第4章 机器人雅可比矩阵2

0 0 0 0 1 0 0 1
略去高 阶无穷 小量
0 y 1 xy 1 x Rot( x, x) Rot( y, y ) y x 1 0 0 0 1 xy y 0 1 x Rot( y, y ) Rot( x, x) y x 1 0 0 0
0 1 0 0 0 y 1 0 0 1 0 0 0 y 1 0
0
1 x 1 0 0 0 y 1 x x 1 0 0
y 0 x 0
0 1 0 0 0 1
两者结果相同，可见这里左乘与右乘等效。
个不同的微分旋转，则两次连续转动的结果为：
1 (z z ' ) y y ' z z ' 1 (x x' ) Rot(x, y, z ) Rot(x' , y ' , z ' ) (y y ' ) x x' 1 0 0 0 0 0 0 1
0 0 1 0
1 10 0 5 0 0 0 1
解：
0 z y 0
0 0 A 0.1 0
z 0
y x
0 0
x
0
dx 0 0 dy d z 0.1 0 0


根据齐次变换的相对性，若微运动是相对某个杆件坐标系i（动系）
进行的(右乘)，则T+dT可以表示为
T dT T Trans(dx , d y , dz )Rot (k , d )
所以得 dT T Trans(d x , d y , d z )Rot(k , d ) I 44


令 Trans(d x , d y , d z )Rot(k , d ) I 44 为微分算子
则相对基系有dT=Δ0T，相对i系有dT=TΔi 。这里Δ的下标不同是由 于微运动相对不同坐标系进行的。
三.微分平移和微分旋转 微分平移变换与一般平移 变换一样，其变换矩阵为:
1 0 Trans(dx, dy, dz) 0 0 0 1 0 0 0 dx 0 dy 1 dz 0 1
结论：
微分旋转其结果与转动次序无关，这是与有限转动（一般旋 转）的一个重要区别。 同理可得
z y 1 z 1 x Rot( x, x) Rot( y, y ) Rot( z, z ) y x 1 0 0 0
0 0 0 1
若Rot（δx，δy，δz） 和Rot（δx‘，δy’，δz‘） 表示两
首先来看一个两自由度的 平面机械手，如图3-17所示。
x l1c1 l2c12 容易求得 y l1s1 l2 s12
将其微分得
图3-17 两自由度平面机械手
写成矩阵形式
dx l1 s1 l 2 s12 dy l c l c 1 1 2 12
由于微分旋转θ→0 ，所以sinθ→dθ，cosθ→1，Versθ→0，将 它们代入旋转变换通式(p27)中得微分旋转表达式:
1 k d Rot(k , d ) z k y d 0 k z d 1 k x d 0 k y d k x d 1 0 0 0 0 1
l 2 s12 d1 d l 2 c12 2
简写成 ： dx=Jdθ。 可以更一般的写成
。
式中J就称为机械手的雅可比（Jacobian）矩阵，它由函数x
，y的偏微分组成，反映了关节微小位移dθ与手部（手爪）微小运
动dx之间的关系。 假设关节速度为 ，手爪速度为 。
0 z i i yi 0
yi xi
0 0
dxi dyi dzi 0
将它们代入前面的方程 0 0iT 0iTi
i 0iT 10 0iT
整理得到：
得
dxi nx dy o i x dzi ax xi 0 yi 0 zi 0
式中，x代表操作空间，q代表关节空间。
若令J1，J2分别为上例中雅可比矩阵的第一列矢量和第二列 矢量，即
x [ J1

J 2 ] 1 2
可以看出，雅可比矩阵的每一列表示其它关节不动而某一关节以
单位速度运动产生的端点速度。
l1 s1 l 2 s12 由 J l c l c 1 1 2 12 l 2 s12 ，可以看出，J阵的值随手爪位置的 l 2 c12
1 k d z k y d 0
k z d 1 k x d 0
k y d k x d 1 0
0 1 z y z 0 1 x 0 y x 1 1 0 0 0
0 0 0 1
所以有
kxdθ=δx， kydθ=δy ，
kzdθ=δz
将它们代入Δ得
0 z y 0
z 0
x
0
y dx x dy
0 0 dz 0
因此Δ可以看成由 和 d 两个矢量组成， 叫微分转动矢量， d

