高中数学-双曲线选择题练习
高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2 双曲线(1)练习 新人教A版高二选修1-1数学试题
2.2 双曲线（1）A 级 基础巩固一、选择题1．已知M (－2,0)、N (2,0)，|PM |－|PN |＝4，则动点P 的轨迹是导学号 03624438( C )A ．双曲线B ．双曲线左支C ．一条射线D ．双曲线右支[解析]∵|PM |－|PN |＝|MN |＝4，∴动点P 的轨迹是一条射线． 2．双曲线3x 2－4y 2＝－12的焦点坐标为导学号 03624439( D ) A ．(±5,0) B ．(0，±5) C ．(±7，0)D ．(0，±7)[解析] 双曲线3x 2－4y 2＝－12化为标准方程为y 23－x 24＝1，∴a 2＝3，b 2＝4，c 2＝a 2＋b 2＝7，∴c ＝7，又∵焦点在y 轴上，故选D ．3．已知方程x 21＋k －y 21－k ＝1表示双曲线，则k 的取值X 围是导学号 03624440( A )A ．－1<k <1B ．k >0C ．k ≥0D ．k >1或k <－1[解析] 由题意得(1＋k )(1－k )>0，∴(k －1)(k ＋1)<0，∴－1<k <1.4．(2016·某某某某高二检测)已知双曲线2mx 2－my ＝4的一个焦点为(0，6)，则m 的值为导学号 03624441( B )A ．1B ．－1C ．73D ．－73[解析] 将双曲线方程化为x 22m－y 24m＝1.因为一个焦点是(0，6)，所以焦点在y 轴上，所以c ＝6，a 2＝－4m ，b 2＝－2m ，所以a 2＋b 2＝－4m －2m ＝－6k＝c 2＝6.所以m ＝－1.5．双曲线x 210－y 22＝1的焦距为导学号 03624442( D )A ．3 2B ．4 2C ．3 3D ．4 3[解析] 由双曲线的标准方程，知a 2＝10，b 2＝2，则c 2＝a 2＋b 2＝10＋2＝12，因此2c ＝43，故选D ．6．(2015·某某理)若双曲线E ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于导学号 03624443( B )A ．11B ．9C ．5D ．3[解析] 由题，|||PF 1|－|PF 2|＝2a ＝6， 即||3－|PF 2|＝2a ＝6，解得|PF 2|＝9. 二、填空题7．已知双曲线C ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为C 右支上的一点，且|PF 2|＝|F 1F 2|，则△PF 1F 2的面积等于__48__.导学号 03624444[解析] 依题意得|PF 2|＝|F 1F 2|＝10，由双曲线的定义得|PF 1|－|PF 2|＝6，∴|PF 1|＝16.∴S △PF 1F 2＝12×16×102－1622＝48.8．已知双曲线x 225－y 29＝1的两个焦点分别为F 1、F 2，若双曲线上的点P 到点F 1的距离为12，则点P 到点F 2的距离为__2或22__.导学号 03624445[解析] 设F 1为左焦点，F 2为右焦点，当点P 在双曲线左支上时，|PF 2|－|PF 1|＝10，|PF 2|＝22；当点P 在双曲线右支上时， |PF 1|－|PF 2|＝10，|PF 2|＝2. 三、解答题9．求满足下列条件的双曲线的标准方程.导学号 03624446 (1)焦点在x 轴上，c ＝6且经过点(－5,2)； (2)过P (3，154)和Q (－163，5)两点．[解析] (1)设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧25a 2－4b2＝1a 2＋b 2＝6，解之得a 2＝5，b 2＝1， 故所求双曲线方程为x 25－y 2＝1.(2)设双曲线方程为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)，由题意得 ⎩⎪⎨⎪⎧9A ＋22516B ＝12569A ＋25B ＝1，解之得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝－116B ＝19.∴所求双曲线方程为y 29－x 216＝1.B 级 素养提升一、选择题1．已知双曲线中心在原点，一个焦点为F 1(－5，0)，点P 在该双曲线上，线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则双曲线的方程是导学号 03624447( B )A ．x 24－y 2＝1B ．x 2－y 24＝1C ．x 22－y 23＝1D ．x 23－y 22＝1[解析] 由条件知P (5，4)在双曲线x 2a 2－y 2b2＝1上，∴5a 2－16b2＝1，又a2＋b 2＝5，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1b 2＝4，故选B ．2．(2017·全国Ⅰ文，5)已知F 是双曲线C ：x 2－y 23＝1的右焦点，P 是C 上一点，且PF与x 轴垂直，点A 的坐标是(1,3)，则△APF 的面积为导学号 03624448( D )A ．13B ．12C ．23D ．32[解析] 因为F 是双曲线C ：x 2－y 23＝1的右焦点，所以F (2,0)．因为PF ⊥x 轴，所以可设P 的坐标为(2，y P )． 因为P 是C 上一点，所以4－y 2P3＝1，解得y P ＝±3，所以P (2，±3)，|PF |＝3.又因为A (1,3)，所以点A 到直线PF 的距离为1， 所以S △APF ＝12×|PF |×1＝12×3×1＝32.故选D ．3．已知m 、n 为两个不相等的非零实数，则方程mx －y ＋n ＝0与nx 2＋my 2＝mn 所表示的曲线可能是导学号 03624449( C )[解析] 把直线方程和曲线方程分别化为y ＝mx ＋n ，x 2m ＋y 2n＝1.根据图形中直线的位置，判定斜率m 和截距n 的正负，从而断定曲线的形状．4．已知双曲线的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1的直线与双曲线的左支交于A 、B 两点，线段AB 的长为5，若2a ＝8，那么△ABF 2的周长是导学号 03624450( D )A ．16B ．18C ．21D ．26[解析] |AF 2|－|AF 1|＝2a ＝8，|BF 2|－|BF 1|＝2a ＝8， ∴|AF 2|＋|BF 2|－(|AF 1|＋|BF 1|)＝16， ∴|AF 2|＋|BF 2|＝16＋5＝21，∴△ABF 2的周长为|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝21＋5＝26. 5．若方程x 2m －1＋y 2m 2－4＝3表示焦点在y 轴上的双曲线，则m 的取值X 围是导学号 03624451( C )A ．(－∞，1)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－2)D ．(－2,1)[解析] 由题意，方程可化为y 2m 2－4－x 21－m＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－4>01－m >0，解得m <－2.故选C ．二、填空题6．(2016·某某某某高二检测)设双曲线与椭圆x 227＋y 236＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，有一个交点的坐标为(15，4)，则此双曲线的方程为y 24－x 25＝1 .导学号 03624452[解析] 解法一：椭圆x 227＋y 236＝1的焦点坐标是(0，±3)，根据双曲线的定义，知2a＝|152＋12－152＋72|＝4，故a ＝2.又b 2＝c 2－a 2＝5，故所求双曲线的方程为y 24－x 25＝1. 解法二：椭圆x 227＋y 236＝1的焦点坐标是(0，±3)．设双曲线方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)，则a 2＋b 2＝9，16a 2－15b 2＝1，解得a 2＝4，b 2＝5.故所求双曲线的方程为y 24－x 25＝1.解法三：设双曲线方程为x 227－λ＋y 236－λ＝1(27<λ<36)，由于双曲线过点(15，4)，故1527－λ＋1636－λ＝1，解得λ1＝32，λ2＝0(舍去)．故所求双曲线方程为y 24－x 25＝1. 7．已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|等于__4__.导学号 03624453[解析] 在△PF 1F 2中，|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos60°＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|， 即(22)2＝22＋|PF 1|·|PF 2|， 解得|PF 1|·|PF 2|＝4. 三、解答题8．已知双曲线方程为2x 2－y 2＝k ，焦距为6，求k 的值.导学号 03624454 [解析] 由题意知c ＝3，若焦点在x 轴上，则方程可化为x 2k 2－y 2k ＝1，∴k 2＋k ＝32，即k ＝6.若焦点在y 轴上，则方程可化为y 2－k －x 2－k2＝1.∴－k ＋(－k2)＝32，即k ＝－6.综上，k 的值为6或－6.C 级 能力提高1．双曲线8kx 2－ky 2＝8的一个焦点坐标为(0,3)，则k 的值为__－1__.导学号 03624455[解析] 将双曲线的方程化为x 21k－y 28k＝1，因为双曲线的一个焦点坐标是(0,3)， 所以焦点在y 轴上，且c ＝3. 所以a 2＝－8k ，b 2＝－1k.所以－8k －1k＝9，解得k ＝－1.2．当0°≤α≤180°时，方程x 2cos α＋y 2sin α＝1表示的曲线如何变化？导学号 03624456[解析] (1)当α＝0°时，方程为x 2＝1，它表示两条平行直线x ＝±1. (2)当0°<α<90°时，方程为x 21cos α＋y 21sin α＝1. ①当0°<α<45°时，0<1cos α<1sin α，它表示焦点在y 轴上的椭圆．②当α＝45°时，它表示圆x 2＋y 2＝ 2.③当45<α<90°时，1cos α>1sin α>0，它表示焦点在x 轴上的椭圆．(3)当α＝90°时，方程为y 2＝1，它表示两条平行直线y ＝±1. (4)当90°<α<180°时，方程为y 21sin α－x 21－cos α＝1，它表示焦点在y 轴上的双曲线．(5)当α＝180°时，方程为x 2＝－1，它不表示任何曲线．。
高中数学选择性必修一双曲线(习题课)
题型四 双曲线的综合问题
例 4 (2021·新高考Ⅰ卷)在平面直角坐标系 Oxy 中，已知点 F1(－ 17，0)， F2( 17，0)，点 M 满足|MF1|－|MF2|＝2.记 M 的轨迹为 C.
(1)求 C 的方程； (2)设点 T 在直线 x＝12上，过 T 的两条直线分别交 C 于 A，B 两点和 P，Q 两 点，且|TA|·|TB|＝|TP|·|TQ|，求直线 AB 的斜率与直线 PQ 的斜率之和．
【解析】 (1)因为|MF1|－|MF2|＝2<|F1F2|＝2 17， 所以点 M 的轨迹 C 是以 F1，F2 分别为左、右焦点的双曲线的右支． 设双曲线的方程为ax22－by22＝1(a>0，b>0)，半焦距为 c，则 2a＝2，c＝ 17， 得 a＝1，b2＝c2－a2＝16， 所以点 M 的轨迹 C 的方程为 x2－1y62 ＝1(x≥1)． (2)设 T(12，t)，由题意可知直线 AB，PQ 的斜率均存在且不为 0，设直线 AB 的方程为 y－t＝k1(x－12)(k1≠0)，直线 PQ 的方程为 y－t＝k2(x－12)(k2≠0)，
＋2kx－2＝0.
4k2＋8（1－k2）＞0，
由题设条件得－1－2kk2＜0，
∴－ 2＜k＜－1.
－1－2 k2＞0，
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，如图，
则 Qx1＋2 x2，y1＋2 y2， y1＋y2
kPQ＝x1＋2 2x2＋2＝（x1y＋1＋x2y）2 ＋4. ∵x1＋x2＝k22－k 1，
( 3，0)． (1)求双曲线 C 的方程； (2)若直线 l：y＝kx＋ 2与双曲线 C 恒有两个不同的交点 A 和 B，且O→A·O→B
>2(其中 O 为原点)，求 k 的取值范围． 【解析】 (1)设双曲线方程为ax22－by22＝1(a>0，b>0)， 由已知得 a＝ 3，c＝2，∴b＝1. 故所求双曲线方程为x32－y2＝1.
高中数学双曲线习题及答案解析
双曲线习题练习及答案解析1、已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的一条渐近线方程为y x =，且与椭圆221123x y +=有公共焦点.则C 的方程为（ ）A ．221810x y -=B ．22145x y -=C ．22154x y -=D ．22143x y -=【答案】B 因为双曲线的一条渐近线方程为2y x =，则b a =.① 又因为椭圆221123x y +=与双曲线有公共焦点，双曲线的焦距26c =，即c ＝3，则a 2＋b 2＝c 2＝9.②.由①②解得a ＝2，b ＝，则双曲线C 的方程为22145x y -=.故选：B.2已知双曲线22221x y a b-=（a 、b 均为正数）的两条渐近线与直线1x =-围成的三）A.B. C. D. 2【答案】D解：双曲线的渐近线为by x a=±，令1x =-，可得b y a=，不妨令1,b A a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,b B a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以2b AB a =，所以12AOBA S AB x =⋅=AB ∴=，即2b a =b a =2c e a ===；故选：D3已知双曲线C 的中心为坐标原点，一条渐近线方程为2y x =，点()22,2P -在C 上，则C 的方程为A. 22124x y -=B. 221714x y -=C. 22142x y -=D. 221147y x -=【答案】B由于C 选项的中双曲线的渐近线方程为22y x =±，不符合题意，排除C 选项.将点()22,2P -代入A,B,D 三个选项，只有B 选项符合，故本题选B.4已知双曲线C ：2218y x -=的左、右焦点分别为1F 、2F ，O 为坐标原点，点P在C 的一条渐近线上，若2OP PF =，则12PF F △的面积为 （ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C双曲线C ：2218y x -=中，1(3,0)F -，2(3,0)F ，渐近线方程：y =±，因2OP PF =，则点P 在线段2OF 的中垂线：32x =上，则P 点纵坐标y 0有0||y =所以12PF F △面积121201||||2PF F SF F y =⋅=故选：C 5已知双曲线C ：()22102y x m m m -=>+，则C 的离心率的取值范围为（ ）A ．(B ．()1,2C ．)+∞D ．()2,+∞【答案】C双曲线()22102y x m m m -=>+的离心率为e ===，因为0m >，所以e =>C的离心率的取值范围为)+∞.故选：C.6若双曲线2288ky x -=的焦距为6，则该双曲线的离心率为（ ）A.4B.32C. 3D.103因为2288ky x -=为双曲线，所以0k ≠，化为标准方程为：22181y x k -=. 由焦距为6可得：3c ==，解得：k =1.所以双曲线为22181y x -=.所以双曲线的离心率为4c e a ===.故选：A7已知1F ，2F 分别是双曲线22124y x -=的左，右焦点，若P 是双曲线左支上的点，且1248PF PF ⋅=．则12F PF △的面积为（ ） A. 8B. 16C. 24D. 【答案】C 因为P 是双曲线左支上的点，所以2122PF PF a -==，22124100F F c ==． 在12F PF △中，()22221212121212121212cos 22cos F F PF PF PF PF F PF PF PF PF PF PF PF F PF=+-∠=-+-∠，即110049696cos F PF=+-∠，所以1cos 0F PF ∠=，12in 1s P F F =∠，故12F PF △的面积为121242PF PF ⋅=．故选：C ．8已知双曲线()222:1016x y C a a -=>的一条渐近线方程为20x y -=，1F ，2F 分别是双曲线C 的左、右焦点，P 为双曲线C 上一点，若15PF =，则2PF = A.1B.9C.1或9D.3或93.B 由题意知42a=，所以2a =，所以c ==，所以152PF a c =<+=+，所以点Р在双曲线C 的左支上，所以214PF PF -=，所以29PF =.故选B9如图，F 1，F 2分别是双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，以坐标原点O为圆心，|OF 1|为半径的圆与该双曲线左支交于A ，B 两点，若△F 2AB 是等边三角形，则双曲线的离心率为( )B. 211【答案】D 连接1AF ，依题意知：21AF =，12122c F F AF ＝＝，所以21121)a AF AF AF =-=1c e a ===. 10已知双曲线22214x y b-=()0b >的左右焦点分别为1F 、2F ，过点2F 的直线交双曲线右支于A 、B 两点，若1ABF ∆是等腰三角形，且120A ∠=︒．则1ABF ∆的周长为（ ） A．83+ B．)41C．83+ D．)22【答案】A双曲线的焦点在x 轴上，则2,24a a ==；设2||AF m =，由双曲线的定义可知：12||||24AF AF a m =+=+， 由题意可得：1222||||||||||AF AB AF BF m BF ==+=+， 据此可得：2||4BF =，又 ，∴12||2||8BF a BF =+=，1ABF 由正弦定理有:11||||sin120sin 30BF AF =︒︒,即11|||BF AF =所以8)m =+，解得：m =1ABF ∆的周长为： 11||||||AF BF AB ++=122(4)8162833m ++=+⨯=+故选：A11已知双曲线C ：2218y x -=的左、右焦点分别为1F 、2F ，O 为坐标原点，点P在C 的一条渐近线上，若2OP PF =，则12PF F △的面积为 （ ） A．B．C． D．【答案】C双曲线C ：2218y x -=中，1(3,0)F -，2(3,0)F，渐近线方程：y =±，因2OP PF =，则点P 在线段2OF 的中垂线：32x =上，则P 点纵坐标y 0有0||y = 所以12PF F △面积121201||||2PF F S F F y =⋅=故选：C12双曲线22221x y a b-=与22221x y a b -=-的离心率分别为12,e e ，则必有（ ）A. 12e e =B. 121e e ⋅=C.12111e e += D. 2212111e e += 【答案】D13多选以已知双曲线的虚轴为实轴、实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线，则以下说法，正确的有（ ） A. 双曲线与它的共轭双曲线有相同的准线 B. 双曲线与它的共轭双曲线的焦距相等 C. 双曲线与它的共轭双曲线的离心率相等 D. 双曲线与它的共轭双曲线有相同的渐近线 【答案】BD由双曲线对称性不妨令双曲线C 的方程为：22221(0,0)x y a b a b-=>>，则其共轭双曲线C '的方程为22221y x b a-=，对于A ，双曲线C 的准线垂直于x 轴，双曲线C '的准线垂直于y 轴，A 不正确；对于B ，双曲线C 和双曲线C '的半焦距均为：c =，所以焦距相同，B 正确；对于C ，由B 选项知，双曲线C 的离心率为1ce a=，而双曲线C '的离心率为2c e b =，而a ，b 不一定等，C 不正确；对于D ，双曲线C 和双曲线C '的渐近线均为by x a=±，D 正确. 故选：BD13多选已知双曲线C ：()222104x y b b-=>的离心率为72，1F ，2F 分别为C 的左右焦点，点P 在C 上，且26PF =，则（ ）A ．7b =B ．110PF =C ．OP =D ．122π3F PF ∠=【答案】BCD72=，可得b =A 不正确，而7c ==，因为27||6c PF =>=，所以点P 在C 的右支上，由双曲线的定义有：121||||||624PF PF PF a -=-==，解得1||10PF =，故选项B 正确，在12PF F △中，有2222221271076cos cos 02727OP OP POF POF OP OP +-+-∠+∠=+=⨯⨯⨯⨯，解得||OP =，22212106141cos 21062F PF +-∠==-⨯⨯，所以1223F PF π∠=，故选项C ，D 正确. 故选：BCD.多选若方程22151x y t t +=--所表示的曲线为C ，则下面四个命题中正确的是A ．若1＜t ＜5，则C 为椭图B ．若t ＜1．则C 为双曲线 C ．若C 为双曲线，则焦距为4D ．若C 为焦点在y 轴上的椭圆，则3＜t ＜5 【答案】BD 14多选已知双曲线C 1：)0,0(12222>>=-b a b y a x 的实轴长是2，右焦点与抛物线C 2：y 2＝8x 的焦点F 重合，双曲线C 1与抛物线C 2交于A 、B 两点，则下列结论正确的是 ( ▲ )A ．双曲线C 1的离心率为2 3B ．抛物线C 2的准线方程是x ＝－2 C ．双曲线C 1的渐近线方程为y ＝±3x D. |AF |＋|BF |＝320 【答案】BC【解析】由题意可知对于C 1：()0012222>>=-b a by a x ，，实轴长为2a =2，即a =1，而C 2：y 2＝8x 的焦点F 为（2，0），所以c =2，则双曲线C 1的方程为1322=-yx ，则对于选项A ，双曲线C 1的离心率为212==a c ，所以选项A 错误；对于选项B ，抛物线C 2的准线方程是x ＝－2，所以选项B 正确；对于选项C ，双曲线C 1的渐近线方程为y ＝±abx ＝±3x ，所以选项C 正确；对于选项D ，由y 2＝8x 与1322=-y x 联立可得A （3，62），B （3，62-），所以由抛物线的定义可得 |AF |＋|BF |＝10433=++=++p x x B A ，所以选项D 错误，综上答案选BC.14多选12,F F 分别是双曲线2221(0)y x b b-=>的左右焦点，过2F 作x 轴的垂线与双曲线交于,A B 两点，若1ABF 为正三角形，则（ ）A.b = B.C. 双曲线的焦距为D.1ABF 的面积为【答案】ABD在正三角形1ABF 中，由双曲线的对称性知，12F F AB ⊥，12||2||AF AF =， 由双曲线定义有：12||||2AF AF -=，因此，1||4AF =，2||2AF =，12||F F ==即半焦距c =b =，A 正确；双曲线的离心率1ce ==B 正确；双曲线的焦距12F F =C 不正确；1ABF 的面积为21||4AF =D 正确.故选：ABD15多选已知双曲线C 的左、右焦点分别为1F 、2F ，过2F 的直线与双曲线的右支交于A 、B 两点，若122||||2||AF BF AF ==，则( )A. 11AF B F AB ∠=∠B. 双曲线的离心率e =C. 直线的AB 斜率为±D. 原点O 在以2F 为圆心，2AF 为半径的圆上 【答案】ABC 如图：设122||||2||2(0)AF BF AF m m ===>，则22||||||3AB AF BF m =+=，由双曲线的定义知，12||||22AF AF m m a -=-=，即2m a =；12||||2BF BF a -=， 即1||22BF m a -=，∴1||3||BF m AB ==，即有11AF B F AB ∠=∠，故选项A 正确；由余弦定理知，在1ABF 中，22222211111||||||4991cos 2||||2233AF BF AB m m m AF B AF BF m m +-+-∠===⋅⋅，在△12AF F 中，22222212121112||||||441cos cos 2||||223AF AF F F m m c F AB AF B AF AF m m +-+-∠===∠=⋅⋅， 化简整理得，222121144c m a ==，∴离心率ce a ==，故选项B 正确； 在△21AF F中，2222222211134443cos 224m m c m m c m AF F c m cm -+--∠===⋅⋅，21sin AF F ∠==，∴212121sin tan cos AF F AF F AF F ∠∠==∠ ∴根据双曲线的对称性可知，直线AB的斜率为±，故选项C 正确； 若原点O 在以2F 为圆心，2AF 为半径的圆上，则2c m a ==，与3c a =不符，故选项D 错误．