《超几何分布与二项分布型概率题》参考答案
二项分布超几何分布正态分布总结归纳及练习
专题：超几何分布与二项分布● 假定某批产品共有100个，其中有5个次品，采用不放回和放回抽样方式从中取出10件产品，那么次品数X 的概率分布如何？一、先考虑不放回抽样：从100件产品中随机取10件有C 10100种等可能基本事件．{X = 2}表示的随机事件是“取到2件次品和8件正品”，依据乘法原理有C 25C 895种基本事件，根据古典概型，得P (X = 2) = C 25C 895C 10100则称X 服从超几何分布类似地，可以求得X 取其它值时对应的随机事件的概率，从而得到次品数X 的分布列X 0 12345P C 05C 595C 10100C 15C 495C 10100C 25C 395C 10100C 35C 295C 10100C 45C 195C 10100C 55C 095C 10100二、再考虑放回抽样：从100件产品中有放回抽取10次，有10010种等可能基本事件．{X = 2}表示的随机事件是“取到2件次品和8件正品”，依据乘法原理有C 210·52·958种基本事件，根据古典概型，得P (X = 2) = C 210·52·95810010= C 210(5100)2(95100)8． 一般地，若随机变量X 的分布列为P (X = k ) = C k n p k qnk，其中0 < p < 1，p + q = 1，k = 0，1，2，…，n ，则称X 服从参数为n ，p 的二项分布记作X ～B (n ，p )。
例1： 袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球．求： （1）有放回抽样时，取到黑球的个数Ｘ的分布列； （2）不放回抽样时，取到黑球的个数Ｙ的分布列．解：（1）有放回抽样时，取到的黑球数Ｘ可能的取值为０，1，2，3．又由于每次取到黑球的概率均为，3次取球可以看成3次独立重复试验，则1~35X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．3031464(0)55125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴； 12131448(1)55125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 21231412(2)55125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；3033141(3)55125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 因此，X 的分布列为22，且有：03283107(0)15C C P Y C ===；12283107(1)15C C P Y C ===；21283101(2)15C C PY C ===．因此，Y 的分布列为某物的概率都是相同的，可以看成是独立重复试验，此种抽样是二项分布模型．而不放回抽样时，取出一个则总体中就少一个，因此每次取到某物的概率是不同的，此种抽样为超几何分布模型．因此，二项分布模型和超几何分布模型最主要的区别在于是有放回抽样还是不放回抽样．所以，在解有关二项分布和超几何分布问题时，仔细阅读、辨析题目条件是非常重要的．超几何分布和二项分布都是离散型分布 超几何分布和二项分布的区别：超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要； 超几何分布是不放回抽取，而二项分布是放回抽取（独立重复） 当总体的容量非常大时，超几何分布近似于二项分布超几何分布与二项分布练习：1．一条生产线上生产的产品按质量情况分为三类：A 类、B 类、C 类．检验员定时从该生产线上任取2件产品进行一次抽检，若发现其中含有C 类产品或2件都是B 类产品，就需要调整设备，否则不需要调整．已知该生产线上生产的每件产品为A 类品，B 类品和C 类品的概率分别为0.9,0.05和0.05，且各件产品的质量情况互不影响．(1)求在一次抽检后，设备不需要调整的概率；(2)若检验员一天抽检3次，以ξ表示一天中需要调整设备的次数，求ξ的分布列． 2、.甲、乙两人参加2010年广州亚运会青年志愿者的选拔．打算采用现场答题的方式来进行，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题．规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才能入选．(1)求甲答对试题数ξ的概率分布；(2)求甲、乙两人至少有一人入选的概率．3、已知箱中装有4个白球和5个黑球,且规定:取出一个白球得2分,取出一个黑球得1分.现从该箱中任取(无放回,且每球取到的机会均等)3个球,记随机变量X 为取出3球所得分数之和.(Ⅰ)求X 的分布列; (Ⅱ)求X 的数学期望E (X ).4、某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A 和B ,系统A 和B 在任意时刻发生故障的概率分别为110和p .(Ⅰ)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为4950,求p 的值;(Ⅱ)设系统A 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ,求ξ的概率分布列及数学期望E ξ.5、有一个3×4×5的长方体, 它的六个面上均涂上颜色. 现将这个长方体锯成60个1×1×1的小正方体，从这些小正方体中随机地任取1个，设小正方体涂上颜色的面数为ξ. （１）求0ξ=的概率； （２）求ξ的分布列和数学期望.6、一个口袋中装有大小相同的2个白球和3个黑球.（1）采取放回抽样方式，从中摸出两个球，求两球恰好颜色不同的概率； （2）采取不放回抽样方式，从中摸出两个球，求摸得白球的个数的分布列与期望。
高中数学选择性必修三 专题33 二项分布与超几何分布(含答案)
专题33 二项分布与超几何分布一、单选题1．（2020·山西应县一中高二期中（理））盒中有10个螺丝钉,其中有3个是坏的,现从盒中随机地抽取4个,那么概率是310的事件为()A．恰有1个是坏的B．4个全是好的C．恰有2个是好的D．至多有2个是坏的【答案】C【解析】对于选项A，概率为133741012C CC=.对于选项B，概率为4741016CC=.对于选项C，概率为2237410310C CC=.对于选项D，包括没有坏的，有1个坏的和2个坏的三种情况.根据A选项，恰好有一个坏的概率已经是13210>，故D选项不正确.综上所述，本小题选C.2．（2020·天山新疆实验高二期末）有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X表示取得次品的个数，则P(X<2)等于（）A．715B．815C．1415D．1【答案】C【解析】由题意，知X取0，1，2，X服从超几何分布，它取每个值的概率都符合等可能事件的概率公式，即P(X＝0)＝27210715CC=，P(X＝1)＝1173210715C CC=⋅，P(X＝2)＝23210115CC=，于是P(X<2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝7714 151515 +=故选C3．（2020·江苏鼓楼 南京师大附中高二期末）某地7个贫困村中有3个村是深度贫困，现从中任意选3个村，下列事件中概率等于67的是（ ） A ．至少有1个深度贫困村 B ．有1个或2个深度贫困村 C ．有2个或3个深度贫困村 D ．恰有2个深度贫困村【答案】B 【解析】用X 表示这3个村庄中深度贫困村数，X 服从超几何分布，故()33437k kC C P X k C -==， 所以()3043374035C C P X C ===， ()21433718135C C P X C ===，()12433712235C C P X C ===，()0343371335C C P X C ===， ()()6127P X P X =+==. 故选：B4．（2020·辉县市第二高级中学高二月考（理））在10个排球中有6个正品，4个次品.从中抽取4个，则正品数比次品数少的概率为（ ） A ．542B ．435C ．1942D ．821【答案】A 【解析】分析：根据超几何分布，可知共有410C 种选择方法，符合正品数比次品数少的情况有两种，分别为0个正品4个次品，1个正品3个次品，分别求其概率即可。
高中试卷-7.4 二项分布与超几何分布(精练)(含答案)
7.4 二项分布与超几何分布（精练）【题组一 二项分布】1．（2021·北京房山区·高二期末）已知某种药物对某种疾病的治愈率为34，现有3位患有该病的患者服用了这种药物，3位患者是否会被治愈是相互独立的，则恰有1位患者被治愈的概率为（ ）A ．2764B ．964C ．364D ．34【答案】B【解析】由已知3位患者被治愈是相互独立的，每位患者被治愈的概率为34，则不被治愈的概率为14所以3位患者中恰有1为患者被治愈的概率为12133194464P C æöæö=´´=ç÷ç÷èøèø故选：B 2．（2020·北京高二期末）已知随机变量X 服从二项分布，即(),X B n p :，且()2E X =，() 1.6D X =，则二项分布的参数n ，p 的值为（ ）A ．4n =，12p =B ．6n =，13p =C ．8n =，14p =D ．10n =，15p =【答案】D【解析】随机变量X 服从二项分布，即(),X B n p :，且()2E X =，() 1.6D X =，可得2np =，()1 1.6np p -=，解得0.2p =，10n =，故选：D.3．（2020·山西晋中市）某同学参加学校篮球选修课的期末考试，老师规定每个同学罚篮20次，每罚进一球得5分，不进记0分，已知该同学罚球命中率为60%，则该同学得分的数学期望和方差分别为（ ）.A ．60，24B ．80，120C ．80，24D ．60，120【答案】D【解析】设该同学20次罚篮，命中次数为X ，则320,5X B æöç÷èø:，所以()320125E X =´=，()3324201555D X æö=´´-=ç÷èø，所以该同学得分5X 的期望为()551260E X =´=，方差为()224551205D X =´=.故选：D4．（2020·营口市第二高级中学高二期末）从装有除颜色外完全相同的3个白球和m 个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取6次，设摸得黑球的个数为X ，已知()3E X =，则m 等于（ ）A ．2B ．1C ．3D ．5【答案】C【解析】根据题意可得出63()()(33kk m k m P X k C m m-==++ ，即3(6,)3X B m ~+ 所以()36333E X m m=´=Þ=+故选C 5.（多选）（2020·全国高二单元测试）若随机变量ξ～B 1(5,)3，则P (ξ＝k )最大时，k 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】AB【解析】依题意5512()33kkk P k C x -æöæö==ç÷ç÷èøèø，k=0，1，2，3，4，5.可以求得P (ξ=0)=32243，P (ξ=1)=80243，P (ξ=2)=80243，P (ξ=3)=40243，P (ξ=4)=10243，P (ξ=5)=1243.故当k=2或1时，P (ξ=k )最大.故选：AB .．6．（2021·广东东莞）为迎接8月8日的“全民健身日”，某大学学生会从全体男生中随机抽取16名男生参加1500米中长跑测试，经测试得到每个男生的跑步所用时间的茎叶图(小数点前一位数字为茎，小数点的后一位数字为叶)，如图，若跑步时间不高于5.6秒，则称为“好体能”.（1）写出这组数据的众数和中位数；（2）要从这16人中随机选取3人，求至少有2人是“好体能”的概率；（3）以这16人的样本数据来估计整个学校男生的总体数据，若从该校男生(人数众多)任取3人，记X 表示抽到“好体能”学生的人数，求X 的分布列【答案】（1）众数和中位数分别是5.8，5.8；（2）19140；（3）分布列见解析；【解析】（1）这组数据的众数和中位数分别是5.8，5.8；（2）设至少有2人是“好体能”的事件为A ，则事件A 包含得基本事件个数为；2134124C C C +g 总的基本事件个数为316C ，213412431619()140C C C P A C +==g （3）X 的可能取值为0，1，2，3，由于该校男生人数众多，故X 近似服从二项分布1(3,)4B 3327(0)()464P x ===，1231327(1)()4464P x C ===g ，223139(2)(4464P x C ===g ，311(3)(464P x ===X 的分布列为：X123P276427649641647．（2021·山东德州市·高三期末）某研究院为了调查学生的身体发育情况，从某校随机抽频率组距测120名学生检测他们的身高（单位：米），按数据分成[1.2,1.3],(1.3,1.4],,(1.7,1.8]L 这6组，得到如图所示的频率分布直方图，其中身高大于或等于1.59米的学生有20人，其身高分别为1.59，1.59，1.61，1.61，1.62，1.63，1.63，1.64，1.65，1.65，1.65，1.65，1.66，1.67，，1.68，1.69，1.69，1.71，1.72，1.74，以这120名学生身高在各组的身高的频率估计整个学校的学生在各组身高的概率．（1）求该校学生身高大于1.60米的频率，并求频率分布直方图中m 、n 、t 的值；（2）若从该校中随机选取3名学生（学生数量足够大），记X 为抽取学生的身高在(1.4,1.6]的人数求X 的分布列和数学期望．【答案】（1）0.25m = ， 1.25n =， 3.5t =；（2）分布列见详解；2.1.【解析】（1）由题意可知120名学生中身高大于1.60米的有18人，所以该校学生身高大于1.60米的频率为180.15120= 记d 为学生身高，则()()31.2 1.3 1.7 1.80.025120p p d d ££=<£== ()()151.3 1.4 1.6 1.70.125120p p d d <£=<£==()()()11.4 1.5 1.5 1.6120.02520.1250.352p p d d <£=<£=-´-´=所以0.0250.250.1m == ，0.125 1.250.1n ==，0.353.50.1t ==；（2）由（1）知学生身高在[]1.41.6, 的概率20.350.7p =´=随机变量X 服从二项分布()~3,0.7X B 则()()33010.70.027p x C ==´-= ()()213110.70.70.189p x C ==´-´=()()1223210.70.70.441p x C ==´-´=()33330.70.343p x C ==´=所以X 的分布列为X0123P0.0270.1890.4410.34330.7 2.1EX =´=8．（2020·湖北随州市·高二期末）疫情过后，为促进居民消费，某超市准备举办一次有奖促销活动，若顾客一次消费达到500元则可参加一轮抽奖活动，超市设计了两种抽奖方案.在一个不透明的盒子中装有6个质地均匀且大小相同的小球，其中2个红球，4个白球，搅拌均匀.方案一：顾客从盒子中随机抽取一个球，若抽到红球则顾客获得50元的返金券，若抽到白球则获得30元的返金券，可以有放回地抽取3次，最终获得的返金券金额累加.方案二：顾客从盒子中随机抽取一个球，若抽到红球则顾客获得100元的返金券，若抽到白球则不获得返金券，可以有放回地抽取3次，最终获得的返金券金额累加.（1）方案一中，设顾客抽取3次后最终可能获得的返金券的金额为X ，求X 的分布列；（2）若某顾客获得抽奖机会，试分别计算他选择两种抽奖方案最终获得返金券的数学期望，并以此判断应该选择哪种抽奖方案更合适.【答案】（1）答案见解析；（2）方案一数学期望为110（元），方案二数学期望为100（元）；方案一.【解析】（1）由题意易知，方案一和方案二中单次抽到红球的概率为13，抽到白球的概率为23，依题意，X 的取值可能为90，110，130，150.且30328(90)327P X C æö==×=ç÷èø，1213124(110)339P X C æöæö==××=ç÷ç÷èøèø223122(130)339P X C æöæö==××=ç÷ç÷èøèø，33311(150)327P X C æö==×=ç÷èø其分布列为X 90110130150p8274929127（2）由（1）知选择方案一时最终获得返金券金额的数学期望为8421()90110130150110279927E X =´+´+´+´=（元），选择方案二时，设摸到红球的次数为Y ，最终可能获得返金券金额为Z 元，由题意可知，1~3,3Y B æöç÷èø，得1()313E Y =´=()(100)100()100E Z E Y E Y ===由()()E X E Z >可知，该顾客应该选择方案一抽奖.【题组二 超几何分布】1．（2020·辽宁沈阳市）在箱子中有10个小球，其中有3个红球，3个白球，4个黑球．从这10个球中任取3个．求：（1）取出的3个球中红球的个数为X ，求X 的数学期望；（2）取出的3个球中红球个数多于白球个数的概率．【答案】（1）910；（2）13.【解析】（1）取出的3个球中红球的个数为X ，可能取值为：0，1，2，3，所以()37310350120p X C C===， ()2731016331120p X C C C===， ()1731022132120p X C C C===，()3103313120p X C C===．所以X 的数学期望()35632119012312012012012010E X =´+´+´+´=.（2）设“取出的3个球中红球个数多于白球个数”为事件A ，“恰好取出1个红球和2个黑球”为事件1A ，“恰好取出2个红球”为事件2A ，“恰好取出3个红球”为事件3A ，而()12341310320C C P A C ==，()()21372310217212040C C P A P X C =====，()()3037331013120C C P A P X C ×====，所以取出的3个球中红球个数多于白球个数的概率为：()()()()123371120401203P A P A P A P A =++=++=．2．（2021·山东德州市）在全面抗击新冠肺炎疫情这一特殊时期，某大型企业组织员工进行爱心捐款活动．原则上以自愿为基础，每人捐款不超过300元，捐款活动负责人统计全体员工数据后，随机抽取的10名员工的捐款数额如下表：员工编号12345678910捐款数额120802155013019530090200225（1）若从这10名员工中随机选取2人，则选取的人中捐款恰有一人高于200元，一人低于200元的概率；（2）若从这10名员工中任意选取4人，记选到的4人中捐款数额大于200元的人数为X ，求X 的分布列和数学期望．【答案】（1）25；（2）分布列见解析，65.【解析】（1）10名员工中捐款数额大于200元的有3人，低于200元的有6人故选取的人中捐款恰有一人高于200元，一人低于200元的概率为：1136210182455C C P C ===（2）由题知，10名员工中捐款数额大于200元的有3人，则随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3()4741035102106C P X C ====，()133********12102C C P X C ====，()2237410623221010C C P X C ====()313741071321020C C P X C ====则X 的分布列为X0123P1612310130()1131601236210305E X =´+´+´+´=；（用超几何分布公式()366105nM E X N ´===计算同样得分）3．（2020·河北省盐山中学高二期末）在某城市气象部门的数据库中，随机抽取30天的空气质量指数的监测数据，整理得如下表格：空气质量指数优良好轻度污染中度污染重度污染天数5a84b空气质量指数为优或良好，规定为Ⅰ级，轻度或中度污染，规定为Ⅱ级，重度污染规定为Ⅲ级.若按等级用分层抽样的方法从中抽取10天的数据，则空气质量为Ⅰ级的恰好有5天.（1）求a ，b 的值；（2）若以这30天的空气质量指数来估计一年的空气质量情况，试问一年（按366天计算）中大约有多少天的空气质量指数为优？（3）若从抽取的10天的数据中再随机抽取4天的数据进行深入研究，记其中空气质量为Ⅰ级的天数为X ，求X 的分布列及数学期望.【答案】（1）10a =，3b =.（2）61天（3）见解析【解析】（1）由题意知从中抽取10天的数据，则空气质量为Ⅰ级的恰好有5天，所以空气质量为Ⅰ级的天数为总天数的12，所以5+a=15，8+4+b=15，可得10a =，950.（2）依题意可知，一年中每天空气质量指数为优的概率为51306P ==，则一年中空气质量指数为优的天数约为1366616´=.（3）由题可知抽取的10天的数据中，Ⅰ级的天数为5，Ⅱ级和Ⅲ级的天数之和为5，满足超几何分布，所以X 的可能取值为0，1，2，3，4，4541051(0)21042C P X C ====，135510505(1)21021C C P X C ====，225541010010(2)21021C C P X C ====，3551410505(3)21021C C P X C ====，4541051(4)21042C P X C ====，X 的分布列为X1234P142 521 1021521 142故151051()0123424221212142E X =´+´+´+´+´=.4．（2020·延安市第一中学）在一个袋中，装有大小、形状完全相同的3个红球、2个黄球.现从中任取2个球，设随机变量x 为取得红球的个数.（1）求x 的分布列；（2）求x 的数学期望()E x 和方差()D x .【答案】（1）详见解析（2）6()5E x =，9()25D x =【解析】（1）x 的取值为0,1,2.()0232251010C C P C x ===，()113225631105C C P C x ====，()2032253210C C P C x ===，则x 的分布列为：x012P11035310（2）()1336012105105E x =´+´+´=，2226163639()0125105551025D x æöæöæö=-´+-´+-´=ç÷ç÷ç÷èøèøèø.5．（2020·西藏拉萨市）港珠澳大桥是一座具有划时代意义的大桥.它连通了珠海香港澳门三地，大大缩短了三地的时空距离，盘活了珠江三角洲的经济，被誉为新的世界七大奇迹.截至2019年10月23日8点，珠海公路口岸共验放出入境旅客超过1400万人次，日均客流量已经达到4万人次，验放出入境车辆超过70万辆次，2019年春节期间，客流再次大幅增长，日均客流达8万人次，单日客流量更是创下11.3万人次的最高纪录.2019年从五月一日开始的连续100天客流量频率分布直方图如下（1）①同一组数据用该区间的中点值代替，根据频率分布直方图.估计客流量的平均数.②求客流量的中位数.（2）设这100天中客流量超过5万人次的有n 天，从这n 天中任取两天，设X 为这两天中客流量超过7万人的天数.求X 的分布列和期望．【答案】（1）①4.15，②4.125；（2）分布列见解析，()23E X =【解析】（1）①平均值为()2.50.2 3.50.25 4.50.4 5.50.05 6.50.057.50.051 4.15´+´+´+´+´+´´=②设中位数为x ，则()0.200.250.4040.5x ++-=解得中位数为 4.125x =（2）可知15n =其中超过7万人次的有5天()2010521545301057C C P X C ====()111052155010110521C C P X C ====()02105215102210521C C P X C ====X012P371021221所以()31022012721213E X =´+´+´=6．（2021·福建莆田市）已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球．（1）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；（2）设x 为取出的4个球中红球的个数，求x 的分布列和数学期望．【答案】（1）715；（2）见解析.【解析】（1）记事件:A 取出的4个球中恰有1个红球，事件1:A 取出的4个球中唯一的红球取自于甲盒，事件2:A 取出的4个球中唯一的红球取自于乙盒，则12A A A =U ，且事件1A 与2A 互斥，由互斥事件的概率公式可得()()()1221134324122246715C C C C C P A P A P A C C +=+==，因此，取出的4个球中恰有1个红球的概率为715；（2）由题意知随机变量x 的可能取值为0、1、2、3，()22342246105C C P C C x ===，()7115P x ==，()111223243222463210C C C C C P C C x +===，()123222461330C C P C C x ===.所以，随机变量x 的分布列如下表所示：x123P15715310130因此，随机变量x 的数学期望为17317012351510306E x =´+´+´+´=.7．（2020·福建省南安市侨光中学高二月考）某单位组织“学习强国”知识竞赛，选手从6道备选题中随机抽取3道题.规定至少答对其中的2道题才能晋级.甲选手只能答对其中的4道题．(1)求甲选手能晋级的概率；(2)若乙选手每题能答对的概率都是34，且每题答对与否互不影响，用数学期望分析比较甲、乙两选手的答题水平．【答案】（1）45；（2）乙选手比甲选手的答题水平高【解析】解法一：（1）记“甲选手答对i 道题”为事件i A ，1,2,3i =，“甲选手能晋级”为事件A ，则23A A A =U ．()()()()2134242323336645C C C P A P A A P A P A C C =È=+=+=；（2）设乙选手答对的题目数量为X ，则3~3,4X B æöç÷èø，故()39344E X =´=，设甲选手答对的数量为Y ，则Y 的可能取值为1,2,3，()124236115C C P Y C ===，()214236325C C P Y C ===，()3436135C P Y C ===，故随机变量Y 的分布列为Y123P153515所以，()1311232555E Y =´+´+´=，则()()E X E Y >，所以，乙选手比甲选手的答题水平高；解法二：（1）记“甲选手能晋级”为事件A ，则()124236141155C C P A C =-=-=；（2）同解法二．8．（2020·全国高二课时练习）某大学在一次公益活动中聘用了10名志愿者，他们分别来自于A 、B 、C 三个不同的专业，其中A 专业2人，B 专业3人，C 专业5人，现从这10人中任意选取3人参加一个访谈节目．（1）求3个人来自两个不同专业的概率；（2）设X 表示取到B 专业的人数，求X 的分布列．【答案】（1）79120（2）见解析【解析】()1令事件A 表示“3个来自于两个不同专业”，1A 表示“3个人来自于同一个专业”，2A 表示“3个人来自于三个不同专业”，()3335131011120C C P A C +==，()111235231030120C C C P A C ==，3\个人来自两个不同专业的概率：()()()1211307911120120120P A P A P A =--=--=．()2随机变量X 有取值为0，1，2，3，()0337310350120C C P X C ===，()1237310631120C C P X C ===，()2137310212120C C P X C ===，()307331013120C C P X C ===，X \的分布列为：X123P3512063120211201120【题组三 二项分布与超几何分布综合运用】1．（2020·甘肃省会宁县第四中学） 2.5PM 是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可吸入肺颗粒物.我国 2.5PM 标准采用世卫组织设定的最宽限值，即 2.5PM 日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米~75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标，某试点城市环保局从该市市区2019年上半年每天的 2.5PM 监测数据中随机的抽取15天的数据作为样本，监测值如下茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）.（1）在这15天的 2.5PM 日均监测数据中，求其中位数；（2）从这15天的数据中任取2天数据，记x 表示抽到 2.5PM 监测数据超标的天数，求x 的分布列及数学期望；（3）以这15天的 2.5PM 日均值来估计该市下一年的空气质量情况，则一年（按365天计算）中平均有多少天的空气质量达到一级或二级.【答案】（1）45；（2）分布列见解析，45；（3）219.【解析】（1）由茎叶图可得中位数是45.（2）依据条件，x 服从超几何分布：其中15N =，6M =，2n =，x 的可能值为0,1,2，()026921512035C C P C x ===，()116921518135C C P C x ===，()2069215512357C C P C x ====，所以x 的分布列为：x012P1235183517()121814012353575E x =´+´+´=.（3）依题意可知，一年中每天空气质量达到一级或二级的概率为93=155P =，一年中空气质量达到一级或二级的天数为h ，则3365,5B h æöç÷èø:，33652195E h =´=，∴一年中平均有219天的空气质量达到一级或二级.2．（2020·山东高二期末）1933年7月11日，中华苏维埃共和国临时中央政府根据中央革命军事委员会6月30日的建议，决定8月1日为中国工农红军成立纪念日.中华人民共和国成立后，将此纪念日改称为中国人民解放军建军节.为庆祝建军节，某校举行“强国强军”知识竞赛，该校某班经过层层筛选，还有最后一个参赛名额要在A ，B 两名学生中间产生，该班委设计了一个测试方案：A ，B 两名学生各自从6个问题中随机抽取3个问题作答.已知这6个问题中，学生A 能正确回答其中的4个问题，而学生B 能正确回答每个问题的概率均为23，A ，B 两名学生对每个问题回答正确与否都是相互独立、互不影响的.（1）求A 恰好答对两个问题的概率；（2）求B 恰好答对两个问题的概率；（3）设A 答对题数为X ，B 答对题数为Y ，若让你投票决定参赛选手，你会选择哪名学生？请说明理由.【答案】(1)35 ;(2)49；(3)选择A .【解析】(1) A 恰好答对两个问题的概率为214236C C 3C 5=；(2) B 恰好答对两个问题的概率为223214339C æö´=ç÷èø；(3) X 所有可能的取值为1,2,3. ()124236C C 11C 5P X ===，214236C C 3(2)C 5P X ===，304236C C 1(3)C 5P X ===，所以131()1232555E X =´+´+´=，2221312()(12)(22)(32)5555D X =-´+-´+-´=；而23,3Y B æö-ç÷èø，2()323E Y =´=，212()3333D Y =´´=，所以()()E X E Y =，()()D X D Y <，可见，A 与B 的平均水平相当，但A 比B 的成绩更稳定.所以选择投票给学生A .3．（2021·湖南高二期末）一个袋中装有大小形状相同的标号为1，2，3，4，5，6的6个小球，某人做如下游戏，每次从袋中拿一个球（拿后放回袋中）记下标号，若拿出球的标号是奇数，则得1分，否则得0分.（1）求拿2次得分不小于1分的概率；（2）拿4次所得分数x 的分布列和数学期望()E x 【答案】（1）34；（2）分布列见解析；期望为2.【解析】(1)一次拿到奇数的概率3162P ==，所以拿2次得分为0分的概率为2021124C æö=ç÷èø所以拿2次得分不小于1分的概率为2211311244C æö-=-=ç÷èø（2）x 可以取值：0，1，2，3，4所以()404121601C P x æö=ç÷èø==()13141112124C P x æöæö´=ç÷ç÷èøèø==()22241132228C P x æöæö´=ç÷ç÷èøèø==()31341112324C P x æöæö´=ç÷ç÷èøèø==()404411122164P C x æöæö´=ç÷ç÷èøèø==分布列x01234P116143814116满足二项分布概率1~42B x æöç÷èø，1()=4=22E x \´4．（2020·武汉外国语学校高二期中）为有效预防新冠肺炎对老年人的侵害，某医院到社区检查老年人的体质健康情况．从该社区全体老年人中，随机抽取12名进行体质健康测试，根据测试成绩（百分制）绘制茎叶图如下．根据老年人体质健康标准，可知成绩不低于80分为优良，且体质优良的老年人感染新冠肺炎的可能性较低．（Ⅰ）从抽取的12人中随机选取3人，记x 表示成绩优良的人数，求x 的分布列及数学期望；（Ⅱ）将频率视为概率，根据用样本估计总体的思想，在该社区全体老年人中依次抽取10人，若抽到k 人的成绩是优良的可能性最大，求k 的值．【答案】（Ⅰ）分布列见解析；()2E x =；（Ⅱ）7k =.【解析】（Ⅰ）由题意12人中有8人体质优良，x 可能的取值为0，1，2，3，()343121055C P C x ===，()128431212155C C P C x ×===，()218431228255C C P C x ×===，()3831214355C P C x ===，所以x 的分布列为：x0123P155125528551455数学期望()1122814 01232 55555555E x=´+´+´+´=；（Ⅱ）由题意可知，抽取的10人中，成绩是优良的人数210,3X Bæöç÷èø∼，所以()10 102133k k kP X k C-æöæö==××ç÷ç÷èøèø，0,1,210k=×××，令()()10110111010101101110102121333321213333k k k kk kk k k kk kC CC C------+-++ìæöæöæöæö×׳××ïç÷ç÷ç÷ç÷ïèøèøèøèøíïæöæöæöæö×׳××ç÷ç÷ç÷ç÷ïèøèøèøèøî，解得192233k££，又kÎN，所以7k=，所以当7k=时，抽到k人的成绩是优良的可能性最大.。
考点36 超几何分布与二项分布(练习)(解析版)
考点36 超几何分布与二项分布【题组一 超几何分布】1．某市调硏机构对该市工薪阶层对“楼市限购令”态度进行调查，抽调了50名市民，他们月收入频数分布表和对“楼市限购令”赞成人数如下表：（1）若所抽调的50名市民中，收入在[35,45)的有15名，求a ，b ，c 的值，并完成频率分布直方图．（2）若从收入（单位：百元）在[55,65)的被调查者中随机选取2人进行追踪调查，选中的2人中恰有X 人赞成“楼市限购令”，求X 的分布列与数学期望．（3）从月收入频率分布表的6组市民中分别随机抽取3名市民，恰有一组的3名市民都不赞成“楼市限购令”，根据表格数据，判断这3名市民来自哪组的可能性最大？请直接写出你的判断结果． 【答案】（1）0.2,0.3,10a b c ===，频率分布直方图见解析；（2）分布列见解析，()45E X =；（3）来自[)65,75的可能性最大．【解析】（1）由频率分布表得：0.10.20.10.11a b +++++=，即0.5a b +=． 收入在[)35,45的有15名，150.350b ∴==，0.2a ∴=，0.25010c ∴=⨯=，则频率分布直方图如下：（2）收入在[)55,65中赞成人数为2，不赞成人数为3， X ∴可能取值为0,1,2，则()23253010C P X C ===；()113225315C C P X C ===；()22251210C P X C ===， X ∴的分布列为：()4012105105E X ∴=⨯+⨯+⨯=． （3）来自[)65,75的可能性更大．2．某大学数学学院拟从往年的智慧队和理想队中选拔4名大学生组成志愿者招募宣传队.往年的智慧对和理想队的构成数据如下表所示，现要求选出的4名大学生中两队中的大学生都要有.（1）求选出的4名大学生仅有1名女生的概率；（2）记选出的4名大学生中女生的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望.【答案】(1)2968;(2)见解析. 【解析】（1）选出的4人中智慧队和理想队的都要有，所以选法种数是：12223144444416361668C C C C C C ++=++=（种）选出的4名大学生仅有1名女生的选法有：从智慧队中选取1女生的选法共有12213232369C C C C +=+=（种）从理想队中选取1女生的选法共有103112121223223223212620C C C C C C C C C ++=++=（种）或者用排除法：1335129C C -=（种）所以，选出的4名大学生仅有1名女生的概率为920296868+= （2）随机变量X 的可能取值为0，1，2，3则()221323233250686868C C C C P X ++====， ()2112132323253620291686868C C C C C C P X ++++====， ()225313101292686868C C P X -⨯-====， ()15536868C P X ===， 所以随机变量X 的分布列为5292951023012368686868682EX =⨯+⨯+⨯+⨯==. 3．某电视台举行一个比赛类型的娱乐节目，A B 、两队各有六名选手参赛，将他们首轮的比赛成绩作为样本数据，绘制成茎叶图如图所示，为了增加节目的趣味性，主持人故意将A 队第六位选手的成绩没有给出，并且告知大家B 队的平均分比A 队的平均分多4分，同时规定如果某位选手的成绩不少于21分，则获得“晋级”．（1）根据茎叶图中的数据，求出A 队第六位选手的成绩；（2）主持人从A 队所有选手成绩中随机抽2个，求至少有一个为“晋级”的概率；（3）主持人从A B 、两队所有选手成绩分别随机抽取2个，记抽取到“晋级”选手的总人数为ξ，求ξ的分布列．【答案】（1）20；（2）35；（3）答案见解析. 【解析】（1）B 队选手的平均分为111221252736226+++++=，设A 队第6位选手的成绩为x ， 则911132431186x+++++=，得20x（2）A 队中成绩不少于21分的有2个，从中抽取2个至少有一个为“晋级”的对立事件为两人都没有“晋级”，则概率2426135C P C -== （3）ξ的可能取值有0，1，2，3，4，()2242226660225C C P C C ξ===()1122112424422266561225C C C C C C P C C ξ+=== ()111122222442224422661012225C C C C C C C C P C C ξ++=== ()1111122422442266563225C C C C C C P C C ξ+=== ()1224226664225C C P C C ξ===∴ξ的分布列为【题组二 二项分布】1．某学校实行自主招生，参加自主招生的学生从8个试题中随机挑选出4个进行作答，至少答对3个才能通过初试已知甲、乙两人参加初试，在这8个试题中甲能答对6个，乙能答对每个试题的概率为34，且甲、乙两人是否答对每个试题互不影响.（1）试通过概率计算，分析甲、乙两人谁通过自主招生初试的可能性更大；（2）若答对一题得5分，答错或不答得0分，记乙答题的得分为Y ，求Y 的分布列及数学期望和方差.【答案】（1）甲通过自主招生初试的可能性更大.（2）见解析，()15E Y =，75()4D Y =. 【解析】（1）参加自主招生的学生从8个试题中随机挑选出4个进行作答，至少答对3个才能通过初试，在这8个试题中甲能答对6个，∴甲通过自主招生初试的概率314626144881114C C C P C C =+= 参加自主招生的学生从8个试题中随机挑选出4个进行作答，至少答对3个才能通过初试.在这8个试题中乙能答对每个试题的概率为34， ∴乙通过自主招生初试的概率43324313189()444256P C ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭ 1118914256>，∴甲通过自主招生初试的可能性更大. （2）根据题意，乙答对题的个数X 的可能取值为0，1，2，3，4.~X B 34,4⎛⎫ ⎪⎝⎭()4431()0,1,2,3,444k kk P X k C k -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且5Y X =∴Y 的概率分布列为：()554154E Y np ∴==⨯⨯= ()25(1)254444D Y np p =-=⨯⨯⨯=.2．2020年1月10日，引发新冠肺炎疫情的9COVID -病毒基因序列公布后，科学家们便开始了病毒疫苗的研究过程.但是类似这种病毒疫苗的研制需要科学的流程，不是一朝一夕能完成的，其中有一步就是做动物试验.已知一个科研团队用小白鼠做接种试验，检测接种疫苗后是否出现抗体.试验设计是：每天接种一次，3天为一个接种周期.已知小白鼠接种后当天出现抗体的概率为12，假设每次接种后当天是否出现抗体与上次接种无关.（1）求一个接种周期内出现抗体次数K 的分布列；（2）已知每天接种一次花费100元，现有以下两种试验方案：①若在一个接种周期内连续2次出现抗体即终止本周期试验，进行下一接种周期，试验持续三个接种周期，设此种试验方式的花费为X 元；②若在一个接种周期内出现2次或3次抗体，该周期结束后终止试验，已知试验至多持续三个接种周期，设此种试验方式的花费为Y 元.本着节约成本的原则，选择哪种实验方案. 【答案】（1）分布列见解析；（2）①825元；②选择方案二.