北京市卷高考考试大纲—数学(1)

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2022年北京市高考数学试题(含答案解析)

2022年北京市高考数学试题(含答案解析)
由 可得 ,取 ,则当 时, ,
所以,“ 是递增数列” “存在正整数 ,当 时, ”;
若存在正整数 ,当 时, ,取 且 , ,
假设 ,令 可得 ,且 ,
当 时, ,与题设矛盾,假设不成立,则 ,即数列 是递增数列.
所以,“ 是递增数列” “存在正整数 ,当 时, ”.
所以,“ 是递增数列”是“存在正整数 ,当 时, ”的充分必要条件.
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出以 为球心,5为半径的球与底面 的截面圆的半径后可求区域的面积.
【详解】
设顶点 在底面上的投影为 ,连接 ,则 为三角形 的中心,
且 ,故 .
因为 ,故 ,
故 的轨迹为以 为圆心,1为半径的圆,
而三角形 内切圆的圆心为 ,半径为 ,
故 的轨迹圆在三角形 内部,故其面积为
当 , 时,因 ,故此时二氧化碳处于超临界状态,故D正确.
故选:D
8.若 ,则 ()
A. 40B. 41C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用赋值法可求 的值.
【详解】令 ,则 ,
令 ,则 ,
故 ,
故选:B.
9.已知正三棱锥 的六条棱长均为6,S是 及其内部的点构成的集合.设集合 ,则T表示的区域的面积为()
C.当 , 时,二氧化碳处于超临界状态
D.当 , 时,二氧化碳处于超临界状态
【答案】D
【解析】
【分析】根据 与 的关系图可得正确的选项.
【详解】当 , 时, ,此时二氧化碳处于固态,故A错误.
当 , 时, ,此时二氧化碳处于液态,故B错误.
当 , 时, 与4非常接近,故此时二氧化碳处于固态,

2012年北京市高考数学试卷(理科)(含解析版)

2012年北京市高考数学试卷(理科)(含解析版)
与曲线 c 交于不同的两点 M、N,直线 y=1 与直线 BM 交于点 G.求证:A, G,N 三点共线.
第 5页(共 27页)
20.(13 分)设 A 是由 m×n 个实数组成的 m 行 n 列的数表,满足:每个数的绝 对值不大于 1,且所有数的和为零,记 s(m,n)为所有这样的数表构成的集 合.对于 A∈S(m,n),记 ri(A)为 A 的第ⅰ行各数之和(1≤ⅰ≤m),Cj(A) 为 A 的第 j 列各数之和(1≤j≤n);记 K(A)为|r1(A)|,|R2(A)|,…, |Rm(A)|,|C1(A)|,|C2(A)|,…,|Cn(A)|中的最小值.
(1)如表 A,求 K(A)的值;
1
1
﹣0.8
0.1
﹣0.3
﹣1
(2)设数表 A∈S(2,3)形如
(1)求证:A1C⊥平面 BCDE; (2)若 M 是 A1D 的中点,求 CM 与平面 A1BE 所成角的大小; (3)线段 BC 上是否存在点 P,使平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直?说明理由.
17.(13 分)近年来,某市为促进生活垃圾的分类处理,将生活垃圾分为厨余垃 圾、可回收物和其他垃圾三类,并分别设置了相应的垃圾箱,为调查居民生
A.28+6
B.30+6
C.56+12
D.60+12
8.(5 分)某棵果树前 n 年的总产量 Sn 与 n 之间的关系如图所示.从目前记录的
结果看,前 m 年的年平均产量最高,则 m 的值为( )
A.5
B.7
C.9
第 2页(共 27页)
D.11
二.填空题共 6 小题.每小题 5 分.共 30 分.
点 E.则( )
A.CE•CB=AD•DB

2023年北京高考数学大纲

2023年北京高考数学大纲

2023年北京高考数学大纲
2023年北京高考数学大纲包含以下几个方面:
1.考试性质:高考数学是普通高等学校招生全国统一考试的必考科目,考查学生
是否达到进入本科院校继续学习的基本能力。

