16 第十六讲 伯德图分析-稳定性-及幅值和相角裕度
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16第十六讲伯德图分析-稳定性-及幅值和相角裕度
GM1 K1db GM 2 K 2 db
图.16.11 系统的根轨迹图
单一频率穿越点:
增加相位
2
考虑下面的例子
1 s / 2 GH s 3
s
相位裕度是负的，表明系统是不稳定的。 增益裕度是正的，表明系统是稳定的。 考虑相位裕度，系统是稳定的。
0.1 40
1
10
100
M db
0
-60
GM=K1(db) -40
-40
-40
0
-90
-180
PM
-270
图16.12
具有单一渐增相位穿越点的系统的伯德图
MATLAB 仿真
1 s / 2 GH s 3
s
sys=tf([0.25 1 1],[1 0 0 0]); bode(sys) pause
2
从根轨迹得到证实， 系统是条件稳定 的。 当k<k1时， 系统是不稳定的； 当k>k1时， 系统是不稳定的。
画出当 K=0.8时系统的伯德图， 并确定 增益裕度和相位裕度。 使系统的相位裕 度约为 60º 的K为何值? 解:
5K 1 s / 5 1.25K 1 s / 5 GH s 2 4s1 s 1 s / 4 s / 4 s1 s 1 s / 4 s 2 / 4 2
伯德图中的相位裕度： - 相位裕度是使相角曲线向下移动 直到 增益和相角穿越点发生在同一频率时 的纯相角滞后量 。 - 在图16.1中
PM 54
▽
在伯德图中获得增益裕度和相位裕 度:
增益裕度是通过相角穿越频率得出的。 它是该频率处的幅值分贝值与0dB线之间 的差值(用分贝表示) 。
自动控制原理之伯德图ppt课件
求出。
2
系统开环对数幅频特性L(ω)通过0分贝线，即 L(c ) 0 或 A(c ) 1
时的频率c 称为穿越频率。穿越频率c 是开环对数相频
特性的一个很重要的参量。
3
5.4 系统开环频率特性的绘制
⑥ 画出各串联典型环节相频特性，将它们相加后得到 系统开环相频特性。
绘制开环系统对数相频特性时，可分环节绘 出各分量的对数相频特性，然后将各分量的纵坐 标相加，就可以得到系统的开环对数相频特性。
40dB/ dec
20dB/ dec
20dB/ dec
D
开环系统对数幅频特性图 60dB/ dec
5
5.4 系统开环频率特性的绘制
二、绘制系统开环频率特性伯德图的步骤
① 确定交接频率w1、w2、w3……，标在角频率w轴上。 ② 在w＝1处，量出幅值20lgK，其中K为系统开环放大系数。 (在图中标出相应的字母，如A点) ③ 通过A点作一条-20NdB/十倍频的直线，其中N为系统的 无差阶数，直到第一个交接频率w1。如果w1<1，则低频渐 近线的延长线经过A点。
斜率增加-40dB/十倍频。
2
5.4 系统开环频率特性的绘制
⑤ 绘出用渐近线表示的对数幅频特性以后，如果需要，可以进
行修正。通常只需修正交接频率处以及交接频率的二倍频和 1/2倍频处的幅值就可以了。
对于一阶项，在交接频率处的修正值为±3dB；
在交接频率的二倍频和1/2倍频处的修正值为±1dB。
对于二阶项，在交接频率处的修正值可由公式 20lg 1
4
例5-12 已知系统的开环传递函数为
G(s)H (s)
K (1 s) 1 1
LL( )
s T1s 1 T2 s 2
Bode 稳定性判定PPT课件
第五章 系统的稳定性
5.4 Bode稳定判据
三、Bode稳定判据
在Bode图上，当由0→+∞时，在开环对数幅频特性为正
值的频率范围内，开环对数相频特性对-180°线的正负穿越 次数的代数和为P/2。
P＝2N 或 N＝P/2
特别
P=0时，若 ωc＜ωg，闭环系统稳定
ωc＞ωg，闭环系统不稳定 ωc =ωg， 闭环系统临界稳定
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汇报人：XXXX 日期：20XX年XX月XX日
第五章 系统的稳定性
5.4 Bode稳定判据
(-1,j0)
ωc ωg
ωc ωg1 ωg2 ωg3
ωc：幅值穿越频率（剪切频率）
A(ωc)=1 L(ωc)=0
ωg：相位穿越频率
φ(ωg)= -180°
第五章 系统的稳定性
二、穿越的概念
(-1,j0)
5.4 Bode稳定判据
_+
开环对数幅频特性为正值的频率范围内， 其对数相频特性穿过-180°线
第五章 系统的稳定性
5.4 Bode稳定判据
5.4 Bode（伯德）稳定判据
一、Nyquist图和Bode图的对是应N关yq系uist稳定判据的引申
(1) Nyquist图上的 Bode图上的0dB线， 0dB线之上。
(2) Nyquist图上的负实轴 Bode图上的-180°线， 即对数相频特性图的横轴。
自动控制原理：第六章频域分析法——伯特图及稳定性分析
0.1
0.05
0.05
0.1 0.3
