最新222第二型曲面积分汇总
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n
Q (x ,y ,z)dz l d i0i x m 1Q (i,i,i) (S i)zx
2020/8/10
27
存在条件: 当 P ( x , y , z ) , Q ( x , y , z ) , R ( x , y , z ) 在 有 向 光 滑 曲 面 上 连 续 时 ， 对 坐 标 的 曲 面 积 分 存 在 .
n
2. 求和 通 过 Σ 流 向 指 定 侧 的 流 量 vi niSi
i1
2020/8/10
24
数学分析
n
vi niSi
i1
n
[P(i,i,i)coisQ(i,i,i)cois
i1
R(i,i,i)cois]Si
n
[P(i,i,i) (Si)yzQ(i,i,i) (Si)xz
i1
R(i,i,i) (Si)xy
3.取极限 0取极限得到 的流 精量 确 . 值
2020/8/10
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三、概念及性质
数学分析
定 义 ： 设 是 光 滑 的 有 向 曲 面 ， 函 数 R 在 上 有 界 .
把 分 成 n 块 小 曲 面 S i ( S i 也 表 示 该 小 块 的 面 积 ) ，
S i在 x o y 面 上 的 投 影 为 ( S i) x y ,(i,i, i)是 S i上
的速度场由
v( x, y, z) P( x, y, z)i Q( x, y, z) j R( x, y, z)k
给出,Σ是速度场中的一片有向曲面,函数
P( x, y, z), Q( x, y, z), R( x, y, z) z
都在Σ上连续, 求在单位
时间内流向Σ指定侧的流
体的质量.
o
y
x
2020/8/10
2020/8/10
28
数学分析
性质:
1. PdyQ dzd zR dxdxdy 12
PdyQ dzd zR dxdx dPydyQ dzd zR dxdxd
1
2
2. P(x, y,z)dydzP(x, y,z)dydz
P (i,i,i) i Q (i,i,i)j R (i,i,i) k ,
该 n i 0 点 处 c 曲 面 o ii Σ 的 c s 单 位 o i j 法 向 c s 量 o ik ,s
通 过 s i 流 向 指 定 侧 的 流 量 的 近 似 值 为
v in i S i ( i 1 ,2 , ,n ).
2020/8/10
26
数学分析
记 作 R (x ,y ,z )dx , 即 dy
n
R (x ,y ,z)dx l d i0i m 1 y R (i,i,i) (S i)xy
被积函数
积分曲面
类似可定义
n
P (x ,y ,z)dy ld i0i m z 1P (i,i, i) (S i)yz
5
典型单侧曲面: 莫比乌斯带
数学分析
M0
2020/8/10
6
典型单侧曲面: 莫比乌斯带
数学分析
M0
2020/8/10
7
典型单侧曲面: 莫比乌斯带
数学分析
M0
2020/8/10
8
典型单侧曲面: 莫比乌斯带
数学分析
M0
2020/8/10
9
典型单侧曲面: 莫比乌斯带
数学分析
M0
2020/8/10
曲面的投影问题: 在 有 向 曲 面 Σ 上 取 一 小 块
曲面 S, S 在 xo 面 上 y 的( 投 S)x为 影 y
()xy 当cos0时
(S)xy()xy 当cos0时 .
0
当cos0时
其中 ()xy表示投影区域.的面积
2020/8/10
20
数学分析
二、概念的引入
实例: 流向曲面一侧的流量.
数学分析
组合形式:
P ( x ,y ,z ) d y d z Q ( x ,y ,z ) d z d x R ( x ,y ,z ) d x d y
物理意义: v(P,Q,R)
P ( x ,y ,z ) d y d z Q ( x ,y ,z ) d z d x R ( x ,y ,z ) d x d y
任意一点.如 Fra Baidu bibliotek 当 各 小 块 曲 面 的 最 大 直 径 0 时 ，
n
li m 0i1R (i, i, i)(Si)xy 存 在 ，
则 称 此 极 限 为 函 数 R ( x , y , z ) 在 有 向 曲 面 上 对 坐 标
x , y 的 曲 面 积 分 ( 也 称 为 第 二 型 曲 面 积 分 ) .
