北京市海淀区清华大学附属中学2019-2020学年高三上学期10月月考数学试题

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名校卷 2020届北京市海淀区中国人民大学附属中学高三10月月考数学试卷(解析版)

【答案】4
【分析】直接解不等式即可．
【详解】由题意，，，，，取，则，．
故答案：4．
【点睛】本题考查三角函数模型的应用．考查解三角不等式，属于基础题．
13.如图，在△ABC中，BO为边AC上的中线，，设 ∥ ，若，则的值为______．
【答案】
【详解】试题分析：因为所以 .又 ∥ ，可设从而 .因为，所以 .
故答案为： .
【点睛】本题考查新定义问题，此类问题的特点是解决问题只能以新定义规则为依据，由新定义规则把问题转化，转化为熟悉的问题进行解决．
三、解答题（本大题共6道小题，共80分．解答题应写出文字说明、演算步骤或证明过程．请将解答题的答案填写在“答题纸”第15－20题的相应位置上．）
15.已知函数的最大值为5．
【答案】A
【详解】，而，如，则不成立，所以 ”是“ ”的充分不必要条件．选 .
考点：充分条件、必要条件.
6.如果实数集的子集满足：任意开区间（其中）中都含有中的元素，则称在中的稠密，若“ 的子集在中的不稠密”，则（）
A.任意开区间都不含有中的元素B.存在开区间不含有中的元素
（2）列出盒子体积的函数解析式，利用导数求解函数的单调性、最值，即可得到结论．
试题解析：
（1）因为矩形纸板ABCD的面积为3600，故当a＝90时，b＝40，
从而包装盒子的侧面积
S＝2×x(90－2x)＋2×x(40－2x)
＝－8x2＋260x，x∈(0，20) ．
因为S＝－8x2＋260x＝－8(x－ )2＋，
【答案】C
【分析】把函数式化为形式可得．
【详解】，
因此把的图象上所有的点向左平移个单位得到函数的图象．

北京市清华大学附属中学2019-2020学年高三年级第一学期10月考数学试卷

清华附中高三2019年10月月考试卷数学一、选择题1.已知集合{}2A x x =>，()(){}130B x x x =--<，则A B =( )A .{}1x x >B .{}23x x <<C .{}13x x <<D .{}21x x x ><或2.若角θ的终边过点()3,4P -，则()tan θπ+=( ) A .34B .34-C .43 D .43-3.已知函数a y x =，log b y x =的图象如图所示，则( )A .1b a >>B .1b a >>C .1a b >>D .1a b >>4.设函数()y f x =的定义域为R ，则“()00f =”是“函数()f x 为奇函数”的( ) A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件5.已知3cos 4α=，,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则sin 2α的值为( )A .36 B .38- C D .6.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( ) A .1盏 B .3盏 C .5盏 D .9盏 7.某校象棋社团组织中国象棋比赛，采用单循环赛制，即要求每个参赛选手必须且只须和其他选手各比赛一场，胜者得2分，负者得0分，平局两人各得1分.若冠军获得者得分比其他人都多，且获胜场次比其他人都少，则本次比赛的参赛人数至少为( ) A .4 B .5 C .6 D .78.已知定义在R 上的函数()()2,0ln ,0xa x f x x a x ⎧+≤⎪=⎨+>⎪⎩，若方程()12f x =有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是( ) A .1122a -≤≤B .102a ≤<C .01a ≤<D .102a -<≤二、填空题9.已知函数()y f x =的导函数有且仅有两个零点，其图象如图所示，则函数()y f x =在x =___________处取得极值.10.32-，123，2log 5三个数中最大的数是_____________. 11.在ABC △中，13cos 14A =，73a b =，则B =____________. 12.去年某地的月平均气温y (℃)与月份x (月)近似地满足函数sin 6y a b x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭(a 、b为常数，0πϕ<<)，其中三个月份的月平均气温如表所示：则该地2月份的月平均气温约为_______℃，ϕ=__________.13.在等腰梯形ABCD 中，已知AB DC ∥，2AB =，1BC =，60ABC =︒∠，点E 和点F 分别在线段BC 和CD 上，且23BE BC =，16DF DC =，则AE AF ⋅的值为_____________.14.如图，线段8AB =，点C 在线段AB 上，且2AC =，P 为线段CB 上一动点，点A 绕点C 旋转后与点B 绕点P 旋转后重合于点D .设CP x =，CPD △的面积为()f x ，则()f x 的定义域为_________，()'f x 的零点是__________.三、解答题15.已知函数()()cos f x A x ωϕ=+0,0,02A πωϕ⎛⎫>><< ⎪⎝⎭的图象过点10,2⎛⎫⎪⎝⎭，最小正周期为23π，且最小值为1-. (1)求函数()f x 的解析式；(2)若,6x m π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()f x 的值域是1,⎡-⎢⎣⎦，求m 的取值范围.16.数列{}n a 的前n 项和记为n S ，若数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为9，公差为1-的等差数列.(1)求数列{}n a 的通项公式n a ；(2)若n n b a =，且数列{}n b 的前n 项和记为n T ，求415T T +的值.17.已知ABC △的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，()8sin 17A C +=，且角B 为锐角. (1)求cos B 的值；(2)若6a c +=，ABC △的面积为2，求边长b .18.已知函数()1xax f x e-=. (1)当1a =时，求函数()f x 的单调区间；(2)当0a <时，求函数()f x 在区间[]0,1上的最小值.19.已知函数()39f x x x =-，函数()23g x x a =+.(1)若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点处且有公共切线，求a 的值； (2)若存在实数b 使不等式()()f x g x <的解集为(),b -∞，求实数a 的取值范围.20.设满足以下两个条件的有穷数列12,,,n a a a …为()2,3,4,n n =…阶“期待数列”： ①1230n a a a a ++++=…； ②1231n a a a a ++++=…；(1) 分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”；(2) 若某2013阶“期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式； (3) 记n 阶“期待数列”的前k 项和为()1,2,3,,k S k n =…，试证：12k S ≤.。

2019_2020学年10月北京海淀区首都师范大学附属中学高三上学期月考数学试卷

2 ）求函数
在
上的最小值．
3 ）若
，求证：
是函数
在
递增的充分不必要条件．
时单调
20. 已知集合
，其中
，由中的元素构成两个
相应的集合:
，
．其
中
是有序数对，集合和中的元素个数分别为和．若对于任意的
，总有
，则称集合具有性质．
1 ）检验集合
与
是否具有性质并对其中具有性质的集合，写出相应
的集合和；
”的充要条件是“
，
，
”；
②函数
的充要条件是有最大值和最小值；
③若函数，的定义域相同，且
，
，则；④若函数（，）有最大值，则
．
其中的真命题有
．
三、解答题
（本大题共6题，共计80分）
15. 已知函数 1 ）若 2 ）若
，且，求函数
．，求的值．的单调递增区间．
16. 某科研小组研究发现：一棵水蜜桃树的产量（单位：千克）与肥料费用（单位：百元）满足
12. 函数
是
．
在区间
上单调递减，则实数的取值范围
13. 在直角坐标系
中，点；
和点
是单位圆
的最大值为
．
上两点，
，则
14. 以表示值域为的函数组成的集合，表示具有如下性质的函数组成的集合：对于函数
，存在一个正数，使得函数的值域包含于区间
．例如，当
，
时，
，
．现有如下命题：
①设函数的定义域为，则“
2 ）对任何具有性质的集合，证明:
；
3 ）判断和的大小关系，并证明你的结论．

北京市清华大学附属中学2022届高三上学期10月月考数学试题(解析版)

【小问1详解】
，令，
因为，所以，
则在上单调递减，所以，
，所以在上单调递减，
函数在上的最大值为；
【小问2详解】
对于任意的，总有，
等价于对于任意的，总有，
所以对于任意的恒成立，
令，，
①当时，，所以在上单调递减，
所以，所以成立；
②当时，令，解得：，
（i）当，所以在上单调递减，
【答案】
【解析】
【分析】，而是定值，可利用基本不等式变形：进行求解.
【详解】由基本不等式，，当且仅当取到等号，即时，的最大值是 .
故答案为：
12.函数的定义域为____.
【答案】
【解析】
【分析】根据函数有意义得到不等式组，解得即可；
【详解】解：因为，所以，解得且，所以函数的定义域为
所以，所以成立；
（ii）当，所以在上单调递增，
又因为，所以，所以不成立；
（iii）当，令，解得：，
令，解得：，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又因为，所以只需，解得：，
所以；
综上：a的取值范围为．
同理：所以对于任意的恒成立，
令，，
①当时，，所以在上单调递减，
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】(1)根据条件，运用正弦定理即可；
(2)根据条件，运用余弦定理先求出BC，再根据面积求出BD，最后再运用余弦定理求出CD.
【小问1详解】
由条件可得，由正弦定理得 ,
由题意，；
【小问2详解】
在中，由余弦定理得：，

北京市海淀区清华大学附属中学2020届高三上学期10月月考数学试题 Word版含解析

清华附中高三2019年10月月考试卷数学一、选择题1.已知集合，B ＝{|(1)(3)0}x x x --<，则A∩B=（）A. {|1}x x >B. {|23}x x <<C. {|13}x x <<D. {|2x x >或1}x <【答案】B 【解析】试题分析：{|(1)(3)0}{|13}B x x x x x x =--<=<<又{}2A x x =所以{|23}A B x x ⋂=<< 故答案选B考点：集合间的运算．2.若角θ的终边过点()3,4P -，则()tan θπ+=( )A.34B. 34-C.43D. 43-【答案】D 【解析】分析：利用任意角三角函数的定义，诱导公式，求得要求的式子的值详解：Q 角θ的终边过点()34P -，，则()4tan 3y tan x θπθ+===- 故选D点睛：本题主要考查了任意角的三角函数的定义，属于基础题，结合诱导公式运用定义即可求出结果。