(1 T 2 2
j2T)1
0.7
1
1
10
/ n
(ω) arctan[(2ζωT)/ (1 ωT2 )] 相角：0°~-180°
6.4 系统开环频率特性-典型环节的伯德图特性：
令
dA ( ) d
0,得
谐振
20
10
Bode Diagram 转折频率
0 K 0
90
K 0 180
101
100
101
102
/(rad/sec)
6.4 系统开环频率特性-典型环节的伯德图
2) 积分环节( j )1，微分环节( j )
Bode Diagram 20
1 j
L() /(dB)
积分
A( ω ) 1 ,( ω ) 90
ω
0 j
20
微分 A(ω) ω,(ω) 90
6.3 频率特性图示法-对数幅相频率特性曲线
6.3.3 对数幅相特性曲线（尼科尔斯（N.B.Nichols）曲线）
横坐标为相位()
纵坐标为对数幅值L()=20lgA()
绘制过程：
0
L() /(dB)
从伯德图中分别读取各频率 10 下L()和()的值，
20
在尼科尔斯坐标系中确定相
应的点并将频率作为参变 30 量标于各点旁，
r n 1 2 2
A(r ) Am 2
1
1 2
L() /(dB)
0
-10 -20
(1 T 22
j2T)1
0.05 0.1 0.3
-30
0.7
1 -40
伯德图分析-稳定性-及幅值和相角裕度
-270
0.01
0.1
1.0
10
增益穿 越点
相位穿
图16.1 例子系统的伯德图
越点
增加K 将使幅值曲线向上平移动，从 而使幅值穿越点向右移。但是相角穿越点 保持不变。 系统最终处在临界不稳定点上。
▽ 计算临界不稳定时系统的幅值。
20 lg NK 20 lg K 20 lg N
20 lg NK KdB NdB
渐近线的延长线求出。
M db
20 log10 Kv
-
20d
b/d
log10
eca1
图.16.6 1 型系统的另一种伯德图
2型系统
GHs
Kb s2
GH
j
Ka
j 2
如果 ka=1。对数幅频特性在当ω =1时，其低频段或它的延长线会以– 40db/decade 的斜率穿过 零分贝线 。
Ka 的值可以通过测量ω = 1 处的 增益值来获得。
PM 54
▽ 在伯德图中获得增益裕度和相位裕 度:
增益裕度是通过相角穿越频率得出的。 它是该频率处的幅值分贝值与0dB线之间
的差值(用分贝表示) 。 相角裕度是通过增益穿越频率得出的， 它是此频率处的相角与-180o线之间的差值。
M db
0 d b
1800
log10
G M
P
log10
M
图.16.3 增益裕度和相位裕度
线性控制系统工程
第16章
伯德图分析，稳 定性，
及幅值和相角 裕度
第16章 伯德图分析,稳定性 及幅值和相角裕度
伯德图中的增益裕度和相角裕度
g c
(g c)
(g c)
GM Kc
0.01
0.1
1.0
10
增益穿 越点
相位穿
图16.1 例子系统的伯德图
越点
增加K 将使幅值曲线向上平移动，从 而使幅值穿越点向右移。但是相角穿越点 保持不变。 系统最终处在临界不稳定点上。
▽ 计算临界不稳定时系统的幅值。
20 lg NK 20 lg K 20 lg N
20 lg NK KdB NdB
渐近线的延长线求出。
M db
20 log10 Kv
-
20d
b/d
log10
eca1
图.16.6 1 型系统的另一种伯德图
2型系统
GHs
Kb s2
GH
j
Ka
j 2
如果 ka=1。对数幅频特性在当ω =1时，其低频段或它的延长线会以– 40db/decade 的斜率穿过 零分贝线 。
Ka 的值可以通过测量ω = 1 处的 增益值来获得。
PM 54
▽ 在伯德图中获得增益裕度和相位裕 度:
增益裕度是通过相角穿越频率得出的。 它是该频率处的幅值分贝值与0dB线之间
的差值(用分贝表示) 。 相角裕度是通过增益穿越频率得出的， 它是此频率处的相角与-180o线之间的差值。
M db
0 d b
1800
log10
G M
P
log10
M
图.16.3 增益裕度和相位裕度
线性控制系统工程
第16章
伯德图分析，稳 定性，
及幅值和相角 裕度
第16章 伯德图分析,稳定性 及幅值和相角裕度
伯德图中的增益裕度和相角裕度
g c
(g c)
(g c)
GM Kc
BODE图的讲解
L() 20 lg () *90
共二十三页
( )
§5.3.1 典型环节的Bode图
§5.3.1 典型(diǎnxíng)环节的Bode图
⑶ 积分(jīfēn) G( j ) 1
环节
j
L() 20lg () 90
当 G( j) ( 1 ) j
L() 20 lg () 90*
⑷ 惯性环节
§5.3.1 典型(diǎnxíng)环节的Bode图
⑹ 节
振荡(zhèndàng)G环(s)
n2 s2 2ns n2
G(
j )
1
2
2 n
1
j2
n
L( ) 20lg
[1
2 n2
]2
[2
n
]2
