鲁教版五四制九年级上册数学全册单元测试卷

鲁教版五四制九年级上册数学全册试卷（四套单元测试卷+一套期末测试卷）第一章测试卷一、选择题(每题3分，共30分)1．下列函数中，表示y是x的反比例函数的是()A．x(y＋1)＝1B．y＝1x－1C．y＝－1x2D．y＝12x2．反比例函数y＝kx的图象经过点(3，－2)，下列各点在图象上的是() A．(－3，－2) B．(3，2) C．(－2，－3) D．(－2，3)3．已知反比例函数y＝3x，下列结论中不正确的是()A．其图象经过点(3，1) B．其图象分别位于第一、第三象限C．当x＞0时，y随x的增大而减小D．当x＞1时，y＞34．为了更好保护水资源，造福人类，某工厂计划建一个容积V(m3)一定的污水处理池，池的底面积S(m2)与其深度h(m)满足关系式V＝Sh(V≠0)，则S关于h 的函数图象大致是()5．若在同一直角坐标系中，正比例函数y＝k1x与反比例函数y＝k2x的图象无交点，则有()A．k1＋k2＞0 B．k1＋k2＜0 C．k1k2＞0 D．k1k2＜06．已知点A(－1，y1)，B(2，y2)都在双曲线y＝3＋mx上，且y1>y2，则m的取值范围是()A．m<0 B．m>0 C．m>－3 D．m<－37．y＝ax＋b与y＝a－bx，其中ab＜0，a，b为常数，它们在同一坐标系中的图象可以是()8．如图所示，直线y＝x＋2与双曲线y＝kx相交于点A，点A的纵坐标为3，则k的值为()A．1 B．2 C．3 D．49．如图，A，B两点在反比例函数y＝k1x的图象上，C，D两点在反比例函数y＝k2x的图象上，AC⊥x轴于点E，BD⊥x轴于点F，AC＝2，BD＝3，EF＝10 3，则k2－k1的值为()A．4 B.143 C.163D．610．反比例函数y＝ax(a＞0，a为常数)和y＝2x在第一象限内的图象如图所示，点M在y＝ax的图象上，MC⊥x轴于点C，交y＝2x的图象于点A；MD⊥y轴于点D，交y＝2x的图象于点B.当点M在y＝ax(x＞0)的图象上运动时，以下结论：①S△ODB＝S△OCA；②四边形OAMB的面积不变；③当点A是MC的中点时，点B是MD的中点．其中正确的结论有()A．0个B．1个C．2个D．3个二、填空题(每题3分，共24分)11．一个反比例函数的图象过点A (－2，－3)，则这个反比例函数的表达式是________．12．若点(2，y 1)，(3，y 2)在函数y ＝－2x 的图象上，则y 1________y 2(填“>”“<”或“＝”)． 13．已知直线y ＝ax (a ≠0)与反比例函数y ＝kx (k ≠0)的图象一个交点的坐标为(2，4)，则它们另一个交点的坐标是________．14．某闭合电路，电源的电压为定值，电流I (A)与电阻R (Ω)成反比例．如图表示的是该电路中电流I 与电阻R 之间的函数关系的图象，当电阻R 为6 Ω时，电流I 为________A.15．如图，点A 是反比例函数图象上一点，过点A 作AB ⊥y 轴于点B ，点P 在x 轴上，且△ABP 的面积为6，则这个反比例函数的表达式为________．16．如图，矩形ABCD 在第一象限，AB 在x 轴的正半轴上(点A 与点O 重合)，AB ＝3，BC ＝1，连接AC ，BD ，交点为M .将矩形ABCD 沿x 轴向右平移，当平移距离为________时，点M 在反比例函数y ＝1x 的图象上．17．如图，过原点O的直线与两反比例函数的图象在第一象限内分别交于点A，B，且A为OB的中点，若函数y1＝1x，则y2与x的函数表达式是____________．18.如图，在直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与原点重合，顶点A，C分别在x轴，y轴上，反比例函数的图象与正方形的两边AB，BC分别交于点M，N，ND⊥x轴，垂足为D，连接OM，ON，MN.下列结论：①△O≌△OAM；②ON＝MN；③四边形DAMN与△MON面积相等；④若∠MON＝45°，MN＝2，则点C的坐标为(0，2＋1)．其中正确结论的序号是____________．三、解答题(19～21题每题8分，22～24题每题10分，25题12分，共66分) 19．已知y与x－1成反比例，且当x＝－5时，y＝2.(1)求y与x的函数关系式；(2)当x＝5时，求y的值．20．如图，已知一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝8x的图象交于A，B两点，点A的横坐标是2，点B的纵坐标是－2.(1)求一次函数的表达式；(2)求△AOB的面积．21．已知反比例函数y＝4 x.(1)若该反比例函数的图象与直线y＝kx＋4(k≠0)只有一个公共点，求k的值；(2)如图，反比例函数y＝4x(1≤x≤4)的图象记为曲线C1，将C1向左平移2个单位长度，得曲线C2，请在图中画出C2，并直接写出C1平移到C2处所扫过的面积．22．如图，一次函数y＝kx＋5(k为常数，且k≠0)的图象与反比例函数y＝－8 x的图象交于A(－2，b)，B两点．(1)求一次函数的表达式；(2)若将直线AB向下平移m(m＞0)个单位长度后，与反比例函数的图象有且只有一个公共点，求m的值．23．如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，A，C分别在y轴，x轴上，点B的坐标为(4，2)，直线y＝－12x＋3分别交AB，BC于点M，N，反比例函数y＝kx的图象经过点M，N.(1)求反比例函数的表达式；(2)若点P在y轴上，且△OPM的面积与四边形BMON的面积相等，求点P的坐标．