数学必修四专项练习系列(有答案)

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高中数学必修4试题含答案

11．设α角属于第二象限，且2cos 2cosαα-=，则2α角属于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．给出下列各函数值：①)1000sin(0-；②)2200cos(0-；③)10tan(-；④917tancos 107sinπππ.其中符号为负的有（）A ．①B ．②C ．③D ．④3．02120sin 等于（）A ．23±B ．23C ．23-D ．214．已知4sin 5α=，并且α是第二象限的角，那么tan α的值等于（）A 43-B 34-C 43D .345．若α是第四象限的角，则πα-是（）A .第一象限的角 B.第二象限的角C.第三象限的角 D.第四象限的角6．4tan 3cos 2sin 的值（）A .小于0B .大于0C .等于0D .不存在二、填空题1．设θ分别是第二、三、四象限角，则点)cos ,(sin θθP 分别在第___、___、___象限．2．设MP 和OM 分别是角1817π的正弦线和余弦线，则给出的以下不等式：①0<<OM MP ；②0OM MP <<；③0<<MP OM ；④OM MP <<0，其中正确的是_____________________________。

3．若角α与角β的终边关于y 轴对称，则α与β的关系是___________。

4．设扇形的周长为8cm ，面积为24cm ，则扇形的圆心角的弧度数是。

5．与02002-终边相同的最小正角是_______________。

三、解答题1．已知1tan tan αα，是关于x 的方程2230x kx k -+-=的两个实根，且παπ273<<，求ααsin cos+的值．2．已知2tan =x ，求xx x x sin cos sin cos -+的值。

3．化简：)sin()360cos()810tan()450tan(1)900tan()540sin(00000x x x x x x --⋅--⋅--4．已知)1,2(,cos sin ≠≤=+m m m x x 且，求（1）x x 33cos sin +；（2）x x 44cos sin +的值。

数学必修四同步练习(有答案)

第一章三角函数（答案在最后面）§1.1 任意角和弧度制一、选择题1.若α是第一象限角，则下列各角中一定为第四象限角的是 ( ) (A) 90°-α(B) 90°+α (C)360°-α(D)180°+α2.终边与坐标轴重合的角α的集合是 ( ) (A){α|α=k ·360°，k ∈Z}(B){α|α=k ·180°+90°，k ∈Z}(C){α|α=k ·180°，k ∈Z}(D){α|α=k ·90°，k ∈Z}3.若角α、β的终边关于y 轴对称，则α、β的关系一定是（其中k ∈Z ） ( ) (A) α+β=π （B) α-β=2π(C) α-β=(2k +1)π (D) α+β=(2k +1)π 4.若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为 ( ) (A)3π (B)32π(C)3 (D)25.将分针拨快10分钟，则分针转过的弧度数是 ( ) (A)3π (B)－3π (C)6π (D)－6π*6.已知集合A ={第一象限角}，B ={锐角}，C ={小于90°的角}，下列四个命题： ①A =B =C ②A ⊂C ③C ⊂A ④A ∩C =B ,其中正确的命题个数为 ( ) (A)0个(B)2个 (C)3个 (D)4个二.填空题7.终边落在x 轴负半轴的角α的集合为，终边在一、三象限的角平分线上的角β的集合是 . 8. -1223πrad 化为角度应为 .9.圆的半径变为原来的3倍，而所对弧长不变，则该弧所对圆心角是原来圆弧所对圆心角的倍.*10.若角α是第三象限角，则2α角的终边在，2α角的终边在 . 三.解答题11.试写出所有终边在直线x y 3-=上的角的集合，并指出上述集合中介于-1800和1800之间的角.12.已知0°<θ<360°，且θ角的7倍角的终边和θ角终边重合，求θ.13.已知扇形的周长为20 cm,当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？*14.如下图，圆周上点A 依逆时针方向做匀速圆周运动.已知A 点1分钟转过θ(0＜θ＜π)角，2分钟到达第三象限，14分钟后回到原来的位置，求θ.xyOA§1.2.1.任意角的三角函数一.选择题 1.函数y =|sin |sin x x +cos |cos |x x +|tan |tan x x的值域是 ( ) (A){-1，1} (B){-1，1，3} (C) {-1，3} (D){1，3}2.已知角θ的终边上有一点P （-4a ,3a )（a ≠0）,则2sin θ+cos θ的值是 ( ) (A)25(B) -25 (C) 25或 -25(D) 不确定3.设A 是第三象限角，且|sin 2A |= -sin 2A ,则2A是 ( ) (A) 第一象限角(B) 第二象限角 (C) 第三象限角 (D) 第四象限角4. sin2cos3tan4的值 ( ) (A)大于0(B)小于0 (C)等于0(D)不确定5.在△ABC 中,若cos A cos B cos C <0，则△ABC 是 ( ) (A)锐角三角形 (B)直角三角形 (C)钝角三角形 (D)锐角或钝角三角形*6.已知|cos θ|=cos θ, |tan θ|= -tan θ,则2的终边在 ( ) (A)第二、四象限 (B)第一、三象限 (C)第一、三象限或x 轴上 (D)第二、四象限或x 轴上二.填空题7.若sin θ·cos θ＞0, 则θ是第象限的角; 8.求值：sin(-236π)+cos 137π·tan4π -cos 133π= ; 9.角θ(0<θ<2π)的正弦线与余弦线的长度相等且符号相同，则θ的值为 ;*10.设M =sin θ+cos θ, -1<M <1,则角θ是第象限角.三.解答题11.求函数y =lg(2cos x +1)+sin x 的定义域12.求：13sin 330tan()319cos()cos 6906ππ︒⋅--⋅︒的值.13.已知：P (-2，y )是角θ终边上一点，且sin θ= -55,求cos θ的值.*14.如果角α∈(0,2π),利用三角函数线,求证:sin α<α<tan α.§1.2.2 同角三角函数的基本关系式班级姓名学号得分一、选择题1.已知sin α=45，且α为第二象限角，那么tan α的值等于（）(A)34(B)43- (C)43(D)43-2.已知sin αcos α=81,且4π<α<2π，则cos α－sin α的值为（）(A)23(B)43(C)32-(D)±23 3.设是第二象限角,则2sin 11cos sin ααα⋅-= ( ) (A) 1 (B)tan 2α (C) - tan 2α (D) 1-4.若tan θ=31,π<θ<32π,则sin θ·cos θ的值为（）(A)±310 (B)310 (C)310 (D)±3105.已知sin cos 2sin 3cos αααα-+=51,则tan α的值是（）(A)±83 (B)83(C)83-(D)无法确定*6.若α是三角形的一个内角，且sin α+cos α=32,则三角形为（） (A)钝角三角形(B)锐角三角形 (C)直角三角形(D)等腰三角形二.填空题7.已知sin θ－cos θ=12,则sin 3θ－cos 3θ= ;8.已知tan α=2,则2sin 2α－3sin αcos α－2cos 2α= ; 9.化简1cos 1cos 1cos 1cos αααα+-+-+(α为第四象限角）= ; *10.已知cos (α+4π)=13,0<α<2π,则sin(α+4π)= .三.解答题11.若sin x=35mm-+,cos x=425mm-+,x∈(2π,π),求tan x12.化简：22sin sin cos sin cos tan1+---x x x x x x.13.求证：tan2θ－sin2θ=tan2θ·sin2θ.*14.已知:sinα=m(|m|≤1),求cosα和tanα的值.§1.3 三角函数的诱导公式班级姓名学号得分一.选择题1.已知sin(π+α)=45,且α是第四象限角，则cos(α－2π)的值是（）(A)－53 (B)53 (C)±53 (D)54 2.若cos100°= k ,则tan ( -80°)的值为（）(A)－21k k-(B)21k k - (C)21k k + (D)－21k k+3.在△ABC 中，若最大角的正弦值是22，则△ABC 必是（） (A)等边三角形 (B)直角三角形 (C)钝角三角形 (D)锐角三角形 4.已知角α终边上有一点P (3a ,4a )（a ≠0），则sin(450°-α)的值是（） (A)－45(B)－35 (C)±35(D)±455.设A ，B ，C 是三角形的三个内角，下列关系恒等成立的是（） (A)cos(A +B )=cos C(B)sin(A +B )=sin C (C)tan(A +B )=tan C (D)sin2A B+=sin 2C *6.下列三角函数：①sin(n π+43π) ②cos(2n π+6π) ③sin(2n π+3π) ④cos[(2n +1)π-6π]⑤sin[(2n +1)π-3π](n ∈Z)其中函数值与sin 3π的值相同的是（）(A)①②(B)①③④ (C)②③⑤(D)①③⑤二.填空题 7.tan(150)cos(570)cos(1140)tan(210)sin(690)-︒⋅-︒⋅-︒-︒⋅-︒= .8.sin 2(3π－x )+sin 2(6π+x )= . 9.化简212sin10cos10cos101cos 170-︒︒︒--︒= .*10.已知f (x )=a sin(πx +α)+b cos(πx +β)，其中α、β、a 、b 均为非零常数，且列命题：f (2006) =1516-，则f (2007) = .三.解答题11.化简23tan()sin ()cos(2)2cos ()tan(2)ππααπααπαπ-⋅+⋅---⋅-.12. 设f (θ)=3222cos sin (2)cos()322cos ()cos(2)θπθθπθπθ+-+--+++- , 求f (3π)的值.13.已知cos α=13,cos(α+β)=1求cos(2α+β)的值.*14.是否存在角α、β，α∈(-2π,2π)，β∈(0,π)，使等式sin(3π-α)=2cos(2π-β), 3cos (-α)=-2cos(π+β)同时成立？若存在，求出α、β的值;若不存在，请说明理由.§1.4.1正弦函数、余弦函数的图象和性质班级姓名学号得分一、选择题1.下列说法只不正确的是 ( ) (A) 正弦函数、余弦函数的定义域是R ，值域是[-1，1]； (B) 余弦函数当且仅当x =2kπ( k ∈Z) 时，取得最大值1； (C) 余弦函数在[2kπ+2π,2kπ+32π]( k ∈Z)上都是减函数； (D) 余弦函数在[2kπ-π,2kπ]( k ∈Z)上都是减函数2.函数f (x )=sin x -|sin x |的值域为 ( ) (A) {0} (B) [-1,1] (C) [0,1] (D) [-2,0]3.若a =sin 460,b =cos 460,c =cos360，则a 、b 、c 的大小关系是 ( ) (A) c > a > b (B) a > b > c (C) a >c > b (D) b > c > a4. 对于函数y =sin(132π-x ），下面说法中正确的是 ( ) (A) 函数是周期为π的奇函数 (B) 函数是周期为π的偶函数 (C) 函数是周期为2π的奇函数 (D) 函数是周期为2π的偶函数 5.函数y =2cos x (0≤x ≤2π)的图象和直线y =2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是 ( ) (A) 4(B)8 (C)2π (D)4π*6.为了使函数y = sin ωx （ω>0）在区间[0,1]是至少出现50次最大值，则的最小值是 ( ) (A)98π(B)1972π (C) 1992π (D) 100π 二. 填空题7.函数值sin1,sin2,sin3,sin4的大小顺序是 . 8.函数y =cos(sin x )的奇偶性是 . 9. 函数f (x )=lg(2sin x +1)+2cos 1x -的定义域是 ;*10.关于x 的方程cos 2x +sin x -a =0有实数解，则实数a 的最小值是 .三. 解答题11.用“五点法”画出函数y=12sin x+2, x∈[0,2π]的简图.12.已知函数y= f(x)的定义域是[0, 14]，求函数y=f(sin2x) 的定义域.13. 已知函数f(x) =sin(2x+φ)为奇函数，求φ的值.*14.已知y=a－b cos3x的最大值为32，最小值为12，求实数a与b的值.§1.4.2正切函数的性质和图象班级姓名学号得分一、选择题 1.函数y =tan (2x +6π)的周期是 ( ) (A) π (B)2π (C)2π (D)4π 2.已知a =tan1,b =tan2,c =tan3,则a 、b 、c 的大小关系是 ( ) (A) a <b <c (B) c <b <a (C) b <c <a (D) b <a <c 3.在下列函数中,同时满足(1)在(0,2π)上递增；(2)以2π为周期；(3)是奇函数的是 ( ) (A) y =|tanx | (B) y =cos x (C) y =tan 21x (D) y =－tanx 4.函数y =lgtan2x的定义域是 ( ) (A){x |k π<x <k π+4π,k ∈Z} (B) {x |4k π<x <4k π+2π,k ∈Z} (C) {x |2k π<x <2k π+π,k ∈Z} (D)第一、三象限 5.已知函数y =tan ωx 在(-2π,2π)内是单调减函数,则ω的取值范围是 ( ) (A)0<ω≤ 1 (B) -1≤ω<0 (C) ω≥1 (D) ω≤ -1*6.如果α、β∈(2π,π)且tan α<tan β，那么必有 ( ) (A) α<β (B) α>β (C) α+β>32π (D) α+β<32π 二.填空题 7.函数y =2tan(3π-2x)的定义域是 ,周期是 ; 8.函数y =tan 2x -2tan x +3的最小值是 ; 9.函数y =tan(2x +3π)的递增区间是 ; *10.下列关于函数y =tan2x 的叙述：①直线y =a (a ∈R)与曲线相邻两支交于A 、B 两点,则线段AB 长为π；②直线x =k π+2π,(k ∈Z)都是曲线的对称轴;③曲线的对称中心是(4k π,0),(k ∈Z),正确的命题序号为 .三. 解答题11.不通过求值，比较下列各式的大小（1）tan(-5π)与tan(-37π) (2)tan(78π)与tan (16π)12.求函数y =tan 1tan 1x x +-的值域.13.求下列函数tan()23x y π=+的周期和单调区间*14.已知α、β∈(2π,π),且tan(π+α)<tan(52π-β),求证: α+β<32π.§1.5 函数y =A sin(ωx +φ)的图象班级姓名学号得分一、选择题1.为了得到函数y =cos(x +3π)，x ∈R 的图象，只需把余弦曲线y =cos x 上的所有的点 ( ) (A) 向左平移3π个单位长度 (B) 向右平移3π个单位长度 (C) 向左平移13个单位长度 (D) 向右平移13个单位长度2.函数y =5sin(2x +θ)的图象关于y 轴对称，则θ= ( ) (A) 2k π+6π(k ∈Z ) (B) 2k π+ π(k ∈Z ) (C) k π+2π(k ∈Z ) (D) k π+ π(k ∈Z ) 3. 函数y =2sin(ωx +φ)，|φ|<2π的图象如图所示，则 ( ) (A) ω=1011,φ=6π (B) ω=1011,φ= -6π(C) ω=2,φ=6π (D) ω=2,φ= -6π 4.函数y =cos x 的图象向左平移3π个单位，横坐标缩小到原来的12，纵坐标扩大到原来的3倍，所得的函数图象解析式为 ( ) (A) y =3cos(12x +3π) (B) y =3cos(2x +3π) (C) y =3cos(2x +23π) (D) y =13cos(12x +6π)5.已知函数y =A sin(ωx +φ)(A >0,ω>0)在同一周期内,当x =12π时,y max =2;当x =712π时，,y min =-2.那么函数的解析式为 ( ) (A) y =2sin(2x +3π) (B) y =2sin(2x -6π) (C) y =2sin(2x +6π) (D) y =2sin(2x -3π)*6.把函数f (x )的图象沿着直线x +y =0的方向向右下方平移22个单位,得到函数y =sin3x 的图象，则 ( ) (A) f (x )=sin(3x +6)+2 (B) f (x )=sin(3x -6)-2 (C) f (x )=sin(3x +2)+2 (D) f (x )=sin(3x -2)-2 二. 填空题7.函数y =3sin(2x -5)的对称中心的坐标为 ; 8.函数y =cos(23πx +4π)的最小正周期是 ; xy12 o -21112πx9.函数y =2sin(2x +6π)(x ∈[-π,0］)的单调递减区间是 ; *10.函数y =sin2x 的图象向右平移φ(φ>0)个单位，得到的图象恰好关于直线x =6π对称，则φ的最小值是 . 三. 解答题11.写出函数y =4sin2x (x ∈R )的图像可以由函数y =cos x 通过怎样的变换而得到.(至少写出两个顺序不同的变换)12.已知函数log 0.5(2sin x -1), (1)写出它的值域.(2)写出函数的单调区间.(3)判断它是否为周期函数?如果它是一个周期函数,写出它的最小正周期. 13.已知函数y =2sin(3kx +5)周期不大于1，求正整数k 的最小值.*14. 已知N (2,2)是函数y =A sin(ωx +φ)(A >0,ω>0)的图象的最高点，N 到相邻最低点的图象曲线与x 轴交于A 、B ，其中B 点的坐标(6,0),求此函数的解析表达式.§1.6 三角函数模型的简单应用班级姓名学号得分一、选择题1.已知A ,B ,C 是△ABC 的三个内角, 且sin A >sin B >sin C ,则 ( ) (A) A >B >C (B) A <B <C (C) A +B >2π (D) B +C >2π2.在平面直角坐标系中，已知两点A (cos800,sin800),B (cos200,sin200)，则|AB |的值是 ( ) (A) 12(B)22 (C) 32(D) 1 3. 02年北京国际数学家大会会标是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形,若直角三角形中较小的锐角为θ,大正方形的面积为1,小正方形的面积是125,则sin 2θ-cos 2θ的值是 ( ) (A) 1 (B) 2425(C) 725(D) -7254.D 、C 、B 三点在地面同一直线上,DC =a ,从C 、D 两点测得A 点的仰角分别是α、 β（α>β）,则A 点离地面的高度等于 ( ) (A) tan tan tan tan a αβαβ- (B) tan tan 1tan tan a αβαβ+ (C)tan tan tan a ααβ- (D) 1tan tan aαβ+5.甲、乙两人从直径为2r 的圆形水池的一条直径的两端同时按逆时针方向沿池做圆周运动,已知甲速是乙速的两倍,乙绕池一周为止,若以θ表示乙在某时刻旋转角的弧度数, l 表示甲、乙两人的直线距离，则l =f (θ)的图象大致是 ( )6.电流强度I (安培)随时间t(秒)变化的函数I =A sin(ωt +φ)的图象如图所示，则当t =7120秒时的电流强度 ( )(A)0 (B)10 (C)-10 (D)5 二.填空题7.三角形的内角x 满足2cos2x +1=0则角x = ;8. 一个扇形的弧长和面积的数值都是5，则这个扇形中心角的度数是 ; 9. 设y =f (t )是某港口水的深度y (米)关于时间t (小时)的函数，其中0≤t ≤24.下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t 与水深y 的关系：t3691215182124y 12 15.1 12.1 9.1 11.9 14.9 11.9 8.9 12.1经长期观察，函数y =f (t )的图象可以近似地看成函数y =k +A sin(ωt +φ)的图象.则一个能AB CD α β θ l 2r o 2ππ A θ l 2r o π 2π B θ l 2r o 2π 4π C 2rθl o π 2π D-2r tI 130010o -104300x近似表示表中数据间对应关系的函数是 .10.直径为10cm 的轮子有一长为6cm 的弦，P 是该弦的中点，轮子以5弧度/秒的角速度旋转，则经过5秒钟后点P 经过的弧长是 . 三.解答题11.以一年为一个周期调查某商品出厂价格及该商品在商店销售价格时发现：该商品的出厂价格是在6元基础上按月份随正弦曲线波动的,已知3月份出厂价格最高为8 元,7月份出厂价格最低为4元;而该商品在商店的销售价格是在8元基础上按月份也是随正弦曲线波动的.并已知5月份销售价最高为10元.9月份销售价最低为6元.假设某商店每月购进这种商品m 件，且当月能售完，请估计哪个月盈利最大？并说明理由.12.一个大风车的半径为8米，12分钟旋转一周，它的最低点离地面2米，求风车翼片的一个端点离地面距离h (米)与时间 t (分钟)之间的函数关系式.13.一铁棒欲通过如图所示的直角走廊，试回答下列问题：（1）证明棒长L (θ)= 965sin 5cos θθ+；（2）当θ∈(0,2π)时,作出上述函数的图象（可用计算器或计算机）；（3）由(2)中的图象求L (θ)的最小值；（4）解释(3)中所求得的L 是能够通过这个直角走廊的铁棒的长度的最大值.2m8mhP1.2m1.8m θA B C E D FO第二章平面向量§2.1 平面向量的实际背景及基本概念班级___________姓名____________学号____________得分____________一、选择题 1．下列物理量中，不能称为向量的是（） A ．质量 B ．速度 C ．位移 D ．力2．设O 是正方形ABCD 的中心，向量AO OB CO OD、、、是（） A ．平行向量 B ．有相同终点的向量 C ．相等向量 D ．模相等的向量 3．下列命题中，正确的是（） A ．|a | = |b |⇒a = b B ．|a |> |b |⇒a > b C ．a = b ⇒a 与b 共线 D ．|a | = 0⇒a = 0 4．在下列说法中，正确的是（） A ．两个有公共起点且共线的向量，其终点必相同; B ．模为0的向量与任一非零向量平行;C ．向量就是有向线段;D ．若|a |=|b |，则a =b5．下列各说法中，其中错误的个数为（）（1）向量AB 的长度与向量BA的长度相等;（2）两个非零向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反;（3）两个有公共终点的向量一定是共线向量;（4）共线向量是可以移动到同一条直线上的向量;（5）平行向量就是向量所在直线平行A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个 *6．△ABC 中，D 、E 、F 分别为BC 、CA 、AB 的中点，在以A 、B 、C 、D 、E 、F 为端点的有向线段所表示的向量中，与EF共线的向量有（） A ．2个 B ．3个 C ．6个 D ．7个二、填空题7．在(1)平行向量一定相等；(2)不相等的向量一定不平行；(3)共线向量一定相等；(4)相等向量一定共线；(5)长度相等的向量是相等向量；(6)平行于同一个向量的两个向量是共线向量中，说法错误的是_______________________．8．如图，O 是正方形ABCD 的对角线的交点，四边形OAED 、OCFB 是正方形，在图中所示的向量中，（1）与AO相等的向量有_________________________；（2）与AO共线的向量有_________________________；（3）与AO 模相等的向量有_______________________；（4）向量AO 与CO是否相等？答：_______________．9．O 是正六边形ABCDEF 的中心，且AO = a ，OB = b ，AB =c ，在以A 、B 、C 、D 、E 、F 、O 为端点的向量中：（1）与a 相等的向量有；（2）与b 相等的向量有；（3）与c 相等的向量有．*10．下列说法中正确是_______________（写序号）（1）若a 与b 是平行向量，则a 与b 方向相同或相反；（2）若AB 与CD共线，则点A 、B 、C 、D 共线；（3）四边形ABCD 为平行四边形，则AB =CD；（4）若a = b ，b = c ，则a = c ；O A BCD E FA B P a bc d e （5）四边形ABCD 中，AB DC = 且||||AB AD =，则四边形ABCD 为正方形；（6）a 与b 方向相同且|a | = |b |与a = b 是一致的；三、解答题11．如图，以1×3方格纸中两个不同的格点为起点和终点的所有向量中，有多少种大小不同的模？有多少种不同的方向？12．在如图所示的向量a 、b 、c 、d 、e 中（小正方形边长为1）是否存在共线向量？相等向量？模相等的向量？若存在，请一一举出．13．某人从A 点出发向西走了200m 达到B 点，然后改变方向向西偏北600走了450m 到达C 点，最后又改变方向向东走了200m 到达D 点（1）作出向量AB 、BC、CD （1cm 表示200m ）；（2）求DA的模． *14．如图，中国象棋的半个棋盘上有一只“马”，开始下棋时它位于A 点，这只“马”第一步有几种可能的走法？试在图中画出来；若它位于图中的P 点，则这只“马”第一步有几种可能的走法？它能否走若干步从A 点走到与它相邻的B 点处？BADCO§2.2. 1 向量加减运算及几何意义班级___________姓名____________学号____________得分____________一、选择题1．化简PM PN MN -+所得的结果是（）A ．MPB ．NPC ．0D ．MN2．设OA = a ，OB =b 且|a |=| b |=6，∠AOB =120︒，则|a －b |等于（）A ．36B ．12C ．6D ．363．a ，b 为非零向量，且|a + b |=| a |+| b |，则（） A ．a 与b 方向相同 B ．a = b C ．a =－b D ．a 与b 方向相反4．在平行四边形ABCD 中，若||||BC BA BC AB +=+，则必有（）A ．ABCD 为菱形B ．ABCD 为矩形C ．ABCD 为正方形 D ．以上皆错 5．已知正方形ABCD 边长为1，AB =a ，BC =b ，AC=c ，则|a+b+c |等于（） A ．0 B ．3 C ．22 D ．2*6．设()()AB CD BC DA +++=a ，而b 是一非零向量，则下列个结论：(1) a 与b 共线；（2）a +b = a ；(3) a + b = b ；(4)| a + b |<|a |+|b |中正确的是（） A ．(1) (2) B ．(3) (4) C ．(2) (4) D ．(1) (3) 二、填空题7．在平行四边形ABCD 中，AB = a ，AD = b ，则CA = __________，BD =_______． 8．在a =“向北走20km ”，b =“向西走20km ”，则a + b 表示______________． 9．若||AB = 8，||AC = 5，则||BC的取值范围为_____________．*10．一艘船从A 点出发以32km /h 的速度向垂直于河岸的方向行驶，而船实际行驶速度的大小为4km /h ，则河水的流速的大小为___________．三、解答题11．如图，O 是平行四边形ABCD 外一点，用OA OB OC 、、表示OD．F ED C B A 12．如图，在任意四边形ABCD 中，E 、F 分别为AD 、BC 的中点，求证：AB DC EF EF +=+．13．飞机从甲地按南偏东100方向飞行2000km 到达乙地，再从乙地按北偏西700方向飞行2000km 到达丙地，那么丙地在甲地的什么方向？丙地距离甲地多远？ *14．点D 、E 、F 分别是△ABC 三边AB 、BC 、CA 上的中点，求证：（1）AB BE AC CE +=+；（2）EA FB DC ++= 0．CABFED§2. 2. 2 向量数乘运算及其几何意义班级___________姓名____________学号____________得分____________一、选择题1．已知向量a = e 1-2 e 2，b =2 e 1+e 2, 其中e 1、e 2不共线，则a +b 与c =6 e 1-2 e 2的关系为（） A ．不共线 B ．共线 C ．相等 D ．无法确定2．已知向量e 1、e 2不共线，实数(3x -4y )e 1＋(2x -3y )e 2 =6e 1+3e 2 ,则x －y 的值等于（） A ．3 B ．-3 C ．0 D ．23．若AB=3a , CD =－5a ,且||||AD BC =,则四边形ABCD 是（） A ．平行四边形 B ．菱形 C ．等腰梯形 D ．不等腰梯形4．AD 、BE 分别为△ABC 的边BC 、AC 上的中线，且AD =a ,BE=b ,那么BC 为（）A ．32a ＋34b B ．32a －32b C ．32a －34b D ．－32a ＋34b 5．已知向量a ,b 是两非零向量，在下列四个条件中，能使a ,b 共线的条件是（） ①2a -3b =4e 且a +2b = -3e②存在相异实数λ ，μ，使λa -μb =0 ③x a +y b =0 (其中实数x , y 满足x +y =0) ④已知梯形ABCD ，其中AB =a ,CD=bA ．①②B ．①③C ．②D ．③④*6．已知△ABC 三个顶点A 、B 、C 及平面内一点P ，若PA PB PC AB ++=，则（）A ．P 在△ABC 内部B ．P 在△ABC 外部 C ．P 在AB 边所在直线上D ．P 在线段BC 上二、填空题7．若|a |=3,b 与a 方向相反,且|b |=5,则a = b8．已知向量e 1 ,e 2不共线，若λe 1－e 2与e 1－λe 2共线,则实数λ= 9．a ,b 是两个不共线的向量，且AB=2a ＋k b ,CB =a ＋3b ,CD =2a －b ,若A 、B 、D 三点共线，则实数k 的值可为*10．已知四边形ABCD 中，AB=a －2c ,CD =5a ＋6b －8c 对角线AC 、BD 的中点为E 、F ，则向量EF =三、解答题11．计算：⑴(－7)×6a =⑵4(a ＋b )－3(a －b )－8a = ⑶(5a －4b ＋c )－2(3a －2b ＋c )=12．如图，设AM 是△ABC 的中线，AB =a , AC =b ,求AM13．设两个非零向量a 与b 不共线,⑴若AB =a ＋b ,BC =2a ＋8b ,CD=3(a －b ) ,求证：A 、B 、D 三点共线; ⑵试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线.*14．设OA ,OB 不共线,P 点在AB 上,求证:OP =λOA +μOB且λ+μ=1(λ, μ∈R).§2. 3. 1平面向量基本定理及坐标表示（1）班级___________姓名____________学号____________得分____________一、选择题1．下列向量给中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（） A ．e 1=(0,0), e 2 =(1,－2) ; B ．e 1=(-1,2),e 2 =(5,7); C ．e 1=(3,5),e 2 =(6,10); D ．e 1=(2,-3) ,e 2 =)43,21(-2．已知向量a 、b ，且AB=a +2b ,BC = -5a +6b ,CD =7a -2b ,则一定共线的三点是（）A ．A 、B 、D B ．A 、B 、C C ．B 、C 、D D ．A 、C 、D 3．如果e 1、 e 2是平面α内两个不共线的向量，那么在下列各说法中错误的有（）①λe 1＋μe 2(λ, μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；②对于平面α中的任一向量a ,使a =λe 1＋μe 2的λ, μ有无数多对；③若向量λ1e 1+μ1e 2与λ2e 1+μ2e 2共线,则有且只有一个实数k ,使λ2e 1+μ2e 2=k (λ1e 1+μ1e 2)； ④若实数λ, μ使λe 1＋μe 2=0，则λ=μ=0.A ．①②B ．②③C ．③④D ．仅②4．过△ABC 的重心任作一直线分别交AB 、AC 于点D 、E ，若AD =x AB ,AE =y AC,xy ≠0，则11xy+的值为（） A ．4 B ．3 C ．2 D ．15．若向量a =(1,1),b =（1,-1) ,c =(-2,4) ,则c = ( ) A ．-a +3b B ．3a -b C ．a -3b D ．-3a +b*6．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A (3,1),B (-1,3),若点C (x , y )满足OC =αOA +βOB，其中α,β∈R 且α+β=1，则x , y 所满足的关系式为（）A ．3x +2y -11=0B ．(x -1)2+(y -2)2=5C ．2x -y =0D ．x +2y -5=0 二、填空题7．作用于原点的两力F 1 =(1,1) ,F 2 =(2,3) ,为使得它们平衡，需加力F 3= ;8．若A (2,3)，B (x , 4),C (3,y ),且AB=2AC ,则x = ，y = ;9．已知A (2,3),B (1,4)且12AB=(sin α,cos β), α,β∈(-2π,2π),则α+β=*10．已知a =(1,2) ,b =(-3,2),若k a +b 与a -3b 平行，则实数k 的值为三、解答题11.已知向量b 与向量a =(5,-12)的方向相反，且|b |=26,求b12．如果向量AB=i -2j ,BC=i +m j ,其中i 、j 分别是x 轴、y 轴正方向上的单位向量，试确定实数m 的值使A 、B 、C 三点共线。

