3 凹函数与拟凹函数
§2 凹函数定义及其判定方法 - 江财国际
§2. 凹函数定义及其判定方法2.1 凹函数定义1.一元凹凸函数定义（y=f(x)）t[0,1]且满足①如果对任意∈X1,X2D(函数定义域)，都存在∈则称该函数为凹函数。
E.g. 生产函数（生产可能性边际）t[0,1]且满足X1,X2D(函数定义域)，都存在∈②如果对任意∈则称该函数为凸函数。
E.g. y=1/x从函数图像任意点的切线判断函数凹凸性：①凹函数图像上任意点的切线都在图形之上。
②函数图像上任意点的切线都在图形之下。
2.2 凸集的定义（注;没有凹集）t[0,1]且满足X1,X2集合S,都存在∈如果对任意∈则成S为凸集。
（任意两点的连线仍在集合内）推论：f(X)为凹函数是f(X)的上等高集为凸集的充分非必要条件E.g.注：f(X)为拟凹函数是f(X)的上等高集为凸集的充分必要条件2.3 多元情况下（n维空间R）凹函数的判定以二元为例E.g. 效用函数（无差异曲线）U(X1，X2)1）任意点的切平面在图形之上2）凹函数Hessian矩阵为半负定的三个概念①凹函数——Hessian矩阵半负定②严格凹函数——Hessian矩阵负定③拟凹函数——加边Hessian矩阵半负定<结论>2.4 雅可比矩阵与Hessian矩阵1）雅可比矩阵2)Hessian矩阵及其顺序子式3）顺序子式负半定的充要条件是：所有奇数阶顺序子式行列式小于等于零，所有偶数阶顺序子式行列式大于等于零（先负后正符号间隔）4）加边Hessian矩阵及其顺序子式加边Hessian矩阵是Hessian矩阵增广一行一列。
例1 判定函数f(x,y)=xy(x>0,y>0)的凹凸性？2.5 加边Hessian矩阵的应用——条件极值在判断一元函数y=f(x)最值时，不仅要满足一阶条件：（极大值&极小值）还要满足二阶条件：（最大值）（最小值）同样地，在n元函数y=f（X）中，我们可以用矩阵给出一个紧致的表达式。
经济学中的函数的凹凸性拟凹拟凸
经济学中函数的凸凹性质问题在现代经济学的讨论中，我们经常遇到凸函数、凹函数以及拟凹函数、拟凸函数等概念，例如生产可能性边界曲线是凹函数，无差异曲线是凸函数等等，但是这些数学名词对于非专业人员来说比较抽象，有的文章或教材采取形象的说法，比如说曲线凸向原点或凹向原点、图形是凸的、上凸函数、下凸函数等等，这样一来，就将严谨的数学概念搞的不伦不类，有的教科书甚至错误地定义了凸性和凹性。
一、关于凸函数与凹函数凹性，凸性，它们都是在凸集范围内定义的，是关于凸集的性质，一个集合中任意两点之间的连线也在该集合中，这样的集合称为凸集合，常用D来表示。
凸和凹具有如下性质：凸性：f（tx+（1-t）y）<= tf(x) +(1-t)f(y) 标准的凸函数是开口向上的。
凹性f（tx+（1-t）y）>= tf(x) +(1-t)f(y) 凹函数是开口向下的D是f(.)的定义域的一个凸子集。
若任意的x, y∈D, λ∈[0, 1]：f(λx+(1-λ)y)≥λf(x)+(1-λ)f(y)，则称f(.)在D上是凹函数（“凸组合的函数值不小于函数值的凸组合”）在n 维空间的凸区域内，(x1, x2,..... Xn)中的两点X=(x1，x2, .........xn ),Y=(y1, y2,.......yn ),设0<λ<1，如果：f [λx1+(1-λ)y1, λx2+(1-λ)y2,......λxn+(1-λ)yn] <= λf (x1, x2,......xn) + (1-λ) f (y1,y2, ......yn )则称函数f(X)在n维区域内是凸函数；同理，如果：f [λx1+(1-λ)y1, λx2+(1-λ)y2,......λxn+(1-λ)yn] >= λf (x1, x2,......xn) + (1-λ) f (y1, y2, ......yn )则称函数f(X)在n维区域内是凹函数；n维空间不易理解，举个简单例子：若f(x)在(a,b)有定义，在定义域内取x1,x2，非负数q1,q2，q1+q2=1 ，有f(q1x1+q2x2)<=q1f(x1)+q2f(x2)则f(x)在(a,b)内为凸函数。
函数的凹凸性定义
函数的凹凸性定义函数的凹凸性是描述函数曲线在图像上的弯曲程度和凸出程度的性质。
在数学中，凹（concave）和凸（convex）是两个相对的概念，用于描述一条曲线或曲面的形状。
具体来说，凹函数表示曲线向下弯曲，凸函数表示曲线向上弯曲。
凹凸性在优化问题和最优化理论中具有重要的应用。
在函数的凹凸性中，凸函数有许多优良的性质，例如在最优化问题中，任何凸函数的局部极小值就是全局极小值，这为优化问题的求解提供了有效的方法。
一元函数的凹凸性：凹凸性的定义可以通过一元函数的二阶导数来描述。
对于一个二次可导的一元函数f(x)，函数的凹凸性可以通过函数的二阶导数f''(x)的符号来判定。
