全国大学生数学竞赛练习题(解析)

9月11日练习题（解析）

1 设()f x 在[0,1]上二阶可导，且(0)(1)f f =，求证：(0,1),ξ∃∈使得

2()(1)()f f ξξξ'''=-

解 令2()(1)()F x x f x '=-，则()F x 连续，由于(0)(1)f f =，故(0,1)c ∃∈，使

()0f c '=

故(1)()0F F c ==，因此(,1)(0,1)c ξ∃∈⊂，使

()0F ξ'=

即 2(1)()2(1)()0f f ξξξξ'''---= 故 2()(1)()f f ξξξ'''=- 2 设()f x 在[0,1]上连续，

1

10

0()0,()1f x dx xf x dx ==⎰

⎰，考虑积分101

()()2

x f x dx -⎰，证明：

（1）存在[0,1]ξ∈，使()4f ξ≥ （2）存在[0,1]ξ∈，使()4f ξ=

证明（1）利用广义积分中值定理，[0,1]ξ∃∈，使

1

1

00

1()()2I xf x dx f x dx =-⎰⎰

1010

1

1121021()()21

()2

1()

2

11()221

()

4

x f x dx

x f x dx f x dx f x dx x dx f ξξξ=

-≤-

=-

⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-⎢⎥

⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦=⎰⎰⎰

⎰⎰

因此()4f ξ≥

（2）因为()f x 在[0,1]上连续，故()f x 在[0,1]上连续，由（1）. 1[0,1]ξ∃∈，使

1()4f ξ≥

根据积分中值定理，2[0,1]ξ∃∈，使

1

20

()()f x dx f ξ=⎰

故2()0f ξ=.因此根据介值定理，在1ξ与2ξ之间存在ξ，使

()4[0,1]f ξξ=∈

3（1）设(,,)u u x y z =，若0x y z xu yu zu '''++=，试证明在球坐标下u 仅为,θϕ的函数；

（2）设(,)z z x y =，若y x

z z x y

''=，试证明z 仅为r

的函数，其中r = 证明 （1）由于

(,,)(cos sin ,sin sin ,cos )u u x y z u r r r θϕθϕϕ==

cos sin sin sin cos u u u u

r x y z

θϕθϕϕ∂∂∂∂=++∂∂∂∂ 1()0u u u

x y z r x y z

∂∂∂=++=∂∂∂ （2）由于

(,)(cos ,sin )z z x y z r r θθ==

(sin )cos z z z

r r x y

θθθ∂∂∂=-+∂∂∂ 0z z

y x x y

∂∂=-+=∂∂ 故z 仅为r 的函数

4 求

4

8

12

4812

15!

9!

13!

13!7!11!15!

ππππππ+

+

+

+++++

的值

解设分子为p ，分母为q ，则有

5

9

3

7

11

3

sin 05!

9!

3!

7!

11!

p q πππππππππ-=+

+

+-

-

-

-==

故原式=

2p

q

π= 5 雨水从屋檐上滴入下面的一圆柱形水桶中，当下雨停止时，桶中雨水以与水深的平方根成正比的概率向桶外渗漏，如果水面高度在1h 内由开始的90cm 减少至88cm ，问需要多少时间桶内的水全部渗漏掉

解设t 时刻水面高度为()y y t =，水桶半径r 为常数，水桶内水的体积为2r y π，由题意

21()(0)d

r y k k dt

π=->

即

2

dy

r

k dt π=- （记12k k r

π=）

90t dy

dt

y =⎧=-⎪⎨⎪=⎩ 解得

2

k

t C =-+

由090t y ==

，得C =

2

k

t =-+由188t y ==

，得2k = 故有

t =

令0y =，得

89.5t h =

≈

故约89.5h 桶内的水全部渗漏掉

6 证明：1

10

0(1)(1)

n

x

n n x dx n ∞

+=-=+∑⎰ 证明

1

1

ln 0

x

x x x dx e dx =⎰

⎰

1

2

23

30

11

1(1l n l n l n l n )

2!

3!

!

n

n

x x x x x x x x dx n =

++

+

++

+⎰

225344443232

2232

341ln ln ln ln ln ln 2

22!3333!42!444x x x x x x x x x x x x x x x x ⎡⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+-++-+-++⎢ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣ 1

11111

1

210

234110(1)(1)ln ln ln !(1)

(1)!(1)(1)(1)111(1)1234(1)(1)(1)

n n n n n n n n n n n

n n

n n x x x x x x x n n n n n n n n ++-++-++∞

+=⎤⎛⎫

---++++⎥

⎪+-+++⎝⎭⎦-=-+-++++-=+∑

7 设(1,2,,1999)k a k = 是给定的正数，求112

1999

lim (21999)n

n n n n a a a

→+∞

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