故选：ABC ．16多选已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F，一条渐近线过点(，则下列结论正确的是（ ）A. 双曲线CB. 双曲线C 与双曲线22124y x -=有相同的渐近线C. 若F 到渐近线的距离为2，则双曲线C 的方程为22184x y -=D. 若直线2:a l x c=与渐近线围成的三角形面积为则焦距为【答案】BCD 渐近线的方程为by x a=±，因为一条渐近线过点(，故b a ⨯=a ===，故A 错误.又渐近线的方程为2y x =±，而双曲线22124y x -=的渐近线的方程为2y x =±， 故B 正确.若F 到渐近线的距离为2，则2b =，故a =C 的方程为22184x y -=，故C 正确. 直线2:a l x c =与渐近线的两个交点的坐标分别为：2,a ab c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭及2,a ab cc ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故2122a ab c c =⨯⨯⨯即23a b =，而a =，故b =，a =，所以23=，所以c =，故焦距为D 正确.故选：B CD.16多选已知点P 在双曲线221169x y -=上，1F ，2F 分别是左、右焦点，若12PF F △的面积为20，则下列判断正确的有（ ） A. 点P 到x 轴的距离为203B. 12503PF PF += C. 12PF F △为钝角三角形 D. 123F PF π∠=【答案】BC由双曲线方程得4a =，3b =，则5c =，由△12PF F 的面积为20，得112||10||2022P P c y y ⨯⨯=⨯=，得||4P y =，即点P 到x 轴的距离为4，故A 错误， 将||4P y =代入双曲线方程得20||3P x =，根据对称性不妨设20(3P ，4)，则213||3PF =， 由双曲线的定义知12||||28PF PF a -==，则11337||833PF =+=， 则12133750||||333PF PF +=+=，故B 正确，在△12PF F 中，113713||210||33PF c PF =>=>=， 则24012020553PF k -==>-，21PF F ∠为钝角，则△12PF F 为钝角三角形，故C 正确， 2222121212121212121337641002||||||(||||)2||||10033cos 13372||||2||||233PF PF F F PF PF PF PF F PF PF PF PF PF -+⨯⨯+--+-∠===⨯⨯3618911121337133729⨯=-=-≠⨯⨯⨯，则123F PF π∠=错误，故正确的是BC ，故选16双曲线:C 2214x y -=的渐近线方程为__________，设双曲线1:C 22221(0,0)x y a b a b -=>>经过点(4，1)，且与双曲线C 具有相同渐近线，则双曲线1C 的标准方程为__________．【答案】12y x =± 221123y x -=【解析】(1)双曲线:C 2214x y -=的焦点在y 轴上，且1,2a b ==，渐近线方程为ay x b=±， 故渐近线方程为12y x =±；(2)由双曲线1C 与双曲线C 具有相同渐近线，可设221:4y C x λ-=，代入(4,1)有224134λλ-=⇒=-，故212:34x C y -=-，化简得221123y x -=.17已知O 为坐标原点，抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥，若6FQ =，则PF =______. 【答案】3抛物线C ：22y px = (0p >)的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，∵P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，所以P 的横坐标为2p ，代入抛物线方程求得P 的纵坐标为p ±，不妨设(,)2pP p ， 因为Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥，所以Q 在F 的右侧， 又||6FQ =，(6,0)2pQ +，(6,)PQ p =-，因为PQ OP ⊥，所以2602pPQ OP p ⋅=⨯-=， 0,3p p >∴=，所以PF =3故答案为△3.若双曲线1C ：()2230y x λλ-=≠的右焦点与抛物线2C ：28y x =的焦点重合，则实数λ=（ ） A. 3±B.C. 3D. -3【答案】D双曲线1C 的右焦点与抛物线的焦点(2,0)重合，所以双曲线1C 方程化：()22103y x λλλ-=≠，再转化为：()22103x y λλλ-=<--，所以23a λ=-， 2b λ=-，所以222433c a b λλλ=+=--=-，所以c =2=平方得 3.λ=-故选：D.17设双曲线：的右焦点为，点，已知点在双曲线的左支上，若的周长的最小值是，则双曲线的标准方程是__________，此时，点的坐标为__________．【答案】【解析】如下图，设为双曲线的左焦点，连接，，则，，故的周长， 因为，所以的周长， 因为的周长的最小值是，，，所以，的方程为， 当的周长取最小值时，点在直线上，因为，，所以直线的方程为，联立，解得，或（舍去）， 故的坐标为．故答案为：，．C 2221(0)y x b b-=>F ()0,Q b P CPQF △8C P 2214y x -=⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D C PD QD QD QF =2PFPD =+PQF△2l PQ PF QF PQ PD QD =++=+++PQ PD QD +≥=PQF△2l ≥PQF △82228,9c b +=+=22221cbab2b =c =C 2214y x -=PQF △P QD ()0,2Q ()D QD 25y x =+222514y x y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩1x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩4x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩P 2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭2214y x -=,12⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭18已知双曲线()221112211:10,0x y C a b a b -=>>与()222222222:10,0y x C a b a b -=>>有相同的渐近线，若1C 的离心率为2，则2C 的离心率为__________.双曲线()221112211:10,0x y C a b a b -=>>的渐近线方程为11b y x a =± ，()222222222:10,0y x C a b a b -=>>的渐近线方程为22a y x b =±，由题意可得1212b a a b =，由1C 的离心率为2得：22211121()b e a ==+ ，则222()3a b = ， 所以设2C 的离心率为2e ，则22222141()133b e a =+=+=，故2=e ，故答案为：19知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，焦点()()()12,0,00F c F c c ->，，左顶点(),0A a -，若过左顶点A 的直线和圆22224a a x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭相切，与双曲线在第一象限交于点P ，且2PF x ⊥轴，则直线的斜率是 _____， 双曲线的离心率是 _________. 【答案】如图，设圆22224a a x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭的圆心为B ，则圆心坐标(,0)2a B ，半径为2a ，则32a AB =，设过左顶点A 的直线和圆22224a a x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭相切于点C ，连接BC ，则2a BC =，所以AC ==，得tan aBC BAC AC ∠===；2PF x ⊥轴，由双曲线的通径可得，22b PF a=，又2AF a c =+，所以222tan PF AF b a BAC a c ∠===+，化简得24(40e -=，求解得e =.已知双曲线C ：﹣y 2＝1．（Ⅰ）求以C 的焦点为顶点、以C 的顶点为焦点的椭圆的标准方程； （Ⅱ）求与C 有公共的焦点，且过点（2，﹣）的双曲线的标准方程，并且求出这条双曲线的实轴长、焦距、离心率以及渐近线方程．解：（Ⅰ）双曲线C ：﹣y 2＝1的焦点为（±，0），顶点为（±2，0），设椭圆的标准方程为+＝1（a ＞b ＞0），可得c ＝2，a ＝，b ＝＝1，则椭圆的方程为+y 2＝1；（Ⅱ）设所求双曲线的方程为﹣＝1（m ．n＞0），由题意可得m 2+n 2＝5，﹣＝1，解得m ＝，n ＝，即所求双曲线的方程为﹣＝1，则这条双曲线的实轴长为2、焦距为2、离心率为以及渐近线方程为y＝±x ．20已知双曲线C ：﹣＝1（a ＞0，b ＞0）与双曲线﹣＝1有相同的渐近线，且经过点M （，﹣）．（Ⅰ）求双曲线C 的方程；（Ⅱ）求双曲线C 的实轴长，离心率，焦点到渐近线的距离．：（Ⅰ）∵双曲线C 与双曲线﹣＝1有相同的渐近线，∴设双曲线的方程为（λ≠0），代入M （，﹣）．得λ＝，故双曲线的方程为：．（Ⅱ）由方程得a ＝1，b ＝，c ＝，故离心率e ＝． 其渐近线方程为y ＝±x ；实轴长为2， 焦点坐标F （，0），解得到渐近线的距离为：＝．21已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>，点)是双曲线的一个顶点．（1）求双曲线的方程；（2）经过双曲线右焦点2F 作倾斜角为30°的直线，直线与双曲线交于不同的两点A ，B ，求AB ．（1）由题可得c a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩3c =，b =，所以双曲线的方程为22136x y-=；（2）双曲线22136x y -=的右焦点为()23,0F所以经过双曲线右焦点2F 且倾斜角为30°的直线的方程为3)y x =-．联立221363)x y y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得256270x x +-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则1265x x +=-，12275x x =-．所以5AB ==． 22已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>与双曲线22162y x -=的渐近线相同，且经过点()2,3．（1）求双曲线C 的方程；（2）已知双曲线C 的左右焦点分别为12,F F ，直线l 经过2F ，倾斜角为3,4l π与双曲线C 交于,A B 两点，求1F AB 的面积．（1）设所求双曲线C 方程为2262y x λ-=，代入点()2,3得：223262λ-=，即12λ=-， 所以双曲线C 方程为221622y x -=-，即2213y x -=．（2）由（1）知：()()122,0,2,0F F -，即直线AB 的方程为()2y x =--．设()()1122,,,A x y B x y ，联立()22213y x y x ⎧=--⎪⎨-=⎪⎩得22470x x +-=，满足>0∆且122x x +=-，1272x x =-，由弦长公式得12||AB x x =-=6==，点()12,0F -到直线:20AB x y +-=的距离d ===所以111622F ABS AB d =⋅=⋅⋅=。
高中数学(学生+老师)高考总复习双曲线习题及详解
高中数学高考总复习双曲线习题及详解（教师）一、选择题1．(文)(2010·山东潍坊)已知焦点在y轴上的双曲线的渐近线方程是y＝±4x，则该双曲线的离心率是()A.17B.15C.174 D.154[答案] C[解析]设双曲线方程为y2a2－x2b2＝1，则由题意得，ab＝4，∴a2c2－a2＝16，∴e＝174.(理)(2010·河北唐山)过双曲线x2a2－y2b2＝1的一个焦点F作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段OF(O为原点)的垂直平分线上，则双曲线的离心率为()A．2 B. 5C. 2D. 3[答案] C[解析]如图，FM⊥l，垂足为M，∵M在OF的中垂线上，∴△OFM为等腰直角三角形，∴∠MOF＝45°，即ba＝1，∴e＝ 2.2．(2010·全国Ⅰ文)已知F1、F2为双曲线C x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|＝()A．2B．4C．6D．8[答案] B[解析]在△F1PF2中，由余弦定理cos60°＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2 2|PF1|·|PF2|＝(|PF 1|－|PF 2|)2－|F 1F 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|2|PF 1|·|PF 2|＝4a 2－4c 22|PF 1||PF 2|＋1＝－2b 2|PF 1|·|PF 2|＋1， ∵b ＝1，∴|PF 1|·|PF 2|＝4.3．(文)(2010·合肥市)中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C 的两条渐近线与圆(x －2)2＋y 2＝1都相切，则双曲线C 的离心率是( )A.233或2B ．2或 3 C.3或62D.233或62[答案] A[解析] 焦点在x 轴上时，由条件知b a ＝13，∴c 2－a 2a 2＝13，∴e ＝c a ＝233，同理，焦点在y 轴上时，ba＝3，此时e ＝2.(理)已知F 1、F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，以线段F 1F 2为边作正△MF 1F 2，若边MF 1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为( )A ．4＋2 3 B.3－1 C.3＋12D.3＋1[答案] D[解析] 设线段MF 1的中点为P ，由已知△F 1PF 2为有一锐角为60°的直角三角形， ∴|PF 1|、|PF 2|的长度分别为c 和3c . 由双曲线的定义知：(3－1)c ＝2a ， ∴e ＝23－1＝3＋1. 4．已知椭圆x 23m 2＋y 25n 2＝1和双曲线x 22m 2－y 23n 2＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程为( )A ．x ＝±152y B ．y ＝±152x C ．x ＝±34yD ．y ＝±34x[答案] D[解析] 由题意c 2＝3m 2－5n 2＝2m 2＋3n 2， ∴m 2＝8n 2，∴双曲线渐近线的斜率k ＝±3|n |2|m |＝±34.方程为y ＝±34x .5．(文)(2010·湖南师大附中模拟)已知双曲线x 2m －y 27＝1，直线l 过其左焦点F 1，交双曲线左支于A 、B 两点，且|AB |＝4，F 2为双曲线的右焦点，△ABF 2的周长为20，则m 的值为( )A ．8B ．9C ．16D ．20[答案] B[解析] 由已知，|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝20，又|AB |＝4，则|AF 2|＋|BF 2|＝16.据双曲线定义，2a ＝|AF 2|－|AF 1|＝|BF 2|－|BF 1|，所以4a ＝|AF 2|＋|BF 2|－(|AF 1|＋|BF 1|)＝16－4＝12，即a ＝3，所以m ＝a 2＝9，故选B.(理)(2010·辽宁锦州)△ABC 中，A 为动点，B 、C 为定点，B ⎝⎛⎭⎫－m 2，0，C ⎝⎛⎭⎫m2，0(其中m >0，且m 为常数)，且满足条件sin C －sin B ＝12sin A ，则动点A 的轨迹方程为( )A.16y 2m 2－16x 23m2＝1B.x 216－y 2163＝1 C.16x 2m 2－16y 23m 2＝1(x >m4)D.16x 2m 2－16y 23m2＝1 [答案] C[解析] 依据正弦定理得：|AB |－|AC |＝12|BC |＝m2<|BC |∴点A 的轨迹是以B 、C 为焦点的双曲线的右支，且a ＝m 4，c ＝m 2，∴b 2＝c 2－a 2＝3m 216∴双曲线方程为16x 2m 2－16y 23m 2＝1(x >m4)6．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两焦点为F 1、F 2，点Q 为双曲线左支上除顶点外的任一点，过F 1作∠F 1QF 2的平分线的垂线，垂足为P ，则点P 的轨迹是( )A ．椭圆的一部分B ．双曲线的一部分C ．抛物线的一部分D ．圆的一部分[答案] D[解析] 延长F 1P 交QF 2于R ，则|QF 1|＝|QR |. ∵|QF 2|－|QF 1|＝2a ，∴|QF 2|－|QR |＝2a ＝|RF 2|，又|OP |＝12|RF 2|，∴|OP |＝a .7．(文)(2010·温州市十校)已知点F 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(1,2)C ．(1,1＋2)D ．(2,1＋2)[答案] B[解析] 由题意易知点F 的坐标为(－c,0)，A ⎝⎛⎭⎫－c ，b 2a ，B ⎝⎛⎭⎫－c ，－b2a ，E (a,0)，因为△ABE 是锐角三角形，所以EA →·EB →>0，即EA →·EB →＝⎝⎛⎭⎫－c －a ，b 2a ·⎝⎛⎭⎫－c －a ，－b 2a >0，整理得3e 2＋2e >e 4，∴e (e 3－3e －3＋1)<0，∴e (e ＋1)2(e －2)<0，解得e ∈(0,2)，又e >1，∴e ∈(1,2)，故选B.(理)(2010·浙江杭州质检)过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点F 引它的渐近线的垂线，垂足为M ，延长FM 交y 轴于E ，若FM ＝ME ，则该双曲线的离心率为( )A ．3B ．2 C. 3D. 2[答案] D[解析] 由条件知l ：y ＝b a x 是线段FE 的垂直平分线，∴|OE |＝|OF |＝c ，又|FM |＝|bc |a 2＋b 2＝b ，∴在Rt △OEF 中，2c 2＝4b 2＝4(c 2－a 2)， ∵e ＝ca>1，∴e ＝ 2.8．若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－153，153 B.⎝⎛⎭⎫0，153 C.⎝⎛⎭⎫－153，0D.⎝⎛⎭⎫－153，－1[答案] D[解析] 直线与双曲线右支相切时，k ＝－153，直线y ＝kx ＋2过定点(0,2)，当k ＝－1时，直线与双曲线渐近线平行，顺时针旋转直线y ＝－x ＋2时，直线与双曲线右支有两个交点，∴－153<k <－1. 9．(文)(2010·福建理)若点O 和点F (－2,0)分别为双曲线x 2a 2－y 2＝1(a >0)的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则OP →·FP →的取值范围为( )A ．[3－23，＋∞)B ．[3＋23，＋∞)C ．[－74，＋∞)D ．[74，＋∞)[答案] B[解析] 由条件知a 2＋1＝22＝4，∴a 2＝3， ∴双曲线方程为x 23－y 2＝1.设P 点坐标为(x ，y )，则OP →＝(x ，y )，FP →＝(x ＋2，y )， ∵y 2＝x 23－1，∴OP →·FP →＝x 2＋2x ＋y 2 ＝x 2＋2x ＋x 23－1＝43x 2＋2x －1 ＝43(x ＋34)2－74. 又∵x ≥3(P 为右支上任意一点) ∴OP →·FP →≥3＋2 3.故选B.(理)(2010·新课标全国理)已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程为( )A.x 23－y 26＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 26－y 23＝1D.x 25－y 24＝1 [答案] B[解析] 设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由题意知c ＝3，a 2＋b 2＝9，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)则有：⎩⎨⎧x 12a 2－y 12b 2＝1x 22a 2－y22b 2＝1，两式作差得：y 1－y 2x 1－x 2＝b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 2)＝4b 25a 2，∵k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2，且k AB ＝－15－0－12－3＝1，所以4b 2＝5a 2代入a 2＋b 2＝9得a 2＝4，b 2＝5，所以双曲线标准方程是x 24－y 25＝1，故选B. 10．(文)过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦点垂直于x 轴的弦长为12a ，则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e 的值是( )A.54 B.52 C.32D.54[答案] B[解析] 将x ＝c 代入椭圆方程得，c 2a 2＋y 2b 2＝1，∴y 2＝⎝⎛⎭⎫1－c 2a 2×b 2＝a 2－c 2a 2×b 2＝b 2a 2×b 2，∴y ＝±b 2a. ∴b 2a ＝14a ，∴b 2＝14a 2，e 2＝c 2a 2＝a2＋14a 2a 2＝54， ∴e ＝52，故选B. (理)(2010·福建宁德一中)已知抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点F 恰好是双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1的一个焦点，且两条曲线交点的连线过点F ，则该双曲线的离心率为( )A. 2B ．1±2C ．1＋ 2D ．无法确定[答案] C[解析] 由题意知p2＝c ，根据圆锥曲线图象的对称性，两条曲线交点的连线垂直于y 轴，对双曲线来说，这两个交点连线的长度是2b 2a ，对抛物线来说，这两个交点连线的长度是2p ，∵p ＝2c ，2b 2a＝4c ，∴b 2＝2ac ，∴c 2－a 2＝2ac ，∴e 2－2e －1＝0，解得e ＝1±2， ∵e >1，∴e ＝1＋ 2. 二、填空题11．(文)(2010·广东实验中学)已知P 是双曲线x 2a 2－y 29＝1右支上的一点，双曲线的一条渐近线的方程为3x －y ＝0.设F 1、F 2分别为双曲线的左、右焦点．若|PF 2|＝3，则|PF 1|＝________.[答案] 5[解析] 由双曲线的一条渐近线的方程为3x －y ＝0且b ＝3可得：a ＝1，由双曲线的定义知|PF 1|－|PF 2|＝2a ，∴|PF 1|－3＝2，∴|PF 1|＝5.(理)(2010·东营质检)已知双曲线x 29－y 2a ＝1的右焦点为(13，0)，则该双曲线的渐近线方程为________．[答案] y ＝±23x[解析] 由题意知9＋a ＝13，∴a ＝4，故双曲线的实半轴长为a ′＝3，虚半轴长b ′＝2， 从而渐近线方程为y ＝±23x .12．(2010·惠州市模考)已知双曲线x 2a 2－y 2＝1(a >0)的右焦点与抛物线y 2＝8x 焦点重合，则此双曲线的渐近线方程是________．[答案] y ＝±33x[解析] y 2＝8x 焦点是(2,0)， ∴双曲线x 2a 2－y 2＝1的半焦距c ＝2，又虚半轴b ＝1，又a >0，∴a ＝22－12＝3， ∴双曲线渐近线的方程是y ＝±33x .13．(2010·北京东城区)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点为F 1，F 2，P 为双曲线上一点，且|PF 1|＝3|PF 2|，则该双曲线离心率的取值范围是________．