若f''(x)>0，则函数f(x)在区间内上凸，在该区间内的任意两个点x1和x2，有f(x1)<f(x2)；若f''(x)<0，则函数f(x)在区间内下凸，在该区间内的任意两个点x1和x2，有f(x1)>f(x2)；若f''(x)=0，则函数f(x)在该点的凹凸性无定义，需要通过其他方法来判定。
总结起来，根据函数的二阶导数的符号，可以确定函数的凹凸性。
当f''(x)大于零时，函数是凸的；当f''(x)小于零时，函数是凹的。
多元函数的凹凸性：对于多元函数 f(x1, x2, ..., xn)，凹凸性的定义和判定需要通过二阶偏导数来描述。
定义：对于定义在凸集上的连续可微函数，如果对于集合上的任意两点x和y，有f(λx+(1-λ)y)≤λf(x)+(1-λ)f(y)，其中0≤λ≤1，则函数f(x)是凸函数。
根据多元函数的定义和凸函数的性质，可以确定一个多元函数的凹凸性：1. 凸函数：如果多元函数的 Hessian 矩阵（二阶偏导数矩阵）是半正定的，则函数是凸的。
即，对于函数的 Hessian 矩阵 H，如果对于任意的向量 v，有v^THv ≥ 0，则函数是凸的。
经济学中的函数的凹凸性拟凹拟凸
经济学中的函数的凹凸性拟凹拟凸
经济学中，函数的凹凸性拟凹拟凸是一种常见的理论解释形式，反映了经济决策者在
作出策略选择时付出的成本与获得的益处。
凹凸性拟凹拟凸的凸度指的是当决策者的成本
发生变化时，增加的效用量（或利润）的程度。
如果效用随成本的增加而增加，那么就是
正凸的拟凹拟凸；如果减少，则是反凸的拟凹拟凸。
拟凹拟凸理论是一种常见的经济学理论，是现代经济学中计量型经济理论的重要分支。
它是由经济学家Aldrich提出的，以解释特定经济增长情况下，企业与政府的不同决策策略。
这一理论是由相关成本和预期效用的变化基础，指出当决策者对对策选择、博弈或决
策判断的改变时，效用所获取的数量会发生变化。
这样，决策者可以为凸度拟凹拟凸获得
最佳策略，获得最多的利益。
拟凹拟凸理论在经济中有很多不同的应用。
最常见的应用是用于解释保护主义政策的
设计和开展，即政府通过政策鼓励投资、创新和产品开发，使其在生产过程中能够获得较
高的利润。
例如，政府可以提供补贴或者减免税收，鼓励生产企业节约成本，从而获得较
高的收益。
而且，凹凸拟凹拟凸还可以用于消费者决策的研究，如决策者对物价的变化时，对消费者的行为表现和影响程度的评估。
此外，拟凹拟凸理论在其他领域，如社会规则学、国际贸易理论、环境经济学、相关
市场理论等领域也有广泛的应用。
很多学者认为，拟凹拟凸理论能够有效地提高决策者作
出决策的能力，分析和预测政策、行业和市场对特定结果的影响。
这样可以让决策者作出
有效的经济决策，改善经济结构，实现经济的可持续发展。
凹函数与凸函数的性质及应用
凹函数与凸函数的性质及应用函数的凸性和凹性是用来描述函数图像弯曲方向的重要性质。
凸函数和凹函数在形状上有明显的区别，这些区别可以通过函数的导数，特别是二阶导数来刻画。
1.2.凹函数（Concave Function）：o凹函数的图像呈现一种“向下凹”或“向上凸”的形状。
也就是说，如果我们在函数的图像上任意取两点并连接这两点形成一条线段，那么这条线段将始终位于函数图像的上方。
o从数学角度来说，如果一个函数在其定义域内的任意两点x1和x2之间，对于任意实数λ∈(0,1)，都有f(λx1+(1-λ)x2)≥λf(x1)+(1-λ)f(x2)，则称该函数为凹函数。
o凹函数的二阶导数在其定义域内始终非正，即f''(x) ≤0。
如果二阶导数在某个区间内严格小于零，则称该函数在该区间内是严格凹的。
3.4.凸函数（Convex Function）：o凸函数的图像呈现一种“向上凸”或“向下凹”的形状。
也就是说，如果我们在函数的图像上任意取两点并连接这两点形成一条线段，那么这条线段将始终位于函数图像的下方。
o从数学角度来说，如果一个函数在其定义域内的任意两点x1和x2之间，对于任意实数λ∈(0,1)，都有f(λx1+(1-λ)x2)≤λf(x1)+(1-λ)f(x2)，则称该函数为凸函数。
o凸函数的二阶导数在其定义域内始终非负，即f''(x) ≥0。
如果二阶导数在某个区间内严格大于零，则称该函数在该区间内是严格凸的。
这些性质使得我们能够通过观察函数的二阶导数来判断函数的形状，从而更好地理解函数的性质和行为。
在优化问题、经济学、概率论和统计学等多个领域，凸性和凹性的概念都非常重要，因为它们可以帮助我们分析和解决各种问题。
例如，在优化问题中，凸函数通常比凹函数更容易处理，因为凸函数的最优解通常是全局最优解，而凹函数的最优解则可能是局部最优解。
函数的凹凸性ppt课件
② f (x1 x2 ) f (x1 ) f (x2 ) ；
③ f (x1 ) f (x2 ) 0; x1 x2
④ f ( x1 x2 ) f (x1 ) f (x2 ) .
