导数的基本概念性质应用
导数与函数的关系及应用
导数与函数的关系及应用导数是微积分中一个重要的概念，它描述了函数在某一点上的变化率。
导数不仅与函数的性质息息相关，而且在实际问题中有着广泛的应用。
本文将探讨导数与函数的关系，以及导数在各个领域中的应用。
一、导数的定义及性质在微积分中，函数在某一点上的导数表示函数在该点的瞬时变化率。
对于函数f(x)，在区间内一点a上的导数可以用极限表示：f'(a) = lim(x→a) (f(x) - f(a))/(x - a)其中lim表示极限，f'(a)表示函数f(x)在点a处的导数。
导数具有一些重要的性质：1. 导数表示了函数的斜率：函数的导数代表了函数曲线在某一点上的斜率，可以帮助我们理解函数曲线的变化趋势。
2. 导数与函数的图像：通过导数的正负性可以推断函数在不同区间的递增和递减性。
3. 导数与函数的极值点：函数在极值点处的导数为零，通过导数可以判断函数的极大值和极小值。
二、导数与函数的关系导数与函数的关系密不可分。
函数的导数可以告诉我们函数在某一点上的变化情况，并且可以帮助我们分析函数的性质。
1. 可导函数与连续函数：对于一个函数而言，如果它在某一点上的导数存在，则称该函数在该点可导。
可导函数一定是连续的，但连续函数不一定可导。
2. 一阶导数与高阶导数：除了一阶导数，也可以计算二阶导数、三阶导数等。
高阶导数描述了函数的变化率随着自变量变化而变化的快慢程度。
3. 反函数与导数：若函数f(x)在区间上可导且在某区间内连续且单调，则存在其反函数f^(-1)(x)，且两者的导数满足：(f^(-1))'(x) = 1/f'(f^(-1)(x))三、导数的应用导数在数学中有着广泛的应用，以下为几个常见的应用领域。
1. 最优化问题：导数可用于求解最值问题，例如求解函数的最大值、最小值、极大值、极小值等。
通过导数可以找到函数的可能极值点，并进一步求解最优化问题。
2. 函数图像的研究：导数可以帮助我们研究函数的图像特征，如函数的凹凸性、拐点、拐弯等。
导数的定义与性质解析
导数的定义与性质解析导数是微积分中的重要概念，它描述了函数的变化率。
在本文中，我们将探讨导数的定义、性质以及其在数学中的重要应用。
1. 导数的定义导数表示函数在某一点上的变化率。
对于函数y = f(x)，它在点x处的导数记作f'(x)或dy/dx。
导数的定义可以通过极限表示：f'(x) = lim(h->0) [f(x+h)-f(x)]/h。
2. 导数的性质导数具有以下几个重要的性质：- 导数存在性：函数在某一点上导数存在的充分必要条件是函数在该点可导。
- 导数与函数图像：函数在某一点导数存在，则函数在该点的图像有切线。
切线的斜率即为导数的值。
- 导数与连续性：若函数在某点可导，则函数在该点连续。
- 导数的四则运算：若f(x)和g(x)在某点可导，则[f(x) ± g(x)]' = f'(x) ± g'(x)；[f(x)g(x)]' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)；[f(x)/g(x)]' = [f'(x)g(x) -f(x)g'(x)]/g^2(x)（其中g(x) ≠ 0）。
- 链式法则：若y = f(g(x))，其中f(u)和g(x)分别可导，则y' = f'(g(x)) * g'(x)。
3. 导数的应用导数在数学和实际问题中都有广泛的应用，其中包括：- 切线与法线：导数可以求得函数曲线在某点的切线和法线，从而帮助我们研究函数图像的特性。
- 极值与拐点：函数在极值点导数为零，通过导数可以判断函数的最大值、最小值和拐点。
- 函数图像的草图：通过导数可确定函数图像的趋势、拐点以及关键点，有助于绘制函数的草图。
- 物理学应用：导数在物理学中常用于描述速度、加速度以及变化率等问题。
综上所述，导数是函数变化率的重要工具，通过导数的定义与性质，我们可以深入理解函数的特性与行为。
导数的基本概念与性质知识点总结
导数的基本概念与性质知识点总结导数是微积分中的一项重要概念，它描述了函数在某一点处的变化率。
在这篇文章中，我们将介绍导数的基本概念以及它的一些重要性质。
一、导数的定义导数描述了函数在某一点处的变化率，可以想象成函数曲线在该点处的切线斜率。
设函数y=f(x)，在点x=a处有导数的充分必要条件是：f'(a) = lim(x→a) (f(x)-f(a))/(x-a)其中lim表示极限。
这个定义告诉我们，导数可以通过极限的方式来求得。
二、用导数求函数的极值导数在微积分中有着重要的应用，其中一个重要的应用是求函数的极值。
一个函数在某一点的导数为零，说明在该点处函数取得极值。
具体而言，如果函数在某一点的导数为零，且在该点的导数的左右两侧的值符号不同，那么该点即为函数的极值点。
三、导数的四则运算导数具有很多运算特性，这使得我们能够更轻松地对函数进行分析。
导数的四则运算规则如下：1. 常数规则：如果c是常数，f(x)=c，则f'(x)=0。
2. 基本初等函数规则：对于基本初等函数来说，我们可以直接通过求导公式得到它们的导数。
例如，对于常数函数f(x)=c，它的导数为0；对于幂函数f(x)=x^n，它的导数为f'(x)=nx^(n-1)。
3. 和差规则：如果f(x)和g(x)都是可导的函数，那么它们的和（差）的导数等于各自函数的导数之和（差）。
即(f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)。
4. 乘积规则：如果f(x)和g(x)都是可导的函数，那么它们的乘积的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数再加上第一个函数乘以第二个函数的导数。
即(fg)'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)。
5. 商法则：如果f(x)和g(x)都是可导的函数，那么它们的商的导数等于分子函数的导数乘以分母函数再减去分子函数乘以分母函数的导数，再除以分母函数的平方。
导数的定义及其应用领域
导数的定义及其应用领域导数是微积分学中的重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。
导数的定义和性质被广泛地应用在物理、工程、经济学等领域中。
本文将简要介绍导数的定义，以及它在不同领域的应用。
一、导数的定义导数可以理解为函数的瞬时变化率。
对于函数f(x)，在点x处的导数表示为f'(x)或df(x)/dx。
导数的定义可以通过极限来描述，即f'(x) = lim┬(h→0)〖((f(x+h)-f(x))/h)〗，其中h是趋于0的增量。
二、导数的性质导数具有多个重要性质，其中一些常见的性质包括：1. 导数可以用于判断函数的单调性。
