坐标、动量算符在彼此表象中的表示
量子力学试题精选-B
，
， 和 ，
。 ， 和 ；而表示
7. 描述量子状态的波函数的标准条件是
力学量的算符应是
8. 波函数的统计解释是
算符， 这样才有物理意义。 。 ， 具有连续本征谱的波函
9. 具有分离本征谱的波函数归一化条件为
数归一化条件是
。 ，若力学量 。 ，分为 和
10. 若力学量算符 F 和 G 满足 [F , G] = 0，则其物理含义是
成都信息工程学院 量子力学试题精选（理工类）
注意事项：
1. 本试题精选仅供学习量子力学使用。 2. 本试题精选共 80 道试题。打星号的试题供学有所余的学生选作。 3. 不清楚的请向刘文莉老师请教。 4. 务必对照习题认真复习。
一、 填空题
1. 量子力学中， 体系状态用
。描述， 力学量用
表示。 算符代表的力学 ， 取值几率为
72. * 沿 x 轴作一维运动的微观粒子， 描述其运动状态的波函数为 Ψ(x) = 0求 (1) 归一化的波函数； (2) 粒子坐标几率分布函数； (3) 在何处找到粒子的几率最大， 最大值为多少。
Axe−λx , 0,
x
0
， λ>
x<0
7
73. * 在 L2 和LZ 的共同表象中，算符 Lx 和Ly 的矩阵分别为 Lx = Ly =
参考答案
1. 波函数； 算符。 2. 能量； 哈米顿； 能量。 3. r； −i ∇。 4. i
∂ r ∂t ；
ˆ = −i r × ∇。 ×p
5. 对称； 反对称。 6. 受激辐射跃迁；自发辐射跃迁；吸收跃迁。 7. 单值； 连续；有限；厄密。 8. 在 t 时刻， 某点 r 附近单位体积内出现粒子的几率等于体系波函数模的平方， 即 |Ψ(r, t)|2 。 9. Ψ∗ Ψdτ = 1; Ψ∗ λ Ψλ dτ = δ (λ − λ)
量子力学 填空题
二 填空题pton 效应证实了 。
2.Bohr 提出轨道量子化条件的数学表达式是 。
3.Sommerfeld 提出的广义量子化条件是 。
4.一质量为μ的粒子的运动速度远小于光速，其动能为E k ，其德布罗意波长为 。
5.黑体辐射和光电效应揭示了 。
6.1924年,法国物理学家De Broglie 提出了微观实物粒子具有 。
7.自由粒子的De Broglie 波函数为 。
8.用150伏特电压加速的电子，其De Broglie 波的波长是 。
9.玻恩对波函数的统计解释是 。
10.一粒子用波函数Φ(,) r t 描写,则在某个区域dV 内找到粒子的几率为 。
11.描写粒子同一状态的波函数有 个 。
12.态迭加原理的内容是 。
13.一粒子由波函数ψ(,)(,)exp()x t c p t i px dp =-∞∞⎰12π 描写，则c p t (,)= 。
14.在粒子双狭缝衍射实验中，用ψ1和ψ2分别描述通过缝1和缝2的粒子的状态,则粒子在屏上一点P 出现的几率密度为 。
15.一维自由粒子的薛定谔方程是 。
16.N 个粒子体系的薛定谔方程是 。
17.几率连续性方程是由 导出的。
18.几率连续性方程的数学表达式为 。
19.几率流密度矢量的定义式是 。
20.空间V 的边界曲面是S ，w 和 J 分别是粒子的几率密度和几率流密度矢量，则⎰⎰⋅-=∂∂V SS d J dV t w 的物理意义是 。
21.量子力学中的质量守恒定律是 。
22.量子力学中的电荷守恒定律是 。
23.波函数应满足的三个标准条件是 。
24.定态波函数的定义式是 。
25.粒子在势场U r () 中运动，则粒子的哈密顿算符为 。
26.束缚态的定义是 。
27.线性谐振子的零点能为 。
28.线性谐振子的两相邻能级间距为 。
29.当体系处于力学量算符 F的本征态时,力学量F 有确定值，这个值就是相应该态的 。
30.表示力学量的算符都是 。
31.厄密算符的本征值必为 。
曾量子力学题库（网用）（1）讲解
曾量⼦⼒学题库（⽹⽤）（1）讲解⼀、简述题：1. （1）试述Wien 公式、Rayleigh-Jeans 公式和Planck 公式在解释⿊体辐射能量密度随频率分布的问题上的差别2. （1）试给出原⼦的特征长度的数量级（以m 为单位）及可见光的波长范围（以?为单位）3. （1）试⽤Einstein 光量⼦假说解释光电效应4. （1）试简述Bohr 的量⼦理论5. （1）简述波尔-索末菲的量⼦化条件6. （1）试述de Broglie 物质波假设7. （2）写出态的叠加原理8. （2）在给定的状态中测量某⼀⼒学量可得⼀测值概率分布。
问在此状态中能否测得其它⼒学量的概率分布？试举例说明。
9. （2）在给定状态下测量某⼀⼒学量，能测量到什么程度？ 10.（2）按照波函数的统计解释，试给出波函数应满⾜的条件11.（2）假设⼀体系的基态波函数在全空间上都⼤于零，试解释是否存在某⼀激发态，该激发态在全空间范围内也都⼤于零。
12.（2）已知粒⼦波函数在球坐标中为),,(?θψr ，写出粒⼦在球壳),(dr r r +中被测到的⼏率以及在),(?θ⽅向的⽴体⾓元?θθΩd d d sin =中找到粒⼦的⼏率。
13.（2）什么是定态？它有哪些特征？ 14.（2）)()(x x δψ=是否定态？为什么？ 15.（2）设ikre r1=ψ，试写成其⼏率密度和⼏率流密度 16.（2）试解释为何微观粒⼦的状态可以⽤归⼀化的波函数完全描述。
17.（3）简述和解释隧道效应18.（3）⼀维⽆限深势阱体系??><∞≤≤=a x x a x x V or 000)(??><∞≤≤=ax x a x x V or 000)(处于状态 )(21)(ikx ikxe e ax --=ψ，其中a k π2=，请问该状态是否是定态？为什么？ 19.（3）说明⼀维⽅势阱体系中束缚态与共振态之间的联系与区别。
20.（3）某⼀维体系，粒⼦的势能为222x µγ，其中µ为粒⼦质量，说明该体系是什么体系，并写出体系能量的可能取值。
第七章量子力学的矩阵形式与表象变换习题