2
2
当 f (x) lg x 时，上述结论中正确结论的序号
是
.
9
10
【详解】
对于①②可以用 f (x) lg x
f
(x ) 故函数 2
f
(x) 是
凹函数。
14
（2）由 f (x) 1 1 f (x) 1 1 ax2 x 1 ①
ax2 x 1
当
x
0时， a R ，当
x (0,1]时①即 ax2x恒成立1
a 即
a
1
x2 1
1
x 1
(1 1)2 x2
(1 1)2 1
1 4
恒成立，当
2
2
作
DC
x
轴交
f
(x)
于
D（
x1
2
x2
,
yD )
D
在
f (x)
上
有
：
yD
f
( x1
2
x2
)
yC
f (x1) f (x2 ) 故④不正确 2
11
点评:本题主要考查了 f (x) lg x 函数运算性质以及直
线斜率应用,题目较综合.判断④不正确也可直接利 用函数图象的上凸性作结论.
12
定 义 在 R 上 的 函 数 f (x) 满 足 ： 如 果 对 任 意 x , x R 都 有 12
f
(
x 1
x 2
)
1
f (x ) f (x ) 则称函数 f (x) 是 R 上的凹函数，已知二次函
数理分析16题
12、考虑消费者的效用最大化问题：
其中 在 上是连续且严格递增的，并且 。记上述问题的最优解（马歇尔需求）为 ，最优值函数（间接效用函数）为 。请写出上述问题的对偶问题，即消费者的支出最小化问题，并记此对偶问题的最优解（希克斯需求）为 ，最优值函数（支出函数）为 。
14、试将CES效用函数： ，其中 且 ，转换为间接效用函数，并证明：间接效用函数是关于价格和收入水平的零次齐次函数、关于收入水平的增函数以及关于价格水平的减函数。
15、由CES直接效用函数推出对应的希克斯需求函数和支出函数。
16、对于CES形式的直接效用函数： ，其中 且 ，试从它对应的间接效用函数推导出支出函数，及从支出函数推导出间接效用函数。
试证：（1） ；（2） 。
13、考虑消费者的效用最大化问题：
其中 在 上是连续且严格递增的，并且 。
（1）试求解上述问题，即给出问题的一阶和二阶条件。
（2）请写出上述问题的对偶问题，即消费者的支出最小化问题；
（3）针对上面的这一组对偶问题，给出间接效用函数和支出函数的定义。
（4）试说明给定效用水平 的希克斯需求与给定收入水平 的马歇尔需求是一样的。
9、求Cobb-Douglas效用函数： ， ； 分别表示商品1和商品2的消费数量。消费者的预算约束为： ，其中 分别表示商品1和商品2的价格， 表示消费者的收入水平。假定消费者的目标是在预算约束条件下选择消费来最大化其效用水平，试求解此优化问题。
尼科尔森《微观经济理论—基本原理与扩展》(第9版)课后习题详解
尼科尔森《微观经济理论—基本原理与扩展》（第9版）课后习题详解第1篇引言第1章经济模型本章没有课后习题。
本章是全书的一个导言，主要要求读者对微观经济模型有一个整体了解，然后在以后各章的学习中逐渐深化认识。
第2章最优化的数学表达1．假设。
（1）计算偏导数，。
（2）求出上述偏导数在，处的值。
（3）写出的全微分。
（4）计算时的值——这意味着当保持不变时，与的替代关系是什么？（5）验证：当，时，。
（6）当保持时，且偏离，时，和的变化率是多少？（7）更一般的，当时，该函数的等高线是什么形状的？该等高线的斜率是多少？解：（1）对于函数，其关于和的偏导数分别为：，（2）当，时，（1）中的偏微分值分别为：，（3）的全微分为：（4）当时，由（3）可知：，从而可以解得：。
（5）将，代入的表达式，可得：。
（6）由（4）可得，在，处，当保持不变，即时，有：（7）当时，该函数变为：，因而该等高线是一个中心在原点的椭圆。
由（4）可知，该等高线在（，）处的斜率为：。
2．假定公司的总收益取决于产量（），即总收益函数为：；总成本也取决于产量（）：。
（1）为了使利润（）最大化，公司的产量水平应该是多少？利润是多少？（2）验证：在（1）中的产量水平下，利润最大化的二阶条件是满足的。
（3）此处求得的解满足“边际收益等于边际成本”的准则吗？请加以解释。
解：（1）由已知可得该公司的利润函数为：利润最大化的一阶条件为：从而可以解得利润最大化的产量为：；相应的最大化的利润为：。
（2）在处，利润最大化的二阶条件为：，因而满足利润最大化的二阶条件。
（3）在处，边际收益为：；边际成本为：；因而有，即“边际收益等于边际成本”准则满足。
3．假设。
如果与的和是1，求此约束下的最大值。
利用代入消元法和拉格朗日乘数法两种方法来求解此问题。
解：（1）代入消元法由可得：，将其代入可得：。
从而有：，可以解得：。
从而，。
（2）拉格朗日乘数法的最大值问题为：构造拉格朗日函数为：一阶条件为：从而可以解得：，因而有：。
凹凸函数公式
1、凹凸函数定义及几何特征⑴引出凹凸函数的定义：如图3根据单调函数的图像特征可知：函数)(1x f 与)(2x f 都是增函数。