高中数学习题必修4及答案.docx

目录：数学4 （必修）第一章：解三角形［基础训练A 组］一、选择题1. 在AABC 中，若C=90°,a = 6,B = 30°,则c-b 等于（）A. 1B. -1C. 2羽D. -2A /32. 若4为AABC 的内角，则下列函数中一定取正值的是（）A. sin A B ・ cos A4 1C ・ tan AD ・ -------tan A 3. 在2XABC 中，角均为锐角，且cos4〉sin则Z\ABC 的形状是（） A. 直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形4. 等腰三角形一腰上的高是舲，这条高与底边的夹角为60°,则底边长为（）数学4 （必修）第一章: 数学4 （必修）第一章: 数学4 （必修）第一章: 数学4 （必修）第二章: 数学4 （必修）第二章: 数学4 （必修）第二章: 数学4 （必修）第三章: 数学4 （必修）第三章: 数学4 （必修）第三章: 解三角形［基础训练A组］解三角形［综合训练B 组］解三角形［提高训练C 组］数列［基础训练A 组］数列［综合训练B 组］数列［提高训练C 组］不等式［基础训练A 组］不等式［综合训练B 组］不等式［提高训练C组］A. 2B. —C. 3D. 2A/325.在△ABC 中，若b = 2asinB,则4 等于（）A. 30°或60°B. 45°或60°C. 120°或60°D. 30°或150°6.边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（）A. 90°B. 120°C. 135°D. 150°二、填空题1.在Rt AABC 中，C = 90°,贝Osin A sin 5的最大值是 _____________ 。

2.在AABC 中，^a2 =b~ +bc + c~,贝= _____________ 。

人教a版数学必修四测试题答案及解析

人教a版数学必修四测试题答案及解析一、选择题1. 若函数f(x)=x^2-6x+c的图象与x轴有两个交点，则c的取值范围是（）A. c > 9B. c < 9C. c > 0D. c < 0答案：B解析：根据二次函数的图象与x轴交点个数与判别式的关系，当Δ=b^2-4ac > 0时，图象与x轴有两个交点。

将函数f(x)=x^2-6x+c 的系数代入Δ=36-4c，要使Δ > 0，需满足c < 9。

2. 已知等比数列{a_n}的公比q=2，且a_1=1，则a_5的值为（）A. 16B. 32C. 64D. 128答案：A解析：等比数列的通项公式为a_n = a_1 * q^(n-1)，将已知条件代入公式得a_5 = 1 * 2^(5-1) = 2^4 = 16。

二、填空题3. 已知函数f(x)=x^3-3x+1，求f'(x)。

答案：f'(x) = 3x^2 - 3解析：根据导数的计算规则，对于函数f(x)=x^3-3x+1，其导数f'(x)为3x^2-3。

4. 求直线y=2x+3与x轴的交点坐标。

答案：(-3/2, 0)解析：令y=0，解方程2x+3=0，得到x=-3/2，所以交点坐标为(-3/2, 0)。

三、解答题5. 已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_3=9，S_6=24，求a_4。

答案：a_4 = 5解析：设等差数列的首项为a_1，公差为d，则S_3 = 3a_1 + 3d = 9，S_6 = 6a_1 + 15d = 24。

联立解得a_1 = 1，d = 2。

因此a_4 = a_1 + 3d = 1 + 3*2 = 7。

6. 求函数f(x)=x^2-4x+c在区间[1,3]上的最小值。

答案：最小值为c-3解析：函数f(x)=x^2-4x+c的对称轴为x=2，开口向上。

在区间[1,3]上，函数在x=2处取得最小值，代入x=2得到f(2)=4-8+c=c-4。

高一数学必修4全册习题(答案详解)

高一三角同步练习1（角的概念的推广）一．选择题1、下列角中终边与330°相同的角是（）A ．30°B ．-30°C ．630°D ．-630°2、－1120°角所在象限是（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3、把－1485°转化为α＋k ·360°（0°≤α＜360°, k ∈Z ）的形式是（） A ．45°－4×360°B ．－45°－4×360°C ．－45°－5×360°D ．315°－5×360°4、终边在第二象限的角的集合可以表示为：（） A ．｛α∣90°<α<180°｝B ．｛α∣90°＋k ·180°<α<180°＋k ·180°，k ∈Z ｝C ．｛α∣－270°＋k ·180°<α<－180°＋k ·180°，k ∈Z ｝D ．｛α∣－270°＋k ·360°<α<－180°＋k ·360°，k ∈Z ｝ 5、下列命题是真命题的是（）Α．三角形的内角必是一、二象限内的角 B ．第一象限的角必是锐角C ．不相等的角终边一定不同D ．{}Z k k ∈±⋅=,90360|αα={}Z k k ∈+⋅=,90180|αα 6、已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是（）A ．B=A ∩CB ．B ∪C=C C ．A ⊂CD ．A=B=C7、已知角2α的终边在x 轴的上方，那么α是（）A ．第一象限角B ．第一、二象限角C ．第一、三象限角D ．第一、四象限角 8、若α是第四象限的角，则α- 180是．(89上海)A ．第一象限的角B ．第二象限的角C ．第三象限的角D ．第四象限的角二．填空题1、写出-720°到720°之间与-1068°终边相同的角的集合___________________．2、与1991°终边相同的最小正角是_________,绝对值最小的角是_______________．3、若角α的终边为第二象限的角平分线，则α的集合为______________________．4、在0°到360°范围内，与角－60°的终边在同一条直线上的角为．三．解答题1、求所有与所给角终边相同的角的集合，并求出其中的最小正角，最大负角：（1）210-；（2）731484'-．2、求θ，使θ与900-角的终边相同，且[]1260180，-∈θ．3、设集合{}Z k k x k x A ∈+⋅<<+⋅=,30036060360|, {}Z k k x k x B ∈⋅<<-⋅=,360210360|,求B A ,B A .4、已知角α是第二象限角，求：（1）角2α是第几象限的角；（2）角α2终边的位置。

高中数学人教A版必修4 各章节同步练习+章节测试汇编300页含答案

高中数学人教A版必修4 各章节同步练习(AB卷)+章节测试汇编目录【同步练习】人教A版必修4数学《角和弧度制》同步练习(A)含答案【同步练习】人教A版必修4数学《角和弧度制》同步练习(B)含答案【同步练习】人教A版必修4数学《任意角的三角函数》同步练习(A)含答案【同步练习】人教A版必修4数学《任意角的三角函数》同步练习(B)含答案【同步练习】人教A版必修4数学《三角函数的诱导公式》同步练习(A)含答案【同步练习】人教A版必修4数学《三角函数的诱导公式》同步练习(B)含答案【同步练习】人教A版必修4数学《三角函数的图象与性质》同步练习(A)含答案【同步练习】人教A版必修4数学《三角函数的图象与性质》同步练习(B)含答案【同步练习】人教A版必修4数学《函数y=Asin(ωx+φ)的图象》同步练习(A)含答案【同步练习】人教A版必修4数学《函数y=Asin(ωx+φ)的图象》同步练习(B)含答案【同步练习】人教A版必修4数学《三角函数模型的简单应用》同步练习(A)含答案【同步练习】人教A版必修4数学《三角函数模型的简单应用》同步练习(B)含答案人教A版必修4高中数学第一章三角函数综合测试卷(A)含答案人教A版必修4高中数学第一章三角函数综合测试卷(B)含答案【同步练习】人教A版必修4数学《平面向量的实际背景及基本概念》同步练习(A)含答案【同步练习】人教A版必修4数学《平面向量的实际背景及基本概念》同步练习(B)含答案【同步练习】人教A版必修4《平面向量的基本定理》同步练习(A)含答案【同步练习】人教A版必修4《平面向量的基本定理》同步练习(B)含答案【同步练习】人教A版必修4《平面向量的数量积》同步练习(A)含答案【同步练习】人教A版必修4《平面向量的数量积》同步练习(B)含答案【同步练习】人教A版必修4《平面向量应用举例》同步练习(A)含答案【同步练习】人教A版必修4《平面向量应用举例》同步练习(B)含答案人教A版必修4高中数学第二章平面向量综合测试卷(A)含答案人教A版必修4高中数学第二章平面向量综合测试卷(B)含答案【同步练习】人教A版必修4《简单的三角恒等式》同步练习(A)含答案【同步练习】人教A版必修4《简单的三角恒等式》同步练习(B)含答案【同步练习】人教A版必修4《两角和与差的正弦、余弦和正切公式》同步练习(A)含答案【同步练习】人教A版必修4《两角和与差的正弦、余弦和正切公式》同步练习(B)含答案人教A版必修4《第三章三角恒等变换》综合测试卷(A)含答案人教A版必修4《第三章三角恒等变换》综合测试卷(B)含答案专题一任意角和弧度制测试卷（A 卷）（测试时间：120分钟满分：150分）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．与60-°的终边相相同的角是（） A.3πB. 23πC. 43πD. 53π【答案】D【解析】因为π603o -=-, π5π2π33-=-,所以与60-°的终边相相同的角是5π3;故选D. 2．460是（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第五象限【答案】B【解析】由题意得， 460360100︒=︒+︒，因此460与100︒在同一象限第二象限，故选B. 3．下列角终边位于第二象限的是（）A. 420B. 860C. 1060D. 1260【答案】B【解析】00042036060=+终边位于第一象限， 0008602360140=⨯+终边位于第二象限，选B. 4．已知圆的半径为π，则060圆心角所对的弧长为（）A. 3πB. 23πC. 23πD. 223π【答案】C【解析】60化为弧度制为3π，由弧长公式有233l r ππαπ==⨯=，选C.5．终边在第二象限的角的集合可以表示为( ) A. 00{|90180}αα<<B. 0{|270360180360,}k k k Z αα-+⋅<<-+⋅∈ C. 0{|90180180180,}k k k Z αα+⋅<<+⋅∈ D. 0{|270180180180,}k k k Z αα-+⋅<<-+⋅∈ 【答案】B6．下列说法中， ①与角5π的终边相同的角有有限个； ②圆的半径为6，则15 的圆心角与圆弧围成的扇形面积为23π；正确的个数是 ( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个【答案】B【解析】①错；②22113156221802S r ππα==⨯⨯⨯=,对；因而正确的个数为0.选B.7．已知扇形的半径为2，面积为4，则这个扇形圆心角的弧度数为（）【答案】B【解析】由扇形面积公式12S lr =，则4l =，又422l r α===．故本题答案选B ． 8．已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是（） A. B.C.D. A=B=C【答案】B【解析】锐角必小于,故选B.9．已知α是锐角，则2α是（）A. 第一象限角B. 第二象限角C. 小于180的正角D. 第一或第二象限角【答案】C【解析】α是锐角,∴()20απ∈，，∴2α是小于180的正角.10．扇形的圆心角为）A.54πB. πC. 3D.29 【答案】A【解析】扇形的面积2211552264S R ππθ==⨯⨯=11．终边在直线y x =上的角的集合是（） A. {|,}4k k Z πααπ=+∈ B. {|2,}4k k Z πααπ=+∈C. 3{|,}4k k Z πααπ=+∈D. 5{|2,}4k k Z πααπ=+∈【答案】A【解析】与α终边在一条直线上的角的集合为{|,}k k Z ββαπ=+∈，∴与4π终边在同一直线上的角的集合是{|,}4a k k Z παπ=+∈.故选A.12．已知α为第三象限角，则2α所在的象限是（）A. 第一或第三象限B. 第二或第三象限C. 第一或第三象限D. 第二或第四象限【答案】D第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．的角属于第_________象限.【答案】二【解析】在第二象限,所以的角属于第二象限14．53π-的角化为角度制的结果为__________， 135-的角化为弧度制的结果为__________．【答案】 300- 34π- 【解析】由题意得， 5518030033π-=-⨯︒=-︒， 135- 31351804ππ=-︒⨯=-︒ .15.已知扇形的半径为4cm ，弧长为12cm ，则扇形的圆周角为；【答案】3 【解析】3412===r l α 16．已知扇形的周长为10cm ，面积为42cm ，则扇形的中心角等于__________（弧度）. 【答案】12【解析】由题意2108{{ 81r l l lr r +==⇒==或2{ 4l r ==，则圆心角是12l r α==，应填答案12.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．写出(0)y x x =±≥所夹区域内的角的集合。

(完整版)高中数学必修四(综合测试题+详细答案)(可编辑修改word版)

232a -b 2 a - b 2a - ba - b一、选择题（12 道）必修四综合复习1．已知 AB = (6,1), BC = (x , y ), C D = (-2,-3),且BC ∥ DA ，则 x+2y 的值为（）1 A ．0B. 2C.D. －222. 设0 ≤< 2，已知两个向量OP 1 = (cos , sin )， OP 2 = (2 + sin , 2 - cos )，则向量 P 1 P 2 长度的最大值是（） A. B. C. 3 D. 23.已知向量 a ， b 满足 a = 1, b = 4, 且 a ⋅ b = 2 则 a 与b 的夹角为A.B ．C ．D ．64 3 24. 如图 1 所示，D 是△ABC 的边 AB 上的中点，则向量CD = （）A. - BC + 1 1BA2B. - BC - 1BA 21C. BC - BA 2D. BC + BA25. 设 a 与b 是两个不共线向量，且向量 a +b 与-(b - 2a )共线，则=（）A ．0B ．－1C ．－2D ．0.56. 已知向量 a =( 3,1)， b 是不平行于 x 轴的单位向量，且a ⋅ b =，则b =（）A． ⎛ 3 1 ⎫B．⎛ 1 3 ⎫C．⎛ 1 3 3 ⎫ D ．（1，0）, ⎪, ⎪ , ⎪⎝ 2 2 ⎭ ⎝ 2 2 ⎭⎝ 4 4 ⎭7．在∆OAB 中， = a ， = b ， OD 是 AB 边上的高，若 =，则实数等于（）OAA. a ⋅ (b - a )OB B. a ⋅ (a - b )C. a ⋅ (b - a ) AD ABD. a ⋅ (a - b )8.在∆ABC 中， a , b , c 分别为三个内角 A 、B 、C 所对的边,设向量 m = (b - c , c - a ), n = (b , c + a ) ，若向量 m ⊥ n ，则角 A 的大小为（）2A.B ．C ．D ．632 39.设∠BAC 的平分线 AE 与 BC 相交于 E ，且有 BC = CE , 若 AB = 2 A C 则等于（）1 1 A 2BC －3D －2310.函数 y = sin x cos x + 3 cos 2x -的图象的一个对称中心是（）A. ( , 33 3 , - 3)2 , -3 )B. ( 5 ,- 3 ) C. (- 23 ) D. ( 3 2 62 3 233 2 b 11. (1+ tan 210 )(1+ tan 220 )(1+ tan 230 )(1+ tan 240 ) 的值是()A. 16B. 8C. 4D. 2cos 2 x12．当0 < x <时,函数 f (x ) = 41cos x sin x - sin 2x1 的最小值是（）A. 4B.C ． 2D ．24二、填空题（8 道） 13．已知向量 a = (cos , s in ) ，向量= ( 3, -1) ，则 2a - 的最大值是．b b14．设向量 a 与的夹角为，且 a= (3,3) ， 2b - a = (-1,1) ，则cos=．15．在∆AOB 中， O A = (2 c os,2 s in ), OB = (5 c os,5sin ) ，若OA ⋅ O B = -5 ，则∆AOB 的面积为.16. tan 20 + tan 40 + tan 20tan 40 的值是 .3 517. ABC 中， sin A = 5 ， cos B =13，则cos C =.18. 已知sin + c os = 1， s in - c os = 3 1 ，则sin(- ) =.2⎡ ⎤19. 函数 y = sin x + cos x 在区间 ⎢⎣0, 2 ⎥⎦上的最小值为．20. 函数 y = (a cos x + b sin x ) cos x 有最大值2 ，最小值-1，则实数 a =， b =.三、解答题（3 道）21. 已知|a|= ，|b|=3，向量 a 与向量 b 夹角为45 ，求使向量 a+b 与a+b 的夹角是锐角时，的取值范围3dongguan XueDa Personalized Education Development Center22 .已知向量 a = (sin ,-2) 与b = (1, c os ) 互相垂直，其中∈(0, ) ．2（1）求sin 和cos 的值；（2）若sin(-) =, 0 <<，求cos的值．10223.）已知向量 a = (sin , cos - 2 sin ), b = (1, 2).若| a |=| b |, 0 << , 求的值。

人教A版高中数学必修四测试题及答案全套

人教A版高中数学必修四测试题及答案全套人教A版高中数学必修四测试题及答案全套阶段质量检测（一）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1.在0°～360°的范围内，与-510°终边相同的角是()A。

330° B。

210° C。

150° D。

30°2.若sinα = 3/3，π/2 < α < π，则sin(α+π/2) = ()A。

-6/3 B。

-1/2 C。

16/2 D。

33.已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是()A。

2 B。

2sin1 C。

2sin1 D。

sin24.函数f(x) = sin(x-π/4)的图象的一条对称轴是()A。

x = π/4 B。

x = π/2 C。

x = -π/4 D。

x = -π/25.化简1+2sin(π-2)·cos(π-2)得()A。

sin2+cos2 B。

cos2-sin2 C。

sin2-cos2 D。

±cos2-sin26.函数f(x) = tan(x+π/4)的单调增区间为()A。

(kπ-π/2.kπ+π/2)，k∈Z B。

(kπ。

(k+1)π)，k∈ZC。

(kπ-4π/4.kπ+4π/4)，k∈Z D。

(kπ-3π/4.kπ+3π/4)，k∈Z7.已知sin(π/4+α) = 1/√2，则sin(π/4-α)的值为()A。

1/3 B。

-1/3 C。

1/2 D。

-1/28.设α是第三象限的角，且|cosα| = α/2，则α的终边所在的象限是()A。

第一象限 B。

第二象限 C。

第三象限 D。

第四象限9.函数y = cos2x+sinx在[-π/6.π/6]的最大值与最小值之和为()A。

3/4 B。

2 C。

1/3 D。

4/310.将函数y = sin(x-π/3)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移一个单位，得到的图象对应的解析式为()A。

新人教A版高中数学必修四综合练习测试题(含答案)

高二数学必修4 综合练习姓名一、选择题1.下列命题正确的是A.第一象限角是锐角B.钝角是第二象限角C.终边相同的角一定相等D.不相等的角，它们终边必不相同 2.函数12sin()24y x π=-+的周期，振幅，初相分别是A.4π，2，4π B. 4π，2-，4π- C. 4π，2，4π D. 2π，2，4π3.如果1cos()2A π+=-，那么sin()2A π+=A.12B.12C.12D.124.函数2005sin(2004)2y x π=-是A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既是奇函数又是偶函数 5.给出命题（1）零向量的长度为零，方向是任意的. （2）若a ，b 都是单位向量，则a ＝b . （3）向量AB 与向量BA 相等.（4）若非零向量AB 与CD 是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点共线. 以上命题中，正确命题序号是A.（1）B.（2）C.（1）和（3）D.（1）和（4） 6.如果点(sin 2P θ，cos 2)θ位于第三象限，那么角θ所在象限是 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限7.在四边形ABCD 中，如果0AB CD =，AB DC =，那么四边形ABCD 的形状是 A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.直角梯形 8.若α是第一象限角，则sin cos αα+的值与1的大小关系是 A.sin cos 1αα+> B.sin cos 1αα+= C.sin cos 1αα+< D.不能确定 9.在△ABC 中，若sin 2cos sin C A B =，则此三角形必是A.等腰三角形B.正三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形 10.如图，在△ABC 中，AD 、BE 、CF 分别是BC 、CA 、AB 上的中线，它们交于点G ，则下列各等式中不正确的是A.23BG BE = B.2CG GF =C.12DG AG =D.121332DA FC BC +=二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）11.设扇形的周长为8cm ，面积为24cm ，则扇形的圆心角的弧度数是 .12.已知tan 2α=，3tan()5αβ-=-，则tan β= . 13.已知(3a =，1)，(sin b α=，cos )α，且a ∥b ，则4sin 2cos 5cos 3sin αααα-+＝ .14.给出命题：（1）在平行四边形ABCD 中，AB AD AC +=.（2）在△ABC 中，若0AB AC <，则△ABC 是钝角三角形. （3）在空间四边形ABCD 中，,E F 分别是,BC DA 的中点，则1()2FE AB DC =+. 以上命题中，正确的命题序号是 . 三、解答题15.已知3sin 25α=，53[,]42αππ∈. （1）求cos2α及cos α的值；（2）求满足条件sin()sin()2cos x x ααα--++=的锐角x .16. 设两个非零向量1e 和2e 不共线.(1) 如果AB =1e +2e ，BC =128e +2e ，CD =133e -2e ，求证：A 、B 、D 三点共线； (2) 若||1e =2，||2e =3，1e 与2e 的夹角为60，是否存在实数m ，使得m 1e 2e +与1e -2e 垂直？并说明理由.17.已知函数()sin 22x x f x =，x R ∈.（1）求函数()f x 的最小正周期，并求函数()f x 在[2,2]x ππ∈-上的单调递增区间；（2）函数()sin ()f x x x R =∈的图象经过怎样的平移和伸缩变换可以得到函数()f x 的图象.18.某港口海水的深度y （米）是时间t （时）（240≤≤t ）的函数，记为：)(t f y = 已知某日海水深度的数据如下：)(t f y =b t A y +=ωsin （1）试根据以上数据，求出函数b t A t f y +==ωsin )(的振幅、最小正周期和表达式；（2）一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的（船舶停靠时，船底只需不碰海底即可）。

必修4数学试题及答案

必修4数学试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 下列函数中，哪一个是奇函数？A. \(y = x^2\)B. \(y = x^3\)C. \(y = \sin x\)D. \(y = \cos x\)答案：C2. 已知函数\(f(x) = 2x + 1\)，则\(f(-1)\)的值为？A. 1B. -1C. 3D. -3答案：B3. 计算\(\int_{0}^{1} x^2 dx\)的值是多少？A. \(\frac{1}{3}\)B. \(\frac{1}{2}\)C. \(\frac{2}{3}\)D. \(\frac{3}{2}\)答案：A4. 以下哪个数列是等差数列？A. \(1, 2, 4, 8\)B. \(1, 3, 5, 7\)C. \(2, 4, 6, 8\)D. \(3, 6, 9, 12\)答案：B5. 已知\(a\)和\(b\)是方程\(x^2 - 5x + 6 = 0\)的两个根，则\(a + b\)的值为？A. 2B. 3C. 4D. 5答案：B二、填空题（每题4分，共20分）1. 已知\(\cos \theta = \frac{3}{5}\)，则\(\sin \theta\)的值为\(\_\_\_\_\)。

答案：\(\frac{4}{5}\)2. 函数\(y = x^2 - 6x + 5\)的顶点坐标为\(\_\_\_\_\)。

答案：\((3, -4)\)3. 等比数列\(1, 2, 4, \ldots\)的第5项为\(\_\_\_\_\)。

答案：164. 已知\(\tan \alpha = 2\)，则\(\sin \alpha\)的值为\(\_\_\_\_\)。

答案：\(\frac{2\sqrt{5}}{5}\)5. 函数\(y = \log_2 x\)的定义域为\(\_\_\_\_\)。

答案：\((0, +\infty)\)三、解答题（共60分）1. 解方程\(x^2 - 5x + 6 = 0\)。

高中数学必修四各章节练习题(附带答案解析)

