最新222第二型曲面积分汇总
第二型曲面积分
R( x, y,z )dx dy
n A( x , y ,z )ndS lim R( i , i , i )cos i Si d 0i 1
M i ( i , i , i ) i z( i ,i ) ，
16
10.4
第二型曲面积分
对于双侧曲面，可通过曲面上法向量的指向来 确定曲面的侧。取定了法向量指向的曲面，称为 有向曲面。
z
n
上侧
z
下侧
n
y
o x
o x
y
5
10.4
第二型曲面积分
对于 ： z f ( x , y ) 若 法 向 量n 与 z 轴 的 正 向 成 锐 角 ， 则取定了曲面的上侧。 若 法 向 量n 与 z 轴 的 正 向 成 钝
a
1
o
6
a y
答案： a 4
22
10.4
第二型曲面积分
例 3．计算 xyzdx dy ，
z
2
其中是球面 x 2 y 2 z 2 1 的外侧在 x 0, y 0 的部分。
y
x
解
1
把分成1和 2两部分
1 : z1 1 x 2 y 2 ; 2 : z2 1 x 2 y 2 ,
i 1 n
（4）取极限
设 d max { S i 的直径} ，则 lim Vi ni S i 。
1 i n
n
d 0
i 1
取极限得到流量的精确值.
10
10.4
第二型曲面积分
2、第二型曲面积分的定义
设 是 向量场 A( x, y, z ) 所在空间中的一个有向光滑曲面。
数学分析22-222.2 第二型曲面积分
(S)xy ( )xy 当cos 0 时.
0
当cos 0 时
其中cos0也就是()xy0的情形
类似地可以定义S在yOz面及在zOx面上的投 影(S)yz及(S)zx
实例 流向曲面一侧的流量. 设稳定流动的不可压缩流体(假定密度为 1)
的速度场由
D
前者可正可负,是 (Si )xy 的象征,后者恒正,是 i 的
象征.
一个规定：如果是分片光滑的有向曲面 我们规 定函数在上对坐标的曲面积分等于函数在各片 光滑曲面上对坐标的曲面积分之和
对坐标的曲面积分的性质:
1（. 曲面可加性）
Hale Waihona Puke Pdydz Qdzdx Rdxdy
1 2
i 1
R(i ,i , i ) cos i ]Si
n
[P(i ,i , i )(Si ) yz Q(i ,i , i )(Si )xz
i 1
R(i ,i , i )(Si )xy
3.取极限 0 取极限得到流量的精确值.
这样的极限还会在其它问题中遇到 抽去它们 的具体意义 就得出下列对坐标的曲面积分的概念
Pdydz Qdzdx Rdxdy Pdydz Qdzdx Rdxdy
1
2
2（. 方向性）设是有向曲面，－表示与取相反侧的 有向曲面，则
Pdydz Qdzdx Rdxdy Pdydz Qdzdx Rdxdy
对坐标的曲面积分的性质:
y, z)dzdx
lim
0
Q(i ,i , i )(Si )zx
i1
定义 设 是空间内一个光滑的曲面 n(cos cos cos)是其
第二型曲面积分
∫∫ Pdy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy
Σ
∂P ∂Q ∂R )dV = ∫∫∫( + + ∂x ∂y ∂z
Ω
高斯公式
其中 Σ 取外侧 .
注:
公式的条件是：封闭、外侧、偏导数连续， （1） Gauss 公式的条件是：封闭、外侧、偏导数连续， ） 三者缺一不可. 三者缺一不可
y , z 的曲面积分 ;
∫∫ Qdz ∧ dx 称为 Q 对坐标 z , x 的曲面积分 ;
Σ
∫∫ Rdx ∧ dy 称为 R 对坐标 x , y 的曲面积分 .
Σ
定理：设函数 R( x , y ,z ) 在 有向光滑曲面 Σ ： z= z( x , y ) ， 设函数 =
上连续， ( x , y )∈D xy 上连续，则有
∫∫ R( x , y , z )dx ∧ dy = ± ∫∫ R( x , y , z( x , y ))dxdy
Σ D xy
( 上侧取正下侧取负 ) , .
பைடு நூலகம்
若曲面为 Σ : x = x ( y , z ), 则有
∫∫ P ( x , y, z )dy ∧ dz = ± ∫∫ P ( x( y, z ), y, z )dydz
0 0 0
3 5 12 5 = −2π ⋅ 2⋅ a = − π a . 5 5
例3. 计算 I = ∫∫( x − 2x2 )dy ∧ dz + 8xydz ∧ dx + 4x(8 − z)dx ∧ dy
Σ
其中 Σ 是 旋转抛物面 z = x 2 + y 2 (0 ≤ z ≤ 4) 的上侧.
第二型曲面积分-精品
cos zy ,
1zx2 z2y
cos 1 .
1zx2 z2y
对面积的曲面积分为
R(x,y,z)cosdSR[x,y,z(x,y)]dxdy
Dxy
所 以 R(x,y,z)dxdyR(x,y,z)cods S
(注 意 取 曲 面 的 两 侧 均 成 立 )
D xy 2
Hale Waihona Puke R2x2y2dx D x dy 4yR3
x2y2R2
3
综上3, 4R3 ( x 4 Ry ) 3dy (y d z z )dz (d z 3 x x )dx
3
五、两类曲面积分之间的联系
设有向曲面Σ是由方程zz(x,y)给出,Σ在
有向曲面Σ 上点(x,y,z)处的单位法向量,
dSndS{dyd,dz zd,xdxd}y称为有向曲面
元,An为向量A在n上的投影.
例 3 计算 (z2 x)dydz zdxdy,其中Σ 是
旋转抛物面z 1 ( x2 y2 )介于平面z 0及 2
z 2之间的部分的下侧.
决定了侧的曲面称为有向曲面.
曲面的投影问题: 在 有 向 曲 面 Σ上 取 一 小 块
曲面 S, S 在 xo 面 上 y 的( 投 S)x为 影 y
()xy 当cos0时
(S)xy()xy 当cos0时 .