把形如)(1x f 的 增长方式的函数称为凹函数，而形如)(2x f 的增长方式的函数称为凸函数。
⑵凹凸函数定义设函数f 为定义在区间I 上的函数，若对（a ，b ）上任意两点1x 、2x ，恒有：（1）1212()()()22x x f x f x f ++<，则称f 为（a ，b ）上的凹函数； （2）1212()()()22x x f x f x f ++>，则称f 为（a ，b ）上的凸函数。
⑶凹凸函数的几何特征：几何特征1（形状特征）图4（凹函数） 图5（凸函数）凹函数的形状特征是：其函数曲线任意两点1A 与2A 之间的部分位于弦21A A 的下方; 凸函数的形状特征是：其函数曲线任意两点1A 与2A 之间的部分位于弦21A A 的上方。
简记为：形状凹下凸上。
几何特征2（切线斜率特征）图6（凹函数） 图7（凸函数） 设21,A A 是函数y=)(x f 曲线上两点，函数曲线1A 与2A 之间任一点A 处切线的斜率：凹函数的切线斜率特征是：切线的斜率y=)(x f 随x 增大而增大； 凸函数的切线斜率特征是：切线的斜率y=)(x f 随x 增大而减小； 简记为：斜率凹增凸减。
几何特征3（增量特征）图8（凹函数） 图9（凸函数）图10（凹函数） 图11（凸函数）凹函数的增量特征是：Δｙｉ越来越大；凸函数的增量特征是：Δｙｉ越来越小； 简记为：增量凹大凸小。
2、利用二阶导数判断曲线的凹凸性设函数)(x f 在区间),(b a 内存在二阶导数, 则在),(b a 内 ⑴ )( ,0)(x f x f ⇒<''在),(b a 内严格是凸的; ⑵ )( ,0)(x f x f ⇒>''在),(b a 内严格是凹的。
西方经济学微观部分(中级)知识整理
西方经济学微观部分（中级）知识整理第一章微观经济学引论一、微观经济学的特点（重要命题点）1.研究对象（1999年真题，重要考点）：个体经济单位（在三个层次上展开：个体消费者、个体生产者、单个市场以及相互之间的作用[一般均衡理论]）2.基本假设条件：理性人（经济人）假设（2005年真题）3.分析方法：（2012年静态与比较静态分析真题）①边际分析法：是西方经济学的基本分析方法之一，是指通过研究增量来分析经济行为，实际上是微积分的求导问题。
例如：边际价值论：“钻石与水的悖论”水的价格低廉是因为其边际价值和边际生产成本较低，而钻石价格昂贵是因为它具有很高的边际价值（因为它们相对稀少）和很高的边际生产成本。
②均衡分析：分析经济力量达到均衡时所需要的条件以及均衡达到时会出现的情况。
用数学语言来说就是所研究的经济问题中涉及各种变量，假定自变量为已知或不变，考察因变量达到均衡时所需要的条件和会出现的情况。
均衡分析有局部均衡分析和一般均衡分析之分。
③静态分析：考察在既定的条件下某一经济事物在经济变量相互作用下所实现的均衡状态的特征。
④比较静态分析：当原有条件发生变化时，考察均衡状态所发生的变化，并比较新旧均衡状态。
⑤动态分析：引进时间变化序列，研究不同时点的均衡的变化过程。
（“蛛网模型”）实证分析和规范分析（重要考点）⑥实证分析：（尼克尔森书本定义）是指将现实世界作为一个客观存在来研究的，并试图解释所观察到的经济现象的分析方法。
实证经济学试图确定经济中的资源事实上到底是如何配置的。
⑦规范分析：（尼克尔森书本定义）是指在所研究的经济问题上持有一定的道德观点，希望研究资源应当、应该如何配置的分析方法。
例如：从事实证经济分析的经济学家可以考察一国的医疗行业是如何定价的，还可以衡量在医疗中投入更多资源的成本和效益。
但是当该经济学家宣称更多的资源应当投入到医疗保健中时，就已经进入了规范分析的阶段。
附录：高鸿业《微观经济学（第六版）》的讲解⑥.1实证经济学：是指研究实际经济体系是如何运行的，对经济行为作出有关的假设，根据假设分析和陈述经济行为及其后果，并试图对结论进行检验。
3 凹函数与拟凹函数
光滑函数的线性近似实际上属于微积分的范畴
3
3.1.1 梯度的几何性质
梯度 f (x) f x1 x f xN x 向量 dx dx1 ,, dxN 表示从 x 出发的变化方向， 具体取决于每一个分量变化的大小。
图3-1 向量 dx 的几何含义
凸函数在定义域的内部是连续的，但可能在边界上 不连续。
23
3.2.2 一阶条件
f 是开凸集 D N 上的 C1 单值函数， f 凹
x, x0 D ， f (x) f (x0 ) f (x0 )(x x0 )
凹函数 f 的图像位于经过其上任一点
f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x0 )
x x2 xn x n 1 f ( x0 ) f ( n ) ( x0 ) f ( n 1) ( x ) 1! 2! (n 1)! n!
