第8章广义逆矩阵及其应用精品PPT课件
矩阵及其应用ppt课件
线性方程组
• 根据矩阵乘法的定义，第三页中的线性方 程组可以表示成：
• Ax = y • 其中A是第五页中的系数矩阵，x是列向量
[x1, x2, ..., xn]，y是列向量[y1, y2, ..., ym]。 • 当n=m时，A是n阶方阵，如果A可逆，那么：
• x = A-1y
方阵的幂
• 已知n阶方阵A和正整数m，计算Am。其中n 不超过50，m不超过1000000。
方阵的幂（二）
• 已知n阶方阵A和正整数m，计算A1 + A2 + ... + Am。其中n不超过50，m不超过1000000。
路径计数
• 给定一个有向图，问从A点恰好经过k步 （允许多次经过同一条边）走到B点的方案 总数。图中顶点数不超过50，边数不超过 1000000。
线性递推式
已知x1, x2 ,...,xn的值和线性递推关系 xk a1xk1 a2xk2 ... an xkn , 其中k n, a1, a2,...,an是常数。对于任给的正整 数m，计算xm的值。（n不超过50，m 不超过1000000）
数乘矩阵
类似地，矩阵与数c相乘定义为cy1, ..., cym的系数所对应的矩阵：
a11 ... a1n ca11 ... ca1n c ... ... ... ... ... mn
矩阵乘法
设有如下两个方程组：
z1 a11 y1 ... a1m ym .................................. zk ak1 y1 ... akm ym 和 y1 b11x1 ... b1n xn ................................ ym bm1x1 ... bmnxn
高等数学逆矩阵ppt课件
268.
例7: 设方阵A满足矩阵方程 A2–A–2E = O, 证明: A, A+2E 都可逆, 并求它们的逆矩阵.
证明: 由 A2–A–2E=O, 得 A(A–E)=2E,
则
A
1
(
A
E
)
A1 E,
故A可逆, 且A-1 = 1 ( A E ).
2
2
又由 A2–A–2E=O, 得 (A+2E)(A–3E)+4E=O,
1 3
2, A12
2 3
1 3
3, A13
2 3
2 4
2,
同理可得 A21 6, A22 6, A23 2,
A31 4, A32 5, A33 2. 所以,
A
2 3
2
6 6
2
4 5
,
2
故
A1
|
1 A A|
1 3
1
2
3 3
1
5
122.
7
例3: 下列矩阵A,B是否可逆? 若可逆, 求其逆矩阵.
由伴随矩阵的性质: AA*= A*A = | A | E, 知
当| A | 0时,
A 1 A 1 A A E, | A| | A|
按逆矩阵的定义得, A1
1
A .
| A|
当| A | = 0 时, 称A为奇异矩阵, 否则称A为非奇异
矩阵.
4
由此可得, A是可逆矩阵的充分必要条件是A为非 奇异矩阵.
§2.3 逆 矩 阵
一、逆矩阵的概念和性质
在数的运算中, 当数 a 0 时, 有 aa-1 = a-1a = 1.
