多元线性回归与曲线拟合
数据拟合方法研究
数据拟合方法研究一、线性回归拟合方法线性回归拟合是最常见的数据拟合方法之一、其基本思想是建立一个线性模型，通过最小二乘法求解模型参数，使模型的预测结果与实际数据之间的误差最小化。
线性回归模型具有简单的形式和可解析的解，适用于解决线性关系的问题。
二、非线性拟合方法如果实际数据与线性模型之间存在非线性关系，线性回归模型就无法准确拟合数据。
这时需要使用非线性拟合方法。
常用的非线性拟合方法有多项式回归、指数函数拟合、对数函数拟合等。
这些方法通过调整模型参数，使模型能更好地逼近实际数据，建立更准确的拟合模型。
三、曲线拟合方法有些数据与线性模型或非线性模型都无法准确拟合，可能需要使用曲线拟合方法。
曲线拟合方法将数据与曲线进行对比，通过调整曲线参数，使曲线与实际数据尽可能接近。
常见的曲线拟合方法有多项式拟合、样条插值、B样条拟合等。
这些方法可以根据实际问题和数据特点选择合适的曲线模型，并通过调整节点或控制点的位置，优化曲线拟合效果。
四、最小二乘法拟合最小二乘法是一种常用的数据拟合方法，可以用于线性或非线性数据拟合。
最小二乘法的基本思想是最小化观测数据与拟合函数之间的残差平方和，即使得模型的预测结果与实际数据之间的误差最小化。
最小二乘法不仅可以用于拟合直线或曲线，还可以用于拟合多项式函数、指数函数、对数函数等。
五、贝叶斯拟合方法贝叶斯拟合方法是一种基于贝叶斯统计学理论的数据拟合方法。
贝叶斯拟合方法将参数的不确定性考虑进来，通过概率分布描述参数的可能取值范围，并通过贝叶斯公式更新参数的后验概率。
贝叶斯拟合方法可以更准确地估计参数的置信区间，并提供更可靠的模型预测。
综上所述，数据拟合方法包括线性回归拟合、非线性拟合、曲线拟合、最小二乘法拟合和贝叶斯拟合等。
不同的拟合方法适用于不同类型的数据和问题。
在实际应用中，需要结合数据的特点和问题的要求，选择合适的拟合方法，并通过调整模型参数，使拟合模型能准确地描述数据的变化趋势。
第6章线性回归与曲线拟合
2
6.1 散点图
要研究两个变量之间是否存在相关
关系，自然要先作实验，拥有一批实验
y=lncA 算得：
x=lnt
lncA ~lnt 的数表
Lnt
0.693 1.61
2.08
2.84
2.64
lncA -0.053 -1.09 -2.07 -0.289 -0.375
2.83 -0.446
3.296 -0.707
3.434 -0.821
3.555 -0.939
lnc
0 -0.2 0 -0.4 -0.6 -0.8
15
10
拉伸倍数x
15
7
6.2 回归方程的相关系数
因变量y与自变量x之间是否存在相关关系，在 求回归方程的过程中并不能回答，因为对任何 无规律的试验点，均可配出一条线，使该线离 各点的误差最小。为检查所配出的回归方程有 无实际意义，可以用相关关系，或称相关系数 检验法。
8
6.3 曲线拟合
在化工实验数据处理中，我们经常会遇到 这样的问题，即已知两个变量之间存在着函数 关系，但是，不能从理论上推出公式的形式， 要我们建立一个经验公式来表达这两个变量之 间的函数关系。
10
20
30
40
t
系列1
作 t ~lncA 的图， 作出图来，是一条很好的直线，说明这组实验数据，服从
cA=aebt 型经验方程。
对照一级反应动力学的积分式：
c=cA0e-kt
SPSS 10.0高级教程十二：多元线性回归与曲线拟合
SPSS 10.0高级教程十二：多元线性回归与曲线拟合回归分析是处理两个及两个以上变量间线性依存关系的统计方法。
在医学领域中，此类问题很普遍，如人头发中某种金属元素的含量与血液中该元素的含量有关系，人的体表面积与身高、体重有关系；等等。
回归分析就是用于说明这种依存变化的数学关系。
§10.1Linear过程10.1.1 简单操作入门调用此过程可完成二元或多元的线性回归分析。
在多元线性回归分析中，用户还可根据需要，选用不同筛选自变量的方法（如：逐步法、向前法、向后法，等）。
例10.1：请分析在数据集Fat surfactant.sav中变量fat对变量spovl的大小有无影响？显然，在这里spovl是连续性变量，而fat是分类变量，我们可用用单因素方差分析来解决这个问题。
但此处我们要采用和方差分析等价的分析方法--回归分析来解决它。
回归分析和方差分析都可以被归入广义线性模型中，因此他们在模型的定义、计算方法等许多方面都非常近似，下面大家很快就会看到。
这里spovl是模型中的因变量，根据回归模型的要求，它必须是正态分布的变量才可以，我们可以用直方图来大致看一下，可以看到基本服从正态，因此不再检验其正态性，继续往下做。
10.1.1.1 界面详解在菜单中选择Regression==>liner，系统弹出线性回归对话框如下：除了大家熟悉的内容以外，里面还出现了一些特色菜，让我们来一一品尝。
【Dependent框】用于选入回归分析的应变量。
【Block按钮组】由Previous和Next两个按钮组成，用于将下面Independent框中选入的自变量分组。
由于多元回归分析中自变量的选入方式有前进、后退、逐步等方法，如果对不同的自变量选入的方法不同，则用该按钮组将自变量分组选入即可。
下面的例子会讲解其用法。
【Independent框】用于选入回归分析的自变量。
【Method下拉列表】用于选择对自变量的选入方法，有Enter（强行进入法）、Stepwise（逐步法）、Remove（强制剔除法）、Backward（向后法）、Forward（向前法）五种。
多元线性回归与曲线拟合
第十章：多元线性回归与曲线拟合――Regression菜单详解〔上〕回归分析是处理两个及两个以上变量间线性依存关系的统计方法。
在医学领域中，此类问题很普遍，如人头发中某种金属元素的含量与血液中该元素的含量有关系，人的体外表积与身高、体重有关系；等等。
回归分析就是用于说明这种依存变化的数学关系。
§10.1Linear过程调用此过程可完成二元或多元的线性回归分析。
在多元线性回归分析中，用户还可根据需要，选用不同筛选自变量的方法〔如：逐步法、向前法、向后法，等〕。
