD 平行，请说明理由．11．已知函数f (x )＝x －1x，g (x )＝a ln x ，其中x >0，a ∈R ，令函数h (x )＝f (x )－g (x )． (1)若函数h (x )在(0，＋∞)上单调递增，求a 的取值范围；(2)当a 取(1)中的最大值时，判断方程h (x )＋h (2－x )＝0在(0,1)上是否有解，并说明理由．12．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－p 2(p >0)．若抛物线C ：y 2＝2px 上的点到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值为2.(1)求抛物线C 的方程；(2)若以抛物线上任意一点M 为切点的直线l 与直线l 2交于点N .试问x 轴上是否存在定点Q ，使点Q 在以MN 为直径的圆上？若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由．。
初中九年级数学化归思想复习课件
【考点解析】
除简单的数学问题外，每个数学问题的解决都 是通过转化为已知的问题实现的，化归转化思想是 解决数学问题的根本思想，常见的化归有:未知向已 知转化，复杂问题向简单问题转化，空间向平面的 转化，高维向低维转化，多元向一元转化，高次向 低次转化，函数与方程的转化，无限向有限的转化 等，都是转化思想的体现。
【考题解析】
解：设该单位这次共有x名员工去天水湾风景区旅 游.因为1000×25＝25000＜27000，所以员工人数 一定超过25人. 可得方程［1000－20（x－25）］x＝27000. 整理，得x2－75x＋1350＝0， 解得x1＝45，x2＝30. 当x1＝45时，1000－20（x－25）＝600＜700，故 舍去x1 当x2＝30时，1000－20（x－25）＝900＞700.符合 题意. 答：该单位这次共有30名员工去天水湾风景区旅游 .
D
B
C
DE FE，AED CEF，AE CE
∴ △ADE ≌△CFE
∴∠A=∠FCE.故: AB∥CF
【概念解读】 2
例(2006苏州)已知函数y= x 和y=kx+l(k≠O)．(1) 若这两个函数的图象都经过点(1，a)，求a和k的值 ；(2)当k取何值时，这两个函数的图象总有公共点? 解:⑴因为两函数都经过点(1,a),
熟练，扎实的掌握基础知识、基本技能和基本 方法是转化的基础；丰富的联想，机敏细微的观察 、比较、类比是实现转化的桥梁；培养训练自己自 觉的化归与转化意识需要对定理、公式、法则有本 质上的深刻理解和对典型习题的总结和提炼，要积 极主动有意识007南昌)已知二次函数 y x2 2x m 的部分
图象如图所示，则关于x的一元二次方程 x2 2x m 0
中学数学专题教案：数学思想方法之化归探讨
【中考攻略】专题14：数学思想方法之化归探讨化归是一种重要的解题思想，也是一种最基本的思维策略，更是一种有效的数学思维方式。
“化归”是转化和归结的简称。
数学问题的解决过程就是一系列化归的过程，中学数学处处都体现出化归的思想，在数学问题的解决过程中，常用的很多数学方法实质就是化归的方法。
化归思想是指在解决问题的过程中，有意识地对所研究的问题从一种对象在一定条件下转化为另一对象的思维方式。
通常有从未知——已知；复杂——简单；抽象——具体；一般——特殊；综合——单一；高维——低维；多元——一元；困难——容易，以及数学表现形式之间的转化、将实际问题转化为数学问题等。
说到底，化归的实质就是以运动变化发展的观点，以及事物之间相互联系，相互制约的观点看待问题，善于对所要解决的问题进行变换转化，使问题得以解决。
体现上述化归思想的有换元法、消元法、配方法、降次法、待定系数法、几何三大变换法、几何问题代数化法、代数问题函数化法、数形结合法等等。