3.已知函数,log ab y x y x ==的图像如图所示,则A. 1b a >>B. 1b a >>C. 1a b >>D.1a b >>【答案】A 【解析】由图象，得log b y x =在(0,)+∞上单调递增，即1b >，ay x =在[0,)+∞上单调递增，且增加得越来越慢，即01a <<，则1b a >>.故选A.【点睛】本题考查对数函数、幂函数的图象和性质.解决本题的难点是利用幂函数的图象判定幂指数a 与1的大小，若0a >时，幂函数a y x =在[0,)+∞上单调递增，要与常见函数2y x =、y x =、12y x =的图象对照确定.4.已知函数()f x 的定义域为R ，则“()00f =”是“()f x 是奇函数”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】试题分析：()2f x x =满足()00f =，但不是奇函数，因此充分性不成立；若()f x 是奇函数，又定义域为R ，因此()()()0000f f f =-⇒=，必要性成立，因此选B.考点：充要关系【方法点睛】判断充分条件和必要条件的方法（1）命题判断法：设“若p ，则q”为原命题，那么：①原命题为真，逆命题为假时，p 是q 的充分不必要条件； ②原命题为假，逆命题为真时，p 是q 的必要不充分条件； ③原命题与逆命题都为真时，p 是q 的充要条件；④原命题与逆命题都为假时，p 是q 的既不充分也不必要条件．（2）集合判断法：从集合的观点看，建立命题p ，q 相应的集合：p ：A ＝{x|p(x)成立}，q ：B ＝{x|q(x)成立}，那么：①若A⊆B ，则p 是q 的充分条件；若A ≠⊂B 时，则p 是q 的充分不必要条件； ②若B⊆A ，则p 是q 的必要条件；若B ≠⊂A 时，则p 是q 的必要不充分条件； ③若A⊆B 且B⊆A ，即A ＝B 时，则p 是q 的充要条件．（3）等价转化法：p 是q 的什么条件等价于綈q 是綈p 的什么条件．5.已知3cos ,(,0)42παα=∈-，则sin 2α的值为（）A.38B. 38-C.D. 【答案】D 【解析】试题分析：由题意sin α===，所以sin 22sin cos ααα=32(448=⨯-⨯=-，故选D ．考点：同角间的三角函数关系，二倍角公式．6.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯 A. 1盏 B. 3盏 C. 5盏 D. 9盏【答案】B 【解析】【详解】设塔顶的a 1盏灯，由题意{a n }是公比为2的等比数列，∴S 7=()711212a --=381，解得a 1=3．故选：B ．7.某校象棋社团组织中国象棋比赛,采用单循环赛制,即要求每个参赛选手必须且只须和其他选手各比赛一场,胜者得2分,负者得0分,平局两人各得1分.若冠军获得者得分比其他人都多,且获胜场次比其他人都少,则本次比赛的参赛人数至少为 A. 4 B. 5C. 6D. 7【答案】C 【解析】分析：对于四个选项中给出的参赛人数分别进行分析，看是否满足条件，然后可得结论．详解：对于A ，若参赛人数最少为4人，则当冠军3次平局时，得3分，其他人至少1胜1平局时，最低得3分，所以A 不正确．对于B ，若参赛人数最少为5人，当冠军1负3平局时，得3分，其他人至少1胜1平局，最低得3分，所以B 不正确．对于C ，若若参赛人数最少为6人，当冠军2负3平局时，得3分，其他人至少1胜1平局，最低得3分，此时不成立；当冠军1胜4平局时，得6分，其他人至少2胜1平局，最低得5分，此时成立．综上C 正确．对于D ，由于7大于6，故人数不是最少．所以D 不正确．故选C ．点睛：本题考查推理问题，考查学生的分析问题和应用所学知识解决问题的能力．解题时要根据所给出的条件进行判断、分析，看是否得到不合题意的结果．8.已知定义在R 上的的数()()200xa x f x ln x a x ⎧+≤⎪=⎨+>⎪⎩，，若方程()1=2f x 有两个不相等的实数根）则a 的取值范围是））A. 1122a -≤≤ B. 102a ≤<C. 01a ≤<D.102a -<≤ 【答案】A 【解析】【详解】当12a =-时，011222x x ≤⎧⎪⎨-=⎪⎩或011ln()22x x >⎧⎪⎨-=⎪⎩解得1210,2x e =+，即有两个不相等的实数根，所以去掉B,C,D,选A.二、填空题9.已知函数()y f x =的导函数有且仅有两个零点,其图像如图所示,则函数()y f x =在x =_____处取得极值.【答案】-1 【解析】【分析】利用导函数的图象，通过导函数的零点，以及函数返回判断函数的极值点即可．【详解】由图象，得当1x <-时， ()0f x '<，当1x >-且2x ≠时， ()0f x '>） ()20f '=，即函数()f x 在(),1-∞-上单调递减，在()1,-+∞上单调递增，即函数()f x 在1x =-处取得极小值.【点睛】本题考查函数的导数以及导函数的图象的应用，函数的极值的判断，是基础题．10.32-，123，2log 5三个数中最大数是．【答案】2log 5 【解析】【详解】31218-=<，1231=>，22log 5log 42>>>，所以2log 5最大. 11.在ABC △中,13cos ,7314A a b ==,则B =______________. 【答案】π3或2π3【解析】因为13cos 14A =，所以π06A <<且sin A =又因为73a b =，所以7sin 3sin A B =，即73sin B =，解得sin B =，因为0πB <<，所以π3B =或2π3B =. 12.去年某地的月平均气温()y C ︒与月份x （月）近似地满足函数πsin()6y a b x ϕ=++.）,a b 为常数,π02ϕ<<）.其中三个月份的月平均气温如表所示,则该地2月份的月平均气温约为______________,C ϕ︒=______________.【答案】 (1). 5- (2).π6【解析】由题意，得当51182x +==时，πsin(8)16ϕ⨯+=±，又因为π02ϕ<<，所以π4π11π236ϕ<+<，即4π3π32ϕ+=，π6ϕ=，即ππsin()66y a b x =++，则5ππsin()13668ππsin()3166a b a b ⎧++=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩，即1331a a b =⎧⎨-=⎩，即1315a b =⎧⎨=-⎩，当2x =时，2ππ1318sin()566y =-+=-. 13.在等腰梯形ABCD 中,已知AB DC P ,2,1,60,AB BC ABC ==∠=o 点E 和点F 分别在线段BC 和CD 上,且21,,36BE BC DF DC ==u u u r u u u r u u u r u u u r 则AE AF ⋅u u u r u u u r的值为．【答案】2918【解析】在等腰梯形ABCD 中,由AB DC P ,2,1,60,AB BC ABC ==∠=o得12AD BC ⋅=u u u r u u u r ,1AB AD ⋅=u u u r u u u r,12DC AB =u u u r u u u r ,所以()()AE AF AB BE AD DF ⋅=+⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r22121111129131231218331818AB BC AD AB AB AD BC AD AB BC AB ⎛⎫⎛⎫=+⋅+=⋅+⋅++⋅=++-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u ur u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .考点：平面向量的数量积. 【此处有视频，请去附件查看】14.如图，线段AB =8，点C 在线段AB 上，且AC =2，P 为线段CB 上一动点，点A 绕点C 旋转后与点B 绕点P 旋转后重合于点D ．设CP =x ，V CPD 的面积为()f x ．则()f x的定义域为；()f x 的零点是．【答案】（2，4）（2分），3（3分）【解析】试题分析：由题意知，,,的三边关系如图，三角形的周长是一个定值，故其面积可用海伦公式表示出来即令故答案为；考点：函数的实际应用．三、解答题15.已知函数()cos()(0,0,0)2f x A x A πωϕωϕ=+>><<的图象过点（0，12），最小正周期为23π，且最小值为－1. （1）求函数()f x 解析式.（2）若[,]6x m π∈，()f x 的值域是[1,-，求m 的取值范围. 【答案】（1）()cos(3)3f x x π=+；（2）25[,]918m ππ∈ 【解析】试题分析：（1）根据余弦函数的性质求出最大值A ，再利用周期公式求出参数ω，最后根据三角函数值求出ϕ的值即可.（2）由题意求出33x π+的取值范围，然后再根据余弦函数的性质求解即可.试题解析：（1）由函数的最小值为－1，可得A=1，因为最小正周期为23π，所以ω=3.可得()cos(3)f x x ϕ=+，又因为函数的图象过点（0，12），所以1cos 2ϕ=，而02πϕ<<，所以3πϕ=，故()cos(3)3f x x π=+.（2）由[,]6x m π∈，可知533633x m πππ≤+≤+，因为5()cos 66f ππ==，且cos π=－1，7cos 6π=，由余弦曲线的性质的，7336m πππ≤+≤，得25918m ππ≤≤，即25[,]918m ππ∈. 的考点：（1）余弦函数的性质和图象；（2）余弦函数性质的应用.16.数列{}n a 的前n 项和记为n S ，若数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为9，公差为1-的等差数列. (1)求数列{}n a 的通项公式n a ；(2)若n n b a =，且数列{}n b 的前n 项和记为n T ，求415T T +的值. 【答案】(1)211n a n =-+；(2)149. 【解析】【分析】（1）运用等差数列的通项公式可得n S ，再由数列的递推式，可得所求通项公式；（2）求得|||112|n n b a n ==-，讨论当15n 剟时，6n …时结合等差数列求和公式，可得所求和．【详解】解：（1）Q 数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为9，公差为1-的等差数列，∴9(1)(1)10nS n n n=+-⨯-=-，即210n S n n =-+，① 2n ∴…时，21(1)10(1)n S n n -=--+-，②①-②可得1211n n n a S S n -=-=-+，又当1n =时，119a S ==，满足上式， 211n a n ∴=-+；（2）由题意，|||112|n n b a n ==-，的∴当15n 剟时，212(9112)102n n n nT a a a n n +-=++⋯+==-+；6n …时，2(5)(1211)2510502n n n T n n -+-=+=-+．41524125149T T ∴+=+=．【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查分类讨论思想和转化思想，考查运算能力，属于基础题．17.已知ABC △的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，()8sin 17A C +=，且角B 为锐角. (1)求cos B 的值；(2)若6a c +=，ABC △的面积为2，求边长b .【答案】(1)1517；(2)2. 【解析】【分析】（1）由三角函数的诱导公式进行转化，结合同角三角函数的基本关系式进行转化求解即可．（2）结合三角形的面积公式求出ac 的值，利用余弦定理进行转化求解即可．【详解】解：（1）8sin()17A C +=Q ， ()()8sin sin sin 17B AC A C π∴=-+=+=⎡⎤⎣⎦， Q 角B 为锐角，cos 0B ∴>，即15cos17B=．（2）ABC∆Q的面积为2，118sin22217S ac B ac∴==⨯=，则172ac=，6a c+=Q，2222cosb ac ac B∴=+-215171715()2236223617154172217a c ac ac=+--=-⨯-⨯⨯=--=g，则2b=．【点睛】本题主要考查解三角形的应用，结合同角关系式，三角形的面积公式以及余弦定理是解决本题的关键．18.已知函数1()xaxf xe-=.）））当1a=时,求函数()f x的单调区间;）））当0a<时,求函数()f x在区间[0,1]上的最小值.【答案】）））(,2)-∞递增,在(2,)+∞递减））））10a-≤<时,min()1,1f x a=-<-时,min11()aaf xe+=.【解析】试题分析：（））代值，求导，利用导函数的符号变化确定函数的单调性即可；（Ⅱ）求导，通过讨论a 的范围研究导函数的符号和函数的单调性，进而确定函数的最值.试题解析：（⊆）当1a =时,()()12,,,x xx x f x x R f x e e'--+=∈∴= 令()0,f x '>解得:2,x < 令()0,f x '<解得:2,x >()f x ∴在(),2-∞递增,在()2,+∞递减;（⊆）由()1xax f x e-=得: ()[]1,0,1xax a f x x e-+-∈'=, 令()0,0,f x a ='<Q 解得111,x a=+< ①110a+≤时,即10a -≤<时,()0f x '≥对[]0,1x ∈恒成立, ()f x ∴[]0,1递增,()()min 01f x f ==-;②当1011a<+<时,即1a <-时,()(),,x f x f x '在[]0,1上的情况如下:()1min 111;aa f x f a e +⎛⎫∴=+= ⎪⎝⎭综上,10a -≤<时,()min1,1f x a =-<-时,()1min 1aa f x e+=.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性与最值.解决本题的难点是第二步，利用分类讨论求函数的最值，分类讨论思想的高中数学重要数学思想之一，学生对“分类讨论的标准、为什么讨论”搞不清，如本题中要讨论导函数的零点和所给区间的关系.19.已知函数()39f x x x =-，函数()23g x x a =+.(1)若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点处有公共切线，求a 的值； (2)若存在实数b 使不等式()()f x g x <的解集为(),b -∞，求实数a 的取值范围. 【答案】(1) 5或﹣27；(2)(](),275,-∞-+∞U .【解析】【分析】（1）设出切点坐标，利用切点处导函数值等于切线斜率且切点为两个函数交点，列出方程组，解出切点坐标和a 的值．（2）构造函数()h x ，把不等式()()f x g x <转化为()y h x =的图象在直线y a =的下方的部分对应点的横坐标(,)x b ∈-∞，利用导数分析出函数()h x 的单调区间和极值，画出函数图象，数形结合得到符合题意的a 的取值范围．【详解】解：（1）2()39f x x '=-，()6g x x '=，设()f x 与()g x 的交点坐标为0(x ，0)y ，则3200020093396x x x a x x ⎧-=+⎨-=⎩，解得：015x a =-⎧⎨=⎩或0327x a =⎧⎨=-⎩，a ∴的值为5或27-；（2）令32()39h x x x x =--，则()y h x =的图象在直线y a =的下方的部分对应点的横坐标(,)x b ∈-∞，2()3693(1)(3)h x x x x x '=--=+-Q ，∴令()0h x '=，得：1x =-或3，列表：()h x ∴的极大值为(1)5h -=，极小值为h （3）27=-，又Q 当x →+∞时，()h x →+∞，当x →-∞时，()h x →-∞，如图所示：∴当5a >或27a -…时，满足题意，∴实数a 的取值范围为： (](),275,-∞-+∞U ．【点睛】本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数画出函数的大致图象，做题时注意数形结合，是中档题．20.设满足以下两个条件的有穷数列12,,,n a a a …为()2,3,4,n n =…阶“期待数列”：①1230n a a a a ++++=…；②1231n a a a a ++++=….(1)分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”；(2)若某2013阶“期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式；(3)记n 阶“期待数列”的前k 项和为()1,2,3,,k S k n =…，试证：12k S ≤. 【答案】（1）数列12-，0，12为三阶期待数列，数列38-，18-，18，38为四阶期待数列；(2)()1007,201310061007n n a n N n *-+=∈≤⨯；(3)证明见解析.【解析】【分析】（1）数列12-，0，12为三阶期待数列，数列38-，18-，18，38为四阶期待数列．（2）设该2013阶“期待数列”的公差为d ，由于1220130a a a ++⋯+=，可得10070a =，1008a d =，对d 分类讨论，利用等差数列的通项公式即可得出．（3）当k n =时，显然1||02n S =…成立；当k n <时，根据条件①得：1212()k k k k n S a a a a a a ++=++⋯+=-++⋯+，即1212||||||k k k k n S a a a a a a ++=++⋯+=++⋯+，再利用绝对值不等式的性质即可得出．【详解】解：（1）数列12-，0，12为三阶期待数列，数列38-，18-，18，38为四阶期待数列．（2）设该2013阶“期待数列”的公差为d ，1220130a a a ++⋯+=Q ，∴120132013()02a a +=，120130a a ∴+=，即10070a =，1008a d ∴=，当0d =时，与期待数列的条件①②矛盾，当0d >时，据期待数列的条件①②可得10081009201312a a a ++⋯+=， 100610051100622d d ⨯∴+=，即110061007d =⨯， *10071007(1007)(10061007n n a a n d n N -∴=+-=∈⨯，2013)n …，当0d <时，同理可得100710061007n n a -+=⨯，*(n N ∈，2013)n …．（3）当k n =时，显然1||02n S =…成立；当k n <时，根据条件①得：1212()k k k k n S a a a a a a ++=++⋯+=-++⋯+，即1212||||||k k k k n S a a a a a a ++=++⋯+=++⋯+，12121212||||||||||||||||1k k k k n k k n S a a a a a a a a a a a +++∴=++⋯++++⋯+++⋯+++⋯+=…，1||(12k S k ∴=…，2，⋯，)n ．【点睛】本题考查了等差数列的通项公式及其性质、绝对值不等式的性质、新定义“期待数列”，推理能力与计算能力，属于中档题．。