[答案] 1<e ≤2[解析] 由题意⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|－|PF 2|＝2a|PF 1|＝3|PF 2|，∴⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＝3a |PF 2|＝a ， ∵|PF 1|≥|AF 1|，∴3a ≥a ＋c ， ∴e ＝ca ≤2，∴1<e ≤2.14．下列有四个命题：①若m 是集合{1,2,3,4,5}中任取的一个值，中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线方程为mx －y ＝0，则双曲线的离心率小于4的概率为35.②若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝3x ，且其一个焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点重合，则双曲线的离心率为2；③将函数y ＝cos2x 的图象向右平移π6个单位，可以得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象； ④在Rt △ABC 中，AC ⊥BC ，AC ＝a ，BC ＝b ，则△ABC 的外接圆半径r ＝a 2＋b 22；类比到空间，若三棱锥S －ABC 的三条侧棱SA 、SB 、SC 两两互相垂直，且长度分别为a 、b 、c ，则三棱锥S －ABC 的外接球的半径R ＝a 2＋b 2＋c 22.其中真命题的序号为________．(把你认为是真命题的序号都填上) [答案] ①②④[解析] ①设双曲线方程为m 2x 2－y 2＝1， ∵a 2＝1m 2，b 2＝1，c 2＝a 2＋b 2＝m 2＋1m2 ∴e ＝ca ＝m 2＋1<4，∴m <15∴m 取值1、2、3故所求概率为35，故①正确．②根据双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝3x ，可得ba ＝3，因此离心率e ＝ca ＝a 2＋b 2a ＝a 2＋(3a )2a＝2，②正确；③函数y ＝cos2x 的图象向右平移π6个单位得y ＝cos2(x －π6)＝cos(2x －π3)＝sin[π2＋(2x －π3)]＝sin(2x ＋π6)的图象，③错误；④将三棱锥S －ABC 补成如图的长方体，可知三棱锥S －ABC 外接球的直径就等于该长方体的体对角线的长，则R ＝a 2＋b 2＋c 22，④正确．三、解答题15．(文)已知双曲线的中心在原点，离心率为2，一个焦点F (－2,0) (1)求双曲线方程；(2)设Q 是双曲线上一点，且过点F 、Q 的直线l 与y 轴交于点M ，若|MQ →|＝2|QF →|，求直线l 的方程．[解析] (1)由题意可设所求的双曲线方程为 x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0) 则有e ＝ca ＝2，c ＝2，∴a ＝1，则b ＝ 3∴所求的双曲线方程为x 2－y 23＝1. (2)∵直线l 与y 轴相交于M 且过焦点F (－2,0) ∴l 的斜率k 一定存在，设为k ，则l ：y ＝k (x ＋2) 令x ＝0得M (0,2k )∵|MQ →|＝2|QF →|且M 、Q 、F 共线于l ∴MQ →＝2QF →或MQ →＝－2QF → 当MQ →＝2QF →时，x Q ＝－43，y Q ＝23k∴Q ⎝⎛⎭⎫－43，23k ， ∵Q 在双曲线x 2－y 23＝1上， ∴169－4k 227＝1，∴k ＝±212， 当MQ →＝－2QF →时，同理求得Q (－4，－2k )代入双曲线方程得， 16－4k 23＝1，∴k ＝±32 5则所求的直线l 的方程为： y ＝±212(x ＋2)或y ＝±352(x ＋2) (理)(2010·湖南湘潭市)已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为(3，0)． (1)求双曲线C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且OA →·OB →>2(其中O 为原点)，求k 的取值范围．[解析] (1)设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1，由已知得a ＝3，c ＝2，再由a 2＋b 2＝22得，b 2＝1， 故双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.(2)将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1中得，(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由直线l 与双曲线交于不同的两点得⎩⎨⎧1－3k 2≠0Δ＝(62k )2＋36(1－3k 2)＝36(1－k 2)>0， ∴k 2≠13且k 2<1①设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )， 则x A ＋x B ＝62k1－3k 2，x A x B ＝－91－3k 2由OA →·OB →>2得，x A x B ＋y A y B >2， x A x B ＋y A y B ＝x A x B ＋(kx A ＋2)(kx B ＋2) ＝(k 2＋1)x A x B ＋2k (x A ＋x B )＋2 ＝(k 2＋1)·－91－3k 2＋2k ·62k1－3k 2＋2＝3k 2＋73k 2－1于是3k 2＋73k 2－1>2，即－3k 2＋93k 2－1>0，解此不等式得13<k 2<3②由①②得13<k 2<1，∴33<k <1或－1<k <－33.故k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－1，－33∪⎝⎛⎭⎫33，1. 16．(2010·江苏苏州模拟)已知二次曲线C k 的方程：x 29－k ＋y 24－k ＝1.(1)分别求出方程表示椭圆和双曲线的条件；(2)若双曲线C k 与直线y ＝x ＋1有公共点且实轴最长，求双曲线方程；(3)m 、n 为正整数，且m <n ，是否存在两条曲线C m 、C n ，其交点P 与点F 1(－5，0)，F 2(5，0)满足PF 1→·PF 2→＝0？若存在，求m 、n 的值；若不存在，说明理由．[解析] (1)当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧9－k >04－k >0，即k <4时，方程表示椭圆．当且仅当(9－k )(4－k )<0，即4<k <9时，方程表示双曲线． (2)解法一：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1x 29－k ＋y 24－k ＝1化简得， (13－2k )x 2＋2(9－k )x ＋(9－k )(k －3)＝0 ∵Δ≥0，∴k ≥6或k ≤4(舍)∵双曲线实轴最长，∴k 取最小值6时，9－k 最大即双曲线实轴最长， 此时双曲线方程为x 23－y 22＝1.解法二：若C k 表示双曲线，则k ∈(4,9)，不妨设双曲线方程为x 2a 2－y 25－a 2＝1，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1x 2a 2－y 25－a 2＝1消去y 得， (5－2a 2)x 2－2a 2x －6a 2＋a 4＝0 ∵C k 与直线y ＝x ＋1有公共点， ∴Δ＝4a 4－4(5－2a 2)(a 4－6a 2)≥0， 即a 4－8a 2＋15≥0，∴a 2≤3或a 2≥5(舍)， ∴实轴最长的双曲线方程为x 23－y 22＝1.解法三：双曲线x 29－k ＋y 24－k ＝1中c 2＝(9－k )＋(k －4)＝5，∴c ＝5，∴F 1(－5，0)，不妨先求得F 1(－5，0)关于直线y ＝x ＋1的对称点F (－1,1－5)，设直线与双曲线左支交点为M ，则 2a ＝|MF 2|－|MF 1|＝|MF 2|－|MF |≤|FF 2| ＝(－1－5)2＋(1－5)2＝2 3∴a ≤3，∴实轴最长的双曲线方程为x 23－y 22＝1.(3)由(1)知C 1、C 2、C 3是椭圆，C 5、C 6、C 7、C 8是双曲线，结合图象的几何性质，任意两椭圆之间无公共点，任意两双曲线之间也无公共点设|PF 1|＝d 1，|PF 2|＝d 2，m ∈{1,2,3}，n ∈{5,6,7,8}则根据椭圆、双曲线定义及PF 1→·PF 2→＝0(即PF 1⊥PF 2)，应有⎩⎨⎧d 1＋d 2＝29－m |d 1－d 2|＝29－n d 12＋d 22＝20，所以m ＋n ＝8.所以这样的C m 、C n 存在，且⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝1n ＝7或⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝2n ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3n ＝5.17．(文)(2010·全国Ⅱ文)已知斜率为1的直线l 与双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)相交于B 、D 两点，且BD 的中点为M (1,3)．(1)求C 的离心率；(2)设C 的右顶点为A ，右焦点为F ，|DF |·|BF |＝17，证明：过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切．[解析] (1)由题意知，l 的方程为：y ＝x ＋2， 代入C 的方程并化简得， (b 2－a 2)x 2－4a 2x －4a 2－a 2b 2＝0 设B (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4a 2b 2－a 2，x 1·x 2＝－4a 2＋a 2b 2b 2－a2①由M (1,3)为BD 的中点知x 1＋x 22＝1，故12×4a 2b 2－a 2＝1即b 2＝3a 2② 故c ＝a 2＋b 2＝2a ， ∴C 的离心率e ＝ca＝2.(2)由②知，C 的方程为3x 2－y 2＝3a 2，A (a,0)，F (2a,0)，x 1＋x 2＝2，x 1·x 2＝－4＋3a 22<0，故不妨设x 1≤－a ，x 2≥a ，|BF |＝(x 1－2a )2＋y 12＝(x 1－2a )2＋3x 12－3a 2＝a －2x 1， |FD |＝(x 2－2a )2＋y 22＝(x 2－2a )2＋3x 22－3a 2＝2x 2－a ，|BF |·|FD |＝(a －2x 1)(2x 2－a )＝－4x 1x 2＋2a (x 1＋x 2)－a 2＝5a 2＋4a ＋8. 又|BF |·|FD |＝17，故5a 2＋4a ＋8＝17， 解得a ＝1，或a ＝－95.故|BD |＝2|x 1－x 2|＝2(x 1＋x 2)2－4x 1·x 2＝6 连结MA ，则由A (1,0)，M (1,3)知|MA |＝3， 从而MA ＝MB ＝MD ，∠DAB ＝90°，因此以M 为圆心，MA 为半径的圆过A 、B 、D 三点，且在点A 处与x 轴相切， 所以过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切．(理)(2010·广东理)已知双曲线x 22－y 2＝1的左、右顶点分别为A 1，A 2，点P (x 1，y 1)，Q (x 1，－y 1)是双曲线上不同的两个动点．(1)求直线A 1P 与A 2Q 交点的轨迹E 的方程；(2)若过点H (0，h )(h >1)的两条直线l 1和l 2与轨迹E 都只有一个交点，且l 1⊥l 2.求h 的值． [分析] (1)由条件写出直线A 1P 与A 2Q 的方程，两式相乘后消去x 1，y 1得交点E 的方程；(2)l 1，l 2与E 只有一个交点，写出l 1与l 2的方程与曲线E 的方程联立，运用Δ＝0求解． [解析] (1)由条件知|x 1|>2，∵A 1、A 2为双曲线的左、右顶点∴，A 1(－2，0)，A 2(2，0)．A 1P y ＝y 1－0x 1＋2(x ＋2)，A 2Q y ＝－y 1－0x 1－2(x －2)，两式相乘得y 2＝－y 12x 12－2(x 2－2)，① 而点P (x 1，y 1)在双曲线上，所以x 122－y 12＝1，即y 12x 12－2＝12，代入①式，整理得， x 22＋y 2＝1. ∵|x 1|>2，∴点A 1(－2，0)，A 2(2，0)均不在轨迹E 上，又双曲线的渐近线方程为y ＝±22x ，故过点(0,1)和A 2(2，0)的直线与双曲线仅有一个交点A 2(2，0)，故点(0,1)不在轨迹E 上，同理点(0，－1)也不在轨迹E 上，∴轨迹E 的方程为x 22＋y 2＝1(x ≠±2，且x ≠0)．(2)设l 1y ＝kx ＋h ，则由l 1⊥l 2知，l 2y ＝－1kx ＋h .将l 1y ＝kx ＋h 代入x 22＋y 2＝1得x 22＋(kx ＋h )2＝1，即(1＋2k 2)x 2＋4khx ＋2h 2－2＝0， 由l 1与E 只有一个交点知，Δ＝16k 2h 2－4(1＋2k 2)(2h 2－2)＝0， ∴1＋2k 2＝h 2.同理，由l 2与E 只有一个交点知，1＋2·1k 2＝h 2，消去h 2得1k2＝k 2，即k 2＝1，从而h 2＝1＋2k 2＝3，即h ＝ 3.又分别过A 1、A 2且互相垂直的直线与y 轴正半轴交于点(0，2)，∴h ＝2符合题意，综上知h ＝2或 3.高中数学高考总复习双曲线习题（学生）一、选择题1．(文)(2010·山东潍坊)已知焦点在y 轴上的双曲线的渐近线方程是y ＝±4x ，则该双曲线的离心率是 ( )A.17B.15C.174D.154(理)(2010·河北唐山)过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段OF (O 为原点)的垂直平分线上，则双曲线的离心率为( )A ．2 B. 5 C. 2D. 32．(2010·全国Ⅰ文)已知F 1、F 2为双曲线C x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|＝( )A ．2B ．4C ．6D ．83．(文)(2010·合肥市)中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C 的两条渐近线与圆(x －2)2＋y 2＝1都相切，则双曲线C 的离心率是( )A.233或2B ．2或 3C.3或62D.233或62(理)已知F 1、F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，以线段F 1F 2为边作正△MF 1F 2，若边MF 1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为( )A ．4＋2 3 B.3－1 C.3＋12D.3＋14．已知椭圆x 23m 2＋y 25n 2＝1和双曲线x 22m 2－y 23n 2＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程为( )A ．x ＝±152y B ．y ＝±152x C ．x ＝±34yD ．y ＝±34x5．(文)(2010·湖南师大附中模拟)已知双曲线x 2m －y 27＝1，直线l 过其左焦点F 1，交双曲线左支于A 、B 两点，且|AB |＝4，F 2为双曲线的右焦点，△ABF 2的周长为20，则m 的值为( )A ．8B ．9C ．16D ．20(理)(2010·辽宁锦州)△ABC 中，A 为动点，B 、C 为定点，B ⎝⎛⎭⎫－m 2，0，C ⎝⎛⎭⎫m2，0(其中m >0，且m 为常数)，且满足条件sin C －sin B ＝12sin A ，则动点A 的轨迹方程为( )A.16y 2m 2－16x 23m2＝1B.x 216－y 2163＝1 C.16x 2m 2－16y 23m 2＝1(x >m4)D.16x 2m 2－16y 23m2＝1 6．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两焦点为F 1、F 2，点Q 为双曲线左支上除顶点外的任一点，过F 1作∠F 1QF 2的平分线的垂线，垂足为P ，则点P 的轨迹是( )A ．椭圆的一部分B ．双曲线的一部分C ．抛物线的一部分D ．圆的一部分7．(文)(2010·温州市十校)已知点F 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(1,2)C ．(1,1＋2)D ．(2,1＋2)(理)(2010·浙江杭州质检)过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点F 引它的渐近线的垂线，垂足为M ，延长FM 交y 轴于E ，若FM ＝ME ，则该双曲线的离心率为( )A ．3B ．2 C. 3D. 28．若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－153，153 B.⎝⎛⎭⎫0，153 C.⎝⎛⎭⎫－153，0D.⎝⎛⎭⎫－153，－1 9．(文)(2010·福建理)若点O 和点F (－2,0)分别为双曲线x 2a 2－y 2＝1(a >0)的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则OP →·FP →的取值范围为( )A ．[3－23，＋∞)B ．[3＋23，＋∞)C ．[－74，＋∞)D ．[74，＋∞)(理)(2010·新课标全国理)已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程为( )A.x 23－y 26＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 26－y 23＝1D.x 25－y 24＝1 10．(文)过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦点垂直于x 轴的弦长为12a ，则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e 的值是( )A.54 B.52 C.32D.54(理)(2010·福建宁德一中)已知抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点F 恰好是双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1的一个焦点，且两条曲线交点的连线过点F ，则该双曲线的离心率为( )A. 2B ．1±2C ．1＋ 2D ．无法确定二、填空题11．(文)(2010·广东实验中学)已知P 是双曲线x 2a 2－y 29＝1右支上的一点，双曲线的一条渐近线的方程为3x －y ＝0.设F 1、F 2分别为双曲线的左、右焦点．若|PF 2|＝3，则|PF 1|＝________.(理)(2010·东营质检)已知双曲线x 29－y 2a ＝1的右焦点为(13，0)，则该双曲线的渐近线方程为________．12．(2010·惠州市模考)已知双曲线x 2a 2－y 2＝1(a >0)的右焦点与抛物线y 2＝8x 焦点重合，则此双曲线的渐近线方程是________．13．(2010·北京东城区)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点为F 1，F 2，P 为双曲线上一点，且|PF 1|＝3|PF 2|，则该双曲线离心率的取值范围是________．14．下列有四个命题：①若m 是集合{1,2,3,4,5}中任取的一个值，中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线方程为mx －y ＝0，则双曲线的离心率小于4的概率为35.②若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝3x ，且其一个焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点重合，则双曲线的离心率为2；③将函数y ＝cos2x 的图象向右平移π6个单位，可以得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象； ④在Rt △ABC 中，AC ⊥BC ，AC ＝a ，BC ＝b ，则△ABC 的外接圆半径r ＝a 2＋b 22；类比到空间，若三棱锥S －ABC 的三条侧棱SA 、SB 、SC 两两互相垂直，且长度分别为a 、b 、c ，则三棱锥S －ABC 的外接球的半径R ＝a 2＋b 2＋c 22.其中真命题的序号为________．(把你认为是真命题的序号都填上) 三、解答题15．(文)已知双曲线的中心在原点，离心率为2，一个焦点F (－2,0) (1)求双曲线方程；(2)设Q 是双曲线上一点，且过点F 、Q 的直线l 与y 轴交于点M ，若|MQ →|＝2|QF →|，求直线l 的方程．(理)(2010·湖南湘潭市)已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为(3，0)． (1)求双曲线C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且OA →·OB →>2(其中O 为原点)，求k 的取值范围．16．(2010·江苏苏州模拟)已知二次曲线C k 的方程：x 29－k ＋y 24－k ＝1.(1)分别求出方程表示椭圆和双曲线的条件；(2)若双曲线C k 与直线y ＝x ＋1有公共点且实轴最长，求双曲线方程；(3)m 、n 为正整数，且m <n ，是否存在两条曲线C m 、C n ，其交点P 与点F 1(－5，0)，F 2(5，0)满足PF 1→·PF 2→＝0？若存在，求m 、n 的值；若不存在，说明理由．17．(文)(2010·全国Ⅱ文)已知斜率为1的直线l 与双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)相交于B 、D 两点，且BD 的中点为M (1,3)．(1)求C 的离心率；(2)设C 的右顶点为A ，右焦点为F ，|DF |·|BF |＝17，证明：过A 、B 、D 三点的圆与x轴相切．(理)(2010·广东理)已知双曲线x 22－y 2＝1的左、右顶点分别为A 1，A 2，点P (x 1，y 1)，Q (x 1，－y 1)是双曲线上不同的两个动点．(1)求直线A 1P 与A 2Q 交点的轨迹E 的方程；(2)若过点H (0，h )(h >1)的两条直线l 1和l 2与轨迹E 都只有一个交点，且l 1⊥l 2.求h 的值．。
高中数学选择性必修一(人教版)《3.2双曲线习题》
1．已知双曲线x 216－y 29＝1上的点P 到(5,0)的距离为15，则点P 到点(－5,0)的距离为( )A ．7B ．23C ．5或25D ．7或232．已知双曲线的中心在原点，两个焦点F 1，F 2分别为(5，0)和(－5，0)，点P 在双曲线上，且PF 1⊥PF 2，△PF 1F 2的面积为1，则双曲线的方程为( )A ．x 22－y 23＝1B ．x 23－y 22＝1C ．x 24－y 2＝1D ．x 2－y 24＝1 3．双曲线x 2n －y 2＝1(n >1)的两焦点为F 1，F 2，P 在双曲线上，且满足|PF 1|＋|PF 2|＝2n ＋2，则△PF 1F 2的面积为( )A ．12B ．1C ．2D ．44．(2018·全国卷Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，则点(4,0)到C的渐近线的距离为( )A ． 2B ．2C ．322D ．225．若椭圆x 2m ＋y 2n ＝1(m ＞n ＞0)和双曲线x 2s －y 2t ＝1(s ，t ＞0)有相同的焦点F 1和F 2，而P 是这两条曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|的值是( )A ．m －sB ．12(m －s )C ．m 2－s 2D ．m －s6．(2019·全国卷Ⅰ)双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的倾斜角为130°，则C 的离心率为( )A ．2sin 40°B ．2cos 40°C ．1sin 50°D ．1cos 50°7．(2018·全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 23－y 2＝1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N .若△OMN 为直角三角形，则|MN |＝( )A ．32B ．3C ．2 3D ．48．(2020·郑州一中月考)设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右顶点分别为A ，B ，点P在双曲线上，且异于A ，B 两点．O 为坐标原点，若直线PA ，PB 的斜率之积为79，则双曲线的离心率为________．9．若F 1，F 2是双曲线C ：x 2－y 224＝1(y ≠0)的左、右焦点，点P 是双曲线C 上一点，若|PF 1|＝6，则|PF 2|＝______，△PF 1F 2的面积S △PF 1F 2＝_______.10．若椭圆x 216＋y 27＝1和双曲线x 2－y 28＝1有相同的焦点F 1，F 2，点P 是两条曲线的一个交点，则|PF 1|2＋|PF 2|2的值是________.11．若直线y ＝x －4与双曲线x 29－y 23＝1相交于A ，B 两点，则|AB |＝________.12．已知F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，且双曲线C的实轴长为6，离心率为53.(1)求双曲线C 的标准方程；(2)设点P 是双曲线C 上任意一点，且|PF 1|＝10，求|PF 2|.13. 已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为(3，0)． (1)求双曲线C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且OA ―→·OB ―→>2，其中O 为原点，求k 的取值范围．。
