理想流体有旋流动和无旋
第五章漩涡理论基础
第五章不可压缩流体的二维流动引言：在前面几章主要讨论了理想流体和黏性流体一维流动，为解决工程实际中存在的一维流动问题打下了良好的基础。
本章讨论理想不可压流体的二维有势流动以及二维黏性流体绕物体流动的基本概念。
第一节有旋流动和无旋流动刚体的运动可分解为移动和转动两种运动形式，流体具有移动和转动两种运动形式。
另外，由于流体具有流动性，它还具有与刚体不同的另外一种运动形式，即变形运动(deformationmotion)。
本节只介绍流体旋转运动即有旋流动(rotation—alflow)和无旋流动(irrotational flow)。
一、有旋流动和无旋流动的定义流体的流动是有旋还是无旋，是由流体微团本身是否旋转来决定的。
流体在流动中，如果流场中有若干处流体微团具有绕通过其自身轴线的旋转运动，则称为有旋流动，如果在整个流场中各处的流体微团均不绕自身轴线的旋转运动，则称为无旋流动。
强调“判断流体流动是有旋流动还是无旋流动，仅仅由流体微团本身是否绕自身轴线的旋转运动来决定，而与流体微团的运动轨迹无关。
”举例虽然流体微团运动轨迹是圆形，但由于微团本身不旋转，故它是无旋流动；在图5—1(b)中，虽然流体微团运动轨迹是直线，但微团绕自身轴线旋转，故它是有旋流动。
在日常生活中也有类似的例子，例如儿童玩的活动转椅，当转轮绕水平轴旋转时，每个儿童坐的椅子都绕水平轴作圆周运动，但是每个儿童始终是头向上，脸朝着一个方向，即儿童对地来说没有旋转。
二、旋转角速度(rotationalangularvelocity)为了简化讨论，先分析流体微团的平面运动。
如图5—2所示有一矩形流体微团ABCD在XOY平面内，经丛时间后沿一条流线运动到另一位置，微团变形成A，B，C，D。
流体微团在Z周的旋转角速度定义为流体微团在XOY平面上的旋转角速度的平均值速度环量是一个标量，但具有正负号。
速度环量的正负号与速度方向和积分时所取的绕行方向有关。
流体力学7[1].2 流体微团运动分析
![流体力学7[1].2 流体微团运动分析](https://img.taocdn.com/s3/m/0b6daf3731126edb6f1a106f.png)
∂vx ∂x δvx δv = ∂vy y ∂x δvz ∂v z ∂x
∂vx ∂y ∂vy ∂y ∂vz ∂y
∂vx ∂z δx ε γ γ 0 &x &z &y ∂vy & & & δy = γ z ε y γ x + ωz ∂z δz γ y γ x εz － y ∂vz & & & ω ∂z
∂vx ∂vx ∂vx vx + δy vx + δx + δy ∂x ∂y ∂y ∂vy ∂vy ∂vy c d vy + δy vy + δx + δy ∂y ∂x ∂y δy d1
c1
vy
a
δx
b
vy +
∂vy ∂x
δx
b1 a1
vx
(a) t时刻 t时刻
∂vx vx + δx ∂x
(b)
t＋ t＋△t时刻
1 ∂vx ∂vz ωy = − 2 ∂z ∂x
1 ∂vz ∂vy 也有类似的意义。 也有类似的意义。 ωx = − 2 ∂y ∂z
v 它们三者一起组成了角速度矢量 ω，且有 v v 1 ω = rotV 2
存在不在质点连线方向的速度梯 度是产生旋转和角变形的原因
dx dy = ⇒x2 + y2 = c （流线是同心圆族） 解：流线方程： − ky kx
线变形：
& & εx = ε y = 0
（无线变形） 角变形：
& γz =0
（无角变形） 1 ωz = (k + k) = k 旋转角速度： 2 （逆时针的旋转） 刚体旋转流动
流体流动的起因
a a(x,y,z,t)
p p(x,y,z,t)
u u(x, y, z,t) 当t=t0=常数，它便表示流场中 同一时刻各点的速度分布情况
当时间t变化时，流体质点将从某一点M0运动到另一点M， 也就是说质点的空间坐标也会随时间发生变化。由此可见，
x,y,z也是时间的函数，按复合函数求导原则，ux,uy,uz对 时间t求全导数，得：
流体动力学主要是研究运动参数（速度、 加速度等）随空间位置和时间的变化规律， 以及运动与力的关系
主要内容
▪基本概念 ▪连续性方程 ▪柏努利方程 ▪动量方程
主要内容：❖§3–1描述液体运动的两种方法 ❖§3–2恒定流动和非恒定流动 ❖§3–3流线和迹线
❖§3–4一元流动模型
❖§3–5恒定一元流的连续性方程式 ❖§3–6恒定元流能量方程 ❖§3–7过流断面的压强分布
t
uz
z t
z(a,b, c,t) t
液体质点在任意时刻的速度。
▪ 速度分量可写为
u u(a,b, c,t) x(a,b, c,t) t
v v(a,b, c,t) y(a,b, c,t) t
w w(a,b, c,t) z(a,b, c,t) t
▪ 加速度分量可写为
ax
ax (a,b, c,t)
❖§3–8恒定总流能量方程式
❖§3–9能量方程的应用举例
§3.1 流体运动的描述方法
一. 描述流体运动的困难
离散 质点系
流体
刚体
质点间 的约束
质点数
无 N个
弱 无穷
强 无穷
二. 描述流体运动的方法
拉格朗日法
着眼于流体质点，跟踪
第八章 理想流体有旋流动和无旋流动
y
y vy vx x
v x t
vy
v y x
x
vx
vx x
x
v y t
线变形运动
x方向的速度差
v B x vA x v x x x v C x v D x v x x x