如果在某个区间内，函数的导数始终为正（或负），则该函数在该区间内单调增加（或减少）。
2. 导数可以用于求解函数的最大值和最小值。
函数在极值点处的导数为零或不存在。
3. 导数满足乘法规则、和差规则和链式法则等运算规则，使得我们可以方便地计算复杂函数的导数。
三、导数的应用领域1. 物理学中的运动学导数在物理学中的运动学方程中起着关键作用。
例如，速度可以定义为物体位移关于时间的导数，加速度则是速度关于时间的导数。
通过求解导数，我们可以推导出各种运动的速度、加速度和位移关系，从而更好地理解物体的运动规律。
2. 工程学中的控制系统导数在工程学中的控制系统中经常被使用。
例如，在机械工程中的控制系统中，导数可以表示速度或者加速度的变化。
这对于设计和分析各种控制系统非常重要，从而提高系统的稳定性和响应度。
3. 经济学中的边际效应导数在经济学中的边际效应分析中起着关键作用。
例如，在经济学中，边际成本和边际收益可以通过求导来计算。
这对于制定合理的经济政策和决策具有重要意义。
4. 生物学中的生态模型导数在生物学中的生态模型中也有广泛应用。
生态学家利用导数来描述物种数量的变化速率，从而研究生态系统的稳定性和动态性。
导数的计算帮助我们理解和预测生物多样性和种群变化等重要生物学现象。
5. 金融学中的风险管理导数在金融学中的风险管理中也起着重要作用。
导数的定义与性质
导数的定义与性质导数，是微积分中一个重要的概念，用于描述函数在某一点处的变化率。
它在数学和物理等领域中具有广泛的应用。
本文将介绍导数的定义与性质，以帮助读者更好地理解和运用导数。
一、导数的定义导数，通常用符号"f'(x)"或"dy/dx"表示，表示函数f(x)在某一点x处的变化率。
具体地说，导数定义为以下极限：f'(x) = lim┬(h→0)〖(f(x+h)-f(x))/h〗其中，h为自变量x的增量。
这个极限表示当h趋近于0时，函数f(x)在点x处的变化率的极限值。
二、导数的几何意义导数可以给出函数图像的切线斜率。
在函数图像上任意一点x处，函数的导数等于切线的斜率。
这是因为在极小的增量h内，函数值的变化就近似于切线的斜率。
三、导数的计算1. 基本导数公式：可以通过基本导数公式计算导数，例如：常数函数（f(x)=c）的导数为0；幂函数（f(x)=x^n）的导数为f'(x)=nx^(n-1)；指数函数（f(x)=a^x，其中a>0）的导数为f'(x)=a^x * ln(a)；对数函数（f(x)=logₐ(x)，其中a>0且a≠1）的导数为f'(x)=1/(x *ln(a))；三角函数的导数为f'(x)=cos(x)、f'(x)=-sin(x)等。
2. 导数运算法则：导数具有一系列运算法则，包括常数倍数法则、加减法则、乘法法则、除法法则、复合函数法则等。
通过运用这些法则，可以计算复杂函数的导数。
四、导数的性质导数具有许多重要的性质，如下所示：1. 导数存在性：如果函数在某一点处可导，则该点处一定存在导数。
但是反过来并不一定成立，存在函数在某点的导数不存在的情况。
2. 函数连续性与可导性：如果函数在某一点可导，则该点处函数一定连续。
但是反过来也不一定成立，存在函数在某点连续但导数不存在的情况。
导数的基本运算与应用
导数的基本运算与应用导数是微积分中的重要概念，通过研究函数在某点附近的变化率，可以帮助我们了解函数的性质和行为。
导数的基本运算包括求导法则，而导数的应用则广泛涉及到各个领域，例如物理、经济学和工程学等。
本文将探讨导数的基本运算和应用，帮助读者更好地理解和运用导数。
一、导数的定义和求导法则导数的定义是函数在某一点处的变化率，可以用极限的方式来表示。
对于函数f(x)，它在点x处的导数可以表示为f'(x)或者dy/dx。
求导法则是求导数的一些基本规则，下面是几个常用的求导法则：1. 常数法则：如果f(x) = c，其中c是一个常数，那么f'(x) = 0。
2. 幂函数法则：如果f(x) = x^n，其中n是正整数，那么f'(x) =nx^(n-1)。
3. 和差法则：如果f(x) = g(x) ± h(x)，那么f'(x) = g'(x) ± h'(x)。
4. 乘积法则：如果f(x) = g(x)h(x)，那么f'(x) = g'(x)h(x) + g(x)h'(x)。
5. 商法则：如果f(x) = g(x)/h(x)，那么f'(x) = [g'(x)h(x) -g(x)h'(x)]/h(x)^2。
6. 链式法则：如果f(x) = g(h(x))，那么f'(x) = g'(h(x))h'(x)。
通过使用求导法则，我们可以计算更复杂函数的导数。
然而，在应用导数之前，我们需要了解导数的物理意义和实际应用。
二、导数的物理意义导数不仅是函数的变化率，还可以表示函数的斜率。
对于函数y=f(x)，导数f'(x)可以表示曲线在某一点的切线斜率。
在物理学中，速度和加速度的概念可以通过导数来描述。
例如，我们考虑一个物体的位移函数x(t)，其中t表示时间。
物体的速度可以表示为x'(t)，即位移函数的导数。
导数的定义及其应用
导数的定义及其应用导数是微积分中一个非常重要的概念，它在自然科学、工程学、经济学等多个领域都有广泛的应用。
本文将从导数的定义、导数的计算方法和导数的应用三个方面进行论述。
一、导数的定义导数是函数在某个点上的变化率，它描述了函数在一点附近的斜率，可以表示为函数在该点的极限。
具体地说，如果函数$f(x)$在点$x_0$处可导，那么它的导数为：$$f'(x_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$$其中$h$为趋近于$0$的实数。
如果这个极限存在，则称$f(x)$在$x_0$处可导。
例如，求函数$f(x)=x^2$在$x=2$处的导数，我们可以将$x_0=2$代入上式，得到：$$f'(2)=\lim_{h\to0}\frac{(2+h)^2-2^2}{h}=\lim_{h\to0}(4+4h+h^2)/h=4$$因此，$f(x)=x^2$在$x=2$处的导数为$4$。
二、导数的计算方法导数的计算方法有很多种，这里介绍三种常用的方法。
1. 用定义式计算。
根据导数的定义，我们可以将函数在某个点的导数表示为极限，通过计算该极限来求出导数的值。
这种方法往往比较繁琐，适用于简单函数或需要进行特殊推导的函数。
2. 利用导数的性质计算。
导数具有很多有用的性质，如加减法、乘法、链式法则等，可以帮助我们快速计算导数。
例如，对于两个函数$f(x)$和$g(x)$，它们的和函数$(f+g)(x)$的导数为$f'(x)+g'(x)$，积函数$(f\cdot g)(x)$的导数为$f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$，以及由复合函数$u(x)=f(g(x))$构成的函数$v(x)=u'(x)=f'(g(x))g'(x)$的导数等等。