2.考试目标:高考数学考查学生的数学基础知识、基本技能、基本思想方法、逻
辑思维能力、空间想象能力以及运用数学知识分析和解决问题的能力。

3.考试内容:高考数学考查高中数学的所有内容,包括必修和选择性必修两部分。

其中,必修包括5个模块,主要侧重于基础知识和基本技能的考查;选择性必修包括4个模块,主要侧重于对数学思想和数学能力的考查。

4.考试形式与试卷结构:高考数学采用闭卷、笔试形式,满分150分,考试时间
为120分钟。

试卷结构包括选择题、填空题和解答题三个部分。

选择题每题5分,填空题每题5分,解答题分值不等。

总的来说,2023年北京高考数学大纲相较于往年变化不大,仍然注重基础知识和基本技能的考查,同时强调数学思想和数学能力的培养。

1。

2023年全国统一高考数学试卷(北京卷)含答案

2023年全国统一高考数学试卷(北京卷)含答案

2023年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学本试卷满分150分.考试时间120分钟.一、选择题:本题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.已知集合{20},{10}M x x N x x ∣∣,则M N ()A.{21}x x ∣B.{21}x x ∣C.{2}xx ∣ D.{1}xx ∣2.在复平面内,复数z 对应的点的坐标是( ,则z 的共轭复数z ()A.1B.1C.1D.13.已知向量a b,满足(2,3),(2,1)a b a b rrrr,则22||||a b rr()A.2B.1C.0D.14.下列函数中,在区间(0,) 上单调递增的是()A.()ln f x x B.1()2xf xC.1()f x xD.|1|()3x f x 5.512x x的展开式中x 的系数为().A.80B.40C.40D.806.已知抛物线2:8C y x 的焦点为F ,点M 在C 上.若M 到直线3x 的距离为5,则||MF ()A.7B.6C.5D.47.在ABC V 中,()(sin sin )(sin sin )a c A C b A B ,则C ()A.π6B.π3C.2π3 D.5π68.若0xy ,则“0x y ”是“2y xx y”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9.坡屋顶是我国传统建筑造型之一,蕴含着丰富的数学元素.安装灯带可以勾勒出建筑轮廓,展现造型之美.如图,某坡屋顶可视为一个五面体,其中两个面是全等的等腰梯形,两个面是全等的等腰三角形.若25m,10m AB BC AD ,且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面ABCD 的夹角的正切值均为145,则该五面体的所有棱长之和为()A.102mB.112mC.117mD.125m10.已知数列 n a 满足 31166(1,2,3,)4n n a a n,则()A.当13a 时, n a 为递减数列,且存在常数0M ≤,使得n a M 恒成立B.当15a 时, n a 为递增数列,且存在常数6M ,使得n a M 恒成立C.当17a 时, n a 为递减数列,且存在常数6M ,使得n a M 恒成立D.当19a 时, n a 为递增数列,且存在常数0M ,使得n a M 恒成立二、填空题:本题共5小题,每小题5分,共25分.11.已知函数2()4log xf x x ,则12f____________.12.已知双曲线C 的焦点为(2,0) 和(2,0),离心率为,则C 的方程为____________.13.已知命题:p 若, 为第一象限角,且 ,则tan tan .能说明p 为假命题的一组, 的值为 __________, _________.14.我国度量衡的发展有着悠久的历史,战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”.已知9枚环权的质量(单位:铢)从小到大构成项数为9的数列 n a ,该数列的前3项成等差数列,后7项成等比数列,且1591,12,192a a a ,则7a ___________;数列 n a 所有项的和为____________.15.设0a,函数2,,(),1,.x x a f x a x a x a ,给出下列四个结论:①()f x 在区间(1,)a 上单调递减;②当1a 时,()f x 存在最大值;③设 111222,,,M x f x xa N x f x x a ,则||1MN ;④设 333444,,,P x f x xa Q x f x x a .若||PQ 存在最小值,则a 的取值范围是10,2.其中所有正确结论的序号是____________.三、解答题:本题共6小题,共85分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.如图,在三棱锥 P ABC 中,PA 平面ABC ,1PA AB BC PC,.(1)求证:BC 平面PAB ;(2)求二面角A PC B 的大小.17.设函数π()sin cos cos sin 0,||2f x x x.(1)若(0)2f,求 的值.(2)已知()f x 在区间π2π,33上单调递增,2π13f,再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知,使函数()f x 存在,求, 的值.条件①:π3f;条件②:π13f;条件③:()f x 在区间ππ,23上单调递减.注:如果选择的条件不符合要求,第(2)问得0分;如果选择多个符合要求的条件分别解答,按第一个解答计分.18.为研究某种农产品价格变化的规律,收集得到了该农产品连续40天的价格变化数据,如下表所示.在描述价格变化时,用“+”表示“上涨”,即当天价格比前一天价格高;用“-”表示“下跌”,即当天价格比前一天价格低;用“0”表示“不变”,即当天价格与前一天价格相同.时段价格变化第1天到第20天-++0---++0+0--+-+00+第21天到第40天0++0---++0+0+---+0-+用频率估计概率.(1)试估计该农产品价格“上涨”的概率;(2)假设该农产品每天的价格变化是相互独立的.在未来的日子里任取4天,试估计该农产品价格在这4天中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率;(3)假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响.判断第41天该农产品价格“上涨”“下跌”和“不变”的概率估计值哪个最大.(结论不要求证明)19.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b 的离心率为3,A 、C 分别是E 的上、下顶点,B ,D 分别是E 的左、右顶点,||4AC .(1)求E 的方程;(2)设P 为第一象限内E 上的动点,直线PD 与直线BC 交于点M ,直线PA 与直线2y 交于点N .求证://MN CD .20.设函数3()e ax b f x x x ,曲线()y f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为1y x .(1)求,a b 的值;(2)设函数()()g x f x ,求()g x 的单调区间;(3)求()f x 的极值点个数.21.已知数列 ,n n a b 的项数均为m (2)m ,且,{1,2,,},n n a b m L ,n n a b 的前n 项和分别为,n n A B ,并规定000A B .对于 0,1,2,,k m L ,定义max ,{0,1,2,,}k i k r i B A i m L ∣,其中,max M 表示数集M 中最大的数.(1)若1231232,1,3,1,3,3a a a b b b ,求0123,,,r r r r 的值;(2)若11a b ,且112,1,2,,1,j j j r r r j m L ,求n r ;(3)证明:存在 ,,,0,1,2,,p q s t m L ,满足,,p q s t 使得t p sq A B A B .参考答案【1题答案】A 【2题答案】D 【3题答案】B 【4题答案】C 【5题答案】D 【6题答案】D 【7题答案】B 【8题答案】C 【9题答案】C 【10题答案】B 【11题答案】1【12题答案】22122x y 【13题答案】9π4π3【14题答案】48384【15题答案】②③【16题答案】(1)证明略(2)π3【17题答案】(1)π3.(2)条件①不能使函数()f x 存在;条件②或条件③可解得1 ,π6.【18题答案】(1)0.4(2)0.168(3)不变【19题答案】(1)22194x y (2)证明略【20题答案】(1)1,1a b(2)略(3)3个【21题答案】(1)00r ,11r ,22r ,33r (2),n r n n N (3)证明略。

