电动力学复习总结电动力学复习总结答案
电动力学期末考试复习知识总结及试题
电动力学期末考试复习知识总结及试题第一章电磁现象的普遍规律一、主要内容：电磁场可用两个矢量—电场强度和磁感应强度来完全描写，这一章的主要任务是：在实验定律的基础上找出, 所满足的偏微分方程组—麦克斯韦方程组以及洛仑兹力公式，并讨论介质的电磁性质及电磁场的能量。
在电磁学的基础上从实验定律出发运用矢量分析得出电磁场运动的普遍规律；使学生掌握麦克斯韦方程的微分形式及物理意义；同时体会电动力学研究问题的方法，从特殊到一般，由实验定律加假设总结出麦克斯韦方程。
完成由普通物理到理论物理的自然过渡。
二、知识体系：三、内容提要：1．电磁场的基本实验定律：（1）库仑定律：对个点电荷在空间某点的场强等于各点电荷单独存在时在该点场强的矢量和，即：（2）毕奥——萨伐尔定律（电流决定磁场的实验定律）（3）电磁感应定律①生电场为有旋场（又称漩涡场）,与静电场本质不同。
②磁场与它激发的电场间关系是电磁感应定律的微分形式。
（4）电荷守恒的实验定律,①反映空间某点与之间的变化关系，非稳恒电流线不闭合。
② 若空间各点与无关，则为稳恒电流，电流线闭合。
稳恒电流是无源的（流线闭合），，均与无关，它产生的场也与无关。
2、电磁场的普遍规律—麦克斯韦方程其中：1是介质中普适的电磁场基本方程，适用于任意介质。
2当，过渡到真空情况：3当时，回到静场情况：4有12个未知量，6个独立方程，求解时必须给出与，与的关系。
介质中：3、介质中的电磁性质方程若为非铁磁介质1、电磁场较弱时：均呈线性关系。
向同性均匀介质：，，2、导体中的欧姆定律在有电源时，电源内部，为非静电力的等效场。
4．洛伦兹力公式考虑电荷连续分布，单位体积受的力：洛伦兹认为变化电磁场上述公式仍然成立，近代物理实验证实了它的正确。
说明：①②5.电磁场的边值关系其它物理量的边值关系：恒定电流:6、电磁场的能量和能流能量密度：能流密度：三．重点与难点1．概念：电场强度、磁感应强度、电流密度、极化强度、磁化强度、能流密度。
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电动力学答案第一章 电磁现象的普遍规律1. 根据算符∇的微分性与向量性，推导下列公式：BA B A A B A B B A )()()()()(∇⋅+⨯∇⨯+∇⋅+⨯∇⨯=⋅∇A A A A )()(221∇⋅-∇=⨯∇⨯A2. 设u 是空间坐标z y x ,,的函数，证明：u uf u f ∇=∇d d )(，uu u d d )(A A ⋅∇=⋅∇，uu u d d )(A A ⨯∇=⨯∇ 证明：3. 设222)'()'()'(z z y y x x r -+-+-=为源点'x 到场点x的距离，r 的方向规定为从源点指向场点。
（1）证明下列结果，并体会对源变量求微商与对场变量求微商的关系：r r r /'r =-∇=∇ ； 3/)/1(')/1(r r r r -=-∇=∇ ；0)/(3=⨯∇r r ；0)/(')/(33=⋅-∇=⋅∇r r r r ， )0(≠r 。
（2）求r ⋅∇ ，r ⨯∇ ，r a )(∇⋅ ，)(r a ⋅∇ ，)]sin([0r k E ⋅⋅∇及)]sin([0r k E ⋅⨯∇ ，其中a 、k 及0E 均为常向量。
4. 应用高斯定理证明fS f ⨯=⨯∇⎰⎰SVV d d ，应用斯托克斯（Stokes ）定理证明⎰⎰=∇⨯LSϕϕl S d d5. 已知一个电荷系统的偶极矩定义为 'd '),'()(V t t Vx x p ⎰=ρ，利用电荷守恒定律0=∂∂+⋅∇tρJ 证明p 的变化率为：⎰=V V t td ),'(d d x J p6. 若m 是常向量，证明除0=R 点以外，向量3/R）（R m A ⨯=的旋度等于标量3/R R m ⋅=ϕ的梯度的负值，即ϕ-∇=⨯∇A ，其中R 为坐标原点到场点的距离，方向由原点指向场点。
7. 有一内外半径分别为1r 和2r 的空心介质球，介质的电容率为ε，使介质球内均匀带静止自由电荷f ρ，求：（1）空间各点的电场；（2）极化体电荷和极化面电荷分布。
电动力学复习总结第四章 电磁波的传播2012答案
第四章 电磁波的传播一、 填空题1、 色散现象是指介质的( )是频率的函数. 答案：,εμ2、 平面电磁波能流密度s 和能量密度w 的关系为( )。
答案：S wv =3、 平面电磁波在导体中传播时,其振幅为( )。
答案：0x E e α-⋅4、 电磁波只所以能够在空间传播,依靠的是( )。
答案：变化的电场和磁场相互激发5、 满足条件( )导体可看作良导体，此时其内部体电荷密度等于( ) 答案：1>>ωεσ, 0, 6、 波导管尺寸为0.7cm ×0.4cm ，频率为30×109HZ 的微波在该波导中能以( )波模传播。
答案： 10TE 波7、 线性介质中平面电磁波的电磁场的能量密度（用电场E 表示）为( )，它对时间的平均值为( )。
答案：2E ε,2021E ε 8、 平面电磁波的磁场与电场振幅关系为( )。
它们的相位( )。
答案：E vB =,相等9、 在研究导体中的电磁波传播时，引入复介电常数='ε( )，其中虚部是( )的贡献。
导体中平面电磁波的解析表达式为( )。
答案： ωσεεi +='，传导电流，)(0),(t x i x e e E t x E ωβα-⋅⋅-= ,10、 矩形波导中，能够传播的电磁波的截止频率=n m c ,,ω( )，当电磁波的频率ω满足( )时，该波不能在其中传播。
若b ＞a ，则最低截止频率为( )，该波的模式为( )。