【解析】（1）由题意可知，随机变量K 服从二项分布13,2KB ⎛⎫⎪⎝⎭， 故()331122kkk P K k C -⎛⎫⎛⎫==⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（0,1,2,3k =）则X 的分布列为（2）①设一个接种周期的接种费用为ξ元，则ξ可能的取值为200，300，因为()12004P ξ==，()33004P ξ==，所以()1320030027544E ξ=⨯+⨯=. 所以三个接种周期的平均花费为()()33275825E X E ξ==⨯=. ②随机变量Y 可能的取值为300，600，900，设事件A 为“在一个接种周期内出现2次或3次抗体”，由（1）知，()311882P A =+=. 所以()()13002P Y P A ===， ()()()160014P Y P A P A ==-⨯=⎡⎤⎣⎦， ()()()19001114P Y P A P A ==-⨯-⨯=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦， 所以()111300600900525244E Y =⨯+⨯+⨯= 因为()()E X E Y >. 所以选择方案二.3．某校高三男生体育课上做投篮球游戏，两人一组，每轮游戏中，每小组两人每人投篮两次，投篮投进的次数之和不少于3次称为“优秀小组”.小明与小亮同一小组，小明、小亮投篮投进的概率分别为12,p p .（1）若123p =，212p =，则在第一轮游戏他们获“优秀小组”的概率；（2）若1243p p +=则游戏中小明小亮小组要想获得“优秀小组”次数为16次，则理论上至少要进行多少轮游戏才行？并求此时12,p p 的值.【答案】（1）49（2）理论上至少要进行27轮游戏.2123p p == 【解析】（1）由题可知,所以可能的情况有①小明投中1次,小亮投中2次；②小明投中2次,小亮投中1次；③小明投中2次,小亮投中2次.故所求概率12212222222221112211221143322332233229P C C C C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅= ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （2）他们在一轮游戏中获“优秀小组”的概率为()()()122221222222211222122221221212121()()1()()23()()P C p p C p C p C p p C p C p p p p p p p =-+-+=+-因为1243p p +=,所以22121283()()3P p p p p =- 因为101p ≤≤,201p ≤≤,1243p p +=,所以1113p ≤≤,2113p ≤≤,又21212429p p p p +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭所以121499p p <≤,令12t p p =,以1499t <≤,则()2833P h t t t ==-+ 当49t =时,max 1627P =,他们小组在n 轮游戏中获“优秀小组”次数ξ满足()~,B n p ξ由max ()16np =,则27n =,所以理论上至少要进行27轮游戏.此时1243p p +=,1249p p =,2123p p == 4．2020年1月10日，引发新冠肺炎疫情的COVID -9病毒基因序列公布后，科学家们便开始了病毒疫苗的研究过程.但是类似这种病毒疫苗的研制需要科学的流程，不是一朝一夕能完成的，其中有一步就是做动物试验.已知一个科研团队用小白鼠做接种试验，检测接种疫苗后是否出现抗体.试验设计是：每天接种一次，3天为一个接种周期.已知小白鼠接种后当天出现抗体的概率为12，假设每次接种后当天是否出现抗体与上次接种无关.（1）求一个接种周期内出现抗体次数k 的分布列；（2）已知每天接种一次花费100元，现有以下两种试验方案：①若在一个接种周期内连续2次出现抗体即终止本周期试验，进行下一接种周期，试验持续三个接种周期，设此种试验方式的花费为X 元；②若在一个接种周期内出现2次或3次抗体，该周期结束后终止试验，已知试验至多持续三个接种周期，设此种试验方式的花费为Y 元.比较随机变量X 和Y 的数学期望的大小.【答案】（1）分布列答案见解析.（2）()()E X E Y >【解析】（1）由题意可知，随机变量k 服从二项分布13,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故3311()(0,1,2,3)22k kk P k C k -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.则k 的分布列为（2）①设一个接种周期的接种费用为ξ元，则ξ可能的取值为200，300，因为1(200)4P ξ==，3(300)4P ξ==， 所以13()20030027544E ξ=⨯+⨯=. 所以三个接种周期的平均花费为()3()3275825E X E ξ==⨯=.②随机变量Y 可能的取值为300，600，900，设事件A 为“在一个接种周期内出现2次或3次抗体”，由（1）知，311()882P A =+=.所以1(300)()2P Y P A ===， 1(600)[1()]()4P Y P A P A ==-⨯=， 1(900)[1()][1()]14P Y P A P A ==-⨯-⨯=， 所以111()300600900525244E Y =⨯+⨯+⨯=. 所以()()E X E Y >.【题组三 超几何分布与二项分布综合运用】1．全国中小学生的体质健康调研最新数据表明我国小学生近视眼发病率为22.78%，初中生为55.22%，高中生为70.34%．影响青少年近视形成的因素有遗传因素和环境因素，主要原因是环境因素．学生长时期近距离的用眼状态，加上不注意用眼卫生、不合理的作息时间很容易引起近视．除了学习，学生平时爱看电视、上网玩电子游戏、不喜欢参加户外体育活动，都是造成近视情况日益严重的原因．为了解情况，现从某地区随机抽取16名学生，调查人员用对数视力表检查得到这16名学生的视力状况的茎叶图（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶），如图：（1）写出这组数据的众数和中位数；（2）若视力测试结果不低于5.0，则称为“好视力”．①从这16名学生中随机选取3名，求至少有2名学生是“好视力”的概率；②以这16名学生中是“好视力”的频率代替该地区学生中是“好视力”的概率．若从该地区学生（人数较多）中任选3名，记X 表示抽到“好视力”学生的人数，求X 的分布列及数学期望．【答案】（1）众数为4.6和4.7，中位数为4.75（2）①19140②见解析，3()4E X =【解析】（1）由题意知众数为4.6和4.7，中位数为4.7 4.8 4.752+=． （2）①设事件i A ，表示“所选3名学生中有i 名是‘好视力’”(0,1,2,3)i =，设事件A 表示“至少有2名学生是好视力”．则()()213112423331616()C C C P A P A P A C C =+=+19140=②因为这16名学生中是“好视力”的频率为14，所以该地区学生中是“好视力”的概率为14．由于该地区学生人数较多，故X 近似服从二项分布13,4B ⎛⎫⎪⎝⎭．3327(0)464P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， 2131327(1)4464P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 223139(2)4464P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 311(3)464P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， 所以X 的分布列为X 的数学期望为13()344E X =⨯=．。
超几何分布与二项分布概率答案
1、北京海淀一模某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测,每一件一等品都能通过检测,每一件二等品通过检测的概率为23.现有10件产品,其中6件是一等品,4件是二等品.Ⅰ 随机选取1件产品,求能够通过检测的概率；Ⅱ 随机选取3件产品,其中一等品的件数记为X ,求X 的分布列； Ⅲ 随机选取3件产品,求这三件产品都不能通过检测的概率.解析Ⅰ设随机选取一件产品,能够通过检测的事件为A …………………………1分事件A 等于事件 “选取一等品都通过检测或者是选取二等品通过检测” ……………2分151332104106)(=⨯+=A p …………………………4分Ⅱ 由题可知X 可能取值为0,1,2,3.30463101(0)30C C P X C ===,21463103(1)10C C P X C ===, 12463101(2)2C C P X C ===,03463101(3)6C C P X C ===. ………………8分故X 的分布列为……………9分Ⅲ设随机选取3件产品都不能通过检测的事件为B ……………10分事件B 等于事件“随机选取3件产品都是二等品且都不能通过检测”所以,3111()()303810P B =⋅=. ……………13分2、深圳一模第26届世界大学生夏季运动会将于2011年8月12日到23日在深圳举行,为了搞好接待工作,组委会在某学院招募了12名男志愿者和18名女志愿者;将这30名志愿者的身高编成如右所示的茎叶图单位:cm ：若身高在175cm 以上包括175cm 定义为“高个子”,身高在175cm 以下不包括175cm 定义为“非高个子”, 且只有“女高个子”才担任“礼仪小姐”.Ⅰ如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中中提取5人, 再从这5人中选2人,那么至少有一人是“高个子”的概率是多少123Ⅱ若从所有“高个子”中选3名志愿者,用ξ表示所选志愿者中能担 任“礼仪小姐”的人数,试写出ξ的分布列,并求ξ的数学期望.解析Ⅰ根据茎叶图,有“高个子”12人,“非高个子”18人,…………1分用分层抽样的方法,每个人被抽中的概率是61305=, ………………2分 所以选中的“高个子”有26112=⨯人,“非高个子”有36118=⨯人． (3)分用事件A 表示“至少有一名“高个子”被选中”,则它的对立事件A 表示“没有一名“高个子”被选中”,则()P A =-12523C C 1071031=-=．……5分 因此,至少有一人是“高个子”的概率是107．…6分Ⅱ依题意,ξ的取值为0,1,2,3． ………………7分 5514C C )0(31238===ξP , 5528C C C )1(3122814===ξP ,5512C C C )2(3121824===ξP , 551C C )3(31234===ξP ． …………………9分因此,ξ的分布列如下：分15513551225528155140=⨯+⨯+⨯+⨯=ξ∴E ． …………12分 3、广州二模某地区对12岁儿童瞬时记忆能力进行调查,瞬时记忆能力包括听觉记忆能力与视觉记忆能力.某班学生共有40人,下表为该班学生瞬时记忆能力的调查结果.3人.,视觉记忆能力恰为中等,且听觉记忆能力为中等或中等以上的概率为25.Ⅰ试确定a 、b 的值；Ⅱ从40人中任意抽取3人,设具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的学生人数为ξ,求随机变量ξ的分布列.解析Ⅰ由表格数据可知,视觉记忆能力恰为中等,且听觉记忆能力为中等或中等以上的学生共有(10)a +人.记“视觉记忆能力恰为中等,且听觉记忆能力为中等或中等以上”为事件A ,则102()405a P A +==,解得6a =,从而40(32)40382b a =-+=-=. Ⅱ由于从40位学生中任意抽取3位的结果数为340C ,其中具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的学生共24人,从40位学生中任意抽取3位,其中恰有k 位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的结果数为32416k k C C -,所以从40位学生中任意抽取3位,其中恰有k 位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的概率为32416340()k k C C P k C ξ-==(0,1,2,3)k =.ξ的可能取值为0、1、2、3. 因为03241634014(0)247C C P C ξ===,12241634072(1)247C C P C ξ===,212416340552(2)1235C C P C ξ===,302416340253(3)1235C C P C ξ===,所以ξ的分布列为46个球,至少投进4个球且最后2个球都投进者获奖；否则不获奖. 已知教师甲投进每个球的概率都是23．Ⅰ记教师甲在每场的6次投球中投进球的个数为X ,求X 的分布列及数学期望； Ⅱ求教师甲在一场比赛中获奖的概率；Ⅲ已知教师乙在某场比赛中,6个球中恰好投进了4个球,求教师乙在这场比赛中获奖的概率；教师乙在这场比赛中获奖的概率与教师甲在一场比赛中获奖的概率相等吗解析ⅠX 的所有可能取值为0,1,2,3,4,5,6. 依条件可知X ~B 6,23.6621()33kkk P X k C -⎛⎫⎛⎫==⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0, 1, 2, 3, 4, 5, 6k =所以X所以(01112260316042405192664)729EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=4729=.频率组距 20 25 3频率组距或因为X ~B 6,23,所以2643EX =⨯=. 即X 的数学期望为4． Ⅱ设教师甲在一场比赛中获奖为事件A ,则224156441212232()()()()().3333381P A C C =⨯⨯+⨯⨯+=答：教师甲在一场比赛中获奖的概率为32.81Ⅲ设教师乙在这场比赛中获奖为事件B ,则2444662()5A A P B A ==.此处为244625C C =会更好因为样本空间基于:已知6个球中恰好投进了4个球即教师乙在这场比赛中获奖的概率为25.显然2323258081=≠,所以教师乙在这场比赛中获奖的概率与教师甲在一场比赛中获奖的概率不相等．5、北京石景山一模为增强市民的节能环保意识,某市面向全市征召义务宣传志愿者.从符合条件的500名志愿者中随机抽样100名志愿者的年龄情况如下表所示． Ⅰ频率分布表中的①、②位置应填什么数据并在答题卡中补全频率分布直方图如图,再根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[3035，）岁的人数； Ⅱ在抽出的100名志愿者中按年龄再采用分层抽样法抽取20人参加中心广场的宣传活动,从这20人中选取2名志愿者担任主要负责人,记这2名志愿者中“年龄低于30岁”的人数为X ,求X 的分布列及数学期望．解析Ⅰ①处填20,②处填35.0；补全频率分布直方图如图所示. 500名志愿者中年龄在[)35,30 的人数为 0.35500175⨯=人．…6分 Ⅱ用分层抽样的方法,从中选取20人, 则其中“年龄低于30岁”的有5人,“年龄不低于30岁”的有15人． …………7分 故X 的可能取值为0,1,2；21522021(0)38C P X C ===,1115522015(1)38C C P X C ===,252202(2)38C P X C ===,……11分 所以分组 单位：岁 频数 频率①②合计B 1B 2∴ 0123838382EX =⨯+⨯+⨯=． …………13分 6、北京朝阳二模为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康,要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测,只有两轮都合格才能进行销售,否则不能销售.已知某产品第一轮检测不合格的概率为16,第二轮检测不合格的概率为110,两轮检测是否合格相互没有影响. Ⅰ求该产品不能销售的概率；Ⅱ如果产品可以销售,则每件产品可获利40元；如果产品不能销售,则每件产品亏损80元即获利-80元.已知一箱中有产品4件,记一箱产品获利X 元,求X 的分布列,并求出均值EX .解析Ⅰ记“该产品不能销售”为事件A ,则111()1(1(1)6104P A =--⨯-=. 所以,该产品不能销售的概率为14. ……………………………………4分 Ⅱ由已知,可知X 的取值为320,200,80,40,160---. ………………………5分411(320)(4256P X =-==, 134133(200)(4464P X C =-=⋅⋅=, 22241327(80)(()44128P X C =-=⋅⋅=,3341327(40)()4464P X C ==⋅⋅=, 4381(160)(4256P X ===. ……………………………………10分所以X…11分 EX 1127278132020080401602566412864256=-⨯-⨯-⨯+⨯+⨯40=,故均值EX 为40.……12分7、北京丰台二模张先生家住H 小区,他在C 科技园区工作,从家开车到公司上班有L 1,L 2两条路线如图,L 1路线上有A 1,A 2,A 3三个路口,各路口遇到红灯的概率均为12；L 2路线上有B 1,B 2两个路口,33Ⅰ若走L 1路线,求最多．．遇到1次红灯的概率； Ⅱ若走L 2路线,求遇到红灯次数X 的数学期望；Ⅲ按照“平均遇到红灯次数最少”的要求,请你帮助张先生 从上述两条路线中选择一条最好的上班路线,并说明理由． 解析Ⅰ设走L 1路线最多遇到1次红灯为A 事件,则0312331111()=()()2222P A C C ⨯+⨯⨯=．…4分所以走L 1路线,最多遇到1次红灯的概率为12． Ⅱ依题意,X 的可能取值为0,1,2． …………5分331(=0)=(1)(1)4510P X -⨯-=,33339(=1)=(1)(1)454520P X ⨯-+-⨯=,339(=2)=4520P X ⨯=．…8分01210202020EX =⨯+⨯+⨯=．………………10分Ⅲ设选择L 1路线遇到红灯次数为Y ,随机变量Y 服从二项分布,1(3,)2Y B ,所以13322EY =⨯=．……12分 因为EX EY <,所以选择L 2路线上班最好．……14分8、北京海淀二模某商场一号电梯从1层出发后可以在2、3、4层停靠.已知该电梯在1层载有4位乘客,假设每位乘客在2、3、4层下电梯是等可能的. Ⅰ 求这4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电梯的概率；Ⅱ 用X 表示4名乘客在第4层下电梯的人数,求X 的分布列和数学期望.解析Ⅰ设4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电梯的事件为A ,……………………1分由题意可得每位乘客在第2层下电梯的概率都是13, ……………………………3分则4265()1()1381P A P A ⎛⎫=-=-=⎪⎝⎭ .……………………………6分 Ⅱ X 的可能取值为0,1,2,3,4, ………………………7分由题意可得每个人在第4层下电梯的概率均为13,且每个人下电梯互不影响,所以1(4,)3X B .…9分………………………………11分14()433E X =⨯=.………………………13分9、福建福州3月质检“石头、剪刀、布”是一种广泛流传于我国民间的古老游戏,其规则是：用三种不同的手势分别表示石头、剪刀、布；两个玩家同时出示各自手势1次记为1次游戏,“石头”胜“剪刀”,“剪刀”胜“布”,“布”胜“石头”；双方出示的手势相同时,不分胜负．现假设玩家甲、乙双方在游戏时出示三种手势是等可能的． Ⅰ求出在1次游戏中玩家甲胜玩家乙的概率； Ⅱ若玩家甲、乙双方共进行了3次游戏,其中玩家甲胜玩家乙的次数记作随机变量X ,求X 的分布列及其期望．解析Ⅰ玩家甲、乙双方在1次游戏中出示手势的所有可能结果是：石头,石头；石头,剪刀；石头,布；剪刀,石头；剪刀,剪刀；剪刀,布；布,石头；布,剪刀；布,布．共有9个基本事件,--------------------3分玩家甲胜玩家乙的基本事件分别是：石头,剪刀；剪刀,布；布,石头,共有3个．所以,在1次游戏中玩家甲胜玩家乙的概率3193P ==．--------------------6分 ⅡX 的可能取值分别为0,1,2,3．()303280327P X C ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭,()1213121213327P X C ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅=⎪⎪⎝⎭⎝⎭, ()212312623327P X C ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,()333113327P X C ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭．--------------------10分X0123127272727EX =⨯+⨯+⨯+⨯=或：~(3,)3X B ,1313EX np ==⨯=．-----13分10、湖北黄冈3月质检某射击小组有甲、乙两名射手,甲的命中率为123p =,乙的命中率为2p ,在射击比武活动中每人射击发两发子弹则完成一次检测,在一次检测中,若两人命中次数相等且都不少于一发,则称该射击小组为“先进和谐组”；Ⅰ若212p =,求该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率；Ⅱ计划在2011年每月进行1次检测,设这12次检测中该小组获得“先进和谐组”的次数ξ,如果5E ξ≥,求2p 的取值范围.解析Ⅰ1122211122111()()()()332233223P C C =⋅⋅⋅⋅+⋅⋅=---------6分Ⅱ该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率 而(12,)B P ξ,所以12E P ξ=,由5E ξ≥知2228412()599p p -≥,解得2314p ≤≤.-------12分 11、湖北部分重点中学第二次联考一射击测试每人射击三次,每击中目标一次记10分;没有击中记0分,某人每次击中目标的概率为2.3Ⅰ求此人得20分的概率； Ⅱ求此人得分的数学期望与方差; 解析Ⅰ此人得20分的概率为9431)32(223=⨯=C p ……4分Ⅱ记此人三次射击击中目标η次得分为ξ分,则η～)32,3(B ,ξ=10η…6分∴2032310)(10)(=⨯⨯==ηξE E ……9分320031323100)(100)(=⨯⨯⨯==ηξD D ……12分 12、2011江西八校4月联考设不等式224x y +≤确定的平面区域为U ,1x y +≤确定的平面区域为V ．Ⅰ定义横、纵坐标为整数的点为“整点”,在区域U 内任取3个整点,求这些整点中恰有2个整点在区域V 的概率；Ⅱ在区域U 内任取3个点,记这3个点在区域V 的个数为X ,求X 的分布列和数学期望．解析Ⅰ依题可知平面区域U 的整点为()()()()()()0,0,0,1,0,2,1,0,2,0,1,1±±±±±±共有13个,平面区域V 的整点为()()()0,0,0,1,1,0±±共有5个, ∴2158313.40143C C P C == Ⅱ依题可得：平面区域U 的面积为224ππ⋅=,平面区域V 的面积为：12222⨯⨯=,在区域U 内任取1个点,则该点在区域V 内的概率为2142ππ=, 易知：X 的可能取值为0123，，，,且 ()()320312013333213211111(0)1(1)1228228P X C P X C ππππππππ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅⋅-===⋅⋅-=⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ,∴X123∴X 的数学期望：()()()32333321321321130123=88882EX ππππππππ---=⨯+⨯+⨯+⨯……12分或者： 1~(3,)2X B π,故13=322EX np ππ=⨯=13、山东淄博二模 A 、B 是治疗同一种疾病的两种药,用若干试验组进行对比试验;每个试验组由4只小白鼠组成,其中2只服用A ,另2只服用B ,然后观察疗效;若在一个试验组中,服用A 有效的小白鼠的只数比服用B 有效的多,就称该试验组为甲类组;设每只小白鼠服用A 有效的概率为32,服用B 有效的概率为21.Ⅰ求一个试验组为甲类组的概率；Ⅱ观察3个试验组,用ξ表示这3个试验组中甲类组的个数,求ξ的分布列和数学期望;解析Ⅰ设i A 表示事件“一个试验组中,服用A 有效的小白鼠有i 只”,i=0,1,2； i B 表示事件“一个试验组中,服用B 有效的小白鼠有i 只”,i=0,1,2依题意有1124()2339P A =⨯⨯=,2224()339P A =⨯=,0111()224P B =⨯=,1111()2222P B =⨯⨯=,所求的概率为0102121414144()()()4949299P P B A P B A P B A =++=⨯+⨯+⨯=Ⅱ的可能取值为0,1,2,3,且 ~ B3,错误!, 3345()()(),0,1,2,399k k k P k C k ξ-===∴ 的分布列为`0123所以数学期望44393E ξ=⨯=.14、温州一模盒子中装有大小相同的10只小球,其中2只红球,4只黑球,4只白球．规定：一次摸出3只球,如果这3只球是同色的,就奖励10元,否则罚款2元．Ⅰ若某人摸一次球,求他获奖励的概率；Ⅱ若有10人参加摸球游戏,每人摸一次,摸后放回,记随机变量ξ为获奖励的人数,i 求(1)P ξ> ii 求这10人所得钱数的期望．结果用分数表示,参考数据：10141152⎛⎫≈ ⎪⎝⎭解析Ⅰ3421021=15C p C =Ⅱi 由题意知110,)15B ξ（,则101910141141(1)1(0)(1)1()()1515157P P P C ξξξ>=-=-==--⨯⨯=ii 设η为在一局中的输赢,则114610215155E η=⨯-⨯=-,所以6(10)1010()125E E ηη==⨯-=-,即这10人所得钱数的期望为12-.15、2011天津高考学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球,乙箱子里装有1个白球、2个黑球,这些球除颜色外完全相同,每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球,若摸出的白球不少于2个,则获奖.每次游戏结束后将球放回原箱 Ⅰ求在1次游戏中：①摸出3个白球的概率； ②获奖的概率； Ⅱ求在2次游戏中获奖次数X 的分布列与数学期望.解析Ⅰ①设“在1次游戏中摸出i 个白球”为事件(0,1,2,3)i A i =,则2132322531()5C C P A C C =⋅=.②设“在1次游戏中获奖”为事件B ,则23B A A =,又22111322222222253531()2C C C C C P A C C C C =⋅+⋅=,且2A 、3A 互斥,所以23117()()()2510P B P A P A =+=+=. Ⅱ法1：由题意可知X 的所有可能取值为0、1、2.279(0)(1)10100P X ==-=；127721(1)(1)101050P X C ==-=；2749(2)()10100P X ===.X 的数学期望012100501005EX =⨯+⨯+⨯=. 法2：因为7(2,)10XB ,得X 的分布列同上,X 的数学期望772105EX =⨯=.16、全国高考根据以往统计资料,某地车主购买甲种保险的概率为,购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为,设各车主购买保险相互独立. Ⅰ求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的l 种的概率； ⅡX 表示该地的l00位车主中,甲、乙两种保险都不购买的车主数,求X 的期望. 解析记A 表示事件：该地的1位车主购买甲种保险；B 表示事件：该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险；C 表示事件：该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种；D 表示事件：该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买.Ⅰ()0.5P A =,()0.3P B =.因为C A B =,且A 、B 互斥,所以()()()0.8P C P A P B =+=. Ⅱ因为D C =,所以()1()10.80.2P D P C =-=-=.而~(100,0.2)X B ,即X 服从二项分布,所以X的期望为1000.220EX=⨯=.。
专题02 二项分布与超几何分布(解析版)
概率与统计专题02 二项分布与超几何分布常见考点考点一 二项分布典例1．溺水､校园欺凌等与学生安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视，为了普及安全教育，某市组织了一次学生安全知识竞赛，规定每队3人，每人回答一个问题，答对得1分，答错得0分.在竞赛中，甲､乙两个中学代表队相遇，假设甲队3人回答正确的概率均为23，乙队3人回答正确的概率分别为12，23，34，且两队各人回答问题正确与否互不影响. (1)求甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率； (2)求甲队总得分X 的分布列和数学期望. 【答案】(1)19；(2)分布列见解析，()2E X =. 【解析】 【分析】（1）利用独立事件的乘法公式及互斥事件加法公式求甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率；（2）由题意有{0,1,2,3}X =，利用二项分布概率公式求各可能值对应的概率，进而写出分布列，再根据分布列求期望即可. (1)由题设，甲队得2分，即2人答对1人答错，概率为2213224()(1)339P C =-=， 乙队得1分，即1人答对2人答错，概率为211112111312342342344P =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=， 所以甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率1219P P P =⨯=. (2)由题设，{0,1,2,3}X =，且3033211(0)()()3327P X C ===，2123212(1)()()339P X C ===，1213214(2)()()339P X C ===，0303218(3)()()3327P X C ===，甲队总得分X的分布列如下：所以1248 ()01232279927E X=⨯+⨯+⨯+⨯=.变式1-1．党的十九届五中全会强调“创新”在我国现代化建设中的重要战略地位，确保发展经济着力点放在实体经济上，为促进经济活力，拉动市场经济快速发展，必须大力推进大众创业、万众创新．某几位大学毕业生自主创业创办了一家服务公司，该公司提供A、B两种民生消费产品（人们购买时每次只买其中一种）服务，他们经过统计分析发现：第一次购买产品的人购买A产品的概率为23，购买B产品的概率为13，而前一次购买A产品的人下一次来购买A产品的概率为14，购买B产品的概率为34，前一次购买B产品的人下一次来购买A产品的概率为12，购买B产品的概率也是12，如此往复．记某人第n次来购买A产品的概率为n P．(1)求2P；(2)记第二次来公司购买产品的3个人中有X个人购买A产品，3人是否购买A产品相互独立，求X 的分布列和数学期望．【答案】(1)21 3P=(2)分布列见解析，数学期望为1【解析】【分析】（1）根据概率公式求出2P；（2）根据二项分布的概率公式求得X的各种取值所对应的概率，再计算出期望即可.(1)某人第2次来购买A产品的概率为2P,即221111 34323P=⨯+⨯=；(2)由题意得13,3X B⎛⎫⎪⎝⎭，其中X的可能取值有3，2，1，0，故()3333312C 731323P X -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭===，()323221222C 339P X -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()313111241C 339P X -⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()003031280C 3327P X -⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 故X 的分布列为X 的数学期望为()124832101279927E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． 变式1-2．某通讯商场推出一款新手机，分为甲、乙、丙、丁4种不同的配置型号.该商场对近期售出的100部该款手机的情况进行了统计，绘制如下表格:(1)每售出一部甲、乙、丙、丁配置型号的手机可分别获得利润600元、400元、500元、450元，根据以上100名消费者的购机情况，求该商场销售一部该款手机的平均利润；(2)该商场某天共销售了4部该款手机，每销售一部该款手机的型号相互独立，其中甲配置型号手机售出的数量为X ，将样本频率视为概率，求X 的概率分布列及期望. 【答案】(1)475(2)分布列见解析，1EX = 【解析】 【分析】（1）根据给定频数表直接计算平均数作答.（2）由题意，X 服从二项分布，即1~(4,)4X B ，根据二项分布的概率公式和期望公式即得解 (1) 依题意，25600404001550020450475100x ⨯+⨯+⨯+⨯==，所以该商场销售一部手机的平均利润为475元.(2)该商场每销售一部手机，该手机为甲配置型号手机的概率为2511004=， 由题意，甲配置型号手机售出的数量为X 服从二项分布，即1~(4,)4X B ， 则X 所有可能取值为0,1,2,3,4，4413()()()(0,1,2,3,4)44k k kP X k C k -===，故X 的分布列为：由二项分布的期望公式：1414EX np ==⨯=.变式1-3．某学习网按学生数学成绩的水平由高到低分成甲､乙两档，进行研究分析，假设学生做对每道题相互独立，其中甲､乙档学生做对每道题的概率分别为p ，58p ，现从甲､乙两档各抽取一名学生成为一个学习互助组合.(1)现从甲档中选取一名学生，该生5道题做对4道题的概率为()f p ，求出()f p 的最大值点0p ； (2)若以0p 作为p 的值，①求每一个互助组合做对题的概率；②现选取n 个组合，记做对题的组数为随机变量X ，当90X =时，()P X 取得最大值，求相应的n 和()E X .【答案】(1)045p = (2)①0.9；②答案见解析 【解析】 【分析】（1）由题可知()()()4445151f p C p p p p =-=-，然后利用导数可求出函数的最大值点，（2）①记事件A 为一个互助组合做对题，事件B 为一个互助组合中甲档中的学生做对题，事件C 为一个互助组合中乙档中的学生做对题，根据题意求出(),()P B P C ，然后利用对立事件的概率公式求解即可，②由题意知随机变量(),0.9X B n ，然后根据题意利用二项分布的概率公式列不等式组可求得结果(1)由题可知()()()4445151f p C p p p p =-=-，()()3545f p p p '=-，令()0f p '=，得45p =，当40,5p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f p '>，()f p 在40,5⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；当4,15p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f p '<，()f p 在4,15⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减.所以()f p 的最大值点045p = (2)①记事件A 为一个互助组合做对题，事件B 为一个互助组合中甲档中的学生做对题，事件C 为一个互助组合中乙档中的学生做对题， 则4()5P B =，()451582P C =⋅=，()()()11110.952P A P B P C =-=-⋅=.②由题意知随机变量(),0.9X B n ，()()0.90.10,1,2,,kk n k nP X k C k n -==⨯⨯=⋅⋅⋅ 因为()90P X =最大，所以9090909191919090908989890.90.10.90.10.90.10.90.1n n n n n n nn C C C C ----⎧⨯⨯≥⨯⨯⎨⨯⨯≥⨯⨯⎩，解得901999n ≤≤， 因为n 是整数，所以99n =或100n =， 当99n =时，()990.989.1E X np ==⨯=； 当100n =时，()1000.990E X np ==⨯=考点二 超几何分布典例2．共享电动车（sharedev ）是一种新的交通工具，通过扫码开锁，实现循环共享.某记者来到中国传媒大学探访，在校园喷泉旁停放了10辆共享电动车，这些电动车分为荧光绿和橙色两种颜色，已知从这些共享电动车中任取1辆，取到的是橙色的概率为0.4P =，若从这些共享电动车中任意抽取3辆.(1)求取出的3辆共享电动车中恰好有一辆是橙色的概率；(2)求取出的3辆共享电动车中橙色的电动车的辆数X 的分布列与数学期望. 【答案】(1)12；(2)分布列见解析，数学期望为65. 【解析】 【分析】（1）先求出两种颜色的电动车各有多少辆，然后根据超几何分布求概率的方法即可求得答案； （2）先确定X 的所有可能取值，进而求出概率并列出分布列，然后根据期望公式求出答案. (1)因为从10辆共享电动车中任取一辆，取到橙色的概率为0.4，所以橙色的电动车有4辆，荧光绿的电动车有6辆.记A 为“从中任取3辆共享单车中恰好有一辆是橙色”，则()2164310C C 1C 2P A ⨯==. (2)随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3.所以()3064310C C 10C 6P X ⨯===，()2164310C C 11C 2P X ⨯===， ()()1264310C C 32C 10P X P A ⨯====，()0364310C C 13C 30P X ⨯===. 所以分布列为数学期望()1131601236210305E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.变式2-1．为了更好满足人民群众的健身和健康需求，国务院印发了《全民健身计划（20212025-）》．某中学为了解学生对上述相关知识的了解程度，先对所有学生进行了问卷测评，所得分数的分组区间为(]50,60、(]60,70、(]70,80、(]80,90、(]90,100，由此得到总体的频率分布直方图，再利用分层抽样的方式随机抽取20名学生进行进一步调研，已知频率分布直方图中a 、b 、c 成公比为2的等比数列．(1)若从得分在80分以上的样本中随机选取2人，用X 表示得分高于90分的人数，求X 的分布列及期望；(2)若学校打算从这20名学生中依次抽取3名学生进行调查分析，求在第一次抽出1名学生分数在区间(]70,80内的条件下，后两次抽出的2名学生分数在同一分组区间(]80,90的概率． 【答案】(1)分布列见解析，期望为1； (2)257. 【解析】 【分析】（1）求出a 的值，分析可知随机变量X 的可能取值有0、1、2，计算出随机变量X 在不同取值下的概率，可得出随机变量X 的分布列，进一步可求得随机变量X 的数学期望值；（2）记事件:A 第一次抽出1名学生分数在区间(]70,80内，记事件:B 后两次抽出的2名学生分数在同一分组区间(]80,90内，利用条件概率公式可求得所求事件的概率. (1)解：由题意得2b a =，4c a =，因为10101010101a b c b a ++++=，所以0.01a =． 由分层抽样，抽出的20名学生中得分位于区间(]50,60内有200.12⨯=人， 位于(]60,70内有200.24⨯=人，位于(]70,80内有200.48⨯=人， 位于(]80,90内有200.24⨯=人，位于区间(]90,100学生有200.12⨯=人， 这样，得分位于80分以上的共有6人，其中得分位于(]90,100的有2人，所以X 的可能取值有0、1、2，()3436C 10C 5P X ===，()214236C C 31C 5P X ===，()124236C C 12C 5P X ===， 所以X 的分布列为：所以()1310121555E X =⨯+⨯+⨯=. (2)解：记事件:A 第一次抽出1名学生分数在区间(]70,80内， 记事件:B 后两次抽出的2名学生分数在同一分组区间(]80,90内，则()82205P A ==，()1284320C A 4A 1519P AB ==⨯，由条件概率公式可得()()()4521519257P AB P B A P A ==⨯=⨯. 变式2-2．十三届全国人大四次会议3月11日表决通过了关于国民经济和社会发展第十四个五年规划和2035年远景目标纲要的决议，决定批准这个规划纲要．纲要指出：“加强原创性引领性科技攻关”．某企业集中科研骨干，攻克系列“卡脖子”技术，已成功实现离子注入机全谱系产品国产化，包括中束流、大束流、高能、特种应用及第三代半导体等离子注入机，工艺段覆盖至28nm ，为我国芯片制造产业链补上重要一环，为全球芯片制造企业提供离子注入机一站式解决方案．