2024-2025学年北京市海淀区清华大学附属中学高三上学期第一次月考数学试题(含答案)

2024-2025学年清华大学附属中学高三上学期第一次月考数学试题一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A={x∣1<3x≤9},B={x∈Z∣x≥1}，则A∩B=( )A. (1,2]B. {1,2}C. [1,2]D. {1}2.已知复数z=1+2i2−i，则z的共轭复数z=( )A. −12B. 2+iC. −iD. i3.已知a<b，则( )A. a2<b2B. e−a<e−bC. ln(|a|+1)<ln(|b|+1)D. a|a|<b|b|4.已知f(x)=sinωx(ω>0)，f(x1)=−1，f(x2)=1，|x1−x2|min=π4，则ω=( )A. 1B. 2C. 3D. 45.如图，在▵ABC中，点D，E满足BC=2BD，CA=3CE.若DE=x AB+y AC(x,y∈R)，则x+y=( )A. −12B. −13C. 12D. 136.若α是第二象限角，且tan(π−α)=12，则cos(π2+α)=( )A. 32B. −32C. 55D. −557.已知数列{a n}为无穷项等比数列，S n为其前n项和，a1>0，则“{S n}存在最小项”是“S2≥0”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件8.若过点(a,b)可以作曲线y=e x的两条切线，则( )A. e b<aB. e a<bC. 0<a<e bD. 0<b<e a9.血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度，药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间．已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示：根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物的说法中，不正确的是A. 首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥治疗作用B. 每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒C. 每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用D. 首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，不会发生药物中毒10.数列{a n}满足a4n−3=−1，a4n−1=1，a2n=a n，该数列的前n项和为S n，则下列论断中错误的是( )A. a31=1B. a2024=−1C. ∃非零常数T，∀n∈N∗，使得a n+T=a nD. ∀n∈N∗，都有S2n=−2二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。

