第二章振动和波(教学用)

作业
P33 3，5，
第二节波动
基本概念与平面简谐波
机械波的几个概念 平面简谐波的波函数
第二节
波动
•振动在空间的传播过程称为波动 •机械振动在弹性介质中的传播称为机械波 如声波、水波、地震波等 •交变电磁场在空间的传播称为电磁波 如无线电波、光波等
波动的特征
•具有一定的传播速度； •伴随着能量的传播； •能产生反射、折射、干涉和衍射等现象； •有相似的波动方程。
x x1 x2
1、应用解析法
x x1 x2
2 A A12 A2 2 A1 A2 cos( 2 1 )
＝A1 cos t 1 ＋A2 cos t 2 A1 cos 1 A2 cos 2 cos t A1 sin 1 A2 sin 2 sin t
3 2 5 t 2 3 6 5 5
t 6


6
0.83s
四、简谐振动的能量
以水平的弹簧振子为例
x
x(t ) A cos(t ), k / m
简谐振动的动能：
o
A
简谐振动的势能：
1 1 2 Ek mv m[ A sin(t )]2 2 2 1 2 1 2 2 2 mA sin (t ) kA sin 2 ( 0t 0 ) 2 2
某质点同时参与两个同频率且在同一条直线上的简谐运动
x1 A1 cos t 1 x2 A2 cos t 2
合振动
令
A sin A1 sin1 A2 sin 2 A cos A1 cos1 A2 cos 2
x＝A cos cos t A sin sin t ＝A cos t
定义：物体作一次完全振动所需的时间，用T表示，单位 为秒(s)
x A cos( t ) A cos[ ( t T ) ]
T＝2
T
2、频率
定义：单位时间内物体所作的完全振动的次数，用ν 表 示，单位为赫兹(Hz)。
2

1 ＝ T 2
3、圆频率
定义：物体在2π秒时间内所作的完全振动的次数，用ω表 示，单位为弧度/秒(rad.s-1或s -1)。
v0 A＝ x v0 tg x0
2 0 2
v0 A＝ x
2 0
2
求A，然后由 x0=Acos v0=-Aωsin 两者的共同部分求 。
例1：一弹簧振子系统，弹簧的劲度系数为k=0.72N/m，物 体的质量为m=20g。今将物体从平衡位置沿桌面向右拉长 到0.04m处释放，求振动方程。 解：要确定弹簧振子系统的振动方程，只要确定A、ω和即可。 由题可知，k=0.72N/m，m=20g=0.02kg，x0=0.04m，v0＝0， 代入公式可得
第二章振动和波 第一节简谐振动
一、 简谐运动方程 二、 描述简谐运动的物理量 （振幅、周期、频率和相位） 三、 旋转矢量
机械振动
一、什么是振动 从狭义上说，通常把具有时间
周期性的运动称为振动。
从广义上说，任何一个物理量
在某一数值附近作周期性的变化， 都称为振动。
二、什么是机械振动 机械振动是物体在一定位置附近所作的周期性往
解： 选取坐标如图，
F弹
x
k 2( rad / s) x o m 1 2 E FS 0.5 J kA A 0.204(m) 2 依题意，有：x0 A, v0 0
x 0.204cos(2t )(SI )
五、简谐振动的合成
一、两个同方向同频率简谐运动的合成
A A1 A2
当 A1
k 1,2,3,
A
合振幅最小
A2
A2称为干涉相消 A 0
A1
A
情况3：一般情况
2 1 k
A2
| A1 A2 | A | A1 A2 |
A1
小
简谐运动
简谐运动
结
简谐运动的特点
简谐运动的振幅、周期、频率和相位 振幅 周期与频率 相位 常数A和 的确定 旋转矢量
k 0.72 ＝ 6rad s 1 m 0.02
02 A x 2 0.04 2 0.04m 6
2 0 2 2 v0
又因为x0为正，初速度v0＝0，可得
0
因而简谐振动的方程为：
x 0.04cos(6t ) (m)
三、 旋转矢量
一、旋转矢量图示法
● ●
说明
2 2 T
•简谐运动的基本特性是它的周期性 •周期、频率或圆频率均有振动系统本身的性质所决定，故 称之为固有周期、固有频率或固有圆频率。对于弹簧振子
k 1 ＝ , m 2
k m , T 2 m k
•简谐运动的表达式可以表示为
2 x A cos( t ) A cos( t ) A cos(2 t ) T
4、弹簧振子的动力学特征
取平衡位置O 点为坐标原点， 水平向右为x 轴的正方向。
x
f －kx
力的方向与位移的方向相反，始终指向平衡位置的，称为 回复力。 简谐运动 f k f ma a x 微分方程 m m
k 2 ＝ m
a x
2
d x 2 ＋ x＝0 2 dt
2
5、简谐运动的运动学特征 x A cos( t )
二）、简谐运动的特点
1、从受力角度来看——动力学特征
f －kx
2、从加速度角度来看——运动学特征
a x
2
3、从位移角度来看——运动学特征
x A cos( t )
说明：
•要证明一个物体是否作简谐运动，只要证明上面三个式子中的 一个即可，且由其中的一个可以推出另外两个； •要证明一个物体是否作简谐运动最简单的方法就是受力方析， 得到物体所受的合外力满足回复力的关系。
三)、相、初相、相差
1、相位 2、初相位 3、相位差
t

