定积分在物理学中的应用

数学与计算科学学院学年论文题目定积分在物理学中的应用姓名邓花蝶学号 **********专业年级 2012级数学与应用数学指导教师魏耿平2015年 9 月 1 日定积分在物理学中的应用——求刚体的转动惯量摘要众所周知，物理学是一门综合性极高的学科，我们在学习的过程中通常都会将课堂理论知识和实践活动有机的结合在一起，然而，在物理学中，我们通常都会遇到很多难题，比如解积分困难等。

因此当前我们在对物理学的学习中，就要将定积分应用到其中。

定积分是高等数学的重要组成部分，在物理学中也有广泛的应用。

微元法是将物理问题抽象成定积分非常实用的方法。

本文主要利用＂微元法＂的思想求物理学中几种常见均匀刚体的转动惯量。

关键词定积分；物理应用；微元法; 转动惯量；均匀刚体The application of definite integral in physics——For the moment of inertia of rigid bodyAbstractAs we all know, physics is a comprehensive high discipline, in the learning process We will usually make the classroom theoretical knowledge and practical activity of organic unifies in together, however, in physics, we often encounter some problems, such as the difficulty of solving integral. So in physics learning, we should apply definite integralto it. The integral is an important part of higher mathematics, they are widely used in physics. The differential method is a practical method that physical problems are abstracted integral.In this paper, using the ideas of "micro element method" to solve inertia of several common uniform rigid body in physics.Key wordsIntegral; physics application; differential method；rotational inertia ；uniform rigid body1 引言物理学中应用定积分法去解决实际问题是非常广泛而重要的，运用“数学微元” 的思想抽象成定积分去求解物理学相关的问题，是大学物理学教学的重难点， 不易被学生理解和掌握。

大学物理学中，刚体绕定轴转动的转动惯量要用到定 积分去解决问题。

转动惯量是刚体力学中一个较为重要的物理量。

刚体对转轴z 的转动惯量22z i iI m R R dm ==∑⎰对形状规则的常见均匀刚体，在计算中往往需要记忆它们的转动惯量表达式。

同时，这些刚体在形式上又有联系，它们的转动惯量表达式是否也有联系呢？ 如果答案是肯定的，那么我们只需记忆一两个转动惯量表达式，就可以在应用 中很方便地推出其他相关刚体的转动惯量。

2 几种常见的均匀刚体的转动惯量 2.1 圆环的转动惯量例2.1：设有一个半径为R 质量为m 的均匀圆环， （1）求圆环对通过中心与其垂直的转动惯量； （2）求圆环对直径所在轴的转动惯量.解：（1）如图1所示，在圆环上任取一质元，其质量 为dm dl λ=（λ为线密度，2mRλπ=）,dl 为圆弧元， 图1 该质元对中心垂直轴Z 的元转动惯量 22dJ R dm R dl λ== ，圆环对该轴的转动惯量为223202RJ dJ R dl R mR πλλπ====⎰⎰（2）如图2所示，将圆环分成无数个质点，设质点到Z 轴的 距离为a,质点质量为dm,其中θθπ==sin ,2md a R dm 所以该圆环的转动惯量为220J a dm π=⎰图2πθθπ==⎰2222sin 22md mR R2.2 圆盘的转动惯量例2.2： 设有一个半径为R 质量为m 的均匀圆盘，（1）求圆盘对通过中心与其垂直的轴的转动惯量； （2）求圆盘对直径所在轴的转动惯量。

解：（1）整个圆盘对轴的转动惯量可看 成许多半径不同的同心圆环对轴的转动 惯量之和，圆盘质量面密度为2mRσπ=. 图3 在圆盘上取一半径为x ，宽度为dx 的细圆环，如图3所示，其圆面积2ds rdr π=,故该圆环的质量2dm ds r dr σπσ==，它对中心垂直轴Z的元转动惯量为232dJ r dm r dr σπ==，整个圆环的转动惯量为342011222RJ dJ r dr R mR πσσπ====⎰⎰ （2）如图4所示,整个圆盘对轴的转动惯量可看成许多平行y 轴的细条对轴的转动惯量之和，圆盘质量面密度为2mR σπ= .对应于[x,x+dx]的平行y 轴的细条，细条质量为2y dx σ， 关于y 轴的元转动惯量为 图4222dJ yx dx x σσ== ，故圆盘对y轴的转动惯量为24R RR J x x σσ-==⎰⎰422204sin cos R t tdt πσ=⎰ （令x=Rsint ）4221144m R mR R σπσπ⎛⎫=== ⎪⎝⎭ 2.3 圆柱体的转动惯量例2.3：设有一半径为R ，长度为L,质量为m 的均匀圆柱体， （1）求转轴沿圆柱体几何轴的转动惯量；（2）求转轴通过圆柱体中心与几何轴垂直的转动惯量. 解：（1）如图5所示，在圆柱中取薄圆柱形质量元dm,2dm rLpdr π=,2mR Lρπ=(体密度) 42322RL R J r dmL r dr πρπρ===⎰⎰将体密度代入，得212J mR =。