其中 a1 1 为a 的倒数, 或称a的逆(元). a
广义逆矩阵作用
广义逆矩阵作用广义逆矩阵是矩阵理论中的一个重要概念，它在多个领域中都有广泛的应用。
本文将介绍广义逆矩阵的定义、性质以及应用，并探讨其在实际问题中的作用。
一、广义逆矩阵的定义在矩阵理论中，矩阵A的广义逆矩阵，记作A⁺，是满足以下条件的矩阵：1. AA⁺A = A，即A乘以广义逆矩阵再乘以A等于A本身。
2. A⁺AA⁺= A⁺，即广义逆矩阵乘以A再乘以广义逆矩阵等于广义逆矩阵本身。
二、广义逆矩阵的性质1. 广义逆矩阵的广义逆矩阵是它本身，即(A⁺)⁺ = A⁺。
2. (AB)⁺= B⁺A⁺，即两个矩阵的乘积的广义逆矩阵等于右边矩阵的广义逆矩阵乘以左边矩阵的广义逆矩阵。
3. (A⁺)ᵀ= (Aᵀ)⁺，即广义逆矩阵的转置等于原矩阵的转置的广义逆矩阵。
4. (AᵀA)⁺Aᵀ= A⁺，即矩阵A的转置与A的乘积的广义逆矩阵等于A的广义逆矩阵乘以A的转置的广义逆矩阵。
三、广义逆矩阵的应用1. 线性方程组的求解：对于一个线性方程组Ax = b，如果A是列满秩矩阵（即A的列向量线性无关），则方程组有唯一解x = A⁺b。
如果A不是列满秩矩阵，方程组可能有无穷多解，此时可以通过最小二乘法求解，即x = A⁺b是方程组的最小二乘解。
2. 伪逆最小二乘法：当矩阵A不是一个方阵时，无法求出其逆矩阵。
此时可以使用广义逆矩阵来进行最小二乘拟合，例如曲线拟合和数据降维等问题。
3. 线性回归分析：广义逆矩阵可以用于线性回归模型的参数估计，通过最小化残差平方和来求解回归方程的参数。
4. 信号处理：广义逆矩阵可以用于信号处理中的滤波、降噪和频谱估计等问题，提高信号处理的精度和效果。
5. 图像处理：广义逆矩阵可以应用于图像处理中的去噪、图像复原和图像压缩等问题，提高图像处理的质量和效率。
6. 线性规划：广义逆矩阵可以用于线性规划问题的求解，例如最优化问题和约束优化问题等。
7. 控制系统：广义逆矩阵在控制系统中有广泛的应用，如系统辨识、状态估计、控制器设计和自适应控制等方面。
矩阵分析第八章
((AAH)(AAH)+)H=((AAH)+)H(AAH)H=(AAH)+(AAH) = (A+)HA+(AAH)=(A+)H(A+A)AH=(A+)H(A+A)HAH = (A+)HAH(A+)HAH=(AA+)H(AA+)H=AA+AA+ = A(A+A)HA+=(AAH)(A+)HA+=(AAH)(AAH)+ ((AAH)+(AAH))H=(AAH)H((AAH)+)H=(AAH)(AAH)+ = (AAH)(A+)HA+=A(A+A)HA+=AA+AA+ = (AA+)H(AA+)H=(A+)HAH(A+)HAH=(A+)H(A+A)HAH = (A+)H(A+A)HAH=(A+)HA+(AAH)=(AAH)+(AAH) (3)的证明与(2)类似, 略.
0 −1 Q 0
例 2：设A−是A∈Cm×n的一个广义逆, 则对任意的V∈Cn×m, W∈Cn×m,
X = A − + V ( Em − AA − ) + ( E n − A − A)W
也是A的一个广义逆矩阵. 证明： AXA = AA − A + AV ( E m − AA − ) A + A( E n − A − A)WA
“⇐” 设A−满足AA−A = A 且 rankA = rankA−, 则: rankAA− = rankA = rankA− ⇒ dim N(AA−) = dim N(A−) 又因为N(AA−) ⊃ N(A−), 从而 N(AA−) = N(A−). 由 AA−A = A ⇒ AA− − AA−AA− = 0 ⇒ ⇒ AA−(E− AA−) = 0 ⇒ A−(E− AA−) = 0 A− = A−AA−
逆矩阵PPT课件
高等代数
() = a0 E + a1 + … + am m
1
1
1m
a0
1
a1
定义2 当|A|=0时，称A为奇异矩阵（退化矩阵）， 否则称A为非奇异矩阵（非退化矩阵）， 由定理2可知，可逆矩阵就是非奇异矩阵。
高等代数
逆矩阵的求法一：待定系数法
例1:
设
2
A
1
1
0
,
求A的逆矩阵。
解：
设
a
B
c
b d
是A的逆矩阵,
高等代数
逆矩阵的求法二：伴随矩阵法
项式，A 为 n 阶矩阵，记
(A) = a0 E + a1 A + … + am A m ，
(A) 称为矩阵 A 的 m 次多项式.
高等代数
2. 计算方法
（i）如果 A = P P -1，则 Ak = Pk P –1，从而 (A) = a0 E + a1 A + … + am A m = Pa0EP -1 + Pa1P -1 + … + PammP –1 = P ()P -1 .
3
求 (A) = A3 + 2A2 – 3A .