高考数学全国统一考试大纲

高考数学全国统一考试大纲

高考数学全国统一考试大纲高考数学全国统一考试大纲Ⅰ。

考试性质全国统一考试是选拔性考试,由合格的高中毕业生和具有同等学力的考生参加,高等学校依照考生的成绩,按照招生计划进行综合评估,以德、智、体、全面衡量,择优录取。

因此,考试应具有较高的信度、效度、必要的区分度和适当的难度。

Ⅱ。

考试能力要求1.平面向量考试内容包括向量、向量的加法与减法、实数与向量的积、平面向量的坐标表示、线段的定比分点、平面向量的数量积、平面两点间的距离和平移。

考生需要:1) 理解向量的概念,掌握向量的几何表示,了解共线向量的概念。

2) 掌握向量的加法和减法。

3) 掌握实数与向量的积,了解两个向量共线的充要条件。

4) 了解平面向量的差不多定理,理解平面向量的坐标的概念,掌握平面向量的坐标运算。

5) 掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量积能够处理有关长度、角度和垂直的问题,掌握向量垂直的条件。

6) 掌握平面两点间的距离公式,以及线段的定比分点和中点坐标公式,同时能够熟练运用平移公式。

2.集合、简易逻辑考试内容包括集合、子集、补集、交集、并集、逻辑联结词、四种命题、充分条件和必要条件。

考生需要:1) 理解集合、子集、补集、交集、并集的概念。

了解空集和全集的意义。

了解属于、包含、相等关系的意义。

掌握有关的术语和符号,并能正确表示一些简单的集合。

2) 理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义。

理解四种命题及其相互关系。

掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义。

3.函数考试内容包括映射、函数、函数的单调性、奇偶性、反函数、互为反函数的函数图像间的关系、指数概念的扩充、有理指数幂的运算性质、指数函数、对数、对数的运算性质、对数函数和函数的应用。