高中数学专题双曲线及其标准方程检测(学生)
2.1。
4双曲线及其标准方程（检测学生版）时间:50分钟 总分：80分班级: 姓名：一、 选择题(共6小题，每题5分,共30分)1．双曲线xy 222-=8的焦点坐标是（ ） A 。
()± B.(0,± C 。
()2,0± D 。
()0,2±2．下列曲线中焦点坐标为()1,0-的是( ) A ．223312x y -= B ．2214x y +=C ．22143x y -=D ．22123x y += 3．若双曲线22149x y -=上一点P 到左焦点的距离是3，则点P 到右焦点的距离为 （ ）A ．4B ．5C ．6D ．74．过双曲线228x y -=的左焦点1F 有一条弦PQ 交左支于P 、Q 点,若7PQ =,2F 是双曲线的右焦点，则△2PF Q 的周长是( ）A ．28B ．14-．14+．5．椭圆2214x y +=与双曲线2212x y -=有相同的焦点1F 、2F ，P 是这两条曲线的一个交点，则△12F PF 的面积是（ ）A ．4B ．2C ．1D ．126．过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点1F ，作圆222x y a +=的切线交双曲线右支于点P ，切点为T ，若1PF 的中点M 在第一象限，则以下结论正确的是（ ）A ．b a MO MT -=-B ．b a MO MT ->-C ．b a MO MT -<-D ．b a MO MT -=+二、 填空题（共4小题，每题5分，共20分）7．已知点F 1，F 2分别是双曲线错误!－错误!＝1的左、右焦点，P 为双曲线右支上一点，I 是△PF 1F 2的内心,且S △IPF 2＝S △IPF 1－λS △IF 1F 2，则λ＝________.8．若方程错误!＋错误!＝1（k ∈R ）表示双曲线,则k 的范围是________．9．已知椭圆错误!＋错误!＝1与双曲线错误!－错误!＝1有相同的焦点，则实数a ＝________。
高中数学人教A版(2019)选择性必修第一册《3 双曲线及其标准方程》同步练习(含解析)
人教A 版（2019）选择性必修第一册《3.2.1 双曲线及其标准方程》同步练习一 、单选题（本大题共13小题，共65分）1.（5分）若方程x 2m+1+y 22−m =1表示焦点在y 轴上的双曲线，则实数m 的取值范围是( )A. (−1,2)B. (−∞,−1)C. (2,+∞)D. (−1,12)∪(12,2)2.（5分）焦点坐标为(−4,0)，(4,0)且实轴长为4的双曲线的标准方程为( )A.x 26−y 212=1 B.x 26−y 214=1C. x 24−y 212=1D. x 24−y 216=13.（5分）若方程x 2k−2+y 25−k =1表示双曲线，则实数k 的取值范围是( )A. 2<k <5B. k >5 ；C. k <2或k >5；D. 以上答案均不对4.（5分）若方程x 29−k+y 2k−1=1表示焦点在y 轴上的双曲线，则k 的取值范围是( )A. k <1或k >9B. k >9C. 1<k <9且k ≠5D. 5<k <9 5.（5分）若方程表示双曲线，则的取值范围是 ( )A. B.C.D.6.（5分）方程x 2k−2−y 2k+3=1(k ∈R )表示双曲线的充要条件是( )A. k >2或k <−3B. k <−3C. k >2D. −3<k <27.（5分） 若椭圆x 225+y 216=1和双曲线x 24−y 25=1的共同焦点为F 1，F 2，P 是两曲线的一个交点，则|PF 1|⋅|PF 2|的值为( )A. 212B. 84C. 3D. 218.（5分）一动圆与两圆x 2+y 2=1和x 2+y 2−8x +12=0都外切，则动圆圆心轨迹为( )A. 圆B. 椭圆C. 双曲线的一支D. 抛物线9.（5分）双曲线x 24−y 212=1的焦距为( )A. 4B. 8C. 2√2D. 2√310.（5分）已知F1、F2是双曲线C1：与椭圆C2的公共焦点，点A是C1、C2在第一象限的公共点，若|F1F2|=|F1A|，则C2的离心率是()A. B.C. D.（5分）11.已知双曲线的一个焦点F1(5,0)，且过点(3,0)，则该双曲线的标准方程为()A. x29−y216=1 B. y216−x29=1C. x29−y225=1 D. y225−x29=112.（5分）与椭圆x2132+y2122=1有公共焦点，且离心率e=54的双曲线方程为()A. x242−y232=1 B. x2132−y252=1C. x232−y242=1 D. x2132−y2122=113.（5分）若双曲线E:x225−y2144=1的左､右焦点分别为F1,F2，点P在双曲线E上，且|PF1|=16，则|PF2|等于()A. 26或6B. 26C. 6D. 28二、填空题（本大题共5小题，共25分）14.（5分）已知F1,F2分别是双曲线E:x2a2−y2b2=1(a＞0,6＞0)的左、右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1=13，则E的离心率为_______.15.（5分）设中心在原点的双曲线与椭圆x22+y2=1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程为__________.16.（5分）若经过点(4,√3)的双曲线的渐近线方程为y=12x，则双曲线的标准方程为______ ．17.（5分）在相距1000m的A、B两哨所，听到炮弹爆炸声音的时间相距2s，已知声速340ms.以AB的中点O为原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy，则炮弹爆炸点所在曲线的方程为______．18.（5分）与椭圆x249+y224=1有公共焦点，且离心率e=54的双曲线的方程______．三、解答题（本大题共5小题，共60分）19.（12分）根据下列条件求双曲线的标准方程：(1)与双曲线x2−4y2=4有共同的渐近线，且经过点(2,2)；(2)经过点P(−3,2√7)和Q(−6√2,−7).20.（12分）(1)求一个焦点为F(2,0)，且经过点A(3,0)的椭圆的标准方程．(2)已知双曲线的焦点在x轴，渐近线方程为y=±12x，且过点(3,12)，求双曲线的标准方程．21.（12分）(1)求经过两点(32,52)，(√3,√5)的椭圆的标准方程；(2)与双曲线x2−y24=1有相同的渐近线且经过点(1,√3)的双曲线方程.22.（12分）求符合下列条件的曲线的标准方程：(1)求焦点在x轴，且过点(3,0)，离心率e=√63的椭圆的标准方程。
高中数学选修2-1同步练习2.3.3直线与双曲线的位置关系(含答案)总结
直线与双曲线的地点关系一、选择题( 每题 5 分，共20 分)1．已知双曲线方程为y2x2－4＝1，过P(1,0)的直线l与双曲线只有一个公共点，则l的条数为()A． 4B． 3C． 2D． 1分析：数形联合知，过点P(1,0)有一条直线l与双曲线相切，有两条直线与渐近线平行，这三条直线与双曲线只有一个公共点．答案：B2．设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，假如直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为()A. 2B. 33＋ 15＋ 1C. D.22x2y2分析：设双曲线方程为a2－b2＝1(a，b>0)，不如设一个焦点为F( c, 0)，虚轴端点为B(0， b)，则 k FB b＝－c.b又渐近线的斜率为±a，因此由直线垂直关系得－b b bc· a＝－1(－ a明显不切合) ，即 b2＝ ac，又 c2－ a2＝ b2，故 c2－a2＝ ac，两边同除以 a2，得方程 e2－ e－1＝0，解得＝5＋ 1＝1－ 5或(舍)．e2e2答案：Dx2y23．已知双曲线a2－b2＝ 1( a>0，b>0) 的右焦点为F，若过点 F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是()A． (1,2]B． (1,2)C． [2 ，＋∞ )D． (2 ，＋∞)分析：依据双曲线的性质，过右焦点 F 且倾斜角为60°的直线与双曲线只有一个交点，说明其渐近线的斜率的绝对值大于或等于tan 60 °＝b3，则c2－ a2e2e23，即≥2＝－ 1≥ 3，故有≥4，≥2.a a e应选 C.答案：C224． 是双曲线 x －y＝1 的右支上一点，、 分别是圆 ( x ＋5) 2＋y 2＝4 和( x －5) 2＋y 2＝ 1上的点，则| |P9 16 M NPM－| PN | 的最大值为 ()A ． 6B ． 7C ． 8D ． 9分析： 设双曲线的两个焦点分别是 F 1( － 5,0) 与 F 2(5,0) ，则这两点正好是两圆的圆心， 当且仅当点 P与 M 、 F 三点共线以及 P 与 N 、 F 三点共线时所求的值最大，此时 | PM |－ | PN |＝(| PF | ＋2) － (| PF | －1)＝61 2 1 2＋ 3＝ 9.答案： D二、填空题 ( 每题5 分，共 10 分)x 2 y 22225．过双曲线 C ： a 2－b 2＝ 1( a >0， b >0) 的一个焦点作圆 x ＋ y ＝ a 的两条切线，切点分别为A ，B ，若∠＝120°( 是坐标原点 ) ，则双曲线 C 的离心率为 ________．AOBO分析： ∵∠ AOB ＝120° ? ∠ AOF ＝60° ? ∠ AFO ＝30° ? c ＝ 2a ，∴ e ＝c＝ 2.a答案：2x 2 y 26．已知双曲线 12－ 4 ＝ 1 的右焦点为 F ，若过点 F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是 ________．分析：由题意知 (4,0) ，双曲线的两条渐近线方程为y＝±3 ，F3x33当过 F 点的直线与渐近线平行时， 知足与右支只有一个交点，画出图形， 经过图形可知， － 3 ≤ k ≤ 3 .答案：3 3－3，3三、解答题 ( 每题 10 分，共 20 分 )7．已知双曲线22A 、B 两点，试问 A 、3x － y ＝ 3，直线 l 过右焦点 F ，且倾斜角为 45°，与双曲线交于2B 两点能否位于双曲线的同一支上？并求弦 AB 的长．分析： ∵ a ＝1， ＝ 3， ＝ 2，b c又直线 l 过点 F 2(2,0) ，且斜率 k ＝tan 45 °＝ 1，∴ l 的方程为 y ＝ x － 2，由 y ＝ x － 2消去 y 并整理得 2x 2＋ 4x － 7＝ 0，3x 2 －y 2＝ 3设 A ( x 1，y 1) ， B ( x 2，y 2) ，7∵ x 1· x 2＝－ 2<0，∴ A 、B 两点分别位于双曲线的左、右两支上．7 ∵ x 1＋ x 2＝－ 2， x 1· x 2 ＝－ ，2∴ | AB | ＝ 1＋12| x 1－ x 2| ＝ 2·x 1＋ x 22－ 4x 1x 227＝ 2·－－4× －2 ＝6.22y8．已知双曲线 x －3 ＝ 1 上存在对于直线 l ： y ＝ kx ＋4 的对称点，务实数 k 的取值范围．分析： ①当 k ＝ 0 时，明显不建立．②当k ≠0时，在双曲线上随意取两点， ，设 的中点 的坐标为 ( 0， 0) ，由 l ⊥ ，A B AB M M x y AB1可设直线 AB 的方程为 y ＝－ k x ＋ b ，将其代入 3x 2－ y 2＝ 3 中，得 (3 k 2－1) x 2＋ 2kbx － ( b 2＋ 3) k 2＝0.明显 3k 2－1≠0，即 k 2b 2＋ 3k 2－ 1>0. ①由根与系数的关系得AB 的中点 M 的坐标为－ kb x ＝32－1，②ky 0＝3k 2b.③3k 2－ 1由于 M 均分 AB ，因此 M ( x 0， y 0) 在直线 l 上，3k 2b－ k 2b进而有 3k 2－ 1＝ 3k 2－1＋ 4，即 k 2b ＝3k 2－ 1，④将④代入①得2 2＋ 2 >0，∴ >0 或b <－1，k b k bb3 2－ 1 3 2－1即k 2>0 或k <－ 1，31∴ | k |> 3 或 | k |< 2，且 k ≠0，33 1 1∴ k > 3 或 k <－ 3 或－ 2<k <2，且 k尖子生题库☆☆☆9． (10 分 ) 设圆 C 与两圆 ( x ＋ 5) 2＋ y 2＝ 4， ( x － 5) 2＋y 2＝ 4 中的一个内切，另一个外切．(1) 求圆 C 的圆心轨迹 L 的方程；(2) 已知点 M 3 5 45，(5，0) ，且 P 为 L 上动点，求 ||| －||| 的最大值及此时点P 的坐标．5，MPFP5 分析：(1) 设圆 C 的圆心坐标为 ( x ， y ) ，半径为 r .圆 ( x ＋22＝ 41，半径为 2，5) ＋ y 的圆心为 F (－ 5，0)圆 ( x － 5) 2＋ y 2＝ 4 的圆心为 F ( 5， 0) ，半径为 2.| CF 1| ＝ r ＋ 2， | CF 1| ＝ r － 2， 由题意得| CF | ＝ r － 2或| CF | ＝r ＋ 2，∴ || CF 1| － | CF || ＝4.15>4，∵|FF |＝2∴圆 C 的圆心轨迹是以 1， F ( 5， 0) 为焦点的双曲线，其方程为 x 22＝1.F (－ 5，0) 4 － y (2) 由图知， || MP |－ | FP || ≤|MF |，∴当 M ， P ， F 三点共线，且点 P 在 MF 延伸线上时， | MP | － | FP | 获得最大值 |MF |，且 |MF |＝355－ 5 2＋ 455－0 2＝2.直线 MF 的方程为 y ＝－ 2x ＋ 2 5，与双曲线方程联立得y ＝－ 2x ＋ 2 5，22整理得 15x －32 5x ＋ 84＝ 0.x－ y 2＝1，41456 5解得 x ＝ 15( 舍去 ) ， x ＝5.12此时 y＝－ 255.∴当|| |－||| 获得最大值 2 时，点P 的坐标为65 2 5 .MP FP 5，－5。
高中数学选修1-1 2.2双曲线基础练习题
高二数学周周清（3）一、选择题（每小题5分，共12小题）1．到两定点()0,41-F 、()0,42F 的距离的差的绝对值等于8的点M 的轨迹是 （ ）A ．椭圆B ．线段C ．双曲线D ．两条射线2.双曲线221102x y -=的焦距为 （ ）3．双曲线x 24－y 29＝1的渐近线方程是 ( ) A ．y ＝±32x B ．y ＝±23x C ．y ＝±94x D ．y ＝±49x 4．双曲线2216436x y -=上一点P 到右焦点的距离是 8，则P 到左焦点的距离是 ( ) A. 325 B. 965C. -8D. 24 5.已知双曲线的实轴长为6，焦距为10，则该双曲线的标准方程为 （ ） A. 116922=-y x B. 191622=-y x C. 116922=-y x 或116922=-x y D. 191622=-y x 或116922=-y x 6.若双曲线标准方程为1222=-y x ，则双曲线的离心率是 ( ) A.22 B.23 C.26 D.1 7. 双曲线116922=-x y 的焦点坐标是 ( ) A. )03(，± B. )05(，± C. )30(±， D. )50(±，8.双曲线15422=-y x 的左焦点到右顶点的距离是 ( ) A. 5 B.4 C.3 D. 29. 方程11122=-++ky k x 表示双曲线，则k 的取值范围是 （ ） A ．11<<-k B ．0>k C ．0≥k D ．1>k 或1-<k10. 以椭圆C:15822=+y x 的焦点为顶点，以椭圆C 的顶点为焦点的的双曲线方程是 （ ） A ．15322=-y x B ．13522=-x y C ．15322=-x y D ．13522=-y x 11. 若a k <<0，双曲线12222=+--k b y k a x 与双曲线12222=-b y a x 有 （ ）A ．相同的虚轴B ．相同的实轴C ．相同的渐近线D ． 相同的焦点12．已知m,n 为两个不相等的非零实数，则方程m x －y+n=0与n x 2+my 2=mn 所表示的曲线可能是（ ）二、填空题（每小题5分，共4小题）13.已知动点P 到两定点（-3,0），（3,0）的距离的差的绝对值是8，则点P 的轨迹方程是__________14.等轴双曲线的一个焦点是F 1（0，4），则它的标准方程是___________15.双曲线3322=-my mx 的一个焦点是（2，0），则m 的值是16. 过点()1,3-A 且被点A 平分的双曲线2244x y -=的弦所在的直线的方程是______________ 三、解答题（每小题10分，共2小题）17.分别在下列条件下求双曲线的标准方程（1）过两点），），（，（225-2-2； （2）过点32y 2-33±=），且渐近线方程为，（；18.已知双曲线C:1322=-y x ，21F F 、是其左右焦点， （1）若双曲线C 上一点P ，满足021=⋅PF ，求21F PF ∆的面积；（2）若双曲线C 与直线L ：1+=kx y 交于A 、B 两点，且23的面积为AOB ∆，求k 的值。
高中数学双曲线的标准方程精选题
双曲线的标准方程一．选择题（共17小题） 1．已知方程22221(,)3x y m n R mnmn-=∈+-表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是()A ．(1,3)-B ．(-C ．(0,3)D ．(02．已知双曲线E 的中心为原点，(3,0)P 是E 的焦点，过P 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且A B 的中点为(12,15)N --，则E 的方程式为( )A ．22136xy-= B ．22145xy-=C ．22163xy-= D ．22154xy-=3．已知双曲线22212x ya-=的一条渐近线的倾斜角为6π，则双曲线的离心率为()A 3B 3CD ．24．已知双曲线2222:1x y Cab-=的焦距为10，点(2,1)P 在C 的渐近线上，则C 的方程为()A ．221205xy-=B ．221520xy-=C ．2218020xy-=D ．2212080xy-=5．双曲线22221124xymm-=+-的焦距是()A ．4B ．6C ．8D ．与m 有关6．已知双曲线C 的一个焦点为(0,5)，且与双曲线2214xy-=的渐近线相同，则双曲线C 的标准方程为()A ．2214yx-= B ．2214xy-= C ．221205xy-= D ．221520yx-=7．一动圆P 过定点(4,0)M-，且与已知圆22:(4)16Nx y-+=相切，则动圆圆心P 的轨迹方程是()A ．221(2)412xyx -=… B ．221(2)412xyx -=…C ．221412xy-=D ．221412yx-=8．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F ，0)，直线1y x =-与其相交于M 、N 两点，M N 中点的横坐标为23-，则此双曲线的方程是()A ．22134x y-= B ．22143xy-=C ．22152xy-= D ．22125xy-=9．焦点在x 轴上，虚轴长为12，离心率为54的双曲线标准方程是( )A ．22164144xy-=B ．2213664xy-= C ．2216416yx-=D ．2216436xy-=10．已知椭圆2222135xym n+=和双曲线2222123xym n-=有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是()A ．2xy=±B ．2y=±C ．4xy=±D ．4y=±11．命题p ：“35m <<”是命题q ：“曲线22135xym m-=--表示双曲线”的()A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件12．已知双曲线方程为：2212yx-=，则下列叙述正确的是()A ．焦点(1,0)F ±B ．渐近线方程：y =C D ．实轴长为13．设3(4πθ∈，)π，则关于x 、y 的方程221s in c o s xyθθ-=所表示的曲线是( )A ．焦点在y 轴上的双曲线B ．焦点在x 轴上的双曲线C ．焦点在y 轴上的椭圆D ．焦点在x 轴上的椭圆14．以椭圆22143xy+=的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为( )A ．2213yx -=B ．2213yx-= C ．22143xy-= D ．22134xy-=15．已知点(3,0)A -和点(3,0)B ，动点M 满足||||4M A M B-=，则点M 的轨迹方程是()A ．221(0)45xyx -=< B ．221(0)45xyx -=>C ．221(0)95xyx -=<D ．221(0)95xyx -=>．16．以原点为中心，焦点在y 轴上的双曲线C 的一个焦点为(0F ，，一个顶点为(0,2)A -，则双曲线C的方程为( )A ．22122yx-=B ．221412yx-= C ．22144yx-= D ．22142yx-=17．若方程22112xym m+=--表示双曲线，则实数m 的取值范围是()A ．2m > B ．1m <或2m> C ．12m << D ．1m <二．填空题（共13小题）18．已知双曲线过点(4且渐近线方程为12yx=±，则该双曲线的标准方程是 ．19．若双曲线经过点(6，且其渐近线方程为13yx=±，则此双曲线的标准方程 ．20．与椭圆2214924xy+=有公共焦点，且离心率54e =的双曲线的方程 ．21．双曲线2214xy -=的焦距为 ；渐近线方程为 ．22．已知以20xy ±=为渐近线的双曲线经过点(4,1)，则该双曲线的标准方程为 ．23．已知双曲线22221(0,0)x y a b ab-=>>的两条渐近线方程为3y=±，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为 ． 24．与双曲线2214yx-=有共同的渐近线，且过点(2,2)的双曲线的标准方程为 ．25．已知双曲线C 的中心在原点，(2,0)F -是一个焦点，过F 的直线l 与双曲线C 交于A ，B 两点，且A B 的中点为(3,1)N --，则C 的方程是 ．26．若双曲线的一个顶点坐标为(3,0)，焦距为10，则它的标准方程为 ． 27．已知双曲线221(0)6xym mm -=>+的虚轴长是实轴长的2倍，则双曲线的标准方程为 ．28．过点(2,2)-且与2212xy-=有公共渐近线方程的双曲线方程为 ．29．设中心在原点的双曲线与椭圆2212xy+=有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程是 ．30．以抛物线28y x=的顶点为中心，焦点为右焦点，且以y=为渐近线的双曲线方程是 ．三．解答题（共2小题）31．（1）求适合下列条件的椭圆的标准方程：对称轴为坐标轴，经过点(6,0)P -和(0,8)Q ． （2）已知双曲线的一个焦点为(5,0)，渐近线方程为34y x=±，求此双曲线的标准方程．32．已知椭圆的中心在坐标原点，椭圆的右焦点2F 与抛物线24y x的焦点重合，且椭圆经过点3(1,)2P ．（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；（Ⅱ）求以这个椭圆的焦点为顶点、顶点为焦点的双曲线的标准方程．双曲线的标准方程精选题32道参考答案与试题解析一．选择题（共17小题） 1．已知方程22221(,)3x y m n R mnmn-=∈+-表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是()A ．(1,3)- B．(-C ．(0,3)D．