24．教师办公室有一种可以自动加热的饮水机，该饮水机的工作程序是：放满水后，接通电源，则自动开始加热，每分钟水温上升10 ℃，待加热到100 ℃，饮水机自动停止加热，水温开始下降，水温y(℃)和通电时间x(min)成反比例函数关系，直至水温降至室温，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为20 ℃，接通电源后，水温y(℃)和通电时间x(min)之间的关系如图所示，回答下列问题：(1)分别求出当0≤x≤8和8＜x≤a时，y和x之间的函数关系式；(2)求出图中a的值；(3)李老师这天早上7：30将饮水机电源打开，若他想在8：10上课前喝到不低于40 ℃的开水，则他需要在什么时间段内接水？25．如图，正比例函数y＝2x的图象与反比例函数y＝kx的图象交于A，B两点，过点A作AC⊥x轴于点C，连接BC，若△ABC的面积为2.(1)求k的值．(2)x轴上是否存在一点D，使△ABD为直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．答案一、1.D 2.D 3.D 4.C5．D ：若k 1，k 2同正或同负其图象均有交点．6．D ：由题意知，反比例函数图象在第二、四象限，所以3＋m <0，即m <－3. 7．C8．C ：把y ＝3代入y ＝x ＋2，得x ＝1.∴A (1，3)．把点A 的坐标代入y ＝kx ，得k ＝xy ＝3.9．A ：设A 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，k 1m ，B 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，k 1n ，则C 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，k 2m ，D点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，k 2n ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧n －m ＝103，k 1－k2m ＝2，解得k 2－k 1＝4.k 2－k 1n ＝3，10．D ：①由于A ，B 在同一反比例函数y ＝2x 的图象上，则S △O DB ＝S △O CA ＝12×2＝1，∴①正确；②由于矩形OCMD 、△ODB 、△OCA 的面积为定值，则四边形OAMB 的面积不会发生变化，∴②正确；③连接OM ，当点A 是MC 的中点时，S △O AM ＝S △O AC . ∵S △O D M ＝S △OCM ＝a2， 又S △O DB ＝S △O CA ， ∴S △O B M ＝S △O A M ， ∴S △O BD ＝S △O B M ， ∴点B 是MD 的中点， ∴③正确． 二、11.y ＝6x 12.<13．(－2，－4) ：∵反比例函数的图象与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，∴另一个交点的坐标与点(2，4)关于原点对称，∴该点的坐标为(－2，－4)．14．115．y ＝12x ：连接O A ，则△ABP 与△AB O 的面积都等于6，所以反比例函数的表达式是y ＝12x .16.12 ：将矩形ABCD 沿x 轴向右平移后，过点M 作ME ⊥AB 于点E ，则AE ＝12AB ＝32，ME ＝12BC ＝12.设OA ＝m ，则OE ＝OA ＋AE ＝m ＋32，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋32，12.∵点M 在反比例函数y ＝1x 的图象上，∴12＝1m ＋32，解得m ＝12. 17．y 2＝4x 18.①③④三、19.解：(1)设y 与x 的函数关系式为y ＝kx －1，由题意得2＝k－5－1，解得k ＝－12.∴y 与x 的函数关系式为 y ＝－12x －1.(2)当x ＝5时，y ＝－12x －1＝ －125－1＝－3. 20．解：(1)反比例函数y ＝8x 中x ＝2，则y ＝4， ∴点A 的坐标为(2，4)．反比例函数y ＝8x 中y ＝－2，则－2＝8x ，解得x ＝－4， ∴点B 的坐标为(－4，－2)． ∵一次函数的图象过A 、B 两点， ∴⎩⎨⎧4＝2k ＋b ，－2＝－4k ＋b ，解得 ⎩⎨⎧k ＝1，b ＝2，∴一次函数的表达式为y ＝x ＋2. (2)令y ＝x ＋2中x ＝0，则y ＝2， ∴点C 的坐标为(0，2)，∴S △A O B ＝12OC ·(x A －x B )＝12×2×[2－(－4)]＝6.21. 解：(1)联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x ，y ＝kx ＋4，得kx 2＋4x －4＝0.∵反比例函数的图象与直线y ＝kx ＋4(k ≠0)只有一个公共点，∴Δ＝16＋16k ＝0， ∴k ＝－1.(2)如图所示，C 1平移至C 2处所扫过的面积为2×3＝6.22．解：(1)根据题意，把A (－2，b )的坐标分别代入一次函数和反比例函数表达式，得⎩⎨⎧b ＝－2k ＋5，b ＝－8－2.解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4，k ＝12.所以一次函数的表达式为y ＝12x ＋5.(2)将直线AB 向下平移m(m ＞0)个单位长度后，直线AB 对应的函数表达式为y ＝12x ＋5－m .