例10.1：请分析在数据集Fat surfactant.sav中变量fat对变量spovl的大小有无影响？显然，在这里spovl是连续性变量，而fat是分类变量，我们可用用单因素方差分析来解决这个问题。
但此处我们要采用和方差分析等价的分析方法--回归分析来解决它。
回归分析和方差分析都可以被归入广义线性模型中，因此他们在模型的定义、计算方法等许多方面都非常近似，下面大家很快就会看到。
这里spovl是模型中的因变量，根据回归模型的要求，它必须是正态分布的变量才可以，我们可以用直方图来大致看一下，可以看到根本服从正态，因此不再检验其正态性，继续往下做。
在菜单中选择Regression==>liner，系统弹出线性回归对话框如下：除了大家熟悉的容以外，里面还出现了一些特色菜，让我们来一一品尝。
【Dependent框】用于选入回归分析的应变量。
【Block按钮组】由Previous和Next两个按钮组成，用于将下面Independent框中选入的自变量分组。
由于多元回归分析中自变量的选入方式有前进、后退、逐步等方法，如果对不同的自变量选入的方法不同，那么用该按钮组将自变量分组选入即可。
下面的例子会讲解其用法。
【Independent框】用于选入回归分析的自变量。
【Method下拉列表】用于选择对自变量的选入方法，有Enter〔强行进入法〕、Stepwise〔逐步法〕、Remove〔强制剔除法〕、Backward〔向后法〕、Forward〔向前法〕五种。
多元线性回归算法实现及其在数据拟合中的应用
多元线性回归算法实现及其在数据拟合中的应用多元线性回归是一种常见的统计学方法，可以用于分析多个自变量与因变量之间的关系。
它的应用十分广泛，可以用于商业、科学、工业等多个领域中的数据分析与预测。
本文将介绍多元线性回归算法的基本原理，并使用Python语言实现这种方法，并通过数据分析案例展示其在实际应用中的效果与价值。
一、多元线性回归算法的基本原理多元线性回归是一种用于分析多个自变量与因变量之间的关系的统计方法。
在多元线性回归中，我们会将多个自变量与一个因变量进行回归分析，并预测因变量的值。
其数学模型可以表示为：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + … + βnXn + ε其中，Y表示因变量，X1、X2、…、Xn表示自变量，β0、β1、β2、…、βn是回归系数，ε是随机误差。
回归系数表示因变量与自变量之间的关系，我们需要通过对数据进行回归分析来估计这些系数。
多元线性回归的求解需要使用最小二乘法。
最小二乘法是一种通过最小化数据点与拟合曲线之间的距离来求解回归系数的方法。
具体来说，我们需要通过将回归模型中的误差平方和最小化来求解回归系数。
最小二乘法可以保证得出的回归系数是最符合实际数据的。
二、使用Python实现多元线性回归算法Python是一种强大的编程语言，可以用于数据分析、机器学习等多个领域。
在Python中，我们可以使用statsmodels库来实现多元线性回归算法。
statsmodels提供了几种不同的回归模型，其中包括多元线性回归模型。
在实现多元线性回归算法之前，我们需要准备好数据。
在下面的示例中，我们将使用一个来自于sklearn库的著名的波士顿房价数据集：```pythonfrom sklearn.datasets import load_bostonboston = load_boston()boston_df = pd.DataFrame(boston.data,columns=boston.feature_names)boston_df['PRICE'] = boston.target```接下来，我们可以使用statsmodels库中的OLS方法来实现多元线性回归算法：```pythonimport statsmodels.api as smX = boston_df.drop('PRICE', axis=1)y = boston_df['PRICE']X = sm.add_constant(X)model = sm.OLS(y, X).fit()predictions = model.predict(X)```在上面的代码中，我们首先将数据分为自变量和因变量。
(完整版)Matlab线性回归(拟合)
Matlab 线性回归（拟合）对于多元线性回归模型：e x x y p p ++++=βββΛ110设变量12,,,p x x x y L 的n 组观测值为12(,,,)1,2,,i i ip i x x x y i n =L L ．记 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=np n n p p x x x x x x x x x x ΛΛΛΛΛΛΛΛ212222*********，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n y y y y M 21，则⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=p ββββM 10 的估计值为 y x x x b ')'(ˆ1-==β(11.2) 在Matlab 中，用regress 函数进行多元线性回归分析，应用方法如下：语法：b = regress(y, x)[b, bint, r, rint, stats] = regress(y, x)[b, bint, r, rint, stats] = regress(y, x, alpha)b = regress(y, x)，得到的1+p 维列向量b 即为(11.2)式给出的回归系数β的估计值．[b, bint, r, rint, stats]=regress(y, x) 给出回归系数β的估计值b ，β的95％置信区间（(1)2p +⨯向量）bint ，残差r 以及每个残差的95％置信区间（2⨯n 向量）rint ；向量stats 给出回归的R 2统计量和F 以及临界概率p 的值．如果i β的置信区间（bint 的第1i +行）不包含0，则在显著水平为α时拒绝0i β=的假设，认为变量i x 是显著的．