答案： 22,,)()(b n a m n m c +=μεπω，ω＜n m c ,,ω，μεπb ，01TE11、 全反射现象发生时,折射波沿( )方向传播.答案：平行于界面 12、 自然光从介质1(11με，)入射至介质2(22με，),当入射角等于( )时,反射波是完全偏振波.答案：201n i arctgn = 13、 迅变电磁场中导体中的体电荷密度的变化规律是( ). 答案：0teσερρ-=二、 选择题1、 电磁波波动方程22222222110,0E B E B c t c t∂∂∇-=∇-=∂∂,只有在下列那种情况下成立（ ）A ．均匀介质 B.真空中 C.导体内 D. 等离子体中 答案： A2、 电磁波在金属中的穿透深度（ ）A ．电磁波频率越高,穿透深度越深 B.导体导电性能越好, 穿透深度越深 C. 电磁波频率越高,穿透深度越浅 D. 穿透深度与频率无关 答案： C3、 能够在理想波导中传播的电磁波具有下列特征（ ） A ．有一个由波导尺寸决定的最低频率,且频率具有不连续性 B. 频率是连续的 C. 最终会衰减为零 D. 低于截至频率的波才能通过. 答案：A4、 绝缘介质中，平面电磁波电场与磁场的位相差为（ ）A ．4π B.π C.0 D. 2π答案：C5、 下列那种波不能在矩形波导中存在（ ）A ． 10TE B. 11TM C. mn TEM D. 01TE 答案：C6、 平面电磁波E 、B、k 三个矢量的方向关系是（ ）A ．B E ⨯沿矢量k 方向 B. E B⨯沿矢量k 方向 C.B E ⨯的方向垂直于k D. k E ⨯的方向沿矢量B的方向答案：A7、 矩形波导管尺寸为b a ⨯ ,若b a >,则最低截止频率为（ ）A ．μεπa B. μεπb C.b a 11+μεπ D. a2μεπ答案：A8、 亥姆霍兹方程220,(0)E k E E ∇+=∇⋅=对下列那种情况成立（ ） A ．真空中的一般电磁波 B. 自由空间中频率一定的电磁波C. 自由空间中频率一定的简谐电磁波D. 介质中的一般电磁波 答案：C9、 矩形波导管尺寸为b a ⨯ ,若b a >,则最低截止频率为（ ）A ．μεπa B. μεπb C.b a 11+μεπ D. a2μεπ答案：A三、 问答题1、 真空中的波动方程，均匀介质中的定态波动方程和亥姆霍兹方程所描述的物理过程是什么？从形式到内容上试述它们之间的区别和联系。
电动力学复习总结电动力学复习总结答案
电动⼒学复习总结电动⼒学复习总结答案第⼆章静电场⼀、填空题1、若⼀半径为R 的导体球外电势为b a b ra ,,+=φ为⾮零常数，球外为真空，则球⾯上的电荷密度为。
答案：02aRε 2、若⼀半径为R 的导体球外电势为3002cos cos =-+E R E r rφθθ,0E 为⾮零常数，球外为真空，则球⾯上的电荷密度为 . 球外电场强度为 .答案：003cos E εθ ,303[cos (1)sin ]=-+-r R E E e e rθθθ3、均匀各向同性介质中静电势满⾜的微分⽅程是；介质分界⾯上电势的边值关系是和；有导体时的边值关系是和。
答案：σφεφσφεφεφφερφ-=??=-=??-??=-=?nc n n ,,,,1122212 4、设某⼀静电场的电势可以表⽰为bz y ax -=2φ,该电场的电场强度是_______。
答案：z y x e b e ax e axy+--225、真空中静场中的导体表⾯电荷密度_______。
答案：0nσε?=-? 6、均匀介质内部的体极化电荷密度p ρ总是等于体⾃由电荷密度f ρ_____的倍。
答案： -（1-εε0） 7、电荷分布ρ激发的电场总能量1()()8x x W dv dv rρρπε''情形.答案：全空间充满均匀介质8、⽆限⼤均匀介质中点电荷的电场强度等于_______。
答案：34qRR πε 9、接地导体球外距球⼼a 处有⼀点电荷q, 导体球上的感应电荷在球⼼处产⽣的电势为等于 .答案：04q aπε10、⽆电荷分布的空间电势极值.(填写“有”或“⽆”) 答案：⽆11、镜象法的理论依据是_______，象电荷只能放在_______区域。
答案：唯⼀性定理, 求解区以外空间12、当电荷分布关于原点对称时，体系的电偶极矩等于_______。
答案：零13、⼀个内外半径分别为R 1、R 2的接地导体球壳,球壳内距球⼼a 处有⼀个点电荷，点电荷q 受到导体球壳的静电⼒的⼤⼩等于_______。
电动力学复习提纲及复习习题参考答案
2011级电动力学复习提纲数学准备理解散度、旋度、梯度的意义，熟悉矢量的梯度、散度、旋度在直角、球、圆柱坐标系中的运算，以及散度定理（高斯定理）、旋度定理（斯托克斯定理）。
章后练习1、2。
第1章理解全章内容，会推导本章全部公式。
重点推导麦克斯韦方程组，以及用积分形式的麦克斯韦方程组推出边值关系。
章后练习1、2、5、9、10、12第2章能推导能量转化与守恒定律，并且能说明各物理量及定律的物理意义。
能认识电磁场动量及动量转化和守恒定律，并且能说明各物理量及定律的物理意义。
了解电磁场的角动量，理解电磁场有角动量且角动量转化和守恒的意义。
P35例题，书后练习2、3第3章理解静电场和静磁场的势函数，为什么可以提出，在求解静电磁场时有什么意义。
势的方程和边值关系及推导。
深入理解唯一性定理，能应用其解释电磁现象，比如静电屏蔽现象。
熟悉电磁能量势函数表达式及意义。
会独立完成P48例题1,，P55例1、例2，P57例5,。
练习1、3、6、7第4章掌握静像法、简单情形下的分离变量法；理解多极矩法，掌握电偶极矩的势、场，以及能量、受力等；知道电四极矩的表示，计算。
了解磁偶极矩的表示、能量。
熟悉超导的基本电磁性质及经典电磁理论的解释。
会独立熟练计算P62例题1、P64例2及相关讨论；P69例1、P72例3；P74例1、例2。
练习3、4、5、7、10、12第5章1、理解如何由麦克斯韦方程推导自由空间的波动方程，理解其意义。
2、能推出电场和磁场的定态方程（亥姆霍兹方程），熟练掌握自由空间平面电磁波表达式，并且能应用其证明平面电磁波性质；3、能推导反射、折射定律、费涅尔公式，并且能应用其讨论布儒斯特定律、半波损失等常见现象；4、理解全反射现象，知道什么情形下发生全反射，折射波表示，透射深度；5、熟悉电磁波在导体空间表达式，理解其物理意义、理解良导体条件及物理意义；能推导导体中电荷密度；知道导体内电场和磁场的关系；理解趋肤效应，计算趋肤深度；理想导体的边值关系；6、理解波导管中电磁波的求解过程和结果，知道结构。
电动力学复习总结电动力学复习总结答案
第二章 静 电 场一、 填空题1、若一半径为R 的导体球外电势为b a b ra,,+=φ为非零常数，球外为真空，则球面上的电荷密度为 。
答案：02aRε 2、若一半径为R 的导体球外电势为3002cos cos =-+E R E r rφθθ,0E 为非零常数，球外为真空，则球面上的电荷密度为 . 球外电场强度为 .答案：003cos E εθ ,303[cos (1)sin ]=-+-r R E E e e rθθθ3、均匀各向同性介质中静电势满足的微分方程是 ；介质分界面上电势的边值关系是 和 ；有导体时的边值关系是 和 。
