半角模型
半角模型十五个结论及证明
半角模型十五个结论及证明《探索半角模型的十五个结论及证明》嗨，大家好！今天我要和大家一起探索一个超有趣的数学知识——半角模型的十五个结论及证明。
这就像是一场奇妙的数学冒险，跟我来呀！一、什么是半角模型呢？半角模型呀，就像是一个神秘的数学宝藏，藏在各种几何图形里。
想象一下，我们有一个正方形或者等腰直角三角形，然后在这个图形里出现了一个角，这个角是另外一个大角的一半，这就形成了半角模型。
比如说，在正方形里，一个角是45度，它就是直角90度的一半呢。
这时候啊，就会有好多神奇的结论冒出来。
二、结论一：线段相等我给大家举个例子哈。
在正方形ABCD中，∠EAF = 45度（E、F分别在BC、CD 上）。
我们能发现BE + DF = EF。
这是为啥呢？我们可以把△ADF绕着点A顺时针旋转90度，这样AD就和AB重合了。
旋转后的点F变成了F'。
那这个时候呀，我们就会发现△AEF和△AEF'是全等的。
为啥呢？因为AF = AF'，∠EAF = ∠EAF' = 45度，AE是公共边啊。
就像两个一模一样的小积木，那EF就等于EF'了，而EF'就是BE + DF呀。
你们说神奇不神奇？这就好比是把分散的力量集中起来了，原本分开的BE和DF，通过旋转这个魔法，就变成了和EF相等的线段。
三、结论二：三角形面积关系还有一个有趣的结论呢。
三角形AEF的面积等于三角形ABE的面积加上三角形ADF的面积。
这又怎么理解呢？我们刚刚把△ADF旋转到了△ABF'的位置。
那三角形AEF的面积就等于三角形AEF'的面积啦。
而三角形AEF'的面积就是三角形ABE的面积加上三角形ABF'（也就是原来的三角形ADF）的面积。
这就好像是把两个小地块合并起来就等于一个大地块的面积一样。
四、结论三：角平分线如果我们延长CB到G，使得BG = DF，连接AG。
我们会发现AG是∠EAG的角平分线呢。
中考数学必会几何模型：半角模型
中考数学必会几何模型：半角模型半角模型是指存在两个角度是一半关系，并且这两个角共顶点的模型。
通过先旋转全等再轴对称全等，一般结论是证明线段和差关系。
常见的半角模型是90°含45°，120°含60°。
例如，已知正方形ABCD中，∠MAN=45°，它的两边分别交线段CB、DC于点M、N。
要求证：BM+DN=MN，以及作AH⊥XXX于点H，求证：AH=AB。
证明过程如下：1.延长ND到E，使DE=BM。
由四边形ABCD是正方形，得AD=AB。
在△ADE和△ABM中，有AD=AB，∠ADE=∠BAM，DE=BM，因此△ADE≌△ABM。
得AE=AM，∠XXX∠BAM。
由∠MAN=45°，得∠BAM+∠NAD=45°，因此∠MAN=∠EAN=45°。
在△AMN和△AEN中，有MA=EA，∠MAN=∠EAN，AN=AN，因此△AMN≌△AEN。
得MN=EN。
因此BM+DN=DE+DN=EN=MN。
2.由(1)得△AMN≌△XXX。
因此S△AMN=S△AEN，即AH×MN=AD×EN。
又因为MN=EN，得AH=AD。
因此AH=AB。
在等边△ABC的两边AB、AC上分别有两点M、N，D为△ABC外一点，且∠MDN=60°，∠BDC=120°，BD=DC。
要探究当M、N分别在线段AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系。
1) 当DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是BM+NC=MN。
2) 猜想：当DM≠DN时，仍有BM+NC=MN。
证明如下：延长AC至E，使CE=BM，连接DE。
因为BD=CD，且∠BDC=120°，所以△BDC是等边三角形。
因此BD=DC=CE=BM，得△BDE是等边三角形，∠BED=60°。
因此△DEN和△DME是等腰三角形，得DN=EN，DM=EM。
2023中考数学常见几何模型《全等模型-半角模型》含答案解析
专题02 全等模型--半角模型全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就半角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1.半角模型【模型解读】过等腰三角形顶点 两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半这样的模型称为半角模型。
【常见模型及证法】常见的图形为正方形，正三角形，等腰直角三角形等，解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系。
半角模型（题中出现角度之间的半角关系）利用旋转——证全等——得到相关结论.1．（2022·湖北十堰·中考真题）【阅读材料】如图①，四边形ABCD 中，AB AD =，180B D ∠+∠=︒，点E ，F 分别在BC ，CD 上，若2BAD EAF ∠∠=，则EF BE DF =+．【解决问题】如图②，在某公园的同一水平面上，四条道路围成四边形ABCD ．已知100m CD CB ==，60D ∠=︒，120ABC ∠=︒，150BCD ∠=︒，道路AD ，AB 上分别有景点M ，N ，且100m DM =，)501m BN =，若在M ，N 之间修一条直路，则路线M N →的长比路线M A N →→的长少_________m 1.7≈）．2．（2022·河北邢台·九年级期末）学完旋转这一章，老师给同学们出了这样一道题：“如图1，在正方形ABCD 中，∠EAF ＝45°，求证：EF ＝BE ＋DF ．”小明同学的思路：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝AD ，∠B ＝∠ADC ＝90°．把△ABE 绕点A 逆时针旋转到ADE '△的位置，然后证明AFE AFE '≌△△，从而可得=EF E F '．E F E D DF BE DF ''=+=+，从而使问题得证．(1)【探究】请你参考小明的解题思路解决下面问题：如图2，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＝∠D ＝90°，12EAF BAD ∠=∠，直接写出EF ，BE ，DF 之间的数量关系．(2)【应用】如图3，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＋∠D ＝180°，12EAF BAD ∠=∠，求证：EF ＝BE ＋DF ．(3)【知识迁移】如图4，四边形ABPC 是O 的内接四边形，BC 是直径，AB ＝AC ，请直接写出PB ＋PC 与AP 的关系．3．（2022·福建·龙岩九年级期中）（1）【发现证明】如图1，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别是BC ，CD 边上的动点，且45EAF ∠=︒，求证：EF DF BE =+．小明发现，当把ABE △绕点A 顺时针旋转90°至ADG ，使AB 与AD 重合时能够证明，请你给出证明过程．（2）【类比引申】①如图2，在正方形ABCD 中，如果点E ，F 分别是CB ，DC 延长线上的动点，且45EAF ∠=︒，则（1）中的结论还成立吗？若不成立，请写出EF ，BE ，DF 之间的数量关系______（不要求证明）②如图3，如果点E，F分别是BC，CD延长线上的动点，且45EAF∠=︒，则EF，BE，DF之间的数量关系是_____（不要求证明）.（3）【联想拓展】如图1，若正方形ABCD的边长为6，AE=，求AF的长．4．（2022·山东省青岛第二十六中学九年级期中）【模型引入】当几何图形中，两个共顶点的角所在角度是公共大角一半的关系，我们称之为“半角模型”【模型探究】（1）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF＝45°，探究图中线段EF，AE，FC之间的数量关系．【模型应用】（2）如图2，如果四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠EAF＝45°，且BC＝7，DC＝13，CF＝5，求BE的长．【拓展提高】（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠ABC与∠ADC互补，点E、F分别在射线CB、DC上，且∠EAF12=∠BAD．当BC＝4，DC＝7，CF＝1时， CEF的周长等于．（4）如图4，正方形ABCD中， AMN的顶点M、N分别在BC、CD边上，AH⊥MN，且AH＝AB，连接BD分别交AM、AN于点E、F，若MH＝2，NH＝3，DF＝，求EF的长．（5）如图5，已知菱形ABCD中，∠B=60°，点E、F分别是边BC，CD上的动点（不与端点重合），且∠EAF=60°．连接BD分别与边AE、AF交于M、N，当∠DAF＝15°时，求证：MN2+DN2=BM2．课后专项训练：1．（2022·重庆市育才中学二模）回答问题（1）【初步探索】如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠ADC=90°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF=BE+FD，探究图中∠BAE、∠FAD、∠EAF之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG=BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是_______________；（2）【灵活运用】如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E、F分别是BC、CD上的点，且EF=BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；（3）【拓展延伸】知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足EF=BE+FD，请直接写出∠EAF与∠DAB的数量关系．2．