一． 选择题99.动量为p '的自由粒子的波函数在坐标表象中的表示是)'exp(21)('x p ix P πψ=,它在动量表象中的表示是D A.δ(')p p -. B.δ(')p p +. C.δ()p . D.δ(')p .100.力学量算符 x对应于本征值为x '的本征函数在坐标表象中的表示是AA.δ(')x x -.B.δ(')x x +.C.δ()x .D.δ(')x .101.一粒子在一维无限深势阱中运动的状态为)(22)(22)(21x x x ψψψ-=,其中ψ1()x 、ψ2()x 是其能量本征函数,则ψ()x 在能量表象中的表示是DA.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 02/22/2.B.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛- 02/22/2.C.222200//⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪.D.222200//-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪.102.线性谐振子的能量本征函数ψ1()x 在能量表象中的表示是C A.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 001. B. ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 010. C. 1000⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪. D. 0100⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪.103. 线性谐振子的能量本征函数)()(10x b x a ψψψ+=在能量表象中的表示是DA.⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++ 0//2222b a b b a a . B. ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++0//02222b a b b a a . C.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛ 0b a .D. 00a b ⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪.104.在(, L L z 2)的共同表象中,波函数φ=⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪22101,在该态中 L z 的平均值为 AA. .B. - .C. 2 .D. 0.105.算符Q 只有分立的本征值{}Q n ,对应的本征函数是{()}u x n ,则算符(,)F x i x ∂∂在 Q 表象中的矩阵元的表示是BA.F u x F x i x u x dx mn n m =⎰*()(,)() ∂∂. B.F u x F x i x u x dx mn m n =⎰*()(,)() ∂∂.C.F u x F x i x u x dx mn n m =⎰()(,)()* ∂∂. D.F u x F x i x u x dx mn m n =⎰()(,)()*∂∂.106.力学量算符在自身表象中的矩阵表示是AA. 以本征值为对角元素的对角方阵. B 一个上三角方阵. C.一个下三角方阵.D.一个主对角线上的元素等于零的方阵.107.力学量算符xˆ在动量表象中的微分形式是A A.-i p x∂∂. B.i p x ∂∂. C.-i p x 2∂∂. D.i p x 2∂∂.108.线性谐振子的哈密顿算符在动量表象中的微分形式是BA.p p 22222212μμω∂∂+ .B.p p 2222212μμω∂∂-. C.22222212p p ∂∂μωμ -.D.--p p 2222212μμω∂∂. 109.在 Q 表象中F =⎛⎝ ⎫⎭⎪0110,其本征值是A A. ±1. B. 0. C. ±i . D. 1±i .110. 在 Q 表象中F =⎛⎝ ⎫⎭⎪0110, F 的归一化本征态分别为A A.22112211⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪,. B. 1111⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪,. C. 12111211⎛⎝ ⎫⎭⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪,. D.22102201⎛⎝ ⎫⎭⎪⎛⎝ ⎫⎭⎪,. 111.幺正矩阵的定义式为AA.S S +-=.B.S S +=*.C.S S =-.D.S S *=-. 112.幺正变换BA.不改变算符的本征值,但可改变其本征矢.B.不改变算符的本征值,也不改变其本征矢.C.改变算符的本征值,但不改变其本征矢.D.即改变算符的本征值,也改变其本征矢.113.算符 ()( )/axip=+μωμω212,则对易关系式[ , ]a a +等于B A. [ , ]aa +=0. B. [ , ]a a +=1. C. [ , ]a a +=-1. D. [ , ]a a i +=.二． 填空题1. Q 表象是以Q 的本征函数系(){}x u n 为基底的表象，在这个表象中，有()()x u Q x u Q n n n =()()x u t a n n ∑=ψ()()()())(,,)(,)(,***t a t a t a t a t a t a n n 21+21=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=ψψ2. 算符F 对应一个矩阵（方阵），矩阵元是dxFu u F m n nm ⎰=*3. 选定表象后，算符和量子态都用 表示。
