电容电感计算公式

常数 i（0）表示的是在 t=0 的时候流过电感的电流（我们假设当 t－﹥∞的时候，i=0）
现在讨论当电感 L 接交流电流源时电流的变化，电路如图 13 所示。
假设电流 i（t）的形式为：
图 13 基本电感电路
那么电压 v（t）变为：
因此流过电感的电流和经过电感的电压是相差 90 度的。这里电压超前电流 90 度。图 14 说 明了电感上电流和电压的大致图像。
图 10.带串联电阻的非理想电容 典型的等效串联电阻值在 mΩ 到 Ω 之间。
电容以电场的形式存储能量
∫ 电流电压关系 i = C dv , v = 1 idt
dt C
在直流电路中电容表现为开路 电容量 C 表示电容存储电荷的能力 电容的单位为法拉（F）。1 法拉=1 库仑/1 伏特 典型的电容值在mF(10-3F)到pF(10-12F)之间
趋于无穷大，这表示电容类似开路。
电容阻碍低频电流
当频率很大时 ω → ∞ Xc 的值将趋于零，这表示类似短路。
电容允许通过高频电流
电容可以通过串联和并联的方式组合成一个等效电容。我们先考虑如图 5.所示的并联 电容组。注意所有的电容上的电压都是相同的电压 v 。
图 5.电容并联
应用 KCL 我们可以得到
例子：
计算右边电路中的电容在直流条件 下存储的能量。
为了计算电容存储的能量，我们必须 确定它的电压然后用（1.22）式。
我们知道在直流条件下电容表现为 开路（没有电流通过它）。因此相应的电路为
从由 1kΩ 与 2kΩ 电阻组成的分压器中分得的电压 v 为 12 伏。因此电容中存储的能量
为
Ec = 1 Cv 2 = 1 1×10−6 ×122 = 72微焦耳
电容的电路符号和有关的电参量如图 1 所示。
图 1.电容的电路符号 电容的模型可看作如图 2 所示的被电介质隔离的两个导电金属板。 当电压 v 加在金属板间时，一个金属板上积聚+q 电荷而另一个积聚-q 电荷。
图 2.电容模型
如果金属板面积为 A 相互间距为 d ，则金属板间产生的电场强度为
电容极板间的电压为
在电感中储存的能量 E 为：
在直流时，电感就相当于短路。 电感 L 反映的是磁通量储存的效率。
问题： 计算下面电路的等效电容。
计算每个电容上的电压和其储存的能量。
在下面电路中，电流源提供 i=10 exp(-2t) mA 的电流，计算每个电容上的电压和在时间 t=2sec 时每个电容上储存的能量。
∫ v2 =
1
t
idt
C2 0
回路的 KVL 结果为
v(t
)
=
⎜⎛ ⎝
1 C1
+
1 C2
∫⎟⎞ t
⎠0
idt
根据 v 和电容值依次给出电压 v1 和 v2
v1 = v C2 C1 + C2
v2 = v C1 C1 + C2
类似的并联电容组（图 8）的电流分配原则为
i1 = i C1 C1 + C2
i2 = i C2 C1 + C2
对于电容 C3：
电感： 电感是一个在磁场中储存能量的线圈。 考虑一个长度为 l 的导线圈成如图 11 所示的 A 区域。A 中的电流 i（t）按着图示方向
流过线圈。这个电流产生的磁感应强度 B 为：
µ 为导线材料的磁导率
通过 A 的磁通量为：
图 11.计算电感的电流回路
我们曾经定义过 从麦克斯韦方程可以知道：
我们从回路的电压电流关系，将常数 L 叫作电感。
常数 L 被称为电感的电感值，其单位是 H。在图 12 中，是与电感 L 有关的电路符号和相关 的电气变量。
图 12.电感的电路符号 直流信号作用电感相当于短路。注意到电感中电流不能突变，因为那样要求电感两端的 电压趋于无穷大，那样 L 是无法承受的。当我们设计电感电路时，应该紧记这点，流过电感 的电流一定不能瞬间改变。 我们结合以前的方程式可知：
(1.9)
因此通过电容的电流与电容上的电压相位差 90 度。电流超前电压 90 度。 电容的电压电流波形图如图 4 所示。电流超前电压 90 度。
图4 如果取峰值电压与峰值电流之比我们可以得到
Xc = 1 Cω
(1.10)
Xc 的单位为伏/安或欧姆，因此它表现出某些电阻特性。注意当频率ω → 0 Xc 的值将
电容存储的能量为 E = 1 Cv 2 2
大电容存储之前应将端子短接。
例子：
一个 47μF 的电容连接在电压为 v(t) = 20sin(200πt) 伏
的时变电压源上。计算通过电容的电流 i(t)