（2022·江西九江·一模）如图（1），在四边形ABCD 中，180B D ∠+∠=︒，AB AD =，以点A 为顶点作EAF ∠，且12EAF BAD ∠=∠，连接EF ．(1)观察猜想 如图（2），当90BAD B D ∠=∠=∠=︒时，①四边形ABCD 是______（填特殊四边形的名称）；②BE ，DF ，EF 之间的数量关系为______．(2)类比探究 如图（1），线段BE ，DF ，EF 之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．(3)解决问题 如图（3），在ABC 中，90BAC ∠=︒，4AB AC ==，点D ，E 均在边BC 上，且45DAE ∠=︒，若BD =，求DE 的长．3．（2022·山东聊城·九年级期末）（1）如图1，点E ，F 分别在正方形ABCD 的边BC ，CD 上，45EAF ∠=︒，连接EF ，求证：EF BE DF =+，试说明理由．（2）类比引申：如图2，四边形ABCD 中，AB AD =，90BAD ∠=︒，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，∠EAF =45°，若B Ð、D ∠都不是直角，则当B Ð与D ∠满足等量关系______时，仍有EF BE DF =+，试说明理由．（3）联想拓展：如图3，在△ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D ，E 均在边BC 上，且∠DAE =45，若1BD =，2EC =，求DE 的长．4．（2022·黑龙江九年级阶段练习）已知：正方形ABCD 中，∠MAN=45°，∠MAN 绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交CB 、DC （或它们的延长线）于点M 、N ．当∠MAN 绕点A 旋转到BM =DN 时，（如图1），易证BM +DN =MN ．(1)当∠MAN 绕点A 旋转到BM ≠DN 时（如图2），线段BM 、DN 和MN 之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明；(2)当∠MAN 绕点A 旋转到如图3的位置时，线段BM 、DN 和MN 之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．5．（2022·重庆南川·九年级期中）如图，正方形ABCD 中，45MAN ∠=︒，MAN ∠绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交BC 、DC （或它们的延长线）于点M 、N ．(1)当MAN ∠绕点A 旋转到BM DN =时（如图1），证明：2MN BM =；(2)绕点A 旋转到BM DN ≠时（如图2），求证：MN BM DN =+；(3)当MAN ∠绕点A 旋转到如图3位置时，线段BM 、DN 和MN 之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明．6．（2022·江西景德镇·九年级期中）（1）【特例探究】如图1，在四边形ABCD 中，AB AD =，90ABC ADC ∠=∠=︒，100BAD ∠=︒，50EAF ∠=︒，猜想并写出线段BE ，DF ，EF 之间的数量关系，证明你的猜想；（2）【迁移推广】如图2，在四边形ABCD 中，AB AD =，180ABC ADC ∠+∠=︒，2BAD EAF ∠∠=．请写出线段BE ，DF ，EF 之间的数量关系，并证明；（3）【拓展应用】如图3，在海上军事演习时，舰艇在指挥中心（O 处）北偏东20°的A 处．舰艇乙在指挥中心南偏西50°的B 处，并且两舰艇在指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正西方向以80海里/时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏西60°的方向以90海里/时的速度前进，半小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达C ，D 处，且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为75°．请直接写出此时两舰艇之间的距离．7．（2022·上海·九年级专题练习）小明遇到这样一个问题：如图1，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，点D ，E 在边BC 上，∠DAE ＝45°．若BD ＝3，CE ＝1，求DE 的长．小明发现，将△ABD绕点A按逆时针方向旋转90º，得到△ACF，联结EF（如图2），由图形旋转的性质和等腰直角三角形的性质以及∠DAE＝45°，可证△FAE≌△DAE，得FE＝DE．解△FCE，可求得FE（即DE）的长．(1)请回答：在图2中，∠FCE的度数是，DE的长为．参考小明思考问题的方法，解决问题：(2)如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°．E，F分别是边BC，CD上的点，∠BAD．猜想线段BE，EF，FD之间的数量关系并说明理由．且∠EAF＝128．（2022·黑龙江·哈尔滨市九年级阶段练习）已知四边形ABCD是正方形，一个等腰直角三角板的一个锐角顶点与A点重合，将此三角板绕A点旋转时，两边分别交直线BC，CD 于M，N．(1)如图1，当M，N分别在边BC，CD上时，求证：BM+DN=MN(2)如图2，当M，N分别在边BC，CD的延长线上时，请直接写出线段BM，DN，MN之间的数量关系(3)如图3，直线AN与BC交于P点，MN=10，CN=6，MC=8，求CP的长．9．（2022·浙江·九年级阶段练习）如图1，等腰直角三角板的一个锐角顶点与正方形ABCD 的顶点A重合，将此三角板绕点A旋转，使三角板中该锐角的两条边分别交正方形的两边BC，DC于点E，F，连接EF．（1）猜想BE、EF、DF三条线段之间的数量关系，并证明你的猜想；（2）在图1中，过点A作AM⊥EF于点M，请直接写出AM和AB的数量关系；（3）如图2，将Rt△ABC沿斜边AC翻折得到Rt△ADC，E，F分别是BC，CD边上的点，∠BAD，连接EF，过点A作AM⊥EF于点M，试猜想AM与AB之间的数量关∠EAF=12系．并证明你的猜想．10．（2022·北京四中九年级期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，点P在线段AB 上，作射线CP（0°＜∠ACP＜45°)，射线CP绕点C逆时针旋转45°，得到射线CQ，过点A作AD⊥CP于点D，交CQ于点E，连接BE．(1)依题意补全图形；(2)用等式表示线段AD，DE，BE之间的数量关系，并证明．专题02 全等模型--半角模型全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就半角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
九年级中考几何模型之半角模型详解
中考几何模型之半角模型【模型由来】半角模型是指：共顶点的两个一大一小的角，其中小角是大角的一半。
如下图中：若小角∠EAD等于大角∠BAC的一半，我们习惯上称之为“半角模型”。
【模型思想】通过旋转变化后构造全等三角形，实线边的转化。
【基本模型】类型一、90°中夹45°(正方形中的半角模型)条件：在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，∠EAF=45°，BD为对角线，交AE于M点，交AF于N点。
结论①：图1、2中，EF=BE+FD；证明：如图3中，将AF绕点A顺时针旋转90°，F点落在F’处，连接BF’，∴∠EAF’=90°-∠EAF=90°-45°=45°=∠EAF，且AE=AE，AF=AF’，∴△FAE≌△F’AE(SAS)，∴EF=EF’，又∠D=∠ABF’=90°，∠ABE=90°，∴∠ABE+∠ABF’=90°+90°=180°，∴F’、B、E三点共线，∴EF’=BE+BF’=BE+DF。
结论②：图2中MN²=BM²+DN²；证明：如图4中，将AN绕点A顺时针旋转90°，N点落在N’处，连接AN’、BN’、MN’，∴∠N’AM=90°-∠EAF=90°-45°=45°=∠MAN，且AM=AM，AN=AN’，∴△MAN’≌△MAN(SAS)，∴MN=MN’，又∠ADN=45°=∠ABN ’，∠ABD=45°，∴∠MBN ’=∠ABD+∠ABN ’=45°+45°=90°，∴在Rt △MBN ’中，MN ’²=BM ²+BN ’²，即MN ²=BM ²+BN ’²。
结论③：图1、2中EA 平分∠BEF ，FA 平分∠DFE 。
半角模型归纳总结
半角模型归纳总结在进行半角模型的归纳总结之前，首先需要明确什么是半角模型。
半角模型是一种将英文字符转化为正常宽度字符的处理方式，常见于一些特定的文字编辑、排版工具或操作系统中，其目的是为了在一些特定场景下保持排版的整齐美观。
在使用半角模型进行归纳总结时，可以分为以下几个方面进行探讨：1. 半角模型的起源与发展半角模型最早源于传统的打字机技术，打字机以机械手段进行打字，因此需要通过减少字符的宽度来提高打字速度与减轻打字机的负担。
随着计算机的发展，半角模型逐渐被引入到文字编辑软件中，并逐渐成为一种规范的排版方式。
2. 半角模型的适用场景与优势半角模型在一些特定的场景下具有一定的优势，比如在电子表格、编程代码或一些特定的排版需求中。
由于英文字符本身宽度较窄，使用半角模型可以使得整体排版更加整齐，提高内容的可读性与美观度。
3. 半角模型的使用方法与技巧在使用半角模型时，需要借助相应的文字编辑工具或操作系统设置来实现。
一般情况下，可以通过将字体设置为等宽字体来实现半角模型。
此外，为了确保半角模型的一致性，正确的标点符号使用与间距调整也是需要注意的地方。
4. 半角模型的影响与争议尽管半角模型在一些场景下具有一定的优势，但也受到一些争议与批评。