0
当cos0时
其中 ()xy表示投影区域.的面积
果当各小块曲面的直径的最大值0时,
n
lim
0
i1
R(i
,i
,
i
)(Si
)xy
存在,
第二型曲面积分
A dS
S定 侧
P dydz Q dzdx R dxdy
可以理解为先将有向面 积 dS 往各个坐标平
(可正可负,依侧而定) 上投影得dydz, dzdx , dxdy, 进而在直角系下对坐标变量作二重积分。
这时被积函数，如 P ( x , y, z ), ( x , y, z ) S
D
cos
C A2 B 2 C 2
A B C dd
D
cos sin cos dd
2
/2
2 解法2 由于，球面的两部分
0
d sin cos d 0
1
3
cos
3 0
3
S1 : z 1 x y ,
一般方程 F ( x , y, z ) 0, 上下侧如何表示？
1. 物理背景与概念
流量问题——空间某不可压液体的流速
场中，求液体向曲面指定一侧的流量.
对稳恒流体, 若流速 v ( M ) a i b j c k
其中a, b, c为常数，
单位时间通过某界
n
v
S
面 S 的流量为：
的曲面积分；
与二重积分不同：A A ( x, y, z ) 定义在
曲面 S上；
与二重积分不同之二, 积分区域为空间一
指定了侧的曲面 S, 因此“投影有向面积元”
dydz , dzdx , dxdy要根据与侧相关的
cos、 cos 、cos 的符号确定其正负号；
第一、二型曲面积分的关系：
第二型曲面积分
The Surface Integrals
第二型曲面积分
正侧, 内侧作为负侧.
数学分析 第二十二章 曲面积分
高等教育出版社
§2 第二型曲面积分 曲面的侧
概念
计算
两类曲面积分的联系
第二型曲面积分的概念
先考察一r 个计算流量的问题. 设某流体以流速 v P( x, y, z) i +Q( x, y, z) j +R( x, y, z) k
S : y y(z, x), (z, x) D(zx) 上连续时, 有
Q( x, y, z)dzdx Q( x, y(z, x), z)dzdx. (4)
S
Dzx
这里 S 是取法线方向与 y 轴的正向成锐角的那一
侧为正侧.
数学分析 第二十二章 曲面积分
高等教育出版社
§2 第二型曲面积分 曲面的侧
Pdydz Qdzdx Rdxdy
S
k
Pdydz Qdzdx Rdxdy . i 1 Si
数学分析 第二十二章 曲面积分
高等教育出版社
§2 第二型曲面积分 曲面的侧
概念
计算
两类曲面积分的联系
第二型曲面积分的 计 算
定理22.2
设 R( x, y, z)是定义在光滑曲面 S : z z( x, y),( x, y) D( xy).
H P( x, y, z)dydz Q( x, y, z)dzdx R( x, y, z)dxdy .
S
数学分析 第二十二章 曲面积分
高等教育出版社
§2 第二型曲面积分 曲面的侧
概念
计算
两类曲面积分的联系
若以 S 表示曲面 S 的另一侧, 由定义易知
Pdydz Qdzdx Rdxdy
【免费下载】222第二型曲面积分
§2 第二型曲面积分教学目的 掌握第二型曲面积分的定义和计算公式．教学内容 曲面的侧；第二型曲面积分的定义和计算公式．(1) 基本要求：掌握用显式方程的第二型曲面积分的定义和计算公式．(2) 较高要求：掌握用隐式方程或参量表示的曲面的第二型曲面积分计算公式，掌握两类曲面积分的联系．教学建议(1) 本节的重点是要求学生必须掌握第二型曲面积分的定义和计算公式，要强调一、二型曲面积分的区别，要讲清确定有向曲面侧的重要性．(2) 本节的难点是用隐式方程或参数方程给出的曲面的第二型曲面积分的计算公式以及两类曲面积分的联系，可对较好学生要求他们掌握．教学程序曲面的侧 双侧曲面的概念、曲面的侧的概念背景：求非均匀流速的物质流单位时间流过曲面块的流量时，利用均匀流速的物质流单位时间流过平面块的流量的方法，通过“分割、近似、求和、取极限”的步骤，来得到结果．一类大量的“非均匀”问题都采用类似的方法，从而归结出下面一类积分的定义．一、第二型曲面积分的概念与性质定义 设函数P ，Q ，R 与定义在双侧曲面S 上的函数．在S 所指定的一侧作分割T 它把S 分成n 个小曲面n S S S ,,21 （n i ,,2,1 =），分割T 的细度{}的直径i n i S T ≤≤=1max ，以yz i S ∆，zx i S ∆，xy i S ∆分别为i S 在三个坐标上的投影区域的面积，它们的符号由i S 的方向来确定．如i S 的法线正向与z 轴正向成锐角时，i S 在xy 平面上的投影区域的面积xy i S ∆为正，反之，如i S 的法线正向与z 轴正向成钝角时，i S 在xy 平面上的投影区域的面积xy i S ∆为负（n i ,,2,1 =）．在每个小曲面i S 任取一点()i i i ζηξ,,，若极限 ()∑=→∆n i i i i i T yz S P 10,,lim ζηξ+()∑=→∆n i i i i i T zx S Q 10,,lim ζηξ+()∑=→∆n i i i i i T xy S R 10,,lim ζηξ存在且与分割T 与点()i i i ζηξ,,的取法无关，则称此极限为函数P ，Q ，R d 曲面S 所指定的一侧的第二型曲面积分，记为()()()⎰⎰++S dxdy z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P ,,,,,,， (1)上述积分(1)也可写作()⎰⎰S dydz z y x P ,,+()⎰⎰S dzdx z y x Q ,,+()⎰⎰S dxdy z y x R ,,.第二型曲面积分的性质(1)若⎰⎰++S i i i dxdy R dzdx Q dydz P （n i ,,2,1 =）都存在，i c （n i ,,2,1 =），为常数，则有dxdy R c dzdz Q c dydz P c n i i i n i i i S n i i i ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑⎰⎰∑===111=∑⎰⎰=++n i S i i i i dxdy R dzdx Q dydz p c 1.