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－8x ，y ＝12x ＋5－m 得12x 2＋(5－m )x ＋8＝0.易知Δ＝(5－m )2－4×12×8＝0，解得m ＝1或m ＝9. 23．解：(1)由题意易得点M 的纵坐标为2.将y ＝2代入y ＝－12x ＋3，得x ＝2.∴M (2，2)．把点M 的坐标代入y ＝kx ，得k ＝4， ∴反比例函数的表达式是y ＝4x .(2)由题意得S △OPM ＝12OP·AM ，S 四边形BMON ＝S 矩形OABC －S △AOM －S △CON ＝4×2－2－2＝4， ∵S △OPM ＝S 四边形BMON ， ∴12OP·AM ＝4. 又易知AM ＝2，∴OP ＝4.∴点P 的坐标是(0，4)或(0，－4)． 24．解：(1)当0≤x ≤8时，设y ＝k 1x ＋b ，将(0，20)，(8，100)的坐标分别代入y ＝k 1x ＋b ，可求得k 1＝10，b ＝20. ∴当0≤x ≤8时，y ＝10x ＋20. 当8＜x ≤a 时，设y ＝k 2x ， 将(8，100)的坐标代入y ＝k 2x ，得k 2＝800.∴当8<x ≤a 时，y ＝800x .综上，当0≤x ≤8时，y ＝10x ＋20； 当8＜x ≤a 时，y ＝800x .(2)将y ＝20代入y ＝800x ， 解得x ＝40，即a ＝40. (3)当y ＝40时，x ＝80040＝20.∴要想喝到不低于40 ℃的开水，x 需满足8≤x ≤20，即李老师要在7：38到7：50之间接水．25．解：(1)∵正比例函数图象与反比例函数图象的两个交点关于原点对称，∴S △AOC ＝S △BOC ＝12S △ABC ＝1.又∵AC ⊥x 轴，∴k ＝2.(2)假设存在这样的点D ，设点D 的坐标为(m ，0)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，y ＝2x 解得⎩⎨⎧x 1＝1，y 1＝2，⎩⎨⎧x 2＝－1，y 2＝－2.∴A (1，2)，B (－1，－2)． ∴AD ＝（1－m ）2＋22， BD ＝（m ＋1）2＋22，AB ＝（1＋1）2＋（2＋2）2＝2 5. 当D 为直角顶点时，∵AB ＝2 5，∴O D ＝12AB ＝ 5. ∴D 的坐标为(5，0)或(－5，0)． 当A 为直角顶点时，由AB 2＋AD 2＝BD 2，得(2 5)2＋(1－m )2＋22＝(m ＋1)2＋22， 解得m ＝5，即D (5，0)．当B 为直角顶点时，由BD 2＋AB 2＝AD 2，得(m ＋1)2＋22＋(2 5)2＝(1－m )2＋22， 解得m ＝－5，即D (－5，0)．∴存在这样的点D ，使△ABD 为直角三角形，点D 的坐标为(5，0)或(－5，0)或(5，0)或(－5，0)．第二章达标测试卷一、选择题(每题3分，共30分)1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝1，BC ＝3，则∠A 的正切值为( ) A ．3 B.13 C.1010 D.310102．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，t A n B ＝32，BC ＝2 3，则AC 等于( )A ．3B ．4C ．43 D ．63．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 的三个顶点均在格点上，则tan ∠ABC 的值为( )A.35B.34C.105D ．14．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AC ⊥AB ，AD ＝CD ，cos ∠DCA ＝45，BC ＝10，则AB 的长是( )A ．3B ．6C ．8D ．95．为了测量被池塘隔开的A ，B 两点之间的距离，根据实际情况，作出如图所示的图形，其中AB ⊥BE ，EF ⊥BE ，AF 交BE 于点D ，C 在BD 上．有四位同学分别测量出以下4组数据：①BC ，∠ACB ；②CD ，∠ACB ，∠ADB ；③EF ，DE ，BD ；④DE ，DC ，BC .能根据所测数据，求出A ，B 两点之间距离的有( ) A ．1组 B ．2组 C ．3组 D ．4组6．如图，沿AE 折叠矩形纸片ABCD ，使点D 落在BC 边上的点F 处．已知AB ＝8，BC ＝10，则tan ∠EFC 的值为( ) A.34 B.43 C.35 D.457．如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，若EF＝2，BC＝5，CD＝3，则tan C等于( )A.34B.43C.35D.458．如图，某地修建高速公路，要从B地向C地修一条隧道(B，C在同一水平面上)．为了测量B，C两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从C地出发，垂直上升100 m到达A处，在A处观察B地的俯角为30°，则B，C两地之间的距离为( )A．100 3 m B．50 2 m C．50 3 m D.10033 m9．等腰三角形一腰上的高与腰长之比是1：2，则等腰三角形顶角的度数为( )A．30° B．50°C．60°或120° D．30°或150°10．如图，某海监船以20 n m il E/h的速度在某海域执行巡航任务，当海监船由西向东航行至A 处时，测得岛屿P 恰好在其正北方向，继续向东航行1 h 到达B 处，测得岛屿P 在其北偏西30°方向，保持航向不变又航行2 h 到达C 处，此时海监船与岛屿P 之间的距离(即PC 的长)为( ) A ．