CAPM证明的方法
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多元正态分布假设下证明CAPM
对于市场上的每一个投资者而言,在单期决策中需要实现期望效用的最大化,即
)~(E max i i W u
根据最优化条件,需要满足
[]
))~(1(~ , ,0)~)(~(10∑=-++=?=-'N j f j ij f i i f j i i r r w r W W where j
i r r W u E
利用协方差定义,上式可以写成
[][])~),~(()~()~(j
i i f j i i r W u Cov r r E W u E '-=-' 两个符合联合正态分布的变量满足
[]),()()),((Y X Cov X g E Y X g Cov '=
据此,上式可以化简为
[][][]
)~,~()~()~()~(j i i i f j i i r W Cov W u E r r E W u E ''-=-' 定义投资者i 的绝对风险厌恶系数为:
[]
[])
~()~(i i i i i W u E W u E '''-≡θ 将式子[][][]
)~,~()~()~()~(j i i i f j i i r W Cov W u E r r E W u E ''-=-'变换得到 [])~,~()~(1j
i f j i r W Cov r r E =-θ,对i 求和,得到
[])
~1(~~)~,~()1( )~,~()1()~(01
11011m m I i i j m I
i i m j I
i i
f j r W W M r r Cov W r M Cov r r E +====-∑∑∑=-=-=θθ
式中
110)1(-=∑I i i m W θ可以视为经济均衡时的综合相对风险厌恶系数。
把上式中的j 换成m ,可以得到
[])~()1()~(110m I i i
m f m r Var W r r E -=∑=-θ代入上式,可以得到
[][])~()~()~,~()~(f m m
m j f j r r E r Var r r Cov r r E -=-
在二次效用函数条件下证明CAPM 假设二次效用函数为
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)(z b z a z u i i i -=
对于市场上的每一个投资者而言,在单期决策中需要实现期望效用的
最大化,即
)~(E max i i W u
根据最优化条件,需要满足
[]
)
)~(1(~ , ,0)~)(~(10∑=-++=?=-'N j f j ij f i i f j i i r r w r W W where j
i r r W u E 利用协方差定义,上式可以写成
[][]
)~),~(()~()~(j i i f j i i r W u Cov r r E W u E '-=-' 将效用函数代入,可得
)~,~()~()~(01
1j m m I i i i f j r r Cov W M E b a r r E -=???
? ??-=-∑ 其中)~1(~~01m m I i i r W W M +==∑=。
将j 换成m ,可得
)~()~()~(01
1m m I i i i f m r Var W M E b a r r E -=???? ??-=-∑ 结合上面两个式子,可以得到
[][])~()~()~,~()~(f m m m j f j r r E r Var r r Cov r r E -=-