此次技术的突破可以说为国产芯片的制造做出了重大贡献．该企业使用新技术对某款芯片进行试生产，该厂家生产了两批同种规格的芯片，第一批占60%，次品率为6%；第二批占40%，次品率为5%．为确保质量，现在将两批芯片混合，工作人员从中抽样检查． (1)从混合的芯片中任取1个，求这个芯片是合格品的概率；(2)若在两批产品中采取分层抽样方法抽取一个样本容量为15的样本，再从样本中抽取3片芯片，求这3片芯片含第二批片数X 的分布列和数学期望． 【答案】(1)0.944 (2)分布列见解析，65【解析】 【分析】（1）设事件B = “任取一个芯片是合格品”，事件1A =“产品取自第一批”，事件2A =“产品取自第二批”，则12A A Ω=且1A 、2A 互斥，由全概率公式可得答案；（2）求出X 的可取值和概率可得分布列. (1)设事件B = “任取一个芯片是合格品”，事件1A =“产品取自第一批”， 事件2A =“产品取自第二批”，则12A A Ω=且1A 、2A 互斥；由全概率公式可知：()()()()()1122P B P A P B A P A P B A =+， 所以()()()0.610.060.410.050.944P B =⨯-+-=. (2)由条件可知：第一批芯片数：9，第二批芯片数：6； X 的可取值为0，1，2，3；()393158412045565C P X C ====；()21963152161455C C P X C ===；()129631513527245591C C P X C ====；()36315204345591C P X C ====所以X 的分布列为：所以()12216274601236545591915E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． 变式2-3．某班组织冬奥知识竞赛活动，规定首轮比赛需要从6道备选题中随机抽取3道题目进行作答.假设在6道备选题中，甲正确完成每道题的概率都是23且每道题正确完成与否互不影响，乙能正确完成其中4道题且另外2道题不能完成. (1)求甲至少正确完成其中2道题的概率；(2)设随机变量X 表示乙正确完成题目的个数，求X 的分布列及数学期望()E X ；(3)现规定至少正确完成其中2道题才能进入下一轮比赛，请你根据所学概率知识进行预测，谁进入下一轮比赛的可能性较大，并说明理由. 【答案】(1)2027(2)分布列见详解；()2E X = (3)乙；理由见详解 【解析】 【分析】（1）结合独立重复试验概率公式即可求解；（2）判断1,2,3X =，结合超几何分布公式求出对应概率，写出分布列，求出期望； （3）比较两人正确完成题目数大于等于2对应概率，即可做出判断. (1)设随机变量η表示甲正确完成题目的个数，则当2η=时，()2232142339P C η⎛⎫⎛⎫==⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 当3η=时，()333283327P C η⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则甲至少正确完成其中2道题的概率为482092727P =+=；(2)由题可知，1,2,3X =，()()()1221304242423336661311,2,3555C C C C C C P X P X P X C C C ⋅⋅⋅=========，则X的分布列为：()1311232555E X =⨯+⨯+⨯=；(3)由（1）（2）可知()20227P η≥=，()425P X ≥=，因为420527>，所以乙进入下一轮比赛的可能性较大.考点三 二项分布与超几何分布的区分典例3．某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量(单位：克)，质量的分组区间为(490，495]，(495，500]，…，(510，515]．由此得到样本的频率分布直方图如图．（1）根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量；（2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设X为质量超过505克的产品数量，求X的分布列；（3）从该流水线上任取2件产品，设Y为质量超过505克的产品数量，求Y的分布列．【答案】（1）12件；（2）答案见解析；（3）答案见解析.【解析】【分析】（1）结合频率分布直方图求解(1)；（2）结合超几何分布及古典概型求X的分布列；（3）先分析Y服从二项分布，再利用公式求解．【详解】（1）质量超过505克的产品的频率为5×0.05＋5×0.01＝0.3所以质量超过505克的产品数量为40×0.3＝12(件)．（2）重量超过505克的产品数量为12件，则重量未超过505克的产品数量为28件∴P(X＝0)＝228240CC＝63130，P(X＝1)＝111228240C CC＝2865，P(X＝2)＝212240CC＝11130，∴X的分布列为（3）根据样本估计总体的思想，取一件产品，该产品的质量超过505克的概率为1240＝310.从流水线上任取2件产品互不影响，该问题可看成2次独立重复试验，质量超过505克的件数Y的可能取值为0,1,2，且Y～B3 (2,)10，P(Y＝k)＝223311010k k kC-⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以P(Y＝0)＝22710C⎛⎫⎪⎝⎭＝49100，P(Y＝1)＝123721 101050C⨯=，P(Y＝2)＝2223910100 C⎛⎫=⎪⎝⎭.∴Y的分布列为变式3-1．2021年7月18日第30届全国中学生生物学竞赛在浙江省萧山中学隆重举行．为做好本次考试的评价工作，将本次成绩转化为百分制，现从中随机抽取了50名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40至100之间，将数据按照[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图．(1)求频率分布直方图中m的值，并估计这50名学生成绩的中位数；(2)在这50名学生中用分层抽样的方法从成绩在[70，80)，[80，90)，[90，100]的三组中抽取了11人，再从这11人中随机抽取3人，记ξ为3人中成绩在[80，90)的人数，求ξ的分布列和数学期望；(3)转化为百分制后，规定成绩在[90，100]的为A等级，成绩在[70，90)的为B等级，其它为C等级．以样本估计总体，用频率代替概率，从所有参加生物学竞赛的同学中随机抽取100人，其中获得B等级的人数设为η，记B 等级的人数为k 的概率为()P k η=，写出()P k η=的表达式，并求出当k 为何值时，()P k η=最大？ 【答案】(1)0.012m =，68 (2)分布列见解析，911(3)100100()(0.4)(0.6)kk k P k C η-==，0k =，1，3，⋅⋅⋅，40，40 【解析】 【分析】（1）利用频率之和为1列方程，化简求得m 的值，根据由频率分布直方图计算中位数的方法，计算出中位数.（2）结合超几何分布的知识计算出ξ的分布列和数学期望.（3）根据二项分布的知识求得()P k η=，由此列不等式，解不等式来求得()P k η=的最大值时对应的k 的值. (1)由频率分布直方图的性质可得，(0.0040.0220.030.0280.004)101m +++++⨯=， 解得0.012m =， 设中位数为m ，0.004100.02210(60)0.30.5m ⨯+⨯+-⨯=，解得68m =．(2)[70，80)，[80，90)，[90，100]的三组频率之比为0.28:0.12:0.047:3:1=，∴从[70，80)，[80，90)，[90，100]中分别抽取7人，3人，1人，ξ所有可能取值为0，1，2，3，3831156(0)165C P C ξ===，218331128(1)55C C P C ξ===，12833118(2)55C C P C ξ===，333111(3)165C P C ξ===，故ξ的分布列为：故5628819)012316555551651(1E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=． (3)B 等级的概率为(0.0280.012)100.4+⨯=，B 等级为1000.440⨯=，100100()(0.4)(0.6)kk k P k C η-==，0k =，1，3，⋅⋅⋅，40，令1001199100100(0.4)(0.6)(0.4)(0.6)kk k k k k C C -++-≥∴，10011101100100(0.4)(0.6)(0.4)(0.6)k k k k k k C C ----≥∴，由∴可得，0.60.41001k k ≥-+，解得39.4k ≥，由∴可得，0.40.6(101)k k ≥-，解得40.4k ≤，故40k =时，()P k η=取得最大．变式3-2．某学校为了解学生课后进行体育运动的情况，对该校学生进行简单随机抽样，获得20名学生一周进行体育运动的时间数据如表，其中运动时间在(]7,11的学生称为运动达人．（1）从上述抽取的学生中任取2人，设X 为运动达人的人数，求X 的分布列；（2）以频率估计概率，从该校学生中任取2人，设Y 为运动达人的人数，求Y 的分布列． 【答案】（1）分布列见解析；（2）分布列见解析. 【解析】 【分析】（1）题目考查超几何分布，任取2人中，运动达人的人数可能为0，1，2，分别求概率即可 （2）题目考查二项分布，每个人是否是运动达人的概率是不变的，从而可求分布列 【详解】解：（1）X 的可能取值为0，1，2，()2822014095C P X C ===，()1181222048195C C P X C ⋅===，()21222033295C P X C ===，X ∴的分布列为：（2）由表中数据可得，抽到运动达人的频率为35，将频率视为概率，则随机变3~2,5Y B ⎛⎫⎪⎝⎭，()202240525P Y C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()12231215525P Y C ==⨯⨯=，()222392525P Y C ⎛⎫===⎪⎝⎭， Y ∴的分布列为：变式3-3．袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球． (1)若每次抽取后都放回，设取到黑球的个数为X ，求X 的分布列； (2)若每次抽取后都不放回，设取到黑球的个数为Y ，求Y 的分布列． 【答案】(1)分布列见解析 (2)分布列见解析 【解析】 【分析】（1）有放回抽样时，取到黑球的次数13,5X B ⎛⎫⎪⎝⎭，可能的取值为0，1，2，3，分别求出对应的概率，即可得X 的分布列．（2）不放回抽样时，取到的黑球个数()~10,3,2Y H ，可能的取值为0，1，2，分别求出对应的概率，即可得Y 的分布列． (1)解：若每次抽取后都放回，则每次抽到黑球的概率均为21825=+． 而3次取球可以看成3次独立重复试验，因此13,5XB ⎛⎫⎪⎝⎭，所以 03031464(0)55125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，12131448(1)55125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，21231412(2)55125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，333141(3)55125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．因此X 的分布列为：(2)解：若每次抽取后都不放回，则随机抽取3次可看成随机抽取1次，但1次抽取了3个，因此黑球数Y 服从参数为10，3，2的超几何分布，即()~10,3,2Y H ，因此03283107(0)15C C P Y C ===，12283107(1)15C C P Y C ===，21283101(2)15C C P Y C ===．因此，Y 的分布列为：巩固练习练习一 二项分布1．电子科技公司研制无人机，每架无人机组装后每周要进行1次试飞试验，共进行3次.每次试飞后，科研人员要检验其有否不良表现.若在这3次试飞中，有不良表现不超过1次，则该架无人机得6分，否则得2分.假设每架无人机3次检验中，每次是否有不良表现相互独立，且每次有不良表现的概率均为12.(1)求某架无人机在3次试飞后有不良表现的次数X 的分布列和方差；(2)若参与试验的该型无人机有m 架，在3次试飞试验中获得的总分不低于4m 分，即可认为该型无人机通过安全认证.现有6架无人机参与试飞试验，求该型无人机通过安全认证的概率是多少？ 【答案】(1)分布列见解析，()34D X = (2)2132【解析】 【分析】（1）由题意得X 服从二项分布13,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入公式，分别求得(0),(1),(2),(3)P X P X P X P X ====，写出分布列，代入公式，即可求得方差.（2）由题意得获得6分的架数可取3、4、5、6，先求得该型无人机获得6分的概率，再求得通过安全认证的概率，即可得答案. (1) 由题意得13,2XB ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 则()03031110228P X C ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()2131312812P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭⋅⋅，()2231322182P X C ⎛⎫== ⋅=⎪⎭⋅⎝，()3331113228P X C ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，随机变量X 的分布列如下表所示：所以，()1133224D X =⨯⨯=； (2)当6m =时，424.m =设该型6架无人机获得6分的架数为x ，则获得2分的架数为()6x -， 由题意可得()62641224x x x +-=+≥，解得3x ≥，x ∈N ，则x 的取值有3、4、5、6，记“某架无人机获得6分”为事件A ，则()0321331111122222P A C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 记“6架无人机参与试飞试验，该型无人机通过安全认证”为事件B ，则()33425634566666111111121222222232P B C C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.2．接种新冠疫苗，可以有效降低感染新冠肺炎的几率，某地区有A ，B ，C 三种新冠疫苗可供居民接种，假设在某个时间段该地区集中接种第一针疫苗，而且这三种疫苗的供应都很充足，为了节省时间和维持良好的接种秩序，接种点设置了号码机，号码机可以随机地产生A ，B ，C 三种号码（产生每个号码的可能性都相等），前去接种第一针疫苗的居民先从号码机上取一张号码，然后去接种与号码相对应的疫苗（例如：取到号码A ，就接种A 种疫苗，以此类推）．若甲，乙，丙，丁四个人各自独立的去接种第一针新冠疫苗．（1）求这四个人中恰有一个人接种A 种疫苗的概率；（2）记甲，乙，丙，丁四个人中接种A 种疫苗的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望． 【答案】（1）3281；（2）分布列见解析；期望为43．【解析】 【分析】（1）记四个人中恰有一个人接种A 疫苗的事件为M ，则()5141233P M C ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；（2）1~4,3X B ⎛⎫⎪⎝⎭，然后算出答案即可.【详解】（1）记四个人中恰有一个人接种A 疫苗的事件为M ，则()51412323381P M C ⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以四个人中恰有一个人接种A 疫苗的概率为3281． （2）由题意可知，X 的取值依次为0，1，2，3，4．且1~4,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()()44120,1,2,3,433k kk P X k C k -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故随机变量X 的分布列为()43E X np ==．3．足球比赛全场比赛时间为90分钟，在90分钟结束时成绩持平，若该场比赛需要决出胜负，需进行30分钟的加时赛，若加时赛仍是平局，则采取“点球大战”的方式决定胜负.“点球大战”的规则如下：①两队应各派5名队员，双方轮流踢点球，累计进球个数多者胜：②如果在踢满5轮前，一队的进球数已多于另一队踢满5次可能射中的球数，则不需再踢，譬如：第4轮结束时，双方进球数比为2：0，则不需再踢第5轮了；③若前5轮点球大战中双方进球数持平，则采用“突然死亡法”决出胜负，即从第6轮起，双方每轮各派1人罚点球，若均进球或均不进球，则继续下一轮，直到出现一方进球另一方不进球的情况，进球方胜.(1)已知小明在点球训练中射进点球的概率是35.在一次赛前训练中，小明射了3次点球，且每次射点球互不影响，记X 为射进点球的次数，求X 的分布列及数学期望.(2)现有甲、乙两校队在淘汰赛中（需要分出胜负）相遇，120分钟比赛后双方仍旧打平，须互罚点球决出胜负.设甲队每名球员射进点球的概率为35，乙队每名球员射进点球的概率为12.每轮点球中，进球与否互不影响，各轮结果也互不影响.求在第4轮结束时，甲队进了3个球并刚好胜出的概率.【答案】(1)分布列见解析，期望为95； (2)2432500. 【解析】 【分析】（1）根据题意3~(3,)5X B ，即可计算分布列及期望；（2）“甲VS 乙：3:0”记为事件1A ， “甲VS 乙：3:1”记为事件2A ，此两互斥事件的和即为所求事件，分别计算两事件的概率，求和即得解. (1)依题意，3~(3,)5X B ，X 的可能取值为：0,1,2,3，3123383336(0)(1);(1)(1)512555125P X P X C ==-===⋅⋅-=；22333354327(2)()(1);(3)()551255125P X C P X ==⋅⋅-====.X 的分布列为：39()355E X ∴=⨯=.(2)记“在第4轮结束时，甲队进了3个球并刚好胜出”为事件A .依题意知：在第4轮结束时，甲队进了3个球并刚好胜出，甲乙两队进球数比为:“甲VS 乙：3:0”记为事件1A ，或“甲VS 乙：3:1”记为事件2A ，则12A A A =+，且1A 与2A 互斥.依题意有：224133331923181()()(1)(1)355522555165000P A C =-⨯-=⨯⨯⨯⨯=， 312221323343311133311()()(1)(1)()(1)(1)5522255522P A C C C =-⨯-+-⨯- 4444443131812852521000=⨯⨯+⨯⨯=， 12128181243()()()()500010002500A P A A P P P A A ∴=+=+=+=. 4．血液检测是诊断是否患某疾病的重要依据，通过提取病人的血液样本进行检测，样本的某一指标会呈现阳性或阴性.若样本指标呈阳性，说明该样本携带病毒；若样本指标呈阴性，说明该样本不携带病毒.根据统计发现，每个疑似病例的样本呈阳性（即样本携带病毒）的概率均为()01p p <<.现有4例疑似病例，分别对其进行血液样本检测.多个样本检测时，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验，混合样本中只要携带病毒，则混合样本化验结果就会呈阳性.若混合样本呈阳性，则将该组中各个样本再逐个化验；若混合样本呈阴性，则该组各个样本均为阴性.现有以下两种方案：方案一：逐个化验；方案二：平均分成两组化验.在该疾病爆发初期，由于检测能力不足，化验次数的期望值越小，则方案越“优”.(1)若13p =，求这4例疑似病例中呈阳性的病例个数X 的分布列；(2)若将该4例疑似病例样本进行化验，且方案二比方案一更“优”，求p 的取值范围， 【答案】(1)答案见解析(2)01p <<【解析】 【分析】（1）由题意知，1~4,3X B ⎛⎫⎪⎝⎭，利用二项分布的概率计算公式即可求解；（2）方案一中，期望为4；方案二中，设化验次数为Y ，则Y 的所以可能取值为2，4，6，计算出Y 的取值对应的概率，然后根据期望公式求出()E Y ，从而即可求解. (1)解：由题意知，1~4,3X B ⎛⎫⎪⎝⎭，则()4411601381P X C ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭；()3141132113381P X C ⎛⎫==⨯⨯-= ⎪⎝⎭； ()22241124821338127P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；()334118313381P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ()444114381P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭.则这4例疑似病例中呈阳性的病例个数X 的分布列为：(2)解：方案一中，逐个化验，化验次数为4，期望为4；方案二中，设化验次数为Y ，则Y 的所以可能取值为2，4，6， 每组两个样本化验呈阴性的概率为()21p -，设()21x p =-，则()22P Y x ==；()()1241P Y C x x ==-；()()261P Y x ==-.所以()()()22122416164E Y x C x x x x =⨯+⨯-+⨯-=-， 若方案二比方案一更“优”，则()644E Y x =-<，解得12x >，即()2112x p =->，解得01p <<所以当01p <<时，方案二比方案一更“优”.练习二 超几何分布5．为迎接2022年冬奥会，北京市组织中学生开展冰雪运动的培训活动，并在培训结束后对学生进行了考核.记X 表示学生的考核成绩，并规定85X >为考核优秀.为了了解本次培训活动的效果，在参加培训的学生中随机抽取了30名学生的考核成绩，并作成如下茎叶图：.(1)从参加培训的学生中随机选取1人，请根据图中数据，估计这名学生考核为优秀的概率； (2)从图中考核成绩满足[]70,79X ∈的学生中任取3人，设Y 表示这3人中成绩满足8510X -≤的人数，求Y 的分布列和数学期望； (3)根据以往培训数据，规定当8510.510X P ⎛-⎫≤≥ ⎪⎝⎭时培训有效.请你根据图中数据，判断此次冰雪培训活动是否有效，并说明理由. 【答案】(1)15(2)分布列见解析，()158E Y = (3)有效，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据茎叶图求出满足条件的概率即可；（2）分析可知变量Y 的可能取值有0、1、2、3，计算出随机变量Y 在不同取值下的概率，可得出随机变量Y 的分布列，进一步可求得()E Y 的值； （3）求出满足85110X -≤的成绩有16人，求出85110X P ⎛-⎫≤ ⎪⎝⎭，即可得出结论. (1)解：设该名学生的考核成绩优秀为事件A ，由茎叶图中的数据可知，30名同学中，有6名同学的考核成绩为优秀，故()15P A =. (2)解：由8510X -≤可得7595X ≤≤，所以，考核成绩满足[]70,79X ∈的学生中满足8510X -≤的人数为5， 故随机变量Y 的可能取值有0、1、2、3，()3338C 11C 56P Y ===，()213538C C 151C 56P Y ===，()123538C C 152C 28P Y ===，()3538C 53C 28P Y ===， 所以，随机变量Y 的分布列如下表所示：因此，()115155150123565628288E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=. (3) 解：由85110X -≤可得7595X ≤≤，由茎叶图可知，满足7595X ≤≤的成绩有16个， 所以851610.51030X P ⎛-⎫≤=≥⎪⎝⎭，因此，可认为此次冰雪培训活动有效. 6．某校高三2班第一小组有男生4人，女生2人，为提高中小学生对劳动教育重要性的认识，现需从中抽取2人参加学校开展的劳动技能学习，学校提供了：除草､翻地､播种､浇水四个项目.规定女生等可能的从中选择1个或者2个项目进行劳动学习，男生等可能的从中选择1个或者2个或者3个项目进行劳动学习，每参加1个劳动项目的学习获得10分，求：(1)在至少有一名女生参加劳动学习的条件下，恰有一名女生参加劳动学习的概率；。
超几何分布与二项分布
最新资料推荐1. （2010 r 东，本小题满分12分）某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随即抽取该流水线上40件产品作 为样本算出他们的重量（单位：克）重量的分组区间为（490, 495], （495, 500], (510)515],由此得到样本的频率分布直方图，如图所示.（I ） 根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量.（II ） 在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y 为重量超过505克的产品数呈:，求丫的分布列.（III ） 从流水线上任取5件产品，求恰有2件产品合格的重量超过505克的概率.解：（I ）重量超过505克的产品数量是40x （0.05x5+0.01 x5）=40x0.3= 12 件. （II ） Y 的可能取值：0丄2Y 的分布列为Y 0 1 2 P6313056 13011 130（III ）以下的方法①②哪个正确？①利用样本估计总体，该流水线上产品重量超过505克的概率是0.3,令§为任取的5件产品中，重量超过505克的产品数邕 则歹~ 8（5,03）, 故所求概率为：P(g = 2) = C ； O.32(l- 0.3)3 = 0.3087②从流水线上任取5件产品，求恰有2件产品合格的重量超过505克的概率是P(Y = 2)=c ；0" 130二遢颅资料推卷=二=¥=—二28x27x26 12x11。
28。
］2 _ 3x2x1 2x1 _ 21x11 = 231C］（＞ ~ 40x39x38x37x36 一37x19 _ 703'5x4x3x2xl超几何分布与二项分布—、超几何分布一般地，设有总数为N件的两类物品，其中一类有M件，从所有物品中任取“件SWN）,这“件中所含这类物品件数X是一个离散型随机变量，它取值为山时的概率为P（X = m）= “ j （0W mWl, /为“和M中较小的一个）.5我们称离散型随机变量X的这种形式的概率分布为超儿何分布，也称X服从参数为N, M, n的超几何分布.在超几何分布中，只要知道N, M和“，就可以根据公式求出X取不同值时的概率P（X =/n）,从而列出X的分布列.二、二项分布（1）独立重复试验如果每次试验，只考虑有两个可能的结果A及灭，并11事件A发生的概率相同.在相同的条件下，重复地做"次试验，各次试验的结果相互独立，那么一般就称它们为"次独立重复试验.“次独立重复试验中，事件A恰好发生R次的概率为= 於（1一卩严仗=0」,2,..・,“）•（2）二项分布若将事件A发生的次数设为X,事件A不发生的概率为q = i，那么在“次独立重复试验中，事件A恰好发生代次的概率是P（X =k） = C； P k q"'k»其中£=0,1, 2,..., 于是得到X的分布列由于表中的第二行恰好是二项展开式S + PY = C：P°g n + C；时+••• + © 如 + • • .C；：内。
二项分布与超几何分布 (人教A版2019)(解析版)
二项分布与超几何分布一、单选题1．假设某射手每次射击命中率相同，且每次射击之间相互没有影响．若在两次射击中至多命中一次的概率是1625，则该射手每次射击的命中率为 A ．925B ．25C ．35D ．34【试题来源】备战2021年高考数学二轮复习题型专练（新高考专用） 【答案】C【分析】设该射手射击命中的概率为p ，两次射击命中的次数为X ，由()()201220161125C p p C p p -+-=可得答案． 【解析】设该射手射击命中的概率为p ，两次射击命中的次数为X ，则()2,X B p ，由题可知()()160125P X P X =+==，即()()201220161125C p p C p p -+-=， 解得35p =．故选C ． 2．唐代诗人张若虚在《春江花月夜》中曾写道：“春江潮水连海平，海上明月共潮生．”潮水的涨落和月亮的公转运行有直接的关系，这是一种自然现象．根据历史数据，已知沿海某地在某个季节中每天出现大潮的概率均为23，则该地在该季节内连续三天内，至少有两天出现大潮的概率为A ．2027 B ．89C ．827D ．1318【试题来源】辽宁省名校联盟2020-2021学年高三3月份联合考试 【答案】A【分析】利用二项分布的概率公式以及概率的加法公式即可求解．【解析】该地在该季节内连续三天内，至少有两天出现大潮包括两天或三天出现大潮，有两天出现大潮概率为223214339C ⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭，有三天出现大潮概率为33328327C ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 所以至少有两天出现大潮的概率为482092727+=，故选A ． 3．某同学上学的路上有4个红绿灯路口，假如他走到每个红绿灯路口遇到绿灯的概率为23，则该同学在上学的路上至少遇到2次绿灯的概率为A ．18 B ．38C ．78D ．89【试题来源】河南省新乡市2021届高三第二次模拟考试 【答案】D【分析】由题意，遇绿灯服从二项分布2(4,)3B ，结合互斥事件概率的求法，即可求同学在上学的路上至少遇到2次绿灯的概率．【解析】4次均不是绿灯的概率为040422113)381(C ⎛⎫⋅-= ⎪⎝⎭⋅，3次不是绿灯的概率为31422813381C ⎛⎫⨯-⨯= ⎪⎝⎭，所以至少遇到2次绿灯的概率为188181819--=．故选D ． 4．某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为ξ，则{ξ＝5}表示的试验结果是 A ．第5次击中目标B ．第5次未击中目标C ．前4次均未击中目标D ．第4次击中目标【试题来源】【新教材精创】导学案（人教B 版高二选择性必修第二册） 【答案】C【分析】根据击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为5ξ=，即可得到答案． 【解析】{ξ＝5}表示前4次均未击中，而第5次可能击中，也可能未击中，故选C ． 5．掷一枚均匀的硬币4次，出现正面的次数等于反面次数的概率为A ．38B ．316 C ．516D ．58【试题来源】湖北省武汉外国语学校2020-2021学年高二上学期期末 【答案】A【分析】利用二项分布的知识求出答案即可．【解析】出现正面的次数等于反面次数的概率为2224113228C ⎛⎫⎛⎫⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选A. 6．国庆节期间，小明在4MP 中下载了两首歌曲：《今天是你的生日》和《我和我的祖国》，他选择的是随机播放的形式，每4分钟变化一次，其中出现《今天是你的生日》的概率为13，出现《我和我的祖国》的概率为23．若在前8次播放中出现《今天是你的生日》有5次、出现《我和我的祖国》有3次，则前2次出现《今天是你的生日》，其余6次可任意出现《今天是你的生日》3次的概率为 A ．8803 B ．7803 C ．81603D ．71603【试题来源】2021届新高考同一套题信息原创卷（一） 【答案】C【分析】利用相互独立事件的概率公式和独立重复试验的概率公式求解即可 【解析】由题意得，出现《今天是你的生日》的概率为13，出现《我和我的祖国》的概率为23，所以前两次出现《今天是你的生日》的概率为213⎛⎫ ⎪⎝⎭，其余6次出现《今天是你的生日》3次的概率33361233C ⎛⎫⎛⎫⋅⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以所求概率为233368811220816033333P C ⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅⋅⋅== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选C ．7．十二生肖作为中国民俗文化的代表，是中国传统文化的精髓，很多人把生肖作为春节的吉祥物，以此来表达对新年的祝福．某课外兴趣小组制作了一个正十二面体模型（如图），并在十二个面分别雕刻了十二生肖的图案，作为春节的吉祥物．2021年春节前，其中2个兴趣小组成员将模型随机抛出，希望能抛出牛的图案朝上（即牛的图案在最上面），2人各抛一次，则恰好出现一次牛的图案朝上的概率为A．112B．143144C．1172D．23144【试题来源】湖南省长郡十五校2021届高三下学期第二次联考【答案】C【分析】由已知得1人抛一次抛出牛的图案朝上的概率是112，由此可求得选项．【解析】因为1人抛一次抛出牛的图案朝上的概率是1 12，所以2人各抛一次，则恰好出现一次牛的图案朝上的概率为1211111C121272P=⨯⨯=，故选C．8．纹样是中国传统文化的重要组成部分，它既代表着中华民族的悠久历史、社会的发展进步，也是世界文化艺术宝库中的巨大财富．小楠从小就对纹样艺术有浓厚的兴趣．收集了如下9枚纹样微章，其中4枚凤纹徽章，5枚龙纹微章．小楠从9枚徽章中任取3枚，则其中至少有一枚凤纹徽章的概率为．A．34B．3742C．2137D．542【试题来源】湖南省长沙市长郡十五校2019-2020学年高三下学期第二次联考【答案】B【分析】本题首先可以确定所有可能事件的数量为39C，然后确定满足“一枚凤纹徽章也没有”的所有可能事件的数目为35C，最后根据“至少有一枚凤纹徽章”的对立事件为“一枚凤纹徽章也没有”即可得出结果．【解析】从9枚纹样微章中选择3枚，所有可能事件的数量为39C ， 满足“一枚凤纹徽章也没有”的所有可能事件的数目为35C ， 因为“至少有一枚凤纹徽章”的对立事件为“一枚凤纹徽章也没有”，所以3539543371198742C P C ⨯⨯=-=-=⨯⨯，故选B ．【名师点睛】本题考查超几何分布的相关概率计算，考查对立事件的灵活应用，考查推理能力，体现了基础性和综合性，是简单题．9．有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X 表示取得次品的个数，则()2P X <等于A ．715 B ．815 C ．1315D ．1415【试题来源】【新教材精创】基础练 【答案】D【分析】()()()2==1+=0P X P X P X <，然后算出即可．【解析】()()()112377221010142==1+=0=15C C C P X P X P X C C <+=故选D【名师点睛】本题考查的是利用组合数解决超几何分布的问题，较简单．10．接种疫苗是预防和控制传染病最经济、有效的公共卫生干预措施．根据实验数据，人在接种某种病毒疫苗后，有80%不会感染这种病毒，若有4人接种了这种疫苗，则最多1人被感染的概率为A ．512625 B ．256625 C ．113625D ．1625【试题来源】2021年高考数学考前信息必刷卷（新高考地区专用） 【答案】A【分析】最多1人被感染即4人没有人感染和4人中恰好有1人被感染，利用独立重复试验的概率和互斥事件的概率求解．【解析】由题得最多1人被感染的概率为041344414256256512()()()555625625C C ++==．故选A【名师点睛】求概率常用的方法：先定性（确定所求的概率是六种概率（古典概型的概率、几何概型的概率、互斥事件的概率、独立事件的概率、独立重复试验的概率、条件概率）的哪一种），再定量．11．在一次“概率”相关的研究性活动中，老师在每个箱子中装了10个小球，其中9个是白球，1个是黑球，用两种方法让同学们来摸球．方法一：在20箱中各任意摸出一个小球；方法二：在10箱中各任意摸出两个小球．将方法一、二至少能摸出一个黑球的概率分别记为1p 和2p ，则A ．12p p =B ．12p p <C ．12p p >D ．以上三种情况都有可能【试题来源】2021年全国新课改地区高三第三次质量监测 【答案】B 【分析】分别计算1p 和2p ，再比较大小．【解析】方法一：每箱中的黑球被选中的概率为110，所以至少摸出一个黑球的概率2019110p ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．方法二：每箱中的黑球被选中的概率为15，所以至少摸出一个黑球的概率102415p ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．10201010124948105105100p p ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则12p p <．故选B ．【名师点睛】概率计算的不同类型： （1）古典概型、几何概型直接求概率；（2）根据事件间的关系利用概率加法、乘法公式求概率； （3）利用对立事件求概率；（4）判断出特殊的分布列类型，直接套公式求概率．12．某地7个贫困村中有3个村是深度贫困，现从中任意选3个村，下列事件中概率等于67的是A ．至少有1个深度贫困村B ．有1个或2个深度贫困村C ．有2个或3个深度贫困村D ．恰有2个深度贫困村【试题来源】【新教材精创】提高练 【答案】B【分析】用X 表示这3个村庄中深度贫困村数，则X 服从超几何分布，故()33437k kC C P X k C -==，分别求得概率，再验证选项． 【解析】用X 表示这3个村庄中深度贫困村数，X 服从超几何分布，故()33437k k C C P X k C -==，所以()3043374035C C P X C ===， ()21433718135C C P X C ===，()12433712235C C P X C ===，()0343371335C C P X C ===，()()6127P X P X =+==．故选B 【名师点睛】本题主要考查超几何分布及其应用，属于基础题． 二、多选题1．某射手射击1次，击中目标的概率是0.9，他连续射击4次，且他各次射击是否击中目标相互之间没有影响．则下列四个选项中，正确的是 A ．他第3次击中目标的概率是0.9 B ．他恰好击中目标3次的概率是0.93⨯0.1 C ．他至少击中目标1次的概率是1-0.14D ．他恰好有连续2次击中目标的概率为3⨯0.93⨯0.1 【试题来源】【新教材精创】基础练 【答案】AC【分析】根据相互独立事件的概念和独立重复试验的概率公式判断．【解析】因为射击一次击中目标的概率是0.9，所以第3次击中目标的概率是0.9，所以A 正确；因为连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响，所以本题是一个独立重复试验，根据独立重复试验的公式得到恰好击中目标3次的概率是34C ⨯0.93⨯0.1，所以B 不正确；因为至少击中目标1次的概率是1-0.14，所以C 正确；因为恰好有连续2次击中目标的概率为3⨯0.92⨯0.12，所以D 不正确．故选AC ． 2．若随机变量1(5,)3B ξ，则P (ξ=k )最大时，k 的值可以为A ．1B ．2C ．4D ．5【试题来源】2020-2021学年高二数学单元测试定心卷（人教B 版2019选择性必修第二册） 【答案】AB【分析】根据二项分布的概率公式求出各概率后可得最大值．【解析】依题意5512()33kkk P k C ξ-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，k=0，1，2，3，4，5．可以求得P (ξ=0)=32243，P (ξ=1)=80243，P (ξ=2)=80243，P (ξ=3)=40243，P (ξ=4)=10243，P (ξ=5)=1243．故当k=2或1时，P (ξ=k )最大．故选AB ．． 3．为了增加系统的可靠性，人们经常使用“备用冗余设备”(即正在使用的设备出故障时才驱动的设备)．已知某计算机网络的服务器采用的是“一用两备”(即一台正常设备，两台备用设备)的配置，这三台设备中，只要有一台能正常工作，计算机的网络就不会断掉，如果三台设备各自能正常工作的概率都为0.9，他们之间相互不影响，则 A ．三台设备中至多一台设备能正常工作的概率为0.027 B ．计算机网络不会断掉的概率为0.999 C ．能正常工作的设备数的数学期望为0.27 D ．能正常工作的设备数的方差为0.27【试题来源】江苏省苏州市工业园区苏附2019-2020学年高二下学期期中 【答案】BD【分析】根据相互独立事件的概率计算公式，可得判定A 不正确，B 正确；根据设备正常工作的个数X 服从二项分布(3,0.9)X B ，结合期望和方差的公式，可判定C 不正确，D正确．【解析】由题意，三台设备各自能正常工作的概率都为0.9，且相互独立，则至多一台设备能正常工作的概率为()()23130.90.110.90.028C ⨯⨯+-=，所以A 不正确；计算机网络不会断掉的概率为31(10.9)0.999--=，所以B 正确； 根据题意，三台设备正常工作的个数X 服从二项分布(3,0.9)XB ，所以能正常工作的设备数的数学期望为()30.9 2.7E X =⨯=，所以C 不正确； 能正常工作的设备数的方差为()30.9(10.9)0.27D X =⨯⨯-=，所以D 正确；故选BD 4．