3. 利用数值计算方法计算。
数值计算方法是一种近似计算导数的方法，常用的方法有差分法、牛顿-莱布尼茨公式、微分方程法等等。
导数的概念导数公式与应用
导数的概念导数公式与应用一、导数的概念导数是微积分中的重要概念之一，表示函数在其中一点处的变化率。
具体来说，对于函数f(x)，在点x处的导数可以用极限表示为：f'(x) = lim┬(Δx→0)〖(f(x+Δx) - f(x))/Δx 〗其中，Δx表示自变量x的一个增量。
导数表示了在自变量x发生微小变化的过程中，函数f(x)相应地发生的变化。
二、导数的公式1.常数的导数公式：如果f(x)=c是一个常数函数，其中c是常数，则f'(x)=0。
这是因为无论x如何变化，函数的值始终保持不变。
2.幂函数的导数公式：如果f(x)=x^n，其中n是任意实数，则f'(x)=nx^(n-1)。
3.指数函数的导数公式：如果f(x)=a^x，其中a>0且a≠1，则f'(x)=a^xln(a)。
这个公式表明指数函数的导数与指数函数的底数有关。
4.对数函数的导数公式：如果f(x)=logₐ(x)，其中a>0且a≠1，则f'(x)=1/((xln(a))。
5.三角函数的导数公式：- sin(x)的导数：(sin(x))'=cos(x)。
- cos(x)的导数：(cos(x))'=-sin(x)。
- tan(x)的导数：(tan(x))'=sec^2(x)。
6.反三角函数的导数公式：- arcsin(x)的导数：(arcsin(x))'=1/√(1-x^2)。
- arccos(x)的导数：(arccos(x))'=-1/√(1-x^2)。
- arctan(x)的导数：(arctan(x))'=1/(1+x^2)。
以及其他常用函数的导数公式，如指数函数、对数函数的复合函数求导法则等。
三、导数的应用导数作为一种变化率的度量，有许多实际应用。
1.切线与法线：通过计算函数的导数，可以求得函数曲线在特定点处的导数值，从而得到曲线上该点处的切线方程。
实变函数论中的导数性质及其应用
实变函数论中的导数性质及其应用在实变函数论中，导数是一个重要的概念，它描述了函数在某一点的变化率。
在这篇回答中，我将介绍导数的性质以及其在实际问题中的应用。
首先，导数具有以下一些重要的性质：1. 导数的定义：设函数f(x)在点x=a处可导，那么f(x)在点x=a处的导数定义为f'(a) = lim┬(h→0)〖(f(a+h)-f(a))/h〗。
这个定义描述了函数在某一点的瞬时变化率。
2. 可导函数的连续性：如果函数f(x)在点x=a处可导，那么f(x)在点x=a处连续。
这意味着函数在可导点处没有突变或跳跃。
3. 导数的四则运算法则：设函数f(x)和g(x)在点x=a处可导，那么有以下几个重要的式子：a) (cf)'(a) = cf'(a)，其中c是常数；b) (f+g)'(a) = f'(a) + g'(a)；c) (fg)'(a) = f'(a)g(a) + f(a)g'(a)；d) (f/g)'(a) = (f'(a)g(a) - f(a)g'(a))/[g^2(a)]，其中g(a)≠0。
4. 链式法则：设函数y=f(g(x))是由两个函数f(u)和g(x)复合而成，如果g(x)在点x=a处可导且f(u)在u=g(a)处可导，那么复合函数y=f(g(x))在点x=a处可导，且导数为dy/dx=f'(g(a))g'(a)。
有了以上导数的性质，我们可以将导数应用到多个实际问题中。
以下是导数在实际问题中的一些常见应用。
1. 切线与法线：导数描述了函数在某一点的瞬时变化率，因此可以用来求得切线的斜率。
给定一个函数f(x)，如果点P(x_1,f(x_1))在曲线上，那么切线方程为y=f'(x_1)(x-x_1)+f(x_1)。
法线则垂直于切线，斜率为-1/f'(x_1)。
2. 优化问题：在求解优化问题时，导数可以帮助我们确定函数的极值点。
导数的定义和基本性质解析
导数的定义和基本性质解析导数是微积分中一个重要的概念，对于研究函数的局部变化有着重要的作用。
在本文中，我们将解析导数的定义和基本性质，并探讨其在求解函数极值、切线方程等方面的应用。
一、导数的定义导数的定义最早由法国数学家拉格朗日提出，它描述了函数在某一点处的变化率。
设函数f(x)在点x=a处可导，则f(x)在x=a处的导数可表示为：f'(a) = lim┬(Δx→0)(f(a+Δx)-f(a))/Δx其中，Δx表示自变量x的增量，lim表示当Δx趋近于0时的极限值。
导数的定义可以通过斜率来理解。
当自变量x在a点做微小的增量Δx时，函数f(x)在x=a处的导数就是通过点(x=a,f(a))和(x=a+Δx,f(a+Δx))这两点连线的斜率。
二、导数的基本性质1. 常数的导数为0：如果f(x)是一个常数，那么f'(x)=0。
2. 线性性质：对于任意常数c和任意函数f(x)、g(x)，有(cf(x))' = cf'(x)和(f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)。
3. 乘法法则：如果f(x)和g(x)都在x=a处可导，则(f⋅g)'(a) =f'(a)⋅g(a) + f(a)⋅g'(a)。
4. 除法法则：如果f(x)和g(x)都在x=a处可导且g(a)≠0，则(f/g)'(a) = (f'(a)⋅g(a) - f(a)⋅g'(a))/[g(a)]²。
5. 链式法则：如果f(x)在x=g(x)处可导，而g(x)在x=a处可导，则复合函数(f∘g)(x)在x=a处可导，并且有(f∘g)'(a) = f'(g(a))⋅g'(a)。
三、导数的应用导数在微积分中有着广泛的应用。
以下是其中一些重要的应用：1. 求函数的极值：导数可以帮助我们确定函数的极大值和极小值。
高中数学导数的常用性质及相关题目解析
高中数学导数的常用性质及相关题目解析导数是高中数学中的重要概念，它在数学和物理等领域中都有广泛的应用。
本文将介绍导数的常用性质，并通过具体的题目解析来说明这些性质的应用。
一、导数的定义和基本性质导数表示函数在某一点处的变化率，它的定义是函数在该点的极限值。
设函数y=f(x)，则函数在x点的导数记作f'(x)或dy/dx。
导数的基本性质有：1. 常数函数的导数为0：若f(x)=c，其中c为常数，则f'(x)=0。
2. 幂函数的导数：若f(x)=x^n，其中n为正整数，则f'(x)=nx^(n-1)。
3. 指数函数的导数：若f(x)=a^x，其中a为正实数且不等于1，则f'(x)=a^xlna。
4. 对数函数的导数：若f(x)=log_a(x)，其中a为正实数且不等于1，则f'(x)=1/(xlna)。
5. 三角函数的导数：若f(x)=sinx、cosx、tanx等三角函数，则f'(x)=cosx、-sinx、sec^2x等。
