影子问题

“影子问题"三步曲

在新的浙教版教材中增加了“投影和视图”这章内容后j有关的“影子问题”就经常在测量物体(垂直地面)高度的题目中出现。由于物体在太阳光线下所产生的影子的位置不同。就有了三类不同的“影子问题”有待我们去解决。

一、影子在水平地面上例1．(教材)数学兴趣小组要测量校园内的一棵树高AB。如图l，

把长2．40m的标杆CD直立在地面上。量出树的影长BE为2．80m，标杆的影长DF为1．47m，求树AB的高度(精确到0．1m)。

分析：本题由于影子都在水平地面上，因此物体(树、标杆)、太阳光线和各自的影子构成的2个三角形相似，利用相似三角形的性质及已知数据直接可求得树AB的高度。、

解：由题意得：∠CDF=∠ABE=900，∠CFD=∠AEB∴△CFD—△AEB∴CD/FD=AB/EB即 2.40/AB=1.47/2.80∴AB=2.40×2.80/1.47≈4.6m

答：树AB高约4.6米。

总结：在太阳光线下，同一时刻，两个物体的高度和影长(水平地面上)的比例是相等的，即物1/影1=物2/影2。解题时要注意物体和

各自影子的对应关系不要弄错。

二、影子一部分在水平地面，一部分在垂直墙面上

例2．某数学课外实验小组想利用树影来测量树高AB。如图2，

他们在同一时刻测得一身高为1.5m的同学影长为1.35m．因为大树靠近一幢建筑物，影子不会全在地面上。他们测得地面部分的影长BC=3.6m，墙面部分的影长CD=1.8m，求大树AB的高度。

分析：此题有两种不同的思路：(1)把垂直墙面上的影子CD转化为水平地面上的影子；(2)把垂直墙面上的影子CD转化为物体AB的部分高度。无论哪种思路都可以把问题转化为第一步的求法。

(1)解：延长AD交BC的延长线于点E，

∵AB/BE=CD/CE=1.5/1.35即AB/BE=1.8/CE=1.5/1.35

∴CE=1.81.35/1.5=1.62m．

∴BE=3.6+1.62=5.22m

∴AB=5.22×1.5/1.35=5.8m

答：大树AB高5.8米

(2)解：过点D作DE⊥AB于点E。

由题意可得：四边形CDEB为矩形。∴BE=CD=1.8m，

DE=BC=3.6m。

∵AE/DE=1.5/1.35

∴AE=1.5/1.35×3.6=4m

∴AB=AE+BE=4+1.8=5.8m

答：大树AB高5.8米。

总结：当影子有两部分时，有两种方法可以来求物体高度。(1)把照在垂直墙面上的影子看成是影子物体，用第一步的方法求出这个影子物体在水平地面上的影子长度。(2)把照在垂直墙面上的影子转化为原物体高度的一部分．而原物体高度的另一部分利用第一步的方法来求。

三、影子一部分在水平地面上。一部分在斜坡上

例3．如图3，小明想测量电线杆AB的高度．他发现电线杆的影子恰好落在土坡的坡面CD和地面BC上。已知CD=4m。BC=10m，CD与地面成300角，且此时lm长的竹竿影长为2m，求电线杆AB 的高度。

分析：本题利用斜坡上的影子直接求物体高度有难度，但是如果把斜坡上的影子转化为垂直墙面的影子和水平地面的影子。那么问题就可以转化为第一步和第二步的情形了。

解：延长AD、BC交于点F。过点D作DE⊥BF于点E，．由题意得：DE=CD·Sin300=2m。CE=CD·Cos300=．

∵DE/ EF =AB/BF=1/2．

∴EF=2DE=4m。BF=BC+CE+EF=14+m。

答：电线杆AB高米。

总结：当影子落在斜坡上时，关键是把影子分解为垂直墙面上的影子物体和水平地面的影子，把问题转化为第一步和第二步的情形来求。本题在转化影子位置的时候．学生容易把△CDF当做等腰三角形来解，讲解时须归纳“影子问题”的根本就是把影子按不同的位置分成不同的三类。然后进行三步曲之间的转化。。