高等代数
学习导引 1，为什么提出矩阵分块法？体现了一种什么思想？ 2，方阵A的伴随矩阵 是分块矩阵吗？ 3，分块矩阵的加法、数乘运算要注意哪些问题？ 4，如何对分块矩阵进行乘法运算、转置运算？ 5，分块对角阵的行列式、逆矩阵、高次幂如何运算？
矩阵的广义逆及其应用.ppt
第五章 矩阵的广义逆
§1 广义逆矩阵
(6) 若F是列满秩矩阵，则 F (F H F )1 F H
(7) 若G是行满秩矩阵，则 G GH (GGH )1
(8) 若矩阵A的满秩分解为A FG，则有 A G F ；
高等工程数学 理学院 杨文强
第五章 矩阵的广义逆
第五章 矩阵的广义逆
§1 广义逆矩阵 一、矩阵的广义逆
设A Rnn，对于线性方程组 Ax b，当A可逆时， 方程组有唯一解：x A1b.
若矩阵 A不可逆时，如何求解方程组 Ax b?
更一般，当矩阵 A Rmn不是方阵时，如何讨论 方程组 Ax b的解， 其中x Rn，b Rm ? 为了分析和解决上述问题，引入广义逆的概念.
高等工程数学 理学院 杨文强
第五章 矩阵的广义逆
§1 广义逆矩阵
定理2：设A Rmn，b Rm，x Rn，若性方程组 Ax b 是相容的，即方程组Ax b 有解，则其
通解为： x Ab (In A A)t，t是任意n 1向量. 证明：首先证明t Rn，x Ab (In A A)t是 方程组的解，然后证明方程组的任一解x，均可 表示成x Ab (In A A)t的形式.
A
1
1
1
2
(3)(1)3
0
3 3 2 4
0
1 2 4
0
1
2
0 4 8
高等工程数学 理学院 杨文强
第五章 矩阵的广义逆
§1 广义逆矩阵
1
A
0
0
1 2 4 (1)(2)2 1 1 0 0
线性代数课件逆矩阵重点精讲.ppt
则有 HH
1
A O
B C
X X
11 21
X 12 X 22
E
HH 1 OA
B C
X X
11 21
X 12 X 22
E
即
AX11 CX
B
21
X21
AX12 CX
BX22
22
E O
O E
AX11 BX 21 E AX12 BX22 O
CX 21 O
CX 22 E
X11 A1 AXX1212AB1CBC1 1
2A2 A 2E E E
且 ( A E)(2A E) 2A2 A 2A E
2A2 A 2E E E
故2A+E可逆，且(2A E)1 A E
逆矩阵的运算公式： 1、若A可逆，则 AA1 A1A E 2、若A可逆，则 ( A1 )1 A 3、若A可逆，则 A 可逆，且 ( A)1 ( A1 ) 4、若A可逆，数k 0, 则 kA可逆，且(kA)1 1 A1
因为当 Anm 时， Bmn AB为n阶方阵，AB有可能可逆， 但A-1和 B-1没意义
判断题： 1、若A、B都是可逆矩阵，则A+B也是可
逆矩阵。×
2、若AB是可逆矩阵，则A、B也都是可逆
矩阵。× （因为A、B有可能都不是方阵）
3、若n阶方阵AB是不可逆矩阵，则A、B
中至少有一个是不可逆矩阵。√ 4、若A是可逆矩阵，且AX=AY，则X=Y√
（2）A、B互为逆矩阵。即若 A1 B 则 B1 A
（3）若A可逆，则其逆矩阵是唯一的
( 因为若B、C都是A的逆矩阵，则有 AB=BA=E,AC=CA=E
于是 B =BE=B(AC=)(BA)C=EC=C ）
广义逆矩阵
广义逆矩阵矩阵（Matrix）是数学中使用最广泛的数据结构，它包含了数学中许多基本概念，比如向量、空间、线性变换等，矩阵被广泛应用到物理、生物、经济、工程等领域。
广义逆矩阵（Generalized Inverse Matrix）是矩阵的基本概念，它的存在及性质的研究是现代矩阵论的一个重要分支，它在科学研究和工程应用中扮演着重要的角色。
一般而言，矩阵逆等价于矩阵乘积为单位矩阵。