数学分析
222第二型曲面积分
数学分析
曲面的分类: 1.双侧曲面; 2.单侧曲面.
典
型 双 侧
n
曲
面
M0
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2
典型单侧曲面: 莫比乌斯带
数学分析
M0
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3
典型单侧曲面: 莫比乌斯带
数学分析
M0
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4
典型单侧曲面: 莫比乌斯带
数学分析
M0
2020/8/10
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数学分析
第 在 (1则. ii 分该,小 s割点ii上 块 ,流任 曲 i)把 速,取 面 曲 为一 的 面 点 面 v Σ i 积 分 ),成 nz 小 块 S i si( nsi•i同 v时 i (也 i代 ,表 i,i)
法向量为
n
i
o
y
x
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数学分析
v i v (i,i,i)
10
典型单侧曲面: 莫比乌斯带
数学分析
M0
2020/8/10
11
典型单侧曲面: 莫比乌斯带
数学分析
M0
2020/8/10
12
典型单侧曲面: 莫比乌斯带
数学分析
M0
2020/8/10
13
典型单侧曲面: 莫比乌斯带
数学分析
M0
2020/8/10
14
典型单侧曲面: 莫比乌斯带
数学分析
M0
2020/8/10
( 时 1 ) 间 流 流 过 速 A场 的 为 流 常 体 向 的 量 质 v 量 , 有 ( 向 假 平 定 面 密 区 度 域 为 1 A) , . 求 单 位
v
A
n0
A
流量
A v cos
Av n 0
v
A
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数学分析
(2) 设稳定流动的不可压缩流体(假定密度为 1)
15
典型单侧曲面: 莫比乌斯带
数学分析
M0
2020/8/10
16
典型单侧曲面: 莫比乌斯带
数学分析
M0
2020/8/10
17
典型单侧曲面: 莫比乌斯带
数学分析
M0
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18
典型单侧曲面: 莫比乌斯带
数学分析
M0
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曲面法向量的指向决定曲面的侧.
数学分析
决定了侧的曲面称为有向曲面.
Q (x ,y ,z)dz l d i0i x m 1Q (i,i,i) (S i)zx
2020/8/10
27
存在条件: 当 P ( x , y , z ) , Q ( x , y , z ) , R ( x , y , z ) 在 有 向 光 滑 曲 面 上 连 续 时 ， 对 坐 标 的 曲 面 积 分 存 在 .
n
2. 求和 通 过 Σ 流 向 指 定 侧 的 流 量 vi niSi
i1
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24
数学分析
n
vi niSi
i1
n
[P(i,i,i)coisQ(i,i,i)cois
i1
R(i,i,i)cois]Si
n
[P(i,i,i) (Si)yzQ(i,i,i) (Si)xz
i1
R(i,i,i) (Si)xy
3.取极限 0取极限得到 的流 精量 确 . 值
2020/8/10
25
三、概念及性质
数学分析
定 义 ： 设 是 光 滑 的 有 向 曲 面 ， 函 数 R 在 上 有 界 .
把 分 成 n 块 小 曲 面 S i ( S i 也 表 示 该 小 块 的 面 积 ) ，
S i在 x o y 面 上 的 投 影 为 ( S i) x y ,(i,i, i)是 S i上
的速度场由
v( x, y, z) P( x, y, z)i Q( x, y, z) j R( x, y, z)k
给出,Σ是速度场中的一片有向曲面,函数
P( x, y, z), Q( x, y, z), R( x, y, z) z
都在Σ上连续, 求在单位
时间内流向Σ指定侧的流
体的质量.
o
y
x
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数学分析
性质:
1. PdyQ dzd zR dxdxdy 12
PdyQ dzd zR dxdx dPydyQ dzd zR dxdxd
1
2
2. P(x, y,z)dydzP(x, y,z)dydz
P (i,i,i) i Q (i,i,i)j R (i,i,i) k ,
该 n i 0 点 处 c 曲 面 o ii Σ 的 c s 单 位 o i j 法 向 c s 量 o ik ,s
通 过 s i 流 向 指 定 侧 的 流 量 的 近 似 值 为
v in i S i ( i 1 ,2 , ,n ).