中的二次近似表示
f 是开区间 S 上的 C 3 实值函数， x0 S ， x S , x x0 ，满足
S 负定 S 的 N 个顺序主子式依次改变符号：
奇数顺序的为负，而偶数顺序的为正
S 正半定 S 的 2 N 1 个主子式都非负
S 负半定 S 的 2 N 1 个主子式依次改变符号：
奇数顺序的为负，而偶数顺序的为正
11
例 3.3 Cobb-Douglas 函数 f ( x) x1 1 x2 2 的梯度向量为：
8
主子式和顺序主子式
A aij
N N
的 K 阶主子阵 从 A 中划去 N K
高级微观经济学相关数学内容
（一）函数1凹（凸）函数 1.1凸集凸集：对于任意两点u S ∈和v S ∈，且对于每一个[0,1]θ∈，当且仅当(1)w u v S θθ=+-∈为真时，集合n S R ⊂为凸集。
凸集要求集合内两点之间的连线必须也在集合内，即该集合不存在任何孔，它的边缘也不能有缩进。
例如，平面中，一条线段就是一个凸集，而一个圆圈则不是。
1.2凹（凸）函数介绍凸集是为了引入凹（凸）函数：不管是凹函数还是凸函数都要求其定义域是凸集。
我们可以先举个例子直观感受下凹（凸）函数的特征，比如函数244y x x =-+-就是一个凹函数，它在定义域内呈现出峰形；函数244y x x =-+就是一个凸函数，它在定义域内呈现谷底。
现在具体给出凹（凸）函数的定义：对于函数:f D R →，其定义域内任意两个不同的点1x 和2x ,当且仅当1212(x )(1)(x )(x (1)x )(0,1)tf t f f t t t +-≤+-∀∈时，函数f 为凹函数。
对于函数:f D R →，其定义域内任意两个不同的点1x 和2x ,当且仅当1212(x )(1)(x )(x (1)x )(0,1)tf t f f t t t +-≥+-∀∈时，函数f 为凸函数。
若将不等号“≤” 和“≥”分别变换成严格不等号“<”和“>”，上述定义便成了严格凹函数和严格凸函数的定义。
因为凹函数的定义域为凸集，因此点12x (1)x t t +-也一定在函数的定义域内。
我们可以利用凹（凸）函数和严格凹（凸）函数判断函数极值的情况。
凹函数一定存在绝对极大值，但绝对极大值可能不是唯一的，因为如果山峰包含一个平顶，则可能存在多重绝对极大值。
仅当我们限定它为严格凹形函数时，绝对值才可能是唯一的。
1.3凹（凸）函数与凸集的关系首先我们必须区别凸集与凸函数的概念。
根据定义，可知当“凸的”在描述集合时，它要求该集合不能出现任何孔，边缘也不能有缩进。
这不同于之前的凹（凸）函数：当“凸的”在描述函数时，它确定的是一条曲线或曲面是如何弯曲的。
纳什均衡存在性定理中的相关解释
纳什均衡存在性定理中的相关解释教材（《经济博弈与应用》）p33，图2.1表明不动点是曲线()⋅f 与45o 线的交点。
当函数()x f 定义在[]1,0∈x 区间上且因变量()x f y =的值域也为[]1,0区间时，如果()x f 是连续的，则必然存在不动点。
图2.1 [0,1]区间上的自变换函数的不动点直接用来证明纳什存在性定理的不动点定理不是Brouwer角谷静夫(Kakutani)不动点定理。
定义1 S 是凸的(Convex)当且仅当对任意的M M R y R x ∈∈,及满足10≤≤λ的λ，只要S x ∈和S y ∈，则有()S y x ∈-+λλ1定义2 S 是闭的(Closed)当且仅当对每个收敛的序列()}{∞=1j j x ，如果对每个j 都有()S j x ∈，则有()S j x j ∈∞→lim定义3 R M 中的子集S 是开的(open)当且仅当它的补集R M /S 是闭的。
定义4 S 是有界的(bounded)当且仅当存在某个正数K 使得对S 中的每个元素x 都有∑∈≤Mm m K x定义5 当函数()x f 满足下述性质时，我们称其为凹的：()()()()()[]n R x x x f x f x x f ∈∈-+≥-+212121, 1,0,11λλλλλ如果当()1,0∈λ时上面的不等式严格成立，则称()x f 为严格凹的。
一个函数()x f 是凸的当且仅当函数-()x f 是凹的；()x f 为严格凸函数当且仅当-()x f 为严格凹函数。
x 第一季第二季第三季第四季)(x fx1拟凹函数是凹函数概念的一种推广，它包括了凹函数在内的一大类函数，而这类函数在经济学中有着广泛应用，关于拟凹函数的定义如下：定义6 函数()x f 定义在R n 中的子集D 上，当且仅当()x f 满足如下性质时，()x f 是拟凹的：()()()()()2121,min 1x f x f x x f ≥-+λλ ∈λ[0,1]显然，凹函数是拟凹的，但反过来并不成立，即拟凹函数不一定是凹函数。
凹函数和凸函数定义
凹函数和凸函数定义
凹函数定义：
凹函数是指在某段区间内，函数值以某一点为极小值（或者极大值），而在它的两侧分别存在向反方向延伸的两条函数曲线，这两条曲线将其隔开；在段区间内，函数图像呈多谷状，且其函数值一定小于（或大于）它的任一邻域函数值。