矩阵A的逆被称为A的广义逆，它可以被定义为一个或多个矩阵变化，使得结果等于单位矩阵。
矩阵求逆是现代数学中最重要的问题之一，它是线性代数和几何学的基础。
只有求出矩阵的逆，才能对矩阵进行变换，从而更好地理解线性变换的意义。
此外，求逆矩阵的过程中存在极大的数学难题和技术挑战，尤其是当矩阵维度较高、矩阵元素灵活变化时，实际问题求解更为困难。
广义逆矩阵不仅仅能够分解矩阵，它还能够用来处理矩阵的特殊情况，比如非方阵、正定矩阵以及秩不足的情况，这些现实中的应用情况都可以有效的利用广义逆矩阵来进行处理。
例如，当求解矩阵的某些特殊情况时，矩阵的逆就可以使用广义逆矩阵：如果矩阵的秩不足，那么将该矩阵的广义逆算出来，就可以求出该矩阵的解析解；同理，当求解矩阵的特征值时，通过广义逆矩阵可以求出所有特征值，而不受矩阵形状限制。
另外，广义逆矩阵在数值计算中也有着巨大的用处，当用有限精度浮点数方式实现函数f(x)时，可以用广义逆矩阵来表示该函数，从而提高计算效率。
从上面可以看出，广义逆矩阵在现代数学和高等数学的研究中扮演着重要的角色，它可以用来求解矩阵的特殊情况，求解一般线性方程，甚至可以应用到数值计算中，极大的提高效率和准确度。
研究广义逆矩阵的方法非常多，主要有矩阵分解法、特征值分解法和最小二乘法等，其中，矩阵分解法是求解广义逆矩阵最常用的方法，它可以利用“矩阵特征分解法”来求得一个矩阵的广义逆，这种方法简单、高效、计算量小，所谓的“矩阵特征分解法”实质上是将n×n矩阵A分解为“固定矩阵M”和“可逆矩阵X”的乘积，即AX=M，可以看出，X就是A的广义逆，也就是说，广义逆矩阵可以通过将一个n×n矩阵分解成M和X两个矩阵得到。
矩阵论第8章广义逆矩阵及其应用
由定义不难看出：
A A{1,2} A{1} ；A A{1,3} A{1} ；A A{1,4} A{1} ．
1 例 8.1.1 设 A 1
1
0 0 0
，
B
1 0
0 1
0 0
，
C
1 0
0 0
0 1
，由于
ABA A， ACA A ，
所以， B 与 C 均为 A 的减号逆．
同理 G1 A G2 A ．
所以 G1 G1 AG1 G1 AG2 G2 AG2 G2 ，
故加号逆是唯一的．
8.1.3 广义逆矩阵的计算： 1. 减号逆 AGA A
定 理 8.1.2 设 A 是 m n 矩 阵 ， rank( A) r ， 非 奇 异 矩 阵
P C mm , Q C nn
本章着重介绍几种常见的广义逆矩阵及其在解线性方程组中 的应用．
8.1 矩阵的几种广义逆
8. 1. 1 广义逆矩阵的基本概念
定 义 8.1.1 设 A C mn 为 任 意一个 复 数 矩阵 ， 如果 存 在复 矩 阵
G C nm ，满足 AGA A ， GAG G ，
（8.1.1） （8.1.2）
P
3 0 2
2 0 1
7 1 1 0 4 g31
0 1
1 g32
0
10
3 7g31 g31
2 4g31
2 7g32 g32 ，
1 4g32
其中， g31 , g32 是任意常数．
特别地，取 g31 0, g32 0 ，得 A 的一个减号逆：
A
3 0
2
2 0 ． 1
1 2
3 1
第8章广义逆矩阵及其应用
同理可证（2）．
这里要特别指出的是，对于行或列满秩的矩阵 A ， AR1 与 AL1 是不可能同时存在的，当且仅当 A 为满秩矩阵时 AR1 与 AL1 才同时存在，并且都等于逆矩阵 A1 ，另外，由右逆与左逆的定
义不难看出右逆与左逆满足 M-P 方程（8.1.1），（8.1.2），从而有 下面结论．
( AG) H AG ，
（8.1.4）
4 个方程的全部或一部分，则称 G 为 A 的一个广义逆矩阵，并把上
面 4 个方程叫做穆尔-彭诺斯（M-P）方程．进一步，如果 G 满足
M-P 的 4 个方程式，则称 G 为 A 的穆尔-彭诺斯广义逆，记为