例如，当1,1-==y x 时，求22222345x y xy x y xy -+-的值。
该题可以采用直接代入法，但是更简易的方法应为先化简再求值，此时原式14118)1(168622-=⨯⨯--⨯⨯=-=xy y x 。
这就是由复杂——简单的化归。
又如，解一元二次方程232=0x x -+。
我们可以将左边分解因式，应用降次化为两个一元一次方程求解，这就是由高维——低维的化归；也可以将方程配方成为一个整式的平方等于一个数的形式，应用平方根的性质求解，这就是由未知——已知的化归。
再如，如图，正方形ABCD 中，AB=4，E 是BC 的中点，点P 是对角线AC 上一动点，求PE+PB 的最小值。
连接DE ，交BD 于点P ，连接BD 。
因为点B 与点D 关于AC 对称，所以DE 的长即为PE+PB 的最小值。
从而将求PE+PB 的最小值变为求DE 的长。
这就是应用轴对称的性质的从困难——容易的化归。
中学数学的思想方法——化归
1、化未知问题为已知问题
解：过D作DE∥AC交BC的延长线于点E， 则得AD=CE，AC=DE，所以BE=BC+CE=8。 ∵AC⊥BD ∴BD⊥DE 又∵AB=CD ∴AC=BD ∴BD=DE 在Rt△BDE中， BD 2 DE 2 BE 2 ∴BD=
=
2 BE 2
4 2
即AC=
4 2
2、化新问题为旧问题
数学思想与方法——化归
蠡县电大
白鹤鹏
数学是一门演绎推理的学科。它的 任一分支在其内容展开过程中，都有形 或无形地存在着如下的结论链：
原始概论
⇒
结论A
⇒
结论B
⇒
结论C
⇒
……
一、化归思想的涵义和作用
化归思想，又称转换思想或转化思 想，是一种把待解决或未解决的问题， 通过某种转化过程归结到一类已经能解 决或比较容易解决的问题中去，最终求 得问题解答的数学思想。 化归法和数形结合方法是转化思想 在数学方法论上的体现，是数学中普遍 适用的重要方法。
5、化代数问题为几何问题（即数形转化思想）
例：已知直线 y1 2 x 4 与 x轴、y轴的交点 分别是B、A，直线
y2 1 x3 2
与x轴、y轴
的交点分别是D、C。 求四边形ABCD的面积.
5、化代数问题为几何问题（即数形转化思想）
解：在直线 y1 2 x 4 中， y1 4 ， 当x＝0时， 所以A点坐标为（0，4）， 当 y1 0 时，x＝－2， 所以B点的坐标为（－2，0）； 1 y x 3 中， 在直线 2 y 2 3 当x＝0时， 所以C点坐标为（0，－3））. 函数图象如图： 1 1 S S S BD AO BD CO ∴ 2 2
化归思想
化归思想化归思想是初中数学中常见的一种思想方法。
“化归”是转化和归结的简称。
我们在处理和解决数学问题时,总的指导思想是把问题转化为能够解决的问题,这就是化归思想。
正如古之“围魏救赵”是战史上“避实就虚”的典型战例,军事上的这种策略思想迁移到数学解题方面,可以这样理解它:“实”是指繁、难、隐蔽、曲折，“虚”是指简、易、明显、径直。
在解题中表现为:化难为易,避繁从简,转暗为明,化生为熟。
具体的说,即把生疏的问题转化为熟悉的问题,把抽象的问题转化为具体的问题,把复杂的问题转化为简单的问题,把一般的问题转化为特殊的问题,把高次的问题转化为低次的问题,把未知转化为已知,把一个综合的问题转化为几个基本的问题等等。
化归思想无处不在,它是分析问题解决问题的有效途径。
在初中数学学习中运用这种化归的思维方法解决问题的例子非常多。
例如,在代数方程求解时大多采用“化归”的思路,它是解决方程(组)问题的最基本的思想。
即将复杂的方程(组)通过各种途径转化为简单的方程(组),最后归结为一元一次方程或一元二次方程。
这种化归过程可以概括为“高次方程低次化,无理方程有理化,分式方程整式化,多元方程组一元化”。
这里化归的主要途径是降次和消元。
虽然各类方程(组)具体的解法不尽相同,然而万变不离其宗,化归是方程求解的金钥匙。