考生需要:1) 了解映射的概念,理解函数的概念。

2) 了解函数单调性、奇偶性的概念,掌握判定一些简单函数的单调性、奇偶性的方法。

3) 了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系,能够求一些简单函数的反函数。

2023北京高考数学考试大纲

2023北京高考数学考试大纲

2023年高考数学考试大纲全解析随着时间的推移,2023年的高考也即将到来。

对于即将参加高考的同学们来说,了解数学考试大纲是非常重要的。

本文将全面解析2023年高考数学考试大纲,帮助同学们有针对性地进行备考。

一、考试形式2023年高考数学考试采用笔试方式进行,共分为两个组卷,分别为A卷和B卷。

每个组卷包括选择题、填空题和解答题。

考试时间为120分钟。

二、考试内容1. 选修内容(1)函数与方程本部分内容主要包括函数的基本性质、函数的图像、函数与方程的关系等。

同学们需要熟练掌握函数的定义及性质,能够准确地画出函数的图像,并能够根据函数与方程的关系进行问题求解。

(2)数列与数学归纳法数列与数学归纳法是高中数学中的重点内容,考查的形式多样。

同学们需要了解数列的定义及性质,能够对数列进行分析,掌握数学归纳法的使用方法。

(3)三角与立体几何此部分内容包括三角函数的性质、海伦公式、立体几何的相关知识等。

同学们需要掌握三角函数的定义及性质,熟练运用海伦公式求解三角形的面积,具备解决立体几何问题的能力。

2. 必修内容(1)解析几何与平面向量解析几何与平面向量是高中数学中的重点难点,需要同学们具备较高的数学素养和解题能力。

其中,解析几何包括直线、圆的方程以及二次曲线的相关内容,平面向量包括向量的定义及运算、向量的数量积和向量的叉积等。

(2)概率与统计概率与统计是实际应用最广泛的数学知识之一,内容丰富多样。

同学们需要掌握事件的概率计算、随机变量的分布特征、统计参数的估计等内容,并能够运用概率与统计的知识解决实际问题。

三、备考建议1. 确定复习计划针对数学考试的内容特点,制定合理的复习计划是非常重要的。

同学们可以根据自身的情况,合理分配时间,将重点放在薄弱环节上,进行有针对性的复习。

2. 注重基础知识的巩固数学是一门基础学科,掌握好基础知识是成功备考的关键。

同学们要花更多时间巩固基础知识,打牢数学的基本功。

3. 多做真题和模拟试题通过做真题和模拟试题,可以更好地了解考试的形式和内容,熟悉题型的变化,并能够锻炼解题的思维方式和速度。

2008年北京市高考数学试卷(理科)(含解析版)

2008年北京市高考数学试卷(理科)(含解析版)

下条件:
①x1>x2;②x12>x22;③|x1|>x2.
其中能使 f(x1)>f(x2)恒成立的条件序号是

14.(5 分)某校数学课外小组在坐标纸上,为学校的一块空地设计植树方案如
下:第 k 棵树种植在点 Pk(xk,yk)处,其中 x1=1,y1=1,当 k≥2 时,
T(a)表示非负实数 a 的整数部分,例如 T
(Ⅰ)如果数列 A0 为 5,3,2,写出数列 A1,A2; (Ⅱ)对于每项均是正整数的有穷数列 A,证明 S(T1(A))=S(A); (Ⅲ)证明:对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列 A0,存在正整数 K,
当 k≥K 时,S(Ak+1)=S(Ak).
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2008 年北京市高考数学试卷(理科)
. 的值
,其展开
式中的常数项为
.(用数字作答)
12.(5 分)如图,函数 f(x)的图象是折线段 ABC,其中 A,B,C 的坐标分
别 为 ( 0 , 4 ),( 2 , 0 ),( 6 , 4 ), 则 f ( f ( 0 )) =

=
.(用数字作答)
第 2页(共 22页)
13.(5 分)已知函数 f(x)=x2﹣cosx,对于[﹣ , ]上的任意 x1,x2,有如
(Ⅰ)求甲、乙两人同时参加 A 岗位服务的概率; (Ⅱ)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率; (Ⅲ)设随机变量ξ为这五名志愿者中参加 A 岗位服务的人数,求ξ的分布列.
18.(13 分)已知函数 间.
,求导函数 f′(x),并确定 f(x)的单调区
19.(14 分)已知菱形 ABCD 的顶点 A,C 在椭圆 x2+3y2=4 上,对角线 BD 所在 直线的斜率为 1.