答案： σφεφσφεφεφφερφ-=∂∂=-=∂∂-∂∂=-=∇nc n n ,,,,1122212 4、设某一静电场的电势可以表示为bz y ax -=2φ,该电场的电场强度是_______。
答案：z y x e b e ax e axy+--225、真空中静场中的导体表面电荷密度_______。
答案：0nϕσε∂=-∂ 6、均匀介质部的体极化电荷密度p ρ总是等于体自由电荷密度f ρ_____的倍。
答案： -（1-εε0） 7、电荷分布ρ激发的电场总能量1()()8x x W dv dv rρρπε''=⎰⎰的适用于 情形.答案：全空间充满均匀介质8、无限大均匀介质中点电荷的电场强度等于_______。
答案：34qRRπε 9、接地导体球外距球心a 处有一点电荷q, 导体球上的感应电荷在球心处产生的电势为等于 . 答案：04q aπε10、无电荷分布的空间电势 极值.(填写“有”或“无”) 答案：无11、镜象法的理论依据是_______，象电荷只能放在_______区域。
答案：唯一性定理, 求解区以外空间12、当电荷分布关于原点对称时，体系的电偶极矩等于_______。
答案：零13、一个外半径分别为R 1、R 2的接地导体球壳,球壳距球心a 处有一个点电荷，点电荷q 受到导体球壳的静电力的大小等于_______。
电动力学复习总结第一章电磁现象的普遍规律2019答案word精品文档18页
第一章电磁现象的普遍规律一、 填空题1.已知介质中的极化强度Z e A P，其中A 为常数，介质外为真空，介质中的极化电荷体密度 P ；与P垂直的表面处的极化电荷面密度P 分别等于和 。
答案: 0, A, -A2.已知真空中的的电位移矢量D =（5xy x e+2z y e ）cos500t ，空间的自由电荷体密度为 。
答案: 5cos500y t3.变化磁场激发的感应电场的旋度等于 。
答案: Btv4.介电常数为 的均匀介质球，极化强度z e A PA 为常数，则球内的极化电荷密度为 ，表面极化电荷密度等于 答案0,cos A5.一个半径为R 的电介质球,极化强度为 ，电容率为2rrK P ,则介质中的自由电荷体密度为 ,介质中的电场强度等于 .答案: 20r K f ）（ 20r rK二、 选择题1.半径为R 的均匀磁化介质球，磁化强度为M，则介质球的总磁矩为A ．M B. M R 334C.343R MD. 0答案:B2.下列函数中能描述静电场电场强度的是A ．z y x e x e y e x 32 B. ecos 8C.y x e y e xy236 D.z e a （a 为非零常数）答案: D3.充满电容率为 的介质平行板电容器，当两极板上的电量t q q sin 0 （ 很小），若电容器的电容为C ，两极板间距离为d ，忽略边缘效应，两极板间的位移电流密度为： A ．t dCqcos 0 B.t dC q sin 0 C. t dCqsin 0 D. t q cos 0 答案:A4.下面矢量函数中哪一个不能表示磁场的磁感强度?式中的a 为非零常数A ．r e ar(柱坐标) B.y x e ax e ay C. y x e ay e ax D. e ar 答案:A5.变化磁场激发的感应电场是A.有旋场,电场线不闭和B.无旋场,电场线闭和C.有旋场,电场线闭和D.无旋场,电场线不闭和 答案: C6.在非稳恒电流的电流线的起点.终点处,电荷密度 满足A.JB.0 tC.0D. 0 t答案: D7.处于静电平衡状态下的导体,关于表面电场说法正确的是:A.只有法向分量;B.只有切向分量 ;C.表面外无电场 ;D.既有法向分量,又有切向分量 答案:A8.介质中静电场满足的微分方程是A.;,0t B E EB.0, E D ;C.;0,0E E D.;,tBE D答案:B9.对于铁磁质成立的关系是A.H BB.H B 0C.)(0M H BD.)(M H B 答案:C10.线性介质中,电场的能量密度可表示为A. 21;B.E D21; C. D. E D答案:B三、 思考题1、有人说：“当电荷分布具有某种对称性时，仅要根据高斯定理的积分形式这一个方程就可以求解静电场的分布。
电动力学总结1-3
第一章 电磁现象的普遍规律§1电荷和静电场1.库伦定律（真空中静止点电荷Q 对另一静止点电荷Q '的作用力）r r Q Q F 304πε'= ；两种解释：1）超距作用：一个电荷的作用力直接施加于另一电荷；2）场传递：两电荷的作用通过电场传递——实践证明为正确的。
2.电场的描述1).点电荷电场强度30()4F Q r E x Q r πε=='；与试探点电荷无关，给定Q ，它仅是空间点函数，是一个矢量场——静电场。
2)．场的叠加原理 n 个点电荷在空间某点的场强等于各点电荷单独存在时在该点场强的矢量和，即：3110()4n ni i i i i iQ r E x E r πε====∑∑。
3).连续分布电荷激发的电场强度()30()4Vx rE x dV rρπε''=⎰3. 高斯定理和散度 1)0SQ E dS ε⋅=⎰；微分形式： 0E ρε∇⋅=2)旋度()01SVV E d S E d V x d V ρε'⋅=∇⋅=⎰⎰⎰⇒0E ρε∇⋅=。
4. 静电场的旋度(场的环流性质） 由环路定理()0LSE dl E dS ⋅=∇⨯⋅=⎰⎰⇒0E ∇⨯=§2.电流和静磁场1.电荷守恒定律1）电流强度和电流密度（矢量）I ：单位时间通过空间任意曲面的电量（单位安培）；Q I t=∆；若是一个小面元，则用dI 表示，dQdI t=∆J：方向：沿导体内一点电荷流动方向；大小： 单位时间垂直通过单位面积的电量。
cos dQ J tdS θ=∆ c o s dIJ dS θ=，cos J dI J dS J dS θ==⋅I 与J 的关系 S S I dI J dS ==⋅⎰⎰，2）电荷守恒的实验定律 积分形式： SVJ dS dV t ρ∂⋅=-∂⎰⎰；微分形式： 0J tρ∂∇⋅+=∂（恒定电流：0=∙∇J ）2.毕—萨定律闭合导线：034L Idl r B r μπ⨯=⎰；闭合导体: 034VJ rB dV r μπ⨯=⎰3.安培环路定理和磁场的旋度 1)环路定理0LB d l I μ⋅=⎰（SI J dS =⋅⎰为L 中所环连的电流强度()J J x =）。
电动力学-郭硕鸿-第三版-课后题目整理(复习备考专用)