量子力学试题含答案
一、填空题：（每题 4 分，共 40 分）1. 微观粒子具有 波粒 二象性。
2．德布罗意关系是粒子能量E 、动量P 与频率ν、波长λ之间的关系，其表达式为：E=h ν, p=/h λ 。
3．根据波函数的统计解释，dx t x 2),(ψ的物理意义为：粒子在x —dx 范围内的几率 。
4．量子力学中力学量用 厄米 算符表示。
5．坐标的x 分量算符和动量的x 分量算符x p 的对易关系为：[],x p i = 。
6．量子力学关于测量的假设认为：当体系处于波函数ψ(x)所描写的状态时，测量某力学量F 所得的数值，必定是算符Fˆ的 本征值 。
7．定态波函数的形式为： t E in n ex t x-=)(),(ϕψ。
8．一个力学量A 为守恒量的条件是：A 不显含时间，且与哈密顿算符对易 。
9．根据全同性原理，全同粒子体系的波函数具有一定的交换对称性，费米子体系的波函数是_反对称的_____________,玻色子体系的波函数是_对称的_______ _。
10．每个电子具有自旋角动量S ，它在空间任何方向上的投影只能取两个数值为： 2± 。
二、证明题：（每题10分，共20分）1、（10分）利用坐标和动量算符的对易关系，证明轨道角动量算符的对易关系：证明：zy x L i L L ˆ]ˆ,ˆ[ =]ˆˆ,ˆˆ[]ˆ,ˆ[z x y z yx p x p z p z p y L L --=2、（10分）由Schr ödinger 方程证明几率守恒：其中几率密度 几率流密度 证明：考虑 Schr ödinger 方程及其共轭式：2|),(|),(),(),(t r t r t r t rψ=ψψ=*ω22(,)[()](,)2i r t V r r t t μ∂ψ=-∇+ψ∂0=∙∇+∂∂J tω][2ψ∇ψ-ψ∇ψ=**μi J ]ˆˆ,ˆ[]ˆˆ,ˆ[z x y z x z p x p z p z p x p z py ---=]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[z y x y z z x z p x p z p z p z p x p y p z py +--=]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[z y x z p x p z p z py +=y z z y z x x z p p x z p x p z p p z y p z py ˆ]ˆ,[]ˆ,ˆ[ˆ]ˆ,[]ˆ,ˆ[+++=y z x z p p x z p z py ˆ]ˆ,[]ˆ,ˆ[+=y z y z x z x z p p x z p p z x p z p y p pyz ˆˆ],[ˆ]ˆ,[ˆ],ˆ[]ˆ,ˆ[+++=y x p i x pi y ˆ)(ˆ)( +-=]ˆˆ[x y p y px i -= zL i ˆ =在空间闭区域τ中将上式积分，则有：三、计算题：（共40分）1、（10分）设氢原子处于状态),()(23),()(21),,(11211021ϕθϕθϕθψ--=Y r R Y r R r 求氢原子能量E 、角动量平方L 2、角动量Z 分量L Z 的可能值及这些可能值出现的几率。
坐标表象中的动量算符
由
x | p | p ih x p p x p x
得 x p Ceipx / h 是动量本征态在x-表象的波函数。
可见动量本征态波函数是一平面波，这一结论无需通过求
解 Schro&&dinger 方程。除相位因子处，归一常数c可定出
为 1 ， 即 x p 1 eipx/ h
x
dx
x
ih
x
x
动量算符在坐标表象的表示，是从动量算符的基本性质 中推导出来的.
；
类似可证
x | pn
ih n
n xn
x
| pn
dx
x ih n
xnn
x
| f p
dx
x
f
ih
x
x
四、动量空间的波函数
p p p p ， p p p p， dp p p
展开系数 p 具有与 x 类似的几率解释，即 | p |2 dp 是在 p 处 dp 范围内粒子出现的几率，或者说是测得粒子动 量为 p 附近dp 范围内的几率 。
p 常被称为动量空间波函数： p p
若 归一，则
dp p p dp | p |2 1
五、x表象与p表象的联系
uuuvuuv
uuv p
1
2 h32
uv i pgx uv
d xe h x
第二章：量子动力学 (物理状态和观测量随时间的变化)
2.1 时间演化和 Schro&&dinger 方程
时间在量子力学中是参量而非算符，不是可观测量。
相对性量子理论通过将位置作为参量而将时空对等处理
相对论时空观：时间-空间、能量-动量 相互转化 能量量子化 动量量子化 波：波长、频率; 粒子：动量、能量 能量=普朗克常数 x 波的频率 某方向动量=普朗克常数 x 该方向波数
量子力学中的位置与动量算符
量子力学中的位置与动量算符量子力学是描述微观世界的一种物理学理论，它的基础是量子力学方程和算符。
在量子力学中，位置和动量是两个基本物理量，它们的算符分别是位置算符和动量算符。
本文将详细介绍量子力学中的位置与动量算符，包括它们的定义、性质以及它们之间的关系。
一、位置算符在经典力学中，位置是一个确定的物理量，可以用一个具体的数值来描述。
然而，在量子力学中，位置并不是一个确定的量，而是一个算符，即位置算符。
位置算符用符号x表示，它的定义是：x = iħ∂/∂p其中，i是虚数单位，ħ是约化普朗克常数，∂/∂p表示对动量p求偏导数。
位置算符的本质是描述粒子在空间中的位置分布。
位置算符的性质有以下几点：1. 位置算符是厄米算符。
厄米算符是指满足厄米共轭关系的算符。
对于位置算符x来说，它的厄米共轭算符是x†=x。
2. 位置算符的本征态是位置本征态。