40 n mile B ．60 n mile C ．203 n mile D ．403 n mile二、填空题(每题3分，共24分)11．在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，BC ＝5，则sin B ＝________． 12．计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1－|－2＋3tan45°|＋(2－1.41)0＝________.13．如图，在点B 处测得塔顶A 的仰角为30°，点B 到塔底C 的水平距离BC是30 m ，那么塔AC 的高度为________m(结果保留根号)．14．如图，正方形ABCD 的边长为4，点M 在边DC 上，M ，N 两点关于对角线AC 所在的直线对称，若DM ＝1，则tan ∠ADN ＝________.15．已知锐角A 的正弦sin A 是一元二次方程2x 2－7x ＋3＝0的根，则sin A ＝________．16．如图，将以A为直角顶点的等腰直角三角形ABC沿直线BC平移得到△A′B′C′，使点B′与C重合，连接A′B，则tan∠A′BC′＝________.17．如图，已知正方形ABCD的边长为2，如果将线段BD绕着点B旋转后，点D落在CB的延长线上的D′处，那么tan∠BAD′＝________．18．若一次函数的图象经过点(tan 45°，tan 60°)和(－cos 60°，－6tan 30°)，则此一次函数的表达式为________．三、解答题(19，20题每题12分，其余每题14分，共66分)19．计算：(1)2(2cos 45°－sin 60°)＋24 4；(2)sin 60°·cos 60°－tan 30°·tan 60°＋sin245°＋cos245°.20．在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c . (1)已知c ＝8 3，∠A ＝60°，求∠B ，a ，b ； (2)已知a ＝3 6，∠A ＝45°，求∠B ，b ，c .21．如图，已知△ABC 中，AB ＝BC ＝5，tan ∠ABC ＝34.(1)求边AC 的长；(2)设边BC 的垂直平分线与边AB 的交点为D ，求ADBD的值．22．如图，拦水坝的横断面为等腰梯形ABCD，坝顶宽BC为6 m，坝高为3.2 m，为了提高水坝的拦水能力需要将水坝加高2 m，并且保持坝顶宽度不变，迎水坡CD的坡度不变，但是背水坡的坡度由原来的1∶2变成1∶2.5(坡度是坡高与坡的水平长度的比)．求加高后的坝底HD的长为多少．23．小红家的阳台上放置了一个晒衣架(如图①)，图②是晒衣架的侧面示意图，立杆AB，CD相交于点O，B，D两点立于地面，经测量：AB＝CD＝136 cm，OA＝OC＝51 cm，OE＝OF＝34 cm，现将晒衣架完全稳固张开，扣链EF成一条线段，且EF＝32 cm(参考数据：sin 61.9°≈0.882，cos 61.9°≈0.471，tan28.1°≈0.534)．(1)求证：AC∥BD.(2)求扣链EF与立杆AB的夹角∠OEF的度数(结果精确到0.1°)．(3)小红的连衣裙穿在衣架上的总长度达到122 cm，垂挂在晒衣架上是否会拖落到地面？请通过计算说明理由．答案一、1.A2．A 点评：由tan B ＝ACBC 知AC ＝BC ·tan B ＝23×32＝3.3．B4．B 点评：因为AD ＝CD ，所以∠DAC ＝∠DCA .又因为AD ∥BC ，所以∠DAC＝∠ACB .所以∠DCA ＝∠ACB .在Rt △ACB 中，AC ＝BC ·cos ∠BCA ＝10×45＝8，则AB ＝BC 2－AC 2＝6.5．C 点评：对于①，可由AB ＝BC ·tan ∠ACB 求出A ，B 两点间的距离；对于②，由BC ＝AB tan ∠ACB ，BD ＝ABtan ∠ADB，BD －BC ＝CD ，可求出AB 的长；对于③，易知△DEF ∽△DBA ，则DE EF ＝BDAB ，可求出AB的长；对于④无法求得AB 的长，故有①②③共3组，故选C . 6．A7．B 点评：如图，连接BD ，由三角形中位线定理得BD ＝2EF ＝2×2＝4.又BC＝5，CD ＝3， ∴CD 2＋BD 2＝BC 2. ∴△BDC 是直角三角形， 且∠BDC ＝90°.∴tan C ＝BD CD ＝43.8．A9．D 点评：有两种情况：当顶角为锐角时，如图①，sin A ＝12，∴∠A ＝30°；当顶角为钝角时，如图②，sin (180°－∠BAC )＝12，∴180°－∠BAC ＝30°.∴∠BAC ＝150°.10．D 点评：在R t △PAB 中，∵∠APB ＝30°，∴PB ＝2AB ， 由题意得BC ＝2AB ，∴PB ＝BC ， ∴∠C ＝∠CPB ，∵∠ABP ＝∠C ＋∠CPB ＝60°， ∴∠C ＝30°，∴PC ＝2PA ， ∵PA ＝AB ·tan60°， ∴PC ＝2×20×3＝40 3(n mile)．二、11.121312．2＋ 3 点评：原式＝3－|－2＋3|＋1＝4－2＋3＝2＋ 3. 13．103 14.43 15.1216.13点评：如图，过A ′作A ′D ⊥BC ′于点D ，设A ′D ＝x ，则B ′D ＝x ，BC ＝2x ，BD ＝3x .所以tan ∠A ′BC ′＝A ′D BD ＝x 3x ＝13.17. 2 点评：由题意知BD ′＝BD ＝22.在Rt △ABD ′中，tan ∠BAD ′＝BD ′AB ＝2 22＝ 2.18．