2020北京高三数学高考考试大纲说明及解析素材

2020北京高三数学高考考试大纲说明及解析素材

2020北京高三数学高考考试大纲说明及解析素材《考试说明》的研究与思考数学教研室根据《普通高中数学课程标准(实验)》,以及《北京市普通高中新课程数学学科教学指导意见和模块学习要求(试行)》制定的北京市数学学科的《考试说明》是高三教师和学生复习备考的重要参考资料,同时也是高考北京试卷命题的依据.它不但明确了高考的性质、考查范围和内容,也对考试的形式、题型、分值等做出了规定,使教师和考生能准确地了解高考的内容和形式.一、总体分析:1.试卷结构:全卷共20题,分为选择题、填空题和解答题三种题型。

三种题型题目的个数分别为8、6、6,分值分别为40、30、80.试卷由容易题、中等题、难题组成,并以中等题为主,总体难度适当.2020年北京市数学高考试卷不设选做题.2.考试内容:2020年北京高考数学理科考试含19个板块内容,其中包括课标必修的5个模块和选修系列2、选修系列4的4-1和4-4.其中,对选修系列4中的4-1及4-4内容,试题将按照实际难度排列在试卷中,题型为选择题或填空题,分值为10分.文科数学考试含16个板块内容,其中包含课标中必修的5个模块及选修系列1的相关内容.根据课程标准要求,为适应信息社会需要,2020年高考数学文、理科均新增了算法初步和统计两部分内容,文科另增加了框图等内容.具体增减考点如下:(1)新增加的考点:文科:幂函数、算法初步、函数与方程理论、茎叶图、几何概型、三视图、量词、推理与证明、框图、复数.理科:幂函数、算法初步、函数与方程理论、茎叶图、几何概型和条件概率、三视图、量词、推理与证明、定积分,几何证明选讲,极坐标、参数方程.(2)删减的考点:反函数的符号表示,任意角的余切、正割、余割,反三角函数,三垂线定理及逆定理,含有绝对值的不等式、分式不等式的解法,线段的定比分点公式、平移,两直线所成角的公式,极限、连续等.3.能力要求:依据《课程标准》和《考试大纲》,2020年北京高考数学科对能力体系进行了调整、细化和解释.数学科将以往的“思维能力、运算能力、空间想象能力、分析问题和解决问题的能力”这四种能力调整为“抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力、数据处理能力、分析问题和解决问题的能力”的六种能力,并作了详细的分层解释.其中空间想象能力、运算求解能力、分析问题和解决问题的能力分别和旧考试说明中的空间想象能力、运算能力、分析问题和解决问题的要求基本一致.抽象概括能力、推理论证能力、数据处理能力为新增能力.推理论证能力是伴随着课标中推理与证明的内容产生的,课标指出,推理与证明的内容是对学生已经学过的基本证明方法的总结,所以对于这部分内容我们更加注重方法层面的考查,注重各种推理与证明方法的应用,而对概念的抽象表述不做过多追究。

2013年北京市高考考试说明解析及数学考试大纲

2013年北京市高考考试说明解析及数学考试大纲

2013年北京市高考考试说明解析及数学考试大纲2013年北京市高考考试说明解析及数学考试大纲2013年北京卷高考说明已经发放,其中数学部分变化不大,除了在III.参考样题中,文科更新了6道2012年的试题,理科更新了6道2012年的试题,2道2010年的试题,Ⅰ.试卷结构Ⅱ.考试内容及要求均与去年没有任何变化,全卷包括第Ⅰ卷和第Ⅱ卷.第Ⅰ卷为选择题;第Ⅱ卷为非选择题.全卷20题,分为选择题、填空题和解答题三种题型.选择题是四选一型的单项选择题;填空题只要求直接填写结果,不要求写出计算过程或证明过程;解答题包括计算题、证明题、应用题等,要求写出文字说明、演算步骤或证明过程.三种题型的题目个数分别为8、6、6;分值分别为40、30、80.试卷由容易题、中等题和难题组成,并以中等题为主,总体难度适当.对能力的考查:分别是空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力、分析问题和解决问题的能力。