电动力学答案第一章 电磁现象的普遍规律1. 根据算符∇的微分性与向量性，推导下列公式：B A B A A B A B B A )()()()()(∇⋅+⨯∇⨯+∇⋅+⨯∇⨯=⋅∇A A A A )()(221∇⋅-∇=⨯∇⨯A2. 设u 是空间坐标z y x ,,的函数，证明：u u f u f ∇=∇d d )(， uu u d d )(A A ⋅∇=⋅∇，uu u d d )(A A ⨯∇=⨯∇证明：3. 设222)'()'()'(z z y y x x r -+-+-=为源点'x 到场点x的距离，r 的方向规定为从源点指向场点。
（1）证明下列结果，并体会对源变量求微商与对场变量求微商的关系：r r r /'r =-∇=∇ ； 3/)/1(')/1(r r r r -=-∇=∇ ；0)/(3=⨯∇r r ；0)/(')/(33=⋅-∇=⋅∇r r r r ， )0(≠r 。
（2）求r ⋅∇ ，r ⨯∇ ，r a )(∇⋅ ，)(r a ⋅∇ ，)]sin([0r k E ⋅⋅∇及)]sin([0r k E ⋅⨯∇ ，其中a 、k 及0E 均为常向量。
4. 应用高斯定理证明fS f ⨯=⨯∇⎰⎰S VV d d ，应用斯托克斯（Stokes ）定理证明⎰⎰=∇⨯LSϕϕl S d d5. 已知一个电荷系统的偶极矩定义为 'd '),'()(V t t Vx x p ⎰=ρ，利用电荷守恒定律0=∂∂+⋅∇tρJ 证明p 的变化率为：⎰=VV t td ),'(d d x J p6. 若m 是常向量，证明除0=R 点以外，向量3/R）（R m A ⨯=的旋度等于标量3/R R m ⋅=ϕ的梯度的负值，即ϕ-∇=⨯∇A ，其中R 为坐标原点到场点的距离，方向由原点指向场点。
7. 有一内外半径分别为1r 和2r 的空心介质球，介质的电容率为ε，使介质球内均匀带静止自由电荷f ρ，求：（1）空间各点的电场；（2）极化体电荷和极化面电荷分布。
电动力学习题答案
电动力学习题答案
电动力学学习题答案
电动力学是物理学中的一个重要分支，研究电荷和电场之间的相互作用以及电
荷在电场中的运动规律。
在学习电动力学的过程中，我们经常会遇到各种各样
的习题，下面就为大家整理了一些常见的电动力学学习题答案，希望能够帮助
大家更好地理解和掌握电动力学的知识。
1. 两个带电粒子分别带有正电荷和负电荷，它们之间的相互作用力是吸引力还
是斥力？
答：两个带电粒子之间的相互作用力是吸引力，正电荷和负电荷之间会相互吸引。
2. 一个点电荷在电场中受到的力的大小与什么有关？
答：一个点电荷在电场中受到的力的大小与电场强度和电荷本身的大小有关。
3. 电场线的方向与电场中的电荷运动方向有什么关系？
答：电场线的方向与电场中的电荷运动方向相反，即电场线从正电荷指向负电荷。
4. 电势能和电势的关系是什么？
答：电势能是电荷在电场中由于位置而具有的能量，而电势是单位正电荷在电
场中所具有的电势能，即电势能和电势的关系可以用公式 U=qV 来表示。
5. 电容器中的电荷与电压的关系是怎样的？
答：电容器中的电荷与电压的关系可以用公式 Q=CV 来表示，其中 Q 表示电荷，C 表示电容，V 表示电压。
以上就是一些常见的电动力学学习题答案，希望能够帮助大家更好地理解和掌
握电动力学的知识。
在学习电动力学的过程中，多做习题，多思考，相信大家一定能够取得更好的成绩。
《电动力学》知识点归纳及典型例题分析(学生版)
《电动力学》知识点归纳及典型例题分析一、知识点归纳知识点1：一般情况下，电磁场的基本方程为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=∙∇=∙∇+∂∂=⨯∇∂∂-=⨯∇.0;;B D J t D H t B Eρ（此为麦克斯韦方程组）；在没有电荷和电流分布（的情形0,0==Jρ）的自由空间（或均匀介质）的电磁场方程为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=∙∇=∙∇∂∂=⨯∇∂∂-=⨯∇.0;0;B D t D H t B E（齐次的麦克斯韦方程组）知识点2：位移电流及与传导电流的区别。
答：我们知道恒定电流是闭合的： ()恒定电流.0=⋅∇J在交变情况下，电流分布由电荷守恒定律制约，它一般不再闭合。
一般说来，在非恒定情况下，由电荷守恒定律有.0≠∂∂-=⋅∇t J ρ现在我们考虑电流激发磁场的规律：()@.0J B μ=⨯∇ 取两边散度，由于0≡⨯∇⋅∇B ，因此上式只有当0=⋅∇J 时才能成立。
在非恒定情形下，一般有0≠⋅∇J ，因而()@式与电荷守恒定律发生矛盾。
由于电荷守恒定律是精确的普遍规律，故应修改()@式使服从普遍的电荷守恒定律的要求。
把()@式推广的一个方案是假设存在一个称为位移电流的物理量D J ，它和电流J 合起来构成闭合的量 ()()*,0=+⋅∇D J J 并假设位移电流D J 与电流J 一样产生磁效应，即把()@修改为 ()D J J B +=⨯∇0μ。
此式两边的散度都等于零，因而理论上就不再有矛盾。
由电荷守恒定律.0=∂∂+⋅∇tJ ρ电荷密度ρ与电场散度有关系式 .0ερ=⋅∇E 两式合起来得：.00=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⋅∇t E J ε与()*式比较可得D J 的一个可能表示式.0tEJ D ∂∂=ε 位移电流与传导电流有何区别：位移电流本质上并不是电荷的流动，而是电场的变化。
它说明，与磁场的变化会感应产生电场一样，电场的变化也必会感应产生磁场。
而传导电流实际上是电荷的流动而产生的。
知识点3：电荷守恒定律的积分式和微分式，及恒定电流的连续性方程。
电动力学答案完整
电动力学答案完整有一内外半径分别为r1 和r2 的空心介质球，介质的电容率为ε，使介质内均匀带静止电荷?f求 1 空间各点的电场；2 极化体电荷和极化面电荷分布。
