自动控制理论第五章

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3、纯量函数的正半定性： 现 控 理 论 基 础 当x=0及x的个别其它点使得：V(x)=0；在其余x的 取值点有： V(x)>0, 则称 V(x) 是正半定的。 4、纯量函数的负半定性： 若-V(x)是正半定的，则纯量函数V(x)是负半定的。 5、纯量函数的不定性： 若在域Ω内，不论Ω多么小， V(x) 既可为正 又可为负，则 V(x) 是不定的。 举例： V(x)=x12+2x22 第 四 章 V(x)=x12+2x22/(1+x22) 正定 。 V(x1，x2)= x12 V(x)=(x1+x2)2 正半定， ∵当x1+x2=0时， V(x)=0; V(x)=-x12-(3x1+2x2)2 负定 V(x)= x1x2+x22 不定 ;
(t ≥ t0 )
若δ (ε ,t0 )与初始时刻 t0 无关，即δ (ε ,t0 ) = δ (ε )，
则称 x e = 0为李亚甫诺夫意义下稳 定。
第 四 章
则称 xe = 0 为一致稳定 其中 x (t0 ) − xe ， x (t ) − xe 均为欧几里德(Euclid ) 范 数 。
如： x (t ) − xe =
(x1 (t ) − x1e )2 + (x2 (t ) − x2e )2 + L (xn (t ) − xne )2
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即以 xe 为心的“球”域。
二、渐近稳定
现 控 理 论 基 础

都超不出 S (ε ), 且收敛于 x e = 0。则称 x e = 0 是李亚甫诺夫 意义下的渐近稳定。 即：对于任意给定的实 存在 T ( μ , δ , t 0 )， 当：x 0 − x e ≤ δ 时有： x (t ) − x e ≤ μ
对于一个控制系统，稳定性是一个十分重要的问题。 在工程实际中，可以应用的系统必须是稳定的。 分析稳定性的方法： 1892年，劳斯(Routh)、赫尔维茨(Hwruity)提出的代数判据。 1932年，奈奎斯特(Nyquist)提出的频率法判据。 上述方法只适用于分析线性定常系统。 对于非线性或时变系统上述方法不适用。 第 四 章 1892年，李亚甫诺夫发表了一篇题为《运动 稳定性一般问题》的论文，建立了关于运动稳定性 的一般理论和方法。定量分析定性分析。
举例
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若：Δi > 0 ,i为偶数；Δi < 0 ,i为奇数；
举例：
现 控 理 论 基 础
2 Q ( x 1 , x 2 , x 3 ) = 10 x 12 + 4 x 2 + x 32 + 2 x 1 x 2 − 2 x 2 x 3 − 4 x 1 x 3
则: Q( x1 , x2 , x3 ) = x T Px = [x1 x2 ⎡ 10 1 − 2⎤ ⎡ x1 ⎤ x3 ]⎢ 1 4 − 1 ⎥ ⎢ x2 ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢− 2 − 1 1 ⎥ ⎢ x3 ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦
标量函数 V ( x ) 具有连续一阶偏导数， 并且 :
第 四 章
& 定 理 4 − 1 设系统状态方程为： x = f ( x ) 在平衡状态 x e = 0 的某个邻域内，
(1 )V ( x )是正定的； (2 )V& ( x )是负定的；
0 0
则 x e = 0 是一致渐近稳定的。
若 x → ∞ , V ( x ) → ∞ ,则一致大范围渐近稳定 的。
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§4-3李亚甫诺夫第二法
现 控 理 论 基 础 前面介绍过，构造一个与系统状态x有关的标量函数V(x,t) 来表征系统的广义能量。V(x,t) 称为李亚甫诺夫函数。 研究V(x,t)及其沿状态轨迹线随时间的变化率的定号性， 就可以得到有关系统的稳定性信息。即，对于一个系统而 言，若能构造出相关的V(x,t)，就能判断系统的稳定性。本节 介绍李亚甫诺夫第二法判断系统稳定性的几个定理。
& 解：令 x = 0 ,求得系统平衡状态为 xe = 0
2 V 选取： ( x ) = x12 + x2 显然：V ( x ) 正定 & & & 而： V ( x ) = 2 x x + 2 x x 1 1 2 2
)2 x2 − x1 ] = −2a(1 + x2 )2 x22 1 2 2 2 础 & & 可见，当 x2 = 0 和任意的 x1，有V ( x ) = 0，而 x2 ≠ 0 和任意的 x1，V ( x ) < 0, & & 即 V ( x ) ≤ 0, 但在整条状态轨线上不会有V ( x ) ≡ 0。