y ＝23x － 3 点评：tan 45°＝1，tan 60°＝3，－cos 60°＝－12，－6tan30°＝－23.设y ＝kx ＋b 的图象经过点(1，3)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2 3，则用待定系数法可求出k ＝23，b ＝－ 3.三、19.解：(1)原式＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫2×22－32＋62＝2－62＋62＝2.(2)原式＝32×12－33×3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝34－1＋12＋12＝34.20．解：(1)∠B ＝30°，a ＝12，b ＝4 3.(2)∠B ＝45°，b ＝36，c ＝63.21．解：(1)如图，过A 作AE ⊥BC ，交BC 于点E .在Rt △ABE 中，tan ∠ABC ＝AEBE＝34，AB ＝5，∴AE ＝3，BE ＝4，∴CE ＝BC －BE ＝5－4＝1，在Rt △AEC 中，根据勾股定理得：AC ＝32＋12＝10.(2)如图，BC 的垂直平分线交AB 于点D ，交BC 于点F . ∵DF 垂直平分BC ， ∴BD ＝CD ，BF ＝CF ＝52，∵tan ∠DBF ＝DF BF ＝34，∴DF ＝158，在Rt △BFD 中，根据勾股定理得：BD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1582＝258，∴AD ＝5－258＝158，则AD BD ＝35.22．解：由题意得BG ＝3.2 m ，MN ＝EF ＝3.2＋2＝5.2(m)，ME ＝NF ＝BC ＝6 m ．在Rt △DEF 中，易知EF FD ＝12，∴FD ＝2EF ＝2×5.2＝10.4(m)．在Rt △HMN 中，MN HN ＝12.5，∴HN ＝2.5MN ＝13(m)．∴HD ＝HN ＋NF ＋FD ＝13＋6＋10.4＝29.4(m)． ∴加高后的坝底HD 的长为29.4 m.23．(1)证明：方法一 ∵AB ，CD 相交于点O ，∴∠A O C ＝∠B O D .∵OA ＝OC ，∴∠OAC ＝∠OCA ＝12(180°－∠AOC )．同理∠OBD ＝∠ODB ＝12(180°－∠BOD )．∴∠OAC ＝∠OBD . ∴AC ∥BD .方法二 ∵AB ＝CD ＝136 cm ，OA ＝OC ＝51 cm ， ∴OB ＝OD ＝85 cm.∴OA OB ＝OC OD ＝35. 又∵∠AOC ＝∠BOD ， ∴△AOC ∽△BOD .∴∠OAC ＝∠OBD . ∴AC ∥BD .(2)解：在△OEF 中，OE ＝OF ＝34 cm ，EF ＝32 cm. 如图，作OM ⊥EF 于点M ，则EM ＝16 cm.∴cos ∠OEF ＝E M O E ＝1634≈0.471.∴∠OEF ≈61.9°.(3)解：方法一 小红的连衣裙垂挂在晒衣架上会拖落到地面． 理由如下：如图，过A 作A H ⊥BD 于点H .在R t △O E M 中，OM ＝OE 2－EM 2＝342－162＝30(cm)． 易证∠ABD ＝∠OE M. ∵∠OME ＝∠AHB ＝90°， ∴△OEM ∽△ABH . ∴OE AB ＝OM AH. ∴AH ＝OM·AB OE ＝30×13634＝120(cm)．∵小红的连衣裙挂在晒衣架上的总长度122 cm 大于晒衣架的高度120 cm ， ∴小红的连衣裙垂挂在晒衣架上会拖落到地面．方法二 小红的连衣裙垂挂在晒衣架上会拖落到地面．理由如下： 易得∠ABD ＝∠OEF ≈61.9°. 如图，过点A 作A H ⊥BD 于点H.在Rt △ABH 中，∵sin ∠ABD ＝AHAB，∴AH ＝AB ·sin∠ABD ≈136×sin 61.9°≈136×0.882≈120(cm)． ∵小红的连衣裙挂在晒衣架上的总长度大于晒衣架的高度， ∴小红的连衣裙垂挂在晒衣架上会拖落到地面．解题策略：这是一道几何应用题，体现了新课标理念：数学来源于生活，并服务于生活．背景情境的设置具有普遍性和公平性．涉及的知识点有：平行线的判定、等腰三角形的性质、三角形相似、锐角三角函数等．题目设置由易到难，体现了对数学建模的考查，以及由理论到实践的原则，比较全面地考查了对几何基础知识的掌握情况和对知识的应用能力．题目新颖，综合性强．第三章测试卷一、选择题(每题3分，共30分)1．下列各选项中表示y 是x 的函数的是( )2．下列函数中是二次函数的是( )A ．y ＝3x －1B ．y ＝3x 2－1C ．y ＝(x ＋1)2－x 2D ．y ＝x 2－13．将抛物线y ＝x 2向左平移2个单位，再向下平移5个单位，平移后所得新抛物线的表达式为( )A ．y ＝(x ＋2)2－5B ．y ＝(x ＋2)2＋5C ．y ＝(x －2)2－5D ．y ＝(x －2)2＋54．下列对二次函数y ＝x 2－x 的图象的描述，正确的是( ) A ．开口向下 B ．对称轴是y 轴C ．经过原点D ．在对称轴右侧部分是下降的5．若A ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，y 1，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－54，y 2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，y 3为抛物线y ＝x 2＋4x －5上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系是( )A ．