解???sD?ds?4?3f??3fdV3，f 即：D?4?r2?∴E???r?r?r1?? ?r3?r13??33?r，???Qf4?33E?ds??r2?r1??f???s?0 3?0，∴E???r32?r13??3f3?0r?r，??r> r1时，E?0 ?????????0??P??0?eE??0E????? 0?E?0 ?????0r????f?3?????r13????r? 3r?r???p∴????r3?r13???????P??????0???? ?f33?r???p?P1n?P2n 考虑外球壳时，r= r2 ，n 从介质 1 指向介质 2 ，P2n=0 ??P1n?????0? ?r3?r133?p3?r??frr?r2?? r?r???1?0?231?f ??3r2?33考虑内球壳时，r= r1 ???????0??r3?r133?p3?r??fr?0r?r1 平行板电容器内有两层介质，它们的厚度分别为l1 和l2，电容率为ε1和ε，今在两板接上电动势为Ε 的电池，求电容器两板上的自电荷密度ωf 介质分界面上的自电荷密度ωf 若介质是漏电的，电导率分别为σ 1 和σ 2 当电流达到恒定时，上述两问题的结果如何？解：在相同介质中电场是均匀的，并且都有相同指向则???l1E1?l2E2?E??D1n?D2n??1E1??2E 2?0(介质表面上?f?0) 故：E1??2El1?2?l2?1，E2??1El1?2?l2?1 又根据D1n?D2n??f，在上极板的交面上，D1?D2??f1D2是金属板，故D2=0 ?1?2El1?2?l2?1即：?而??f1?D1? f2?0 f3?D1??D2???D2?，??∴??1?2El1?2?l2?1f3???f1 ???j若是漏电，并有稳定电流时，E?可得?????jE1?1?1 ，??????jE2?2 ?2j2 ?j1l?l?E2?1?2又??1 ?j?j?j?j,(稳定流动)2n12?1n 得：j1?j2?El1?1??D3??l2?2j1?2E?E???1?l1?2 ?l2?1?1 ，即? ?1E?E?j2?2??2l1?2?l2?1???D2???1?2 El1?2?l2?1f上??2?2El1?29?l2?1f 下?f中?D2?D3??2?1??1?2l1?2?l2?1E 、内外半径分别a和b的无限长圆柱形电容器，单位长度电荷为?f，板间填充电导率为?的非磁性物质。
电动力学知识点归纳及典型试题分析
《电动力学》知识点归纳及典型试题分析、试题结构总共四个大题: 1 .单选题（10咒2'）：主要考察基本概念、基本原理和基本公式, 及对它们的理解。
2.填空题（10X2'）：主要考察基本概念和基本公式。
3.简答题（5x3）：主要考察对基本理论的掌握和基本公式物理意义的理解。
的计算和对基本常用的方程和原理进行证明。
例如：证明泊松方程、 电磁场的边界条件、亥姆霍兹方程、长度收缩公式等等；计算磁感强 度、电场强度、能流密度、能量密度、波的穿透深度、波导的截止频 率、空间一点的电势、矢势、以及相对论方面的内容等等。
二、知识点归纳7 X E =-——.a空 + J;（此为麦克斯 -瞇7 • D = P ;g B = 0.韦方程组）；在没有电荷和电流分布（P = 0,J=0的情形）的自由空间（或均匀… - cBV X E =———・4=生;（齐次的麦克斯韦方程组）4.证明题 （8' +7'）和计9>8>6^7'）：考察能进行简单知识点1 :一般情况下，电磁场的基本方程为：XH = 介质)的电磁场方程为:V 2=0;7 •B =0.知识点2:位移电流及与传导电流的区别。
答：我们知道恒定电流是闭合的：可J =0.(恒定电流)在交变情况下，电流分布由电荷守恒定律制约，它一般不再闭合。
一般说来，在非恒定情况下，由电荷守恒定律有cP 可J =-——圭0.现在我们考虑电流激发磁场的规律：V X B=40J.(@)取两边散度，由于V VX B三0，因此上式只有当可J = 0时才能成立。
在非恒定情形下，一般有可J H0，因而(@ )式与电荷守恒定律发生矛盾。
由于电荷守恒定律是精确的普遍规律，故应修改(@)式使服从普遍的电荷守恒定律的要求。
把(@ )式推广的一个方案是假设存在一个称为位移电流的物理量J D，它和电流J合起来构成闭合的量P心+J D)=0,(* )并假设位移电流J D与电流J 一样产生磁效应，即把(@ )修改为Vx^k oJ + J D)。
电动力学复习总结第三章稳恒磁场2012答案解读
第三章稳恒磁场一、填空题1、已知半径为圆柱形空间的磁矢势(柱坐标,该区域的磁感应强度为（）.答案：2、稳恒磁场的能量可用矢势表示为（）.答案：3、分析稳恒磁场时,能够中引如磁标势的条件是（）.在经典物理中矢势的环流表示（）.答案：或求解区是无电流的单连通区域4、无界空间充满均匀介质,该区域分布有电流,密度为,空间矢势的解析表达式（）.答案：5、磁偶极子的矢势等于（）；标势等于（）.答案：6、在量子物理中,矢势具有更加明确的地位,其中是能够完全恰当地描述磁场物理量的（）.答案：相因子,7、磁偶极子在外磁场中受的力为（）,受的力矩（）.答案：,8、电流体系的磁矩等于（）.答案：9、无界空间充满磁导率为均匀介质,该区域分布有电流,密度为,空间矢势的解析表达式（）.答案：二、选择题1、线性介质中磁场的能量密度为A. B. C. D.答案：A2、稳恒磁场的泊松方程成立的条件是A．介质分区均匀 B.任意介质C.各向同性线性介质D.介质分区均匀且答案：D3、引入磁场的矢势的依据是A.;B.;C. ;D.答案：D4、电流处于电流产生的外磁场中,外磁场的矢势为,则它们的相互作用能为A. B. C. D.答案：A5、对于一个稳恒磁场，矢势有多种选择性是因为A.的旋度的散度始终为零;B.在定义时只确定了其旋度而没有定义散度;C. 的散度始终为零;答案： B6、磁偶极子的矢势和标势分别等于A. B.C. D.答案：C7、用磁标势解决静磁场问题的前提是A.该区域没有自由电流分布B. 该区域是没有自由电流分布的单连通区域C. 该区域每一点满足D. 该区域每一点满足.答案：B三、问答题1、在稳恒电流情况下，导电介质中电荷的分布有什么特点？答：稳恒电流请况下，因稳恒电流是闭合的，则有，由电荷守恒定律：，知：，即：。
所以导电介质中电荷的分布不随时间改变，为一守恒量，至于处ρ值大小由介质形状、大小等决定。
若是均匀导电介质,由得, ,根据高斯定理, 导体内处处无净余电荷分布, 电荷分布于表面及不均匀处.2、判定下述说法的正确性，并说明理由：（1）不同的矢势，描述不同的磁场；（2）不同的矢势，可以描述同一磁场；（3）的区域，也为零。
电动力学重点知识总结(期末复习必备)
电动力学重点知识总结(期末复习必备)静电场的基本方程可以用微分形式和积分形式表示。