二、导数的常用运算法则1. 和差法则：设f(x)和g(x)都可导，则有(f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)和(f-g)'(x)=f'(x)-g'(x)。
2. 常数倍法则：设f(x)可导，则有(cf)'(x)=cf'(x)，其中c为常数。
3. 乘法法则：设f(x)和g(x)都可导，则有(fg)'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)。
4. 商法则：设f(x)和g(x)都可导，且g(x)≠0，则有(f/g)'(x)=(f'(x)g(x)-f(x)g'(x))/[g(x)]^2。
三、导数在函数图像中的应用1. 函数单调性：若在[a,b]上f'(x)>0，则f(x)在[a,b]上单调递增；若f'(x)<0，则f(x)在[a,b]上单调递减。
导数的原理与应用
导数的原理与应用一、导数的定义•导数是微积分中的重要概念，用于描述函数在某点处的变化率。
•函数在某点处的导数，表示该点处函数曲线的切线斜率。
二、导数的计算方法1.利用极限–导数f′(x)可以通过极限 $f'(x) = \\lim_{\\Delta x \\to 0} \\frac{f(x+\\Delta x)-f(x)}{\\Delta x}$ 来计算。
–这种方法适用于所有类型的函数，但计算较为繁琐。
2.常用的导数公式–f(x)=C，其中C为常数，导数f′(x)=0。
–f(x)=x n，其中n为常数，导数f′(x)=nx n−1。
–$f(x)=\\sin(x)$ ，导数 $f'(x)=\\cos(x)$。
–$f(x)=\\cos(x)$ ，导数 $f'(x)=-\\sin(x)$。
三、导数的性质1.导数的可加性–若函数 f(x) 和 g(x) 都在某点处可导，则(f+g)′(x)=f′(x)+ g′(x)。
2.导数的乘法法则–若函数 f(x) 和 g(x) 都在某点处可导，则 $(f \\cdot g)'(x)=f'(x) \\cdot g(x)+f(x) \\cdot g'(x)$。
3.导数的链式法则–若函数 y=f(u) 和 u=g(x) 都在某点处可导，则 $(f \\circg)'(x)=f'(g(x)) \\cdot g'(x)$。
四、导数的应用1.切线和切线方程–导数可以描述函数曲线在某点处的切线斜率。
–切线方程为y=f′(x)(x−x0)+f(x0)，其中x0为切线与函数曲线的交点横坐标。
2.极值和拐点–导数可以用来判断函数的极大值、极小值和拐点。
–在导数图像中，极大值对应导数从正数到负数的转折点，极小值对应导数从负数到正数的转折点，拐点对应导数的极值点。
3.函数图像的性态–导数可以用来研究函数的递增、递减和凹凸性。
《导数的概念及应用》课件
极值与导数的关系
总结词
导数的零点通常是函数的极值点，但需 满足一定的条件。在极值点处，导数的 符号发生变化。
VS
详细描述
如果一个函数在某一点的导数为零，且在 这一点的一阶导数存在，那么这个点可能 是函数的极值点。为了确定这一点是否为 极值点，需要检查该点两侧的导数符号是 否发生变化。如果导数的符号在这一点从 正变为负或从负变为正，则该点为极值点 。
曲线的凹凸性与导数的关系
总结词
二阶导数可以判断曲线的凹凸性。二阶导数 大于零的区间内，曲线是凹的；二阶导数小 于零的区间内，曲线是凸的。
详细描述
二阶导数描述了函数值随自变量变化的加速 度。当二阶导数大于零时，表示函数在该区 间内单调递增；当二阶导数小于零时，表示 函数在该区间内单调递减。因此，通过分析 二阶导数的正负，可以判断曲线的凹凸性。
详细描述
在流体动力学中，导数可以用来描述流体速度和压强的变化规律，以及流体流动的稳定性分析。在结构分析中， 导数可以用来计算结构的应力和应变，评估结构的强度和稳定性。在控制理论中，导数可以用来分析系统的动态 响应和稳定性，优化系统的性能和稳定性。
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极值的概念
函数在某点的极值表示该点附近函数值的大小变化情 况，极值可以是极大值或极小值。
导数与极值的关系
函数在极值点的导数等于零，通过求导可以找到极值 点。
极值问题的求解方法
利用导数等于零的条件，结合函数单调性判断，确定 极值点并计算出极值。
曲线的长度计算
曲线长度的概念
01
曲线长度表示曲线本身的长度，是几何学中的一个基本概念。
导数的几何意义
总结词
导数在几何上表示函数图像在某一点的切线斜率。
函数的导数与导数应用知识点总结
函数的导数与导数应用知识点总结函数的导数是微积分中的重要概念，用来描述函数在某一点的变化率。
导数应用则是指在解决实际问题时利用导数的性质和计算方法进行分析和求解。
下面将对函数的导数与导数应用的知识点进行总结。
一、函数的导数函数的导数在数学中是指函数在某一点的变化率，可以用来描述函数的变化速度和曲线的陡峭程度。
导数常用符号表示为f'(x)，表示函数f(x)在点x处的导数。
1. 导数的定义函数f(x)在点x处的导数定义为：f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) - f(x)] / h，其中lim表示极限，h表示x的增量。
2. 导数的几何意义函数在某一点的导数等于该点切线的斜率，也就是函数曲线在该点处的斜率。
3. 导数的基本性质导数具有以下基本性质：- 函数常数的导数为0，即常数函数的导数为0。
- 导数的和差法则，即导数的和（差）等于各导数的和（差）。
- 导数的常数倍法则，即函数乘以一个常数后，导数等于该常数乘以原函数的导数。
- 导数的乘积法则，即两个函数的乘积的导数等于其中一个函数的导数乘以另一个函数加上另一个函数的导数乘以其中一个函数。
- 导数的商法则，即两个函数的商的导数等于分子函数的导数乘以分母函数减去分母函数的导数乘以分子函数，再除以分母函数的平方。
二、导数应用导数应用广泛应用于数学、物理、经济等领域，在解决实际问题时具有重要的意义。
以下是几个常见的导数应用知识点。
1. 最值问题导数可以用来求函数的最值问题，即求函数在一段区间上的最大值或最小值。
要求函数在区间内取得最值，需找到导数等于零或不存在的点，然后通过二阶导数的正负来判断最值是极大值还是极小值。
2. 函数图像的凹凸性和拐点导数可以用来分析函数图像的凹凸性和拐点。
当导数大于零时，函数图像凹向上，当导数小于零时，函数图像凹向下。
拐点是指函数图像由凹向上变为凹向下或由凹向下变为凹向上的点。
3. 斜率问题导数可以代表函数曲线在某一点处的斜率，因此可以用来分析曲线的特性和斜率问题。
高等数学中的导数及其应用
高等数学中的导数及其应用导数是高等数学中的重要概念，它是描述函数变化率的工具。
