3-5力的分解

5．力的分解
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理解分力及力的分解的概念 会用作图法和数学几何知识求分力 知道力的分解是力的合成的逆运算 知道多个力求合力时，常常先分解再 合成
谁都知道，顺风扬帆，乘风破浪，风对船帆的压力是
推动帆船前进的动力．可是，如果遇上了逆风，帆船还能
依靠风的力量前进吗？有没有“顶”风破浪的帆船呢？ 回答是肯定的．
______________________．
解析：根据两球所处的环境，正确进行力的作用效果
分析，作力的平行四边形，力的计算可转化为直角三角形 的边角计算，从而求出压力之比. 对球1所受重力来说，其效果有二：第一，使物体欲 沿水平方向推开挡板；第二，使物体压紧斜面．因此，其
力的分解如图甲所示，由此得两个分力，大小分别为：
(2)建立坐标系的原则：使尽量多的力落在坐标轴上，
尽量减少分解力的个数．
①如图(a)，提箱子的力F产生两个效果：竖直向上的 效果F1，水平向左压在腿上的效果F2，若F与水平夹角为θ.
则F1＝________，F2＝________.
②如图(b)，斜面上的小孩的重力产生两个效果：平行 于斜面使物体下滑的分力G1、垂直于斜面使物体紧压斜面 的力G2.G1＝________，G2＝________. ③(上海交大附中08－09学年高一上学期期末)如图(c)，
点评：正交分解法不仅可以应用于力的分解，也可应
用于其他任何矢量的分解，我们选取坐标轴时，可以是任 意的，不过选择合适的坐标轴可以使问题简化，通常坐标 系的选取有两个原则：(1)使尽量多的矢量处在坐标轴上， (2)尽量使未知量处在坐标轴上．
举重运动中保持杠铃的平衡十分重要．如图所示，
若运动员举起1 800 N的杠铃后双臂保持106°角，处于平 衡状态，此时运动员两手臂受力各是多大(sin53°＝0.8， cos53°＝0.6)?
Fx＝F1x＋F2x＋„ Fy＝F1y＋F2y＋„
⑤求共点力的合力：合力大小 F＝ F2＋F2，合力的 x y Fy Fy 方向与 x 轴的夹角为 α，则 tanα＝F ，即 α＝arc tanF . x x
特别提醒： (1)建立坐标系之前，要对物体进行受力分析，画出各 力的示意图，一般各力的作用点都移到物体的重心上．
答案：BCD
(2009·苏州中学高一检测)下列说法正确的是(
A．已知合力大小、方向，则其分力必为确定值
)
B．已知两分力大小、方向，则它们的合力必为确定 值 C．分力数目确定后，若已知各分力大小、方向，必
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可依据平行四边形定则求出总的合力来
D．若合力为确定值，可根据要求的两个方向、依据 平行四边形定则一定可求出这两个分力大小 答案：BC
大小，要注意标度的选取．
c．根据数学知识用计算法求力F1和F2的大小.
(1)定义：在许多情况下，根据力的实际作用效果，我
们可以把一个力分解为两个相互垂直的分力．把力沿着两
个选定的互相垂直的方向分解，叫力的正交分解法． (2)适用情况：适用于计算三个或三个以上力的合成． (3)步骤： ①建立坐标系：以共点力的作用点为坐标原点，直角
力F′μ ＝mgsinθ2 ，这里小字典比作三角皮带槽，大书本比 作三角皮带，这个最大静摩擦力也相当于三角皮带槽与三 角皮带间的最大静摩擦力．
实验中，你可以发现θ2 比θ1 要大得多．由此即可说明
三角皮带可以产生大得多的摩擦力．为什么三角皮带可以 产生比平皮带大得多的静摩擦力呢？试作分析说明．
答案：可以结合下图来分析，字典所受重力G与弹力 FN1 、FN2 三力共点平衡，即FN1 、FN2 的合力与G大小相等、
答案：1 500 N
1 500 N
解析：方法一
点力．
取杠铃为研究对象，受到重力和两手
对它的作用力，如图所示．为方便起见，把三个力画成共
将两个FN 分解为竖直方向和水平方向的分力FNy 和
FNx，如图所示，则有
G＝2FNy＝2FNcos53°， 可解得FN＝1 500 N.
