CAPM证明的方法

多元正态分布假设下证明CAPM

对于市场上的每一个投资者而言，在单期决策中需要实现期望效用的最大化，即

)~(E max i i W u

根据最优化条件，需要满足

[]

))~(1(~ , ,0)~)(~(10∑=-++=∀=-'N j f j ij f i i f j i i r r w r W W where j

i r r W u E

利用协方差定义，上式可以写成

[][])~),~(()~()~(j

i i f j i i r W u Cov r r E W u E '-=-' 两个符合联合正态分布的变量满足

[]),()()),((Y X Cov X g E Y X g Cov '=

据此，上式可以化简为

[][][]

)~,~()~()~()~(j i i i f j i i r W Cov W u E r r E W u E ''-=-' 定义投资者i 的绝对风险厌恶系数为：

[]

[])

~()~(i i i i i W u E W u E '''-≡θ 将式子[][][]

)~,~()~()~()~(j i i i f j i i r W Cov W u E r r E W u E ''-=-'变换得到 [])~,~()~(1j

i f j i r W Cov r r E =-θ，对i 求和，得到

[])

~1(~~)~,~()1( )~,~()1()~(01

11011m m I i i j m I

i i m j I

i i

f j r W W M r r Cov W r M Cov r r E +====-∑∑∑=-=-=θθ

式中

110)1(-=∑I i i m W θ可以视为经济均衡时的综合相对风险厌恶系数。

把上式中的j 换成m ，可以得到

[])~()1()~(110m I i i

m f m r Var W r r E -=∑=-θ代入上式，可以得到

[][])~()~()~,~()~(f m m

m j f j r r E r Var r r Cov r r E -=-

在二次效用函数条件下证明CAPM 假设二次效用函数为

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)(z b z a z u i i i -=

对于市场上的每一个投资者而言，在单期决策中需要实现期望效用的

最大化，即

)~(E max i i W u

根据最优化条件，需要满足

[]

)

)~(1(~ , ,0)~)(~(10∑=-++=∀=-'N j f j ij f i i f j i i r r w r W W where j

i r r W u E 利用协方差定义，上式可以写成

[][]

)~),~(()~()~(j i i f j i i r W u Cov r r E W u E '-=-' 将效用函数代入，可得

)~,~()~()~(01

1j m m I i i i f j r r Cov W M E b a r r E -=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=-∑ 其中)~1(~~01m m I i i r W W M +==∑=。

将j 换成m ，可得

)~()~()~(01

1m m I i i i f m r Var W M E b a r r E -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-∑ 结合上面两个式子，可以得到

[][])~()~()~,~()~(f m m m j f j r r E r Var r r Cov r r E -=-