凸函数定义：
凸函数是指在某段区间内，函数值以某一点为极大值（或者极小值），而在它的两侧分别存在向相同方向延伸的两条函数曲线，这两条曲线将其隔开；在段区间内，函数图像呈山脊状，且其函数值一定大于（或小于）它的任一邻域函数值。
- 1 -。
常见凹函数范文
常见凹函数范文常见的凹函数有三种类型：指数函数、对数函数和幂函数。
1.指数函数：指数函数是形如f(x)=a^x的函数，其中a是一个正实数且a≠1、指数函数的特点是随着x增大，函数值也增大，增长的速度越来越快。
当a大于1时，指数函数为凹函数；当0<a<1时，指数函数为凸函数。
例如，f(x)=2^x是一个常见的凹函数。
2.对数函数：对数函数是反指数函数，常见的对数函数有自然对数函数和常用对数函数。
自然对数函数是形如 f(x) = ln(x) 的函数，其中 x 是一个正实数。
自然对数函数的特点是随着 x 增大，函数值增加的速度越来越慢，趋近于无穷大的增长速度下降。
自然对数函数是一个典型的凹函数。
常用对数函数是以 10 为底的对数函数，表示为 f(x) = log(x)。
常用对数函数的特点与自然对数函数类似，随着 x 的增大，函数值的增长速度下降。
常用对数函数也是一个凹函数。
3.幂函数：幂函数是形如f(x)=x^a的函数，其中a是一个实数且a≠0。
幂函数的特点取决于a的值。
当a大于1时，幂函数为凸函数；当0<a<1时，幂函数为凹函数。
例如，f(x)=x^2是一个常见的凸函数；f(x)=x^0.5是一个常见的凹函数。
除了以上三种函数，还有一些其他的常见凹函数，如以下例子所示：4.求幂函数：求幂函数是形如f(x)=a^(b^x)的函数，其中a和b是正实数且a≠1、求幂函数是指数函数的复合函数，因此也是凹函数。
例如，f(x)=2^(3^x)是一个常见的凹函数。
5.反函数：若函数f是一个凸函数，则它的反函数f^{-1}是一个凹函数；若函数f是一个凹函数，则它的反函数f^{-1}是一个凸函数。
反函数是对于定义域和值域进行了互换的函数。
例如，对数函数和指数函数是互为反函数的凹函数和凸函数。
综上所述，常见的凹函数包括指数函数、对数函数、幂函数、求幂函数以及凸函数的反函数。
这些凹函数在数学、科学和工程等领域都有重要的应用。
拟凹函数的二阶条件
拟凹函数的二阶条件拟凹函数是数学分析中的一个重要概念，它在数学建模、优化理论等领域具有广泛的应用。
本文将从二阶条件的角度出发，对拟凹函数进行详细介绍。
一、拟凹函数的定义与基本概念拟凹函数是指在定义域上的函数，具有以下性质：对于定义域上的任意两个点x1和x2，以及任意的t∈[0,1]，都有f(tx1 + (1-t)x2) ≥ min{f(x1), f(x2)}。
简单来说，拟凹函数的图像位于其任意两点连线的上方或与连线相切。
二、拟凹函数的一阶条件拟凹函数的一阶条件是指其导函数为非递减函数。
对于拟凹函数f(x)，如果在定义域上存在导函数f'(x)，且f'(x) ≥ 0，则f(x)为拟凹函数。
这一条件的意义在于，拟凹函数的导数不会出现递减的情况，保证了函数图像的单调性。
拟凹函数的二阶条件是指其二阶导数非负。
对于拟凹函数f(x)，如果在定义域上存在二阶导数f''(x)，且f''(x) ≥ 0，则f(x)为拟凹函数。
这一条件的意义在于，拟凹函数的二阶导数不会出现负值，保证了函数图像的凹性。
四、拟凹函数的特点与应用1. 凸优化：拟凹函数在凸优化问题中具有重要应用。
在很多优化问题中，目标函数往往是一个拟凹函数，通过对目标函数进行优化，可以得到问题的最优解。
2. 经济学：拟凹函数在经济学中的应用非常广泛。
例如，在需求曲线和供给曲线的分析中，经济学家常常使用拟凹函数来描述市场的行为。
3. 金融学：拟凹函数在金融学中的应用也很广泛。
例如，在资产组合优化问题中，通过对收益率和风险的拟凹函数进行优化，可以得到最佳的投资组合。
4. 数学建模：拟凹函数在数学建模中常常用于描述各种现象和问题。
通过对问题进行拟凹函数的建模，可以更好地理解和解决实际问题。
五、拟凹函数的例子1. 线性函数：线性函数是拟凹函数的一种特殊情况。
例如，f(x) = ax + b，其中a和b为常数，这是一个拟凹函数。
常见凹函数
常见凹函数
凹函数是一类在数学和经济学中经常出现的函数，在优化问题中特别有用。
常见的凹函数包括二次函数、指数函数、对数函数、幂函数等等，它们在不同的领域中都有广泛的应用。
其中，二次函数是最简单的凹函数之一，其形式为y=ax+bx+c，其中a<0。
指数函数和对数函数是互为反函数的凹函数，它们的图像都呈现出向下凹的形状。
幂函数也是一类常见的凹函数，其形式为
y=x，其中n为奇数时为上凸函数，n为偶数时为下凹函数。
除了这些常见的凹函数，还有一些函数在特定条件下也可以表现为凹函数的形式，如logistic函数和sigmoid函数等。
在实际问题中，了解和掌握常见的凹函数是非常有用的，可以帮助我们更好地理解和解决一些复杂的问题。