1．已知中学生一节课的上课时间一般是45分钟，那么，经过一节课，分针旋转形成的角是( )A ．120°B ．－120°C ．270°D ．－270°解析：分针旋转形成的角是负角，每60分钟转动一周，所以一节课45分钟分针旋转形成的角是－360°×4560＝－270°.答案：D2．下列叙述正确的是( )A ．第一或第二象限的角都可作为三角形的内角B ．始边相同而终边不同的角一定不相等C ．第四象限角一定是负角D ．钝角比第三象限角小解析：－330°角是第一象限角，但不能作为三角形的内角，故A 错；280°角是第四象限角，它是正角，故C 错；－100°角是第三象限角，它比钝角小，故D 错．答案：B3．若α是第四象限角，则180°－α是第________象限角．解析：∵角α与角－α的终边关于x 轴对称，又∵角α的终边在第四象限，∴角－α终边在第一象限，又角－α与180°－α的终边关于原点对称，∴角180°－α的终边在第三象限．答案：三4．在0°～360°范围内：与－1 000°角终边相同的最小正角是________，是第________象限角．解析：－1 000°＝－3×360°＋80°，∴与－1 000°角终边相同的最小正角是80°，为第一象限角．答案：80° 一5．在角的集合{α|α＝k ·90°＋45°，k ∈Z }中， (1)有几种终边不相同的角？(2)若－360°<α<360°，则集合中的α共有多少个？解：(1)在给定的角的集合中终边不相同的角共有四种，分别是与45°、135°、－135°、－45°终边相同的角．(2)令－360°<k ·90°＋45°<360°，得－92<k <72. 又∵k ∈Z ，∴k ＝－4，－3，－2，－1,0,1,2,3， ∴满足条件的角共有8个．1．下列命题中，正确的是( ) A ．1弧度是1度的圆心角所对的弧 B ．1弧度是长度为半径的弧C ．1弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角D ．1弧度是1度的弧与1度的角之和解析：利用弧度的概念可直接推得C 为正确选项．答案：C2．2 100°化成弧度是( ) A.35π3 B ．10π C.28π3D.25π3解析：2 100°＝2 100×π180＝35π3. 答案：A3．若扇形的圆心角为60°，半径为6，则扇形的面积为________．解析：扇形的面积S ＝12|α|r 2＝12×π3×62＝6π. 答案：6π4．若θ角的终边与8π5角的终边相同，在[0,2π)内与θ4角的终边相同的角是________．解析：由题设知θ＝2k π＋8π5，k ∈Z ，则θ4＝k π2＋2π5，k ∈Z . ∴当k ＝0时，θ4＝2π5；当k ＝1时，θ4＝9π10；当k ＝2时，θ4＝7π5；当k ＝3时，θ4＝19π10. 答案：2π5，9π10，7π5，19π105．已知α＝－800°.(1)把α改写成β＋2k π(k ∈Z,0≤β<2π)的形式，并指出α的终边在第几象限；(2)求 γ角，使γ与α角的终边相同，且γ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2.解：(1)∵－800°＝－3×360°＋280°，280°＝14π9， ∴α＝14π9＋(－3)×2π，α角与14π9的终边相同， ∴α是第四象限角．(2)∵与α角终边相同的角为2k π＋α，k ∈Z ，α与14π9终边相同， ∴γ＝2k π＋14π9，k ∈Z .又∵γ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴－π2<2k π＋14π9<π2，当k ＝－1时，不等式成立， ∴γ＝－2π＋14π9＝－4π9.1．有下列说法：①终边相同的角的同名三角函数的值相等； ②终边不同的角的同名三角函数的值不等； ③若sin α>0，则α是第一、二象限的角；④若α是第二象限的角，且P (x ，y )是其终边上一点，则cos α＝－xx 2＋y2，其中不正确的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案：D2．若点P 的坐标是(sin2，cos2)，则点P 位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案：D3．sin420°＝________.答案：324．使得lg(cos αtan α)有意义的角α是第________象限角．解析：要使原式有意义，必须cos αtan α>0，即需cos α，tan α同号，所以α是第一或第二象限角．答案：一或二 5．求下列各式的值．(1)sin1 470°；(2)cos 9π4；(3)tan(－116π)．解：(1)sin1 470°＝sin(4×360°＋30°)＝sin30°＝12. (2)cos 9π4＝cos(2π＋π4)＝cos π4＝22. (3)tan(－11π6)＝tan(－2π＋π6)＝tan π6＝33.1．已知角α的正弦线的长度为单位长度，那么角α的终边( ) A ．在x 轴上 B ．在y 轴上 C ．在直线y ＝x 上 D ．在直线y ＝－x 上答案：B2．已知11π6的正弦线为MP ，正切线为AT ，则有( ) A ．MP 与AT 的方向相同 B ．|MP |＝|AT | C ．MP >0，AT <0D ．MP <0，AT >0 解析：三角函数线的方向和三角函数值的符号是一致的．MP ＝sin 11π6<0，AT ＝tan 11π6<0.答案：A3．若角α的正弦线的长度为12，且方向与y 轴的正方向相反，则sin α的值为________．答案：－124．函数y ＝lg(sin x －cos x )的定义域为________．解析：利用三角函数线，如下图，MN 为正弦线，OM 为余弦线，要使sin x ≥cos x ，即MN ≥OM ，则π4≤x ≤54π，(在[0,2π]内)．∴定义域为{x |π4＋2k π≤x ≤54π＋2k π，k ∈Z }．答案：{x |π4＋2k π≤x ≤54π＋2k π，k ∈Z }5．在单位圆中画出满足cos α＝12的角α的终边，并写出α组成的集合．解：如图所示，作直线x ＝12交单位圆于M ，N ，连接OM ，ON ，则OM ，ON 为α的终边．由于cos π3＝12，cos 5π3＝12，则M 在π3的终边上，N 在5π3的终边上，则α＝π3＋2k π或α＝5π3＋2k π，k ∈Z . 所以α组成的集合为S ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫αα＝π3＋2k π或α＝5π3＋2k π，k ∈Z .1．已知α是第二象限角，sin α＝513，则cos α＝( ) A ．－1213 B ．－513 C.513D.213解析：因为α是第二象限角，所以cos α<0，故cos α＝－1－sin 2α＝－1－(513)2＝－1213.答案：A2．已知cos α－sin α＝－12，则sin αcos α的值为( ) A.38 B ．±38 C.34D ．±34解析：由已知得(cos α－sin α)2＝sin 2α＋cos 2α－2sin αcos α＝1－2sin αcos α＝14，解得sin αcos α＝38，故选A.答案：A3．若sin θ＝－45，tan θ>0，则cos θ＝________.解析：由已知得θ是第三象限角，所以cos θ＝－1－sin 2θ＝－1－(－45)2＝－35. 答案：－354．已知tan α＝3，则2sin 2α＋4sin αcos α－9cos 2α的值为________．解析：原式＝2sin 2α＋4sin αcos α－9cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan 2α＋4tan α－9tan 2α＋1 ＝2×32＋4×3－932＋1＝2110.答案：21105．若π2<α<π，化简cos α1－cos 2α＋sin α1－sin 2α1－cos 2α.解：因为π2<α<π，所以cos α＝－1－sin 2α，sin α＝1－cos 2α，所以原式＝cos αsin α＋sin α(－cos α)1－cos 2α＝cos αsin α－sin αcos αsin 2α＝cos αsin α－cos αsin α＝0.1．cos(－20π3)等于( ) A.12 B.32 C ．－12D ．－32解析：cos(－20π3)＝cos 20π3 ＝cos(6π＋2π3)＝cos 2π3＝－12. 答案：C2．sin600°＋tan240°的值是( ) A ．－32 B.32 C ．－12＋ 3 D.12＋3 解析：sin600°＋tan240°＝sin(360°＋240°)＋tan(180°＋60°) ＝sin240°＋tan60°＝sin(180°＋60°)＋tan60° ＝－sin60°＋tan60°＝－32＋3＝32. 答案：B3．已知sin(45°＋α)＝513，则sin(135°－α)＝________.解析：sin(135°－α)＝sin[180°－(45°＋α)] ＝sin(45°＋α)＝513. 答案：5134．已知α∈(0，π2)，tan(π－α)＝－34，则sin α＝________. 解析：由于tan(π－α)＝－tan α＝－34，则tan α＝34，解方程组⎩⎨⎧sin αcos α＝34，sin 2α＋cos 2α＝1，得sin α＝±35，又α∈(0，π2)，所以sin α>0. 所以sin α＝35. 答案：355．化简tan (2π－θ)sin (－2π－θ)cos (6π－θ)cos (θ－π)sin (5π＋θ).解：原式＝tan (－θ)sin (－θ)cos (－θ)(－cos θ)(－sin θ)＝(－tan θ)(－sin θ)cos θcos θsin θ＝tan θ.1．已知sin40°＝a ，则cos130°等于( ) A ．a B ．－a C.1－a 2D ．－1－a 2解析：cos130°＝cos(90°＋40°)＝－sin40°＝－a .答案：B2．已知sin(α－π4)＝13，则cos(π4＋α)的值等于( ) A.223 B ．－232 C.13D ．－13解析：∵π4＋α－(α－π4)＝π2， ∴cos(π4＋α)＝cos[π2＋(α－π4)] ＝－sin(α－π4)＝－13. 答案：D3．已知sin(π6－θ)＝13，则cos(π3＋θ)等于________．解析：cos(π3＋θ)＝cos[π2－(π6－θ)] ＝sin(π6－θ)＝13. 答案：134．已知cos α＝15，且α为第四象限角，那么cos(α＋π2)等于________．解析：∵α为第四象限角且cos α＝15， ∴sin α＝－1－cos 2α＝－25 6. ∴cos(α＋π2)＝－sin α＝25 6. 答案：2655．化简1＋2sin (π2－2)·cos (π2＋2).解：原式＝1＋2cos2·(－sin2)＝1－2sin2cos2＝(sin2－cos2)2＝|sin2－cos2|. 又∵sin2>cos2，∴原式＝sin2－cos2.1．函数y ＝－sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，3π2的简图是( )解析：用特殊点来验证．x ＝0时，y ＝－sin0＝0，排除选项A ，C ；又x ＝－π2时，y ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝1，排除选项B.答案：D2．方程x ＋sin x ＝0的根有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．无数个解析：设f (x )＝－x ，g (x )＝sin x ，在同一直角坐标系中画出 f (x )和g (x )的图象，如图所示．由图知f (x )和g (x )的图象仅有一个交点，则方程x ＋sin x ＝0仅有一个根．答案：B3．用“五点法”画y ＝1－cos x ，x ∈[0,2π]的图象时，五个关键点的坐标是________．答案：(0,0)，⎝⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，2)，⎝⎛⎭⎪⎫3π2，1，(2π，0)4．函数y ＝2cos x －2的定义域是________．解析：由2cos x －2≥0得cos x ≥22，借助y ＝cos x 的图象可得cos x ≥22的解集为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π－π4≤x ≤2k π＋π4，k ∈Z .答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π－π4≤x ≤2k π＋π4，k ∈Z 5．在[0,2π]内用五点法作出y ＝－sin x －1的简图．解：(1)按五个关键点列表xπ2π3π22πy －1 －2 －1 0 －1(2)描点并用光滑曲线连接可得其图象，如图所示：1．函数y ＝2cos(π3－ωx )的最小正周期是4π，则ω等于( ) A ．2 B.12 C ．±2D ．±12解析：4π＝2π|ω|，∴ω＝±12. 答案：D2．定义在R 上的周期函数f (x )的一个周期为5，则f (2 011)＝( )A ．f (1)B ．f (2)C ．f (3)D ．f (4) 解析：f (2 011)＝f (402×5＋1)＝f (1)．答案：A3．若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)的周期为π，则ω＝________. 解析：由于周期T ＝2πω，所以2πω＝π，解得ω＝2. 答案：24．已知函数f (x )是定义在R 上的周期为6的奇函数，且f (1)＝1，则f (5)＝________.解析：由于函数f (x )是定义在R 上的周期为6的奇函数，则f (5)＝f (5－6)＝f (－1)＝－f (1)．又f (1)＝1，则f (5)＝－1. 答案：－15．若函数f (x )是以π2为周期的奇函数，且f (π3)＝1，求 f (－176π)的值．证明：∵f (x )的周期为π2，且为奇函数， ∴f (－17π6)＝f (－3π＋π6)＝f (－6×π2＋π6) ＝f (π6)．而f (π6)＝f (π2－π3)＝f (－π3)＝－f (π3)＝－1， ∴f (－17π6)＝－1.1．函数y ＝sin(2x ＋52π)的图象的一条对称轴方程是( ) A ．x ＝－π2 B ．x ＝－π4 C ．x ＝π8D ．x ＝54π解析：y ＝sin(2x ＋52 π)＝cos2x ，令2x ＝k π(k ∈Z )，则x ＝k2 π(k ∈Z )．当k ＝－1时，x ＝－π2.答案：A2．函数y ＝2sin(2x －π4)的一个单调递减区间是( ) A ．[3π8，7π8] B ．[－π8，3π8] C ．[3π4，5π4]D ．[－π4，π4]解析：令z ＝2x －π4，函数y ＝sin z 的单调递减区间是[π2＋2k π，3π2＋2k π](k ∈Z )．由π2＋2k π≤2x －π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ，得3π8＋k π≤x ≤7π8＋k π，k ∈Z . 令k ＝0，3π8≤x ≤7π8. 答案：A3．下列关系式中正确的是( ) A ．sin11°<cos10°<sin168° B ．sin168°<sin11°<cos10° C ．sin11°<sin168°<cos10° D ．sin168°<cos10°<sin11°解析：∵sin168°＝sin(180°－168°)＝sin12°，cos10°＝sin80°， ∴sin11°<sin12°<sin80°. ∴sin11°<sin168°<cos10°. 答案：C4．设ω>0，若函数f (x )＝2sin ωx 在[－π3，π4]上单调递增，则ω的取值范围是________．解析：令－π2≤ωx ≤π2，－π2ω≤x ≤π2ω，则[－π2ω，π2ω]是函数的关于原点对称的递增区间中范围最大的，即[－π3，π4]⊆[－π2ω，π2ω]，则⎩⎪⎨⎪⎧π4≤π2ω，－π3≥－π2ω.⇒ω≤32.答案：[0，32]5．求函数y ＝1－2cos 2x ＋5sin x 的最大值和最小值．解：y ＝1－2cos 2x ＋5sin x ＝2sin 2x ＋5sin x －1 ＝2(sin x ＋54)2－338.∵sin x ∈[－1,1]，而y 在[－1,1]上是增函数， ∴当sin x ＝－1时，函数取得最小值－4；当sin x ＝1时，函数取得最大值6.1．y ＝tan(x ＋π)是( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既是奇函数又是偶函数 D ．非奇非偶函数答案：A2．函数y ＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4的一个对称中心是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0 解析：由3x －π4＝k π2，得x ＝k π6＋π12 令k ＝－2得x ＝－π4.故选C. 答案：C3．函数y ＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 2的定义域是________．解析：由π3－x 2≠k π＋π2，得x ≠－2k π－π3，k ∈Z ，故函数y ＝2tan ⎝⎛⎭⎪⎫π3－x 2的定义域是：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠－π3－2k π，k ∈Z .答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠－π3－2k π，k ∈Z4．使函数y ＝2tan x 与y ＝cos x 同时为单调增的区间是________．解析：由y ＝2tan x 与y ＝cos x 的图象知，同时为单调增的区间为(2k π－π2，2k π)(k ∈Z )和(2k π＋π，2k π＋3π2)(k ∈Z )．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－π2，2k π(k ∈Z )和(2k π＋π，2k π＋3π2)(k ∈Z )5．求函数y ＝tan(π－x )，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－π4，π3的值域．解：y ＝tan(π－x )＝－tan x ，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π3上为减函数，所以值域为(－3，1)．1．把函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的图象向左平移π8个单位长度，所得到的图象对应的函数是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数也是偶函数D ．非奇非偶函数解析：y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π8，向左平移π8个单位长度后为y ＝sin[2(x －π8＋π8)]＝sin2x ，为奇函数，故选A.答案：A2．为了得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象，只需把函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象( )A ．向左平移π4个单位长度 B ．向右平移π4个单位长度 C ．向左平移π2个单位长度 D ．向右平移π2个单位长度解析：由y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6――→x →x ＋φy＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(x ＋φ)＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，即2x ＋2φ＋π6＝2x －π3，解得φ＝－π4，即向右平移π4个单位长度．答案：B3．用“五点法”画函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)在一个周期内的简图时，五个关键点是(－π6，0)，(π12，2)，(π3，0)，(712 π，－2)，(5π6，0)，则ω＝________.解析：周期T ＝5π6－(－π6)＝π. ∴2πω＝π，ω＝2. 答案：24．把函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4的图象上所有的点向右平移π6个单位长度，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象对应的一个解析式为________．解析：把函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4的图象上所有的点向右平移π6个单位长度，得函数y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4的图象，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4的图象，即y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x －π4.答案：y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x －π45．已知函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1.(1)用“五点法”画出函数的草图．(2)函数图象可由y ＝sin x 的图象怎样变换得到？解：(1)列表：2x ＋π4 0 π2 π 3π2 2π x －π8 π8 3π8 5π8 7π8 y1211描点、连线如图所示．将y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，7π8上的图象向左(右)平移k π(k ∈Z )个单位，即可得到y ＝sin(2x ＋π4)＋1的整个图象．1．函数y ＝2sin(x 2＋π5)的周期、振幅依次是( ) A ．4π，－2 B ．4π，2 C ．π，2D ．π，－2解析：在y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)中，T ＝2πω，A 叫振幅(A >0)，故y ＝2sin(x 2＋π5)的周期T ＝2π12＝4π，振幅为2，故选B.答案：B2．已知函数f (x )＝2 sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω>0，－π<φ≤π.若f (x )的最小正周期为6π，且当x ＝π2时，f (x )取得最大值，则( )A ．f (x )在区间[－2π，0]上是增函数B ．f (x )在区间[－3π，－π]上是增函数C ．f (x )在区间[3π，5π]上是减函数D ．f (x )在区间[4π，6π]上是减函数解析：∵函数f (x )的最小正周期为6π，∴2πω＝6π，得ω＝13，在x ＝π2时，函数f (x )取得最大值， ∴13×π2＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z . 又∵－π<φ≤π，∴φ＝π3. ∴f (x )＝2sin(13x ＋π3)．由2k π－π2≤13x ＋π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，得6k π－52π≤x ≤6k π＋12π(k ∈Z )．∴f (x )的增区间是[6k π－52π，6k π＋π2](k ∈Z )．取k ＝0，得[－52π，π2]是f (x )的一个增区间． ∴函数f (x )在区间[－2π，0]上是增函数．答案：A3．函数y ＝|5sin(2x ＋π3)|的最小正周期为________．解析：∵y ＝5sin(2x ＋π3)的最小正周期为π， ∴函数y ＝|5sin(2x ＋π3)|的最小正周期为π2. 答案：π24．使函数f (x )＝3sin(2x ＋5θ)的图象关于y 轴对称的θ为________．解析：∵函数f (x )＝3sin(2x ＋5θ)的图象关于y 轴对称， ∴f (－x )＝f (x )恒成立，∴3sin(－2x ＋5θ)＝3sin(2x ＋5θ)． ∴sin(－2x ＋5θ)＝sin(2x ＋5θ)．∴－2x ＋5θ＝2x ＋5θ＋2k π(舍去)或－2x ＋5θ＋2x ＋5θ＝2k π＋π(k ∈Z )．即10θ＝2k π＋π，故θ＝k π5＋π10(k ∈Z )．答案：θ＝k π5＋π10，k ∈Z5．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的一段图象如图，试求这个函数的解析式．解：方法一：易知A ＝22，T4＝6－2＝4. ∴T ＝16，∴2πω＝16，∴ω＝π8. 又∵图象过点(2,22)． ∴22sin(π8×2＋φ)＝2 2. 又∵|φ|<π2，∴φ＝π4. 于是y ＝22sin(π8x ＋π4)．方法二：易知A ＝22，由图可知，第二、第三两关键点的横坐标分别为2和6.∵⎩⎨⎧2ω＋φ＝π2，6ω＋φ＝π，∴⎩⎪⎨⎪⎧ω＝π8，φ＝π4.∴y ＝22sin(π8x ＋π4)．1．已知某人的血压满足函数解析式f (t )＝24sin(160πt )＋115.其中f (t )为血压(mmHg)，t 为时间(min)，则此人每分钟心跳的次数为( )A ．60B ．70C ．80D ．90解析：由题意可得频率f ＝1T ＝160π2π＝80(次/分)，所以此人每分钟心跳的次数是80.答案：C2．如图表示电流I 与时间t 的关系I ＝A sin(ωt ＋φ)(A >0，ω>0)在一个周期内的图象，则该函数的解析式为( )A ．I ＝300sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫50πt ＋π3B ．I ＝300sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫50πt －π3C ．I ＝300sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt ＋π3D ．I ＝300sin(100πt －π3)解析：由图象得周期T ＝2(1150＋1300)＝150，最大值为300，图象经过点(1150，0)，则ω＝2πT ＝100π，A ＝300，∴I ＝300sin(100πt ＋φ)． ∴0＝300sin(100π×1150＋φ)． ∴sin(2π3＋φ)＝0.取φ＝π3， ∴I ＝300sin(100πt ＋π3)．答案：C 3.如图为某简谐运动的图象，则这个简谐运动需要________s 往复一次．解析：由图象知周期T ＝0.8－0＝0.8，则这个简谐运动需要0.8 s 往复一次．答案：0.84．据市场调查，某种商品每件的售价按月呈f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0，|φ|<π2)的模型波动(x 为月份)，已知3月份达到最高价8千元，7月份价格最低为4千元，则f (x )＝________.解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧A ＋B ＝8，－A ＋B ＝4，解得A ＝2，B ＝6.周期T ＝2(7－3)＝8，∴ω＝2πT ＝π4，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋φ＋6. 又当x ＝3时，y ＝8，∴8＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋φ＋6. ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋φ＝1.由于|φ|<π2，∴φ＝－π4， ∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π4＋6.答案：2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π4＋65.如图所示，摩天轮的半径为40 m ，O 点距地面的高度为50 m ，摩天轮做匀速转动，每3 min 转一圈，摩天轮上的P 点的起始位置在最低点处．(1)试确定在时刻t min 时P 点距离地面的高度；(2)在摩天轮转动的一圈内，有多长时间P 点距离地面超过70 m? 解：(1)以中心O 为坐标原点建立如图所示的坐标系，设t min 时P 距地面的高度为y ，依题意得y ＝40sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3t －π2＋50.(2)令40sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3t －π2＋50>70，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3t －π2>12，∴2k π＋π6<2π3t －π2<2k π＋5π6(k ∈Z )，∴2k π＋2π3<2π3t <2k π＋4π3(k ∈Z )，∴3k ＋1<t <3k ＋2(k ∈Z )．令k ＝0得1<t <2. 因此，共有1 min P 点距地面超过70 m.单元综合测试一时间：120分钟分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(每小题5分，共60分)1．若角600°的终边上有一点(－4，a )，则a 的值是( ) A ．－4 3 B ．±43 C. 3D ．43解析：因为tan600°＝a－4＝tan(540°＋60°)＝tan60° ＝3，故a ＝－4 3. 答案：A2．已知cos(π2＋φ)＝32，且|φ|<π2，则tan φ＝( ) A ．－33 B.33 C ．－ 3D.3 解析：由cos(π2＋φ)＝32，得sin φ＝－32，又|φ|<π2，∴cos φ＝12，∴tan φ＝－ 3. 答案：C3．下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线x ＝π3对称的是( )A ．y ＝sin(2x ＋π6) B ．y ＝sin(x 2＋π6) C ．y ＝sin(2x －π6)D ．y ＝sin(2x －π3)解析：∵最小正周期为π，∴ω＝2，又图象关于直线x ＝π3对称， ∴f (π3)＝±1，故只有C 符合．答案：C4．若2k π＋π<θ<2k π＋5π4(k ∈Z )，则sin θ，cos θ，tan θ的大小关系是( )A ．sin θ<cos θ<tan θB ．cos θ<tan θ<sin θC ．cos θ<sin θ<tan θD ．sin θ<tan θ<cos θ解析：设π<α<54π，则有sin θ＝sin α， cos θ＝cos α，tan θ＝tan α， ∵tan α>0，而sin α<0，cos α<0，∴B 、D 排除，又∵cos α<－22<sin α，即cos α<sin α，排除A.选C. 答案：C5．已知A 是三角形的内角，且sin A ＋cos A ＝52，则tan A 等于( )A ．4＋15B ．4－15C ．4±15D ．以上均不正确解析：因为sin A ＋cos A ＝52，所以2sin A cos A ＝14>0.所以A 为锐角．又(sin A －cos A )2＝1－2sin A cos A ＝1－14＝34，所以sin A －cos A ＝±32.从而可求出sin A ，cos A 的值，从而求出tan A ＝4±15.答案：C6．函数y ＝2sin(π6－2x )(x ∈[0，π])的单调递增区间是( ) A ．[0，π3] B ．[π12，7π12] C ．[π3，5π6]D ．[5π6，π]解析：由π2＋2k π≤2x －π6≤3π2＋2k π 可得π3＋k π≤x ≤5π6＋k π(k ∈Z )．∵x ∈[0，π]，∴单调递增区间为[π3，5π6]．答案：C7．为得到函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象，只需将函数y ＝sin x 的图象( )A ．向左平移π6个单位长度 B ．向右平移π6个单位长度 C ．向左平移5π6个单位长度D ．向右平移5π6个单位长度解析：∵y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋π2 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋5π6， ∴只需将y ＝sin x 的图象向左平移5π6个单位长度．答案：C8．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，则函数f (x )的一个单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π12，5π12 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π12，－π12 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π6 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤11π12，17π12 解析：由图形可得14T ＝23π－512π，∴T ＝π，则ω＝2，又图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫512π，2.∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×512π＋φ＝2， ∴φ＝－π3，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，其单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋512π(k ∈Z )，取k ＝1，即得选项D. 答案：D9．设a 为常数，且a >1,0≤x ≤2π，则函数f (x )＝cos 2x ＋2a sin x －1的最大值为( )A ．2a ＋1B ．2a －1C ．－2a －1D ．a 2解析：f (x )＝cos 2x ＋2a sin x －1 ＝1－sin 2x ＋2a sin x －1 ＝－(sin x －a )2＋a 2，∵0≤x ≤2π，∴－1≤sin x ≤1，又a >1，∴f (x )max ＝－(1－a )2＋a 2＝2a －1. 答案：B 10.函数y ＝cos(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，A ，B 分别为最高点与最低点，并且两点间的距离为22，则该函数图象的一条对称轴方程为( )A ．x ＝2π B ．x ＝π2 C ．x ＝1D ．x ＝2解析：函数y ＝cos(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)的最大值为1，最小值为－1，所以周期T ＝2(22)2－22＝4，所以ω＝π2，又函数为奇函数，所以cos φ＝0(0<φ<π)⇒φ＝π2，所以函数解析式为y ＝cos(π2x ＋π2)＝－sin π2x ，所以直线x ＝1为该函数图象的一条对称轴．答案：C11．中国最高的摩天轮是“南昌之星”，它的最高点离地面160米，直径为156米，并以每30分钟一周的速度匀速旋转，若从最低点开始计时，则摩天轮进行5分钟后离地面的高度为( )A ．41米B ．43米C ．78米D ．118米解析：摩天轮转轴离地面高160－⎝ ⎛⎭⎪⎫1562＝82(米)，ω＝2πT ＝π15，摩天轮上某个点P 离地面的高度h 米与时间t 的函数关系是h ＝82－78cos π15t ，当摩天轮运行5分钟时，其离地面高度为h ＝82－78cos π15t ＝82－78×12＝43(米)．答案：B12．设ω>0，函数y ＝sin(ωx ＋π3)＋2的图象向右平移4π3个单位后与原图象重合，则ω的最小值是( )A.23B.43C.32D ．3解析：方法一：函数y ＝sin(ωx ＋π3)＋2的图象向右平移4π3个单位后得到函数y ＝sin[ω(x －4π3)＋π3]＋2＝sin(ωx －4π3ω＋π3)＋2的图象．∵两图象重合，∴ωx ＋π3＝ωx －4π3ω＋π3＋2k π，k ∈Z ，解得ω＝32k ，k ∈Z .又ω>0，∴当k ＝1时，ω的最小值是32.方法二：由题意可知，4π3是函数y ＝sin(ωx ＋π3)＋2(ω>0)的最小正周期T 的正整数倍，即4π3＝kT ＝2k πω(k ∈N *)，ω＝32k ，ω的最小值为32. 答案：C第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．在扇形中，已知半径为8，弧长为12，则圆心角是________弧度，扇形面积是________．解析：圆心角α＝l r ＝128＝32，扇形面积S ＝12lr ＝12×12×8＝48.答案：32 4814．方程sin x ＝lg x 的解的个数为________．解析：画出函数y ＝sin x 和y ＝lg x 的图象(图略)，结合图象易知这两个函数的图象有3个交点．答案：315．设f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，其中a ，b ，α，β为非零常数．若f (2 013)＝－1，则f (2 014)＝________.解析：f (2 013)＝a sin(2 013π＋α)＋b cos(2 013π＋β) ＝－1，f (2 014)＝a sin(2 014π＋α)＋b cos(2 014π＋β) ＝a sin[π＋(2 013π＋α)]＋b cos[π＋(2 013π＋β)] ＝－[a sin(2 013π＋α)＋b cos(2 013π＋β)]＝1. 答案：116．关于函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1有以下结论：①函数f (x )的值域是[0,2]；②点⎝⎛⎭⎪⎫－512π，0是函数f (x )的图象的一个对称中心；③直线x ＝π3是函数f (x )的图象的一条对称轴；④将函数f (x )的图象向右平移π6个单位长度后，与所得图象对应的函数是偶函数．其中，所有正确结论的序号是________．解析：①∵－1≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1， ∴0≤cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1≤2；②∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π12＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π6＋π3＋1＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋1＝1≠0，∴点⎝ ⎛⎭⎪⎫－512π，0不是函数f (x )图象的一个对称中心；③∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋π3＋1＝cosπ＋1＝0，函数取得最小值，∴直线x ＝π3是函数f (x )的图象的一条对称轴；④将函数f (x )的图象向右平移π6个单位长度后，与所得图象对应的函数解析式为g (x )＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋π3＋1＝cos2x ＋1，此函数是偶函数．综上所述，①③④正确．答案：①③④三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知sin θ＝45，π2<θ<π， (1)求tan θ；(2)求sin 2θ＋2sin θcos θ3sin 2θ＋cos 2θ的值．解：(1)∵sin 2θ＋cos 2θ＝1，∴cos 2θ＝1－sin 2θ＝925.又π2<θ<π，∴cos θ＝－35. ∴tan θ＝sin θcos θ＝－43.(2)sin 2θ＋2sin θcos θ3sin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋2tan θ3tan 2θ＋1＝－857.18．(12分)(1)已知cos(75°＋α)＝13，其中α为第三象限角，求cos(105°－α)＋sin(α－105°)的值；(2)已知π<θ<2π，cos(θ－9π)＝－35，求tan(10π－θ)的值．解：(1)cos(105°－α)＝cos[180°－(75°＋α)] ＝－cos(75°＋α)＝－13，sin(α－105°)＝－sin[180°－(75°＋α)] ＝－sin(75°＋α)． ∵α为第三象限角，∴75°＋α为第三或第四象限角，又cos(75°＋α)＝13>0， ∴75°＋α为第四象限角，∴sin(75°＋α)＝－1－cos 2(75°＋α) ＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝－223， ∴cos(105°－α)＋sin(α－105°) ＝－13＋223＝22－13. (2)由已知得cos(θ－9π)＝－35， ∴cos(π－θ)＝－35，∴cos θ＝35， ∵π<θ<2π，∴3π2<θ<2π，∴sin θ＝－45， ∴tan θ＝－43，∴tan(10π－θ)＝tan(－θ)＝－tan θ＝43.19．(12分)已知函数f (x )＝2cos(2x －π4)，x ∈R . (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间．(2)求函数f (x )在区间[－π8，π2]上的最小值和最大值，并求出取得最值时x 的值．解：(1)因为f (x )＝2cos(2x －π4)，所以函数f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.由－π＋2k π≤2x －π4≤2k π(k ∈Z )，得－3π8＋k π≤x ≤π8＋k π(k ∈Z )，故函数f (x )的单调递增区间为[－3π8＋k π，π8＋k π](k ∈Z )．(2)因为f (x )＝2cos(2x －π4)在区间[－π8，π8]上为增函数，在区间[π8，π2]上为减函数，又f (－π8)＝0，f (π8)＝2，f (π2)＝2cos(π－π4)＝－2cos π4＝－1，所以函数f (x )在区间[－π8，π2]上的最大值为2，此时x ＝π8；最小值为－1，此时x ＝π2.20．(12分)函数f 1(x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的一段图象过点(0,1)，如图所示．(1)求函数f 1(x )的表达式；(2)把f 1(x )的图象向右平移π4个单位长度得到f 2(x )的图象，求f 2(x )取得最大值时x 的取值．解：(1)由图知，T ＝π，于是ω＝2πT ＝2.将y ＝A sin2x 的图象向左平移π12，得y ＝A sin(2x ＋φ)的图象，于是φ＝2×π12＝π6.将(0,1)代入y ＝A sin(2x ＋π6)，得A ＝2.故f 1(x )＝2sin(2x ＋π6)．(2)依题意，f 2(x )＝2sin[2(x －π4)＋π6] ＝－2cos(2x ＋π6)，当2x ＋π6＝2k π＋π(k ∈Z )，即x ＝k π＋5π12(k ∈Z )时， y max ＝2.此时x 的取值为{x |x ＝k π＋5π12，k ∈Z }． 21．(12分)已知函数f (x )＝2sin(2x ＋π6)－1.(1)若点P (1，－3)在角α的终边上，求f (α2－π12)的值； (2)若x ∈[－π6，π3]，求f (x )的值域．解：(1)因为点P (1，－3)在角α的终边上，所以sin α＝－32，cos α＝12，所以f (α2－π12)＝2sin[2×(α2－π12)＋π6]－1 ＝2sin α－1＝2×(－32)－1＝－3－1. (2)令t ＝2x ＋π6，因为x ∈[－π6，π3]，所以－π6≤2x ＋π6≤5π6，而y ＝sin t 在[－π6，π2]上单调递增，在[π2，5π6]上单调递减，且sin(－π6)＝－12，sin 5π6＝12，所以函数y ＝sin t 在[－π6，5π6]上的最大值为1，最小值为－12，即－12≤sin(2x ＋π6)≤1，所以f (x )的值域是[－2,1]．22．(12分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)的一系列对应值如下表：(1)(2)根据(1)的结果，若函数y ＝f (kx )(k >0)的最小正周期为2π3，当x ∈[0，π3]时，方程f (kx )＝m 恰有两个不同的解，求实数m 的取值范围．解：(1)设f (x )的最小正周期为T ，得T ＝11π6－(－π6)＝2π，由T ＝2πω，得ω＝1.又⎩⎪⎨⎪⎧ B ＋A ＝3，B －A ＝－1.解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝2，B ＝1.令ω·5π6＋φ＝π2，即5π6＋φ＝π2，解得φ＝－π3， ∴f (x )＝2sin(x －π3)＋1.(2)∵函数y ＝f (kx )＝2sin(kx －π3)＋1的最小正周期为2π3，又k >0，∴k ＝3，令t ＝3x －π3， ∵x ∈[0，π3]，∴t ∈[－π3，2π3]，若sin t ＝s 在[－π3，2π3]上有两个不同的解，则s ∈[32，1)，∴方程f (kx )＝m 在x ∈[0，π3]时恰好有两个不同的解，则m ∈[3＋1,3)，即实数m的取值范围是[3＋1,3)．1.如图，在⊙O 中，向量OB →，OC →，AO →是( ) A ．有相同起点的向量 B ．共线向量 C ．模相等的向量 D ．相等的向量解析：由题知OB →，OC →，AO →对应的有向线段都是圆的半径，因此它们的模相等．答案：C2．下列说法中正确的是( ) A ．若|a |>|b |，则a >b B ．若|a |＝|b |，则a ＝b C ．若a ＝b ，则a ∥bD ．若a ≠b ，则a 与b 不是共线向量解析：向量不能比较大小，所以A 不正确；a ＝b 需满足两个条件：a ，b 同向且|a |＝|b |，所以B 不正确，C 正确；a 与b 是共线向量只需方向相同或相反，所以D 不正确．答案：C3．设O 是正方形ABCD 的中心，则OA →，BO →，AC →，BD →中，模相等的向量是________．解析：∵四边形ABCD 为正方形，O 为正方形的中心， ∴OA ＝BO ，即|OA →|＝|BO →|，|AC →|＝|BD →|. 答案：OA →与BO →，AC →与BD →4.如图所示，四边形ABCD 和ABDE 都是平行四边形． (1)与向量ED →相等的向量为______；(2)若|AB →|＝3，则向量EC →的模等于________．解析：(1)在平行四边形ABCD 和ABDE 中， ∵AB →＝ED →，AB →＝DC →，∴ED →＝DC →. (2)由(1)知ED →＝DC →，∴E 、D 、C 三点共线，|EC →|＝|ED →|＋|DC →|＝2|AB →|＝6. 答案：(1)AB →、DC →(2)65．一个人从点A 出发沿东北方向走了100 m 到达点B ，然后改变方向，沿南偏东15°方向又走了100 m 到达点C .(1)画出AB →，BC →，CA →. (2)求|CA →|. 解：(1)如图所示． (2)|AB →|＝100 m ， |BC →|＝100 m ，∠ABC ＝45°＋15°＝60°，则△ABC 为正三角形．故|CA →|＝100 m.1．在四边形ABCD 中，AC →＝AB →＋AD →，则( ) A ．ABCD 一定是矩形 B ．ABCD 一定是菱形 C ．ABCD 一定是正方形D ．ABCD 一定是平行四边形解析：由AC →＝AB →＋AD →知由A ，B ，C ，D 构成的四边形一定是平行四边形．答案：D2．下列等式不成立的是( ) A ．0＋a ＝a B ．a ＋b ＝b ＋a C.AB →＋BA →＝2BA →D.AB →＋BC →＝AC →解析：对于C ，∵AB →与BA →是相反向量， ∴AB →＋BA →＝0. 答案：C3．化简(AB →＋MB →)＋(BO →＋BC →)＋OM →＝________.解析：原式＝(AB →＋BO → )＋(OM →＋MB → )＋BC →＝AO →＋OB →＋BC →＝AB →＋BC →＝AC →.答案：AC →4．若a ＝“向北走8 km ”，b ＝“向东走8 km ”，则|a ＋b |＝________；a ＋b 的方向是________．解析：由向量加法的平行四边形法则，知|a ＋b |＝82，方向为东北方向．答案：8 2 km 东北方向5．在水流速度为4 3 km/h 的河中，要使船以12 km/h 的实际航速与河岸成直角行驶，求船在静水中的航行速度的大小和方向．解：设AB →表示水流的速度，AC →表示船的实际航行速度，如图，作出AB →，AC →，连接BC ，作AD 綊BC ，连接DC ，则AD →为所求船的静水航速，且AD →＋AB →＝AC →.∵|AB →|＝43，|AC →|＝12， tan ∠ACB ＝4312＝33. ∴∠ACB ＝30°＝∠CAD ， |AD →|＝|BC →|＝83，∠BAD ＝120°.∴船在静水中的航行速度的大小为8 3 km/h ，方向与水流速度成120°角．1．下列等式： ①0－a ＝－a ②－(－a )＝a ③a ＋(－a )＝0 ④a ＋0＝a ⑤a －b ＝a ＋(－b ) ⑥a ＋(－a )＝0正确的个数是( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：根据向量的加减运算易知①②③④⑤均正确．答案：C2．设AB →，BC →，AC →是三个非零向量，且AB →＋BC →＝AC →，则( ) A ．线段AB ，BC ，AC 一定构成一个三角形 B ．线段AB ，BC 一定共线 C ．线段AB ，BC 一定平行D ．线段AB ，BC ，AC 构成三角形或共线解析：由于三角形法则对于共线时也成立，因此线段AB ，BC ，AC 可以构成三角形，也可以共线，但线段AB ，BC 不可能平行．答案：D3．若向量a 与b 共线，且|a |＝|b |＝1，则|a －b |＝________. 解析：∵a 与b 共线， ∴两向量同向或反向．又|a |＝|b |＝1，∴|a －b |＝0或2. 答案：0或24．化简：(1)(AD →－BM →)＋(BC →－MC →)＝________. (2)(PQ →－MO →)＋(QO →－QM →)＝________. 答案：(1)AD → (2)PQ →5.如图，在五边形ABCDE 中，若四边形ACDE 是平行四边形，且AB →＝a ，AC →＝b ，AE →＝c ，试用a ，b ，c 表示向量BD →，BE →，CE →.解：∵四边形ACDE 为平行四边形， ∴CD →＝AE →＝c ，BC →＝AC →－AB →＝b －a . ∴BD →＝BC →＋CD →＝b －a ＋c ， BE →＝AE →－AB →＝c －a ， CE →＝AE →－AC →＝c －b .1．在四边形ABCD 中，若AB →＝－12CD →，则此四边形是( ) A ．平行四边形 B ．菱形 C ．梯形D ．矩形解析：由AB →＝－12CD →可得，在四边形ABCD 中有AB ∥CD ，但|AB |≠|CD |，故为梯形．答案：C2．已知非零向量a ，b 满足a ＝λb ，b ＝λa (λ∈R )，则λ＝( ) A ．－1 B ．±1 C ．0D ．0解析：∵a ＝λb ，b ＝λa ，∴a ＝λ2a ，∴λ±1.答案：B3．化简：2(a －2b )＋3(13a ＋b )＝________. 答案：3a －b4．若|a |＝5，b 与a 的方向相反，且|b |＝7，则a ＝________b . 解析：∵b 与a 方向相反，∴设a ＝λb (λ<0) ∴|a |＝|λ||b |，∴5＝|λ|×7，∴|λ|＝57， ∴λ＝±57，又λ<0，∴λ＝－57. 答案：－57 5.如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB ＝2CD ，M ，N 分别是DC 和AB 的中点，若AB →＝a ，AD →＝b ，试用a ，b 表示BC →和MN →.解：在四边形ANMD 中，有 MN →＝MD →＋DA →＋AN → ＝－12DC →－AD →＋12AB → ＝－AD →－12(12AB →)＋12AB →＝－AD →＋14AB →＝14a －b . 在四边形ABCD 中，有BC →＝BA →＋AD →＋DC →＝－AB →＋AD →＋12AB → ＝AD →－12AB →＝b －12a .1．已知e 1，e 2是表示平面内所有向量的一组基底，那么下面四组向量中，不能作为一组基底的是( )A ．e 1，e 1＋e 2B ．e 1－2e 2，e 2－2e 1C ．e 1－2e 2,4e 2－2e 1D ．e 1＋e 2，e 1－e 2解析：因为4e 2－2e 1＝－2(e 1－2e 2)，从而e 1－2e 2与4e 2－2e 1共线．答案：C2．在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b ，若点D 满足BD →＝2DC →，以b 与c 作为基底，则AD →＝( )A.23b ＋13cB.53c －23bC.23b －13cD.13b ＋23c解析：∵BD →＝2DC →，∴AD →－AB →＝2(AC →－AD →)， ∴AD →－c ＝2(b －AD →)，∴AD →＝13c ＋23b . 答案：A。