方法二
将它们移到同一点，再把两个FN合成，得图
(1)定义：求一个已知力的分力，叫力的分解． (2)力的分解依据：力的分解是力的合成的逆运算． (3)力的分解原则： ①一个力分解为两个力，从理论上讲有无数组解．因
为同一条对角线可以构成的平行四边形有无穷多个(如图所
示)．
②在实际问题中一个力究竟该分解成怎样的两个力，
要看力的实际作用效果．具体求解方法： a．根据力F所产生的两个效果画出分力F1 和F2 的方 向． b．根据平行四边形定则用作图法求出分力F1 和F2 的
(1)矢量和标量 ①矢量：在物理学中，有大小、有方向，又遵循平行 四边形定则的物理量叫做矢量．我们学习过的矢量有力、 速度、加速度、位移等．
②标量：在物理学中，只有大小，没有方向的物理量
叫做标量．我们学习过的标量有质量、体积、路程等，标 量的运算法则是代数运算． ③平行四边形定则是矢量运算的普适法则
3．在不同情况下，作用在物体上的同一个力可以产
生 几个不同 的效果，如果没有其他限制，对于同一条对 角线，可以作出 无数个不同的平行四边形，也就是说，同 一个力F可以分解为 无数对大小、方向不同 的分力．
4．一切矢量相加都遵从 平行四边形定则 ．
5．把两个矢量首尾相接从而求出合矢量，这个方法 叫做 三角形定则 质 是一样 的． ．三角形定则与平行四边形定则的实
F1＝Gtanθ，F2＝G/cosθ.
对球2所受重力G来说，其效果有二：第一，使物体垂 直挤压挡板；第二，使物体压紧斜面．因此，其力的分解 如上图乙所示，由此可得两个分力的大小分别为：
F3＝Gsinθ F4＝Gcosθ. F1 1 所以挡板 A、B 所受压力之比为： ＝ ， F3 cosθ F2 1 斜面所受两个小球压力之比为： ＝ 2 . F4 cos θ
解析：当合力一定时，分力的大小和方向将随着分力
间夹角的改变而改变．两个分力间的夹角越大，分力也就 越大(如下图)．
刀、斧等工具正是利用了这一道理．将刀斧的刃做薄， 使其锋利；将其背适当做厚，使劈开物体的分力之间的夹 角较大，产生的分力也就越大．
解析：人和物体静止，所受合力皆为零，对物体分析
得到：绳的拉力F等于物重200N；人受四个力作用，将绳 的拉力分解，即可求解． 如图所示，将绳的拉力分解得： 水平分力
1 Fx＝Fcos60° ＝200× N＝100N. 2 竖直分力 3 Fy＝Fsin60° ＝200× N＝100 3N. 2
在 x 轴上，F′与 Fx＝100N 平衡， 即摩擦力 F′＝100N. 在 y 轴上，由三力平衡得地面对人支持力 FN＝G－Fy＝(500－100 3)N＝100(5－ 3)N.
坐标系x轴和y轴的选择应使尽量多的力在坐标轴上．
②正交分解各力：将每一个不在坐标轴上的力分解到 x轴和y轴上，并在图上注明，用符号Fx和Fy表示，如图所 示．
③在图上标出力与x轴或力与y轴的夹角，然后列出Fx、 Fy的数学表达式，与两轴重合的力不需要分解．
④分别求出x轴、y轴上各力的分力的合力，即：
解析：已知合力大小、方向其分力可能有无数多组，
A错．若已知两分力大小、方向，根据平行四边形定则， 其合力为确定值，B对．若分力确定后，可应用平行四边 形定则，求总的合力，C对．合力为确定值，若两分力的 方向与合力在同一直线上，则两分力可能有无数组解，D
错.
如下图所示，光滑斜面的倾角为θ，有两个相同的 小球，分别用光滑挡板A、B挡住，挡板A沿竖直方向，挡 板B垂直斜面，则两挡板受到小球压力大小之比为 ________，斜面受到的两个小球压力的大小之比为
帆船遇到逆风的时候，只要操纵得当就能从逆风那里
得到前进的动力，“顶”风破浪，照样能高速前进．你知 道这其中的奥妙吗？
1．求一个力的分力叫做 力的分解 ．
2．力的分解是
力的合成
的逆运算．同样遵守 ，
平行四边形 定则．把一个已知力F作为平行四边形的对 角线，那么，与力F共点的平行四边形的 两个邻边 就表示力F的两个 分力F1、F2 .