有人认为半角模型过于追求整齐的排版效果，可能会导致文字内容的可读性下降，特别是在一些文章或长篇内容中。
此外，对于习惯全角字符的读者来说，半角模型可能会给他们带来困惑。
5. 半角模型的未来发展与挑战随着科技的不断进步，人们对于排版与文字编辑的需求也在不断变化。
在未来，半角模型可能会面临来自全角或其他排版方式的竞争与挑战。
因此，如何在满足排版要求的同时保持内容的可读性、美观性与自适应性，将是半角模型发展的方向。
以上是对于半角模型的归纳总结，通过对其起源、适用场景、使用方法与技巧、影响与挑战以及未来发展进行论述，希望能够为读者提供一份全面而准确的理解。
在实际应用中，根据具体的需要与要求，选择合适的半角模型设置，以达到良好的排版效果。
半角模型定理公式
半角模型定理公式【原创实用版】目录1.半角模型定理的概述2.半角模型定理的公式表示3.半角模型定理的证明4.半角模型定理的应用正文一、半角模型定理的概述半角模型定理是数学领域中的一个重要定理，主要应用于解决三角函数、微积分等数学问题的计算与求解。
该定理以其独特的视角和简便的计算方法，为数学研究带来了很大的便利。
二、半角模型定理的公式表示半角模型定理的公式表示如下：设角 A 的半角为 B，则有：sin(B) = ±√((1 - cos(A))/2)cos(B) = ±√((1 + cos(A))/2)tan(B) = ±√((1 - cos(A))/(1 + cos(A)))三、半角模型定理的证明为了证明半角模型定理，我们可以利用三角函数的和角公式进行推导。
以 sin(B) 为例，根据和角公式，有：sin(B) = sin(A/2) * √(1 - cos(A/2))由于 A = 2B，所以 A/2 = B，代入上式得：sin(B) = sin(B) * √(1 - cos(B))进一步化简，得：√(1 - cos(A)) = √(1 - cos(B))由于√(1 - cos(A)) 和√(1 + cos(A)) 的正负号不确定，所以需要加上±号。
同理，可以证明 cos(B) 和 tan(B) 的公式。
四、半角模型定理的应用半角模型定理在实际应用中具有很高的价值，尤其在解决一些复杂数学问题时，可以大大简化计算过程。
例如，在求解三角函数的值、计算微积分等问题时，都可以利用半角模型定理进行简化。
总之，半角模型定理以其独特的公式表示和简便的计算方法，为数学研究带来了很大的便利。
半角模型模型结论及证明
半角模型模型结论及证明
半角模型是一种在选定的矩形网格上建立模型的方法。
在该模型中，网格中的每个格子被视为一个节点，相邻的格子之间通过边连接。
模型结论是指在该模型中所得到的结论，而证明是指为了得到这些结论所进行的推理过程。
具体来说，半角模型中常见的结论包括：
1. 距离结论：通过计算节点之间的距离，可以得到一些关于节点位置的结论。
例如，两个节点距离非常接近时，它们之间很可能存在较为密集的连接。
2. 聚类结论：通过考察节点之间的连接关系，可以得到一些关于节点聚类的结论。
例如，如果许多节点都与某个特定节点连接，那么这些节点可能属于同一个聚类。
3. 布局结论：通过分析节点位置以及连接关系，可以得到一些关于整体布局的结论。
例如，如果节点位置呈现较为均匀的分布，并且连接关系较为稠密，则可能表示整体布局较为均衡。
为了证明这些结论，一般需要进行一系列的推理和计算。
证明过程可以包括数学推导、统计分析、模拟模型等方法。
不同的结论可能需要使用不同的证明方法，取决于具体的问题和模型。
需要注意的是，半角模型虽然可以提供一些关于矩形网格模型的结论和证明，但其适用范围和局限性需要结合具体问题来进行分析和评估。
几何模型之半角模型
半角模型
结论三：∠AEB=∠AEF=∠ANM,∠AFD=∠AEF=∠AMN
半角模型
如图，在正方形ABCD中，点E .F分别为BC .CD上一点，并且∠EAF=45°，AE .AF分别交对角线于M.N
（3）求证：∠AEB=∠AEF=∠ANM,∠AFD=∠AEF=∠AMN
结论四：
如图，在正方形ABCD中，点E .F分别为BC .CD上一点，并且∠EAF=45°，AE .AF分别交对角线于M.N
（4）
半角模型
结论五： 作GE⊥BC,证N是DG中点
半角模型
如图，在正方形ABCD中，点E .F分别为BC .CD上一点，并且∠EAF=45°，AE .AF分别交对角线于M.N
(5)作GE⊥BC,证N是DG中点，AN⊥NE,AN=NE
作FH ⊥DB ,证BM=MH,AM⊥MF,AM=MF
(Q)
(Q)
如图，在正方形ABCD中，点E .F分别为BC .CD上一点，并且∠EAF=45°，AE .AF分别交对角线于M.N
（6）
半角模型
结论七：
如图，在正方形ABCD中，点E .F分别为BC .CD上一点，并且∠EAF=45°，AE .AF分别交对角线于M.N
(7)
半角模型
小 结：
“半角模型”①共端点的等线段；②共顶点的倍半角；
结论五：作GE⊥BC,N是DG中点,AN⊥NE,AN=NE
半角模型
如图，在正方形ABCD中，点E .F分别为BC .CD上一点，并且∠EAF=45°，AE .AF分别交对角线于M.N
(5)作GE⊥BC,N是DG中点,AN⊥NE,AN=NE
作FH ⊥DB ,BM=MH,AM⊥MF,AM=MF
结论六：
半角模型训练
半角模型半角模型: 指的是一个大角夹着一个度数为它一半的角。
条件: 四边形ABCD中, E、F分别在BC.CD（或延长线上）, 具备下列三个条件:①AB=AD（共顶点等线段）；①①BAD=2①EAF；（共顶点的倍半角）①①B+①ADC=180°（或①BAD+①BCD=180°）（对角互补四边形）结论: EF=BE+DF （延长线上为EF=BE-DF）；AE平分∠BEF, AF平分∠EFD。
情形一: 角内含半角（补短）情形二: 角外含半角（截长）模型一: 90°夹45°例1.如图, 点E、F分别是正方形BC.CD上的点, ∠EAF=45°, 求证:（1）DF+BE=EF；（2）AE平分∠BEF, AF平分∠EFD证明: 延长CB至点G, 使得BG=DF（在CD上补BE亦可）△ABG≌△ADF（SAS）△AEG≌△AEF（SAS）90°外夹45°例 2.如图, 在正方形ABCD中, E、F为CB.DC延长线上点, 且∠EAF=45°, 探究线段EF、BE、DF之间的数量关系, 并证明。
类型二、120°角夹60°例3.如图, 在四边形ABCD中, AB=AD, ∠BAD=120°, E, F分别为BC, CD上的点, ∠EAF=∠C=60°, 求证(1)EF=BE+DF；（2）点A在∠BCD的平分线上.练习:1.如图, 四边形ABCD中, ∠A=∠BCD=60°, ∠ADC=60°, AB=BC, E、F分别在AD、DC延长线上, 且∠EBF=60°, 求证：AE=EF+CF例4.在等边△ABC的两边AB.AC所在直线上分别有两点M、N, D为△ABC 外一点, 且∠MDN＝60°, ∠BDC＝120°, BD＝DC. 探究: 当M、N分别在直线AB.AC上移动时, BM、NC.MN之间的数量关系及△AMN的周长Q与等边△ABC的周长L的关系.（1）如图1, 当点M、N边AB.AC上, 且DM＝DN时, BM、NC.MN之间的数量关系是；此时/＝；（2）如图2, 点M、N在边AB、AC上, 且当DM≠DN时, 猜想（I）问的两个结论还成立吗？若成立请直接写出你的结论；若不成立请说明理由.（3）如图3, 当M、N分别在边AB、CA的延长线上时, 探索BM、NC、MN之间的数量关系如何？并给出证明．任意角夹半角例5.已知, 如图, 在四边形ABCD中, ∠B+∠D＝180°, AB＝AD, E, F分别是线段BC, CD上的点, 且BE+FD＝EF. 求证: ∠EAF＝/∠BAD.练习（1）如图, 在四边形ABCD中, AB＝AD, ∠B＝∠D＝90°, E、F分别是边BC.CD 上的点, 且∠EAF＝/∠BAD.求证: EF＝BE+FD；（2）如图, 在四边形ABCD中, AB＝AD, ∠B+∠D＝180°, E、F分别是边BC.CD上的点, 且∠EAF＝/∠BAD, （1）中的结论是否仍然成立？（3）如图, 在四边形ABCD中, AB＝AD, ∠B+∠ADC＝180°, E、F分别是边BC.CD 延长线上的点, 且∠EAF＝/∠BAD, （1）中的结论是否仍然成立？若成立, 请证明；若不成立, 请写出它们之间的数量关系, 并证明.例6.（1）如图1, 已知正方形ABCD中, ∠MAN＝45°, 猜想线段MN、BM与DN之间有怎样的关系？并证明. （2）如图2, 已知四边形ABCD中, AB⊥BC于点B, AD⊥CD于点D, AB＝AD, ∠BAD＝120°, ∠MAN＝60°, （1）中线段BM与DN之间的关系还成立吗？如果成立, 请证明；如果不成立, 请说明理由. （3）张大爷有一块五边形的土地, 如图3, 已知AB＝AE＝6, BC＝4, DE＝3, ∠BAE＝2∠CAD, AB⊥BC于点B, AE⊥DE于点E, 请你帮助张大爷计算这块土地的面积．课后练习1. 如图, 等腰直角三角板的一个锐角顶点与正方形ABCD的顶点A重合, 将此三角板绕点A旋转, 使三角板中该锐角的两条边分别交正方形的两边BC.DC于点E、F, 连结EF. 若EF＝5, DF＝2, 则BE的长为.(第1题) (第2题)2. 如图, △ABC为等边三角形, BD＝CD, ∠BDC＝120°, BC＝2, M、N分别在边AB, AC上, 且∠MDN＝60°, 则△AMN的周长等于.3. 在四边形ABCD中, ∠B+∠D＝180°, CB＝CD. 以点C为顶点的∠ECF在四边形ABCD的内部绕点C旋转, 角的两边分别与AB.AD交于点E、F, ∠ECF＝/∠BCD.（1）若∠BCD＝120°,①如图1, 当∠B＝90°, ∠BCE＝30时, 求证: EF＝BE+DF；②如图2, 当∠B≠90时, ①中的结论是否仍然成立？若成立, 请证明；若不成立, 请说明理由；③在∠ECF绕点C旋转的过程中, ①中的结论是否仍然成立, 请直接写出你的结论；（2）如图3, 若∠BCD为任意的一个角（0°＜∠BCD＜180°）, 在∠ECF绕点C旋转的过程中, ①中的三条线段BE, DF, EF之间的数量关系是否发生变化？若变化, 请说明理由；若不变, 请直接写出你的结论．4. 