第4章 机器人雅可比矩阵2
机器人雅可比矩阵知识讲解
x6 f6(q1,q2, ,q6)
注意，如果函数 f1(q) 到 f6(q) 是非线性的，则 f q 是q的 函数，写成 xJ(q)q ，式子两边同除以时间的微分，
上式中，66的偏导数x矩阵J(Jq(q)q)叫做雅可比矩阵。其中
Jijq xiqq j
雅可比矩阵
机器人关节数
*雅可比矩阵的行数取决于机器人的类型
雅可比矩阵在机器人中的应用
可以把雅可比矩阵看作是关节的速度 q 变换到 操作速度V的变换矩阵
在任何特定时刻，q具有某一特定值，J(q)就是一个 线性变换。在每一新的时刻，q已改变，线性变换 也因之改变，所以雅可比矩阵是一个时变的线性变 换矩阵。
在机器人学领域内，通常谈到的雅可比矩阵是 把关节角速度和操作臂末端的直角坐标速度联 系在一起的。
假设矢量yRm为uRn的函数
y= y(u)
y1(u) y2(u)
yy12((uu11,,uu22,, ,,uunn))
ym(u) ym(u1,u2,,un)
对于m=1, （标量对矢量的导数）
u y u y1 1
y1 u2
u y1 n
y相对于u的偏导数定义为
u y u u uyyym 1 2(((u u u))) yu yu u ym 1 1 2 1 1
约束函数C(x),
单位圆上的质点位置约束为 C (x ) xx 1
一般情况下，采用位姿矢量q聚合表达n个粒子的位置。在3D 空间，矢量长度为3n。考虑位置约束C是一个关于位姿矢量q 的未知函数，则速度约束
C C q q
矩阵 C/q 被称作C的雅可比矩阵，记作J。为了进行物理
仿真，求微分 C JqJq，根据力学关系，建立微分约束方
机器人雅可比矩阵
两自由度机器人
对于一个两自由度的机器人，其 雅可比矩阵是一个2x2矩阵，其 中包含了机器人的两个关节角度 和两个关节速度之间的线性关系
。
矩阵形式
雅可比矩阵的矩阵形式为：J = [[a, b], [c, d]]，其中a、b、c、d 是机器人关节角度和关节速度之
间的线性关系系数。
计算方法
对于两自由度机器人，可以通过 已知的关节角度和关节速度，以 及机器人运动学方程，计算得到
解析机器人模型
计算偏导数
雅可比矩阵描述了机器人末端与控制输入 之间的关系，通过直接计算机器人关节变 量对末端位置和姿态的偏导数得到。
根据机器人的几何模型和关节类型，解析 机器人的运动学模型，得到末端位置和姿 态与关节变量的关系。
利用解析得到的运动学模型，计算机器人 末端位置和姿态对关节变量的偏导数，得 到雅可比矩阵的元素。
参数优化
调整雅可比矩阵的参数
通过对雅可比矩阵的参数进行调整，如增加或减少矩阵的行 或列，能够优化矩阵的计算过程，提高计算效率。
优化迭代算法的参数
对于使用迭代算法计算雅可比矩阵的情形，通过调整迭代算 法的参数，如增加迭代次数、改变收敛准则等，能够提高计 算精度和速度。
控制策略改进
引入新的控制策略
针对具体应用场景，引入新的控制策略，如采用模糊控制、神经网络等，能够更好地解决机器人控制问题，进而 改进雅可比矩阵的计算效果。
计算方法
对于四自由度机器人，可以通过 已知的关节角度和关节速度，以 及机器人运动学方程，计算得到 雅可比矩阵。
05
雅可比矩阵的优化与改进
优化算法选择
选用高效算法
对于雅可比矩阵的计算，选用高效的算法能够显著提升计算速度和精度，例如采 用数值差分法、有限元法等。
机器人运动学雅可比矩阵
05 雅可比矩阵的优化与改进
雅可比矩阵的稳定性分析
稳定性分析的重要性
在机器人运动控制中，雅可比矩阵的稳定性对机器人的运动性能 和动态响应具有重要影响。
稳定性判据
通过分析雅可比矩阵的特征值和特征向量，可以确定机器人的运动 稳定性，并为其运动控制提供依据。
通常使用齐次变换矩阵来表示机器人的位姿，该矩阵包含 了平移和旋转信息，能够完整地描述机器人在空间中的位 置和方向。
坐标系与变换
01
坐标系是用来描述物体在空间中位置和姿态的参照框架。
02
在机器人学中，通常使用固连于机器人基座的坐标系作为全局 参考坐标系，以及固连于机器人末端执行器的坐标系作为局部
参考坐标系。
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雅可比矩阵的物理意义
雅可比矩阵描述了机械臂末端执行器 的位置和姿态随关节变量变化的规律， 是机械臂运动学分析中的重要概念。
通过雅可比矩阵，可以分析机械臂的 可达工作空间、奇异性、运动速度和 加速度等运动学性能。
雅可比矩阵的计算方法
雅可比矩阵可以通过正向运动学和逆 向运动学两种方法计算得到。
在计算雅可比矩阵时，需要使用到线 性代数、微分方程等数学工具。
正向运动学是根据关节变量求解末端 执行器在参考坐标系中的位置和姿态； 逆向运动学是根据末端执行器的位置 和姿态求解关节变量。
04 雅可比矩阵在机器人运动 学中的应用
机器人的关节与连杆
关节
机器人的每个关节都有一个自由 度，决定了机器人的运动方式。 常见的关节类型包括旋转关节和 移动关节。
连杆
02-课件：4.2 雅克比矩阵构建(矢量积法)
动学方程中的关节变量进行微分计算而得到的雅可比矩阵。
•
•
x q e J (q)
J --雅可比矩阵
机器人末端运动的描述（位姿、速度）
在操作空间中描述机器人末端的位姿，在关节空间中描述 关 节的角度：
对于转动关节
对于移动关节
机器人末端运动的描述（位姿、速度）
末端位姿的描述方法：
方向余弦
欧拉角
RPY角
3
3Z 3
2 3
R
1
2 2
3
3Z 3
2 3
R
T
2 2
3
3Z 3
c3 s3
0
s3 c3 0
0
0 2 2
•
3
3Z 3
