第一课时 利用空间向量求空间角
《利用向量法求空间角》教案
《利用向量法求空间角》教案一、教学目标1. 让学生理解空间向量的概念，掌握空间向量的基本运算。
2. 引导学生掌握利用向量法求空间角的方法，培养空间想象能力。
3. 通过对空间角的学习，提高学生解决实际问题的能力。
二、教学内容1. 空间向量的概念及基本运算2. 空间向量夹角的定义及计算方法3. 空间向量垂直的判定与性质4. 利用向量法求空间角的大小5. 应用实例解析三、教学重点与难点1. 教学重点：（1）空间向量的概念及基本运算（2）空间向量夹角的计算方法（3）利用向量法求空间角的大小2. 教学难点：（1）空间向量垂直的判定与性质（2）应用实例的解析四、教学方法1. 采用讲授法，系统地讲解空间向量及空间角的相关概念、性质和计算方法。
2. 利用多媒体课件，展示空间向量的几何形象，增强学生的空间想象力。
3. 结合具体实例，引导学生运用向量法求解空间角的大小，提高解决实际问题的能力。
4. 组织课堂讨论，鼓励学生提问、发表见解，提高学生的参与意识。
五、教学安排1. 第一课时：介绍空间向量的概念及基本运算2. 第二课时：讲解空间向量夹角的定义及计算方法3. 第三课时：讲解空间向量垂直的判定与性质4. 第四课时：讲解利用向量法求空间角的大小5. 第五课时：应用实例解析，巩固所学知识六、教学过程1. 导入：回顾上一节课的内容，通过提问方式检查学生对空间向量的理解和掌握情况。
2. 新课导入：介绍空间向量夹角的定义，解释其在几何中的意义。
3. 课堂讲解：详细讲解空间向量夹角的计算方法，包括夹角余弦值的求法。
4. 例题讲解：挑选典型例题，演示利用向量法求空间向量夹角的过程。
5. 课堂练习：学生独立完成练习题，巩固向量夹角的知识。
六、教学内容1. 空间向量夹角的定义2. 空间向量夹角的计算方法3. 空间向量夹角的应用实例七、教学重点与难点1. 教学重点：（1）空间向量夹角的定义及其计算方法（2）利用向量夹角解决实际问题2. 教学难点：（1）空间向量夹角的计算方法（2）空间向量夹角在实际问题中的应用八、教学方法1. 采用案例教学法，通过具体实例讲解空间向量夹角的含义和应用。
用空间向量求空间角课件(共22张PPT)
向量的加法与数乘
向量的加法满足平行四边形法则或三 角形法则，即$vec{a} + vec{b} = vec{b} + vec{a}$。
数乘是指实数与向量的乘积，满足分 配律，即$k(vec{a} + vec{b}) = kvec{a} + kvec{b}$。
向量的数量积
向量的数量积定义为$vec{a} cdot vec{b} = left| vec{a} right| times left| vec{b} right| times cos theta$，其中$theta$为两 向量的夹角。
数量积满足交换律和分配律，即$vec{a} cdot vec{b} = vec{b} cdot vec{a}$和$(lambdavec{a}) cdot vec{b} = lambda(vec{a} cdot vec{b})$。
03 向量的向量积与混合积
向量的向量积
定义
两个向量a和b的向量积是一个向量，记作a×b，其模长为 |a×b|=|a||b|sinθ，其中θ为a与b之间的夹角。
适用范围
适用于直线与平面不垂直的情况。
利用向量的混合积求二面角
1 2 3
定义
二面角是指两个平面之间的夹角。
计算公式
cosθ=∣∣a×b×c∣∣∣∣a∣∣∣∣b∣∣∣∣c∣∣，其中a、 b和c分别是三个平面的法向量，θ是两个平面之 间的夹角。
适用范围
适用于两个平面不平行的情况。
06 案例分析
案例一：利用空间向量求线线角
定义
线线角是指两条直线之间的夹角。
计算公式
cosθ=∣∣a⋅b∣∣∣∣a∣∣∣∣b∣∣∣， 其中a和b是两条直线的方向向量，
用向量法求空间角 人教课标版精品公开PPT课件
(3)二面角的平面角
利用向量求二面角的平面角有两种方法：
若AC、BD分别是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直 的异面直线，则二面角的大小就是向量_A→_C______、 _B→_D______的夹角(如图42－1所示)．
则 A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0,2,2)． B→C1＝(－1,0,2)，A→E＝(－1,2,1)， cos〈B→C1，A→E〉＝|B→BC→C1|1··A→|EA→E|＝ 1300.所以异面直线 BC1 与 AE
所成角的余弦值为 1300.
(2)直线与平面所成的角
3
则A→O1·B→C1＝32，|A→O1|＝ 26，|B→C1|＝
2，cos〈A→O1，B→C1〉＝
2 26×
＝ 23， 2
∴BC1 与 AO1 的夹角为π6.
答案：A
1．长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E 为 CC1
的中点，则异面直线 BC1 与 AE 所成角的余弦值为( )
1. 两条异面直线所成的角
【例1】 长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝4，AD＝6，AA1＝4，M是A1C1的中点， P在线段BC上，且CP＝2，Q是DD1的中点，求异面直线AM与PQ所成角的余弦 值．
解 如图，建立空间直角坐标系 B－xyz，
则 A(4,0,0)，M(2,3,4)，P(0,4,0)，Q(4,6,2)，
uuur uuur uFuuEur uAuPuur
利用空间向量求角-课件
因E→F⊥P→C，D→G⊥P→C，
故 E－PC－D 的平面角 θ 的大小为向量E→F与D→G的夹角．
＝
|DG||EF|
22，θ＝4π，
即二面角 E－PC－D 的大小为π4.
跟踪训练
3.如图在直三棱柱ABC－A1B1C1中， AB＝BC，D、E分别为BB1、AC1的中
2．求异面直线所成的角主要是转化为两个向量的夹 角，这时要特别注意二向量的方向及最后求出的角一定要 是锐角或直角．
3．线面角是求线与平面的法向量所成角的余角．
•
9、有时候读书是一种巧妙地避开思考 的方法 。2021/2/272021/2/27Saturday, February 27, 2021
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16、业余生活要有意义，不要越轨。2021/2/272021/2/27Februar y 27, 2021
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17、一个人即使已登上顶峰，也仍要 自强不 息。2021/2/272021/2/272021/2/272021/2/27
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
|A→M|＝ A→A1＋A→1M2 ＝ |A→A1|2＋|A→1M|2＝
1＋14＝
25，同理，|C→N|＝
5 2.
设直线 AM 与 CN 所成的角为 α. 则 cos α＝|AA→→MM|·|CC→→NN|＝5412＝25.
∴直线 AM 与 CN 所成的余弦值为25.