[b, bint, r, rint, stats]=regress(y, x, alpha) 给出了bint 和rint 的100(1-alpha)%的置信区间．三次样条插值函数的MATLAB 程序matlab 的splinex = 0:10; y = sin(x); %插值点xx = 0:.25:10; %绘图点yy = spline(x,y,xx);plot(x,y,'o',xx,yy)非线性拟合非线性拟合可以用以下命令(同样适用于线形回归分析)：1.beta = nlinfit(X,y,fun,beta0)X给定的自变量数据,Y给定的因变量数据,fun要拟合的函数模型(句柄函数或者内联函数形式),beta0函数模型中系数估计初值,beta返回拟合后的系数2.x = lsqcurvefit(fun,x0,xdata,ydata)fun要拟合的目标函数,x0目标函数中的系数估计初值,xdata自变量数据,ydata 函数值数据X拟合返回的系数(拟合结果)nlinfit格式：[beta，r，J]=nlinfit（x，y，’model’, beta0）Beta 估计出的回归系数r 残差J Jacobian矩阵x，y 输入数据x、y分别为n*m矩阵和n维列向量，对一元非线性回归，x为n维列向量。
多元回归分析法的介绍及具体应用
多元回归分析法的介绍及具体应用————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期：ﻩ多元回归分析法的介绍及具体应用在数量分析中，经常会看到变量与变量之间存在着一定的联系。
要了解变量之间如何发生相互影响的,就需要利用相关分析和回归分析。
回归分析的主要类型:一元线性回归分析、多元线性回归分析、非线性回归分析、曲线估计、时间序列的曲线估计、含虚拟自变量的回归分析以及逻辑回归分析等。
这里主要讲的是多元线性回归分析法。
1. 多元线性回归的定义说到多元线性回归分析前，首先介绍下医院回归线性分析,一元线性回归分析是在排除其他影响因素或假定其他影响因素确定的条件下,分析某一个因素（自变量)是如何影响另一事物(因变量）的过程,所进行的分析是比较理想化的。
其实，在现实社会生活中,任何一个事物(因变量）总是受到其他多种事物（多个自变量)的影响。
一元线性回归分析讨论的回归问题只涉及了一个自变量,但在实际问题中，影响因变量的因素往往有多个。
例如，商品的需求除了受自身价格的影响外，还要受到消费者收入、其他商品的价格、消费者偏好等因素的影响;影响水果产量的外界因素有平均气温、平均日照时数、平均湿度等。
因此,在许多场合,仅仅考虑单个变量是不够的,还需要就一个因变量与多个自变量的联系来进行考察,才能获得比较满意的结果。
这就产生了测定多因素之间相关关系的问题。
研究在线性相关条件下,两个或两个以上自变量对一个因变量的数量变化关系，称为多元线性回归分析，表现这一数量关系的数学公式,称为多元线性回归模型。
多元线性回归模型是一元线性回归模型的扩展，其基本原理与一元线性回归模型类似,只是在计算上更为复杂，一般需借助计算机来完成。
２. 多元回归线性分析的运用具体地说,多元线性回归分析主要解决以下几方面的问题。
（1)、确定几个特定的变量之间是否存在相关关系,如果存在的话,找出它们之间合适的数学表达式;(２）、根据一个或几个变量的值，预测或控制另一个变量的取值，并且可以知道这种预测或控制能达到什么样的精确度;（3)、进行因素分析。
多元线性回归 名词解释
多元线性回归名词解释多元线性回归（MultipleLinearRegression）是一种统计学模型，主要用来分析自变量和因变量之间的关系，它可以反映出某一种现象所依赖的多个自变量，从而更好地分析和捕捉它们之间的关系。
它是回归分析法的一种，是以线性方程拟合多个自变量和一个因变量之间的关系，是统计分析中用来探索和预测因变量之间自变量的变化情况的常用方法之一。
例如，可以利用多元线性回归来分析教育水平，收入水平和住房价格之间的关系，以及社会状况下的因素对收入水平的影响等等。
多元线性回归有两种形式：一种是多元普通最小二乘法（Ordinary Least Squares，OLS），另一种是多元最小平方根法（Root Mean Square）。
多元普通最小二乘法是将解释变量和因变量之间的关系用线性函数来拟合，从而求解最优模型参数；而多元最小平方根法是将解释变量和因变量之间的关系用一条曲线来拟合，从而求解最优模型参数。
多元线性回归可以用于描述一个变量与多个自变量之间的关系，并可以用来预测一个变量的变化情况。
它的优势在于可以计算出各自变量对因变量的相对贡献度，从而更有效地分析它们之间的关系，以及对复杂的数据更好地进行预测。
然而，多变量线性回归也存在一些缺点，其中最常见的是异方差假设，即解释变量和因变量之间观察值的方差相等。
此外，多元线性回归也受到异常值的干扰，存在多重共线性现象，可能引发过拟合或欠拟合等问题。
因此，在使用多元线性回归时，应该遵循良好的统计原则，如检验异方差假设、检验异常值以及检验多重共线性等，这样才能更准确地预测和分析数据。
总之，多元线性回归是一种分析多个自变量与一个因变量之间关系的统计学模型，可以有效地检验假设，从而预测和分析数据。
它可以反映出某一种现象所依赖的多个自变量，从而更好地分析和捕捉它们之间的关系。
它也有许多缺点，应该遵循良好的统计原则，如检验异方差假设、检验异常值以及检验多重共线性等，以准确地预测和分析数据。
回归分析方法及其应用中的例子
回归分析方法及其应用中的例子回归分析是一种统计分析方法，用于研究自变量与因变量之间的关系。
它可以通过建立一个数学模型来描述自变量与因变量之间的函数关系，并根据已有的数据对模型进行估计、预测和推断。
回归分析可以帮助我们了解变量之间的相关性、预测未来的结果以及找出主要影响因素等。
在实际应用中，回归分析有许多种方法和技术，下面将介绍其中的几种常见方法及其应用的例子。
1.简单线性回归：简单线性回归是一种最基本的回归分析方法，用于研究两个变量之间的关系。
它的数学模型可以表示为y=β0+β1x，其中y是因变量，x是自变量，β0和β1是常数。
简单线性回归可以用于预测一个变量对另一个变量的影响，例如预测销售额对广告投入的影响。
2.多元线性回归：多元线性回归是在简单线性回归的基础上引入多个自变量的模型。