一袋中有6个大小相同的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的白球，编号为7，8，9，10，现从中任取4个球，则下列结论中正确的是 A ．取出的最大号码X 服从超几何分布 B ．取出的黑球个数Y 服从超几何分布 C ．取出2个白球的概率为114D ．若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则总得分最大的概率为114【试题来源】【新教材精创】提高练 【答案】BD【分析】超几何分布取出某个对象的结果数不定，也就是说超几何分布的随机变量为实验次数，即指某事件发生n 次的试验次数，由此可知取出的最大号码X 不服从超几何分布，取出的黑球个数Y 服从超几何分布；取出2个白球的概率为226441037C C p C ==；对于D ，取出四个黑球的总得分最大，由此求出总得分最大的概率为46410114C P C ==．【解析】一袋中有6个大小相同的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的白球，编号为7，8，9，10，现从中任取4个球， 对于A，超几何分布取出某个对象的结果数不定，也就是说超几何分布的随机变量为实验次数，即指某事件发生n 次的试验次数， 由此可知取出的最大号码X 不服从超几何分布，故A 错误；对于B ，超几何分布的随机变量为实验次数，即指某事件发生n 次的试验次数， 由此可知取出的黑球个数Y 服从超几何分布，故B 正确；对于C ，取出2个白球的概率为226441037C C p C ==，故C 错误；对于D ，若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分， 则取出四个黑球的总得分最大，∴总得分最大的概率为46410114C P C ==，故D 正确．故选BD ．【名师点睛】本题考查命题真假的判断，考查超几何分布、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题． 5．下列说法不正确的是A ．随机变量()~3,0.2XB ，则()20.032P X == B ．随机变量2(,)XN μσ，其中σ越小，曲线越“矮胖”；C ．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，至少有一个黑球与至少有一个红球是两个互斥而不对立的事件D ．从10个红球和20个白球颜色外完全相同中，一次摸出5个球，则摸到红球的个数服从超几何分布；【试题来源】江苏省镇江市丹阳市吕叔湘中学2020-2021学年高三上学期10月教学调研 【答案】ABC【分析】根据题意，结合二项分布，超几何分布，正态分布等依次分析各选项即可得答案．【解析】对于A 选项，由二项分布的概率公式得 ()()22320.20.80.096P X C ==⨯=，故A 选项错误；对于B 选项， 正态分布的均数μ决定正态曲线的中心位置；标准差σ决定正态曲线的陡峭或扁平程度．σ越小，曲线越陡峭；σ越大，曲线越扁平．故B 选项错误；对于C 选项，至少有一个黑球包含的基本事件为“一黑一红，两黑”，至少有一个红球包含的基本事件为“一黑一红，两红”，故至少有一个黑球与至少有一个红球不互斥，故C 选项错误；对于D 选项，根据题意，设摸出红球的个数为x ，则()()510205300,1,2,3,4,5k kC C P x k k C -===，故满足超几何分布，故D 选项正确；故选ABC【名师点睛】本题考查正态分布，二项分布，超几何分布，互斥事件等，考查基本概念的掌握与运算，是中档题．本题解题的关键在于熟练掌握正态分布，二项分布，超几何分布的特征及其相关的计算公式，依次讨论即可． 三、填空题1．某次投篮测试中，投中2次才能通过测试，通过即停止投篮，且每人最多投3次，已知某同学每次投篮投中的概率为0.7，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为__________．【试题来源】2020-2021学年高一数学单元测试定心卷（人教版必修3） 【答案】0.784【分析】根据该同学通过测试是指该同学连续投中两次或前两次投中一次且第三次投中，利用相互独立事件的概率乘法公式，即可求解．【解析】由题意，该同学通过测试是指该同学连续投中两次或前两次投中一次且第三次投中，所以该同学通过测试的概率为2120.70.7(10.7)0.70.784p C =+⋅⨯-⨯=．故答案为0.7842．甲､乙两名同学进行篮球投篮练习，甲同学一次投篮命中的概率为34，乙同学一次投篮命中的概率为23，假设两人投篮命中与否互不影响，则甲､乙两人各投篮一次，至少有一人命中的概率是__________．【试题来源】天津市和平区2021届高三下学期一模 【答案】1112【分析】考虑两个人都不命中的概率，从而可求至少有一个人命中的概率． 【解析】两个都不命中的概率为321114312⎛⎫⎛⎫-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故至少有一人命中的概率是1112，故答案为1112． 3．某学生投篮三次，且每次投篮是否命中是相互独立的，每次投篮命中的概率都是23，则该学生只有第三次投篮没投中的概率为__________．【试题来源】普通高等学校招生全国统一考试数学预测卷（一） 【答案】427【分析】利用相互独立事件的概率乘法公式即可求解． 【解析】由题知，该学生投篮三次，第一次和第二次都投中，第三次没投中的概率222413327P ⎛⎫⎛⎫=⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故答案为4274．遗爱湖国家湿地公园是黄冈市城市亮丽的名片．2021年元月份以来，来黄冈参观游览的游客络绎不绝，现通过对参观遗爱湖的游客问卷调查，发现每位游客选择继续游玩遗爱湖的概率都是13，不游玩遗爱湖的概率都是23，若不游玩遗爱湖记1分，继续游玩遗爱湖记2分，记已调查过的所有游客累计得分恰为n 分的概率为n a ，则4a ＝__________． 【试题来源】【新教材精创】第四章 复习与小结 B 提高练 【答案】6181【分析】先分析4a 表示累计得4分和它包含的三种情况，再根据独立性进行概率计算即可． 【解析】4a 表示累计得4分，包含以下三种情况：调查2人都继续游玩遗爱湖，或者调查4人都不游玩遗爱湖，或者调查3人，其中1人继续游玩遗爱湖，2人都不游玩遗爱湖．故241243122161()()()333381a C =++⨯⨯=．故答案为6181． 5．已知X~B （5，13），则P （32≤X ≤72）=__________． 【试题来源】【新教材精创】导学案（人教B 版高二选择性必修第二册） 【答案】4081【分析】利用二项分布的概率计算公式即可求解． 【解析】P (32≤X ≤72)=P (X=2)+P (X=3)=251(3C )2(23)3+351(3C )3(23)2=4081．故答案为4081 6．假设某射手每次射击命中率相同，且每次射击之间相互没有影响．若在两次射击中至多命中一次的概率是1625，则该射手每次射击的命中率为__________． 【试题来源】【新教材精创】提高练 【答案】35【分析】由题意知，射击命中的次数服从二项分布，直接利用独立重复试验的概率公式求解． 【解析】设该射手射击命中的概率为p ，两次射击命中的次数为X ，则()2,X B p ，由题可知()()160125P X P X =+==，即()()201220161125C p p C p p -+-=，解得35p =．故答案为357．随机变量2~19,3B ξ⎛⎫⎪⎝⎭，则()P k ξ=取最大值时k 的值为__________． 【试题来源】湖北省武汉市武钢三中2019-2020学年高二下学期期中 【答案】13【分析】利用二项分布的概率表达式，假设()P k ξ=最大建立不等式组，解出k ．【解析】因为随机变量2~19,3B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以()19192133k kk P k C ξ-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．由题意得191201191919118119192121333321213333k k k kk k k k k kk k C C C C -----+-+⎧⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩，即340317k k ≤⎧⎨≥⎩，又k 取整数，所以k =13． 故答案为138．李明参加中央电视台《同一首歌》大会的青年志愿者选拔，在已知备选的10道题中，李明能答对其中的6道，规定考试从备选题中随机地抽出3题进行测试，至少答对2题才能入选．则李明入选的概率为__________．【试题来源】2021学年高中数学新教材人教A 版选择性必修配套提升训练 【答案】23【分析】根据超几何分布公式可得答案．【解析】设所选3题中李明能答对的题数为X ，则X 服从参数为10,6,3N M n ===的超几何分布，且364310C C ()(0,1,2,3)C k k P X k k -===， 故所求概率为21306464331010C C C C 60202(2)(2)(3)C C 1201203P X P X P X ≥==+==+=+=， 故答案为23． 【名师点睛】本题考查超几何分布，属于基础题．9．在含有3件次品的20件产品中，任取2件，则取到的次品数恰有1件的概率是______． 【试题来源】山东省临沂市2019-2020学年高二（下）期末【答案】51190【分析】先求得正品件数，利用超几何分布公式求解即可．【解析】由题意得20件产品中，有3件次品，17件正品，故任取2件，恰有1件是次品的概率113172203175120191902C C P C ⨯===⨯，故答案为51190【名师点睛】本题考查超几何分布的识别与计算，考查学生对基础知识的掌握程度，属基础题．10．3月5日为“学雷锋纪念日”，某校将举行“弘扬雷锋精神做全面发展一代新人”知识竞赛，某班现从6名女生和3名男生中选出5名学生参赛，要求每人回答一个问题，答对得2分，答错得0分，已知6名女生中有2人不会答所有题目，只能得0分，其余4人可得2分，3名男生每人得2分的概率均为12，现选择2名女生和3名男生，每人答一题，则该班所选队员得分之和为6分的概率__________．【试题来源】2020-2021学年高中数学新教材人教A 版选择性必修配套提升训练 【答案】43120【分析】首先对事件进行分类，分成女生0分，男生6分，或女生2分，男生4分，或女生4分，男生2分，女生的概率可以按照超几何概率求解，男生按照独立重复求解概率． 【解析】依题意设该班所选队员得分之和为6分记为事件A ，则可分为下列三类：女生得0分男生得6分，设为事件1A ；女生得2分男生得4分，设为事件2A ；女生得4分男生得2分，设为事件3A ，则：()32321326112120C P A C C ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭，()211224232611241221205C C P A C C ⎛⎫⎛⎫=⨯== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()22143326111832212020C P A C C ⎛⎫⎛⎫=⨯== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ()()()()12343120P A P A P A P A =++=．故答案为43120【名师点睛】本题考查概率的应用问题，重点考查分类讨论，转化与化归的思想，熟练掌握概率类型，属于中档题型．本题的关键是对事件分类．四、解答题1．为调研高中生的作文水平，在某市普通高中的某次联考中，参考的生与生人数之比为1∶4，且成绩分布在[0，60]的范围内，规定分数在50以上(含50)的作文被评为“优秀作文”，按文用分层抽样的方法抽取400人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图，如图所示．其中，a ，b ，c 构成以2为公比的等比数列．（1）求a ，b ，c 的值；（2）填写上面2×2列联表，能否在犯错误的概率不超过0.01的情况下认为“获得优秀作文”与“学生的文”有关？（3）将上述调查所得的频率视为概率，现从全市参考学生中，任意抽取2名学生，记“获得优秀作文”的学生人数为X ，求X 的分布列及数学期望． 附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中.n a b c d =+++【试题来源】【高频考点解密】2021年新高考数学二轮复习讲义 分层训练 【答案】（1）0.005；0.010；0.020；（2）列联表见解析；不能；（3）答案见解析． 【分析】（1）由题知(0.0180.0220.025)101a b c +++++⨯=，再结合,,a b c 成等比数列得即可得答案；（2）根据题意完善列联表，求得2K 的观测值 1.316 6.635k ≈<，故不能在犯错误的概率不超过0.01的情况下认为“获得优秀作文”与“学生的文”有关；（3）由题知获得“优秀作文”学生的概率为0.005100.05⨯=，故2,0().05X B ～，再根据二项分布的公式求解即可．【解析】（1）由题意，得(0.0180.0220.025)101a b c +++++⨯=， 而,,a b c 构成以2为公比的等比数列，所以(240.0180.0220.025)101a a a +++++⨯=，解得0.005a =． 则0.010,0.020b c ==．（2）获得“优秀作文”的人数为4000.0051020⨯⨯=． 因为生与生人数之比为1∶4，所以生与生人数分别为80，320. 故完成2×2列联表如下：由表中数据可得2K的观测值2400(63061474) 1.316 6.6352038080320k ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，所以不能在犯错误的概率不超过0.01的情况下认为“获得优秀作文”与“学生的文”有关． （3）由表中数据可知，抽到获得“优秀作文”学生的概率为0.005100.05⨯= ， 将频率视为概率，所以X 可取0,1,2，且2,0().05X B ～．则220,1,211()1()2020kkk P X k C k -⎛⎫⎛⎫=- ⎪ =⎪⎝⎭⎝⎭=故X 的分布列为故X 的期望为()01240040040010E X ⨯+⨯==⨯+（或()20.050.1E X =⨯=） 【名师点睛】本题考查了频率分布直方图、独立性检验、分层抽样、二项分布的概率公式和数学期望公式，考查运算求解能力，属于中档题．本题第三问解题的关键在于由题知获得“优秀作文”学生的概率为0.005100.05⨯=，进而根据二项分布的概率公式求解．2．天文学上用星等表示星体亮度，星等的数值越小，星体越亮．视星等是指观测者用肉眼所看到的星体亮度；绝对星等是假定把恒星放在距地球32.6光年的地方测得的恒星的亮度，反映恒星的真实发光本领．下表列出了（除太阳外）视星等数值最小的10颗最亮恒星的相关数据，其中[]0,1.3a ∈．（1）从表中随机选择一颗恒星，求它的绝对星等的数值小于视星等的数值的概率； （2）已知北京的纬度是北纬40︒，当且仅当一颗恒星的“赤纬”数值大于50-︒时，能在北京的夜空中看到它．现从这10颗恒星中随机选择4颗，记其中能在北京的夜空中看到的数量为X 颗，求X 的分布列和数学期望；（3）记0a =时10颗恒星的视星等的方差为21s ，记 1.3a =时10颗恒星的视星等的方差为22s ，判断21s 与22s 之间的大小关系．（结论不需要证明）【试题来源】北京市西城区2021届高三一模 【答案】（1）12；（2）分布列见解析；数学期望为145；（3）2212s s <． 【分析】（1）由图表数据可知有5颗恒星绝对星等的数值小于视星等的数值，由古典概型概率公式可计算得到结果；（2）首先确定X 所有可能取值，利用超几何分布概率公式计算可得每个取值对应的概率，由此可得分布列；根据数学期望计算公式可得期望； （3）根据数据的波动程度可得方差大小关系．【解析】（1）设一颗星的绝对星等的数值小于视星等的数值为事件A ， 由图表可知10颗恒星有5颗恒星绝对星等的数值小于视星等的数值．()51102P A ∴==． （2）由图表知，有7颗恒星的“赤纬”数值大于50-︒，有3颗恒星的“赤纬”数值小于50-︒，则随机变量X 的所有可能取值为1，2，3，4．()137341*********C C P X C ====，()22734103210C C P X C ===，()3173410132C C P X C ===，()3407041146C C P X C ===．∴随机变量X 的分布列为()13111412343010265E X ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=． （3）结论：2212s s <．理由：当0a =时，视星等的平均数为0.143-；当 1.3a =时，视星等的平均数为0.013-；可知当0a =时，视星等的数值更集中在平均数附近，由此可知其方差更小．【名师点睛】本题第二问考查了服从于超几何分布的随机变量的分布列与数学期望的求解，关键是能够确定随机变量服从于超几何分布，进而利用超几何分布概率公式计算得到每个取值对应的概率．3．每年的4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”，又称“世界图书和版权日”．为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了500名高一学生进行在线调查，得到了这500名学生的日平均阅读时间(单位：小时)，并将样本数据分成[0,2]，(2,4]，(4,6]，(6,8]，(8,10]，(10,12]，(12,14]，(14,16]，(16,18]九组，绘制成如图所示的。
超几何分布与二项分布(1)
超几何分布和二项分布辨析题型一超几何分布1.某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上40 件产品作为样本称出它们的重量(单位：克)，重量的分组区间为(490,495]，(495,500]，…，(510,515]，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示．(1)根据频率分布直方图，求重量超过505 克的产品数量；(2)在上述抽取的40 件产品中任取2 件，设Y 为重量超过505 克的产品数量，求Y 的分布列．解：(1)根据频率分布直方图可知，重量超过505 克的产品数量为40×(0.05×5＋0.01×5)＝40×0.3＝12.(2)Y 的可能取值为0,1,2，P(Y＝0)＝C28C102＝63，C240130P(Y＝1)＝C218C12＝28，C24065P(Y＝2)＝C028C122＝11，C240130故Y 的分布列为：Y012P 631302865111302.“中国人均读书4.3本（包括网络文学和教科书），比韩国的11本、法国的20本、日本的40本、犹太人的64本少得多，是世界上人均读书最少的国家.”这个论断被各种媒体反复引用，出现这样的统计结果无疑是令人尴尬的，而且和其他国家相比，我国国民的阅读量如此之低，也和我国是传统的文明古国、礼仪之邦的地位不相符.某小区为了提高小区内人员的读书兴趣，特举办读书活动，准备进一定量的书籍丰富小区图书站，由于不同年龄段需看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现对小区内看书人员进行年龄调查，随机抽取了一天40 名读书者进行调查，将他们的年龄分成6 段：[20, 30)，[30, 40)，[40, 50)，[50, 60)，[60, 70)，[70,80]后得到如图所示的频率分布直方图.问：（1）估计在40 名读书者中年龄分布在[40, 70)的人数；（2）求40 名读书者年龄的平均数和中位数；（3）若从年龄在[20, 40)的读书者中任取2 名，求这两名读书者年龄在[30, 40)的人数X 的分布列及数学期望.C P ( X = 0 = 2 4) C P ( X = 2 = 2 4)答案及解析：（1）由频率分布直方图知年龄在[40, 70)的频率为(0.020 + 0.030 + 0.025 )⨯10 = 0.75 ， 所以 40 名读书者中年龄分布在[40, 70)的人数为 40 ⨯ 0.75 = 30. （2）40 名读书者年龄的平均数为25⨯ 0.05 + 35⨯ 0.1+ 45⨯ 0.2 + 55⨯ 0.3 +65⨯ 0.25 + 75⨯ 0.1 = 54.设中位数为 x ，则0.005 ⨯10 + 0.01⨯10 + 0.02 ⨯10 + 0.03 ⨯ (x - 50 )= 0.5 解得 x = 55 ，即 40 名读书者年龄的中位数为 55. （3）年龄在[20, 30)的读书者有0.005⨯10 ⨯ 40 = 2 人， 年龄在[30, 40)的读书者有0.01⨯10 ⨯ 40 = 4 人， 所以 X 的所有可能取值是 0,1,2，C 2C 0 2 4C1C 1 = 1 ， 15 8 P ( X = 1) = 2 4 = ， 2 4C 0C 2 2 4X 的分布列如下：15= 6 ，15数学期望 EX = 0 ⨯1+1⨯ 8 + 2 ⨯ 6 = 4 . 15 15 15 33. 传统文化就是文明演化而汇集成的一种反映民族特质和风貌的民族文化，是民族历史上各种思想文化、观念形态的总体表征．教育部考试中心确定了 2017 年普通高考部分学科更注重传统文化考核．某校为了了解高二年级中国数学传统文化选修课的教学效果，进行了一次阶段检测，并从中随机抽取 80 名同学的成绩，然后就其成绩分为 A 、 B 、C 、D 、E 五个等级进行数据统计如下：C成绩人数A9B12C31D22E6根据以上抽样调查数据，视频率为概率．（1）若该校高二年级共有1000 名学生，试估算该校高二年级学生获得成绩为 B 的人数；（2）若等级A、B、C、D、E 分别对应100 分、80 分、60 分、40 分、20 分，学校要求“平均分达60 分以上”为“教学达标”，请问该校高二年级此阶段教学是否达标？（3）为更深入了解教学情况，将成绩等级为A、B 的学生中，按分层抽样抽取7 人，再从中任意抽取3 名，求抽到成绩为A 的人数X 的分布列与数学期望．答案及解析：【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）由于这80 人中，有12 名学生成绩等级为B，所以可以估计该校学生获得成绩等级为B 的概率，即可得出该校高二年级学生获得成绩为B 的人数．（2）由于这80名学生成绩的平均分为：（9×100+12×80+31×60+22×40+6×20）．（3）成绩为A、B 的同学分别有9 人，12人，所以按分层抽样抽取7 人中成绩为A 的有3 人，成绩为B 的有4 人．由题意可得：P（X=k）= ，k=0，1，2，3．【解答】解：（1）由于这80人中，有12名学生成绩等级为B，所以可以估计该校学生获得成绩等级为B 的概率．…则该校高二年级学生获得成绩为B 的人数约有=150．…（2）由于这80 名学生成绩的平均分为：（9×100+12×80+31×60+22×40+6×20）=59．…且59＜60，因此该校高二年级此阶段教学未达标…（3）成绩为A、B 的同学分别有9 人，12 人，所以按分层抽样抽取7 人中成绩为A 的有3 人，成绩为B 的有4 人…则由题意可得：P（X=k）= ，k=0，1，2，3．∴P（X=0）= ，P（X=1）= ，P（X=2）= ，P（X=3）= .10 分）所以EX=0+1×+2×+3×= .10 分）4.M 公司从某大学招收毕业生,经过综合测试,录用了14 名男生和6 名女生,这20 名毕业生的测试成绩如茎叶图所示(单位:分),公司规定:成绩在180 分以上者到“甲部门”工作;180 分以下者到“乙部门”工作.另外只有成绩高于180 分的男生才能担任“助理工作”. (I)如果用分层抽样的方法从“甲部分”人选和“乙部分”人选中选取8 人,再从这8 人中选3 人,那么至少有一人是“甲部门”人选的概率是多少? (II)若从所有“甲部门”人选中随机选3 人,用X 表示所选人员中能担任“助理工作”的人数,写出X 的分布列,并求出X 的数学期望.【答案】5.空气质量指数PM 2.5 (单位: g / m3 )表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量,这个值越高,就代表空气污染越严重:甲城市4 3 0 2 2 4 乙城市32 0 4C 2 C 2 C 2 50 甲、乙两城市 2013 年 2 月份中的 15 天对空气质量指数PM 2.5 进行监测,获得 PM 2.5 日均浓度指数数据如茎叶图所示:（Ⅰ）根据你所学的统计知识估计甲、乙两城市 15 天内哪个城市空气质量总体较好?（注：不需说明理由)（Ⅱ）在 15 天内任取 1 天，估计甲、乙两城市空气质量类别均为优或良的概率；(Ⅲ) 在乙城市 15 个监测数据中任取2 个,设 X 为空气质量类别为优或良的天数,求 X 的分布列及数学期望. 【解析】（Ⅰ）甲城市空气质量总体较好.………2 分（Ⅱ）甲城市在 15 天内空气质量类别为优或良的共有 10 天，任取 1 天，空气质量类别为优或良的概率为10 = 2， 15 3………4 分乙城市在 15 天内空气质量类别为优或良的共有 5 天，任取 1 天，空气质量类别为优或良的概率为5 = 1 ，15 3………6 分在 15 天内任取 1 天，估计甲、乙两城市空气质量类别均为优或良的概率为 2 ⨯ 1 = 2.3 3 9………8 分(Ⅲ) X 的取值为0,1,2 ，………9 分C 0C 2 P ( X = 0) = 5 10 15X 的分布列为：= 3 ， P ( X 7 C 1C 1 = 1) = 5 10 15= 10 21 C 2C 0 2 ， P ( X = 0) = 5 10 = 15 216. 某研究机构准备举办一次数学新课程研讨会，共邀请 50 名一线教师参加，使用不同版本教材的教师人数如下表所示（1）从这50 名教师中随机选出 2 名，问这 2 人使用相同版本教材的概率是多少？（2）若随机选出的 2 名教师都使用人教版教材，现设使用人教 A 版教材的教师人数为ξ，求随机变量ξ的分布列解：（1）50 名教师中随机选出 2 名的方法数为C 2= 1225 ，选出的 2 人所使用版本相同的方法数为C 2 + C 2 + C 2 + C 2 =190+105+10+45=350，2015510C 2C 2 C 2∴2 人所使用版本相同的概率为 350 = 2（2）C 2P (ξ= 0) = 15 = 35 1225 7 3 ， 17C 1 • C 1 60 P (ξ= 1) = 20 1535 = ， 119C 2 P (ξ= 2) = 10 = 3538119∴随机变量ξ的分布列是7. 从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取 1 件，假设事件 A“取出的 2 件产品都是二等品”的概率P(A)＝0.04 (1)求从该批产品中任取 1 件是二等品的概率；(2)若该批产品共 10 件，从中任意抽取 2 件；X 表示取出的 2 件产品中二等品的件数，求 X 的分布列． 解(1)设任取一件产品是二等品的概率为 p ，依题意有 P(A)＝p2＝0.04，解得 p1＝0.2，p2＝－0.2(舍去)．故从该批产品中任取 1 件是二等品的概率为 0.2.(2)若该批产品共 10 件，由(1)知其二等品有 10×0.2＝2 件， 故 X 的可能取值为 0,1,2. P(X ＝0)＝ C28 ＝28P(X ＝1) C210 45 C18C12 16 ＝ ＝ . C210 45 P(X ＝2)＝ C2 ＝ 1.C210 45 所以 X 的分布列为8. 甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的 10 道试题中，甲能答对其中的 6 道试题，乙能答对其中的 8道试题．规定每次考试都从备选题中随机抽出 3 题进行测试，答对一题得 5 分，答错一题得 0 分． 求：(1)甲答对试题数 X 的分布列； (2)乙所得分数 Y 的分布列．[解析] (1)X 的可能取值为 0,1,2,3..＋ ＝ P(X ＝0)＝ C34 ＝ 1，C130 30 P(X ＝1)＝C24C16＝ 3，C310 10 P(X ＝2)＝C14C26＝1，C310 2 P(X ＝3)＝ C36 ＝1.C310 6所以甲答对试题数 X 的分布列为(2)乙答对试题数可能为 1,2,3，所以乙所得分数 Y ＝5,10,15.P(Y ＝5) C2C81 1 ，＝ ＝ C310 15 P(X ＝10)＝C21C82＝ 7，C310 15 P(Y ＝15)＝ C38＝ 7.C310 15所以乙所得分数 Y 的分布列为9. 袋中有 4 个红球，3 个黑球，从袋中随机地抽取 4 个球，设取到 1 个红球得 2 分，取到 1 个黑球得 1 分．(1)求得分 X 的分布列；(2)求得分大于 6 的概率．解 (1)设抽到红球的个数为 Y ，则由题意知 X 服从超几何分布，且 P(X ＝5)＝P(Y ＝1)＝C14C3＝ 4，P(X ＝6)＝P(Y ＝2)＝C24C23＝18， C74 35C47 35 P(X ＝7)＝P(Y ＝3)＝C43C31＝12，C47 35 P(X ＝8)＝P(Y ＝4)＝C4C03＝ 1.C74 35 所以 X 的分布列为(2)P(X ＞6)＝P(X ＝7)＋P(X ＝8)＝12 1 13. 35 35 35 10.(Ⅰ)当 n = 3时,记事件 A = {抽取的3根钢管中恰有 2 根长度相等},求 P ( A ) ;(Ⅱ)当 n = 2 时,若用ξ表示新焊成的钢管的长度(焊接误差不计),①求ξ的分布列;322 22277 7②令η= -λ2ξ+ λ+ 1, E (η) > 1,求实数λ的取值范围.【答案】解:(Ⅰ)事件 A 为随机事件,(Ⅱ)①ξ可能的取值为 2, 3, 4, 5,6C 1C 2C 1 9 P ( A ) = 3 3 6= 914C 2 1 P (ξ= 2) = 3= 912C 1C11 P (ξ= 3) = 3 3 =9 4 C 2 + C 1C 11 P (ξ= 4) = 3 3 3= 93 C 1C1 1 P (ξ= 5) = 3 3 = 94C21 P (ξ= 6) = 3 = 9 12∴ξ的分布列为:②E (ξ) = 2 ⨯ 1 + 3⨯ 1 + 4 ⨯ 1 + 5⨯ 1 + 6 ⨯ 1= 4 1243412η= -λ2ξ+ λ+ 1,∴ E (η) = -λ2 E (ξ) + λ+1 = -4λ2 + λ+1E (η) > 1 ,∴ -4λ2 + λ+1 > 1 ⇒ 0 < λ< 1411. 盒中装有7 个零件，其中 2 个是使用过的，另外5 个未经使用.(Ⅰ）从盒中每次随机抽取1个零件，每次观察后都将零件放回盒中，求3 次抽取中恰有1次抽到使用过的零件的概率；(Ⅱ）从盒中随机抽取2 个零件，使用后放回盒中，记此时盒中使用过的零件个数为 X ，求 X 的分布列和数学期望. 【答案】（Ⅰ）记“从盒中随机抽取1个零件，抽到的是使用过的零件”为事件 A ，则 P ( A ) = 2.7P = 1 2 5 2 150所以3次抽取中恰有1次抽到使用过的零件的概率 C 3 ( )( ) = .7 7 343(Ⅱ）解：随机变量 X 的所有取值为 2, 3, 4 .C 2 1 C 1 C 1 10 C 210 P ( X = 2) = 2= ；P ( X = 3) = 5 2 = ； P ( X = 4) = 5= .221 2 21 221 C C C C C CC C C所以，随机变量X 的分布列为:， ， ， ．EX = 2 ⨯ 1 + 3⨯ 10 + 4 ⨯ 10 = 24.21 21 21 712. 某学校为了解高三年级学生寒假期间的学习情况，抽取甲、乙两班，调查这两个班的学生在寒假期间每天平均学习的时间（单位：小时），统计结果绘成频率分别直方图（如图）．已知甲、乙两班学生人数相同，甲班学生每天平均学习时间在区间[2，4]的有 8 人．（Ⅰ）求直方图中 a 的值及甲班学生每天平均学习时间在区间[10，12]的人数；（Ⅱ）从甲、乙两个班每天平均学习时间大于 10 个小时的学生中任取 4 人参加测试，设 4 人中甲班学生的人数为ξ， 求ξ的分布列和数学期望． 答案及解析：【考点】CH ：离散型随机变量的期望与方差；CG ：离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）利用频率分布直方图的性质即可得出．（2）（2）乙班学习时间在区间[10，12]的人数为 40×0.05×2=4（人）．由（1）知甲班学习时间在区间[10，12]的人数为 3 人．在两班中学习时间大于 10 小时的同学共 7 人，ξ的所有可能取值为 0，1，2，3，利用超几何分布列的计算公式及其数学期望计算公式即可得出．【解答】解：（1）由直方图知，（0.150+0.125+0.100+0.0875+a ）×2=1，解得 a=0.0375， 因为甲班学习时间在区间[2，4]的有 8 人，所以甲班的学生人数．所以甲、乙两班人数均为 40 人，所以甲班学习时间在区间[10，12]的人数为 40×0.0375×2=3（人）．（2）乙班学习时间在区间[10，12]的人数为 40×0.05×2=4（人）．由（1）知甲班学习时间在区间[10，12]的人数为 3 人．在两班中学习时间大于 10 小时的同学共 7 人，ξ的所有可能取值为 0，1，2，3.所以随机变量ξ的分布列为：ξ123P．13.某学校高一年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知所有这些这些学生的原始成绩均分布在内，发布成绩使用等级制，各等级划分标准见表，规定：A，B，C 三级为合格等级，D 为不合格等级．为了解该校高一年级学生身体素质情况，从中抽取了n 名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照的分组作出频率分布直方图如图所示，样本中分数在80 分及以上的所有数据的茎叶图如图所示．（1）求n 和频率分布直方图中的x，y 的值；（2）根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，若在该校高一学生中任选 3 人，求至少有1 人成绩是合格等级的概率；（3）在选取的样本中，从A，C 两个等级的学生中随机抽取了3 名学生进行调研，记ξ表示抽取的3 名学生中为C 等级的学生人数，求随机变量ξ的分布列及数学期望．答案及解析：【考点】CS：概率的应用；CH：离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）根据频率分布直方图和树形图求解；（2）至少有一人可从反面出发，用间接法求解；（3）根据分布列的定义和数学期望的计算方法求解即可．【解答】解：（1））由题意可知，样本容量n==50，x==0.004，y==0.018；（2））不合格的概率为0.1，设至少有 1 人成绩是合格等级为事件A，∴P（A）=1﹣0.13=0.999，故至少有1 人成绩是合格等级的概率；（3）C 等级的人数为0.18×50=9 人，A 等级的为3 人，∴ξ的取值可为0，1，2，3；百分制85 分及以上70 分到84 分60 分到69 分60 分以下等级A B C D∴P（ξ=0）= = ，P（ξ=1）= ，P（ξ=2）= ，P（ξ=3）= ，∴ξ的分布列为ξ0123PEξ=0×+1×+2×+3×=．14.在某校组织的“共筑中国梦”竞赛活动中，甲、乙两班各有6 名选手参赛，在第一轮笔试环节中，评委将他们的笔试成绩作为样本数据，绘制成如图所示的茎叶图，为了增加结果的神秘感，主持人故意没有给出甲、乙两班最后一位选手的成绩，只是告诉大家，如果某位选手的成绩高于90分（不含90分），则直接“晋级”（Ⅰ）求乙班总分超过甲班的概率（Ⅱ）主持人最后宣布：甲班第六位选手的得分是90 分，乙班第六位选手的得分是97 分①请你从平均分光和方差的角度来分析两个班的选手的情况；②主持人从甲乙两班所有选手成绩中分别随机抽取2 个，记抽取到“晋级”选手的总人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．答案及解析：【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；B8：频率分布直方图．【分析】（Ⅰ）先分别求出甲班前5 位选手的总分和乙班前5 位选手的总分，由此利用列举法能求出乙班总分超过甲班的概率．（Ⅱ）①分别求出甲、乙两班平均分和方差，由此能求出甲班选手间的实力相当，相差不大，乙班选手间实力悬殊，差距较大．②ξ的可能取值为0，1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和E（ξ）．【解答】解：（Ⅰ）甲班前5位选手的总分为88+89+90+91+92=450，乙班前5 位选手的总分为82+84+92+91+94=443，若乙班总分超过甲班，则甲、乙两班第六位选手的成绩可分别为：（90，98），（90，99），（91，99），共三个，∴乙班总分超过甲班的概率为=．（Ⅱ）①甲班平均分为（88+89+90+91+92+90）=90，乙班平均数为= （82+84+92+91+94+97）=90，7 4C 3甲班方差为 S2 甲= （22+12+12+22）= ，乙班方差为 S2 乙（82+62+22+12+42+72）=，两班的平均分相同，但甲班选手的方差小于乙班，故甲班选手间的实力相当，相差不大，乙班选手间实力悬殊，差距较大．②ξ的可能取值为 0，1，2，3，4，P （ξ=0）=，P （ξ=1）= ，P （ξ=2）= ，P （ξ=3）= ，P （ξ=4）= ，∴ξ的分布列为：ξ1234P∴E （ξ）==2．题型二 二项分布15. 某商场准备在国庆节期间举行促销活动,根据市场调查,该商场决定从2 种服装商品,2 种家电商品,3 种日用商品中, 选 出 3 种 商 品 进 行 促 销 活 动 . (Ⅰ)试求选出的 3 种商品中至少有一种是日用商品的概率; (Ⅱ)商场对选出的某商品采用的促销方案是有奖销售,即在该商品现价的基础上将价格提高 150 元,同时,若顾客购买该商品,则允许有 3 次抽奖的机会,若中奖,则每次中奖都获得数额为 m 的奖金.假设顾客每次抽奖时获奖与否的概率 都是 1,请问:商场应将每次中奖奖金数额 m 最高定为多少元,才能使促销方案对商场有利?2解: (Ⅰ)从 2 种服装商品,2 种家电商品,3 种日用商品中,选出 3 种商品一共有C 3种选法,.选出的 3 种商品中没有日用商品的选法有C 3 种, ……1 分.C 3 31 所以选出的 3 种商品中至少有一种日用商品的概率为 P = 1 - 4=7 .……4 分 35(Ⅱ)顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额是一随机变量,设为 X,其所有可能值为 0, m ,2 m ,3 m .……6 分⎛ 1 ⎫0 ⎛ 1 ⎫31 X=0 时表示顾客在三次抽奖中都没有获奖,所以 P (X = 0) = C 0⎪ ⋅ ⎪ = , ……7 分 ⎛ 1 ⎫1 ⎛ 1 ⎫23 3⎝ 2 ⎭ ⎝ 2 ⎭ 8同理可得 P (X = m ) = C 1⎪ ⋅ ⎪ = , ……8 分⎛ 1 ⎫23⎝ 2 ⎭ ⎛ 1 ⎫1 ⎝ 2 ⎭ 8 3 P (X = 2m ) = C 2⎪ ⋅ ⎪ = , ……9 分 3⎝ 2 ⎭ ⎛ 1 ⎫3 ⎝ 2 ⎭ 8⎛ 1 ⎫01 P (X = 3m ) = C 3⎪ ⋅ ⎪ = .……10 分 3⎝ 2 ⎭ ⎝ 2 ⎭ 8于是顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额的期望值是 EX= 0 ⨯ 1 + m ⨯ 3 + 2m ⨯ 3 + 3m ⨯ 1 = 1.5m .……12 分 8 8 8 8要使促销方案对商场有利,应使顾客获奖奖金总额的期望值不大于商场的提价数额,因此应有1.5m ≤ 150,所以m ≤ 100,……13 分.故商场应将中奖奖金数额最高定为 100 元,才能使促销方案对商场有利. ……14 分16.学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有 3 个白球，2 个黑球；乙箱子里面装有 1 个白球，2 个黑球； 这些球除了颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出 2 个球，若摸出的白球不少于 2 个，则获奖（每次游戏后将球放回原箱） （1）求在一次游戏中① 摸出 3 个白球的概率 ② 获奖的概率（2）求在三次游戏中获奖次数 X 的分布列与期望（1）思路：本题的结果实质上是一个“拼球”的过程，即两个箱子各自拿球，然后统计白球的个数。
超几何分布与二项分布
…
此时我们称随机变量X服从二项分布，记作:
n Cnn pnq0
数学期望E(X)=np，方差D(X)=np（1-p）
例题解析与示范
例1. 袋中有3个白球、2个黑球,从中随机地连续抽取3次,每 次取1个球.求有放回抽样时,取到黑球的个数X的分布列. 例2 .袋中有3个白球、2个黑球,从中任意摸出3个球， 记得到黑球的个数为Y,求随机变量Y的分布列。
【解析】(1)随机变量X的可能取值为0,1,2， 随机变量X服从超几何分布，
P( X
0)
C30C72 C120
21 7 45 15
因此,X的分布列为:
X01
2
P( X
1)
C31C71 C120
21 7 45 15
P
7 15
7 15
1 15
P( X
2)
C32C70 C120
3 45
1 15
2．在 15 个村庄中有 7 个村庄交通不方便，现从中任意选
10 个村庄，用 X 表示这 10 个村庄中交通不方便的村庄数，
下列概率等于CC471C15086的是( C ) A．P(X＝2)
B．P(X≤2)
C．P(X＝4)
D．P(X≤4)
解析：此为一个超几何分布问题.15 个村庄中有 7 个村庄交通 不方便，8 个村庄交通方便，C47C68表示选出的 10 个村庄中恰有 4 个交通不方便，6 个交通方便的村庄，故 P(X＝4)＝CC47C110568.