c3 s 3
1
0
s3 c3 0
0 0
0
0
0
1
•
1
0
•
2
•
3
0 1
•1
0
•
2
•
3
3v3
3 2
R
2v2 2 2
2 3
R
1
2v2 2 2
3
3v
l1s2 l1c2
l2
•
0
l2
1
•
2
c12 s12 0
0 3
R
s
12
c12
0
0 0 1
3J
l1s2 l1c2
l2
0
l 2
通过速度传递关系计算雅可比矩阵（续9/9）
0
J
c12
s 12
s12 l1s2
c12
l1c2
l2
机器人雅可比矩阵
机器人雅可比矩阵简介机器人雅可比矩阵（Robot Jacobian Matrix）是机器人运动学中的重要概念之一。
它描述了机器人末端执行器的速度与关节速度之间的关系，是机器人运动方程求解、运动规划和控制的基础。
本文将详细介绍机器人雅可比矩阵的定义、性质以及它在机器人学中的应用。
定义在介绍机器人雅可比矩阵之前，我们先回顾一下机器人运动学的基本概念。
假设有一个机器人系统，它由n个自由度的关节组成，每个关节的转动由关节角度表示。
而机器人的末端执行器的位置和姿态可以通过正向运动学求解得到，位置用笛卡尔坐标表示，姿态用旋转矩阵或四元数表示。
机器人雅可比矩阵描述了机器人末端执行器的速度与关节速度之间的关系。
具体来说，设机器人关节速度为q_dot，末端执行器速度为x_dot，机器人雅可比矩阵为J，那么雅可比矩阵满足以下关系：x_dot = J * q_dot性质机器人雅可比矩阵具有以下几个重要的性质：1.雅可比矩阵的维度为6×n，其中6表示笛卡尔坐标的维度，n表示机器人的自由度数。
2.雅可比矩阵是一个矩阵函数，它的元素可以表示为：J_ij = ∂f_i / ∂q_j其中，f_i表示末端执行器的第i个度量值，q_j表示第j个关节角度。
3.雅可比矩阵的每一列表示末端执行器在各个关节速度方向上的运动灵敏度。
如果某列的元素值较大，说明在该关节角度变化时，末端执行器的运动会更加敏感。
4.雅可比矩阵的秩决定了机器人在不同姿态下所能达到的运动自由度。
如果雅可比矩阵的秩小于n，那么机器人在某些姿态下会出现奇异配置，并且无法实现所需的末端执行器速度。
应用机器人雅可比矩阵在机器人学中有着广泛的应用。
下面介绍几个常见的应用场景：逆运动学求解在机器人学中，逆运动学是指已知末端执行器的位置和姿态，求解机器人关节角度的过程。
雅可比矩阵在逆运动学求解中起到了关键作用。
通过雅可比矩阵的逆矩阵，可以将末端执行器的速度映射到关节速度空间中，进而求解出关节速度。
机器人雅可比矩阵
根据机器人运动状态和任务需求，动态调整雅可比矩阵的维度， 以适应不同情况下的计算需求。
雅可比矩阵的奇异性问题
1 2
奇异值分解
利用奇异值分解（SVD）等技术处理雅可比矩阵 的奇异性问题，提高矩阵的稳定性和可靠性。
冗余自由度
合理配置机器人的冗余自由度，避免产生奇异位 姿，提高机器人的运动能力和灵活性。
。
逆向运动学
03
已知机器人在笛卡尔空间中的位姿，求解关节空间的运动变量
，进而得到雅可比矩阵。
03
雅可比矩阵的应用
机器人的运动学正解与逆解
01
02
03
运动学正解
通过给定的关节角度，计 算机器人末端执行器的位 置和姿态。
运动学逆解
已知末端执行器的位置和 姿态，反推出各关节角度 。
求解方法
通过几何学和线性代数的 方法，建立机器人运动学 模型，并使用数值计算方 法求解正解和逆解。
3
动态调整
根据机器人运动状态和任务需求，动态调整雅可 比矩阵的结构，以避免奇异性问题。
雅可比矩阵的实时计算优化
并行计算
采用并行计算技术，将雅可比矩阵的计算任务分解为多个子任务， 提高计算效率。
预计算和缓存
对雅可比矩阵进行预计算和缓存，减少实时计算量，提高计算速度 。
自适应算法
采用自适应算法优化雅可比矩阵的计算过程，根据机器人运动状态和 任务需求动态调整计算参数，提高计算精度和响应速度。
力矩控制
通过调节施加在机器人关节上的力矩，实现对机器人运动的精确控 制。
控制方法
基于反馈的力/力矩控制方法，如PID控制器、模糊控制器等。
04
雅可比矩阵的优化与改进
雅可比矩阵的降维处理
3.4机器人运动学雅可比矩阵
nm6
r f ( )
对位置方程进行求微分得：
dr J d r J dt dt
两边乘以dt，可得到微小位移之间的关系式
dr Jd
J 表示了手爪的速度与关节速度之间关系， 称之为雅克比矩阵。
f1 1 f J T f m f ( )
T m1 n1
r r1 , r2 , , rm R
1 , 2 , , n R
rj f j (1,2 ,,n )
j 1,2,, m
若n>m，手爪位置的关节变量有无限 个解，通常工业用机器人有3个位置变量 和3个姿态变量，共6个自由度（变量）。
J J1 J2
机器人雅可比矩阵机器人运动学机器人逆运动学雅可比矩阵matlab雅可比矩阵机器人正逆运动学雅克比矩阵机器人雅可比迭代矩阵家可比矩阵安堂机器人
3.4
机器人的雅可比矩阵
微分运动与速度
1、
微分运动指机构的微小运动，可用来推导不 同部件之间的速度关系。 机器人每个关节坐标系的微分运动，导致机 器人手部坐标系的微分运动，包括微分平移与微 分旋转运动。将讨论指尖运动速度与各关节运动 速度的关系。 前面介绍过机器人运动学正问题
f1 n m n R f m n
2、与平移速度有关的雅可比矩阵
相对于指尖坐标系的平移速度，是通过把坐标 原点固定在指尖上，指尖坐标系相对于基准坐 标系的平移速度来描述
O0 x0 y0 z0 Oe xe ye ze
：基准坐标系
：指尖坐标系
ze
z0
P e
Oe
xe
ye
O0
x0
y0