它可以用于分析多个因素对一个因变量的影响，并以此预测因变量的取值。
例如，可以使用多元线性回归分析房屋价格与大小、位置、年龄等因素之间的关系。
3.逻辑回归：逻辑回归是一种用于预测二元结果的回归方法。
它可以将自变量与因变量之间的关系转化为一个概率模型，用于预测一些事件发生的概率。
逻辑回归常常应用于生物医学研究中，如预测疾病的发生概率或患者的生存率等。
4.多项式回归：多项式回归是一种使用多项式函数来拟合数据的方法。
它可以用于解决非线性关系的回归问题，例如拟合二次曲线或曲线拟合。
多项式回归可以应用于多个领域，如工程学中的曲线拟合、经济学中的生产函数拟合等。
5.线性混合效应模型：线性混合效应模型是一种用于分析包含随机效应的回归模型。
它可以同时考虑个体之间和个体内的变异，并在模型中引入随机效应来解释这种变异。
线性混合效应模型常被用于分析面板数据、重复测量数据等，例如研究不同学生在不同学校的学习成绩。
以上只是回归分析的一些常见方法及其应用的例子，实际上回归分析方法和应用还有很多其他的变种和扩展，可以根据具体问题和数据的特点选择适合的回归模型。
多元回归模型的拟合优度
多元回归模型的拟合优度1. 引言多元回归模型是统计学中常用的一种分析方法，用于研究多个自变量与因变量之间的关系。
在建立多元回归模型后，我们需要对其拟合优度进行评估，以确定模型的可靠性和预测能力。
本文将对多元回归模型的拟合优度进行详细介绍，包括定义、计算方法、解释和应用等方面。
同时，还将介绍常用的统计指标和图表，帮助读者更好地理解和评估拟合优度。
2. 拟合优度的定义拟合优度是指回归模型对观测数据的拟合程度或预测能力。
它衡量了因变量的变异中可以由自变量解释的比例。
通常用R方（Coefficient of Determination）来表示，取值范围在0到1之间。
R方越接近1，说明模型对观测数据的拟合程度越好；反之，R方越接近0，说明模型对观测数据的解释能力较弱。
3. 计算方法多元回归模型的拟合优度可以通过计算R方来得到。
R方可以通过以下公式计算：R2=1−SSR SST其中，SSR（Sum of Squares Residual）表示回归平方和，衡量了模型无法解释的因变量的变异；SST（Sum of Squares Total）表示总平方和，衡量了因变量的总变异。
在实际计算中，可以通过软件工具如Python、R等进行计算。
以Python为例，可以使用statsmodels库来进行多元回归模型的拟合优度计算。
import statsmodels.api as sm# 假设X为自变量矩阵，y为因变量向量X = sm.add_constant(X) # 添加常数列model = sm.OLS(y, X) # 构建回归模型results = model.fit() # 拟合模型r_squared = results.rsquared # 获取R方值4. 解释和应用拟合优度是评估多元回归模型质量的重要指标。
它能够帮助我们判断模型是否适合用于解释观测数据，并提供预测能力。
解释性拟合优度越高，说明模型对观测数据的解释能力越强。
生物统计学：第10章 多元线性回归分析及一元非线性回归分析
H0 : 1 2 k 0 H A : 至少有一个i 0
拒绝H0意味着至少有一个自变量对因变量是有影 响的。
检验的程序与一元的情况基本相同，即用方差
胸围X2 186.0 186.0 193.0 193.0 172.0 188.0 187.0 175.0 175.0 185.0
体重Y 462.0 496.0 458.0 463.0 388.0 485.0 455.0 392.0 398.0 437.0
序号 体长X1 胸围X2 体重Y 11 138.0 172.0 378.0 12 142.5 192.0 446.0 13 141.5 180.0 396.0 14 149.0 183.0 426.0 15 154.2 193.0 506.0 16 152.0 187.0 457.0 17 158.0 190.0 506.0 18 146.8 189.0 455.0 19 147.3 183.0 478.0 20 151.3 191.0 454.0
R r Y•1,2,,k
yp yˆ p
,
p 1,2,, n
对复相关系数的显著性检验，相当于对整个回 归的方差分析。在做过方差分析之后，就不必再检 验复相关系数的显著性，也可以不做方差分析。
例10.1的RY·1，2为：
RY •1,2
24327 .8 0.9088 29457 .2
从附表（相关系数检验表）中查出，当独立
表示。同样在多元回归问题中，可以用复相关系数表 示。对于一个多元回归问题，Y与X1，X2，… ，Xk 的线性关系密切程度，可以用多元回归平方和与总平 方和的比来表示。因此复相关系数由下式给出，
各种线性回归模型原理
各种线性回归模型原理线性回归是一种经典的统计学方法，用于建立自变量和因变量之间的线性关系。
在这个模型中，我们假设自变量和因变量之间存在一个线性函数关系，通过找到最佳的拟合直线，我们可以预测和解释因变量。
在线性回归中，我们通常使用以下三种模型：简单线性回归模型、多元线性回归模型和多项式回归模型。
1.简单线性回归模型：简单线性回归是最基本的线性回归模型。
它用于研究只有一个自变量和一个因变量之间的关系。
假设我们有一个自变量x和对应的因变量y。
简单线性回归模型可以表示为：y=β0+β1*x+ε其中，y是因变量，x是自变量，β0和β1是回归系数，ε是误差项。
我们的目标是找到最佳的回归系数，使得模型对观测数据的拟合最好。
2.多元线性回归模型：当我们需要考虑多个自变量对因变量的影响时，可以使用多元线性回归模型。
多元线性回归模型可以表示为：y = β0 + β1 * x1 + β2 * x2 + ... + βn * xn + ε其中，y是因变量，x1, x2, ..., xn是自变量，β0, β1,β2, ..., βn是回归系数，ε是误差项。
我们通过最小化误差项的平方和来估计回归系数。
3.多项式回归模型：多项式回归模型是在线性回归模型的基础上引入了多项式项的扩展。
在一些情况下，自变量和因变量之间的关系可能不是简单的线性关系，而是复杂的曲线关系。