G A{1,2,3,4} ，一般地，如果 G 满足 4 个 M-P 方程式中的第
在，使（8.1.1）与（8.1.2）都成立，即
AGA A GAG G
则称 G 为 A 的一个{1,2}-广义逆，记为 G A{1, 2} 或 G A{1,2} ，也称 G
为 A 的一个自反减号广义逆，记为 G Ar ，即有
AAr A A ， Ar AAr Ar ．
（8.1.10）
显 然 ， 自 反 减 号 逆 Ar 是 一 种 特 殊 的 减 号 逆 A ， 它 满 足 自 反 性
P C mm , Q C nn 使得
PA
Q
Er 0
00 ，
则 A 的减号逆矩阵存在，且可表示为
（8.1.7）
A
Q
Er G21
G12 G22
P
，
（8.1.8）
其中 G12,G21,G22 分别是 r (m r) ，(n r) r ，(n r) (m r) 的任意
矩阵．
矩阵分析第8章课件
A
P1
Er 0
0 0
Q1
A
其次证明任意减号逆A-都可写成(8.1.4)的形式
其次证明任意减号逆A-都可写成(8.1.4)的形
式证:对任W意C减rr 号, Z逆CA(-nr)C(mnr)m,,X令CAr-(=mrQ),WYYCXZ(nPr)r
其中 AA-A=A
PAA-AQ=PAQ=
Er 0
00
上P式AQ左WY 边XZ =PAQ
证:我们知道:对每个ACmn,R(A),N(A)都是Cm, Cn的子空间, dim R(A)= rank A, dimN(A)=n-rank A. xR(AA-),x=AA-z=AyR(A) R(AA-)是R(A)子空间.因 dimR(A)=rank A=rank AA-=dimR(AA-), 故由下列命题即得R(AA-)=R(A).
这是(SAT)-1=T-1A–1S-1推广
(SAT)(T-A–S-)(SAT)=SAA–AT=(SAT)
定理8.1.2:设ACmn,R,A-表示A的减号逆,则 ④ AA-,A-A都是幂等矩阵,即其平方等于自己的 矩阵;并且 rank A=rank(AA-)=ramk(A-A).
证: (AA-)2=AA-AA-=AA-;
(A-A)2=A-AA-A=A-A. rank A=rank (AA-A)rank (AA-)rank A.
rank A=rank(AA-)
同理可证 rank A=rank(A-A).
定理8.1.2:设ACmn,R,A-表示A的减号逆,则 ⑤ R(AA-)=R(A),N(A-A)= N(A) 其中,A的值域 R(A)={Ay|yCn} Cm A的核(或A的解空间) N(A)={x|Ax=0} Cn
第八章矩阵的广义逆
第八章矩阵的广义逆
第八章矩阵的广义逆前言初等变换和标准形初等变换和标准形举例
§8.1 广义逆矩阵减号逆的概念
减号逆存在定理及求法减号逆存在定理及求法续
关于减号逆公式的注一个减号逆确定所有减号逆1减号逆的主要性质续减号逆的主要性质续
减号逆的主要性质续左逆与右逆的概念矩阵左逆与右逆的求法自反广义逆的概念
自反广义逆的存在与唯一性自反广义逆的唯一性自反广义逆与左(右)逆的关系用满秩分解求自反广义逆
自反广义逆的求法自反广义逆的求法续§8.2 伪逆矩阵
伪逆的存在性求伪逆举例
伪逆的唯一性
伪逆的性质
101求伪逆举例
§8.3 广义逆与线性方程组
一般矩阵方程有解的条件一般矩阵方程的通解
用减号逆求解相容线性方程组举例相容线性方程组的最小模解0130
相容方程组最小模解的充要条件
相容方程组最小模解的充要条件续
求相容方程组最小模解举例
Ax,即‖Ax-b‖>0.
不相容方程组的最小二乘解
R(A)
Ax 0
不相容方程组的最小二乘解举例用广义逆求最小二乘解定义8.3.2:线性方程组Ax=b 的一个最佳最小二乘
矩阵方程的最小二乘解。
矩阵的逆及其求法PPT课件
(A
E )
4
0
2
.