法二：如图，分别以D→A、D→C、D→D1 方向为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空 间直角坐标系．
A→B＝∵(0M，→Ca1,0·A→)，B＝A→A0，1＝M(→0C,01·，A→A1＝2a0)．，
∵M→C1·A→B＝0，M→C1·A→A1＝0， ∴MC1⊥平面 AA1B1B， ∴∠C1AM 是 AC1 与侧面 AA1B1B 所成的角．
利用向量法求空间角教案
利用向量法求空间角-经典教案教案章节一：向量基础教学目标：1. 理解向量的概念及其表示方法。
2. 掌握向量的运算规则，包括加法、减法、数乘和点乘。
教学内容：1. 向量的定义及表示方法。
2. 向量的运算规则：a) 向量加法：三角形法则和平行四边形法则。
b) 向量减法：向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量。
c) 数乘：一个实数乘以一个向量，得到一个新的向量，其实数乘以原向量的模，新向量的方向与原向量相同。
d) 点乘：两个向量的点乘，得到一个实数，表示两个向量的夹角的余弦值。
教学活动：1. 通过实际操作，让学生直观地理解向量的概念和表示方法。
2. 通过例题，让学生掌握向量的运算规则。
教案章节二：空间向量教学目标：1. 理解空间向量的概念及其表示方法。
2. 掌握空间向量的运算规则，包括空间向量的加法、减法、数乘和点乘。
教学内容：1. 空间向量的定义及表示方法。
2. 空间向量的运算规则：a) 空间向量加法：三角形法则和平行四边形法则。
b) 空间向量减法：空间向量减去另一个空间向量等于加上这个空间向量的相反空间向量。
c) 空间向量的数乘：一个实数乘以一个空间向量，得到一个新的空间向量，其实数乘以原空间向量的模，新空间向量的方向与原空间向量相同。
d) 空间向量的点乘：两个空间向量的点乘，得到一个实数，表示两个空间向量的夹角的余弦值。
教学活动：1. 通过实际操作，让学生直观地理解空间向量的概念和表示方法。
2. 通过例题，让学生掌握空间向量的运算规则。
教案章节三：向量的投影教学目标：1. 理解向量的投影的概念及其计算方法。
2. 掌握向量的正交投影和斜投影的计算方法。
教学内容：1. 向量的投影的定义及计算方法。
2. 向量的正交投影和斜投影的计算方法：a) 向量的正交投影：将向量投影到垂直于某一平面的向量上，得到的投影向量与投影平面垂直。
b) 向量的斜投影：将向量投影到某一平面上，得到的投影向量与投影平面不垂直。
高考数学大一轮复习 第二节 第一课时 空间角的求法课件 理 苏教版
第十页，共40页。
∴M为PD的中点，∴M的坐标为(0,1,1)．
∴ AC ＝(1,2,0)， AM ＝(0,1,1)，CD＝(－1,0,0)． 设平面ACM的一个法向量为n＝(x，y，z)，
第二十一页，共40页。
(2)由(1)知， AD1 ＝(0,3,3)， AC ＝( 3，1,0)， B1C1 ＝(0,1,0)． 设 n＝(x，y，z)是平面 ACD1 的一个法向量，则
n·AC ＝0，
n·AD1 ＝0，
即 3y3＋x＋3zy＝＝00. ，
令 x＝1，则 n＝(1，－ 3， 3)．
设直线 B1C1 与平面 ACD1 所成角为 θ，则
连结 AB1，易知△AB1D 是直角三角形，且 B1D2＝BB12＋ BD2＝BB21＋AB2＋AD2＝21，即 B1D＝ 21.
在 Rt△AB1D 中，cos∠ADB1＝BA1DD＝
3＝ 21
721，即 cos(90°
－θ)＝
721.从而 sin θ＝
21 7.
即直线 B1C1 与平面 ACD1 所成角的正弦值为
第三页，共40页。
1．求异面直线所成角时，易求出余弦值为负值而盲目得出答案而
忽视了夹角为0，π2. 2．求直线与平面所成角时，注意求出夹角的余弦值的绝对值应为
线面角的正弦值． 3．利用平面的法向量求二面角的大小时，二面角是锐角或钝角由
图形决定．由图形知二面角是锐角时cos
θ＝
|n1·n2| |n1||n2|
∴cos〈
利用空间向量求空间角PPT教学课件
澶渊之盟
宋真宗赵恒 1004年，辽军大举南征时，亲自领兵到澶 渊抵御，并与辽签订了“澶渊之盟”。
下一页
寇准
寇准
北宋宰相。1004年，辽军大举南征时， 主战。
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西夏武士
西夏的建立
1038年，党项族首领元昊建立西夏 国。图为李元昊之墓
下一页
党项人
女男供供养养人人
下一页
西夏铜牛
下一页
西夏飞天壁画
nn
α
与平面垂直的直线叫做平面
的法线．因此平面的法向量
就是平面法线的方向向量
异面直线所成角
a, b分别是两直线l1 , l2的方向向量,
l1, l2的所成的角为 ,则
cos | a b |
|a||b|
l2
b a
l1
巩固性训练1
1.如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱
长为2,底面连长为1.求异面直线AB1与
BC1夹角的余弦值.
解：取的中点O建立如图 所示的空间直角坐标系O-XYZ。
1
A(
2
,0,2)
3
B(0, 2
,2)
B1 (0,
3 2
,0)
C1
1(-
,0 ,0)
2
A
BC ∴
1 AB1 ( 2 ,
3 ,2) 2
1
=（-
1 2
，-
3 ，-2） 2
X
∴cos = AB1 • BC1 = 7
AB1 • BC1 10
m 设 =(x,y,z) 是平面PBC的一个法向量
∴ PB ⊥ m
PC ⊥ m
∴ PB • m =x-z=0
y
PC • m =x+y-z=0
利用向量法求空间角 ppt课件
（1）当 m 与 n 的夹 角不大于90°时，异 面直线a、b 所成的
角 与m 和 n
的夹角 相等
（2）当 m 与 n 的 夹角大于90°时，异 面直线a、b 所成的
角 与 m 和n
的夹角 互补
ma
m
a
a´
o•
b´
a´
o•
b´
b
n
b
n
PPT课件
13
cos cos m, n
sin = cos AB, n
PPT课件
15
二面角 （范围： 0, ）
n2
n1
n2
n1
n1, n2
n1, n2
cos cos n1, n2
cos cos n1, n2
PPT课件
16
例3 如图，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点
3
D y
8
点评：向量法求直线与平面所成角的正弦值的一般步骤
建系
求直线的方向向量 求平面的法向量
求直线的方向向量与平面的法向量 的夹角的余弦值
得直线与平面所成角的正弦值
PPT课件
9
例2 (2)点E、F分别为CD、DD1的中点，求二面角F-AE-D的
余弦值。
z
(2)由题意知 F(0,1, 1 ), E( 1 ,1,0) A1
2
AB
( AC
CD
DB)2
A
2
2
2
AC CD BD 2(ACCD AC DB CD DB)
a2 c2 b2 2 AC DB
《利用向量法求空间角》教案
《利用向量法求空间角》教案一、教学目标：1. 让学生掌握空间向量的基本概念和性质。
2. 培养学生利用向量法求空间角的能力。
3. 提高学生解决实际问题的能力。
二、教学内容：1. 空间向量的基本概念和性质。
2. 空间向量的加法、减法、数乘和数量积。
3. 空间向量的坐标表示和运算。
4. 利用向量法求空间角的方法和步骤。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：空间向量的基本概念和性质，向量的加法、减法、数乘和数量积，空间向量的坐标表示和运算，利用向量法求空间角的方法和步骤。
2. 教学难点：空间向量的坐标表示和运算，利用向量法求空间角的方法和步骤。
四、教学方法：1. 采用讲授法，讲解空间向量的基本概念和性质，向量的加法、减法、数乘和数量积，空间向量的坐标表示和运算，利用向量法求空间角的方法和步骤。
2. 采用案例分析法，分析实际问题，引导学生运用向量法求解空间角。
3. 采用互动教学法，鼓励学生提问、讨论，提高学生的参与度和积极性。
五、教学安排：1. 第一课时：讲解空间向量的基本概念和性质。
2. 第二课时：讲解向量的加法、减法、数乘和数量积。
3. 第三课时：讲解空间向量的坐标表示和运算。
4. 第四课时：讲解利用向量法求空间角的方法和步骤，案例分析。