- 1 -。
数学讲义(中微)
{ } min f (x1), f (x2 ) ≤ f (tx1 + (1− t)x2 ) for all t ∈ (0,1)
时，函数 f 为拟凹函数（Quasiconcave Function）。
对于函数 f : D → R ，其定义域内任意两个不同的点 x1 和 x 2 ,当且仅当
格凹函数和严格凸函数的定义。
因为凹函数的定义域为凸集，因此点 tx1 + (1− t)x2 也一定在函数的定义域内。
我们可以利用凹（凸）函数和严格凹（凸）函数判断函数极值的情况。在满足无约束极 值一阶必要条件的前提下，凹函数一定存在全局最大值的解，但全局最大值的解可能不是唯 一的，因为如果山峰包含一个平顶，则全局最大值的解有很多个。仅当我们限定它为严格凹 形函数时，全局最大值的解才可能是唯一的。 1.3 凹（凸）函数与凸集的关系
算函数的二阶全微分来判断局部极值是全局最大值还是全局最小值。 综上，当函数为二次连续可微时，它取得极值的必要条件为：
⇒ dy = f '(x*)dx = 0
（5）单调函数既是拟凹函数也是拟凸函数 （6）凹（凸）函数相加后仍为凹（凸）函数，拟凹和拟凸函数则没有类似关系。
4 常见的拟凹函数
拟凹的效用函数 ⇔ 上等值集为凸集 ⇒ 凸的无差异曲线。
4
因为等产量曲线的概念几乎与无差异曲线是一致的，我们可以类推：
拟凹的生产函数 ⇔ 上等值集为凸集 ⇒ 凸的等产量曲线。
f2 (x1, x2 ) ⎤
f12
(
x1,
x2
)
⎥ ⎥
，加边海塞矩阵也是对称
f22 (x1, x2 )⎥⎦
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1 f ( x 0 x ) f ( x 0 ) f ( x 0 ) x xT 2 f ( x 0 ) x 2 x 1 1 1 x1 1 2 1 =8+ , 1 x1 , x2 36 1 1 x2 3 3 x2 2 1 2 1 2 =8+ x1 x2 x12 2 x1 x2 x2 3 3 72
4
全微分
df (x) f x1 x dx1 f xN x dxn f (x)dx
(3.1)
即 f 在点 x 处的全微分恰好是梯度 f ( x) 和向量 dx 的 内积。 曲线 f ( x) c 的水平集(level set)
L x X f (x) c
a1 1/ 3, a2 2 / 3 ，则 f 在点 (8,8) 的梯度为 f (8,8) , 3 3 1 2
Hessi矩阵为
2 f (8,8)
1 1 1 36 1 1
它的三个主子式
f x1x1 0, f x2 x2 0,
凸函数在定义域的内部是连续的，但可能在边界上 不连续。
23
3.2.2 一阶条件
f 是开凸集 D N 上的 C1 单值函数， f 凹
x, x0 D ， f (x) f (x0 ) f (x0 )(x x0 )
凹函数 f 的图像位于经过其上任一点
S 负定 S 的 N 个顺序主子式依次改变符号：
奇数顺序的为负，而偶数顺序的为正
S 正半定 S 的 2 N 1 个主子式都非负
S 负半定 S 的 2 N 1 个主子式依次改变符号：
奇数顺序的为负，而偶数顺序的为正
11
例 3.3 Cobb-Douglas 函数 f ( x) x1 1 x2 2 的梯度向量为：
15
3.1.4 齐次函数
齐次函数
f 是 K 次齐次 x S , t 0 ， f (tx) t K f (x) 。
经济分析中的齐次函数 生产者理论：规模报酬不变意味着生产函数是 1 次齐次的 价格函数：如利润函数中，它对应于相对价格不 变时的规模。 经济学中最常见的情形是 0 次或 1 次齐次。 0 次齐次函数沿着任何射线都是常数 1 次齐次函数沿着所有射线都是线性的，有时 也称为线性齐次的(linearly homogeneous)。
7
3.1.2 Hessi 矩阵的定性
矩阵的定性： A 为 N 阶方阵
A 正半定 z T Az 0, z N A 正定 z T Az 0, z N
A 负半定 A 正半定
A 负定 A 正定
A 不定 z N , z T Az 既有正值也有负值
光滑函数的线性近似实际上属于微积分的范畴
3
3.1.1 梯度的几何性质
梯度 f (x) f x1 x f xN x 向量 dx dx1 ,, dxN 表示从 x 出发的变化方向， 具体取决于每一个分量变化的大小。
图3-1 向量 dx 的几何含义
9
例 3.2 三阶方阵
a11 A a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33
有 1 个三阶主子式，3 个二阶主子式，3 个一阶主子式 有 3 个顺序主子式
10
定理 3.1 对称矩阵 S 的定性
S 正定 S 的 N 个顺序主子式都为正数
16
1 例 3.4 (Cobb-Douglas 函数) Cobb-Douglas 函数 f x x1 xN N
是
a
n 1