y方向的速度差
vD yvA y v y y y vC yvB y v y y y
AB、DC在δt时间内伸长
y
vx
vx x
x
vx y
y
vy
vy x
x
vx
vx x
x
平移运动
矩形ABCD各角 点具有相同的速 度 分 量 vx 、 vy 。 导 致 矩 形 ABCD 平 移 vxδt, 上 移 vyδt, ABCD的形 状不变。
vy
vy y
y
vx
vx y
y
vy
v y x
x
v y y
y
vx
vx x
x
vx y
角变形速度的平均值
z
1 2
vy x
vx y
x
1 2
vz y
vy z
y
1 2
vx z
vz x
v x y t y
y
x
v y x t x
旋转运动
v x y t y
y
x
vy x t x
流体微团只发生角变形
流体微团只发生旋转，不发生角变形
流体微团在发生角变形的同时，还要发生旋转运动
亥姆霍兹速度分解定理
在一般情况下微小流体质团的运动可以分解为三部分： （1）随质团中某点（基点）一起前进的平移运动； （2）绕该点的旋转运动； （3）含有线变形和角变形的变形运动。
流体力学课程自学辅导资料
流体力学课程自学辅导资料二○○八年十月教材：工程流体力学教材编者：孔珑出版社：中国电力出版社出版时间：2007年注：期中（第10周左右）将前半部分测验作业寄给班主任，期末面授时将后半部分测验作业直接交给任课教师。
总成绩中，作业占15分。
第一章绪论一、本章的核心、重点及前后联系（一）本章的核心流体力学的研究内容和研究方法（二）本章重点流体力学的研究内容和研究方法（三）本章前后联系为本书的其它章节内容做一介绍二、本章的基本概念、难点及学习方法指导（一）本章的基本概念研究内容：是力学的一个独立分支，是一门研究流体的平衡和运动规律及其实际应用的技术科学。
研究速度分布、压强分布、能量损失及作用力。
研究方法：理论分析、实验研究、数值计算（二）本章难点及学习方法指导流体力学研究内容三、典型例题分析（略）四、思考题、习题及习题解答（一）思考题、习题（略）（二）习题解答（只解答难题）（略）第二章流体及其物理性质一、本章的核心、重点及前后联系（一）本章的核心1、流体的几个性质2、流体的几个物理模型3、作用在流体上的力（二）本章重点1、流体的压缩性、粘性2、连续介质模型、不可压缩流体模型、理想流体模型3、作用在流体上的力：表面力和质量力（三）本章前后联系为本书的其它章节建立物理模型二、本章的基本概念、难点及学习方法指导（一）本章的基本概念1、流体力学定义：受任何微小剪切力都能连续变形的物质特征：流动性2、连续介质模型：（1）宏观上无限小（2）微观上足够大（3）有确定物理量连续介质假设(continuum/continuous medium model)：把流体视为没有间隙地充满所占据的整个空间的一种连续介质，且其所有的物理量都是空间坐标和时间的连续函数的一种假设模型：f =f(t,x,y,z)。
特例：分子的自由行程和所涉及的最小有效尺寸可以相比拟时，如火箭在高空非常稀薄的空气中以及高真空技术3、压缩性：一定温度下、压强增加体积缩小的性质4、膨胀性：一定压强下、温度升高体积增大的性质5、不可压缩流体模型：通常情况下液体流速不高、压强变化小气体6、粘性：在运动的状态下，流体所产生的抵抗剪切变形的性质影响粘性的主要因素：流体种类、温度和压强7、牛顿流体：牛顿内摩擦定律和牛顿流体8、理想流体模型：粘度为09、作用在流体上的力：表面力和质量力（二）本章难点及学习方法指导1、流体的力学定义2、不可压缩流体模型3、理想流体模型三、典型例题分析1、P8. 例2-12、P14例2-4四、思考题、习题及习题解答（一）思考题、习题2-1、2-3、2-14（二）习题解答（只解答难题）（略）第三章流体静力学一、本章的核心、重点及前后联系（一）本章的核心流体静压强分布及作用在平面和曲面上的力（二）本章重点1、流体静压强特性2、流体静力学基本方程及其物理和几何意义3、液体相对平衡时压强分布及工程应用4、静止液体作用在平板上总压力大小和位置5、静止液体作用在曲面上总压力，压力体（三）本章前后联系流体静力学是力学的基础知识，最基本内容二、本章的基本概念、难点及学习方法指导（一）本章的基本概念1、流体静压强特性：方向沿作用面内法线方向，大小和作用面方位无关2、等压面：压强相等的点组成的面3、流体静力学基本方程及其物理和几何意义：水头、测压管水头、压强势能、重力势能4、帕斯卡原理、液柱式测压计5、液体相对平衡时压强分布及工程应用：离心式泵与风机、离心铸造机工作原理6、静止液体作用在平板上总压力大小和位置7、静止液体作用在曲面上总压力，压力体（二）本章难点及学习方法指导1、液体相对平衡时压强分布及工程应用：离心式泵与风机、离心铸造机工作原理2、静止液体作用在平板上总压力大小和位置3、静止液体作用在曲面上总压力，压力体三、典型例题分析1、P30. 例3-22、P37. 例3-63、P40. 例3-7四、思考题、习题及习题解答（一）思考题、习题1.相对平衡的流体的等压面是否为水平面？为什么？什么条件下的等压面是水平面？2.压力表和测压计上测得的压强是绝对压强还是相对压强 ？3、圆筒,H0=0.7m,R=0.4m, V=0.25m3, ω=10rad/s,中心开孔,顶盖m=5kg 。
工程流体力学名词解释和简答题_大全
一、名词解释1．理想流体：实际的流体都是有粘性的，没有粘性的假想流体称为理想流体。
