量子力学的表象与表示

第五章 量子力学的表象与表示

§5.1 幺正变换和反幺正变换

1, 幺正算符定义

对任意两个波函数)(r ϕ、)(r

ψ，定义内积

r d r r

)()(),(ψϕψϕ*⎰=

(5.1)

按第一章中所说，(5.1)式的含义是：当微观粒子处在状态()r

ψ时，找

到粒子处在状态()r

ϕ的概率幅。 依据内积概念，可以定义幺正算符如下：

“对任意两个波函数ϕ、ψ，如果算符 U

恒使下式成立 ),()ˆ,ˆ(ψϕψϕ=U U

(5.2) 而且有逆算符1ˆ-U

存在，使得I U U U U ==--11ˆˆˆˆ1，称这个算符U ˆ为幺正算符。”

任一算符A

ˆ的厄米算符+A ˆ定义为：+A ˆ在任意ϕ、ψ中的矩阵元恒由下式右方决定

ˆˆ(,)(,)A

A ϕψϕψ+= (5.3) 由此，幺正算符U

ˆ有另一个等价的定义： “算符U

ˆ为幺正算符的充要条件是 I U U U U

==++ˆˆˆˆ (5.4a) 或者说

1ˆˆ-+=U U

。” (5.4b) 证明：若),()ˆ,ˆ(ψϕψϕ=U U

成立，则按+U ˆ定义， ),ˆˆ()ˆ,ˆ(),(ψϕψϕψϕU U U U

+== 由于ϕ、ψ任意，所以

I U U

=+ˆˆ 又因为U

ˆ有唯一的逆算符1ˆ-U 存在，对上式右乘以1ˆU -，即得 1ˆˆU

U +-= 这就从第一种定义导出了第二种定义。类似，也能从第二种定义导出第一种定义。从而，幺正算符的这两种定义是等价的。

2, 幺正算符的性质

幺正算符有如下几条性质：

i, 幺正算符的逆算符是幺正算符

证明：设 1-+=U U ， 则()()(),1

11--+++-===U U U U 所以1-U 也是幺正

1

这里强调了 U

-1

既是对 U

右乘的逆又是对 U 左乘的逆。和有限维空间情况不同，无限维空间情况下，任一算符 U

有逆算符的三种情况：1）有一个左逆算符和无穷多个右逆算符；2）有一个右逆算符和无穷多个左逆算符；3）有一个左逆算符和一个右逆算符，并且它俩相等，唯有此时可简单地写为 U

-1

。

算符。

ii, 两个幺正算符的乘积算符仍是幺正算符.

证明：设U

ˆ、V ˆ是两个幺正算符，则 ()111ˆˆˆˆˆˆ()UV

V U V U UV -+++--=== 所以V U

ˆˆ也是个幺正算符。 iii, 若一个幺正算符U ˆ和单位算符I 相差一无穷小，这个幺正算符被

称为无穷小幺正算符。这时U

ˆ可记为 F i U

ˆ1ˆε-= (5.5a) ε为一个无穷小参数。于是U

ˆ的逆算符(准确到ε的一阶，以下同)为 +-+=F i U

ˆ1ˆ1ε (5.5b) 利用U

ˆ的幺正性, 1)ˆˆ(1)ˆ1)(ˆ1(ˆˆ=-+=-+=+++F F i F i F i U U

εεε 得到等式

F F

ˆˆ=+ (5.6) 这说明，如将一个无穷小幺正算符U

ˆ表示为上述形式，则其中的F ˆ为厄米算符。F

ˆ也常称为幺正算符U ˆ的生成元。于是，按以下方式可以用厄米算符 Ω

构造出一个幺正算符U ˆ ()Ω∞

=≡Ω=∑ˆ

i n n n e ˆi !

n U ˆαα01 (5.7)

