台州市高一下学期期末数学测试题

台州市2012学年第二学期高一期末质量评估试题数 学 2013．7命题：路桥中学 台州中学审题：黄岩中学一、选择题（本大题共14小题，每小题3分，共42分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．函数()sin cos f x x x =的最小正周期是A ．π2B ．πC ．2πD ．4π 2．已知1e u r ，2e u u r 是不共线的两个向量，则下列各组中的a r ，b r 不能构成基底的是A ．12a e =u r r ，23b e =-u u r rB ．1222a e e =+u r u u r r ，12b e e =-u r u u r rC ．122a e e =-u r u u r r ，1224b e e =-+u r u u r rD ．122a e e =+u r u u r r ，122b e e =+u r u u r r3．若关于x 的不等式2112x ax -+>-的解集为{}12x x -<<，则实数a ＝ A ．12 B ．12- C ．2- D ． 2 4．在等差数列{}n a 中，且34914a a a +++=L ，则6a ＝A ．1B ．2C ．4D ． 75．已知π(,π)2a Î，3sin 5a =，则πsin()4a +＝A ．10B ．10-C ．10D ．10- 6．已知实数x 满足20x x +<，则x ,x -,2x 的大小关系是A ．2x x x -<<B ．2x x x <-<C ．2x x x <<-D ．2x x x <<- 7．平面向量a r 与b r 的夹角为60o ，2a =r ,1b =r ，则2a b +r r ＝A B ． C ．4 D ．128．已知向量(34)a =-r ， ，(11)a =-r ， ，则向量a r 在b r 方向上的投影为A．2- B．2 C ．75- D ．759．在△ABC 中，已知2a =，b x =，30B =o ．如果△ABC 有两个解，那么x 的取值范围A ．1x >B ．01x <<C ．12x <<D ．12x <£10．在数列{}n a 中，1=0a ，1n a +=，则2013a ＝ A． BC ．0 D．11．定义12nn x x x ++L 为n 个正数12,,,n x x x L 的“平均倒数”．若正项数列{}n a 的前n 项的“平均倒数”为121n +，则数列{}n a 的通项公式为n a ＝ A ．21n + B ．21n - C ．41n - D ． 41n +12．在△ABC 中， 若2222sin sin 2cos cos b C c B bc B C +=，则△ABC 的形状是A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形13．数列{}1n n a a +-是一个首项为2，公差为2的等差数列，1=1a ，若4373m a <<，则m ＝A ．6B ．7C ．8D ．914．已知O 是△ABC 的外心，且OA OB OC +=uuu r uuu r uuu r，AB =uuu r ，P 是线段AB 上任一点（不含端点），实数l ，m 满足CA CB CP CA CBl m =+uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，则11l m +的最小值是 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）16．若tan 2a =，则tan 2a ＝ ▲ ．15．已知点(3,4)M -和向量(1,2)a =-r ，若2MN a =-uuuu r r ，则点N 的坐标为 ▲ ．17．已知等比数列{}n a 满足542a a =，21a =，数列{}n a 的前n 项和n S ，则6S ＝ ▲ ．18．已知二次函数2()f x ax bx c =++，且(1)f a =-，又 23a c b >>，则b a的取值范围是 ▲ ．19．如图，已知正三角形ABC 的边长为2，点D 为边AC 的中点， 点E 为边AB 上离点A 较近的三等分点，则BD CE ×uuu r uuu r ＝ ▲ ． 20．已知数列}{n a 满足:114a =，2122n n n a a a +=+，用][x 表示 不超过x 的最大整数，则122013111[222a a a ++++++K 的值 等于 ▲ ． 20修改意见．已知数列}{n a 满足:114a =，2122n n n a a a +=+，用][x 表示 不超过x 的最大整数，n S 表示数列þýüîíì+21n a 的前n 项和.现给出下列命题：① 数列}{n a 单调递增；② 数列}{1n n a a -+单调递减；③ 21111+-=+n n n a a a ； ④ [].32013=S 以上命题中正确的是 ▲ （填写你认为正确的所有命题的序号）．答案：①③④三、解答题（本大题共5小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）21．（本小题满分7分）已知a r ，b r ，c r 是同一平面内的三个向量，其中=(1,2)a r .（Ⅰ）若b =r //b a r r ，求b r 的坐标；（Ⅱ）若c r 与a r 的夹角q 的余弦值为10-，且()(9)a c a c +^-r r r r ，求c r .22．（本小题满分7分） 已知函数22π()cos ()sin 6f x x x =--． （Ⅰ）求π(12f 的值； （Ⅱ）求函数()f x 在π[0,]2上的最大值．B23．（本小题满分8分）已知2()f x ax bx c =++．（Ⅰ）当1a =-，2b =，4c =时，求()1f x £的解集；（Ⅱ）当(1)(3)0f f ==，且当(13)x Î，时，()1f x £恒成立，求实数a 的最小值．24．（本小题满分8分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．（Ⅰ）cos sin B b A +=，求角A ； （Ⅱ）若b =，2c =，且△ABC 的面积求a 的值．25．（本小题满分10分）已知公差不为0的等差数列{}n a 满足23a =，1a ，3a ，7a 成等比数列．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）数列{}n b 满足11n n n n n a a b a a ++=+，求数列{}n b 的前n 项和n S ； （Ⅲ）设12()n n n a c nl +=-，若数列{}n c 是单调递减数列，求实数l 的取值范围．台州市2012学年第二学期期末质量评估高一数学参考答案一、选择题（本大题共14小题，每小题3分，共42分）1．