量子力学的表象与表示

第五章 量子力学的表象与表示§5.1 幺正变换和反幺正变换1, 幺正算符定义对任意两个波函数)(r ϕ、)(rψ，定义内积r d r r)()(),(ψϕψϕ*⎰=(5.1)按第一章中所说，(5.1)式的含义是：当微观粒子处在状态()rψ时，找到粒子处在状态()rϕ的概率幅。

依据内积概念，可以定义幺正算符如下：“对任意两个波函数ϕ、ψ，如果算符 U恒使下式成立 ),()ˆ,ˆ(ψϕψϕ=U U(5.2) 而且有逆算符1ˆ-U存在，使得I U U U U ==--11ˆˆˆˆ1，称这个算符U ˆ为幺正算符。

”任一算符Aˆ的厄米算符+A ˆ定义为：+A ˆ在任意ϕ、ψ中的矩阵元恒由下式右方决定ˆˆ(,)(,)AA ϕψϕψ+= (5.3) 由此，幺正算符Uˆ有另一个等价的定义： “算符Uˆ为幺正算符的充要条件是 I U U U U==++ˆˆˆˆ (5.4a) 或者说1ˆˆ-+=U U。

” (5.4b) 证明：若),()ˆ,ˆ(ψϕψϕ=U U成立，则按+U ˆ定义， ),ˆˆ()ˆ,ˆ(),(ψϕψϕψϕU U U U+== 由于ϕ、ψ任意，所以I U U=+ˆˆ 又因为Uˆ有唯一的逆算符1ˆ-U 存在，对上式右乘以1ˆU -，即得 1ˆˆUU +-= 这就从第一种定义导出了第二种定义。

类似，也能从第二种定义导出第一种定义。

从而，幺正算符的这两种定义是等价的。

2, 幺正算符的性质幺正算符有如下几条性质：i, 幺正算符的逆算符是幺正算符证明：设 1-+=U U ， 则()()(),111--+++-===U U U U 所以1-U 也是幺正1这里强调了 U-1既是对 U右乘的逆又是对 U 左乘的逆。

和有限维空间情况不同，无限维空间情况下，任一算符 U有逆算符的三种情况：1）有一个左逆算符和无穷多个右逆算符；2）有一个右逆算符和无穷多个左逆算符；3）有一个左逆算符和一个右逆算符，并且它俩相等，唯有此时可简单地写为 U-1。

算符。

ii, 两个幺正算符的乘积算符仍是幺正算符.证明：设Uˆ、V ˆ是两个幺正算符，则 ()111ˆˆˆˆˆˆ()UVV U V U UV -+++--=== 所以V Uˆˆ也是个幺正算符。

iii, 若一个幺正算符U ˆ和单位算符I 相差一无穷小，这个幺正算符被称为无穷小幺正算符。

这时Uˆ可记为 F i Uˆ1ˆε-= (5.5a) ε为一个无穷小参数。

于是Uˆ的逆算符(准确到ε的一阶，以下同)为 +-+=F i Uˆ1ˆ1ε (5.5b) 利用Uˆ的幺正性, 1)ˆˆ(1)ˆ1)(ˆ1(ˆˆ=-+=-+=+++F F i F i F i U Uεεε 得到等式F Fˆˆ=+ (5.6) 这说明，如将一个无穷小幺正算符Uˆ表示为上述形式，则其中的F ˆ为厄米算符。

Fˆ也常称为幺正算符U ˆ的生成元。

于是，按以下方式可以用厄米算符 Ω构造出一个幺正算符U ˆ ()Ω∞=≡Ω=∑ˆi n n n e ˆi !n U ˆαα01 (5.7)这里，α为任意实数。

3, 幺正变换幺正算符给量子系统带来的变换称为幺正变换。

具体地讲，一个幺正算符对量子系统的幺正变换包括对态的和对算符的两方面的内容：对波函数： )(ˆU U ψψ≡; (5.8a) 对力学量算符： )(1ˆˆˆˆU U UΩ≡Ω-. (5.8b) 这两种变换必须配合使用，以保证任意概率幅在变换之后不改变，),()ˆ,()()()(U U U ψϕψϕΩ=Ω(5.9) 这可以检验：右边)ˆ,()ˆ,ˆˆ()ˆˆ,ˆ()ˆˆˆˆ,ˆ(1ψϕψϕψϕψϕΩ=Ω=Ω=⋅Ω=+-U U U U U U U U 。