指尖的平移速度为： dPe df dq dq v JL J Lq dt dq dt dt J L : 与平移速度相关的雅可比矩阵
4-2雅可比矩阵构建(矢量积法)
雅可比矩阵用来描述机器人末端速度（在基坐标系或末端坐标系下）与关节速度之间的关系。
雅可比矩阵构建e J q q x ()∙∙=当选择好末端位姿的描述方式后，雅可比矩阵的行数和列数就确定了。
求取计算雅可比矩阵的方法有多种，如：1对位姿方程求导；2通过连杆速度递推计算得到；3通过连杆速度分析构造得出；4通过微分变换关系构造得出。
微分变换法矢量积法通过速度传递关系计算雅可比矩阵（例1/9）Rot X 10000cos sin 0(,)0sin cos 00001⎡⎤⎢⎥θ-θ⎢⎥θ=⎢⎥θθ⎢⎥⎣⎦Rot Y cos 0sin 00100(,)sin 0cos 00001θθ⎡⎤⎢⎥⎢⎥θ=⎢⎥-θθ⎢⎥⎣⎦Rot Z cos sin 00sin cos 00(,)00100001θ-θ⎡⎤⎢⎥θθ⎢⎥θ=⎢⎥⎢⎥⎣⎦c s s c T 111101000000100001-⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦c s l s c T 221122200000100001⎡⎤-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦l T 223100010000100001⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦通过速度传递关系计算雅可比矩阵（例2/9）c s R s c 121203121200001-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦Rot X 10000cos sin 0(,)0sin cos 00001⎡⎤⎢⎥θ-θ⎢⎥θ=⎢⎥θθ⎢⎥⎣⎦Rot Y cos 0sin 00100(,)sin 0cos 00001θθ⎡⎤⎢⎥⎢⎥θ=⎢⎥-θθ⎢⎥⎣⎦Rot Z cos sin 00sin cos 00(,)00100001θ-θ⎡⎤⎢⎥θθ⎢⎥θ=⎢⎥⎢⎥⎣⎦通过速度传递关系计算雅可比矩阵（续3/9）111111ωR ωθZ i i i i i i i i i ++++++=+ ()1111v R v ωP i i i i i i i i i i ++++=+⨯11001∙⎡⎤⎢⎥⎢⎥ω=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦θv 11000⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦通过速度传递关系计算雅可比矩阵（续4/9）1221211221122122222112122122212222222210000100000000001112T R Z R Z c s R Z s c Z c s s c ∙∙-∙∙∙∙⎡⎤ω=ω+=ω+⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎡⎤=ω+=-ω+⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∙∙⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦θθθθθθ+θθ通过速度传递关系计算雅可比矩阵（续5/9）()()()12211111111111211122112211212212222221000000000010010000101T v R v P R v P R v P l s c s l c s s c s c l -∙∙⎡⎤⎡⎤=+ω⨯=+ω⨯=+ω⨯⎣⎦⎣⎦⎛⎫⎡⎤⎡⎤ ⎪⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-+⨯=-= ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭θθ212110l c ∙∙⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦θθ通过速度传递关系计算雅可比矩阵（续6/9）111111ωR ωθZ i i i i i i i i i ++++++=+ ()1111v R v ωP i i i i i i i i i i ++++=+⨯通过速度传递关系计算雅可比矩阵（续7/9）()()()T v R v P R v P R v P l s c s l c s s c l c s c 13322222222222322233223322312332333312331000000010010001012-∙∙∙∙⎡⎤⎡⎤=+ω⨯=+ω⨯=+ω⨯=⎣⎦⎣⎦⎛⎫⎡⎤ ⎪⎡⎤⎢⎥ ⎪⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-+⨯=- ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ⎪⎢⎥⎢⎥+⎣⎦ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭θθθθl s l s l c l l c l 