平面几何的学习中亦是如此。
例如,研究四边形、多边形问题时通过分割图形,把四边形、多边形知识转化为三角形知识来研究；解斜三角形的问题，通过作三角形一边上的高，转化为解直角三角形问题；我们熟悉的梯形问题,常通过作腰的平行线或作两条高等常用辅助线,把梯形问题转化为平行四边形与三角形问题。
又如，圆中有关弦心距、半径、弦长的计算亦能通过连结半径或作弦心距把问题转化为直角三角形的求解。
还有，解正多边形的问题，通过添半径和边心距，转化为解直角三角形问题等等。
化归思想贯穿整个初中数学，在学习的过程中要有意识的体会这种科学的思维方法，有利于我们在解决问题的过程中思维通畅、方法得当，从而达到事半功倍的效果。
中考数学复习考点解密第五讲化归思想.doc
中考数学复习考点解密第五讲化归思想【专题精讲】数学思想是数学内容的进一步提炼和概括，是对数学内容的种木质认识，数学方法是实施有关数学思想的一种方式、途径、手段，数学思想方法是数学发现、发明的关键和动力.抓住数学思想方法，善于迅速调用数学思想方法，更是提高解题能力根本之所在.因此，在复习吋要注意体会教材例题、习题以及中考试题中所体现的数学思想和方法，培养用数学思想方法解决问题的意识. 【解题策略】所谓化归思想就是化未知为已知、化繁为简、化难为易.如将分式方程化为整式方程，将代数问题化为几何问题，将四边形问题转化为三角形问题等.实现这种转化的方法有：待定系数法、配方法、整体代人法以及化动为静、由抽象到具体等.【解法精讲】化归思想是初中数学中常用的一种重耍数学思想，其本质就是转化，曾被笛卡儿誉为“万能方法”。
他在《指导思维的法则》一书中指出：第一，将任何种类的问题转化为数学问题；其次，将任何种类的数学问题转化为代数问题；第三，将任何代数问题转化为方程式的求解。
【考点精讲】考点类型一：方程类例题1：（2017宁夏）某商店分两次购进A、B两种商品进行销售，两次购进同一种商品的进价相同，具体情况如下表所示：（1）求A、B两种商品每件的进价分别是多少元？（2）簡场决定A种陷j品以每件30元出售，B种商品以每件100元出售.为满足市场需求，需购进A、B两种商品共1000件，且A种商品的数量不少于B种商品数量的4倍，请你求出获利最大的进货方案，并确定最大利润.【分析】（1）设A种商品每件的进价为x元，B种商品每件的进价为y元，根据两次进货情况表，可得出关于X、y的二元一次方程组，解Z即可得出结论；（2）设购进B种商品m件，获得的利润为w元，则购进A种商品（1000・m）件，根据总利润二单件利润X购进数量，即可得出、v与m之间的函数关系式，由A种簡品的数量不少于B种商品数量的4倍，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再根据一次函数的性质即可解决最值问题.【解答】解：（1）设A种商品每件的进价为x元，B种商品每件的进价为y元,30^40y=3800根据题意得:40 廿30尸3200答：A种商品每件的进价为20元，B种商品每件的进价为80元.（2）设购进B种商品m件，获得的利润为w元，则购进A种商品（1000 ・m）件,根据题意得:w= (30 - 20) (1000 -m) + (100 - 80) m=10m+10000.・・・/\种商品的数量不少于B种商品数量的4倍,解得：mW200・・・•在w=10m+10000 中，k=10>0,・・・w的值随m的增大而增大，・••当m二200时，w取最大值,最大值为10X200+10000=12000,・•・当购进A种商品800件、B种商品200件时，销售利润最大，最大利润为12000元.【点评】本题考查了一次函数的应用、二元一次方程组的应用以及解一元一次不等式，解题的关键是：（1）找准等量关系，列出二元一次方程组；（2）根据数量关系，找出\v与ni之间的函数关系式.