如图1, 四边形ABCD, 将顶点为A的∠EAF绕着顶点A顺时针旋转, 角的一条边与DC的延长线交于点F, 角的另一边与CB的延长线交于点E, 连接EF.（1）如果四边形ABCD为正方形, 当∠EAF＝45°时, 有EF＝DF﹣BE. 请你思考如何证明这个结论（只需思考, 不必写出证明过程）；（2）如图2, 如果在四边形ABCD中, AB＝AD, ∠ABC＝∠ADC＝90°, 当∠EAF＝/∠BAD时, EF与DF、BE之间有怎样的数量关系？请写出它们之间的关系式（3）如图3, 如果在四边形ABCD中, AB＝AD, ∠ABC与∠ADC互补, 当∠EAF＝/∠BAD时, EF与DF、BE之间有怎样的数学关系？请写出它们之间的关系式并给予证明；（4）在（3）中, 若BC＝4, DC＝7, CF＝2, 求△CEF的周长（直接写出结果即可）．5. 已知正方形ABCD, 一等腰直角三角板的一个锐角顶点与A重合, 将此三角板绕A点旋转时, 两边分别交直线BC.CD于M、N.（1）当M、N分别在边BC.CD上时（如图1）, 求证: BM+DN＝MN；（2）当M、N分别在边BC.CD所在的直线上时（如图2）, 线段BM、DN、MN之间又有怎样的数量关系, 请直接写出结论；（不用证明）（3）当M、N分别在边BC、CD所在的直线上时（如图3）, 线段BM、DN、MN之间又有怎样的数量关系, 请写出结论并写出证明过程．6.问题背景:如图1: 在四边形ABCD中, AB＝AD, ∠BAD＝120°, ∠B＝∠ADC＝90°, E、F分别是BC.CD上的点, 且∠EAF＝60°, 探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系.小王同学探究此问题的方法是, 延长FD到点G, 使DG＝BE．连结AG, 先证明△ABE ≌△ADG, 再证明△AEF≌△AGF, 可得出结论, 他的结论应是；（2）探索延伸:如图2, 若在四边形ABCD中, AB＝AD, ∠B+∠D＝180°, E、F分别是BC.CD上的点, 且∠EAF＝/∠BAD, 上述结论是否仍成立, 并说明理由；（3）实际应用:如图3, 在某次军事演习中, 舰艇甲在指挥中心（点O处）北偏西30°的A处, 舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处, 并且两舰艇到指挥中心的距离相等．接到行动指令后, 舰艇甲向正东方向以45海里/时的速度前进, 同时, 舰艇乙沿北偏东50°的方向以60海里/时的速度前进, 2小时后, 指挥中心观察到甲、乙两舰艇分别到达E、F处, 且两舰艇之间的夹角为70°, 试求此时两舰艇之间的距离．7. 如图, △ABC和△DEF是两个等腰直角三角形, ∠BAC＝∠DFE＝90°, AB＝AC, FD＝FE, △DEF的顶点E在边BC上移动, 在移动过程中, 线段DE与线段AB相交于点P,线段EF与线段CA相交于点Q.（1）如图1, 当E为BC中点, 且BP＝CQ时, 求证: △BPE≌△CQE；（2）如图2, 当ED经过点A, 且BE＝CQ时, 求∠EAQ的度数；（3）如图3, 当E为BC中点, 连接AE、PQ, 若AP＝3, AQ＝4, PQ＝5, 求AC的长．11。
半角模型结论及证明
半角模型结论及证明半角模型是指使用坐标原点为两点或多点，考虑以每对对角线边长占比进行分解。
一、半角模型原理半角模型的原理是根据给定的坐标多边形，把这些点拆分成若干个环状，每个环状里的顶点数量都是偶数的多边形，以使每一对对角线边长是一样的，其边长的占比等于2π/N，其中N是所拆分的顶点数量。
二、半角模型的应用（1）用于计算机图形学。
如有一个多边形，想把它拆分成若干边数相等的多边形，就可以利用半角模型，将多边形一分为二，将每一对对角线边长占比分解。
（2）用于求解由多条曲线特点或逆时针走向组成的图形。
例如，当用铅笔画出一个圆形，先画一把半径等于一半圆周长的角，然后把圆形拆分成四个同样大小的三角形，用半角模型，一次画出一整圆。
三、半角模型的证明假设多边形的直角坐标原点是（0，0），且给定的多边形有N个顶点，对角线的边长占比是2π/n，则可以证明，凡是要使用半角模型拆分多边形，必须保证多边形的边长占比与2π/n相等。
首先，设从给定多边形的第一个顶点开始，往后逆时针经过的第i个顶点的坐标是(x_i,y_i)，最终能够得到的多边形的边长：ab=∑_(i=1)^N▒r↑i其中，r↑i表示第i条边的长度，由勾股定理可以求出：r↑i=(x_i-x__(i-1))^2+(y_i-y__(i-1))^2因此，多边形的面积：A=ab/2最后，把这两个式子带入：A=(1/2)∑_(i=1)^N▒(x_i-x__(i-1))^2+(y_i-y__(i-1))^2以上就是半角模型的证明。
综上所述，半角模型具有明确的原理，并能够在计算机图形学中应用。
它可以把多边形拆分成若干边数相等的多边形，使得每一对对角线边长的占比等于2π/N，其中N是给定的顶点数量。
此外，半角模型的证明也得到了佐证。
半角模型讲解及相关应用
半角模型讲解及相关应用半角模型（Half-angle model）是一种用于计算力学中的机械杆件受力、应力和变形的方法。
它基于假设杆件的横截面保持平面且只发生平面应力状态的假设，并将力和应力分解为弧度和半径的函数。
半角模型通常应用于简化复杂结构的问题，可以得到精确且一致的结果，同时减少了计算的复杂性。
半角模型的基本原理是将杆件按照弧度和横截面半径进行划分，并将每个划分面内的受力和应力分解为切向力和切向应力。
然后使用平衡方程和应力平衡方程来求解每个划分面的受力和应力。
最后将受力和应力沿杆件长度进行积分，得到整个杆件的受力和应力分布。
半角模型可以应用于各种力学问题中，例如梁的弯曲和剪切、轴的转动和屈服等。
它可以用来解决结构力学、固体力学、材料力学等领域中的问题。
在结构力学中，半角模型可以用来求解梁的弯矩分布和挠度分布。
通过将梁按照弧度和横截面半径进行划分，并将每个划分面的受力和应力分解为切向力和切向应力，可以得到每个切面上的微分力和微分应力。
然后利用平衡方程和应力平衡方程，可以求解每个切面上的受力和应力。
最后将受力和应力沿梁的长度进行积分，就可以得到整个梁的弯矩分布和挠度分布。
在固体力学中，半角模型可以用来求解杆件的应力和变形。
通过将杆件按照弧度和横截面半径进行划分，并将每个划分面的受力和应力分解为切向力和切向应力，可以得到每个切面上的微分力和微分应力。
然后利用平衡方程和应力平衡方程，可以求解每个切面上的受力和应力。
最后将受力和应力沿杆件的长度进行积分，就可以得到整个杆件的应力和变形。
在材料力学中，半角模型可以用来求解材料的屈服和断裂。
通过将材料按照弧度和横截面半径进行划分，并将每个划分面的受力和应力分解为切向力和切向应力，可以得到每个切面上的微分力和微分应力。
然后利用平衡方程和应力平衡方程，可以求解每个切面上的受力和应力。
最后将受力和应力沿材料的长度进行积分，就可以得到整个材料的屈服和断裂情况。
总结起来，半角模型是一种用于计算力学中机械杆件受力、应力和变形的方法。
半角模型经典例题
半角模型经典例题摘要：一、半角模型的概念与性质1.半角模型的定义2.半角模型的性质二、半角模型的求解方法1.解析法2.数值法3.符号法三、半角模型的经典例题解析1.例题一2.例题二3.例题三四、半角模型在实际问题中的应用1.应用场景一2.应用场景二3.应用场景三正文：半角模型是一种在数学、物理等领域中广泛应用的模型，它具有重要的理论意义和实际价值。
本文将首先介绍半角模型的概念与性质，然后探讨半角模型的求解方法，接着通过解析经典例题来加深对半角模型的理解，最后讨论半角模型在实际问题中的应用。
一、半角模型的概念与性质半角模型是一个数学模型，其基本思想是将一个实际问题简化为一个具有特定性质的数学问题。
半角模型的定义如下：（定义）设函数f(x) 满足以下条件：1.f(x) 在区间[0,π/2] 上连续；2.f(0)=f(π/2)=0.3.0<f(x)<f(π/2) for 0<x<π/2.则称f(x) 为半角模型。
半角模型具有以下性质：（性质1）半角模型的图像关于y 轴对称；（性质2）半角模型的导数在x=0 和x=π/2 处不存在；（性质3）半角模型的二阶导数在x=0 处为正，在x=π/2 处为负。
二、半角模型的求解方法半角模型的求解方法有多种，下面介绍三种常用的方法：解析法、数值法、符号法。
1.解析法：通过求导、积分等数学方法，对半角模型的解析式进行求解。
2.数值法：利用数值分析的方法，如牛顿法、梯度下降法等，对半角模型的数值进行求解。
3.符号法：通过计算机符号计算工具，如Mathematica、Maple 等，对半角模型的符号表达式进行求解。
三、半角模型的经典例题解析以下是三个半角模型的经典例题：1.例题一：求半角模型f(x)=x^2 的解析式。
解析：根据半角模型的定义，可知f(x)=x^2 满足半角模型的性质。
因此，f(x)=x^2 是一个半角模型。
2.例题二：求半角模型f(x)=sin(x) 在区间[0,π/2] 上的数值解。
数学半角模型
数学半角模型
数学是一门研究数量、结构、变化以及空间的科学。
在数学的研
究中，我们经常会遇到半角模型的概念。
什么是半角模型呢？半角模型是一种数学模型，它描述的是一个
物理实体在“半角”（即从侧面或者45度角）观察时的形状。
对于很
多有规则形状的物体，半角模型可以提供很多有用的信息，以便我们
更好地理解和处理这些物体。
比如说，我们可以用半角模型研究一个立方体或者长方体的体积、表面积，或者一个球体的体积、表面积。
此外，半角模型还可以用来
描述许多复杂的物体，例如空间几何体、棱柱体、金字塔等。
如果我们希望更深入了解半角模型，我们可以阅读一些相关的数
学书籍或者论文。
通常情况下，半角模型会用数学公式或者图形进行
描述。
在学习半角模型时，我们需要掌握一些基本的数学知识，例如
立体几何、三角函数、向量等等。
总之，半角模型是数学中的一个重要概念，它可以提供很多有用
的信息，可以帮助我们更好地理解和处理物体的形状和结构。
通过认
真学习和研究，我们可以进一步加深对这一概念的理解，为未来的数
学研究和应用打下坚实的基础。
半角模型所有结论及证明过程
半角模型所有结论及证明过程一、引言半角模型是一种常用的数学模型，可以用来描述物体在半角度下的投射情况。