这里，α为任意实数。

3, 幺正变换

幺正算符给量子系统带来的变换称为幺正变换。具体地讲，一个幺正算符对量子系统的幺正变换包括对态的和对算符的两方面的内容：

对波函数： )(ˆU U ψψ≡; (5.8a) 对力学量算符： )(1ˆˆˆˆU U U

Ω≡Ω-. (5.8b) 这两种变换必须配合使用，以保证任意概率幅在变换之后不改变，

),()ˆ,()()()(U U U ψϕψϕΩ=Ω

(5.9) 这可以检验：右边)ˆ,()ˆ,ˆˆ()ˆˆ,ˆ()ˆˆˆˆ,ˆ(1ψϕψϕψϕψϕΩ=Ω=Ω=⋅Ω=+-U U U U U U U U 。

例如，对一个量子系统施以三维富里叶积分变换：波函数)()(p r ψψ→和算符)(ˆ)(ˆp r Ω→Ω，正是下节常说的由坐标表象向动量表象变换，便是一种幺正变换。这时

3/2ˆ(2)i p r dr U e π-⋅=⎰

(5.10a)

13/2

ˆ(2)i r p dp U e π⋅-=⎰

(5.10b) 注意，这里算符U ˆ是一种积分变换，其中，r 为积分变数，p 为参量。

因此当U ˆ和后面的算符或坐标函数作乘积运算时，r 必须和后面（算符或坐标函数）的自变量取成相同并对其求积分，p

作为参量保持不变

（因此，p 类似于矩阵乘积中的行标——保持固定，而r

则是它的列标

——与后面取一致并求和）；1ˆ-U 的作用则相反，p 为积分变数，r 为参

量（此时r 为行标，p

为列标）。在多个算符连乘的运算中，中间的积分变数的记号必须注意相互区别，以避免混乱。比如

()3/2

ˆ()()(2)

i p r dr p U r e r ψψψπ-⋅==⎰

(5.11a)

()13/2ˆ()()(2)i r p dp r U p e p ψψψπ⋅-==⎰

(5.11b)

ˆˆ'⋅⋅'⋅⎰⎰

i i -p r r p -1h h 3/23/2

dr dp UU =e e (2πh)(2πh) '⋅'⋅''⋅⎰⎰

⎰

i -(p-p )r h 3

dr

=dp e (2πh)=dp δ(p -p )

(5.12) 这说明，算符1-UU 将任意动量函数()p ' ψ变为同一函数()p

ψ，是一个

恒等变换。还有，

m p U ˆm p ˆU ˆ222

12 =- （5.13） p i U ˆr ˆU ˆ∇=- 1 (5.14)

由(5.13)和(5.14)式又可以得到

)p (m

p )r (U ˆU ˆm p ˆU ˆ)r (m

p ˆU ˆ

ψψψ2222122

=⋅=⋅- (5.15)

（5.15）式也可以换一种算法——作直接变换来得到，即

ˆˆ⋅⋅⋅⎰ i 22-p r h 3/2p dr -U ψ(r)=e Δψ(r)2m (2π)2m

})()(){2()

2(122/3⎰⎰⎰⋅-⋅-⋅∇⋅+⋅∇-=r d e r p i d r e m r p i r p i

ψσψπ ⋅⎰

i 22-p r 2h 3/2-i dr p =()(p)ψ(r)e =ψ(p)2m (2π)2m

由（5.13）和（5.14）式可知，在 U 的变换下，Hamilton 量)(2ˆˆ2r V m

p H +=改变成为)i (V m

p H ˆp

∇+= 22

。这里利用了无穷远处粒子密度为零的边条件，确切些说，利用了动量算符的厄米性条件（参见第一章第四节）。

应当强调指出，量子体系在任一幺正变换下不改变它的全部物理内容。这个“全部物理内容”包括：基本对易规则、运动方程、全部力

学量算符方程、全部概率幅。比如，容易检验：基本对易规则在U

ˆ变换下确实是保持不变的，

i x p p x x p p x

U U U U =-=⋅-⋅)()()()(ˆˆˆˆ (5.16)