( )
arctan 2
n
1 -
2
2 n
1
n
1
n
L() 0 () 0
L( ) 40lg n
第一转折频率之左 的特性及其延长线
共二十三页
内容(nèiróng)总结
1)由开环频率特性 求出幅频特性 和相频特性 ，或实频 特性 和虚频特性。不含零点时，模值和相位一般会单调收缩 ，当有零点时，曲线可能会扭曲。(4) (非直线）特性曲线可以绘制 渐近对数(duìshù)幅频特性，进一步简化绘制过程。是一条斜率为＋ 20db/dec，过（1,0)点的直线，记作〔＋20〕。谐振频率wr 和谐振 峰值Mr。① 两惯性环节转折频率很接近时
30dB
20( lgc
lg
2)
20 lg
c
2
lg c 30 1.5
2 20
c 2 101.5 63.2 rad s
系统的稳定性分析Bode稳定判据PPT优选版
严格地讲，应当同时给出相角裕度和增益裕度，才能确定系统的相对稳定性。
虚线，该虚线通过的相位为ν·90°，计算正负穿越时， 反之，称为负穿越（相角减少）。
在相频特性等于－180°的频率ωg （穿越频率）处，开环幅频特性A(ωg)的倒数，称为增益裕度，记做Kg 。 反之，称为负穿越（相角减少）。
应将补画的虚线看成对数相频特性曲线的一部分。 Nyquist图上的负实轴 Bode图上的相频特性的
稳定裕度可以定量地确定一个系统的稳定程度。 它包括相位裕度和幅值裕度。
7.7 控制系统的相对稳定性
➢相对稳定性：若系统开环传递函数没有右半平面的 极点，且闭环系统是稳定的，那么乃氏曲线 G(jω)H(jω)离(－1, j0)点越远，则闭环系统的稳定程 度越高；反之，G(jω)H(jω)离(－1, j0)点越近，则闭 环系统的稳定程度越低；如果G(jω)H(jω)穿过(－1, j0)点，则闭环系统处于临界稳定状态。 ➢稳定裕度：衡量闭环稳定系统稳定程度的指标，常 用的有相角裕度γ和幅值裕度 Kg。
频特性(ω)不穿越－180°线，故闭环系统必
然稳定。
例2. 判定下列图的稳定性
下图(a)表示的具有正相角裕度的系统不仅稳定，而且还有相当的稳定储备，它可以在ωc的频率下，允许相角再增加（迟后）γ度才达 到临界稳定状态。 在相频特性等于－180°的频率ωg （穿越频率）处，开环幅频特性A(ωg)的倒数，称为增益裕度，记做Kg 。 解：相角裕度可通过对数幅频特性用图解法求出。 根据稳定性判据可以判别一个系统是否稳定。 严格地讲，应当同时给出相角裕度和增益裕度，才能确定系统的相对稳定性。 相对稳定性：若系统开环传递函数没有右半平面的极点，且闭环系统是稳定的，那么乃氏曲线G(jω)H(jω)离(－1, j0)点越远，则闭环系 统的稳定程度越高； 显然，对于稳定系统，1/Kg＜1，如图(a) 所示； 在Bode图上，增益裕度改以分贝(dB)表示 在频率特性上对应于幅值A(ω)＝1(即L(ω)=0)的角频率称为剪切频率(截止频率)，以ωc表示，在剪切频率处，相频特性距－180°线的 相位差γ叫做相角裕度。 由伯德图判断系统的稳定性 一、 乃奎斯特图与伯德图的对应关系 显然，对于稳定系统，1/Kg＜1，如图(a) 所示；
虚线，该虚线通过的相位为ν·90°，计算正负穿越时， 反之，称为负穿越（相角减少）。
在相频特性等于－180°的频率ωg （穿越频率）处，开环幅频特性A(ωg)的倒数，称为增益裕度，记做Kg 。 反之，称为负穿越（相角减少）。
应将补画的虚线看成对数相频特性曲线的一部分。 Nyquist图上的负实轴 Bode图上的相频特性的
稳定裕度可以定量地确定一个系统的稳定程度。 它包括相位裕度和幅值裕度。
7.7 控制系统的相对稳定性
➢相对稳定性：若系统开环传递函数没有右半平面的 极点，且闭环系统是稳定的，那么乃氏曲线 G(jω)H(jω)离(－1, j0)点越远，则闭环系统的稳定程 度越高；反之，G(jω)H(jω)离(－1, j0)点越近，则闭 环系统的稳定程度越低；如果G(jω)H(jω)穿过(－1, j0)点，则闭环系统处于临界稳定状态。 ➢稳定裕度：衡量闭环稳定系统稳定程度的指标，常 用的有相角裕度γ和幅值裕度 Kg。
频特性(ω)不穿越－180°线，故闭环系统必
然稳定。
例2. 判定下列图的稳定性
下图(a)表示的具有正相角裕度的系统不仅稳定，而且还有相当的稳定储备，它可以在ωc的频率下，允许相角再增加（迟后）γ度才达 到临界稳定状态。 在相频特性等于－180°的频率ωg （穿越频率）处，开环幅频特性A(ωg)的倒数，称为增益裕度，记做Kg 。 解：相角裕度可通过对数幅频特性用图解法求出。 根据稳定性判据可以判别一个系统是否稳定。 严格地讲，应当同时给出相角裕度和增益裕度，才能确定系统的相对稳定性。 相对稳定性：若系统开环传递函数没有右半平面的极点，且闭环系统是稳定的，那么乃氏曲线G(jω)H(jω)离(－1, j0)点越远，则闭环系 统的稳定程度越高； 显然，对于稳定系统，1/Kg＜1，如图(a) 所示； 在Bode图上，增益裕度改以分贝(dB)表示 在频率特性上对应于幅值A(ω)＝1(即L(ω)=0)的角频率称为剪切频率(截止频率)，以ωc表示，在剪切频率处，相频特性距－180°线的 相位差γ叫做相角裕度。 由伯德图判断系统的稳定性 一、 乃奎斯特图与伯德图的对应关系 显然，对于稳定系统，1/Kg＜1，如图(a) 所示；