（2）若曲面S 由两两无公共内点的曲面块21,S S …n S 所组成，⎰⎰++iS Rdxdy Qdzdx Pdydz （n i ,,2,1 =）都存在，则()()()⎰⎰++S dxdy z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P ,,,,,,也存在，且 ()()()⎰⎰++S dxdy z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P ,,,,,,=∑⎰⎰=++n i S i Rdxdy Qdzdx Pdydz 1.二 、第二型曲面积分的计算定理22.2设R 为定义在光滑曲面S ：()()xy D y x y x z z ∈=,,，上的连续函数，以S 的上侧为正侧（这时S 的法线正向与z 轴正向成锐角 ），则有()⎰⎰S dxdy z y x R ,,=()()⎰⎰xy D dxdy y x z y x R ,,, . （2）证明 由第二型曲面积分的定义()⎰⎰S dxdy z y x R ,,=()∑=→∆n i i i i i T xy S R 10,,lim ζηξ=()()∑=→∆n i i i i i i d xy S R 10,,,lim ηξζηξ，这里()xy i S d ∆=max ，因{}的直径i n i S T ≤≤=1max 0→，立刻可推得()xy i S d ∆=max 0→，由相关函数的连续性及二重积分的定义有()()⎰⎰xy D dxdy y x z y x R ,,,=()()∑=→∆n i i i i i i d xy S R 10,,,lim ηξζηξ，所以()⎰⎰Sdxdy z y x R ,,=()()⎰⎰xy D dxdy y x z y x R ,,, .类似地, P 为定义在光滑曲面S ：()()yz D z y z y x x ∈=,,上的连续函数时，而S 的法线方向与x 轴的正向成锐角的那一侧为正侧，则有()⎰⎰S dydz z y x P ,,=()()⎰⎰xy D dydz z y z y x P ,,, .Q 为定义在光滑曲面S ：()()zx D x z x z y y ∈=,,上的连续函数时，而S 的法线方向与y 轴的正向成锐角的那一侧为正侧，则有()⎰⎰S dzdx z y x Q ,,=()()⎰⎰ZX D dzdx y x z y x Q ,,, .注：按第二型曲面积分的定义可以知道，如果S 的法线方向与相应坐标轴的正向成钝角的那一侧为正侧，则相应的公式右端要加“-”号例1 计算⎰⎰S xyzdxdy ，其中S 是球面1222=++z y x 在0,0≥≥y x 部分并取球面外侧． 解 曲面在第一，五卦限间分的方程分别为1S ： 2211y x z --=，()(){0,0,1,,22≥≥≤+=∈y x y x y x D y x xy ，2S ：2221y x z ---=，()(){0,0,1,,22≥≥≤+=∈y x y x y x D y x xy ，⎰⎰S xyzdxdy =⎰⎰1S xyzdxdy +⎰⎰2S xyzdxdy =⎰⎰--xy D dxdy y x xy 221⎰⎰----xy D dxdy y x xy 221=⎰⎰--xy D dxdy y x xy 2212=⎰⎰=-2010231521sin cos 2πϑθθdr r r d ．中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安例2 计算积分， 为球面⎰⎰∑++-++dxdy x z dzdx z y dydz y x )3()()(∑取外侧. 2222R z y x =++解 对积分, 分别用和记前半球面和后半球面的外⎰⎰∑+dydz y x )(前∑后∑侧, 则有 : ;前∑,222z y R x --=222 :R z y D yz ≤+ : .后∑,222z y R x ---=222 :R z y D yz ≤+因此, =+ ⎰⎰∑+dydz y x )(⎰⎰∑前⎰⎰∑后 ()⎰⎰-+--=yz D dydz y z y R 222()yz D y dydz ⎰⎰222cos , sin 20028y r z r y z R d rdr πθθθ==+≤============⎰⎰⎰⎰ . ()3023223432214R r R R r r ππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅--===对积分, 分别用和记右半球面和左半球面的外侧, 则dx dz z y ⎰⎰∑-)(右∑左∑有 : ;右∑,222x z R y --=222 :R z x D zx ≤+ : .左∑,222x z R y ---=222 :R z x D zx ≤+因此, +=-⎰⎰∑dydz z y )(⎰⎰∑右⎰⎰∑左 ()()⎰⎰⎰⎰--------=zx zx D D dzdx z x z R dzdx z x z R 222222《数学分析》下册第二十二章 曲面积分 .⎰⎰≤+=--=2223222342R z x R dzdx x z R π对积分, 分别用和记上半球面和下半球面的外侧, 则dxdy x z ⎰⎰∑+)3(上∑下∑有: ;上∑,222y x R z --=222 :R y x D xy ≤+ : .下∑,222y x R x ---=222 :R y x D xy ≤+因此, =+ dxdy x z ⎰⎰∑+)3(⎰⎰∑上⎰⎰∑下)()33xy xy D D xdxdy x dxdy=-+⎰⎰⎰⎰ .⎰⎰≤+=--=2223222342R y x R dxdy y x R π综上, =.⎰⎰∑++-++dxdy x z dzdx z y dydz y x )3()()(334343R R ππ=⨯作业 P289:1;2.。
第二型曲面积分
⎛ ⎜ = 2 ∫∫ dxdy⎜ ⎜ D xy ⎝ = 2 ∫∫ dxdy ∫
D xy h
⎞ ⎟ ∫ ( x2 + y )dz + 2∫ zdz ⎟ ⎟ x2 + y x + y2 ⎠
h h x +y
2 2
利用被积函 数的奇偶性
zd z
1 4 = ∫∫ ( h − x − y )dxdy = πh 2 D xy π Σ1 : α = β = , cos α = 0, cos β = 0, cos γ = 1 2 2 2 2 = ∫∫ z 2dS ∫∫ ( x cos α + y cos β + z cos γ )dS
Σ
z
h
Σ1
∑
y
cos γ是Σ在点( x , y , z )处的法向量的方向余弦 .
解 加辅助面 Σ1 : z = h ( x 2 + y 2 ≤ h2 )的上侧 Σ + Σ1围成的空间闭区域为 Ω .
