复变函数6.3 辐角原理及其应用

则根据引理(6.4)知,
f ( z ) f (z)
在C内部及C上除去在C内部有一级极点ak(k=1,2,…p) 及bj(j=1,2,…q)均是解析的.
故由留数定理6.1,及引理6.4得
2 i 1 f ( z ) f (z)
C
dz Re s
k 1 p z ak
q
p
f ( z ) f (z)
argf(z)=arg((z-1)(z-2)2(z-4)) argf(z)=arg(z-1)+arg (z-2)2+arg (z-4) =arg(z-1)+2arg (z-2)+arg (z-4) =6 y v |z|=3 |w+4|=3 |w+1|=3 |w+2|=3 w=z-2 w=z-1 w=z-4 O x O
f '( z ) f (z)

g '( z ) g '( z ) n 在点a的邻域内解析, g(z) z a g( z) f '( z ) f '( z ) a必为 f ( z ) 的一级极点,且 Reas f ( z ) c1 n z


.
(2)如b为f(z)m级极点 在点b的去心邻域内有
定理如函数f(z)在D内单叶解析 6.11 则在D内f (z)≠0. 证: (反证法) 若有D的点z0使 f (z0)≠0,则z0必 为f(z)- f(z0)的一个n级零点(n≥2).由零点的孤立性, 故存在>0 ,使在圆周 C: |z-z0|=上: f(z)- f(z0)≠0, 在C的内部, f(z)- f(z0)及f /(z)无异于z0的零点. 命m表|f(z)- f(z0)|在C上的下确界,则由儒歇定 理即知,当0<|-a|<m时, f(z)- f(z0)-a在圆周C的内部 亦恰有n个零点.但这些零点无一为多重点,理由是 f /(z)在C内部除z0外无其他零点,而z0显然非 f(z)- f(z0)-a的零点.
推论2: n次方程 (p(z)=)a0zn+ a1zn-1+ …+an=0 (a0≠ 0） 在复数域内有且仅有n个根（几重根就算几个根）
证 明 思 路
1.首先证明存在R>0，
无 方程在圆|z|<R内恰有n个根 ， 根
2.其次证明，对z0 |z0|=R0≥R， 均有|p(z0)|>0 1.令， f(z)=a0zn, (z)= a1zn-1+ …+an=0 证 则当|z|=R时， |(z)|≤| a1zn-1|+ …+|an| 明 = | a1|Rn-1+ …+|an-1|R+|an| 取R>1 ≤( | a1|+ …+|an-1|+|an|) Rn-1 <|a0|Rn=|f(z)|
(6.27)
N ( f ,C ) P( f ,C ) c arg f ( z ) 2 .
∆Cargf(z)表示z 沿C之正向绕行 一周时argf(z)的 (6.28) 改变量
y w=f(z) O
2 i 1 f ( z ) f (z) dz
[
v x
2 i
2 i 1
(z) c arg[ f ( z ) ( z )] c arg f ( z ) c arg 1 f (z)
(z) f ( z ) ( z ) f ( z ) 1 f (z)
(6.31)
根据条件(2), 当z沿C变动时
u
例6.22 设n次多项式 p(z)=a0zn+ a1zn-1+ …+an=0 (a0≠ 0）
在虚轴上没有零点，证明它的全部零点在左半平面 Rez<0内的充要条件是: y
arg P ( iy ) n
Ri
C Ri , Ri R : z Re R R 2 2 P(z)的全部零点在左半平面内 O
R R
lim R arg( P ( z )) lim R arg a0 z n (1 g( z ))
R R
lim R arg a0 z n lim R arg(1 g ( z )) n
R R
lim y ( R R ) arg( P ( iy )) n
dz
10
( z10 1) z 1
| z| 4
6.3.2 辐角原理
(1) C是一条周线 辅角 (2) f(z)在C内是亚纯的 原理 (3) f(z)在C上连续且不为零 特别说来,如f(z)在周线 C上及C之内部均解析, 且f(z)在C上不为零,则
N ( f ,C ) c arg f ( z ) 2 .
ie
y ( )
CR x
R
N (P,CR )
R
C R arg( P ( z )) 2
0( R )
Ri
R
0 limC R arg( P ( z )) lim R arg( P ( z )) lim y ( R R ) arg( P ( iy ))
有n个根 R
限定| a1|+ …+|an|≤|a0|R
所以只要取
| a1 | | a n | R max ,1 | a0 |
有:当|z|=R时,| f(z)|>|(z)|, f(z),(z)在|z|≤R上解析
N(f(z)+(z),C)=N(f(z),C)=n
的一级极点,且
f '( z ) Re s m z b f (z)
证 如a为f(z)的n级零点,则在点a的邻域内有
f ( z ) ( z a ) g ( z ),
n
其中g(z)在点a的邻域内解析,且g(a)≠0.于是
f '( z ) n( z a ) n 1 g ( z ) ( z a ) n g '( z ),
即：N(p(z),C)=n
2.z0: |z0|=R0≥R，需证:|p(z0)|>0 |(z0)| | a1z0n-1|+ …+|an| = | a1|R0n-1+ …+|an-1|R0+|an|
( | a1|+ …+|an-1|+|an|) R0n-1 |a0|R0n=|f(z0)| |p(z0)|=|f(z0)+(z0)| |f(z0)|-|(z0)|>0 p(z0)=a0z0n+ a1z0n-1+ …+an 0
| f ( z ) ( z ) || f ( z ) ( z ) | 0.
这样一来,这两个函数f(z)与 f(z)+(z)都满足定 理6.9的条件.由于这两个函数在C的内部解析,于是 由(6.28),下面只须证明 (6.30) c arg[ f ( z ) ( z )] c arg f ( z ). 由关系式