自动控制原理之稳定性裕量分析.ppt
4.4 稳定性裕量
G平面
Im
对于大的K值，系统是不稳定的。 当增益减小到一定值时，G( j) K大时 的轨迹通过(-1,j0)点。
对于小的K值，系统是稳定的。
1
0 Re
K小时
G( j) 的极坐标图
G( j) 的轨迹对(-1,j0)
点的靠近程度，可以用来
度量稳定裕量。在实际系
统中常用相位裕量和增益
裕量表示。
c2 n2 ( (4 4 1 2 2 ) c n (4 4 1 2 2
() 90 arctg 2 n
根据相位裕度的定义
180 (c ) 180 90 arctg
c 2 n
90 arctg
4 4 1 2 2 2
arctg
2 4 4 1 2 2
上式说明相位裕度仅仅与阻尼比有关。
对于稳定的最小相位系统，增益裕度指出了系统在不稳定之前， 增益能够增大多少。对于不稳定系统，增益裕度指出了为使系 统稳定，增益应当减少多少。
一阶或二阶系统的增益裕度为多少？
一阶或二阶系统的增益裕度为无穷大，因为这类系统的 极坐标图与负实轴不相交。因此，理论上一阶或二阶系统 不可能是不稳定的。当然，一阶或二阶系统在一定意义上 说只能是近似的，因为在推导系统方程时，忽略了一些小 的时间滞后，因此它们不是真正的一阶或二阶系统。如果 计及这些小的滞后，则所谓的一阶或二阶系统可能是不稳 定的。
G(s) 10(1 10s) s(1 100 s)(1 0.2s)
由于是最小相位系统，因而可通过计算相位裕度
是否大于零来判断系统的稳定性。由图可知 c 1
在 c 处
(c
)
90
arctg
1 0.1
arctg
G平面
Im
对于大的K值，系统是不稳定的。 当增益减小到一定值时，G( j) K大时 的轨迹通过(-1,j0)点。
对于小的K值，系统是稳定的。
1
0 Re
K小时
G( j) 的极坐标图
G( j) 的轨迹对(-1,j0)
点的靠近程度，可以用来
度量稳定裕量。在实际系
统中常用相位裕量和增益
裕量表示。
c2 n2 ( (4 4 1 2 2 ) c n (4 4 1 2 2
() 90 arctg 2 n
根据相位裕度的定义
180 (c ) 180 90 arctg
c 2 n
90 arctg
4 4 1 2 2 2
arctg
2 4 4 1 2 2
上式说明相位裕度仅仅与阻尼比有关。
对于稳定的最小相位系统，增益裕度指出了系统在不稳定之前， 增益能够增大多少。对于不稳定系统，增益裕度指出了为使系 统稳定，增益应当减少多少。
一阶或二阶系统的增益裕度为多少？
一阶或二阶系统的增益裕度为无穷大，因为这类系统的 极坐标图与负实轴不相交。因此，理论上一阶或二阶系统 不可能是不稳定的。当然，一阶或二阶系统在一定意义上 说只能是近似的，因为在推导系统方程时，忽略了一些小 的时间滞后，因此它们不是真正的一阶或二阶系统。如果 计及这些小的滞后，则所谓的一阶或二阶系统可能是不稳 定的。
G(s) 10(1 10s) s(1 100 s)(1 0.2s)
由于是最小相位系统，因而可通过计算相位裕度
是否大于零来判断系统的稳定性。由图可知 c 1
在 c 处
(c
)
90
arctg
1 0.1
arctg
控制系统的伯德图分析自动控制原理-理论篇第6节
PM ( c ) (180 ) 180 ( c )
c — 剪切频率，截止频率，增益穿越频率。
G(jc )H (jc ) 1 L(jc ) 0
增益裕量—Gain Margin(GM) 1 GM K g G(jg )H (jg )
GM b 20 lg G(jg )H (jg ) K gb
自动化工程学院自动控制原理课程组制
2015年11月
一 、稳定裕量的定义
j
G(jω)过(-1,j0)点时， 最小相位系统临界稳定
-1
G(jω)
0
1
G(jω) =1 ∠ G(jω) = -180o
同时成立！
K G(jωg) =1
G(jωg) -1 γ
ωg
∠G(jωc) – γ = –180o
幅值裕量 K=
K ( j ) 2 (Tj 1)
2 2
L ( ) 20 lg K 40 lg 20 lg T 1 0时有低频渐近线方程
L ( ) 20 lg K 40 lg 20 lg K a 40 lg
斜率=-40 db/dec，交点: 1 Ka L () T -40db/dec 1 T
0时有低频渐近线方程
20lgKp
L ( ) 20 lg K 20 lg K p
斜率=0， 与实轴无交点。
1 T
(2) N=1 (1型系统) G ( j ) H ( j )
K j (Tj 1)