本篇文章将介绍导数的定义、性质以及它在数学和实际生活中的应用。
一、导数的定义和性质导数描述了函数在某一点上的变化率。
设函数y=f(x)，若函数在点x处有定义并且存在极限lim(x→x₀) [f(x)-f(x₀)]/(x-x₀)，则称该极限为函数f(x)在点x₀处的导数，记作f'(x₀)，也可表示为dy/dx|x=x₀。
导数也可以通过求导公式来计算，例如多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等都有特定的求导法则。
函数的导数具有一些重要的性质。
首先，常数函数的导数为零。
其次，导数满足加法性、乘法性和链式法则。
加法性指的是导数的和等于各导数的和，乘法性指的是导数的乘积等于某一函数的导数与另一函数的值的乘积。
链式法则是导数运算中常用的规则，它描述了复合函数的导数与原函数的导数之间的关系。
二、导数的应用导数在数学和实际生活中具有广泛的应用。
下面我们将介绍其中的一些应用。
1. 函数的极值函数的导数可以用来确定函数的极值。
对于给定函数f(x)，如果在某一点x₀处导数为零或者不存在，那么该点上可能存在极值。
通过分析函数的导数和二阶导数可以判断该极值是极大值还是极小值。
这在优化问题、经济学等领域中具有重要意义。
2. 曲线的切线和法线导数也可以用来求解曲线的切线和法线。
对于二维平面上的曲线，曲线在某一点处的切线斜率为该点处函数的导数。
在求出切线斜率后，可以通过给定点和切线斜率的方程，求解出切线方程。
法线则是与切线垂直的线，其斜率为切线斜率的负倒数。
3. 变化率和速度导数可以用来描述函数的变化率。
在实际生活中，我们经常需要计算某一物理量的变化率，例如速度。
假设物体的位置随时间变化，那么位置函数关于时间的导数即为速度函数。
通过求解速度函数，我们可以得知物体在某一时刻的速度情况。
4. 函数的凹凸性和拐点函数的导数还可以用来判断函数的凹凸性和拐点。
导数概念性质几何意义公式应用
三、 导函数
如果函数 y=f(x)在开区间内每一点都可导，就称函数 f(x)在区间内可导。 这时函数 y=f(x)对于区间内的每一个确定的 x 值，都对应着一个确定的导数， 这就构成一个新的函数，称这个函数为原来函数 y=f(x)的导函数，记作 y'、f'(x)、 dy/dx 或 df(x)/dx，简称导数。
如导数可以表示运动物体的瞬时速度和加速度就匀速直线加速度运动为例位移关于时间的一阶导数是瞬时速度二阶导数是加速度可以表示曲线在一点的斜率矢量速度的方向还可以表示经济学中的边际和弹性
导数概念性质几何意义公式应用
目录 一、 概述 ......................................................... 1 二、 定义 ......................................................... 2 三、 导函数 ....................................................... 2 四、 几何意义 ..................................................... 2 五、 公式 ......................................................... 2 六、 简单函数 ..................................................... 2 七、 复杂函数 ..................................................... 4 八、 导数的计算 ................................................... 4 九、 导数的求导法则 ............................................... 4 十、 高阶求导 ..................................................... 5 十一、口诀......................................................... 5 十二、导数与函数的性质............................................. 5 十三、导数种别..................................................... 6 十四、历史沿革..................................................... 7 十五、应用......................................................... 9
导数的基本概念及性质应用
导数的基本概念及性质应用Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT导数的基本概念及性质应用考点：1、掌握导数的基本概念及运算公式，并能灵活应用公式求解 2、能运用导数求解单调区间及极值、最值3、理解并掌握极值及单调性的实质，并能灵活应用其性质解题。
能力：数形结合 方法：讲练结合新授课：一、 知识点总结：导数的基本概念与运算公式１、导数的概念函数y =)(x f 的导数)(x f '，就是当Δx →0时，函数的增量Δy 与自变量的增量Δx 的比x Δ yΔ的极限，即)(x f '＝0x Δlim→xΔ yΔ＝x Δlim→xΔf(x)-x) Δ(+x f说明：分子和分母中间的变量必须保持一致 ２、导函数函数y =)(x f 在区间( a, b )内每一点的导数都存在，就说在区)(x f 间( a, b )内可导，其导数也是(a ,b )内的函数，叫做)(x f 的导函数，记作)(x f '或x y '，函数)(x f 的导函数)(x f '在0x x =时的函数值)(0x f '，就是)(x f 在0x 处的导数。
３、导数的几何意义设函数y =)(x f 在点0x 处可导，那么它在该点的导数等于函数所表示曲线在相应点),(00y x M 处的切线斜率。
４、求导数的方法 （１）基本求导公式0='c )()(1Q m mx x m m ∈='-x x cos )(sin =' x x sin )(cos -=' x x e e =')( a a a x x ln )(=' xx 1)(ln =' ax xa ln 1)(log ='（２）导数的四则运算v u v u '±'='±)( v u v u uv '+'=')()0()(2≠=''-'v v v u v u v u（３）复合函数的导数设)(x g u=在点x 处可导，y =在点)(x f 处可导，则复合函数)]([x g f 在点x 处可导，)()())(('''x u f x f x ϕϕ=导数性质：1、函数的单调性⑴设函数y ＝)(x f 在某个区间内可导，若)(x f '＞0，则)(x f 为增函数；若)(x f '＜0则为减函数。