微分形式为$\nabla\times\mathbf{E}=0$，积分形式为$\oint\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}= -\int_S(\nabla\cdot\mathbf{E})dS=\frac{1}{\epsilon}\int_V\rho(\m athbf{x'})dV'$。
这些方程反映了电荷激发电场及电场内部联系的规律性，物理图像是电荷是电场的源，静电场是有源无旋场。
静磁场的基本方程也可以用微分形式和积分形式表示。
微分形式为$\nabla\times\mathbf{B}=\mu\mathbf{J}$，积分形式为$\oint\mathbf{B}\cdot d\mathbf{l}=\mu I$。
这些方程反映了静磁场为无源有旋场，磁力线总闭合的规律性。
它的激发源仍然是运动的电荷。
需要注意的是，静电场可以单独存在，而稳恒电流磁场不能单独存在（永磁体磁场可以单独存在，且没有宏观静电场）。
电荷守恒实验定律表明了电荷的守恒性质，即$\nabla\cdot\mathbf{J}+\frac{\partial\rho}{\partial t}=0$。
稳恒电流的情况下，$\nabla\cdot\mathbf{J}=0$。
稳恒电流的情况下，$\nabla\cdot\mathbf{J}=n(\mathbf{J}_s-\mathbf{J})$。
真空中的麦克斯韦方程组包括四个方程，分别是$\nabla\times\mathbf{E}=-\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}$，$\nabla\times\mathbf{B}=\mu\mathbf{J}+\mu\epsilon\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}$，$\nabla\cdot\mathbf{E}=\frac{\rho}{\epsilon}$，$\nabla\cdot\mathbf{B}=0$。
电动力学重点的知识地总结(期末复习必备)
一1.静电场的基本方程#微分形式：积分形式：物理意义：反映电荷激发电场及电场内部联系的规律性 物理图像：电荷是电场的源，静电场是有源无旋场2.静磁场的基本方程#微分形式 积分形式反映静磁场为无源有旋场，磁力线总闭合。
它的激发源仍然是运动的电荷。
注意：静电场可单独存在，稳恒电流磁场不能单独存在（永磁体磁场可以单独存在，且没有宏观静电场）。
#电荷守恒实验定律：#稳恒电流： ，*#3.真空中的麦克斯韦方程组0,E E ρε∇⨯=∇⋅=()010LSVQE dl E dS x dV ρεε''⋅=⋅==⎰⎰⎰ ， 0J tρ∂∇⋅+=∂00LSB dl I B d S μ⋅=⋅=⎰⎰， 00B J B μ∇⨯=∇⋅=，0J ∇⋅=21(-)0n J J ⋅=揭示了电磁场内部的矛盾和运动，即电荷激发电场，时变电磁场相互激发。
微分形式反映点与点之间场的联系，积分方程反映场的局域特性。
*真空中位移电流，实质上是电场的变化率*#4.介质中的麦克斯韦方程组1）介质中普适的电磁场基本方程，可用于任意介质，当 ，回到真空情况。
2）12个未知量，6个独立方程，求解必须给出 与 ， 与 的关系。
#5.1）边值关系一般表达式 2）理想介质边值关系表达式6.电磁场能量守恒公式0D J t D ρ∂B ⨯E =-∂H =+∂∇⋅=⋅B =0==P M H B E D)(00M H B P E D+=+=με()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-⨯=-⨯=-⋅=-⋅ασ12121212ˆ0ˆ0)(ˆ)(ˆH H nE E nB B nD D n ()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-⨯=-⨯=-⋅=-⋅0ˆ0ˆ0) (ˆ0)(ˆ12121212H H nE E nB B nD D nDE J tε∂=∂二1.静电场的标势#静电势：电势差：#2. 电势满足的方程泊松方程（适用于均匀介质）：拉普拉斯方程（适用于无自由电荷分布的均匀介质）：3. 静电势的边值关系#1) 两介质分界面2）导体表面上的边值关系*4. 静电场的能量1）一般方程：能量密度：2）只适合于静电场情况。
电动力学复习总结第五章 电磁波的辐射2012答案
别用角标L和T表示，则：由于，所以本身就是无散场，没有纵场分
量，即
，；
，，；
，，；
由（1）得：
（5）
由（2）得：
（6）
由（3）得：
（7）
由电荷守恒定律得：
又因为 ，所以 ，即
（8）
（7）式简化为
（9）
所以麦克斯韦方程租的新表示方法为：
（10）
由引入标势，，代入得，
上式的解就是静止电荷在真空中产生的电势分布，所以对应静止电
解：规范变换式： ，
有
即与描述同一电磁场。 1 采用库仑规范：，
即在规范变换中当满足是，就是库仑规范。 2 采用库仑规范时，电磁势方程所取形式：
3、 在什么条件下可选取，这样一种规范条件？此时，与势的关系是 什么形式？ 解：若采用库仑规范，且的自由空间,势的方程变为：
① 当在空间没有电荷分布时，可以选取库仑场的标势， 把代入①式，解得：
只保留R的最低次项，因为作用R分母上后所得项更小，可忽略。 即仅需作用于上。例如，令，
11、 一些荷质比相同的带电粒子组成的体系，不会有电偶极辐射。 为什么？ 解：设体系有N个粒子，第个粒子的质量为，电荷为，总质量为M，则电 偶极矩①
在的非相对论情形，应用质心运动定理，设质心的矢径为 即,得：， 代入①式得： 由于系统不受外力，则质心加速度，所以没有电偶极辐射。 12、 电磁场具有动量的证据是什么? 电磁场也遵从的动量守恒定律， 说出
解：（1）证明：因为 所以，根据傅立叶级数的正交性，必有： （1） 在洛伦兹规范下，，考虑到真空中，故，，所以（1）
式化为 （2）
而 于是 （3） 因为 ，所以 所以（3）式右边积分中，被积函数为0，积分为0。所以满 足谐振子方程 。 （2）当选取规范，时 因为，是线性无关正交组，所以要使上式成立，必有 （3）已知，所以 5. 设和是满足洛伦兹规范的矢势和标势。 （1）引入一矢量函数（赫兹矢量），若令，证明。 （2）若令，证明满足方程，写出在真空中的推迟解。 （3）证明和可通过Z用下列公式表出： ，。 （1）证明：和是满足洛伦兹规范的矢势和标势，所以有
电动力学复习要点习题选解(2012级)
α M = −(
9.