考点类型二：代数转化几何类例题2：（2017内江）如图，某人为了测量小山顶上的塔ED的高，他在山下的点A处测得塔尖点D的仰角为45°,再沿AC方向前进60m到达山脚点B,测得塔尖点D的仰角为60°，塔底点E的仰角为30°,求塔ED的高度.（结果保留根号）【考点】TA：解直角三角形的应用-仰角俯角问题.【分析】先求tBZDBE=30° , ZBDE=30°,得出BE二DE,然后设EC二x,则BE二2x, DE=2x, DC二3x, BO曲x,然后根据ZDAC=45°,可得AC二CD,列出方程求出x的值，然后即可求出塔DE的高度. 【解答】解：由题知，ZDBC=60° , ZEBC=30° ,A ZDBE=ZDBC - ZEBC=60° - 30° =30° .又V ZBCD=90° ,・・・ZBDC二90°・ ZDBC=90°・ 60°二30°・・・・ZDBE 二ZBDE.・・・BE二DE.设EC=x,则DE二BE二2EC二2x, DC二EC+DE二x+2x二3x,BC=V B B2-*C M(2X)2-T2=V3X，由题知，ZDAC=45° , ZDCA=90° , AB二20,•••△ACD为等腰直角三角形，・・・AC二DC.x/^x+60二3x,解得：x=30+10 答：塔高约为30+10爲m.考点类型三：四边形转化三角形类：例题3：如图，在等腰三角形纸片ABC屮，AB二AC二10, BC二12,沿底边BC上的高AD剪成两个三角形，用这两个三角形拼成平行四边形，则这个平行四边形较长的对角线的长是—10cm,【考点】PC：图形的剪拼.【分析】利用等腰三角形的性质，进而重新组合得出平行四边形，进而利用勾股定理求出对角线的长.【解答】解：如图:过点A作AD丄BC于点D,V AABC 边AB二AOlOcm, BC=12cm,・・・ BD 二DC 二6cm,AAD=8cm,如图①所示：可得四边形ACBD是矩形，则其対角线长为：10cm,如图②所示：AD二8cm,连接BC,过点C作CE丄BD于点E,则EC二8cm, BE=2BD=12cm,则BC=4 \/13cnb如图③所示：BD二6cm,由题意可得:AE=6cm, EC=2BE=16cm,故唇丄6霓2V^cm,故答案为：10cm, 2炳cm, 4近^cm.考点类型四例题4：几何转化为代数类例题：（2017浙江义乌）在探索“尺规三等分角”这个数学名题的过程中，曾利用了如图•该图中，四边形ABCD是矩形，E是BA延长线上一点，F是CE上一点，ZACF=ZAFC, ZFAE=Z FEA.若ZACB=21°,则ZECD 的度数是（）B------------ CA. 7°B. 21°C. 23°D. 24°【考点】LB：矩形的性质；JA：平行线的性质.【分析】由矩形的性质得tUZD=90° , AB〃CD, AD〃BC,证出ZFEA=ZECD, ZDAC=ZACB=21° , 由三角形的外角性质得出ZACF=2ZFEA,设ZECD=x,则ZACF=2x, ZACD=3x,在RtZkACD中, 由互余两角关系得出方程，解方程即可.【解答】解：•・•四边形ABCD是矩形，.\ZD=90° , AB〃CD, AD//BC,.\ZFEA=ZECD, ZDAC=ZACB=21° ,VZACF=ZAFC, ZFAE二ZFEA,・•・ ZACF=2ZFEA,设ZECD二x,则ZACF=2x,・・・ZACD二3x,在RtAACD 屮，3x+21° =90° ,解得：x=23°；故选：C.【真题演练】A.・1或3B.・1C. 3D. 1或・3【考点】B3：解分式方程.【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解.【解答】解：去分母得：3=x2+x - 3x,解得：x=・1或x=3,经检验x二・1是增根，分式方程的根为x=3,故选C2. （2017江苏徐州）（1）解方程：-二一?r（2）解不等式组：j yH想T •【考点】B3：解分式方程；CB：解一元一次不等式组.