121212212211100()010()11211200100∙∙∙∙∙∙∙∙⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥++=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦θθθθθθθθT R Z R Z R Z c s c s s c Z s c 133232232233223323323333333323332333331200000000000010011123∙∙∙-∙∙∙∙⎡⎤⎡⎤ω=ω+=ω+=ω+=⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-ω+=-+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦∙∙∙+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦θθθθθθθ++θθθ通过速度传递关系计算雅可比矩阵（续8/9）3300123⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥ω=⎢⎥⎢⎥∙∙∙⎢⎥⎢⎥⎣⎦++θθθl s v l c l 12331221()1120∙∙∙∙⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦θθθθl s l c l l v 121222300010020011∙∙⎡⎤⎢⎥+⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦θθl s v l c l l 1231222012∙∙⎡⎤⎢⎥⎡⎤=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦θθc s R s c 121203121200001-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦l s J l c l l 12312220⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦通过速度传递关系计算雅可比矩阵（续9/9）c s l s l s c l s c l s l s J s c l c l l l s s l c c l c l c l s l s l s l c l c l c 121212121211222122120121212221122121221221211212212112122120----⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦⎣⎦⎣⎦---⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦l s l s l s J l c l c l c 11212212011212212---⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦矢量积法对于移动关节，雅克比矩阵的第 i 列计算如下：雅可比矩阵的第i 列对应第i 关节引起的末端速度和角速度。
第4章 机器人雅可比矩阵2
4.1 微分变换与雅可比矩阵
4.1.1 4.1.1 雅可比矩阵
(θ 1 , θ 2 )
• •
vy v
•
存在 怎样 的关 系
• •
θ2
θ1
•
x
( x, y )
两空间之间速度的线性映射关系 雅可比矩阵 简称雅可 两空间之间速度的线性映射关系—雅可比矩阵（简称雅可 线性映射关系 雅可比矩阵（ 比）。它可以看成是从关节空间到操作空间运动速度的传动比， ）。它可以看成是从关节空间到操作空间运动速度的传动比， 它可以看成是从关节空间到操作空间运动速度的传动比 同时也可用来表示两空间之间力的传递关系。 同时也可用来表示两空间之间力的传递关系。 力的传递关系
v T + dT = Trans (d x , d y , d z ) Rot (k , dθ )T
所以得
v dT = Trans(d x , d y , d z ) Rot(k , dθ ) − I 4×4 T
[
]
根据齐次变换的相对性，若微运动是相对某个杆件坐标系i（动系） 根据齐次变换的相对性，若微运动是相对某个杆件坐标系 （动系） 相对某个杆件坐标系 进行的(右乘 ， 进行的 右乘)，则T+dT可以表示为 右乘 可以表示为
0 0 0 0 1 0 0 1
略去高 阶无穷 小量
0 δy 1 δxδy 1 − δx ∴ Rot ( x, δx) Rot ( y, δy ) = − δy δx 1 0 0 0 1 δxδy δy 0 1 − δx Rot ( y, δy ) Rot ( x, δx) = − δy δx 1 0 0 0
上例平面2R机械手的逆雅可比 上例平面 机械手的逆雅可比
速度运动学-雅可比矩阵
速度运动学-雅可比矩阵第4章 速度运动学——雅可比矩阵在数学上，正运动学方程在笛卡尔位置和姿态空间与关节位置空间之间定义了一个函数，速度之间的关系由这个函数的雅可比矩阵来决定。
雅可比矩阵出现在机器人操作的几乎各个方面：规划和执行光滑轨迹，决定奇异位形，执行协调的拟人动作，推导运动的动力学方程，力和力矩在末端执行器和机械臂关节之间的转换。
1.角速度：固定转轴情形k θω&=（k 是沿旋转轴线方向的一个单位向量，θ&是角度θ对时间的倒数） 2.反对称矩阵一个n n ⨯的矩阵Sρ被称为反对称矩阵，当且仅当=+S S T ,我们用)3(so 表示所有33⨯反对称矩阵组成的集合。
