第一章 非线性动力学分析方法

第一章非线性动力学分析方法(6学时）

一、教学目标

1、理解动力系统、相空间、稳定性得概念;

2、掌握线性稳定性得分析方法;

ﻩ3、掌握奇点得分类及判别条件;

ﻩ4、理解结构稳定性及分支现象;

5、能分析简单动力系统得奇点类型及分支现象.

二、教学重点

1、线性稳定性得分析方法；

ﻩ２、奇点得判别。

三、教学难点

ﻩ线性稳定性得分析方法

四、教学方法

讲授并适当运用课件辅助教学

五、教学建议

ﻩ学习本章内容之前，学生要复习常微分方程得内容。

六、教学过程

本章只介绍一些非常初步得动力学分析方法，但这些方法在应用上就是十分有效得。

1、1相空间与稳定性

ﻩ一、动力系统

在物理学中,首先根据我们面对要解决得问题划定系统，即系统由哪些要素组成。再根据研究对象与研究目得，按一定原则从众多得要素中选出最本质要素作为状态变量。然后再根据一些原理或定律建立控制这些状态变量得微分方程,这些微分方程构成得方程组通常称为动力系统。研究这些微分方程得解及其稳定性以及其她性质得学问称为动力学.

假定一个系统由n个状态变量，,…来描述。有时,每个状态变量不但就是时间t得函数而且也就是空间位置得函数。如果状态变量与时空变量都有关,那么控制它们变化得方

程组称为偏微分方程组.这里假定状态变量只与时间t有关，即X

＝X i（t),则控制它们

ｉ

得方程组为常微分方程组。

ﻩﻩﻩﻩﻩ（１。1．1)

…

其中代表某一控制参数.对于较复杂得问题来说，(i＝l，2，…n)一般就是得非线性函数，这时方程（1．1.1）就称为非线性动力系统。由于不明显地依赖时间ｔ，故称方程组（1。1．１)为自治动力系统。若明显地依赖时间t，则称方程组（1、１、1）为非自治动力系统.非自治动力系统可化为自治动力系统.

对于非自治动力系统，总可以化成自治动力系统。

例如：

令,,上式化为

上式则就是一个三维自治动力系统。

又如:

令,则化为

它就就是三微自治动力系统、

对于常微分方程来说,只要给定初始条件方程就能求解。对于偏微分方程,不但要给定初始条件而且还要给定边界条件方程才能求解。

能严格求出解析解得非线性微分方程组就是极少得,大多数只能求数值解或近似解析解。

二、相空间

,X2,…Ｘn）描述得系统，可以用这n个状态变量为坐标轴支由n个状态变量＝(Ｘ

１

起一个n维空间，这个n维空间就称为系统得相空间。在ｔ时刻，每个状态变量都有一个确定得值，这些值决定了相空间得一个点，这个点称为系统状态得代表点(相点），即它代表了系统t时刻得状态。随着时间得流逝,代表点在相空间划出一条曲线，这样曲线称为相轨道或轨线.它代表了系统状态得演化过程。

三、稳定性

把方程组（1。1．1)简写如下

，ｉ＝l，2,…n (1.1.2)

设方程组（1。1.2)在初始条件下得解为，如果用与原来略有差别得初始条件,就是一个小扰动,就会得到方程组得新解。如果对于任意给定得〉0,存在＞0,并且，当时也满足,ｉ=l,2,…n ﻩﻩﻩﻩﻩ（1．1.3）

则称方程组（1．１.2)得解就是稳定得，否则它就就是不稳定得.这样定义得稳定性称为Ｌｙaｐunov稳定性。

如果就是稳定得，并且满足极限条件

,i=l，2,…ｎﻩﻩﻩﻩﻩ（１.１.4）

则称就是惭近稳定得。

上述抽象得数学定义可以直观理解为：方程组(1、２)对于不同得初始条件有不同得解,如果原初始条件与受扰动后得初始条件之差限定在一定得范围内，即,未扰动解与扰动解之差也不超出一定得范围，即，则末扰动解就就是稳定得；如果渐渐趋近于，最终变得与一致,则称就是渐近稳定得;如果与之差不存在一个有限范围,即远离，则称就是不稳定得。

由上述Ｌyapunｏｖ稳定性得定义可以瞧到,要对动力系统得解得稳定性做出判断,必须对动力学方程组求解，然而对于非线性动力系统就是很难获得解析解得，即使获得近似解析解也就是如此。那么，我们能否象最小熵产生原理那样,不用对方程组具体求解就能对系统得稳定性作出判断。Ｌyａpunov发展了这种判断方法，通常称为Lyapuｎo ｖ第二方法。这种方法主要就是寻找(或构造）一个Lyａｐunov函数，利用这个函数得性质对系统得稳定性作出判断.

１、2线性稳定性分析

通过上节对稳定性得定义我们知道,要对非线性微分方程组得解得稳定性作出判断，最好就是求出它得解析解。然而,对于大多数非线性微分方程组很难得到它们得解析解，甚至求近似解析解都就是不可能得。虽然Ｌyapunov方法避开了这一困难，但寻找一个Lyapｕnov函数仍存在着相当得困难.那么我们能否不去对非线性方程组去求解,而采取一种既简单又有效得方法对非线性方程组定态解得稳定性作出定性得判断.这样得方法就是存在得,那就就是线性稳定性分析方法.它得主要思想就是,在非线性微分方程组定态解得小邻域，把非线性微分方程组线性化，用线性微分方程组来研究定态解对小扰动得稳定性。因为线性微分方程组就是容易求解得，而且在定态解得小邻域，用线性微分方

程组近似取代非线性微分方程组就是合理，所以线性稳定性分析方法既简单又有效，就是一种常用得稳定性分析方法。

首先通过一个简单得例子来了解线性稳定性分析得思路。设有一非线性微分方程ﻩﻩﻩﻩ（1.2.1)

在定态X

，，有

０

ﻩﻩﻩﻩ(1.２.2）

由此得到定态解

ﻩ,ﻩﻩﻩ(1．2。3)

设就是定态附近得小扰动,即

ﻩ(１。2．4）

ﻩﻩﻩﻩﻩ（１．2．5)

把方程（１.2。4)代入方程（1、2、1），有

ﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩ(1。2．6）

ﻩﻩ

考虑到定态方程（1.2.2），并忽略小扰动得二次项,得

ﻩﻩ（1.2.7)

其中

ﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩ（1。2。8)

就是线性化系数.方程（１．2．7)就是非线性方程（１、2、1）得线性化方程,容易求出它得解为

ﻩ

其中就是初始扰动。

讨论：定态解得稳定性取决于得符号。（1）如果〈０，定态解附近得扰动会随时间指数衰减，最后回到该定态,说明这个定态就是稳定得;(2)如果〉0，定态附近得扰动会随时间指数增加，最后离开这个定态，表明该定态就是不稳定得。

对于定态，，就是稳定得；

对于定态，，就是不稳定得。