本文将探讨半角模型的所有结论及证明过程，希望能够让读者更加深入地理解这一模型的原理和应用。
二、模型的定义在描述物体在半角度下的投射情况时，我们可以使用半角模型。
半角模型可以将物体分割成多个小区域，然后对每个小区域进行投射。
通过将所有小区域的投射结果合并起来，就可以得到整个物体在半角度下的投射情况。
三、结论一：半角模型的投射结果与实际情况一致首先我们需要证明半角模型的投射结果与实际情况是一致的。
假设一个物体在实际情况下的形状是一个圆柱体，我们使用半角模型对其进行投射。
我们可以证明，通过半角模型投射得到的结果与实际情况下的投射结果是一致的。
证明过程：我们将圆柱体分割成多个小区域，然后对每个小区域进行投射。
由于圆柱体是对称的，所以每个小区域的投射结果都是一致的。
通过将所有小区域的投射结果合并起来，就可以得到整个圆柱体的投射结果。
因此，半角模型的投射结果与实际情况是一致的。
四、结论二：半角模型的投射结果可以用来计算光线的反射和折射除了可以描述物体在半角度下的投射情况，半角模型还可以用来计算光线的反射和折射。
通过将光线投射到物体表面上，我们可以得到光线在物体内部的传播情况。
这样就可以计算光线在物体内部的反射和折射情况。
证明过程：假设一个光线以一定的角度斜射到物体表面上，我们可以使用半角模型来计算光线在物体内部的传播情况。
通过将光线投射到物体的表面上，并考虑物体的形状和折射率，我们可以得到光线在物体内部的传播路径。
这样就可以计算光线在物体内部的反射和折射情况。
五、结论三：半角模型可以用来设计光学系统最后，我们还可以利用半角模型来设计各种光学系统。
通过将光线投射到各种不同形状的物体上，我们可以得到光线在物体内部的传播情况。
这样就可以设计出各种不同的光学系统，用来实现不同的光学效果。
证明过程：假设我们需要设计一个光学系统，可以将入射的光线聚焦到一个点上。
半角模型
半角模型
1、产生条件：共顶点、等线段，一个小角等于大角的一半，对角互补的四边形。
2、常见形式：图形中，往往出现90°套45°的情况，或者120°套60°的情况，还有2α套α的情况。
求证的结论一般是“a+b=c 或者a -b=c ”。
3、解题方法: 通过辅助线“截长补短”，构造全等三角形，转移边角。
旋转移位造全等，翻折分割构全等。
4、经典题型：
4.1、正方形半角模型：90°→ 45°
例1、如图，正方形ABCD 中，∠EAF=45°。
求证： （1）EF=BE+DF ． （2）∠EFC 周长 = 2AB （3）EA 平分∠BEF
变式训练：
如图，正方形ABCD 中，∠EAF=45°。
求证：EF=DF - BE
B
B
4.2、等腰直角三角形半角模型：90°→ 45°
例2、如图，等腰直角三角形中∠BAC=90°，∠EAF=45°，求证：BE 、EF 、CF 的数量关系。
变式训练：
如图，等腰直角三角形中∠BAC=90°，∠EAF=45°，求证：BE 2 + CF 2 = EF 2。
半角模型专题
半角模型半角模型是指：从正方形的一个顶点引出夹角为45°的两条射线，并连结它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型。
由于两射线的夹角是正方形一个内角的一半，故名半角模型，又称“角含半角模型”。
其中，将45°角的两边及其对边围成的三角形称为“半角三角形”（即图中的△AEF）半角模型的条件:共顶点、等线段,一个小角等于大角的一半,对角互补的四边形。
半角模型的结论：1.半角模型中射线与端点对边交点的连线长等于端点两相邻点到各自最近交点的距离和。
即：如图中，EF=BE+DF。
2.∠BEA=∠FEA ,∠DFA=∠EFA3.射线截端点两对边所得直角三角形的两直角边相等时，其斜边长取到最小值，其面积取到最大值。
1．如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上的一点，点F在边CD的延长线上，且BE＝DF，连接EF交边AD于点G．过点A作AN⊥EF，垂足为点M，交边CD于点N．若BE＝5，CN＝8，则线段AN的长为．2．如图，点E、F分别在正方形ABCD的边CD，BC上，且∠EAF＝45°，将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，连接BD交AF于点M，DE＝2，BF＝3，则GM＝．3．如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠B＝90°，DE⊥AB，垂足为E，且DE＝EB＝5，则四边形ABCD的面积．4．如图，已知正方形ABCD的边长为3，点E，F分别是AB，BC边上的点，且∠EDF＝45°，将△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△CDM．若AE＝1，则MF的长为．5．在正方形ABCD中，∠MAN＝45°，该角可以绕点A转动，∠MAN的两边分别交射线CB，DC于点M，N．（1）当点M，N分别在正方形的边CB和DC上时（如图1），线段BM，DN，MN之间有怎样的数量关系？你的猜想是：，并加以证明．（2）已知正方形ABCD的边长为1，如果△CMNF的周长为2．求∠MAN的度数（3）当点M，N分别在正方形的边CB和DC的延长线上时（如图2），线段BM，DN，MN 之间的数量关系会发生变化吗？证明你的结论．6．（2019春•瑶海区期末）通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的．下面是一个案例，先阅读再解决后面的问题：原题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，连接EF，求证：EF＝BE+DF．解题分析：由于AB＝AD，我们可以延长CD到点G，使DG＝BE，易得∠ABE＝∠ADG＝90°，可证△ABE≌△ADG再证明△AFG≌△AFE，得EF＝FG＝DG+FD＝BE+DF问题（1）：如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD．求证：EF＝BE+FD；问题（2）：如图3，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1，点E、F分别在四边形ABCD的边BC、CD上，且∠EAF＝60°，求此时△CEF的周长．7．（2018•开江县二模）阅读材料并解答问题：探究：小明遇到这样一个问题：如图1，在正方形ABCD，点E、F分别为BC、CD边上的点，且∠EAF＝45°，求证：BE+DF＝EF．小明是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线段上．他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题．他的方法是将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG（如图1），此时GE即是BE+DF．请回答：在图1中，∠GAF的度数是．理解：如图2，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D、E在斜边AB上，且∠DCE＝45°，请写出AD、DE、BE三条线段之间的数量关系，并证明．应用：如图3，正方形ABCD中，△AMN的顶点M、N分别在BC、CD边上，AH⊥MN，且AH ＝AB，连接BD分别交AM、AN于点E，若MH＝2，NH＝3，DF＝2，求AH、EF的长．8．已知：平面直角坐标系中，如图1，点A（a，b），AB⊥x轴于点B，并且满足．（1）试判断△AOB的形状并说明理由．（2）如图2，若点C为线段AB的中点，连OC并作OD⊥OC，且OD＝OC，连AD交x轴于点E，试求点E的坐标．（3）如图3，若点M为点B的左边x轴负半轴上一动点，以AM为一边作∠MAN＝45°交y 轴负半轴于点N，连MN，在点M运动过程中，试猜想式子OM+MN﹣ON的值是否发生变化？若不变，求这个不变的值；若发生变化，试求它变化的范围．9．（2015秋•和平区校级期中）在等边△ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D 为△ABC为外一点，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC．探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及△AMN的周长Q与等边△ABC的周长L的关系．（1）如图1，当点M、N分别在边AB、AC上，且DM＝DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是；此时＝（直接写出结果）；（2）如图2，点M、N边分别在AB、AC上，且当DM≠DN时，猜想BM、NC、MN之间的数量关系并加以证明；（3）如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，猜想BM、NC、MN之间的数量关系并加以证明；（4）在（3）问的条件下，若此时AN＝x，则Q＝（用x、L表示，直接写出结果）．10．问题背景：如图1：在四边形ABC中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°．E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF＝60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G，使DG＝BE，连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是；探索延伸：如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．11．已知正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC （或它们的延长线）于点M，N，AH⊥MN于点H．