16 第十六讲 伯德图分析-稳定性-及幅值和相角裕度
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log10
1
图.16.6 1 型系统的另一种伯德图
2型系统
Kb GH s 2 s
Ka GH j 2 j
如果 ka=1。对数幅频特性在当ω =1时，其低频段或它的延长线会以– 40db/decade 的斜率穿过 零分贝线 。 Ka 的值可以通过测量ω = 1 处的 增益值来获得。
M db
-40db/decade
20log10 Ka
log10
1
图.16.7 2
型系统的伯德图
进一步讨论增益裕度和相位裕度
相角裕度是确定系统稳定性的唯一可靠
的参数。 无频率穿越点： - 考虑下面的例子ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
K 1 s GH s 2 s 1 s / 10
- 相角绝不会穿过 -180º 线。 但是相位裕 度可以从增益穿越点 PM=45º 处获得， 系统是稳定的。
M pc
条件稳定
• 改变增益的作用是使幅值曲线上下平 移，而相角曲线不变。 如果 20 lg K K dB 那么
6 20 lg 2 K 20 lg 2 20 lg K K dB 6 20 lg 0.5K 20 lg 0.5 20 lg K K dB
N dB 20 lg N 18 N 7.94
这个结果接近于先前分析的结果 K=0.832. 误差是由伯德图的相角曲线 用直线近似引起的。
伯德图中的增益裕度和相角裕度
伯德图中的增益裕度
增益裕度 (用分贝表示)为 Kc 的分贝值 与增益K的分贝值之差。
Kc GM K
GM dB 20 lg Kc 20 lg K
当ω 趋于 0 时
Kb GH s n s
0型系统
n0 GH ( s ) K b
GH ( j) K p
M db
20log10 KP
log10
图.16.4
0型系统的伯德图
1型系统
Kb Kb GH ( s) s j
幅值增益
GH ( j )
Kv
如果k=1 ，那么当ω = 1 时，图形经过 Mdb= 0dB线。
M db
-20db/decade
20log10 Kv
1800
log10
1
图.16.5
1型系统的伯德图
Kv的值可以通过测量在ω =1处的增益 来获得。如果其他环节在频率ω =1之前作 用于对数幅频特性， 那么应该用低频渐近 线的延长线求出。
M db
-20db/decade
20log10 Kv
• 考虑下面的例子： K GH s s1 2s 1 3s K=0.1
转折频率为 1, 0.5, 0.34
• 奈奎斯特稳定性判据：
当相角为-180o时，如果系统幅值小于或等 于1，那么这个系统是稳定的。 在伯德图中， 单位幅值对应于 MdB=0。 例子中: 相位为-180°时， 幅值约为 – 18dB ，因此系统是稳定的。
M db
log10
K3
Kc
K2
K1 －90 －180
－270
Im
Im Kc K1 K2 K3 －1 Re Kc K2 K3 K1
Re
图.16.2 具有变化K的系统伯德图、奈奎斯特图和根轨迹
在相位-180°时， K dB 幅值约为 – 18dB， 如果系统不稳定：
0 18 N dB K c NK 0.794
但相位裕度判断系统的确是不稳定的。
0.01 40
0.1
1.0
10
线性控制系统工程
第16章 伯德图分析，稳定性， 及幅值和相角裕度
第16章 伯德图分析,稳定性 及幅值和相角裕度
伯德图中的增益裕度和相角裕度
M ( pc)
g c
(g c)
(g c)
GM
PM 180 gc GM db 20 lg 1
Kc 1 K M pc 20 lg M pc
M db
log10
GM
0db
1800
PM
log10
图.16.3 增益裕度和相位裕度
系统的型和从伯德图得到 稳态误差
一般开环传递函数
K b 1 s / z1 1 s / z 2 1 s / z m GH s n s 1 s / p1 1 s / p2 1 s / pk
0.01 40
0.1
1.0
10
M db
20
0
K=1
-20
-40
0
-90
-180
-270
图16.8
无相位穿越点的伯德图
MATLAB 仿真
1 s GH s 2 s 1 s / 10
sys=tf([1 1],[0.2 1 0 0]); bode(sys) pause
用根轨迹来验证：
0.01 40
0.1
1.0
10
M db
20
增益穿越点
0
-20
-40
0
-90
相位穿越点
-180
-270
图16.1 例子系统的伯德图
增加K 将使幅值曲线向上平移动，从 而使幅值穿越点向右移。但是相角穿越点 保持不变。 系统最终处在临界不稳定点上。 ▽ 计算临界不稳定时系统的幅值。
20 lg NK 20 lg K 20 lg N 20 lg NK K dB N dB
Im
Re -10 -1
图.16.9 系统的根轨迹图
▽ 多个频率穿越点：
考虑下面的例子
K 1 s 1 s / 10 GH s 3 s 1 s / 1001 s / 1000
增益穿越频率在ω =1处, 相角裕度为 -45º, 可判断出系统是不稳定的。
• 这里有两个相位穿越频率，分别为ω=3 和ω=300。在每个频率处增益裕度是正 的， 表明系统是稳定的系统。
伯德图中的相位裕度： - 相位裕度是使相角曲线向下移动 直到 增益和相角穿越点发生在同一频率时 的纯相角滞后量 。 - 在图16.1中
PM 54
▽
在伯德图中获得增益裕度和相位裕 度:
增益裕度是通过相角穿越频率得出的。 它是该频率处的幅值分贝值与0dB线之间 的差值(用分贝表示) 。
相角裕度是通过增益穿越频率得出的， 它是此频率处的相角与-180o线之间的差值。
1
