培优易错试卷锐角三角函数辅导专题训练附详细答案

一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．已知在平面直角坐标系中，点()()()3,0,3,0,3,8A B C --，以线段BC 为直径作圆，圆心为E ，直线AC 交E 于点D ，连接OD . （1）求证：直线OD 是E 的切线；

（2）点F 为x 轴上任意一动点，连接CF 交E 于点G ，连接BG ： ①当1an 7t ACF ∠=时，求所有F 点的坐标 （直接写出）； ②求BG CF

的最大值. 【答案】（1）见解析；（2）①143,031F ⎛⎫

⎪⎝⎭，2(5,0)F ；② BG CF 的最大值为12. 【解析】

【分析】

（1）连接DE ，证明∠EDO=90°即可；

（2）①分“F 位于AB 上”和“F 位于BA 的延长线上”结合相似三角形进行求解即可； ②作GM BC ⊥于点M ，证明1~ANF ABC ∆∆，得

12

BG CF ≤，从而得解. 【详解】

（1）证明：连接DE ，则：

∵BC 为直径

∴90BDC ∠=︒

∴90BDA ∠=︒

∵OA OB =

∴OD OB OA ==

∴OBD ODB ∠=∠

∵

EB ED =

∴EBD EDB ∠=∠

∴EBD OBD EDB ODB ∠+∠=∠+∠

即：EBO EDO ∠=∠

∵CB x ⊥轴

∴90EBO ∠=︒

∴90EDO ∠=︒

∴直线OD 为E 的切线.

（2）①如图1，当F 位于AB 上时：

∵1~ANF ABC ∆∆ ∴11NF AF AN AB BC AC == ∴设3AN x =，则114,5NF x AF x == ∴103CN CA AN x =-=-

∴141tan 1037F N x ACF CN x ∠===-，解得：1031x = ∴150531

AF x == 1504333131

OF =-= 即143,031F ⎛⎫

⎪⎝⎭

如图2，当F 位于BA 的延长线上时：

∵2~AMF ABC ∆∆

∴设3AM x =，则224,5MF x AF x ==

∴103CM CA AM x =+=+

∴241tan 1037F M x ACF CM x ∠=

==+ 解得：25

x =

∴252AF x ==

2325OF =+=

即2(5,0)F

②如图，作GM BC ⊥于点M ，

∵BC 是直径

∴90CGB CBF ∠=∠=︒

∴~CBF CGB ∆∆ ∴8BG MG MG CF BC == ∵MG ≤半径4= ∴

41882

BG MG CF =≤= ∴BG CF 的最大值为12.

【点睛】

本题考查了圆的综合题：熟练掌握切线的判定定理、解直角三角形；相似三角形的判定和性质和相似比计算线段的长；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．

2．如图（1），在平面直角坐标系中，点A（0，﹣6），点B（6，0）．Rt△CDE中，

∠CDE=90°，CD=4，DE=4，直角边CD在y轴上，且点C与点A重合．Rt△CDE沿y轴正方向平行移动，当点C运动到点O时停止运动．解答下列问题：

（1）如图（2），当Rt△CDE运动到点D与点O重合时，设CE交AB于点M，求∠BME 的度数．

（2）如图（3），在Rt△CDE的运动过程中，当CE经过点B时，求BC的长．

（3）在Rt△CDE的运动过程中，设AC=h，△OAB与△CDE的重叠部分的面积为S，请写出S与h之间的函数关系式，并求出面积S的最大值．

【答案】（1）∠BME=15°；

（2BC=4；

（3）h≤2时，S=﹣h2+4h+8，

当h≥2时，S=18﹣3h．

【解析】

试题分析：（1）如图2，由对顶角的定义知，∠BME=∠CMA，要求∠BME的度数，需先求出∠CMA的度数．根据三角形外角的定理进行解答即可；

（2）如图3，由已知可知∠OBC=∠DEC=30°，又OB=6，通过解直角△BOC就可求出BC的长度；

（3）需要分类讨论：①h≤2时，如图4，作MN⊥y轴交y轴于点N，作MF⊥DE交DE于点F，S=S△EDC﹣S△EFM；②当h≥2时，如图3，S=S△OBC．

试题解析：解：（1）如图2，

∵在平面直角坐标系中，点A（0，﹣6），点B（6，0）．

∴OA=OB，

∴∠OAB=45°，

∵∠CDE=90°，CD=4，DE=4，

∴∠OCE=60°，

∴∠CMA=∠OCE﹣∠OAB=60°﹣45°=15°，

∴∠BME=∠CMA=15°；

如图3，

∵∠CDE=90°，CD=4，DE=4，

∴∠OBC=∠DEC=30°，

∵OB=6，

∴BC=4；

（3）①h≤2时，如图4，作MN⊥y轴交y轴于点N，作MF⊥DE交DE于点F，

∵CD=4，DE=4，AC=h，AN=NM，

∴CN=4﹣FM，AN=MN=4+h﹣FM，

∵△CMN∽△CED，

∴，

∴，

解得FM=4﹣，

∴S=S△EDC﹣S△EFM=×4×4﹣（44﹣h）×（4﹣）=﹣h2+4h+8，②如图3，当h≥2时，

S=S△OBC=OC×OB=（6﹣h）×6=18﹣3h．

考点：1、三角形的外角定理；2、相似；3、解直角三角形