位置本征态是指满足位置本征值方程的态。
对于位置算符x来说，位置本征值方程是x|x⟩=x'|x⟩，其中x'是位置本征值，|x⟩是位置本征态。
3. 位置算符的本征值是连续的。
在经典力学中，位置是连续变量，而在量子力学中，位置算符的本征值也是连续的。
二、动量算符动量是一个描述物体运动状态的物理量，它的算符是动量算符。
动量算符用符号p表示，它的定义是：p = -iħ∂/∂x其中，i是虚数单位，ħ是约化普朗克常数，∂/∂x表示对位置x求偏导数。
动量算符的本质是描述粒子的运动状态。
动量算符的性质有以下几点：1. 动量算符是厄米算符。
对于动量算符p来说，它的厄米共轭算符是p†=p。
2. 动量算符的本征态是动量本征态。
动量本征态是指满足动量本征值方程的态。
对于动量算符p来说，动量本征值方程是p|p⟩=p'|p⟩，其中p'是动量本征值，|p⟩是动量本征态。
3. 动量算符的本征值是连续的。
与位置算符类似，动量算符的本征值也是连续的。
三、位置与动量算符的关系在量子力学中，位置算符和动量算符之间存在一种重要的关系，即不确定关系。
第四章矩阵力学基础——表象理论
第四章矩阵力学基础——表象理论部门： xxx时间： xxx整理范文，仅供参考，可下载自行编辑第四章矩阵力学基础(Ⅱ>——表象理论4.1态和算符的表象表示1．态的表象表示(1> 坐标表象以坐标算符的本征态为基底构成的表象称为坐标表象。
以一维的x 坐标为例。
算符本征方程是(4-1-1>本征函数是量子态总可按x的本征函数系展开，得<4.1.2）展开系数必就是该量子态在x表象的表示，即波函数。
(2> 动量表象以动量算符的本征态为基底构成的表象是动量表象。
选x为自变量，动量算符的本征函数是平面波。
以动量算符为例，其本征态为：b5E2RGbCAP(4 .1 .3>将量子态按展开(4 .1 .4>C(px>就是动量表象中的波函数。
这正是第二章中已熟知的结果。
动量表象也可以用动量为自变量表示。
在Px表象中，粒子具有确定动量分量Px的波函数是以Px为自变量的函数p1EanqFDPw<4.1.5）在动量表象中的波函数也可以用类似于(4. 1. 2>式的方式给出。
(3> 任意表象设有某一线性厄M算符。
为叙述方便起见，假定算符具有分立本征值谱。
它的本征方程为(4.1.6>将波函数按算符的正交归一本征函数系展开<4.1.7）展开系数{an(t>}就是波函数必在Q表象中的表示。
它可由的正交归一性推出。
将(4.1.7>式两边分别乘并对空间积分，得DXDiTa9E3d(4 .1 .8>an(t>的物理意义是：当体系处在以(r,t>所描述的状态时，力学量Q具有确定值Qn的概率是具有和波函数统计解释相同的概率解释。
因此我们可以用一组系数RTCrpUDGiT{(t>}代替户(,t>来描述该状态。
将数列 a 1(t>，a2(t>，…，an(t>，…写成一个列矩阵，则(r,t>在Q表象的表示为5PCzVD7HxA<4.1.9）它的共轭矩阵是<4.1.10）归一条件是<4.1.10）(4.1.9>式是波函数在Q表象中的表示。
动量算符及角动量算符的球坐标表示
一
很显然动量算符的 r,0 分量 仇 形式为
九 ＝－访
a
1
a
O
8r
r 汾
分量
r
r
^ ，过渡到量子力学，由于 p 和 r 不对易，为了保证径向
l
8
rsin 0 8<p
。
动量算符是厄密算符我们可以取
仇＝早 • 6 + 6 • _i:_) = -itz立 ＿ 竺 2 r r ar r
这才是动量径向分量的算符表示，它满足厄密性的要求。 同理，可以构造 九＝—他 • p +p • e。) = - in.- — - in. 。它 2 r 80 2rt的 也满足厄密性的要求。 2.2.3 -in
在世子力学中，动匮打符P= ih'v这样角动扭环符表示为 l-= ;- f, =-盼X'v
代入(1), 表示成直角坐标系中的(i j k)方向
这样就得到了CL. 工，L.)的球坐标表示式 L, a a := iii(sin!p -十ctgfJcos!p一） afJ 呼
四、推出球坐标中C'的表示式 由(5)可知 一 - a8· aO· -=r·= cos旰· ＇ 、J 动 砰
r 汾
= -itz — - — ，
6
巾
Or
r
I 8
1
2rtg0
， p~ = - iii
1
a
rsin 0 acp
。
' . ' ^ =-ism <p + jcos<p 由坐标变换得 e
- in
1
rsin 0
— = e0 • p
匈
8
•
,
= ~ism <p + j cos<p X九 - y y
第四章力学量用算符表示与表象变换
1 ˆ ˆ有 由A 左乘A
1 ˆ ˆ ˆA ˆ 1 I AA A
也是任意的（是任意的） 得证。
1 1 ˆ 1 ˆ ˆ ˆ 另外可以证明： ( AB) B A （课下证）
ˆ x ] i [ x, p
ˆ x p ˆ x x ( xp ˆx p ˆ x x) [ x, p ˆ x ] xp
即
ˆ x ] i [ x, p
6
ˆ x 的对易关系 这就是位置算符 x 和动量算符 p
类似可证基本对易关系 [ x , p ] i , x, y, z 或 1,2,3
（特例：若I ，则I 称为单位算符）
（2）算符相加： ˆB ˆ B ˆ ) A ˆ (A
这是算符最基本的运算。
3
交换律和结合律：
ˆB ˆ ˆB ˆA A ˆ (B ˆ) (A ˆB ˆ ˆ C ˆ) C A
（3）算符乘积：
ˆ (B ˆB ˆ ) ( A ˆ ) A
~ ~~ * BAdx AB * dx AB * dx
~~ AB B A
～
23
～
~ B * A dx
即
～ ~~ * BAdx * ABdx
ˆ z , y] [ zp ˆ y , y] [ yp ˆ z , y] z[ p ˆ y , y ] [ z, y] p ˆy y[ p ˆ y ] iz z[ y, p
因为任何两个指标换位时都变号，故若有两指标 相同则为0，如 112 121 0.