图.16.6 1 型系统的另一种伯德图
2型系统
Kb GH s 2 s
Ka GH j 2 j
如果 ka=1。对数幅频特性在当ω =1时，其低频段或它的延长线会以– 40db/decade 的斜率穿过 零分贝线 。 Ka 的值可以通过测量ω = 1 处的 增益值来获得。
M db
-40db/decade
20log10 Ka
log10
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图.16.7 2
型系统的伯德图
进一步讨论增益裕度和相位裕度
相角裕度是确定系统稳定性的唯一可靠
的参数。 无频率穿越点： - 考虑下面的例子ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
K 1 s GH s 2 s 1 s / 10
- 相角绝不会穿过 -180º 线。 但是相位裕 度可以从增益穿越点 PM=45º 处获得， 系统是稳定的。
M pc
条件稳定
• 改变增益的作用是使幅值曲线上下平 移，而相角曲线不变。 如果 20 lg K K dB 那么
6 20 lg 2 K 20 lg 2 20 lg K K dB 6 20 lg 0.5K 20 lg 0.5 20 lg K K dB
N dB 20 lg N 18 N 7.94
这个结果接近于先前分析的结果 K=0.832. 误差是由伯德图的相角曲线 用直线近似引起的。
伯德图中的增益裕度和相角裕度
伯德图中的增益裕度
增益裕度 (用分贝表示)为 Kc 的分贝值 与增益K的分贝值之差。
Kc GM K
GM dB 20 lg Kc 20 lg K
当ω 趋于 0 时
Kb GH s n s
0型系统
n0 GH ( s ) K b
GH ( j) K p
M db
20log10 KP
log10
图.16.4
0型系统的伯德图
1型系统
Kb Kb GH ( s) s j
幅值增益
GH ( j )
Kv
如果k=1 ，那么当ω = 1 时，图形经过 Mdb= 0dB线。
M db
-20db/decade
20log10 Kv
1800
log10
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图.16.5
1型系统的伯德图
Kv的值可以通过测量在ω =1处的增益 来获得。如果其他环节在频率ω =1之前作 用于对数幅频特性， 那么应该用低频渐近 线的延长线求出。
M db
-20db/decade
20log10 Kv
• 考虑下面的例子： K GH s s1 2s 1 3s K=0.1
转折频率为 1, 0.5, 0.34
• 奈奎斯特稳定性判据：
当相角为-180o时，如果系统幅值小于或等 于1，那么这个系统是稳定的。 在伯德图中， 单位幅值对应于 MdB=0。 例子中: 相位为-180°时， 幅值约为 – 18dB ，因此系统是稳定的。
M db
log10
K3
Kc
K2
K1 －90 －180
－270
Im
Im Kc K1 K2 K3 －1 Re Kc K2 K3 K1
Re
图.16.2 具有变化K的系统伯德图、奈奎斯特图和根轨迹
在相位-180°时， K dB 幅值约为 – 18dB， 如果系统不稳定：
0 18 N dB K c NK 0.794
但相位裕度判断系统的确是不稳定的。
0.01 40
0.1
1.0
10
线性控制系统工程
第16章 伯德图分析，稳定性， 及幅值和相角裕度
第16章 伯德图分析,稳定性 及幅值和相角裕度
伯德图中的增益裕度和相角裕度
M ( pc)
g c
(g c)
(g c)
GM
PM 180 gc GM db 20 lg 1
Kc 1 K M pc 20 lg M pc
M db
log10
GM
0db
1800
PM
log10
图.16.3 增益裕度和相位裕度
系统的型和从伯德图得到 稳态误差
一般开环传递函数
K b 1 s / z1 1 s / z 2 1 s / z m GH s n s 1 s / p1 1 s / p2 1 s / pk
0.01 40
0.1
1.0
10
M db
20
0
K=1
-20
-40
0
-90
-180
-270
图16.8
无相位穿越点的伯德图
MATLAB 仿真
1 s GH s 2 s 1 s / 10
sys=tf([1 1],[0.2 1 0 0]); bode(sys) pause
用根轨迹来验证：
0.01 40
0.1
1.0
10
M db
20
增益穿越点
0
-20
-40
0
-90
相位穿越点
-180
-270
图16.1 例子系统的伯德图
增加K 将使幅值曲线向上平移动，从 而使幅值穿越点向右移。但是相角穿越点 保持不变。 系统最终处在临界不稳定点上。 ▽ 计算临界不稳定时系统的幅值。
20 lg NK 20 lg K 20 lg N 20 lg NK K dB N dB
Im
Re -10 -1
图.16.9 系统的根轨迹图
▽ 多个频率穿越点：
考虑下面的例子
K 1 s 1 s / 10 GH s 3 s 1 s / 1001 s / 1000
增益穿越频率在ω =1处, 相角裕度为 -45º, 可判断出系统是不稳定的。
• 这里有两个相位穿越频率，分别为ω=3 和ω=300。在每个频率处增益裕度是正 的， 表明系统是稳定的系统。
伯德图中的相位裕度： - 相位裕度是使相角曲线向下移动 直到 增益和相角穿越点发生在同一频率时 的纯相角滞后量 。 - 在图16.1中
PM 54
▽
在伯德图中获得增益裕度和相位裕 度:
增益裕度是通过相角穿越频率得出的。 它是该频率处的幅值分贝值与0dB线之间 的差值(用分贝表示) 。
相角裕度是通过增益穿越频率得出的， 它是此频率处的相角与-180o线之间的差值。