如果)3(so S ∈，反对称矩阵满足0=+ji ijs s3,2,1,=j i ，所以iiS =0，S 仅包含三个独立项，并且每个33⨯的反对称矩阵具有下述形式：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=000121323s s s s s s S如果Tzyxa a a a ),,(=是一个3维向量，我们将对应的反对称矩阵)(a S 定义为如下形式：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=000)(xy x zy z a a a a a a a S反对称矩阵的性质1）)()()(b S a S b a S βαβα+=+ 向量a 、b 属于3R ，α、β为标量2）p a p a S ⨯=)( 向量a 、b 属于3R ，p a ⨯表示向量叉乘 3）)()(Ra S Ra RS T=，左侧表示矩阵)(a S 的一个相似变换，这个公式表明：)(a S 在坐标系中经过R 旋转操作的矩阵表示与反对称矩阵)(a SR 相同，其中)(a SR 对应于向量a 被转过R 这种情形。
4）对于一个n n ⨯的反对称矩阵S ,以及任何一个向量nR X ∈，有0=SX XT旋转矩阵的导数 )(θθSR R d d =公式表明：计算旋转矩阵的R 的导数，等同于乘以一个反对称矩阵S 的矩阵乘法操作。
机器人的雅可比矩阵
机器人学院
机器人学技术基础
——雅可比矩阵
LOGO
机器人学院
一、引入
Tn T1T2 Tn
运动学方程只限于静态位 置问题的讨论，未涉及机 器人运动的速度、加速度 和力等动态过程。
nx ox ax px
Tn
ny n0z
oy oz 0
ay az 0
p
y
pz 1
动力学主要研究运动和 力的关系。
Tq F T D
机器人学院
假定关节无摩擦，并忽略各杆件的重力，则广义关节力矩τ与机器 人手部端点力F的关系可用下式描述：
τ = JTF
式中： JT为n*6阶机器人力雅可 比矩阵，并且是机器人 速度雅可比J的转置矩阵。
它表示静态平衡状态下，操作力 向关节力映射的线性关系。
思考与速度雅可比有什么不同
机器人学院
机器人学院
• 上述计算中，当θ2趋于0°或180°时，机械手的雅可比行列式 为0，其逆不存在，此时机械手处于奇异状态，相应关节速度 将趋于无穷大。
• 从几何上看，机械手完全伸直或完全缩回时，机械手末端丧失 了径向自由度，仅能沿切向运动。在奇异形位时，机械手在操 作空间的自由度将减少。
机器人学院
)
速度雅可比矩阵反映了关节空间的微小 运动dθ与手部空间（操作空间）微小位 移dX的关系。
dX
X
1
d1
X
2
d2
dY
Y
1
d1
Y
2
d2
X
dX dY
1
Y
1
机器人雅可比矩阵的微分
机器人雅可比矩阵的微分（原创实用版）目录1.引言2.机器人雅可比矩阵的概念3.微分在机器人雅可比矩阵中的应用4.雅可比矩阵的微分对机器人运动的影响5.结论正文1.引言随着科技的发展，机器人在各个领域的应用越来越广泛，人们对机器人的运动控制也越来越关注。
在机器人运动控制中，雅可比矩阵是一个非常重要的概念，它直接影响着机器人的运动性能。
本文将从微分的角度，探讨机器人雅可比矩阵的微分对机器人运动的影响。
2.机器人雅可比矩阵的概念雅可比矩阵（Jacobian Matrix）是描述机器人关节角度变化引起末端执行器位姿变化的矩阵，通常表示为 J。
它由机器人的结构参数和关节角度组成，可以描述机器人末端执行器相对于基座的位姿变化。
雅可比矩阵是机器人运动学中的一个关键概念，它在机器人运动控制、轨迹规划等方面有着广泛的应用。
3.微分在机器人雅可比矩阵中的应用微分是数学中的一种基本运算，可以用来研究函数在某一点的变化率。
在机器人运动学中，微分主要用于研究雅可比矩阵随关节角度的变化情况。
具体来说，就是求雅可比矩阵关于关节角度的偏导数，用以描述关节角度变化引起雅可比矩阵的变化。
4.雅可比矩阵的微分对机器人运动的影响雅可比矩阵的微分对机器人运动具有重要意义。
首先，通过研究雅可比矩阵的微分，可以得到机器人末端执行器位姿对关节角度的一阶导数，从而得到机器人的运动学模型。
其次，雅可比矩阵的微分可以用于计算机器人在给定关节角度下的末端执行器速度，从而实现机器人的运动控制。
最后，雅可比矩阵的微分还可以用于分析机器人的运动性能，如机器人的运动范围、奇异点等。
5.结论本文从微分的角度，探讨了机器人雅可比矩阵的概念及其在机器人运动控制中的应用。
雅可比矩阵的微分对机器人运动具有重要意义，它可以帮助我们更好地理解机器人的运动性能，从而提高机器人的运动控制水平。
机器人雅可比矩阵课件
雅可比矩阵的求解
利用运动学逆问题的解，可以求得人形机器人的雅可比矩 阵。
人形机器人控制
通过雅可比矩阵，可以实现对人形机器人的控制，例如轨 迹跟踪和力控制。同时，还可以进行步态规划和平衡控制 等高级应用。
05
雅可比矩阵的优化与 控制
雅可比矩阵的优化算法
基于梯度下降法的优化算法
利用梯度下降法，通过迭代计算出雅可比矩阵的最优解，使得机器人的运动轨迹 更加平滑和准确。
基于运动学的方法
通过已知的关节变量和运动学模型计算雅可比矩阵 优点：简单、易于计算
缺点：仅在理想情况下考虑了关节变量对雅可比矩阵的影响，忽略了动力学效应
基于动力学的方法
根据动力学模型和已 知的关节变量计算雅 可比矩阵
缺点：计算复杂度较 高，需要更多的计算 资源
优点：考虑了动力学 效应，更准确
基于逆向运动学的方法
雅可比矩阵的求解
利用运动学逆问题的解，可以求得机 械臂的雅可比矩阵。
机械臂控制
通过雅可比矩阵，可以实现对机械臂 的控制，例如轨迹跟踪和力控制。