对于一个简谐运动，若振幅、 周期和初相位已知，就可以写 出完整的运动方程，即掌握了 该运动的全部信息，因此我们 把振幅、周期和初相位叫做描 述简谐运动的三个特征量。
定义：两个振动在同一时刻的相位之差或同一振动在不
同时刻的相位之差。 对于同频率简谐运动、同时刻的相位差
A1 sin 1 A2 sin 2 tg A1 cos 1 A2 cos 2
2、应用旋转矢量法 y A2
2
A
合成振动 是简谐运动
A2 sin 2
A1 sin 1
A1
1
A2 cos 2
A1 cos1
x
演示
x A cos t
A A A 2 A1 A2 cos( 2 1 )
一）、简谐运动 1、弹簧振子 2、弹簧振子运 动的定性分析
B→O：弹性力向右，加速度向右，加速； O→C： 向左， 向左，减速； C→O： 向左， 向左，加速； O→B： 向右， 向右，减速。
物体在B、C之间来回往复运动 3、物体作简谐运动的条件 物体的惯性 ——阻止系统停留在平衡位置 作用在物体上的弹性力——驱使系统回复到平衡位置
o
t
弹簧振子的 动能和势能 的平均值相 等，且等于 总机械能的 一半。
例.有一水平弹簧振子，k=24N/m，重物的质量 m=6kg，静止在平衡位置上，设以一水平恒力F=10N 作用于物体（不计摩擦），使之从平衡位置向左运动 了0.05m，此时撤去力F，当重物运动到左方最远位置 时开始计时，求运动方程。
4、振动的合成
例题：一个质点沿x轴作简谐运动，振幅A=0.06m，周期T=2s，初 始时刻质点位于x0=0.03m处且向x轴正方向运动。求：（1）初相 位；（2）在x=-0.03m处且向x轴负方向运动时物体回到平衡位置 所需要的最短时间。 解：（1）用旋转矢量法，则初相位在第四象限m处且向向x轴负方向运动到平衡位置，意 味着旋转矢量从M1点转到M2点，因而所需要的最短时间满 足
Ek
o
1 2 1 2 2 E p kx kA cos (t ) 2 2
Ek 最大时， Ep最小， Ek 、Ep交替变 化。
Ep
t
简谐振动的总能量：
E Ek E p
1 2 kA 2
1 2 2 2 kA [sin (t ) cos (t )] 2 Ek E p
dx v A si n ( t ) dt d2x a 2 2 A cos( t ) dt
说明：
•物体在简谐运动时，其位移、速度、加速度都是周期性变 化的 •简谐运动不仅是周期性的，而且是有界的，只有正弦函数、 余弦函数或它们的组合才具有这种性质，这里我们采用余弦 函数。
y
y
●
x A cos(t )
● ●● ●
A
A
● ●
二、旋转矢量与简谐运动 的关系
A ←→ 振幅 ←→ 圆频率 ←→ 初相位 t ←→ 相位
o● o
x ● t ● ● x ●
xx
●
● ● ● ●
● ●
●
●
●
● ●
三、旋转矢量的应用 1、作振动图 2、求初相位 3、可以用来求速度和加速度
因此 , 此振动为简谐振动。
f
m
x
二、描述 简谐运动的物理量
一）、振幅—反映振动幅度的大小 1、定义——A
作简谐运动的物体 离开平衡位置的最 大位移的绝对值。
2、说明
•振幅恒为正值，单位为米(m); •振幅的大小与振动系统的能量有关，由系统的初 始条件确定。