8 1 3
6 1 1
所以
(A
E )1
1 2
(A
E )
1 2
4 8
0 1
2
,
3
6 1 1 2 1 1 8 1
B
1 2
4 8
0 1
2
2
3 2
6 1
4
3
1 2
4 8
2 1
故
6
1 2
1
2
A B 4 7 3 .
2
3
11
2 2
1
2
.
充分发挥其作用，有必要对它进一步探讨。
定理3 A可逆 A 行 E Pm P2P1A E
Pm P2P1E A1 E 行 A1
求 A1方法 ：( A E) 行(E A1)
21
第21页/共36页
例7 求下列矩阵的逆
矩阵 1 0 1
1. A 2 1 0 3 2 5
解：
1 0 1 1 0 0
A A1 E 1 0 , 因此 A 0.
充分性．设 A 0, 由定理 2.1 知
AA A A A E.
故有 A( 1 A* ) ( 1 A* )A E .
A
A
9
第9页/共36页
由逆矩阵定义知，A 可逆，且其逆为
A1 1 A* . A
定理 2.2 不仅给出了判断矩阵可逆的方法， 还给出了求解逆矩阵的一种方法 .
2
第2页/共36页
一、逆矩阵的概念
定义1 设 A 为 n 阶方阵，如有 n 阶方阵 B ，使 AB = BA = E .
则称 A 为可逆阵，B 为 A 的逆阵，记作 B A1 .
广义逆矩阵
广义逆矩阵逆矩阵是数学中一类重要的矩阵，它以及其应用被用作许多数学计算的基础。
逆矩阵是指一个矩阵乘以它自己的逆矩阵，可以得到一个单位矩阵。
它可以帮助研究者快速解决许多数学模型，如线性方程组、解调数学模型和特征值问题等。
逆矩阵最初出现在二十世纪初期数学家弗里德曼的数学论文中，他发现了一种数学工具，可以用它来解决多项式方程组的解，这一理论被称为弗里德曼的逆矩阵理论。
此后，科学家们发现，逆矩阵可以解决许多数学问题，所以它成为研究者工具箱中不可或缺的重要部分，然而，只有一定是方阵才能有逆矩阵。
随着研究者们对数学模型的深入研究，人们发现了另外一种技术，命名为“广义逆矩阵”，它被认为是一种替代逆矩阵的技术，可以帮助研究者快速解决许多数学模型，而无需要求解矩阵的逆。
广义逆矩阵把多项式方程组转换成反方程。
它构造出一个矩阵A，使得Ax=b，其中b是给定的系数向量，x是要求的变量向量，而A则是一个称为“反矩阵”的矩阵。
假设A是n x n矩阵，可以得到n个方程，而x可以用A的反矩阵来求得。
这里的反矩阵A^-1，可以通过矩阵A的特征值来计算，特征值是一个特殊的多项式，用来解决特征值问题，从而得到A的反矩阵。
广义逆矩阵在计算机领域也有着广泛的应用，比如可以用来求解系统方程，就是将在一定的时间内的特定的输入变量带入特定的算法中，从而确定相应时间段内的系统输出变量。
它也可以用于求解最优化问题，如最小二乘法和最大熵模型等。
另外，它还可以用来图像处理，比如图像分类、噪声滤波等等。
综上所述，广义逆矩阵是一种极为重要的矩阵，它可以帮助研究者快速求解多种数学模型，而且还可以广泛地应用于计算机领域，极大地提高了解决数学问题的效率。
广义逆矩阵
广义逆矩阵
广义逆矩阵是线性代数中非常有用的概念，它能够解决复杂的数学问题。
本文将对它的定义、性质及其应用进行详细的介绍，以帮助读者更好地理解这一概念。
广义逆矩阵（Generalized Inverse Matrix），也称为
Moore-Penrose逆矩阵，它是矩阵A的可逆矩阵，用A+表示。
它是A 满足四个基本性质（Moore-Penrose性质）时的矩阵，即：
1、AA+A=A；
2、A+AA+ =A+；
3、(A+A)T=A+A；
4、(AA+)T=AA+。
由定义可知，广义逆矩阵的存在与矩阵A可逆有关。
如果A可逆，则A+就是A的逆矩阵；如果A不可逆，则A+是A的广义逆矩阵。
因此，广义逆矩阵是一个更广泛的概念，它正是由于A不可逆，才能够定义，它可以应用于A不可逆的情况。
广义逆矩阵在很多实际应用中扮演了重要的角色。
例如，在统计学中，可以通过广义逆矩阵来求解非方阵（不可逆）的最小二乘问题，以此解决非线性回归问题。
此外，广义逆矩阵可以应用于图像处理方面。
在传感器校准领域，广义逆矩阵可以用于消除传感器矩阵中的非线性影响，从而使图像获得更高的质量。
此外，广义逆矩阵还可以用于控制理论中的MPC（Model
