全国大学生数学竞赛练习题(解析)

9月11日练习题（解析）1 设()f x 在[0,1]上二阶可导，且(0)(1)f f =，求证：(0,1),ξ∃∈使得2()(1)()f f ξξξ'''=-解 令2()(1)()F x x f x '=-，则()F x 连续，由于(0)(1)f f =，故(0,1)c ∃∈，使()0f c '=故(1)()0F F c ==，因此(,1)(0,1)c ξ∃∈⊂，使()0F ξ'=即 2(1)()2(1)()0f f ξξξξ'''---= 故 2()(1)()f f ξξξ'''=- 2 设()f x 在[0,1]上连续，1100()0,()1f x dx xf x dx ==⎰⎰，考虑积分101()()2x f x dx -⎰，证明：（1）存在[0,1]ξ∈，使()4f ξ≥ （2）存在[0,1]ξ∈，使()4f ξ=证明（1）利用广义积分中值定理，[0,1]ξ∃∈，使11001()()2I xf x dx f x dx =-⎰⎰101011121021()()21()21()211()221()4x f x dxx f x dx f x dx f x dx x dx f ξξξ=-≤-=-⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-⎢⎥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦=⎰⎰⎰⎰⎰因此()4f ξ≥（2）因为()f x 在[0,1]上连续，故()f x 在[0,1]上连续，由（1）. 1[0,1]ξ∃∈，使1()4f ξ≥根据积分中值定理，2[0,1]ξ∃∈，使120()()f x dx f ξ=⎰故2()0f ξ=.因此根据介值定理，在1ξ与2ξ之间存在ξ，使()4[0,1]f ξξ=∈3（1）设(,,)u u x y z =，若0x y z xu yu zu '''++=，试证明在球坐标下u 仅为,θϕ的函数；（2）设(,)z z x y =，若y xz z x y''=，试证明z 仅为r的函数，其中r = 证明 （1）由于(,,)(cos sin ,sin sin ,cos )u u x y z u r r r θϕθϕϕ==cos sin sin sin cos u u u ur x y zθϕθϕϕ∂∂∂∂=++∂∂∂∂ 1()0u u ux y z r x y z∂∂∂=++=∂∂∂ （2）由于(,)(cos ,sin )z z x y z r r θθ==(sin )cos z z zr r x yθθθ∂∂∂=-+∂∂∂ 0z zy x x y∂∂=-+=∂∂ 故z 仅为r 的函数4 求4812481215!9!13!13!7!11!15!ππππππ++++++++的值解设分子为p ，分母为q ，则有5937113sin 05!9!3!7!11!p q πππππππππ-=+++----==故原式=2pqπ= 5 雨水从屋檐上滴入下面的一圆柱形水桶中，当下雨停止时，桶中雨水以与水深的平方根成正比的概率向桶外渗漏，如果水面高度在1h 内由开始的90cm 减少至88cm ，问需要多少时间桶内的水全部渗漏掉解设t 时刻水面高度为()y y t =，水桶半径r 为常数，水桶内水的体积为2r y π，由题意21()(0)dr y k k dtπ=->即2dyrk dt π=- （记12k k rπ=）90t dydty =⎧=-⎪⎨⎪=⎩ 解得2kt C =-+由090t y ==，得C =2kt =-+由188t y ==，得2k = 故有t =令0y =，得89.5t h =≈故约89.5h 桶内的水全部渗漏掉6 证明：1100(1)(1)nxn n x dx n ∞+=-=+∑⎰ 证明11ln 0xx x x dx e dx =⎰⎰122330111(1l n l n l n l n )2!3!!nnx x x x x x x x dx n =++++++⎰2253444432322232341ln ln ln ln ln ln 222!3333!42!444x x x x x x x x x x x x x x x x ⎡⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+-++-+-++⎢ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣ 1111111210234110(1)(1)ln ln ln !(1)(1)!(1)(1)(1)111(1)1234(1)(1)(1)n n n n n n n n n n nn nn n x x x x x x x n n n n n n n n ++-++-++∞+=⎤⎛⎫---++++⎥⎪+-+++⎝⎭⎦-=-+-++++-=+∑7 设(1,2,,1999)k a k = 是给定的正数，求1121999lim (21999)nn n n n a a a→+∞+++解设{}11999max i k i a a ≤≤=1121999(21999)n n n nn y a a a=+++ 1219991ln ln(21999)n n nn y a a a n=+++ ()()()1999121ln 21999k k k n n n a a a n k a a a a n⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦()()()1999121ln ln 21999k k k n nn a a a k a a a a n ⎡⎤=++++⎢⎥⎣⎦ln defk n a x =+ 由于11199920000ln(121999)ln 2n x n n ⨯≤≤+++= 而 119992000limln 02n n →∞⨯= 得 lim 0n n x →∞=故 lim ln ln n k n y a →∞={}11999lim max n k i n i y a a →∞≤≤==8 求曲线2sin (0)x y e x x -=≥与Ox 轴所围成的图形的面积 解02sin x A e x dx +∞-=⎰(1)0(1)01(1)01(1)10(1)02(1)sin 2(1)(sin cos )2(1)cos(1)cos (1)(1)(1)(1)11k k x k k k xk k k k k k k k k k k kk k k k k k e xdxe x x e k e k e e e e e e e πππππππππππππππ∞+-=+-∞=∞--+-=∞--++-=∞-+-=∞--=-=--=-+⎡⎤=-+-⎣⎦⎡⎤=----⎣⎦⎡⎤=+⎣⎦=++=-∑⎰∑∑∑∑∑11e e e πππ-+=-9 一飞机在离地面2km 的高度，以200km/h 的速度飞临某目标的上空以便进行航空摄影，试求飞机飞至该目标上方时摄像机转动的速度如图选取坐标系，其中目标取为坐标原点.记飞机与目标的水平距离为x ，摄像机角度为θ， 则有2tan x θ=，2arctan xθ=，两边对t 求导 222122421d dxdx dtx dt x dt x θ⎛⎫=-=- ⎪+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭将0,200dx x dt ==-代入得 18015100(/)1003600d rad h dtθππ==⨯⨯= 10 设)(x f 是),0(+∞上递减的连续函数，且0)(>x f ，证明：数列n a 收敛，其中∑⎰=-=nk nn dx x f k f a 11)()(解：由题设有),2,1()()()1(1=≤≤+⎰+k k f dx x f k f k k0)()1(11≤-+=-⎰++n nn n dx x f n f a a 即}{n a 单调减少，又0)())()(()()()()(111111111≥+-=-=-=⎰∑∑⎰∑⎰∑+-=-=+==n f dx x f k f dx x f k f dx x f k f a k kn k n k k knk nnk n 即}{n a 有下界，故}{n a 收敛。

11设)(x f 在),(+∞-∞上有定义，在0=x 的某个邻域内有一阶连续的导数，且,0)(lim>=→a xx f x 证明)1()1(1n f nn ∑∞=-收敛 解：∑∞=∞→>=11,01/)1(lim n n n a nn f 发散， 故)1(1∑∞=n n f 发散。

由于，,0)(lim 0>=→a x x f x 有0)(lim )0(0==→x f f x 0)(lim)0(0>=='→a xx f f x 由于)(x f '连续，故在0=x 的某邻域内0)(>'x f ，)(x f 单调增加，故当n 充分大时，)1(n f 单调减少，又0)1(lim =∞→n f n 故)1()1(1n f nn ∑∞=-收敛。

12 一个冬季的早晨开始下雪，且以恒定的速度不停的下，一台扫雪机，从上午8点开始在公路上扫雪，到9点前进了2千米，到10点前进了3千米，假定扫雪机每小时扫去积雪的体积为常数，问何时开始下雪？解：设0=t 时开始下雪，T 为开始下雪到扫雪机开始工作的时间，)(t x x =为t 时刻扫雪机前进的距离，下雪速度为常数A )/(h cm ，公路宽度为常数，则t时刻积雪的厚度为At h =，由于每小时扫去的积雪体积为常数，故扫雪机前进的速度与积雪厚度成反比，即t C At k h k dt dx === 其中AkC = 解得1ln C t C x +=，由题设有111)2ln (2)1ln (2ln 0C T C C T C C T C ++=++=+= 得到12ln11ln2++=+=T T C TT C故有)(618.0215011ln /12ln 212h T T T T T T T =-=⇒=-+⇒+++= ≈≈-382.78T 7时22分55秒 雪从上午7时22分55秒开始下的13 设)(x f 在闭区间],[b a 上有连续的导数，且0)()(==b f a f ，当),(b a x ∈时，0)(≠x f ，证明：ab dx x f x f ba-≥''⎰4)()( 解答：))(x f 在闭区间],[b a 上连续，故在],[b a 存在最大值M ，且由于),(0)()(b a c b f a f ∈∃==M c f =)( 使得)()()()(1ξf a c a f c f a c c f '=--=-，)()()()(2ξf bc b f c f b c c f '=--=- )()(1()1)(1)(1)()(122121ξξξξξξf f Mdx f Mdx x f Mdx x f Mdx x f x f baba'-'=''≥''≥''≥''⎰⎰⎰⎰a b a b a b b a c a b a b a c c b ab ac b c a c c f b c c f M -=--≥+----=---=-+--=---=44)()2)((4)())((11)()(1222 14 设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，且满足方程21122111()[()()]2x x f x dx f x f x x x =+-⎰ 21x x ≠，且12,[,]x x