除此之外,《考试说明》在考试范围与考试层次上也没有任何改变。

整体来看北京新课标高考改革后试卷趋于稳定。

但稳定不代表一成不变、没有创新。

正如《考试说明》所说:强调探究性、综合性、应用性,突出数学试题的能力立意,坚持素质教育导向。

数学是高考中分数梯度最明显的学科,也是让广大考生很头疼的学科,参照最新的考试说明,来谈谈考生在数学二轮复习中应该注意什么?首先,高考数学试卷中有30%的基础题,50%的中等难度题,其余为较为复杂的或综合性的问题。

抓基础,多做基础题吧!千万不要浪费黄金般的时间,去做考纲不作重点要求的知识模块中的难题,把握住基本得分点就可以,想不及格都难!考纲中对知识的要求依次分为了解、理解和掌握、灵活和综合运用三个层次,二轮复习考生一定要安排更多一点的时间复习前两个层次覆盖的知识点。

通过合理安排复习,力争达到本科达线分。

就数学学科而言,比较容易抓住的部分在选择题和填空题,但要注意的是,选择题和填空题也是最容易出问题的环节,在心理上千万不能失衡。

2021年北京市高考数学试题(解析版)

2021年北京市高考数学试题(解析版)

2021 年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学第一部分(选择题共40 分)一、选择题共10 小题,每小题4 分,共40 分,在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1. 已知集合A ={x | -1 <x <1},B ={x | 0 ≤x ≤ 2},则A B =()A.(-1, 2)B.(-1, 2]C.[0,1)D. [0,1]【答案】B【解析】【分析】结合题意利用并集的定义计算即可.【详解】由题意可得:A B ={x | -1 <x ≤ 2},即A B =(-1, 2].故选:B.2.在复平面内,复数z 满足(1-i)z = 2 ,则z =()A.2 +iB.2 -iC.1-iD.1+i【答案】D【解析】【分析】由题意利用复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.2 2(1+i)2(1+i)【详解】由题意可得:z ====1+i .1-i (1-i)(1+i)2故选:D.3.已知f (x) 是定义在上[0,1] 的函数,那么“函数f (x) 在[0,1] 上单调递增”是“函数f (x) 在[0,1] 上的最大值为f (1) ”的()A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用两者之间的推出关系可判断两者之间的条件关系.【详解】若函数f (x)在[0,1]上单调递增,则f (x)在[0,1]上的最大值为f (1),若f (x)在[0,1]上的最大值为f (1),33 ⎛ 1 ⎫2比如 f ( x ) = x - ⎪ ,⎝ ⎭⎛ 1 ⎫2⎡ 1 ⎤ ⎡1 ⎤但 f ( x ) = x - ⎪ 在⎢0, 3⎥ 为减函数,在⎢⎣ 3 ,1⎥ 为增函数,⎝ 3 ⎭⎣ ⎦ ⎦ 故 f (x ) 在[0,1]上的最大值为 f (1) 推不出 f ( x ) 在[0,1]上单调递增, 故“函数 f (x ) 在[0,1]上单调递增”是“ f ( x ) 在[0,1]上的最大值为 f (1) ”的充分不必要条件,故选:A.4. 某四面体的三视图如图所示,该四面体的表面积为()A. 3 + 32B. 4C. 3 +D. 2【答案】A【解析】【分析】根据三视图可得如图所示的几何体(三棱锥),根据三视图中的数据可计算该几何体的表面积. 【详解】根据三视图可得如图所示的几何体-正三棱锥O - ABC ,其侧面为等腰直角三角形,底面等边三角形, 由三视图可得该正三棱锥的侧棱长为 1,故其表面积为3⨯ 1⨯1⨯1+3⨯( 2 )2=3 + 3 , 242故选:A.3y 23b5. 双曲线C :x 2-y 2 = 1 过点( 2, 3 ) ,且离心率为2 ,则该双曲线的标准方程为()a2b22y 2x 2 2A. x - = 13B. - y = 13C. x 2 - = 13D.3- y 2 = 1 【答案】A【解析】【分析】分析可得b = 程.3a ,再将点(2, 3 ) 代入双曲线的方程,求出 a 的值,即可得出双曲线的标准方【详解】 e = c = 2 ,则c = 2a , b =a= 3a ,则双曲线的方程为 x a 2 2 - = 1,3a 2 将点( 2, 3 ) 的坐标代入双曲线的方程可得 2 - 3 = 1 = 1 ,解得a = 1 ,故b =,2y 2 a 2 3a 2a 2因此,双曲线的方程为 x -= 1.3故选:A.6.