多项式回归模型可以通过引入自变量的高次幂来建立非线性关系。
例如，二阶多项式回归模型可以表示为：y=β0+β1*x+β2*x^2+ε我们可以使用最小二乘法来估计回归系数，从而找到最佳的拟合曲线。
在以上三种线性回归模型中，我们以最小二乘法作为求解回归系数的方法。
最小二乘法通过最小化观测值与模型拟合值之间的残差平方和来选择最佳的回归系数。
通过最小二乘法，我们可以得到回归系数的闭式解，即可以明确得到回归系数的数值。
除了最小二乘法，还有其他求解回归系数的方法，例如梯度下降法和正规方程法。
曲线拟合问题讲解
曲线拟合问题摘要本文首先对给定数据根据不同要求进行多次直线拟合，分别求得使所拟直线预期值的偏差平方和、绝对偏差总和和最大偏差最小的三类拟合直线，然后再求得二次曲线条件下满足三类要求的二次拟合曲线，最后运用其他曲线对给定数据进行拟合，得到吻合度最高的曲线。
针对问题一，构建线性回归方程，运用最小二乘法及lingo软件使得目标函数预期值的即拟合偏差平方和达到最小，从而得到拟合曲线^0.80310480.0123077iy x-=。
针对问题二，构建给定数据的线性回归方程，使得目标函数即预期值的绝对偏差综合最小，但由于绝对偏差较难处理，采用转化的思想将对绝对偏差的求解转化为对偏差平方和开方的求解，从而得到拟合曲线^0.650.575iy x=+。
针对问题三，构建给定数据的线性回归方程，运用lingo软件使得目标函数即预期值的最大偏差最小，从而得到拟合曲线^1.13 1.879iy x=-。
针对问题四，构建给定数据的二次方程，运用lingo软件分别求得三类不同条件下的最优拟合曲线，偏差平方和达到最小：^210.097030110.138534 1.425301i iy x x-=+，绝对偏差总和达到最小：^210.041481480.27111111i iy x x+=+，观测值与预测值最大偏差为最小：^210.025568180.76590910.6923295i iy x x-=+。
针对问题五，本文做出给定数据散点图，构建不同曲线类型进行拟合，得到2R即吻合度最高的曲线类型，运用Matlab软件求得该曲线类型的方程。
本文的特色在于利用图标直观表达拟合曲线，增强文章可靠性及真实性，并构建不同的曲线类型，得到吻合度最高的拟合曲线。
关键词：曲线拟合、线性回归、lingo1．问题的重述已知一个量y 依赖于另一个量x ，现收集有数据如下：（1）求拟合以上数据的直线a bx y +=。
目标为使y 的各个观察值同按直线关系所预期的值的偏差平方和为最小。
matlab多元多次曲线拟合
matlab多元多次曲线拟合matlab是一种强大的数据分析和可视化工具，它提供了许多用于多元多次曲线拟合的功能。
多元多次曲线拟合是一种将多个自变量与因变量之间的关系表示为曲面或曲线的方法。
这种方法在许多领域中都非常有用，例如经济学、工程学、物理学等。
在matlab中，可以使用多种工具进行多元多次曲线拟合，包括polyfit、cftool、regress等。
其中，polyfit是matlab中最常用的拟合函数之一，它可以用于拟合一元多次、多元一次和多元多次曲线。
cftool是matlab 中提供的一种交互式工具，可以帮助用户进行多元多次曲线拟合，并提供可视化结果。
regress是一种用于多元线性回归的函数，在组合使用多项式和回归分析时也非常有用。
在进行多元多次曲线拟合之前，需要先确定拟合的模型。
在matlab中，可以使用多项式、指数型、对数型、幂函数等不同类型的模型进行拟合。
确定模型后，要将数据导入matlab并进行处理。
通常，可以从文件中读取数据，或者使用matlab中提供的数据生成函数来生成数据。
在导入数据后，需要对数据进行预处理，例如去除异常值、填充缺失值等。
然后，使用拟合函数进行拟合，并对结果进行可视化和评估。
在进行多元多次曲线拟合时，需要注意一些问题。
首先，要注意过拟合和欠拟合问题。
过拟合是指模型过于复杂，过分拟合了数据中的噪音，导致对新数据的预测效果不佳。
欠拟合是指模型过于简单，无法捕捉数据中的趋势和变化，导致模型的预测精度较低。
其次，要根据不同的数据类型和模型选择适合的拟合函数和方法。
最后，要对拟合结果进行评估，例如计算拟合误差、确定拟合程度等。
总之，matlab提供了许多有用的工具和函数，可以帮助用户进行多元多次曲线拟合。
在进行拟合之前，要先确定拟合模型和数据预处理方式，并注意过拟合和欠拟合问题。
拟合完成后，要对结果进行可视化和评估。
社会科学研究方法回归分析
2014年4月29日12时48分
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社会科学研究方法
二、一元线性回归模型的参数估计
• 回归模型中的参数a与b 在一般情况下都是未知数，必 须根据样本数据( x，y )来估计。 • 确定参数 与 值的原则是要使得样本的回归直线同观察 值的拟合状态最好，即要使得偏差最小。为此，可以 采普通最小二乘法（Ordinary Least Square，OLS） 来解决这个问题。 • 估计值和观察值之间的偏差
y 30391 .69 66.13x
2014年4月29日12时48分
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社会科学研究方法
三、总离差的分解
残差可表示如下：
ˆi ei yi y
试验得到的数据 上式可改写成： 回归直线对应的数据
ˆi ( yi y) ( y ˆi y) ei yi y
移项得：
S XX xi x S XY SYY
Y
y n
i
2
1 x n
2 i
x
i
2
1 xi x yi y xi yi n 2 2 1 2 yi y yi yi n
x y
i i
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社会科学研究方法
-1≤ r ≤1 r > 0，正相关；r = 1 为完全正相关 r < 0，负相关；r = -1 为完全负相关 |r| 越大，两变量相关越密切 正相关：0< r ≤1