P=x , ∂P = 2 x, ∂x
2
Q= y , R=z ; ∂Q ∂R = 2 y, = 2z. ∂y ∂z
2
π
a
0
= −[
a3 3a 3
⋅ 2π +
2 a4 4
(− 22π ) ]
3 4 = − πa 2
∑1
= ∫∫ ( z + a )2 dxdy ∫∫ axdydz + ( z + a ) dxdy
2
∑1
= − ∫∫ a 2dxdy = − πa 4
D xy
1 I= [ a
Σ + Σ1
∫∫
− ∫∫ ] = 1 [ − 3 πa 4 + πa 4 ] = − π a 3
数学分析22.2第二型曲面积分(含习题及参考答案)
第二十二章曲面积分2 第二型曲面积分一、曲面的侧概念：设连通曲面S上到处都有连续变动的切平面(或法线)，M为曲面S上的一点，曲面在M处的法线有两个方向：当取定其中一个指向为正方向时，则另一个指向是负方向。
设M0为S上任一点，L为S上任一经过点M0，且不超出S边界的闭曲线。
动点M在M0处与M0有相同的法线方向，且有：当M从M0出发沿L连续移动时，它的法线方向连续地变动，最后当M沿L回到M0时，若这时M的法线方向仍与M0的法线方向相一致，则称曲面S是双侧曲面；若与M0的法线方向相反，则称S是单侧曲面.默比乌斯带：这是一个典型的单侧曲面例子。
取一矩形长纸带ABCD，将其一端扭转180°后与另一端黏合在一起(即让A与C重合，B与D 重合(如图).注：通常由z=z(x,y)所表示的曲面都是双侧曲面，当以其法线正方向与z轴的正向的夹角成锐角的一侧为正侧(也称为上侧)时，另一侧为负侧(也称为下侧). 当S为封闭曲面时，通常规定曲面的外侧为正侧，内侧为负侧.二、第二型曲面积分的概念引例：设流体以一定的流速v=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))从给定的曲面S 的负侧流向正侧，其中P ,Q,R 为所讨论范围上的连续函数，求单位时间内流经曲面S 的总流量E.分析：设在曲面S 的正侧上任一点(x,y,z)处的单位法向量为 n=(cos α,cos β,cos γ). 这里α,β,γ是x,y,z 的函数，则 单位时间内流经小曲面S i 的流量近似地等于v(ξi ,ηi ,ζi )·n(ξi ,ηi ,ζi )△S i =[P(ξi ,ηi ,ζi )cos αi ,Q(ξi ,ηi ,ζi )cos βi ,R(ξi ,ηi ,ζi )cos γi ]△S i , 其中(ξi ,ηi ,ζi )是S i 上任意取定的一点,cos αi ,cos βi ,cos γi 分别是S i 正侧上法线的方向余弦, 又△S i cos αi ,△S i cos βi ,△S i cos γi 分别是S i 正侧在坐标面yz, zx 和xy 上 投影区域的面积的近似值, 并分别记作△S iyz ,△S izx ,△S ixy , 于是 单位时间内由小曲面S i 的负侧流向正侧的流量也近似地等于 P(ξi ,ηi ,ζi )△S iyz +Q(ξi ,ηi ,ζi )△S izx +R(ξi ,ηi ,ζi )△S ixy ,∴单位时间内由曲面S 的负侧流向正侧的总流量为： E=}),,(),,(),,({lim 10ixy i i i ni izx i i i iyz i i i T S R S Q S P ∆+∆+∆∑=→ζηξζηξζηξ.定义1：设P , Q, R 为定义在双侧曲面S 上的函数，在S 所指定的一侧作分割T ，它把S 分成n 个小曲面S 1,S 2,…,S n 组，分割T 的细度T =ni ≤≤1max {S i 的直径}, 以△S iyz ,△S izx ,△S ixy 分别表示S i 在三个坐标面上的投影区域的面积, 它们的符号由S i 的方向来确定.若S i 的法线正向与z 轴正向成锐角时, S i 在xy 平面的投影区域的面积 △S ixy 为正. 反之，若S i 的法线正向与z 轴正向成钝角时, △S ixy 为负. 在各小曲面S i 上任取一点(ξi ,ηi ,ζi ). 若存在以下极限∑∑∑=→=→=→∆+∆+∆ni ixy iiiT ni izx iiiT ni iyz iiiT S R S Q S P 111),,(lim),,(lim),,(limζηξζηξζηξ，且与曲面S 的分割T 和(ξi ,ηi ,ζi )在S i 上的取法无关，则称此极限为 函数P , Q, R 在曲面S 所指定的一侧上的第二型曲面积分，记作：⎰⎰++Sdxdy z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P ),,(),,(),,(, 或⎰⎰⎰⎰⎰⎰++SSSdxdy z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P ),,(),,(),,(.注：1、流体以v=(P ,Q,R)在单位时间内从曲面S 的负侧流向正侧的总流量E=⎰⎰++Sdxdy z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P ),,(),,(),,(.2、若空间磁场强度为(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z),), 则通过曲面S 的磁通量(磁力线总数) H=⎰⎰++Sdxdy z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P ),,(),,(),,(.性质：1、若⎰⎰++S i i i dxdy R dzdx Q dydz P(i=1,2,…,k)存在，则有dxdy R c dzdx Q c dydz P c k i i i k i i i S k i i i ⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑⎰⎰∑===111=dxdy R dzdx Q dydz P c i i S i ki i ++⎰⎰∑=1,其中c i(i=1,2,…,k)是常数.2、若曲面S 是由两两无公共内点的曲面块S 1,S 2,…,S k 所组成，且⎰⎰++iS RdxdyQdzdx Pdydz(i=1,2,…,k)存在，则有⎰⎰++SRdxdy Qdzdx Pdydz =∑⎰⎰=++ki S Rdxdy Qdzdx Pdydz i1.三、第二型曲面积分的计算定理22.2：设连续函数R 定义在光滑曲面S ：z=z(x,y), (x,y)∈D xy 上, 以S 的上侧为正侧(即S 的法线方向与z 轴正向成锐角)，则有⎰⎰Sdxdy z y x R ),,(=⎰⎰xyD dxdy y x z y x R )),(,,(.