9
类似可得角动量分量与动量分量的对易关系：
5
周世勋《量子力学教程》配套题库课后习题态和力学量的表象【圣才出品】
第4章态和力学量的表象4.1求在动量表象中角动量L X ，的矩阵元和L X 2的矩阵元。
解：⎰⋅⋅'-'-=τπd e p z p y e L r p i y z rp i pp x)ˆˆ()21()(3⎰⋅⋅'--=τπd e zp yp e r p i y z rp i)()21(331()()()2i i p r p r z y y zei p p e d p p τπ'-⋅⋅∂∂=--∂∂⎰31()()()2i p p r z y y z i p p e d p p τπ'-⋅∂∂=--∂∂⎰（）()()yz z yi p p p p p p δ∂∂'=--∂∂ 。
同理：⎰''=τψψd L x L px p pp x 2*2)()(22()()y z z yp p p p p p δ∂∂'=--∂∂ 。
4.2求一维无限深方势阱中粒子的坐标和动量在能量表象中的矩阵元。
解：能量表象的基矢n 在坐标表象中表示为：x an a x u n πsin 2)(=相应的能量本征值为：22222a n E n μπ =。
坐标在能量表象中表示矩阵的对角元为：2sin 202a xdx a m x a x amm ==⎰π其非对角元为：02(sin )(sin )a mnm n x x x x dx a a aππ=⋅⋅⎰022221()()cos cos 4(1)1()()a m n m n m n x x x dx a a a a mnm n m n πππ+-+⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎡⎤=--≠⎣⎦-⎰动量算符在坐标表象下可写为：p i x∂=-∂动量在能量表象中表示矩阵的对角元为：202sin 0ann i n n x p dx a a ππ-==⎰ 其非对角元为：2022()()sin sin2(1)1()()a mnm nn m n m n p i x x dx a a ai mn m n m n aπππ++-⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦⎡⎤=--≠⎣⎦-⎰ 4.3求在动量表象中线性谐振子的能量本征函数。
3-4 力学量算符
3-4 力学量算符
~ 3 ~
果正则坐标采用直角坐标 x, y, z ，相应的正则动量就是机械动量 px , p y , pz 。
2. 基本对易关系
根据坐标算符和动量算符在坐标表象的表达式，不难验证如下对易关系成立
ˆ, p ˆx ˆ, p ˆy ˆz i ˆ, p x y z ˆi , p ˆj x 0, i j
ˆ x, xx
ˆ y, yy
ˆz zz
(4)
ˆ x i px p
, x
ˆ y i py p
, y
ˆ z i pz p
z
(5)
在经典力学中，xi ei r r ei 和 pi ei p p ei ， 其中 i 1, 2,3 。 在量子力学中， 同样有
第三个等号利用了 ei 是个常矢量，也就是不随位置而变化，因此 对于在经典力学中坐标的函数 f r 和动量的函数 f 接使用量子化规则(1)和(2)
(9)
ei 0。 x j
p ，过渡到量子力学时，可以直
(10) (11)
ˆ f r f r f r ˆ f i f p f p
对于经典力学中的函数 f r , p ， 如果通过化简可以使表达式中不出现 r 与 p 的分量相 乘的情况，可以直接使用量子化规则(1)和(2)，得到相应的算符
1
ˆ, p ˆ f r , i f r, p f r
(12)
当经典哈密顿量为 H T V 的形式时，就是这样的情况。 如果表达式中无法通过化简消除 r 与 p 的分量相乘的情况， 则不同方案通常给出不同的 算符。基于物理上的考虑可能会排除一些方案，比如力学量算符必须是厄米算符。如果由此 得到的方案仍然不唯一，此时有两种可能：第一，不同算符代表不同的物理意义；第二，只 有一个算符有意义，究竟是哪一个由实验来裁决。 (2) 在量子力学中，会碰到一些没有经典对应的力学量，比如自旋，其算符的形式需要 具体讨论。 (3) 在量子化规则中，坐标和动量是指正则坐标和正则动量。在没有磁场的情况下，如
态和力学量的表象
.n n nc ψφ=∑第四章 态和力学量的表象量子力学中态和力学量的具体表示方式称为表象。
在前面，我们采用的表象是坐标表象，还可以用其它表象表示体系状态。
在选定了一定的表象后，力学量算符用矩阵表示，算符的运算归结为矩阵的运算。
因此，引入表象理论后的量子力学也称为矩阵力学。
本章首先给出态、算符和量子力学公式的表象表示，以及它们在不同表象间的变换关系，并证明量子力学在幺正变换下的不变性。
之后介绍文献中常见的狄拉克（Dirac ）符号，最后在粒子数表象中重新讨论了线形谐振子问题。