（1）根据频率分布直方图， 求重量超过 505 克的产品数量。 （2）在上述抽取的 40 件产品中 任取 2 件，设 Y 为重量超过 505 克的产品数量， 求 Y 的分布列。 （3）从流水线上任取 5 件产品， 求恰有 2 件产品合格的重量超过 505 克的概率。
9道题分清超几何分布和二项分布(含答案)
9道题分清超几何分布和二项分布（含答案）一．解答题（共9小题）1．某公司的一次招聘中，应聘者都要经过三个独立项目A，B，C的测试，如果通过两个或三个项目的测试即可被录用．若甲、乙、丙三人通过A，B，C每个项目测试的概率都是．（1）求甲恰好通过两个项目测试的概率；（2）设甲、乙、丙三人中被录用的人数为X，求X的概率分布和数学期望．2．随着网络营销和电子商务的兴起，人们的购物方式更具多样化，某调查机构随机抽取10名购物者进行采访，5名男性购物者中有3名倾向于选择网购，2名倾向于选择实体店，5名女性购物者中有2名倾向于选择网购，3名倾向于选择实体店．（Ⅰ）若从这10名购物者中随机抽取2名，其中男、女各一名，求至少1名倾向于选择实体店的概率；（Ⅱ）若从这10名购物者中随机抽取3名，设X表示抽到倾向于选择网购的男性购物者的人数，求随机变量X的分布列及数学期望．3．随着全民健康运动的普及，每天一万步已经成为一种健康时尚，某学校为了教职工能够健康工作，在全校范围内倡导“每天一万步”健康走活动，学校界定一人一天走路不足4千步为“健步常人”，不少于16千步为“健步超人”，其他人为“健步达人”，学校随机抽取抽查人36名教职工，其每天的走步情况统计如下：步数[0，4000）[4000，16000）[16000，+∞]人数61812现对抽查的36人采用分层抽样的方式选出6人，从选出的6人中随机抽取2人进行调查．（1）求这两人健步走状况一致的概率；（2）求“健步超人”人数X的分布列与数学期望．4．中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，作为国家战略性空间基础设施，我国北斗卫星导航系统不仅对国防安全意义重大，而且在民用领域的精准化应用也越来越广泛．据统计，2016年卫星导航与位置服务产业总产值达到2118亿元，较2015年约增长%．下面是40个城市北斗卫星导航系统与位置服务产业的产值（单位：万元）的频率分布直方图：（1）根据频率分布直方图，求产值小于500万元的城市个数；（2）在上述抽取的40个城市中任取2个，设Y为产值不超过500万元的城市个数，求Y的分布列及期望和方差．5．生蚝即牡蛎（oyster）是所有食物中含锌最丰富的，在亚热带、热带沿海都适宜生蚝的养殖，我国分布很广，北起鸭绿江，南至海南岛，沿海皆可产生蚝，生蚝乃软体有壳，衣服寄生的动物，咸淡水交界所产尤为肥美，因此生蚝称为了一年四季不可或缺的一类美食，某饭店从某水产养殖厂购进一批生蚝，并随机抽取了40只统计质量，得到结果如表所示：质量（g）[5，15）[15，25）[25，35）[35，45）[45，55]数量 6 10 12 8 4（1）若购进这批生蚝500kg，且同一组数据用该组区间的中点值代表，试估计这批生蚝的数量（所得结果保留整数）；（2）以频率估计概率，若在本次购买的生蚝中随机挑选4个，记质量在[5，25）间的生蚝的个数为X，求X的分布列及数学期望．6．随着我国互联网信息技术的发展，网络购物已经成为许多人消费的一种重要方式，某市为了了解本市市民的网络购物情况，特委托一家网络公示进行了网络问卷调查，并从参与调查的10000名网民中随机抽取了200人进行抽样分析，得到了下表所示数据：经常进行网络购物偶尔或从不进行网络购物合计男性5050100女性6040100合计11090200（1）依据上述数据，能否在犯错误的概率不超过的前提下认为该市市民进行网络购物的情况与性别有关（2）现从所抽取的女性网民中利用分层抽样的方法再抽取5人，从这5人中随机选出3人赠送网络优惠券，求出选出的3人中至少有两人是经常进行网络购物的概率；（3）将频率视为概率，从该市所有的参与调查的网民中随机抽取10人赠送礼物，记经常进行网络购物的人数为X，求X的期望和方差．附：，其中n=a+b+c+dP（K2≥k0）k07．手机QQ中的“QQ运动”具有这样的功能，不仅可以看自己每天的运动步数，还可以看到朋友圈里好友的步数．小明的QQ朋友圈里有大量好友参与了“QQ运动”，他随机选取了其中30名，其中男女各15名，记录了他们某一天的走路步数，统计数据如表所示：步数性别（0，2500）[2500，5000）[5000，7500）[7500，10000）[10000，+∞）男02472女13731（Ⅰ）以样本估计总体，视样本频率为概率，在小明QQ朋友圈里的男性好友中任意选取3名，其中走路步数低于7500步的有X名，求X的分布列和数学期望；（Ⅱ）如果某人一天的走路步数超过7500步，此人将被“QQ运动”评定为“积极型”，否则为“消极型”．根据题意完成下面的2×2列联表，并据此判断能否有95%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关积极型消极型总计男女总计附：．P（K2≥k0）k08．某企业2017年招聘员工，其中A、B、C、D、E五种岗位的应聘人数、录用人数和录用比例（精确到1%）如下：岗位男性应聘人数男性录用人数男性录用比例女性应聘人数女性录用人数女性录用比例A26916762%402460%B401230%2026231%C1775732%1845932%D442659%382258%E3267%3267%总计53326450%46716936%（Ⅰ）从表中所有应聘人员中随机选择1人，试估计此人被录用的概率；（Ⅱ）从应聘E岗位的6人中随机选择2人．记X为这2人中被录用的人数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）表中A、B、C、D、E各岗位的男性、女性录用比例都接近（二者之差的绝对值不大于5%），但男性的总录用比例却明显高于女性的总录用比例．研究发现，若只考虑其中某四种岗位，则男性、女性的总录用比例也接近，请写出这四种岗位．（只需写出结论）9．在某校举行的航天知识竞赛中，参与竞赛的文科生与理科生人数之比为1：3，且成绩分布在[40，100]，分数在80以上（含80）的同学获奖．按文理科用分层抽样的方法抽取200人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图（见图）．（1）填写下面的2×2列联表，能否有超过95%的把握认为“获奖与学生的文理科有关”（2）将上述调査所得的频率视为概率，现从参赛学生中，任意抽取3名学生，记“获奖”学生人数为X，求X的分布列及数学期望．文科生理科生合计获奖5不获奖合计200附表及公式：K2=，其中n=a+b+c+dP（K2≥k）k9道题分清超几何分布和二项分布参考答案与试题解析一．解答题（共9小题）1．某公司的一次招聘中，应聘者都要经过三个独立项目A，B，C的测试，如果通过两个或三个项目的测试即可被录用．若甲、乙、丙三人通过A，B，C每个项目测试的概率都是．（1）求甲恰好通过两个项目测试的概率；（2）设甲、乙、丙三人中被录用的人数为X，求X的概率分布和数学期望．【分析】（1）利用二项分布计算甲恰好有2次发生的概率；（2）由每人被录用的概率值，求出随机变量X的概率分布，计算数学期望值．【解答】解：（1）甲恰好通过两个项目测试的概率为；……（4分）（2）因为每人可被录用的概率为，所以，，，；故随机变量X的概率分布表为：X0123P…………（8分）所以，X的数学期望为．……（10分）【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望问题，是基础题．2．随着网络营销和电子商务的兴起，人们的购物方式更具多样化，某调查机构随机抽取10名购物者进行采访，5名男性购物者中有3名倾向于选择网购，2名倾向于选择实体店，5名女性购物者中有2名倾向于选择网购，3名倾向于选择实体店．（Ⅰ）若从这10名购物者中随机抽取2名，其中男、女各一名，求至少1名倾向于选择实体店的概率；（Ⅱ）若从这10名购物者中随机抽取3名，设X表示抽到倾向于选择网购的男性购物者的人数，求随机变量X的分布列及数学期望．【分析】（Ⅰ）设“至少1名倾向于选择实体店”为事件A，则表示事件“随机抽取2名，（其中男、女各一名）都选择网购”，则P（A）=1﹣P．（Ⅱ）X的取值为0，1，2，3．P（X=k）=，即可得出．【解答】解：（Ⅰ）设“至少1名倾向于选择实体店”为事件A，则表示事件“随机抽取2名，（其中男、女各一名）都选择网购”，则P（A）=1﹣P=1﹣=．（Ⅱ）X的取值为0，1，2，3．P（X=k）=，P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）=．X的分布列为：X0123PE（X）=0×+1×+2×+3×=．【点评】本题考查了对立与互相独立事件概率计算公式、超几何分布列与数学期望、组合计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3．随着全民健康运动的普及，每天一万步已经成为一种健康时尚，某学校为了教职工能够健康工作，在全校范围内倡导“每天一万步”健康走活动，学校界定一人一天走路不足4千步为“健步常人”，不少于16千步为“健步超人”，其他人为“健步达人”，学校随机抽取抽查人36名教职工，其每天的走步情况统计如下：步数[0，4000）[4000，16000）[16000，+∞]人数61812现对抽查的36人采用分层抽样的方式选出6人，从选出的6人中随机抽取2人进行调查．（1）求这两人健步走状况一致的概率；（2）求“健步超人”人数X的分布列与数学期望．【分析】（1）记事件A，这2人健步走状况一致，利用互斥事件概率计算公式能求出这两人健步走状况一致的概率．（2）X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．【解答】解：（1）记事件A，这2人健步走状况一致，则．（2）X的可能取值为0，1，2，所以，所以X的分布列为X 0 1 2P所以．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查互斥事件概率计算公式、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．4．中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，作为国家战略性空间基础设施，我国北斗卫星导航系统不仅对国防安全意义重大，而且在民用领域的精准化应用也越来越广泛．据统计，2016年卫星导航与位置服务产业总产值达到2118亿元，较2015年约增长%．下面是40个城市北斗卫星导航系统与位置服务产业的产值（单位：万元）的频率分布直方图：（1）根据频率分布直方图，求产值小于500万元的城市个数；（2）在上述抽取的40个城市中任取2个，设Y为产值不超过500万元的城市个数，求Y的分布列及期望和方差．【分析】（1）根据频率分布直方图，能求出产值小于500万元的城市个数．（2）由Y的所有可能取值为0，1，2．分别滶出相应的概率，由此能求出Y的分布列及期望和方差．【解答】解：（1）根据频率分布直方图可知，产值小于500万元的城市个数为：[（+）×5]×40=14．（2）Y的所有可能取值为0，1，2．，，．∴Y的分布列为：Y012P期望为：，方差为：．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布、期望、方差等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．5．生蚝即牡蛎（oyster）是所有食物中含锌最丰富的，在亚热带、热带沿海都适宜生蚝的养殖，我国分布很广，北起鸭绿江，南至海南岛，沿海皆可产生蚝，生蚝乃软体有壳，衣服寄生的动物，咸淡水交界所产尤为肥美，因此生蚝称为了一年四季不可或缺的一类美食，某饭店从某水产养殖厂购进一批生蚝，并随机抽取了40只统计质量，得到结果如表所示：质量（g）[5，15）[15，25）[25，35）[35，45）[45，55]数量 6 10 12 8 4（1）若购进这批生蚝500kg，且同一组数据用该组区间的中点值代表，试估计这批生蚝的数量（所得结果保留整数）；（2）以频率估计概率，若在本次购买的生蚝中随机挑选4个，记质量在[5，25）间的生蚝的个数为X，求X的分布列及数学期望．【分析】（1）估算妹纸生蚝的质量为，由此能估计这批生蚝的数量．（2）任意挑选一只，质量在[5，25）间的概率为，X的可能取值为0，1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．【解答】解：（1）由表中的数据可以估算妹纸生蚝的质量为：，所以购进500kg，生蚝的数量为500000÷≈17554（只）．（2）由表中数据知，任意挑选一只，质量在[5，25）间的概率为，X的可能取值为0，1，2，3，4，则，，∴X的分布列为：X 0 1 2 3 4P∴．【点评】本题考查概率的求法及应用，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，考查排列组合、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．6．随着我国互联网信息技术的发展，网络购物已经成为许多人消费的一种重要方式，某市为了了解本市市民的网络购物情况，特委托一家网络公示进行了网络问卷调查，并从参与调查的10000名网民中随机抽取了200人进行抽样分析，得到了下表所示数据：经常进行网络偶尔或从不进行网络合计购物购物男性5050100女性6040100合计11090200（1）依据上述数据，能否在犯错误的概率不超过的前提下认为该市市民进行网络购物的情况与性别有关（2）现从所抽取的女性网民中利用分层抽样的方法再抽取5人，从这5人中随机选出3人赠送网络优惠券，求出选出的3人中至少有两人是经常进行网络购物的概率；（3）将频率视为概率，从该市所有的参与调查的网民中随机抽取10人赠送礼物，记经常进行网络购物的人数为X，求X的期望和方差．附：，其中n=a+b+c+dP（K2≥k0）k0【分析】（1）由列联表数据求出K2≈＜，从而不能在犯错误的概率不超过的前提下认为该市市民网购情况与性别有关．（2）由题意，抽取的5名女性网民中，经常进行网购的有3人，偶尔或从不进行网购的有2人，由此能求出从这5人中选出3人至少有2人经常进行网购的概率．（3）由列联表可知，经常进行网购的频率为，由题意，从该市市民中任意抽取1人恰好是经常进行网购的概率是，由于该市市民数量很大，故可以认为X～B（10，），由此能求出X的期望和方差．【解答】解：（1）由列联表数据计算K2=≈＜，∴不能在犯错误的概率不超过的前提下认为该市市民网购情况与性别有关．（2）由题意，抽取的5名女性网民中，经常进行网购的有5×=3人，偶尔或从不进行网购的有5×=2人，故从这5人中选出3人至少有2人经常进行网购的概率是p=+=．（3）由列联表可知，经常进行网购的频率为，由题意，从该市市民中任意抽取1人恰好是经常进行网购的概率是，由于该市市民数量很大，故可以认为X～B（10，），∴E（X）=，D（X）==．【点评】本题考查独立性检验及应用，考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的求法，考查二项分布等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．7．手机QQ中的“QQ运动”具有这样的功能，不仅可以看自己每天的运动步数，还可以看到朋友圈里好友的步数．小明的QQ朋友圈里有大量好友参与了“QQ运动”，他随机选取了其中30名，其中男女各15名，记录了他们某一天的走路步数，统计数据如表所示：步数性别（0，2500）[2500，5000）[5000，7500）[7500，10000）[10000，+∞）男02472女13731（Ⅰ）以样本估计总体，视样本频率为概率，在小明QQ朋友圈里的男性好友中任意选取3名，其中走路步数低于7500步的有X名，求X的分布列和数学期望；（Ⅱ）如果某人一天的走路步数超过7500步，此人将被“QQ运动”评定为“积极型”，否则为“消极型”．根据题意完成下面的2×2列联表，并据此判断能否有95%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关积极型消极型总计男女总计附：．P（K2≥k0）k0【分析】（Ⅰ）在小明的男性好友中任意选取1名，其中走路步数低于7500的概率为．X可能取值分别为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．（Ⅱ）完成2×2列联表求出k2的观测值k0≈＜．据此判断没有95%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关．【解答】解：（Ⅰ）在小明的男性好友中任意选取1名，其中走路步数低于7500的概率为．X可能取值分别为0，1，2，3，∴，，，，∴X的分布列为X0123P则．（Ⅱ）完成2×2列联表如下：积极型消极型总计男9615女41115总计131730k2的观测值=．据此判断没有95%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查独立检验的应用，考查古典概型、二项分布等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．8．某企业2017年招聘员工，其中A、B、C、D、E五种岗位的应聘人数、录用人数和录用比例（精确到1%）如下：岗位男性应聘人数男性录用人数男性录用比例女性应聘人数女性录用人数女性录用比例A26916762%402460%B401230%2026231%C1775732%1845932%D442659%382258%E3267%3267%总计53326450%46716936%（Ⅰ）从表中所有应聘人员中随机选择1人，试估计此人被录用的概率；（Ⅱ）从应聘E岗位的6人中随机选择2人．记X为这2人中被录用的人数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）表中A、B、C、D、E各岗位的男性、女性录用比例都接近（二者之差的绝对值不大于5%），但男性的总录用比例却明显高于女性的总录用比例．研究发现，若只考虑其中某四种岗位，则男性、女性的总录用比例也接近，请写出这四种岗位．（只需写出结论）【分析】（I）根据录用总人数与应聘总人数的比值得出概率；（II）根据超几何分布列的概率公式得出分布列和数学期望；（III）去掉一个岗位后计算剩余4个岗位的男女总录用比例得出结论．【解答】解：（Ⅰ）因为表中所有应聘人员总数为533+467=1000，被该企业录用的人数为264+169=433，所以从表中所有应聘人员中随机选择1人，此人被录用的概率约为．（Ⅱ）X可能的取值为0，1，2．因为应聘E岗位的6人中，被录用的有4人，未被录用的有2人，所以；；．所以X 的分布列为：X012P．（Ⅲ）取掉A岗位后，男性的总录用比例为≈%，女性的总录用比例为≈%，故去掉A岗位后，男、女总录用比例接近．∴这四种岗位是：B、C、D、E．【点评】本题考查了古典概型的概率计算，离散型随机变量的分布列，属于中档题．9．在某校举行的航天知识竞赛中，参与竞赛的文科生与理科生人数之比为1：3，且成绩分布在[40，100]，分数在80以上（含80）的同学获奖．按文理科用分层抽样的方法抽取200人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图（见图）．（1）填写下面的2×2列联表，能否有超过95%的把握认为“获奖与学生的文理科有关”（2）将上述调査所得的频率视为概率，现从参赛学生中，任意抽取3名学生，记“获奖”学生人数为X，求X的分布列及数学期望．文科生理科生合计获奖5不获奖合计200附表及公式：K2=，其中n=a+b+c+dP（K2≥k）k【分析】（1）列出表格根据公式计算出K2，参考表格即可得出结论．（2）由表中数据可知，抽到获奖同学的概率为，将频率视为概率，所以X可取0，1，2，3，且X～B（3，）．即可得出．【解答】解：（1）文科生理科生合计获奖53540不获奖45115160合计50150200k==≈＞，所以有超过95%的把握认为“获奖与学生的文理科有关”．（2）由表中数据可知，抽到获奖同学的概率为，将频率视为概率，所以X可取0，1，2，3，且X～B（3，）．P（X=k）=×（）k（1﹣）3﹣k（k=0，1，2，3），X0123PE（X）=3×=．【点评】本题考查了独立性检验原理、二项分布列的概率计算公式与数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。
二项分布和超几何分布(含答案)
超几何分布和二项分布一、两者的定义是不同的1超几何分布的定义2独立重复试验与二项分布的定义(1)独立重复试验．(2)二项分布．本质区别(1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，而二项分布描述的是放回抽样问题.(2)超几何分布中的概率计算实质上是古典概型问题；二项分布中的概率计算实质上是相互独立事件的概率问题.二、两者之间是有联系的人教版新课标选修2-3第59页习题2.2B组第3题：例1某批n件产品的次品率为2%，现从中任意地依次抽出3件进行检验，问：（1）当n=500,5000,500000时，分别以放回和不放回的方式抽取，恰好抽到1件产品的概率各是多少？（2）根据（1）你对超几何分布与二项分布的关系有何认识？【说明】由于数字比较大，可以利用计算机或计算器进行数值计算.另外，本题目也可以帮助学生了解超几何分布和二项分布之间的关系：第一，n次试验中，某一事件A出现的次数X可能服从超几何分布或二项分布.当这n次试验是独立重复试验时，X服从二项分布；当这n次试验是不放回摸球问题，事件A为摸到某种特性（如某种颜色）的球时，X服从超几何分布第二，在不放回n次摸球试验中，摸到某种颜色的次数X服从超几何分布，但是当袋子中的球的数目N 很大时，X的分布列近似于二项分布，并且随着N的增加，这种近似的精度也增加.从以上分析可以看出两者之间的联系：当调查研究的样本容量非常大时，在有放回地抽取与无放回地抽取条件下，计算得到的概率非常接近，可以近似把超几何分布认为是二项分布.例2袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取一个球，求（1）又放回抽样时，取到黑球的个数X的分布列；（2）无放回地抽样时，取到黑球的个数Y的分布列.[错解分析]第二问的选人问题是不放回抽样问题,按照定义先考虑超几何分布,但是题目中又明确给出:“以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，从该社区(人数很多)任选3人”,说明不是从16人中任选3人,而是从该社区(人数很多)任选3人,所以可以近似看作是3次独立重复试验,应该按照二项分布去求解，而不能按照超几何分布去处理.【正解】（1）同上；从以上解题过程中我们还发现，错解中的期望值与正解中的期望值相等，好多学生都觉得不可思议，怎么会出现相同的结果呢？其实这还是由于前面解释过的原因，超几何分布与二项分布是有联系的，看它们的期望公式：综上可知，当提问中涉及“用样本数据来估计总体数据”字样的为二项分布。
考点20 超几何分布与二项分布(新高考地区专用)(解析版)
考点20 超几何分布与二项分布一．分布列1．离散型随机变量的分布列(1)随着试验结果变化而变化的变量叫做随机变量．所有取值可以一一列出的随机变量叫做离散型随机变量． (2)一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值x i (i ＝1,2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，则称表为离散型随机变量X 的概率分布列，简称为X 的分布列，具有如下性质： ①p i ≥0，i ＝1,2，…，n ；①p 1＋p 2＋…＋p i ＋…＋p n ＝1.离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和． 二．两点分布如果随机变量X 的分布列为其中0<p <1，则称离散型随机变量X ＝1)称为成功概率． 三．超几何分布1.概念：一般地，设有N 件产品，其中有M (M ≤N )件次品．从中任取n (n ≤N )件产品，用X 表示取出的n 件产品中次品的件数，那么P (X ＝k )＝C k M C n －kN －MC n N(k ＝0,1,2，…，m )．即其中m ＝min{M ，n }，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ①N *.如果一个随机变量X 的分布列具有上表的形式，则称随机变量X 服从超几何分布． 2.特征（1）超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数 （2）考察对象分两类 （3）已知各类对象的个数（4）从中抽取若干个个体，考查某类个体数X 的概率分布.,超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的知识理解小球等概率模型，其实质是古典概型 四．独立重复试验与二项分布(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的．(2)在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数．设每次试验中事件A 发生的概率为p ，则P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k(k ＝0,1,2，…，n )，此时称随机变量X 服从二项分布，记为X ～B (n ，p )，并称p 为成功概率．五．条件概率及其性质(1)对于任何两个事件A 和B ，在已知事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率叫做条件概率，用符号P (B |A )来表示，其公式为P (B |A )＝P ABP A(P (A )>0)．在古典概型中，若用n (A )表示事件A 中基本事件的个数，则P (B |A )＝n ABn A .(2)条件概率具有的性质①0≤P (B |A )≤1；①如果B 和C 是两个互斥事件，则P (B ①C |A )＝P (B |A )＋P (C |A )．考向一 离散型随机变量的分布列的性质【例1】（1）（2020·全国高三专题练习）随机变量X 的分布列如表：X124P12ab若()2E X =，则()D X =（ ） A ．32B ．43C ．54D ．65（2）（2021·浙江高三）已知随机变量X 的分布列是X123P1213a则()2E X a +=（ ）考向分析A ．53B ．73C ．72D ．236【答案】（1）A （2）C【解析】（1）由分布列的性质以及期望公式可得()1242212E X a b a b ⎧=++=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得14a b ==.()()()()22211131222422442D X =-+-+-=.故选：A. （2）由分布列的性质可得11123a ++=，得16a =，所以，()11151232363E X =⨯+⨯+⨯=，因此，()()11517222266362E X a E X E X ⎛⎫+=+=+=⨯+= ⎪⎝⎭.故选：C.【方法总结】1．随机变量是否服从超几何分布的判断若随机变量X 服从超几何分布，则满足如下条件：(1)该试验是不放回地抽取n 次；(2)随机变量X 表示抽取到的次品件数(或类似事件)，反之亦然． 2.离散型随机变量分布列的求解步骤三．若Y ＝aX ＋b ，其中a ，b 是常数，X 是随机变量，则 (1)E (k )＝k ，D (k )＝0，其中k 为常数； (2)E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ，D (aX ＋b )＝a 2D (X )； (3)E (X 1＋X 2)＝E (X 1)＋E (X 2)； (4)D (X )＝E (X 2)－(E (X ))2；(5)若X 1，X 2相互独立，则E (X 1·X 2)＝E (X 1)·E (X 2)；(6)若X ～N (μ，σ2)，则X 的均值与方差分别为：E (X )＝μ，D (X )＝σ2.【举一反三】1．（2020·全国高三专题练习）随机变量X 的分布列如下，()14P X ≤＜的值为（ ）A ．0.6B ．0.7C ．0.8D ．0.9【答案】C【解析】随机变量X 的分布列知：10.10.20.30.10.3x =----=，()()()()14123P X P P P ≤<=++0.20.30.3=++0.8=．故选：C ．2．（2020·全国高三专题练习）随机变量ξ的分布列如表所示，若1()E X =-，则(31)D X +=（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B【解析】根据题意，可知：112a b ++=，则12a b +=，()13E X =-，即：1123b -+=-，解得：16b =，13a ∴=，()22211111151013233369X D ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+⨯++⨯++⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则()59959(31)D D X X ==⨯+=，∴5(31)D X +=.故选：B. 3．（2020·全国高三专题练习）若随机变量X 的分布列为则a 的值为（ ）A ．0.1B ．0.2C ．0.3D ．0.4【答案】B【解析】由题意可得，0.231a a ++=，解得0.2a =.故选：B.4．（2020·浙江高三其他模拟）随机变量X 的分布列如下表，已知()122P x ≤=，则当b 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭内增大时（ ）A ．()E X 递减，()D X 递减B ．()E X 递增，()D X 递减C ．()E X 递减，()D X 递增 D ．()E X 递增，()D X 递增【答案】B【解析】因为()122P x ≤=，所以12a b +=，12c =， 所以()232E X a b c b =++=+，所以当b 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内增大时，()E X 递增；所以()()()()2222115122232224D X a b b b b b ⎛⎫=-++-++-+=-++⎡⎤⎡⎤⎡⎤ ⎪⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎝⎭， 所以当b 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内增大时，()D X 递减.故选：B.考向二 超几何分布【例2】（2020·全国高三）“花开疫散，山河无恙，心怀感恩，学子归来，行而不缀，未来可期”，为感谢全国人民对武汉的支持，今年樱花节武汉大学在其属下的艺术学院和文学院分别招募8名和12名志愿者参与网络云直播.将这20名志愿者的身高编成如下茎叶图(单位：厘米).若身高在175cm 及其以上定义为“高个子”，否则定义为“非高个子”，且只有文学院的“高个子”才能担任兼职主持人.（1）根据志愿者的身高茎叶图指出文学院志愿者身高的中位数.（2）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，则从这5人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少；（3）若从所有“高个子”中选3名志愿者，用ξ表示所选志愿者中能担任“兼职主持人”的人数，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望.【答案】（1）168.5cm ；（2）710；（3）分布列见解析，98. 【解析】（1）根据志愿者的身高茎叶图知文学院志愿者身高为：158,159,161,162,165,168,169,173,174,176,180,181，其升高的中位数为：168169168.52+=cm ； （2）由茎叶图可知，“高个子”有8人，“非高个子”有12人， ∴按照分层抽样抽取的5人中“高个子”为85220⨯=人，“非高个子”为125320⨯=人， 则从这5人中选2人，至少有1人为高个子的概率23257110C P C =-=；（3）由题可知：文学院的高个子只有3人，则ξ的可能取值为0、1、2、3，故305338105(0)5628C C P C ξ⋅====，2153383015(1)5628C C P C ξ⋅====， 12533815(2)56C C P C ξ⋅===，0353381(3)56C C P C ξ⋅===， 即ξ的分布列为：所以19()0123282856568E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. 【举一反三】1．（2021·全国高三专题练习）为了解学生寒假期间学习情况，学校对某班男、女学生学习时间进行调查，学习时间按整小时统计，调查结果绘制成折线图如下:(1)已知该校有400名学生，试估计全校学生中，每天学习不足4小时的人数；(2)若从学习时间不少于4小时的学生中选取4人，设选取的男生人数为X ，求随机变量X 的分布列及均值E (X );(3)试比较男生学习时间的方差21s 与女生学习时间的方差22s 的大小.(只需写出结论) 【答案】（1）240人；（2）分布列见解析，2；（3）2212s s >.【解析】(1)由折线图可得共抽取了20人，其中男生中学习时间不足4小时的有8人，女生中学习时间不足4小时的有4人.故可估计全校学生中每天学习时间不足4小时的人数为400×1220=240. (2)学习时间不少于4小时的学生共8人，其中男生人数为4， 故X 的所有可能取值为0，1，2，3，4. 由题意可得P (X=0)=4448170C C =，P (X=1)=1344481687035C C C ==， P (X=2)=22444836187035C C C ==， P (X=3)=3144481687035C C C ==， P (X=4)=4448170C C =.所以随机变量X 的分布列为 ∴均值E (X )=0×170+1×835+2×1835+3×835+4×170=2.(3)由折线图可得2212s s >.2．（2020·全国高三专题练习）为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关，现对30名五年级学生进行了问卷调查得到如下列联表(平均每天喝500mL 以上为常喝，体重超过50kg 为肥胖)：已知在全部30人中随机抽取1人，抽到肥胖的学生的概率为415. （1）请将上面的列联表补充完整；（2）是否在犯错误概率不超过0.005的前提下认为肥胖与常喝碳酸饮料有关？请说明你的理由； （3）若常喝碳酸饮料且肥胖的学生中有2名女生，现从常喝碳酸饮料且肥胖的学生中抽取2人参加电视节目，设正好抽到的女生为X 名，求随机变量X 的分布列与期望.参考数据：(参考公式：22()()()()()n ad bc K a b a c c d b d -=++++，其中n a b c d =+++)【答案】（1）答案见解析；（2）在犯错误概率不超过0.005的前提下认为肥胖与常喝碳酸饮料有关；理由见解析；（3）答案见解析.【解析】(1)设常喝碳酸饮料肥胖的学生有x人，则243015x +=，解得6x =， 填表如下：(2)由已知数据可求得：2230(61824)8.5237.8791020822K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，因此在犯错误概率不超过0.005的前提下认为肥胖与常喝碳酸饮料有关； (3)依题意，常喝碳酸饮料的肥胖者男生有4名，女生有2名， 随机变量X 的取值分别为0、1、2，∴0224262(0)5C C P X C ⋅===， 1124268(1)15C C P X C ⋅===， 2024261(2)15C C P X C ⋅===， 则随机变量X 的分布列为：因此随机变量X的期望2812 ()0121515153E X=⨯+⨯+⨯=.3．（2020·全国高三）巴西世界杯足球赛正在如火如荼进行．某人为了了解我校学生“通过电视收看世界杯”是否与性别有关，从全校学生中随机抽取30名学生进行了问卷调查，得到了如下列联表：已知在这30名同学中随机抽取1人，抽到“通过电视收看世界杯”的学生的概率是8 15．（1）请将上面的列联表补充完整，并据此资料分析“通过电视收看世界杯”与性别是否有关？（2）若从这30名同学中的男同学中随机抽取2人参加一活动，记“通过电视收看世界杯”人数为X，求X 的分布列和均值．附：参考公式：22()()()()()n ad bcKa b a c c d b d-=++++，n a b c d=+++．【答案】（1）填表见解析；没有充足的理由认为“通过电视收看世界杯”与性别有关；（2）分布列见解析；均值为54．