【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；（2）分别求出不等式组屮两不等式的解集，找出解集的公共部分即可.【解答】解：（1）2二一?T，z xfl去分母得：2 （x+1） =3x,解得：x=2,经检验x=2是分式方程的解，故原方程的解为x二2；由①得：x>0；由②得：x<5,故不等式组的解集为0Vx<5.3. （2017齐齐哈尔）已知等腰三角形的周长是10,底边长y是腰长x的函数，则下列图象【考点】F3： —次函数的图象；K6：三角形三边关系；KH ：等腰三角形的性质.【分析】先根据三角形的周长公式求出函数关系式，再根据三角形的任意两边之和大于笫三 边，三角形的任意两边之差小于第三边求出x 的取值范围，然后选择即可.【解答】解：市题意得，2x+y 二10,所以,y= - 2x+10,解不等式①得，x>2.5,解不等式②的，x<5,所以，不等式组的解集是2.5<x<5,正确反映y 与x 之间函数关系的图象是D 选项图象.由三角形的三边关系得,2Z >-2X +10(D 0) VC故选D.4. （2017廿肃张掖）如图，某小区计划在一块长为32n）,宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的而积为570於・若设道路的宽为xm,则下面所列方程正确的是（）C. (32 ・x) (20 ・x) =32X20 ・ 570D. 32x+2X20x ・ 2x?二570【考点】AC：由实际问题抽象出一元二次方程.【分析】六块矩形空地正好能拼成一个矩形，设道路的宽为xm,根据草坪的面枳是570m2,即可列出方程.【解答】解：设道路的宽为xm,根据题意得：(32・2x) (20・x)二570,故选：A.5. (2017甘肃张掖)美丽的黄河宛如一条玉带穿城而过，沿河两岸的滨河路风情线是兰州最美的景观之一.数学课外实践活动中，小林在南滨河路上的A, B两点处，利用测角仪分别対北岸的一观景亭D进行了测量.如图，测得ZDAC二45° , ZDBC二65°.若AB-132米，求观景亭D到南滨河路AC的距离约为多少米?(结果精确到1米，参考数据:sin65° =0.91,cos65°【考点】T8：解直角三角形的应用.【分析】过点D 作DE 丄AC,垂足为E,设BE 二x,根据AE 二DE,列出方程即可解决问题.【解答】解：过点D 作DE 丄AC,垂足为E,设BE 二x, 在 RtADEB 中，MUV ZDBC-650 , /• DE=xta.n65° .又 V ZDAC=45°,5.42, tan65° ^2. 14)・・・AE 二DE./. 132+x=xtan65° ,・・・解得X ^115.8,・・・DE Q 248 (米).・・・观景亭D 到南滨河路AC 的距离约为248米.C E 36. (2017浙江衢州)在直角坐标系中，过原点0及点A (8, 0), C (0, 6)作矩形0ABC 、连结0B,点D 为0B 的中点，点E 是线段AB 上的动点，连结DE,作DF 丄DE,交0A 于点F,连 结EF.已知点E 从A 点出发，以每秒1个单位长度的速度在线段AB 上移动，设移动时间为t(2) 如图2,当点E 在线段AB 上移动的过程中，ZDEF 的大小是否发生变化？如果变化，请 说明理由；如果不变，请求tanZDEF 的值.(3) 连结AD,当AD 将ADEF 分成的两部分的而积Z 比为1： 2时，求相应的t 的值.【考点】L0：四边形综合题.