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6、二次型 现 二次型是一种纯量函数，它在李氏稳定分析中，起着重要作用。 控 理 论 基 础 二次型形如：V(x)= xTPx=[ x1 x2 … xn] P[ x1 x2 … xn]T 其中 P 为实对称矩阵。 二次型的正定性可由塞尔维斯特(Sylvester)准则来判定： 即二次型 V(x) 为正定的充要条件为 P 的所有 主子行列式为正——也即 P 为正定。 若 P 是奇异的，且它的所有主子行列式 为非负的，则V(x)是正半定的。 第 四 章 二次型 V(x) 为负定的充要条件为： P 的所有主子行列式：
而
& ( x ) = ∑ ∂V x = ( x + x )( x + x ) + 2 x x + x x &i &1 &2 & & V 1 2 1 1 2 2 i =1 ∂xi
第 四 章
2 & 将状态方程带入上式： V ( x ) = − x12 + x2 & Q V ( x ) 负定 故 x = 0 是一致渐近稳定的。 e
现 控 理 论 基 础
控制系统的稳定性
§4-1引言
第 四 章
§4-2李亚甫诺夫意义下稳定性的定义 §4-3李亚甫诺夫第二法 §4-4线性连续系统的稳定性 §4-5线性定常离散系统的稳定性 §4-6有界输入和有界输出稳定 §4-7非线性系统稳定性分析 实验问题分析
现 控 理 论 基 础
一、概述
§4-1 引 言
若平衡状态 x e = 0，又从域 S (δ )出发的 x (t ) ，当 t → ∞ 时， 数 δ > 0， μ > 0，
若 δ (ε ,t0 ) 和 T (δ ,t0 )与 t0 无关， 则称为为一致渐进稳定
第 四 章
图4-2平衡状态及对应于渐近稳定性的典型轨迹
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现 控 理 论 基 础
三、大范围渐近稳定
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二、基本定义
现 控 理 论 基 1、纯量函数的正定性： 若对于所有在域Ω中取值的状态向量 x, 有: V(x)>0, 当 x≠0 时； V(x)=0 , 当 x=0 时 则称在域Ω（Ω包含状态空间的原点）内的 纯量函数 V(x) 是正定的。 若时变函数 V(x,t) 由一个定常的正定函数 V(x) 作为下限， 础 即: V(x,t) > V(x) (t≥t0)； 且有 V(0,t) =0 (t≥t0) 则称时变函数 V(x,t) 在域Ω（Ω包含状态空间的原点） 内是正定的。 第 四 章 2、纯量函数的负定性： 若 -V(x) 是正定的，则纯量函数 V(x) 是负定的。
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& 例 4 − 2 系统的状态方程为 x1 = x2 & x2 = −( x1 + x2 ) 判别系统的稳定性。 现
控 理 论 基 础
& 解：令x = 0 ,求得系统平衡状态 xe = 0 选取：V ( x ) = 显然 V ( x ) 正定
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1 (x1 + x2 )2 + x12 + 1 x22 2 2
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现 控 理 论 基 础
李氏第一法：求解微分方程组，由其解分析稳定性—间接方法。 李氏第二法：无需求解微分方程组，即可分析系统的稳定性。 李氏从研究能量变化的关系入手，来分析系统的稳定性。 为此，构造了广义能量函数（李亚甫诺夫函数）V(x,t)。 考察纯量函数： 电感能量: LI2/2; 电容能量：CU2/2; 电路能量：UI 什么是平衡状态？ 平衡状态并不等于稳定状态，但稳定状态一定是平衡状态。 平衡状态可能不止一个。若它们的孤立的，则可通过 线性变换，将非零的平衡状态转移到状态空间的原点， 第 四 章 即有xe=0，则又有 f(xe,t) = f(0,t) =0。 这样，平衡状态的稳定性问题可转化为 原点的稳定性问题来研究。
非线性时变系统状态方 程为： & x = f ( x ,t ) xe = 0 ( 4.2 − 1)
若对于任意数 ε > 0 , 都对应有实数 δ (ε ,t 0 ) > 0 , 使得由满足下式 的任意初始状态 x (t 0 ) = x 0 出发的轨迹 x (t )，有： 图示说明 x (t ) − x e ≤ ε x (t 0 ) − x e ≤ δ (ε , t 0 ) (4.2 − 2) (4.2 − 3)
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2 ⎧ x1 = x 2 − x1 x12 + x 2 & 例 4 − 1 系统为 ⎨ 试判别其稳定性 2 2 & ⎩ x 2 = − x1 − x 2 x1 + x 2 现 & 解：令 x e = 0
(
(
)
)
控 理 论 基 础
得：原点 ( x1 = 0 , x 2 = 0 ) 是唯一的平衡状态。 2 若定义一个正定的纯量函数 V ( x ) = x12 + x2 & ( x ) = ∂V( x ) = 2 x x + 2 x x & & 那么 V 1 1 2 2 ∂t
若初始状态 x (t0 ) 是取自状态空间的任何点，都有
lim x (t ) = xe = 0
t →∞