例如，对一个量子系统施以三维富里叶积分变换：波函数)()(p r ψψ→和算符)(ˆ)(ˆp r Ω→Ω，正是下节常说的由坐标表象向动量表象变换，便是一种幺正变换。

这时3/2ˆ(2)i p r dr U e π-⋅=⎰(5.10a)13/2ˆ(2)i r p dp U e π⋅-=⎰(5.10b) 注意，这里算符U ˆ是一种积分变换，其中，r 为积分变数，p 为参量。

因此当U ˆ和后面的算符或坐标函数作乘积运算时，r 必须和后面（算符或坐标函数）的自变量取成相同并对其求积分，p作为参量保持不变（因此，p 类似于矩阵乘积中的行标——保持固定，而r则是它的列标——与后面取一致并求和）；1ˆ-U 的作用则相反，p 为积分变数，r 为参量（此时r 为行标，p为列标）。

在多个算符连乘的运算中，中间的积分变数的记号必须注意相互区别，以避免混乱。

比如()3/2ˆ()()(2)i p r dr p U r e r ψψψπ-⋅==⎰(5.11a)()13/2ˆ()()(2)i r p dp r U p e p ψψψπ⋅-==⎰(5.11b)ˆˆ'⋅⋅'⋅⎰⎰i i -p r r p -1h h 3/23/2dr dp UU =e e (2πh)(2πh) '⋅'⋅''⋅⎰⎰⎰i -(p-p )r h 3dr=dp e (2πh)=dp δ(p -p )(5.12) 这说明，算符1-UU 将任意动量函数()p ' ψ变为同一函数()pψ，是一个恒等变换。

还有，m p U ˆm p ˆU ˆ22212 =- （5.13） p i U ˆr ˆU ˆ∇=- 1 (5.14)由(5.13)和(5.14)式又可以得到)p (mp )r (U ˆU ˆm p ˆU ˆ)r (mp ˆU ˆψψψ2222122=⋅=⋅- (5.15)（5.15）式也可以换一种算法——作直接变换来得到，即ˆˆ⋅⋅⋅⎰ i 22-p r h 3/2p dr -U ψ(r)=e Δψ(r)2m (2π)2m})()(){2()2(122/3⎰⎰⎰⋅-⋅-⋅∇⋅+⋅∇-=r d e r p i d r e m r p i r p iψσψπ ⋅⎰i 22-p r 2h 3/2-i dr p =()(p)ψ(r)e =ψ(p)2m (2π)2m由（5.13）和（5.14）式可知，在 U 的变换下，Hamilton 量)(2ˆˆ2r V mp H +=改变成为)i (V mp H ˆp∇+= 22。

这里利用了无穷远处粒子密度为零的边条件，确切些说，利用了动量算符的厄米性条件（参见第一章第四节）。

应当强调指出，量子体系在任一幺正变换下不改变它的全部物理内容。

这个“全部物理内容”包括：基本对易规则、运动方程、全部力学量算符方程、全部概率幅。

比如，容易检验：基本对易规则在Uˆ变换下确实是保持不变的，i x p p x x p p xU U U U =-=⋅-⋅)()()()(ˆˆˆˆ (5.16)关于全部概率幅不变是说应当有()()r pf f ϕψϕψ= (5.17) 这里，()r f ϕψ是粒子处在)(r ϕ态时，找到它处于)(rψ态的概率幅，即⎰*=r d r r f r)()()(ϕψϕψf 上标)(r表示它是在变换之前由坐标波函数算出的。