导数在实际生活中的运用
导数在实际生活中的运用1. 引言1.1 导数的概念导数是微积分中的重要概念，是描述函数变化率的数学工具。
在数学上，导数可以理解为函数在某一点处的斜率，也就是函数在该点附近的局部近似线性变化率。
导数的计算可以帮助我们研究函数的几何性质和特征，如最大值、最小值、凹凸性等。
导数的概念最初由牛顿和莱布尼兹在17世纪同时独立发现，是微积分学科的基础之一。
导数在实际生活中扮演着至关重要的角色。
通过导数，我们可以了解事物的变化速率和趋势，从而为我们的决策和行为提供依据。
比如在经济领域，导数可以帮助我们预测股票价格的波动趋势，优化投资组合，分析市场需求和供给关系。
在工程领域，导数可以帮助我们设计建筑的结构稳定性，优化材料的使用效率，提高工程项目的效率和安全性。
在医学领域，导数可以帮助我们分析生物体的生长发育规律，制定治疗方案和药物剂量，提高医疗技术水平和治疗效果。
导数不仅是一种抽象的数学概念，更是一种强大的工具和思维方式，对我们的生活、工作和社会发展有着深远而广泛的影响。
1.2 导数在实际生活中的重要性导数在实际生活中的重要性体现在我们日常生活的方方面面。
导数是微积分中一个重要的概念，它描述了函数在某一点的变化率，可以帮助我们理解函数的变化规律以及预测未来的趋势。
在金融领域中，导数被广泛应用于投资和风险管理中，帮助分析股票价格的波动性和趋势，提高投资决策的准确性和效益。
在医学领域中，导数可以用来描述人体各种生理指标的变化趋势，帮助医生准确地诊断疾病和制定治疗方案。
在工程领域中，导数可以帮助工程师分析和优化设计方案，提高产品的质量和效率。
在生态学领域中，导数可以帮助科学家研究生态系统的稳定性和变化规律，提高环境保护和生态恢复的效果。
在物理学领域中，导数可以帮助研究人员描述物体的运动和相互作用，推动科学技术的发展和应用。
导数在实际生活中的重要性不言而喻，它不仅拓宽了我们对世界的认识，还促进了人类社会的进步和发展。
2. 正文2.1 金融领域中的应用金融领域中，导数的应用是非常广泛和重要的。
函数导数及其应用总结
函数导数及其应用总结一、导数的概念与性质导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在某一点处的变化率。
对于函数y=f(x)，其导数可表示为f'(x)或dy/dx。
导数的计算通常通过求导公式来实现，例如常见的导数公式有幂函数的导数法则、指数函数和对数函数的导数法则、三角函数的导数法则等。
导数具有一些重要的性质，包括常数的导数为零、函数的和、差、积的导数等。
二、导数的几何意义与图像表示导数在几何上有着重要的意义，它可以代表函数图像在某点处的切线斜率。
当导数为正时，函数图像呈上升趋势；当导数为负时，函数图像呈下降趋势。
通过导数与函数图像的关系，我们可以判断函数的增减性、极值点等。
三、导数的应用领域导数在实际问题中有着广泛的应用，下面介绍几个常见的应用领域。
1. 最优化问题最优化问题指的是在一定条件下求取使得函数取得极大或极小值的自变量。
导数在这类问题中起到了关键作用。
通过求取函数的导数，我们可以得到函数的极值点，进而找到最优解。
例如，通过求解导数等于零的点，我们可以得到函数的驻点，然后进一步判断其是否为极大值或极小值。
2. 物理学中的应用导数在物理学中也有着广泛的应用，特别是在描述物体运动和变化的问题中。
例如，通过对位移函数求导，可以得到速度函数；再对速度函数求导，可以得到加速度函数。
这样，我们可以通过导数来描述物体的运动过程，进而分析速度的变化率和加速度的大小。
3. 经济学中的边际分析在经济学中，导数被用于边际分析。
边际分析是研究单位变动引起的效果变化的方法。
通过求取效用函数或生产函数的导数，我们可以得到效用或生产的边际效应。
这样，我们可以基于边际效应来进行经济决策，比如决定增加生产量的数量。
四、导数的计算技巧与注意事项在求导过程中，有一些常见的计算技巧可以帮助我们简化问题。
一些常见的技巧包括使用分段函数的导数法则、利用链式法则求复合函数的导数、使用隐函数求导法则等。
此外，还需要注意一些特殊函数的导数规律，例如常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
导函数的性质及应用
导函数的性质及应用导函数是微积分中的重要概念，它描述了一个函数在每个点的斜率。
导函数的性质与应用十分广泛，下面将对其进行详细阐述。
1. 导函数的定义：考虑函数y=f(x)，若存在极限lim(h->0) [f(x+h)-f(x)]/h，且此极限存在有限值，那么称这个极限为f(x)在x点处的导数，记作f'(x)。
f(x)在全区间上具有导数，即f(x)具有导函数。
2. 导函数的解释：导函数描述了函数在每个点的变化率，也就是切线的斜率。
在几何意义上，导函数也可以理解为函数的瞬时增长率。
3. 导函数的计算：一般情况下，可以通过求导法则进行计算。
对于常见的初等函数，存在一系列的求导法则，可以帮助我们快速地求出其导函数。
例如，常数的导数为零、幂函数的导数为幂次减一再乘以常数、指数函数的导数为指数函数的导数乘以常数等。
4. 导函数的性质：（1）可导函数的导函数连续：如果函数f(x)在某一点可导，那么它在该点的导函数f'(x)一定是连续的。
这是导函数重要的性质之一，导数的连续性保证了函数的光滑性。
（2）可导函数的奇偶性：如果函数f(x)在某一区间内可导，且f(-x)在该区间内也可导，那么f(x)在该区间内的导函数具有奇偶性。
当f(x)是奇函数时，其导函数是偶函数；当f(x)是偶函数时，其导函数是奇函数。
（3）可导函数的单调性与极值点：如果函数f(x)在某一区间内可导，那么它在该区间内的导函数f'(x)的正负性与f(x)的单调性一致，即f'(x)>0时，f(x)在该区间上单调递增，f'(x)<0时，f(x)在该区间上单调递减。
而f'(x)为零的点被称为f(x)的极值点。
（4）可导函数的凸凹性与拐点：如果函数f(x)在某一区间内的导函数f'(x)单调递增，那么f(x)在该区间内是凹的；如果f'(x)单调递减，那么f(x)在该区间内是凸的。
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导数的基本概念及性质应用考点：1、掌握导数的基本概念及运算公式，并能灵活应用公式求解 2、能运用导数求解单调区间及极值、最值3、理解并掌握极值及单调性的实质，并能灵活应用其性质解题。
