理想流体有旋流动和无旋

边长分别为dx、dy、dz。
t瞬时A点的速度为
vA (x ,y,z) vx(x ,y,z)ivy(x ,y,z)jvz(x ,y,z)k
顶点M速度为
vM (xx,yy,zz)vx(xx,yy,zz)i vy(xx,yy,zz)j vz(xx,yy,zz)k
vMx
vx
v x x
x
v x y
y
v x z
平面涡流 速度势 流函数 流网 几种简单的平面势流 简单平面势流的叠加 均匀等速流绕过圆柱体的平面
流动 均匀等速流绕过圆柱体有环流
的平面流动
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第八章 理想流体的有旋流动和无旋流动
第一节 微分形式的连续方程
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第八章 理想流体的有旋流动和无旋流动
当把流体的流动看作是连续介质的流动，它必然遵守质量守恒定 律。
第二节 流体微团运动分解
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第八章 理想流体的有旋流动和无旋流动
流体与刚体的主要不同在于它具有流动性，极易变形。 流体微团在运动过程中不但象刚体那样可以有移动和转动，而
且还会发生变形运动。 一般情况下，流体微团的运动可以分解为移动，转动和变形运
动。
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第八章 理想流体的有旋流动和无旋流动
在流场中任取一微元平行六面体
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第八章 理想流体的有旋流动和无旋流动
vxvyvz0
t x y z
vd ivv0
t
t
定常
0 t
vxvyvz0
x
y
z
v d iv v 0
不可压缩定常wk.baidu.com
const
vx vy vz 0 x y z
v d iv v 0
物理意义：在同一时间内通过流场中任一封闭表面的体积流量等于零， 也就是说，在同一时间内流入的体积流量与流出的体积流量相等。
z
vMy
vy
v y x
x
v y y
y
vz z
z
vMz
vz
vz x
x
vz y
y
vz z
z
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第八章 理想流体的有旋流动和无旋流动
vMx
vx
v x x
x
v x y
y
v x z
z
vMy
vy
v y x
x
v y y
y
vz z
xd 2xvx vxxd 2xdydzdt
dt时间通过右面流出的流体质量为：
vx
vx t
dx 2
dx t 2
xd 2xvx vxxd 2xdydzdt
则dt时间内沿x轴通过微元体表面的质量净通
量为
v x xd x v x x d x d y d z d t x (v x )d x d y d z d t
d x d y d zd t v x v y v z d x d y d zd t 0
t
x y z
vxvyvz0
t x y z
vd ivv0
t
t
——可压缩流体非定常三维流动的连续性方程
连续性方程表示了单位时间控制体内流体质量的增量等于流体在控制体 表面上的净通量。
它适用于理想流体和粘性流体、定常流动和非定常流动。
对于一定的控制体，必须满足 tCVdVCSvndA0
它表示在控制体内由于流体密度变化所引起的流体质量随时间的 变化率等于单位时间内通过控制体的流体质量的净通量。
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第八章 理想流体的有旋流动和无旋流动
直角坐标系中微分形式的连续性方程
在流场中取出微元六面体ABCDEFG
微元六面体中心点上流体质点的速度
的问题提供理论依据，也为进一步研究粘性流体多维流动奠定必要的 基础。
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第八章 理想流体的有旋流动和无旋流动
本章内容
微分形式的连续方程 流体微团运动分解 理想流体运动方程 定解条件 理想流体运动微分方程的积分 涡线 涡管 涡束 涡通量 速度环量 斯托克斯定理 汤姆孙定理 亥姆霍兹定理
y
z
开始瞬时流体的密度为ρ，经过dt时间后的密度为
(x,y,z,tdt)dt
t
vndA CS
在dt时间内，六面体内因密度的变化而引起的质量变化为
d t d x d y d z d x d y d z d x d y d zd t
t
t
t
CV
dV
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第八章 理想流体的有旋流动和无旋流动
v rr1 r v rsi1 n v 2 r vrvc r o t0
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第八章 理想流体的有旋流动和无旋流动 【例】已知不可压缩流体运动速度v在x，y两个轴方向的分
量为vx=2x2+y，vy=2y2+z。且在z=0处，有vz=0。试求z轴方 向的速度分量vz。
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第八章 理想流体的有旋流动和无旋流动
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第八章 理想流体的有旋流动和无旋流动
柱坐标系中微分形式的连续性方程 t 1 r r(rv r) 1 r (v ) z(v z) 0
定常
1 r r(rvr)1 r (v) z(vz)0
不可压缩定常
vr r
1 rv vzz
vr r
0
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第八章 理想流体的有旋流动和无旋流动
第八章 理想流体的有旋流动和无旋流动
第八章 理想流体的有旋流动和无旋流动
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第八章 理想流体的有旋流动和无旋流动
在许多工程实际问题中，流动参数不仅在流动方向上发生变化，而且 在垂直于流动方向的横截面上也要发生变化。
要研究此类问题，就要用多维流动的分析方法。 本章主要讨论理想流体多维流动的基本规律，为解决工程实际中类似
为vx、vy、vz 密度为ρ
vx
vx x
dx 2
dx x 2
和x轴垂直的两个平面上的速度和密
度
vx
vx x
dx 2
vx
vx x
dx 2
dx
x 2
dx
x 2
vx
vx x
dx 2
dx x 2
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第八章 理想流体的有旋流动和无旋流动
在x方向上，dt时间内通过左面流入的流体质 量为：
球坐标系中微分形式的连续性方程
t r 1 2 ( v r r r 2 ) r s i 1 n (v s in ) r s i 1 n ( v ) 0
定常
r 1 2 ( v r rr 2 ) rs i 1 n (v s in) rs i 1 n ( v ) 0
不可压缩定常
vx
vx t
dx 2
dx t 2
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第八章 理想流体的有旋流动和无旋流动
在dt时间内沿y轴和z轴方向流体质量的净通量分别为：
( y
vy)d x d yd zd t
( z
vz)d x d yd zd t
在dt时间内经过微元六面体的流体质量总变化为
vxvy vzdxdydzdt
x