Predictive Control）方法，这种方法将控制系统中的非线性因素表示为一个矩阵，并利用广义逆矩阵来计算系统未来一段时间的状态。
综上所述，广义逆矩阵在解决复杂数学问题中显示出了强大的能力。
它不仅可以用于统计学，还可以用于图像处理和控制理论，通过广义逆矩阵来解决非线性问题，以更好地表示系统的特征。
广义逆矩阵
)
( B B)
H
H
1
B
H
G
H 1
G A
H
[ D ( DD ) ( B B )
H 1
B ] ( BD )
H H
H
返回
( AG )
H
B[( B B ) ] [( DD ) ] DD B B[( B B ) ] [( DD B( B B ) B( B B )
H H H 1 1 H H 1 H H 1
G D ( DD
)
( B B)
H
1
B
H
就是A的M P广义逆矩阵A .
返回
证: (1) r 0 A 0 A 0
(2) r 0 存在最大值分解A BD
rank ( B B ) rank ( DD AGA BDD ( DD B( DD
H H H H
H 1
H
H
)
H H
H 1
)
)
B BDD B
H H
H
BDD ( DD ) ( B B ) ( DD ) ( BB ) B BDD B BDD ( DD ) BD[ D ( DD
H H H 1
H 1
H 1
H
( B B)
H
H
1
( DD ) B ]
H
H 1
DD B
H
H
H 1
)
( B B)
A2
返回
( A2 A)
H
A2 A2 AA2 A2
定理 3 设 A C mn，则有
(1) ( A ) A; (2) ( A ) ( A ) ,( A ) ( A ) ; (3) A ( A A) A
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( AH ) ( A )H .
(2) 因为（AA）2 ( AA )( AA ) ( AA A) A AA , 所以 AA 为
幂等矩阵. 同理可证 A A 为幂等矩阵. 由于 rank( A) rank( AA ) rank( AA A) rank( A) ,
所以有 rank( A) rank( AA ) . 同理可证 rank( A) rank( A A) .
3 个，4 个 M-P 方程的广义逆矩阵共有 15 类，即
C
1 4
C
2 4
C43
C
4 4
15 ．
但应用较多的是以下 5 类：
A{1}， A{1, 2}， A{1, 3}， A{1, 4}， A{1, 2, 3, 4}．
下面将会看到，只有 A{1, 2, 3, 4}是唯一确定的，其他各 类广义逆矩阵都不唯一：
想象能否推广逆矩阵的概念，引进某种具有普通逆矩阵类似
性质的矩阵 G ，使方程组的解仍可以表示为 x Gb 的形式．
1920 年穆尔（Moore）首先提出了广义逆矩阵的概念，但其后 的 30 年未引起人们的重视．直到 1955 年彭诺斯（Penrose）利用四 个矩阵方程给出了广义逆矩阵的新的更简便实用的定义之后，广义 逆矩阵的研究才进入了一个新的时期，其理论和应用得到了迅速发 展，已成为矩阵论的一个重要分支，广义逆矩阵在数理统计、最优 化理论、控制理论、系统识别、数字图象处理等许多领域都具有重 要应用．
定义 8.1.3 设 A 为一个 m n 复矩阵，若有一个 n m 复矩阵 G 存在，使得
AG Em 或 GA En ，
则称 G 为 A 的右逆或左逆，记为 G AR1 或 G AL1 ，即有
AAR1 Em 或 AL1 A En ．
（8.1.5）
不难证明： AR1 与 AL1 同时存在当且仅当 A1 存在，此 时有 A1 AR1 AL1 ．
本章着重介绍几种常见的广义逆矩阵及其在解线性方程组中的 应用．
8.1 矩阵的几种广义逆
8.1.1 广义逆矩阵的基本概念
定义 8.1.1 设 A C mn 为任意复数矩阵，如果存在复矩阵
G C nm ，满足
AGA A ， GAG G ，
（8.1.1） （8.1.2）
(GA) H GA ，
（8.1.3）
(3) 若 C , 并且 0 , 那么
(A) 1 A ;
(4) 若 P,Q 可逆, 那么
（8.1.8）
(PAQ) Q1AP1 ;
（8.1.9）
(5) ( Ar )r A , (A ) A .