人形机器人的雅可比矩阵求解
人形机器人模型建立
建立一个具有多个自由度的人形机器人模型，包括多个旋 转关节和多个连杆。
运动学逆问题求解
通过给定人形机器人的末端位置和姿态，求解人形机器人 各关节的旋转角度。
雅可比矩阵的求解
利用运动学逆问题的解，可以求得机械臂的 雅可比矩阵。
机械臂控制
通过雅可比矩阵，可以实现对机械臂的控制 ，例如轨迹跟踪和力控制。
四自由度机械臂的雅可比矩阵求解
四自由度机械臂模型建立
建立一个四自由度的机械臂模型，包 括四个旋转关节和三个连杆。
运动学逆问题求解
通过给定机械臂的末端位置和姿态， 求解机械臂各关节的旋转角度。
机器人雅可比矩阵的微分
机器人雅可比矩阵的微分摘要：1.引言2.机器人雅可比矩阵的概念3.雅可比矩阵的微分4.微分对机器人运动的影响5.结论正文：1.引言随着科技的发展，机器人在各个领域中的应用越来越广泛。
为了使机器人能够更加精确地完成各种任务，研究者们不断地探索如何提高机器人的运动性能。
其中，对机器人雅可比矩阵的研究具有重要意义。
本文将介绍机器人雅可比矩阵的微分，以及微分对机器人运动的影响。
2.机器人雅可比矩阵的概念雅可比矩阵（Jacobian Matrix）是描述机器人臂关节角度变化引起末端执行器位姿变化的矩阵，通常表示为J。
在三维空间中，一个机器人臂由n 个关节组成，假设每个关节的角度分别为q1, q2,..., qn，末端执行器的位姿由基座标系下的位置向量和姿态向量表示，即x = [x_1, x_2, x_3]^T 和R = [R_1, R_2, R_3]^T。
根据链式法则，雅可比矩阵可以表示为：J = [x/q1, x/q2,..., x/qn]^T[R/q1, R/q2,..., R/qn]^T3.雅可比矩阵的微分雅可比矩阵的微分是指在给定关节角度变化时，雅可比矩阵元素关于关节角度的微分。
对于单个关节，其微分可以表示为：J/q_i = [x/q_i, R/q_i]^T对于多个关节，可以使用链式法则计算雅可比矩阵的微分：J/q = J/q1 * J/q2 *...* J/qn4.微分对机器人运动的影响研究雅可比矩阵的微分对机器人运动控制具有重要意义。
在机器人运动控制中，通常采用逆运动学方法计算关节角度。
逆运动学方法基于雅可比矩阵的逆矩阵，即：J^-1 * [x - x_0, R - R_0]^T = [q1, q2,..., qn]^T其中，x_0 和R_0 分别是目标位姿与基座标系的关系。
计算逆运动学时，需要对雅可比矩阵进行微分：dJ^-1/dq = -J^-1 * dJ/dq * J^-1通过计算微分，可以得到关节角度关于位姿变化的敏感性，从而提高机器人运动控制的精度。
机器人雅各比矩阵
速度雅可比矩阵与速度分析
机器人雅可比矩阵（简称雅可比，Jacobian Matrix）揭示了操 作空间与关节空间的映射关系。雅可比不仅表示操作空间与关
机器人速度分析
对前式左、右两边各除以dt，得 或表示为 式中：V
dX dq =J (q) dt dt
V = X =J （q )q
为机器人末端在操作空间中的广义速度； 为机器人关节在关节空间中的关节速度；
q
J(q) 为确定关节空间速度
q
,与操作空间
速度V之间关系的雅可比矩阵。
对于2R机器人
V 1 x V = =J （q ) Vy 2
即
x x (1 , 2 ) y y (1 , 2 )
x x dx d1 d 2 1 2 y y dy d1 d 2 1 2
x 1 dx dy y 1 x 2 d1 y d 2 2
将其微分得
写成矩阵形式为
令
x J 1 y 1
x 2 y 2
前式简写为
dX Jd
d1 d d 2
式中
dx dX dy
J称为2R机器人的速度雅可比，它反映了关节空间微小运动 dθ与手部作业空间微小位移dX的关系。
可见，J 阵的值是关于θ1及θ2的函数。
对于n自由度机器人 广义关节变量: q= [q1, q2, …, qn]T
机器人雅可比矩阵分析
例4.2 如图所示．为了实现平面2R机械手末端沿x0轴以l m/s的速 T 度运动，求相应的关节速度 q 1 2 解：雅可比J(q)为
逆雅可比可为
1 J (q) l1l2 s2
1
l2c12 l c l c 1 1 2 12
T
l1s1 l2 s12 l2 s12
[1,0] 相应的关节速度 于是得到与末端速度 x 反解为 c12 c1 c12 1 ; 2 l1s2 l2 s2 l1s2
讨论：机械手接近奇异形位时， 关节速度将趋于无穷大。
关节角位置和操作臂末端的直角坐标位置
x x( q )
运动学正解
q
关节空间
操作空间 x x(q)
运动学反解
关节角速度和操作臂末端的直角坐标速度
运动学正解
关节空间
操作空间
运动学反解
4.1 雅可比矩阵的定义(Jacobian matrix)
操作空间速度与关节空间速度之间的线性变 换。
J (q)q x
在机器人学领域内，通常谈到的雅可比矩阵是 把关节角速度和操作臂末端的直角坐标速度联 系在一起的。 必须注意到，对于任何给定的操作臂的结构和 外形，关节速度是和操作臂末端的直角坐标速 度成线性关系，但这只是一个瞬间关系。
例4.1
(x,y) y l1
平面2R机械手的运动学方程为
l2
2
x l1c1 l2c12 y l1s1 l2 s12
对于m=1, （标量对矢量的导数） y y1 y1 y1 u u1 u2 un
y1 un y2 un J(u) R mn y J(u)u ym un
02-课件：4.2 雅克比矩阵构建(矢量积法)
i1
i
i
i1
i1
i1v i1
R i1 i
i
vi
i ωi
Pi i1
通过速度传递关系计算雅可比矩阵（续7/9）