§4.1态的表象表示由前两章讨论可知，任意波函数可按某力学量的本征函数做完全性展开例如，动量的本征函数表示组成完全系，任意波函数(,)x t ψ可以按 ()x p x ψ展开为(,)(,)()xx p x x t c p t x dp ψψ=⎰ ，展开系数(,)x c p t 由下式给出()(),(),x x p c p t x x t dx ψψ*=⎰. 设 (,)x t ψ已归一化，则容易证明(,)x c p t 也是归一化的，2(,)x t dx ψ代表体系处于(,)x t ψ所描写的态中，发现粒子位置在x x dx →+范围内的几率；2(,)x x c p t dp 代表在该态下发现粒子动量在 x x x p p dp →+范围内的几率。
(,)x c p t 和 (,)x t ψ描写同一状态。
我们称(,)x t ψ是这个状态在x -表象（坐标表象）中的波函数；(,)x c p t 是同一状态在p -表象（动量表象）中的波函数。
动量表象中的波函数(,)x c p t 以动量为自变量，它的获得是通过动量本征函数系的完全性展开取得展开系数得来的。
在量子力学中，选定一组本征函数系作为基失，就称为选定了一个表象。
这与三维空间中的坐标系类似。
表象中的基矢与坐标系中的单位矢量一样具有正交归一完全性。
所不同的是本征函数有多个，所以态矢量所在的空间是多维的函数空间。
坐标表象与动量表象
ψ 1 ( x ) =
1 ( U 2 ( x ) + U 3 ( x ) ) 2 ψ 2 ( x ) = U1 1 ψ 3 ( x) = (U 2 ( x ) + U 3 ( x ) ) 2
1 1 2 1
ψ ( x, t ) = ∑ Cnψ n e iE t / 一般解
n
n
c c1 ( U 2 ( x ) + U 3 ( x ) ) + c2U1 ( x ) + 3 (U 2 + U 3 ) 2 2 c +c c + c 1 2U1 ( x ) + U 2 + U 3 = c1U1 + 1 3 U 2 + 1 3 U 3 2 2 2 2 = c2 c =0 1 2 1 2 1 ∴ = ( c3 c1 ) ∴c2 = 2 2 2 1 1 2 = c3 + c ) ( c3 = 1 2 2 2
即对角的 其本征函数在自身表象中
F n = f n n
* * dx m F n = f n ∫ dx n n ∫
f1
基：
f2
0 0 1 = 1
1 0;
0 1
4. 波函数的内积： 波函数的内积：
“x”中内积： ∫ d xψ 中内积： 中内积 “F”
= ∫ dp ( p, t ) ∫ dxψ * ψ p ( x ) p' = ∫ dp ( p, t ) δ ( p p ' ) = ( p ', t )
( p, t ) = ∫ dx ( x, t )ψ * ( x) ψ p
ψ ( x, t ) 与 ( p, t ) 有一一对应的关系
若 ( x, t ) 是 一 ， ( p, t ) 是 一 。 ψ 归 的 则 归 的
论坐标-动量表象互换的幺正算符
论坐标-动量表象互换的幺正算符展德会;卢道明;范洪义【摘要】运用有序算符内的积分方法推导出坐标-动量表象互换的幺正算符,并给出它在分数傅里叶变换中的应用.【期刊名称】《大学物理》【年(卷),期】2018(037)002【总页数】3页(P10-11,17)【关键词】幺正算符;分数傅里叶变换;坐标-动量表象【作者】展德会;卢道明;范洪义【作者单位】武夷学院机电工程学院,福建,武夷山354300;武夷学院机电工程学院,福建,武夷山354300;中国科学技术大学材料科学与工程系,安徽,合肥230026【正文语种】中文【中图分类】O413.1分析力学中的经典哈密顿正则方程[1]是(1)若形式上将第一式中的q换成p，则分母中的p要换成-q.这与量子对易关系[2] ћ(2)的坐标-动量互变换可比拟，即将q→p,p→-q才能保持对易关系不变.那么如何给出实施这个变换的量子力学幺正算符呢？这个问题在国际的教科书中未有回答.我们将它作为一个坐标-动量表象互换的问题来分析，运用有序算符内的积分[3]方法来解决这个问题，然后讨论此课题与分数傅里叶变换的关系.1 坐标-动量互换算符的寻求现在我们用有序算符内的积分方法来找幺正算符U,它能使(3)为此目的，我们用坐标表象|q〉与动量表象|p〉构造积分型ket-bra 算符dq|p〉|p=q〈q|≡U(4)这里|p〉|p=q表示它是动量本征态，但取值为q.用坐标本征态Q|q〉=q|q〉(5)和动量本征态P|p〉=p|p〉(6)(在这里量纲ћ=m=ω=1),以及真空投影算符的正规乘积形式：|0〉〈0|=:e-a+a:(7)按照有序算符内的积分方法得(8)再用efa+a=:e(ef-1)a+a:(9)得到(10)(11)其中N=a+a. 即的作用是把|q〉变成数值相同的动量本征态|p〉，我们确实有:dq′|p〉δ(q′-q)|p=q′=|p〉|p=q(12)(13)故幺正算符满足式(3)，即(14)(15)2 在分数傅里叶变换中的应用在衍射光学中，衍射孔的夫琅禾费衍射和傅里叶变换相对应，而平面上的菲涅耳衍射分布看作是孔径平面上的光分布的某种分数傅里叶变换[4].在分数傅里叶变换(Fractional Fourier Transform)的理论中隐含了|q〉与|p〉的互换.以下具体说明之.