(0【分析】由已知可得2c =，利用224()(3)m n mn =++-，解得21m =，又22()(3)0mn m n +->，从而可求n的取值范围．【解答】解：双曲线两焦点间的距离为4，2c ∴=，当焦点在x 轴上时， 可得：224()(3)mn mn =++-，解得：21m =，方程222213xy mnmn-=+-表示双曲线，22()(3)0mn mn ∴+->，可得：(1)(3)0n n +->，解得：13n -<<，即n 的取值范围是：(1,3)-．当焦点在y 轴上时， 可得：224()(3)mn mn -=++-，解得：21m =-，无解． 故选：A ．【点评】本题主要考查了双曲线方程的应用，考查了不等式的解法，属于基础题．2．已知双曲线E 的中心为原点，(3,0)P 是E 的焦点，过P 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且A B 的中点为(12,15)N --，则E 的方程式为( )A ．22136xy-= B ．22145xy-=C ．22163xy-= D ．22154xy-=【分析】已知条件易得直线l 的斜率为1，设双曲线方程，及A ，B 点坐标代入方程联立相减得1224x x +=-，根据21221245y y b x x a-=-，可求得a 和b 的关系，再根据3c=，求得a 和b ，进而可得答案． 【解答】解：由已知条件易得直线l 的斜率为1P N kk ==，设双曲线方程为22221x y ab-=，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则有22112222222211x y a bx y ab⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式相减并结合1224x x +=-，1230y y +=-得21221245y y b x x a-=-，从而22415b k a==即2245b a=， 又229a b +=，解得24a =，25b =，故选：B ．【点评】本题主要考查了双曲线的标准方程．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力． 3．已知双曲线22212x ya-=的一条渐近线的倾斜角为6π，则双曲线的离心率为()A3B3CD ．2【分析】根据渐近线的倾斜角求出渐近线方程，结合题意求出a 、c 的值，再计算双曲线的离心率． 【解答】解：双曲线22212x ya-=的一条渐近线的倾斜角为6π，则ta n63π=，所以该条渐近线方程为3y =；3a =解得a =；所以c===所以双曲线的离心率为3c e a===．故选：A ．【点评】本题考查了双曲线的渐近线和离心率的应用问题，是基础题．4．已知双曲线2222:1x yCa b-=的焦距为10，点(2,1)P在C的渐近线上，则C的方程为()A．221205x y-=B．221520x y-=C．2218020x y-=D．2212080x y-=【分析】利用双曲线2222:1x yCa b-=的焦距为10，点(2,1)P在C的渐近线上，建立方程组，求出a，b的值，即可求得双曲线的方程．【解答】解：双曲线2222:1x yCa b-=的焦距为10，点(2,1)P在C的渐近线上，2225a b∴+=，21ba=，b∴=a=∴双曲线的方程为221 205x y-=．故选：A．【点评】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．5．双曲线22221124x ym m-=+-的焦距是()A．4B．6C．8D．与m有关【分析】首先判断双曲线的焦点在x轴上，求出2a，2b，由222c a b=+，计算可得c，即可得到焦距2c．【解答】解：双曲线22221124x ym m-=+-焦点在x轴上，即有240m->，则2212a m=+，224b m=-，22216c a b=+=，则4c=，焦距28c=．故选：C．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查运算能力，属于基础题．6．已知双曲线C的一个焦点为(0,5)，且与双曲线2214xy-=的渐近线相同，则双曲线C的标准方程为()A．2214yx-=B．2214xy-=C．221205x y-=D．221520y x-=【分析】由已知是双曲线的方程可得渐近线的方程，设双曲线C的方程可得渐近线的方程，由题意可得a，b的关系，再由焦点的坐标可得a，b的值即求出双曲线C的方程．【解答】解：双曲线2214xy-=的渐近线方程为：12yx=±， 由题意设双曲线C 的方程为：22221y x ab-=，由焦点坐标(0,5)可得2225a b+=，①渐近线的方程为：a y xb=±再由C 与双曲线2214xy-=的渐近线相同，所以12a b=，②，由①②可得25a =，220b =，所以双曲线C 的方程为：221520yx-=，故选：D ．【点评】本题考查双曲线的性质，渐近线方程与双曲线的参数之间的关系，属于基础题． 7．一动圆P 过定点(4,0)M-，且与已知圆22:(4)16Nx y-+=相切，则动圆圆心P 的轨迹方程是()A ．221(2)412xyx -=… B ．221(2)412xyx -=…C ．221412xy-=D ．221412yx-=【分析】动圆圆心为P ，半径为r ，已知圆圆心为N ，半径为4，则||4P N P M -=，即动点P 到两定点的距离之差为常数4，P 在以M 、C 为焦点的双曲线上，且24a =，28c=，从而可得动圆圆心P 的轨迹方程．【解答】解：动圆圆心为P ，半径为r ，已知圆圆心为N ，半径为4，则||4P NP M -=，即动点P 到两定点的距离之差为常数4，P 在以M 、C 为焦点的双曲线上，且24a=，28c =，b ∴=∴动圆圆心M 的轨迹方程为：221412xy-=．故选：C ．【点评】本题考查圆与圆的位置关系，考查双曲线的定义，考查学生的计算能力，属于中档题．8．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F ，0)，直线1y x =-与其相交于M 、N 两点，M N 中点的横坐标为23-，则此双曲线的方程是()A ．22134x y-= B ．22143xy-=C ．22152xy-= D ．22125xy-=【分析】先设出双曲线的方程，然后与直线方程联立方程组，经消元得二元一次方程，再根据韦达定理及M N 中点的横坐标可得a 、b 的一个方程，又双曲线中有222c ab=+，则另得a 、b 的一个方程，最后解a 、b 的方程组即得双曲线方程．【解答】解：设双曲线方程为22221x y ab-=．将1yx =-代入22221x y ab-=，整理得2222222()20b a x a x aa b-+--=．由韦达定理得212222a x x ab+=-，则21222223x x a ab+==--．又2227c ab=+=，解得22a =，25b =，所以双曲线的方程是22125xy-=．故选：D ．【点评】本题主要考查代数方法解决几何问题，同时考查双曲线的标准方程与性质等． 9．焦点在x 轴上，虚轴长为12，离心率为54的双曲线标准方程是( )A ．22164144xy-=B ．2213664xy-= C ．2216416yx-=D ．2216436xy-=【分析】由虚轴长是12求出半虚轴b ，根据双曲线的性质222c a b=+以及离心率然，求出2a ，写出双曲线的标准方程．【解答】解：根据题意可知212b =，解得6b=①又因为离心率54c ea ==②根据双曲线的性质可得222a c b=-③由①②③得，264a =双所以满足题意的双曲线的标准方程为：2216436xy-=故选：D ．【点评】此题考查学生掌握双曲线的性质，会利用待定系数法求双曲线的标准方程，是一道中档题． 10．已知椭圆2222135xym n+=和双曲线2222123xym n-=有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是()A ．2xy=±B ．2y=±C ．4xy=± D ．4y=±【分析】先根据椭圆方程和双曲线方程分别表示出c ，令二者相等即可求得m 和n 的关系，进而利用双曲线的方程求得双曲线的渐近线方程． 【解答】解：椭圆和双曲线有公共焦点22223523m nmn∴-=+，整理得228m n=，∴m n=双曲线的渐近线方程为4y x=±=±故选：D ．【点评】本题主要考查了双曲线的标准方程，圆锥曲线的综合．考查了学生综合运用双曲线的基础的能力． 11．命题p ：“35m <<”是命题q ：“曲线22135xym m-=--表示双曲线”的()A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【分析】根据题意，由m 的范围可得30m ->，5m ->，即可得曲线22135xym m-=--表示双曲线，反之，若曲线22135xym m-=--表示双曲线，必有(3)(5)0m m -->，解可得m 的取值范围，分析可得答案． 【解答】解：根据题意，当35m <<，则30m->，5m ->，则曲线22135xym m-=--表示双曲线，反之，若曲线22135xym m-=--表示双曲线，必有(3)(5)0m m -->，解可得35m <<，故命题p ：“35m <<”是命题q ：“曲线22135xym m-=--表示双曲线”的充要条件，故选：A ．【点评】本题考查充分必要条件的判断，涉及双曲线的标准方程，属于基础题． 12．已知双曲线方程为：2212yx-=，则下列叙述正确的是()A ．焦点(1,0)F ±B ．渐近线方程：y =C D ．实轴长为【分析】求出双曲线方程求出焦点坐标，渐近线方程，离心率，实轴长判断选项即可． 【解答】解：双曲线方程为：2212yx-=，所以1a =，22a =，所以D 不正确，b =，则c=C 不正确；渐近线方程为：y =，所以B 正确；焦点坐标(0)，所以A 不正确；故选：B ．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查． 13．设3(4πθ∈，)π，则关于x 、y 的方程221s in c o s xyθθ-=所表示的曲线是( )A ．焦点在y 轴上的双曲线B ．焦点在x 轴上的双曲线C ．焦点在y 轴上的椭圆D ．焦点在x 轴上的椭圆【分析】利用3(4πθ∈，)π，可定c o s s in 0θθ->>，即可得出结论．【解答】解：3(4πθ∈，)π，c o s s in 0θθ∴->>，∴关于x 、y 的方程221s in c o s xyθθ-=所表示的曲线是焦点在y 轴上的椭圆．故选：C ．【点评】本题考查椭圆方程，考查学生的计算能力，比较基础． 14．以椭圆22143xy+=的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为( )A ．2213yx -=B ．2213yx-= C ．22143xy-= D ．22134xy-=【分析】熟练掌握圆锥曲线的标准方程及其性质是解题的关键． 【解答】解：设要求的双曲线为22221x y ab-=，由椭圆22143xy+=得焦点为(1,0)±，顶点为(2,0)±．∴双曲线的顶点为(1,0)±焦点为(2,0)±．1a ∴=，2c=，2223b c a∴=-=．∴双曲线为2213yx-=．故选：B ．【点评】熟练掌握圆锥曲线的标准方程及其性质是解题的关键． 15．已知点(3,0)A -和点(3,0)B ，动点M 满足||||4M A M B-=，则点M 的轨迹方程是()A ．221(0)45xyx -=< B ．221(0)45xyx -=>C ．221(0)95xyx -=<D ．221(0)95xyx -=>．【分析】由题设知动点M 是以点(3,0)A -和点(3,0)B 为焦点的双曲线的右支上的点，由此结合题设条件能求出点M 的轨迹方程．【解答】解：点(3,0)A -和点(3,0)B ，动点M 满足||||4M A M B-=，∴动点M 是以点(3,0)A -和点(3,0)B 为焦点的双曲线的右支上的点，且2a=，3c=，b=∴点M 的轨迹方程是221(0)45xyx -=>．故选：B ．【点评】本题考查点的轨迹方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，要熟练掌握双曲线的性质．16．以原点为中心，焦点在y 轴上的双曲线C 的一个焦点为(0F ，，一个顶点为(0,2)A -，则双曲线C的方程为( )A ．22122yx-=B ．221412yx-= C ．22144yx-= D ．22142yx-=【分析】利用双曲线的简单性质求解．【解答】解：以原点为中心，焦点在y 轴上的双曲线C 的一个焦点为(0F ，，一个顶点为(0,2)A -，∴设双曲线C 的方程为22221y x ab-=，则222(2a b b ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得2ab ==，∴双曲线C 的标准方程是22144yx-=．故选：C ．【点评】本题考查双曲线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，仔细解答，注意双曲线的简单性质的灵活运用． 17．若方程22112xym m+=--表示双曲线，则实数m 的取值范围是()A ．2m> B ．1m <或2m> C ．12m << D ．1m <【分析】由双曲线方程的特点可得(1)(2)0m m --<，解之可得．【解答】解：若方程22112xym m+=--表示的曲线为双曲线，则(1)(2)0mm --<，即(1)(2)0mm -->，解得1m <或2m>．故选：B ．【点评】本题考查双曲线的简单性质，得出(1)(2)0m m --<是解决问题的关键，属基础题．二．填空题（共13小题）18．已知双曲线过点(4且渐近线方程为12yx=±，则该双曲线的标准方程是22114xy-= ．【分析】设双曲线方程为2214y xλ-=，代入点(4，求出λ，即可求出双曲线的标准方程．【解答】解：设双曲线方程为2214y x λ-=，代入点(4，可得13164λ-⨯=，1λ∴=-，∴双曲线的标准方程是22114xy-=．故答案为：22114xy-=．【点评】本题考查双曲线的标准方程，考查学生的计算能力，正确设出双曲线的方程是关键．19．若双曲线经过点(6，且其渐近线方程为13yx=±，则此双曲线的标准方程2219xy-= ．【分析】由已知设双曲线方程为229xyλ-=，(0)λ≠，利用待定系数法能求出此双曲线的标准方程．【解答】解：双曲线经过点(6，且其渐近线方程为13yx=±，∴设双曲线方程为229xyλ-=，(0)λ≠把点(6代入，得：3639λ-=，解得1λ=．∴此双曲线的标准方程为：2219xy -=．故答案为：2219xy-=．【点评】本题考查双曲线标准方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意待定系数法的合理运用． 20．与椭圆2214924xy+=有公共焦点，且离心率54e =的双曲线的方程221169xy-= ．【分析】求出椭圆的焦点，可得5c =，由离心率公式可得4a =，由a ，b ，c 的关系可得3b =，即可得到双曲线的方程．【解答】解：椭圆2214924xy+=的焦点为(0)即为(5,0)±，则双曲线的5c =，由离心率54e=，则54c a=，则有4a=，3b==，则双曲线的方程为221169xy-=，故答案为：221169xy-=．【点评】本题考查椭圆和双曲线的方程和性质，考查离心率公式的运用，考查运算能力，属于基础题和易错题． 21．双曲线2214xy-=的焦距为；渐近线方程为 ．【分析】由双曲线方程求得a ，b ，c 的值，则其焦距与渐近线方程可求．【解答】解：由题知，24a =，21b =，故2225cab=+=，∴双曲线的焦距为：2c=，渐近线方程为：12b y x xa=±=±．故答案为：；12yx=±．【点评】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的简单性质，是基础题． 22．已知以20xy ±=为渐近线的双曲线经过点(4,1)，则该双曲线的标准方程为221123xy-= ．【分析】由渐近线的方程设双曲线的方程，再由过的定点的坐标求出参数，化简为双曲线的标准形式． 【解答】解：由渐近线的方程以20x y ±=可以设双曲线的方程为：224xyλ-=，又过(4,1)，所以1614λ-=，可得3λ=，所以双曲线的方程为：221123xy-=；故答案为：221123xy-=．【点评】考查双曲线的性质，属于基础题．23．已知双曲线22221(0,0)x y a b ab-=>>的两条渐近线方程为3y=±，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为223144xy -= ．【分析】由渐近线方程得到双曲线的实半轴、虚半轴之间的关系，再由顶点到渐近线的距离为1，求出实半轴、虚半轴的长， 进而写出双曲线方程．【解答】解：双曲线的焦点在x 轴上，两条渐近线方程为3y=±，∴3b a=，其中一个顶点的坐标(,0)a ，30y -= 的距离为：12a =，2a ∴=，3b∴=，∴所求双曲线的方程为：223144xy -=．【点评】本题考查双曲线的标准方程和性质，求出a 和b 的值，是解题的关键，属于中档题． 24．与双曲线2214yx-=有共同的渐近线，且过点(2,2)的双曲线的标准方程为221312xy-= ．【分析】由于与双曲线2214yx-=有共同的渐近线，故方程可假设为224yxλ-=，再利用过点(2,2)即可求【解答】解：设双曲线方程为224yx λ-=过点(2,2)，3λ∴=∴所求双曲线方程为221312xy-=故答案为221312xy-=【点评】本题的考点是双曲线的标准方程，主要考查待定系数法求双曲线的标准方程，关键是方程的假设方法．25．已知双曲线C 的中心在原点，(2,0)F -是一个焦点，过F 的直线l 与双曲线C 交于A ，B 两点，且A B 的中点为(3,1)N --，则C 的方程是2213xy-= ．【分析】先利用点F ，N 的坐标求出直线A B 的斜率，再利用点差法得到223a b=，结合224a b+=求出a ，b的值，从而得到双曲线C 的方程．【解答】解：因为(2,0)F -，(3,1)N --，所以直线A B 的斜率1l k =，设双曲线方程为22221(0,0)x y a b ab-=>>，则224a b+=， 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则126x x +=-，122y y +=-，12121l y y k x x -==-．由2211221x y ab-=，2222221x y ab-=，得1212121222()()()()x x x x y y y y ab+-+--=，即22260l k ab-+=，223a b∴=．于是23a =，21b =， 所以C 的方程为2213xy-=．【点评】本题主要考查了双曲线方程，以及双曲线与直线的位置关系，考查了点差法的应用，是中档题． 26．若双曲线的一个顶点坐标为(3,0)，焦距为10，则它的标准方程为 221916xy-= ．【分析】根据顶点坐标求得a ，根据焦距求得c ，进而根据222b c a=-求得b ，进而求得双曲线的标准方程．【解答】解：依题意可知3a=，5c=4b ∴==根据顶点坐标可知焦点在x 轴，∴双曲线的方程为221916xy-=故答案为：221916xy-=【点评】本题主要考查了双曲线的标准方程．解题的关键是挖掘题设中的信息，充分利用a ，b 和c 的关系，同时注意焦点是在x 轴还是在y 轴． 27．已知双曲线221(0)6xym mm -=>+的虚轴长是实轴长的2倍，则双曲线的标准方程为22128xy-= ．【分析】由题意可得m 与6m +的关系，求出m 的值，进而可得双曲线的方程．【解答】解：由题意知2a m=，26b m =+，则实轴长为，虚轴长为由题意有2=，解得2m=，代入2216xymm -=+中，可得双曲线的标准方程为22128xy-=．故答案为：22128xy-=．【点评】本题考查双曲线的定义，属于基础题． 28．过点(2,2)-且与2212xy-=有公共渐近线方程的双曲线方程为22124yx-= ．【分析】先设出双曲线的方程，利用已知双曲线的渐近线求得a 和b 的关系，然后把点(2,2)-代入双曲线方程求得a ，进而求得b ，则双曲线的方程可得． 【解答】解：依题意可在知双曲线的焦点在y 轴， 设出双曲线的方程为22221y x ab-=，根据已知曲线方程可知其渐近线方程为2yx=±∴2a b=，b=把点(2．2)-代入24412aa-=中求得2b=，a=∴双曲线的方程为：22124yx-=故答案为：22124yx-=【点评】本题主要考查了双曲线的标准方程．考查考生分析推理和基本的运算能力． 29．设中心在原点的双曲线与椭圆2212xy+=有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程是22221x y-= ．【分析】欲求双曲线方程，只需求出双曲线中的a ，b 的值即可，根据双曲线与椭圆2212xy+=有公共的焦点，求出椭圆中的c 值，也即双曲线中的c 值，再求出椭圆中的离心率，因为椭圆与双曲线的离心率互为倒数，所以可得双曲线中离心率，据此求出a 值，再利用a ，b ，c 之间的关系式，就可得到双曲线的方程．【解答】解：椭圆2212xy+=中1c=中心在原点的双曲线与椭圆2212xy+=有公共的焦点∴双曲线中1c =，椭圆2212xy +=的离心率为2c a=，椭圆与双曲线的离心率互为倒数．∴∴双曲线中2a=，22212b ca=-=，2b=∴双曲线的方程为22221x y-=故答案为22221x y-=．【点评】本题主要考查了椭圆，双曲线的标准方程以及性质的应用．30．以抛物线28yx=的顶点为中心，焦点为右焦点，且以y=为渐近线的双曲线方程是2213yx-= ．【分析】由题意设双曲线方程为2213xyλλ-=．再由双曲线的右焦点为(2,0)，求出λ的值，进而得到双曲线方程．【解答】解：双曲线的渐近线为y=，∴设双曲线方程为2213xyλλ-=．28yx=的顶点为(0,0)，焦点为(2,0)，∴双曲线的右焦点为(2,0)．34λλ∴+=，1λ=．∴双曲线方程为2213yx-=．故答案为：2213yx-=．【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答． 三．解答题（共2小题）31．（1）求适合下列条件的椭圆的标准方程：对称轴为坐标轴，经过点(6,0)P -和(0,8)Q ． （2）已知双曲线的一个焦点为(5,0)，渐近线方程为34yx=±，求此双曲线的标准方程．【分析】（1）由已知可得椭圆焦点在y 轴上，且得到实半轴与短半轴的长，则椭圆方程可求； （2）由已知可得，双曲线焦点在x 轴上，且5c=，34b a=，结合隐含条件求得a ，b ，则双曲线方程可求．【解答】解：（1）由题意，可知椭圆焦点在y 轴上，且8a=，6b=，∴椭圆方程为2216436yx+=；（2）由已知可得，双曲线焦点在x 轴上，且5c =，34b a=，又222a bc+=，解得4a=，3b=，∴双曲线的标准方程为221169xy-=．【点评】本题考查椭圆与双曲线的标准方程，是基础题． 32．已知椭圆的中心在坐标原点，椭圆的右焦点2F 与抛物线24y x=的焦点重合，且椭圆经过点3(1,)2P ．（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；（Ⅱ）求以这个椭圆的焦点为顶点、顶点为焦点的双曲线的标准方程． 【分析】（Ⅰ）抛物线24y x=的焦点为(1,0)即1c =，再利用椭圆定义，求出2a ，得出a ，可求得方程（Ⅱ）双曲线中由（Ⅰ）1a =，2c =，可求得方程【解答】解：（Ⅰ）抛物线24yx=的焦点右焦点2(1,0)F ，左焦点1(1F -，2123530)1(1,)2423222c P a P F P F a b ∴==+==+=∴=∴=所求椭圆方程为22143xy+=（Ⅱ）1a=，2c =则23b=所求双曲线的方程为2213yx-=【点评】本题考查圆锥曲线定义、标准方程、简单的几何性质．属于基础题．。
高中数学双曲线练习题
高中数学双曲线练习题一、选择题1. 双曲线的标准方程为 \( \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} =1 \)，其中 \( a \) 和 \( b \) 分别表示什么？A. 焦点间距离的一半B. 横轴和纵轴的半轴长C. 横轴和纵轴的全轴长D. 渐近线与横轴的夹角2. 双曲线的焦点到渐近线的距离等于：A. \( a \)B. \( b \)C. \( c \)D. \( \sqrt{a^2 + b^2} \)3. 双曲线 \( \frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1 \) 的焦距是：A. 10B. 8C. 6D. 54. 双曲线 \( \frac{x^2}{4} - y^2 = 1 \) 上的点 \( P(x, y) \) 到右焦点的距离与到左焦点的距离之差为：A. 2B. 4C. 6D. 85. 双曲线 \( \frac{x^2}{4} - y^2 = 1 \) 的一条渐近线方程是：A. \( x + 2y = 0 \)B. \( x - 2y = 0 \)C. \( y = \frac{x}{2} \)D. \( y = -\frac{x}{2} \)二、填空题6. 若双曲线的中心在原点，焦点坐标为 \( (±c, 0) \)，且 \( c = 5 \)，则 \( a \) 的值为______。
