八年级数学全等三角形中的热点问题

全等三角形中的热点问题

一：条件开放与探索

给出问题的结论，让解题者分析探索使结论成立应具备的条件，而满足结论的条件往往不是惟一的，这样的问题是条件开放性问题。它要求解题者善于从问题的结论出发，逆向追求，多途寻求，这类题常以基础知识为背景加以设计而成，主要考查解题者对基础知识的掌握程度和归纳能力。

例1、（2005年玉溪）．如图8，已知AB＝AD，∠1＝∠2，要使△ABC≌△ADE，还需添加

的条件是（只需填一个）。

解：∠B＝∠D或∠C＝∠E或AC＝AE

例2、（2005年长沙）．如图，AB＝AC ，要使

ACD

ABE∆

∆≌，

应添加的条件是____________ (添加一个条件即可)

解：AD=AE 或∠B=∠C 或∠ADC=∠AEB

例3、（2005年金华）

如图，在△ＡＢＣ中，点Ｄ在ＡＢ上，点Ｅ在ＢＣ上，ＢＤ＝ＢＥ。

（１）请你再添加一个条件，使得△ＢＥＡ≌△ＢＤＣ，并给出证明。

你添加的条件是：___________

（２）根据你添加的条件，再写出图中的一对全等三角形：______________（只要求写出一对全等三角形，不再添加其他线段，不再标注或使用其他字母，不必写出证

明过程）

提示：（1）∠BAE=∠BCD或∠AEB=∠CDB或AE=CD ，证明略；

（2）△ADC≌△AEC

例4（2005年福州课改卷）

已知：如图7，点C、D在线段AB上，PC＝PD。

请你添加一个条件，使图中存在全等三角形并给予证明。

所加条件为＿＿＿＿＿＿＿，你得到的一对全等三角形是△＿

A

B

C

D E

1 2

（图8）

E

A

B C

D

＿＿≌△＿＿＿。

提示： 所添条件为： ∠A ＝∠B （或PA ＝PB 或AC ＝BD 或AD ＝BC 或∠APC ＝∠BPD

或∠APD ＝∠BPC 等）

全等三角形为：△PAC ≌△PBD （或△APD ≌△BPC ） 证明：（略） 二：结论开放与探索

给定问题的条件，让解题者根据条件探索相应的结论，并且符合条件的结论往往呈现多样性，或者相应的结论的“存在性”需要解题者景象推断，甚至要求解题者探索条件在变化中的结论，这些问题都是结论开放性的问题，它要求解题者充分利用条件进行大胆而合理的猜想，发现规律，得出结论，这类题主要考查解题者的发散性思维和所学基本知识的应用能力 例5（2005年安徽）. 如图, 已知AB ∥DE, AB=DE, AF=DC, 请问图中有哪几对全等三角形? 并任选其中一对给予证明.

解：图中有3对全等三角形，分别：△ABF ≌△DEC 。 △ ABC ≌△DEF ，△BCF ≌△EFC 。 证明：∵AB ∥DE ，∴∠A ＝∠D ， 又∵AB=DE, AF=DC ， ∴△ABF ≌△DEC 。

例6（2005年宁波）.如图,△ABC 中,AB=AC,过点A 作GE ∥BC,角平分线BD 、CF 相交于点H,它们的延长线分别交GE 于点E 、G.试在图中找出3对全等三角形,并对其中一对全等三角形给出证明.

提示：△AGC ≌△AFB 。△AGF ≌△DFD 。△HBF ≌△HDC 。△AFC ≌△ADB 。证明略 例7．（2005年常州）

如图，已知ABC ∆为等边三角形，D 、E 、F

分别在边BC 、CA 、AB 上，且DEF ∆也是等边三角形． （1）除已知相等的边以外，请你猜想还有哪些相等线段，

并证明你的猜想是正确的；

（2）你所证明相等的线段，可以通过怎样的变化相互得到？

F E

D

C

B

A

A B C

D H

F E G

写出变化过程．

提示：（1）AE=BF=CD ；AF=BD=CE；证明：（略）

（2）绕E、D、F进行旋转，然后对折。

例8．（2005年马尾）用两个全等的等边三角形△ABC和△ACD拼成菱形ABCD.把一个含60°角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的60°角的顶点与点A重合，两边分别与AB，AC 重合.将三角尺绕点A按逆时针方向旋转.

（1）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD相交于点E，F时，（如图13—1），通过观察或测量BE，CF的长度，你能得出什么结论？并证明你的结论；

（2）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD的延长线相交于点E，F时（如图13—2），你在（1）中得到的结论还成立吗？简要说明理由.

解：（1）BE=CF.

证明：在△ABE和△ACF中，∵∠BAE+∠EAC=∠CAF+∠EAC=60°，

∴∠BAE=∠CAF.

∵AB=AC，∠B=∠ACF=60°，∴△ABE≌△ACF（ASA）.

∴BE=CF.

（2）BE=CF仍然成立. 根据三角形全等的判定公理，同样可以证明△ABE和△ACF

例9．如图，A、B、C、D在同一直线上，AB＝CD，DE∥AF，且DE＝AF，求证：△AF C≌△DEB．如果将BD沿着AD边的方向平行移动，如图，B点与C点重合时，如图，B点在C点右侧时，其余条件不变，结论是否仍成立，如果成立，请予证明；如果不成立，

请说明理

由．

证明：∵DE∥AF，∴∠A＝∠D，

∵AB＝CD，∴AB＋BC＝CD＋BC，即AC＝DB，

在△AF C和△DE B中，

∵AC＝DB，∠A＝∠D，AF＝DE，

∴△AF C≌△DE B．

例11．如图(1)，已知AB⊥BD，ED⊥BD，AB＝CD，BC＝DE，求证：AC⊥CE．若将CD沿CB方向平移得到图(2)(3)(4)(5)的情形，其余条件不变，结论AC1⊥C2E还成立吗？请

说明理由．

提示：可证△ABC≌△CDE，得∠ACB＝∠E，

∵∠ACB＋∠ECD＝∠E＋∠ECD＝90°，

∴∠ACE＝180°－90°＝90°，∴AC⊥CE．

图(2)(3)(4)(5)四种情况，结论AC1⊥C2E仍然成立，证明同上．

例12．已知如图(1)，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AE是过A的一条直线，且B、C 在AE的异侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，求证：(1)BD＝DE＋CE；(2)若直线AE绕A 点旋转到(2)位置时(BD＜CE)，其余条件不变，问BD与DE、CE的关系如何?请予证明．(3)若直线AE绕A点旋转到图(3)位置时，(BD＞CE)，其余条件不变，问BD与DE、CE的关系如何?请直接写出结果，不须证明．(4)归纳(1)、(2)、(3)，请用简捷语言表述BD、DE、CE的关系．

证明：(1)∵BD⊥AE，CE⊥AE(已知)，∴∠BD A＝∠AEC＝90°(垂直定义)

∵∠BAD＋∠CAE＝90°，∠BAD＋∠ABD＝90°，

∴∠CAE＝∠ABD(同角的余角相等)

在△ABD和△CAE中⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

=

︒

=

∠

=

∠

∠

=

∠

)

(

)

(

90

)

(

已知

已证

已证

AC

AB

CEA

ADB

CAE

ABD

∴△ABD≌△CAE(AAS)，

∴BD＝AE，AD＝CE(全等三角形的对应边相等) ∵AE＝AD＋DE，∴AE＝CE＋DE，