2 2
L ( ) 20 lg K 20 lg 20 lg T 1 0时有低频渐近线方程
1 Kg
-180 不稳定闭环系统的GM和PM
稳定裕度专题知识讲座
G( j0) = K j0
G( j) = 0 j0
Imag Axis
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-1
-0.5
T1 = 1,T2 = 2,T3 = 3, K = 2
0
0.5
1
1.5
2
Real Axis
Imag Axis
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-1
-0.5
T1 = 1,T2 = 2,T3 = 3, K = 2
0
0.5
1
1.5
2
Real Axis
G( jw) =
K
[T1T2 ( jw)2 T2 jw 1](T3 jw 1)
展开
？与负实
轴旳交点
=
K
T1T2T3 ( jw)3 (T1T2 T2T3 )( jw)2 (T2 T3 ) jw 1
=
K
1 T2 (T1 T3 )w 2 (T2 T3 T1T2T3w 2 ) jw
为了得到满意旳性能，相位裕度应该在 30与60 之间，
增益裕度应该不小于6分贝。
【例5-5-1】研究经典二阶系统旳相角裕度。
（1）写出开环频率特征
G( jw) =
w
2 n
=
jw( jw 2wn ) w
w
2 n
w 2 4
w2 2 n
arctg
w 2w n
90
（2）根据定义拟定截止频率
G( jwc ) = 1
在 GH 平面旳映象若穿过( -1, 0 ) ，意味着闭环有极点在虚轴上。若某–s 线穿过( -1, 0 ) 点，则意味着闭环有极点在–s 线上。用一样措施，也能够
稳定裕度的定义
5.5 稳定裕度5.5.1 稳定裕度的定义控制系统稳定与否是绝对稳定性的概念。
而对一个稳定的系统而言，还有一个稳定的程度，即相对稳定性的概念。
相对稳定性与系统的动态性能指标有着密切的关系。
在设计一个控制系统时，不仅要求它必须是绝对稳定的，而且还应保证系统具有一定的稳定程度。
只有这样，才能不致因系统参数的小范围漂移而导致系统性能变差甚至不稳定。
对于一个最小相角系统而言，)(ωj G 曲线越靠近点（0,1j −），系统阶跃响应的振荡就越强烈，系统的相对稳定性就越差。
因此，可用)(ωj G 曲线对点（）的接近程度来表示系统的相对稳定性。
通常，这种接近程度是以相角裕度和幅值裕度来表的。
0,1j −相角裕度和幅值裕度是系统开环频率指标，它们与闭环系统的动态性能密切相关。
1．相角裕度相角裕度是指开环幅相频率特性)(ωj G 的幅值1)()(==ωωj G A 时的向量与负实轴的夹角，常用希腊字母γ表示。
图5-47 相角裕度和幅值裕度的定义 图 5-48 稳定裕度在Bode 图上的表示在G 平面上画出以原点为圆心的单位圆，见图5-47。
)(ωj G 曲线与单位圆相交，交点处的频率c ω称为截止频率，此时有1)(=c A ω。
按相角裕度的定义180()c γϕω=+o （5-69）由于01lg 20)(lg 20)(===c c A L ωω，故在伯德图中，相角裕度表现为dB L 0)(=ω处的相角)(c ωϕ与水平线之间的角度差，如图5-48所示。
上述两图中的o 180−γ均为正值。
2．幅值裕度)(ωj G 曲线与负实轴交点处的频率g ω称为相角交界频率，此时幅相特性曲线的幅值为)(g A ω，如图5-47所示。
幅值裕度是)(ωj G 与负实轴交点至虚轴距离的倒数，即1()g A ω，常用h 表示，即)(1g A h ω=（5-70）在对数坐标图上20lg 20lg ()()g g h A L =−ω=−ω （5-71）即的分贝值等于h )(g L ω与之间的距离（下为正）。
第四章 (4.3.2)频率特性法分析系统稳定性(稳定裕度)
5.3.2 用频率特性法分析系统稳定性 ——稳定裕量
幅相曲线和对数曲线相对于临界点 的位置即偏离临界点的程度，反映系统 的相对稳定性，即稳定裕量。
一、相位裕量 二、幅值裕量
临界稳定的概念
最小相位系统当G(jω)过(-1,j0)点时(见图)， 闭环系统临界稳定。 G(jω) = -1 1+G(jω) = 0 s=jω
解：
1
3
10
由上式可见 G(j ω)与坐标轴无交点。 40 0 . 5 2<ω<10 2.5s ∠-1800, ∴k =∞ ∵G(j∞)=0 g 5
例2 试绘制图示系统开环的伯德图，并确定 系统的相位稳定裕量γ 。
θ r(s)
–
10 s(0.25s+1)(0.1s+1)
θ c(s)
-1
j
1
0
G(jω) 特点：G(jω)曲线过(-1,j0)点时，说明有这么一个点
G(jω) =1 ∠ G(jω) = -180o
同时成立！
2
稳定裕度的定义
j
Kg
G(jωg)
=1
–180o
G(jωg) -1 ωg
G( jc ) =
0