证：由第二型曲面积分定义得⎰⎰Sdxdy z y x R ),,(=ixy ni iiiT S R ∆∑=→1),,(lim ζηξ=ixy ni i i i i d S z R ∆∑=→1)),(,,(lim ηξηξ，其中d=max{S ixy 的直径}. ∴由T =ni ≤≤1max {S i 的直径}→0, 可推得d →0, 又R 在S 上连续，z 在D xy 上连续(即曲面光滑)，根据复合函数的连续性, R(x,y,z(x,y))在D xy 上也连续. 由二重积分的定义，有⎰⎰xyD dxdy y x z y x R )),(,,(=ixyni iiiid Sz R ∆∑=→1)),(,,(lim ηξηξ，∴⎰⎰Sdxdy z y x R ),,(=⎰⎰xyD dxdy y x z y x R )),(,,(.注：同理可得，当P 在光滑曲面S ：x=x(y,z), (y,z)∈D yz 上连续时, 有 则有⎰⎰Sdydz z y x P ),,(=⎰⎰yzD dydz z y z y x P ),),,((.这里S 是以S 的法线方向与x 轴正向成锐角的那一侧为正侧. 当Q 在光滑曲面S ：y=y(z,x), (z,x)∈D zx 上连续时, 有 则有⎰⎰Sdzdx z y x Q ),,(=⎰⎰zxD dzdx z x z y x Q )),,(,(.这里S 是以S 的法线方向与y 轴正向成锐角的那一侧为正侧.例1：计算⎰⎰Sxyzdxdy ，其中S 是球面x 2+y 2+z 2=1在x ≥0, y ≥0部分并取球面外侧.解：S 在第一、五卦限部分分别为：S 1：z 1=221y x --; S 2：z 2=-221y x --; D xy ={(x,y)|x 2+y 2≤1, x ≥0, y ≥0}, 依题意积分沿S 1上侧和S 2下侧进行， ∴⎰⎰Sxyzdxdy =⎰⎰1S xyzdxdy +⎰⎰2S xyzdxdy=⎰⎰--xyD dxdy y x xy 221-⎰⎰---xyD dxdy y x xy 221=2⎰⎰-201023cos sin 1πθθθdr r r d =⎰2022sin 151πθθd =152.注：如果光滑曲面S 由参量方程给出：S: ⎪⎩⎪⎨⎧===),(),(),(v u z z v u y y v u x x , (u,v)∈D.若在D 上各点的函数行列式),(),(v u y x ∂∂,),(),(v u z y ∂∂,),(),(v u x z ∂∂不同时为0，则有 ⎰⎰SPdydz =⎰⎰∂∂±Ddudv v u z y v u z v u y v u x P ),(),()),(),,(),,((, ⎰⎰SQdzdx =⎰⎰∂∂±Ddudv v u x z v u z v u y v u x Q ),(),()),(),,(),,((, ⎰⎰SRdxdy =⎰⎰∂∂±Ddudv v u y x v u z v u y v u x R ),(),()),(),,(),,((, 其中正负号分别对应S 的两个侧，特别当uv 平面的正方向对应于曲面S 的所选定的正向一侧时，取正号，否则取负号.例2：计算⎰⎰Sdydz x 3,其中S 为椭球面222222cz b y a x ++=1的上半部并选取外侧.解：把曲面表示为参数方程：x=asin φcos θ, y=bsin φsin θ, z=ccos φ, 0≤φ≤2π, 0≤θ≤2π. 则),(),(θϕ∂∂z y =sin cos sin sin cos ϕθϕθϕc b b -=bcsin 2φcos θ, 又积分在S 的正侧，∴⎰⎰Sdydz x 3=⎰⎰⋅20202333cos sin cos sin ππθθϕθϕϕd bc a d=⎰⎰2020453cos sin ππθθϕϕd d bc a =52πa 3bc.四、两类曲面积分的联系定理22.3：设S 为光滑曲面，正侧法向量为(cos α,cos β,cos γ), P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)在S 上连续，则⎰⎰++SRdxdy Qdzdx Pdydz =⎰⎰++SdS R Q P )cos cos cos (γβα.证：⎰⎰Sdxdy z y x R ),,(=ixy ni i i i T S R ∆∑=→1),,(lim ζηξ, 又△S i =dxdy ixyS ⎰⎰γcos 1. 由S 光滑知cos γ在区域S ixy 上连续. 应用中值定理，在S ixy 内必存在一点，使这点的法线方向与z 轴正向的夹角γi °满足 △S i =ixy i S ∆°cos 1γ,即△S ixy =cos γi °△S i .∴R(ξi ,ηi ,ζi )△S ixy =R(ξi ,ηi ,ζi )cos γi °△S i . 于是ixy ni i i i S R ∆∑=1),,(ζηξ=i ni i i i i S R ∆∑=1°cos ),,(γζηξ. 以cos γi 表示曲面S i 在点(x i ,y i ,z i )的法线方向与z 轴正向夹角的余弦，由cos γ的连续性，知当T →0时，i ni i i i i S R ∆∑=1°cos ),,(γζηξ的极限存在, ∴⎰⎰Sdxdy z y x R ),,(=⎰⎰SdS z y x R γcos ),,(. 同理可证：⎰⎰Sdydz z y x P ),,(=⎰⎰SdS z y x P αcos ),,(; ⎰⎰S dzdx z y x Q ),,(=⎰⎰SdS z y x Q βcos ),,(.∴⎰⎰++SRdxdy Qdzdx Pdydz =⎰⎰++SdS R Q P )cos cos cos (γβα.注：当改变曲面的侧时，左边积分改变符号，右边积分中的角要加减π以改变余弦的符号.定理22.4：设P , Q, R 是定义在光滑曲面S: z=z(x,y), (x,y)∈D 上的连续函数，以S 的上侧为正侧，则⎰⎰++Sdxdyz y x R dzdx z y x Q dydz z y x P ),,(),,(),,(=⎰⎰+-+-Dy x dxdy y x z y x R z y x z y x Q z y x z y x P ))),(,,()))(,(,,()))(,(,,(.证：cos α=221yx x z z z ++-, cos β=221yx y z z z ++-, cos γ=1, dS=221y x z z ++dxdy.∴⎰⎰++Sdxdyz y x R dzdx z y x Q dydz z y x P ),,(),,(),,(=⎰⎰++SdS z y x R z y x Q z y x P )cos ),,(cos ),,(cos ),,((γβα=⎰⎰+-+-Dy x dxdy y x z y x R z y x z y x Q z y x z y x P ))),(,,()))(,(,,()))(,(,,(.例3：计算⎰⎰++Szdxdy dydz z x )2(,其中S={(x,y,z)|z=x 2+y 2, z ∈[0,1]},取上侧.