2019-2020学年北京市人大附中高三(上)10月质检数学试卷

2019-2020学年北京市人大附中高三（上）10月质检数学试卷试题数：20.满分：1501.（单选题.5分）已知全集U=R.集合A= {x|x+2x≤0} .则集合∁U A 等于（）A.{x|x ＜-2或x ＞0}B.{x|x≤-2或x ＞0}C.{x|x ＜-2或x≥0}D.{x|x≤-2或x≥0}2.（单选题.5分）已知角α的终边与单位圆交于点（- √32.- 12）.则sinα的值为（） A.- √32 B.- 12 C. √32 D. 123.（单选题.5分）下列函数中是奇函数.且在区间（0.+∞）上是增函数的是（） A.y= 1x B.y=2x C.y=x+ 1x D.y=x −1x4.（单选题.5分）为了得到函数y=cos （ 12 x+ π3 ）的图象.只要把y=cos 12x 的图象上所有的点（）A.向左平移 π3个单位长度 B.向右平移 π3 个单位长度 C.向左平移 2π3 个单位长度 D.向右平移 2π3 个单位长度5.（单选题.5分）lgx ＞lgy”是“ √x ＞ √y ”的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.（单选题.5分）如果实数集R的子集X满足任意开区间（a.b）（其中a＜b）中都含有X中的元素.则称X在R中稠密.若“R的子集X在R中不稠密”则（）A.任意开区间都不含有X中的点B.存在开区间不含有X中的点C.任意开区间都含有X的补集中的点D.存在开区闻含有X的补集中的点7.（单选题.5分）函数f（x）=xsin2x+cosx的大致图象有可能是（）A.B.C.D.8.（单选题.5分）已知f（x）=|log2x|.关于x的方程f（x）=m（m＞0）的根为x1.x2（x1＜x2）.关于x的方程f（x）= 4m+1（m ≠4m+1）的为x3.x4（x3＜x4）.当m变化时. |x4−x2x3−x1|的最小值为（）A.16 √2B.8C.8 √2D.169.（填空题.5分）已知向量a⃗ =（2.3）. b⃗⃗ =（t.2）.若a⃗与b⃗⃗共线.则实数t=___ ．10.（填空题.5分）函数f（x）= √4−x2lnx的定义域为___ ．11.（填空题.5分）函数y=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π2）的部分图象如图所示.则f（x）=___ ．12.（填空题.5分）如图所示.某游乐园内摩天轮的中心O点距地面的高度为50m.摩天轮做匀速运动．摩天轮上的一点P自最低点A点起.经过tmin后.点P的高度ℎ=40sin(π6t−π2)+50（单位：m）.那么在摩天轮转动一圈的过程中.点P的高度在距地面70m以上的时间将持续 ___ min．13.（填空题.5分）如图.在△ABC 中.BO 为边AC 上的中线. BG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2 GO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .设 CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ || AG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .若 AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 15 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +λ AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ （λ∈R ）.则λ的值为___ ．14.（填空题.5分）已知集合M 是满足下列性质的函数f （x ）的全体：存在非零常数T.对任掌x∈R ．有f （x+T ）=Tf （x ）成立．（1）给出下列两个函数：f 1（x ）=x.f 2（x ）=a x （0＜a ＜1）其中属于集合M 的函数是___ ．（2）若函数f （x ）=sinkx∈M .则实数k 的取值集合为___ ．15.（问答题.13分）已知函数f （x ）=2 √3 sinxcosx+cos 2x-sin 2x+a （x∈R ）的最大值为5．（Ⅰ）求a 的值和f （x ）的最小正周期；（Ⅱ）求f （x ）的单调增区间．16.（问答题.13分）如图.在平面四边形ABCD 中.DA⊥AB .DE=1.EC= √7 .EA=2.∠ADC=2π3 .∠BEC= π3．（Ⅰ）求sin∠CED 的值；（Ⅱ）求BE 的长．17.（问答题.13分）在一张足够大的纸板上截取一个面积为3600平方厘米的矩形纸板ABCD.然后在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形.再把它的边沿虚线折起.做成一个无盖的长方体纸盒（如图）．设小正方形边长为x 厘米.矩形纸板的两边AB.BC 的长分别为a 厘米和b 厘米.其中a≥b ．（1）当a=90时.求纸盒侧面积的最大值；（2）试确定a.b.x的值.使得纸盒的体积最大.并求出最大值．x3-a2x-1（a∈R）．18.（问答题.13分）已知函数f（x）= 43（Ⅰ）曲线f（x）在点（1.f（1））处的切线l与直线2x-y+1=0平行.求l的方程；（Ⅱ）若函数f（x）的图象与直线y=2只有一个公共点.求实数a的取值范围．19.（问答题.14分）设函数f（x）=x•lnx+ax.a∈R．（Ⅰ）当a=1时.求曲线y=f（x）在点（1.f（1））处的切线方程；，e]上的最小值；（Ⅱ）求函数y=f（x）在[1eax2−(2a+1)x .求证：a≥0是函数y=g（x）在x∈（1.2）时单调（Ⅲ）若g(x)=f(x)+12递增的充分不必要条件．20.（问答题.14分）如图.设A是由n×n（n≥2）个实数组成的n行n列的数表.其中a ij （i.j=1.2.….n）表示位于第i行第j列的实数.且a ij∈{1.-1}．a11a12 (1)a21a22 (2)⋮⋮…⋮a n1a n2…a nnst s1t1s2t2sn tn都有p st=0.则称数表A为完美数表．（Ⅰ）当n=2时.试写出一个符合条件的完美数表；（Ⅱ）证明：不存在10行10列的完美数表；（Ⅲ）设A为n行n列的完美数表.且对于任意的i=1.2.….l和j=1.2.….k.都有a ij=1.证明：kl≤n．2019-2020学年北京市人大附中高三（上）10月质检数学试卷参考答案与试题解析试题数：20.满分：1501.（单选题.5分）已知全集U=R.集合A= {x|x+2x ≤0} .则集合∁U A 等于（） A.{x|x ＜-2或x ＞0} B.{x|x≤-2或x ＞0} C.{x|x ＜-2或x≥0} D.{x|x≤-2或x≥0} 【正确答案】：C【解析】：求出A 中不等式的解集确定出A.根据全集U=R 求出A 的补集即可．【解答】：解：由A 中的不等式变形得： {x +2≥0x ＜0 或 {x +2≤0x ＞0 .解得：-2≤x ＜0. 即A={x|-2≤x ＜0}. ∵全集U=R.∴∁U A={x|x ＜-2或x≥0}．故选：C ．【点评】：此题考查了补集及其运算.熟练掌握补集的定义是解本题的关键．2.（单选题.5分）已知角α的终边与单位圆交于点（- √32 .- 12 ）.则sinα的值为（） A.- √32 B.- 12 C. √32 D. 12【正确答案】：B【解析】：由任意角的三角函数定义.可得结论．【解答】：解：∵角α的终边与单位圆交于点（- √32 .- 12）. ∴由任意角的三角函数定义易知：sinα=y=- 12 . 故选：B ．【点评】：本题考查任意角的三角函数定义.考查学生的计算能力.属于基础题． 3.（单选题.5分）下列函数中是奇函数.且在区间（0.+∞）上是增函数的是（） A.y= 1x B.y=2x C.y=x+ 1x D.y=x −1x 【正确答案】：D【解析】：根据题意.依次分析选项中函数的奇偶性与单调性.综合即可得答案．【解答】：解：根据题意.依次分析选项：对于A.y= 1x .为反比例函数.是奇函数.但在区间（0.+∞）上是减函数.不符合题意；对于B.y=2x .是指数函数.不是奇函数.不符合题意；对于C.y=x+ 1x .是奇函数.但在区间（0.1）上是减函数.不符合题意；对于D.y=x- 1x .是奇函数.且在区间（0.+∞）上是增函数.符合题意；故选：D ．【点评】：本题考查函数的奇偶性与单调性的判断.关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性.属于基础题．4.（单选题.5分）为了得到函数y=cos （ 12 x+ π3 ）的图象.只要把y=cos 12x 的图象上所有的点（）A.向左平移 π3 个单位长度 B.向右平移 π3 个单位长度 C.向左平移 2π3 个单位长度 D.向右平移 2π3 个单位长度【正确答案】：C【解析】：利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律.得出结论．【解答】：解：由于cos（12 x+ π3）=cos 12（x+ 2π3）.故把y=cos 12x的图象上所有的点向左平移2π3个单位长度.可得函数y=cos 12（x+ 2π3）=cos（12 x+ π3）的图象.故选：C．【点评】：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律.属于基础题．5.（单选题.5分）lgx＞lgy”是“ √x＞√y”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】：A【解析】：通过解lgx＞lg y不等式化简命题；通过解二次根式不等式化简命题；先判断出谁是谁成立的什么条件．【解答】：解：∵lgx＞lg y.∴x＞y．∴ √x＞√y∴lgx＞lg y”是“ √x＞√y”的充分条件．反之不成立．故选：A．【点评】：判断一个命题是另一个命题的条件问题.应先化简各个命题、当两个命题都是数集时.可将问题转化为集合的包含关系问题．6.（单选题.5分）如果实数集R的子集X满足任意开区间（a.b）（其中a＜b）中都含有X中的元素.则称X在R中稠密.若“R的子集X在R中不稠密”则（）A.任意开区间都不含有X中的点B.存在开区间不含有X中的点C.任意开区间都含有X的补集中的点D.存在开区闻含有X的补集中的点【正确答案】：B【解析】：根据集合X在R中稠密的定义即可得出R的子集X在R中不稠密的定义．【解答】：解：∵实数集R的子集X满足任意开区间（a.b）（其中a＜b）中都含有X中的元素.则称X在R中稠密.∴R的子集X在R中不稠密.则存在开区间不含有X中的点．故选：B．【点评】：本题考查了集合X在R中稠密的定义和不稠密的定义.考查了推理能力.属于基础题．7.（单选题.5分）函数f（x）=xsin2x+cosx的大致图象有可能是（）A.B.C.D.【正确答案】：A【解析】：判断函数的奇偶性.判断函数零点个数进行判断即可．【解答】：解：f（-x）=-xsin（-2x）+cos（-x）=xsin2x+cosx=f（x）.则函数f（x）是偶函数.排除D.由f（x）=x2sinxcosx+cosx=0.得cosx（2xsinx+1）=0.得cosx=0.此时x= π2或3π2.由2xsinx+1=0得sinx=- 12x.作出函数y=sinx和y=- 12x.在（0.2π）内的图象.由图象知两个函数此时有两个不同的交点. 综上f（x）在（0.2π）有四个零点.排除B.C.故选：A．【点评】：本题主要考查函数图象的识别和判断.利用函数奇偶性以及函数零点个数进行排除是解决本题的关键．8.（单选题.5分）已知f（x）=|log2x|.关于x的方程f（x）=m（m＞0）的根为x1.x2（x1＜x2）.