（1）如图①，当∠MAN绕点A旋转到BM＝DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系：；（2）如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，（1）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；（3）如图③，已知∠MAN＝45°，AH⊥MN于点H，且MH＝2，AH＝6，求NH的长．（可利用（2）得到的结论）1．【解答】解：如图，连接AE，AF，EN，∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD，BC＝CD，∠ABE＝∠BCD＝∠ADF＝90°，∵BE＝DF，∴△ABE≌△ADF（SAS），∴∠BAE＝∠DAF，AE＝AF，∴∠EAF＝90°，∴△EAF为等腰直角三角形，∵AN⊥EF，∴EM＝FM，∠EAM＝∠FAM＝45°，∴△AEM≌△AFM（SAS），△EMN≌△FMN（SAS），∴EN＝FN，设DN＝x，∵BE＝DF＝5，CN＝8，∴CD＝CN+DN＝x+8，∴EN＝FN＝DN+DF＝x+5，CE＝BC﹣BE＝CD﹣BE＝x+8﹣5＝x+3，在Rt△ECN中，由勾股定理可得：CN2+CE2＝EN2，即82+（x+3）2＝（x+5）2，解得：x＝12，∴DN＝12，AD＝BC＝BE+CE＝5+x+3＝20，∴AN＝＝＝4，故答案为：4．2．【解答】解：连接GE交AF于点O，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝∠ABF＝∠ADE＝∠C＝90°，AB＝AD＝BC＝DC，AD∥BC，∵∠EAF＝45°，∴∠BAF+∠DAE＝∠BAD﹣∠EAF＝90°﹣45°＝45°，由旋转得：AE＝AG，∠ABF＝∠ADE＝90°，BG＝DE＝2，∠BAG＝∠DAE，∴∠BAG+∠BAF＝45°，∵∠ABF＝∠ABG＝90°，∴∠GBC＝∠ABG+∠ABF＝180°，∴点G、B、F三点在同一条直线上，∵BF＝3，∴FG＝BG+BF＝2+3＝5，∴△GAF≌△EAF（SAS），∴FG＝FE＝5，设正方形ABCD的边长为x，∴CF＝x﹣3，CE＝x﹣2，在Rt△ECF中，FC2+EC2＝EF2，∴（x﹣3）2+（x﹣2）2＝52，∴x＝6或x＝﹣1（舍去），∴正方形ABCD的边长为6，在Rt△ABF中，AF＝＝＝3，∵AD∥BC，∴∠DAM＝∠MFB，∠ADM＝∠MBF，∴△ADM∽△FBM，∴＝＝＝2，∴AM＝AF＝2，在Rt△ADE中，AE＝＝＝2，∵AG＝AE，FG＝FE，∴AF是EG的垂直平分线，∴∠AOE＝90°，∵∠EAF＝45°，∴AE＝AO，∴AO＝2，∴点M与点O重合，∴EG＝2GM，在Rt△ECG中，EC＝DC﹣DE＝6﹣2＝4，GC＝BC+GB＝6+2＝8，∴EG＝＝＝4，∴GM＝2，故答案为：2．3．【解答】解：把Rt△DEA以绕D按逆时针旋转90°，如图：∵旋转不改变图形的形状和大小，∴A与C重合，∠A＝∠DCE′，∠E′＝∠AED＝90°．∵在四边形ABCD中，∠ADC＝∠B＝90°，∴∠A+∠DCB＝180°，∴∠DCE′+∠DCB＝180°，即点B、C、E′在同一直线上，∵∠DEB＝∠E′＝∠B＝90°，∴S矩形DEBE′＝DE×BE＝5×5＝25，∵S矩形DEBE′＝S四边形DEBC+S△DCE，∵S四边形ABCD＝S四边形DEBC+S△ADE＝S四边形DEBC+S△DCE，∴S四边形ABCD＝S矩形DEBE＝25．故四边形ABCD的面积为25．故答案为：25．4．【解答】解：∵△ADE逆时针旋转90°得到△CDM，∴∠A＝∠DCM＝90°，DE＝DM，∴∠FCM＝∠FCD+∠DCM＝180°，∴F、C、M三点共线，∵∠EDM＝∠EDC+∠CDM＝∠EDC+∠ADE＝90°，∴∠EDF+∠FDM＝90°，∵∠EDF＝45°，∴∠FDM＝∠EDF＝45°，在△DEF和△DMF中，，∴△DEF≌△DMF（SAS），∴EF＝MF，设EF＝MF＝x，∵AE＝CM＝1，且BC＝3，∴BM＝BC+CM＝3+1＝4，∴BF＝BM﹣MF＝BM﹣EF＝4﹣x，∵EB＝AB﹣AE＝3﹣1＝2，在Rt△EBF中，由勾股定理得EB2+BF2＝EF2，即22+（4﹣x）2＝x2，解得：x＝，∴MF＝．故答案为：．5．【解答】证明：（1）猜想：BM+DN＝MN，证明如下：如图1，在MB的延长线上，截取BE＝DN，连接AE，在△ABE和△ADN中，∴△ABE≌△ADN（SAS），∴AE＝AN，∠EAB＝∠NAD，∵∠BAD＝90°，∠MAN＝45°，∴∠BAM+∠DAN＝45°，∴∠EAB+∠BAM＝45°，∴∠EAM＝∠NAM，在△AEM和△ANM中，∴△AEM≌△ANM（SAS），∴ME＝MN，又ME＝BE+BM＝BM+DN，∴BM+DN＝MN；故答案为：BM+DN＝MN；（3）延长CD至E'使DE'＝BE，连接AE'，由（1）知，△ADE'≌△ABE（SAS），∴AE'＝AE，∠DAE'＝BAE，设BE＝x，DF＝y，∵正方形ABCD的边长为1，∴CE＝1﹣x，CF＝1﹣y，∵△CEF的周长为2，∴CE+CF+EF＝2，∴1﹣x+1﹣y+EF＝2，∴EF＝x+y＝BE+DF＝DE'+DF＝E'F，在△E'AF和△EAF中，，∴△E'AF≌△EAF（SSS），∴∠E'AF＝∠EAF，∴∠DAE'+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠EAF，∵∠DAF+∠EAF+∠BAE＝90°，∴∠MAN＝45°（2）DN﹣BM＝MN．证明如下：如图2，在DC上截取DF＝BM，连接AF，△ABM和△ADF中，∴△ABM≌△ADF（SAS），∴AM＝AF，∠BAM＝∠DAF，∴∠BAM+∠BAF＝∠BAF+∠DAF＝90°，即MAF＝∠BAD＝90°，∵∠MAN＝45°，∴∠MAN＝∠FAN＝45°，在△MAN和△FAN中，∴△MAN≌△FAN（SAS），∴MN＝NF，∴MN＝DN﹣DF＝DN﹣BM，∴DN﹣BM＝MN．6．【解答】证明：（1）在CD的延长线上截取DG＝BE，连接AG，如图2，∵∠ADF＝90°，∠ADF+∠ADG＝180°，∴∠ADG＝90°，∵∠B＝90°，∴∠B＝∠ADG＝90°，∵BE＝DG，AB＝AD，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴∠BAE＝∠DAG，AG＝AE，∴∠EAG＝∠EAD+∠DAG＝∠EAD+∠ABE＝∠BAD，∵∠EAF＝∠BAD，∵∠EAG＝∠EAG＝（∠EAF+∠FAG），∴∠EAF＝∠FAG，又∵AF＝AF，AE＝AG，∴△AEF≌△AFG（SAS），∴EF＝FG＝DF+DG＝EB+DF；（2）解：连接AC，如图3，∵AB＝AD，BC＝CD，AC＝AC，∴△ABC≌△ADC（SSS）．∴∠DAC＝∠BAC，∴∠BAC＝∠BAD＝60°，∵∠B＝90°，AB＝1，∴在Rt△ABC中，AC＝2，BC＝＝＝，由（1）得EF＝BE+DF，∴△CEF的周长＝CE+CF+EF＝2BC＝2．7．【解答】解：探究：延长CB至G，使BG＝DF，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADG＝∠D＝90°，AB＝AD，∴△ABG≌△ADF（SAS），∴∠BAG＝∠DAF，∴∠FAG＝∠BAG+∠ABE+∠EAF＝∠DAF+∠BAE+∠EAF＝90°，∵∠EAG＝∠BAG+∠BAE＝∠DAF+∠ABE＝∠BAD﹣∠EAF＝45°＝∠EAF，∵AE＝AE，∴△AEG≌△AEF（SAS），∴EF＝EG＝BE+BG＝BE+DF，故答案为90°；理解：如图2，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAC＝∠B＝45°，AC＝BC逆时针旋转△BCE至△ACF，∴△BCE≌△ACF，∴AF＝BE，∠CAF＝∠B＝45°，∴∠DAF＝∠CAF+∠BAC＝90°，连接DF，根据勾股定理得，DF2＝AF2+AD2＝BE2+AD2，∵△CAF≌△CBE，∴CF＝CF，∠ACF＝∠BCE，∴∠DCF＝∠ACF+∠ACD＝∠ACD+∠BCE＝90°﹣∠DCE＝45°＝∠DCE，∵CD＝CD，∴△CDF≌△CDE，∴DE＝DF，∴DE2＝BE2+AD2；应用：解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，∵AH⊥MN，∴∠AHE＝∠B＝90°，在Rt△AMB和Rt△AMH中，，∴Rt△AMB≌Rt△AMH，∴∠MAB＝∠MAH，BM＝MH＝2，同理可证Rt△AND≌Rt△ANH，∴∠NAD＝∠NAH，DN＝NH＝3∴2∠MAH+2∠NAH＝90°，∴∠MAH+∠NAH＝45°，∴∠MAN＝45°．设正方形的边长为a，∴CM＝a﹣2，CN＝a﹣3，根据勾股定理得，（a﹣2）2+（a﹣3）2＝25，∴a＝﹣1（舍）或a＝6∴BC＝6，∴BD＝6，由（1）可知∠EAF＝45°，∵AB＝AD，∠BAD＝90°，由探究发现得BE2+DF2＝EF2，设EF＝x，∵BD＝6，DF＝2．∴BE＝6﹣2﹣x＝4﹣x，∴（4﹣x）2+（2）2＝x2，解得x＝，∴EF＝．8．【解答】解：（1）△AOB是等腰直角三角形，理由如下：∵，∴2a+b+6＝0，a﹣b+12＝0，∴a＝﹣6，b＝6，∴点A（﹣6，6），∵AB⊥x轴，∴AB＝BO＝6，∠ABO＝90°，∴△ABO是等腰直角三角形；（2）如图2，过点D作DH⊥OB于H，∴∠DHO＝∠CBO＝90°，∴∠BCO+∠BOC＝∠DOH+∠COB，∴∠DOH＝∠BCO，又∵CO＝DO，∠DHO＝∠CBO＝90°，∴△BCO≌△HOD（AAS），∴DH＝BO，BC＝OH，∵点C是AB的中点，∴AC＝BC＝3，∴OH＝3，BH＝BO﹣OH＝3，∵AB＝DH，∠AEB＝∠DEH，∠ABE＝∠DHE＝90°，∴△ABE≌△DHE（AAS），∴BE＝EH＝，∴OE＝OH+EH＝，∴点E（﹣，0）；（3）OM+MN﹣ON的值不变，理由如下：过点A作AP⊥MO于P，AQ⊥y轴于Q，AG⊥AM交y轴G，∴AP＝AQ＝6，∠PAQ＝90°＝∠MAG，∴∠PAM＝∠GAQ，又∵∠APM＝∠AQG＝90°，∴△APM≌△AQG（ASA），∴AM＝AG，MP＝QG，∵∠MAN＝45°，∴∠MAN＝∠GAN＝45°，又∵AN＝AN，∴△ANM≌△ANG（SAS），∴MN＝GN，∴OM+MN﹣ON＝OP+MP+GN﹣ON＝6+MP+ON+OG﹣ON＝6+QG+OG＝6+6＝12．