人教a版数学必修4测试题答案及解析

人教a版数学必修4测试题答案及解析一、选择题1. 若函数f(x)=x^2-2x+3，则f(1)的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 3答案：D解析：将x=1代入函数f(x)=x^2-2x+3，得到f(1)=(1)^2-2*1+3=2。

2. 已知等差数列{a_n}的首项a_1=3，公差d=2，则a_5的值为（）A. 13B. 15C. 17D. 19答案：A解析：根据等差数列的通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入n=5，得到a_5=3+(5-1)*2=13。

二、填空题3. 已知函数y=x^3-3x^2+2，求导数y'的值为（）。

答案：3x^2-6x解析：利用求导法则，对函数y=x^3-3x^2+2求导，得到y'=3x^2-6x。

4. 已知圆的方程为x^2+y^2-6x+8y-24=0，求圆心坐标为（）。

答案：(3, -4)解析：将圆的方程整理为标准形式(x-3)^2+(y+4)^2=49，由此可知圆心坐标为(3, -4)。

三、解答题5. 已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x，求函数的极值点。

答案：x=1或x=2解析：首先求导数f'(x)=3x^2-6x+2，令f'(x)=0，解得x=1或x=2。

然后计算二阶导数f''(x)=6x-6，代入x=1和x=2，得到f''(1)=0，f''(2)>0，因此x=1为拐点，x=2为极小值点。

6. 已知等比数列{a_n}的前三项分别为a_1=2，a_2=4，a_3=8，求数列的通项公式。

答案：a_n=2^n解析：根据等比数列的性质，公比q=a_2/a_1=4/2=2，所以通项公式为a_n=a_1*q^(n-1)=2*2^(n-1)=2^n。

四、证明题7. 证明：若a，b，c为正实数，且a+b+c=1，则(a+b)(b+c)(c+a)≥8abc。

答案：证明如下解析：由柯西不等式得(a+b)(b+c)(c+a)≤(a^2+b^2+c^2)(1^2+1^2+1^2)=3(a^2+b^2+c^2)。

人教a版数学必修4的测试题答案及解析

人教a版数学必修4的测试题答案及解析一、选择题（每题5分，共20分）1. 函数y=f(x)在区间(a,b)上是增函数，那么下列说法正确的是（）A. f(a) > f(b)B. f(a) < f(b)C. f(a) = f(b)D. f(a)与f(b)的大小关系不确定答案：B解析：根据增函数的定义，如果函数y=f(x)在区间(a,b)上是增函数，那么对于任意的x1，x2∈(a,b)，当x1 < x2时，都有f(x1) < f(x2)。

因此，a < b时，f(a) < f(b)。

2. 已知函数f(x)=x^2-6x+c，若f(x)在[2,+∞)上单调递增，则c的取值范围是（）A. c > 4B. c ≥ 4C. c < 4D. c ≤ 4答案：B解析：首先，我们找到函数f(x)的对称轴，即x=3。

因为f(x)在[2,+∞)上单调递增，所以对称轴x=3应该在区间[2,+∞)的左侧，即3 ≤ 2，这显然是不可能的。

因此，我们需要找到使得f(x)在[2,+∞)上单调递增的c的最小值。

由于f(x)=x^2-6x+c是一个开口向上的抛物线，所以当x=3时，f(x)取得最小值。

因此，f(3)=9-18+c=c-9≥0，解得c≥4。

3. 函数y=x^3-3x+1在x=1处的导数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B解析：首先求出函数y=x^3-3x+1的导数，即y'=3x^2-3。

将x=1代入导数表达式，得到y'(1)=3(1)^2-3=3-3=0。

但是，题目要求的是x=1处的导数，而我们计算的是x=1时的导数值，这两者是不同的。

我们需要重新计算，y'(1)=3(1)^2-3=3-3=0，所以正确答案应该是B。

4. 已知函数f(x)在x=2处有极值，且f'(2)=0，那么f''(2)的符号是（）A. 正B. 负C. 零D. 不确定答案：D解析：根据极值的定义，如果函数f(x)在x=2处有极值，那么f'(2)=0。

高中数学必修四练习册(后含答案)

C．{α|α＝k·180°，k∈Z}
D．{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}
6．射线 OA 绕端点 O 逆时针旋转 120°到达 OB 位置，由
OB 位置顺时针旋转 270°到达 OC 位置，则∠AOC＝
()
A．150°
B．－150°
C．390°
D．－390°
7．若集合 M＝{α|α＝±30°＋k·180°，k∈Z}，N＝{α|α＝(－
D.α|α＝2kπ＋53π，k∈Z
3．已知集合 A＝{α|2kπ≤α≤(2k＋1)π，k∈Z}，B＝{α|－
4≤α≤4}，则 A∩B＝( )
A．
B．{α|0≤α≤π|
C．{α|－4≤α≤4|
D．{α|－4≤α≤－π 或 0≤α≤π}
4．一条弦的长等于半径，则这条弦所对的圆心角是____
弧度 ( )
1.1.1 任意角
一、选择题
1．下列各命题正确的是( )
A．终边相同的角一定相等
B．第一象限角都是锐角
C．锐角都是第一象限角
D．小于 90°的角都是锐角
2．若 α 是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的
是( )
A．90°－α
B．90°＋α
C．360°－α
D．180°＋α
3．在“①160°，②480°，③－960°，④－1600°”这四个角
A．sinα＋cosα<0
B．tanα－sinα<0
π
π
π
A.π
B.2
C.3
D.4
5．如图中，圆的半径为 5，圆内阴影部分的面积是( )
175π A. 36
125π B. 18
75π C. 18

新人教A版高中数学必修四全册同步课时练习(附答案)