•
•
•
3 3 3 2R 2 2
3
3Z 3
2 3
R
1
2 2
3
3Z 3
2 3
R
T
2 2
3
3Z 3
c3 s3
0
s3 c3 0
0
0 2 2
•
3
3Z 3
c3 s 3
1
0
s3 c3 0
2
s2 c
2
0
0
1 1
•
2Z
2
2
0 0 1
c
2
s
2
s2 c
2
0
0
0 0
0
•
2
0
0 0
0
0 1 • 1
1
•
1
•
2
通过速度传递关系计算雅可比矩阵（续5/9）
2v 2
2 1
R
1v1 1 1 1P 21 2 NhomakorabeaR
1
1v1 1 1 1P2
J --雅可比矩阵
机器人末端运动的描述（位姿、速度）
在操作空间中描述机器人末端的位姿，在关节空间中描述 关 节的角度：
对于转动关节
对于移动关节
机器人末端运动的描述（位姿、速度）
末端位姿的描述方法：
方向余弦
欧拉角
RPY角
原点坐标
旋转矩阵
齐次矩阵
机器人末端运动的描述（位姿、速度）
第四章_微分运动和雅可比矩阵
雅可比矩阵的求解（矢量积法）：
Jli的求法： (1) 第i关节为移动关节时
qi di
qi di
仅平移关节产生的线速度
设某时刻仅此关节运动、其余的关节静止不动，则：
ve JLiqi
设bi-1为zi-1轴上的单位矢量，利用它可将局部坐标下的 平移速度di转换成基础坐标下的速度：
ve bi1d i
例：斯坦福六自由度机器人除第三关节为移动关节 外，其余5个关节为转动关节。此处用微分法计算 TJ(q)
d2[c2(c4c5c6 s4s6)s2s5c6]s2d3(s4c5c6 c4s6) d2[c2(c4c5s6 s4c6)s2s5s6]s2d3(s4c5s6 c4c5)
T J1
d2(c2c4s5 s2c5)s2d3s4s5 s2(c2c4s6 s4s6)c2s5c6
s2(c2c4s6 s4c6)c2s5s6
s2c4s5 c2c5
d 3(c4c5c6 s4s6 )
d
3 (c4c5c6
s
4
c
6
)
T4c6
s4s5
s5c6
s5s6
T J3
c5 0
0
0
4.1 雅可比矩阵的定义
把机器人关节速度向量 q i 定义为：
q[q1 q2
qn]T
式中， qi(i=1,2,...,n) 为连杆i相对i-1的角
速度或线速度。
手抓在基坐标系中的广义速度向量为：
V[x y z x y z]T
式中， v为线速度，ω为角速度分量。
从关节空间速度向操作空间速度映射的 线性关系称为雅可比矩阵，记为J，即：
三维空间运行的机器人，其J阵的行数恒为6(沿/绕
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0 0.1 1 0 0 0 0 0 0.5 0 0 0
dA
0 0.1 1 0 1 0 0 0 0 0 0.5 0 0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 1 10 0 0.1 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0.1 0.5 0 0 0 1 0 0
和 d 合称为微分运动矢量，可表示为
D (d x , d y , d z , x , y , z )T
例：已知一个坐标系A ，相对固定系的微分平
0 1 移矢量 d i 0.5k ，微分旋转矢量 0.1 j ， A 0 求微分变换dA。 0
0 1 0 0 0 y 1 0 0 1 0 0 0 y 1 0
0
1 x 1 0 0 0 y 1 x x 1 0 0
y 0 x 0
0 1 0 0 0 1
两者结果相同，可见这里左乘与右乘等效。
ny oy ay 0 0 0
nz oz az 0 0 0
( p n) x ( p o)x ( p a) x nx ox ax
( p n) y ( p o) y ( p a) y ny oy ay
( p n ) z dx ( p o ) z dy ( p a ) z dz nz x oz y az z
机械手在操作空间的自由度将减少。
只要知道机械手的雅可比J是满秩的方阵，相应的关节速度即
可求出，即
。
上例平面2R机械手的逆雅可比
J
1
1 l2c12 l1l2 s2 l1c1 l2c12
l2 s12 l1s1 l2 s12
于是得到与末端速度
相应的关节速度：
显然，当θ2趋于0°（或180°）时，机械手接近奇异形位，相应的
1 k d z k y d 0
k z d 1 k x d 0
k y d k x d 1 0
0 1 z y z 0 1 x 0 y x 1 1 0 0 0
0 0 0 1
所以有
kxdθ=δx， kydθ=δy ，
结论：
微分旋转其结果与转动次序无关，这是与有限转动（一般旋 转）的一个重要区别。 同理可得
z y 1 z 1 x Rot( x, x) Rot( y, y ) Rot( z, z ) y x 1 0 0 0
0 0 0 1
若Rot（δx，δy，δz） 和Rot（δx‘，δy’，δz‘） 表示两
不同而不同，即θ1和θ2的改变会导致J的变化。
对于关节空间的某些形位，机械手的雅可比矩阵的秩减少， 这些形位称为操作臂（机械手）的奇异形位。上例机械手雅可比 矩阵的行列式为：
det(J)=l1l2s2
当θ2=0°或θ2=180°时，机械手 的雅可比行列式为0，矩阵的秩为1， 因此处于奇异状态。在奇异形位时，
0 z i i yi 0
yi xi
0 0
dxi dyi dzi 0
将它们代入前面的方程 0 0iT 0iTi
i 0iT 10 0iT