2．水力光滑与水力粗糙管：流体在管内作紊流流动时（1分），用符号△表示管壁绝对粗糙度，δ0表示粘性底层的厚度，则当δ0＞△时，叫此时的管路为水力光滑管；（2分）当δ0＜△时，叫此时的管路为水力粗糙管。
（2分）3．边界层厚度：物体壁面附近存在大的速度梯度的薄层称为边界层；（2分）通常，取壁面到沿壁面外法线上速度达到势流区速度的99％处的距离作为边界层的厚度，以δ表示。
（3分）1、雷诺数：是反应流体流动状态的数，雷诺数的大小反应了流体流动时，流体质点惯性力和粘性力的对比关系。
2、流线：流场中，在某一时刻，给点的切线方向与通过该点的流体质点的刘速方向重合的空间曲线称为流线。
3、压力体：压力体是指三个面所封闭的流体体积，即底面是受压曲面，顶面是受压曲面边界线封闭的面积在自由面或者其延长面上的投影面，中间是通过受压曲面边界线所作的铅直投影面。
4、牛顿流体：把在作剪切运动时满足牛顿内摩擦定律的流体称为牛顿流体。
5、欧拉法：研究流体力学的一种方法，是指通过描述物理量在空间的分布来研究流体运动的方法。
6、拉格朗日法：通过描述每一质点的运动达到了解流体运动的方法称为拉格朗日法。
7、湿周：过流断面上流体与固体壁面接触的周界称为湿周。
8、恒定流动：流场中，流体流速及由流速决定的压强、粘性力、惯性力等也不随时间变化的流动。
10、卡门涡街：当流体经绕流物体时，在绕流物后面发生附面层分离，形成旋涡，并交替释放出来，这种交替排列、有规则的旋涡组合称为卡门涡街。
1、自由紊流射流：当气体自孔口、管嘴或条缝以紊流的形式向自由空间喷射时，形成的流动即为自由紊流射流。
12、流场：充满流体的空间。
3、无旋流动：流动微团的旋转角速度为零的流动。
15、有旋流动：运动流体微团的旋转角速度不全为零的流动。
6、自由射流：气体自孔口或条缝向无限空间喷射所形成的流动。
17、浓差或温差射流：射流介质本身浓度或温度与周围气体浓度或温度有差异所引起的射流。
第七章 理想不可压缩流体的有旋流动和无旋流动 §7-1 流体流动的连续性方程
理想正压性流体在有势的质量力作用下，任一涡管强 度不随时间变化。
作业：7-2(1)、(3)， 7-5
x
vx
y
v y
z
vz
dxdydz
微元体内总质量的变化率为 ：
t
CV
dV
t
CV
dxdydz
t
dxdydz
取极限：CV→0，控制体收缩为质点，得：
t
x
vx
y
vy
z
vz
0
写为矢量形式 ：
(v) 0
t
讨论：1. 定常流动 (v) 0
2. 不可压缩流体流动
v 0
divv 0
vx x
dx
vx y
dy
y
vy
v y y
dy
C
C’
vy
B
v y x
dx
v y y
dy
dβ
dy
vx vy
o
dα
dx
A
A’
vx vy
vx x v y x
dx dx
d(dx) vx dxt dx vx t
x
x
x
d(dy) vy dyt dy vy t
y
y
1. 平移运动
y
C
B
dy
vx
o
dx
A vy
x
v2 2
PF
2
yvz
zvy
dx
y
v2 2
PF
2zvx
xvz
dy
z
v2 2
PF
2
xvy
yvx
dz
有旋流动和无旋流动
因此，本章先阐述有旋流动的基本概念及基本 性质，然后再介绍二维平面势流理论。
基本要求 了解有旋流动和无旋流动的定义，理解速度环量和旋涡强度的概念，掌
J dA 2 ndA
A
A
如果面积A是涡束的某一横截面积，就称为涡束旋涡强度，
它也是旋转角速度矢量的通量。旋涡强度不仅取决于w，而且
取决于面积A。
二、速度环量Γ(velocity circulation):
涡通量和流体微团的角速度不能直接测得。
实际观察发现，在有旋流动中流体环绕某
一 核心旋转，涡通量越大，旋转速度越快，旋 转范围越扩大。
❖
❖
证明流体力学中一些重要定理（见开尔文定理，亥姆霍兹定理，
伯努利定理）时，常需假设流体满足正压条件。例如可以证明，若流体
是理想、正压且所受力是有势的,则流体中的涡旋既不能产生,也不能消
灭。由此可知，正压条件是判别流体中是否有涡旋的一个重要依。
❖
❖ 流体一般可以看作是一个平衡的热力学系统，它可以用包含热力学状态 参量的状态方程p＝┃(ρ,T)来描述。
第5章_有旋流动和无旋流动
在许多工程实际问题中，流动参数不仅在流动方 向上发生变化，而且在垂直于流动方向的横截面上 也要发生变化。要研究此类问题，就要用多维流的 分析方法。本章主要讨论理想流体多维流动的基本 规律，为解决工程实际中类似的问题提供理论依据，
也为进一步研究粘性流体多维流动奠定必要的基础。
可以推测，涡通量与环绕核心的流体中的速度
分布有密切关系。
速度环量Γ：速度在某一封闭周线切线上 的分量沿该封闭周线的线积分。
工程流体力学第七章 理想不可压缩流体的有旋流动和无旋流动讲解
x
vx
y
v y
z
vz
t
0
或
(v) 0
t
连续性方程表示了单位时间内控制体内流体质量的增量等于流体在控
制体表面上的净通量。它适用于理想流体和粘性流体、定常流动和非定常
流动。
在定常流动中，由于 0 t
x
0
对于不可压缩流体 vr 1 v vz vr 0
r r z r
式中 r 为极径； 为极角
球坐标系中的表示式为:
1 (vrr 2 ) 1 (v sin ) 1 v 0
t r 2 r
r sin
r sin
在某流场O点邻近的任意点A上的速度可以分成三个部分： 分别为与O点相同的平移速度（平移运动）；绕O点转动在A点 引起的速度（旋转运动）；由于变形（包括线变形和角变形） 在A点引起的速度（变形运动）。