N
n
次齐次的。因为对 t 0
f (tx) (tx1 ) a1 (tx2 ) a2 (txN )aN
aN a2 t a1 a2 aN x1a1 x2 xN
其中，余项 o(|| x ||2 ) 为可以忽略不计的向量 x 的模的 平方的无穷小量。
0 0 进一步地，在点 x 和 x x 之间存在点 x ,使得：
1 f ( x 0 x ) f ( x 0 ) f ( x 0 ) x xT 2 f ( x ) x 2
14
例3.3 (Cobb-Douglas函数) 例3.1中的Cobb-Douglas函数
8
主子式和顺序主子式
A aij
N N
的 K 阶主子阵 从 A 中划去 N K
行和相同的 N K 列，由此形成的 K K 阶子矩 阵 对应的行列式称为 A 的 K 阶主子式
A aij
N N
的 K 阶顺序主子阵 从 A 中划去后
后 N K 行和 N K 列，由此形成的 K K 阶子 矩阵 对应的行列式称为 A 的 K 阶主子式
常见例子 无差异曲线：效用函数的水平集 等产量曲线：生产函数的水平集。
5
梯度 f (x0 ) 的几何含义
f (x0 ) 是与切平面垂直的向量，即法向量。 f (x0 ) 在点 x 0 处指向 f 变化的法方向。
图3.2 梯度向量的几何含义
6
例 3.1 (水平集的斜率) 设 f : 2 在点 x 处可微 存在
由于 y1 、 y 2 分别最大化 p1 、 p 2 时的利润，因此
p1T y p1T y1 (p1 )
(1 )p 2T y (1 )p 2T y1 (1 ) (p 2 )
(p ) p T y ( p1 (1 )p 2 )T y p1T y (1 )p 2T y (p1 ) (1 ) (p 2 )
f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x0 )
x x2 xn x n 1 f ( x0 ) f ( n ) ( x0 ) f ( n 1) ( x ) 1! 2! (n 1)! n!
中的二次近似表示
f 是开区间 S 上的 C 3 实值函数， x0 S ， x S , x x0 ，满足
xn 的需求量(例 1.1)，它是 0 次齐次的。
间接效用函数 v (p, m) = max u ( x ) 在 p 和 m 中是 0
xÎ X ( p , m )
次齐次的。 竞争性厂商的利润函数 (p ) max pT y 是 1 次齐次
yY
的。 竞争性厂商的成本函数 c ( w , y ) 在投入价格 w 中是 1 次齐次的。
利润函数 (p) 在 p 中是凸的。
22
函数是仿射的(从而线性的) 该函数既凸又凹 凸集 D 上的 f 是凹的 x S 和 v ，
g (t ) f ( x tv ) 在 t x tv S , t 上是凹的。
通过将函数限定在一条直线上，这一性质可检 查函数是否为凹。
f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x0 ) x 1 f ( x0 ) x 2 o( x 2 ) 2
13
N 中的二次近似表示
f 是点 x 0 的凸邻域 S N 上的 C 3 单值函数
x S ， x x0 ，满足
1 f (x 0 x) f (x 0 ) f (x 0 ) x xT 2 f (x 0 )x o(|| x ||2 ) 2
f x1x1 f x2 x1
f x1x2 f x2 x2
0
因此，在点 (8,8) 处，海赛矩阵是负半定的。
12
3.1.3 Taylor 展开
中的Taylor定理
f 是开区间 S 上的 C n 1 单值函数， x0 S x S x0 ，在 x0 和 x 之间存在 x ，使得
18
齐次函数的性质
f 是 K 次齐次可微函数 f 的偏导数 K 1
次齐次
f 是 1 次齐次可微 ftx tx f x x
n n
f 是 K 次齐次可微
Kf x xn f xn x f x x
f 严格凹 x x ， (0,1) ，上式严格成立 f 凸 f 凹 f 严格凸 f 严格凹
21
例 3.5 (利润函数) 竞争性厂商的利润函数 (p ) max p T y 在 p 中是凸的，设 Y1 最
yY
大化价格 p1 时的利润， Y2 最大化价格 p 2 时的利润。对 [0,1] ， 设加权平均价格 p p1 (1 )p2 设 y 最大化 p 时的利润，则
(p ) pT y ( p1 (1 )p 2 )T y p1T y (1 )p 2T y
n 1
N
19
3.2 光滑函数的凹性 3.2.1 凹性的定义 3.2.2 一阶条件 3.2.3 二次条件 3.2.4 例子 3.2.5 上水平集 3.2.6 下图
20
3.2.1 定义
f 凹 x1 , x 2 D ， [0,1] ， f x1 (1 )x 2 f (x1 ) (1 ) f (x 2 ) (3.9)
0
超平面 H x X f ( x 0 )dx 0 在点 x 处与水平集相切。 H
0