得出电流为
i = C dv = 47 ×10 −6 × 20 × 200π cos( 200πt) = 0.59 cos( 200πt)安培 dt
原因。
让我们考虑图 3 所示的电路,电路中电容量为 C 的电容连接在时变电压源 v(t)上。
如果电压 v(t)的形式为
图 3.基本电容电路v(t) =源自A cos(ωt)(1.8)
则电流 i(t)为
i(t) = C dv = −CAω sin(ωt) = CωAcos⎜⎛ωt + π ⎟⎞
dt
⎝ 2⎠
2
2
例子. 计算在直流电源的条件下，下面电路中电容所储存的能量。
另外，在直流电源的条件下电容相当于开路，其相应的电路图是：
从这个电路中，我们可以看出，电压 V1 和 V2 都是 10 伏特，从而可知电容 C1 上的电压 为 0 伏特。
因此电容上储存的能量是：
对于电容 C1：
0 焦耳
对于电容 C2：
i = i1+ i2 + i3 + ... + in 又由 ik = Ck dv 我们可以得到
dt
(1.11)
i
=
C1 dv dt
+
C2
dv dt
+
C3 dv dt
+ ... +
Cn
dv dt
=
⎜⎛ ⎜⎝
C114+ 4C244+2C34+4...4+4C3n Ceq
⎟⎞ ⎟⎠
dv dt
=
Ceq
dv dt
(1.12)
接下来我们看如图 6 所示的电电容容串的联并方联式类似于电阻的串联
图 6.n 个电容串联 对回路应用 KVL 并有(1.7)式我们可以得到
⎜⎛
⎟⎞
v
=
v1+
v2
+
v3
+
...
+
vn
=
⎜ ⎜ ⎜
∫ 1
+
1
+
1
+ ... +
1
⎟t ⎟
1C144C4242C34444C3n⎟0
i(t
)dt
+
v(0)
实际电感 以下两点是造成电感非理想的原因所在：
1．用有限阻值的导线绕制线圈 2．线圈的匝效应在高频的时候变的很显著。 图 17 为非理想的电感模型
图 17.不理想电感的电路模型 除了有阻性非理想的电感外，还有容性非理想电感。高频时尤其显著。除了额外说明，否则， 在我们的分析中忽略这些影响。 一个电感以磁场形式储存能量。 电流-电压的关系是：
1 这里假设两个电容初始都没有电荷
(1.14) (1.15)
(1.16)
(1.17) (1.18)
(1.19) (1.20)
图 8.两个电容并联
输送到一个电容的瞬时功率为
P(t) = i(t)v(t)
(1.21)
每个电容存储的能量是瞬时功率的积分。假设电容在 t = −∞ [ v(−∞) = 0 ]时没有电荷
非理想电容的一般电路模型如图 9 所示
图 9.非理想电容 阻抗 Rp 一般很大，它表示电介质的阻抗。阻抗 Rs 一般很小，这符合引线和极板电阻 以及由于工作条件产生的阻抗效应（例如信号频率）。 在实际中我们把与电容串联的电阻叫做等效串联电阻（ESR）。ESR 是电容器一个很重 要的特征，在电路设计中必须考虑。因此我们感兴趣的非理想电容模型如图示
图 14
电感串联或并联，可以求出等效电感。首先考虑电感的并联，图 15 所示。电感上的电压相 同。
由 KCL 我们可知： 则有：
图 15 电感的并联
电感的并联类似于电阻的并联。 接下来我们看看电感串联的情况，见图 16
图 16 电感的串联
通过 KVL，我们可知：
电感的串联类似于电阻的串联 电感中储存的能量是电感上瞬时功率的积分。假设在 t =∞的时候没有电流流过，那么在 t 时刻，电感中储存的能量为：
=
1 Ceq
t
∫
0
i(t
)
+
v(0)
⎜
1
⎟
⎝
Ceq
⎠
(1.13)
电容的串联类似于电阻的并联
通过推算我们能计算出串联电容间的电压分配原则。这里我们只考虑两个电容串联的情 况，如图 7 所示。
图 7.两个电容串联
两个电容流过的电流相同，因此它们上的电压v1 和v2 为：1
∫ v1 =
1
t
idt
C1 0
通过极板，则在 t 时刻存储在电容中的能量为
∫ ∫ ∫ E(t) =
t
P(τ )dτ
=
t
v(τ )i(τ )dτ
=
t v(τ )C dv(τ ) dτ
= 1 Cv(t)2
−∞
−∞
−∞
dτ
2
(1.22)
实际电容.
如果电容极板间的电介质材料电阻率有限——与理想电容的无限的电阻率相比——那 么在电容器的两个极板间会有微小的电流流过。另外还有引线电阻和极板效应。