第三节 有旋流动和无旋流动
根据流体微团在流动中是否旋转，可将流体的流动分为两 类：有旋流动和无旋流动。
vx y
2 x
2 y
2 z
前面在流体微团的分析中，已给出E点的速度为 :
vxE
vx
vx x
dx
vx y
dy
vx z
dz
v yE
vy
vy x
dx
vy y
dy
vy z
dz
vzE
工程流体力学习题及答案
第1章 绪论选择题【1.1】 按连续介质的概念，流体质点是指：（a ）流体的分子；（b ）流体内的固体颗粒；（c ）几何的点；（d ）几何尺寸同流动空间相比是极小量，又含有大量分子的微元体。
解：流体质点是指体积小到可以看作一个几何点，但它又含有大量的分子，且具有诸如速度、密度及压强等物理量的流体微团。
（d ） 【1.2】 与牛顿内摩擦定律直接相关的因素是：（a ）切应力和压强；（b ）切应力和剪切变形速度；（c ）切应力和剪切变形；（d ）切应力和流速。
解：牛顿内摩擦定律是d d v y τμ=，而且速度梯度d d vy 是流体微团的剪切变形速度d d t γ，故d d t γτμ=。
（b ）【1.3】 流体运动黏度υ的国际单位是：（a ）m 2/s ；（b ）N/m 2；（c ）kg/m ；（d ）N·s/m 2。
解：流体的运动黏度υ的国际单位是/s m 2。
（a ）【1.4】 理想流体的特征是：（a ）黏度是常数；（b ）不可压缩；（c ）无黏性；（d ）符合RTp =ρ。
解：不考虑黏性的流体称为理想流体。
（c ）【1.5】当水的压强增加一个大气压时，水的密度增大约为：（a ）1/20 000；（b ）1/1 000；（c ）1/4 000；（d ）1/2 000。
解：当水的压强增加一个大气压时，其密度增大约95d 1d 0.51011020 000k p ρρ-==⨯⨯⨯=。
（a ）【1.6】 从力学的角度分析，一般流体和固体的区别在于流体：（a ）能承受拉力，平衡时不能承受切应力；（b ）不能承受拉力，平衡时能承受切应力；（c ）不能承受拉力，平衡时不能承受切应力；（d ）能承受拉力，平衡时也能承受切应力。
解：流体的特性是既不能承受拉力，同时具有很大的流动性，即平衡时不能承受切应力。
（c ）【1.7】下列流体哪个属牛顿流体：（a ）汽油；（b ）纸浆；（c ）血液；（d ）沥青。
五章理想不可压流体二维流动（精品）
第五章理想不可压流体的二维无旋和有旋流动1.二维流动流函数定义、性质；2.二维流动流函数方程、定解条件、应用；3.复势、复速度求解无界二维流动、应用——定常圆柱绕流；4.奇点镜像法——平壁面和圆柱干扰下二维流动.流函数基本知识理想流体流动求解——叠加原理应用第五章理想不可压流体的二维无旋和有旋流动解不可压理想流体的平面和轴对称流动思路：运动学和动力学分解（位流理论）第四章确定不可压理想流体无旋流动时，直接利用连续方程（）和无旋（）条件求解速度场（拉普拉斯方程：），利用柯西——拉格朗日积分求压力场（将运动学问题和动力学问题分解）。
0=⋅∇V 0=⨯∇V 0=∆ϕ利用平面流动连续方程定义一个流函数，不可压平面无旋流动流函数和势函数均满足拉普拉斯方程（运动学方程），进而可以进行基本解叠加。
ψ不可压平面无旋流动流函数和势函数满足柯西---黎曼条件，因而可以利用复变函数工具。
均匀来流垂直于长柱体绕流，机翼中部流动近似为平面流动第五章理想不可压流体的二维无旋和有旋流动5.1 不可压平面流动和轴对称流动的流函数及性质5.1.1 平面流动和轴对称流动的定义平面流动：任一时刻，流场中各点的流动速度都平行于某一固定平面，且各物理量在此平面的垂直方向上没有变化。
若流动平行于xy平面，则平面流动速度及任一物理量B表示为：),,(,0),,,(),,,(t y x B B w t v x v v t y x u u ====轴对称流动：任一时刻，流场中各物理量在以某轴线为中心的同一圆周上没有变化。
若取z轴为对称轴，则各物理量满足：,0==∂∂εεV 第五章理想不可压流体的二维无旋和有旋流动5.1 不可压平面流动和轴对称流动的流函数及性质5.1.2 平面流动和轴对称流动的流函数流函数定义：对不可压流动，连续方程：，展开为：0=⋅∇V 0)(122311132321=∂∂+∂∂q V h h q V h h h h h 对定常可压缩流动，连续方程：，展开为：0)(=⋅∇V ρ0)(122311132321=∂∂+∂∂q V h h q V h h h h h ρρ定义流函数ψ流函数的概念是1781年Lagrange 首先引进的第五章理想不可压流体的二维无旋和有旋流动或者：通常把不可压平面流动的流函数称作拉格朗日流函数不可压平面流动（直角坐标中）的流函数(q 1=x, q 2=y, q 3=z ）（h 1=h 2=h 3=1)：不可压平面流动（极坐标）的流函数：(q 1=r,q 2=θ,q 3=z ）23111322,V h h q V h h q -=∂∂=∂∂ψψ23111322,V h h q V h h q ρψρψ-=∂∂=∂∂v xu y -=∂∂=∂∂ψψ,(h 1=1,h 2=r ,h 3=1)：θψθψV rrV r -=∂∂=∂∂,第五章理想不可压流体的二维无旋和有旋流动# 柱坐标z, r, ε不可压轴对称流动（柱坐标及球坐标中）的流函数：# 球坐标R,θ，ε23111322,V h h q