证明均匀介质内部的体极化电荷密度 ρ p 总是等于体自由电荷密度 ρ f 的 − (1 − ε 0 / ε ) 倍。 证明：在均匀介质中
P = (ε / ε 0 − 1)ε 0 E = (ε − ε 0 ) E 所以 ρ p = −∇ ⋅ P = −(ε − ε 0 )∇ ⋅ E = −(ε − ε 0 )(1 / ε )∇ ⋅ D
当 r1 < r < r2 时， 向量式为
E3 =
(r2 − r1 ) r f
3 3
3ε 0 r 3
r
（2）当 r1 < r < r2 时，
ρ p = −∇ ⋅ P = −∇ ⋅ ( D2 − ε 0 E 2 ) = −∇ ⋅ ( D2 −
= −(1 −
当 r = r1 时，
ε0 ε )∇ ⋅ D2 = −(1 − 0 ) ρ f ε ε
介质 1 中电流密度 介质 2 中电流密度
由于电流恒定， J 1 = J 2 ，
∴
σ 1ω f 1 / ε 1 = σ 2 (ω f 1 + ω f 3 ) / ε 2
∴
再由 E =
ωf3 =
E =
ε 2 σ1 σ 2 ε σ ( − )ω f 1 = ( 2 1 − 1)ω f 1 σ 2 ε1 ε 2 σ 2ε 1
H2 =
J f (r 2 − r12 )
B2 =
µ (r 2 − r12 )
H3 =
J f (r22 − r12 )
µ 0 (r22 − r12 )
M =(
所以
JM
(r 2 − r12 ) µ µ − 1) H 2 = ( − 1) J f ×r µ0 µ0 2r 2 µ µ µ = ∇ × M = ∇ × [( − 1) H 2 ] = ( − 1)∇ × H 2 = ( − 1) J f µ0 µ0 µ0
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第二章 静 电 场一、 填空题1、若一半径为R 的导体球外电势为b a b ra,,+=φ为非零常数，球外为真空，则球面上的电荷密度为 。
答案： 02aRε2、若一半径为R 的导体球外电势为3002cos cos =-+E R E r rφθθ,0E 为非零常数，球外为真空，则球面上的电荷密度为 . 球外电场强度为 .答案：003cos E εθ ,303[cos (1)sin ]=-+-r R E E e e rθθθ3、均匀各向同性介质中静电势满足的微分方程是 ；介质分界面上电势的边值关系是 和 ；有导体时的边值关系是 和 。
答案： σφεφσφεφεφφερφ-=∂∂=-=∂∂-∂∂=-=∇nc n n ,,,,1122212 4、设某一静电场的电势可以表示为bz y ax -=2φ,该电场的电场强度是_______。
答案：z y x e b e ax e axy+--225、真空中静场中的导体表面电荷密度_______。
答案：0nϕσε∂=-∂6、均匀介质内部的体极化电荷密度p ρ总是等于体自由电荷密度f ρ_____的倍。
答案： -（1-εε0） 7、电荷分布ρ激发的电场总能量1()()8x x W dv dv rρρπε''=⎰⎰的适用于 情形.答案：全空间充满均匀介质8、无限大均匀介质中点电荷的电场强度等于_______。
答案：34qRR πε 9、接地导体球外距球心a 处有一点电荷q, 导体球上的感应电荷在球心处产生的电势为等于 . 答案：04q aπε10、无电荷分布的空间电势 极值.(填写“有”或“无”) 答案：无11、镜象法的理论依据是_______，象电荷只能放在_______区域。
答案：唯一性定理, 求解区以外空间12、当电荷分布关于原点对称时，体系的电偶极矩等于_______。
答案：零13、一个内外半径分别为R 1、R 2的接地导体球壳,球壳内距球心a 处有一个点电荷，点电荷q 受到导体球壳的静电力的大小等于_______。
答案：212014()R q aR a a πε-二、 选择题1、泊松方程ερφ-=∇2适用于 A.任何电场 B. 静电场; C. 静电场而且介质分区均匀; D.高频电场 答案： C2、下列标量函数中能描述无电荷区域静电势的是A ．2363y x + B. 222532z y x -+ C. 32285z y x ++ D. 2237z x + 答案： B3、真空中有两个静止的点电荷1q 和2q ，相距为a ，它们之间的相互作用能是 A ．aq q 0214πε B. aq q 0218πε C. aq q 0212πε D.aq q 02132πε答案：A4、线性介质中,电场的能量密度可表示为A. ρφ21;B.E D⋅21; C. ρφ D. E D ⋅答案：B5、两个半径为12,R R ,124R R =带电量分别是12,q q ,且12q q =导体球相距为a(a>>12,R R ),将他们接触后又放回原处,系统的相互作用能变为原来的A.16,25倍 B. 1,倍 C. 1,4倍 D. 1,16倍 答案： A6、电导率分别为12,σσ,电容率为12,εε的均匀导电介质中有稳恒电流,则在两导电介质分界面上电势的法向微商满足的关系是A ． 12n n φφ∂∂=∂∂ B.2121n nφφεεσ∂∂-=-∂∂C. 1212n nφφσσ∂∂=∂∂ D.121211n n φφσσ∂∂=∂∂ 答案：C7、电偶极子P 在外电场e E 中的相互作用能量是A.⋅e P EB. -⋅e P EC. -e PED. e PE三、 问答题1、 由公式014dVrρϕπε=⎰可求得电势分布，然后用ϕ=-∇E 即可求得场的分布，这种方法有何局限性？答：这种方法适用于空间中所有的电荷分布都给定的情况，而且电荷分布在有限区域内.若电荷分布无限大区域,积分将无意义.例如无限长大带电面的电势,就不能用它计算. 2、 应用''1()()8x x dV W dV rρρπε=⎰⎰计算静电场能量时，要求全空间必须充满均匀介质才成立，试说明其理由。