关于x的方程f（x）= 4m+1（m ≠4m+1）的为x3.x4（x3＜x4）.当m变化时. |x4−x2x3−x1|的最小值为（）A.16 √2B.8C.8 √2D.16【正确答案】：B【解析】：由题意画出函数f（x）的图象.分别求出为x1.x2.x3.x4.进而求出比值.由均值不等式求出最小值．【解答】：解：画出函数f（x）的图象.如图所示关于x的方程f（x）=m（m＞0）的根为x1.x2可得.x1=2-m.x2=2m.同理x的方程f（x）= 4m+1（m ≠4m+1）的为x3.x4.可得x3=2 −4m+1 .x4=2 4m+1 .所以|x4−x2x3−x1| =|24m+1−2m||2−4m+1−2−m|=2m•2 4m+1•|24m+1−2m||2m−24m+1|=2 m+4m+1 =2 m+1+4m+1−1．因为m＞0.m+1＞1.所以m+1+ 4m+1 -1≥2 √(m+1)•4m+1-1=3.所以2 m+1+4m+1−1≥23=8.所以所以|x4−x2x3−x1|的最小值为8.故选：B．【点评】：考查函数与方程的关系及均值不等式的应用.属于中档题．9.（填空题.5分）已知向量a⃗ =（2.3）. b⃗⃗ =（t.2）.若a⃗与b⃗⃗共线.则实数t=___ ．【正确答案】：[1] 43【解析】：根据平面向量共线定理列方程求出t的值．【解答】：解：向量a⃗ =（2.3）. b⃗⃗ =（t.2）.若a⃗与b⃗⃗共线.则3t-2×2=0.解得t= 43．故答案为： 43 ．【点评】：本题考查了平面向量的共线定理应用问题.是基础题． 10.（填空题.5分）函数f （x ）=√4−x 2lnx的定义域为___ ．【正确答案】：[1]{x|0＜x≤2且x≠1}【解析】：由根式内部的代数式大于等于0.对数式的真数大于0.且分式的分母不等于0联立不等式组得答案．【解答】：解：由 {4−x 2≥0x ＞0x ≠1 .得0＜x≤2且x≠1．∴函数f （x ）=√4−x 2lnx的定义域为{x|0＜x≤2且x≠1}．故答案为：{x|0＜x≤2且x≠1}．【点评】：本题考查了函数的定义域及其求法.考查了不等式组的解法.是基础题．11.（填空题.5分）函数y=Asin （ωx+φ）（ ω＞0，|φ|＜π2 ）的部分图象如图所示.则f （x ）=___ ．【正确答案】：[1]2sin （2x- π6 ）【解析】：由函数的图象的顶点坐标求出A.由周期求出ω.由五点法作图求出φ的值.可得函数的解析式．【解答】：解：根据函数y=Asin （ωx+φ）的部分图象.可得A=2. 可得： T 2= 12• 2πω= π3+ π6. ∴ω=2．再根据五点法作图可得2× π3 +φ= π2 .∴φ=- π6 .∴f （x ）=2sin （2x- π6）. 故答案为：2sin （2x- π6 ）．【点评】：本题主要考查由函数y=Asin （ωx+φ）的部分图象求解析式.由函数的图象的顶点坐标求出A.由周期求出ω.由五点法作图求出φ的值.属于基础题．12.（填空题.5分）如图所示.某游乐园内摩天轮的中心O 点距地面的高度为50m.摩天轮做匀速运动．摩天轮上的一点P 自最低点A 点起.经过tmin 后.点P 的高度 ℎ=40sin (π6t −π2)+50 （单位：m ）.那么在摩天轮转动一圈的过程中.点P 的高度在距地面70m 以上的时间将持续 ___ min ．【正确答案】：[1]4【解析】：令函数值大于70解不等式即可得出P 点距离地面超过70m 的时间．【解答】：解：令 40sin (π6t −π2)+50 ＞70.得 sin (π6t −π2)＞12 . 即有 π6＜π6t −π2＜5π6.解得4＜t ＜8.在转动一圈的过程中.从四分钟开始高度大于70.八分钟开始高度小于70.故高度大于70的时间一周中有4分钟．答：一周中有4分钟的时间高度超过70m ．故答案为：4．【点评】：本题考查已知三角函数模型的应用问题.解答本题的关键是利用函数的模型.由三角形中的相关知识进行运算.考查计算能力．13.（填空题.5分）如图.在△ABC 中.BO 为边AC 上的中线. BG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2 GO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .设 CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ || AG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .若 AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 15AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +λ AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ （λ∈R ）.则λ的值为___ ．【正确答案】：[1] 65【解析】：先求出 AG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 13 （ AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）.利用 CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ || AG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .因此设 CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =k AG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = k3 （ AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）.可得 AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = k 3 • AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +（ k 3 +1）• AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .结合 AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 15AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +λ AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ （λ∈R ）.即可得出结论．【解答】：解：由已知得G 是三角形的重心.因此 AG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 13 （ AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）. 由于 CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ || AG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .因此设 CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =k AG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = k3 （ AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ）. 那么可得 AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = k3 • AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +（ k 3+1）• AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . ∵ AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 15 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +λ AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ （λ∈R ）. ∴k= 35 .∴λ=1+ 15 = 65 ．故答案为： 65 ．【点评】：本题考查向量在几何中的应用.考查平面向量基本定理.属于中档题．14.（填空题.5分）已知集合M 是满足下列性质的函数f （x ）的全体：存在非零常数T.对任掌x∈R ．有f （x+T ）=Tf （x ）成立．（1）给出下列两个函数：f 1（x ）=x.f 2（x ）=a x （0＜a ＜1）其中属于集合M 的函数是___ ．（2）若函数f （x ）=sinkx∈M .则实数k 的取值集合为___ ．【正确答案】：[1]f 2（x ）=a x （0＜a ＜1）; [2]{k|k=nπ.n∈Z}【解析】：（1）若函数f 1（x ）=x 属于集合M.则x+T=Tx 成立．令x=0.则T=0.与题矛盾．故f 1（x ）=x∉M ．若f 2（x ）=a x （0＜a ＜1）属于集合M.则存在非零常数T.对任意x∈R .有a x+t =ta x 成立.当t=log a t 时.对任意x∈R .有a x+t =ta x 成立.从而f 2（x ）=a x （0＜a ＜1）属于集合M ．（2）当k=0时.f （x ）=0.f （x ）=0∈M ．当k≠0时.由f （x ）=sinkx∈M .得sin （kx+kT ）=Tsinkx ．从而要使sin （kx+kT ）=Tsinkx ．成立.只有T=±1.由此能求出实数k 的取值范围．【解答】：解：（1）若函数f 1（x ）=x 属于集合M. 则存在非零常数T.对任意x∈R .有f （x+T ）=Tf （x ）成立. 即：x+T=Tx 成立．令x=0.则T=0.与题矛盾．故f 1（x ）=x∉M ．若f 2（x ）=a x （0＜a ＜1）属于集合M.则存在非零常数T.对任意x∈R.有f（x+T）=Tf（x）成立.即存在非零常数T.对任意x∈R.有a x+t=ta x成立.当t=log a t时.对任意x∈R.有a x+t=ta x成立.∴f2（x）=a x（0＜a＜1）属于集合M．故答案为：f2（x）=a x（0＜a＜1）．（2）当k=0时.f（x）=0.f（x）=0∈M．当k≠0时.因为f（x）=sinkx∈M.∴存在非零常数T.对任意x∈R.有f（x+T）=T f（x）成立.即sin（kx+kT）=Tsinkx．∵k≠0.且x∈R.∴kx∈R.kx+kT∈R.于是sinkx∈[-1.1].sin（kx+kT）∈[-1.1].故要使sin（kx+kT）=Tsinkx．成立.只有T=±1.① 当T=1时.sin（kx+k）=sinkx 成立.则k=2mπ.m∈Z．② 当T=-1时.sin（kx-k）=-sinkx 成立.即sin（kx-k+π）=sinkx 成立.则-k+π=2mπ.m∈Z.即k=-（2m-1）π.m∈Z.综合得.实数k的取值范围是{k|k=nπ.n∈Z}．故答案为：{k|k=nπ.n∈Z}．【点评】：本题考查属于集合M的函数的判断.考查实数的取值范围的求法.考查元素与集合的关系、三角函数的性质等基础知识.考查运算求解能力.是中档题．15.（问答题.13分）已知函数f（x）=2 √3 sinxcosx+cos2x-sin2x+a（x∈R）的最大值为5．