能力：数形结合 方法：讲练结合新授课：一、 知识点总结：导数的基本概念与运算公式１、导数的概念函数y =)(x f 的导数)(x f '，就是当Δx →0时，函数的增量Δy 与自变量的增量Δx 的比x Δ yΔ的极限，即)(x f '＝0x Δlim→xΔ yΔ＝x Δlim→xΔf(x)-x) Δ(+x f说明：分子和分母中间的变量必须保持一致 ２、导函数函数y =)(x f 在区间( a, b )内每一点的导数都存在，就说在区)(x f 间( a, b )内可导，其导数也是(a ,b )内的函数，叫做)(x f 的导函数，记作)(x f '或x y '，函数)(x f 的导函数)(x f '在0x x =时的函数值)(0x f '，就是)(x f 在0x 处的导数。
３、导数的几何意义设函数y =)(x f 在点0x 处可导，那么它在该点的导数等于函数所表示曲线在相应点),(00y x M 处的切线斜率。
４、求导数的方法 （１）基本求导公式0='c )()(1Q m mx x m m ∈='-x x cos )(sin =' x x sin )(cos -=' x x e e =')( a a a x x ln )(=' xx 1)(ln ='ax x a ln 1)(log ='（２）导数的四则运算v u v u '±'='±)( v u v u uv '+'=')()0()(2≠=''-'v v v u v u v u（３）复合函数的导数设)(x g u=在点x 处可导，y =在点)(x f 处可导，则复合函数)]([x g f 在点x 处可导，)()())(('''x u f x f x ϕϕ=导数性质：1、函数的单调性⑴设函数y ＝)(x f 在某个区间内可导，若)(x f '＞0，则)(x f 为增函数；若)(x f '＜0则为减函数。
⑵求可导函数单调区间的一般步聚和方法。
①确定函数)(x f 的定义区间②求)(x f '，令)(x f '＝0，解此方程，求出它在定义区间内的一切实根。
③把函数)(x f 的间断点（即)(x f 的无定义点）的横坐标和上面的各个实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数)(x f 的定义区间分成若干个小区间。
④确定)(x f '在各小开区间内的符号，根据)(x f '的符号判定函数)(x f 在各个相应小开区间内的增减性。
说明：原函数单调性与导函数单调性无关，只与导函数正负号有关 2．可导函数的极值 ⑴极值的概念设函数)(x f 在点0x 附近有定义，且对0x 附近的所有点都有)(x f ＜)(0x f （或 )(x f ＞)(0x f ），则称)(0x f 为函数的一个极大（小）值点。
称0x 为极大（小）值点。
⑵求可导函数极值的步骤。
①求导数)(x f ' ②求方程)(x f '＝0的根③检验)(x f '在方程)(x f '＝0的根左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数y ＝)(x f 在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，右侧为正，那么函数y ＝)(x f 在这个根处取得极小值。
说明：极值点的导数为0，导数为0的点不一定是极值点（隐含条件，说明某点是极值点，相当于给出了一个)(x f '＝0的方程3．函数的最大值与最小值⑴设y ＝)(x f 是定义在区间[a ,b ]上的函数，y ＝)(x f 在(a ,b )内有导数，求函数y ＝)(x f 在[a ,b ]上的最大值与最小值，可分两步进行。
①求y ＝)(x f 在(a ,b )内的极值。
②将y ＝)(x f 在各极值点的极值与)(a f 、)(b f 比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。
⑵若函数y ＝)(x f 在[a ,b ]上单调增加，则)(a f 为函数的最小值，)(b f 为函数的最大值；若函数y ＝)(x f 在[a ,b ]上单调减少，则)(a f 为函数的最大值，)(b f 为函数的最小值。
说明：极大值小于等于最大值，极小值大于等于最小值二、 例题讲解 题型一导数的概念【例1】设f(x)在点x 0处可导，a 为常数，则xx a x f x a x f x ∆∆--∆+→∆)()(lim000等于( )A.f /(x 0)B.2af /(x 0)C.af /(x 0)D.0【变式】设)(x f 在0x 处可导__lim )()(000=∆-∆-→∆x x f x x f x题型二导数的几何意义、物理意义【例2】（1）求曲线122+=x xy 在点（1，1）处的切线方程； （2）运动曲线方程为2221t tt S +-=，求t=3时的速度。
分析：根据导数的几何意义及导数的物理意义可知，函数y=f(x)在0x 处的导数就是曲线y=f(x)在点),(00y x p 处的切线的斜率。
瞬时速度是位移函数S(t)对时间的导数。
题型三利用导数求单调区间【例3】求下列函数单调区间（1）5221)(23+--==x x x x f y（2）xx y 12-=（3）x xk y +=2)0(>k（4）αln 22-=x y题型四：利用导数求函数的最（极）值【例4】求函数13)(3+-=x x x f 在闭区间[-3，0]上的极值、最大值、最小值题型五：原函数图像与导函数图像【例5】 1、设f '(x )是函数f (x )的导函数，y =f '(x )的图象如右图所示，则y =f (x )的图象最有可能的是(A)(B)(C) (D)2、函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ． 4个题型六：利用极值的本质及单调性求解析式【例6】已知函数x bx ax x f 3)(23-+=在1±=x 处取得极值。
(I)讨论)1(f 和)1(-f 是函数)(x f 的极大值还是极小值； (II)过点)16,0(A 作曲线)(x f y =的切线，求此切线方程。