答案：1∶cosθ，1 ∶ cos2θ
点评：要根据重力G产生的实际效果进行分解． 本题中两档板放置的方位不同，重力的分力大小和方 向也就不一样．
三段不可伸长的细绳OA、OB和OC能承受的最大拉
力相同，它们共同悬挂一重物，如下图所示．其中OB是水 平的，A端、B端固定，若逐渐增加C端所挂物体的质量， 则最先断的绳是 A．必定是OA ( )
解析：本题采用图示法和三角形知识进行分析，从力
F的端点O作出分力F1的方向，以F的另一端为圆心，用另 一分力F2的大小为半径作圆． (1)若F2<Fsinθ，圆与F1 不相交，则无解，如图(a)所 示．
(2)若F2 ＝Fsinθ，圆与F1 相切，即只有一解，如图(b)
所示．
(3)若F>F2>Fsinθ，圆与F1相割，可得两个三角形，应 有两个解，如图(c)所示． (4)若F2>F，圆与F作用线相交一个点，可得一个三角 形，还是一解．如图(d)所示．
一人通过箱带拉着一个旅行箱前进，拉力是12N，箱带与
水 平 面 夹 角 是 30° ， 该 拉 力 的 水 平 分 力 的 大 小 为 ________N，竖直分力的大小为________N.
F F 答案：①F1＝ F2＝ sinθ cosθ ②G1＝Gsin θ ③6 3 3 G2＝G· cosθ
B．必定是OB
C．必定是OC D．可能是OB也可能是OC 答案：A
解析：选O点为研究对象．审题知O点处于静止状态， O点受力的合力为0.做受力图如图．平移后得静力平衡三角 形．
所以由静力平衡三角形知，FA 、FB 和FC 中FA 最大，
故首先断的绳为OA，故选A.
如图，重力为500N的人通过跨过定滑轮的轻绳牵引 重200N的物体，当绳与水平面成60°角时，物体静止，不 计滑轮与绳的摩擦．求地面对人的支持力和摩擦力．
方向相反．由于FN1 、FN2间的夹角很大，因此，FN1、FN2
比其合力要大得多，所以FN1、FN2比G大的多(在平皮带中 FN＝G)．由此可知，它们之间的静摩擦力的最大值也要大 得多．
我们不可能直接用双手把一段圆木掰成两半，但若
我们使用斧子，就很容易将圆木向两边劈开(如下图)．仔 细观察你会发现，斧子的横截面就像是两个背靠背粘合在 一起的斜面．斧子这种独特的形状能够将一个较小的力分 解成两个较大的分力．想一想，这是什么原因呢？
将B一端逐渐抬起，直至字典刚可滑动，记下这时大书斜 面的倾角θ1，如图中(a)所示，设字典质量为m，则此时字 典与大书本间的最大静摩擦力Fμ＝mgsinθ1.
(a)
(b)
(2)模拟三角皮带的情况：如图中(b)，把小字典跨放在 大书本的书脊上，同样将大书本的一端抬高，至小字典刚
要滑动为止，设书脊与水平面的夹角为θ2，则最大静摩擦
④三角形定则：把两个矢量首尾相接与它们的合矢量
组成一个三角形，从而求出合矢量，这个方法叫做三角形 定则 a．两个矢量首尾相接，从第一个矢量的始端指向第 二个矢量末端的有向线段就表示合矢量的大小和方向．如
下图
b．推论：三个力合成时，若每两个力都首尾相接地
组成三角形，则三力合力为零．如下图所示．
把一个力F分解成两个分力F1，F2，已知一个分力F1 的方向和另一个分力F2的大小，它的解 A．一定是惟一解 C．可能无解 ( ) B．可能有惟一解 D．可能有两个解
所示的菱形，加一条辅助线后得到四个直角三角形，所以 G 2 900 F N＝ ＝ N＝1 500 N. cos53° 0.6
工厂里常用三角皮带传递动力，而很少使用平皮带， 为研究其中的原因，某同学选用两本硬质面的书，一本小 字典A，一本稍大的精装书B，用与书内页相同的纸在这两 本书外作为封面．
(1)模拟平皮带的情况：把小字典A平放在大书B上，