（Ⅰ）求a的值和f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）的单调增区间．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）利用倍角公式以及辅助角公式进行化简求解即可．（Ⅱ）结合函数的单调性进行求解即可．【解答】：解：（Ⅰ）f（x）=2 √3 sinxcosx+cos2x-sin2x+a= √3 sin2x+cos2x+a=2sin（2x+ π6）+a.∵f（x）的最大值为5.∴2+a=5.得a=3．f（x）的最小正确为T= 2π2=π．（Ⅱ）由2kπ- π2≤2x+ π6≤2kπ+ π2.k∈Z得kπ- π3≤x≤kπ+ π6.k∈Z即函数f（x）的单调递增区间为[kπ- π3 .kπ+ π6].k∈Z【点评】：本题主要考查三角函数的图象和性质.利用倍角公式和辅助角公式进行化简是解决本题的关键．难度不大．16.（问答题.13分）如图.在平面四边形ABCD中.DA⊥AB.DE=1.EC= √7 .EA=2.∠ADC=2π3 .∠BEC= π3．（Ⅰ）求sin∠CED的值；（Ⅱ）求BE的长．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）根据三角形边角之间的关系.结合正弦定理和余弦定理即可得到结论．（Ⅱ）利用两角和的余弦公式.结合正弦定理即可得到结论．【解答】：解：（Ⅰ）设α=∠CED.在△CDE中.由余弦定理得EC2=CD2+ED2-2CD•DEcos∠CDE.即7=CD2+1+CD.则CD2+CD-6=0.解得CD=2或CD=-3.（舍去）.在△CDE中.由正弦定理得ECsin∠EDC =CDsinα.则sinα=CD•sin2π3EC=2×√32√7=√217. 即sin∠CED=√217．（Ⅱ）由题设知0＜α＜ π3 .由（Ⅰ）知cosα= √1−sin 2α=√1−2149=2√77. 而∠AEB=2π3−α .∴cos∠AEB=cos （ 2π3−α ）=cos 2π3 cosα+sin 2π3 sinα= −12×2√77+√32×√217=√714. 在Rt△EAB 中.cos∠AEB= EABE =2BE . 故BE= 2cos∠AEB =2√714=4√7 ．【点评】：本题主要考查解三角形的应用.根据正弦定理和余弦定理是解决本题本题的关键.难度不大．17.（问答题.13分）在一张足够大的纸板上截取一个面积为3600平方厘米的矩形纸板ABCD.然后在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形.再把它的边沿虚线折起.做成一个无盖的长方体纸盒（如图）．设小正方形边长为x 厘米.矩形纸板的两边AB.BC 的长分别为a 厘米和b 厘米.其中a≥b ．（1）当a=90时.求纸盒侧面积的最大值；（2）试确定a.b.x 的值.使得纸盒的体积最大.并求出最大值．【正确答案】：【解析】：（1）当a=90时.b=40.求出侧面积.利用配方法求纸盒侧面积的最大值；（2）表示出体积.利用基本不等式.导数知识.即可确定a.b.x 的值.使得纸盒的体积最大.并求出最大值．【解答】：解：（1）因为矩形纸板ABCD的面积为3600.故当a=90时.b=40.从而包装盒子的侧面积S=2×x（90-2x）+2×x（40-2x）=-8x2+260x.x∈（0.20）．…（3分）因为S=-8x2+260x=-8（x-16.25）2+2112.5.故当x=16.25时.侧面积最大.最大值为2112.5平方厘米．）.b≤60．…（8（2）包装盒子的体积V=（a-2x）（b-2x）x=x[ab-2（a+b）x+4x2].x∈（0. b2分）V=x[ab-2（a+b）x+4x2]≤x（ab-4 √ab x+4x2）=x（3600-240x+4x2）=4x3-240x2+3600x．…（10分）当且仅当a=b=60时等号成立．设f（x）=4x3-240x2+3600x.x∈（0.30）．则f′（x）=12（x-10）（x-30）．于是当0＜x＜10时.f′（x）＞0.所以f（x）在（0.10）上单调递增；当10＜x＜30时.f′（x）＜0.所以f（x）在（10.30）上单调递减．因此当x=10时.f（x）有最大值f（10）=16000.…（12分）此时a=b=60.x=10．答：当a=b=60.x=10时纸盒的体积最大.最大值为16000立方厘米．…（14分）【点评】：本题考查导数知识的综合运用.考查基本不等式.考查利用数学知识解决实际问题的能力.属于中档题．x3-a2x-1（a∈R）．18.（问答题.13分）已知函数f（x）= 43（Ⅰ）曲线f（x）在点（1.f（1））处的切线l与直线2x-y+1=0平行.求l的方程；（Ⅱ）若函数f（x）的图象与直线y=2只有一个公共点.求实数a的取值范围．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）求导.由导数的几何意义及平行直线的关系可求得a.进而求得切点.利用点斜式求得切线方程；（Ⅱ）求导.分类讨论.只需函数f（x）的极大值大于2即可．【解答】：解：（Ⅰ）f′（x）=4x2-a2.则f′（1）=4-a2. 依题意.4-a2=2.解得a=√2或a=−√2 .∴ f(x)=43x3−2x−1 .则f(1)=−53.∴切线l的方程为y+53=2(x−1) .即6x-3y-11=0；（Ⅱ）由（Ⅰ）知f′（x）=4x2-a2.令f′（x）=0.解得x=±a2.当a=0时.f′（x）≥0恒成立.函数f(x)=43x3−1在R上递增.显然与直线y=2只有一个公共点.满足题意；当a＞0时.令f′（x）＞0.解得x＜−a2或x＞a2；令f′（x）＜0.解得−a2＜x＜a2；故此时函数f（x）在(−∞，−a2)，(a2，+∞)上递增.在(−a2，a2)上递减.要使函数f（x）的图象与直线y=2只有一个公共点.则只需f(−a2)＜2 .即43×(−a38)−a2×(−a2)−1＜2 .解得a＜323 .故此时0＜a＜323；当a＜0时.令f′（x）＞0.解得x＜a2或x＞−a2；令f′（x）＜0.解得a2＜x＜−a2.故此时函数f（x）在(−∞，a2)，(−a2，+∞)上递增.在(a2，−a2)上递减.要使函数f（x）的图象与直线y=2只有一个公共点.则只需g(a2)＜2 .即43×a38−a2×a2−1＜2 .解得a＞−323 .故此时−323＜a＜0 .综上.实数a的取值范围为(−323，323)．【点评】：本题考查导数的几何意义.及利用导数研究函数的单调性.极值.考查数形结合思想及分类讨论思想.属于中档题．19.（问答题.14分）设函数f（x）=x•lnx+ax.a∈R．（Ⅰ）当a=1时.求曲线y=f（x）在点（1.f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求函数y=f（x）在[1e，e]上的最小值；（Ⅲ）若g(x)=f(x)+12ax2−(2a+1)x .求证：a≥0是函数y=g（x）在x∈（1.2）时单调递增的充分不必要条件．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）求出函数的导数.计算f（1）.f′（1）.求出切线方程即可；（Ⅱ）求出f（x）的最小值.通过讨论a的范围.得到函数f（x）的单调性.从而确定f（x）在闭区间的最小值即可；（Ⅲ）求出g（x）的导数.通过讨论a的范围分别证明充分性和必要性即可．【解答】：解：（Ⅰ）由f（x）=xlnx+ax得：f′（x）=lnx+a+1．当a=1时.f′（x）=lnx+2.f（1）=1.f′（1）=2.求得切线方程为y=2x-1…（4分）（Ⅱ）令f′（x）=0.得x=e-（a+1）.∴当e-（a+1）≤ 1e .即a≥0时.x∈[ 1e.e]时f′（x）≥0恒成立.f（x）单调递增.此时f（x）min=f（1e ）= a−1e．当e-（a+1）≥e.即a≤-2时.x∈[ 1e.e]时.f′（x）≤0恒成立.f（x）单调递减. 此时f（x）min=f（e）=ae+e.当1e ＜e-（a+1）＜e.即-2＜a＜0时.x∈[ 1e.e-（a+1））时.f′（x）＜0.f（x）单减；x∈（e-（a+1）.e）时.f′（x）＞0.f（x）单增.此时f（x）min=f（e-（a+1））=-e-（a+1）. …（9分）（Ⅲ）g′（x）=f′（x）+ax-（2a+1）=lnx+a（x-1）.∴当a≥0时.x∈（1.2）时lnx＞0.a（x-1）≥0.g′（x）＞0恒成立.函数y=g（x）在x∈（1.2）时单调递增.充分条件成立；又当a=- 12时.代入g′（x）=lnx- 12x+ 12.设h（x）=g′（x）=lnx- 12 x+ 12.x∈（1.2）.则h′（x）= 2−x2x＞0恒成立∴当x∈（1.2）时.h（x）单调递增．又h（1）=0.∴当x∈（1.2）时.h（x）＞0恒成立．而h（x）=g′（x）.∴当x∈（1.2）时.g′（x）＞0恒成立.函数y=g（x）单调递增．∴必要条件不成立综上.a≥0是函数y=g（x）在x∈（1.2）时单调递增的充分不必要条件．…（14分）【点评】：本题考查了充分必要条件.考查函数的单调性、最值问题.考查导数的应用以及分类讨论思想.是一道中档题．20.（问答题.14分）如图.设A是由n×n（n≥2）个实数组成的n行n列的数表.其中a ij（i.j=1.2.….n）表示位于第i行第j列的实数.且a ij∈{1.-1}．st s1t1s2t2sn tn都有p st=0.则称数表A为完美数表．（Ⅰ）当n=2时.试写出一个符合条件的完美数表；（Ⅱ）证明：不存在10行10列的完美数表；（Ⅲ）设A为n行n列的完美数表.且对于任意的i=1.2.….l和j=1.2.….k.都有a ij=1.证明：kl≤n．【正确答案】：【解析】：本题第（Ⅰ）题可根据题目的意思先写出一个完美数表.然后用P12是否等于0来验证；第（Ⅱ）题可先假设这样的10行10列的完美数表是存在的.然后根据完美数表的特点进行适当变换.观察完美数表中1与-1的个数再与题干中的验证公式去验证.最终得到矛盾的结论.命题得证；第（Ⅲ）题先设出每行中1的个数.然后根据题干中结论的任意性来证明结论成立．【解答】：（Ⅰ）解：由题意.可写出如下的完美数表：1211211222∴此完美数表符合条件．（Ⅱ）证明：假设存在10行10列的完美数表A．根据完美数表的定义.可以得到以下两个结论：（1）把完美数表的任何一列的数变为其相反数（即+1均变为-1.而-1均变为+1）.得到的新数表是完美数表；（2）交换完美数表的任意两列.得到的新数表也是完美数表．完美数表A反复经过上述两个结论的变换.前三行可以为如下形式：数为-1”的有y列.前三行中“第1.3行中的数为1.且第2行中的数为-1”的有z列.前三行中“第1行中的数为1.且第2.3行中的数为-1”的有w列（如上表所示）.则x+y+z+w=10 ①由p12=0.得x+y=z+w；②由p13=0.得x+z=y+w；③由p23=0.得x+w=y+z．④．解方程组① . ② . ③ . ④ .得x=y=z=w=52这与x.y.z.w∈N矛盾.所以不存在10行10列的完美数表．（Ⅲ）证明：记第1列前l行中的数的和a11+a21+…+a l1=X1.第2列前l行中的数的和a12+a22+…+a l2=X2.…….第n列前l行中的数的和a1n+a2n+…+a ln=X n.∵对于任意的i=1.2.….l和j=1.2.….k.都有a ij=1.∴ X1=X2=⋯=X k=l．又∵对于任意s.t（s≠t）.都有p st=0.∴ X12+X22+⋯+X n2=ln．又∵ X12+X22+⋯+X n2≥X12+X22+⋯+X k2=l2k .∴ln≥l2k.即kl≤n．【点评】：本题第（Ⅰ）题主要考查对题意的阅读理解能力；第（Ⅱ）题主要考查联系矩阵的特点对完美数表的规律的认识；第（Ⅲ）题主要考查对完美数表元素1的个数特点证明．本题是一道较难的偏难题．。