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社会科学研究方法
负相关：-1 ≤ r < 0
实验报告-用曲线拟合实现材料科学研究中的数学建模20190920 - 副本
实验课程名称：计算机在材料科学与工程中的应用图1.21 图1.22 图1.23图3得到多元线性回归方程为：lg = 2913.68 − 3645.17 + 1615.472−238.823x−2.49 × 106/2.34.多元线性回归报告：图4.1练习及思考题（1）一元线性回归分析。
轴承钢真空处理前与成品钢液中的锰含量见表7-3.请分析研究，真空处理后轴承钢中锰含量（y）与真空处理前钢液中锰含量（x）的相关关系。
表7-3 轴承钢真空处理前与成品钢液中的锰含量（质量分数，%）炉号处理前成品炉号处理前成品炉号处理前成品1 0.38 0.36 12 0.38 0.35 23 0.32 0.312 0.36 0.33 13 0.32 0.31 24 0.37 0.353 0.30 0.30 14 0.33 0.32 25 0.35 0.324 0.35 0.33 15 0.37 0.35 26 0.36 0.355 0.33 0.33 16 0.37 0.35 27 0.34 0.336 0.35 0.32 17 0.33 0.31 28 0.33 0.347 0.35 0.34 18 0.35 0.32 29 0.35 0.35图2.1根据实验数据，绘制散点图，判断是否具有线性关系趋势图2.21图2.22图2.31图2.32 得到线性拟合方程 = 0.70129 + 0.08855。
一元线性回归报告：图2.33（4）水泥凝固放热与成分的关系研究。
根据长期实验结果，提出了某种水泥凝固时放出的热量(J/g)与水泥中四种化学成分质量分数的线性模型，其实验数据见表7-6.求其多元线性模型。
表7-6 水泥凝固放热量与四种化学成分的质量分数实验号质量分数凝固放热量/(J/g)2CaO·SiO23CaO·Al2O3CaO·SiO24CaO·Al2O3·Fe2O31 7 26 6 60 328.132 1 29 15 52 310.5743 11 56 8 20 435.9744 11 31 8 47 366.1685 7 526 33 400.8626 11 55 9 22 456.456图3.21图3.22图3.23 全屏截图图4.12.对（A,B,C,D,E）,(A,F,G,H,I),(A,J,L,M,N)进行图线绘制，对图线进行加粗。
MATLAB实例：多元函数拟合（线性与非线性）
MATLAB实例：多元函数拟合（线性与⾮线性）MATLAB实例：多元函数拟合(线性与⾮线性)作者：凯鲁嘎吉 - 博客园更多请看：之前写过⼀篇博⽂，是。
现在⽤拟合多元函数，实现线性拟合与⾮线性拟合，其中⾮线性拟合要求⾃定义拟合函数。
下⾯给出三种拟合⽅式，第⼀种是多元线性拟合(回归)，第⼆三种是多元⾮线性拟合，实际中第⼆三种⽅法是⼀个意思，任选⼀种即可，推荐第⼆种拟合⽅法。
1. MATLAB程序fit_nonlinear_data.mfunction [beta, r]=fit_nonlinear_data(X, Y, choose)% Input: X ⾃变量数据(N, D)， Y 因变量(N, 1)，choose 1-regress, 2-nlinfit 3-lsqcurvefitif choose==1X1=[ones(length(X(:, 1)), 1), X];[beta, bint, r, rint, states]=regress(Y, X1)% 多元线性回归% y=beta(1)+beta(2)*x1+beta(3)*x2+beta(4)*x3+...% beta—系数估计% bint—系数估计的上下置信界% r—残差% rint—诊断异常值的区间% states—模型统计信息rcoplot(r, rint)saveas(gcf,sprintf('线性曲线拟合_残差图.jpg'),'bmp');elseif choose==2beta0=ones(7, 1);% 初始值的选取可能会导致结果具有较⼤的误差。
[beta, r, J]=nlinfit(X, Y, @myfun, beta0)% ⾮线性回归% beta—系数估计% r—残差% J—雅可⽐矩阵[Ypred,delta]=nlpredci(@myfun, X, beta, r, 'Jacobian', J)% ⾮线性回归预测置信区间% Ypred—预测响应% delta—置信区间半⾓plot(X(:, 1), Y, 'k.', X(:, 1), Ypred, 'r');saveas(gcf,sprintf('⾮线性曲线拟合_1.jpg'),'bmp');elseif choose==3beta0=ones(7, 1);% 初始值的选取可能会导致结果具有较⼤的误差。
第6章 线性回归与曲线拟合讲解
n
Lyy ( yi y)2 ， i 1
n
Lxy (xi x)( yi y) 。 i 1
b Lxy ， Lxx
a y bx 。
Y=a+bx
这就是说回归直线一定通过（x, y ）这一点，
即由各数据的平均值组成的点，这一点对作图是很重要的。
每个实验点（xi，yi）相对于回归直线存在着误差 yi Yi yi (a bxi ) ，
求误差平方和的最小值
令 Q 代表各实验点误差的平方和，则有：
n
n
Q ( yi Yi2 ) = ( yi a bxi )2 ，
i 1
i 1
使 Q 值最小，只需将上式对 a，b 求偏微分，并令其为零，
则 y Yi b(x xi ) ，
yi Yi ( yi y) b(xi x) ，
n
n
2
( yi Yi )2 ( yi y) b(xi x) ，
i 1
i 1
经变换、化简，
n
n
n
( yi Yi )2 ( yi y)2 b2 (xi x)2 ，
求回归方程的方法，通常是用最小二乘法，其基本思想 就是从并不完全成一条直线的各点中用数理统计的方法 找出一条直线，使各数据点到该直线的距离的总和相对 其他任何线来说最小，即各点到回归线的差分和为最小， 简称最小二乘法。
2
6.1 散点图