1
ωc
幅值裕度 K
g= G(jωg)
1
G(jω)
∠G(jωc)
K g dB 20 lg G ( j g )
相角裕度 =180o +∠G(jωc)
3
0dB
幅值裕量: c
1 Kg G ( j g )
20lg G ( j g )
ωc ∠ G(jωc)
-180o
ωg
x
相位裕量: =180+ ∠ G(jωc)
幅相曲线和对数曲线相对于临界点 的位置即偏离临界点的程度，反映系统 的相对稳定性，即稳定裕量。
一、相位裕量 二、幅值裕量
临界稳定的概念
最小相位系统当G(jω)过(-1,j0)点时(见图)， 闭环系统临界稳定。 G(jω) = -1 1+G(jω) = 0 s=jω
解：
1
3
10
由上式可见 G(j ω)与坐标轴无交点。 40 0 . 5 2<ω<10 2.5s ∠-1800, ∴k =∞ ∵G(j∞)=0 g 5
例2 试绘制图示系统开环的伯德图，并确定 系统的相位稳定裕量γ 。
θ r(s)
–
10 s(0.25s+1)(0.1s+1)
θ c(s)
-1
j
1
0
G(jω) 特点：G(jω)曲线过(-1,j0)点时，说明有这么一个点
G(jω) =1 ∠ G(jω) = -180o
同时成立！
2
稳定裕度的定义
j
Kg
G(jωg)
=1
–180o
G(jωg) -1 ωg
G( jc ) =
0
1
ωc
幅值裕度 K
g= G(jωg)
1
G(jω)
∠G(jωc)
K g dB 20 lg G ( j g )
相角裕度 =180o +∠G(jωc)
3
0dB
幅值裕量: c
1 Kg G ( j g )
20lg G ( j g )
ωc ∠ G(jωc)
-180o
ωg
x
相位裕量: =180+ ∠ G(jωc)
伯徳图的画法和在判稳中的应用
例：开环特征方程有两个右根，P=2，试判定闭环系统的稳定性。 解：
P=2
正负穿越数之差（N+-N-）为1
Z=P-2N=2-2=0 系统闭环稳定
例：开环特征方程无右根，P=0，试判定闭环系统的稳定性。 解：
P=0
正负穿越数之差为0
系统闭环稳定
§ 5.4 稳定裕度
♣ ♣ ♣
K值较小时，系统稳定； K值较大时，系统不稳定的； K取某个值时，Nyquist曲线通过 (-1,j0)点，系统处于临界稳定状态。
c ——Nyquist曲线与单位圆交点处(此处幅值为1）的 称为 截止频率(又称剪切频率)，记为 c 。
G( jωc ) H ( jωc ) 1
相角裕度 180 G( jc ) H ( jc ) 含义：如果系统对频率为截止频率的信 号的相角滞后再增大 度，则系统处于临界 稳定状态。稳定系统的 > 0 , 越大,系统相 对稳定性越高。
(5) 系统开环对数相频特性表达式为
( ) arctan0.5 900 arctan arctan0.05
逐点计算结果
系统开环相频特性数据
－20dB/dec
20
－20dB/dec －40dB/dec －40dB/dec
例：
L(1) 20lg 7.5 17.5
2. Bode图上的稳定判据
闭环系统稳定的充要条件是：当ω 由0变到 +∞ 时，在开环 对数幅频特性 L(ω)≥0 的频段内，相频特性φ(ω) 穿越-π线的次 数（正穿越与负穿越次数之差）为p/2，p为s平面右半部的开 环极点数。 若开环传递函数无极点分布在S右半平面，即 P 0 ， 则闭环系统稳定的充要条件是：在L(ω)≥0 的频段内，相频 特性φ(ω) 在-π线上正负穿越次数代数和为零，或者不穿越 -π线 。 Nyquist图 Bode图
自动控制原理稳定裕度
Friday, October 23, 2020
23
（3）利用相角计算式，根据不同的频率计算相角，可以画出 对数相频特性图。
（4）开环传递函数无右半S平面的极点，在L(ω)>0的频段内， φ(ω)对－180°线没有穿越，因此闭环系统稳定。
Friday, October 23, 2020
24
例：设单位反馈控制系统的开环传递函数为
从这两方面考虑，则要求系统不仅是稳定的，还应具有一 定的安全系数。也就是不仅需要关心系统是否稳定，还应关心 系统稳定的程度，这就是所谓的相对稳定性。相对稳定性也称 为稳定裕度。
对于最小相位系统，根据奈奎斯特稳定判据知，如果极坐 标图不包围 (1，j0) 点，系统是稳定的；如果包围 (1，j0) 点， 系统就是不稳定的。因此，可以利用极坐标图与 (1点，的j0) 接近程度来衡量系统的相对稳定性。
Lg 20 lg K g 20 lg A(g )
Lg 称为对数幅值裕度或增益稳定裕度，由于 Lg 应用较多，通 常直接被称为幅值稳定裕度。
Friday, October 23, 2020
11
幅值稳定裕度的物理意义在于，稳定的系统在相角穿越频 率g处幅值增大 Kg 倍（或对数幅值上升 Lg 分贝），系统将处 于临界稳定状态。若幅值增大倍数大于 Kg ，系统将变成不稳 定。也就是说，幅值稳定裕度是闭环系统达到不稳定前允许开 环增益增加的最大分倍数。