【例7】已知函数()32f x ax bx cx =++在点0x 处取得极大值5，其导函数()y f x '=的图象经过点（1，0），（2，0）如图所示.求： （1）0x 的值；（2）a 、b 、c 的值.xy yx yxyxO 1 2 O 1 2O 121 2a bxy)(x f y ?=O【例8】已知函数f （x ）=x 3+ax 2+bx +c ，当x =－1时，取得极大值7；当x =3时，取得极小值．求这个极小值及a 、b 、c 的值【例9】已知c bx ax x f ++=24)(的图象经过点(0,1)，且在1x =处的切线方程是2y x =-（1）求)(x f y =的解析式；（2）求)(x f y =的单调递增区间题型七：含参数的讨论【例10】（1）如果函数f (x )=x 3+ax 的图象上各点处的切线斜率都为正数，则实数a 的取值范围是( )A.(0,+∞ )B.[0,+∞ )C.(3,+∞ )D.[3,+∞ )（2）如果函数f (x )=x 3+ax 的图象上有平行于x 轴的切线，则实数a 的取值范围是________________【例11】已知函数()322f x ax x bx =-++(),,0a b c R a ∈≠且在区间(),0-∞上都是增函数，在（0，4）上是减函数.（1）求b 的值； （2）求a 的取值范围题型八：综合应用【例12】平面向量11),(,22a b =-=rr，若存在不同时为0的实数k 和t ，使 2(3),,x a t b y ka tb =+-=-+r r r r r r 且x y ⊥r r ，试确定函数()k f t =的单调区间例题答案：【例1】解：)(2)()(lim )()(lim )()()()(lim )()(lim0/00000000000000x af x a x f x a x f a x a x f x a x f a xx a x f x f x f x a x f xx a x f x a x f x a x a x x =∆--∆-+∆-∆+=∆∆--+-∆+=∆∆--∆+→∆-→∆→∆→∆ 故选(C)【变式】：-1【例2】（1）222222)1(22)1(22)1(2'+-=+⋅-+=x x x x x x y ， 0422|'1=-==x y ，即曲线在点（1，1）处的切线斜率k=0 因此曲线122+=x xy 在（1，1）处的切线方程为y=1（2）)'2('1'22t t t S +⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t t t t t t t t 4214)1(23242++-=+--= 2726111227291|'3=++-==t S 。
【例3】（1）232--='x x y )1)(23(-+=x x )32,(--∞∈x ),1(∞+Y 时0>'y)1,32(-∈x 0<'y ∴ )32,(--∞，),1(∞+↑ )1,32(-↓（2）221x x y +=' ∴ )0,(-∞，),0(∞+↑（3）221xk y -=∴ ),(k x --∞∈),(∞+k Y 0>'y ),0()0,(k k x Y -∈ 0<'y ∴ ),(k --∞，↑∞+),(k )0,(k -，),0(k ↓（4）xx x x y 14142-=-=' 定义域为),0(∞+)21,0(∈x 0<'y ↓ ),21(∞+∈x 0>'y ↑【例4】略，注意强调学生的步骤完整性 【例5】1、C 2、 A【例6】分析：（1）分析x =±1处的极值情况，关键是分析x =±1左右f '（x ）的符号.（2）要分清点A （0，16）是否在曲线上.解：（1）f '（x ）=3ax 2+2bx －3，依题意，f '（1）=f '（－1）=0，即⎩⎨⎧=--=-+.0323,0323b a b a解得a =1，b =0.∴f （x ）=x 3－3x ，f '（x ）=3x 2－3=3（x +1）（x －1）. 令f '（x ）=0，得x =－1，x =1.若x ∈（－∞，－1）∪（1，+∞），则f '（x ）＞0，故f （x ）在（－∞，－1）上是增函数，f （x ）在（1，+∞）上是增函数. 若x ∈（－1，1），则f '（x ）＜0，故f （x ）在（－1，1）上是减函数. 所以f （－1）=2是极大值，f （1）=－2是极小值.（2）曲线y =x 3－3x ，点A （0，16）不在曲线上，设切点M （x 0，y 0），则y 0=x 03－3x . ∵f '（x 0）=3x 02－3，∴切线方程为y －y 0=3（x 02－1）（x －x 0）.代入A （0，16）得16－x 03+3x 0=3（x 02－1）（0－x 0）. 解得x 0=－2，∴M （－2，－2），切线方程为9x －y +16=0.评述：过已知点求切线，当点不在曲线上时，求切点的坐标成了解题的关键 【例7】解：函数()f x 的增减变化如下表：（1）()f x 在x =1处由增变减，故()1f 为极大值，即0x =1. （2）由于()232f x ax bx c '=++，()()()103202201240915512f a b c a f a b c b f a b c c '=++==⎧⎧⎧⎪⎪⎪'=⇒++=⇒=-⎨⎨⎨⎪⎪⎪=++==⎩⎩⎩【例8】解：f ′（x ）=3x 2+2ax +b ．据题意，－1，3是方程3x 2+2ax +b =0的两个根，由韦达定理得∴a =－3，b =－9 ∴f （x ）=x 3－3x 2－9x +c ∵f （－1）=7，∴c =2极小值f （3）=33－3×32－9×3+2=－25 ∴极小值为－25，a =－3，b =－9，c =2【例9】解：（1）c bx ax x f ++=24)(的图象经过点(0,1)，则1c =，'3'()42,(1)421,f x ax bx k f a b =+==+=切点为(1,1)-，则c bx ax x f ++=24)(的图象经过点(1,1)-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⨯--=+-3313231b a得591,,22a b c a b ++=-==-得 4259()122f x x x =-+（2）'3()1090,0,f x x x x x =-><<>或单调递增区间为()+∞ 【例10】（1）A （2）(-∞ ，0］【例11】解：⑴由条件知0x =是函数()y f x =的极值点.∵()232f x ax x b '=-+，令()00f '=，得0b =.⑵已求0b =，∴()232f x ax x '=-.令()0f x '=，得20,3x a=.由条件知0x =为极大值点，则23x a =应为极小值点.又知曲线在区间（0，4）上是减函数.∴243a ≥，6103a a -⇒≤，得10,6a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦【例12】解：由11),(,)22a b =-=r r 得0,2,1a b a b ===r r r rg 22222[(3)]()0,(3)(3)0a t b ka tb ka ta b k t a b t t b +--+=-+--+-=r r r rr r r r r r g g g33311430,(3),()(3)44k t t k t t f t t t -+-==-=-'233()0,1,144f t t t t =-><->得或；2330,1144t t -<-<<得所以增区间为(,1),(1,)-∞-+∞；减区间为(1,1)-。