y 1＞y 2＞y 3B ．y 2＞y 1＞y 3C ．y 3＞y 1＞y 2D ．y 1＞y 3＞y 26．函数y ＝ax ＋b 和y ＝ax 2＋bx ＋c 在同一直角坐标系内的图象可能是( )7．已知函数y＝x2＋bx＋c的部分图象如图所示，若y＜0，则x的取值范围是() A．－1＜x＜4 B．－1＜x＜3 C．x＜－1或x＞4 D．x＜－1或x＞38．如图，从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度h(单位：m)与小球运动时间t(单位：s)之间的关系式为h＝30t－5t2，那么小球从抛出至回落到地面所需要的时间是()A．6 s B．4 s C．3 s D．2 s9．如图，老师出示了小黑板上的题后，小华说：过点(3，0)；小彬说：过点(4，3)；小明说：a＝1；小颖说：抛物线被x轴截得的线段长为2.你认为四人的说法中，正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个10．如图，已知△ABC为等边三角形，AB＝2，点D为边AB上一点，过点D作DE∥AC，交BC于E点；过E点作EF⊥DE，交AB的延长线于F点．设AD ＝x，△DEF的面积为y，则能大致反映y与x函数关系的图象是()二、填空题(每题3分，共24分)11．抛物线y＝－x2＋15有最________点，其坐标是________．12．函数y＝x2＋2x＋1，当y＝0时，x＝______；当1＜x＜2时，y随x的增大而________．(填“增大”或“减小”)13．如图，二次函数y＝x2－x－6的图象交x轴于A，B两点，交y轴于C点，则△ABC的面积为________．14．已知抛物线y＝ax2－2ax＋c与x轴的一个交点的坐标为(－1，0)，则一元二次方程ax2－2ax＋c＝0的根为________．15．如图，已知二次函数y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)与一次函数y2＝kx＋m(k≠0)的图象相交于点A(－2，4)，B(8，2)，则能使y1＞y2成立的x的取值范围是________．16．抛物线y＝x2－2x＋3关于x轴对称的抛物线对应的函数表达式为__________________．17．如图是一个横断面为抛物线形的拱桥，当水面宽4 m时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2 m，当水面下降1 m时，水面的宽度为________．18．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝－1，下列结论中：①abc＜0；②9a－3b＋c＜0；③b2－4ac＞0；④a＞b，正确的结论是________．(只填序号)三、解答题(19题10分，20题12分，21，22题每题14分，23题16分，共66分)19．如图，已知二次函数y＝ax2－4x＋c的图象经过点A和点B.(1)求该二次函数的表达式，写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；(2)若点P(m，m)在该函数的图象上，求m的值．20．如图，矩形ABCD的两边长AB＝18 cm，AD＝4 cm，点P，Q分别从A，B 同时出发，点P在边AB上沿AB方向以2 cm/s的速度匀速运动，点Q在边BC上沿BC方向以1 cm/s的速度匀速运动(点P，Q中有一点到达矩形顶点，则运动停止)．设运动时间为x s，△PBQ的面积为y cm2.(1)求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；(2)求△PBQ的最大面积．21．如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB的宽为20 m，如果水位上升3 m，那么水面CD的宽是10 m.(1)建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线对应的函数表达式；(2)当水位在正常水位时，有一艘宽为6 m的货船经过这里，船舱上有高出水面3.6 m的长方体货物(货物与货船同宽)，此船能否顺利通过这座拱桥？22．某商场销售一种商品，进价为每个20元，规定每个商品售价不低于进价，且不高于60元，经调查发现，每天的销售量y(个)与每个商品的售价x(元)满足一次函数关系，其部分数据如下表所示：每个商品的售价x(元) …30 40 50 …每天的销售量y(个) 100 80 60 …(1)求y与x之间的函数表达式；(2)设商场每天获得的总利润为w(元)，求w与x之间的函数表达式；(3)不考虑其他因素，当商品的售价为多少元时，商场每天获得的总利润最大，最大利润是多少？23．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，直线y＝－2x－1与y轴交于点A，与直线y＝－x交于点B，点B关于原点的对称点为点C.(1)求过A，B，C三点的抛物线对应的函数表达式．(2)P为抛物线上一点，它关于原点的对称点为Q.①当四边形PBQC为菱形时，求点P的坐标．②若点P的横坐标为t(－1＜t＜1)，当t为何值时，四边形PBQC的面积最大？请说明理由．答案一、1.D 2.B 3.A 4.C 5.D6．C 7.B 8.A 9.C 10.A二、11.高；(0，15)12．