【解析】（1）设“通过电视收看世界杯”的女生为x人，则1083015x+=，解得6x=，由已知数据得：2230(10866) 1.158 3.84116141614K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，∴没有充足的理由认为“通过电视收看世界杯”与性别有关； （2）X 可能取值为0、1、2，则：262161(0)8C P X C ===，116102161(1)2C C P X C ===， 2102163(2)8C P X C ===，∴X 的分布列为：X 的均值为：()0128284E X =⨯+⨯+⨯=．考向三 条件概率【例3】（2020·四川省新津中学高三开学考试）长春气象台统计，7月15日净月区下雨的概率为415，刮风的概率为215，既刮风又下雨的概率为110，设事件A 为下雨，事件B 为刮风，那么()|P A B =（ ）A ．12B ．34C ．25D ．38【答案】B【解析】由题意，可知421(),(),()151510P A P B P AB ===， 利用条件概率的计算公式，可得1()310(|)2()415P AB P A B P B ===，故选B.【举一反三】1．（2020·江苏省溧阳中学高三开学考试）甲、乙、丙、丁四名同学分别从篮球、足球、排球、羽毛球四种球类项目中选择一项进行活动，记事件A 为“四名同学所选项目各不相同”，事件B 为“只有甲同学选羽毛球”，则()|P A B =（ ）A ．89B ．29C ．38D ．34【答案】B【解析】事件AB ：甲选羽毛球且四名同学所选项目各不相同，所以其它3名同学排列在其它3个项目，且互不相同为33A ，事件B ：甲选羽毛球，所以其它3名同学排列在其它3个项目，可以安排在相同项目为33，()()()3343424|394A P AB P A B P B ===.故选：B（2）（2020·四川眉山市·仁寿一中高三月考）现从4名男医生和3名女医生中抽取两人加入“援鄂医疗队”，用A 表示事件“抽到的两名医生性别相同”，B 表示事件“抽到的两名医生都是女医生”，则()P B A =（ ） A ．13B ．47C ．23D ．34【答案】A【解析】由已知得22432793()217C C P A C +===,232731()217C P AB C ===， 则()P B A =1()173()37P AB P A ==，故选：A 3．（2020·黑龙江大庆市·大庆实验中学高三开学考试）2020年初，我国派出医疗小组奔赴相关国家，现有四个医疗小组甲、乙、丙、丁，和有4个需要援助的国家可供选择，每个医疗小组只去一个国家，设事件A ＝“4个医疗小组去的国家各不相同”，事件B ＝“小组甲独自去一个国家”，则P （A |B ）＝（ ） A ．29B ．13C ．49D ．59【答案】A【解析】由题意444()4A P A =，()()P AB P A =，3443()4P B ⨯=， ∴44434()24(|)43()94A P AB P A B P B ===⨯．故选：A ． 4．（2020·黑龙江牡丹江市·牡丹江一中高三开学考试）一个不透明的袋子中，放有大小相同的5个小球，其中3个黑球，2个白球，如果不放回的依次取出2个球.在第一次取出的是黑球的条件下，第二次取出的是白球的概率是（ ） A ．12B ．310C ．35D ．25【答案】A【解析】第一次取出黑球后，剩余4个球，其中2个白球，所以第二次取出的是白球的概率是2142=.故选：A.考向四 二项分布【例4】（2020·全国高三专题练习）某高三毕业班甲、乙两名同学在连续的8次数学周练中，统计解答题失分的茎叶图如图：（1）比较这两名同学8次周练解答题失分的平均数和方差的大小，并判断哪位同学做解答题相对稳定些； （2）以上述数据统计甲、乙两名同学失分超过15分的频率作为概率，假设甲、乙两名同学在同一次周练中失分多少互不影响，预测在接下来的2次周练中，甲、乙两名同学失分均超过15分的次数X的分布列和均值．【答案】（1）甲、乙两名同学解答题失分的平均数相等；甲同学解答题失分的方差比乙同学解答题失分的方差大，乙同学做解答题相对稳定些；（2）分布列见解析，38. 【解析】（1） 1=8x 甲(7＋9＋11＋13＋13＋16＋23＋28)＝15， 1=8x 乙(7＋8＋10＋15＋17＋19＋21＋23)＝15，21=8s 甲 [(－8)2＋(－6)2＋(－4)2＋(－2)2＋(－2)2＋12＋82＋132]＝44.75，21=8s 乙[(－8)2＋(－7)2＋(－5)2＋02＋22＋42＋62＋82]＝32.25.甲、乙两名同学解答题失分的平均数相等；甲同学解答题失分的方差比乙同学解答题失分的方差大．所以乙同学做解答题相对稳定些．（2）根据统计结果，在一次周练中，甲和乙失分超过15分的概率分别为P 1＝38，P 2＝12， 两人失分均超过15分的概率为P 1P 2＝316， X 的所有可能取值为0，1，2.依题意，32,16XB ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ()22313,0,1,21616kkk P X k C k -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则X 的分布列为X 的均值E (X )＝2168⨯=. 【举一反三】1．（2020·全国高三专题练习）为研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门随机选取100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100km/h 的有40人，不超过100km/h 的有15人；在45名女性驾驶员中，平均车速超过100km/h 的有20人，不超过100km/h 的有25人.（1）在被调查的驾驶员中，从平均车速不超过100km/h 的人中随机抽取2人，求这2人恰好有1名男性驾驶员和1名女性驾驶员的概率；（2）以上述样本数据估计总体，从高速公路上行驶的家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车平均车速超过100km/h 且为男性驾驶员的车辆为X ，求X 的分布列. 【答案】（1）2552；（2）分布列答案见解析. 【解析】（1）平均车速不超过100km/h 的驾驶员有40人，从中随机抽取2人的方法总数为240C ，记“这2人恰好有1名男性驾驶员和1名女性驾驶员”为事件A ，则事件A 所包含的基本事件数为111525C C ⋅，所以所求的概率()1115252402552C C P A C ==. （2）根据样本估计总体的思想，从总体中任取1辆车，平均车速超过100km/h 且为男性驾驶员的概率为4021005=，故2(3,)5X B .所以()03032327055125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()12132354155125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()2232336255125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3033238355125P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以X 的分布列为2．（2020·全国高三专题练习）某学校用“10分制”调查本校学生对教师教学的满意度，现从学生中随机抽取16名，以茎叶图记录了他们对该校教师教学满意度的分数(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)：（1）若教学满意度不低于9.5分，则称该生对教师的教学满意度为“极满意”．求从这16人中随机选取3人，至少有1人是“极满意”的概率；（2）以这16人的样本数据来估计整个学校的总体数据，若从该校所有学生中(学生人数很多)任选3人，记X 表示抽到“极满意”的人数，求X 的分布列及数学期望．【答案】（1）1728；（2）分布列见解析，()34E X =.【解析】（1）16人中满意的有4人，不满意的有12人，设i A 表示所抽取的3人中有i 个人是“极满意”，至少有1人是“极满意”记为事件A ，则抽出的3人都不满意的概率为()31203161128C P A C ==，所以()()01117112828P A P A =-=-=， （2）X 的所有可能取值为0,1,2,316人中满意的有4人，不满意的有12人，随机抽取一人极满意的概率为41164=， 所以13,4X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，所以()33270464P X ⎛⎫===⎪⎝⎭，()213132714464P X C ⎛⎫==⨯⨯=⎪⎝⎭， ()22313924464P X C ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭，()333113464P X C ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭.所以X 的分布列为所以()1236464644E X =⨯+⨯+⨯=.3．（2020·凯里市第三中学高三月考）北京是历史悠久的千年古都，现在是中国的政治、经济、文化等多领域的中心，历史文化积淀深厚，自然人文景观丰富，科学技术发达，教育资源众多，成为当代绝大多数人的理想向往之地．凯里市为了将来更好的推进“研学游学”项目来丰富中学生的课余生活，帮助中学生树立崇高理想，更好地实现人生价值．为了更好了解学生的喜好情况，某组织负责人把项目分为历史人文游、科技体验游、自然风光游三种类型，并在全市中学中随机抽取10所学校学生意向选择喜好类型，统计如下：在这10所中小学中，随机抽取了3所学校，并以统计的频率代替学校选择研学游学意向类型的概率（假设每所学校在选择研学游学类型时仅能选择其中一类，且不受其他学校选择结果的影响）．（1）若这3所学校选择的研学游学类型是历史人文游、自然风光游，求这两种都有学校选择的概率； （2）设这3所学校中选择科技体验游学校的随机数X ，求X 的分布列与数学期望． 【答案】（1）18125；（2）分布列见解析，6()5E X =． 【解析】（1）由题设学校选择历史人文游、科技体验游、自然风光游的概率分别为()P A 、()P B 、(C)P ，则易知2()5P A =，2()5P B =，1()5P C =， 所以这3所学校选择的研学游学类型是历史人文游、自然风光游的概率为1222133()()()()P C P A P C C P A P C =⋅+⋅1222332121()()5555C C =+61218125125125=+=； （2）由题知这3所学校中选择科技体验游学校的概率为2()5P B =， 选择非科技体验游学校的概率为2213()()555P P A P C =+=+=，所以X 的所有可能值有：0，1，2，3， 则03033232327(0)()()()55125P X C P B P C ====，1121123232354(1)()()()55125P X C P B P C ====，2212213232336(2)()()()55125P X C P B P C ====，330330323238(3)()()()55125P X C P B P C ====，所以X 的分布列如下：所以X 的数学期望为86()01231251251251255E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．1．（2020·全国高三专题练习）已知随机变量X 的分布列如下：若随机变量Y 满足31Y X =-，则Y 的方差()D Y =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．9【答案】D【解析】由分布列的性质，可得11132a ++=，解得16a =，则()1110121326E X =⨯+⨯+⨯=， 所以()()()()2221110111311326D X =-⨯+-⨯+-⨯=，又因为31Y X =-，所以()()23919D Y D X =⨯=⨯=.故选：D.2．（2020·全国高三专题练习）随机变量ξ的分布列如下：强化练习其中a ，b ，c 成等差数列，则D ξ的最大值为（ ） A ．23B ．59C ．29D ．34【答案】A【解析】因为a ，b ，c 成等差数列，122b a c,a b c 1,b ,c a,33∴=+++=∴==-2E ξa c 2a 3∴=-+=-+，2222222D ξ12a a 2a b 12a a 3333⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-⨯+-⨯++-⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭22821224a a 439333a ⎛⎫=-++=--+≤ ⎪⎝⎭.则D ξ的最大值为233．（2020·全国高三专题练习）已知ξ的分布列为设25ηξ=-，则()E η=（ ） A ．12B ．13C ．23D ．32【答案】C【解析】由分布列的性质可得：1111663m +++=，解得13m =所以()111117123466336E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=因为25ηξ=-，所以()()172252563E E ηξ=-=⨯-=故选：C 4．（2020·内蒙古包头市·高三二模）X 表示某足球队在2次点球中射进的球数，X 的分布列如下表，若()1E X =，则()D X =（ ）A ．3B ．2C ．4 D ．3【答案】D【解析】由()1E X =，可得1()01213E X a b =⨯+⨯+⨯=①，又由113a b ++=②，由①和②可得，13a =，13b =，所以，2221112()(01)(11)(21)3333D X =⨯-+⨯-+⨯-=故选：D 5．（2020·全国高三专题练习）某射手射击所得环数ξ的分布列如下：已知ξ的数学期望()8.9E ξ=，则y 的值为（ ）A ．0.8B ．0.6C ．0.4D ．0.2【答案】C【解析】由表格可知：0.10.31780.190.3108.9x y x y +++=⎧⎨+⨯+⨯+⨯=⎩ ， 解得0.4y =.故选：C ．6．（2020·全国高三专题练习）某小组有5名男生、3名女生，从中任选3名同学参加活动，若X 表示选出女生的人数，则()2P X ≥=（ ） A ．17B ．1556C ．27D ．57【答案】C【解析】当2X =时，()12533815256C C P X C ===； 当3X =时，()33381356C P X C ===，则()()()151222356567P X P X P X ≥==+==+=， 故选：C.7．（2020·莆田第二十五中学高三期中）2019年10月20日，第六届世界互联网大会发布了15项“世界互联网领先科技成果”，其中有5项成果均属于芯片领域.现有3名学生从这15项“世界互联网领先科技成果”中分别任选1项进行了解，且学生之间的选择互不影响，则恰好有1名学生选择“芯片领域”的概率为（ ） A ．49B ．427C ．1927D ．48125【答案】A【解析】由题意知，有3名学生且每位学生选择互不影响，从这15项“世界互联网领先科技成果”中分别任选1项，5项成果均属于芯片领域，则： 芯片领域被选的概率为：51153=；不被选的概率为：12133-=；而选择芯片领域的人数{0,1,2,3}X =，∴X 服从二项分布1~3(,3)X B ，3321()()()33nnn P X n C -==，那么恰好有1名学生选择“芯片领域”的概率为123214(1)()()339P X C ===. 故选：A.8．（2020·全国高三专题练习）一个盒子中装有6个完全相同的小球，将它们进行编号，号码分別为1、2、3、4、5、6，从中不放回地随机抽取2个小球，将其编号之和记为S .在已知S 为偶数的情况下，S 能被3整除的概率为（ ） A ．14B ．13C ．512D ．23【答案】B【解析】记“S 能被3整除”为事件A ，“S 为偶数”为事件B ，事件B 包括的基本事件有{1}3，，{1}5，，{3}5，，{24}，，{26}，，{46}，共6个. 事件AB 包括的基本事件有{1}5，、{24}，共2个.则()21(|)()63n AB P A B n B ===，故选:B . 9．（2020·全国高三专题练习）袋中有5个球（3个白球，2个黑球）现每次取一球，无放回抽取2次，则在第一次抽到白球的条件下，第二次抽到白球的概率为（ ）A ．3/5B ．3/4C ．1/2D ．3/10【答案】C【解析】记事件A 为“第一次取到白球”，事件B 为“第二次取到白球”， 则事件AB 为“两次都取到白球”， 依题意知3()5P A =，3263()542010P AB =⨯==， 所以，在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率是3110()325P B A ==．故选：C.10．（2020·全国高三专题练习）甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动，社区服务活动共有关怀老人、环境监测、教育咨询这三个项目，每人限报其中一项，记事件A 为“恰有2名同学所报项目相同”，事件B 为“只有甲同学一人报关怀老人项目”，则()|P B A =（ ）A ．16B ．13C ．23D ．56【答案】A【解析】事件AB 为“4名同学所报项目恰有2名同学所报项目相同且只有甲同学一人报关怀老人项目”.()2143421439C C P A ⨯⨯== , ()21324112327C C P AB ⨯⨯==所以()()()2127|469P AB P B A P A ===故选：A 11．（2020·浙江高三专题练习）已知随机变量X 的分布列如表，且()4(1)E X P X =，则a b +=__，()E X 的取值范围为__.【答案】12 6[5，3]2【解析】由概率之和等于1可得12a b +=， 由1()22E X a b =++，可知1242a b a ++，即1132()22a a --，解得310a ， 又0a ，故3010a .又13()222E X a b a =++=-，∴63()52E X ， 故答案为：12，6[5，3]212．（2020·全国高三专题练习）随机变量ξ的分布列如表格所示，0ab ≠，则14a b+的最小值为______．【答案】9【解析】根据概率分布得1a b +=，且0,0a b >>，14144()()559b a a b a b a b a b ∴+=++=++≥+= 当且仅当223b a ==时取等号 即14a b+的最小值为9 故答案为：913．（2020·全国高三专题练习）小赵､小钱､小孙､小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A 为“4个人去的景点不相同”，事件B 为“小赵独自去一个景点”，则()P A B =________. 【答案】29【解析】小赵独自去一个景点共有4333108⨯⨯⨯=种情况，即()108n B =，4个人去的景点不同的情况有4424A =种，即()24n AB =，所以()()242()1089n AB P A B n B ===.故答案为：29. 14．（2020·全国高三其他模拟）伟大出自平凡，英雄来自人民.在疫情防控一线，北京某大学学生会自发从学生会6名男生和8名女生骨干成员中选出2人作为队长率领他们加入武汉社区服务队，用A 表示事件“抽到的2名队长性别相同”，B 表示事件“抽到的2名队长都是男生”，则()|P B A =______.【答案】1543【解析】由已知得()22682144391C C P A C +==，()262141591C P AB C ==， 则()()()151591|434391P AB P B A P A ===. 故答案为：154315．（2020·全国高三专题练习）夏､秋两季，生活在长江口外浅海域的中华鱼洄游到长江，历经三千多公里的溯流搏击，回到金沙江一带产卵繁殖，产后待幼鱼长到15厘米左右，又携带它们旅居外海.一个环保组织曾在金沙江中放生一批中华鱼鱼苗，该批鱼苗中的雌性个体能长成熟的概率为0.15，雌性个体长成熟又能成功溯流产卵繁殖的概率为0.05，若该批鱼苗中的一个雌性个体在长江口外浅海域已长成熟，则其能成功溯流产卵繁殖的概率为_________. 【答案】13【解析】解析设事件A 为鱼苗中的一个雌性个体在长江口外浅海域长成熟，事件B 为该雌性个体成功溯流产卵繁殖，由题意可知()0.15P A =，()0.05P AB =，()0.051(|)()0.153P AB P B A P A ===. 故答案为：13. 16．（2020·全国高三）一个袋中装有大小相同的5个白球和3个红球，现在不放回的取2次球，每次取出一个球，记“第1次拿出的是白球”为事件A ，“第2次拿出的是白球”为事件B ，则()P B A 是________【答案】47【解析】由题可知：()()5545=,88714P A P AB ⨯==⨯所以()()()47P AB P B A P A ==故答案为：4717．（2020·四川省内江市第六中学高三）某校组织甲、乙、丙、丁、戊、己等6名学生参加演讲比赛，采用抽签法决定演讲顺序，在“学生甲和乙都不是第一个出场，且甲不是最后一个出场”的前提下，学生丙第一个出场的概率为__________． 【答案】14【解析】设事件A ：“学生甲和乙都不是第一个出场，且甲不是最后一个出场”；事件B ：“学生丙第一个出场”，对事件A ，甲和乙都不是第一个出场，第一类：乙在最后，则优先从中间4个位置中选一 个给甲，再将余下的4个人全排列有1444C A ⋅种；第二类：乙没有在最后，则优先从中间4个位置中选两个给甲乙，再将余下的4个人全排列有2444A A ⋅种，故总的有()14244444n A C A A A =⋅+⋅.对事件AB ，此时丙第一个出场，优先从除了甲以外的4人中选一人安排在最后，再将余下的4人全排列有1444C A ⋅种故()()()14441424444414n AB C A P B A n A C A A A ⋅===⋅+⋅. 故答案为：1418．（2020·浙江高三其他模拟）随机变量X 分布列如下表，则a =______；()E X =______.【答案】2； 1； 【解析】23224a a +=，∴12a =，∴()1110121424E X =⨯+⨯+⨯=.故答案为：12；1.19．（2020·全国高三专题练习）已知随机变量ξ的分布列如下：则a =___，方差()=D ξ___． 【答案】12 1116【解析】由题意可得22112201012a a a a⎧++=⎪⎪<<⎨⎪⎪<<⎩，解得12a =，()112P ξ==，()124P ξ==，()134P ξ==，()11171232444E ξ=⨯+⨯+⨯=，()2221717171112324444416D ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-+⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，综上，12a =，()1116D ξ=. 故答案为：12；1116.20．（2020·四川内江市·高三一模）网购是当前民众购物的新方式，某公司为改进营销方式，随机调查了100名市民，统计其周平均网购的次数，并整理得到如下的频数分布直方图.这100名市民中，年龄不超过40岁的有65人，将所抽样本中周平均网购次数不小于4次的市民称为网购迷，且已知其中有5名市民的年龄超过40岁.（1）根据已知条件完成下面的22⨯列联表，能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为网购迷与年龄不超过40岁有关？（2）若从网购迷中任意选取2名，求其中年龄超过40岁的市民人数ξ的分布列.(附：()()()()()22n ad bc k a b c d a c b d -=++++)【答案】（1）列联表答案见解析，可以在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为网购迷与年龄不超过40岁有关；（2）分布列答案见解析. 【解析】（1）由题意可得列联表如下：根据列联表中的数据可得，()2100203045565352575k ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯1003 3.297 2.706137⨯=≈>⨯所以可以在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为网购迷与年龄不超过40岁有关；（2）由频率分布直方图可知，网购迷共有25名，由题意得年龄超过40岁的市民人数ξ的所有值为0，1，2，则()22022519030C P C ξ===，()11205225113C C P C ξ===，()252251230C P C ξ===∴ξ的分布列为21．（2020·全国高三专题练习）我国城市空气污染指数范围及相应的空气质量类别如下表：我们把空气污染指数在0～100内的称为A 类天，在101～200内的称为B 类天，大于200的称为C 类天．某市从2014年全年空气污染指数的监测数据中随机抽取了18天的数据制成如下茎叶图(百位为茎)：（1）从这18天中任取3天，求至少含2个A 类天的概率；（2）从这18天中任取3天，记X 是达到A 类天或B 类天的天数，求X 的分布列． 【答案】（1）23408；（2）分布列见解析. 【解析】（1）从这18天中任取3天，取法种数为318816C =种不同的取法， 其中3天中至少有2个A 类天的取法种数为213315346C C C +=种，所以这3天至少有2个A 类天的概率为4623816408P ==. （2）X 的所有可能取值是3,2,1,0，当3X =时，()3831873102C P X C ===,当2X =时，()21810318352102C C P X C ===, 当1X =时，()1281031815134C C P X C ===,当X 0=时，()3103185034C P X C ===, 所以X 的分布列为22．（2020·全国高三专题练习）2020年五一期间，银泰百货举办了一次有奖促销活动，消费每超过600元(含600元)，均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种.方案一：从装有10个形状､大小完全相同的小球(其中红球2个，白球1个，黑球7个)的抽奖盒中，一次性摸出3个球其中奖规则为：若摸到2个红球和1个白球，享受免单优惠；若摸出2个红球和1个黑球则打5折；若摸出1个白球2个黑球，则打7折；其余情况不打折.方案二：从装有10个形状､大小完全相同的小球(其中红球3个，黑球7个)的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元.（1）若两个顾客均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率； （2）若某顾客消费恰好满1000元，试从概率角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？ 【答案】（1）114400；（2）选择第二种方案更合算.【解析】（1）选择方案一若享受到免单优惠，则需要摸出三个红球，设顾客享受到免单优惠为事件A ，则()21213101120C C P A C ==， 所以两位顾客均享受到免单的概率为()()114400P P A P A =⋅=；（2）若选择方案一，设付款金额为X 元，则X 可能的取值为0、500、700、1000.()212131010120C C P X C ===，()21273107500120C C P X C ===， ()1217310770040C C P X C ===，()177911000112012040120P X ==---=.故X 的分布列为，所以()0500700100091012012040120E X =⨯+⨯+⨯+⨯=（元）. 若选择方案二，设摸到红球的个数为Y ，付款金额为Z ，则1000200Z Y =-， 由已知可得3~3,10Y B ⎛⎫⎪⎝⎭，故()3931010E Y =⨯=，。
专题37 超几何分布、二项分布及其应用(解析版)
1 / 14 专题37 超几何分布、二项分布及其应用一、选择题1．（二项分布概率）设随机变量，若，则的值为（ ）ξ~B (2,p ), η~B (4,p )P (ξ≥1)=59P (η≥2)A ．B ．C ．D ．1127328165811681【答案】A【解析】由于，则，，ξ~B (2,p )P (ξ≥1)=1―P (ξ=0)=1―(1―p )2=59∴p =13所以，，因此， η~B (4,13)P (η≥2)=1―P (η=0)―P (η=1)=1―(23)4―C 14⋅13⋅(23)3，故选：A.=1127二、解答题2．（古典概型与超几何分布）某市移动公司为了提高服务质量，决定对使用A ，B 两种套餐的集团用户进行调查，准备从本市个人数超过1000人的大集团和8个人数低于200人的小集团中随机抽取若干()n n N*∈个集团进行调查，若一次抽取2个集团，全是小集团的概率为． 415求n 的值；()1若取出的2个集团是同一类集团，求全为大集团的概率；()2若一次抽取4个集团，假设取出小集团的个数为X ，求X 的分布列和期望．()3【答案】（1）；（2）；（3）详见解析. n 7=37【解析】（1）由题意知共有个集团，取出2个集团的方法总数是，其中全是小集团的情况有，8n +28n C +28C 故全是小集团的概率是， ()()28285648715n C C n n +==++整理得到即，解得． ()()78210n n ++=2151540n n +-=7n =（2）若2个全是大集团，共有种情况； 2721C =若2个全是小集团，共有种情况；2828C =2 / 14故全为大集团的概率为．21321287=+（3）由题意知，随机变量的可能取值为，X 0,1,2,3,4计算，，， ()04874151039C C P X C ===()13874158139C C P X C ===，， ()228741528265C C P X C ===()3187415563195C C P X C ===； ()40874152439C C P X C ===故的分布列为：XX 0 1 2 3 4P 139 839 2865 56195 239数学期望为． ()182856232012343939651953915E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=3．（独立性检验与超几何分布）随着手机的发展，“微信”逐渐成为人们支付购物的一种形式.某机构对“使用微信支付”的态度进行调查，随机抽取了50人，他们年龄的频数分布及对“使用微信支付”赞成人数如下表. 年龄 （单位：岁） ，[1525)，[2535)，[3545)，[4555)，[5565)，[6575]频数 5 10 15 10 5 5 赞成人数51012721（Ⅰ）若以“年龄45岁为分界点”，由以上统计数据完成下面列联表，并判断是否有99%的把握认为“使22⨯用微信支付”的态度与人的年龄有关； 年龄不低于45岁的人数 年龄低于45岁的人数 合计 赞成 不赞成3 / 14合计（Ⅱ）若从年龄在的被调查人中按照赞成与不赞成分层抽样，抽取5人进行追踪调查，在5人中抽[45,65)取3人做专访，求3人中不赞成使用微信支付的人数的分布列和期望值. 参考数据：20()P K k …0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828，其中.22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++n a b c d =+++【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析. 【解析】（Ⅰ）由频数分布表得列联表如下： 22⨯ 年龄不低于45岁的人数年龄低于45岁的人数合计赞成 10 2737不赞成 10 313合计2030502250(3102710)9.979 6.63537301320K ⨯⨯-⨯∴=≈>⨯⨯⨯有的把握认为“使用微信交流”的态度与人的年龄有关∴99%（Ⅱ）年龄在中支持微信支付人，不支持微信支付6人[)45,659由分层抽样方法可知：抽取的人中，支持微信支付人，不支持微信支付人 532设人中不支持微信支付的人数为，则所有可能的取值为：3ξξ0,1,2，， ()33351010C P C ξ===()213235631105C C P C ξ====()1232353210C C P C ξ===的分布列为：ξ∴4 / 14ξ 0 12P 110 35 310()00.110.620.3 1.2E ξ∴=⨯+⨯+⨯=4．（正态分布与超几何分布）有一片产量很大的水果种植园，在临近成熟时随机摘下某品种水果100个，其质量（均在1至）频数分布表如下（单位：）： 11kg kg 分组[)1,3[)3,5[)5,7[)7,9[)9,11频数 103040155以各组数据的中间值代表这组数据的平均值，将频率视为概率.（1）由种植经验认为，种植园内的水果质量近似服从正态分布，其中近似为样本平均数X ()2,N μσμ，.请估计该种植园内水果质量在内的百分比；x 24σ≈()5.5,9.5（2）现在从质量为，，的三组水果中，用分层抽样方法抽取8个水果，再从这8个水果[)1,3[)3,5[)5,7中随机抽取2个.若水果质量在，，的水果每销售一个所获得的利润分别为2元，4元，6[)1,3[)3,5[)5,7元，记随机抽取的2个水果总利润为元，求的分布列和数学期望. Y Y 附：若服从正态分布，则，ξ()2,N μσ()0.6827P μσξμσ-≤<+=.()220.9545P μσξμσ-≤<+=【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析 47.725%【解析】解：（Ⅰ） ， ()1210430640815105100x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 5.5=由正态分布知，(5.59.5)(2)P X P μξμσ<<=<<+()1222P μσξμσ=-≤<+. 10.95450.477252=⨯=该种植园内水果质量在内的百分比为.()5.5,9.547.725%5 / 14（Ⅱ）由题意知，从质量在，，的三组水果中抽取的个数分别为1，3，4，[)1,3[)3,5[)5,7的取值为6，8，10，12.Y 则； ()1113283628C C P Y C ===； ()21131428718284C C C P Y C +====；()11342812310287C C P Y C ====.()242863122814C P Y C ====所以，的分布列为YY 6 8 10 12P 328 14 37 314. ()3712668101228282828E Y =⨯+⨯+⨯+⨯199.52==5．（直方图与超几何分布）2018年，中国某省的一个地区社会民间组织为年龄在30岁-60岁的围棋爱好者举行了一次晋级赛，参赛者每人和一位种子选手进行一场比赛，赢了就可以晋级，否则，就不能晋级，结果将晋级的200人按年龄（单位：岁）分成六组：第一组，第二组，第三组，第[30,35)[35,40)[40,45)四组，第五组，第六组，下图是按照上述分组方法得到的频率分布直方图.[45,50)[50,55)[55,60]（1）求实数的值；a （2）若先在第四组、第五组、第六组中按组分层抽样共抽取10人，然后从被抽取的这10人中随机抽取36 / 14人参加优胜比赛.①求这三组各有一人参加优胜比赛的概率；②设为参加优胜比赛的3人中第四组的人数，求的分布列和数学期望. ξξ()E ξ【答案】（1）（2）①②见解析 0.036a =310p =【解析】解：（1）直方图中的组距为5，可得， 0.024520.035520.0451a ⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯=得.0.036a =（2）从直方图中可得第四组的人数为（人），第五组的人数为（人），0.04520040⨯⨯=0.03520030⨯⨯=第六组的人数为（人），0.03520030⨯⨯=三组共100人，按组用分层抽样法抽取10人，则第四组应抽取4人，第五组应抽取3人，第六组应抽取3人.①三组各有一人参加优胜比赛的概率； 111433310310C C C p C ⋅⋅==②的可能取值为0，1，2，3，ξ，()0346310106C C P C ξ===，()2164310112C C P C ξ===，()21463103210C C P C ξ===，()30463101330C C P C ξ===的分布列为 ξξ0123P 16 12 310 130.()11310123 1.2621030E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=7 / 146．（概率最值与二项分布）一年之计在于春，一日之计在于晨，春天是播种的季节，是希望的开端．