对于α-阶分数傅里叶变换Fα[f](p)=dqK(p,q)f(q)(16)其积分核是(17)当时，就还原为傅里叶变换核〈p|q〉.我们用有序算符内的积分方法来求证：(18)证明：对上式左边乘上|p〉，右边乘上〈q|积分，用|0〉〈0|=:e-a+a:及IWOP技术得∬∬(19)由完备性公式dq|q〉〈q|=1, dp|p〉〈p|=1(20)就可以看出式(18)的正确，即∬∬(21)于是态矢量|f〉的分数傅里叶变换就简化为量子力学算符的矩阵元(22)分数傅里叶变换在光纤通信、信号分析和光学成像中有广泛的应用，其特征是可加性，即两次变换(Fα·Fβ)[f]=Fα[Fβ[f]]满足加法律：Fα·Fβ=Fα+β(23)这就隐含了|q〉与|p〉的互换.为了说明这一点，我们用分数傅里叶变换的定义式(16)写下两次连贯的变换：(Fα·Fβ)[f](p)=(24)根据式(22)得到(25)故有(Fα·Fβ)[f](p)=(26)注意到式(12)(27)所以上式变为(Fα·Fβ)[f](p)=(28)于是可加性得证.这里就是起了将|q|q=p′〉变换成|p′〉的作用，然后才可以继续作第二次分数傅里叶变换，使其具有可加性.从表象变换来看，分数傅里叶变换的积分核是在坐标表象与动量表象之间的转换矩阵元.3 小结我们介绍了如何有序算符内的积分方法自然推导出坐标-动量表象互换的幺正算符，强调了它在分数傅里叶变换中的重要性.【相关文献】[1] 林晓满. 《分析力学》选修课教学大纲[J]. 大学物理,1984,1(8): 42-42．[2] 张永德.量子力学[M].北京：科学出版社，2002:41.[3] 范洪义.量子力学表象与变换论 [M].上海：上海科学技术出版社，1997:43-44.[4] 郭小爱,陈家壁. 菲涅耳衍射和分数傅里叶变换[J]. 大学物理,2002,21(2): 8-8.。
10第4章概念2-坐标与动量表象
同理
ˆ 任意力学量算符 F 在x表象中的矩阵元 ˆ ˆ Fxx x F x ( x x) F x, i ( x x)dx x ˆ x, i ( x x) F x
ˆ p x i x x
( S S ) xx x S S x x S p p S x dp S xp S px dp
S * S px dp x p p x dp x x ( x x) px
同理
( SS ) pp ( p p)
*
* S xp p x
S xp S * p x x p px
( S S ) pp p S S p p S x x S p dx S px S xp dx
* S xp S xp dx p x x p dx p p ( p p)
x x p dx i p i ( p p) i p p p p p
或
x pp
( p p) i ( p p)dp i ( p p) p p
( SS ) xx ( x x)
即动量与坐标表象之间的付立叶变换也是幺正变换。
1 eipx / ( x)dx 2
这正是以前讲过的 ( x)与 ( p) 之间的付立叶变换。
4.x表象和p表象中力学量的矩阵表示
（1）x表象
xxx x x x x x x x ( x x)
ˆ ˆ pxx x p x x p p p x dp p x p p x dp
实际上 这是因为
ˆ p x i
p p
坐标、动量算符在彼此表象中的表示
（以一维情况为例：注意算符的表示形式和矩阵元形式）∫∫+++∞∞−=−=−εεδδ00)()()()()(000x x x f dx x x x f dx x x x f ***()()()(),()(1)()n n n x x x x δδδδ′′−=−−=−***注意上两式中的积分符号 在坐标表象：坐标算符：x; 动量算符: i x ∂−∂=（微分形式） ()()'"ˆˆ|||||'"'()'")(x x x xx dx x x x x x dx x x x x x x x x x δδδ′′′′′′=<>=<><=−>=−−∫∫ ① （将方框内部分视为函数()f x ，利用*式）()'"ˆ()()"'"()"'x x p x i x x x x d x x x d i x d δδδ∂⎛⎞−−⎜⎟∂∫⎝⎠=−=−== ② （利用** 式） ()d i x d x x δ=′′′′−−=（利用*** 式）（同曾谨言书的结果）动量表象：坐标算符：x i p ∂∂=（微分形式） ; 动量算符: p ()()'"ˆ()'(()"')""p p d i p p p dpd x dp p p i p d p δδδ=−=−−−∫== ③ （利用**式） ()p p d i p d δ′′=−′′= （利用*** 式）（同曾谨言书的结果） ()()'"ˆˆ()'""("')p p pdp p p p p p p p p δδδ=−⋅−=−∫ ④ （将方框内部分视为函数()f x ，利用*式）()())'"("""(")(')ˆ(""'p p p p p p i p p p dp d i p dp d i p p dp L z y y z y z z y p p x −∂∂−∂∂−=−−−=∫δδδ===4.1.求在动量表象中角动量x L 的矩阵元和2x L 的矩阵元。