V h h q -=∂∂=∂∂ψψ(h 1=1,h 2=1,h 3=r)：(h 1=1,h 2=R,h 3=Rsinθ)：r z rV z rV r-=∂∂=∂∂ψψ,θθψθθψV R RV R R sin ,sin 2-=∂∂=∂∂2 r第五章理想不可压流体的二维无旋和有旋流动)()(4)()(42122222=+---++++-∞r d x d x Qr d x d x Q r U ππr=0 满足流线方程，即ψ=0的流线通过x 轴，另解方程)2(,0)()()()(22222222∞==+--++++-U Qb rd x d x b rd x d x b r π求速度场：V复势:复速度:共轭复速度:复速度的模:共轭复速度的表示方法：（2）复速度：以平面无旋流场的速度分量组成的复数U=u+ivψφi z W +=)(V iv u xi x dz dW =-=∂∂+∂∂=ψφiv u dzdW+=V v u dzdW=+=22αi Ve iv u dzdW -=-=dzWd artg u v tg i V dz dW ==-=-1),sin (cos ααα复速度:ivu V +=,x qφ=∂若平面点源在（x 0, y 0)θππψ'=--=-2)(2001q x x y y tg q 20202)()(,In 2y y x x q-+-==σσπφ)(2),(20202y y q v x x qu -=-=πσπσ)(22)(2)(0z z In qz In q i In q z W -='='+=ππθσπm（3）平面偶极子两无限长直线点源相距δl ，线源强度分别为q （位于z=-δl )和-q （位于z=0），当δl →0时，称这一对直线点源为平面偶极子。
流体力学第7章不可压缩理想流体的平面运动(简化版)
AB AB dvx x lim t 0 xt dx
把εx叫做线段AB在x轴的线变形速度。
6
对于三维问题则有
v y vx vz x , y , z x y z
下标x,y,z表示变形发生的方向。 对于不可压缩流体，在变形过程中，体积不 发生改变，则有
dy
A
o
dx vx
II
流线
x
在虚线AB上取一微元弧段dl，显然，vxdy是经 dl从区I进入区II的流量， vydx是经dl从II区 进入I 区的流量，那么经dl从I区进入II区的净流量为
33
dq vx dy v y dx
对虚线积分可得到两条流线之间的总流量
q dq vx dy v y dx d B A
15
例：如图一维剪切流动中，流体速度分布为
v x cy, v y 0
其中c为常数。判断流动是否无旋？ v0 y x vx
16
由判断条件
1 v y v x 1 z ( ) c0 2 x y 2
故运动是有旋的。
17
例：图示为流体质点绕某一圆心的旋转运动。已知 流体速度分布为
工程上有许多问题可简化为理想流体的
无旋流动问题，如流体机械内的流动。利 用无旋流动的特性，可建立线性运动方程 来求解流体的速度分布，从而避开求解欧 拉方程的困难。
20
7.3.1速度势函数
对于无旋流动，速度的旋度为零，即
v 2 0
此时流体质点都要满足以下条件
v x v y v z v x v y v z , , y x x z z y
39
练习
试求下面不可压缩流场的流函数及速度势：
8-第8讲 理想流体的有旋与无旋流动
21 2 2 0 x 2 y 2 2 2 2 2 0 x 2 y 2
则 1 2 也满足拉普拉斯方程，即有
2 2 0 x 2 y 2
同理，对于无旋运动的流函数也有这一特性，两个流函数叠加后可构成新的流函数。 这一结论推广的有限个势函数或流函数的叠加仍然成立。 3、 流函数与势函数满足科希-黎曼关系式 由（6-31）和（6-33）可知，势函数与流函数满足关系式
x y x y
此式称为科希-黎曼关系式。 4、 等流函数线与等势线正交 对于等流函数线，有 C ，即有
（6-35）
d
dx dy 0 x y
在等流函数线上一点 ( x, y ) 处曲线切线的斜率为
（6-53）
q q ( A B ) P 2 2
（6-54）
注： 设 常数 ， 得到流线方程为 如图 6-13 所示。
这是一个经过点 A 和点 B 的圆线簇， P 常数 ，
y
等流函数线
☉ A
☉
B
x
图 6-13
点源与点汇的叠加流线
如果点源和点汇无限接近，即令 a 0 ，可得到一个无旋流动，称为偶极流。偶极流 的流函数与势函数的推导如下。 点源与点汇叠加后的势函数为
即流动一定是无旋的。 对于二元流动，不管是有旋还是无旋流动，我们都可以定义另外一个函数，称为流函 数，记作 ，定义如下
v x u y
这样的函数是天然满足连续性方程的，即有
（6-32）
u v 2 2 0 x y xy xy
流函数与势函数有如下基本特性。 1、 对于有势流动，流函数与势函数均为调和函数 若流场是有势的，即（6-31）式成立，则由连续性方程，有
杜编《工程流体力学》总结
杜编《工程流体力学》总结第一章绪论一、 流体的定义：通常说能够流动的物质为流体；如果按照力学的术语进行定义，则在 任何微小剪切力的作用下都能够发生连续变形的物质称为流体。
液体、气体统称为流体。
二、 特征在给定的剪切力作用下，固体只产生一定量的变形，而流体将产生连续的变形，即流 体具有流动的特征；当剪切力停止作用时，在弹性极限内固体可以恢复原来的形状，而流体 只是停止变形，而不能恢复到原来的位置；在静止状态下，固体能够同时承受法向应力和切 向应力，而流体仅能够承受法向应力，只有在运动状态下才能够同时承受法向应力和切向应 力；固体有一定的形状，而流体则取其容器的形状。
