开题报告

河北联合大学

本科毕业论文开题报告

题目：样条方法在矩阵函数

拟合中的应用

学院：理学院

专业：数学与应用数学

班级：09数学1班

姓名：刘苗

学号：20091000117

指导教师：龚佃选

2013年3月12日

一、题目来源背景（现状、前景）

对于在矩阵A的谱上一致的两个纯量多项式，，其矩阵多项式相同，即=。即是说在A固定的情况下，一个矩阵多项式，完全由在矩阵A的谱上的的值决定。根据这一事实，我们可以定义一般的矩阵函数，基

本思路是：设是一个任意的λ的函数，选取纯量多项式，使和

在A的谱上一致，则定义由所确定的矩阵函数就是。

由于矩阵函数是利用矩阵多项式来定义的，所以寻求矩阵函数的表达式，便可转化为求与它在矩阵A的谱上一致的矩阵多项式，这样的矩阵多项式不唯一。目前已有的矩阵多项式表示有：约当标准型表示（标准型Ⅰ）、拉格朗日—西勒维斯特（Lagrange-Sylvester）内插多项式表示（标准型Ⅱ）、有限级数表示（标准型Ⅲ）等。

数学上将具有一定光滑性的分段多项式称为样条函数。利用样条函数进行插值，即取插值函数为样条函数，称为样条插值。样条插值具有良好的稳定性和良好的收敛性。

对于复杂的矩阵函数需要的多项式的次数会比较高，这样对计算复杂度和稳定性都不利，我们要结合样条函数的优点和思想对矩阵函数构造一种样条函数定义方式。

二、主要研究内容、应用价值、改进及创新

给出矩阵多项式的样条函数定义方法，使得对高阶复杂矩阵函数的计算简单有效。

为矩阵函数计算提供新的思路和方法，丰富完善矩阵理论体系。

矩阵函数在数学领域、工程技术等领域的应用十分重要，矩阵函数理论的完善对于矩阵函数在这些领域的深入应用起到十分积极的作用。

三、拟采用的研究方法、手段及实验准备情况

首先明白题目中涉及到的几个概念，这对论文研究起到决定性作用。

然后，掌握几种目前在矩阵函数拟合中使用到的方法：

1、约当标准型表示矩阵多项式

2、拉格朗日—西勒维斯特内插多项式表示矩阵多项式

3、有限级数表示矩阵多项式

等。

对于本论文的研究可以从已有的矩阵多项式的表示形式入手，先单独分析各自的特点和表示形式，再总结分析它们的相似之处和不同点，最后尝试定义样条方法的矩阵多项式的表示形式。

四、进度安排

2.25-

3.17收集、整理相关资料，初步研究论文，开题报告及开题答辩

3.18-

4.27撰写初稿，中期报告及中期答辩

4.28-

5.20根据指导教师的意见对论文进行修改

5.21-

6.17再次修改论文，定稿，答辩，按规定格式打印装订并装袋

五、主要参考文献（外文参考文献不少于2篇）

[1]王永茂.矩阵分析[M].第一版.北京:机械工业出版社,2005.

[2]丁丽娟.数值计算方法[M].第一版.北京:北京理工大学出版社,1997.

[3]北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组.高等代数[M].第三版.

北京:高等教育出版社,2003.

[5]合肥工业大学数学与信息科学系.数值计算方法[M].第一版.合肥工业

大学出版社,2004

[8]中山大学数学力学系.常微分方程[M],北京:人民教育出版社，1978

[6]张跃辉.矩阵理论与应用[M].第一版.北京:科学出版社,2011.

[7]戴中林.幂矩阵的一种计算方法[J].西华师范大学学报,2005,26(4)

[4]苏尔.求矩阵函数的多项式表示及f(A)的值[J].高等教育研究,

2010(01).

[9]Chu M T,Funderlic R E,Plemmons R J.Structured low rank

approximation.Linear Algebra Appl,2003,366:157-172

[10]Doyle J C.Robustness of multiloop linear feedback systems.

In:Proceedings of the17th IEEE Conference on Decision and Control.

Washington:IEEE,1979,12-18