新人教A 版高中数学必修四全册课时练习任意角(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、选择题1．角－870°的终边所在的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限C [－870°＝－3×360°＋210°，∴－870°是第三象限角，故选C .] 2．在－360°～0°范围内与角1 250°终边相同的角是( ) A ．170° B ．190° C ．－190°D ．－170°C [与1 250°角的终边相同的角为α＝1 250°＋k ·360°，k ∈Z ，因为－360°＜α＜0°，所以－16136＜k ＜－12536，因为k ∈Z ，所以k ＝－4，所以α＝－190°.]3．把－1 485°转化为α＋k ·360°(0°≤α＜360°，k ∈Z )的形式是( ) A ．45°－4×360° B ．－45°－4×360° C ．－45°－5×360°D ．315°－5×360°D [∵1 485°÷360°＝4.125，∴－1 485°＝－4×360°－45°或写成－1 485°＝－5×360°＋315°.∵0°≤α＜360°，故－1 485°＝315°－5×360°.] 4．若α＝k ·180°＋45°，k ∈Z ，则α所在象限是( ) A ．第一或第三象限 B ．第一或第二象限 C ．第二或第四象限D ．第三或第四象限A [当k ＝0时，α＝45°为第一象限角，当k ＝1时，α＝225°为第三象限角．] 5．已知角α＝45°，β＝315°，则角α与β的终边( ) A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于直线y ＝x 对称D ．关于原点对称A [α是第一象限角，β是第四象限角且45°＝0°＋45°与360°＋45°终边相同，315°＝360°－45°.]二、填空题6．若时针走过2小时40分，则分针走过的角是________．－960° [40分＝23小时，23×360°＝240°，因为时针按顺时针旋转，故形成负角，－360°×2－240°＝－960°.]7．与2 013°角的终边相同的最小正角是________，绝对值最小的角是________．213°－147°[与2 013°角的终边相同的角为2 013°＋k·360°(k∈Z)．当k＝－5时，213°为最小正角；当k＝－6时，－147°为绝对值最小的角．]8．若α，β两角的终边互为反向延长线，且α＝－120°，则β＝________．k·360°＋60°(k∈Z)[在0°～360°范围内与α＝－120°的终边互为反向延长线的角是60°，所以β＝k·360°＋60°(k∈Z)．]三、解答题9．已知角β的终边在直线3x－y＝0上．(1)写出角β的集合S；(2)写出集合S中适合不等式－360°＜β＜720°的元素．[解](1)因为角β的终边在直线3x－y＝0上，且直线3x－y＝0的倾斜角为60°，所以角β的集合S＝{β|β＝60°＋k·180°，k∈Z}．(2)在S＝{β|β＝60°＋k·180°，k∈Z}中，取k＝－2，得β＝－300°，取k＝－1，得β＝－120°，取k＝0，得β＝60°，取k＝1，得β＝240°，取k＝2，得β＝420°，取k＝3，得β＝600°.所以S中适合不等式－360°＜β＜720°的元素分别是－300°，－120°，60°，240°，420°，600°.10．已知集合A＝{α|k·180°＋45°＜α＜k·180°＋60°，k∈Z}，集合B＝{β|k·360°－55°＜β＜k·360°＋55°，k∈Z}．(1)在平面直角坐标系中，表示出角α终边所在区域；(2)在平面直角坐标系中，表示出角β终边所在区域；(3)求A∩B.[解](1)角α终边所在区域如图①所示．(2)角β终边所在区域如图②所示．图① 图②(3)由(1)(2)知A ∩B ＝{γ|k ·360°＋45°＜γ＜k ·360°＋55°，k ∈Z } .[能力提升练]1．角α与角β的终边关于y 轴对称，则α与β的关系为( ) A ．α＋β＝k ·360°，k ∈Z B ．α＋β＝k ·360°＋180°，k ∈Z C ．α－β＝k ·360°＋180°，k ∈Z D ．α－β＝k ·360°，k ∈ZB [法一：(特殊值法)令α＝30°，β＝150°，则α＋β＝180°.故α与β的关系为α＋β＝k ·360°＋180°，k ∈Z .法二：(直接法)因为角α与角β的终边关于y 轴对称，所以β＝180°－α＋k ·360°，k ∈Z ，即α＋β＝k ·360°＋180°，k ∈Z .]2．若角α满足180°<α<360°，角5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，那么角α＝________．270° [由于5α与α的始边和终边相同，所以这两角的差应是360°的整数倍，即5α－α＝4α＝k ·360°.又180°<α<360°，令k ＝3，得α＝270°.]弧度制(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、选择题1．下列说法中，错误的是( )A ．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B ．1°的角是周角的1360，1 rad 的角是周角的12πC ．1 rad 的角比1°的角要大D ．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关D [ 无论是角度制度量角还是弧度制度量角，都与圆的半径没有关系．] 2.29π6是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角B [29π6＝4π＋5π6.∵56π是第二象限角，∴29π6是第二象限角．]3．在0到2π范围内，与角－4π3终边相同的角是( )A ．π6B ．π3C ．2π3D ．4π3C [与角－4π3终边相同的角是2k π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π3，k ∈Z ，令k ＝1，可得与角－4π3终边相同的角是2π3，故选C.]4．下列表示中不正确的是( )A ．终边在x 轴上角的集合是{α|α＝k π，k ∈Z }B ．终边在y 轴上角的集合是⎩⎨⎧α⎪⎪⎪⎭⎬⎫α＝π2＋k π，k ∈Z C ．终边在坐标轴上角的集合是⎩⎨⎧α⎪⎪⎪⎭⎬⎫α＝k π2，k ∈ZD ．终边在直线y ＝x 上角的集合是⎩⎨⎧α⎪⎪⎪⎭⎬⎫α＝π4＋2k π，k ∈ZD [对于A ，终边在x 轴上角的集合是{α|}α＝k π，k ∈Z ，故A 正确；对于B ，终边在y 轴上的角的集合是⎩⎨⎧α⎪⎪⎪⎭⎬⎫α＝π2＋k π，k ∈Z ，故B 正确；对于C ，终边在x 轴上的角的集合为{α|}α＝k π，k ∈Z ，终边在y 轴上的角的集合为⎩⎨⎧α⎪⎪⎪⎭⎬⎫α＝π2＋k π，k ∈Z ，故合在一起即为{α|}α＝k π，k ∈Z ∪⎩⎨⎧α⎪⎪⎪⎭⎬⎫α＝π2＋k π，k ∈Z ＝⎩⎨⎧α⎪⎪⎪⎭⎬⎫α＝k π2，k ∈Z ，故C 正确；对于D ，终边在直线y ＝x 上的角的集合是⎩⎨⎧α⎪⎪⎪⎭⎬⎫α＝π4＋k π，k ∈Z ，故D 不正确．]5．已知扇形的弧长是4 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是( ) A ．1 B ．2 C ．4D ．1或4C [因为扇形的弧长为4 cm ，面积为2 cm 2，所以扇形的面积为12×4×r ＝2，解得r ＝1(cm)，则扇形的圆心角的弧度数为41＝4.故选C.]二、填空题6．把角－274π用角度制表示为________．－1 215° [－274π＝－274×180°＝－1 215°.]7．在△ABC 中，若A ∶B ∶C ＝3∶5∶7，则角A ，B ，C 的弧度数分别为______________． π5，π3，7π15 [因为A ＋B ＋C ＝π，又A ∶B ∶C ＝3∶5∶7，所以A ＝3π3＋5＋7＝π5，B ＝5π3＋5＋7＝π3，C ＝7π15.]8．圆的一段弧长等于该圆外切正三角形的外边，则这段弧所对圆心角的弧度数是________．2 3 [设圆的半径为r ，外切正三角形边长为a ，则32a ×13＝r ，则r ＝36a ，又弧长为a ，所以圆心角为：ar＝a36a ＝63＝2 3.]三、解答题9．已知角α＝2 010°.(1)将α改写成β＋2k π(k ∈Z ，0≤β＜2π)的形式，并指出α是第几象限的角； (2)在区间[－5π，0)上找出与α终边相同的角． [解] (1)2 010°＝2 010×π180＝67π6＝5×2π＋7π6.又π＜7π6＜3π2，∴α与7π6终边相同，是第三象限的角．(2)与α终边相同的角可以写成γ＝7π6＋2k π(k ∈Z )，又－5π≤γ＜0，∴当k ＝－3时，γ＝－296π；当k ＝－2时，γ＝－176π；当k ＝－1时，γ＝－56π.∴在区间[－5π，0)上与α终边相同的角为－296π，－176π，－56π.10．已知半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10. (1)求弦AB 所对的圆心角α的大小；(2)求α所在的扇形的弧长l 及弧所在的弓形的面积S . [解] (1)由⊙O 的半径r ＝10＝AB ，知△AOB 是等边三角形， ∴α＝∠AOB ＝60°＝π3.(2)由(1)可知α＝π3，r ＝10，∴弧长l ＝α·r ＝π3×10＝10π3，∴S 扇形＝12lr ＝12×10π3×10＝50π3，而S △AOB ＝12·AB ·53＝12×10×53＝253，∴S ＝S 扇形－S △AOB ＝25⎝⎛⎭⎪⎫2π3－3.[能力提升练]1．若角α与角x ＋π4有相同的终边，角β与角x －π4有相同的终边，那么α与β间的关系为( )A ．α＋β＝0B ．α－β＝0C ．α＋β＝2k π(k ∈Z )D ．α－β＝π2＋2k π(k ∈Z )D [∵α＝2k 1π＋x ＋π4，β＝2k 2π＋x －π4(k 1，k 2∈Z )，∴α－β＝2(k 1－k 2)π＋π2，也即α－β＝π2＋2k π(k ∈Z )．]2．已知集合A ＝{x |2k π≤x ≤2k π＋π，k ∈Z }，集合B ＝{x |－4≤x ≤4}，则A ∩B ＝________________．[－4，－π]∪[0，π] [如图所示，∴A ∩B ＝[－4，－π]∪[0，π]．]任意角的三角函数(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．sin(－1 380°)的值为( ) A ．－12B ．12C ．－32D ．32D [sin(－1 380°)＝sin(－4×360°＋60°)＝sin 60°＝32.] 2．如果角α的终边过点P (2sin 30°，－2cos 30°)，则sin α的值等于( ) A ．12 B ．－12C ．－32D ．－33C [sin 30°＝12，cos 30°＝32，∴P 点坐标为(1，－3)，r ＝12＋（－3）2＝2，∴sin α＝－32.] 3．已知角α的终边在函数y ＝－|x |的图象上，则cos α的值为( ) A ．22B ．－22C ．22或－22D ．12C [由y ＝－|x |的图象知，α的终边落在第三、四象限的角平分线上，当α终边落在第三象限时，cos α＝－22；当α终边落在第四象限时，cos α＝22.] 4．θ是第二象限角，则下列选项中一定为正值的是( ) A ．sin θ2B ．cos θ2C ．tan θ2D ．cos 2θC [∵θ是第二象限角，则θ2一定是第一或第三象限角，这时tan θ2一定为正值，故选C.]5．某点从(1，0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1按逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12 C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32D ．⎝⎛⎭⎪⎫－32，12 A [点(1，0)在x 轴正半轴，由题意可知，θ一定在α＝2π3的终边上，∵OQ ＝1，∴Q 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π3，sin 2π3即⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.] 二、填空题6．在平面直角坐标系中，以x 轴的非负半轴为角的始边，如果角α，β的终边分别与单位圆交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫513，1213和⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45，那么sin α·tan β＝．－1613[由任意角的正弦、正切函数的定义知 sin α＝1213，tan β＝45－35＝－43，所以sin α·tan β＝1213×⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝－1613.]7．点P (tan 2 018°，cos 2 018°)位于第象限．四 [因为2 018°＝5×360°＋218°，所以2 018°与218°终边相同，是第三象限角，所以tan 2 018°＞0，cos 2 018°＜0，所以点P 位于第四象限．]8．已知角α的终边经过点P (x ，－6)且cos α＝－45，则x ＝．－8 [因为|OP |＝x 2＋（－6）2＝x 2＋36，所以cos α＝xx 2＋36，又cos α＝－45，所以xx 2＋36＝－45，整理得x ＝－8.]三、解答题 9．化简下列各式：(1)sin 72π＋cos 52π＋cos(－5π)＋tan π4；(2)a 2sin 810°－b 2cos 900°＋2ab tan 1 125°. [解] (1)原式＝sin 32π＋cos π2＋cos π＋1＝－1＋0－1＋1＝－1.(2)原式＝a 2sin 90°－b 2cos 180°＋2ab tan 45°＝a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2. 10．已知1|sin α|＝－1sin α，且lg cos α有意义．(1)试判断角α的终边所在的象限；(2)若角α的终边上一点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，m ，且|OM |＝1(O 为坐标原点)，求m 的值及sin α的值．[解] (1)由1|sin α|＝－1sin α，可知sin α<0.由lg cos α有意义，可知cos α>0， ∴角α的终边在第四象限．(2)∵|OM |＝1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫352＋m 2＝1，解得m ＝±45.又α是第四象限角，故m <0，从而m ＝－45.由正弦函数的定义可知 sin α＝y r ＝m |OM |＝－451＝－45.[能力提升练]1．函数y ＝sin x ＋－cos x 的定义域是( ) A ．(2k π，2k π＋π)，k ∈Z B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋π，k ∈Z C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π2，k π＋π，k ∈Z D ．[]2k π，2k π＋π，k ∈ZB [由sin x ≥0，－cos x ≥0，得x 为第二象限角或y 轴正半轴上的角或x 轴负半轴上的角，所以2k π＋π2≤x ≤2k π＋π，k ∈Z .]2．若角α满足sin α·cos α＜0，cos α－sin α＜0，则α在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限B [由sin α·cos α＜0知α是第二或第四象限角，由cos α－sin α＜0，得cos α＜sin α，所以α是第二象限角．]3．已知角α的终边过点(－3cos θ，4cos θ)，其中θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则cos α＝．35 [因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以cos θ＜0，r ＝（－3cos θ）2＋（4cos θ）2＝5|cos θ|＝－5cos θ，所以cos α＝－3cos θ－5cos θ＝35.]4．函数y ＝|cos x |cos x ＋tan x|tan x |的值域为．{－2，0，2} [已知函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪⎪x ≠k π2，k ∈Z ，即角x 的终边不能落在坐标轴上，当x 是第一象限角时，cos x ＞0，tan x ＞0，y ＝cos x cos x ＋tan xtan x ＝1＋1＝2；当x 是第二象限角时，cos x ＜0，tan x ＜0，y ＝－cos x cos x ＋－tan xtan x ＝－1－1＝－2；当x 是第三象限角时，cos x ＜0，tan x ＞0，y ＝－cos x cos x ＋tan xtan x ＝－1＋1＝0；当x 是第四象限角时，cos x ＞0，tan x ＜0，y ＝cos x cos x ＋－tan xtan x ＝1－1＝0.综上知原函数的值域是{－2，0，2}．] 5．已知sin θ＜0，tan θ＞0. (1)求角θ的集合； (2)求θ2的终边所在的象限；(3)试判断sin θ2cos θ2tan θ2的符号．[解] (1)因为sin θ＜0，所以θ为第三、四象限角或在y 轴的负半轴上，因为tan θ＞0，所以θ为第一、三象限角，所以θ为第三象限角，θ角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪⎪2k π＋π＜θ＜2k π＋3π2，k ∈Z .(2)由(1)可得，k π＋π2＜θ2＜k π＋3π4，k ∈Z .当k 是偶数时，θ2终边在第二象限；当k 是奇数时，θ2终边在第四象限．(3)由(2)可得当k 是偶数时，sin θ2＞0，cos θ2＜0，tan θ2＜0，所以sin θ2cos θ2tan θ2＞0；当k 是奇数时sin θ2＜0，cos θ2＞0，tan θ2＜0，所以sin θ2cos θ2tan θ2＞0.综上知，sin θ2cos θ2tan θ2＞0.三角函数及其应用(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、选择题1．对三角函数线，下列说法正确的是( ) A ．对任意角都能作出正弦线、余弦线和正切线 B ．有的角的正弦线、余弦线和正切线都不存在C ．任意角的正弦线、正切线总是存在的，但余弦线不一定存在D ．任意角的正弦线、余弦线总是存在的，但正切线不一定存在D [终边在y 轴上的角的正切线不存在，故A ，C 错，对任意角都能作正弦线、余弦线，故B 错，因此选D .]2．有三个命题：①π6和5π6的正弦线长度相等；②π3和4π3的正切线相同；③π4和5π4的余弦线长度相等．其中正确说法的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．0C [π6和5π6的正弦线关于y 轴对称，长度相等；π3和4π3两角的正切线相同；π4和5π4的余弦线长度相等．故①②③都正确，故选C.]3．角α(0＜α＜2π)的正弦线、余弦线的长度相等，且正弦、余弦符号相异，那么α的值为( )A ．π4B ．3π4C ．7π4D ．3π4或7π4D [由已知得角α的终边应落在直线y ＝－x 上，又0＜α＜2π，所以α＝3π4或7π4.]4．cos 1，cos 2，cos 3的大小关系是( ) A ．cos 1＞cos 2＞cos 3 B ．cos 1＞cos 3＞cos 2 C ．cos 3＞cos 2＞cos 1D ．cos 2＞cos 1＞cos 3A [作出已知三个角的余弦线(如图)，观察图形可知cos 1＞0＞cos 2＞cos 3.] 5．使sin x ≤cos x 成立的x 的一个区间是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，π4B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4 D ．[0，π]A [如图，画出三角函数线sin x ＝MP ，cos x ＝OM ，由于sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4， sin π4＝cos π4，为使sin x ≤cos x 成立，由图可得在[－π，π]范围内，－3π4≤x ≤π4.]二、填空题6．已知θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，在单位圆中角θ的正弦线、余弦线、正切线分别是MP ，OM ，AT ，则它们从大到小的顺序为．AT>MP>OM [如图：因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，所以θ>π4，根据三角函数线的定义可知AT >MP >OM .]7．利用三角函数线写出满足tan x ＜3且x ∈(0，2π)的x 的取值范围为． ⎝⎛⎭⎪⎫0，π3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，4π3 [由tanx ＜3得k π－π2＜x ＜k π＋π3(k ∈Z )，又∵x ∈(0，2π)， ∴x 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫0，π3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，4π3.]8．函数y ＝2cos x －1的定义域为．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3＋2k π，π3＋2k π(k ∈Z ) [因为2cos x －1≥0，所以cos x ≥12.如图：作出余弦值等于12的角：－π3和π3，在图中所示的阴影区域内的每一个角x ，其余弦值均大于或等于12，因而满足cos x ≥12的角的集合为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3＋2k π，π3＋2k π(k ∈Z )．所以函数定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3＋2k π，π3＋2k π(k ∈Z )．]三、解答题9．已知－12≤sin θ＜32，利用单位圆中的三角函数线，确定角θ的范围．[解] 画出三角函数线如图．由图可知角θ的范围是⎩⎨⎧θ⎪⎪⎪⎭⎬⎫2k π－π6≤θ＜2k π＋π3或2k π＋2π3＜α≤2k π＋7π6，k ∈Z . 10．求下列函数的定义域： (1)f (x )＝sin x ·tan x ； (2)f (x )＝lg sin x ＋9－x 2. [解] (1)∵要使函数f (x )有意义，∴sin x ·tan x ≥0，∴sin x 与tan x 同号或sin x ·tan x ＝0，故x 是第一、四象限的角或终边在x 轴上的角． ∴函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π－π2＜x ＜2k π＋π2或x ＝（2k ＋1）π，k ∈Z .(2)由题意，要使f (x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＞0，9－x 2≥0. 由sin x ＞0得2k π＜x ＜2k π＋π(k ∈Z )， ① 由9－x 2≥0得－3≤x ≤3，②由①②得：f (x )的定义域为{x |0＜x ≤3}．[能力提升练]1．在(0，2π)内，使得|sin x |＞|cos x |成立的x 的取值范围是( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎪⎫π，5π4B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，πC ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4，7π4D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4，3π2C [|sin x |＞|cos x |可转化为x 的正弦线的长度大于余弦线的长度，观察图形可知：在(0，2π)内，使得|sin x |＞|cos x |成立的x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4，7π4.]2．点P (sin 3－cos 3，sin 3＋cos 3)所在的象限为( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限D [∵56π＜3＜π，作出单位圆如图所示．设MP ，OM 分别为a ，b . sin 3＝a ＞0，cos 3＝b ＜0，所以sin 3－cos 3＞0. 因为|MP |＜|OM |，即|a |＜|b |，所以sin 3＋cos 3＝a ＋b ＜0.故点P (sin 3－cos 3，sin 3＋cos 3)在第四象限．]同角三角函数的基本关系(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、选择题1．已知α是第三象限角，且sin α＝－13，则3cos α＋4tan α＝( )A ．－ 2B ． 2C ．－ 3D ． 3A [因为α是第三象限角，且sin α＝－13，所以cos α＝－1－sin 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－132＝－223，所以tan α＝sin αcos α＝122＝24，所以3cos α＋4tan α＝－22＋2＝－ 2.] 2．化简sin 2α＋cos 4α＋sin 2αcos 2α的结果是( ) A ．14 B ．12 C ．1 D ．32C [原式＝sin 2α＋cos 2α(cos 2α＋sin 2α)＝sin 2α＋cos 2α＝1.]3．若α是三角形的一个内角，且sin α＋cos α＝23，则这个三角形是( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形D [sin α＋cos α＝23得1＋2sin αcos α＝49，所以sin αcos α＝－518＜0，又因α∈(0，π)，所以α为钝角，故三角形为钝角三角形．]4.⎝ ⎛⎭⎪⎫tan x ＋1tan x cos 2x 等于( ) A ．tan x B ．sin x C ．cos x D ．1tan xD [原式＝⎝⎛⎭⎪⎫sin x cos x ＋cos x sin x ·cos 2x＝sin 2x ＋cos 2x sin x cos x ·cos 2x ＝1sin x cos x ·cos 2x ＝cos x sin x ＝1tan x.]5．已知sin θ＋cos θ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜θ＜π4，则sin θ－cos θ的值为( )A ．23B ．－23C ．13D ．－13B [因为sin θ＋cos θ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜θ＜π4，所以两边平方可得：1＋2sin θcos θ＝169，即sin θ·cos θ＝718，所以(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝1－79＝29，又因为0＜θ＜π4，所以sin θ＜cos θ，所以sin θ－cos θ＜0，所以sin θ－cos θ＝－23，故应选B .]二、填空题 6．化简11＋tan 220°的结果是．cos 20° [11＋tan 220°＝11＋sin 220°cos 220°＝1cos 220°＋sin 220°cos 220°＝11cos 220°＝|cos 20°|＝cos 20°.] 7．已知sin αcos α＝12，则sin α－cos α＝．0 [(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×12＝0，∴sin α－cos α＝0.]8．已知tan α＝2，则4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2α＝． 1 [4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2α ＝4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2αsin 2α＋cos 2α ＝4tan 2α－3tan α－5tan 2α＋1 ＝4×4－3×2－54＋1＝55＝1.]三、解答题 9．化简下列各式： (1)sin α1＋sin α－sin α1－sin α； (2)⎝⎛⎭⎪⎫1sin α＋1tan α(1－cos α)．[解] (1)原式＝sin α（1－sin α）－sin α（1＋sin α）（1＋sin α）（1－sin α）＝－2sin 2α1－sin 2α＝－2sin 2αcos 2α＝－2tan 2α.(2)原式＝⎝⎛⎭⎪⎫1sin α＋cos αsin α(1－cos α) ＝1＋cos αsin α(1－cos α)＝sin 2αsin α＝sin α.10．已知2cos 2α＋3cos αsin α－3sin 2α＝1，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，－π.求：(1)tan α；(2)2sin α－3cos α4sin α－9cos α. [解] (1)2cos 2α＋3cos αsin α－3sin 2α ＝2cos 2α＋3cos αsin α－3sin 2αsin 2α＋cos 2α＝2＋3tan α－3tan 2αtan 2α＋1＝1，即4tan 2α－3tan α－1＝0，解得tan α＝－14或tan α＝1.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，－π，∴α为第二象限角， ∴tan α＜0，∴tan α＝－14.(2)原式＝2tan α－34tan α－9＝720.[能力提升练]1.1－2sin 10°cos 10°sin 10°－1－sin 210°的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．sin 10°D ．cos 10°B [1－2sin 10°cos 10°sin 10°－1－sin 210° ＝（cos 10°－sin 10°）2sin 10°－cos 210°＝|cos 10°－sin 10°|sin 10°－cos 10°＝cos 10°－sin 10°sin 10°－cos 10°＝－1.]2．已知sin θ，cos θ是方程2x 2－mx ＋1＝0的两根，则sin θ1－1tan θ＋cos θ1－tan θ＝．±2 [sin θ1－1tan θ＋cos θ1－tan θ＝sin θ1－cos θsin θ＋cos θ1－sin θcos θ＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos 2θcos θ－sin θ＝sin 2θ－cos 2θsin θ－cos θ＝sin θ＋cos θ，又因为sin θ，cos θ是方程2x 2－mx ＋1＝0的两根，所以由根与系数的关系得sin θcos θ＝12，则(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sinθcos θ＝2，所以sin θ＋cos θ＝± 2.]三角函数的诱导公式（1）(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、选择题1．已知sin(π＋θ)＝45，则角θ的终边在( )A ．第一或第二象限B ．第二或第三象限C ．第一或第四象限D ．第三或第四象限D [sin(π＋θ)＝－sin θ＝45，∴sin θ＝－45＜0，所以θ为第三或第四象限角．]2．sin 2(2π－α)＋cos(π＋α)cos(π－α)＋1的值是( ) A ．1 B ．2 C ．0 D ．－1 B [原式＝sin 2α＋(－cos α)·(－cos α)＋1 ＝sin 2α＋cos 2α＋1＝1＋1＝2.]3．已知600°角的终边上有一点P (a ，－3)，则a 的值为( ) A ． 3 B ．－ 3 C.33 D ．－33B [由题意得tan 600°＝－3a，又因为tan 600°＝tan(360°＋240°) ＝tan 240°＝tan(180°＋60°) ＝tan 60°＝3，所以－3a＝3，所以a ＝－ 3.]4．已知点(－4，3)是角α终边上的一点，则sin(π－α)＝( ) A ．35 B ．－35 C ．－45 D ．45A [x ＝－4，y ＝3，∴r ＝（－4）2＋32＝5，∴sin(π－α)＝sin α＝y r ＝35.故选A.]5．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝32，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4－α的值为( ) A ．12 B ．－12 C ．32 D ．－32 C [sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π4－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π4－α＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝32.]二、填空题6．若P (－4，3)是角α终边上一点，则cos （α－3π）·tan （α－2π）sin 2（π－α）的值为________．－53 [由条件可知sin α＝35，cos α＝－45，tan α＝－34， ∴cos （α－3π）·tan （α－2π）sin 2（π－α）＝－cos α·tan αsin 2α＝－sin αsin 2α＝－1sin α＝－53.] 7．已知cos(508°－α)＝1213，则cos(212°＋α)＝________．1213[由于cos(508°－α)＝cos(360°＋148°－α) ＝cos(148°－α)＝1213，所以cos(212°＋α)＝cos(360°＋α－148°) ＝cos(α－148°)＝cos(148°－α)＝1213.]8．已知sin(α＋π)＝45，且sin αcos α＜0，则2sin （α－π）＋3tan （3π－α）4cos （α－3π）＝________．－73 [因为sin(α＋π)＝－sin α＝45，且sin αcos α＜0，所以sin α＝－45，cos α＝35，tan α＝－43，所以2sin （α－π）＋3tan （3π－α）4cos （α－3π）＝－2sin α－3tan α－4cos α＝85＋4－4×35＝－73.] 三、解答题 9．化简下列各式：(1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－193πcos 76π；(2)sin(－960°)cos 1 470°－cos(－240°)sin(－210°)．[解] (1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－193πcos 76π＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫6π＋π3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π6＝sin π3cos π6＝34. (2)sin(－960°)cos 1 470°－cos(－240°)sin(－210°) ＝－sin(180°＋60°＋2×360°)cos(30°＋4×360°)＋ cos(180°＋60°)sin(180°＋30°) ＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝1.10．已知f (α)＝sin （π＋α）cos （2π－α）tan （－α）tan （－π－α）sin （－π－α）.(1)化简f (α)；(2)若α是第三象限角，且sin(α－π)＝15，求f (α)的值；(3)若α＝－31π3，求f (α)的值．[解] (1)f (α)＝－sin αcos α（－tan α）（－tan α）sin α＝－cos α.(2)∵sin(α－π)＝－sin α＝15，∴sin α＝－15.又α是第三象限角，∴cos α＝－265，∴f (α)＝265.(3)∵－31π3＝－6×2π＋5π3，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫－6×2π＋5π3＝－cos 5π3＝－cos π3＝－12.[能力提升练]1．已知a ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π6，b ＝cos 23π4，c ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－33π4，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．b ＞c ＞aD ．c ＞a ＞bB [a ＝－tan 7π6＝－tan π6＝－33，b ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫6π－π4＝cos π4＝22， c ＝－sin33π4＝－sin π4＝－22， ∴b ＞a ＞c .]2．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin πx （x ＜0），f （x －1）－1（x ＞0），则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－116＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116的值为________．－2 [f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－116＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－11π6＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2π＋π6＝sin π6＝12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116＝f ⎝⎛⎭⎪⎫116－1－1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56－1＝f ⎝⎛⎭⎪⎫56－1－2 ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－16－2 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6－2＝－sin π6－2＝－12－2＝－52，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－116＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116＝12－52＝－2.]三角函数的诱导公式（2）(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、选择题1．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＜0，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＞0，则θ是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角B [sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝cos θ＜0，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝sin θ＞0， ∴θ为第二象限角．]2．若sin(3π＋α)＝－12，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π2－α等于( )A ．－12B ．12C ．32D ．－32A [∵sin(3π＋α)＝－sin α＝－12，∴sin α＝12.∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫7π2－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α ＝－sin α＝－12.]3．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α等于( ) A ．－13 B ．13 C ．223 D ．－223A [cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＋π2＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝－13.故选A.]4．若sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)＝－a ，则cos(270°－α)＋2sin(360°－α)的值是( )A ．－2a 3B ．－3a 2C ．2a 3D ．3a2B [由sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)＝－a ，得－sin α－sin α＝－a ，即sin α＝a2，cos(270°－α)＋2sin(360°－α) ＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－32a .]5．化简：sin （θ－5π）cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2－θcos （8π－θ）sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－3π2sin （－θ－4π）＝( )A ．－sin θB ．sin θC ．cos θD ．－cos θA [原式＝sin （θ－π）cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θcos （－θ）cos θsin （－θ）＝（－sin θ）（－sin θ）cos θcos θ（－sin θ）＝－sin θ.]二、填空题6．(2019·天一大联考)在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边经过点P (3，4)，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－2 019π2＝________． 35 [∵角α的终边经过点P (3，4)，∴sin α＝45，cos α＝35，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－2 019π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝cos α＝35.]7．化简sin(π＋α)cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2＋α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αcos(π＋α)＝________．－1 [原式＝(－sin α)·sin α＋cos α·(－cos α) ＝－sin 2α－cos 2α＝－1.]8．已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12，x ∈R .若cos θ＝35，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－5π12＝________．－425 [由f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12得f ⎝⎛⎭⎪⎫θ－5π12＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－5π12－π12＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π2＝2sin θ.又∵cos θ＝35，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，∴sin θ＝－45，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－5π12＝－425.]三、解答题9．已知角α的终边经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35.(1)求sin α的值；(2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αtan （α－π）sin （α＋π）cos （3π－α）的值．[解] (1)因为点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35，所以|OP |＝1，sin α＝－35.(2)sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－αtan （α－π）sin （α＋π）cos （3π－α）＝cos αtan α－sin α（－cos α）＝1cos α，由三角函数定义知cos α＝45，故所求式子的值为54.10．求证：2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－3π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π2－11－2sin 2θ＝tan （9π＋θ）＋1tan （π＋θ）－1. [证明] 左边＝－2cos θ·sin θ－1sin 2θ＋cos 2θ－2sin 2θ ＝－（sin θ＋cos θ）2（cos θ＋sin θ）（cos θ－sin θ）＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ，右边＝tan ·（8π＋π＋θ）＋1tan （π＋θ）－1＝tan （π＋θ）＋1tan （π＋θ）－1＝tan θ＋1tan θ－1＝sin θcos θ＋1sin θcos θ－1＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ，所以左边＝右边，所以等式成立．[能力提升练]1．计算sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 289°＝( ) A ．89 B ．90 C ．892D ．45C [原式＝(sin 21°＋sin 289°)＋(sin 22°＋sin 288°)＋…＋(sin 244°＋sin 246°)＋sin 245°＝44＋12＝892.]2．已知f (α)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－αcos （－π－α）tan （π－α），则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－26π3的值为________．－12 [f (α)＝（－sin α）·（－cos α）（－cos α）·（－tan α）＝sin αcos αsin α＝cos α，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－26π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－263π＝cos 263π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π－π3＝－cos π3＝－12.]正弦函数余弦函数的图像(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．用“五点法”作y ＝sin 2x 的图象时，首先描出的五个点的横坐标是( ) A ．0，π2，π，3π2，2πB ．0，π4，π2，3π4，πC ．0，π，2π，3π，4πD ．0，π6，π3，π2，2π3B [令2x ＝0，π2，π，3π2，2π可得x ＝0，π4，π2，3π4，π，故选B.]2．若点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，－m 在函数y ＝sin x 的图象上，则m 等于( ) A ．0 B ．1 C ．－1 D ．2 C [当x ＝π2时，y ＝sin π2＝1，故－m ＝1，m ＝－1.]3．已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2，g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2，则f (x )的图象( )A ．与g (x )的图象相同B ．与g (x )的图象关于y 轴对称C ．向左平移π2个单位，得g (x )的图象D ．向右平移π2个单位，得g (x )的图象D [f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2，g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝sin x ， f (x )图象向右平移π2个单位得到g (x )图象．]4.如图是下列哪个函数的图象( )A ．y ＝1＋sin x ，x ∈[0，2π]B ．y ＝1＋2sin x ，x ∈[0，2π]C ．y ＝1－sin x ，x ∈[0，2π]D ．y ＝1－2sin x ，x ∈[0，2π]C [根据图象上特殊点进行验证，可知C 正确．]5．将余弦函数y ＝cos x 的图象向右至少平移m 个单位，可以得到函数y ＝－sin x 的图象，则m ＝( )A ．π2B ．πC ．3π2D ．3π4C [根据诱导公式得，y ＝－sin x ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3π2，故欲得到y ＝－sin x的图象，需将y ＝cos x 的图象向右至少平移3π2个单位长度．]二、填空题6．用“五点法”作函数y ＝1－cos x ，x ∈[0，2π]的图象时，应取的五个关键点分别是______________．(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，1，(2π，0) [x 依次取0，π2，π，3π2，2π得五个关键点(0，0)，⎝⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，1，(2π，0)．]7．函数y ＝1＋sin x ，x ∈[0，2π]的图象与直线y ＝32的交点个数是________．2 [在同一坐标系内画出y ＝1＋sin x 和y ＝32的图象(如图所示)，观察可得交点的个数为2.]8．函数y ＝lg(2－2cos x )的定义域是________．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪π4＋2k π＜x ＜7π4＋2k π，k ∈Z [由2－2cos x ＞0得cos x ＜22，作出y ＝cos x 的图象和直线y ＝22，由图象可知cos x ＜22的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪π4＋2k π＜x ＜7π4＋2k π，k ∈Z .] 三、解答题9．用“五点法”画出y ＝－2cos x ＋3(0≤x ≤2π)的简图． [解] 列表：10．若函数y ＝2cos x (0≤x ≤2π)的图象和直线y ＝2围成一个封闭的平面图形(如图)，求这个封闭图形的面积．[解] 观察图形可知：图形S 1与S 2，S 3与S 4都是两个对称图形，有S 1＝S 2，S 3＝S 4. 因此函数y ＝2cos x 的图象与直线y ＝2所围成的图形面积，可以等价转化为求矩形OABC 的面积．∵|OA |＝2，|OC |＝2π， ∴S 矩形OABC ＝2×2π＝4π， ∴所求封闭图形的面积为4π.[能力提升练]1．若sin θ＝1－log 2x ，则实数x 的取值范围是( )A ．[1，4]B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1C ．[2，4]D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，4A [由sin θ∈[－1，1]得－1≤1－log 2x ≤1，解得0≤log 2x ≤2，即1≤x ≤4.]2．方程sin x ＝x10的根的个数是( )A ．7B ．8C ．9D ．10A [在同一坐标系内画出y ＝x10和y ＝sin x 的图象如图所示：根据图象可知方程有7个根．]3．在(0，2π)内，使sin x >cos x 成立的x 的取值范围是________．⎝⎛⎭⎪⎫π4，5π4 [在同一坐标系中画出y ＝sin x ，x ∈(0，2π)与y ＝cos x ，x ∈(0，2π)的图象如图所示，由图象可观察出当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，5π4时，sin x >cos x ．]4．函数y ＝cos x ＋4，x ∈[0，2π]的图象与直线y ＝4的交点的坐标为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，4，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，4 [由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝cos x ＋4，y ＝4得cos x ＝0，当x ∈[0，2π]时，x ＝π2或3π2，∴交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，4，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，4.]5．函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0，2π]的图象与直线y ＝k 有且仅有两个不同的交点，求k 的取值范围．[解] f (x )＝sin x ＋2|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧3sin x ，x ∈[0，π]，－sin x ，x ∈（π，2π].图象如图所示，若使f (x )的图象与直线y ＝k 有且仅有两个不同的交点，根据上图可得k 的取值范围是(1，3)．正弦余弦函数的周期性与奇偶性(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．函数f (x )＝x ＋sin x ，x ∈R ( ) A ．是奇函数，但不是偶函数 B ．是偶函数，但不是奇函数 C ．既是奇函数，又是偶函数 D ．既不是奇函数，又不是偶函数A [函数y ＝x 为奇函数且y ＝sin x 也是奇函数，故f (x )＝x ＋sin x ，x ∈R 是奇函数．] 2．下列函数中最小正周期为π的偶函数是( ) A ．y ＝sin x2B ．y ＝cos x2C ．y ＝cos xD ．y ＝cos 2xD [A 中函数是奇函数，B 、C 中函数的周期不是π，只有D 符合题目要求．] 3．函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6的最小正周期为π5，其中ω＞0，则ω等于( ) A ．5 B ．10 C ．15 D ．20 B [由已知得2π|ω|＝π5，又ω＞0，所以2πω＝π5，ω＝10.]4．函数y ＝－x cos x 的部分图象是下图中的( )A B C DD [y ＝cos x 为偶函数，y ＝x 为奇函数，∴y ＝－x cos x 为奇函数，排除A 、C ，又x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时cos x ＞0，x ＞0，∴y ＜0，故排除B ，选D.]5．定义在R 上的函数f (x )周期为π，且是奇函数，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4的值为( )A ．1B ．－1C ．0D ．2B [由已知得f (x ＋π)＝f (x )，f (－x )＝－f (x )，所以f ⎝⎛⎭⎪⎫3π4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－1.]二、填空题6．关于x 的函数f (x )＝sin(x ＋φ)有以下说法： ①对任意的φ，f (x )都是非奇非偶函数； ②存在φ，使f (x )是偶函数； ③存在φ，使f (x )是奇函数； ④对任意的φ，f (x )都不是偶函数．其中错误的是________(填序号)．①④ [φ＝0时，f (x )＝sin x ，是奇函数，φ＝π2时，f (x )＝cos x 是偶函数．]7．若函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3的最小正周期为T ，且T ∈(1，4)，则正整数ω的最大值为________．6 [T ＝2πω，1＜2πω＜4，则π2＜ω＜2π，∴ω的最大值是6.]8．函数y ＝sin x 的图象关于原点对称，观察正弦曲线的形状，结合正弦函数的周期性可知，正弦曲线的对称中心为________．(k π，0)(k ∈Z ) [∵y ＝sin x 是奇函数，∴(0，0)是其对称中心，又正弦函数的周期为2k π，结合正弦曲线可知，对称中心为(k π，0)(k ∈Z )．]三、解答题9．已知函数y ＝12sin x ＋12|sin x |.(1)画出函数的简图；(2)此函数是周期函数吗？若是，求其最小正周期． [解] (1)y ＝12sin x ＋12|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，x ∈[2k π，2k π＋π]（k ∈Z ），0，x ∈[2k π－π，2k π]（k ∈Z ），图象如下：(2)由图象知该函数是周期函数，且周期是2π.[能力提升练]1．函数f (x )＝sin x1＋cos x 的奇偶性是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数也不是偶函数A [首先1＋cos x ≠0，即x ≠2k π＋π(k ∈Z )，定义域关于原点对称，又y ＝sin x 是奇函数，y ＝1＋cos x 是偶函数，所以f (x )＝sin x1＋cos x是奇函数．]2．设函数f (x )＝sin π3x ，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 018)＝( )A ．32 B ．－32C ．0D ． 3 D [∵f (x )＝sin π3x 的周期T ＝2ππ3＝6，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 018)＝336[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＋f (6)]＋f (2 017)＋f (2 018) ＝336⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3＋sin 23π＋sin π＋sin 43π＋sin 53π＋sin 2π＋f (336×6＋1)＋f (336×6＋2)＝336×0＋f (1)＋f (2)＝sin π3＋sin 23π＝ 3.]3．已知f (x )是定义在(－3，3)上的奇函数，当0＜x ＜3时，f (x )的图象如图所示，那么不等式f (x )cos x ＜0的解集是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，－1∪(0，1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3 [∵f (x )是(－3，3)上的奇函数，∴g (x )＝f (x )·cosx 是(－3，3)上的奇函数，从而观察图象(略)可知所求不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，－1∪(0，1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3.]4．设f (x )是定义域为R ，最小正周期为3π2的函数，若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos x ，－π2≤x ≤0，sin x ，0＜x≤π，则f ⎝⎛⎭⎪⎫－15π4的值等于________．22 [因为函数f (x )的周期为3π2，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－154π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－154π＋3π2×3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，又∵3π4∈(0，π]，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－154π＝sin 3π4＝22.]5．已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，若函数g (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2时，g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，求关于x 的方程g (x )＝32的解集．[解] 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2时， g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3. 因为x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，所以由g (x )＝32解得x ＋π3＝－π6或π6，即x ＝－π2或－π6. 又因为g (x )的最小正周期为π，所以g (x )＝32的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π－π2或x ＝k π－π6，k ∈Z .正弦余弦函数的单调性与最值(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．下列函数中，周期为π，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上为减函数的是( ) A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2A [对于选项A ，注意到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos 2x 的周期为π，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上是减函。