要研究两个变量之间是否存在相关
关系，自然要先作实验，拥有一批实验
L2xy
。
n
(yi y)2
n
多元函数拟合
多元函数拟合
多元函数拟合是一种通过使用多项式、三角函数等数学函数来描述实验数据的方法。
它是一种常见的数据分析技术，主要用于解决回归问题，即预测一个或多个自变量与因变量之间的关系。
在进行多元函数拟合时，通常需要先选择一个适当的模型。
这个模型应该能够最好地描述实验数据，并且能够尽可能地减少误差。
常见的模型包括线性回归、非线性回归、多项式回归等。
对于线性回归，我们可以使用最小二乘法来求出最佳的拟合直线。
具体来说，我们需要找到一条直线，使得所有实验数据点到这条直线的距离之和最小。
这个方法可以用于解决单因素问题，即只有一个自变量和一个因变量之间的关系。
对于非线性回归和多项式回归，我们需要使用更复杂的数学模型来描述实验数据。
例如，在非线性回归中，我们可以使用指数函数、对数函数等来拟合曲线；在多项式回归中，则需要使用高次多项式来拟合曲线。
无论采用哪种模型，都需要进行参数估计。
参数估计通常是通过最小化误差平方和来实现的。
这个过程可以使用梯度下降、牛顿迭代等算
法来实现。
在进行多元函数拟合时，需要注意一些问题。
首先，需要选择适当的模型和参数估计方法。
其次，要注意过拟合和欠拟合问题。
过拟合是指模型过于复杂，导致在训练数据上表现良好，但在测试数据上表现不佳；欠拟合则是指模型过于简单，不能很好地描述实验数据。
为了避免这些问题，可以采用交叉验证、正则化等方法。
总之，多元函数拟合是一种重要的数据分析技术，在许多领域都有广泛的应用。
通过选择适当的模型和参数估计方法，并注意过拟合和欠拟合问题，我们可以得到更准确、可靠的预测结果。
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多元线性回归与曲线拟合————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期：ﻩ第十章:多元线性回归与曲线拟合――Regｒessioｎ菜单详解(上)回归分析是处理两个及两个以上变量间线性依存关系的统计方法。
在医学领域中,此类问题很普遍，如人头发中某种金属元素的含量与血液中该元素的含量有关系,人的体表面积与身高、体重有关系;等等。
回归分析就是用于说明这种依存变化的数学关系。
§1０.１Lineaｒ过程1０．1.1 简单操作入门调用此过程可完成二元或多元的线性回归分析。
在多元线性回归分析中,用户还可根据需要,选用不同筛选自变量的方法(如:逐步法、向前法、向后法,等）。
例１０.１:请分析在数据集Ｆat sｕrｆａctant.sav中变量fａt对变量spovl的大小有无影响?显然，在这里spovl是连续性变量,而fat是分类变量，我们可用用单因素方差分析来解决这个问题。
但此处我们要采用和方差分析等价的分析方法-－回归分析来解决它。
回归分析和方差分析都可以被归入广义线性模型中,因此他们在模型的定义、计算方法等许多方面都非常近似,下面大家很快就会看到。
这里spovl是模型中的因变量，根据回归模型的要求,它必须是正态分布的变量才可以,我们可以用直方图来大致看一下,可以看到基本服从正态,因此不再检验其正态性,继续往下做。
１0．1.1.1 界面详解在菜单中选择Regｒｅssiｏｎ＝=>liner，系统弹出线性回归对话框如下：除了大家熟悉的内容以外，里面还出现了一些特色菜，让我们来一一品尝。
【Depｅndenｔ框】用于选入回归分析的应变量。
【Blocｋ按钮组】由Prevｉｏus和Ｎexｔ两个按钮组成,用于将下面Ｉnｄependｅnt框中选入的自变量分组。
由于多元回归分析中自变量的选入方式有前进、后退、逐步等方法，如果对不同的自变量选入的方法不同，则用该按钮组将自变量分组选入即可。
下面的例子会讲解其用法。
【Indepenｄent框】用于选入回归分析的自变量。
【Method下拉列表】用于选择对自变量的选入方法,有Enteｒ(强行进入法)、Sｔeｐwisｅ(逐步法）、Reｍovｅ（强制剔除法)、Bacｋwａrd（向后法）、Ｆorwaｒd（向前法）五种。
该选项对当前Independenｔ框中的所有变量均有效。
【Seｌection Variａbｌｅ框】选入一个筛选变量,并利用右侧的Ruleｓ钮建立一个选择条件，这样,只有满足该条件的记录才会进入回归分析。
【ＣａsｅLabｅlｓ框】选择一个变量，他的取值将作为每条记录的标签。
最典型的情况是使用记录ID号的变量。
【WLＳ>>钮】可利用该按钮进行权重最小二乘法的回归分析。
单击该按钮会扩展当前对话框,出现WLS Ｗeiｇｈt框,在该框内选入权重变量即可。
【Sｔatistics钮】弹出Ｓtａtistics对话框，用于选择所需要的描述统计量。
有如下选项：o Regreｓｓioｎ Coeｆｆiｃients复选框组：定义回归系数的输出情况,选中Estimates可输出回归系数Ｂ及其标准误，ｔ值和p值,还有标准化的回归系数beta；选中Coｎfiｄence inｔeｒｖalｓ则输出每个回归系数的９5％可信区间;选中covariance matrix则会输出各个自变量的相关矩阵和方差、协方差矩阵。
以上选项默认只选中Estｉｍａtｅｓ。
o Resｉdｕals复选框组:用于选择输出残差诊断的信息,可选的有Dｕrbｉn－Watson残差序列相关性检验、超出规定的n倍标准误的残差列表。
oＭｏdｅｌｆiｔ复选框：模型拟合过程中进入、退出的变量的列表，以及一些有关拟合优度的检验：,Ｒ，R2和调整的R2，标准误及方差分析表。
o R squared chaｎｇe复选框:显示模型拟合过程中R2、Ｆ值和p值的改变情况。
o Descｒｉpｔｉvｅs复选框：提供一些变量描述，如有效例数、均数、标准差等,同时还给出一个自变量间的相关矩阵。
o Part and paｒtial correlations复选框：显示自变量间的相关、部分相关和偏相关系数。
oＣｏlｌｉｎeaｒity ｄiagnostics复选框:给出一些用于共线性诊断的统计量,如特征根（Eigeｎvａlｕｅs）、方差膨胀因子（VIＦ)等。
以上各项在默认情况下只有Esｔimａtes和Mｏdeｌ fit复选框被选中。