9．【解答】解：（1）如图1，猜想：MN＝BM+NC，理由是：∵DM＝DN，∠MDN＝60°，∴△MDN是等边三角形，∴MN＝DM＝DN，∵∠BDC＝120°，BD＝DC，∴∠DBC＝∠DCB＝30°，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠DBM＝∠DCN＝90°，∵BD＝CD，DM＝DN，∴Rt△DBM≌Rt△DCN，∴∠BDM＝∠CDN＝30°，BM＝CN，∴DM＝2BM，∴DM＝MN＝2BM＝BM+NC，∵AB＝AC，BM＝CN，∴AM＝AN，∵∠A＝60°，∴△AMN是等边三角形，∴△AMN的周长Q＝3MN＝6BM，等边△4BC的周长L＝3AB＝3（AM+BM）＝9BM，∴＝，故答案为：MN＝BM+NC，；（2）MN＝BM+CN，如图2，延长AC到E，使CE＝BM，连接DE，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∵BD＝CD，∠BDC＝120°，∴∠DBC＝∠DCB＝30°，∴∠ABC+∠DBC＝∠ACB+∠DCB，即∠ABD＝∠ACD＝90°，∴∠DCE＝180°﹣∠ACD＝180°﹣90°＝90°，在Rt△DBM和Rt△DCE中，∵，∴△DBM≌△DCE（HL），∴DM＝DE，∠BDM＝∠CDE，∵∠BDC＝120°，∠MDN＝60°，∴∠BDM+∠CDN＝120°﹣60°＝60°，即∠CDE+∠CDN＝60°，∴∠NDE＝60°，在△MDN和△EDN中，∵，∴△MDN≌△EDN（SAS），∴MN＝NE，∵NE＝CN+CE，CE＝BM，∴MN＝BM+CN；（3）CN＝BM+MN；在NC上截取CF＝BM，连接DF，由（2）知：∠ABD＝∠ACD＝90°，∴∠MBD＝180°﹣90°＝90°，在△DBM和△DCF中，∵，∴△DBM≌△DCF（SAS），∴∠BDM＝∠CDF，DM＝DF，∵∠MDN＝∠BDM+∠BDN＝∠CDF+∠BDN＝60°∵∠BDC＝120°，∴∠NDF＝60°，在△MDN和△FDN中，∵，∴△MDN≌△FDN（SAS），∴MN＝NF，∵CN＝NF+CF，CF＝BM，∴CN＝MN+BM；（4）如图3，∵等边△ABC的周长为L，∴AB＝，△AMN的周长Q＝MN+AN+AM，＝FN+AN+AB+BM，＝AN+AF+AN+AB+CF，＝2x+2AB，＝2x+L，故答案为：2x+L．10．【解答】解：（1）EF＝BE+DF，证明如下：在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAF，在△AEF和△GAF中，，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝FG，∵FG＝DG+DF＝BE+DF，∴EF＝BE+DF；故答案为EF＝BE+DF．（2）结论EF＝BE+DF仍然成立；理由：延长FD到点G．使DG＝BE．连结AG，如图②，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAF，在△AEF和△GAF中，，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝FG，∵FG＝DG+DF＝BE+DF，∴EF＝BE+DF；（3）如图③，连接EF，延长AE、BF相交于点C，∵∠AOB＝30°+90°+（90°﹣70°）＝140°，∠EOF＝70°，∴∠EOF＝∠AOB，又∵OA＝OB，∠OAC+∠OBC＝（90°﹣30°）+（70°+50°）＝180°，∴符合探索延伸中的条件，∴结论EF＝AE+BF成立，即EF＝1.5×（60+80）＝210海里．答：此时两舰艇之间的距离是210海里11．【解答】解：（1）∵正方形ABCD，∴AB＝AD，∠B＝∠D＝∠BAD＝90°，在Rt△ABM和Rt△ADN中，，∴Rt△ABM≌Rt△ADN（SAS），∴∠BAM＝∠DAN，AM＝AN，∵∠MAN＝45°，∴∠BAM+∠DAN＝45°，∴∠BAM＝∠DAN＝22.5°，∵∠MAN＝45°，AM＝AN，AH⊥MN∴∠MAH＝∠NAH＝22.5°，∴∠BAM＝∠MAH，在Rt△ABM和Rt△AHM中，，∴Rt△ABM≌Rt△AHM（AAS），∴AB＝AH，故答案为：AB＝AH；（2）AB＝AH成立，理由如下：延长CB至E，使BE＝DN，如图：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠D＝∠ABE＝90°，∴Rt△AEB≌Rt△AND（SAS），∴AE＝AN，∠EAB＝∠NAD，∵∠DAN+∠BAM＝45°，∴∠EAB+∠BAM＝45°，∴∠EAM＝45°，∴∠EAM＝∠NAM＝45°，又AM＝AM，∴△AEM≌△ANM（SAS），∵AB，AH是△AEM和△ANM对应边上的高，∴AB＝AH．（3）分别沿AM，AN翻折△AMH和△ANH，得到△ABM和△AND，分别延长BM和DN交于点C，如图：∵沿AM，AN翻折△AMH和△ANH，得到△ABM和△AND，∴AB＝AH＝AD＝6，∠BAD＝2∠MAN＝90°，∠B＝∠AHM＝90°＝∠AHN＝∠D，∴四边形ABCD是正方形，∴AH＝AB＝BC＝CD＝AD＝6．由（2）可知，设NH＝x，则MC＝BC﹣BM＝BC﹣HM＝4，NC＝CD﹣DN＝CD﹣NH＝6﹣x，在Rt△MCN中，由勾股定理，得MN2＝MC2+NC2，∴（2+x）2＝42+（6﹣x）2，解得x＝3，∴NH＝3．。
半角模型经典例题
半角模型经典例题摘要：一、半角模型的概念与特点1.半角模型的定义2.半角模型的核心思想3.半角模型的应用场景二、半角模型的经典例题解析1.例题一：基本半角模型2.例题二：扩展半角模型3.例题三：半角模型的组合应用三、半角模型的解题方法与技巧1.识别半角模型的关键特征2.灵活运用半角模型解决实际问题3.总结半角模型的通用解题步骤正文：半角模型是计算机图形学中一种重要的模型，它以极坐标系为基础，描述了物体在二维空间中的位置和方向。
半角模型经典例题可以帮助我们更好地理解和掌握这一模型。
一、半角模型的概念与特点半角模型，顾名思义，是一个以极坐标系表示的模型。
它将一个物体在二维平面上的位置和方向表示为一个半径和一个角度。
半角模型的核心思想是将物体的局部坐标系与世界坐标系建立联系，从而实现对物体在世界坐标系中的位置和方向的描述。
半角模型的应用场景非常广泛，比如在计算机图形学中，可以用于表示物体的位置和方向；在机器人学中，可以用于描述机器人的关节运动；在物理模拟中，可以用于描述粒子的运动轨迹等。
二、半角模型的经典例题解析1.例题一：基本半角模型题目描述：给定一个物体在世界坐标系中的位置和方向，求物体在另一个坐标系中的位置。
解析：根据半角模型的定义，我们可以将物体的位置和方向表示为极坐标系下的一个半径和一个角度。
通过极坐标系的转换公式，可以轻松地求解物体在另一个坐标系中的位置。
2.例题二：扩展半角模型题目描述：给定一个物体在世界坐标系中的位置和方向，以及一个平移向量，求物体在另一个坐标系中的位置。
解析：在基本半角模型的基础上，我们需要考虑平移向量对物体位置的影响。
可以将平移向量表示为极坐标系下的一个半径和一个角度，然后将其与物体的位置和方向相加，即可求解物体在另一个坐标系中的位置。
3.例题三：半角模型的组合应用题目描述：给定多个物体的位置和方向，以及它们之间的相对位置和方向，求解这些物体在某个坐标系中的共同运动。
半角模型的证明过程
半角模型是指以正方形的一个顶点为起点，构造两条夹角为45°的射线，这两条射线与正方形的两边相交，连接交点所得到的平面几何模型。
证明过程如下：
第一步，由题目信息，可知两条射线夹角为45°，正方形一边与一条射线垂直。
第二步，设正方形的一边所在直线为l，与l垂直的射线为m，则另一条射线n与l的夹角为45°。
第三步，由于m与l垂直，根据垂直线的性质，我们知道在正方形的一边所在的直线上任意取一点，与该点在正方形另一边上的投影点连线的斜率都相等。
第四步，由于n与m的夹角为45°，根据三角函数的性质，我们可以得到n的斜率。
第五步，由于n与l的夹角为45°，根据三角函数的性质，我们可以得到l的斜率。
第六步，由于m与l垂直，根据垂直线的性质，我们可以得到m的斜率。
第七步，由于m、n、l的斜率都相等，根据平行线的性质，我们可以得到m、n、l三线共点。
第八步，由于m、n、l三线共点，根据共点线的性质，我们可以得到m、n、l三线交于一点。
综上，我们证明了半角模型中m、n、l三线交于一点。