－1；增大 13.1514．x 1＝－1，x 2＝315．x ＜－2或x ＞816．y ＝－x 2＋2x －317．2 6 m18．②③④ ：∵抛物线开口向下，∴a ＜0，∵对称轴为x ＝－1，∴b －2a＝－1，∴b ＝2a ＜0.∵抛物线与y 轴的交点在y 轴正半轴，∴c ＞0，∴abc ＞0，故①错误；由图象得x ＝－3时，y ＜0，∴9a －3b ＋c ＜0，故②正确；∵图象与x 轴有两个交点，∴b 2－4ac ＞0，故③正确；∵a －b ＝a －2a ＝－a ＞0，∴a ＞b ，故④正确．故答案为②③④.三、19.解：(1)将A (－1，－1)，B (3，－9)的坐标分别代入，得⎩⎨⎧a ＋4＋c ＝－1，9a －12＋c ＝－9. 解得⎩⎨⎧a ＝1，c ＝－6.∴该二次函数的表达式为y ＝x 2－4x －6.∵y ＝x 2－4x －6＝(x －2)2－10，∴该抛物线的对称轴为直线x ＝2，顶点坐标为(2，－10)．(2)∵点P (m ，m )在该函数的图象上，∴m 2－4m －6＝m .∴m 1＝6，m 2＝－1.∴m 的值为6或－1.20．解：(1)∵S △PBQ ＝12PB ·BQ ，PB ＝AB －AP ＝(18－2x )cm ，BQ ＝x cm ，∴y ＝12(18－2x )x .即y ＝－x 2＋9x (0＜x ≤4)．(2)由(1)知y ＝－x 2＋9x ，∴y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －922＋814. ∵当0＜x ≤92时，y 随x 的增大而增大，而0＜x ≤4，∴当x ＝4时，y 最大值＝20，即△PBQ 的最大面积是20 cm 2.21．解：(1)设抛物线对应的函数表达式为y ＝ax 2.∵抛物线关于y 轴对称，AB ＝20 m ，CD ＝10 m ，∴点B 的横坐标为10，点D 的横坐标为5.设点B (10，n )，则点D (5，n ＋3)．将B ，D 两点的坐标分别代入表达式，得⎩⎨⎧n ＝100a ，n ＋3＝25a .解得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝－4，a ＝－125. ∴y ＝－125x 2.(2)当x ＝3时，y ＝－125×9＝－925.∵点B 的纵坐标为－4，|－4|－⎪⎪⎪⎪⎪⎪－925＝3.64>3.6， ∴在正常水位时，此船能顺利通过这座拱桥．22．解：(1)设y 与x 之间的函数表达式为y ＝kx ＋b ，则⎩⎨⎧40k ＋b ＝80，50k ＋b ＝60，解得⎩⎨⎧k ＝－2，b ＝160，即y 与x 之间的函数表达式是y ＝－2x ＋160.(2)由题意可得，w ＝(x －20)·(－2x ＋160)＝－2x 2＋200x －3 200，即w 与x 之间的函数表达式是w ＝－2x 2＋200x －3 200.(3)∵w ＝－2x 2＋200x －3 200＝－2(x －50)2＋1 800(20≤x ≤60)，∴当20≤x ≤50时，w 随x 的增大而增大，当50≤x ≤60时，w 随x 的增大而减小，当x ＝50时，w 取得最大值，此时w ＝1 800元．即当商品的售价为50元时，商场每天获得的总利润最大，最大利润是1 800元．23．解：(1)联立⎩⎨⎧y ＝－x ，y ＝－2x －1，解得⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝1. ∴B 点坐标为(－1，1)．又C 点为B 点关于原点的对称点，∴C 点坐标为(1，－1)．∵直线y ＝－2x －1与y 轴交于点A ，∴A 点坐标为(0，－1)．设抛物线对应的函数表达式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，把A ，B ，C 三点的坐标分别代入，得⎩⎨⎧－1＝c ，1＝a －b ＋c ，－1＝a ＋b ＋c ，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－1，c ＝－1. ∴抛物线对应的函数表达式为y ＝x 2－x －1.(2)①连接PQ .由题易知PQ 与BC 交于原点O .当四边形PBQC 为菱形时，PQ ⊥BC ， ∵直线BC 对应的函数表达式为y ＝－x ，∴直线PQ 对应的函数表达式为y ＝x .联立⎩⎨⎧y ＝x ，y ＝x 2－x －1，解得⎩⎨⎧x ＝1－2，y ＝1－2，或⎩⎨⎧x ＝1＋2，y ＝1＋ 2. ∴P 点坐标为(1－2，1－2)或(1＋2，1＋2)．②当t ＝0时，四边形PBQC 的面积最大．理由如下：如图，过P 作PD ⊥BC ，垂足为D ，过P 作x 轴的垂线，交直线BC 于点E ，则S 四边形PBQC ＝2S △PBC ＝2×12BC ·PD ＝BC ·PD .∵线段BC 的长固定不变， ∴当PD 最大时，四边形PBQC 的面积最大．又∠PED ＝∠A O C (固定不变)，∴当PE最大时，PD也最大．∵P点在抛物线上，E点在直线BC上，∴P点坐标为(t，t2－t－1)，E点坐标为(t，－t)．∴PE＝－t－(t2－t－1)＝－t2＋1.∴当t＝0时，PE有最大值1，此时PD有最大值，即四边形PBQC的面积最大．第四章测试卷一、选择题(每题3分，共30分)1．下列几何体中，俯视图为矩形的是()2．如果在同一时刻的阳光下，小莉的影子比小玉的影子长，那么在同一路灯下()A．小莉的影子比小玉的影子长B．小莉的影子比小玉的影子短C．小莉的影子与小玉的影子一样长D．无法判断谁的影子长3．如图是一个几何体的三视图，则此几何体为()4．