解：∵z x =2x, z y =2y,∴⎰⎰++Szdxdy dydz z x )2(=⎰⎰++++-Ddxdyy x y x x x )]()2(2[2222=⎰⎰++-+-Ddxdy y x x x )])(12(4[222=⎰⎰+-+-πθθθ2010323])1cos 2(cos 4[drr r r d=⎰+--πθθθ202)41cos 52cos (d =2π-.注：由于x(x 2+y 2)是奇函数，∴⎰⎰+Ddxdy y x x )(22=0，又由对称性有⎰⎰Ddxdy x 2=⎰⎰Ddxdy y 2，∴例3中也可化简⎰⎰++Szdxdy dydz z x )2(=⎰⎰++++-Ddxdyy x y xx x )]()2(2[2222=⎰⎰-Ddxdy x y )3(22=-⎰⎰Ddxdy x 22=-⎰⎰πθθ20123cos 2dr r d =-⎰πθθ202cos 21d =2π-. 习题1、计算下列第二型曲面积分：(1)⎰⎰+++-Sdxdy xz y dzdx x dydz z x y )()(22，其中S 为由x=y=z=0, x=y=z=a 六个平面围成的立方体表面并取外侧为正向； (2)⎰⎰+++++Sdxdy x z dzdx z y dydz y x )()()(，其中S 为以原点为中心，边长为2的立方体表面并取外侧为正向； (3)⎰⎰++Szxdxdy yzdzdx xydydz ，其中S 为由x=y=z=0, x+y+z=1所围的四面体表面并取外侧为正向； (4)⎰⎰Syzdzdx ，其中S 为球面x 2+y 2+z 2=1的上半部分并取外侧为正向；(5)⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x 222，其中S 为球面(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=R 2并取外侧为正向. 解：(1)∵⎰⎰-Sdydz z x y )(=⎰⎰⎰⎰+-aaaazdz ydy dz z a ydy 0000)(=24a ;⎰⎰Sdzdx x 2=⎰⎰⎰⎰-a aa a dx x dz dx x dz 002002=0;⎰⎰+Sdxdy xz y)(2=⎰⎰⎰⎰-+a aa a dy y dx dy ax y dx 022)(=24a .∴⎰⎰+++-S dxdy xz y dzdx x dydz z x y )()(22=24a +24a =a 4.(2)∵⎰⎰+Sdydz y x )(=⎰⎰⎰⎰----+--+11111111)1()1(dz dy y dz dy y =8,⎰⎰+Sdzdx z y )(=⎰⎰+Sdxdy x z )(=8,∴⎰⎰+++++Sdxdy x z dzdx z y dydz y x )()()(=24.(3)∵⎰⎰Sxydydz =⎰⎰---yydz z y dy 1010)1(=241,⎰⎰S yzdzdx =⎰⎰Szxdxdy =241. ∴⎰⎰++Szxdxdy yzdzdx xydydz =81.(4)令x=sin φcos θ, y=sin φsin θ, z=cos φ, 0≤φ≤2π, 0≤θ≤2π, 则),(),(θϕ∂∂x z =θϕθϕϕsin sin cos cos 0sin -=sin 2φsin θ, 又积分在S 的正侧，∴⎰⎰Syzdzdx =⎰⎰ππθθϕϕϕ202320sin sin cos d d =4π.(5)令x=Rsin φcos θ+a, y=Rsin φsin θ+b, z=Rcos φ+c, 0≤φ≤π, 0≤θ≤2π, 则),(),(θϕ∂∂z y =sin cos sin sin cos ϕθϕθϕR R R -=R 2sin 2φcos θ, 又积分在S 的正侧，∴⎰⎰Sdydz x 2=⎰⎰+ππθθϕθϕϕ202220cos sin )cos sin (d R a R d=⎰⎰++ππθθϕθϕθϕϕ202222333440)cos sin cos sin 2cos sin (d R a aR R d=⎰πϕϕπ033sin 2d aR=338aR π. 根据变换的对称性，可得：⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x 222=)(383c b a R ++π. 解法二：令x=rcos θ+a, y=rsin θ+b, 则⎰⎰Sdxdy z 2=rdr r R c d R ⎰⎰-+022220)(πθ-rdr r R c d R⎰⎰--022220)(πθ=4c dr r R r d R⎰⎰-02220πθ=338cR π. 根据变换的对称性，可得：⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x 222=)(383c b a R ++π.2、设某流体的流速为v=(k,y,0), 求单位时间内从球面x 2+y 2+z 2=4的内部流过球面的流量.解：E=⎰⎰+Sydzdx kdydz , 又⎰⎰S kdydz =⎰⎰S dydz k -⎰⎰Sdydz k =0(注：球前+球后).∴E=⎰⎰Sydzdx =⎰⎰ππθθϕϕ20230sin sin 8d d =π332.3、计算第二型曲面积分I=⎰⎰++Sdxdy z h dzdx y g dydz x f )()()(, 其中S 是平行六面体0≤x ≤a, 0≤y ≤b, 0≤z ≤c 的表面并取外侧为正向, f(x),g(y),h(z)为S 上的连续函数.解：⎰⎰Sdydz x f )(=⎰⎰-cbdz f a f dy 00)]0()([=bc[f(a)-f(0)],同理有：⎰⎰Sdzdx y g )(=ac[g(b)-g(0)],⎰⎰Sdxdy z h )(=ab[h(c)-h(0)],∴I=bc[f(a)-f(0)]+ac[g(b)-g(0)]+ab[h(c)-h(0)].4、设磁场强度为E(x,y,z)=(x 2,y 2,z 2), 求从球内出发通过上半球面x 2+y 2+z 2=a 2, z ≥0的磁通量.解：设磁通量为φ, 则φ=⎰⎰++Szdxdy ydzdx xdydz .利用球坐标变换有⎰⎰Szdxdy =⎰⎰ππθϕϕϕ202320sin cos d a d =323a π.又由变换后的对称性，有φ=3zdxdy=2πa3.S。
第二型曲面积分
z
1
zdx dy
0
2
D xy
x 2 y 2 dxdy
2 . 3
D xy
d
1 2 d 0
x
1
o
1
y
( 2 ) 1 2 ,
1 : z
x 2 y 2 , 0 z 1, 下侧 ;
2
z
1
1
D xy
2 : z 1, x 2 y 2 1, 下侧;
例1. 计算 zdx dy ,
（1） 为锥面 z x 2 y 2 在 0 z 1 部分的下侧；
（2） 为锥面 z x 2 y 2 与平面 z 1 所围曲面的内侧.