5. 第五课时：课堂练习，巩固所学知识。
六、教学评价：1. 课后作业：布置有关空间向量运算和求空间角的练习题，检验学生对知识的掌握程度。
2. 课堂练习：在课堂上进行实时练习，及时发现并纠正学生的错误。
3. 小组讨论：组织学生进行小组讨论，促进学生之间的互动和学习。
4. 期末考试：设置有关空间向量和空间角的题目，全面评估学生对课程内容的掌握情况。
七、教学资源：1. 教材：选用权威、实用的教材，如《高等数学》、《线性代数》等。
2. 课件：制作精美、清晰的课件，辅助讲解和展示。
3. 教学视频：寻找相关的教学视频，为学生提供多角度、直观的学习资源。
4. 练习题库：整理和筛选一批空间向量和空间角的练习题，供学生课后练习使用。
向量法求空间角(含解析)
高中数学 ︵ 向量法求空间角︶培优篇考点1：异面直线所成的角若异面直线l 1，l 2所成的角为θ，其方向向量分别是u ，v ，则cos θ＝|cos 〈u ，v 〉|＝|u·v||u||v|．考点2：直线与平面所成的角如图，直线AB 与平面α相交于点B ，设直线AB 与平面α所成的角为θ，直线AB 的方向向高中数学 ︵ 向量法求空间角︶培优篇量为u ，平面α的法向量为n ，则sin θ＝|cos 〈u ，n 〉|＝ u ·n |u ||n |＝|u·n||u||n|．考点3：平面与平面的夹角如图，平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角．若平面α，β的法向量分别是n 1和n 2，则平面α与平面β的夹角即为向量n 1和n 2的夹角或其补角．设平面α与平面β的夹角为θ，则cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝|n 1·n 2||n 1||n 2|．【常用结论总结】1．线面角θ的正弦值等于直线的方向向量a 与平面的法向量n 所成角的余弦值的绝对值，即sin θ＝|cos 〈a ，n 〉|，不要误记为cos θ＝|cos 〈a ，n 〉|． 2．二面角的范围是[0，π]，两个平面夹角的范围是0,2．【例1】 直三棱柱ABC -A 1B 1C 1如图所示，AB =4，BC=3，AC =5，D 为棱AB 的中点，三棱柱的各顶点在同一球面上，且球的表面积为61π，则异面直线A 1D 和B 1C 所成的角的余弦值为（ ）高中数学 ︵ 向量法求空间角︶培优篇A ．5B ．25C ．5D ．25【例2】 如图，四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 为正方形，△PAD 是正三角形，AB =2，平面PAD ⊥平面ABCD ，则PC 与BD 所成角的余弦值为（ ）A ．14B ．4C ．13D 【例3】 如图四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为正方形，各棱长均相等，E 是PB 的中点，则异面直线AE 与PC 所成角的余弦值为（）A 6B C ．13D ．12学霸笔记用向量法求异面直线所成的角的一般步骤（1）建立空间直角坐标系；（2）用坐标表示两异面直线的方向向量； （3）利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；（4）注意两异面直线所成角的范围是(0,]，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值．高中数学 ︵ 向量法求空间角︶培优篇【对点训练1】 如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，底面边长和侧棱长均相等，∠BAA 1=∠CAA 1=60°，则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为（）AB ．13C ．4D 【对点训练2】 “曲池”是《九章算术》记载的一种几何体，该几何体是上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池，AA ⊥面ABCD ，AA 1=4，底面扇环所对的圆心角为π2，AD 的长度是BC 长度的2倍，CD =1，则异面直线A 1D 1与BC 1所成角的正弦值为（）A ．3B ．13C ．3D ．4【对点训练3】 如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AA 1=AC=AB=2，BC =2√2，Q 为A 1B 1的中点，E 为AQ 的中点，F 为BC 1的中点，则异面直线BE 与AF所成角的余弦值为（ ）A． BC ．D高中数学 ︵ 向量法求空间角︶培优篇【例4】 在正方体ABCD −A B C D 中，如图E 、F 分别是BB 1、CD 的中点． （1）求证：平面AD F ⊥平面ADE ； （2）求直线EF 与AD F 所成角的正弦值．【例5】 如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，P A ⊥平面ABCD ，P A=AD=2AB=8，点M 在棱PD 上，且PA =PM ⋅PD ，AM ⊥MC．（1）求证：CD ⊥平面P AD ；（2）求BM 与平面ACM 所成角的余弦值．高中数学 ︵ 向量法求空间角︶培优篇 学霸笔记利用空间向量求线面角的解题步骤【对点训练4】 如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱BC 、CD 的中点． （1）求证：D 1 F ∥平面A 1EC1；（2）求直线AC 1与平面A 1EC 1所成角的正弦值．高中数学 ︵ 向量法求空间角︶培优篇 【对点训练5】 如图所示，在直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为菱形，∠ABC =60°，AB =2，AA 1=2√3，E 为线段DD 1上一点．（1）求证：AC ⊥B 1D ；（2）若平面AB 1E 与平面ABCD 的夹角的余弦值为25，求直线BE与平面AB 1E 所成角的正弦值．高中数学 ︵ 向量法求空间角︶培优篇【例6】 在如图所示的空间几何体中，△ACD 与△ACB 均是等边三角形，直线ED ⊥平面ACD ，直线EB ⊥平面ABC ，DE ⊥BE ． （1）求证：平面ABC ⊥平面ADC ；（2）求平面ACE 与平面BCE 夹角的余弦值．【例7】 如图，三棱锥A −BCD 中，DA =DB =DC ，BD ⊥CD ，∠ADB =∠ADC =60∘，E 为BC 的中点． （1）证明：BC ⊥DA ；（2）点F满足EF⃗=DA ⃗，求二面角D −AB −F 的正弦值．高中数学 ︵ 向量法求空间角︶培优篇学霸笔记利用空间向量求平面与平面夹角的解题步骤【对点训练6】 直三棱柱ABC −A B C 中，AA =AB =AC =2,AA ⊥AB,AC ⊥AB ，D 为A B 的中点，E 为AA 的中点，F 为CD 的中点． （1）求证：EF ∥平面ABC ；（2）求直线BE 与平面CCD所成角的正弦值； （3）求平面A CD 与平面CC D 夹角的余弦值．高中数学 ︵ 向量法求空间角︶培优篇 【对点训练7】 如图，在棱长为2的正方体ABCD −A B C D 中，E 为棱BC 的中点，F 为棱CD 的中点．（1）求证：D 1F ∥平面A EC ；（2）求直线AC 与平面A EC 所成角的正弦值． （3）求二面角A −A C −E 的正弦值．【对点训练8】 如图，PO 是三棱锥P −ABC 的高，PA =PB ，AB ⊥AC ，E 是PB 的中点． （1）证明：OE ∥平面PAC ；（2）若∠ABO=∠CBO =30°，PO =3，PA =5，求二面角C −AE −B 的正弦值．。
用空间向量求空间角课件(共22张PPT)
1
M
2 x 0 z 0 即 取z =2得x=1，y = - 2 2 x 2 y z 0 A
D O B
C
y
所以平面B1MA的一个法向量为 n (1， 2， 2) 1 2 4 6 cos B1O， n 6 6 9
x
由图可知二面角为锐角
6 所以二面角B1 MA C的余弦值为 。 6
即为两直线的夹角；当向量夹角为钝角时，两直线的夹角为向
量夹角的补角．
直线和直线在平面内的射影所成的角， 二、线面角： 叫做这条直线和这个平面所成的角.