{a }和{b }是两个等差数列,其中 a k(1 ≤ k ≤ 5)为常值, a = 288 , a = 96 ,b = 192 ,则b = ( )n n 1 51 3 kA. 64B. 128C. 256D. 512【答案】B【解析】【分析】由已知条件求出b 5 的值,利用等差中项的性质可求得b 3 的值.3x 2c 2 - a 2 y 22 cos x 【详解】由已知条件可得a 1=a 5 ,则b =a 5b 1 =96⨯192 = 64 ,因此, b= b + b = 192 + 64 = 128 .b 1b 5a 12881 5 32 2故选:B.7. 函数 f (x ) = cos x - cos 2x ,试判断函数的奇偶性及最大值( )A. 奇函数,最大值为 2B. 偶函数,最大值为 2C. 奇函数,最大值为 98D. 偶函数,最大值为 98【答案】D【解析】【分析】由函数奇偶性的定义结合三角函数的性质可判断奇偶性;利用二倍角公式结合二次函数的性质可判断最大值.【详解】由题意, f (-x ) = cos (-x ) - cos (-2x ) = cos x - cos 2x =f (x ) ,所以该函数为偶函数,又 f (x ) = cos x - cos 2x = -2 cos 2 x + cos x +1 = - ⎛- ⎝1 ⎫29 ⎪ + ,⎭ 8 所以当cos x = 1 时, f (x ) 取最大值 9.4 8故选:D.8. 定义:24 小时内降水在平地上积水厚度( mm )来判断降雨程度.其中小雨( < 10mm ),中雨(10mm - 25mm ),大雨( 25mm - 50mm ),暴雨( 50mm -100mm ),小明用一个圆锥形容器接了 24 小时的雨水,如图,则这天降雨属于哪个等级( )A. 小雨B. 中雨C. 大雨D. 暴雨【答案】B【解析】【分析】计算出圆锥体积,除以圆面的面积即可得降雨量,即可得解.4 52 3 4 - m 2k 2 +1【 详 解 】 由 题 意 , 一 个 半 径 为200 = 100(mm ) 2的 圆 面 内 的 降 雨 充 满 一 个 底 面 半 径 为200 ⨯ 150= 50(mm ) ,高为150 (mm ) 的圆锥, 2 3001π ⨯ 502 ⨯150所以积水厚度d = 3= 12.5(mm ) ,属于中雨 π ⨯1002故选:B.9. 已知圆C : x 2 + y 2 = 4 ,直线l : y = kx + m ,当k 变化时,l 截得圆C 弦长的最小值为2,则m =( )A. ±2B. ±C. ±D. ±【答案】C【解析】【分析】先求得圆心到直线距离,即可表示出弦长,根据弦长最小值得出m 【详解】由题可得圆心为(0, 0) ,半径为 2,则圆心到直线的距离d = m, k 2+ 1则弦长为2 ,则当k = 0 时,弦长取得最小值为 = 2 ,解得m = ± 3 .故选:C.10. 数列{a n }是递增的整数数列,且a 1 ≥ 3 , a 1 + a 2 + ⋅⋅⋅ + a n = 100 ,则n 的最大值为( )A. 9B. 10C. 11D. 12【答案】C【解析】【分析】使数列首项、递增幅度均最小,结合等差数列的通项及求和公式即可得解.【详解】若要使 n 尽可能的大,则a 1 ,递增幅度要尽可能小,不妨设数列{a n } 是首项为 3,公差为 1 的等差数列,其前 n 项和为 S n ,则a = n + 2 , S = 3 +13 ⨯11 = 88 < 100 , S = 3 +14⨯12 = 102 > 100 ,n112 122所以 n 的最大值为 11. 故选:C.54 - m 25 5 4 4 第二部分(非选择题共 110 分)二、填空题 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.(x 3- 1 )4 展开式中常数项为 . x【答案】-4【解析】【详解】试题分析: ⎛ x 3 -1 ⎫ 的展开式的通项T = C r (x 3 )4-r ⎛ - 1 ⎫ = (-1)r C r x 12-4r , 令r = 3 得常数 x ⎪ r +1 4x ⎪ 4 ⎝⎭ ⎝ ⎭项为T = (-1)3C 3 = -4 .考点:二项式定理.12. 