2019-2020学年北京市清华附中高三(上)10月月考数学试卷试题及答案

2019-2020学年北京市清华附中高三（上）10月月考数学试卷一、选择题1．已知集合{|2}A x x =>，{|(1)(3)0}B x x x =--<，则(A B = )A ．{|1}x x >B ．{|23}x x <<C ．{|13}x x <<D ．{|2x x >或1}x <2．若角θ的终边过点(3,4)P -，则tan()(θπ+= ) A ．34B ．34-C ．43 D ．43-3．已知函数a y x =，log b y x =的图象如图所示，则( )A ．1b a >>B ．1b a >>C ．1a b >>D ．1a b >>4．设函数()y f x =的定义域为R ，则“(0)0f =”是“函数()f x 为奇函数”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知3cos 4α=，(2πα∈-，0)，则sin 2α的值为( )A ．38B ．38-C D ．6．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( ) A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏7．某校象棋社团组织中国象棋比赛，采用单循环赛制，即要求每个参赛选手必须且只须和其他选手各比赛一场，胜者得2分，负者得0分，平局两人各得1分．若冠军获得者得分比其他人都多，且获胜场次比其他人都少，则本次比赛的参赛人数至少为( ) A ．4B ．5C ．6D ．78．已知定义在R 上的函数2,0()(),0x a x f x ln x a x ⎧+=⎨+>⎩…，若方程1()2f x =有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是( ) A ．1122a -<…B ．102a <… C ．01a <…D ．102a -<…二、填空题9．已知函数()y f x =的导函数有且仅有两个零点，其图象如图所示，则函数()y f x =在 x = 处取得极值．10．32-，123，2log 5三个数中最大数的是． 11．在ABC ∆中，13cos 14A =，73a b =，则B = ． 12．去年某地的月平均气温(C)y ︒与月份x （月)近似地满足函数sin()(6y a b x a πϕ=++，b为常数，0)2πϕ<<．其中三个月份的月平均气温如表所示：则该地2月份的月平均气温约为 C ︒，ϕ= ．13．在等腰梯形ABCD 中，已知//AB DC ，2AB =，1BC =，60ABC ∠=︒，点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且23BE BC =，16DF DC =，则AE AF 的值为． 14．如图，线段8AB =，点C 在线段AB 上，且2AC =，P 为线段CB 上一动点，点A 绕点C 旋转后与点B 绕点P 旋转后重合于点D ．设CP x =，CPD ∆的面积为()f x ．则()f x 的定义域为；()0f x '=的解是．三、解答题15．已知函数()cos()(0f x A x A ωϕ=+>，0ω>，0)2πϕ<< 的图象过点1(0,)2，最小正周期为23π，且最小值为1-．（1）求函数()f x 的解析式．（2）若[6x π∈，]m ，()f x 的值域是[1-，，求m 的取值范围．16．数列{}n a 的前项n 和记为n S ，若数列{}nS n是首项为9，公差为1-的等差数列．（1）求数列{}n a 通项公式n a ．（2）若||n n b a =，且数列{}n b 的前项n 和记为n T ，求415T T +的值．17．已知ABC ∆的内角A 、B 、C 所对应的边分别为a ，b ，c ，8sin()17A C +=，且角B 为锐角．（1）求cos B 的值；（2）若6a c +=，ABC ∆的面积为2，求边长b ．18．已知函数1()xax f x e -=．（Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当0a <时，求函数()f x 在区间[0，1]上的最小值．19．已知函数3()9f x x x =-，函数2()3g x x a =+．（1）若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点处且有公共切线，求a 的值；（2）若存在实数b 使不等式()()f x g x <的解集为(,)b -∞，求实数a 的取值范围．20．设满足以下两个条件的有穷数列1a ，2a ，⋯，n a 为(2n n =，3，4，⋯，)阶“期待数列”：①1230n a a a a +++⋯+=； ②123||||||||1n a a a a +++⋯+=．（1）分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”；（2）若某2013阶“期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式；（3）记n 阶“期待数列”的前k 项和为(1k S k =，2，3，⋯，)n ，试证：1||2k S …．2019-2020学年北京市清华附中高三（上）10月月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1．已知集合{|2}A x x =>，{|(1)(3)0}B x x x =--<，则(A B = )A ．{|1}x x >B ．{|23}x x <<C ．{|13}x x <<D ．{|2x x >或1}x <【解答】解：集合{|2}A x x =>， {|(1)(3)0}{|13}B x x x x x =--<=<<，则{|23}A B x x =<<．故选：B ．2．若角θ的终边过点(3,4)P -，则tan()(θπ+= ) A ．34B ．34-C ．43 D ．43-【解答】解：角θ的终边过点(3,4)P -，则44tan()tan 33y x θπθ-+=-=-=-=，故选：D ．3．已知函数a y x =，log b y x =的图象如图所示，则( )A ．1b a >>B ．1b a >>C ．1a b >>D ．1a b >>【解答】解：由图象可知，01a <<，1b >，故选：A ．4．设函数()y f x =的定义域为R ，则“(0)0f =”是“函数()f x 为奇函数”的( ) A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：函数()y f x =的定义域为R ，若函数()f x 为奇函数，则(0)0f =，反之不成立，例如2()f x x =．∴ “(0)0f =”是“函数()f x 为奇函数”的必要不充分条件．故选：B ． 5．已知3cos 4α=，(2πα∈-，0)，则sin 2α的值为( )A ．38B ．38-C D ．【解答】解：3cos 4α=，(2πα∈-，0)，sin α∴===，3sin 22sin cos 2(4ααα∴==⨯⨯= 故选：D ．6．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( ) A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏【解答】解：设塔的顶层共有1a 盏灯，则数列{}n a 公比为2的等比数列， 717(12)38112a S -∴==-，解得13a =．故选：B ．7．某校象棋社团组织中国象棋比赛，采用单循环赛制，即要求每个参赛选手必须且只须和其他选手各比赛一场，胜者得2分，负者得0分，平局两人各得1分．若冠军获得者得分比其他人都多，且获胜场次比其他人都少，则本次比赛的参赛人数至少为( ) A ．4B ．5C ．6D ．7【解答】解：由题意可得，冠军得分比其他参赛人员高，且获胜场次比其他人都少，所以冠军与其他匹配场次中，平均至少为3场，A 选项：若最少4人，当冠军3次平局时，得3分，其他人至少1胜1平局，最低得3分，故A 不成立，B 选项：若最少5人，当冠军1负3平局时，得3分，其他人至少1胜1平，最低得3分，不成立，当冠军1胜3平局时，得5分，其他人至少2胜1平，最低得5分，不成立，故B 不成立， C 选项：若最少6人，当冠军2负3平局时，得3分，其他人至少1胜1平，最低得3分，不成立，当冠军1胜4平局时，得6分，其他人至少2胜1平，最低得5分，成立，故C 成立， D 选项：76>，故不为最少人数，故不成立，故选：C ．8．已知定义在R 上的函数2,0()(),0x a x f x ln x a x ⎧+=⎨+>⎩…，若方程1()2f x =有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是( ) A ．1122a -<…B ．102a <… C ．01a <…D ．102a -<…【解答】解：由题意知当0x >时，()()f x ln x a =+，则0a …，当0x …时，()1a f x a <+…，若0a …，当0x >时，()()f x ln x a lna =+…，若方程1()2f x =有两个不相等的实数根，则11212a a lna ⎧<+⎪⎪⎨⎪<⎪⎩…，即1212a a a ⎧<⎪⎪⎪-⎨⎪⎪<⎪⎩…，得1122a -<…，0a …，102a ∴<…，故选：B ．二、填空题9．已知函数()y f x =的导函数有且仅有两个零点，其图象如图所示，则函数()y f x =在x = 1- 处取得极值．【解答】解：函数()y f x =的导函数有且仅有两个零点，其图象如图所示， 1x <-时，()0f x '<，1x >-时，()0f x '…，所以函数只有在1x =-时取得极值．故答案为：1-．10．32-，123，2log 5三个数中最大数的是 2log 5 ．【解答】解：由于3021-<<，12132<<，22log 5log 42>=，则三个数中最大的数为2log 5．故答案为：2log 5． 11．在ABC ∆中，13cos 14A =，73a b =，则B 3或3．【解答】解：在ABC ∆中，13cos 14A =，sin A ∴== 73a b =，sin 7sin 3b A B a ∴===(0,)B π∈， 3B π∴=或23π．故答案为：3π或23π． 12．去年某地的月平均气温(C)y ︒与月份x （月)近似地满足函数sin()(6y a b x a πϕ=++，b为常数，0)2πϕ<<．其中三个月份的月平均气温如表所示：则该地2月份的月平均气温约为 5- C ︒，ϕ= ．【解答】解：函数sin()(6y a b x a πϕ=++，b 为常数），∴当51182x +==时，sin()6x πϕ+取得最大或最小值， ∴862k ππϕπ⨯+=+，k Z ∈，解得56k πϕπ=-，k Z ∈，又02πϕ<<，6πϕ∴=；31a b ∴-=，且sin 13a b π+=，解得13a =，18b =-；1318sin()66y x ππ∴=-+，当2x =时，1318sin(2)5()66y C ππ=-⨯+=-︒．故答案为：5-，6π．13．在等腰梯形ABCD 中，已知//AB DC ，2AB =，1BC =，60ABC ∠=︒，点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且23BE BC =，16DF DC =，则AE AF 的值为18．【解答】解：2AB =，1BC =，60ABC ∠=︒，1122BG BC ∴==，211CD =-=，120BCD ∠=︒， 23BE BC =，16DF DC =， ∴21()()()()36AE AF AB BE AD DF AB BC AD DC =++=++ 12216336AB AD AB DC BC AD BC DC =+++ 122121cos6021cos011cos6011cos1206336=⨯⨯︒+⨯⨯⨯︒+⨯⨯⨯︒+⨯⨯⨯⨯︒111291331818=++-=，故答案为：291814．如图，线段8AB =，点C 在线段AB 上，且2AC =，P 为线段CB 上一动点，点A 绕点C 旋转后与点B 绕点P 旋转后重合于点D ．设CP x =，CPD ∆的面积为()f x ．则()f x 的定义域为 (2,4) ；()0f x '=的解是．【解答】解：由题意，2DC =，CP x =，6DP x =- CPD ∆，∴262662x xx x x x +>-⎧⎪+->⎨⎪+->⎩，解得(2,4)x ∈如图，三角形的周长是一个定值8，故其面积可用海伦公式表示出来即()f x==()f x∴'=，令()0f x'=，解得3x=，故答案为：(2,4)，3．三、解答题15．已知函数()cos()(0f x A x Aωϕ=+>，0ω>，0)2πϕ<<的图象过点1(0,)2，最小正周期为23π，且最小值为1-．（1）求函数()f x的解析式．（2）若[6xπ∈，]m，()f x的值域是[1-，，求m的取值范围．【解答】解：（1）由函数的最小值为1-，0A>，得1A=，最小正周期为23π，2323πωπ∴==，()cos(3)f x xϕ∴=+，又函数的图象过点1(0,)2，1cos2ϕ∴=，而02πϕ<<，3πϕ∴=，()cos(3)3f x xπ∴=+，（2）由[6xπ∈，]m，可知533633x mπππ++剟，5()cos66fππ==cos1π=-，7cos6π=，由余弦定理的性质得：7336mπππ+剟，∴25918mππ剟，即2[9mπ∈，5]18π．16．数列{}n a 的前项n 和记为n S ，若数列{}nS n是首项为9，公差为1-的等差数列．（1）求数列{}n a 通项公式n a ．（2）若||n n b a =，且数列{}n b 的前项n 和记为n T ，求415T T +的值．【解答】解：（1）数列{}nS n是首项为9，公差为1-的等差数列， ∴9(1)(1)10nS n n n=+-⨯-=-，即210n S n n =-+，① 2n ∴…时，21(1)10(1)n S n n -=--+-，②①-②可得1211n n n a S S n -=-=-+，又当1n =时，119a S ==，满足上式， 211n a n ∴=-+；（2）由题意，|||112|n n b a n ==-，∴当15n 剟时，212(9112)102n n n nT a a a n n +-=++⋯+===-+；6n …时，2(5)(1211)2510502n n n T n n -+-=+=-+．41524125149T T ∴+=+=．17．已知ABC ∆的内角A 、B 、C 所对应的边分别为a ，b ，c ，8sin()17A C +=，且角B 为锐角．（1）求cos B 的值；（2）若6a c +=，ABC ∆的面积为2，求边长b ．【解答】解：（1）8sin()17A C +=， 8sin sin[()sin()17B AC A C π∴=-+=+=，角B 为锐角， cos 0B ∴>，即15cos 17B ===．（2）ABC ∆的面积为2，118sin 22217S ac B ac ∴==⨯=，则172ac =， 6a c +=，2222151717152cos ()2236223617154172217b ac ac B a c ac ac∴=+-=+--=-⨯-⨯⨯=--=，则2b =．18．已知函数1()xax f x e -=．（Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当0a <时，求函数()f x 在区间[0，1]上的最小值．【解答】解：（Ⅰ）1a =时，1()xx f x e -=，x R ∈， 2()xx f x e -+∴'=，令()0f x '>，解得：2x <，令()0f x '<，解得：2x >，()f x ∴在(,2)-∞递增，在(2,)+∞递减；（Ⅱ）由1()xax f x e -=得： 1()xax a f x e -++'=，[0x ∈，1]，令()0f x '=，0a <，解得：111x a=+<， ①110a+…时，即10a -<…时，()0f x '…对[0x ∈，1]恒成立，()f x ∴在[0，1]递增，()(0)1min f x f ==-；②当1011a<+<时，即1a <-时， x ，()f x '，()f x 在[0，1]上的情况如下：111()(1)aaf x min f ae +∴=+=；综上，10a -<…时，()1min f x =-，1a <-时，11()min aa f x e+=．19．已知函数3()9f x x x =-，函数2()3g x x a =+．（1）若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点处且有公共切线，求a 的值；（2）若存在实数b 使不等式()()f x g x <的解集为(,)b -∞，求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）2()39f x x '=-，()6g x x '=，设()f x 与()g x 的交点坐标为0(x ，0)y ，则3200020093396x x x a x x ⎧-=+⎪⎨-=⎪⎩，解得：015x a =-⎧⎨=⎩或0327x a =⎧⎨=-⎩，a ∴的值为5或27-；（2）令32()39h x x x x =--，则()y h x =的图象在直线y a =的下方的部分对应点的横坐标(,)x b ∈-∞，2()3693(1)(3)h x x x x x '=--=+-，∴令()0h x '=，得：1x =-或3，列表：()h x ∴的极大值为(1)5h -=，极小值为h （3）27=-，又当x →+∞时，()h x →+∞，当x →-∞时，()h x →-∞，如图所示：∴当5a >或27a -…时，满足题意，∴实数a 的取值范围为：(-∞，27](5,)-+∞．20．设满足以下两个条件的有穷数列1a ，2a ，⋯，n a 为(2n n =，3，4，⋯，)阶“期待数列”：①1230n a a a a +++⋯+=； ②123||||||||1n a a a a +++⋯+=．（1）分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”；（2）若某2013阶“期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式；（3）记n 阶“期待数列”的前k 项和为(1k S k =，2，3，⋯，)n ，试证：1||2k S …．【解答】解：（1）数列12-，0，12为三阶期待数列，数列38-，18-，18，38为四阶期待数列．（Ⅱ）设该2013阶“期待数列”的公差为d ， 1220130a a a ++⋯+=，∴120132013()02a a +=，120130a a ∴+=，即10070a =， 1008a d ∴=，当0d =时，与期待数列的条件①②矛盾，当0d >时，据期待数列的条件①②可得10081009201312a a a ++⋯+=， 100610051100622d d ⨯∴+=，即110061007d =⨯， *10071007(1007)(10061007n n a a n d n N -∴=+-=∈⨯，2013)n …，当0d <时，同理可得100710061007n n a -+=⨯，*(n N ∈，2013)n …．（Ⅲ）当k n =时，显然1||02n S =…成立；当k n <时，根据条件①得：1212()k k k k n S a a a a a a ++=++⋯+=-++⋯+，即1212||||||k k k k n S a a a a a a ++=++⋯+=++⋯+，12121212||||||||||||||||1k k k k n k k n S a a a a a a a a a a a +++∴=++⋯++++⋯+++⋯+++⋯+=…，1||(12k S k ∴=…，2，⋯，)n ．。

北京市海淀区清华附中2019-2020学年九年级(上)月考数学试卷(10月份)