[0, ] 直线与平面所成角的范围：
A
2
n
思考：如何用空间向量的夹角 表示线面角呢？
B
O
结论： sin
| cos n, AB |
立体几何中的向量方法 ——空间“角”问题
空间的角常见的有：线线角、线面角、面面角
复习回顾
• 直线的方向向量:两点 • 平面的法向量：三点两线一方程 • 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3) 则(1)a·b＝ a1b1＋a2b2＋a3b3 .
复习回顾
• 设直线l1、l2的方向向量分别为a、b，平面α、β的 法向量分别为n1、n2.
10 5
所以直线SA与OB所成角余弦值为
课堂小结：
1.异面直线所成角：
C
D
cos sin
|cos CD, AB | | cos n, AB |
A
B
D1
A
O
2.直线与平面所成角： 3.二面角：
n
B
n2
高中数学课件：利用空间向量求空间角
(2)平面α与β相交于直线l，平面α的法向量为n 1，平面β的法向量
为n 2，〈n 1，n2〉＝θ，则二面角α -l -β为θ或π－θ.设二面角 |n 1·n 2|
大小为φ，则|cos φ|＝|cos θ|＝ |n 1||n 2| ，如图②③. (3)二面角的平面角的取值范围是___[_0__，___π__]____．
―→ ―→
EF ·DC ―→ ―→
＝－
22，
| EF || DC |
∴〈―E→F ，―D→C 〉＝135°，
∴异面直线 EF 和 CD 所成的角是 45°，故选 B. 答案：B
2. 如 图 ， 正 三 棱 柱 ( 底 面 是 正 三 角 形 的 直 棱 柱)ABC-A1B1C1 的底面边长为 2，侧棱长为 2 2， 则 AC1 与侧面 ABB1A1 所成的角为________．
∴∠C1AD为AC1与平面ABB1A1所成的角，
∴cos∠C1AD＝ |
―→ ―→
AC1 ·AD ―→ ―→
＝
AC1 || AD |
1＋ 12× 0＋89＝
23，
又∵∠C1AD∈0，π2，∴∠C1AD＝π6.
答案：π6
四、“基本活动体验”不可少 在用直线的方向向量求两条异面直线的夹角时，向量的夹
角就等于两异面直线的夹角，这种认识正确吗？ 解：不正确．当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角 时，此夹角就是异面直线所成的角；当异面直线的方向向 量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线所成的角．
角坐标系，设AB＝PA＝1，则A(0,0,0)，
D(0,1,0)，P(0,0,1)，由题意，知AD⊥平面
利用空间向量求角
利用空间向量求空间角三维目标㈠知识与技能1、使学生学会求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的向量方法；2、使学生能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题；㈡过程与方法经历规律方法的形成推导过程，解题的思维过程，体验向量的指导作用。
㈢情感与价值观通过学习向量及其运算由平面向空间推广过程，逐步认识向量的科学价值，应用价值和文化价值，提高学习数学兴趣，树立学好数学的信心。
使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高.重点、难点、考点重点向量法求解线线、线面、面面的夹角．难点线线、线面、面面的夹角与向量的应用．考点线线、线面、面面的夹角求法问题教学过程一、复习引入（一）、空间直角坐标系1、轴方向确定方法从z轴的正方向看，x轴的正半轴沿逆时针方向转90能与y轴正半轴重合。
2、确定空间中点坐标的方法（1）、设点M为空间直角坐标系中的一点，过点M分别作垂直于x轴、y轴、z 轴的平面，依次交x 轴、y 轴、z 轴于P 、Q 、R 点，设点P 、Q 、R 在x 轴、y 轴、z 轴上的坐标分别是x 、y 和z ，那么点M 就有唯一确定的有序实数组(x, y, z)；(2)、从点向坐标轴引垂线，它们的垂足对应的数为相应坐标轴的坐标。
3、特殊点坐标形式（1）、x O y 平面：)0,,(y x ，（2）、x O z 平面：),0,(z x ，（3）、y O z 平面：),,0(z y(4)、x 轴：)0,0,(x ，(5)、y 轴：)0,,0(y ，(6)、z 轴：),0,0(z ，（7）坐标原点：（0,0,0）（二）、向量的有关知识1、两向量数量积的定义：><=⋅b a b a b a ,cos ||||2、两向量夹角公式：||||,cos b a >=<3、平面的法向量：与平面垂直的向量 二、知识讲解与典例分析 （一）、异面直线所成的角1、异面直线定义：把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。
空间向量求角经典课件——上课用
x
B
C
3 34 AD与平面ANM 所成角的正弦值是 34
三、面面角：
以二面角的棱上任意一点为端点，在 两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这 两条射线所成的角叫做二面角的平面角。
二面角的平面角必须满足：
y
n (1,1,2)
x
设直线OS与平面SAB所成角为
sin cos OS , n OS n OS n 2 6 3 1 6
⑵.由⑴知面SAB的法向量 n1 =（1，1，2） 又∵OC⊥面AOS，∴OC 是面AOS的法向量， 令 n2 OC (0,1,0)
关键：观察二面角的范围
B
n2
n1
A
B
D1
a， b
a， b
a
b
结论： cos
|
| | cos CD, AB |
例1：Rt ABC中，BCA 900 , 现将 ABC沿着平面ABC的法向量
平移到A1B1C1位置，已知 BC CA CC1， 取A1B1、A1C1的中点D1、F1，求BD1与AF1所成的角的余弦值. z
C
A
D
B
∴AC1和CB1的夹角为： 3
x
直线和直线在平面内的射影所成的角， 二、线面角： 叫做这条直线和这个平面所成的角.
直线与平面所成角的范围： [0, ]
A
n
2
思考：如何用空间向量的夹角 表示线面角呢？
B
第六节 第一课时 利用空间向量求空间角
―D→E 〉|＝
10 10 .
答案：D
2．(易错题)正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)ABC-A1B1C1 的底 面边长为 2，侧棱长为 2 2，则 AC1 与侧面 ABB1A1 所成角的为 ________．
解析：以 A 为原点，以―A→B ，―A→E (AE⊥AB)，
―AA→1 所在直线为坐标轴(如图)建立空间直角坐 标系，设 D 为 A1B1 的中点，
设平面 A1BC 的法向量为 n ＝(x，y，z)．
―B→C ·n ＝0，
由
―A1→C ·n ＝0，
得－y－
3x＋y＝0， 3z＝0.