7. 双曲线 \( \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \) 的一个顶点坐标为 \( (a, 0) \)，若 \( a = 3 \)，则 \( b \) 的值为______。
8. 已知双曲线 \( \frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1 \) 上的点\( M(3, -4) \) 到其一条渐近线的距离为______。
9. 若双曲线 \( \frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1 \) 上的点\( P \) 到右焦点的距离为 \( 10 \)，则 \( P \) 到左焦点的距离为______。
高中数学复习考点知识专题练习28 双曲线
【答案】1
【解析】由题意知：直线݈方程为： ݕൌ ݔ 1
由双曲线方程可知，双曲线渐近线方程为：ݕ
ൌ
േ
ݔ
设 ， ܣሺݔଵ, ݕଵሻ ܤሺݔଶ, ݕଶሻ
由 得： ܤሬሬሬሬܯሬሬറ ൌ 2ሬܣሬሬሬܯሬሬറ ݔଶ ൌ 2ݔଵ
联立直线方程݈与渐近线方程可得：ݔଶ
若∆OTM 的周长为4a，则双曲线的渐近线的方程为( )
．A
y=
3x 4
【答案】B
【解析】
．B y = ± 4 x 3
．C y = ± 3 x 5
．D y = ± 5 x 3
3/8
解：连 OT，则 ⊥ ， OT F1T
在直角三角形 中， ． OTF1 |F1T| = OF12 − OT 2 = c2 − a2 = b 连 ， PF2 M 为线段 F1P 的中点，O 为坐标原点
±
b a
x
，
由过 E 的右顶点作 x 轴的垂线与 E 的渐近线相交于 ，A B 两点，且四边形 OAFB 为菱形，
则对角线互相平分，所以c = 2a ， b = 3 ，所以结合选项可知，只有 D 满足， a
由 ，解得 ， ，
x2 a2
−
y2 b2
=1
x2 + y2 = c2 = 4a2
7 xA = 2 a
与 E 在第一象限的交点是 P，且 PF = 7 −1，则双曲线 E 的方程是( )
．A x2 − y2 = 1 62
【答案】D
．B x2 − y2 = 1 26
．C x2 − y2 = 1 3
．D x2 − y2 = 1 3
2020年高中数学 课堂小练《双曲线的几何性质》(含答案解析)
2020年高中数学 课堂小练 《双曲线的几何性质》一、选择题1.等轴双曲线的一个焦点是F 1(-6，0)，则它的标准方程是( )A.1181822=-x y B.1181822=-y x C.18822=-y x D.18822=-x y 2.双曲线C ：12222=-by a x (a>0，b>0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为3，则双曲线C 的焦距等于( )A.2B.2 2C.4D.4 23.双曲线两条渐近线互相垂直，那么它的离心率为( )A.2B. 3C. 2D.324.已知点P ，A ，B 在双曲线x 2a 2－y2b2=1(a ＞0，b ＞0)上，直线AB 过坐标原点，且直线PA ，PB 的斜率之积为13，则双曲线的离心率为( )A.233 B ．153 C ．2 D ．1025.已知双曲线x 2a 2－y21－a2=1(0＜a ＜1)的离心率为2，则a 的值为( )A.12B.22C.13D.336.已知F 是双曲线C ：x 2－y 23=1的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1,3)，则△APF 的面积为( ) A.13 B.12 C.23 D.327.设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2-y2b2=1(a>0，b>0)的左、右焦点，O 是坐标原点．过F 2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若|PF 1|=6|OP|，则C 的离心率为( ) A ． 5 B ．2 C ． 3 D ． 28.若双曲线E ：=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|=3，则|PF 2|等于( )A.11B.9C.5D.39.圆O 的半径为定长，A 是平面上一定点，P 是圆上任意一点，线段AP 的垂直平分线l 和直线OP 相交于点Q ，当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹为( )A.一个点B.椭圆C.双曲线D.以上选项都有可能10.已知F 是双曲线C ：x 2－y 23=1的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1，3)，则△APF 的面积为( ) A.13 B ．12 C.23 D ．32 11.圆O 的半径为定长，A 是平面上一定点，P 是圆上任意一点，线段AP 的垂直平分线l 和直线OP 相交于点Q ，当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹为( )A.一个点B.椭圆C.双曲线D.以上选项都有可能 12.已知双曲线的标准方程为x 2a 2-y2b2=1，F 1，F 2为其左、右焦点，若P 是双曲线右支上的一点，且tan∠PF 1F 2=12，tan∠PF 2F 1=2，则此双曲线的离心率为( )A. 5B.52C.355D. 3二、填空题13.在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线14222=+-m y m x 的离心率为5，则m 的值为________. 14.已知双曲线x 2m －y 23m =1的一个焦点是(0，2)，椭圆y 2n －x2m=1的焦距等于4，则n=________．15.设F 1，F 2分别为双曲线C ：x 2a 2－y2b2=1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，M ，N 是双曲线C 的一条渐近线上的两点，四边形MF 1NF 2为矩形，A 为双曲线的一个顶点，若△AMN 的面积为12c 2，则该双曲线的离心率为________．16.已知双曲线C ：x 2a 2-y2b2=1(a>0，b>0)的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点．若∠MAN=60°，则C 的离心率为________．三、解答题17.已知双曲线13222=-by x 的右焦点为(2，0). (1)求双曲线的方程；(2)求双曲线的渐近线与直线x=-2围成的三角形的面积.18.已知点F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2－y 2b2=1(b ＞0)的左、右焦点，过F 2作垂直于x 轴的直线，在x 轴上方交双曲线C 于点M ，∠MF 1F 2=30°. (1)求双曲线C 的方程；(2)过双曲线C 上任意一点P 作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P 1，P 2，求PP 1―→·PP 2―→的值．答案解析1.答案为：B ；2.答案为：C ；3.答案为：C ；解析：双曲线为等轴双曲线，两条渐近线方程为y=±x ，即b a =1，e=ca= 2.4.答案为：A.解析：根据双曲线的对称性可知点A ，B 关于原点对称，设A(x 1，y 1)，B(－x 1，－y 1)，P(x ，y)，所以x 21a 2－y 21b 2=1，x 2a 2－y 2b 2=1，两式相减得x 21－x 2a 2=y 21－y 2b 2，即y 21－y 2x 21－x 2=b 2a2，因为直线PA ，PB 的斜率之积为13，所以k PA ·k PB =y 1－y x 1－x ·－y 1－y －x 1－x =y 21－y 2x 21－x 2=b 2a 2=13，所以双曲线的离心率为e=1＋b 2a2=1＋13=233.故选A.5.答案为：B ；解析：∵c 2=a 2＋1－a 2=1，∴c=1，又c a =2，∴a=22，故选B.6.答案为：D ；解析：法一：由题可知，双曲线的右焦点为F(2,0)，当x=2时，代入双曲线C 的方程，得4－y23=1，解得y=±3，不妨取点P(2,3)，因为点A(1,3)，所以AP ∥x 轴，又PF ⊥x 轴，所以AP ⊥PF ，所以S △APF =12|PF|·|AP|=12×3×1=32.法二：由题可知，双曲线的右焦点为F(2,0)，当x=2时，代入双曲线C 的方程，得4－y23=1，解得y=±3，不妨取点P(2,3)，因为点A(1,3)，所以AP ―→=(1,0)，PF ―→=(0，－3)，所以AP ―→·PF ―→=0，所以AP ⊥PF ，所 7.答案为：C ；解析：由题可知|PF 2|=b ，|OF 2|=c ，∴|PO|=a ．在Rt △POF 2中，cos ∠PF 2O=|PF 2||OF 2|=bc，∵在△PF 1F 2中，cos ∠PF 2O=|PF 2|2＋|F 1F 2|2－|PF 1|22|PF 2||F 1F 2|=bc，∴b 2＋4c 2－(6a )22b·2c =b c ⇒c 2=3a 2，∴e=3．故选C ．8.B. 9.C.解析：∵A 为⊙O 外一定点，P 为⊙O 上一动点线段AP 的垂直平分线交直线OP 于点Q ，则QA=QP ，则QA ﹣QO=QP ﹣QO=OP=R ，即动点Q 到两定点O 、A 的距离差为定值，根据双曲线的定义， 可知点Q 的轨迹是：以O ，A 为焦点，OP 为实轴长的双曲线故选：C.10.答案为：D.解析：由题可知，双曲线的右焦点为F(2，0)，当x=2时，代入双曲线C 的方程，得4－y23=1，解得y=±3，不妨取点P(2，3)，因为点A(1，3)，所以AP∥x 轴，又PF⊥x 轴，所以AP⊥PF，所以S △APF =12|PF|·|AP|=12×3×1=32.故选D.11.C.解析：∵A 为⊙O 外一定点，P 为⊙O 上一动点线段AP 的垂直平分线交直线OP 于点Q ，则QA=QP ，则QA ﹣QO=QP ﹣QO=OP=R ，即动点Q 到两定点O 、A 的距离差为定值，根据双曲线的定义，可知点Q 的轨迹是：以O ，A 为焦点，OP 为实轴长的双曲线,故选：C.12.答案为：A ；解析：由tan∠PF 1F 2=12，tan∠PF 2F 1=2知，PF 1⊥PF 2，作PQ⊥x 轴于点Q ，则由△PF 1Q∽△F 2PQ ，得|F 1Q|=4|F 2Q|=85c ，故P ⎝ ⎛⎭⎪⎫35c ，45c ， 代入双曲线的方程，有b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫35c 2-a 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫45c 2=a 2b 2，又a 2＋b 2=c 2，则(9c 2-5a 2)(c 2-5a 2)=0，解得c a =5或c a =53(舍)，即离心率e=5，故选A.一、填空题13.在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线14222=+-m y m x 的离心率为5，则m 的值为________. 答案为：2；14.答案为：5；解析：因为双曲线的焦点是(0，2)，所以焦点在y 轴上，所以双曲线的方程为y 2－3m －x2－m=1，即a 2=－3m ，b 2=－m ，所以c 2=－3m －m=－4m=4，解得m=－1.所以椭圆方程为y 2n＋x 2=1，且n ＞0，椭圆的焦距为4，所以c 2=n －1=4或1－n=4，解得n=5或－3(舍去)．15.答案为：2；解析：设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，b a x ，根据矩形的性质，得|MO|=|OF 1|=|OF 2|=c ，即x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a x 2=c 2，则x=a ，所以M(a ，b)．因为△AMN 的面积为12c 2，所以2×12×a ×b=12c 2，所以4a 2(c 2－a 2)=c 4，所以e 4－4e 2＋4=0，所以e= 2.16.答案为：233；解析：如图，由题意知点A(a ，0)，双曲线的一条渐近线l 的方程为y=bax ，即bx-ay=0，∴点A 到l 的距离d=aba 2＋b 2．又∠MAN=60°，|MA|=|NA|=b ，∴△MAN 为等边三角形，∴d=32|MA|=32b ，即ab a 2＋b 2=32b ，∴a 2=3b 2，∴e=c a =a 2＋b 2a 2=233．17.解：18.解：(1)由题易知F 2(1＋b 2，0)，可设M(1＋b 2，y 1)．因为点M 在双曲线C 上且在x 轴上方，所以1＋b 2－y 21b2=1，得y 1=b 2，所以|F 2M|=b 2.在Rt △MF 2F 1中，∠MF 1F 2=30°，|MF 2|=b 2，所以|MF 1|=2b 2.由双曲线的定义可知，|MF 1|－|MF 2|=b 2=2，故双曲线C 的方程为x 2－y 22=1.(2)易知两条渐近线方程分别为l 1：2x －y=0，l 2：2x ＋y=0. 设双曲线C 上的点P(x 0，y 0)，两条渐近线的夹角为θ， 不妨设P 1在l 1上，P 2在l 2上，则点P 到两条渐近线的距离分别为|PP 1|=|2x 0－y 0|3，|PP 2|=|2x 0＋y 0|3.因为P(x 0，y 0)在双曲线x 2－y 22=1上，所以2x 20－y 20=2，又易知cos θ=13，所以PP 1―→·PP 2―→=|2x 0－y 0|3·|2x 0＋y 0|3cos θ=|2x 20－y 20|3·13=29.。
2023年苏教版新教材高中数学选择性必修第一册3.2双曲线 同步练习题含答案解析
3.2 双曲线一、单选题1．已知椭圆221(1)x y a a+=>和双曲线221(0)x y m m -=>有相同焦点，则（ ）A ．2a m =+B ．2m a =+C ．222a m =+D ．222m a =+【答案】A【解析】由题得椭圆221(1)x y a a +=>双曲线221(0)x y m m-=>11,2a m a m =-=+∴=+.2．已知12,F F 是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且121260,3F PF PF PF ∠=︒=，则C 的离心率为（ ）A B C D 【答案】A【解析】因为213PF PF =，由双曲线的定义可得12222PF PF PF a -==， 所以2PF a =，13PF a =；因为1260F PF ∠=︒,由余弦定理可得2224923cos 60c a a a a =+-⨯⋅⋅︒，整理可得2247c a =，所以22274a c e ==，即e3．设(),P xy 是双曲线22154x y -=的右支上的点，最小值为（ ）A B ．C D 3【答案】B设()()0,1,3,0A F ,上式表示PA PF -,由于双曲线22154x y -=的左焦点为()()3,0,3,0F F '-,双曲线的实轴2a =2PF PF a PF ''=-=-()PA PF PA PF PF PA ''-=-+=--+PF PA AF ''-≤==当P 在F A '的延长线与双曲线右支的交点处时取到等号，所以()PA PF PF PA '-=--+4．已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>，双曲线22212222:1,,2-=-x y C F F b a b 为2C 的焦点，P 为1C 和2C 的交点，若12PF F △的内切圆的圆心的横坐标为2，1C 和2C 的离心率之积为32，则a 的值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】C【解析】不妨设点P 在第一象限内，12PF F △的内切圆与边1122,,PF F F PF 的切点分别为,,A B C ，双曲线的焦距为2c .则()()1212PF PF PA AF PC CF -=+-+()()12PA BF PA BF =+-+12BF BF =-()()224c c =+--=，因为点P 在双曲线上，所以1224PF PF b -==，则2b =，又因为1C 和2C 的离心率之积为32，而椭圆的离心率1e ，双曲线的离心率为2e =所以1232e e=，解得4a=.5．已知双曲线()2222:10,0x yC a ba b-=>>的左焦点为F，O为坐标原点，M，N两点分别在C 的左、右两支上，若四边形OFMN为菱形，则C的离心率为（）A1BC1D．【答案】C【解析】由题意(),F c o-，四边形MNOF为菱形，如图，则MN ON OF c===且//MN OF ，,M N分别为C的左，右支上的点，设M点在第二象限，N在第一象限.由双曲线的对称性，可得2Ncx=，过点N作NH x⊥轴交x轴于点H，则11,222cO c OH M NNN O====，所以60NOH∠=︒,则2NH c=，所以2cN⎛⎫⎪⎪⎝⎭，所以22223144c ca b-=，则22222234c b c a a b-=，即42e8e40-+=，解得2e4=+2e4=-e1>，所以取2e4=+e1=6．设双曲线222:1(0)4xC y aa-=>与直线:1l x y+=相交于两个不同的点A，B，则双曲线C 的离心率e的取值范围是（）A．)+∞B．)⋃+∞⎝C．⎫+∞⎪⎝⎭D．⎝【答案】B【解析】2221,41xyax y⎧-=⎪⎨⎪+=⎩()222214880a x a x a⇒-+-=，所以()2422140,Δ6448140,a a a a ⎧-≠⎪⎨=+⨯->⎪⎩2214120a a a ⎧≠⎪⎪⎪<⎨⎪>⎪⎪⎩(2,)e ⇒=+∞⎝ 7．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的焦点到渐近线的距离为1，且与椭圆22182xy +=有公共焦点.则双曲线C 的渐近线方程为（ ） A．y = B．y = C．y = D．y=【答案】C【解析】由题意已知椭圆的焦点坐标为(，即为双曲线的焦点坐标，双曲线中c = 渐近线方程为by x a=±，其中一条为0bxay -=，1=，1b=，∴a =，∴渐近线方程为y x =． 812的化简结果为（ ） A ．236x －264y ＝1B ．264x －236y ＝1C ．236x －264y ＝1(x ＞0) D ．264x －236y ＝1(x ＞0)【答案】C【解析】解：设A (−10,0)，B (10,0)，(,)P x y ，由于动点P (x ,y )12， 则|P A |−|PB |=12，故点P 到定点A (−10,0)与到定点B (10,0)的距离差为12， 则动点P (x ,y )的轨迹是以(±10,0)为焦点，以12为实轴长的双曲线的右支， 由于2a =12，c =10，则2221003664b c a =-=-=， 故P 的轨迹的标准方程为236x －264y ＝1(x ＞0).所以原方程可以化简为236x －264y ＝1(x ＞0).二、多选题9．已知双曲线C ：2213x y -=，下列对双曲线C 判断正确的是（ ）A ．实轴长是虚轴长的2倍B ．焦距为4CD ．渐近线方程为0x =【答案】BD【解析】∵双曲线C ：2213x y -=∴23a =.21b =.∴2224c a b =+=∴2c =.∴双曲线的实轴长是2a =21b =，A 错误；焦距为24c =.B 正确；离心率为c a =，C 错误：渐近线方程为y x =，D 正确. 10．已知圆1C ：2210100x y x y +--=和圆2C ：2262400x y x y +-+-=则（ ）A ．两圆相交B ．公共弦长为C ．两圆相离D ．公切线长【答案】AB【解析】圆1C 的标准方程为：()()225550x y -+-=，圆心为（5，5）半径为 1r =圆2C 的标准方程为：()()223150x y -++=，圆心为（3，-1）半径为 2r =所以两圆心的距离：d ==120,d r r ∴<<+∴两圆相交，选项A 正确，选项C 错误；设两圆公共弦长为L ，则有：()2221222L d r r r r ⎛⎫⎛⎫+=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L ∴=B 正确，选项D 错误.11．已知点()1,1A ，点P 是双曲线22:197x y C -=左支上的动点，Q 是圆221:(4)4D x y ++=上的动点，则（ ） A ．C 的实轴长为6B ．C 的渐近线为y = C ．PQ 的最小值为12D ．PA PD -的最小值为6【答案】ACD【解析】A ：由双曲线方程知：3a =，则C 的实轴长为6，正确；B ：由双曲线方程知：C 的渐近线为y x =，错误； C ：双曲线、圆如下：(4,0)D -为左焦点，当且仅当P 为x 轴交点，Q 为x 轴右交点时，PQ 最小为12，正确；D ：由(4,0)F 为右焦点，||||26PF PD a -==，则6||PA PD PA PF -=+-，要使PA PD -最小只需,,P A F 共线，此时min ()6||6PA PD AF -=-=.12．已知曲线2212:1,,9x y C F F m +=分别为曲线C 的左右焦点，则下列说法正确的是（ ）A ．若3m =-，则曲线C 的两条渐近线所成的锐角为3π B ．若曲线C 的离心率2e =，则27m =-C ．若3m =，则曲线C 上不存在点P ，使得122F PF π∠=D ．若3,m P =为C 上一个动点，则12PF F △面积的最大值为【答案】ABD【解析】对于A 选项，当3m =-时，曲线22:193x y C -=表示焦点在x 轴上的双曲线，渐近线方程为y x =，故渐近线的倾斜角分别为5,66ππ，所以曲线C 的两条渐近线所成的锐角为3π，故A 选项正确； 对于B 选项，离心率2e =，则曲线C 为焦点在x 轴上的双曲线，3,2a e ==，故6c =，所以2236927m c a -=-=-=，所以27m =-，故B 选项正确；对于C 选项，若3m =，则曲线22:193x y C +=表示焦点在x 轴上的椭圆，此时2229,3,6a b c ===，设椭圆C 的短轴的一个顶点坐标为(M ，则222122461cos 02183a a c F MF a +--∠===-<，故12F MF ∠为钝角，所以线C 上存在点P ，使得122F PF π∠=，故C 选项错误；。
高中数学选择性必修一3 2 双曲线(解析版)
2020-2021年高二数学选择性必修一尖子生同步培优题典3.2双曲线 解析版学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意事项：本卷共22小题，8道单选题，4道多选题，4道填空题，6道解答题。