B 2．C 3．A 4．B 5．D 6．D 7．B8．A 9．C 10．D 11．C 12．A 13．C 14．B二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）15．43- 16．(1,0) 17．632 18．54(,25-- 19．1- 20．3 三、解答题（本大题共5小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）21．解：（Ⅰ）Q //b a r r , 设(,2)b a l l l ==r r , ……………… 1分则222445b l l =+=r , \29l = ……………… 2分\3l =± \(3,6)b =r 或(3,6)b =--r . ……………… 3分（Ⅱ）Q cos 10q =-，a =r \1cos 2a c a c c q ×==-r r r r r ． ………… ……4分 又Q ()(9)a c a c +^-r r r r ，\()(9)0a c a c +×-=r r r r ……………… 5分 \22890a c a c -×-=r r r r \25490c c +-=r r ……………… 6分解得1c =r 或59c =-r （舍） \1c =r ………………7分22．解：（Ⅰ）22()cos (sin 121212f p p p =-- ……………… 1分 cos 6p = ……………… 2分2=． ……………… 3分 （Ⅱ）11()[1cos(2(1cos 2)232f x x x p =+--- ……………… 4分 1[cos(2cos 2]23x x p =-+13sin 2cos 2)sin(2)22223x x x p =+=+ ……………… 5分因为[0,2x p Î，所以42[,333x p p p +Î， ……………… 6分所以当232x p p +=，即12x p =时，()f x 取得最大值2． ………… … 7分 23．解：（Ⅰ）当1a =-，2b =，4c =时，2()241f x x x =-++£即2230x x --³， ……………… 1分()()310x x \-+³，1x \£-，或3x ³． ……………… 3分（Ⅱ）因为(1)(3)0f f ==，所以()()()13f x a x x =--， ……………… 4分()()()131f x a x x =--£在()1,3x Î恒成立，即()()113a x x -£--在()1,3x Î恒成立， ……………… 5分 而2(1)(3)0(1)(3)12x x x x -+-éù<--£=êúëû当且仅当13x x -=-，即2x =时取到等号． …………… 6分()()1113x x \³--， ……………… 7分所以1a -£，即1a ³-．所以a 的最小值是1- ……………… 8分（Ⅱ）或解：()()()131f x a x x =--£在()1,3x Î恒成立，即()()1310a x x ---£在()1,3x Î恒成立．令()()22()131431(2)1g x a x x ax ax a a x a =---=-+-=---．………… 4分 ①当0a =时，()10g x =-<在()1,3x Î上恒成立，符合； ……………… 5分②当0a >时，易知在()1,3x Î上恒成立，符合； ……………… 6分③当0a <时，则10a --£，所以10a -£<． ……………… 7分综上所述，1a ³-所以a 的最小值是1-． ……………… 8分24. 解：（Ⅰ）cos sin B b A +=，由正弦定理可得cos sin sin A B B A C +=)A B =+． ……………… 1分cos sin sin cos sin A B B A A B A B +=． ……………… 2分即sin sin sin B A A B =，sin A A \= ……………… 3分tan A \=，60A \=°． ……………… 4分注：利用A b B a c cos cos +=直接得A A cos 3sin =同样给分（Ⅱ）Q b =，ABC D 的面积\1sin 2ABC S ab C D ==． 2sin 2a C \=，22sin C a \=① ……………… 5分 由余弦定理2222cos c a b ab C =+-\224cos 4a C -=，2cos C \=② ……………… 6分 由①，②得：222221a æö+=ç÷èø， 化简得428160a a -+=，……………… 7分 ()2240a \-=， \2a = ……………… 8分（Ⅱ）或解：由1sin 2ABC S ab C D ==得 2sin 2a C = ① ……………… 5分由224cos 4a C -=得 2(2)2a C -= ② ……………… 6分由①，②得：sin 2C C =，即πsin()13C +=， ……………… 7分 π6C \=，224sin a C==． \2a =． ……………… 8分25．解：（Ⅰ）由题知2317a a a =，设{}n a 的公差为d ，则()()211126a d a a d +=+，212a d d =，0d ¹Q \12a d =． ………………1分又Q 23a =，\13a d +=12,1a d == ……………… 2分 1n a n \=+． ……………… 3分 （Ⅱ）11121122112n n n n n a a n n b a a n n n n ++++=+=+=+-++++． ……………… 4分 12111111222233412n n S b b b n n =++=+-++-+++-++L L 1122222(2)n n n n n =+-=+++． ……………… 6分 （III ）1(2)2()=2()n n n n a n c n nl l ++=--，使数列{}n c 是单调递减数列， 则12(3)22()01n n n n n c c n nl +++-=--<+对*ÎN n 都成立 ……………… 7分 即max 2(3)22(3)20(11n n n n n n n nl l ++++--<Þ>-++ ……………… 8分 设2(3)2()1n n f n n n++=-+ 2(4)32(3)2(1)()211n n n n f n f n n n n n+++++-=--++++ 2(4)23(3)21n n n n n n +++=+-++ 42621321n n n =+++--++ ()()()2212n n n n -=++ ……………… 9分(1)(2)(3)(4)(5)f f f f f \<=>>>L当2n =或3n =时，max 4()3f n =所以max 2(3)24(13n n n n ++-=+ 所以43l >． ……………… 10分。