动量算符及角动量算符的球坐标表示.pdf
立
az
）
i息
＝
工凡�y?,
=
-ih(x- a·ay -
y
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釭
(1)
+ 心） l"=归＋幻＋归= - h'((y主 立 ＿之主 ay ）＇ ＋（乒 釭 -x且 az)•
(工 ，立 ＿ zay
立2
及直角坐标与球坐标的关系（见图）1
. l . 工 =.rsi戒casrp
y = rsin8si呼
上 ·
1l古
z = rcos8
+ + r• ... x• y• z•
(2)
co.,O
=
-z r
tg<p =
-y
:,;
vl
一 .... -- - 一 经过求得
ar ax
,·
ar ay
ar a乙
a& . ax
a& ay ．
．a动．一 z ，aa一 x<p ，
．呼一
ay
一 已az 代大(1 ）式，才能得到通常的角动世弈符
r = 扛 +y2 + z 2 ,t的 =2:'., cos8 =-=-=
z
x
r)x'+y2+z'
由此我们可得[1]
—i3 =— ar — a
+a—e
—i3
+J—(Jl —a =
sine
sin
(Jl
—a
1 +-cose
cos(Jl
— a s-in
— (Jl a
函 ox or 岔 oe OXO(J)
or r
同理得
^p
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（以一维情况为例：注意算符的表示形式和矩阵元形式）
∫∫+++∞
∞−=−=−εεδδ00)()()()()(000
x x x f dx x x x f dx x x x f *
**
()()()(),()(1)()
n n n x x x x δδδδ′′−=−−=−***
注意上两式中的积分符号 在坐标表象：坐标算符：x; 动量算符: i x ∂−∂=
（微分形式） ()()'"ˆˆ|||||'"'()'")(x x x x
x dx x x x x x dx x x x x x x x x x δδδ′′′′′′=<>=<><=−>=−−∫∫ ① （将方框内部分视为函数()f x ，利用*式）
()'"ˆ()()"'"()"'x x p x i x x x x d x x x d i x d δδδ∂⎛⎞−−⎜⎟∂∫⎝
⎠=−=−== ② （利用** 式） ()d i x d x x δ=′′′′−−=（利用*** 式）（同曾谨言书的结果）
动量表象：坐标算符：x i p ∂∂=
（微分形式） ; 动量算符: p ()()'"ˆ()'(()"')""p p d i p p p dp
d x dp p p i p d p δδδ=−=−−−∫== ③ （利用**式） ()p p d i p d δ′′=−′′
= （利用*** 式）（同曾谨言书的结果） ()()'"ˆˆ()'""("')p p p
dp p p p p p p p p δδδ=−⋅−=−∫ ④ （将方框内部分视为函数()f x ，利用*式）
()())'"("""(")(')ˆ(""'p p p p p p i p p p dp d i p dp d i p p dp L z y y z y z z y p p x −∂∂−∂∂−=−−−=∫δδδ===
4.1.求在动量表象中角动量x L 的矩阵元和2
x L 的矩阵元。
两种方法 解一：ˆˆˆˆ()||ˆˆ||||(')(')
)(')x p p z y z y z y y z y z z y L p yp
zp p p p y
p p p z p p i p p p i p p p p p i p i p p p p δδδ′′=<−>′′=<>−<>∂∂=⋅−−−⋅−−∂∂∂∂=⋅−⋅−∂∂K K K K K K ====利用动量算符本征方程（利用③式
解二： ˆˆˆˆ()||x p p z y L p
yp zp p ′′=<−>K K 坐标表象 31(
)[()()]2i i p r p r e y i z i e d z y τπ′−⋅⋅∂∂=−−−∂∂∫G G G G ===== 动量算符在坐标表象的算符形式 31()[()()]2i i
p r p r z y i i e y i p z i p e d τπ′−⋅⋅=−⋅−−⋅∫G G G G =====
== 微分运算 31
()[]2i i p r p r z y e yp zp e d τ
π′−⋅⋅=−∫G G G G ===
31
()()2i i p r p r z y y z
e p p e d i p i p τπ′−⋅⋅∂∂=⋅⋅−⋅∂∂∫G G G G ===== 凑微分，注意要除以因子i =。
方框内是微分运算，不是算符表示，可以提到积分号外
∫⋅′−∂∂−∂∂−=τπd e p p p p i r p p i z y y z G G G ===）（321)()(( )()(p p p p p p i y
z z y
′−∂∂−∂∂=G G =δ。