某种植户对一块地的个坑进行播种，每个坑播3粒种子，每粒种子发芽的概率均为，且每粒种子*()n n N ∈12是否发芽相互独立．对每一个坑而言，如果至少有两粒种子发芽，则不需要进行补播种，否则要补播种． （1）当取何值时，有3个坑要补播种的概率最大？最大概率为多少？ n （2）当时，用表示要补播种的坑的个数，求的分布列与数学期望． 4n =X X 【答案】（1）当或时，有3个坑要补播种的概率最大，最大概率为； （2）见解析. 5n =6n =516【解析】（1）对一个坑而言，要补播种的概率， 330133111222P C C ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭有3个坑要补播种的概率为.312nnC ⎛⎫⎪⎝⎭欲使最大，只需， 312nn C ⎛⎫ ⎪⎝⎭1331133111221122nn n n n n n n C C C C --++⎧⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪≥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩解得，因为，所以56n ≤≤*n N ∈5,6,n =当时，；5n =53515216C ⎛⎫= ⎪⎝⎭当时，； 6n =63615216C ⎛⎫= ⎪⎝⎭所以当或时，有3个坑要补播种的概率最大，最大概率为. 5n =6n =516（2）由已知，的可能取值为0，1，2，3，4.， X 14,2X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭所以的分布列为XX 0 1 2 3 4P 116 14 38 14 1168 / 14的数学期望. X 1422EX =⨯=7．（独立性检验与超几何分布）某调查机构对某校学生做了一个是否同意生“二孩”抽样调查，该调查机构从该校随机抽查了100名不同性别的学生，调查统计他们是同意父母生“二孩”还是反对父母生“二孩”，现已得知100人中同意父母生“二孩”占60%，统计情况如下表： 同意 不同意 合计 男生 a 5 女生 40 d 合计100（1）求 a ，d 的值，根据以上数据，能否有97.5%的把握认为是否同意父母生“二孩”与性别有关?请说明理由；（2）将上述调查所得的频率视为概率，现在从所有学生中，采用随机抽样的方法抽取4 位学生进行长期跟踪调查，记被抽取的4位学生中持“同意”态度的人数为 X ，求 X 的分布列及数学期望.附： 22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++ 20()P k k ≥0.150.100 0.050 0.025 0.0100k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635【答案】（1）, 有97.5%的把握认为是否同意父母生“二孩”与“性别”有关；（2）详见解析. 20,35a d ==【解析】（1）因为100人中同意父母生“二孩”占60%， 所以， =6040=20a -40535d =-=文（2）由列联表可得而所以有97.5%的把握认为是否同意父母生“二孩”与“性别”有关 （2）①由题知持“同意”态度的学生的频率为，即从学生中任意抽取到一名持“同意”态度的学生的概率为.由于总体容量很大，故X服从二项分布，即从而X的分布列为X01234X的数学期望为8．（回归分析与二项分布）随着网上购物的普及，传统的实体店遭受到了强烈的冲击，某商场实体店近九年来的纯利润如下表所示：年份2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 时间代号x 1 2 3 4 5 6 7 8 9y 2 2.3 2.5 2.9 3 2.5 2.1 1.7 1.2 实体店纯利润（千万）x y根据这9年的数据，对和作线性相关性检验，求得样本相关系数的绝对值为0.254；根据后5年的数据，x y对和作线性相关性检验，求得样本相关系数的绝对值为0.985；（1）如果要用线性回归方程预测该商场2019年实体店纯利润，现有两个方案：方案一：选取这9年的数据，进行预测；方案二：选取后5年的数据进行预测.从生活实际背景以及相关性检验的角度分析，你觉得哪个方案更合适.附：相关性检验的临界值表：小概率n20.05 0.013 0.878 0.9597 0.666 0.7989 / 1410 / 14（2）某机构调研了大量已经开店的店主，据统计，只开网店的占调查总人数的，既开网店又开实体40%店的占调查总人数的，现以此调查统计结果作为概率，若从上述统计的店主中随机抽查了5位，求只20%开实体店的人数的分布列及期望.【答案】（1）选取方案二更合适（2），分布列见解析 2E ξ=【解析】（1）选取方案二更合适，理由如下：①中介绍了，随着网购的普及，实体店生意受到了强烈的冲击，从表格中的数据可以看出从2014年开始，纯利润呈现逐年下降的趋势，可以预见，2019年的实体店纯利润收入可能会接着下跌，前四年的增长趋势已经不能作为预测后续数据的依据.②相关系数越接近1，线性相关性越强，因为根据9年的数据得到的相关系数的绝对值，r 0.2450.666<我们没有理由认为与具有线性相关关系；而后5年的数据得到的相关系数的绝对值，所y x 0.9850.959>以有的把握认为与具有线性相关关系.99%y x （仅用①解释得3分，仅用②解释或者用①②解释得6分）（2）此调查统计结果作为概率，从上述统计的店主中随机抽查了1位，开网店的概率为，只开实体店的35概率为， 25设只开实体店的店主人数为，则，ξ0,1,2,3,4,5ξ=，， 050523243(0)553125P C ξ⎛⎫⎛⎫==⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭141523162(1)55625P C ξ⎛⎫⎛⎫==⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，， 232523216(2)55625P C ξ⎛⎫⎛⎫==⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭323523144(3)55625P C ξ⎛⎫⎛⎫==⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，， 41452348(4)55625P C ξ⎛⎫⎛⎫==⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5552332(5)553125P C ξ⎛⎫⎛⎫==⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以，的分布列如下：ξξ0 1 2 3 4 5P 2433125 162625216625 14462543625 32312511 / 14∴，故.25,5B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 2525E ξ=⨯=9．（直方图、正态分布、二项分布）某学校高二年级举行了由全体学生参加的一分钟跳绳比赛，计分规则如下表： 每分钟跳绳个数 [145,155)[155,165) [165,175) [175,185)[185,)+∞得分1617181920年级组为了解学生的体质，随机抽取了100名学生的跳绳个数作为一个样本，绘制了如下样本频率分布直方图.（1）现从样本的100名学生跳绳个数中，任意抽取2人的跳绳个数，求两人得分之和小于35分的概率；（用最简分数表示）（2）若该校高二年级共有2000名学生，所有学生的一分钟跳绳个数近似服从正态分布，其X ()2,N μσ中，为样本平均数的估计值（同一组中数据以这组数据所在区间中点值作代表）.利用所得的正2225σ≈μ态分布模型，解决以下问题：（i ）估计每分钟跳绳164个以上的人数（结果四舍五入到整数）；（ii ）若在全年级所有学生中随机抽取3人，每分钟跳绳在179个以上的人数为，求随机变量的分布列ξξ和数学期望与方差.12 / 14附：若随机变量服从正态分布，则，X ()2,N μσ()0.6826P X μσμσ-<<+=，.(22)0.9554P X μσμσ-<<+=3309().974P X μσμσ-<<+=【答案】（1）；（2）（i ）1683；（ii ）. 2955033,24【解析】（1）设“两人得分之和小于35分”为事件，则事件包括以下四种情况： A A ①两人得分均为16分；②两人中一人16分，一人17分； ③两人中一人16分，一人18分；④两人均17分.由频率分布直方图可得，得16分的有6人，得17分的有12人，得18分的有18人，则由古典概型的概率计算公式可得. 221111612612618210029()550C C C C C C P A C +++==所以两人得分之和小于35的概率为. 29550（2）由频率分布直方图可得样本数据的平均数的估计值为：X (0.0061500.0121600.018170X =⨯+⨯+⨯+0.0341800.0161900.008200⨯+⨯+⨯（个）.0.006210)10179+⨯⨯=又由，得标准差，2225σ≈15σ≈所以高二年级全体学生的跳绳个数近似服从正态分布.X ()2179,15N （i ）因为，所以， 17915164μσ-=-=10.6826(164)10.84132P X ->=-=故高二年级一分钟跳绳个数超过164个的人数估计为（人）.20000.84131682.61683⨯=≈（ii ）由正态分布可得，全年级任取一人，其每分钟跳绳个数在179以上的概率为， 12所以，的所有可能的取值为0，1，2，3.1~3,2B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭ξ所以，033111(0)1228P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，213113(1)1228P C ξ⎛⎫==⨯⨯-= ⎪⎝⎭13 / 14，2123113(2)C 1228P ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3330111(3)1228P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故的分布列为：ξξ0 123P 18 383818所以，.13()322E ξ=⨯=113()31224D ξ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭10.（茎叶图与二项分布）每年3月20日是国际幸福日,某电视台随机调查某一社区人们的幸福度．现从该社区群中随机抽取18名,用“10分制”记录了他们的幸福度指数,结果见如图所示茎叶图,其中以小数点前的一位数字为茎,小数点后的一位数字为叶．若幸福度不低于8.5分,则称该人的幸福度为“很幸福”．(Ⅰ)求从这18人中随机选取3人,至少有1人是“很幸福”的概率；(Ⅱ)以这18人的样本数据来估计整个社区的总体数据,若从该社区(人数很多)任选3人,记表示抽到“很幸福”X 的人数,求的分布列及． X ()E X 【答案】(Ⅰ). (Ⅱ)见解析. 199204【解析】(Ⅰ)设事件抽出的人至少有人是“很幸福”的，则表示人都认为不很幸福{A =31}A 3()()363185199111204204C P A P A C ∴=-=-=-=(Ⅱ)根据题意，随机变量，的可能的取值为 23,3X B ⎛⎫⎪⎝⎭X 0,1,2,314 / 14；；()303110327P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭()2132121339P X C ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭； ()2232142339P X C ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭()333283327P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭所以随机变量的分布列为：XX 01 23P 127 2949827所以的期望 X ()124801232279927E X =⨯+⨯+⨯+⨯=。
二项分布与超几何分布 高中数学例题课后习题详解
第七章随机变量及其分布7.4二项分布与超几何分布7.4.1二项分布例1将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次，求：（1）恰好出现5次正面朝上的概率；（2）正面朝上出现的频率在[]0.4,0.6内的概率.分析：抛掷一枚质地均匀的硬币，出现“正面朝上”和“反面朝上”两种结果且可能性相等，这是一个10重伯努利试验.因此，正面朝上的次数以从二项分布.解：设A =“正面朝上”，则()0.5P A =.用X 表示事件A 发生的次数，则(10,0.5)X B .（1）恰好出现5次正面朝上等价于5X =，于是5101025263(5)C 0.51024256P X ==⨯==；（2）正面朝上出现的频率在[]0.4,0.6内等价于46X .于是41051061010101067221(46)C 0.5C 0.5C 0.5102432P X =⨯+⨯+⨯== .例2如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为0，1，2，…，10，用X 表示小球最后落入格子的号码，求X 的分布列.分析：小球落入哪个格子取决于在下落过程中与各小木钉碰撞的结果.设试验为观察小球碰到小木钉后下落的方向，有“向左下落”和“向右下落”两种可能结果，且概率都是0.5.在下落的过程中，小球共碰撞小木钉10次，且每次碰撞后下落方向不受上一次下落方向的影响，因此这是一个10重伯努利试验.小球最后落入格子的号码等于向右落下的次数，因此X 服从二项分布.解：设A =“向右下落”，则 A =“向左下落”，且()()0.5P A P A ==.因为小球最后落入格子的号码X 等于事件A 发生的次数，而小球在下落的过程中共碰撞小木钉10次，所以(10,0.5)X B .于是，X 的分布列为1010()C 0.5k P X k ==⨯，0k =，1，2， (10)X 的概率分布图如图所示.例3甲､乙两选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更看利？分析：判断哪个赛制对甲有利，就是看在哪个赛制中用最终获胜的概率大.可以把“甲最终获胜”这个事件，按可能的比分情况表示为若干事件的和，再利用各局比赛结果的独立性逐个求概率；也可以假定赛完所有n 局，把n 局比赛看成n 重伯努利试验，利用二项分布求“甲最终获胜”的概率.解法1：采用3局2―制，甲最终获胜有两种可能的比分2∶0或2∶1，前者是前两局甲连胜，后者是前两局甲､乙各胜一局且第3局甲胜.因为每局比赛的结果是独立的，甲最终获胜的概率为122210.6C 0.60.40.648p =+⨯⨯=.类似地，采用5局3胜制，甲最终获胜有3种比分3∶0，3∶1或3∶2.因为每局比赛的结果是独立的，所以甲最终获胜的概率为3232322340.6C 0.60.4C 0.60.40.68256p =+⨯⨯+⨯⨯=.解法2：采用3局2胜制，不妨设赛满3局，用X 表示3局比赛中甲胜的局数，则()3,0.6X B .甲最终获胜的概率为2233133(2)(3)C 0.60.4C 0.60.648p P X P X ==+==⨯⨯+⨯=.采用5局3胜制，不妨设赛满5局，用X 表示5局比赛中甲胜的局数，则()5,0.6X B .甲最终获胜的概率为2(3)(4)(5)p P X P X P X ==+=+=3324455555C 0.60.4C 0.60.4C 0.6=⨯⨯+⨯⨯+⨯0.68256=.因为12p >p ，所以5局3胜制对甲有利.实际上，比赛局数越多，对实力较强者越有利.练习1.将一枚质地均匀的硬币连续抛掷4次，X 表示“正面朝上”出现的次数.（1）求X 的分布列；（2）()E X =________，()D X =________.【答案】（1）分布列见解析；（2）2；1.【解析】【分析】（1）由已知可得随机变量1(4,)2X B ，根据二项分布的概率，即可求出分布列；（2）利用二项分布的期望和方差公式，即可求出结论.【详解】（1）一枚质地均匀的硬币抛掷一次正面朝上的概率为12，且每次是否正面朝上是相互独立，所以1(4,)2X B ，444111()()(,0,1,2,3,42216k kk k P X k C C k -==⋅==，所以X 的分布列为：X1234P116143814116（2）根据（1）1(4,2X B ，所以111()42,()41222E X D X =⨯==⨯⨯=.2.鸡接种一种疫苗后，有80%不会感染某种病毒.如果5只鸡接种了疫苗，求：（1）没有鸡感染病毒的概率；（2）恰好有1只鸡感染病毒的概率.【答案】（1）10243125；（2）2563125【解析】【分析】（1）利用二项分布的概率计算公式即可求解.（2）利用二项分布的概率计算公式即可求解.【详解】（1）由题意可得鸡接种一种疫苗后，感染某种病毒的概率为0020，没有鸡感染病毒为事件A ，则()()()500005102480203125p A C =⋅⋅=.（2）恰好有1只鸡感染病毒为事件B ，()()()4110000525680203125p B C =⋅⋅=3.判断下列表述正确与否，并说明理由：（1）12道四选一的单选题，随机猜结果，猜对答案的题目数~(12,0.25)X B ；（2）100件产品中包含10件次品，不放回地随机抽取6件，其中的次品数~(6,0.1)Y B .【答案】(1)表述正确，理由见解析;(2)表述错误，理由见解析.【解析】【分析】（1）每一道题猜对答案的概率均为0.25,则相当于进行12次独立重复试验，故符合二项分布的概念；（2）不放回的随机抽取，概率不同，不符合二项分布的概念.【详解】(1)该表述正确，理由如下:12道四选一的单选题,随机猜结果，则每一道题猜对答案的概率均为0.25,则相当于进行12次独立重复试验，故猜对答案的题目数X ~B (12,0.25).(2)该表述错误，理由如下:因为是不放回的随机抽取，所以上一次抽取的结果对本次抽取有影响，故不能看成独立重复试验，故次品数Y 不符合二项分布.4.举出两个服从二项分布的随机变量的例子.【答案】例子见解析.【解析】【分析】二项分布应满足如下3个条件：①在每次试验中只有2种可能的结果，而且两种结果发生与否互相独立；②相互独立，与其它各次试验结果无关；③事件发生与否的概率在每一次独立试验中都保持不变.从而举出实例即可.【详解】例（1）：某同学投篮命中率为0.7，他在10次投篮中命中的次数X 是一个随机变量，服从二项分布，~(10,0.7)X B ；例（2）：抛硬币，正面向上的概率为0.5，则抛20次，证明向上的次数X 是一个随机变量，服从二项分布，~(20,0.5)X B ；7.4.2超几何分布例4从50名学生中随机选出5名学生代表，求甲被选中的概率.解：设X 表示选出的5名学生中含甲的人数（只能取0或1），则X 服从超几何分布，且50N =，1M =，5n =.因此甲被选中的概率14149550C 1(1)10C P X C ===.例5一批零件共有30个，其中有3个不合格.随机抽取10个零件进行检测，求至少有1件不合格的概率.解：设抽取的10个零件中不合格品数为X ，则X 服从超几何分布，且30N =，3M =，10n =.X 的分布列为k 10-k 3271030C C ()C P X k ==，0k =，1，2，3.至少有1件不合格的概率为(1)(1)(2)(3)P X P X P X P X ==+=+= 192837327327327101010303030C C C C C C 0.7192C C C =++≈.也可以按如下方法求解；0103271030C C(1)1(0)10.7192C P X P X =-==-≈ .例6一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球､60个白球，从中随机地摸出20个球作为样本.用X 表示样本中黄球的个数.（1）分别就有放回摸球和不放回摸球，求X 的分布列；（2）分别就有放回摸球和不放回摸球，用样本中黄球的比例估计总体中黄球的比例，求误差不超过0.1的概率：分析：因为只有两种颜色的球，每次摸球都是一个伯努利和试验.摸出20个球，采用有放回摸球，各次试验的结果相互独立，()20.0.4X B ；上采用不放回摸球，各次试验的结果不独立，X 服从超几何分布.解：（1）对于有放回摸球，每次摸到黄球的概率为0.4，且各次试验之间的结果是独立的，因此()20.0.4X B ，X 的分布列为20120()C 0.40.6k k k k p P X k -===⨯⨯，0k =，1，2，…，20.对于不放回摸球，各次试验的结果不独立，X 服从超几件分布，X 的分布列为k 20-k4060220100C C ()C k p P X k ===，0k =，1，2，…，20.（2）利用统计软件可以计算出两个分布列具体的概率值（精确到0.0001），如7.4-2所示.表7.4-2k 1kp 2kp k 1kp 2kp 00.000040.00001110.070990.0637610.000490.00015120.035500.0266720.003090.00135130.014560.0086730.012350.00714140.004850.0021740.034990.02551150.001290.0004150.074650.06530160.000270.0000660.124410.12422170.000040.0000170.165880.17972180.000000.0000080.179710.20078190.000000.0000090.159740.17483200.000000.00000100.117140.11924样本中黄球的比例2020Xf =是一个随机变量，根据表7.4-2，计算得有放回摸球：()200.40.1(610)0.7469P f P X -=≈ .不放回摸球：()200.40.1(610)0.7988PfP X -=≈ .因此，在相同的误差限制下，采用不放回摸球估计的结果更可靠些.两种摸球方式下，随机变量X 分别服从二项分布和超几何分布.虽然这两种分布有相等的均值（都是8），但从两种分布的概率分布图（如图）看，超几何分布更集中在均值附近.练习5.一箱24罐的饮料中4罐有奖券，每张奖券奖励饮料一罐，从中任意抽取2罐，求这2罐中有奖券的概率.【答案】43138【解析】【分析】先求出无奖券的有20罐，利用对立事件求概率.【详解】因为一箱24罐的饮料中4罐有奖券，所以无奖券的有20罐，从24罐中任意抽取2罐，有224276C =种结果，且他们是等可能的，其中抽取的2罐均无奖券，有220190C =种，所以这2罐中有奖券的概率为：2202241904311276138C P C =-=-=6.学校要从12名候选人中选4名同学组成学生会，已知有4名候选人来自甲班.假设每名候选人都有相同的机会被选到，求甲班恰有2名同学被选到的概率.【答案】56 165【解析】【分析】总数有412C种选法，甲班有4名候选人，选择2名甲班同学和2名别班同学的种类数为2248C C，从而得到概率.【详解】总数有412C种选法，甲班有4名候选人，选择2名甲班同学和2名别班同学的种类数为2248C C，则甲班恰有2名同学被选到的概率为224841256165 C CC .7.举出两个服从超几何分布的随机变量的例子.【答案】例子见解析.【解析】【分析】超几何分布描述了从有限N个物件（其中包含M个指定种类的物件）中抽出n个物件，成功抽出该指定种类的物件的次数（不放回）.根据定义写出例子即可.【详解】例（1）：假设某鱼池中仅有鲤鱼和草鱼两种鱼，其中鲤鱼200条，草鱼40条，从鱼池中任取5条鱼，这5条鱼中包含草鱼的个数X服从超几何分布.例（2）：现有甲、乙两种品牌的电视机共52台，其中甲品牌21台，从52台电视机中选出5台送给福利院，选出的甲品牌电视机台数X服从超几何分布.习题7.4复习巩固8.抛掷一枚骰子，当出现5点或6点时，就说这次试验成功，求在30次试验中成功次数X的均值和方差.【答案】均值10，方差20 3 .【解析】【分析】由题意得随机变量X服从二项分布，根据二项分布的均值和方差公式，即可求解.【详解】依题意试验一次成功的概率为13，且每次试验是相互独立，所以30次试验中成功次数X 服从二项分布1(30,)3X B ，11220()3010,()303333E X D X =⨯==⨯⨯=，所以在30次试验中次数X 的均值为10，方差为203.9.若某射手每次射击击中目标的概率为0.9，每次射击的结果相互独立，则在他连续4次的射击中，恰好有一次未击中目标的概率是多大.【答案】0.2916【解析】【分析】利用二项分布的概率计算公式即可求解.【详解】设恰好有一次未击中目标为事件A ，()()1340.910.90.2916p A C =⨯⨯-=.10.如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每隔1s 等可能地向左或向右移动一个单位，共移动6次.求下列事件的概率.（1）质点回到原点；（2）质点位于4的位置.【答案】（1）516；（2）332.【解析】【分析】（1）质点回到原点可知质点向右移动3次，向左移动3次，根据二项分布的概率公式，即可求解；（2）质点位于4的位置可知质点向右移动5次，向左移动1次，根据二项分布的概率公式，即可求解.【详解】设质点向右移动的次数为X ，又质点每隔1s 等可能地向左或向右移动一个单位，共移动6次，且每次移动是相互独立，则1(6,)2X .（1）质点回到原点，则3X =，3336115(3)()(2216P X C ==⋅=，所以质点回到原点的概率是516；（2）当质点位于4的位置时，则5X =，556113(5)(()2232P X C ==⋅=，所以质点位于4的位置的概率是332.11.从一副不含大小王的52张扑克牌中任意抽出5张，求至少有2张A 牌的概率(精确到0.00001).【答案】0.04168【解析】【分析】本题首先可求出任意抽出5张有多少种可能事件，然后依次求出有2张A 牌、有3张A 牌、有4张A 牌有多少种可能事件，即可求出至少有2张A 牌的概率.【详解】从52张扑克牌中任意抽出5张，共有552C 种可能事件，从52张扑克牌中任意抽出5张，有2张A 牌，有32484C C 中可能事件，从52张扑克牌中任意抽出5张，有3张A 牌，有23484C C 中可能事件，从52张扑克牌中任意抽出5张，有4张A 牌，有14484C C 中可能事件，故至少有2张A 牌的概率3223144844844845521083360.0416********C C C C C C P C ++==.综合运用12.某射手每次射击击中目标的概率为0.8，共进行10次射击，求(精确到0.01)：（1）恰有8次击中目标的概率；（2）至少有8次击中目标的概率.【答案】0.30；（2）0.68.【解析】【分析】（1）由条件利用n 次独立重复实验中恰好发生k 次的概率计算公式，求得恰有8次击中目标的概率．（2）由条件利用n 次独立重复实验中恰好发生k 次的概率计算公式，求得恰有8次击中目标的概率、恰有9次击中目标的概率、恰有10次击中目标的概率，再把这3个概率相加，即得所求．【详解】解：（1）∵某射手每次射击击中目标的概率是0.8，则这名射手在10次射击中恰有8次击中目标的概率为810C •()80.8•()20.20.30≈．（2）至少有8次击中目标的概率为810C •()80.8•()29100.2C +•()90.8•()100.20.80.68+=．13.有一个摸奖游戏，在一个口袋中装有10个红球和20个白球，这些球除颜色外完全相同，一次从中摸出5个球，至少摸到3个红球就中奖.求中奖的概率(精确到0.001).【答案】0.191【解析】【分析】根据超几何分布概率公式，即可求解.【详解】记中奖为事件A ，概率为32415102010201055530303027252()0.191142506C C C C C P A C C C =++=≈，所以中奖的概率为0.191.14.一个车间有3台车床，它们各自独立工作.设同时发生故障的车床数为X ，在下列两种情形下分别求X 的分布列.（1）假设这3台车床型号相同，它们发生故障的概率都是20%；（2）这3台车床中有A 型号2台，B 型号1台，A 型车床发生故障的概率为10%，B 型车床发生故障的概率为20%.【答案】（1）答案见详解；（2）答案见详解.【解析】【分析】（1）利用二项分布的概率计算公式即可求解.（2）利用独立事件的概率乘法公式即可求解.【详解】（1）()()()3000000364012020125P X C ==-=，()()()2110000348112020125P X C ==-=，()()()1220000312212020125P X C ==-=，()()()033000031312020125P X C ==-=，所以X 的分布列如下：X0123P 6412548125121251125（2）()()()2010.110.20.648P X ==-⨯-=，()()()()212110.10.110.210.10.20.306P X C ==-⨯⨯-+-⨯=，()()()122210.10.10.20.110.20.044P X C ==-⨯⨯+⨯-=，()230.10.20.002P X ==⨯=.所以X 的分布列如下：X0123P 0.6480.3060.0440.002拓广探索15.某药厂研制一种新药，宣称对治疗某种疾病的有效率为90%.随机选择了10个病人，经过使用该药治疗后，治愈的人数不超过6人，你是否怀疑药厂的宣传.【答案】答案见解析.【解析】【分析】结合二项分布求概率得出随机选10人，治愈人数不超过6人的概率约为0.013，概率很小，所以可怀疑可不怀疑药厂的宣传.【详解】由题意知，若此药治疗某种疾病有效率为90%，则随机选择了10个病人，治愈人数不超过6人的概率为：7738829910101010101010.90.10.90.10.90.10.90.013C C C C -⨯-⨯-⨯-≈，所以概率非常小，因此治愈人数不超过6人是小概率事件，在一次试验中几乎不可能发生，然而现在发生了，从这个角度，就可以怀疑药厂是虚假宣传；换另一个角度，治愈人数不超过6人是一个随机事件，在一次试验中可能发生，所以从这个角度看，也可以不怀疑药厂的宣传.。
9道题分清超几何分布和二项分布(含答案)
9道题分清超几何分布和二项分布（含答案）一．解答题（共9小题）1．某公司的一次招聘中，应聘者都要经过三个独立项目A，B，C的测试，如果通过两个或三个项目的测试即可被录用．若甲、乙、丙三人通过A，B，C每个项目测试的概率都是．（1）求甲恰好通过两个项目测试的概率；（2）设甲、乙、丙三人中被录用的人数为X，求X的概率分布和数学期望．2．随着网络营销和电子商务的兴起，人们的购物方式更具多样化，某调查机构随机抽取10名购物者进行采访，5名男性购物者中有3名倾向于选择网购，2名倾向于选择实体店，5名女性购物者中有2名倾向于选择网购，3名倾向于选择实体店．（Ⅰ）若从这10名购物者中随机抽取2名，其中男、女各一名，求至少1名倾向于选择实体店的概率；（Ⅱ）若从这10名购物者中随机抽取3名，设X表示抽到倾向于选择网购的男性购物者的人数，求随机变量X的分布列及数学期望．(3．随着全民健康运动的普及，每天一万步已经成为一种健康时尚，某学校为了教职工能够健康工作，在全校范围内倡导“每天一万步”健康走活动，学校界定一人一天走路不足4千步为“健步常人”，不少于16千步为“健步超人”，其他人为“健步达人”，学校随机抽取抽查人36名教职工，其每天的走步情况统计如下：步数[0，4000）[4000，16000）[16000，+∞]人数618-12现对抽查的36人采用分层抽样的方式选出6人，从选出的6人中随机抽取2人进行调查．（1）求这两人健步走状况一致的概率；（2）求“健步超人”人数X的分布列与数学期望．4．中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，作为国家战略性空间基础设施，我国北斗卫星导航系统不仅对国防安全意义重大，而且在民用领域的精准化应用也越来越广泛．据统计，2016年卫星导航与位置服务产业总产值达到2118亿元，较2015年约增长%．下面是40个城市北斗卫星导航系统与位置服务产业的产值（单位：万元）的频率分布直方图：（1）根据频率分布直方图，求产值小于500万元的城市个数；（2）在上述抽取的40个城市中任取2个，设Y为产值不超过500万元的城市个数，求Y的分布列及期望和方差．？5．生蚝即牡蛎（oyster）是所有食物中含锌最丰富的，在亚热带、热带沿海都适宜生蚝的养殖，我国分布很广，北起鸭绿江，南至海南岛，沿海皆可产生蚝，生蚝乃软体有壳，衣服寄生的动物，咸淡水交界所产尤为肥美，因此生蚝称为了一年四季不可或缺的一类美食，某饭店从某水产养殖厂购进一批生蚝，并随机抽取了40只统计质量，得到结果如表所示：质量（g）[5，15）[15，25）[25，35）[35，45）[45，55]10 12 8 4数量~6（1）若购进这批生蚝500kg，且同一组数据用该组区间的中点值代表，试估计这批生蚝的数量（所得结果保留整数）；（2）以频率估计概率，若在本次购买的生蚝中随机挑选4个，记质量在[5，25）间的生蚝的个数为X，求X的分布列及数学期望．6．随着我国互联网信息技术的发展，网络购物已经成为许多人消费的一种重要方式，某市为了了解本市市民的网络购物情况，特委托一家网络公示进行了网络问卷调查，并从参与调查的10000名网民中随机抽取了200人进行抽样分析，得到了下表所示数据：~ 经常进行网络购物偶尔或从不进行网络购物合计男性50501006040100/女性合计11090200*（1）依据上述数据，能否在犯错误的概率不超过的前提下认为该市市民进行网络购物的情况与性别有关（2）现从所抽取的女性网民中利用分层抽样的方法再抽取5人，从这5人中随机选出3人赠送网络优惠券，求出选出的3人中至少有两人是经常进行网络购物的概率；（3）将频率视为概率，从该市所有的参与调查的网民中随机抽取10人赠送礼物，记经常进行网络购物的人数为X，求X的期望和方差．附：，其中n=a+b+c+dP（K2≥k0）&k0[7．手机QQ中的“QQ运动”具有这样的功能，不仅可以看自己每天的运动步数，还可以看到朋友圈里好友的步数．小明的QQ朋友圈里有大量好友参与了“QQ运动”，他随机选取了其中30名，其中男女各15名，记录了他们某一天的走路步数，统计数据如表所示：步数性别（0，2500）[2500，5000）[5000，7500）[7500，10000）[10000，+∞）…男02472女1（3731（Ⅰ）以样本估计总体，视样本频率为概率，在小明QQ朋友圈里的男性好友中任意选取3名，其中走路步数低于7500步的有X名，求X的分布列和数学期望；（Ⅱ）如果某人一天的走路步数超过7500步，此人将被“QQ运动”评定为“积极型”，否则为“消极型”．根据题意完成下面的2×2列联表，并据此判断能否有95%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关积极型<消极型总计男女/总计附：．P（K2≥k0）)k0—8．某企业2017年招聘员工，其中A、B、C、D、E五种岗位的应聘人数、录用人数和录用比例（精确到1%）如下：岗位男性应聘人数男性录用人数男性录用比例女性应聘人数女性录用人数!女性录用比例A26916762%402460% /B401230%2026231%C$1775732%1845932%D44）59%382258%263267%E32…67%16936%总计53326450%·467（Ⅰ）从表中所有应聘人员中随机选择1人，试估计此人被录用的概率；（Ⅱ）从应聘E岗位的6人中随机选择2人．记X为这2人中被录用的人数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）表中A、B、C、D、E各岗位的男性、女性录用比例都接近（二者之差的绝对值不大于5%），但男性的总录用比例却明显高于女性的总录用比例．研究发现，若只考虑其中某四种岗位，则男性、女性的总录用比例也接近，请写出这四种岗位．（只需写出结论）9．在某校举行的航天知识竞赛中，参与竞赛的文科生与理科生人数之比为1：3，且成绩分布在[40，100]，分数在80以上（含80）的同学获奖．按文理科用分层抽样的方法抽取200人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图（见图）．（1）填写下面的2×2列联表，能否有超过95%的把握认为“获奖与学生的文理科有关”…（2）将上述调査所得的频率视为概率，现从参赛学生中，任意抽取3名学生，记“获奖”学生人数为X，求X的分布列及数学期望．文科生理科生合计获奖5]不获奖合计<200附表及公式：K2=，其中n=a+b+c+dP（K2≥k）'k-9道题分清超几何分布和二项分布参考答案与试题解析…一．解答题（共9小题）1．某公司的一次招聘中，应聘者都要经过三个独立项目A，B，C的测试，如果通过两个或三个项目的测试即可被录用．若甲、乙、丙三人通过A，B，C每个项目测试的概率都是．（1）求甲恰好通过两个项目测试的概率；（2）设甲、乙、丙三人中被录用的人数为X，求X的概率分布和数学期望．【分析】（1）利用二项分布计算甲恰好有2次发生的概率；（2）由每人被录用的概率值，求出随机变量X的概率分布，计算数学期望值．