取 n ＝(1， 3，1)， 故 sin θ＝|cos〈―E→F ，n 〉|＝||――EE→F→F|··n|n||＝45，
第六节 空间向量的综合应用
[备考领航]
课程标准解读
关联考点
核心素养
1.利用空间向量求 能用向量方法解决线线、
空间角．
线面、面面的夹角的计算
2.立体几何中的翻 问题，体会向量方法在研
折、探究及距离
究几何问题中的作用
问题
1.直观想象． 2.数学运算． 3.数学建模
CONTENTS 01 知 识 逐 点 夯 实
所以线段 AH 的长为85或12.
直线与平面所成的角
[师生共研过关] [例 2] (2020·新高考全国卷Ⅰ)如 图，四棱锥 P-ABCD 的底面为正方形， PD⊥底面 ABCD.设平面 PAD 与平面 PBC 的交线为 l. (1)证明：l⊥平面 PDC； (2)已知 PD＝AD＝1，Q 为 l 上的点，求 PB 与平面 QCD 所成角的正弦值的最大值．
(1)证明：―D→E ＝(0,2,0)，―D→B ＝(2,0，－2)． 设 n ＝(x，y，z)为平面 BDE 的法向量，
第一课时 利用空间向量求空间角
第六节立体几何中的向量方法第一课时利用空间向量求空间角命题导航课程标准(2017年版) 命题预测能用向量方法解决简单夹角问题,并能描述解决这一类问题的程序,体会向量方法在研究几何问题中的作用.1.考向预测:重点考查利用空间向量求线面角、二面角.2.学科素养:主要考查直观想象、数学运算核心素养.1.两条异面直线所成角的求法设a,b分别是两异面直线l1,l2的方向向量,则a与b的夹角βl1与l2所成的角θ范围[0,π]①(0,π2]求法cos β=a·b|a||b|cos θ=|cos β|=②|a·b||a||b|2.直线与平面所成角的求法如图所示,设直线l的方向向量为e,平面α的法向量为n,直线l与平面α所成的角为φ,两向量e与n的夹角为θ,则有sin φ=|cos θ|=③|e·n||e||n|.1 / 212 / 213.二面角的求法a.如图(1),AB,CD 分别是二面角α-l-β的两个半平面α,β内与棱l 垂直的异面射线(A,C 在棱l 上),则二面角的大小θ=④ <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ > .b.如图(2)(3),n 1,n 2分别是二面角α-l-β的两个半平面α,β的法向量,则二面角的大小θ满足cos θ=⑤ -cos<n 1,n 2> 或⑥ cos<n 1,n 2> .【常用结论】1.确定平面的法向量的方法(1)直接法:观察是否有垂直于平面的法向量,若有可直接确定.(2)待定系数法:取平面的两个相交向量a,b,设平面的法向量为n=(x,y,z),由{n ·a =0,n ·b =0求得.2.方向向量和法向量均不为零向量且不唯一.1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”).(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角.( )(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角.( ) (3)两个平面的法向量所成的角就是这两个平面所成的角.( )(4)两异面直线夹角的范围是(0,π2],直线与平面所成角的范围是[0,π2],二面角的范围是[0,π].( )(5)若二面角α-l-β的两个半平面α,β的法向量n 1,n 2所成角为θ,则二面角α-l-β的大小是π-θ.( )答案 (1)✕ (2)✕ (3)✕ (4)√ (5)✕2.直线l的方向向量为s=(-1,1,1),平面α的法向量为n=(2,x2+x,-x),若直线l∥平面α,则x的值为( )A.-2B.-√2C.√2D.±√2答案 D3.设u=(-2,2,t),v=(6,-4,4)分别是平面α,β的法向量.若α⊥β,则t=( )A.3B.4C.5D.6答案 C4.如图所示,已知正方体ABCD-A1B1C1D1,E,F分别是正方形A1B1C1D1和ADD1A1的中心,则EF和CD所成的角的度数是( )A.65°B.45°C.30°D.135°答案 B5.过正方形ABCD的顶点A作线段PA⊥平面ABCD,若AB=PA,则平面ABP与平面CDP所成的锐二面角为.答案45°异面直线所成的角典例1 (2019广东惠州调研)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BCA=90°,M,N分别是A1B1,A1C1的中点,BC=CA=CC1,则BM与AN所成的角的余弦值为()3 / 21A.110B.25C.√3010D.√22答案 C解析以C为坐标原点,直线CA为x轴,直线CB为y轴,直线CC1为z轴建立空间直角坐标系C-xyz,如图,设CA=1,则B(0,1,0),M (12,12,1),A(1,0,0),N(12,0,1),故BM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,-12,1),AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-12,0,1),所以cos<BM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=BM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗|BM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=34√62×√52=√3010.◆探究将本例中的条件“BC=CA=CC1”改为“BC=CA=2CC1”,其余条件不变,则BM与AN所成的角为( )A.π2B.π4C.π3D.π6答案 A 建系方式和例题相同,设BC=CA=2CC1=2,则A(2,0,0),B(0,2,0),M(1,1,1),N(1,0,1),AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,1),BM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-1,1),记BM与AN所成的角为θ,则cos θ=0,故BM与AN所成的角为π2.方法技巧用向量法求异面直线所成角的步骤(1)选好基底或建立空间直角坐标系;(2)求出两直线的方向向量v1,v2;(3)代入公式|cos<v1,v2>|=|v1·v2||v1||v2|求解.4 / 215 / 21易错警示注意向量的夹角与异面直线所成的角的区别当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时,就是此异面直线所成的角;当异面直线的方向向量的夹角为钝角时,其补角才是异面直线所成的角.1-1 (2018课标全国Ⅱ理,9,5分)在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=BC=1,AA 1=√3,则异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为( )A.15B.√56C.√55D.√22答案 C直线与平面所成的角典例2 (2019天津,17,13分)如图,AE⊥平面ABCD,CF∥AE,AD∥BC,AD⊥AB,AB=AD=1,AE=BC=2(1)求证:BF∥平面ADE;(2)求直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值; (3)若二面角E-BD-F 的余弦值为13,求线段CF 的长.解析 依题意,可以建立以A 为原点,分别以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AE ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴,y 轴,z 轴正方向的空间直角坐标系(如图),6 / 21可得A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,1,0),E(0,0,2). 设CF=h(h>0),则F(1,2,h).(1)证明:依题意,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,0)是平面ADE 的法向量,又BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,h),可得BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 又因为直线BF ⊄平面ADE,所以BF∥平面ADE. (2)依题意,BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,1,0),BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,2), CE⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,-2,2). 设n=(x,y,z)为平面BDE 的法向量, 则{n ·BD⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{-x +y =0,-x +2z =0,不妨令z=1, 可得n=(2,2,1),因此有cos<CE⃗⃗⃗⃗⃗ ,n>=CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n |CE⃗⃗⃗⃗⃗ ||n |=-49. 所以,直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值为49. (3)设m=(x,y,z)为平面BDF 的法向量, 则{m ·BD⃗⃗⃗⃗⃗ =0,m ·BF ⃗⃗⃗⃗ =0,即{-x +y =0,2y +ℎz =0,不妨令y=1,可得m=(1,1,-2ℎ). 由题意,有|cos<m,n>|=|m ·n ||m ||n |=|4-2ℎ|3√2+4h2=13,解得h=87.经检验,符合题意.所以,线段CF 的长为87. 方法技巧利用向量法求线面角的方法(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量,求两个方向向量的夹角(或其补角). (2)通过平面的法向量来求,即求出斜线的方向向量与平面的法向量的夹角或其补角(求锐角),该角的余角就是斜线与平面所成的角.2-1 (2018课标全国Ⅰ理,18,12分)如图,四边形ABCD 为正方形,E,F 分别为AD,BC 的中点,以DF 为折痕把△DFC 折起,使点C 到达点P 的位置,且PF⊥BF.7 / 21(1)证明:平面PEF⊥平面ABFD; (2)求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值.解析 (1)证明:由已知可得BF⊥EF,又已知BF⊥PF,且PF 、EF ⊂平面PEF,PF∩EF=F,所以BF⊥平面PEF.又BF ⊂平面ABFD,所以平面PEF⊥平面ABFD.(2)作PH⊥EF,垂足为H.由(1)得,PH⊥平面ABFD.以H 为坐标原点,HF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为y 轴正方向,|BF⃗⃗⃗⃗⃗ |为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系H-xyz.由(1)可得,DE⊥PE.又DP=2,DE=1, 所以PE=√3.又PF=1,EF=2,故PE⊥PF, 可得PH=√32,EH=32. 