三、 连续性假设把流体视为由无数连续分布的流体微团组成的连续介质，这就是流体的“连续介质模 型”。
四、密度密度是流体的重要物理属性之一，它表征流体的质量在空间的密集程度。
对于非均质流 体，若围绕空间某点的体积为印，其中流体的质量为5m ，则它们的比值5m /印为印内 流体的平均密度。
令5V 30取该值的极限，便可得到该点处流体的密度，即式中m 为流体的质量（kg ）, V 为流体的体积（m 3），p 表示流体单位体积内具有的质量 （kg/m 3）。
式中数学上的5V 30，在这里应从物理上理解为，体积缩小为上节所定义的流 体微团。
以后遇到类似情况，都应该这样去理解。
对于均质流体，其密度为m P = 一V五、可压缩流体和不可压缩流体流体的膨胀性：流体的膨胀性系数用a 活示，它是在一定压强下单位温升引起的体积 变化率，即dV a =V VdT式中dT 为温度增量，dV :V 为d T 引起的体积变化率。
流体的压缩性：用流体的压缩系数k 表示，它是在一定温度下单位压强增量引起的体 积变化率，即5V V5VK ——5p V 5p式中5p 为压强增量，5V/V 为。
p 引起的体积变化率。
由于压强增高，体积缩小，0 p 和6 V 异号，为了保证压缩系数为正，故在等式的右侧冠以负号。
第七章 理想气体的有旋流动和无旋流动
第五章 管流损失和水力计算
§7.10 几种简单的不可压缩流体的平面流动 §7.11 几种简单的平面无旋流动的叠加 §7.12 平行流绕过圆柱体无环流的平面流动 §7.13 平行流绕过圆柱体有环流的平面流动 库塔-儒可夫斯基公式 库塔-
§7.1 微分形式的连续方程
一、微分形式的连续方程
的微元平行六面体。 控制体的选取: 边长为dx， ， 的微元平行六面体 控制体的选取: 边长为 ，dy，dz的微元平行六面体。 形心坐标： x, y, z 形心坐标： 三方向速度： 三方向速度： vx , vy , vz 密度： 密度：ρ
∇ ⋅ ( ρv ) =
∂ ∂ ∂ ( ρv x ) + ( ρv y ) + ( ρv z ) = 0 ∂x ∂y ∂z
不可压缩流体的定 常或非定常流动： 常或非定常流动：
∇⋅v =
∂v x ∂v y ∂v z + + =0 ∂x ∂y ∂z
§7.1 微分形式的连续方程
其它形式的连续方程（ 二、其它形式的连续方程（续）
v x dt
y方向移动速度： vy 方向移动速度： 方向移动速度 z方向移动速度： vz 方向移动速度： 方向移动速度
D
A
v y dt
C
x
§7.2 流体微团运动的分解 有旋流动和无旋流动
流体微团运动的分解( 二、流体微团运动的分解(续)
1.移动 1.移动 各角点的速度分量中都包 含vx,vy x方向移动速度： vx 方向移动速度： 方向移动速度
vx − ∂v x dx ∂v x dy ∂v x dz + − ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
vx −
∂v x dx ∂v x dy ∂v x dz + + ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
流体力学名词解释
●连续介质模型：在流体力学的研究中，将实际由分子组成的结构用流体微元代替。
流体微元有足够数量的分子，连续充满它所占据的空间，这就是连续介质模型。
●质量力：处于某种力场中的流体，所有质点均受有与质量成正比的力，这个力称为质量力。
●表面力：指作用在所研究流体外表面上与表面积大小成正比的力。
●流体的相对密度：某均质流体的质量与4℃同体积纯水的质量的比称为该流体的相对密度。
●压缩率：当流体保持温度不变，所受压强改变时，其体积的相对变化率。
●粘性：当流体在外力作用下，流体微元间出现相对运动时，随之产生阻碍流体层间相对运动的内摩擦力，流体产生内摩擦力的这种性质称为粘性。
●动力粘度：单位速度梯度时内摩擦力的大小μ=τ∕(dv∕dh)●运动粘度：动力粘度和流体密度的比值。
υ=μ／ρ●理想流体：一种假想的没有粘性的流体。
●牛顿流体：在流体力学的研究中，凡切应力与速度梯度成线性关系，即服从牛顿内摩擦定律的流体，称为牛顿流体。
●表面张力：引起液体自由表面欲成球形的收缩趋势的力称为表面张力。
●静压强：当流体处于绝对静止或相对静止状态时，流体中的压强称为流体静压强。
●绝对压强：以绝对真空为零点开始计量的压强。
●质量流量：单位时间内流过总流过流断面的流体质量。
●体积流量：单位时间内流过总流过流断面的流体体积。
●压缩性：在一定的温度下，流体的体积随压强升高而缩小的性质。
●计示压强：以大气压为零时计量的压强。
●真空度：流体的绝对压强小于大气压而形成真空的程度。
●有势质量力：质量力所做的功只与起点和终点的位置有关，这样的质量力称为有势质量力。
●力的势函数：某函数对相应坐标的偏导数，等于单位质量力在相应坐标轴上的投影，该函数称为力的势函数。
●等压面：在充满平衡流体的空间，连接压强相等的各点所组成的面称等压面。
●静水奇象：总压力的大小与容器的形状和容器内所盛液体的多少无关，仅取决于底面积和淹深。
●淹深：流体中某点在自由面下的垂直深度。
不可压缩理想流体的平面运动规则
1 2 3 ...