： z x2 y2 ， 0 z 1 ，下侧， 解： （1）
D xy {( x , y ) x 2 y 2 1} ,
{dyd ,dzz dx,dxdy},
d 0
P( x, y, z ) cos Q( x, y, z ) cos R( x, y, z ) cos dS
(S )
其中 dS en dS (cos dS , cos dS , cos dS ) (dy dz, dz dx, dx dy)
D xy {( x , y ) x 2 y 2 1} ,
zdx dy
1
2
xy
x
1
o
1
y
D xy
2 x y dxdy dxdy . 3 3 D2 2例 2．计算 I
数学分析3课件：数学分析_22-2 第二型曲面积分
S
D yz
(前正后负)
若曲面 S 是母线平行于 x 轴的柱面（垂直于 yz 坐
标面） S : ( y, z) 0
则 P(x, y, z)d y d z 0
S 首页 ×
积分 Q( x, y, z)d z d x 的计算方法
S
将曲面 S 表示为
Q( x, y, z)d z d x Q( x, y(z, x), z)d z d x
首页 ×
三、第二型曲面积分的计算 定理22.2 设光滑曲面
取上侧,
是 S 上的连续函数, 则
R( x, y, z)d x d y R( x, y, z(x, y) )d x d y
S
Dxy
注：积分 R( x, y, z)d x d y 的计算，必须先将曲面Sຫໍສະໝຸດ 表示成：再代公式计算
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n
§2 第二型曲面积分
双侧曲面 • 曲面分类
单侧曲面
曲面分内侧和 外侧
莫比乌斯带
(单侧曲面的典型)
曲面分左侧和 右侧
曲面分上侧和 下侧
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设连通曲面 S 上处处有连续
L
变动的切平面（或法线）
M0
设 M0 为曲面 S 上一点，确定 曲面在M0 点的一个法线 方向为正方向，另一个方向为负方向.
L 为 S 上任一经过点 M0 且不超出 S 边界的闭曲线. 设点 M 从 M0 出发，沿 L 连续移动， M 在 M0 点与M0 有相同的法线方向，当点 M 连续移动时，其法线方向
z
S1 : z 1 x2 y2
S1
S2 : z 1 x2 y2
O
x2 y2 1
( x,
y)
Dx y
第二类曲面积分总结
第二类曲面积分总结
第二类曲面积分总结
前言
在数学中，曲面积分是研究曲面上的函数积分的一种方法。
曲面积分分为第一类曲面积分和第二类曲面积分。
本文将重点介绍第二类曲面积分及其相关内容。
正文
1. 第二类曲面积分的概念
第二类曲面积分也称为“通量”，是一种通过曲面的向量场计算流量的方法。
第二类曲面积分可以用来求解流体的流量、电场的电通量等问题。
2. 曲面方程的参数化表示
为了进行曲面积分的计算，需要将曲面方程进行参数化表示。
参数化表示可以将曲面上的点用参数方程表示，从而简化曲面积分的计算过程。
3. 第二类曲面积分的计算公式
根据曲面的参数化表示和向量场的定义，可以推导出第二类曲面积分的计算公式。
常见的计算公式包括高斯定理和斯托克斯定理。
4. 曲面法向量的确定
在计算曲面积分时，需要确定曲面的法向量。
法向量的确定可以根据曲面方程的表达式及参数化表示进行求解，常见的方法包括求偏导和向量积等。
5. 应用举例
第二类曲面积分在物理学等领域有广泛的应用。
例如，可以用来计算物体受力、电荷分布等方面的问题，也可以应用于流体力学、电磁学等学科。
结尾
通过本文的介绍，我们了解到第二类曲面积分是一种通过曲面的向量场计算流量的方法。
它在数学和物理学等领域有着广泛的应用。
掌握了第二类曲面积分的概念、参数化表示、计算公式和曲面法向量的确定方法，我们能够更好地应用它进行问题求解。
希望本文对读者能够有所帮助，进一步拓展对第二类曲面积分的理解和运用。
第二类曲面积分
Rd x d y 称为R 在有向曲面上对 x, y 的曲面积分.
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说明：
引例中，流向 指定一侧的液体的流量 为：
v(
x,
y,
z)
n
0
(
x,
y,
z)dS
Pd y d z Qd z d x Rdx d y
第二类曲面积分存在的必要条件:
i 1
R(i ,i , i )(Si )xy ]
3.取极限 0 取极限得到流量的精确值.
lim
0
n i 1
vi
ni0Si
n
lim
0
[P(i ,i
i 1
,
i
)(Si
) yz
Q(i
,i ,
i
)(Si
)xz
R(i ,i , i )(Si )xy ]
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第二类曲面积分的定义：
为 的前侧（正侧），另一侧称为后侧（负侧）。
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（3）若的方程为 y y(z, x)： 规定：法向量与 y 轴正向的夹角为锐角的一侧称
为 的右侧（正侧），另一侧称为左侧（负侧）。 （4）若 为封闭曲面:
规定：法向量朝外的一侧称为 的外侧（正侧）， 朝内的一侧称为内侧（负侧）。
Q F n0dS adS a dS
a 表面积 4 a3
事实上，容易求得：n0
1 {x,
y, z}
a
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例 2：把对坐标的曲面积分
P( x, y, z)dydz Q( x, y, z)dzdx R( x, y, z)dxdy
曲面积分_第二类型
F dS 与 1
S
F
S
2
dS 存在, 则
k F + k F dS k F dS + k F dS ,
1 1 2 2 1 1 2 2 S S S
其中
k1 , k2
为任意常数．
3 F dS F dS + F dS .
.