叫微分平移矢量。分别表示为 xi y j z k d d xi d y j d z k
关节速度将趋于无穷大。
4.1.2 微分变换
为了补偿机器人末端执行器位姿与目标物体之间的误差，以
及解决两个不同坐标系之间的微位移关系问题，需要讨论机器人 杆件在作微小运动时的位姿变化。 一.变换的微分 假设一变换的元素是某个变量的函数，对该变换的微分就是 该变换矩阵各元素对该变量的偏导数所组成的变换矩阵乘以该变
不同而不同，即θ1和θ2的改变会导致J的变化。
对于关节空间的某些形位，机械手的雅可比矩阵的秩减少， 这些形位称为操作臂（机械手）的奇异形位。上例机械手雅可比 矩阵的行列式为：
det(J)=l1l2s2
当θ2=0°或θ2=180°时，机械手 的雅可比行列式为0，矩阵的秩为1， 因此处于奇异状态。在奇异形位时，
五.两坐标系之间的微分关系
现在讨论i系和j系之间的微分关系。不失一般性，假定j系就 是固定系（基系）0系。
nx n 令0iT y nz 0 ox oy oz 0 ax ay az 0 px py pz 1
zi 0 xi 0
因为
0 z y dx z 0 x dy 0 y x 0 dz 0 0 0 0
机械手在操作空间的自由度将减少。
只要知道机械手的雅可比J是满秩的方阵，相应的关节速度即
可求出，即
。
上例平面2R机械手的逆雅可比
J
1
1 l2c12 l1l2 s2 l1c1 l2c12
l2 s12 l1s1 l2 s12
于是得到与末端速度
相应的关节速度：
显然，当θ2趋于0°（或180°）时，机械手接近奇异形位，相应的
上式表明：任意两个微分旋转的结果为绕每个轴转动的元素的代 数和，即微分旋转是可加的。
由等效转轴和等效转角与 Rot( x, x) Rot( y, y) Байду номын сангаасot( z, z ) 等效，有
Rot(k , d ) Rot( x, x) Rot( y, y) Rot( z, z )
即
对dx=Jdθ两边同除以dt，得
x J


v J
因此机械手的雅可比矩阵定义为它的操作空间速度与关节空 间速度的线性变换。 （或v）称为手爪在操作空间中的广义速度， 简称操作速度， 为关节速度。 J若是6×n的偏导数矩阵，它的第i行第j列的元素为 ：
xi (q ) J ij (q ) , i 1,2,...,6; j 1,2,...,n q j
二. 微分运动
设机器人某一杆件相对于基坐标系的位姿为T，经过微运动
后该杆件相对基坐标系的位姿变为T+dT，若这个微运动是相对
于基坐标系（静系）进行的(左乘)，总可以用微小的平移和旋转 来表示，即
T dT Trans(d x , d y , d z )Rot(k , d )T
所以得
dT Trans(d x , d y , d z )Rot(k , d ) I 44 T
ny oy ay 0 0 0
nz oz az 0 0 0
( p n) x ( p o)x ( p a) x nx ox ax
( p n) y ( p o) y ( p a) y ny oy ay
( p n ) z dx ( p o ) z dy ( p a ) z dz nz x oz y az z
0 0.1 1 0 0 0 0 0 0.5 0 0 0
dA
0 0.1 1 0 1 0 0 0 0 0 0.5 0 0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 1 10 0 0.1 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0.1 0.5 0 0 0 1 0 0
Trans(d x , d y , d z )Rot(k , d ) I 44
于是得微分算子Δ
0 k d z k y d 0
k z d 0 k x d 0
k y d k x d 0 0
dx dy dz 0
四. 微分旋转的无序性 当θ→0 时，有sinθ→dθ，cosθ→1．若令δx=dθx，δy=dθy， δz=dθz，则绕三个坐标轴(p16)的微分旋转矩阵分别为
量的微分。
例如给定变换T为：
t11 t T 21 t 31 t 41
t12 t 22 t 32 t 42
t13 t 23 t 33 t 43
t14 t 24 t 34 t 44
若它的元素是变量x的函数，则变换T的微分为:
t11 x t 21 dT x t31 x t 41 x t12 x t 22 x t32 x t 42 x t13 x t 23 x t33 x t 43 x t14 x t 24 x dx t34 x t 44 x
0 1 0 0 1 x Rot( x, x) 0 x 1 0 0 0 0 1 0 0 Rot( y, y) 0 y 1 0
0 y 1 0 0 1 0 0
0 1 z z 1 0 Rot( z, z ) 0 0 0 0 1 0
和 d 合称为微分运动矢量，可表示为

D (d x , d y , d z , x , y , z )T
例：已知一个坐标系A ，相对固定系的微分平
0 1 移矢量 d i 0.5k ，微分旋转矢量 0.1 j ， A 0 求微分变换dA。 0