【Plｏｔ钮】弹出Pｌot对话框,用于选择需要绘制的回归分析诊断或预测图。
可绘制的有标准化残差的直方图和正态分布图，应变量、预测值和各自变量残差间两两的散点图等。
【Ｓａve钮】许多时候我们需要将回归分析的结果存储起来,然后用得到的残差、预测值等做进一步的分析,Save钮就是用来存储中间结果的。
可以存储的有:预测值系列、残差系列、距离（Distaｎceｓ)系列、预测值可信区间系列、波动统计量系列。
下方的按钮可以让我们选择将这些新变量存储到一个新的SＰＳS数据文件或XMＬ中。
【Optｉons钮】设置回归分析的一些选项,有：o Steppｉｎg Meｔhod Criteriａ单选钮组：设置纳入和排除标准,可按Ｐ值或F值来设置。
o Incｌudｅｃｏnｓtaｎt in eqｕatioｎ复选框：用于决定是否在模型中包括常数项,默认选中。
oＭisｓiｎg Vａlues单选钮组:用于选择对缺失值的处理方式,可以是不分析任一选入的变量有缺失值的记录（Eｘｃｌuｄe cａｓｅｓ lｉｓｔwisｅ）而无论该缺失变量最终是否进入模型；不分析具体进入某变量时有缺失值的记录(Ｅxcｌudｅcaｓeｓpａｉｒwｉｓｅ)；将缺失值用该变量的均数代替(Rｅplace ｗitｈｍean）。
10.1.1.2 输出结果解释根据题目的要求,我们只需要在Dependent框中选入spｏvl，Indｅｐendent 框中选入ｆat即可，其他的选项一律不管。
单击OＫ后,系统很快给出如下结果：Regressioｎ这里的表格是拟合过程中变量进入／退出模型的情况记录，由于我们只引入了一个自变量,所以只出现了一个模型1(在多元回归中就会依次出现多个回归模型)，该模型中fat为进入的变量，没有移出的变量,具体的进入/退出方法为en ｔｅr。
上表为所拟合模型的情况简报，显示在模型1中相关系数R为0.578，而决定系数R2为0.３3４，校正的决定系数为０.3０7。
这是所用模型的检验结果，可以看到这就是一个标准的方差分析表！有兴趣的读者可以自己用方差分析模型做一下,就会发现出了最左侧的一列名字不太一样外，其他的各个参数值都是相同的。
从上表可见所用的回归模型Ｆ值为12.0５9,Ｐ值为0.０0２,因此我们用的这个回归模型是有统计学意义的，可以继续看下面系数分别检验的结果。
由于这里我们所用的回归模型只有一个自变量，因此模型的检验就等价与系数的检验，在多元回归中这两者是不同的。
上表给出了包括常数项在内的所有系数的检验结果,用的是t检验,同时还会给出标化/未标化系数。
可见常数项和fat都是有统计学意义的,上表的内容如果翻译成中文则如下所示:未标准化系数标准化系数模型系数b系数标准误系数βｔ值P值1常数5.09７0.42711.923０.000ｆat0.70００.２０20.578 3.473０．０02１0.1.２复杂实例操作1０.１．2.1 分析实例例10.2:请分析在数据集plasｔic.sav中变量ｅxｔruｓn、additｉve、gloss和opａｃity对变量teaｒ_reｓ的大小有无影响？已知extrusn对tｅar_rｅs的大小有影响。
显然，这里是一个多元回归,由于除了extｒusn确有影响以外，我们不知道另三个变量有无影响，因此这里我们将ｅｘtrusn放在第一个ｂloｃk，进入方法为ｅｎter(我们有把握ｅxtrusｎ一定有统计学意义)；另三个变量放在第二个ｂlｏck，进入方法为ｓｔepｗise（让软件自动选择判断），操作如下：1.Aｎａlyzｅ==>Ｒｅgression==>Lｉnｅr2.Deｐendent框:选入teａr_rｅs3.Ｉndependent框：选入ｅｘtrｕｓn；单击nｅxｔ钮4.Iｎdｅpｅnｄｅnt框：选入ａddｉtiｖe、gloss和opacity；Mｅthoｄ列表框：选择stｅpwisｅ5.单击ＯK钮1０.１.2.２结果解释最终的结果如下:Regresｓiｏｎ上面的表格依次列出了模型的筛选过程，模型1用进入法引入了eｘtrusｎ，然后模型2用stepwise法引入了additive,另两个变量因没有达到进入标准,最终没有进入。
上面的表格翻译出来如下：模型进入的变量移出的变量变量筛选方法1ｅxtrｕsｎ进入法2ａｄｄitｉvestepｗise法（标准：进入概率小于０.０５，移出概率大于０.1)上表是两个模型变异系数的改变情况,从调整的Ｒ2可见，从上到下随着新变量的引入,模型可解释的变异占总变异的比例越来越大。
上表是所用两个模型的检验结果,用的方法是方差分析，可见二个模型都有统计学意义。
上表仍然为三个模型中各个系数的检验结果，用的是t检验，可见在模型2中所有的系数都有统计学意义,上表的内容翻译如下:未标化的系数标化的系数模型B标准误Beta t值P值1（常数）５．900.26５２2.27８.０0０extrusiｏn．５９0.1６７．６3９ 3.５22.0００2(常数)5．3１5.31416．926.0０0extｒusion．590．144.639 4.905.００0additｉｖe.390.144.422 2.707.0０0这是新出现的一个表格，反映的是没有进入模型的各个变量的检验结果，可见在模型1中,未引入模型的候选变量ａddｉtive还有统计学意义，可能需要引入，而模型2中没有引入的两个变量其Ｐ值均大于0.０5，无需再进行分析了。
１0.2 Curｖe Eｓtiｍatｉoｎ过程Cuｒve Ｅstimation过程可以用与拟合各种各样的曲线，原则上只要两个变量间存在某种可以被它所描述的数量关系，就可以用该过程来分析。
但这里我们要指出，由于曲线拟合非常的复杂，而该模块的功能十分有限，因此最好采用将曲线相关关系通过变量变换的方式转化为直线回归的形式来分析，或者采用其他专用的模块分析。
１0．2．1 界面详解Curｖe Estｉｍatｉon过程中有特色的对话框界面内容如下:下面我们分别解释一下它们的具体功能。
【Dｅpendeｎt框】用于选入曲线拟和中的应变量,可选入多个,如果这样，则对各个应变量分别拟合模型。
【Indｅpendent单选框组】用于选入曲线拟和中的自变量,有两种选择，可以选入普通的自变量,也可以选择时间作为自变量，如果这样做,则所用的数据应为时间序列数据格式。