【分析】(1)当t 二3时，点E 为AB 的屮点，由三角形屮位线定理得出DE 〃OA, DE 二*)A 二4, 再市矩形的性质证出DE 丄AB,得出Z0AB 二ZDEA 二90° ,证岀四边形DFAE 是矩形，得出DF 二AE(1) 如图1,当t=3时，求DF 的长.T即可；（2）作DM 丄0A 于M, DN 丄AB 于N,证明四边形DMAN 是矩形,得出ZMDN=90° , DM/7 AB, DN //OA,由平行线得出比例式黔瞿,弟煨，由三角形中位线定理得出DM=^AB 二3,UU rK> uU JUk 乙DN 二寺024，证明△ DMF-ADNE,得出詈器弓再市三角函数定义即可得出答案；（3）作作DM 丄0A 于M, DN 丄AB 于N,若AD 将ADEF 的面积分成1 ： 2的两部分，设AD 交EF于点G,则点G 为EF 的三等分点;①当点E 到达中点Z 前时，NE 二3・t, rflADMF^ADNE 得：MF 二咅（3・t ）,求出AF 二4+MF=-4代入即可求岀t 的值;②当点E 越过中点之后，NE 二t - 3,由厶DMF^ADNE 得：MF 二g （t - 3）,求出AF 二4・MF 二-弓t+孚, 4 4 4 得出G （逖許，专t ）,代入直线AD 的解析式y 二-咅+6求出t 的值即可.【解答】解：（1）当t=3时，点E 为AB 的中点，VA (8, 0), C (0, 6),・・・0A 二8, 006,・・•点D 为0B 的中点，・・・DE 〃OA, DE 二±0A=4, 2•・•四边形OABC 是矩形,A0A1AB,・・・DE 丄AB,A Z0AB=ZDEA=90° ,又・・・DF 丄DE,A ZEDF=90° ,・・・四边形DFAE 是矩形,・・・DF 二AE 二3； 哉-71 2 12 3t ）,求出直线AD 的解析式为 把G （警，訴）（2） ZDEF的大小不变；理由如下:作DM 丄0A 于M, DN 丄AB 于N,如图2所示: •・•四边形OABC 是矩形， ・・・0A 丄AB,・・・四边形DMAN 是矩形，A ZMDN=90° , DM 〃AB, DN 〃OA, ・BO jff DO 盘而五80 Bfc・・•点D 为OB 的中点,・・・M 、N 分别是0A 、AB 的中点， ・・・D\4A B 二3, DN 二2oA 二4, 2 2TZEDF 二90° , :.ZFDM=ZEDN,又 I ZDMF 二 ZDNE 二90° ,AADMF^ADNE,"re 4V ZEDF=90° ,(3)作 DM 丄0A 于 M, DN±AB 于 N, 若AD 将ADEF 的面积分成1： 2的两部分， 设AD 交EF 于点G,则点G 为EF 的三等分点; ①当点E 到达中点之前吋，如图3所示，NE=3-t, 由厶DMF^ADNE 得：\1F 二g (3 ・ t),4・・•点G 为EF 的三等分点,设直线AD 的解析式为y 二kx+b, 把 A (8, 0), D (4, 3)代入得:A tanZDEF= DF.3 DE 4•I AF=4+MF 二If・・・直线AD的解析式为y=- 2X+6,把G （半汀寻t）代入得：t二薯;②当点E越过中点之后，如图4所示，NE=t - 3,由厶DME^ADNE 得：曲二g（t・3）,4・・・AF二4 - MF=- 討罟，・・•点G为EF的三等分点，・・.G （警.1 t）,6 3代入直线AD的解析式y= - -^x+6得：t二£書；4 LT综上所述，当AD将ADEF分成的两部分的面积之比为1： 2时，t的值为普或罟痔4.J -。
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初中数学专题复习(一) 化归思想
本专题专门复习化归思想．所谓化归思想就是化未知为已知、化繁为简、化难为易．如将分式方程化为整式方程，将代数问题化为几何问题，将四边形问题转化为三角形问题等．实现这种转化的方法有：待定系数法、配方法、整体代人法以及化动为静、由抽象到具体等． 【典型例题剖析】
一、转化思想在代数中的应用。
1.已知：n m ,满足13,132
2
=-=-n n m m , 求n
m
m n +的值。
二、转化思想在函数问题上的应用： 1.