则H(0,0,0),P (0,0,√32),D (-1,-32,0),DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,32,√32),且HP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,√32)为平面ABFD 的法向量.设DP 与平面ABFD 所成角为θ, 则sin θ=|HP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·DP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |HP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||DP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||=34√3=√34. 所以DP 与平面ABFD所成角的正弦值为√34.8 / 21二面角典例3 (2019课标全国Ⅰ理,18,12分)如图,直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1的底面是菱形,AA 1=4,AB=2,∠BAD=60°,E,M,N 分别是BC,BB 1,A 1D 的中点.(1)证明:MN∥平面C 1DE; (2)求二面角A-MA 1-N 的正弦值.解析 (1)证明:连接B 1C,ME.因为M,E 分别为BB 1,BC 的中点,所以ME∥B 1C,且ME=12B 1C.又因为N 为A 1D 的中点,所以ND=12A 1D.由题设知A 1B 1 DC,可得B 1C A 1D,故ME ND,因此四边形MNDE 为平行四边形,MN∥ED.又MN ⊄平面EDC 1,所以MN∥平面C 1DE.(2)由已知可得DE⊥DA.以D 为坐标原点,DA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,则A(2,0,0),A 1(2,0,4),M(1,√3,2),N(1,0,2),A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,-4),A 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,√3,-2),A 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,-2),MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-√3,0). 设m=(x,y,z)为平面A 1MA 的法向量,则{m ·A 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,m ·A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0.9 / 21所以{-x +√3y -2z =0,-4z =0.可取m=(√3,1,0).设n=(p,q,r)为平面A 1MN 的法向量,则{n ·MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·A 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0.所以{-√3q =0,-p -2r =0.可取n=(2,0,-1).于是cos<m,n>=m ·n|m ||n |=√32×5=√155, 所以二面角A-MA 1-N 的正弦值为√105. 方法技巧计算二面角大小的常用方法(1)向量法:分别求出二面角的两个半平面的法向量,然后通过求法向量的夹角得到二面角的大小,但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角.(2)定义法:分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量,则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.3-1 (2019北京,16,14分)如图,在四棱锥P-ABCD 中,PA⊥平面ABCD,AD⊥CD,AD∥BC,PA=AD=CD=2,BC=3.E 为PD 的中点,点F 在PC 上,且PF PC =13.(1)求证:CD⊥平面PAD; (2)求二面角F-AE-P 的余弦值;(3)设点G 在PB 上,且PG PB =23.判断直线AG 是否在平面AEF 内,说明理由.解析 (1)证明:因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥CD, 又因为AD⊥CD,所以CD⊥平面PAD. (2)过A 作AD 的垂线交BC 于点M.10 / 21因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥AM,PA⊥AD.如图,建立空间直角坐标系A-xyz,则A(0,0,0),B(2,-1,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2).因为E 为PD 的中点, 所以E(0,1,1).所以AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,1),PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2,-2),AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,2). 所以PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =13PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(23,23,-23),AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +PF⃗⃗⃗⃗⃗ =(23,23,43). 设平面AEF 的法向量为n=(x,y,z), 则{n ·AE⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{y +z =0,23x +23y +43z =0. 令z=1,则y=-1,x=-1. 于是n=(-1,-1,1).又因为平面PAD 的法向量为p=(1,0,0), 所以cos<n,p>=n ·p|n ||p |=-√33.由题知,二面角F-AE-P 为锐角,所以其余弦值为√33. (3)直线AG 在平面AEF 内.因为点G 在PB 上,且PG PB =23,PB⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,-1,-2), 所以PG ⃗⃗⃗⃗⃗ =23PB⃗⃗⃗⃗⃗ =(43,-23,-43), AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +PG⃗⃗⃗⃗⃗ =(43,-23,23).11 / 21由(2)知,平面AEF 的法向量n=(-1,-1,1). 所以AG⃗⃗⃗⃗⃗ ·n=-43+23+23=0. 所以直线AG 在平面AEF 内.A 组 基础题组1.若直线l 的方向向量与平面α的一个法向量的夹角等于120°,则直线l 与平面α所成的角等于( ) A.120° B.60° C.30° D.60°或30°答案 C2.已知△ABC 与△BCD 均为正三角形,且AB=4.若平面ABC 与平面BCD 垂直,且异面直线AB 和CD 所成角为θ,则cos θ=( ) A.-√154 B.√154 C.-14 D.14 答案 D3.在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,点E 为BB 1的中点,则平面A 1ED 与平面ABCD 所成的二面角的余弦值为( ) A.12B.23C.√33D.√22 答案 B4.如图,在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,AB⊥AC,AB=AA 1=2,AC=√2,过BC 的中点D 作平面ACB 1的垂线,交平面ACC 1A 1于点E,则BE 与平面ABB 1A 1所成角的正切值为()12 / 21A.√55 B.√510 C.√1010 D.√105答案 C5.如图,已知AB 为圆锥PO 的底面直径,PA 为母线,点C 在底面圆周上,若PA=AB=2,AC=BC,则二面角P-AC-B 的正切值是 .答案√66.在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,若底面边长和侧棱长都相等,∠BAA 1=∠CAA 1=60°,则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为 . 答案√66解析 如图,连接A 1B 交AB 1于点O,取A 1C 1的中点D,连接B 1D 、DO.∵O、D 分别为A 1B 、A 1C 1的中点,∴OD∥BC 1,∴∠DOB 1或其补角即为异面直线AB 1与BC 1所成的角. 设三棱柱ABC-A 1B 1C 1的棱长为a, 则DB 1=√32a.13 / 21∵∠A 1AB=60°, ∴OB 1=AO=√32a.又∵BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2-2AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=a 2+2a 2cos 60°+a 2-2a 2cos 60°-2a 2cos 60°+a 2=2a 2, ∴|BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2a. ∴OD=12BC 1=√22a.在△DOB 1中,由余弦定理得 cos∠DOB 1=(√32a)2+(√22a)2-(√32a)2·√32a ·√22a=√66,∴AB 1与BC 1所成角的余弦值为√66.7.已知点E,F 分别在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱BB 1,CC 1上,且B 1E=2EB,CF=2FC 1,则平面AEF 与平面ABC 所成的锐二面角的正切值为 . 答案√23解析 如图,以点D 为坐标原点,DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系D-xyz,设DA=1,由已知条件得A(1,0,0), E (1,1,13),F (0,1,23), AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,13),AF⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,1,23), 设平面AEF 的法向量为n=(x,y,z), 由{n ·AE⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,得{y +13z =0,-x +y +23z =0.令y=1,得z=-3,x=-1,14 / 21则n=(-1,1,-3),取平面ABC 的一个法向量为m=(0,0,-1), 设平面AEF 与平面ABC 所成的锐二面角为θ, 则cos θ=|cos<n,m>|=3√1111,tan θ=√23. ∴tan∠EHB=EB BH =√23.8.