a b ∈，求()f x解：当(,]x a b ∈，由已知条件有11()[()()]2x a f x dx f a f x x a =+-⎰()[()()]2x ax a f x dx f a f x -=+⎰ 两边对x 求导1()[()()]()22x a f x f a f x f x -'=++即1()()()f a f x f x x a x a'-=---11()()[]()()dx dx x ax a f a f x e C e dx C x a f a x a-----⎰⎰=+-=-+-⎰令x b =，得()()f b f a C b a -=-，故 ()()()()()f b f a f x x a f a b a-=-+- 15 设()f x 是在(),-∞+∞二阶可导函数，试求方程22()()()()f x f y f x y f x y -=+-的解解 在已知方程中令0x y ==，得2(0)0,(0)0f f ==在已知方程两边对x 求偏导2()()()()()()f x f x f x y f x y f x y f x y '''=+-++-两边对y 求偏导0()()()()()()()()f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y ''''''''=+--+-++--+- ()()()()f x y f x y f x y f x y ''''+-=+-令u x y =+，v x y =-，得()()()()f u f v f u f v ''''=当()0f x ≠时，取一点v ，使()0f v ≠，令()()C f v f v ''=有()()f u Cf u ''= ()()0f u Cf u ''-=解得1212210()00C C e C f u C u C C C C C ⎧+>⎪=+=⎨⎪+<⎩ 由(0)0f =得当0C >时，12C C =-；当0C =时，20C =；当0C <时，20C =故111()0()00C e C f x C xC C C ⎧->⎪==⎨⎪<⎩ 16 判别下列级数的敛散性1(1)3+++21(2)ln(!)n n ∞=∑ 1l n (!)(3)n n n α∞=∑ 解 11121(1)03n nu +++=> 由11ln(1)n n>+，有 11111ln(11)ln(1)ln(1)22n n +++>++++++ =31ln 2ln ln ln(1)2n n n++++=+ 故ln ln(1)ln ln ln3ln3ln31111133nn n n n u e n e +<<=== ln 31>，故ln 311n n ∞=∑收敛，因此1n n u ∞=∑收敛（2）当3,!n n n n ≥>，故 l n l n l n (!nn n n n =>，即110ln(!)ln n n n>> 因为2ln dx x x +∞=∞⎰，故21ln n n n ∞=∑发散，因此21ln(!)n n ∞=∑发散 （3）当2α≤，由于ln31,,ln 1(3),n n >>> 故ln(!)ln1ln 2ln 2n n n n n nααα+++-=≥ 又由于12n n n α∞=-∑发散，故1ln(!)n n n α∞=∑发散当2α>，取β使2αβ>>，当n 充分大时111ln(!)ln ln ln ln 1n n n n n n n n n n n n n n ααααβαββ----<===< ，由于111n n β∞-=∑收敛，故1ln(!)n n n α∞=∑收敛 17级数1(1)tan nn ∞=-∑是否收敛，若收敛是绝对收敛还是条件收敛？解)0n π==> （当2n ≥）lim 0n →∞=，故级数收敛由于12n>>由于112n n∞=∑发散，故1(1)n n ∞=-∑发散，因此级数条件收敛18 讨论级数211n nx ∞=∑的敛散性，其中{}n x 是方程tan x x =的正根按递增顺序编号而得的序列 解 令()tan ,,22f x x x x n n ππππ⎛⎫=-∈-+⎪⎝⎭221()1tan 0cos f x x x'=-=-≤ 等号仅在x n π=时成立，故()f x 单调减少，又22lim(),limx n x n f x ππππ+-⎛⎫⎛⎫→-→+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=+∞=-∞故()f x 在,22n n ππππ⎛⎫-+⎪⎝⎭有唯一的根，且 ,22n x n n ππππ⎛⎫∈-+ ⎪⎝⎭22n x n n ππ>->-故222211(2),(2)nn x n x n >-<-，由于231(2)n n ∞=-∑收敛，故211n nx ∞=∑收敛 19 证明级数1!n n n e n n∞=∑是发散的证 由于11n n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭单调增加并以e 为极限，故有121111,1,,112ne e e n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+<+<+< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭即 2231,,,12nn e e e n +⎛⎫⎛⎫<<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭以上各式相乘得()1!nnn e n +< ()1!1nn n nn e n n n +>>级数1!n n n e n n∞=∑的一般项不以零为极限，故该级数发散。