并与比较电场能量公式12W D EdV =⋅⎰与,M α12W dv ρϕ=⎰说明区别. 答：计算静电场能量公式为12W dv ρϕ=⎰，公式中的ρ是空间的自由电荷密度,而ϕ是空间的自由电荷和极化电荷共同产生的总电势,即014f pdv rρρφπε+=⎰,当全空间充满均匀介质时,0(1)p f ερρε=--，所以0p f f ερρρε+=， 0()1144f pf x dv dv rrρρρφπεπε'+''==⎰⎰，''11()()28x x dV W dv dV rρρρϕπε==⎰⎰⎰。
若ε不是均匀的，0(1)p fερρε≠--所以全空间都要充满均匀介质。
电场能量公式:12W D EdV =⋅⎰ 适用于一切电场； 而12W dv ρϕ=⎰仅适用于静电场 因为静电场由电荷分布决定，而在非恒定情况下，电场和磁场互相激发，其形式是独立于电荷分布之外的电磁波运动，因而场的总能量不可能完全通过电荷或电流分布表示出来。
3、 在静电场中=0∇⨯E ，就一定有=0∇⨯D 吗？答：不一定。
当介质为均匀介质时，D E ε=成立且ε为常量，从而=E E 0εε∇⨯∇⨯=∇⨯=D 成立；当介质是线性非均匀时，D E ε=成立，()x εε=，=E E E εεε∇⨯∇⨯=∇⨯+∇⨯D ，=0∇⨯E 时，0∇⨯≠D ； 当介质是各向异性时，iij j D E ε=∑，ij i j e e εε=∑=0∇⨯E 时，0∇⨯≠D .强场作用下, ,D E 的关系是非线性的,,,,i ij j ijk j k ijkl j k l jj kj k lD E E E E E E εεε=∑+∑+∑+E指向电势φ减少最快的方向。
4、 由=-ϕ∇E 说出E的方向。
答: 由=-ϕ∇E ,说明E的方向与电势梯度方向相反, 电势梯度方向是指向电势增加最快的方向,电场E 指向电势减小最快的方向。
5、 静电场能量公式为12vW dv ρϕ=⎰,12ρϕ能否看成是能量密度?为什么/ 答:12ρϕ不能看成是能量密度.因为积分是对有电荷分布的区域积分，而电场的能量则存在于整个空间。
6、 有两个无限大的平行导体平面,它们的法线平行于z 轴,其中一个位于z=0处,电势固定为0ϕ,另一个位于z=d 处,电势固定为d ϕ,,两平面间充满电荷,密度为20()()z z dρρ=式中0ρ为常量,如图所示,试用泊松方程求区域0z d ≤≤内的电势分布和每个导体平面上电荷面密度.解:由对称性知, 电势与x,y 无关,,仅是z 的函数.故2ρϕε∇=-化成 22220,,dd z dz d z z d ρϕεϕϕϕϕ⎧=-⎪⎪⎪==⎨⎪==⎪⎪⎩积分得:421212d d z z d dϕϕρρϕϕεε⎛⎫-=-++ ⎪⎝⎭ 电场32312d z z d E e z e z d d ϕϕρρϕεε⎛⎫-∂=-=-- ⎪∂⎝⎭ 在Z=0面上:()012z z z d de DEdερσεϕϕ===⋅==---在Z=d 面上:()4d z z dz dd de DEd ερσεϕϕ===-⋅==--7、 如果20ϕ∇=，为何不能说ϕ恒等于零？答：02=∇ϕ表示无电荷分布处的电势满足拉普拉斯方程，加上边界条件便可解得电势，无电荷分布处电势不一定为0．例如点电荷电场中，电势04q rϕπε= ，除点电荷所在处外，满足02=∇ϕ，但0ϕ≠. 8、 为什么静电势在边界处是连续的？答：在边界面两侧靠近界面处取两点1，2．相距为dl ．则⎰⋅=-=∆dl E s s||12ϕϕϕ．dl 趋近于0，E有限，⎰=⋅0l d E得：s s ||12ϕϕ＝．即：静电势在边界处连续。
9、 如果在两介质分界面上为面偶极层时，两侧电势及电势的法向微商满足何关系？答：设面偶极层电荷密度分别为+σσ-,，面偶极距密度为0lim l p l σσ→∞→=，面偶极层法线为n ，方向由σσ-+指向，对层内点0P 及层外无限靠近层面的1P ,2P 点，应用边值关系，得202100(),()n E E n E E σσεε⋅-=⋅-=- ()21210n E E n nϕϕ⋅-=∂∂=∂∂二式相加，得即电势的法向微商是连续的在面偶极层上取一无限小面元 ，此面元的电偶极距为()''p x dS ，它在场点A 产生的电势为 ()''304p x rdS d r ϕπε⋅=()()()()()12'''30''211201144144ssP P P x rdS n P x d r n P x n P x d ϕπεπεϕϕπεπε⋅==-⋅Ω⋅-=-⋅Ω=Ω-Ω⎰⎰⎰式中1Ω,2Ω是层面对21,P P 点所张的立体角，.0,021<Ω>Ω 当21,P P 无限靠近层面时，()1212'2104n P x πϕϕεΩ-Ω=Ω+Ω=⋅-=结果表明在面偶极层两侧，电势是不连续的，但电势的法向微商是连续的。
10、由唯一性定理可知，当我们求解有限或半无限区域的静电场时，区域外的电荷分布不必知道，有人由此认为区域外的电荷分布对内部电场没有影响，你认为这种说法是对还是错，为什么？答:区域外的电荷分布能够影响区域边界条件，而边界条件是唯一性定理必须知道的内容。
唯一性定理实质告诉我们，外部是否有电荷以及它对区域内的电场的影响是可以通过边界条件来体现的11、 在闭合边界面S 上，既给定ϕ值，又给定nϕ∂∂值的情形下，泊松方程或拉普拉斯方程的解存在吗？为什么？ 12、答：由唯一性定理：在V 的边界S 上给定s |ϕ或s n|∂∂ϕ则V 内电场唯一确定。
所以重要知道二者之一, 电场唯一确定.我们知道s |ϕ或s n|∂∂ϕ是用来确定通解中的常数的,因此既给定ϕ值，又给定n ϕ∂∂值的情形下,当由ϕ或n∂∂ϕ所求的电场相等时，柏松方程和拉普拉斯方程的解存在。
当由ϕ或n∂∂ϕ所求的电场不相等, 泊松方程或拉普拉斯方程无解.13、利用唯一性定理分析导体壳外的电场与壳内电荷的位置关系.分析:如图2-13所示,壳外电势满足200s iQ ϕϕϕ⎧∇=⎪=⎨⎪=⎩不论壳内电荷位置怎样变化,上述边界条件不变,故壳外电场与电荷在壳内位置无关. 14、在书中62页的例题中，为什么E 保持球对称性，而D 不对称。
答:自由电荷密度分布决定D 的分布，总电荷密度分布决定E的分布，整个系统总电荷分布球对称而自由电荷分布不对称，所以E 球对称而D不对称。