如图,四棱锥P-ABCD 的一个侧面PAD 为等边三角形,且平面PAD⊥平面ABCD,四边形ABCD 是平行四边形,AD=2,BD=2√3,∠BAD=π3. (1)求证:BD⊥PD;(2)求二面角P-BC-D 的余弦值.解析 (1)证明:在△ABD 中,AD=2, BD=2√3,∠BAD=π3, ∴AD⊥BD,又平面PAD⊥平面ABCD, 平面PAD∩平面ABCD=AD, ∴BD⊥平面PAD,又PD ⊂平面PAD, ∴BD⊥PD.(2)如图,作PO⊥AD 于点O,15 / 21则PO⊥平面ABCD,过点O 作OE⊥BC 于点E,连接PE,以O 为坐标原点,以OA,OE,OP 所在直线为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系O-xyz,则D(-1,0,0),B(-1,2√3,0),P(0,0,√3),C(-3,2√3,0), BP⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-2√3,√3),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,0,0).由(1)知平面DBC 的一个法向量为(0,0,1), 设平面PBC 的法向量为n=(x,y,z), 则{n ·BC⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{-2x =0,x -2√3y +√3z =0,取n=(0,1,2),设平面DBC 与平面PBC 所成二面角的平面角为θ, 则cos θ=2√55. 9.(2019江西中学协作体联考)如图,四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 为直角梯形,BC∥AD,且AD=2AB=2BC=2,∠BAD=90°,△PAD 为等边三角形,平面ABCD⊥平面PAD,点E,M 分别为PD,PC 的中点.(1)证明:CE∥平面PAB;(2)求直线DM 与平面ABM 所成角的正弦值.16 / 21解析 (1)证明:设PA 的中点为N,连接EN,BN. ∵E,N 分别为PD,PA 的中点, ∴EN 为△PAD 的中位线, ∴EN∥AD,且EN=12AD. 在梯形ABCD 中,BC∥AD, 且BC=12AD,∴BC∥EN,BC=EN,∴四边形ENBC 是平行四边形, ∴EC∥BN.又BN ⊂平面PAB,CE ⊄平面PAB, ∴CE∥平面PAB. (2)设AD 的中点为O, ∵△PAD 为等边三角形, ∴PA=PD,∴PO⊥AD,∵平面PAD⊥平面ABCD,交线为AD,PO ⊂平面PAD,∴PO⊥平面ABCD. 又在梯形ABCD 中,BC∥AD, 且BC=12AD=AO,∴四边形BAOC 为平行四边形, ∴CO∥BA. 又∠BAD=90°, ∴CO⊥AD,∴OA,OC,OP 两两垂直,故以点O 为坐标原点,OA,OP,OC 所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz,17 / 21则A(1,0,0),B(1,0,1),C(0,0,1),P(0,√3,0),M (0,√32,12),D(-1,0,0), ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,1),AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,√32,12),设平面ABM 的法向量为m=(x,y,z). 则有{m ·AB⃗⃗⃗⃗⃗ =z =0,m ·AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-x +√32y +12z =0,令x=√3,得y=2, 则m=(√3,2,0). 由DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,√32,12), 可得cos<m·DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=m ·DM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|m |·|DM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | =√3×1+2×√32+0×12√(√3)2+22·√12+(√32)+(12)2=√427, ∴直线DM 与平面ABM 所成角的正弦值为√427. B 组 提升题组1.如图,已知四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 是等腰梯形,AB∥CD,且AC⊥BD,AC 与BD 交于O,PO⊥底面ABCD,PO=2,AB=2√2,E,F 分别是AB,AP 的中点,则二面角F-OE-A 的余弦值为 .18 / 21答案√33解析 以O 为坐标原点,OB,OC,OP 所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.由题知,OA=OB=2,则A(0,-2,0),B(2,0,0),P(0,0,2),E(1,-1,0),F(0,-1,1), 则OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-1,0),OF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-1,1). 设平面OEF 的法向量为m=(x,y,z), 则{m ·OE⃗⃗⃗⃗⃗ =0, m ·OF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{x -y =0,-y +z =0.令x=1, 可得m=(1,1,1).易知平面OAE 的一个法向量为n=(0,0,1),则cos<m,n>=m ·n|m ||n |=√33. 由图知二面角F-OE-A 为锐角, 所以二面角F-OE-A 的余弦值为√33.2.(2018贵阳摸底)如图,CD,AB 分别是圆柱的上、下底面圆的直径,四边形ABCD 是边长为2的正方形,E 是底面圆周上不同于A,B 两点的一点,AE=1. (1)求证:BE⊥平面DAE; (2)求二面角C-DB-E 的余弦值.19 / 21解析 (1)证明:易知,DA⊥平面ABE, 又BE ⊂平面ABE,∴BE⊥DA.又AB 是底面圆的直径,E 是底面圆周上不同于A,B 两点的一点, ∴BE⊥AE.又DA∩AE=A,DA,AE ⊂平面DAE, ∴BE⊥平面DAE.(2)过A 在平面AEB 内作垂直于AB 的直线,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz.∵AB=AD=2,AE=1, ∴BE=√3,∴E (√32,12,0),D(0,0,2),B(0,2,0), ∴ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√32,-12,2),BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-2,2). 取平面CDB 的一个法向量n 1=(1,0,0),设平面EBD 的法向量为n 2=(x 2,y 2,z 2), 则{ n 2·ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =0, n 2·BD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{-√32x 2-12y 2+2z 2=0,-2y 2+2z 2=0,取z 2=1,则n 2=(√3,1,1). ∴cos<n 1,n 2>=n 1·n2|n 1||n 2|=√3√5=√155, 又易知二面角C-DB-E 为钝角, ∴二面角C-DB-E 的余弦值为-√155. 3.(2019陕西第二次教学质量检测)如图所示,等腰梯形ABCD 中,∠BAD=∠ADC=60°,直角梯形ADEF所在的平面与平面ABCD 垂直,且∠EDA=90°,ED=AD=2AF=2AB=2.20 / 21(1)证明:平面ABE⊥平面EBD;(2)点M 在线段EF 上,试确定点M 的位置,使平面MAB 与平面ECD 所成的二面角的余弦值为√34.解析 (1)证明:∵平面ABCD⊥平面ADEF,平面ABCD∩平面ADEF=AD,ED⊥AD,ED ⊂平面ADEF, ∴ED⊥平面ABCD,∵AB ⊂平面ABCD,∴ED⊥AB. ∵AB=1,AD=2,∠BAD=60°,∴BD=√3, ∴AB 2+BD 2=AD 2,∴AB⊥BD. 又BD ⊂平面EBD, ED ⊂平面EBD,BD∩ED=D, ∴AB⊥平面EBD.又AB ⊂平面ABE,∴平面ABE⊥平面EBD.(2)以B 为坐标原点,BA,BD 所在直线分别为x 轴、y 轴建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz,则A(1,0,0),B(0,0,0),C (-12,√32,0),D(0,√3,0),E(0,√3,2),F(1,0,1),则CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,√32,0),DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,2),BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,0),EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-√3,-1),BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√3,2).设EM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λEF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(λ,-√3λ,-λ)(0≤λ≤1),则BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BE ⃗⃗⃗⃗⃗ +EM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(λ,√3-√3λ,2-λ).2021版《3年高考2年模拟》专有电子资源21 / 21设平面ECD 的法向量为m=(x 1,y 1,z 1),平面MAB 的法向量为n=(x 2,y 2,z 2),则{m ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,·DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{12x 1+√32y 1=0,2z 1=0,取y 1=1,则m=(-√3,1,0);{n ·BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 即{x 2=0,λx 2+(√3-√3λ)y 2+(2-λ)z 2=0, 取y 2=2-λ,则n=(0,2-λ,√3λ-√3).∵平面MAB 与平面ECD 所成的二面角的余弦值为√34,∴|cos<m,n>|=|m ·n ||m |·|n |=2√4λ2=√34, 解得λ=12或λ=54(舍), ∴当点M 在线段EF 的中点时,平面MAB 与平面ECD 所成的二面角的余弦值为√34.。
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|e n|
为φ,两向量e与n的夹角为θ,则有sin φ=|cos θ|=③ |e||n| .