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半角模型已知如图：①∠2=12∠AOB；②OA=OB.OABEF123连接FB，将△FOB绕点O旋转至△FOA的位置，连接F′E，FE，可得△OEF≌△OEF′4321F'FE BAO模型分析∵△OBF≌△OAF′，∴∠3=∠4，OF=OF′.∴∠2=12∠AOB，∴∠1+∠3=∠2∴∠1+∠4=∠2又∵OE是公共边，∴△OEF≌△OEF′.（1）半角模型的命名：存在两个角度是一半关系，并且这两个角共顶点；（2）通过先旋转全等再轴对称全等，一般结论是证明线段和差关系；（3）常见的半角模型是90°含45°，120°含60°.（1）求证：BM+DN=MN ．（2）作AH ⊥MN 于点H ，求证：AH=AB ．证明：（1）延长ND 到E ，使DE=BM ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AD=AB ．在△ADE 和△ABM 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=BM DE B ADE AB AD∴△ADE ≌△ABM ．∴AE=AM ，∠DAE=∠BAM∵∠MAN=45°，∴∠BAM+∠NAD=45°．∴ ∠MAN=∠EAN=45°．在△AMN 和△AEN 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AN AN EAN MAN EA MA∴△AMN ≌△AEN ．∴MN=EN ．∴BM+DN=DE+DN=EN=MN ．（2）由（1）知，△AMN ≌△AEN ．∴S △AMN =S △AEN ．即EN AD 21MN AH 21⋅=⋅． 又∵MN=EN ，∴AH=AD ．即AH=AB ．例2 在等边△ABC的两边AB、AC上分别有两点M、N，D为△ABC外一点，且∠MDN=60°，∠BDC=120°，BD=DC．探究：当M、N分别在线段AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系．（1）如图①，当DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是_______________；（2）如图②，当DM≠DN时，猜想（1）问的结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明．图①图②解答（1）BM、NC、MN之间的数量关系是BM+NC=MN．（2）猜想：BM+NC=MN．证明：如图③，延长AC至E，使CE=BM，连接DE．∵BD=CD，且∠BDC=120°，∴∠DBC=∠DCB=30°．又∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°．∴∠MBD=∠NCD=90°．在△MBD与△ECD中，∵DB=DC，∠DBM=∠DCE=90°，BM=CE，∴△MBD≌△ECD（SAS）．∴DM=DE，∠BDM=∠CDE．∴∠EDN=∠BDC-∠MDN=60°．在△MDN和△EDN中，∵MD=ED，∠MDN=∠EDN=60°，DN=DN，∴△MDN≌△EDN（SAS）．∴MN=NE=NC+CE=NC+BM．图③ 例3 如图，在四边形ABCD 中，∠B+∠ADC=180°，AB=AD ，E 、F 分别是BC 、CD 延长线上的点，且∠EAF=21∠BAD ．求证：EF=BE-FD ．证明：在BE 上截取BG ，使BG=DF ，连接AG ．∵∠B+∠ADC=180°，∠ADF+∠ADC=180°，∴∠B=∠ADF ．在△ABG 和△ADF 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=DF BG ADF B AD AB∴△ABG ≌△ADF （SAS ）．∴∠BAG=∠DAF ，AG=AF ．∴∠GAF=∠BAD ．∴∠EAF=21∠BAD=21∠GAF ． ∴∠GAE=∠EAF ．在△AEG 和△AEF 中， ⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AE AE FAE GAE AF AG∴△AEG ≌△AEF （SAS ）．∴EG=EF ．∵EG=BE-BG ，练习：1．已知，正方形ABCD ，M 在CB 延长线上，N 在DC 延长线上，∠MAN=45°．求证：MN=DN-BM ．【答案】证明：如图，在DN 上截取DE=MB ，连接AE ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AD=AB ，∠D=∠ABC=90°．在△ABM 和△ADE 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=DE BM ABM D AB AD∴△ABM ≌△ADE ．∴AM=AE ， ∠MAB=∠EAD ．∵∠MAN=45°=∠MAB+∠BAN ，∴∠DAE+∠BAN=45°．∴∠EAN=90°-45°=45°=∠MAN ．在△AMN 和△AEN 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AN AN EAN MAN AE AM∴△ABM ≌△ADE ．∴MN=EN ．∵DN-DE=EN ．2．已知，如图①在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E分别为线段BC上两动点，若∠DAE=45°，探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系．小明的思路是：把△AEC绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE′，连接E′D使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决以下问题：（1）猜想BD、DE、EC三条线段之间的数量关系式，并对你的猜想给予证明；（2）当动点E在线段BC上，动点D运动到线段CB延长线上时，如图②，其他条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明．图①图②【答案】解答：（1）猜想：DE2=BD2+EC2．证明：将△AEC绕点A顺时针旋转90°得到△ABE′，如图①∴△ACE≌△ABE′．∴BE′=EC，AE′=AE，∠C=∠ABE′，∠EAC=∠E′AB．在Rt△ABC中，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=45°．∴∠ABC+∠ABE′=90°，即∠E′BD=90°．∴E′B2+BD2=E′D2．又∵∠DAE=45°，∴∠BAD+∠EAC=45°．∴∠E′AB+∠BAD=45°，即∠E′AD=45°．∴△AE′D≌△AED．∴DE=DE′．∴DE2=BD2+EC2．图①（2）结论：关系式DE2=BD2+EC2仍然成立．证明：作∠FAD=∠BAD，且截取AF=AB，连接DF，连接FE，如图②∴△AFD≌△ABD．∴FD=DB，∠AFD=∠ABD．又∵AB=AC，∴AF=AC．∵∠FAE=∠FAD+∠DAE=∠FAD+45°，∠EAC=∠BAC-∠BAE=90°-（∠DAE-∠DAB ）=90°-（45°-∠DAB）=45°+∠DAB，∴∠FAE=∠CAE．又∵AE=AE，∴△AFE≌△ACE．∴FE=EC，∠AFE=∠ACE=45°．∠AFD=∠ABD=180°-∠ABC=135°．∴∠DFE=∠AFD-∠AFE=135°-45°=90°．在Rt△DFE中，DF2+FE2=DE2．即DE2=BD2+EC2．图②3．已知，在等边△ABC中，点O是边AC、BC的垂直平分线的交点，M、N分别在直线AC、BC上，且∠MON=60°．（1）如图①，当CM=CN时，M、N分别在边AC、BC上时，请写出AM、CN、MN三者之间的数量关系；（2）如图②，当CM≠CN时，M、N分别在边AC、BC上时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请你加以证明；若不成立，请说明理由；（3）如图③，当点M在边AC上，点N在BC的延长线上时，请直接写出线段AM、CN、MN三者之间的数量关系．图①图②图③【答案】结论：（1）AM=CN+MN；如图①图①（2）成立；证明：如图②，在AC上截取AE=CN，连接OE、OA、OC．∵O是边AC、BC垂直平分线的交点，且△ABC为等边三角形，∴OA=OC，∠OAE=∠OCN=30°，∠AOC=120°．又∵AE=CN，∴△OAE≌△OCN．∴OE=ON，∠AOE=∠CON．∴∠EON=∠AOC=120°．∵∠MON=60°，∴∠MOE=∠MON=60°．∴△MOE≌△MON．∴ME=MN．∴AM=AE+ME=CN+MN．图②（3）如图③，AM=MN-CN．图③4．如图，在四边形ABCD 中，∠B+∠D=180°，AB=AD ，E 、F 分别是线段BC 、CD 上的点，且BE+FD=EF ．求证：∠EAF=21∠BAD ．【答案】证明：如图，把△ADF 绕点A 顺时针旋转∠DAB 的度数得到△ABG ，AD 旋转到AB ，AF 旋转到AG ， ∴AG=AF ，BG=DF ，∠ABG=∠D ，∠BAG=∠DAF ．∵∠ABC+∠D=180°，∴∠ABC+∠ABG=180°．∴点G 、B 、C 共线．∵BE+FD=EF ，∴BE+BG=GE=EF ．在△AEG 和△AEF 中，⎪⎩⎪⎨⎧===EF EG AE AE AF AG∴△AEG ≌△AEF ．∴∠EAG=∠EAF ．∴∠EAB+∠BAG=∠EAF ．又∵∠BAG=∠DAF ，∴∠EAB+∠DAF=∠EAF ．∴∠EAF=21∠BAD ．以上王志强录入5．如图①，已知四边形ABCD ，∠EAF 的两边分别与DC 的延长线交于点F ，与CB 的延长线交于点E ，连接EF ．（1）若四边形ABCD 为正方形，当∠EAF ＝45°时，EF 与DF 、BE 之间有怎样的数量关系？（只需直接写出结论）（2）如图②，如果四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠ABC 与∠ADC 互补，当∠EAF ＝12∠BAD 时，EF 与DF 、BE 之间有怎样的数量关系？请写出结论并证明．（3）在（2）中，若BC ＝4，DC ＝7，CF ＝2，求△CEF 的周长（直接写出结论）解答：（1）EF=DF-BE（2）EF=DF-BE证明：如图，在DF 上截取DM=BE ，连接AM ，∵∠D+∠ABC=∠ABE+∠ABC=180°∵D=ABE∵AD=AB在△ADM 和△ABE 中，DM BE D ABE AD AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADM ≌△ABE∴AM=AE ，∠DAM=∠BAE∵∠EAF=∠BAE+∠BAF=1∠BAD ，∴∠MAF=12∠BAD ∴∠EAF=∠MAF在△EAF 和△MAF 中AE AM EAF MAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△EAF ≌△MAF∴EF=MF∵MF=DF-DM=DF-BE ，∴EF=DF-BE（3）∵EF=DF-BE∴△CEF 的周长=CE+EF+FC=BC+BE+DC+CF-BE+CF=BC+CD+2CF=15。