0 得到流量 m 的精确值
n i 1
m lim vi ni Si
0
设 ni (cos i , cos i , cos i )
,则
P(i ,i , i ) cos i m lim 0 i 1
+ Q(i ,i , i ) cos i
x dydz x dydz + x dydz
2 2 2
前 后 前
z
0
y
2 2 + x dydz (4 y ) dydz
D yz
后
2 x dydz ( 4 y ) dydz 2
D yz
0 0
y
原式 0
x
y
例4
0 : x 2 + y 2 + z 2 1 介于 x 0, y 0 部分的外侧 解 : z 1 x2 y2 z
8-5 第二型曲面积分 1. 双侧曲面 1.双侧曲面; 曲面的分类:
典 型 双 侧 曲 面
2.单侧曲面.
n
动点在双侧曲面上连续移动(不跨越曲面的边 界)并返回到起始点时,其法向量的指向不变.
• 曲面分类
双侧曲面
单侧曲面
曲面分上侧和下侧
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v
A
n0
A
流量
A v cos
Av n 0
v
A
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数学分析
(2) 设稳定流动的不可压缩流体(假定密度为 1)
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数学分析
性质:
1. PdyQ dzd zR dxdxdy 12
PdyQ dzd zR dxdx dPydyQ dzd zR dxdxd
1
2
2. P(x, y,z)dydzP(x, y,z)dydz
数学分析
222第二型曲面积分
数学分析
曲面的分类: 1.双侧曲面; 2.单侧曲面.
典
型 双 侧
n
曲
面
M0
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M0
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典型单侧曲面: 莫比乌斯带
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典型单侧曲面: 莫比乌斯带
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典型单侧曲面: 莫比乌斯带
数学分析
M0
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曲面的投影问题: 在 有 向 曲 面 Σ 上 取 一 小 块
曲面 S, S 在 xo 面 上 y 的( 投 S)x为 影 y
()xy 当cos0时
(S)xy()xy 当cos0时 .
0
当cos0时
其中 ()xy表示投影区域.的面积
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数学分析
二、概念的引入
实例: 流向曲面一侧的流量.
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典型单侧曲面: 莫比乌斯带
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典型单侧曲面: 莫比乌斯带
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典0
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典型单侧曲面: 莫比乌斯带
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M0
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曲面法向量的指向决定曲面的侧.
数学分析
决定了侧的曲面称为有向曲面.
3.取极限 0取极限得到 的流 精量 确 . 值
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三、概念及性质
数学分析
定 义 ： 设 是 光 滑 的 有 向 曲 面 ， 函 数 R 在 上 有 界 .
把 分 成 n 块 小 曲 面 S i ( S i 也 表 示 该 小 块 的 面 积 ) ，
S i在 x o y 面 上 的 投 影 为 ( S i) x y ,(i,i, i)是 S i上
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数学分析
记 作 R (x ,y ,z )dx , 即 dy
n
R (x ,y ,z)dx l d i0i m 1 y R (i,i,i) (S i)xy
被积函数
积分曲面
类似可定义
n
P (x ,y ,z)dy ld i0i m z 1P (i,i, i) (S i)yz
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数学分析
第 在 (1则. ii 分该,小 s割点ii上 块 ,流任 曲 i)把 速,取 面 曲 为一 的 面 点 面 v Σ i 积 分 ),成 nz 小 块 S i si( nsi•i同 v时 i (也 i代 ,表 i,i)
法向量为
n
i
o
y
x
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数学分析
v i v (i,i,i)
数学分析
组合形式:
P ( x ,y ,z ) d y d z Q ( x ,y ,z ) d z d x R ( x ,y ,z ) d x d y
物理意义: v(P,Q,R)
P ( x ,y ,z ) d y d z Q ( x ,y ,z ) d z d x R ( x ,y ,z ) d x d y
n
Q (x ,y ,z)dz l d i0i x m 1Q (i,i,i) (S i)zx
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存在条件: 当 P ( x , y , z ) , Q ( x , y , z ) , R ( x , y , z ) 在 有 向 光 滑 曲 面 上 连 续 时 ， 对 坐 标 的 曲 面 积 分 存 在 .
任意一点.如 果 当 各 小 块 曲 面 的 最 大 直 径 0 时 ，
n
li m 0i1R (i, i, i)(Si)xy 存 在 ，
则 称 此 极 限 为 函 数 R ( x , y , z ) 在 有 向 曲 面 上 对 坐 标
x , y 的 曲 面 积 分 ( 也 称 为 第 二 型 曲 面 积 分 ) .
的速度场由
v( x, y, z) P( x, y, z)i Q( x, y, z) j R( x, y, z)k
给出,Σ是速度场中的一片有向曲面,函数
P( x, y, z), Q( x, y, z), R( x, y, z) z
都在Σ上连续, 求在单位
时间内流向Σ指定侧的流
体的质量.
o
y
x
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P (i,i,i) i Q (i,i,i)j R (i,i,i) k ,
该 n i 0 点 处 c 曲 面 o ii Σ 的 c s 单 位 o i j 法 向 c s 量 o ik ,s
通 过 s i 流 向 指 定 侧 的 流 量 的 近 似 值 为
v in i S i ( i 1 ,2 , ,n ).
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典型单侧曲面: 莫比乌斯带
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n
2. 求和 通 过 Σ 流 向 指 定 侧 的 流 量 vi niSi
i1
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n
vi niSi
i1
n
[P(i,i,i)coisQ(i,i,i)cois
i1
R(i,i,i)cois]Si
n
[P(i,i,i) (Si)yzQ(i,i,i) (Si)xz
i1
R(i,i,i) (Si)xy