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3.二面角的求法 a.如图(1),AB,CD分别是二面角α-l-β的两个半平面α,β内与棱l垂直的异面射线 (A,C在棱l上),则二面角的大小θ=④ < AB,CD> .
|v1 v2|
|v1||v2|
求解.
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易错警示 注意向量的夹角与异面直线所成的角的区别 当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时,就是此异面直线所成的角;当 异面直线的方向向量的夹角为钝角时,其补角才是异面直线所成的角.
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1-1 (2018课标全国Ⅱ理,9,5分)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=
n n
a b
0,求得.
0
2.方向向量和法向量均不为零向量且不唯一.
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1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”).
(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角. ( ✕ )
(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角.
(✕)
(3)两个平面的法向量所成的角就是这两个平面所成的角. ( ✕ )
(4)两异面直线夹角的范围是
0,
π 2
,直线与平面所成角的范围是0,
π 2
,二面角
的范围是[0,π]. ( √ )
(5)若二面角α-l-β的两个半平面α,β的法向量n1,n2所成角为θ,则二面角α-l-β的
大小是π-θ. ( ✕ )
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2.直线l的方向向量为s=(-1,1,1),平面α的法向量为n=(2,x2+x,-x),若直线l∥平面 α,则x的值为 ( D ) A.-2 B.- 2 C. 2 D.± 2
(1)证明:依题意, AB=(1,0,0)是平面ADE的法向量,又 BF =(0,2,h),可得 BF ·AB =0, 又因为直线BF⊄平面ADE,所以BF∥平面ADE. (2)依题意, BD =(-1,1,0), BE =(-1,0,2), CE =(-1,-2,2). 设n=(x,y,z)为平面BDE的法向量,
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3.设u=(-2,2,t),v=(6,-4,4)分别是平面α,β的法向量.若α⊥β,则t= ( C ) A.3 B.4 C.5 D.6
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4.如图所示,已知正方体ABCD-A1B1C1D1,E,F分别是正方形A1B1C1D1和ADD1A1 的中心,则EF和CD所成的角的度数是 ( B )
3
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解析 依题意,可以建立以A为原点,分别以 AB, AD, AE的方向为x轴,y轴,z轴正 方向的空间直角坐标系(如图),
可得A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,1,0),E(0,0,2). 设CF=h(h>0),则F(1,2,h).
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=
-
1 2
,0,1,所以cos<
BM
,
AN
>=
BM |BM
AN ||AN|
=
4 6
= 30 .
5 10
22
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探究 将本例中的条件“BC=CA=CC1”改为“BC=CA=2CC1”,其余条件不
变,则BM与AN所成的角为 ( A )
A. π B. π
2
4
C. π D. π
3
6
答案 A 建系方式和例题相同,设BC=CA=2CC1=2,则A(2,0,0),B(0,2,0),M(1,
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第一课时 利用空间向量空间 角
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1.两条异面直线所成角的求法
设a,b分别是两异面直线l1,l2的方向向量,则
a与b的夹角β
范围
[0,π]
求法
cos β= a b
|a||b|
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l1与l2所成的角θ
①
0,
π 2
|a b|
cos θ=|cos β|=② |a||b|
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b.如图(2)(3),n1,n2分别是二面角α-l-β的两个半平面α,β的法向量,则二面角的大 小θ满足cos θ=⑤ -cos<n1,n2> 或⑥ cos<n1,n2> .
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常用结论
1.确定平面的法向量的方法
(1)直接法:观察是否有垂直于平面的法向量,若有可直接确定.
(2)待定系数法:取平面的两个相交向量a,b,设平面的法向量为n=(x,y,z),由
1,1),N(1,0,1), AN =(-1,0,1),BM =(1,-1,1),记BM与AN所成的角为θ,则cos θ=0,故
BM与AN所成的角为 π .
2
方法技巧
用向量法求异面直线所成角的步骤
(1)选好基底或建立空间直角坐标系;
(2)求出两直线的方向向量v1,v2;
(3)代入公式|cos<v1,v2>|=
A. 1
B. 2
C. 30
D. 2
10
5
10
2
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解析 以C为坐标原点,直线CA为x轴,直线CB为y轴,直线CC1为z轴建立空间
直角坐标系C-xyz,如图,设CA=1,则B(0,1,0),M
1 2
,
1 2
,1,A(1,0,0),N
1 2
,0,1
,故
BM
=
3
1 2
,-
1 2
,1 ,
AN
A.65° C.30°
B.45° D.135°
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5.过正方形ABCD的顶点A作线段PA⊥平面ABCD,若AB=PA,则平面ABP与平
面CDP所成的锐二面角为
.
答案 45°
考点突破
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考点一 异面直线所成的角
典例1 (2019广东惠州调研)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BCA=90°,M,N分别 是A1B1,A1C1的中点,BC=CA=CC1,则BM与AN所成的角的余弦值为 ( C )
3 ,则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为 ( C )
A.1 B. 5 C. 5 D. 2
5
6
5
2
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考点二 直线与平面所成的角
典例2 (2019天津,17,13分)如图,AE⊥平面ABCD,CF∥AE,AD∥BC,AD⊥AB, AB=AD=1,AE=BC=2. (1)求证:BF∥平面ADE; (2)求直线CE与平面BDE所成角的正弦值; (3)若二面角E-BD-F的余弦值为1 ,求线段CF的长.