一、单项选择题（本题共8小题，每小题满分5分）1．已知不等式2230x y ->所表示的平面区域内一点(,)P x y 到直线3y x =和直线3y x =-的垂线段分别为,PA PB ，若三角形PAB 的面积为3316，则点P 轨迹的一个焦点坐标可以是（ ） A ．(2,0) B ．(3,0)C ．(0,2)D ．(0,3)【答案】A 【解析】 【分析】如图所示，不等式2230x y ->所表示的平面区域内一点(,)P x y ，可得点P 的轨迹为直线3y x =±之间并且包括x 轴在内的区域，再根据三角形PAB 的面积为3316，即可求得点P 轨迹的一个焦点坐标. 【详解】 如图所示，则120AOB ∠=︒，60APB ∠=︒.不等式2230x y ->所表示的平面区域内一点(,)P x y ，可得点P 的轨迹为直线3y x =之间并且包括x 轴在内的区域． ∴223334x y x y x y PA PB -+-==∵ 三角形PAB的面积为16∴)2213sin 603216PABS PA PB x y ∆==-=，即P 点轨迹方程为22113x y -=. ∴焦点坐标为()2,0. 故选：A. 【点睛】本题考查了线性规划的有关知识、双曲线的标准方程及其性质、点到直线的距离公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．2．已知()5,0F -是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点，过F 作一条渐近线的垂线与右支交于点P ，垂足为A ，且3PA AF =，则双曲线方程为（ ）A ．221205x y -=B ．221520x y -=C ．221169x y -=D ．221916x y -=【答案】D 【解析】 【分析】由点到直线距离公式结合已知可得3PA b =，由双曲线的定义可得142PF b a =-，由余弦定理可得34b a =，从而可得结果. 【详解】设双曲线右焦点为1F ，连接1PF ，左焦点(),0F c -到渐近线by x a =-b =， 故3PA b =，4PF b = 在FAO 中，cos bAFO c∠=，由双曲线定义得142PF b a =-， 在1PFF 中，由余弦定理得()()()()()2224242242b b a b c b c c-=+-⨯⨯⨯， 整理得()2222161644b ab c ab -=-=，即34b a =，又2225a b +=，解得29a =，216b =，双曲线方程为221916x y -=.故选：D. 【点睛】本题主要考查双曲线的方程、定义与几何性质，解题时注意余弦定理与点到直线距离公式的应用，属于中档题.3．已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点M 在双曲线的右支上，点N 为2F M 的中点，O 为坐标原点，22ON NF b -=，260ONF ∠=，12F MF △的面积为23，则该双曲线的方程为（ ）A ．221164x y -=B ．22184x y -=C ．22182y x -=D ．2214x y -=【答案】C 【解析】 【分析】作出图形，利用双曲线的定义可得2a b =，利用余弦定理和三角形的面积公式可求得12F MF △的面积为2323b =，可求得b 的值，进而可求得a 的值，由此可得出双曲线的方程. 【详解】 如下图所示：O 为12F F 的中点，N 为2MF 的中点，则()12224MF MF ON NF b -=-=，即24a b =，可得2a b =，且有1//ON MF ，则1260F MF ∠=， 在12F MF △中，由余弦定理得()222222121212121222cos60c F F MF MF MF MF MF MF MF MF ==+-⋅=+-⋅()221212124MF MF MF MF a MF MF =-+⋅=+⋅，22212444MF MF c a b ∴⋅=-=，则12F MF △的面积为122121sin 6032F MF SMF MF b =⋅==△b =a ∴=因此，该双曲线的标准方程为22182y x -=.故选：C. 【点睛】本题考查双曲线标准方程的求解，考查了双曲线焦点三角形面积的计算，考查了余弦定理以及双曲线定义的应用，考查计算能力，属于中等题.4．黄金分割起源于公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了这一问题，公元前300年前后欧几里得撰写《几何原本》时吸收了欧多克索斯的研究成果，进一步系统论述了黄金分割，成为最早的有关黄金分割的论著.黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，，称为黄金分割数. 已知双曲线()22211x y m-=的实轴长与焦距的比值恰好是黄金分割数，则m 的值为（ ） A．2 B1 C ．2 D ．【答案】A 【解析】【分析】先求出双曲线的焦距，然后根据实轴长与焦距的比值为黄金分割数得到关于m 的方程，解方程可得所求． 【详解】由题意得，在双曲线中2221),a b m ==， ∴22221)c a b m =+=+．，∴22a a c c ==，∴222a c ==232=，解得1)m =． 故选A ． 【点睛】本题考查双曲线的基本性质，解题的关键是根据题意得到关于参数m 的方程，考查对新概念的理解、运用和计算能力，属于中档题．5．方程221,()22x y k R k k -=∈-+表示双曲线的充分不必要条件是（ ）A ． 2k >或2k <-B ．1k >C ．3k >D ． 1k >或1k <- 【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线的标准方程，方程22122x y k k -=-+表示双曲线，可得(2)(2)0k k -+>，解得k 的范围，根据充分必要条件判断得出结论即可． 【详解】解：方程22122x y k k -=-+表示双曲线，可得(2)(2)0k k -+>，解得2k >或2k <-； 记集合{|2A k k =<-或2}k >；所以方程22122x y k k -=-+表示双曲线的充分不必要条件为集合A 的真子集， 由于{|3}k k A >，故选：C ． 【点睛】本题考查了双曲线的标准方程、不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．已知点O （0，0），A （–2，0），B （2，0）．设点P 满足|PA |–|PB |=2，且P 为函数y =像上的点，则|OP |=（ ） A．2B．5CD【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可知，点P 既在双曲线的一支上，又在函数y =即可求出点P 的坐标，得到OP 的值． 【详解】因为||||24PA PB -=<，所以点P 在以,A B 为焦点，实轴长为2，焦距为4的双曲线的右支上，由2,1c a ==可得，222413b c a =-=-=，即双曲线的右支方程为()22103yx x -=>，而点P还在函数y =的图象上，所以，由()22103y x x y ⎧⎪⎨->==⎪⎩，解得22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即OP == 故选：D. 【点睛】本题主要考查双曲线的定义的应用，以及二次曲线的位置关系的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．7．已知双曲线22143x y -=的左、右焦点分别为1F 、2F ，过1F 的直线与双曲线的左支交于A 、B 两点，若260AF B ∠=︒，则2AF B 的内切圆半径为（ ） ABC ．23D ．2【答案】A 【解析】 【分析】设内切圆的圆心M ，设2AF B 三边与内切圆的切点，连接切点与圆心M 的线段，由内切圆的性质可得22AF AQ BF BQ -=-，再由双曲线定义可知：21212AF AF BF BF a -=-=，可得Q ，1F 重合，再由260AF B ∠=︒可得内切圆的半径的值．【详解】设内切圆的圆心为(,)M x y ，设圆M 与三角形的边分别切于T ，Q ，S ， 如图所示：连接MS ，MT ，MQ ，由内切圆的性质可得：22F T F S =，AT AQ =，BS BQ =， 所以222AF AQ AF AT F T -=-=，222BF BQ BF BS F S -=-=，所以22AF AQ BF BQ -=-，由双曲线的定义可知：21212AF AF BF BF a -=-=， 所以可得Q ，1F 重合， 所以224TF a ==， 所以2243tan 23AF B r MT TF ∠===. 故选：A ． 【点睛】本题考查双曲线的定义及内切圆的性质.属于中档题．8．已知两圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1，C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1和圆C 2外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为（ ）A ．2218y x -=B ．2218x y -=C ．()22118y x x -=≥ D ．2218y x -=(x ≤－1)【答案】D 【解析】【分析】设动圆圆心M 坐标为（x ，y ），半径为r ，由题意可得|MC 2|﹣|MC 1|＝2＜|C 1C 2|，可得点M 的轨迹是以C 1、C 2 为焦点的双曲线的左支．根据2a ＝2，c ＝3，求得b 值，即可得点M 的轨迹方程． 【详解】设动圆圆心M 的坐标为（x ，y ），半径为r ，由动圆M 与圆C 1和圆C 2均外切可得|MC 1|＝r +1，|MC 2|＝r +3， 相减可得|MC 2|﹣|MC 1|＝2＜|C 1C 2|，故点M 的轨迹是以C 1、C 2 为焦点的双曲线的左支．由题意可得 2a ＝2，c ＝3，∴b =，故点M 的轨迹方程为 x 2﹣28y ＝1（x ≤﹣1），故选：D. 【点睛】本题主要考查两圆相外切的性质，考查双曲线的定义、性质和标准方程，属于基础题．二、多选题9．已知双曲线C 的方程是：22221x y a b-=（0a >，0b >），则下列说法正确的是（ ）A ．当a b =B ．过双曲线C 右焦点F 的直线与双曲线只有一个交点的直线有且只有2条；C ．过双曲线C 右焦点F 的直线与双曲线右支交于M ，N 两点，则此时线段MN 长度有最小值；D ．双曲线C 与双曲线：22221x y a b-=-（0a >，0b >）渐近线相同.【答案】ABCD 【解析】 【分析】由双曲线的性质分别判断． 【详解】A ．a b =时，c ==，ce a==A 正确； B ．过双曲线的右焦点的直线，当直线与渐近线平行时，与双曲线只有一个交点，这样的直线有两条，当直线与渐近线不平行时，它与双曲线有两个交点，一种是两个交点分在左右两支上，一种是两个交点都在右支上．B 正确；C ．过双曲线C 右焦点F 的直线与双曲线右支交于M ，N 两点，当MN 是通径（即MN x ⊥轴）时，MN 的长度最小，C 正确．简略证明如下：如图所示，设双曲线方程为22221x y a b-=，(c,0)F ，AF e AM =，AF AM e =，又∵2a AM c FH c =-+2cos b AF cθ=+，∴2cos AF b AF e c θ=+，21cos e b AF e cθ=⋅-，同理：BF e BN =，BF BN e =，又∵22cos a b BN c EF BF c cθ=--=-， ∴2cos BF b BF e c θ=-，21cos e b BF e cθ=⋅+，∴2222112()1cos 1cos 1cos eb eb AB AF BF c e e c e θθθ=+=+=⋅-+-， 易知当cos 0θ=时，222min222eb b c b AB c c a a==⋅=．D ．双曲线22221x y a b-=的渐近线方程是b y x a =±，双曲线22221x y a b -=-的标准方程是22221y x b a -=，渐近线方程是by x a=±，渐近线相同，D 正确． 故选：ABCD ．【点睛】本题考查双曲线的性质，掌握双曲线的标准方程与几何性质是解题关键．10．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右两个顶点分别是A 1,A 2,左、右两个焦点分别是F 1,F 2,P是双曲线上异于A 1,A 2的任意一点，给出下列命题，其中是真命题的有（ ） A ．122PA PA a -=B ．直线12,PA PA 的斜率之积等于定值22b aC ．使得12PF F ∆为等腰三角形的点P 有且仅有8个D ．12PF F ∆的面积为212tan 2b A PA ∠【答案】BC 【解析】 【分析】结合双曲线的几何性质和常见二级结论推导即可得解. 【详解】在12A PA ∆中，两边之差小于第三边，即12122PA PA A A a -<=，所以A 不是真命题；设点22(,),0,P x y y x a ≠≠，有22221(0,0)x y a b a b -=>>，2222)1(x y b a-=， 直线12,PA PA 的斜率之积1222222222221()PA PA y y y k k x a x a x a x a x b b a a⋅=⋅===+----，所以B 是真命题； 根据双曲线对称性分析：要使12PF F ∆为等腰三角形，则12F F 必为腰，在第一象限双曲线上有且仅有一个点P 使122,22PA c PA c a ==-，此时12PF F ∆为等腰三角形， 也且仅有一个点P '使212,22P A c P A c a ''==+，此时12P F F '∆为等腰三角形，同理可得第二三四象限每个象限也有且仅有两个点，一共八个， 所以C 是真命题；12120222A PA F PF π∠∠<<<，根据焦点三角形面积的二级结论12212tan 2PF F b F F S P ∆∠=，所以D 不是真命题.故选：BC 【点睛】此题考查双曲线的几何性质和相关计算，对基础知识的掌握和代数式化简运算能力要求较高，解题中若能记住常见的二级结论，可以简化计算.11．已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的一条渐近线方程为20x y -=，双曲线的左焦点在直线0x y ++=上，A 、B 分别是双曲线的左、右顶点，点P 为双曲线右支上位于第一象限的动点，PA ，PB 的斜率分别为12,k k ，则12k k +的取值可能为（ ） A ．34B ．1C ．43D ．2【答案】CD 【解析】 【分析】计算得到双曲线方程为2214x y -=，则()2,0A -，()2,0B ，设()00,P x y ，12002k y k x =+， 根据渐近线方程知：00102y x <<，代入计算得到答案. 【详解】根据题意知：12b a =，c =2a =，1b =，双曲线方程为2214x y -=，则()2,0A -，()2,0B ，设()00,P x y ，则220014x y -=，00x >，00y >，00000201020022242y y x y x x x x k k y =+==+--+，根据渐近线方程知：00102y x <<， 故012012x k k y =>+. 故选：CD. 【点睛】本题考查了双曲线中斜率的计算，确定00102y x <<是解题的关键.12．已知点P 在双曲线22:1169x y C -=上，1F 、2F 是双曲线C 的左、右焦点，若12PF F ∆的面积为20，则下列说法正确的有（ ）A ．点P 到x 轴的距离为203B ．12503PF PF += C ．12PF F ∆为钝角三角形 D ．123F PF π∠=【答案】BC 【解析】 【分析】利用12PF F ∆的面积可求出点P 的纵坐标，可判断A 选项的正误；将点P 的纵坐标代入双曲线方程求得点P 的横坐标，即可求得12PF PF +的值，可判断B 选项的正误；计算21cos PF F ∠的值，可判断C 选项的正误；计算出12cos F PF ∠，可判断D 选项的正误.综合可得出结论. 【详解】因为双曲线22:1169x y C -=，所以5c ==.又因为12112102022PF F P P S c y y ∆=⋅=⋅⋅=，所以4P y =，所以选项A 错误； 将4P y =代入22:1169x y C -=得2241169x -=，即203P x =. 由对称性，不妨取P 的坐标为20,43⎛⎫ ⎪⎝⎭，可知2133PF ==. 由双曲线定义可知1213372833PF PF a =+=+=， 所以12133750333PF PF +=+=，所以选项B 正确； 由对称性，对于上面点P ， 在12PF F ∆中，12371321033PF c PF =>=>=. 且2222121212125cos 0213PF F F PF PF F PF F F +-∠==-<⋅，则21PF F ∠为钝角，所以12PF F ∆为钝角三角形，选项C 正确；由余弦定理得222121212123191cos 22481PF PF F F F PF PF PF +-∠==≠⋅，123F PF π≠∠，所以选项D 错误.故选：BC. 【点睛】本题考查焦点三角形有关命题的判断，涉及双曲线的定义、余弦定理的应用，考查计算能力与推理能力，属于中等题.三、填空题13．已知椭圆22221x y a b Γ+=：与双曲线22221x y m n Ω-=：共焦点，F 1、F 2分别为左、右焦点，曲线Γ与Ω在第一象限交点为P ，且离心率之积为1.若1212sin 2sin F PF PF F ∠=∠，则该双曲线的离心率为____________. 【答案】512+ 【解析】 【分析】根据正弦定理，可得2PF c =，根据椭圆与双曲线定义可求得a m c =+，结合椭圆与双曲线的离心率乘积为1，可得220c m mc --=，进而求得双曲线的离心率c e m=． 【详解】 设焦距为2c在三角形PF 1F 2中，根据正弦定理可得2121212sin sin PF F F F PF PF F =∠∠因为1212sin 2sin F PF PF F ∠=∠，代入可得1222F F PF =，所以2PF c =在椭圆中，1212PF PF PF c a +=+= 在双曲线中，1212PF PF PF c m -=-= 所以112,2PF a c PF m c =-=+ 即22a c m c -=+ 所以a m c =+因为椭圆与双曲线的离心率乘积为1即1c c a m ⨯= ，即2c a m= 所以2c m c m+=化简得220c m mc --=，等号两边同时除以2m得210c c m m⎛⎫--= ⎪⎝⎭，因为c m 即为双曲线离心率 所以若双曲线离心率为e ，则上式可化为210e e --= 由一元二次方程求根公式可求得152e ±= 因为双曲线中1e > 所以152e +=【点睛】本题考查了椭圆与双曲线性质的综合应用，正弦定理的应用，双曲线离心率的表示方法，计算量复杂，属于难题．14．如图所示，已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点为F ，双曲线C 的右支上一点A ，它关于原点O 的对称点 为B ，满足90AFB ∠=︒，且3BF AF =，则双曲线C 的渐近线方程是______.【答案】62y x =± 【解析】 【分析】利用双曲线的性质，推出AF ，BF ，通过解三角形求出c 、a 的关系，再根据222c a b =+，即可得到b 、a 的关系，从而得到渐近线方程． 【详解】解：双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，双曲线C 的右支上一点A ，它关于原点O 的对称点为B ，满足90AFB ∠=︒，且||3||BF AF =，设左焦点为1F ，连接1AF 、1BF ，由对称性可得1AF BF =、1BF AF =，可得||||2BF AF a -=，所以||AF a =，||3BF a =， 190F BF ∠=︒，所以22211F F BF BF =+，可得22249c a a =+，2225c a =，又222c a b =+，所以2232b a =，所以62b a =，故渐近线为62y x =±故答案为：62y x =±．【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，三角形的解法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．15．已知点F 为双曲线2221(0)y E x b b-=>：的右焦点，M N ，两点在双曲线上，且M N ，关于原点对称，若MF NF ⊥，设MNF θ∠=，且,126ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则该双曲线E 的焦距的取值范围是________.【答案】[22,232]+ 【解析】 【分析】设双曲线的左焦点为F '，连接',MF NF '，由于MF NF ⊥.所以四边形F NFM '为矩形，故||2MN FF c '==，由双曲线定义'||||||||2NF NF NF FM a -=-=可得12cos 4c πθ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再求2cos 4y πθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的值域即可.【详解】 如图，设双曲线的左焦点为F '，连接',MF NF '，由于MF NF ⊥.所以四边形F NFM '为矩形， 故||2MN FF c '==.在Rt FM N ∆中||2cos ,||2sin FN c FM c θθ==， 由双曲线的定义可得'22||||||||2cos 2sin 22cos 4a NF NF NF FM c c c πθθθ⎛⎫==-=-=-=+ ⎪⎝⎭124c πθ∴=⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 126ππθ≤≤，53412πππθ∴≤+≤312242πθ-⎛⎫∴≤+≤ ⎪⎝⎭ 231 222232c c ≤≤≤≤，.故答案为：2] 【点睛】本题考查双曲线定义及其性质，涉及到求余弦型函数的值域，考查学生的运算能力，是一道中档题.16．中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C 与圆22:5O x y +=有公共点()21P -，，且圆O 在点P 处的切线与双曲线C 的一条渐近线平行，则该双曲线的实轴长为__________．【解析】 【分析】由()2,1P -得12OP k =-，由题意可知双曲线的渐近线斜率等于2，从而可以设出双曲线的方程()()22x y x y m -⋅+=，代入点()2,1P -得到双曲线的方程，求出实轴长.【详解】由OP 的斜率为12op k =-， 则圆O 在点P 处的切线斜率为2，所以双曲线的一条渐近线方程为20x y -=，所以设双曲线方程为()()()220x y x y m m -⋅+=≠， 因点()2,1P -在双曲线上，所以()()22122115m ⎡⎤⎡⎤=⨯--⋅⨯+-=⎣⎦⎣⎦，所以双曲线方程为22415x y -=，即22411515x y -=，即2154a =，所以实轴长2a =. 【点睛】本小题主要考查双曲线的方程，渐近线方程，圆的切线，斜率等基础知识；考查逻辑思维与推证能力、分析与解决问题的能力、运算求解能力.属于简单题.四、解答题17．直线10L y +-=上的动点P 到点1(9,0)T 的距离是它到点(1,0)T 的距离的3倍. （1）求点P 的坐标；（2）设双曲线22221x y a b-=的右焦点是F ，双曲线经过动点P ，且10PF TT ⋅=，求双曲线的方程；（3）点(1,0)T 关于直线0x y +=的对称点为Q ，试问能否找到一条斜率为k （0k ≠）的直线L 与（2）中的双曲线22221x y a b-=交于不同的两点M 、N ，且满足||||QM QN =，若存在，求出斜率k的取值范围，若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）22133y x -=；（3）()(,(1,0)0,1(13,)-∞-+∞.【解析】 【分析】（1）由于点P 在直线10L y +-=上，所以设点P 的坐标为00()x ，然后由P 到点1(9,0)T 的距离是它到点(1,0)T 的距离的3倍列方程求出0x ，从而可得点P 的坐标；（2）由10PF TT ⋅=可知1PF TT ⊥，由此可c =P 坐标代入双曲线方程中，解方程组可得2233a b ⎧=⎨=⎩；（3）由||||QM QN =可知线段MN 的中垂线过点Q ，再利用两直线斜率的关系可得结果. 【详解】解：（1）因为点P 在直线10L y +-=上，所以设点P 的坐标为00()P x ， 因为P 到点1(9,0)T 的距离是它到点(1,0)T 的距离的3倍， 所以13PT PT =所以22220000(9))9[(1))]x x -+=-+，化简得，20060x -+=解得0x =所以=所以点P 的坐为；（2）因为10PF TT ⋅=，所以1PF TT ⊥，所以点F 的坐标为0)，即c =因为点P 在双曲线上，所以22631a b -=，由222226316a bc a b ⎧-=⎪⎨⎪=+=⎩，得2233a b ⎧=⎨=⎩， 所以双曲线方程为22133y x -=（3）因为点(1,0)T 关于直线0x y +=的对称点为Q ， 所以点Q 的坐标为(0,1)-，设直线为L 为y kx m =+，1122(,),(,)M x y N x y ，由22133y kx mx y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩得，222(1)230k x kmx m ----=，因为直线L 与双曲线交于不同的两点， 所以222(2)4(1)(3)0km k m ∆=----->， 化简得22330m k -+>， 由根与系数的关系得，12221kmx x k+=- 所以12221x x km k +=-，所以线段MN 的中点为22,11km m k k⎛⎫ ⎪--⎝⎭， 因为||||QM QN =，所以221111mk km k k+-=--，化简得212k m -=， 所以22213302k k ⎛⎫--+> ⎪⎝⎭，得4214130k k -+>，解得21k <或213k >，又因为0k ≠，所以解得k的取值范围为()(,(1,0)0,1)-∞⋃-⋃⋃+∞ 【点睛】此题考查的是直线与双曲线的位置关系，点关于直线的对称问题，属于较难题 18．已知双曲线C过点(，且渐近线方程为12y x =±，直线l 与曲线C 交于点M 、N 两点. （1）求双曲线C 的方程；（2）若直线l 过原点，点P 是曲线C 上任一点，直线PM ，PN 的斜率都存在，记为PM k 、PN k ，试探究PM PN k k ⋅的值是否与点P 及直线l 有关，并证明你的结论；（3）若直线l 过点()1,0，问在x 轴上是否存在定点Q ，使得QM QN ⋅为常数？