（8.1.10）
证明 (1) 由 AA A A可知, AH ( A )H AH AH ,于是有
由定义不难看出：
A A{1,2} A{1} ； A A{1,3} A{1} ； A A{1,4} A{1} ．
1 0
例 8.1.1 设 A 1
1
0 0
，
B
1 0
0 1
00
，C
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 0
0 0
0 1
，
由于
ABA A， ACA A ，
所以， B 与 C 均为 A 的减号逆．
例 8.1.2 设 A 0 为一个 m n 复矩阵，则 A{1} A{1,3} A{1,4} Cnm ， A{1,2} A 0 ．
在给出广义逆的计算方法与应用之前，我们先来讨论 广义逆矩阵的若干基本性质．
8.1.2 广义逆矩阵的基本性质
性质 8.1.1 设 A 为任意一个 m n 复矩阵，则
(1) ( AH ) ( A )H ;
（8.1.6）
(2) AA 与 A A 均为幂等矩阵, 且
rank( A) rank( AA ) rank( A A) ; （8.1.7）
一般地，各类广义逆不是唯一，并且不难证明以下结 果，这说明广义逆是普通逆矩阵的推广．
定理 8.1.1 当 A 可逆时， A 有唯一的减号逆、 自反广义逆、最小范数广义逆、最小二乘广义逆及 加号逆，并且
A Ar Am Al A A1 ． 在广义逆矩阵理论中还有另外一类广义逆矩阵 的概念：单边广义逆，即所谓矩阵右逆与左逆的概 念．
第8章 广义逆矩阵及其应用
广义逆矩阵是通常逆矩阵的推广，这种推广的必要性， 是线性方程组的求解问题的实际需要，设有线性方程组
Ax b ，当 A 是 n 阶方阵，且 det(A) 0 时，则方程组存 在唯一解且可表示为： x A1b ．但是，在许多实际问题中 所遇到的矩阵 A 往往是奇异方阵或是任意的 m n 矩阵（一 般 m n ），显然不存在通常的逆矩阵 A1 ，这就促使人们去
(3) 因为 (A)(1 A )(A) ( 1 )(AA A) A , 所以
(A) 1 A .
(4) 设 PAQ 的 减 号 逆 为 G , 即 (PAQ)G(PAQ) PAQ , 则
定义 8.1.2 设 A C mn 为任意复数矩阵，则 （1）广义逆矩阵类 A{1}中任意一个矩阵均称为 A 的减号逆，记 为 A ； （2）广义逆矩阵类 A{1, 2}中任意一个矩阵均称为 A 的自反减号 逆，记为 Ar ； （3）广义逆矩阵类 A{1, 3}中任意一个矩阵均称为 A 的最小范数 广义逆，记为 Am ； （4）广义逆矩阵类 A{1, 4}中任意一个矩阵均称为 A 的最小二乘 广义逆，记为 Al ； （5）广义逆矩阵类 A{1, 2, 3, 4}中矩阵称为 A 的加号逆，或穆 尔-彭诺斯广义逆，记为 A ．
( AG) H AG ，
（8.1.4）
4 个方程的全部或一部分，则称 G 为 A 的一个广义逆矩阵，并把上 面 4 个方程叫做穆尔-彭诺斯（M-P）方程．进一步，如果 G 满足 M-P 的 4 个方程式，则称 G 为 A 的穆尔-彭诺斯广义逆，记为 G A{1,2,3,4} ，一般地，如果 G 满足 4 个 M-P 方程式中的第
i1, i2 ,ik (1 k 4) 个 ， 则 称 G 为 A 的 一 种 弱 逆 ， 记 为 G A{i1, i2 ,ik }．
由于 M-P 的 4 个方程都各有一定的解释，并且应用起
来各有方便之处，所以出于不同的目的，常常考虑满足部分
方程的 G ，总之，按照定义８.1.1 可推得，满足 1 个，2 个，