⑵过c点作 轴的垂线与对数相频特性曲线相交，找出交点 处的纵坐标值(c )；
⑶代入公式计算出相位裕度 180 (c )
Friday, October 23, 2020
17
例1、单位反馈系统开环传递函数为
G(s)
K
控制系统的伯德图分析——自动控制原理
() 0
伯德图
c
GMb>0
g
PM>0 Kg>1
PM -180
稳定闭环系统的GM和PM
奈氏图 jIm
L()
伯德图
c 1
0 GMb<0
c
ReΒιβλιοθήκη PM()0g
1
PM<0 Kg
-180
PM
Kg<1
不稳定闭环系统的GM和PM
GM，PM常作为控制系统的频域设计指标。
GM，PM大表明相对稳定性好,但响应速度低。 GM，PM小表明相对稳定性差,但响应速度高。 过大或过小都不好，较好的经验值为：
0时有低频渐近线方程
L( ) 20 lg K 20 lg K p
1
斜率=0， 与实轴无交点。
T
(2) N=1 (1型系统)
G( j)H ( j) K j (Tj 1)
L( ) 20 lg K 20 lg 20 lg T 2 2 1
0时有低频渐近线方程
L( ) 20 lg K 20 lg 20 lg K v 20 lg
斜率=-40 db/dec，交点: K a
L ()
1 T
Ka
-40db/dec
1
T Ka
L ()
1 T
Ka
-40db/dec
1
Ka
T
三、 伯德图与稳态误差的关系
表5-2 系统类型和低频渐近线特征
系统类型 斜率
0
0
1 -20
2 -40
L(=1) 与L=0的交点
20 lg K无p 交点
20 lg Kv
Kv
20 lg K a
Ka
斜率=-20 db/dec，交点: =Kv
伯德图
c
GMb>0
g
PM>0 Kg>1
PM -180
稳定闭环系统的GM和PM
奈氏图 jIm
L()
伯德图
c 1
0 GMb<0
c
ReΒιβλιοθήκη PM()0g
1
PM<0 Kg
-180
PM
Kg<1
不稳定闭环系统的GM和PM
GM，PM常作为控制系统的频域设计指标。
GM，PM大表明相对稳定性好,但响应速度低。 GM，PM小表明相对稳定性差,但响应速度高。 过大或过小都不好，较好的经验值为：
0时有低频渐近线方程
L( ) 20 lg K 20 lg K p
1
斜率=0， 与实轴无交点。
T
(2) N=1 (1型系统)
G( j)H ( j) K j (Tj 1)
L( ) 20 lg K 20 lg 20 lg T 2 2 1
0时有低频渐近线方程
L( ) 20 lg K 20 lg 20 lg K v 20 lg
斜率=-40 db/dec，交点: K a
L ()
1 T
Ka
-40db/dec
1
T Ka
L ()
1 T
Ka
-40db/dec
1
Ka
T
三、 伯德图与稳态误差的关系
表5-2 系统类型和低频渐近线特征
系统类型 斜率
0
0
1 -20
2 -40
L(=1) 与L=0的交点
20 lg K无p 交点
20 lg Kv
Kv
20 lg K a
Ka
斜率=-20 db/dec，交点: =Kv
相角裕度大于0系统稳定吗
相角裕度大于0系统稳定吗
常用波特图来描述频率响应，对于稳定性的判定会有两个参数，那就是幅值裕度和相角裕度，通常情况下，利用后者进行判定，但是对于幅值裕度，指的是相角为-180度时对应的幅值（这里是dB）。
扩展资料
波德图是闭环动态控制系统稳定性的量度。
相位裕度能够表现相对稳定性（其对于阶跃函数等输入变化的阻尼响应振荡的倾向）。
增益裕度能够表现绝对稳定性和给定任意干扰，不加限制，系统会振荡的程度。
波德图是由贝尔实验室的荷兰裔科学家亨德里克·韦德·波德在1930年发明。
波德用简单但准确的方法绘制增益及相位的图，因此他发明的图也就称为波德图。
波德图幅频图的频率用对数尺度表示，增益部分一般都用功率的分贝值来表示，也就是将增益取对数后再乘以20。
由于增益用对数来表示，因此一传递函数乘以一常数，在波德增益图只需将图形的纵向移动即可，二传递函数的相乘，在波德幅频图就变成图形的相加。
幅频图纵轴0分贝以下具有正增益裕度、属稳定区，反之属不稳定区。
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0.01 40
0.1
1.0
10
M db
20
0
K=1
-20
-40
0
-90
-180
-270
图16.8
无相位穿越点的伯德图
MATLAB 仿真
1 s GH s 2 s 1 s / 10
sys=tf([1 1],[0.2 1 0 0]); bode(sys) pause
用根轨迹来验证：
N dB 20 lg N 18 N 7.94
这个结果接近于先前分析的结果 K=0.832. 误差是由伯德图的相角曲线 用直线近似引起的。
伯德图中的增益裕度和相角裕度
伯德图中的增益裕度