m

h '( z )
.
故b为
f ( z ) f (z)
的一级极点,且
f ( z ) 则 1 C f ( z ) dz N ( f , C ) P ( f , C ), (6.26) 有 2 i 式中N(f,C)与P(f,C)分别表示f(z)在C内部的零 点与极点的个数 特别注意几阶算几个.
f '( z ) 显然,函数f(z)的零点和奇点都可能是 f ( z ) 的奇点.
引理6.4 (1)设a为f(z)的n级零点(极点）, a必为函数
f ( z ) f (z)
的一级极点,且
Fra Baidu bibliotek
(2)设b为f(z)的m级极点 必为函数
f ( z ) f (z)

f '( z ) Re s n z a f (z)
R
y ( ) arg( P ( iy )) n
6.3.3 儒歇(Rouche)定理
定理6.10 (儒歇(Rouche)定理) 设C是一条周线,函数f(z)及(z)满足条件: (1)它们在C的内部均解析,且连续到C; (2)在C上, |f(z)|>|(z)| f(z)与 f(z)+(z) 在C内部有同样多的零点,即 N ( f , C ) N ( f , C ). 证 由假设f(z)与 f(z)+(z)在C内部解析, 且连续到C,在C上有| f(z)|>0,及
Re s
j 1 z b j
q
f ( z ) f (z)
nk ( m j ) N ( f , C ) P ( f , C )
k 1 j 1
例 计算积分
I z9 z 1
10 |z| 4
I
1
z9 z 1
10
10
|z| 4
dz
dz
1 10 2 i (10 0 ) 2 i
| ( z ) f ( z ) | 1.
0
z
1
(z)
f (z)
0
arg


1 2
借助函数
1
(z)
f (z)
C
图6.14
将z平面上的围线C变成平面上的闭曲线,
1
(z)
f (z)
1
全在圆周|-1|=1的内部.
即是说,点 不会围着原点=0 绕行.
f (z) h( z ) ( z b )m
h(z)在点b的邻域内 解析,且h(b)≠0.
f ( z ) f (z) za h( z ) h '( z ) h( z ) 在点b解析
f '( z ) Re s m z a f (z)
f ( z )
h( z )( z b ) mh( z ) ( z b ) m 1
O

u
1
d dz
C
C
ln f ( z ) dz
d ln f ( z ) 2 i
C
1
C
d|ln f ( z ) | i darg f ( z )]
C


C
d ln | f ( z ) | ln | f ( z0 ) | ln | f ( z0 ) | 0
darg f ( z ) 1 0 C arg f ( z )
定理6.9 设C是一条围线,f(z)合条件: (1)f(z)在C内部除可能有极 即：f(z)在C内是亚纯的 点外是解析的; (2)可改为f(z)在C (2)f(z)在C上解析且不为零 上连续且不为零
证 由第五章习题(二)14,可知f(z)在C内部至多只 有有限个零点和极点.设ak(k=1,2,…p)为f(z)在C内 部的不同零点,其阶数相应地为nk; bj (j=1,2,…,q)为 f(z)在C内的不同极点,其阶数相应地为mj,
6.3 辐角原理及即应用
6.3.1 对数留数 6.3.2 辐角原理 6.3.3 儒歇定理
6.3.1 对数留数
定义：形如
2 i 1 f ( z ) f (z)
C
dz
2 i
1
C
d ln( f ( z ))
积分称为f(z)的对数留数
主要作用：推出辅角原理
对数留数因 此而得名
提供了计算解析函数零点个数的一个有效方 法.特别是,可以研究在一个指定的区域内多 项式零点个数的问题
C
2 i
1
f ( z ) f (z)
C
dz
i 2 i
C arg f ( z )
C arg f ( z ) 2
例6.21 设f(z)=(z-1)(z-2)2(z-4),C: |z|=3,试验证 辐角原理
N(f(z),C)=3
6
2

C arg f ( z ) 2
(z) c arg 1 0. f (z)
推论1: 设n次多项式 p(z)=a0zn+…+ atzn-t+…+an(a0≠0） 满足条件：|at|>|a0|+…+ |at-1|+ |at+1+ …+|an| 则p(z)在单位圆|z|<1内有n-t个零点 证：令f(z)= atzn-t, (z)=a0zn+…+ at-1zn-t+1+ at+1zn-t-1 +…+an 则f(z)与(z)均在闭单位圆域|z|≤1上解析，而且在单位 圆周 |z|=1上有： |f(z)|= |at|>|a0|+…+ |at-1|+ |at+1+ …+|an|≥|(z)| 由儒歇定里得p(z)=f(z)+(z)与f(z)在单位圆内有同样多 的零点，即为n-t个