如图，位似图形由三角尺与其在灯光照射下的中心投影组成，相似比为2∶5，且三角尺一边长为8 cm，则投影三角形的对应边长为()A．8 cm B．20 cm C．3.2 cm D．10 cm5．李刚同学拿一个矩形木框在阳光下摆弄，矩形木框在地面上形成的投影不可能是图中的()6．如图是由6个同样大小的正方体摆成的几何体．将正方体①移走后，所得几何体()A．主视图改变，左视图改变B．俯视图不变，左视图不变C．俯视图改变，左视图改变D．主视图改变，左视图不变7．如图是几个一样的小正方体摆出的立体图形的三视图，由三视图可知小正方体的个数为()A．6个B．5个C．4个D．3个8．如图(1)、(2)、(3)、(4)是一天中四个不同时刻木杆在地面上的影子的示意图，将它们按时间先后顺序排列正确的一项是()A．(4)、(3)、(1)、(2) B．(1)、(2)、(3)、(4)C．(2)、(3)、(1)、(4) D．(3)、(1)、(4)、(2)9．某学校小卖部货架上摆放着某品牌的方便面，它们的三视图如图所示，则货架上的方便面至少有()A．7盒B．8盒C．9盒D．10盒10．某数学课外活动小组想利用树影测量树高，他们在同一时刻测得一身高为1.5 m的同学的影长为1.35 m，由于大树靠近一幢建筑物，因此树影的一部分落在建筑物上，如图，他们测得地面部分的影长为3.6 m，建筑物上的影长为1.8 m，则树的高度为()A．5.4 m B．5.8 m C．5.22 m D．6.4 m二、填空题(每题3分，共24分)11．写出一个在三视图中俯视图与主视图完全相同的几何体：______________. 12．在同一时刻，个子低的小颖比个子高的小明身影长，那么他们此刻是站在______光下．(填“灯”或“太阳”)13．如图是一个长方体的三视图(单位：cm)，根据图中数据计算这个长方体的体积是____________．14．由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图和俯视图如图所示，则搭成该几何体的小正方体最多有________个．15．对于下列说法：①太阳光线可以看成平行光线，这样的光线形成的投影是平行投影；②物体投影的长短在任何情况下，仅与物体的长短有关；③物体的俯视图是光线垂直照射时，物体的投影；④看书时人们之所以使用台灯，是因为台灯发出的光线是平行光线．其中正确的是________(把所有正确结论的序号都填上)．16．如图，这是圆桌正上方的灯泡(看成一个点)发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影(圆形)的示意图，已知桌面的直径为1.2 m，桌面距地面1 m，灯泡距地面3 m，则地面上阴影部分的面积是________．17．一个长方体的三视图如图所示，若其俯视图为正方形，则这个长方体的表面积为________．18．如图，一根直立于水平地面上的木杆AB在灯光下形成影子AC(AC＞AB)，当木杆绕点A按逆时针方向旋转，直至到达地面时，影子的长度发生变化．已知AE＝5 m，在旋转过程中，影长的最大值为5 m，最小值为3 m，且影长最大时，木杆与光线垂直，则路灯EF的高度为________．三、解答题(19～21题每题10分，其余每题12分，共66分)19．如图是一支架(一种小零件)，支架的两个台阶的高度和宽度都为同一长度，试画出它的三视图．20．由一些相同的小正方体搭成的几何体的左视图和俯视图如图所示，请在网格中涂出一种该几何体的主视图，且使该主视图是轴对称图形．21．如图，小华、小军、小丽同时站在路灯下，其中小军和小丽的影子分别是AB，CD.(1)请你在图中画出路灯灯泡所在的位置(用点P表示)；(2)画出小华此时在路灯下的影子(用线段EF表示)．22．如图，小美利用所学的数学知识测量旗杆AB的高度．(1)请你根据小美在阳光下的投影，画出此时旗杆AB在阳光下的投影；(2)已知小美的身高为1.54 m，在同一时刻测得小美和旗杆AB的投影长分别为0.77 m和6 m，求旗杆AB的高．23．如图是一个几何体的三视图．(单位：cm)(1)组成该几何体的两部分分别是什么几何体？(2)求该几何体的体积．(结果保留π)24．为加快新农村建设，某市投入资金建设新型农村社区．图为住宅区内的两幢楼，它们的高AB＝CD＝30 m，现需了解甲楼对乙楼采光情况的影响．当太阳光线与水平线的夹角为30°时．试求：(1)若两楼间的距离AC＝24 m，那么甲楼的影子落在乙楼上有多高．(结果保留根号)(2)若甲楼的影子刚好不影响乙楼，那么两楼之间的距离应当有多远．(结果保留根号)答案一、1.C 2.D 3.B4．B ：设所求投影三角形的对应边长为x cm ，则有25＝8x ，解得x ＝20. 5．D6．D ：移走之前，主视图为，俯视图为，左视图为，移走之后，主视图为，俯视图为，左视图为，故只有左视图不变．7．C ：综合三视图，这个立体图形的底层应该有3个，第二层应该有1个小正方体，因此构成这个立体图形的小正方体的个数是3＋1＝4(个)． 8．A9．A ：当货架上的方便面盒数最少时，如图所示，数字表示该位置叠放的方便面盒数，因此至少有7盒．10．B ：如图，分别延长AC ，BD 交于点E .∵BD ＝3.6 m ，CD ＝1.8 m ，且同一时刻测得一身高为1.5 m 的同学的影长为1.35 m ，∴CD DE ＝1.51.35，即1.8DE ＝1.51.35.∴DE ＝1.62 m.∵CD ∥AB ，∴∠ABD ＝∠CDE ，∠BAC ＝∠DCE .∴△ABE ∽△CDE .∴CD AB ＝DE BE ，即1.8AB ＝ 1.621.62＋3.6.解得AB ＝5.8 m.。