1 2 3 ...
§7.3 简单势流及其组合
§7.3.2 几种简单的平面无旋流动的叠加
二、螺旋流(汇环流动和源环流动）
1.流动描述
同一点上点汇（点源）和点涡的叠加
2.势函数和流函数的确定
点汇的势函数和流函数
ln r 2
一、流体微团上各点速度的表示
图7.1为任意时刻平面流场中正方体流体微团，考察A，O速度。
O点处速度：Vx,Vy.
A点速度
vAx
vx
vx x
dx
vx y
dy
vAy
vy
vy x
dx
vy y
dy
（7-1）
§7.1 流体微团运动
对上式变形
vAx vx xxdx yxdy zdy
旋转角速度
§7.1 流体微团运动
二、流体微团平面运动的分解
由上式可见，A速度由四项组成：
Vx,Vy表示A点随O点平移运动
xx
指单位时间内微元流体线的相对伸长率-线变形率，
yy
线变形率之和为体变形率
xy
,
单位时间内两正交流体线夹角的平均变化量-角变形率
yx
z 指流体微团在X-Y平面转动的角速度—转动角速度
§7.6 几种简单的平面无旋流动的叠加
§7.7 平行流绕过圆柱体无环流的平面流动 §7.8 平行流绕过圆柱体有环流的平面流动
库塔-儒可夫斯基公式
第七章 不可压缩理想流体的平面运动
平面运动：这个流场中流体速度都平行于某一平面，且流体各
《工程流体力学》第五章 理想流体多维流动基础
5)控制面上法向速度Vn：以控制面外法线方向为正
动量方程变为：
6)推导上述方程时：假设为理想流体 实际流体：有粘性 一般粘性系数：很小 紧靠物体表面附面层内流体：必须考虑粘性 附面层以外流体：可按理想流体处理 求流体与物体之间作用力时：仍可用动量方程
流体与物体之间法向压力和切向粘性力总和：
二、微分形式动量方程：
规定逆时针为正 规定顺时针为负
类推可得，对三维流动：
矢量形式旋转角速度：
流体微团运动一般由四种基本运动复合而成
由泰勒级数展开，并略去高阶小量： 上式改写为：
—— 亥姆霍兹速度分解定理
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第三节 有旋流动：
两种形式： 1)集中涡：肉眼可看出流体在旋转，如龙卷风，旋涡等 2)数学涡：肉眼看不到，但由速度分布，可算出
=单位时间内体系随流物理量N进入区域III的数量 =单位时间内从控制体流出的随流物理量
A出 — 从控制体表面 流出的流体所 穿过控制面的 面积
— 穿出控制面流速
=单位时间内流进控制体的流体所带进随流物理量N数量
A进 — 从控制体表面 流进的流体所 穿过控制面的 面积
但随流物理量总是正的 在积分前加负号
一、涡线、涡管： 旋涡场：把角速度矢量场作为研究对象来研究流体运动 涡线：某一瞬时曲线上每一点的角速度矢量方向都与该处 曲线切线方向相同
涡管：在旋涡场中任取一条封闭曲线 (不是涡线) ，通过曲线上每一点作一 条涡线，所有涡线形成的管形曲面
二、速度环量： 速度环量：流场中流动速度沿给定封闭曲线的线积分
质点A速度矢量： 质点A速度分量：(VAx, VAy)
B点速度分量：
D点速度分量：
C点速度分量：
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d x d y d zd t v x v y v z d x d y d zd t 0
t
x y z
vxvyvz0
t x y z
vd ivv0
t
t
——可压缩流体非定常三维流动的连续性方程
连续性方程表示了单位时间控制体内流体质量的增量等于流体在控制体 表面上的净通量。
它适用于理想流体和粘性流体、定常流动和非定常流动。
第二节 流体微团运动分解
14
第八章 理想流体的有旋流动和无旋流动
流体与刚体的主要不同在于它具有流动性，极易变形。 流体微团在运动过程中不但象刚体那样可以有移动和转动，而
且还会发生变形运动。 一般情况下，流体微团的运动可以分解为移动，转动和变形运
动。
15
第八章 理想流体的有旋流动和无旋流动
在流场中任取一微元平行六面体
z
vMy
vy
v y x
x
v y y
yvz zz NhomakorabeavMz
vz
vz x
x
vz y
y
vz z
z
16
第八章 理想流体的有旋流动和无旋流动
vMx
vx
v x x
x
v x y
y
v x z
z
vMy
vy
v y x
x
v y y
y
vz z
球坐标系中微分形式的连续性方程
t r 1 2 ( v r r r 2 ) r s i 1 n (v s in ) r s i 1 n ( v ) 0
定常