增益裕度 (用分贝表示)为 Kc 的分贝值 与增益K的分贝值之差。
Kc GM K
GM dB 20 lg Kc 20 lg K
log10
1
图.16.6 1 型系统的另一种伯德图
2型系统
Kb GH s 2 s
Ka GH j 2 j
如果 ka=1。对数幅频特性在当ω =1时，其低频段或它的延长线会以– 40db/decade 的斜率穿过 零分贝线 。 Ka 的值可以通过测量ω = 1 处的 增益值来获得。
M db
log10
K3
Kc
K2
K1 －90 －180
－270
Im
Im Kc K1 K2 K3 －1 Re Kc K2 K3 K1
Re
图.16.2 具有变化K的系统伯德图、奈奎斯特图和根轨迹
在相位-180°时， K dB 幅值约为 – 18dB， 如果系统不稳定：
0 18 N dB K c NK 0.794
0.01 40
0.1
1.0
10
M db
20
增益穿越点
0
Hale Waihona Puke -20-40
0
-90
相位穿越点
-180
-270
图16.1 例子系统的伯德图
增加K 将使幅值曲线向上平移动，从 而使幅值穿越点向右移。但是相角穿越点 保持不变。 系统最终处在临界不稳定点上。 ▽ 计算临界不稳定时系统的幅值。
20 lg NK 20 lg K 20 lg N 20 lg NK K dB N dB
• 考虑下面的例子： K GH s s1 2s 1 3s K=0.1
转折频率为 1, 0.5, 0.34
• 奈奎斯特稳定性判据：
当相角为-180o时，如果系统幅值小于或等 于1，那么这个系统是稳定的。 在伯德图中， 单位幅值对应于 MdB=0。 例子中: 相位为-180°时， 幅值约为 – 18dB ，因此系统是稳定的。
伯德图中的相位裕度： - 相位裕度是使相角曲线向下移动 直到 增益和相角穿越点发生在同一频率时 的纯相角滞后量 。 - 在图16.1中
PM 54
▽
在伯德图中获得增益裕度和相位裕 度:
增益裕度是通过相角穿越频率得出的。 它是该频率处的幅值分贝值与0dB线之间 的差值(用分贝表示) 。
相角裕度是通过增益穿越频率得出的， 它是此频率处的相角与-180o线之间的差值。
线性控制系统工程
第16章 伯德图分析，稳定性， 及幅值和相角裕度
第16章 伯德图分析,稳定性 及幅值和相角裕度
伯德图中的增益裕度和相角裕度
M ( pc)
g c
(g c)
(g c)
GM
PM 180 gc GM db 20 lg 1
Kc 1 K M pc 20 lg M pc
但相位裕度判断系统的确是不稳定的。
0.01 40
0.1
1.0
10
M db
log10
GM
0db
1800
PM
log10
图.16.3 增益裕度和相位裕度
系统的型和从伯德图得到 稳态误差
一般开环传递函数
K b 1 s / z1 1 s / z 2 1 s / z m GH s n s 1 s / p1 1 s / p2 1 s / pk
Im
Re -10 -1
图.16.9 系统的根轨迹图
▽ 多个频率穿越点：
考虑下面的例子
K 1 s 1 s / 10 GH s 3 s 1 s / 1001 s / 1000
增益穿越频率在ω =1处, 相角裕度为 -45º, 可判断出系统是不稳定的。
• 这里有两个相位穿越频率，分别为ω=3 和ω=300。在每个频率处增益裕度是正 的， 表明系统是稳定的系统。
当ω 趋于 0 时
Kb GH s n s
0型系统
n0 GH ( s ) K b
GH ( j) K p
M db
20log10 KP
log10
图.16.4
0型系统的伯德图
1型系统
Kb Kb GH ( s) s j
幅值增益
GH ( j )
Kv
如果k=1 ，那么当ω = 1 时，图形经过 Mdb= 0dB线。
M db
-40db/decade
20log10 Ka
log10
1
图.16.7 2
型系统的伯德图
进一步讨论增益裕度和相位裕度
相角裕度是确定系统稳定性的唯一可靠
的参数。 无频率穿越点： - 考虑下面的例子
K 1 s GH s 2 s 1 s / 10
- 相角绝不会穿过 -180º 线。 但是相位裕 度可以从增益穿越点 PM=45º 处获得， 系统是稳定的。
M pc
条件稳定
• 改变增益的作用是使幅值曲线上下平 移，而相角曲线不变。 如果 20 lg K K dB 那么
6 20 lg 2 K 20 lg 2 20 lg K K dB 6 20 lg 0.5K 20 lg 0.5 20 lg K K dB
M db
-20db/decade
20log10 Kv
1800
log10
1
图.16.5
1型系统的伯德图
Kv的值可以通过测量在ω =1处的增益 来获得。如果其他环节在频率ω =1之前作 用于对数幅频特性， 那么应该用低频渐近 线的延长线求出。
M db
-20db/decade
20log10 Kv