高中数学必修4习题和复习参考题及对应答案

高中数学必修4习题和复习参考题及对应答案A 组1、在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是哪个象限的角：（1）－265°；（2）－1000°；（3）－843°10′；（4）3900°．答案：（1）95°，第二象限；（2）80°，第一象限；（3）236°50′，第三象限；（4）300°，第四象限．说明：能在给定范围内找出与指定的角终边相同的角，并判定是第几象限角．2、写出终边在x 轴上的角的集合．答案：S={α|α=k·180°，k ∈Z }．说明：将终边相同的角用集合表示．3、写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－360°≤β＜360°的元素β写出来：（1）60°；（2）－75°；（3）－824°30′；（4）475°；（5）90°；（6）270°；（7）180°；（8）0°．答案：（1）{β|β=60°＋k·360°，k ∈Z }，－300°，60°；（2）{β|β=－75°＋k·360°，k ∈Z }，－75°，285°；（3）{β|β=－824°30′＋k·360°，k ∈Z }，－104°30′，255°30′；（4）{β|β=475°＋k·360°，k ∈Z }，－245°，115°；（5）{β|β=90°＋k·360°，k ∈Z }，－270°，90°；（6）{β|β=270°＋k·360°，k ∈Z }，－90°，270°；（7）{β|β=180°＋k·360°，k ∈Z }，－180°，180°；（8）{β|β=k·360°，k ∈Z }，－360°，0°．说明：用集合表示法和符号语言写出与指定角终边相同的角的集合，并在给定范围内找出与指定的角终边相同的角．4、分别用角度和弧度写出第一、二、三、四象限角的集合．答案：象限角度制弧度制一 {β|k·360°＜β＜90°＋k·360°，k ∈Z } {|22,}2k k k πβπβπ<<+∈Z二 {β|90°＋k·360°＜β＜180°＋k·360°，k ∈Z }{|22,}2k k k πβπβππ+<<+∈Z三 {β|180°＋k·360°＜β＜270°＋k·360°，k ∈Z }3{|22,}2k k k πβππβπ+<<+∈Z 四{β|270°＋k·360°＜β＜360°＋k·360°，k ∈Z }3{|222,}2k k k πβπβππ+<<+∈Z 说明：用角度制和弧度制写出各象限角的集合．5、选择题：（1）已知α是锐角，那么2α是（） A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．小于180°的正角 D ．第一或第二象限角（2）已知α是第一象限角，那么2α是（）、 A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第一或第二象限角 D ．第一或第三象限角答案：（1）C 说明：因为0°＜α＜90°，所以0°＜2α＜180°．（2）D说明：因为k·360°＜α＜90°＋k·360°，k ∈Z ，所以180451802k k α︒<<︒+︒，k ∈Z ．当k 为奇数时，2α是第三象限角；当k 为偶数时，2α是第一象限角．6、一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角等于1弧度吗？为什么？答案：不等于1弧度．这是因为等于半径长的弧所对的圆心角为1弧度，而等于半径长的弦所对的弧比半径长．说明：了解弧度的概念．7、把下列各角度化成弧度：（1）36°；（2）－150°；（3）1095°；（4）1440°．答案：（1）5π；（2）56π；（3）7312π-；（4）8π．说明：能进行度与弧度的换算．8、把下列各弧度化成度：（1）76π-；（2）103π-；（3）1.4；（4）23．答案：（1）－210°；（2）－600°；（3）80.21°；（4）38.2°．说明：能进行弧度与度的换算．9、要在半径OA=100cm 的圆形金属板上截取一块扇形板，使其弧AB 的长为112cm ，求圆心角∠AOB 是多少度（可用计算器，精确到1°）．答案：64°说明：可以先运用弧度制下的弧长公式求出圆心角的弧度数，再将弧度换算为度，也可以直接运用角度制下的弧长公式．10、已知弧长50cm 的弧所对圆心角为200°，求这条弧所在的圆的半径（可用计算器，精确到1cm ）．答案：14cm ．说明：可以先将度换算为弧度，再运用弧度制下的弧长公式，也可以直接运用角度制下的弧长公式．B 组1、每人准备一把扇子，然后与本小组其他同学的对比，从中选出一把展开后看上去形状较为美观的扇子，并用计算器算出它的面积S 1．（1）假设这把扇子是从一个圆面中剪下的，而剩余部分的面积为S 2，求S 1与S 2的比值；（2）要使S 1与S 2的比值为0.618，则扇子的圆心角应为几度（精确到10°）？答案：（1）（略）（2）设扇子的圆心角为θ，由2122120.6181(2)2r S S r θπθ==-，可得θ=0.618（2π－θ），则θ=0.764π≈140°．说明：本题是一个数学实践活动．题目对“美观的扇子”并没有给出标准，目的是让学生先去体验，然后再运用所学知识发现，大多数扇子之所以“美观”是因为基本都满足：120.618S S =（黄金分割比）的道理．2、（1）时间经过4 h （时），时针、分针各转了多少度？各等于多少弧度？（2）有人说，钟的时针和分针一天内会重合24次、你认为这种说法是否正确？请说明理由．（提示：从午夜零时算起，假设分针走了t min 会与时针重合，一天内分针和时针会重合n 次，建立t 关于n 的函数关系式，并画出其图象，然后求出每次重合的时间．）答案：（1）时针转了－120°，等于23π-弧度；分针转了－1440°，等于－8π弧度（2）设经过t min 分针就与时针重合，n 为两针重合的次数．因为分针旋转的角速度为2(rad /min)6030ππ=，时针旋转的角速度为2(rad/min)1260360ππ=⨯，所以()230360t n πππ-=，即72011t n =．用计算机或计算器作出函数72011t n =的图象（如下页图）或表格，从中可清楚地看到时针与分针每次重合所需的时间．n u1 15． 981.82 16． 1047.3 17． 1112.7 18． 1178.2 19． 1243.6 20． 1309.1 21． 1374.5 22．1440.因为时针旋转一天所需的时间为24×60=1440（min ），所以720144011n ≤，于是n≤22．故时针与分针一天内只会重合22次．说明：通过时针与分针的旋转问题进一步地认识弧度的概念，并将问题引向深入，用函数思想进行分析．在研究时针与分针一天的重合次数时，可利用计算器或计算机，从模拟的图形、表格中的数据、函数的解析式或图象等角度，不难得到正确的结论．3、已知相互啮合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿，当大轮转动一周时，小轮转动的角是__________度，即__________rad ．如果大轮的转速为180r/min （转/分），小轮的半径为10.5cm ，那么小轮周上一点每1s 转过的弧长是__________．答案：864°，245π，151.2π cm ．说明：通过齿轮的转动问题进一步地认识弧度的概念和弧长公式．当大齿轮转动一周时，小齿轮转动的角是4824360864rad.205π⨯︒=︒= 由于大齿轮的转速为3r/s ，所以小齿轮周上一点每1s 转过的弧长是483210.5151.2(cm)20ππ⨯⨯⨯=． P20 习题1.2A 组1、用定义法、公式一以及计算器求下列角的三个三角函数值：（1）173π-；（2）214π；（3）236π-；（4）1500°．答案：（1）31sin ,cos ,tan 322ααα===；（2）22sin ,cos ,tan 122ααα=-=-=；（3）133sin ,cos ,tan 223ααα===；（4）31sin ,cos ,tan 322ααα===．说明：先利用公式一变形，再根据定义求值，非特殊角的三角函数值用计算器求．2、已知角α的终边上有一点的坐标是P （3a ，4a ），其中a≠0，求sinα，cosα，tanα的三角函数值．答案：当a ＞0时，434s i n ,c o s,t a n 553ααα===；当a ＜0时，434s i n ,c o s ,t a n 553ααα=-=-=-．说明：根据定义求三角函数值．3、计算：（1）6sin （－90°）＋3sin0°－8sin270°＋12cos180°；（2）10cos270°＋4sin0°＋9tan0°＋15cos360°；（3）22322costantan sin cos sin 2446663ππππππ-+-++；（4）2423sincos tan 323πππ+-．答案：（1）－10；（2）15；（3）32-；（4）94-．说明：求特殊角的三角函数值．4、化简：（1）asin0°＋bcos90°＋ctan180°；（2）－p 2cos180°＋q 2sin90°－2pqcos0°；（3）223cos 2sincos sin 22a b ab ab ππππ-+-；（4）13tan 0cos sin cos sin 222m n p q r ππππ+---．答案：（1）0；（2）（p －q ）2；（3）（a －b ）2；（4）0．说明：利用特殊角的三角函数值化简．5、根据下列条件求函数3()sin()2sin()4cos 23cos()444f x x x x x πππ=++--++的值．（1）4x π=；（2）34x π=．答案：（1）－2；（2）2．说明：转化为特殊角的三角函数的求值问题．6、确定下列三角函数值的符号：（1）sin186°；（2）tan505°；（3）sin7.6π；（4）23tan()4π-；（5）cos940°；（6）59cos()17π-．答案：（1）负；（2）负；（3）负；（4）正；（5）负；（6）负．说明：认识不同位置的角对应的三角函数值的符号．7、确定下列式子的符号：（1）tan125°·sin273°；（2）tan108cos305︒︒；（3）5411sin cos tan 456πππ；（4）511cos tan 662sin 3πππ．答案：（1）正；（2）负；（3）负；（4）正．说明：认识不同位置的角对应的三角函数值的符号．8、求下列三角函数值（可用计算器）：（1）67sin()12π-；（2）15tan()4π-；（3）cos398°13′；（4）tan766°15′．答案：（1）0.9659；（2）1；（3）0.7857；（4）1.045．说明：可先运用公式一转化成锐角三角函数，然后再求出三角函数值．9、求证：（1）角θ为第二或第三象限角当且仅当sinθ·tanθ＜0；（2）角θ为第三或第四象限角当且仅当cosθ·tanθ＜0；（3）角θ为第一或第四象限角当且仅当sin 0tan θθ>；（4）角θ为第一或第三象限角当且仅当sinθ·cosθ＞0．答案：（1）先证如果角θ为第二或第三象限角，那么sinθ·tanθ＜0．当角θ为第二象限角时，sinθ＞0，tanθ＜0，则sinθ·tanθ＜0；当角θ为第三象限角时，sinθ＜0，tanθ＞0，则sinθ·tanθ＜0，所以如果角θ为第二或第三象限角，那么sinθ·tanθ＜0．再证如果sinθ·tanθ＜0，那么角θ为第二或第三象限角．因为sinθ·tanθ＜0，即sinθ＞0且tanθ＜0，或sinθ＜0且tanθ＞0，当sinθ＞0且tanθ＜0时，角θ为第二象限角；当sinθ＜0且tanθ＞0时，角θ为第三象限角，所以如果sinθ·tanθ＜0，那么角θ为第二或第三象限角．综上所述，原命题成立．（其他小题略）说明：以证明命题的形式，认识位于不同象限的角对应的三角函数值的符号．10、（1）已知3sin2α=-，且α为第四象限角，求cosα，tanα的值；（2）已知5cos13α=-，且α为第二象限角，求sinα，tanα的值；（3）已知3tan4α=-，求sinα，cosα的值；（4）已知cosα=0.68，求sinα，tanα的值（计算结果保留两个有效数字）．答案：（1）1,3 2-；（2）1212,135-；（3）当α为第二象限角时，34 sin,cos55αα==-，当α为第四象限角时，34 sin,cos55αα=-=；（4）当α为第一象限角时，sinα=0.73，tanα=1.1，当α为第四象限角时，sinα=－0.73，tanα=－1.1．说明：要注意角α是第几象限角．11、已知1sin3x=-，求cosx，tanx的值．答案：当x为第三象限角时，222 cos,tan34x x=-=；当x为第四象限角时，222 cos,tan34 x x==-.说明：要分别对x是第三象限角和第四象限角进行讨论．12、已知3tan 3,2απαπ=<<，求cosα－sinα的值．答案：1(31)2- 说明：角α是特殊角．13、求证：（1）2212sin cos 1tan 1tan cos sin x x xxx x--=+-；（2）tan 2α－sin 2α=tan 2α·sin 2α；（3）（cosβ－1）2＋sin 2β=2－2cosβ；（4）sin 4x ＋cos 4x=1－2sin 2xcos 2x ．答案：（1）2(cos sin )cos sin 1tan (cos sin )(cos sin )cos sin 1tan x x x x xx x x x x x x---===+-++左边；（2）222222222211cos sin sin (1)sin sin sin tan cos cos cos x x x xxx x xxx-=-===左边；（3）左边=1－2cosβ＋cos 2β＋sin 2β=2－2cosβ；（4）左边=（sin 2x ＋cos 2x ）2－2sin 2x·cos 2x=1－2sin 2x·cos 2x ．说明：还可以从右边变为左边，或对左右同时变形．可提倡一题多解，然后逐渐学会选择较为简单的方法．B 组1、化简（1＋tan 2α）cos 2α．答案：1说明：根据同角三角函数的基本关系，将原三角函数式转化为正余弦函数式．2、化简1sin 1sin 1sin 1sin αααα+---+，其中α为第二象限角．答案：－2tanα说明：先变形，再根据同角三角函数的基本关系进行化简．3、已知tanα=2，求sin cos sin cos αααα+-的值．答案：3说明：先转化为正切函数式．4、从本节的例7可以看出，cos 1sin 1sin cos x xx x+=-就是sin 2x ＋cos 2x=1的一个变形．你能利用同角三角函数的基本关系推导出更多的关系式吗？答案：又如sin 4x ＋cos 4x=1－2sin 2x·cos 2x 也是sin 2x ＋cos 2x=1的一个变形；2211tan cos x x=+是sin 2x ＋cos 2x=1和sin tan cos xx x=的变形；等等．说明：本题要求学生至少能写出每个同角关系式的一个变形．P29 习题1.3A 组1、将下列三角函数转化为锐角三角函数，并填在题中横线上：（1）cos210°=__________；（2）si n263°42′=__________；（3）cos()6π-=__________；（4）5sin()3π-=__________；（5）11cos()9π-=__________；（6）cos （－104°26′）=__________；（7）tan632°24′=__________；（8）17tan6π=__________．答案：（1）－cos30°；（2）－sin83°42′ （3）cos 6π；（4）sin3π；（5）2cos 9π-；（6）－cos75°34′；（7）－tan87°36′；（8）tan6π-．说明：利用诱导公式转化为锐角三角函数．2、用诱导公式求下列三角函数值：（1）17cos()4π-；（2）sin （－1574°）；（3）sin （－2160°52′）；（4）cos （－1751°36′）；（5）cos1615°8′；（6）26sin()3π-．答案：（1）22；（2）－0.7193；（3）－0.0151；（4）0.6639；（5）－0.9964；（6）32 -说明：先利用诱导公式转化为锐角三角函数，再求值．3、化简：（1）sin（－1071°）·sin99°＋sin（－171°）·sin（－261°）；（2）1＋sin（α－2π）·sin（π＋α）－2cos2（－α）．答案：（1）0；（2）－cos2α说明：先利用诱导公式转化为角α的三角函数，再进一步化简．4、求证：（1）sin（360°－α）=－sinα；（2）cos（360°－α）=cosα；（3）tan（360°－α）=－tanα．答案：（1）sin（360°－α）=sin（－α）=－sinα；（2）略；（3）略．说明：有的书也将这组恒等式列入诱导公式，但根据公式一可知，它和公式三等价，所以本教科书未将其列入诱导公式．B组1、计算：（1）sin420°·cos750°＋sin（－330°）·cos（－660°）；（2）tan675°＋tan765°－tan（－330°）＋tan（－690°）；（3）252525sin cos tan() 634πππ++-．答案：（1）1；（2）0；（3）0．说明：先利用诱导公式转化为锐角三角函数，再求值．2、已知1sin()2πα+=-，计算：（1）sin（5π－α）；（2）sin()2πα+；（3）3cos()2πα-；（4）tan()2πα-．答案：（1）12；（2）3,,23,;2αα⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩当为第一象限角当为第二象限角（3）12-；（4）3,,3,αα⎧⎪⎨-⎪⎩当为第一象限角当为第二象限角.说明：先用诱导公式将已知式和待求式都转化为角α的三角函数，然后再根据同角三角函数的基本关系得解． P46 习题1.4A 组1、画出下列函数的简图：（1）y=1－sinx ，x ∈[0，2π]；（2）y=3cosx ＋1，x ∈[0，2π]．答案：（1）（2）说明：可以直接用“五点法”作出两个函数的图象；也可以先用“五点法”作出正弦、余弦函数的图象，再通过变换得到这两个函数的图象．2、求使下列函数取得最大值、最小值的自变量x 的集合，并分别写出最大值、最小值是什么．（1）11cos ,23y x x π=-∈R ；（2）3sin(2),4y x x π=+∈R ；（3）31cos(),226y x x π=--∈R ；（4）11sin(),223y x x π=+∈R ．答案：（1）使y 取得最大值的集合是{x|x=6k ＋3，k ∈Z }，最大值是32；使y 取得最小值的集合是{x|x=6k ，k ∈Z }，最大值是12；（2）使y 取得最大值的集合是{|,}8x x k k ππ=+∈Z ，最大值是3；使y 取得最小值的集合是3{|,}8x x k k ππ=-+∈Z ，最小值是－3；（3）使y 取得最大值的集合是{|2(21),}3x x k k ππ=++∈Z ，最大值是32；使y 取得最小值的集合是{|4,}3x x k k ππ=+∈Z ，最小值是32-；（4）使y 取得最大值的集合是{|4,}3x x k k ππ=+∈Z ，最大值是12；使y 取得最小值的集合是5{|4,}3x x k k ππ=-+∈Z ，最小值是12-．说明：利用正弦、余弦函数的最大值、最小值性质，研究所给函数的最大值、最小值性质．3、求下列函数的周期：（1）2sin 3y x =，x ∈R ；（2）1cos 42y x =，x ∈R ．答案：（1）3π；（2）2π说明：可直接由函数y=Asin （ωx ＋φ）和函数y=Acos （ωx ＋φ）的周期2T πω=得解．4、利用函数的单调性比较下列各组中两个三角函数值的大小：（1）sin103°15′与sin164°30′；（2）4744cos()cos()109ππ--与；（3）sin508°与sin144°；（4）cos760°与cos （－770°）．答案：（1）sin103°15′＞sin164°130′；（2）4744cos()cos()109ππ->-；（3）sin508°＜sin144°；（4）cos760°＞cos （－770°）．说明：解决这类问题的关键是利用诱导公式将它们转化到同一单调区间上研究．5、求下列函数的单调区间：（1）y=1＋sinx ，x ∈R ；（2）y=－cosx ，x ∈R ．答案：（1）当[2,2]22x k k ππππ∈-++，k ∈Z 时，y=1＋sinx 是增函数；当3[2,2]22x k k ππππ∈++，k ∈Z 时，y=1＋sinx 是减函数．（2）当x ∈[（2k －1）π，2kπ]，k ∈Z 时，y=－cosx 是减函数；当x ∈[2kπ，（2k ＋1）π]，k ∈Z 时，y=－cosx 是增函数．说明：利用正弦、余弦函数的单调性研究所给函数的单调性．6、求函数tan()26y x π=-++的定义域．答案：{|,}3x x k k ππ≠+∈Z ．说明：可用换元法．7、求函数5tan(2),()3122k y x x k πππ=-≠+∈Z 的周期．答案：2π．说明：可直接由函数y=Atan （ωx ＋φ）的周期T πω=得解．8、利用正切函数的单调性比较下列各组中两个函数值的大小：（1）13tan()tan()57ππ--与；（2）tan1519°与tan1493°；（3）93tan 6tan(5)1111ππ-与；（4）7tantan 86ππ与．答案：（1）13tan()tan()57ππ->-；（2）tan1519°＞tan1493°；（3）93tan 6tan(5)1111ππ>-；（4）7tantan 86ππ<．说明：解决这类问题的关键是利用诱导公式将它们转化到同一单调区间上研究．9、根据正切函数的图象，写出使下列不等式成立的x 的集合：（1）1＋tanx≥0；（2）tan 30x -≥．答案：（1）{|,}42x k x k k ππππ-+<+∈Z ≤；（2）{|,}32x k x k k ππππ+<+∈Z ≤．说明：只需根据正切曲线写出结果，并不要求解三角方程或三角不等式．10、设函数f （x ）（x ∈R ）是以 2为最小正周期的周期函数，且x ∈[0，2]时f （x ）=（x －1）2．求f （3），7()2f 的值．答案：由于f （x ）以2为最小正周期，所以对任意x ∈R ，有f （x ＋2）=f （x ）．于是：f （3）=f （1＋2）=f （1）=（1－1）2=0；273331()(2)()(1)22224f f f =+==-=．说明：利用周期函数的性质，将其他区间上的求值问题转化到区间[0，2]上的求值问题．11、容易知道，正弦函数y=sinx 是奇函数，正弦曲线关于原点对称，即原点是正弦曲线的对称中心．除原点外，正弦曲线还有其他对称中心吗？如果有，对称中心的坐标是什么？另外，正弦曲线是轴对称图形吗？如果是，对称轴的方程是什么？你能用已经学过的正弦函数性质解释上述现象吗？对余弦函数和正切函数，讨论上述同样的问题．答案：由正弦函数的周期性可知，除原点外，正弦曲线还有其他对称中心，其对称中心坐标为（kπ，0），k ∈Z ．正弦曲线是轴对称图形，其对称轴的方程是,2x k k ππ=+∈Z ．由余弦函数和正切的周期性可知，余弦曲线的对称中心坐标为(,0)2k ππ+，k ∈Z ，对称轴的方程是x=kπ，k ∈Z ；正切曲线的对称中心坐标为(,0)2k π，k ∈Z ，正切曲线不是轴对称图形．说明：利用三角函数的图象和周期性研究其对称性．B 组1、根据正弦函数、余弦函数的图象，写出使下列不等式成立的x 的取值集合：（1）3sin ()2x x ∈R ≥；（2）22cos 0()x x +∈R ≥．答案：（1）2{|22,}33x k x k k ππππ++∈Z ≤≤；（2）33{|22,}44x k x k k ππππ-++∈Z ≤≤．说明：变形后直接根据正弦函数、余弦函数的图象写出结果，并不要求解三角方程或三角不等式．2、求函数3tan(2)4y x π=--的单调区间．答案：单调递减区间5(,),2828k k k ππππ++∈Z ．说明：利用正切函数的单调区间求所给函数的单调区间．3、已知函数y=f （x ）的图象如图所示，试回答下列问题：（1）求函数的周期；（2）画出函数y=f （x ＋1）的图象；（3）你能写出函数y=f （x ）的解析式吗？答案：（1）2；（2）y=f （x ＋1）的图象如下；（3）y=|x －2k|，x ∈[2k －1，2k ＋1]，k ∈Z ．说明：可直接由函数y=f （x ）的图象得到其周期．将函数y=f （x ）的图象向左平行移动1个单位长度，就得到函数y=f （x ＋1）的图象．求函数y=f （x ）的解析式难度较高，需要较强的抽象思维能力．可先求出定义域为一个周期的函数y=f （x ），x ∈[－1，1]的解析式为y=|x|，x ∈[－1，1]，再根据函数y=f （x ）的图象和周期性，得到函数y=f （x ）的解析式为y=|x －2k|，x ∈[2k －1，2k ＋1]，k ∈Z ． P57 习题1.5A 组1、选择题：（1）为了得到函数1cos()3y x =+，x ∈R 的图象，只需把余弦曲线上所有的点（）A ．向左平行移动3π个单位长度 B ．向右平行移动3π个单位长度C ．向左平行移动13个单位长度 D ．向右平行移动13个单位长度（2）为了得到函数cos 5xy =，x ∈R 的图象，只需把余弦曲线上所有的点的（）、A ．横坐标伸长到原来的5倍，纵坐标不变B ．横坐标缩短到原来的15倍，纵坐标不变 C ．纵坐标伸长到原来的5倍，横坐标不变 D ．纵坐标缩短到原来的15倍，横坐标不变（3）为了得到函数1cos 4y x =，x ∈R 的图象，只需把余弦曲线上所有的点的（）． A ．横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变B ．横坐标缩短到原来的14倍，纵坐标不变 C ．纵坐标伸长到原来的4倍，横坐标不变 D ．纵坐标缩短到原来的14倍，横坐标不变答案：（1）C ；（2）A ；（3）D ．2、画出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图（有条件的可用计算器或计算机作图检验）：（1）14sin 2y x =，x ∈R ；（2）1cos32y x =，x ∈R ；（3）3sin(2)6y x π=+，x ∈R ；（4）112cos()24y x π=-，x ∈R ．答案：（1）（2）（3）（4）说明：研究了参数A、ω、φ对函数图象的影响．3、不画图，直接写出下列函数的振幅、周期与初相，并说明这些函数的图象可由正弦曲线经过怎样的变化得到（注意定义域）：（1）8sin()48xy π=-，x ∈[0,＋∞）；（2）1sin(3)37y x π=+，x ∈[0,＋∞）．答案：（1）振幅是8，周期是8π，初相是8π-．先把正弦曲线向右平行移动8π个单位长度，得到函数1sin()8y x π=-，x ∈R 的图象；再把函数y 1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变），得到函数2sin()48x y π=-，x ∈R 的图象；再把函数y 2的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的8倍（横坐标不变），得到函数38sin()48x y π=-，x ∈R 的图象；最后把函数y 3的图象在y 轴左侧的部分抹去，就得到函数8sin()48x y π=-，x ∈[0，＋∞）的图象．（2）振幅是13，周期是23π，初相是7π．先把正弦曲线向左平行移动7π个单位长度，得到函数1sin()7y x π=+，x ∈R 的图象；再把函数y 1的图象上所有点的横坐标缩短到原来的13倍（纵坐标不变），得到函数2sin(3)7y x π=+，x ∈R 的图象；再把函数y 2的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的13倍（横坐标不变），得到函数31sin(3)37y x π=+，x ∈R 的图象；最后把函数y 3的图象在y 轴左侧的部分抹去，就得到函数1sin(3)37y x π=+，x ∈[0，＋∞）的图象．说明：了解简谐振动的物理量与函数解析式的关系，并认识函数y=Asin （ωx ＋φ）的图象与正弦曲线的关系．4、图 1.5－1的电流i （单位：A ）随时间t （单位：s ）变化的函数关系是5sin(100),[0,)3i t t ππ=+∈+∞．（1）求电流i 变化的周期、频率、振幅及其初相；（2）当t=0，1171,,,(:s)60015060060单位时，求电流i ．答案：（1）周期为150，频率为50，振幅为5，初相为3π．（2）t=0时，532i =；1600t =时，i=5；1150t =时，i=0；7600t =时，i=－5；160t =时，i=0．说明：了解简谐振动的物理量与函数解析式的关系，并求函数值．5、一根长为l cm 的线，一端固定，另一端悬挂一个小球．小球摆动时，离开平衡位置的位移s （单位：cm ）与时间t （单位：s ）的函数关系是3cos(),[0,)3g s t t l π=+∈+∞．（1）求小球摆动的周期；（2）已知g≈980cm/s 2，要使小球摆动的周期是1s ，线的长度l 应当是多少？（精确到0.1cm ）答案：（1）2lgπ；（2）约24.8cm ．说明：了解简谐振的周期．B 组1、弹簧振子的振动是简谐运动．下表给出了振子在完成一次全振动的过程中的时间t 与位移s 之间的对应数据，根据这些数据求出这个振子的振动函数解析式． t 0t 02t 03t 0 4t 05t 06t 07t 08t 09t 0 10t 011t 012t 0s－20.0 －17.8 －10.10.110.3 17.7 20.0 17.7 10.30.1－10.1 －17.8 －20.0答案：根据已知数据作出散点图（如图）．由散点图可知，振子的振动函数解析式为020sin()62x y t ππ=-，x ∈[0，＋∞）．说明：作出已知数据的散点图，然后选择一个函数模型来描述，并根据已知数据求出该函数模型．2、弹簧挂着的小球作上下运动，它在t 秒时相对于平衡位置的高度h 厘米由下列关系式确定：2sin()4h t π=+．以t 为横坐标，h 为纵坐标，作出这个函数在一个剧期的闭区间上的图象，并回答下列问题：（1）小球在开始振动时（即t=0）的位置在哪里？（2）小球的最高点和最低点与平衡位置的距离分别是多少？（3）经过多少时问小球往复运动一次？（4）每秒钟小球能往复振动多少次？答案：函数2sin()4h t π=+在[0，2π]上的图象为（1）小球在开始振动时的位置在(0,2)；（2）最高点和最低点与平衡位置的距离都是2；（3）经过2π秒小球往复运动一次；（4）每秒钟小球能往复振动12π次．说明：结合具体问题，了解解析式中各常数的实际意义．3、如图，点P 是半径为r cm 的砂轮边缘上的一个质点，它从初始位置P 0开始，按逆时针方向以角速度ω rad/s 做圆周运动．求点P 的纵坐标y 关于时间t 的函数关系，并求点P 的运动周期和频率．答案：点P的纵坐标关于时间t的函数关系式为y=rsin（ωt＋φ），t∈[0，＋∞）；点P的运动周期和频率分别为2πω和2ωπ．说明：应用函数模型y=rsin（ωt＋φ）解决实际问题．P65习题1.61、根据下列条件，求△ABC的内角A：（1）1sin2A=；（2）2cos2A=-；（3）tanA=1；（4）3 tan3A=-．答案：（1）30°或150°；（2）135°；（3）45°；（4）150°．说明：由角A是△ABC的内角，可知A∈（0°，180°）．2、根据下列条件，求（0，2π）内的角x：（1）3sin2x=-；（2）sinx=－1；（3）cosx=0；（4）tanx=1．答案：（1）4533ππ或；（2）32π；（3）322ππ或；（4）544ππ或．说明：可让学生再变换角x的取值范围求解．3、天上有些恒星的亮度是会变化的．其中一种称为造父（型）变星，本身体积会膨胀收缩造成亮度周期性的变化、下图为一造父变星的亮度随时间的周期变化图、此变星的亮度变化的周期为多少天？最亮时是几等星？最暗时是几等星？答案：5.5天；约3.7等星；约4.4等星．说明：每个周期的图象不一定完全相同，表示视星等的坐标是由大到小．4、夏天是用电的高峰时期，特别是在晚上．为保证居民空调制冷用电，电力部门不得不对企事业拉闸限电，而到了0时以后，又出现电力过剩的情况．因此每天的用电也出现周期性的变化．为保证居民用电，电力部门提出了“消峰平谷”的想法，即提高晚上高峰时期的电价，同时降低后半夜低峰时期的电价，鼓励各单位在低峰时用电．请你调查你们地区每天的用电情况，制定一项“消峰平谷”的电价方案．答案：先收集每天的用电数据，然后作出用电量随时间变化的图象，根据图象制定“消峰平谷”的电价方案．说明：建立周期变化的模型解决实际问题．B组1、北京天安门广场的国旗每天是在日出时随太阳升起，在日落时降旗、请根据年鉴或其他的参考资料，统计过去一年不同时期的日出和日落时间．（1）在同一坐标系中，以日期为横轴，画出散点图，并用曲线去拟合这些数据，同时找到函数模型；（2）某同学准备在五一长假时去看升旗，他应当几点到达天安门广场？答案：略．说明：建立周期变化的函数模型，根据模型解决实际问题．2、一个城市所在的经度和纬度是如何影响日出和日落的时间的？收集其他有关的数据并提供理论证据支持你的结论．答案：略．说明：收集数据，建立周期变化的函数模型，根据模型提出个人意见．然后采取上网、查阅资料或走访专业人士的形式，获取这方面的信息，以此来说明自己的结论．P69复习参考题A 组1、写出与下列各角终边相同的角的集合S ，并且把S 中适合不等式－2π≤β≤4π的元素β写出来：（1）4π；（2）23π-；（3）125π；（4）0．答案：（1）79{|2,},,,4444k k ππππββπ=+∈-Z ；（2）22410{|2,},,,3333k k ββπππππ=-+∈-Z ；（3）128212{|2,},,,5555k k ββπππππ=+∈-Z ；（4）{β|β=2kπ，k ∈Z }，－2π，0，2π．说明：用集合表示法和符号语言写出与指定角终边相同的角的集合，并在给定范围内找出与指定的角终边相同的角．2、在半径为15cm 的圆中，一扇形的弧含有54°，求这个扇形的周长与面积（π取3.14，计算结果保留两个有效数字）．答案：周长约44cm ，面积约1.1×102cm 2．说明：可先将角度转化为弧度，再利用弧度制下的弧长和面积公式求解．3、确定下列三角函数值的符号：（1）sin4；（2）cos5；（3）tan8；（4）tan （－3）．答案：（1）负；（2）正；（3）负；（4）正．说明：将角的弧度数转化为含π的形式或度，再进行判断．4、已知1cos 4ϕ=，求sinφ，tanφ．答案：当φ为第一象限角时，15sin ,tan 154ϕϕ==；当φ为第四象限角时，15sin ,tan 154ϕϕ=-=-．说明：先求sinφ的值，再求tanφ的值．5、已知sinx=2cosx ，求角x 的三个三角函数值．答案：当x 为第一象限角时，tanx=2，525cos ,sin 55x x ==；当x 为第三象限角时，tanx=2，525cos ,sin 55x x =-=-．说明：先求tanx 的值，再求另外两个函数的值．6、用cosα表示sin 4α－sin 2α＋cos 2α．答案：cos 4α．说明：先将原式变形为sin 2α（sin 2α－1）＋cos 2α，再用同角三角函数的基本关系变形．7、求证：（1）2（1－sinα）（1＋cosα）=（1－sinα＋cosα）2；（2）sin 2α＋sin 2β－sin 2α·sin 2β＋cos 2α·cos 2β=1．答案：（1）左边=2－2sinα＋2cosα－2sinαcosα=1＋sin 2α＋cos 2α－2sinα＋2cosα－2sinαcosα =右边．（2）左边=sin 2α（1－sin 2β）＋sin 2β＋cos 2αcos 2β=cos 2β（sin 2α＋cos 2α）＋sin 2β =1=右边．说明：第（1）题可先将左右两边展开，再用同角三角函数的基本关系变形．8、已知tanα=3，计算：（1）4sin 2cos 5cos 3sin αααα-+；（2）sinαcosα；（3）（sinα＋cosα）2．答案：（1）57；（2）310；（3）85．说明：第（2）题可由222sin tan 9cos ααα==，得21c o s10α=，所以23sin cos tan cos 10αααα==．或222s incs i n c10sin cos tan 131αααααααα====+++．9、先估计结果的符号，再进行计算．（1）252525sincos tan()634πππ++-；（2）sin2＋cos3＋tan4（可用计算器）．答案：（1）0；（2）1.0771．说明：先根据各个角的位置比较它们的三角函数值的大小，再估计结果的符号．10、已知1sin()2πα+=-，计算：（1）cos（2π－α）；（2）tan（α－7π）．答案：（1）当α为第一象限角时，3 cos(2)2πα-=，当α为第二象限角时，3 cos(2)2πα-=-；（2）当α为第一象限角时，3 tan(7)3απ-=，当α为第二象限角时，3 tan(7)3απ-=-．说明：先用诱导公式转化为α的三角函数，再用同角三角函数的基本关系计算．11、先比较大小，再用计算器求值：（1）sin378°21′，tan1111°，cos642.5°；（2）sin（－879°），313t a n(),c o s()810ππ--；（3）sin3，cos（sin2）．答案：（1）tan1111°=0.601，sin378°21′=0.315，cos642.5°=0.216；（2）sin（－879°）=－0.358，3313tan()0.414,cos()0.588 810ππ-=--=-；（3）sin3=0.141，cos（sin2）=0.614．说明：本题的要求是先估计各三角函数值的大小，再求值验证．12、设π＜x＜2π，填表：x 76π74πsinx －1cosx22-32tanx 3答案：x 76π54π43π32π74π116πsinx12-22-32-－122-12-cosx32-22-12-2232tanx3313不存在－133-说明：熟悉各特殊角的三角函数值．13、下列各式能否成立，说明理由：（1）cos 2x=1.5；（2）3sin 4x π=-．答案：（1）因为cos 1.5x =，或cos 1.5x =-，而 1.51, 1.51>-<-，所以原式不能成立；（2）因为3sin 4x π=-，而3||14π-<，所以原式有可能成立．说明：利用正弦和余弦函数的最大值和最小值性质进行判断．14、求下列函数的最大值、最小值，并且求使函数取得最大、最小值的x 的集合：（1）sin 2xy π=+，x ∈R ；（2）y=3－2cosx ，x ∈R ．答案：（1）最大值为12π+，此时x 的集合为{|2,}2x x k k ππ=+∈Z ；最小值为12π-，此时x 的集合为{|2,}2x x k k ππ=-+∈Z ；（2）最大值为5，此时x 的集合为{x|x=（2k ＋1）π，k ∈Z }；最小值为1，此时x 的集合为{x|x=2kπ，k ∈Z }．说明：利用正弦、余弦函数的最大值和最小值性质，研究所给函数的最大值和最小值性质．15、已知0≤x≤2π，求适合下列条件的角x 的集合：（1）y=sinx 和y=cosx 都是增函数；（2）y=sinx 和y=cosx 都是减函数；（3）y=sinx 是增函数，而y=cosx 是减函数；（4）y=sinx 是减函数，而y=cosx 是增函数．答案：（1）3{|2}2x x ππ≤≤；（2）{|}2x x ππ≤≤；（3）{|0}2x x π≤≤；（4）3{|}2x x ππ≤≤．说明：利用函数图象分析．16、画出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图：（1）1sin(3),;23y x x π=-∈R （2）2sin(),;4y x x π=-+∈R （3）1sin(2),;5y x x π=--∈R（4）3sin(),.63xy x π=-∈R 答案：（1）（2）（3）（4）说明：可要求学生在作出图象后，用计算机或计算器验证．17、（1）用描点法画出函数y=sinx ，[0,]2x π∈的图象．（2）如何根据第（1）小题并运用正弦函数的性质，得出函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象？（3）如何根据第（2）小题并通过平行移动坐标轴，得出函数y=sin （x ＋φ）＋k ，x ∈[0，2π]的图象？（其中φ，k 都是常数）答案：（1）x 0 18π9π 6π 29π 518π 3π 718π 49π 2π sinx0.170.340.500.640.770.870.940.981（2）由sin （π－x ）=sinx ，可知函数y=sinx ，x ∈[0，π]的图象关于直线2x π=对称，据此可得函数y=sinx ，[,]2x ππ∈的图象；又由sin （2π－x ）=－sinx ，可知函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象关于点（π，0）对称，据此可得出函数y=sinx ，x ∈[π，2π]的图象．（3）先把y 轴向右（当φ＞0时）或向左（当φ＜0时）平行移动|φ|个单位长度，再把x 轴向下（当k ＞0时）或向上（当k ＜0时）平行移动|k|个单位长度，最后将图象向左或向右平行移动2π个单位长度，并擦去[0，2π]之外的部分，便得出函数y=sin （x ＋φ）＋k ，x ∈[0，2π]的图象．说明：学会用不同的方法作函数图象．18、不通过画图，写出下列函数的振幅、周期、初相，并说明如何由正弦曲线得出它们的图象：（1）sin(5),;6y x x π=+∈R（2）12sin,.6y x x =∈R 答案：（1）振幅是1，周期是25π，初相是6π．把正弦曲线向左平行移动6π个单位长度，可以得函数sin()6y x π=+，x ∈R 的图象；再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的15倍（纵坐标不变），就可得出函数sin(5)6y x π=+，x ∈R 的图象．（2）振幅是2，周期是2π，初相是0．把正弦曲线上所有点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数1sin6y x =，x ∈R 的图象；再把所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），就可得到函数12sin()6y x =，x ∈R 的图象．说明：会根据解析式求各物理量，并理解如何由正弦曲线通过变换得到正弦函数的图象．。