整理得到：
得
dxi nx dy o i x dzi ax xi 0 yi 0 zi 0
上式表明：任意两个微分旋转的结果为绕每个轴转动的元素的代 数和，即微分旋转是可加的。
由等效转轴和等效转角与 Rot( x, x) Rot( y, y) Rot( z, z ) 等效，有
Rot(k , d ) Rot( x, x) Rot( y, y) Rot( z, z )
即
由于微分旋转θ→0 ，所以sinθ→dθ，cosθ→1，Versθ→0，将 它们代入旋转变换通式(p27)中得微分旋转表达式:
1 k d Rot(k , d ) z k y d 0 k z d 1 k x d 0 k y d k x d 1 0 0 0 0 1
量的微分。
例如给定变换T为：
t11 t T 21 t 31 t 41
t12 t 22 t 32 t 42
t13 t 23 t 33 t 43
t14 t 24 t 34 t 44
若它的元素是变量x的函数，则变换T的微分为:
t11 x t 21 dT x t31 x t 41 x t12 x t 22 x t32 x t 42 x t13 x t 23 x t33 x t 43 x t14 x t 24 x dx t34 x t 44 x
关节速度将趋于无穷大。
4.1.2 微分变换
为了补偿机器人末端执行器位姿与目标物体之间的误差，以
及解决两个不同坐标系之间的微位移关系问题，需要讨论机器人 杆件在作微小运动时的位姿变化。 一.变换的微分 假设一变换的元素是某个变量的函数，对该变换的微分就是 该变换矩阵各元素对该变量的偏导数所组成的变换矩阵乘以该变
二. 微分运动
设机器人某一杆件相对于基坐标系的位姿为T，经过微运动
后该杆件相对基坐标系的位姿变为T+dT，若这个微运动是相对
于基坐标系（静系）进行的(左乘)，总可以用微小的平移和旋转 来表示，即
T dT Trans(d x , d y , d z )Rot(k , d )T
所以得
dT Trans(d x , d y , d z )Rot(k , d ) I 44 T
Trans(d x , d y , d z )Rot(k , d ) I 44
于是得微分算子Δ
0 k d z k y d 0
k z d 0 k x d 0
k y d k x d 0 0
dx dy dz 0
四. 微分旋转的无序性 当θ→0 时，有sinθ→dθ，cosθ→1．若令δx=dθx，δy=dθy， δz=dθz，则绕三个坐标轴(p16)的微分旋转矩阵分别为
对dx=Jdθ两边同除以dt，得
x J
v J
因此机械手的雅可比矩阵定义为它的操作空间速度与关节空 间速度的线性变换。 （或v）称为手爪在操作空间中的广义速度， 简称操作速度， 为关节速度。 J若是6×n的偏导数矩阵，它的第i行第j列的元素为 ：
xi (q ) J ij (q ) , i 1,2,...,6; j 1,2,...,n q j
0 1 0 0 1 x Rot( x, x) 0 x 1 0 0 0 0 1 0 0 Rot( y, y) 0 y 1 0
0 y 1 0 0 1 0 0
0 1 z z 1 0 Rot( z, z ) 0 0 0 0 1 0
l 2 s12 d1 d l 2 c12 2
简写成 ： dx=Jdθ。 可以更一般的写成
。
式中J就称为机械手的雅可比（Jacobian）矩阵，它由函数x
，y的偏微分组成，反映了关节微小位移dθ与手部（手爪）微小运
动dx之间的关系。 假设关节速度为 ，手爪速度为 。
五.两坐标系之间的微分关系
现在讨论i系和j系之间的微分关系。不失一般性，假定j系就 是固定系（基系）0系。
nx n 令0iT y nz 0 ox oy oz 0 ax ay az 0 px py pz 1
zi 0 xi 0
因为
0 z y dx z 0 x dy 0 y x 0 dz 0 0 0 0
式中，x代表操作空间，q代表关节空间。
若令J1，J2分别为上例中雅可比矩阵的第一列矢量和第二列 矢量，即
x [ J1
J 2 ] 1 2
可以看出，雅可比矩阵的每一列表示其它关节不动而某一关节以
单位速度运动产生的端点速度。
l1 s1 l 2 s12 由 J l c l c 1 1 2 12 l 2 s12 ，可以看出，J阵的值随手爪位置的 l 2 c12
令 Trans(d x , d y , d z )Rot(k , d ) I 44 为微分算子
则相对基系有dT=Δ0T，相对i系有dT=TΔi 。这里Δ的下标不同是由 于微运动相对不同坐标系进行的。
三.微分平移和微分旋转 微分平移变换与一般平移 变换一样，其变换矩阵为:
1 0 Trans(dx, dy, dz) 0 0 0 1 0 0 0 dx 0 dy 1 dz 0 1
根据齐次变换的相对性，若微运动是相对某个杆件坐标系i（动系）
进行的(右乘)，则T+dT可以表示为
T dT T Trans(dx , d y , dz )Rot (k , d )
所以得 dT T Trans(d x , d y , d z )Rot(k , d ) I 44
0 0 1 0
1 10 0 5 0 0 0 1
解：
0 z y 0
0 0 A 0.1 0
z 0
y x
0 0
x
0dx 0ຫໍສະໝຸດ 0 dy d z 0.1 0 0
首先来看一个两自由度的 平面机械手，如图3-17所示。
x l1c1 l2c12 容易求得 y l1s1 l2 s12
将其微分得
图3-17 两自由度平面机械手
写成矩阵形式
dx l1 s1 l 2 s12 dy l c l c 1 1 2 12