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数学分析
记 作 R (x ,y ,z )dx , 即 dy
n
R (x ,y ,z)dx l d i0i m 1 y R (i,i,i) (S i)xy
被积函数
积分曲面
类似可定义
n
P (x ,y ,z)dy ld i0i m z 1P (i,i, i) (S i)yz
5
典型单侧曲面: 莫比乌斯带
数学分析
M0
2020/8/10
6
典型单侧曲面: 莫比乌斯带
数学分析
M0
2020/8/10
7
典型单侧曲面: 莫比乌斯带
数学分析
M0
2020/8/10
8
典型单侧曲面: 莫比乌斯带
数学分析
M0
2020/8/10
9
典型单侧曲面: 莫比乌斯带
数学分析
M0
2020/8/10
曲面的投影问题: 在 有 向 曲 面 Σ 上 取 一 小 块
曲面 S, S 在 xo 面 上 y 的( 投 S)x为 影 y
()xy 当cos0时
(S)xy()xy 当cos0时 .
0
当cos0时
其中 ()xy表示投影区域.的面积
2020/8/10
20
数学分析
二、概念的引入
实例: 流向曲面一侧的流量.
数学分析
组合形式:
P ( x ,y ,z ) d y d z Q ( x ,y ,z ) d z d x R ( x ,y ,z ) d x d y
物理意义: v(P,Q,R)
P ( x ,y ,z ) d y d z Q ( x ,y ,z ) d z d x R ( x ,y ,z ) d x d y
任意一点.如 Fra Baidu bibliotek 当 各 小 块 曲 面 的 最 大 直 径 0 时 ，
n
li m 0i1R (i, i, i)(Si)xy 存 在 ，
则 称 此 极 限 为 函 数 R ( x , y , z ) 在 有 向 曲 面 上 对 坐 标
x , y 的 曲 面 积 分 ( 也 称 为 第 二 型 曲 面 积 分 ) .
数学分析
222第二型曲面积分
数学分析
曲面的分类: 1.双侧曲面; 2.单侧曲面.
典
型 双 侧
n
曲
面
M0
2020/8/10
2
典型单侧曲面: 莫比乌斯带
数学分析
M0
2020/8/10
3
典型单侧曲面: 莫比乌斯带
数学分析
M0
2020/8/10
4
典型单侧曲面: 莫比乌斯带
数学分析
M0
2020/8/10
22
数学分析
第 在 (1则. ii 分该,小 s割点ii上 块 ,流任 曲 i)把 速,取 面 曲 为一 的 面 点 面 v Σ i 积 分 ),成 nz 小 块 S i si( nsi•i同 v时 i (也 i代 ,表 i,i)
法向量为
n
i
o
y
x
2020/8/10
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数学分析
v i v (i,i,i)
10
典型单侧曲面: 莫比乌斯带
数学分析
M0
2020/8/10
11
典型单侧曲面: 莫比乌斯带
数学分析
M0
2020/8/10
12
典型单侧曲面: 莫比乌斯带
数学分析
M0
2020/8/10
13
典型单侧曲面: 莫比乌斯带
数学分析
M0
2020/8/10
14
典型单侧曲面: 莫比乌斯带
数学分析
M0
2020/8/10
( 时 1 ) 间 流 流 过 速 A场 的 为 流 常 体 向 的 量 质 v 量 , 有 ( 向 假 平 定 面 密 区 度 域 为 1 A) , . 求 单 位
v
A
n0
A
流量
A v cos
Av n 0
v
A
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21
数学分析
(2) 设稳定流动的不可压缩流体(假定密度为 1)
15
典型单侧曲面: 莫比乌斯带
数学分析
M0
2020/8/10
16
典型单侧曲面: 莫比乌斯带
数学分析
M0
2020/8/10
17
典型单侧曲面: 莫比乌斯带
数学分析
M0
2020/8/10
18
典型单侧曲面: 莫比乌斯带
数学分析
M0
2020/8/10
19
曲面法向量的指向决定曲面的侧.
数学分析
决定了侧的曲面称为有向曲面.