【解答】解：（1）甲恰好通过两个项目测试的概率为：；……（4分）（2）因为每人可被录用的概率为，所以，，，；故随机变量X的概率分布表为：@X0123 P(…………（8分）所以，X的数学期望为．……（10分）【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望问题，是基础题．2．随着网络营销和电子商务的兴起，人们的购物方式更具多样化，某调查机构随机抽取10名购物者进行采访，5名男性购物者中有3名倾向于选择网购，2名倾向于选择实体店，5名女性购物者中有2名倾向于选择网购，3名倾向于选择实体店．!（Ⅰ）若从这10名购物者中随机抽取2名，其中男、女各一名，求至少1名倾向于选择实体店的概率；（Ⅱ）若从这10名购物者中随机抽取3名，设X表示抽到倾向于选择网购的男性购物者的人数，求随机变量X的分布列及数学期望．【分析】（Ⅰ）设“至少1名倾向于选择实体店”为事件A，则表示事件“随机抽取2名，（其中男、女各一名）都选择网购”，则P （A）=1﹣P．（Ⅱ）X的取值为0，1，2，3．P（X=k）=，即可得出．【解答】解：（Ⅰ）设“至少1名倾向于选择实体店”为事件A，则表示事件“随机抽取2名，（其中男、女各一名）都选择网购”，则P（A）=1﹣P =1﹣=．（Ⅱ）X的取值为0，1，2，3．P（X=k ）=，>P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）=．X的分布列为：X0123P&【点评】本题考查了对立与互相独立事件概率计算公式、超几何分布列与数学期望、组合计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3．随着全民健康运动的普及，每天一万步已经成为一种健康时尚，某学校为了教职工能够健康工作，在全校范围内倡导“每天一万步”健康走活动，学校界定一人一天走路不足4千步为“健步常人”，不少于16千步为“健步超人”，其他人为“健步达人”，学校随机抽取抽查人36名教职工，其每天的走步情况统计如下：;步数[0，4000）[4000，16000）[16000，+∞]人数61812:现对抽查的36人采用分层抽样的方式选出6人，从选出的6人中随机抽取2人进行调查．（1）求这两人健步走状况一致的概率；（2）求“健步超人”人数X的分布列与数学期望．【分析】（1）记事件A，这2人健步走状况一致，利用互斥事件概率计算公式能求出这两人健步走状况一致的概率．（2）X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．【解答】解：（1）记事件A，这2人健步走状况一致，则．（2）X的可能取值为0，1，2，)所以，所以X的分布列为X 0 1 2P&所以．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查互斥事件概率计算公式、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．4．中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，作为国家战略性空间基础设施，我国北斗卫星导航系统不仅对国防安全意义重大，而且在民用领域的精准化应用也越来越广泛．据统计，2016年卫星导航与位置服务产业总产值达到2118亿元，较2015年约增长%．下面是40个城市北斗卫星导航系统与位置服务产业的产值（单位：万元）的频率分布直方图：（1）根据频率分布直方图，求产值小于500万元的城市个数；（2）在上述抽取的40个城市中任取2个，设Y为产值不超过500万元的城市个数，求Y的分布列及期望和方差．，【分析】（1）根据频率分布直方图，能求出产值小于500万元的城市个数．（2）由Y的所有可能取值为0，1，2．分别滶出相应的概率，由此能求出Y的分布列及期望和方差．【解答】解：（1）根据频率分布直方图可知，产值小于500万元的城市个数为：[（+）×5]×40=14．（2）Y的所有可能取值为0，1，2．，，．?∴Y的分布列为：Y012P，期望为：，方差为：．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布、期望、方差等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．5．生蚝即牡蛎（oyster）是所有食物中含锌最丰富的，在亚热带、热带沿海都适宜生蚝的养殖，我国分布很广，北起鸭绿江，南至海南岛，沿海皆可产生蚝，生蚝乃软体有壳，衣服寄生的动物，咸淡水交界所产尤为肥美，因此生蚝称为了一年四季不可或缺的一类美食，某饭店从某水产养殖厂购进一批生蚝，并随机抽取了40只统计质量，得到结果如表所示：质量（g）[5，15）#[15，25）[25，35）[35，45）[45，55]数量 6 10 12【84（1）若购进这批生蚝500kg，且同一组数据用该组区间的中点值代表，试估计这批生蚝的数量（所得结果保留整数）；（2）以频率估计概率，若在本次购买的生蚝中随机挑选4个，记质量在[5，25）间的生蚝的个数为X ，求X的分布列及数学期望．【分析】（1）估算妹纸生蚝的质量为，由此能估计这批生蚝的数量．（2）任意挑选一只，质量在[5，25）间的概率为，X的可能取值为0，1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．【解答】解：（1）由表中的数据可以估算妹纸生蚝的质量为：，|所以购进500kg，生蚝的数量为500000÷≈17554（只）．（2）由表中数据知，任意挑选一只，质量在[5，25）间的概率为，X的可能取值为0，1，2，3，4，则，，∴X的分布列为：X 0—12 3 4P:∴．【点评】本题考查概率的求法及应用，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，考查排列组合、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．6．随着我国互联网信息技术的发展，网络购物已经成为许多人消费的一种重要方式，某市为了了解本市市民的网络购物情况，特委托一家网络公示进行了网络问卷调查，并从参与调查的10000名网民中随机抽取了200人进行抽样分析，得到了下表所示数据：经常进行网络购物-合计偶尔或从不进行网络购物男性5050100100女性60}40合计11090200（1）依据上述数据，能否在犯错误的概率不超过的前提下认为该市市民进行网络购物的情况与性别有关（2）现从所抽取的女性网民中利用分层抽样的方法再抽取5人，从这5人中随机选出3人赠送网络优惠券，求出选出的3人中至少有两人是经常进行网络购物的概率；/（3）将频率视为概率，从该市所有的参与调查的网民中随机抽取10人赠送礼物，记经常进行网络购物的人数为X，求X的期望和方差．附：，其中n=a+b+c+dP（K2≥k0）`k0【分析】（1）由列联表数据求出K 2≈＜，从而不能在犯错误的概率不超过的前提下认为该市市民网购情况与性别有关．（2）由题意，抽取的5名女性网民中，经常进行网购的有3人，偶尔或从不进行网购的有2人，由此能求出从这5人中选出3人至少有2人经常进行网购的概率．、（3）由列联表可知，经常进行网购的频率为，由题意，从该市市民中任意抽取1人恰好是经常进行网购的概率是，由于该市市民数量很大，故可以认为X～B（10，），由此能求出X的期望和方差．【解答】解：（1）由列联表数据计算K2=≈＜，∴不能在犯错误的概率不超过的前提下认为该市市民网购情况与性别有关．（2）由题意，抽取的5名女性网民中，经常进行网购的有5×=3人，偶尔或从不进行网购的有5×=2人，故从这5人中选出3人至少有2人经常进行网购的概率是p=+=．（3）由列联表可知，经常进行网购的频率为，由题意，从该市市民中任意抽取1人恰好是经常进行网购的概率是，^由于该市市民数量很大，故可以认为X～B（10，），∴E（X）=，D（X）==．【点评】本题考查独立性检验及应用，考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的求法，考查二项分布等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．7．手机QQ中的“QQ运动”具有这样的功能，不仅可以看自己每天的运动步数，还可以看到朋友圈里好友的步数．小明的QQ朋友圈里有大量好友参与了“QQ运动”，他随机选取了其中30名，其中男女各15名，记录了他们某一天的走路步数，统计数据如表所示：步数性别—（0，2500）[2500，5000）[5000，7500）[7500，10000）[10000，+∞）男02~472女1373&1（Ⅰ）以样本估计总体，视样本频率为概率，在小明QQ朋友圈里的男性好友中任意选取3名，其中走路步数低于7500步的有X名，求X的分布列和数学期望；（Ⅱ）如果某人一天的走路步数超过7500步，此人将被“QQ运动”评定为“积极型”，否则为“消极型”．根据题意完成下面的2×2列联表，并据此判断能否有95%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关积极型消极型总计男}女总计》附：．P（K2≥k0）《k0【分析】（Ⅰ）在小明的男性好友中任意选取1名，其中走路步数低于7500的概率为．X可能取值分别为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．（Ⅱ）完成2×2列联表求出k 2的观测值k0≈＜．据此判断没有95%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关．*【解答】解：（Ⅰ）在小明的男性好友中任意选取1名，其中走路步数低于7500的概率为．X可能取值分别为0，1，2，3，∴，，，，∴X的分布列为X 0[231P·则．（Ⅱ）完成2×2列联表如下：积极型消极型总计男9—156女41115总计13—3017k2的观测值=．据此判断没有95%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查独立检验的应用，考查古典概型、二项分布等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．8．某企业2017年招聘员工，其中A、B、C、D、E五种岗位的应聘人数、录用人数和录用比例（精确到1%）如下：岗位.男性应聘人数男性录用人数男性录用比例女性应聘人数女性录用人数女性录用比例A269、16762%402460%B4012}30%2026231%C1775732%，1845932%D442659%38.2258%E3267%32：67%总计53326450%46716936%$（Ⅰ）从表中所有应聘人员中随机选择1人，试估计此人被录用的概率；（Ⅱ）从应聘E岗位的6人中随机选择2人．记X为这2人中被录用的人数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）表中A、B、C、D、E各岗位的男性、女性录用比例都接近（二者之差的绝对值不大于5%），但男性的总录用比例却明显高于女性的总录用比例．研究发现，若只考虑其中某四种岗位，则男性、女性的总录用比例也接近，请写出这四种岗位．（只需写出结论）【分析】（I）根据录用总人数与应聘总人数的比值得出概率；（II）根据超几何分布列的概率公式得出分布列和数学期望；（III）去掉一个岗位后计算剩余4个岗位的男女总录用比例得出结论．【解答】解：（Ⅰ）因为表中所有应聘人员总数为533+467=1000，被该企业录用的人数为264+169=433，?所以从表中所有应聘人员中随机选择1人，此人被录用的概率约为．（Ⅱ）X可能的取值为0，1，2．因为应聘E岗位的6人中，被录用的有4人，未被录用的有2人，所以；；．所以X 的分布列为：X01]2P．（Ⅲ）取掉A岗位后，男性的总录用比例为≈%，女性的总录用比例为≈%，故去掉A岗位后，男、女总录用比例接近．'∴这四种岗位是：B、C、D、E．【点评】本题考查了古典概型的概率计算，离散型随机变量的分布列，属于中档题．9．在某校举行的航天知识竞赛中，参与竞赛的文科生与理科生人数之比为1：3，且成绩分布在[40，100]，分数在80以上（含80）的同学获奖．按文理科用分层抽样的方法抽取200人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图（见图）．（1）填写下面的2×2列联表，能否有超过95%的把握认为“获奖与学生的文理科有关”（2）将上述调査所得的频率视为概率，现从参赛学生中，任意抽取3名学生，记“获奖”学生人数为X，求X的分布列及数学期望．文科生理科生合计获奖5不获奖合计200附表及公式：K2=，其中n=a+b+c+dP（K2≥k）k【分析】（1）列出表格根据公式计算出K2，参考表格即可得出结论．（2）由表中数据可知，抽到获奖同学的概率为，将频率视为概率，所以X可取0，1，2，3，且X～B（3，）．即可得出．【解答】解：（1）文科生理科生合计获奖53540不获奖45115160合计50150200k==≈＞，所以有超过95%的把握认为“获奖与学生的文理科有关”．（2）由表中数据可知，抽到获奖同学的概率为，将频率视为概率，所以X可取0，1，2，3，且X～B（3，）．P（X=k）=×（）k（1﹣）3﹣k（k=0，1，2，3），X0123PE（X）=3×=．【点评】本题考查了独立性检验原理、二项分布列的概率计算公式与数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。
高中试卷-专题7.4 二项分布与超几何分布(含答案)
专题7.4 二项分布与超几何分布姓名： 班级：重点二项分布与超几何分布的特征难点二项分布与超几何分布的计算一、超几何分布例1-1．一工厂生产的100个产品中有90个一等品，10个二等品，现从这批产品中抽取4个，则其中恰好有一个二等品的概率为（ ）。
A 、41004901C C -B 、4100390110490010C C C C C ⋅+⋅C 、4100110C CD 、4100390110C C C ⋅【答案】D【解析】由超几何分布概率公式可知，所求概率为4100110390C C C ⋅，故选D 。
例1-2．有8名学生，其中有5名男生。
从中选出4名代表，选出的代表中男生人数为X ，则其数学期望为=)(X E （ ）。
A 、2B 、5.2C 、3D 、5.3【答案】B【解析】随机变量X 的所有可能取值为1、2、3、4，141)1(483315=⋅==C C C X P 、73)2(482325=⋅==C C C X P 、73)3(481335=⋅==C C C X P 、141)4(48345=⋅==C C C X P ，X 的分布列为：X1234P1417373141∴2514137337321411)(=⨯+⨯+⨯+⨯=X E ，故选B 。
例1-3．在含有3件次品的10件产品中，任取4件，X 表示取到的次品数，则==)2(X P 。
【答案】103【解析】X 满足超几何分布，∴103)2(4102723=⋅==C C C X P 。
例1-4．一个盒子装有10个红、白两色同一型号的乒乓球，已知红色乒乓球有3个，若从盒子里随机取出3个乒乓球，则其中含有红色乒乓球个数的数学期望 。
【答案】109【解析】由题设知含有红色乒乓球个数ξ的可能取值是0、1、2、3，247)0(3103703=⋅==ξC C C P ，4021)1(3102713=⋅==ξC C C P ，407)2(3101723=⋅==ξC C C P ，1201)3(310733=⋅==ξC C C P ，109120134072402112470)(=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE 。
《超几何分布与二项分布型概率题》参考答案
超几何分布与二项分布型概率解答题【湖南省历年高考试题】（2010年湖南17）下图是某城市通过样本得到的居民某年的月均用水量（单位：吨）的频率分布直方图.（1）求直方图中x 的值;（2）若将频率视为概率,从这个城市随机抽取3位居民（看作有放回的抽样）,求月均用水量在3至4吨的居民数X 的分布列和数学期望.解析：（1）依题意及频率分布直方图知,0.020.10.370.391,x ++++=解得0.12.x =（2）由题意知, ~(3,0.1)X B ,因此033(0)C 0.90.729,P X ==⨯=123(1)C 0.10.90.243,P X ==⨯⨯=223(2)C 0.10.90.027,P X ==⨯⨯=333(3)C 0.10.001.P X ==⨯=故随机变量X 的分布列为X 01 2 3 P 0.729 0.243 0.027 0.001X 的数学期望为30.10.3.EX =⨯=【备考要点】超几何分布和二项分布是随机变量的分布列与数学期望中的两大模型.两大模型的共同特点是从总体中抽取若干元素,但超几何分布是不放回抽取，而二项分布是有放回抽取或者总体容量很大可视为有放回抽样.掌握两大模型，是概率与统计解答题最基本的要求.二项分布在近七年的湖南理科数学试题中出现过两次.湖南省的概率与统计解答题往往是与生活生产上的实际问题相结合,从这个角度上看,超几何分布模型似乎先天不足，近七年没有命题.【高考仿真试题】1.一家面包房根据以往某种面包的销售记录,绘制了日销售量的频率分布图,如图所示. 将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售量相互独立.（1）求在未来连续3天里,有连续2天日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率;（2）用X 表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数,求随机变量X 的分布列，期望EX 及方差.DX解析：（1）设1A 表示事件“日销售量不低于100个”,2A 表示事件“日销售量低于50个”. B 表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量不低于100个且另一天销售量低于50个”. 因此1()(0.0060.0040.002)500.6P A =++⨯=, 2()0.003500.15,P A =⨯=故()0.60.60.1520.108.P B =⨯⨯⨯=（2）因为~(3,0.6),X B 故033(0)C 0.40.064,P X ==⨯=123(1)C 0.60.40.288,P X ==⨯⨯=223(2)C 0.60.40.432,P X ==⨯⨯=333(3)C 0.60.216.P X ==⨯= 随机变量X 的分布列为X0 1 2 3 P 0.064 0.288 0.432 0.216二轮复习X 的数学期望为30.6 1.8EX =⨯=,方差30.60.40.72.DX =⨯⨯=2.为了了解甲、乙两厂的产品质量,采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件,测量产品中微量元素,x y 的含量（单位：毫克）.下表是乙厂的5件产品的测量;（2）当产品中的微量元素,x y 满足175x ≥且75y ≥时,该产品为优等品.用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；（3）从乙厂抽出的上述5件产品中,随机抽取2件,求抽取的2件产品中优等品数ξ的分布列与数学期望.解析：（1）设乙厂生产的产品数量为x ,由98145x =得35.x =故乙厂生产的产品数量为35件. （2）易见只有编号为2,5的产品为优等品,所以乙生产的产品中的优等品率为25,故乙生产有大约235145⨯=（件）优等品. （3）ξ的取值为0,1,2.21123322222555C C C C331(0),(1),(2),C 10C 5C 10P P P ξξξ⨯========= 所以ξ的分布列为故ξ的数学期望412.5105E ξ=⨯+⨯= 3.某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）A 和B ,系统A 和系统B 在任意时刻发生故障的概率分别为110和.p （1）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为49,50求p 的值. （2）设系统A 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ,求ξ的概率分布列及数学期望.E ξ解析：（1）设“至少有一个系统不发生故障”为事件C ,那么1491()1,1050P C p -=-= 解得1.5p =（2）由题意,9~(3,)10B ξ故391()C()()3,0,1,2,3.1010k k P k k k ξ==⨯⨯-= 随机变量ξ的分布列为故随机变量ξ的数学期望3.1010E ξ=⨯=。
超几何分布与二项分布参考答案
本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
超几何分布与二项分布答案1．（1） a = 0.06 ；（2） 11；（3）分布列见解析，E (ξ) = 6. 135【分析】（1）根据小长方形面积和为 1 求得 a 的值；（2）先求对立事件“两件重量均超过505克”概率，再根据对立事件概率关系求结果； （3）先判断随机变量服从二项分布，再根据二项分布分布列以及期望公式求结果.【详解】（1）Q (0.07 + a + 0.03 + 0.02 ⨯ 2) ⨯ 5 = 1∴ a = 0.06 ；（2）由题意可知：上述抽取的 40 件产品中有16 件产品重量超过505克；-C 2 11设“至多有一件重量超过505克”为事件 A ，则 A 为“两件重量均超过505克”，P ( A ) = 1- P (A ) = 1- 16 = ； 2 40（3）由题意可知：一件产品重量超过505克的概率为 2 ，则ξ~B ⎛ 3 2 ⎫，分布列如下：， ⎪ 5 ⎝ 5 ⎭数学期望 E (ξ)= 3⨯ = . 5 55 2．（1）18（2）见解析【解析】（I ）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含 A 1 但不包含 B 1 的事件为 M ，计算即得(II)由题意知 X 可取的值为： 0,1, 2, 3, 4 .利用超几何分布概率计算公式 得 X 的分布列为进一步计算 X 的数学期望.C 45 试题解析：（I ）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含 A B 的事件为 M ，则 P (M ) = 8= .C 13本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
1810本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
C 5 5 C 5 C 5 C 5 (II)由题意知 X 可取的值为： 0,1, 2, 3, 4 .则C 5 P ( X = 0) = 6 10 = 1 , 42C 4C 1 5 P ( X = 1) = 6 4= ,10 21C 3C 2 P ( X = 2) = 6 4 10C 2C3 = 10 , 215 P ( X = 3) =6 4 10C 1C 4 P ( X = 4) = 6 410= ,21= 1 , 42因此 X 的分布列为X 的数学期望是 EX = 0 ⨯ P ( X = 0) +1⨯ P ( X = 1) + 2 ⨯ P ( X = 2) + 3⨯ P ( X = 3) + 4 ⨯ P ( X = 4)=0 ⨯ 1 +1⨯ 5 + 2 ⨯ 10 + 3⨯ 5 + 4 ⨯ 1 = 2. 42 21 21 21 42【名师点睛】本题主要考查古典概型的概率公式和超几何分布概率计算公式、随机变量的分布列和数学期望.解答本题，首先要准确确定所研究对象的基本事件空间、基本事件个数，利用超几何分布的概率公式.本题属中等难度的题目，计算量不是很大，能很好的考查考生数学应用意识、基本运算求解能力等.15 3．（1）28；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）利用超几何分布概率公式即可计算概率；（2）随机变量 X 的可能取值为：0,1, 2, 3；且 X B ⎛ 3, 5 ⎫，根据8 ⎪⎝ ⎭二项分布概率公式可求得每个取值对应的概率，从而得到分布列；利用二项分布数学期望的计算公式求得期望.C本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
超几何分布与二项分布
超几何分布与二项分布一．选择题（共9小题）1．（2004•辽宁）已知随机变量ξ的概率分布如下，则P（ξ=10）=（）1 2 3 4 6 7 8C D．2．（2011•黄冈模拟）随机变量ξ的概率分布规律为（n=1、2、3、4、…），其中a是常数，则的值为（）C D．3．（2008•石景山区一模）已知随机变量ξ的分布列为且设η=2ξ+1，则η的期望值是（）C D．4．设随机变量X的概率分布为P（X=k）=（k=1，2，3，4，5），则=（）C D．5．电子手表厂生产某批电子手表正品率为，次品率为，现对该批电子手表进行测试，设第X次首次测到正品，C D．6．（2010•江西）一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他用两种方法来检测．方法一：在10箱中各任意抽查一枚；方法二：在5箱中各任意抽查两枚．国王用方法一、二能发现至7．（2011•潍坊二模）设X为随机变量，X～B，若随机变量X的数学期望EX=2，则P（X=2）等于（）C D．2+p D．﹣P二．填空题（共5小题）10．（2010•上海模拟）在10件产品中有2件次品，任意抽取3件，则抽到次品个数的数学期望的值是_________．11．有一批产品，其中有6件正品和4件次品，从中任取3件，至少有2件次品的概率为_________．12．（2010•枣庄模拟）设随机变量X～B（n，0.5），且DX=2，则事件“X=1”的概率为_________（作数字作答．）13．若随机变量X服从二项分布，且X～B（10，0.8），则EX、DX分别是_________，_________．14．（2011•浙江）某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙公司面试的概率均为P，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X为该毕业生得到面试的公司个数．若P（X=0）=，则随机变量X的数学期望E（X）=_________．三．解答题（共3小题）15．（2009•朝阳区二模）在袋子中装有10个大小相同的小球，其中黑球有3个，白球有n（2≤n≤5，且n≠3）个，其余的球为红球．（Ⅰ）若n=5，从袋中任取1个球，记下颜色后放回，连续取三次，求三次取出的球中恰有2个红球的概率；（Ⅱ）从袋里任意取出2个球，如果这两个球的颜色相同的概率是，求红球的个数；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，从袋里任意取出2个球．若取出1个白球记1分，取出1个黑球记2分，取出1个红球记3分．用ξ表示取出的2个球所得分数的和，写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望Eξ．16．某批产品共10件，已知从该批产品中任取1件，则取到的是次品的概率为P=0.2．若从该批产品中任意抽取3件，（1）求取出的3件产品中恰好有一件次品的概率；（2）求取出的3件产品中次品的件数X的概率分布列与期望．17．（2006•崇文区一模）某足球赛事中甲乙两只球队进入决赛，但乙队明显处于弱势，乙队为争取胜利，决定采取这样的战术：顽强防守，0：0逼平甲队进入点球大战．假设在点球大战中双方每名运动员进球概率均为．现规定：点球大战中每队各出5名队员，且每名队员都各踢一球，求：（I）乙队以4：3点球取胜的概率有多大？（II）设点球中乙队得分为随机变量ξ，求乙队在五个点球中得分ξ的概率分布和数学期望．参考答案与试题解析一．选择题（共9小题）1．（2004•辽宁）已知随机变量ξ的概率分布如下，则P（ξ=10）=（）mC D．个变量对应的概率组成一个首项是的等比数列，根据等比数列的求和公式，得到答案．个变量对应的概率组成一个首项是，公比是的等比数列，=12．（2011•黄冈模拟）随机变量ξ的概率分布规律为（n=1、2、3、4、…），其中a是常数，则的值为（）C D．的概率分布规律为a，3．（2008•石景山区一模）已知随机变量ξ的分布列为且设η=2ξ+1，则η的期望值是（）C D．××=，（﹣），4．设随机变量X的概率分布为P（X=k）=（k=1，2，3，4，5），则=（）C D．再根据=P+++））．（+．5．电子手表厂生产某批电子手表正品率为，次品率为，现对该批电子手表进行测试，设第X次首次测到正品，C D．6．（2010•江西）一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他用两种方法来检测．方法一：在10箱中各任意抽查一枚；方法二：在5箱中各任意抽查两枚．国王用方法一、二能发现至﹣（），没有发现劣币的概率是方案二：此方案下，每箱的劣币被选中的概率为，总事件的概率为﹣（））7．（2011•潍坊二模）设X为随机变量，X～B，若随机变量X的数学期望EX=2，则P（X=2）等于（）C D．BB=2==2+p D．﹣P﹣=﹣二．填空题（共5小题）10．（2010•上海模拟）在10件产品中有2件次品，任意抽取3件，则抽到次品个数的数学期望的值是．，即可求得抽到次品个数的数学期望的值．故答案为：11．有一批产品，其中有6件正品和4件次品，从中任取3件，至少有2件次品的概率为．，其中所取的三件中法分别为．利用互斥事件的概率计算公式和古典概型的概率计算公式即可得出．件的取法共有，其中所取的三件中取法分别为，P==故答案为12．（2010•枣庄模拟）设随机变量X～B（n，0.5），且DX=2，则事件“X=1”的概率为（作数字作答．）．故答案为：．13．若随机变量X服从二项分布，且X～B（10，0.8），则EX、DX分别是8， 1.6．14．（2011•浙江）某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙公司面试的概率均为P，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X为该毕业生得到面试的公司个数．若P（X=0）=，则随机变量X的数学期望E（X）=．=，，+=，﹣，=，故答案为：三．解答题（共3小题）15．（2009•朝阳区二模）在袋子中装有10个大小相同的小球，其中黑球有3个，白球有n（2≤n≤5，且n≠3）个，其余的球为红球．（Ⅰ）若n=5，从袋中任取1个球，记下颜色后放回，连续取三次，求三次取出的球中恰有2个红球的概率；（Ⅱ）从袋里任意取出2个球，如果这两个球的颜色相同的概率是，求红球的个数；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，从袋里任意取出2个球．若取出1个白球记1分，取出1个黑球记2分，取出1个红球记3分．用ξ表示取出的2个球所得分数的和，写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望Eξ．．个红球的概率为．，且，，2 3 4 5 616．某批产品共10件，已知从该批产品中任取1件，则取到的是次品的概率为P=0.2．若从该批产品中任意抽取3件，（1）求取出的3件产品中恰好有一件次品的概率；（2）求取出的3件产品中次品的件数X的概率分布列与期望．，可求次品的件数件产品中恰好有一件次品的概率为件产品中恰好有一件次品的概率为…17．（2006•崇文区一模）某足球赛事中甲乙两只球队进入决赛，但乙队明显处于弱势，乙队为争取胜利，决定采取这样的战术：顽强防守，0：0逼平甲队进入点球大战．假设在点球大战中双方每名运动员进球概率均为．现规定：点球大战中每队各出5名队员，且每名队员都各踢一球，求：（I）乙队以4：3点球取胜的概率有多大？（II）设点球中乙队得分为随机变量ξ，求乙队在五个点球中得分ξ的概率分布和数学期望．×=0.1043，==，，×+1×+2×+3×+4××=3.75。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
超几何分布与二项分布型概率解答题
【湖南省历年高考试题】
（2010年湖南17）下图是某城市通过样本得到的居民某年的月均用水量（单位：吨）的频率分布直方图.
（1）求直方图中x 的值;
（2）若将频率视为概率,从这个城市随机抽取3
位居民（看作有放回的抽样）,求月均用水量在3
至4吨的居民数X 的分布列和数学期望.
解析：（1）依题意及频率分布直方图知,
0.020.10.370.391,x ++++=解得0.12.x =
（2）由题意知, ~(3,0.1)X B ,因此
033(0)C 0.90.729,
P X ==⨯=1
23(1)C 0.10.90.243,P X ==⨯⨯=
223(2)C 0.10.90.027,P X ==⨯⨯=3
33(3)C 0.10.001.P X ==⨯=
故随机变量X 的分布列为
X 0
1 2 3 P 0.729 0.243 0.027 0.001
X 的数学期望为30.10.3.EX =⨯=
【备考要点】
超几何分布和二项分布是随机变量的分布列与数学期望中的两大模型.两大模型的共同特点是从总体中抽取若干元素,但超几何分布是不放回抽取，而二项分布是有放回抽取或者总体容量很大可视为有放回抽样.掌握两大模型，是概率与统计解答题最基本的要求.二项分布在近七年的湖南理科数学试题中出现过两次.湖南省的概率与统计解答题往往是与生活生产上的实际问题相结合,从这个角度上看,超几何分布模型似乎先天不足，近七年没有命题.
【高考仿真试题】
1.一家面包房根据以往某种面包的销售记录,绘制了日销售量的频率分布图,如图所示. 将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售量相互独立.
（1）求在未来连续3天里,有连续2天日销售量都不
低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率;
（2）用X 表示在未来3天里日销售量不低于100个
的天数,求随机变量X 的分布列，期望EX 及方差
.DX
解析：（1）设1A 表示事件“日销售量不低于100个”,
2A 表示事件“日销售量低于50个”. B 表示事件
“在未来连续3天里有连续2天日销售量不低于100
个且另一天销售量低于50个”. 因此1()(0.0060.0040.002)500.6P A =++⨯=, 2()0.003500.15,P A =⨯=故()0.60.60.1520.108.P B =⨯⨯⨯=
（2）因为~(3,0.6),X B 故033(0)C 0.40.064,P X ==⨯=
1
23(1)C 0.60.40.288,P X ==⨯⨯=223(2)C 0.60.40.432,P X ==⨯⨯=
333
(3)C 0.60.216.P X ==⨯= 随机变量X 的分布列为
X
0 1 2 3 P 0.064 0.288 0.432 0.216
二轮复习
X 的数学期望为30.6 1.8EX =⨯=,方差30.60.40.72.DX =⨯⨯=
2.为了了解甲、乙两厂的产品质量,采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件,测量产品中微量元素,x y 的含量（单位：毫克）.下表是乙厂的5件产品的测量
;
（2）当产品中的微量元素,x y 满足175x ≥且75y ≥时,该产品为优等品.用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；
（3）从乙厂抽出的上述5件产品中,随机抽取2件,求抽取的2件产品中优等品数ξ的分布列与数学期望.
解析：（1）设乙厂生产的产品数量为x ,由
98145
x =得35.x =故乙厂生产的产品数量为35件. （2）易见只有编号为2,5的产品为优等品,所以乙生产的产品中的优等品率为25
,故乙生产有大约235145
⨯=（件）优等品. （3）ξ的取值为0,1,2.21123322222555C C C C
331(0),(1),(2),C 10C 5C 10P P P ξξξ⨯========= 所以ξ的分布列为
故ξ的数学期望412.5105
E ξ=⨯+⨯= 3.某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）A 和B ,系统A 和系统B 在任意时刻发生故障的概率分别为110
和.p （1）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为
49,50求p 的值. （2）设系统A 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ,求ξ的概率分布列及数学期望.E ξ
解析：（1）设“至少有一个系统不发生故障”为事件C ,那么1491()1,1050P C p -=-
= 解得1.5p =（2）由题意,9~(3,)10B ξ故391()C
()()3,0,1,2,3.1010
k k P k k k ξ==⨯⨯-= 随机变量ξ的分布列为
故随机变量ξ的数学期望3.1010E ξ=⨯=。