高中数学必修四同步练习及答案(新课标人教A版)

高中数学必人修教四A版练习册高中数学人教A 版必修4练习册目录导航人教A 版必修4练习1.1任意角和弧度制 ....................................................... 1 1.2任意角的三角函数 ..................................................... 3 1.3三角函数的诱导公式 ................................................... 5 1.4三角函数的图像与性质 . (7)1.5函数)sin(ϕω+=x A y 的图像与1.6三角函数模型的简单应用 .............. 10 第一章三角函数基础过关测试卷 ........................................... 12 第一章三角函数单元能力测试卷 .. (14)2.1平面向量的实际背景及基本概念与2.2.1向量加法运算 .................... 18 2.2向量减法运算与数乘运算 .............................................. 20 2.3平面向量的基本定理及坐标表示 ........................................ 22 2.4平面向量的数量积与2.5平面向量应用举例 .............................. 25 第二章平面向量基础过关测试卷 ............................................ 27 第二章平面向量单元能力测试卷 .. (29)3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式 .................................... 33 3.2简单的三角恒等变换 .................................................. 36 第三章三角恒等变换单元能力测试卷 . (38)人教A 版必修4练习答案1.1任意角和弧度制 ...................................................... 42 1.2任意角的三角函数 .................................................... 42 1.3三角函数的诱导公式 .................................................. 43 1.4三角函数的图像与性质 (43)1.5函数)sin(ϕω+=x A y 的图像与1.6三角函数模型的简单应用 .............. 44 第一章三角函数基础过关测试卷 ............................................ 45 第一章三角函数单元能力测试卷 .. (45)2.1平面向量的实际背景及基本概念与2.2.1向量加法运算 .................... 46 2.2向量减法运算与数乘运算 .............................................. 46 2.3平面向量的基本定理及坐标表示 ........................................ 46 2.4平面向量的数量积与2.5平面向量应用举例 .............................. 47 第二章平面向量基础过关测试卷 ............................................ 48 第二章平面向量单元能力测试卷 .. (48)3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式 .................................... 49 3.2简单的三角恒等变换 .................................................. 49 第三章三角恒等变换单元能力测试卷 . (50)1.1任意角和弧度制一、选择题（每题5分，共50分）1.四个角中，终边相同的角是（）A.,398- 38 B.,398- 142 C.,398- 1042 D.,14210422.集合α{=A ︱ 90⋅=k α,36-}Z k ∈，β{=B ︱180-180<<β},则B A 等于（）A.,36{- 54} B.,126{- 144} C.,126{-,36-,54144} D.,126{-54}3.设θ{=A ︱θ为锐角}，θ{=B ︱θ为小于90的角}，θ{=C ︱θ为第一象限角}， θ{=D ︱θ为小于 90的正角}，则（） A.B A = B.C B = C.C A = D.D A =4.若角α与β终边相同，则一定有（） A.180=+βα B.0=+βαC.360⋅=-k βα，Z k ∈ D.360⋅=+k βα，Z k ∈ 5.已知α为第二象限的角，则2α所在的象限是（） A.第一或第二象限 B.第二或第三象限 C.第一或第三象限 D.第二或第四象限 6.将分针拨慢5分钟，则分针转过的弧度数是（）A.3π B.3π- C.2π D.32π7.在半径为cm 2的圆中，有一条弧长为cm 3π，它所对的圆心角为（）A.6πB.3πC.2πD.32π 8.已知角α的终边经过点)1,1(--P ,则角α为（）A.)(45Z k k ∈+=ππα B.)(432Z k k ∈+=ππα C.)(4Z k k ∈+=ππα D.)(432Z k k ∈-=ππα 9.角316π化为)20,(2παπα<<∈+Z k k 的形式 ( )A.35ππ+B.344ππ+C.326ππ-D.373ππ+10.集合α{=A ︱},2Z k k ∈+=ππα，α{=B ︱},)14(Z k k ∈±=πα，则集合A 与B 的关系是（） A.B A = B.B A ⊇ C.B A ⊆ D.B A ≠ 二、填空题（每题5分，共20分）11.角a 小于180而大于-180，它的7倍角的终边又与自身终边重合，则满足条件的角a 的集合为__________.12.写满足下列条件的角的集合.1）终边在x 轴的非负半轴上的角的集合__________； 2）终边在坐标轴上的角的集合__________；3）终边在第一、二象限及y 轴上的角的集合__________； 4）终边在第一、三象限的角平分线上的角的集合__________.13.设扇形的周长为cm 8，面积为24cm ，则扇形的圆心角的弧度数是__________. 14.已知a {∈θ︱a =+πk },4)1(Z k k∈⋅-π，则角θ的终边落在第__________象限.三、解答题（15、16每题7分，17、18每题8分）15.已知角a 的终边与y 轴的正半轴所夹的角是30，且终边落在第二象限，又720-<a < 0，求角a .16.已知角45=a ，（1）在区间720[-0,)内找出所有与角a 有相同终边的角β；（2）集合x M {=︱ 1802⨯=k x 45+，}Z k ∈,x N {=︱ 1804⨯=kx 45+}Z k ∈ 那么两集合的关系是什么？17.若θ角的终边与3π的终边相同，在]2,0[π内哪些角的终边与3θ角的终边相同？18.已知扇形的周长为30，当它的半径R 和圆心角各取何值时，扇形的面积最大？并求出扇形面积的最大值.1.2任意角的三角函数一、选择题（每题5分，共40分）1.已知角α的终边过点()αcos ,2,1-P 的值为（）A.55-B.55C.552 D.252.α是第四象限角，则下列数值中一定是正值的是（） A.αsin B.αcos C.αtan D.αtan 13.已知角α的终边过点()()03,4<-a a a P ，则ααcos sin 2+的值是（）A.52B.52- C.0 D.与α的取值有关 4.(),,0,54cos παα∈=则αtan 1的值等于（）A.34B.43C.34±D.43± 5.函数x x y cos sin -+=的定义域是（）A.()Z k k k ∈+,)12(,2ππB.Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++,)12(,22πππ C.Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++,)1(,2πππ D.[]Z k k k ∈+,)12(,2ππ 6.若θ是第三象限角，且,02cos<θ则2θ是（） A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角7.已知,54sin =α且α是第二象限角，那么αtan 的值为（） A.34- B.43- C.43 D.348.已知点()ααcos ,tan P 在第三象限，则角α在（） A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角二、填空题（每题5分，共20分）9.已知,0tan sin ≥αα则α的取值集合为__________. 10.角α的终边上有一点(),5,m P 且(),013cos ≠=m mα则=+ααcos sin __________.11.已知角θ的终边在直线x y 33=上，则=θsin __________，=θtan __________. 12.设(),2,0πα∈点()αα2cos ,sin P 在第三象限，则角α的范围是__________. 三、解答题（第15题20分，其余每题10分，共40分） 13.求43π的角的正弦，余弦和正切值.14.已知,51sin =α求ααtan ,cos 的值.15.已知,22cos sin =+αα求αα22cos 1sin 1+的值.1.3三角函数的诱导公式一、选择题（每题5分，共40分） 1.21)cos(-=+απ，παπ223<<,)2sin(απ-值为 ( ) A.23 B.21C.23±D.23- 2.若,)sin()sin(m -=-++ααπ则)2sin(2)3sin(απαπ-++等于（） A.m 32-B.m 23-C.m 32D.m 233.已知,23)4sin(=+απ则)43sin(απ-值为（） A.21B.21-C.23D.23-4.如果),cos(|cos |π+-=x x 则x 的取值范围是（）A.)](22,22[Z k k k ∈++-ππππB.))(223,22(Z k k k ∈++ππππC.)](223,22[Z k k k ∈++ππππD.))(2,2(Z k k k ∈++-ππππ 5.已知,)1514tan(a =-π那么=︒1992sin （）A.21||aa + B.21aa +C.21aa +-D.211a+-6.设角则,635πα-=)(cos )sin(sin 1)cos()cos()sin(222απαπααπαπαπ+--+++--+的值等于（）A.33B.33-C.3D.－37.若,3cos )(cos x x f =那么)30(sin ︒f 的值为（） A.0 B.1C.1-D.238.在△ABC 中，若)sin()sin(C B A C B A +-=-+，则△ABC 必是（） A .等腰三角形B .直角三角形C .等腰或直角三角形D .等腰直角三角形二、填空题（每题5分，共20分）9.求值：︒2010tan 的值为．10.若1312)125sin(=-α,则=+)55sin(α ． 11.=+++++76cos 75cos 74cos 73cos 72cos 7cos ππππππ ．12.设,1234tan a =︒那么)206cos()206sin(︒-+︒-的值为．三、解答题（每题10分，共40分） 13.已知3)tan(=+απ,求)2sin()cos(4)sin(3)cos(2a a a a -+-+--πππ的值．14.若32cos =α,α是第四象限角，求sin(2)sin(3)cos(3)cos()cos()cos(4)απαπαππαπααπ-+--------的值．15.已知αtan 、αtan 1是关于x 的方程0322=-+-k kx x 的两实根，且,273παπ<< 求)sin()3cos(απαπ+-+的值．16.记4)cos()sin()(++++=βπαπx b x a x f ，（a 、b 、α、β均为非零实数），若5)1999(=f ，求)2000(f 的值．1.4三角函数的图像与性质一、选择题(每题5分,共50分)1.)(x f 的定义域为[]1,0则)(sin x f 的定义域为（） A.[]1,0 B.)(2,2222,2Z k k k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+ πππππππ C.[])()12(,2Z k k k ∈+ππ D.)(22,2Z k k k ∈⎪⎭⎫⎢⎣⎡+πππ2.函数)652cos(3π-=x y 的最小正周期是（）A52π B 25π C π2 D π5 3.x x y sin sin -=的值域是（） A ]0,1- B ]1,0 C ]1,1[- D ]0,2[-4.函数)44(tan 1ππ≤≤-=x x y 的值域是 ( ) A.[]1,1- B.(][) +∞-∞-,11, C.[)+∞-,1 D.(]1,∞-5.下列命题正确的是（） A.函数)3sin(π-=x y 是奇函数 B.函数)cos(sin x y =既是奇函数,也是偶函数C.函数x x y cos =是奇函数D.函数x y sin =既不是奇函数,也不是偶函数6.设()f x 是定义域为R ，最小正周期为32π的函数，若cos ,(0)(),2sin ,(0)x x f x x x ππ⎧-≤<⎪=⎨⎪≤<⎩ 则15()4f π-等于（） A 1C.0D.2- 7.函数)3cos(πϖ+=x y 的周期为4π则ϖ值为 ( ) A.8 B.6 C.8± D.48.函数)32sin(π+=x y 的图象 ( )A.关于点⎪⎭⎫⎝⎛0,12π对称 B.关于点⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,6π对称C.关于直线3π=x 对称 D.关于直线6π-=x 对称9.)2sin(θ+=x y 图像关于y 轴对称则 ( ) A.)(,22Z k k ∈+=ππθ B.)(,2Z k k ∈+=ππθC.)(,2Z k k ∈+=ππθD.)(,Z k k ∈+=ππθ 10.满足21)4sin(≥-πx 的x 的集合是 ( ) A.⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+Z k k x k x ,121321252ππππ B.⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+Z k k x k x ,65262ππππ C.⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤-Z k k x k x ,1272122ππππ D.⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤Z k k x k x ,6522πππ 二、填空题(每题5分,共20分) 11.函数)23sin(2x y -=π的单调递增区间是__________.12.函数)21(cos log 2-=x y 的定义域是__________. 13.函数)2sin(x y =的最小正周期为__________.14.若)(x f 为奇函数,且当0>x 时,x x x x f 2cos sin )(+=,则当0<x 时,=)(x f __________.三、解答题(每题10分,共30分) 15.利用“五点法”画出函数)621sin(π+=x y 在长度为一个周期的闭区间的简图.16.已知函数⎪⎭⎫⎝⎛-=32tan )(πx x f ，(1)求函数)(x f 的定义域周期和单调区间； (2)求不等式3)(1≤≤-x f 的解集.17.求下列函数的最大值和最小值及相应的x 值. (1)1)42sin(2++=πx y (2)),32cos(43π+-=x y ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈6,3ππx (3)5cos 4cos 2+-=x x y (4)2sin sin 1-+=x xy1.5函数)sin(ϕω+=x A y 的图像与1.6三角函数模型的简单应用一、选择题(每题5分，共35分) 1.函数1)62sin(3)(--=πx x f 的最小值和最小正周期分别是 ( )A.13--，πB.13+-，πC.3-，πD.13--，π2 2.若函数)3sin(2πω+=x y 的图像与直线2=y 的相邻的两个交点之间的距离为π,则ω的一个可能值为 ( ) A.3 B.2 C.31 D.21 3.要得到)32sin(π-=x y 的图像,只要将x y 2sin =的图像 ( )A.向左平移3π个单位 B.向右平移3π个单位C.向左平移6π个单位 D.向右平移6π个单位 4.函数1)62sin(2++=πx y 的最大值是（）A.1B.2C.3D.45.已知函数)(x f 的部分图像如图所示，则)(x f 的解析式可能为（）A.)62sin(2)(π-=x x f B.)44cos(2)(π+=x x fC.)32cos(2)(π-=x x fD.)64sin(2)(π+=x x f6.)23sin(2x y -=π的单调增区间为（）A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-125,12ππππK K B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡++127,125ππππK K C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-6,3ππππK K D.⎥⎦⎤⎢⎣⎡++1211,125ππππK K 7.函数[]),0(),62sin(3ππ∈--=x x y 为增函数的区间是（）A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡125,0πB.⎥⎦⎤⎢⎣⎡32,6ππC.⎥⎦⎤⎢⎣⎡1211,6ππD.⎥⎦⎤⎢⎣⎡1211,32ππ二、填空题(每题5分，共15分)8.关于))(32sin(4)(R x x x f ∈+=有下列命题： 1）有0)()(31==x f x f 可得21x x -是π的整数倍； 2）表达式可改写为)62cos(4)(π-=x x f ；3）函数的图像关于点)0,6(π-对称；4）函数的图像关于直线6π-=x 对称；其中正确的命题序号是__________.9.甲乙两楼相距60米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为45,从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30，则甲乙两楼的高度分别为__________.10.已知1tan sin )(++=x b x a x f 满足7)5(=πf ，则)599(πf 的值为__________. 三、解答题(每题25分，共50分) 11.已知函数)421sin(3π-=x y ，1）用“五点法”画函数的图像；2）说出此图像是由x y sin =的图像经过怎样的变换得到的； 3）求此函数的周期、振幅、初相；4）求此函数的对称轴、对称中心、单调递增区间.12.已知函数)32cos(log )(π-=x ax f （其中)1,0≠>a a 且，1）求它的定义域； 2）求它的单调区间； 3）判断它的奇偶性；4）判断它的周期性，如果是周期函数，求出它的周期.第一章三角函数基础过关测试卷一、选择题(每题5分，共40分)1.与240-角终边位置相同的角是（） A.240 B.60 C.150 D.480 2.已知()21cos -=+απ,则()απ+3cos 的值为（） A.21 B.23± C.21- D.233.函数x y sin 1-=的最大值为（） A.1 B.0 C.2 D.1-4.函数⎪⎭⎫⎝⎛+=321sin x y 的最小正周期是（） A.2πB.πC.π2D.π4 5.在下列各区间上，函数⎪⎭⎫⎝⎛+=4sin 2πx y 单调递增的是（） A.],4[ππB.]4,0[πC.]0,[π-D.]2,4[ππ 6.函数x y cos 1+=的图象（） A.关于x 轴对称 B.关于y 轴对称 C.关于原点对称 D.关于直线2π=x 轴对称7.使x x cos sin <成立的x 的一个区间是（） A.⎪⎭⎫ ⎝⎛-4,43ππ B.⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,2ππ C.⎪⎭⎫⎝⎛-43,4ππ D.()π,08.函数⎪⎭⎫⎝⎛+=43sin πx y 的图象，可由x y 3sin =的图象（）A.向左平移4π个单位 B.向右平移4π个单位 C .向左平移12π个单位 D .向右平移12π个单位二、填空题（每题5分，共20分）9.已知角β的终边过点()12,5--P ，求=βcos __________．10.函数x y tan lg =的定义域是__________． 11.()R x x y ∈=sin 的对称点坐标为__________． 12.1cos cos -=x xy 的值域是__________．三、解答题(每题10分，共40分) 13.已知2tan =β，求1sin cos sin 2+βββ的值．14.化简：()()()()()()()()πααπαπαπααπααπ6sin sin cos sin 6cos cos cos sin 2222---++---+-++． 15.求证：ααααααααcos sin cos sin 1cos sin 2cos sin 1+=+++++．16.求函数⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤+=323cos 2sin 2ππx x x y 的最大值和最小值．第一章三角函数单元能力测试卷一、选择题（每小题5分，共60分） 1.设α角属于第二象限，且2cos2cosαα-=，则2α角属于 ( ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.下列值①)1000sin( -；②)2200cos(-；③)10tan(-；④4sin 是负值的为（）A.①B.②C.③D.④3.函数sin(2)(0)y x ϕϕπ=+≤≤是R 上的偶函数，则ϕ的值是（）A.0 B4π C 2πD π 4.已知4sin 5α=，并且α是第二象限的角，那么tan α的值等于（） A.43-B.34-C.43D.34 5.若α是第四象限的角，则πα-是（） A 第一象限的角 B 第二象限的角 C 第三象限的角 D 第四象限的角6.将函数sin()3y x π=-的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再所得的图象向左平移3π个单位，得到的图象对应的解析式是 ( )A.1sin 2y x = B 1sin()22y x π=- C.1sin()26y x π=- D.sin(2)6y x π=-7.若点(sin cos ,tan )P ααα-在第一象限,则在[0,2)π内α的取值范围是 ( )A.35(,)(,)244ππππ B 5(,)(,)424ππππC.353(,)(,)2442ππππ D 33(,)(,)244ππππ 8.与函数)42tan(π+=x y 的图像不相交的一条直线是 ( )A.2π=x B 2π-=x C 4π=x D 8π=9.在函数x y sin =、x y sin =、)322sin(π+=x y 、)322cos(π+=x y 中,最小正周期为π的函数的个数是（） A.1个 B 2个 C 个 D 4个10.方程1sin 4x x π=的解的个数是（） A B C 7 D 811.在)2,0(π内，使x x cos sin >成立的x 取值范围为（）A.)45,()2,4(ππππ B.),4(ππ C.)45,4(ππ D.)23,45(),4(ππππ12.已知函数()sin(2)f x x ϕ=+的图象关于直线8x π=对称，则ϕ可能是（）A.2π B 4π- C 4πD 34π二、填空题（每小题5分，共20分）13.设扇形的周长为8cm ，面积为24cm ，则扇形的圆心角的弧度数是__________14.若,24παπ<<则αααtan cos sin 、、的大小关系为__________15 若角α与角β的终边关于y 轴对称，则α与β的关系是__________16.关于x 的函数()cos()f x x α=+有以下命题：①对任意α,()f x 都是非奇非偶函数；②不存在α，使()f x 既是奇函数，又是偶函数；③存在α，使()f x 是偶函数；④对任意α,()f x 都是奇函数其中假命题的序号是__________三、解答题（第17题10分，其余每题12分，共70分） 17.求下列三角函数值: （1）)316sin(π- （2）)945cos( -18.比较大小:（1） 150sin ,110sin ；（2）200tan ,220tan19.化简：（1）)sin()360cos()810tan()450tan(1)900tan()540sin(x x x x x x --⋅--⋅--（2）xx x sin 1tan 1sin 12-⋅++20.求下列函数的值域：（1）)6cos(π+=x y ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx ； (2) 2sin cos 2+-=x x y21.求函数)32tan(π-=x y 的定义域、周期和单调区间.22.用五点作图法画出函数)631sin(2π-=x y 的图象(1)求函数的振幅、周期、频率、相位； (2)写出函数的单调递增区间；(3)此函数图象可由函数x y sin =怎样变换得到2.1平面向量的实际背景及基本概念与2.2.1向量加法运算一、选择题（每题5分，共40分）1.把平面上所有的单位向量平移到相同的起点上，那么它们的终点所构成的图形是（） A.一条线段 B.一段圆弧 C.两个孤立点 D.一个圆2.下列说法中，正确的是（）A.>,则b a >B.=，则b a =C.若b a =，则a ∥bD.若a ≠b ，则a 与b 不是共线向量3.设O 为△ABC 的外心，则AB 、BO 、CO 是（） A.相等向量 B.平行向量 C.模相等的向量 D.起点相等的向量4.已知正方形ABCD 的边长为1，设a AB =，b BC =，c AC =， b ++=（） A.0 B.3 C.22+ D.225.58==，的取值范围是（） A.[]8,3 B.()8,3 C.[]13,3 D.()13,36.如图，四边形ABCD 为菱形，则下列等式中 A B成立的是A.CA BC AB =+ B.BC AC AB =+C.AD BA AC =+D.DC AD AC =+ D C7.在边长为1的正三角形ABC 中，若向量a BA =，b BC =，+= （） A.7 B.5 C.3 D.28.向量a 、b 皆为非零向量，下列说法不正确的是（）A.向量a 与b >，则向量b a +与a 的方向相同B.向量a 与b <，则向量b a +与a 的方向相同C.向量a 与b 同向，则向量b a +与a 的方向相同D.向量a 与b 同向，则向量b a +与b 的方向相同二、填空题（每题5分，共20分）9.ABC ∆是等腰三角形，则两腰上的向量AB 与AC 的关系是__________.10.已知C B A ,,是不共线的三点，向量m 与向量AB 是平行向量，与BC 是共线向量，则m =__________.11.在菱形ABCD 中，∠DAB ︒=601==+__________.12.化简=++BO OP PB __________.三、解答题（13题16分，其余每题12分，共40分）13.化简：（1)FA BC CD DF AB ++++. (2)PM MN QP NQ +++.14.已知四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，且OC AO =，OB DO =. 求证：四边形ABCD 是平行四边形.15.一艘船以h km /5的速度向垂直于对岸的方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成︒30 角，求水流速度和船的实际速度.2.2向量减法运算与数乘运算一、选择题(每题5分,共40分) 1.在菱形ABCD 中，下列各式中不成立的是（） A.-=AC AB BC B.-=AD BD AB C.-=BD AC BC D.-=BD CD BC2.下列各式中结果为O 的有（） ①++AB BC CA ②+++OA OC BO CO ③-+-AB AC BD CD ④+-+MN NQ MP QP A.①② B.①③ C.①③④ D.①②③3.下列四式中可以化简为AB 的是（） ①+AC CB ②-AC CB ③+OA OB ④-OB OA A.①④ B.①② C.②③ D.③④4. ()()=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+ba b a24822131 （）A.2a b -B.2b a -C.b a -D.()b a --5.设两非零向量12,e e ，不共线，且1212()//()k e e e ke ++，则实数k 的值为（） A.1 B.1- C.1± D.06.在△ABC 中，向量BC 可表示为（） ①-AB AC ②-AC AB ③+BA AC ④-BA CAA.①②③B.①③④C.②③④D.①②④ 7.已知ABCDEF 是一个正六边形，O 是它的中心，其中===,,OA a OB b OC c 则EF =( )A.a b +B.b a -C.-c bD.-b c 8.当C 是线段AB 的中点，则AC BC += （） A.AB B.BA C.AC D.O二、填空题(每题5分,共20分)9.化简：AB DA BD BC CA ++--=__________.10.一架飞机向北飞行km 300后改变航向向西飞行km 400，则飞行的总路程为__________，两次位移和的和方向为__________，大小为__________. 11.点C 在线段AB 上，且35AC AB =，则________AC CB =. 12.把平面上一切单位向量归结到共同的始点，那么这些向量的终点所构成的图形是__________三、解答题(每题10分,共40分)13.已知点C 在线段AB 的延长线上，且2,,BC AB BC CA λλ==则为何值? 14.如图，ABCD 中,E F 分别是,BC DC 的中点，G 为交点，若AB =a ，AD =b ，试以a ，b 表示DE 、BF 、CG15.若菱形ABCD 的边长为2，求AB CB CD -+=?16.在平面四边形ABCD 中，若AB AD AB AD +=-，则四边形ABCD 的形状是什么？AGE F BD2.3平面向量的基本定理及坐标表示一、选择题（每题5分，共50分）1.已知平面向量),2,1(),1,2(-==b a则向量b a2321-等于（） A.)25,21(-- B.)27,21( C.)25,21(- D.)27,21(-2.若),3,1(),4,2(==AC AB 则BC 等于（） A.)1,1( B.)1,1(-- C.)7,3( D.)7,3(--3.21,e e 是表示平面内所有向量的一组基底，下列四组向量中，不能作为一组基底的是（）A.21e e +和21e e -B.2123e e -和1264e e -C.212e e +和122e e +D.2e 和21e e +4.已知平面向量),,2(),3,12(m b m a =+=且b a //，则实数m 的值等于（） A.2或23-B.23C.2-或23D.72- 5.已知C B A ,,三点共线，且),2,5(),6,3(--B A 若C 点的横坐标为6，则C 点的纵坐标为 A.13- B.9 C.9- D.13 （） 6.已知平面向量),,2(),2,1(m b a -==且b a //，则b a 32+等于（） A.)10,5(-- B.)8,4(-- C.)6,3(-- D.)4,2(--7.如果21,e e 是平面内所有向量的一组基底，那么（） A.若实数21,λλ使02211=+e e λλ，则021==λλ B.21,e e 可以为零向量C.对实数21,λλ，2211e e λλ+不一定在平面内D.对平面中的任一向量a ，使=a 2211e e λλ+的实数21,λλ有无数对8.已知向量)4,3(),3,2(),2,1(===c b a ，且b a c 21λλ+=，则21,λλ的值分别为 ( ) A.1,2- B.2,1- C.1,2- D.2,1-9.已知),3,2(),2,1(-==b a 若b n a m -与b a 2+共线（其中R n m ∈,且)0≠n ，则nm 等于 ( )A.21-B.2C.21D.2- 10.在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ,E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ，若,,b BD a AC == 则AF 等于（）A.b a 2141+ B.b a 3132+ C.b a 4121+ D.b a 3231+ 二、填空题（每题5分，共20分）11.已知),1,(),3,1(-=-=x b a 且b a //，则=x __________12.设向量)3,2(),2,1(==b a ，若向量b a +λ与向量)7,4(--=c 共线，则=λ__________13.已知x 轴的正方向与a 的方向的夹角为3π4=，则a 的坐标为__________ 14.已知边长为1的正方形ABCD ，若A 点与坐标原点重合，边AD AB ,分别落在x 轴，y 轴的正向上，则向量AC BC AB ++32的坐标为__________三、解答题(第15题6分,其余每题8分,共30分)15.已知向量a 与b 不共线，实数y x ,满足等式b x a x b y a x 2)74()10(3++=-+，求y x ,的值.16.已知向量21,e e 不共线，（1）若,82,2121e e BC e e AB +=+=),(321e e CD -=则B A ,,D 三点是否共线？（2）是否存在实数k ，使21e e k +与21e k e -共线？17.已知三点),10,7(),4,5(),3,2(C B A 点P 满足)(R AC AB AP ∈+=λλ，（1）λ为何值时，点P 在直线x y =上？（2）设点P 在第一象限内，求λ的取值范围.18.平面内给定三个向量)1,4(),2,1(),2,3(=-==c b a ，（1）求c b a 23-+；（2）求满足c n b m a +=的实数n m ,；（3)若)2//()(a b c k a -+，求实数k .2.4平面向量的数量积与2.5平面向量应用举例一、选择题（每题5分，共50分）1.若b a ,是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是（）A.b a =B.1=⋅b aC.≠D.=2.下面给出的关系始终正确的个数是（）①00=⋅a ②a b b a ⋅=⋅ ③2a = ④()()c b a c b a ⋅⋅=⋅⋅ b a ⋅≤ A.0 B.1 C.2 D.33.对于非零向量b a ,，下列命题中正确的是（）A.000==⇒=⋅b a b a 或B. b a //a ⇒在bC.()2b a b a b a ⋅=⋅⇒⊥ D.b ac b c a =⇒⋅=⋅4.下列四个命题，真命题的是（） A.在ABC ∆中，若,0>⋅BC AB 则ABC ∆是锐角三角形； B.在ABC ∆中，若,0>⋅BC AB 则ABC ∆是钝角三角形； C.ABC ∆为直角三角形的充要条件是0=⋅BC AB ； D.ABC ∆为斜三角形的充要条件是.0≠⋅BC AB .5.e ,8=为单位向量，a 与e 的夹角为,60o 则a 在e 方向上的投影为（）A.34B.4C.24D.238+6.若向量b a ,a ,1==与b 的夹角为120，则=⋅+⋅b a a a （）A.21 B.21- C.23 D.23-7.a ,631==与b 的夹角为,3π则b a ⋅的值为（）A.2B.2±C.1D.1±8.已知()(),5,5,0,3-==b a 则a 与b 的夹角为（） A.4π B.3π C.43π D.32π9.若O 为ABC ∆所在平面内的一点，且满足()(),02=-+⋅-OA OC OB OC OB 则ABC ∆ 的形状为（） A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.A ，B ，C 均不是10.设向量()(),1,,2,1x b a ==当向量b a 2+与b a -2平行时，b a ⋅等于（）A.25 B.2 C.1 D.27二、填空题（每题5分，共20分）11.(),2,1,3==b 且,b a ⊥则a 的坐标是_____________. 12.若(),8,6-=a 则与a 平行的单位向量是_____________.13.设21,e e 为两个不共线的向量，若21e e a λ+=与()2132e e b --=共线，则=λ________.14.有一个边长为1的正方形ABCD ，设,,,c AC b BC a AB ====b __________. 三、解答题（每题10分，共30分）15.()()61232,34=+⋅-==b a b a ，求a 与b的夹角θ.16.,43==且a 与b 不共线，当k 为何值的时，向量b k a +与b k a -互相垂直？17.平面上三个力321,,F F F 作用于一点且处于平衡状态，121,226,1F N F N F +==与 2F 的夹角为,45o求：①3F 的大小；②3F 与1F 的夹角的大小.第二章平面向量基础过关测试卷一、选择题（每题5分，共55分）1.如图在平行四边形ABCD 中,,b OB a OA ==,,d OD c OC ==则下列运算正确的是（）A.0=+++d c b a B.0 =-+-d c b a C.0 =--+d c b a D.0 =+--d c b a2.已知)1,3(),3,(-==b x a ，且a ∥b ，则x 等于（） A.1- B.9 C.9- D.13.已知a =)1,2(-，b =)3,1(，则－2a +3b 等于（） A.)11,1(--B.)11,1(-C.)11,1(-D.)11,1(4.若点P 分有向线段21P P 所成定比为1:3，则点1P 分有向线段P P 2所成的比为（） A.34-B. 32-C.21-D.23- 5.下列命题中真命题是（）A.000 ==⇒=⋅b a b a 或B.a b a b a 上的投影为在⇒//C.()2b a b a b a ⋅=⋅⇒⊥ D.b ac b c a =⇒⋅=⋅6.已知ABCD 的三个顶点C B A ,,的坐标分别为),3,1(),4,3(),1,2(--则第四个顶点D的坐标为 ( ) A.)2,2( B.)0,6(- C.)6,4( D.)2,4(-7.设21,e e 为两不共线的向量，则21e e a λ+=与()1232e e b --=共线的等价条件是 A.23=λ B.32=λ C.32-=λ D.23-=λ （） 8.下面给出的关系式中正确的个数是（）① 00 =⋅a ②a b b a ⋅=⋅ ③22a a = ④)()(c b a c b a ⋅=⋅ ⑤||||b a b a⋅≤⋅A.0B.1C.2D.39.下列说法中正确的序号是（） ①一个平面内只有一对不共线的向量可作为基底； ②两个非零向量平行，则他们所在直线平行；ACOD③零向量不能作为基底中的向量； ④两个单位向量的数量积等于零.A.①③B.②④C.③D.②③10.已知()()5,0,1,221P P -且点P 在21P P 延长线上，22PP =，则点P 坐标是（） A.)11,2(- B.)3,34( C.)3,32( D.)7,2(-11.若b a k b a b a b a 432,1||||-+⊥==与且也互相垂直，则k 的值为（） A.6- B.6 C.3 D.3- 二、填空题（每题5分，共15分）12.已知向量)2,1(,3==b a，且b a ⊥，则a 的坐标是__________.13.若()0,2,122=⋅-==a b a b a，则b a 与的夹角为__________.14.ΔABC 中,)1,3(),2,1(B A 重心)2,3(G ，则C 点坐标为__________. 三、解答题（每题题10分，共30分）15.已知),4,(),1,1(),2,0(--x C B A 若C B A ,,三点共线，求实数x 的值.16.已知向量)1,0(),0,1(,4,23212121==+=-=e e e e b e e a ，求（1）b a b a+⋅,的值；（2）a 与b的夹角的余弦值.17.已知四边形ABCD 的顶点分别为)4,1(),7,2(),4,5(),1,2(-D C B A ,求证：四边形ABCD 为正方形.第二章平面向量单元能力测试卷一、选择题(每题5分，共60分)1.设F E D C B A ,,,,,是平面上任意五点，则下列等式①AB CE AE CB +=+ ②AC BE BC EA +=- ③ED AB EA AD +=+ ④0AB BC CD DE EA ++++= ⑤0AB BC AC +-=其中错误等式的个数是（）A.1B.2C.3D.42.已知正方形ABCD 的边长为1，设c AC b BC a AB ===,,=++b ( ) A.0 B.3 C.22+D.223.设1e 、2e 是两个不共线向量，若向量 a =2153e e +与向量213e e m b -=共线，则m 的值等于（） A.35-B.－59C.53-D.95-4.已知)3,1(),1,2(=-=b a 则b a 32+-等于 ( ) A.)11,1(--B.)11,1(-C.)11,1(-D.)11,1(5.设P )6,3(-,Q )2,5(-,R 的纵坐标为9-，且R Q P ,,三点共线，则R 点的横坐标为 A.9-B.6-C.9D.6 （）6.在ΔABC 中,若0)()(=-⋅+CB CA CB CA ，则ΔABC 为 ( ) A.正三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.无法确定7.已知向量a ，b ，40-=⋅b a =8,则向量a 与b 的夹角为（） A.60B. 60-C.120D.120-8.已知)0,3(=a ,)5,5(-=b ，则a 与b 的夹角为 ( )A.4πB.43π C.3π D.32π 9.若b a b a⊥==,1||||且b a 32+与b a k 4-也互相垂直，则k 的值为 ( )A.6-B.6C.3D.3-NA BDM C10.已知a =(2,3),b =(4-,7),则a 在b上的投影值为 ( )A.13B.513 C.565 D.6511.若035=+CD AB ,且BC AD =，则四边形ABCD 是 ( ) A.平行四边形B.菱形C.等腰梯形D.非等腰梯形12.己知)1,2(1-P ,)5,0(2P 且点P 在线段21P P 的延长线上,||2||21PP P P =, 则P 点坐标为 ( ) A.)11,2(-B.)3,34(C.(3,32) D.)7,2(- 二、填空题(每题5分，共 20分)13.已知|a |=1,|b |=2,且(a －b )和a 垂直,则a 与b的夹角为__________.14.若向量),2(x a -=,)2,(x b -=,且a 与b 同向，则-a b 2=__________.15.已知向量a )2,3(-=,b )1,2(-,c )4,7(-=,且b a cμλ+=，则λ=__________，μ=__________.16.已知|a |=3,｜b ｜=2，a 与b 的夹角为60，则｜a －b ｜=__________. 三、解答题（第17题10分，其余每题12分，共70分） 17.如图，ABCD 中，点M 是AB 的中点，点N 在BD 上，且BD BN 31=，求证：C N M ,,三点共线．18.已知C B A ,,三点坐标分别为),2,1(),1,3(),0,1(--AE =31AC ，BF =31BC ， 1）求点E 、F 及向量EF 的坐标； 2）求证：EF ∥AB ．19.24==夹角为120,求：(1)b a ⋅；(2))()2(b a b a +⋅-；(3)a 3+．20.已知)2,3(),2,1(-==b a，当k 为何值时：（1）b a k +与b a 3-垂直；（2）b a k +与b a3-平行，平行时它们是同向还是反向？21.())sin 3cos ),3(sin(,sin ,cos 2x x x b x x a -+==π,b a x f ⋅=)(，求：(1)函数()x f 的最小正周期； (2))(x f 的值域； (3))(x f 的单调递增区间.22.已知点)sin ,(cos ),3,0(),0,3(ααC B A ，（1）若1-=⋅BC AC ，求α2sin 的值；（213=+，且),0(πα∈，求OB 与OC 的夹角.3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式一、选择题(每题5分,共45分)1. 345cos 的值等于（）A.462- B.426- C.462+ D.462+- 2.195sin 75sin 15cos 75cos -的值为（） A.0 B.21 C.23D.21- 3.已知1312sin -=θ，)0,2(πθ-∈，则)4cos(πθ-的值为（）A.2627-B.2627C.26217-D.26217 4.已知53)4sin(=-x π，则x 2sin 的值为（）A.2519B.2516C.2514D.257 5.若31sin cos ),,0(-=+∈ααπα且, 则α2cos 等于（）A.917 B.917± C.917- D.317 6.已知函数是则)(,,sin )2cos 1()(2x f R x x x x f ∈+= （）A.最小正周期为π的奇函数B.最小正周期为2π的奇函数 C.最小正周期为π的偶函数 D.最小正周期为2π的偶函数7.已知71tan =α，βtan =31，20πβα<<<，则βα2+等于（）A.45πB.4πC.45π或4πD.47π8.ΔABC 中，已知αtan 、βtan 是方程01832=-+x x 的两个根，则c tan 等于 ( ) A.2 B.2- C.4 D.4-9.函数56sin2sin 5cos 2cos )(ππx x x f -=的单调递增区间是（） A.)(53,10Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ B.)(207,203Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ππππ C.)(532,102Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ D.)(10,52Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ππππ 二、填空题(每题5分,共20分)10.已知函数的最小正周期是则)(,,sin )cos (sin )(x f R x x x x x f ∈-=__________. 11.135)6cos(-=+πx ,则)26sin(x -π的值是__________. 12.231tan 1tan +=+-αα,则α2sin =__________. 13.已知函数[]则,,0,sin )(π∈=x x x f )2(3)(x f x f y -+=π的值域为__________.三、解答题(14题11分，15、16题12分，共35分) 14.求值：(1))32cos(3)3sin(2)3sin(x x x ---++πππ.(2)已知,71tan ,21)tan(-==-ββα且)0,(,πβα-∈，求βα-2的值.15.设x x x f 2sin 3cos 6)(2-=，（1)求)(x f 的最大值及最小正周期；（2)若锐角α满足323)(-=αf ，求α54tan 的值.16.已知),,0(,,55cos ,31tan πβαβα∈=-= （1)求)tan(βα+的值；（2)求函数)cos()sin(2)(βα++-=x x x f 的最大值.3.2简单的三角恒等变换一、选择题(每题5分，共40分)1.=-︒︒︒︒16sin 194cos 74sin 14sin （） A .23 B .23-C .21 D .21- 2.下列各式中，最小的是（） A .40cos 22B .6cos 6sin 2 C .37sin 50cos 37cos 50sin - D .41cos 2141sin 23- 3.函数()R x x y ∈+=2cos 21的最小正周期为（） A .2πB .πC .π2D .π4 4.︒︒︒︒-+70tan 50tan 350tan 70tan 的值为（） A .21 B .23 C .21- D .3-5.若316sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ232cos （） A .97-B .31-C .31D .97 6.若函数x x y tan 2sin =，则该函数有（） A .最小值0，无最大值 B .最大值2，无最小值 C .最小值0，最大值2 D .最小值2-，最大值2 7.若παπ223<<，则=++α2cos 21212121 （） A .2cosαB .2sinαC .2cosα- D .2sinα-8.若()x x f 2sin tan =，则()=-1f （） A .1 B .1- C .21D .21-二、填空题（每题5分，共20分）9.计算=-+75tan 175tan 1__________.10.要使mm --=-464cos 3sin θθ有意义,则m 取值范围是__________.11.sin αβ==且,αβ为锐角，则αβ+＝__________. 12.若函数4cos sin 2++=x a x y 的最小值为1，则a =__________.三、解答题（每题10分，共40分） 13.化简：)10tan 31(40cos ︒+︒.14.求值：︒︒︒︒++46cos 16sin 46cos 16sin 22.15.求函数1cos sin 2cos sin +++=x x x x y ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 的最值.16.已知函数R x x x x x y ∈++=,cos 2cos sin 3sin 22,(1)求函数的最小正周期；(2)求函数的对称轴； (3)求函数最大值及取得最大值时x 的集合.第三章三角恒等变换单元能力测试卷一、选择题（每题5分，共60分）1.︒︒︒︒++15cos 75cos 15cos 75cos 22的值等于（）A.26 B.23 C.45 D.431+2.已知222tan -=θ，πθπ22<<，则θtan 的值为 ( ) A.2 B.22-C.2D.2或22- 3.设︒︒︒︒++=30tan 15tan 30tan 15tan a ，︒︒-=70sin 10cos 22b ，则a ，b 的大小关系 A.b a = B.b a > C.b a < D.b a ≠ （）4.函数x x x x f cos sin 3sin )(2+=在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,4ππ上的最大值（）A.1B.231+ C.23 D.31+5.函数)32cos()62sin(ππ+++=x x y 的最小正周期和最大值分别为（） A.π,1 B.π,2 C.π2,1 D.π2,2 6.xx xx sin cos sin cos -+= （）A.)4tan(π-x B.)4tan(π+x C.)4cot(π-x D.)4cot(π+x 7.函数)3cos()33cos()6cos()33sin(ππππ+++-+=x x x x y 的图像的一条对称轴是A.6π=x B.4π=x C.6π-=x D.2π-=x （）8.)24tan 1)(25tan 1)(20tan 1)(21tan 1(++++的值为（） A.2 B.4 C.8 D.169.若51)cos(=+βα，53)cos(=-βα，则βαtan tan = （）A.2B.21C.1D.010.函数[]0,(cos 3sin )(π-∈-=x x x x f ）的单调递增区间是（） A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡--65,ππ B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡--6,65ππ C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,3π D.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,6π 11.已知A 、B 为小于︒90的正角，且31sin =A ，21sin =B ，则)(2sin B A +的值是 A.97B.23C.1832+D.183724+ （）12.若22)4sin(2cos -=-παα，则ααsin cos +的值为（） A.27-B.21-C.21D.27 二、填空题（每题5分，共20分） 13.已知32tan=θ，则θθθθsin cos 1sin cos 1+++-=__________.14.函数)2sin()3sin(ππ+⋅+=x x y 的最小正周期T =__________. 15.已知xxx f +-=11)(，若),2(ππα∈则)cos ()(cos αα-+f f 可化简为__________.16.若2cos sin -=+αα，则ααtan 1tan +=__________. 三、解答题（第17题10分，其余每题12分，共70分） 17.（1）已知54cos =α，且παπ223<<，求2tan α.（2）已知1cos )cos()22sin(sin 3=⋅+--θθπθπθ，),0(πθ∈，求θ的值.18.已知135)43sin(=+πα，53)4cos(=-βπ，且434,44πβππαπ<<<<-，求)cos(βα-的值.19.已知函数R x x x x x x f ∈++=,cos 3cos sin 2sin )(22，求：（1）函数)(x f 的最大值及取得最大值的自变量x 的集合；（2）函数)(x f 的单调增区间.20.已知α、β),0(π∈，且αtan 、βtan 是方程0652=+-x x 的两根，求：（1）βα+的值；（2）)cos(βα-的值.。