图5 （2） 如图6所示，设圆柱体由222x z R +=与,22LLy y =-=围成，设圆柱体的体密度为ρ，选取柱坐标，圆柱体中某一点到Z 轴的距离为22()J x y dv ρ=+⎰⎰⎰2222202(sin )LRL d rdr R y dy πρθθ-=+⎰⎰⎰2223222022sin LLRRL L d r dr dy d rdr y dy ππρθθρθ--=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰42324212R R L L ρπρπ=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅423412R LR L ρπρπ=+代入2mR Lρπ= 得22412mR mL J =+2.4 空心圆柱体的转动惯量例2.4：设有一内径为1R ，外径为2R ，长度为L,质量为m 的空心圆柱体， （1）求转轴沿空心圆柱体几何轴的转动惯量；（2）求转轴通过空心圆柱体中心与几何轴垂直的转动惯量. 解：（1）如图7所示，在空心圆柱体中取薄圆柱形质量元dm,2dm rLpdr π=，2221()m R R Lρπ=-（体密度）21442321()22R R L R R J r dmL r dr πρπρ-===⎰⎰将体密度代入，得22211()2J m R R =+ （2）如图8所示，设空心圆柱体由222212R x z R ≤+≤与,22LLy y =-=围成，设圆柱体的体密度为ρ，图7选取柱坐标，圆柱体中某一点到Z 轴的距离为则转动惯量为 22()J x y dv ρ=+⎰⎰⎰ 222222012(sin )LR L R d rdr R y dy πρθθ-=+⎰⎰⎰22112223222022sin LLR R L L R R d r dr dy d rdr yππρθθρθ--=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰44223212124212R R R R L L ρπρπ--=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅图8442232121()()412R R LR R L ρπρπ--=+代入2221()m R R Lρπ=-，得22212()412m R R mL J +=+2.5 细棒的转动惯量例2.5：、求质量为m ，长为L 的均匀细棒的转动惯量 （1）转轴通过棒的中心并与棒垂直 （2）转轴通过棒一端并与棒垂直 解：（1）如图9所示,先求转动惯量微元dl,为此考虑细杆上[x,dx]一段， 它的质量为mdx L，把这一小段杆设想为位于x 处的 一质点，它到转动轴距离为x ，于是得微元为 图9=2m dJ x dx L沿杆从-2L 到2L积分，得整个细杆转动惯量为 --===⎰3232222312LL LL m m x LJ x dx mL L L(2)如图10所示，由于棒上各质元对轴的距离x 我们采用微元法计算。

在棒上任取一质元，其长度为 dx ，距转轴O 的距离为x ，设细棒的线密度（即单位 长度的质量）为λ=mL，则该质元的质量为dm dx λ=该质元对中心轴的元转动惯量为22dJ x dm x dx λ==λλ====⎰⎰232201133LJ dJ x dx L mL 图10 2.6 球体与球壳的转动惯量例2.6 ：求半径为R ，质量为m 的均匀球体绕直径的转动惯量. 解：由转动惯量的定义出发，通过取质量微元的方法进行求解。

取球体 所绕的直径为z 轴，如图11所示,建立空间直角坐标系，该坐标系中在 点（x ，y ，z ）处任取一体积微元，该微元可近似看成一小立方体， 且可视为质点，则该体积元的体积dv=dxdydz ， 其质量dm dxdydz ρ=。

ρ为球的质量体密。

dz dydxr RZYXZR设该体积元到z 轴的距离为r ， 则该体积元绕z 轴的转动惯量为22dJ r dm r dxdydz ρ==，其中222r x y =+， 所以整个球体的转动惯量为22()J dJxy dxdydzρ==+⎰⎰⎰⎰222222222222)RR Z R Z y R R ZR Z yx y dxdydzρ-------=+⎰图11225mR =例2.7 ：求半径为R ，质量为m 的均匀球壳绕直径的转动惯量. 解：球壳质量面密度为球壳可被看作由许多小圆环构成24mRρπ=如图12所示,选取其中一小圆环考虑，该小圆环的质量2(sin )dm ds R Rd ρρπθθ==⨯⨯则该质元的转动惯量2(sin )dJ R dm θ=432sin R d πρθθ= 整个球壳的转动惯量4302sin J dJ R d ππρθθ==⎰⎰4302sin R d ππρθθ=⎰44cos 3(3cos )324R πθθπρ-=223mR =图12结论本文通过定积分法来解决物理学中常见的棘手问题，进而分析了怎样应用定积 分的“数学微元”思想来解决物理学问题的新思路。