2019-2020学年九年级（上）月考数学试卷一．选择题（共8小题）1．下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．已知关于x的一元二次方程mx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A．m＜﹣1 B．m＞1 C．m＜1且m≠0 D．m＞﹣1且m≠03．二次函数y＝2x2﹣4x﹣2的对称轴是（）A．直线x＝﹣1 B．直线x＝1 C．直线x＝0 D．直线y＝14．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E．若∠B＝60°，AC＝3，则CD的长为（）A．6 B．C．D．35．已知二次函数的图象经过P（2，2），顶点为O（0，0），将该图象向右平移，当它再次经过点P时，所得抛物线的函数表达式为（）A．y＝x2B．y＝（x﹣2）2C．y＝（x﹣4）2D．y＝（x﹣2）2+26．如图，△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，若C1为OC的中点，AB＝4，则A1B1的长为（）A．1 B．2 C．4 D．87．如图，▱ABCD中，E是边DC上一点，AE交BD于F，若DE＝2，EC＝3，则△DEF与△BAF的周长之比为（）A．3：2 B．2：3 C．2：5 D．3：58．如图1，AB是半圆O的直径，正方形OPNM的对角线ON与AB垂直且相等，Q是OP的中点．一只机器甲虫从点A出发匀速爬行，它先沿直径爬到点B，再沿半圆爬回到点A，一台微型记录仪记录了甲虫的爬行过程．设甲虫爬行的时间为t，甲虫与微型记录仪之间的距离为y，表示y与t的函数关系的图象如图2，那么微型记录仪可能位于图1中的（）A．点M B．点N C．点P D．点Q二．填空题（共7小题）9．如果，那么的值为．10．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BOD＝120°，则∠DCE＝．11．若方程x2+（m2﹣1）x+1+m＝0的两根互为相反数，则m＝．12．如图在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，圆心坐标是．13．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），其中自变量x与函数值y之间满足下面的对应关系：x… 1 3 5 …y… 1.5 1.5 ﹣2.6 …则a﹣b+c＝．14．如图，等边△AOB，且OA＝OC，∠CAB＝20°，则∠ABC的大小是．15．如图，已知点E在正方形ABCD的边AB上，以BE为边向正方形ABCD外部作正方形BEFG，连接DF，M、N分别是DC、DF的中点，连接MN．若AB＝7，BE＝5，则MN＝．三．解答题（共12小题）16．解方程：x2﹣3x+1＝0．17．已知m是一元二次方程x2+x＝5的实数根，求代数式（2m﹣1）（2m+1）﹣m（m﹣3）﹣7的值．18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AC＝，BD＝4．（1）求证：△ACD∽△ABC；（2）求△ABC的面积．19．关于x的一元二次方程ax2﹣bx﹣1＝0．（1）当a﹣b﹣2＝0时，利用根的判别式判断方程根的情况．（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a、b的值，并求此时方程的根．20．如图，在四边形ABCD中，BD为一条对角线，AD∥BC，AD＝2BC，∠ABD＝90°，E为AD的中点，连接BE．（1）求证：四边形BCDE为菱形；（2）连接AC，若AC平分∠BAD，BC＝1，求AC的长．21．如图是把一个抛物线形桥拱，量得两个数据，画在纸上的情形．小明说只要建立适当的坐标系，就能求出此抛物线的表达式．你认为他的说法正确吗？如果不正确，请说明理由；如果正确，请你帮小明求出该抛物线的表达式．22．在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝kx+1（k≠0）与直线x＝k，直线y＝﹣k分别交于点A、B，直线x＝k与直线y＝﹣k交于点C，（1）求直线l与y轴的交点坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记线段AB、BC、CA围成的区域（不含边界）为W．①当k＝1时，区域内的整点有个，其坐标为．②当k＝2时，区域W内的整点有个．23．如图，AB是⊙O的直径，M是OA的中点，弦CD⊥AB于点M，连接AD，点E在BC上，∠CDE＝45°，DE交AB于点F，CD＝6．（1）求∠OAD的度数；（2）求DE的长．24．阅读下面材料：小明观察一个由1×1正方形点阵组成的点阵图，图中水平与竖直方向上任意两个相邻点间的距离都是1．他发现一个有趣的问题：对于图中出现的任意两条端点在点阵上且互相不垂直的线段，都可以在点阵中找到一点构造垂直，进而求出交点与垂足之间的数值．请回答：（1）如图1，A、B、C是点阵中的三个点，请在点阵中找到点D，作出线段CD，使得CD⊥AB；（2）如图2，线段AB与CD交于点O，小明在点阵中找到了点E，连接AE．恰好满足AE⊥CD于E，再作出点阵中的其它线段，就可以构造相似三角形，经过推理和计算能够使问题得到解决．请你帮小明计算：OC＝OF＝；参考小明思考问题的方法，解决问题：（3）如图3，线段AB与CD交于点O．在点阵中找到点E，连接AE，满足AE⊥CD于F．计算：OC＝，OF＝．25．已知二次函数y＝ax2﹣（2a+1）x+c（a＞0）的图象经过坐标原点O，一次函数y＝x﹣4与x轴、y轴分别交于点A、B．（1）c＝，点A的坐标为．（2）若二次函数y＝a2﹣（2a+1）x+c的图象经过点A，求a的值．（3）若二次函数y＝a2﹣（2a+1）x+c的图象与△AOB只有一个公共点，直接写出a的取值范围．26．已知PA＝2，PB＝4，以AB为边作等边△ABC，使P、C落在直线AB的两侧，连接PC．（1）如图，当∠APB＝30°时，①按要求补全图形；②求AB和PC的长．（2）当∠APB变化时，其它条件不变，则PC的最大值为，此时∠APB＝．27．对于平面上A、B两点，给出如下定义：以点A为中心，B为其中一个顶点的正方形称为点A、B的“领域”．（1）已知点A的坐标为（﹣1，1），点B的坐标为（3，3），顶点A、B的“领域”的面积为．（2）若点A、B的“领域”的正方形的边与坐标轴平行或垂直，回答下列问题：①已知点A的坐标为（2，0），若点A、B的“领域”的面积为16，点B在x轴上方，求B点坐标；②已知点A的坐标为（2，m），若在直线l：y＝﹣3x+2上存在点B，点A、B的“领域”的面积不超过16，直接写出m的取值范围．。

2019_2020学年10月北京海淀区清华大学附属中学高三上学期月考数学试卷

A. 充分而不必要条件
C. 充分必要条件
”是“函数为奇函数”的（）． B. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 已知
，
，则
的值为（）．
A.
B.
C.
D.
6. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百
八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座层塔共挂了盏灯，且相邻两层中的下一层灯数
的解集为
，求实数的取值范围．
20. 设满足以下两个条件的有穷数列
为
阶“期待数列”：
①
；
②
．
1 ）分别写出一个单调递增的阶和阶“期待数列”；
2 ）若某阶“期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式；
3 ）记阶“期待数列”的前项和为
，试证：
．
A.
B.
C.
D.
8. 已知定义在上的函数
则的取值范围是（）．
A.
B.
，若方程 C.
有两个不相等的实数根， D.
二、填空题
（本大题共6小题，每小题5分，共30分。）
9. 已知函数
的导函数有且仅有两个零点，其图象如图所示，则函数
在
处取得极值．
10.
，，
三个数中最大的数字是
．
11. 在
中，
，
，则
．
12. 去年某地的月平均气温（）与月份（月）近似地满足函数
17. 已知
的内角，，所对的边分别为，，，
1 ）求
的值．
2 ）若
，
的面积为，求边长．
，且角为锐角．
18. 已知函数 1 ）当 2 ）当

2019-2020中学高三上学期10月月考数学试题(解析版).docx

2019-2020中学高三上学期10月月考数学试题一、单选题A.{1,2,3,4} B.{1,2,3} C.{4,5} D .{1,4}【答案】A【解析】将阴影部分对应的集合的运算表示出来，然后根据集合AB 表示元素的范围计算结果. 【详解】因为阴影部分是：A （C R B ）；又因为x （4—x ）<0,所以x>4或x<0,所以B = {x|x ）4或x<0},所以 C R B = {X |0<X <4},又因为 A = {1,2,3,4,51，所以 A （QB ）= {1,2,3,4}, 故选：A. 【点睛】本题考查根据已知集合计算伽"图所表示的集合，难度较易.对于图中的阴影部分首先要将其翻译成集合间运算，然后再去求解相应值.3.设a, b 是非零向量，是“a//b”的（）4 3 . A. 1B. —1C.—I —I5 5【答案】D 【解析】【详解】由题意可得：忖=（¥ +3? = 5,且：乞=4一3几z 4-3/4 3 .据此有：旧-丁十一尹本题选择D 选项.D.-3. —I52.若集合A = {1,2,3,4,5}傑合B = {x|x （4-x ）<0}侧图中阴影部分表示（）ZA.充分而不必要条件 C.充分必要条件【答案】A 【解析1 a-b =|a|-|Z?|cos^,Z?^ ,由已知得cos(a,b 〉= l,即仏巧=0,加/方.而当 a 〃Q 时,仏方)还可能是兀，此时a-b =-|®|j^|,故“a"=问”| ”是“a//b ”的充分而不必要条件，故选A. 【考点】充分必要条件、向量共线.4. 设 a = log 4S,b = log 0A 8, c = 204,!S!l ()A.b<c<aB.c<b<aC.c<a<bD.b< a<c【答案】A【解析】根据指数函数、对数函数单调性比较数值大小. 【详解】因为 a = log 4 8 = ^-log 2 2 =扌’b = log 04 8 < log 041 = 0, c = 20'4< 20'5 = A /2 < 扌, 所以b<c<a , 故选：A. 【点睛】本题考查利用指、对数函数的单调性比较数值大小，难度一般•利用指、对数函数单调性比较大小时，注意利用中间量比较大小，常用的中间量有：0,1.5. 若直线 lax-by + 2 = 0(a > 0,b > 0)被圆 x 2 + y 2+2x-4_y+ 1 = 0 截得弦长为 4,4 1一则—：的最小值是()a b1 1 A. 9B. 4C.-D.-24【答案】A 【解析】圆x2+ y 2 + 2x-4y + l = 0的标准方程为：(x+1) 2+ (y - 2) 2 =4,它表示以(-1, 2)为圆心、半径等于2的圆；设弦心距为d,由题意可得22+d 2=4,求得d=0,可得直线经过圆心，故有-2a - 2b+2=0, 即a+b=l,再由a>0, b>0,可得B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件4 14 1I =(Ia ba b4Z? a4 ]当且仅当一=—时取等号，•••一 + 〒的最小值是9. a b a b故选：A.点睛：本题主要考查基本不等式，其难点主要在于利用三角形的一边及这条边上的高表示内接正方形的边长.在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.① 一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.6.函数/(%) = x 2-cos%在-彳冷的图像大致是()【解析】先判断奇偶性，然后通过计算导函数在特殊点的导函数值正负来判断相应结果. 【详解】因为/ (兀)定义域关于原点对称且=- cos (-%) = X 2 - cos % = /(%),所以/(X )是偶函数，排除A 、C ；又因为/,(x) = x (2cosx-xsinx),所以【点睛】本题考查函数图象的辨别，难度一般•辨别函数图象一般可通过奇偶性、单调性、特殊点位置、导数值正负对应的切线斜率变化等来判断.7.如图,长方体 ABCD-A.B^D, ^,AA l =AB^2,AD = l,^E,F,G 分别是 D0, AB, CC,的中点，则异面直线与GF 所成角的余弦值是71所以“护对应的切线斜率大于零，所以排除D,)(a+b) =5+ —+ ->5+2 a b=9故选：B.【答案】D 【解析】以DA,DC,DD ［所在直线为x,y,z 轴，建立空间直角坐标系，可得4疋和GF 的坐标，进而可得cos^EGF,从而可得结论. 【详解】以DA, DC, DD,所在直线为X, % z 轴，建立空间直角坐标系, 则可得 4（l,0,2）,E （0,0,l ）,G （0,2,l ）,F （l,l,0）,设异面直线4E 与GF 所成的角为0,【点睛】本题主要考查异面直线所成的角，属于中档题.求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解.& 在AABC 中，ZA, ZB, ZC 的对边分别为 a, b, c, cos 2— =,贝U ABC2 2c的形状一定是（）A.正三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形【答案】Byk h + C【解析】在△ ABC 中，利用二倍角的余弦与正弦定理可将已知cos?—=——，转化为2 2c cosA=^-,整理即可判断△ ABC 的形状.sinC【详解】亠亠 c A b + c在AABC 中，Vcos2—=-------- , 2 2cD.O则 cos 0 = |cos 4E, GF | =-lxl + 0 + （-l ）x （-l ）72x^2=0, 故选D..l + cosA = sinB + sinC=j_ sinB+j_2 2sinC 2 sinC 2sinB an sinB・°・ 1+cosA = 1,艮卩cosA = ----- ,sinC sinCcosAsinC = sinB = sin (A+C) = sinAcosC+cosAsinC,:.sinAcosC=0, *.* sin A#),cosC=0,・・・c为直角.故选：B.【点睛】本题考查三角形的形状判断，着重考查二倍角的余弦与正弦定理，诱导公式的综合运用, 属于中档题.9.若函数f(x) = ^x2-2x + alnx有两个不同的极值点，则实数。