若存在，求出点Q 坐标及此常数的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）2214x y -=；（2）14PM PN k k ⋅=，PM PN k k ⋅的值与点P 及直线l 无关，证明见解析；（3）存在，23,08Q ⎛⎫⎪⎝⎭， 3164QM QN ⋅=-，理由见解析【解析】 【分析】（1）根据渐近线设出渐近线方程，将点(代入即可求出双曲线C 的方程.（2）根据直线与双曲线的对称性知道点M 与点N 关于原点对称，设出点M 、N 、P ，将其斜率表示出来，利用点M 、N 在双曲线上，化简即可说明PM PN k k ⋅为定值且直线l 与关.（3）根据题意设出直线与点Q ，联立直线与双曲线，表示出QM QN ⋅，利用QM QN ⋅为定值，即与斜率无关，根据比值即可求出定点Q 与QM QN ⋅的值. 【详解】（1） 因为渐近线方程为12y x =±. 所以可设双曲线为224x y λ-=,将点(代入2244λ-=，解得=1λ所以双曲线C 的方程为2214x y -=（2）直线l 过原点,由双曲线的对称性知道，点M 、N 关于原点对称. 设点(),M m n ，(,)P x y ，则点(),N m n --代入2214x y -=，有2244m n =+，2244x y =+所以PM y n k x m -=-，PN y nk x m+=+. 2222=PM PNy n y n y n k k x m x m x m-+-⋅=⋅-+-将2244m n =+，2244x y =+代入得22221444PM PNy n k k y n -⋅==-. 所以14PM PN k k ⋅=，PM PN k k ⋅的值与点P 及直线l 无关. （3）由题意知直线l 斜率存在，故设直线为()1y k x =- ，点()11,M x y 、()22,N x y 、(),0Q t由()22114x y y k x ⎧⎪⎨-==-⎪⎩，得 ()2222148440k x k x k -+--= ，2140k ->且>0∆ 22121222844=,=4141k k x x x x k k ++-- 又()11,QM x t y =-，()22,QN x t y =-，所以()()()()()()1212121211QM QN x t x t y y x t x t k x k x ⋅=--+=--+--()()()()22221212=1k x x t k x x t k +-++++()()()22222222448=14141k k k t k t k k k ++-+++--()22227844=41t t k t k -++--令227844=41t t t -+--解得238t =，此时3164QM QN ⋅=- 【点睛】本题考查已知双曲线的渐近线求双曲线的方程,双曲线的性质，双曲线中的定值、定点问题，属于难题.本类题型的一般解法是：设直线-联立方程组-韦达定理-利用坐标表示出所求定值-化简即可得出答案.19．双曲线()22:10,0C ax by a b -=>>的虚轴长为1，两条渐近线方程为y =.（1）求双曲线C 的方程；（2）双曲线C 上有两个点D E 、，直线OD 和OE 的斜率之积为1，判别2211OEOD+是否为定值，；（3）经过点(),0P t t ⎛>⎝⎭的直线m 且与双曲线C 有两个交点,M N ，直线m 的倾斜角是2,,,233πππθθ⎧⎫∉⎨⎬⎩⎭，是否存在直线00:lxx （其中0x <M NPM d d PN =恒成立？（其中,M N d d 分别是点,M N 到0l 的距离）若存在，求出0x 的值，若不存在，请说明理由.【答案】（1）221241x y -=；（2）8；（3）存在且0112x t=【解析】分析：（1）根据题意，双曲线C 的虚轴长为1，两条渐近线方程为3y x =.易求求双曲线C 的方程；（2）设直线OD 的斜率k ，显然3k ≠ 联立221241x y y kx ⎧-=⎨=⎩得221124D x k =-，求出2OD ，2OE ，可证22118OD OE +=； （3）设直线方程(),3y m x t m =-≠±，联立()221241x y y m x t ⎧-=⎪⎨=-⎪⎩，()()222221248410m x m tx m t -+-+=（*），∵at a>，方程总有两个解， 设()()112212,,,,M x y N x y x t x <<，得到1212,x x x x +，根据M N d d 得101202x x t x x x x t --=--，整理得112x t =，由12 12t >，则011212a x t a =<=符合题目要求，存在直线． 详解：（1）双曲线22:1241C x y -=； （2）设直线OD 的斜率k ，显然33k ≠±，联立221241x y y kx ⎧-=⎨=⎩得221124D x k =-， ()2222211124Dk OD OD kxk+==+=-， 222221111124124k k OE k k++==--， 22222211124124811k kk k OD OE --+=+=++； （3）设直线方程(),y m x t m =-≠，联立()221241x y y m x t ⎧-=⎪⎨=-⎪⎩，()()222221248410m x m tx m t -+-+=（*），∵t >，方程总有两个解， 设()()112212,,,,M x y N x y x t x <<，()222121222418,124124m t m t x x x x m m -+-+==--， 根据MN PM d d PN =得101202x x t x x x x t --=--，整理得2222222841211241248122124m t m tt m m x m t t t m -+⋅+⨯--==+-，∵12t >，∴0112x t =<=点睛：本题考查双曲线的求法，直线与双曲线的位置关系，属难题. 20．已知双曲线C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，离心率2e =，虚轴长为2． （1）求双曲线C 的标准方程；（2）若直线:l y kx m =+与双曲线C 相交于,A B 两点（,A B 均异于左、右顶点），且以AB 为直径的圆过双曲线C 的左顶点D ，求证：直线l 过定点，并求出定点的坐标．【答案】(1) 2214x y -= (2) 证明见解析，定点坐标为10,03⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】试题分析：（1）求双曲线标准方程，一般方法为待定系数法，即根据题意列出两个独立条件：5,22,2c b a ==，解方程组得2,1a b ==（2）以AB 为直径的圆过双曲线C 的左顶点()2,0D -,等价于0AD BD ⋅=,根据向量数量积得()121212240y y x x x x ++++=，结合直线:l y kx m =+方程得()121212()()240kx m kx m x x x x ++++++=，利用直线方程与双曲线方程联立方程组，消y 得()()222148410kxmkx m ---+=，再利用韦达定理代入等式整理得22316200m mk k -+=，因此2m k =或103k m =.逐一代入得当103km =时,l 的方程为,直线过定点10,03⎛⎫- ⎪⎝⎭. 试题解析：（1）设双曲线的标准方程为()222210,0x y a b a b -=>>, 由已知得522,c b a ==又222+=a b c ,解得2,1a b ==,所以双曲线的标准方程为2214x y -=.（2）设()()1122,,,A x y B x y ,联立22{14y kx mx y =+-=,得()()222148410kxmkx m ---+=,有()()()22221222122641614108{01441014m k k m mkx x k m x x k ∆=+-+>+=<--+=>-,()()()2222121212122414m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -=++=+++=-,以AB 为直径的圆过双曲线C 的左顶点()2,0D -,·1AD BD k k ∴=-,即()()222121212122221241416·1,240,4022141414m y y m k mk y y x x x x x x k k k-+-=-∴++++=∴+++=++---,22316200m mk k ∴-+=,解得2m k =或103km =.当2m k =时,l 的方程为()2y k x =+,直线过定点()2,0-,与已知矛盾；当103km =时,l 的方程为,直线过定点10,03⎛⎫-⎪⎝⎭,经检验符合已知条件, 所以直线l 过定点,定点坐标为10,03⎛⎫- ⎪⎝⎭. 考点：双曲线标准方程，直线过定点【思路点睛】定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.21．设双曲线2221(0)3y x a a -=>的两个焦点分别为12,F F ,离心率为2.（Ⅰ）求此双曲线的渐近线的方程；（Ⅱ）若分别为上的点，且2|AB|=5|F 1F 2|，求线段的中点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线． 【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）的轨迹方程为则的轨迹是中心在原点，焦点在轴上长轴长为103，短轴长为1033的椭圆. 【解析】试题分析：由离心率，得出渐近线方程；第二步设而不求，先设出，，的中点，利用已知条件1225AB F F =，得出相应的关系，再根据点分别为上的点，坐标满足直线方程，两式相加得，两式相减得：，把和代入221212()()x x y y -+-=10，另外利用中点坐标公式，求出点的轨迹方程；试题解析：（Ⅰ）由，双曲渐近线方程为;（Ⅱ）设，，的中点∵1225AB F F =∴,∴221212()()x x y y -+-=10，又，两式相加，两式相减：，则，,221212()()x x y y -+-则根据中点坐标公式：，∴2212123[()][3()]3x x y y +++，则的轨迹方程为则的轨迹是中心在原点，焦点在轴上长轴长为103，短轴长为1033的椭圆. 考点：1.双曲线的离心率与渐近线方程；2.求动点轨迹方程；22．如图，某野生保护区监测中心设置在点O 处，正西、正东、正北处有三个监测点、、A B C ，且30OA OB OC km ===，一名野生动物观察员在保护区遇险，发出求救信号，三个监测点均收到求救信号，A 点接收到信号的时间比B 点接收到信号的时间早040V 秒（注：信号每秒传播0V 千米）.（1）以O 为原点，直线AB 为x 轴建立平面直角坐标系（如题），根据题设条件求观察员所有可能出现的位置的轨迹方程；（2）若已知C 点与A 点接收到信号的时间相同，求观察员遇险地点坐标，以及与检测中心O 的距离；（3）若C 点监测点信号失灵，现立即以监测点C 为圆心进行“圆形”红外扫描，为保证有救援希望，扫描半径r 至少是多少公里？【答案】（1）221(0)400500x y x -=<（2）(P OP -=（3）【解析】 【分析】（1）根据题意，其轨迹满足双曲线的定义，故直接写出方程即可； （2）AC 垂直平分线与双曲线的交点，即为所求点；（3）根据两点之间的距离公式，将问题转化为求二次函数的最小值即可. 【详解】（1）设观察员可能出现的位置的所在点为(),P x y因为A 点接收到信号的时间比B 点接收到信号的时间早040V 秒故00404060PB PA V AB V -=⨯=<= 故点P 的坐标满足双曲线的定义，设双曲线方程为22221(0)x y x a b-=<由题可知240,260a c ==，解得222500b c a =-=，故点P 的轨迹方程为221(0)400500x y x -=<.（2）因为()()30,0,0,30A C -，设AC 的垂直平分线方程为y kx = 则()3001030k -⨯=---，则AC 的垂直平分线方程为y x =-联立221(0)400500x y x -=<可得2x =x y =-=故观察员遇险地点坐标为(- 与检测中心O=.（3）设轨迹上一点为(),P x y ，则PC ==又因为221400500x y -=，可得2244005x y =+代入可得：PC ==≥=当且仅当503y =时，取得最小值故扫描半径r 至少是. 【点睛】本题考查根据双曲线的定义写出双曲线的方程，以及求双曲线上一点到一个定点距离的最小值，属双曲线方程的综合应用题.。
高中数学《双曲线》练习题
双 曲 线一、选择题1．已知点F 1(0，－13)，F 2(0,13)，动点P 到F 1与F 2的距离之差的绝对值为26，则动点P 的轨迹方程为( )A ．y ＝0B ．y ＝0(|x |≥13)C ．x ＝0(|y |≥13)D ．以上都不对2．双曲线x 216－y 29＝1的焦点坐标为( ) A ．(－7，0)，(7，0) B ．(0，－7)，(0，7) C ．(－5,0)，(5,0) D ．(0，－5)，(0,5)3．已知定点A ，B ，且|AB |＝4，动点P 满足|P A |－|PB |＝3，则|P A |的最小值为( )A.12B.32C.72 D ．54．已知双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，点A ，B 在双曲线的右支上，线段AB 经过双曲线的右焦点F 2，|AB |＝m ，F 1为另一焦点，则△ABF 1的周长为( )A ．2a ＋2mB ．4a ＋2mC ．a ＋mD ．2a ＋4m 5．设P 为双曲线x 2－y 212＝1上的一点，F 1，F 2是该双曲线的两个焦点．若|PF 1|：|PF 1|＝3：2，则△PF 1F 2的面积为( )A ．6 3B ．12C ．12 3D ．246．若椭圆x 2m ＋y 2n ＝1(m >n >0)和双曲线x 2a －y 2b＝1(a >0.b >0)有相同的焦点，P 是两曲线上的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|的值为( )A ．m －aB ．m －bC ．m 2－a 2 D.m －b7．方程x 24－t ＋y 2t －2＝1所表示的曲线为C ，有下列命题：①若曲线C 为椭圆，则2<t <4；②若曲线C 为双曲线，则t >4或t <2；③曲线C 不可能是圆；④若曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆，则3<t <4. 以上命题正确的是( )A ．②③B ．①④C ．②④D ．①②④8．设θ∈(34π，π)则关于x ，y 的方程x 2csc θ－y 2sec θ＝1 所表示的曲线是( ) A ．焦点在y 轴上的双曲线 B ．焦点在x 轴上的双曲线C ．长轴在y 轴上的椭圆D ．焦点在x 轴上的椭圆9．已知平面内有一定线段AB ，其长度为4，动点P 满足|P A |－|PB |＝3，O 为AB 的中点，则|PO |的最小值为( )A ．1 B.32 C ．2 D ．410．设F 1，F 2是双曲线x 24－y 2＝1的两个焦点，点P 在双曲线上，且PF 1→·PF 2→＝0，则|PF 1|·|PF 2|的值等于( )A ．2B ．2 2C ．4D ．811．双曲线x 24－y 212＝1的焦点到渐近线的距离为( ) A ．2 3 B ．2 C. 3 D ．112．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为( )A.x 24－y 24＝1B.y 24－x 24＝1C.y 24－x 28＝1D.x 28－y 24＝1 13．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1与直线y ＝2x 有交点，则双曲线的离心率的取值范围是( ) A ．(1，5) B ．(1，5)∪(5，＋∞) C ．(5，＋∞) D ．[5，＋∞)14．如果x 2|k |－2＋y 21－k＝－1表示焦点在y 轴上的双曲线，那么它的半焦距c 的取值范围是 A ．(1，＋∞) B ．(0,2) C ．(2，＋∞) D ．(1,2)15．已知双曲线x 22－y 2b 2＝1(b >0)的左右焦点分别为F 1、F 2，其一条渐近线方程为y ＝x ，点P (3，y 0)在该双曲线上，则PF 1→·PF 2→＝( )A ．－12B ．－2C ．0D ．416．已知椭圆x 23m 2＋y 25n 2＝1和双曲线x 22m 2－y 23n 2＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程 A ．x ＝±152y B ．y ＝±152x C ．x ＝±34y D ．y ＝±34x 17．如果双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为( ) A.2B ．2 C.3 D ．2 218．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则此双曲线的离心率e 的最大值为( ) A.45 B.53 C ．2 D.73 19．设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P ，满足|PF 2|＝|F 1F 2|，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近方程为A ．3x ±4y ＝0B ．3x ±5y ＝0C ．4x ±3y ＝0D ．5x ±4y ＝020．已知双曲线中心在原点，且一个焦点为F (7，0)，直线y ＝x －1与其相交于M ，N 两点，MN 中点的横坐标为－23，则此双曲线方程是( ) A.x 23－y 24＝1 B.x 24－y 23＝1 C.x 25－y 22＝1 D.x 22－y 25＝1 二、填空题21．双曲线8kx 2－ky 2＝8的一个焦点为(0,3) ，那么k 的值为________．22．若双曲线x 2－y 2＝1右支上一点P (a ，b )到直线y ＝x 的距离是2，则a ＋b ＝________.23．设圆过双曲线x 29－y 216＝1的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是________．24．双曲线x 216－y 29＝1的两个焦点为F 1，F 2，点P 在双曲线上，若PF 1⊥F 1F 2，则点P 到x 轴的距离为______．25．与椭圆x 29＋y 24＝1有公共焦点，且两条渐近线互相垂直的双曲线方程为__________． 26已知双曲线x 2n －y 212－n＝1的离心率为3，则n ＝________. 27．已知点F 、A 分别为双曲线C x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点、右顶点，点B (0，b )满足FB →·AB →＝0，则双曲线的离心率为________．28,已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线方程为y ＝±33x ，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为________．三解答题29．已知方程kx 2＋y 2＝4，其中k 为实数，对于不同范围的k 值分别指出方程所表示的曲线类型．30．在△ABC 中，BC 固定，A 点为动点，设|BC |＝8，且|sin C －sin B |＝12sin A ，求A 点的轨迹方程．31．设双曲线x 24－y 29＝1，F 1，F 2是其两个焦点，点M 在双曲线上． (1)若∠F 1MF 2＝90°，求△F 1MF 2的面积；(2)若∠F1MF2＝60°时，△F1MF2的面积是多少？若∠F1MF2＝120°时，△F1MF2的面积又是多少？32．已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)．(1)求此双曲线的方程；(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：MF1⊥MF2；(3)求△F1MF2的面积．。
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高中数学-双曲线选择题练习
1、双曲线=1左支上一点P到左焦点的距离为14，则P到右准线的距离是
( )
(A) (B) (C)12 (D)
2、a、b、c、p分别表示双曲线的实半轴长、虚半轴长、半焦距、焦准距（焦点到相应准线的距离），则p=
(A)
3、方程mx2＋ny2＋mn=0(m<n<0)所表示的曲线的焦点坐标是
(A)(0，) (B)(0，)
(C)(，0) (D)(，0)
4、双曲线中心到准线的距离等于焦距的，则离心率为 ( )
(A)2 (B) (C)1 (D)
5、双曲线的离心率(1，2)，则k的范围是 ( )
(A)(- ，0) (B)(-3，0) (C)(-12，0) (D)(-60，-12)
6、双曲线的离心率为，则两条渐近线的方程为 ( )
(A) (B)
(C) (D)
7、下列各对曲线中，即有相同的离心率又有相同渐近线的是 ( )
(A)-y2=1和-=1 (B)-y2=1和y2-=1
(C)y2-=1和x2-=1 (D)-y2=1和-=1
8、与双曲线有共同的渐近线，且经过点A的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是 ( )
（A）8 （B）4 （C）2 （D）1
9、以为渐近线，一个焦点是F（0，2）的双曲线方程为 ( ) （A）（B）
（C）（D）
10、双曲线kx2+4y2=4k的离心率小于2，则k的取值范围是 ( )
（A）（-∞,0）（B）(-3,0) （C）(-12,0) （D）(-12,1)
11、已知平面内有一固定线段AB,其长度为4，动点P满足|PA|-|PB|=3,则|PA|的最小值为
(A)1.5 (B)3 (C)0.5 (D)3.5
12、已知双曲线b2x2－a2y2 = a2b2的两渐近线的夹角为2，则离心率e为( )
(A)arcsin(B)(C)(D)tg2
13、一条直线与双曲线两支交点个数最多为
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
14、双曲线顶点为（2，－1），（2，5），一渐近线方程为3x－4y＋c = 0，则准线方程为
(A) (B) (C) (D)
15、与双曲线=1(mn<0)共轭的双曲线方程是 ( )
(A) (B)
(C) (D)
16、下列方程中，以x±2y=0为渐近线的双曲线方程是
(A)
17、过点(3,0)的直线l与双曲线4x2-9y2=36只有一个公共点,则直线l共有
(A)1条 (B)2条 (C)3条 (D)4条
18、若方程=1表示双曲线，其中a为负常数，则k的取值范围是( )
(A)(,-) (B)(,-) (C)(-,) (D)(-∞,)∪(-,+∞)
19、以坐标轴为对称轴，渐近线互相垂直，两准线距离为2的双曲线方程是( )
(A)x2-y2=2 (B)y2-x2=2
(C)x2-y2=4或y2-x2=4 (D)x2-y2=2或y2-x2=2
20、中心在原点，一个焦点为(3，0)，一条渐近线方程2x-3y=0的双曲线方程是( )
(A) (B)
(C) (D)
21、双曲线的两条准线间的距离等于 ( )
(A) (B) (C) (D)
22、直线2x+3y－6=0关于点(1,－1) 的对称直线是
(A) 3x－2y+2=0 (B) 2x+3y+8=0 (C) 3x－2y+12=0 (D) 2x－3y+8=0
23、P是以F
1、F
2
为焦点的双曲线上一点，=12，则等于
(A)2 (B)3 (C)4 (D)5
24、实轴长为10,焦点分别为(0,－),(0,)的双曲线方程是
(A)(B)(C)(D)
25、双曲线的离心率是
(A)(B)(C)(D)
26、设k>0,a2≠b2,则与双曲线=1的离心率不同、渐近线相同的双曲线方程是
(A) =k (B) =k (C) =k (D) =k
27、双曲线= -1的离心率为2，则双曲线的准线方程是
(A)x=±(B)x=±(C)y=±(D)y=±
28、与双曲线有共同的渐近线，且一顶点为(0，9)的双曲线的方程是
(A) (B)
(C) (D)
29、一双曲线焦点的坐标、离心率分别为(5，0)、，则它的共轭双曲线的焦点坐标、离心率分别是
(A)(0，5)， (B)(0，
(C)(0， (D)(0，
30、双曲线2kx2-ky2=1的一焦点是F(0，4)，则k等于 ( )
(A)-3/32 (B)3/32 (C)-3/16 (D)3/16
双曲线选择题3 〈答卷〉
1、 C
2、 B
3、 B
4、 B
5、 C
6、 D
7、 D
8、 C
9、 A 10、 C
11、 D 12、 C 13、 B 14、 D15、 D
16、 A17、 C18、 B 19、 D 20、 A
21、 D 22、 B 23、 A 24、 D 25、 B
26、 D27、 D 28、 D 29、 A 30、 A。