r 1 2 ( v r rr 2 ) rs i 1 n (v s in) rs i 1 n ( v ) 0
不可压缩定常
xd 2xvx vxxd 2xdydzdt
dt时间通过右面流出的流体质量为：
vx
vx t
dx 2
dx t 2
xd 2xvx vxxd 2xdydzdt
则dt时间内沿x轴通过微元体表面的质量净通
量为
v x xd x v x x d x d y d z d t x (v x )d x d y d z d t
边长分别为dx、dy、dz。
t瞬时A点的速度为
vA (x ,y,z) vx(x ,y,z)ivy(x ,y,z)jvz(x ,y,z)k
顶点M速度为
vM (xx,yy,zz)vx(xx,yy,zz)i vy(xx,yy,zz)j vz(xx,yy,zz)k
vMx
vx
v x x
x
v x y
y
v x z
平面涡流 速度势 流函数 流网 几种简单的平面势流 简单平面势流的叠加 均匀等速流绕过圆柱体的平面
流动 均匀等速流绕过圆柱体有环流
的平面流动
3
第八章 理想流体的有旋流动和无旋流动
第一节 微分形式的连续方程
4
第八章 理想流体的有旋流动和无旋流动
当把流体的流动看作是连续介质的流动，它必然遵守质量守恒定 律。
10
第八章 理想流体的有旋流动和无旋流动
柱坐标系中微分形式的连续性方程 t 1 r r(rv r) 1 r (v ) z(v z) 0
定常
1 r r(rvr)1 r (v) z(vz)0
不可压缩定常
vr r
1 rv vzz
vr r
0
11
第八章 理想流体的有旋流动和无旋流动
的问题提供理论依据，也为进一步研究粘性流体多维流动奠定必要的 基础。
2
第八章 理想流体的有旋流动和无旋流动
本章内容
微分形式的连续方程 流体微团运动分解 理想流体运动方程 定解条件 理想流体运动微分方程的积分 涡线 涡管 涡束 涡通量 速度环量 斯托克斯定理 汤姆孙定理 亥姆霍兹定理
为vx、vy、vz 密度为ρ
vx
vx x
dx 2
dx x 2
和x轴垂直的两个平面上的速度和密
度
vx
vx x
dx 2
vx
vx x
dx 2
dx
x 2
dx
x 2
vx
vx x
dx 2
dx x 2
6
第八章 理想流体的有旋流动和无旋流动
在x方向上，dt时间内通过左面流入的流体质 量为：
v rr1 r v rsi1 n v 2 r vrvc r o t0
12
第八章 理想流体的有旋流动和无旋流动 【例】已知不可压缩流体运动速度v在x，y两个轴方向的分
量为vx=2x2+y，vy=2y2+z。且在z=0处，有vz=0。试求z轴方 向的速度分量vz。
13
第八章 理想流体的有旋流动和无旋流动
y
z
开始瞬时流体的密度为ρ，经过dt时间后的密度为
(x,y,z,tdt)dt
t
vndA CS
在dt时间内，六面体内因密度的变化而引起的质量变化为
d t d x d y d z d x d y d z d x d y d zd t
t
t
t
CV
dV
8
第八章 理想流体的有旋流动和无旋流动
9
第八章 理想流体的有旋流动和无旋流动
vxvyvz0
t x y z
vd ivv0
t
t
定常
0 t
vxvyvz0
x
y
z
v d iv v 0
不可压缩定常
const
vx vy vz 0 x y z
v d iv v 0
物理意义：在同一时间内通过流场中任一封闭表面的体积流量等于零， 也就是说，在同一时间内流入的体积流量与流出的体积流量相等。
对于一定的控制体，必须满足 tCVdVCSvndA0
它表示在控制体内由于流体密度变化所引起的流体质量随时间的 变化率等于单位时间内通过控制体的流体质量的净通量。
5
第八章 理想流体的有旋流动和无旋流动
直角坐标系中微分形式的连续性方程
在流场中取出微元六面体ABCDEFG
微元六面体中心点上流体质点的速度
vx
vx t
dx 2
dx t 2
7
第八章 理想流体的有旋流动和无旋流动
在dt时间内沿y轴和z轴方向流体质量的净通量分别为：
( y
vy)d x d yd zd t
( z
vz)d x d yd zd t
在dt时间内经过微元六面体的流体质量总变化为
vxvy vzdxdydzdt
x
第八章 理想流体的有旋流动和无旋流动
第八章 理想流体的有旋流动和无旋流动
1
第八章 理想流体的有旋流动和无旋流动
在许多工程实际问题中，流动参数不仅在流动方向上发生变化，而且 在垂直于流动方向的横截面上也要发生变化。
要研究此类问题，就要用多维流动的分析方法。 本章主要讨论理想流体多维流动的基本规律，为解决工程实际中类似