函数1
y x
=
】 A ．第一象限 B.第一、三象限 C.第二象限 D.第二、四象限
2.（2016成都）如图，在平面直角坐标系xOy 中，正比例函数的图象与反比例函数的图象都经过点A （2，2）．
（1）分别求这两个函数的表达式；
（2）将直线OA 向上平移3个单位长度后与y 轴交于点B ，与反比例函数图象在第四象限的交点为C ，连接AB 、AC ，求点C 的坐标及△ABC 的面积．
三、转化思想在几何中的应用。
2、已知：如图6所示在中，，∠BAC 、∠BCA 的角平分线AD 、CE 相交于O 。
求证：AC ＝AE ＋CD
y kx =m
y x
=
四、代数问题与几何问题之间的化归：
1.如图，已知矩形ABCD 中，E 是AB 上一点， 沿EC 折叠，使点B 落在AD 边的B‘处，若AB=6， BC=10， 求AE 的长。
2、如图，AB 是⊙O 的直径，PB 切⊙O 于点B ，PA 交⊙O 于点C ，∠APB 的平分线分别交BC 、AB 于点D 、E ，交⊙O 于点F ，∠A=60°，并且线段AE 、BD 的长是一元二次方程x 2－kx+23=0的两个根（k 为正的常数）。
⑴求证：PA ·BD=PB ·AE ； ⑵求证：⊙O 的直径为常数k ； ⑶求tan ∠FPA 的值。
【强化训练】 一、选择题与填空题
1、用换元法解方程x
x x x +=
++2
22
1时，若设x 2+x=y, 则原方程可化为（ ） A 、y 2+y+2=0 B 、y 2－y －2=0 C 、y 2－y+2=0 D 、y 2+y －2=0
2、已知如图：ΔABC 中，∠C=90°，BC=AC ，以AC 为直径的圆交AB 于D ，若AD=8cm ，则阴影部分的
面积为（ ）
A 、64πcm 2
B 、64 cm 2
C 、32 cm 2
D 、48 πcm 2
E
A
B
C
D E
F
P
3.如图，点A 、D 、G 、M 在半圆O 上，四边形ABOC 、DEOF 、HMNO 均为矩形，设BC=a, EF=b ，NH=c ，
则下列各式中正确的是 A 、a ＞b ＞c
B 、a=b=c
C 、c ＞a ＞b
D 、b ＞c ＞a
4. 如图，圆锥的母线长是3，底面半径是1，A 是底面圆周上从点A 出发绕侧面一周，再回到点A 的最短的路线长是( )
(A)
(B)
(C) (D) 5. 如图3－1－10，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为1
2 的矩形，
接着把面积为12 的矩形等分成两个面积为14 的正方形，再把面积为1
4 的正方
形等分成两个面积为1
8 的矩形，如此进行下去……试利用图形揭示的规律计
算：11111111
+++
++++=_____2
48163264128256
.
三、解答题
1. (2016·新疆)如图，▱ABCD 中，AB=2，AD=1，∠ADC=60°，将▱ABCD 沿过点A 的直线l 折叠，
使点D 落到AB 边上的点D ′处，折痕交CD 边于点E ． （1）求证：四边形BCED ′是菱形；
（2）若点P 时直线l 上的一个动点，请计算PD ′+PB 的最小值．
2、已知：如图，平行四边形ABCD 中，DE ⊥AB ，DF ⊥BC ，垂足分别为E 、F ，AB ∶BC=6∶5，平行四边形ABCD 的周长为110，面积为600。
362
3
3333第2题
第4题
H N
O
F
C
A
D G M
c a
b E B
第3题
求：cos∠EDF的值。
3.（2016·四川凉山州·8分）如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，A是的中点，AE⊥AC于A，与⊙O及CB的延长线交于点F、E，且．
（1）求证：△ADC∽△EBA；
（2）如果AB=8，CD=5，求tan∠CAD的值．
4.（2016资阳）如图，在平行四边形ABCD中，点A、B、C的坐标分别是（1，0）、（3，1）、（3，3），双曲线y=（k≠0，x＞0）过点D．
（1）求双曲线的解析式；
（2）作直线AC交y轴于点E，连结DE，求△CDE的面积．
5.（2015•鄂州,第24题12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=﹣且经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．
（1）①直接写出点B的坐标；②求抛物线解析式．
（2）若点P为直线AC上方的抛物线上的一点，连接PA，PC．求△PAC的面积的最大值，并求出此时点P 的坐标．。