接着，系统经受幺正变换U ˆ：)()(p r ϕϕ→，)()(p r ψψ→，自变数成为p 。

于是变换之后，这个概率幅应当表示为⎰*=p d )p ()p (f )p (ϕψϕψ现在来证明(5.17)式：实际上，()()()()()ϕϕ'⋅⋅''⎡⎤⎣⎦⎰⎰i i p r -p r**232dr dr dp ψp p =dp ψr r e2π ⎰'-''=*)r r ()r ()r (r d r dδϕψ)r (f )r ()r (r d ϕψϕψ==⎰*这表明任何概率幅的确没变。

反过来也可以说，两个量子体系，如能用某个幺正变换联系起来，它们在物理上就是等价的。

这里，“物理上等价”的含义是从实验观测的角度说的。

就是说，如果全部可观测力学量在两个系统中的观测值以及得到这些值的概率都对应相等，就说这两个系统在物理上是等价的，可以认为它们在物理上是相同的。

因为从实验观点来看，它们之间已无区别。

※4, 反幺正变换反幺正变换的全名是反线性的幺正变换。

为阐述其内容，我们先定义反线性算符。

一个反线性算符 A满足 ψβϕαβψαϕA A Aˆˆ)(ˆ**+=+ (5.18) 这里α、β为任一复常数，ϕ、ψ为任意波函数。

就是说，如将某一常数抽出算符作用之外，需要对它取复数共轭。

这是与线性算符唯一的然而是极本质的差别。

反线性算符 A的厄米共轭算符 A +的定义是 )ˆ,(),ˆ()ˆ,(ϕψψϕψϕ+*+==A A A(5.19) 这里，为了使定义在逻辑上自洽，中间这个内积必须要有复数共轭。

可作如下检查即知这一点是必须的：设想从内积的ϕ或ψ中抽出一个复数常系数。

反线性的幺正算符Aˆ(反幺正算符)定义为 )ˆ,(),ˆ()ˆ,(11ϕψψϕψϕ-*-==A A A(5.20) 根据这个定义，立即知道，对反幺正算符也有1ˆˆ-+=A A(5.21)这导致I A A A A==++ˆˆˆˆ。

这和幺正算符相同。

反线性算符的进一步叙述参见附录一。

§5.2 量子力学的Dirac 符号表示1, Dirac 符号先从三维空间中对任一矢量的表示方法说起。

众所周知，所有同类三维矢量的线性组合构成了三维空间。

为了表示这个空间中的任一矢量，可以在三维空间中事先选定一个坐标系(比如某个笛卡儿坐标)，于是任一矢量A 在这个坐标系中便由相应的三个数(是A与坐标轴单位矢量i e的标积，也称为这个矢量在这个坐标系中的分量3,2,1,==⋅i A e A i i)来表示。

于是，标积、矢积、微分等各种运算便转化为对相应坐标进行数值运算。

通常，三维空间任一矢量的表示方法依赖于坐标系（也即基矢）的选取。

但是，也可以不选取任何基矢，而只直接就将这些矢量写作为A 、B、......，并利用标积B A ⋅、矢积B A ⨯等等，形式地表示对它们的代数运算或微积分运算。

由于这种描述不依赖于基矢即笛卡儿坐标的选取，所以它是一种抽象的、普适的表示方法。

在量子力学中，按照态叠加原理，一个量子体系的所有可能状态将构成一个线性空间，这个由全部状态集合构成的线性空间通常称为Hilbert 空间。

体系的每一个状态对应于体系Hilbert 空间中的一个矢量，称为状态矢量，简称态矢。

所以状态Hilbert 空间又常称为态矢空间（或态空间）。

这个Hilbert 空间的范数便是状态之间的内积),(ψϕ=N 1。

在Hilbert 空间中，所有态矢都称为右矢，比如右矢A ，等等。

这里，记号A 是对此态矢的某种标记。

标记的办法以确切、简便为准。

比如用系统的好量子数组来标记（例如nlm ）；也可以用态矢的波函数(它和态矢的关系下面即将谈及)来标记，例如态矢nlm 可记为nlm ψ；如果要强调态矢随时间的变化，也可以记为()t nlm ψ；另外还有r ' ，p '等等。