人教a版数学必修4测试题答案及解析

人教a版数学必修4测试题答案及解析一、选择题1. 若函数f(x)=x^2-6x+c的图象与x轴有交点，则c的取值范围是（）。

A. c>9B. c<9C. c≥9D. c≤9答案：D解析：函数f(x)=x^2-6x+c的判别式Δ=b^2-4ac=(-6)^2-4*1*c=36-4c。

要使函数与x轴有交点，判别式Δ≥0，即36-4c≥0，解得c≤9。

2. 已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=1，d=2，则S_5的值为（）。

A. 15B. 25C. 30D. 40答案：A解析：等差数列的前n项和公式为S_n=n/2*(2a_1+(n-1)d)，代入n=5，a_1=1，d=2，得S_5=5/2*(2*1+(5-1)*2)=5/2*(2+8)=5*5=25。

但题目要求的是S_5的值，所以正确答案应为A。

二、填空题1. 已知函数y=2x-3与直线y=-x+4平行，则它们的斜率相等，斜率k的值为（）。

答案：-1解析：两条直线平行，它们的斜率相等。

直线y=-x+4的斜率为-1，所以函数y=2x-3的斜率k也应为-1。

2. 已知圆x^2+y^2-6x-8y+24=0的圆心坐标为（）。

答案：(3,4)解析：将圆的方程化为标准形式(x-a)^2+(y-b)^2=r^2，即(x-3)^2+(y-4)^2=1，可得圆心坐标为(3,4)。

三、解答题1. 已知函数f(x)=x^3-3x+1，求f'(x)。

答案：f'(x)=3x^2-3解析：根据导数的定义，f'(x)=lim(h->0)[(f(x+h)-f(x))/h]。

对f(x)=x^3-3x+1求导，得f'(x)=3x^2-3。

2. 已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=2，公比q=3，求S_5。

答案：S_5=341解析：等比数列的前n项和公式为S_n=a_1*(1-q^n)/(1-q)，代入a_1=2，q=3，n=5，得S_5=2*(1-3^5)/(1-3)=2*(1-243)/(-2)=2*(-242)=-484。

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专项练习1三角函数的图像和性质（一）三角函数的定义域、值域、最值【1.1】函数xy sin 1=的定义域是A.RB.{}0,|≠∈x R x x C.{}Z k k x R x x ∈≠∈,,|π D.[)(]1,00,1 -【1.2】函数⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈=32,6,sin ππx x y 的值域是________________________.【1.3】已知函数⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈⎪⎭⎫⎝⎛+=4,0,42sin ππx x y ，当=x __________时，函数有最小值=y ___.【1.4】（易错题）求函数x x y sin 3cos 2-=的最大值.【1.5】（易错题）已知4||π≤x ，求函数x x y sin cos 2+=的最小值.【1.6】求函数2cos 1cos 3++=x x y 的值域【1.7】求下列函数的值域．（1）1cos 2cos +=x xy ；（2）xxx y sin 1cos sin 22+⋅=【1.8】求下列函数的定义域和值域.（1）x y sin lg =；（2）xy 3cos 2=【1.9】求下列各函数的最大值、最小值，并且求使函数取得最大值、最小值的x 的集合.（1）x y cos 21-=π；（2）1cos cos 2++=x x y（二）三角函数的周期、对称轴【1.10】函数sin(2)3y x π=+图像的对称轴方程可能是（）A.6x π=-B.12x π=-C.6x π=D.12x π=【1.11】求下列函数的最小正周期：（1）x y sin =，R x ∈；（2）|)32sin(|π+=x y ，R x ∈；（3）)321sin(3π-=x y ，R x ∈；（4）)332cos(2π-=x y ，R x ∈；（5）x y 2tan =，R x ∈；（6）)321tan(3π-=x y ，R x ∈.【1.12】已知函数)0)(sin(2>+=ϕϕωx y 在区间]2,0[π的图像如右图：那么=ω（）A.1B.2C.1/2D.1/3【1.13】（易错题）函数|31)32sin(|-+=πx y 的最小正周期是（三）三角函数的单调性、奇偶性【1.14】函数]),0[)(26sin(2ππ∈-=x x y 为增函数的区间是________________________.【1.15】函数)34sin(x y -=π的单调增区间是_________________________.【1.16】函数⎪⎭⎫⎝⎛+=4sin πx y 在_____________________________区间上是增函数.【1.17】设函数)0( )2sin()(<<-+=ϕπϕx x f ，)(x f y =图像的一条对称轴是直线8π=x .求：（1）ϕ；（2）函数)(x f y =的单调增区间.【1.18】判断下列函数的奇偶性：（1）)252cos()(π+=x x f ；（2）)sin(cos )(x x f =；（3）xx x f sin 1sin 1)(+-=（四）三角函数图像变换【1.19】（易错题）为了得到函数⎪⎭⎫⎝⎛-=62sin πx y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象()A.向右平移6πB.向右平移3πC.向左平移6πD.向左平移3π【1.20】下列三个函数①x y 2tan =，②x y 2cos =，③x y 4sin =，其中以点)0,4(π为中心对称的函数是___________________.【1.21】先将函数x y 2sin =的图象向右平移3π个单位长度，再将所得图象作关于y 轴的对称变换，则所得函数图象对应的解析式为（）A )32sin(π+-=x y B.)32sin(π--=x y C.)322sin(π+-=x y D.)322sin(π--=x y （五）三角函数图像和性质综合【1.22】（易错题）①函数x y tan =在它的定义域内是增函数。

②若βα,是第一象限角，且βαβαtan tan ,>>则。

③函数)sin(ϕω+=x A y 一定是奇函数。

④函数)32cos(π+=x y 的最小正周期为2π。

上述四个命题中，正确的命题是_________.【1.23】右图为)sin(ϕω+=x A y )2(πϕπ-<<-的图象的一段，求其解析式。

【1.24】已知函数)2||,0,0)(sin()(πϕωϕω<>>+=A x A x f 的图象在y 轴上的截距为1，它在y 轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为)2,(0x 和)2,3(0-+πx .(1)试求)(x f 的解析式；(2)将)(x f y =图象上所有点的横坐标缩短到原来的31（纵坐标不变），然后再将新的图象向x 轴正方向平移3π个单位，得到函数)(x g y =的图象.写出函数)(x g y =的解析式.【1.25】设)||,0,0)(sin(πϕωϕω<>>+=A x A y 最高点D 的坐标为)2,2(，由最高点运动到相邻的最低点时，曲线与x 轴交点E 的坐标为)0,6(.(1)求A 、ω、ϕ的值；(2)求出该函数的频率，初相和单调区间．【1.26】函数)sin()(ϕω+=x A x f 的图象如下图，试依图指出：(1))(x f 的最小正周期；(2)使0)(=x f 的x 的取值集合；(3)使0)(<x f 的x 的取值集合；(4))(x f 的单调递增区间和递减区间；(5)求使)(x f 取最小值的x 的集合；(6)图象的对称轴方程；(7)图象的对称中心．专项练习2平面向量的运算（一）向量的线性运算【2.1】下列命题中正确的是（）A.OA OB AB -=B.0AB BA += C.00AB ⋅= D.AB BC CD AD++= 【2.2】若ABCD 是正方形，E 是CD 的中点，且a AB=，b AD =，则=BE ()A.ab 21+ B.ab 21- C.ba 21+ D.ba 21-【2.3】如左下图，ABC ∆中，AD DB =，AE EC =，CD 与BE 交于F ，设a AB=，AC b = ，AF xa yb =+，则(,)x y 为（）A.11(,)33 B.22(,)33C.11(,)22D.21(,)32【2.4】如右上图，已知a AB =，b AC =，DC BD 3=，用a ，b 表示AD ，则AD ＝_______.【2.5】D 是△ABC 的边AB 上的中点，若BC y BA x CD +=，则=+y x _____________.【2.6】设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若AC AB DE 11λλ+=(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为___________．【2.7】若菱形ABCD 的边长为2，则=+-||CD CB AB ________.【2.8】请化简下列各式：(1)=++++F A BC CD DF AB ___________；(2)()()=++++OM BC BO MB AB _____________.【2.9】已知a与b是两个不共线向量，且向量b a λ+与)3(a b --共线，则λ＝__________.【2.10】已知向量a和向量b 不共线，实数x ，y 满足b y x a b a y x )2(54)2(-+=+-，则=+y x ____________.【2.11】设两非零向量a 、b 不共线，如果b a AB +=，)(3b a CD -=，b a BC 82+=.求证：A 、B 、D 三点共线．第2.3题图第2.4题图【2.12】如图所示，在平行四边形ABCD 中，点M 是AB 边中点,点N 在BD 上且BD BN31=,求证:M 、N 、C 三点共线.（二）向量的坐标运算【2.13】已知点(6,2)A ，(1,14)B ，则与AB共线的单位向量为（）A ．512(,)1313-B ．)1312,135(-C ．)1312,135(-或)1312,135(-D ．)135,1312(-或)135,1312(-【2.14】已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量AB 同方向的单位向量为（）A ．)54,53(-B ．)54,53(-C ．)54,53(-或)54,53(-D ．)53,54(-或)53,54(-【2.15】设点)6,3(-P ，)2,5(-Q ，R 的纵坐标为9-，且P 、Q 、R 三点共线，则R 点的横坐标为（）A.9- B.6- C.9D.6【2.16】已知平面向量)2,1(=a，),2(m b -= ，且a b ∥，则23a b += （）A.(510)--， B.(24)--， C.(36)--， D.(48)--，【2.17】已知向量)4,3(=a ，)cos ,(sin αα=b ，且a ∥b，则αtan 等于（）A.43B.34- C.34 D.34-【2.18】若向量)3,2(=a ，)6,(-=x b ，且a ∥b，则实数x ＝__________.【2.19】已知向量)3,2(=a ，)2,1(-=b ，若)(b n a m +∥)2(b a-，则nm 等于__________.【2.20】在平面直角坐标系中，已知向量)1,2(=AB ，)5,3(=AC ，则BC 的坐标为________．【2.21】平面内给定三个向量)2,3(=a ，)2,1(-=b ，)1,4(=c.(1)求满足c n b m a+=的实数m ，n ；(2)若)(c k a+∥)2(a b -，求实数k.（三）向量的数量积运算【2.22】已知)3,2(=a ，)7,4(-=b ，则a 在b上的投影为（）A.13B.513 C.565 D.65【2.23】已知向量)2,1(-=a ，)2,(x b = ，若b a⊥，则=b （）A.5 B.52 C.5 D.20【2.24】a ，b为平面向量，已知)5,2(2),3,4(=+=b a a ，则=⋅b a （）A.2- B.2C.1- D.1【2.25】若平面向量)2,1(-=a 与b 的夹角是0180，且53=b ，则b 等于（）A.)6,3(- B.)6,3(- C.)215,15(- D.)215,15(-【2.26】已知向量a ，b 满足1=a ，4=b ，且2=⋅b a ，则a 与b 的夹角为（）A.6πB.4π C.3π D.2π【2.27】已知向量a 与b 的夹角为060，且1=a ，2=b ，那么()2b a +的值为________.【2.28】若向量a 、b 满足1=a ，2=b ，且a 与b 夹角为π32，则=+||b a ___________.【2.29】已知4=a ，8=b ，a 与b 的夹角为0120，则=-|2|b a ______________.【2.30】已知向量a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)，且λa ＋b 与a－2b 垂直，则实数λ的值为______.【2.31】设向量a 与b 的夹角为θ，且)3,3(=a，)1,1(2-=-a b ，求θcos 的值.【2.32】已知AB AC AB ,4||,3||==与AC 的夹角为060，求AB 与AC AB -的夹角余弦.（四）平面向量与三角函数、解析几何等问题的综合【2.33】已知△ABC 的三个顶点的直角坐标分别为A(3,4)、B(0,0)、Ｃ(c,0)（1）若c=5，求sin ∠A 的值；（2）若∠A 为钝角，求c 的取值范围.【2.34】设函数b a x f ⋅=)(，其中向量R x x b x m a ∈+==),1,2sin 1(),2cos ,(，且函数)(x f y =的图象经过点⎪⎭⎫⎝⎛2,4 .（1）求实数m 的值；（2）求函数)(x f 的最小值及此时x 的值的集合.（提示：本题需用到两角和正弦公式）专项练习3三角恒等变换三角恒等变换这部分内容比较具有挑战性，不仅涉及的公式多，而且变换的技巧性也很高，往往需要很强的数学分析能力和较灵活的思维，因此要学好这部分内容，除了需要勤做练习外，平时还要注意总结相关知识和归纳相关规律。

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