已知抛物线C : y 2 = 4x ,焦点为 F ,点 M 为抛物线C 上的点,且 FM = 6 ,则 M 的横坐标是 ;作 MN ⊥ x 轴于 N ,则 S FMN = .【答案】①. 5②. 4【解析】【分析】根据焦半径公式可求 M 的横坐标,求出纵坐标后可求 S FMN . 【详解】因为抛物线的方程为 y 2 = 4x ,故 p = 2 且 F (1, 0).因为 MF = 6 , x + p= 6 ,解得 x = 5 ,故 y = ±2 , M 2M M所以 S= 1⨯(5 -1)⨯ 2 = 4 ,FMN2故答案为:5, 4 5 .13. a = (2,1), , c = (0,1) ,则(a + b ) ⋅ c =; a ⋅ b = .【答案】①. 0 ②. 3【解析】【分析】根据坐标求出a + b ,再根据数量积的坐标运算直接计算即可.【详解】 a = (2,1), b = (2, -1), c = (0,1) ,∴ a + b = (4, 0) ,∴(a + b ) ⋅ c = 4 ⨯ 0 + 0 ⨯1 = 0 , ∴a ⋅ b = 2⨯ 2 +1⨯(-1) = 3 .故答案为:0;3.55 b = (2, -1) 4 rπ 14. 若点P (cos θ , s in θ ) 与点Q (cos(θ + π ), s in(θ + π )) 关于 y 轴对称,写出一个符合题意的θ = .6 6【答案】5π (满足θ =5π + k π , k ∈ Z 即可)1212【解析】【分析】根据 P , Q 在单位圆上,可得θ ,θ + π 关于 y 轴对称,得出θ +π+ θ = π + 2k π , k ∈ Z 求解. 6 6【详解】P (cos θ , sin θ ) 与Q ⎛cos ⎛θ + π ⎫, sin ⎛θ + π ⎫⎫ 关于 y 轴对称, 6 ⎪ 6 ⎪⎪⎝ 即θ ,θ + π关于 y 轴对称,6⎝⎭ ⎝ ⎭⎭ θ + + θ = π + 2k π , k ∈ Z ,6则θ = k π +5π , k ∈ Z ,12当 k = 0 时,可取θ 的一个值为5π5π .12 5π 故答案为: 12 (满足θ = k π +, k ∈ Z 即可). 1215. 已知函数 f (x ) = lg x - kx - 2 ,给出下列四个结论:①若k = 0 ,则 f (x ) 有两个零点; ② ∃k < 0 ,使得 f (x ) 有一个零点; ③ ∃k < 0 ,使得 f (x ) 有三个零点; ④ ∃k > 0 ,使得 f (x ) 有三个零点.以上正确结论得序号是 .【答案】①②④【解析】【分析】由 f (x ) = 0 可得出 lg x = kx + 2 ,考查直线 y = kx + 2 与曲线 g ( x ) = lg x 的左、右支分别相切的情形,利用方程思想以及数形结合可判断各选项的正误.【详解】对于①,当k = 0 时,由 f (x ) = lg x - 2 = 0 ,可得 x =1100或 x = 100 ,①正确; 对于②,考查直线 y = kx + 2 与曲线 y = -lg x (0 < x < 1) 相切于点 P (t , -lg t ) ,⎨ ⎧kt + 2 = - lg t t = e 对函数 y = - lg x 求导得 y ' =- 1⎪ ,由题意可得 ⎪ 1 ,解得 100 , x ln10⎨k =- ⎨ 100 ⎪⎩ t ln10 ⎪k =- ⎪⎩ elg e 所以,存在k = - 100lg e < 0 ,使得 f ( x ) 只有一个零点,②正确;e对于③,当直线 y = kx + 2 过点(1, 0) 时, k + 2 = 0 ,解得k = -2 , 所以,当-100lg e < k < -2 时,直线 y = kx + 2 与曲线 y = -lg x (0 < x < 1) 有两个交点, e若函数 f (x ) 有三个零点,则直线 y = kx + 2 与曲线 y = -lg x (0 < x < 1) 有两个交点, ⎧- 100lg e < k < -2直线 y = kx + 2 与曲线 y = lg x ( x > 1) 有一个交点,所以, ⎪e ,此不等式无解,⎪⎩k + 2 > 0 因此,不存在k < 0 ,使得函数 f (x ) 有三个零点,③错误; 对于④,考查直线 y = kx + 2 与曲线 y = lg x (x > 1) 相切于点 P (t , lg t ) ,1⎧kt + 2 = lg t ⎧t = 100e 对函数y = lg x 求导得 y ' = ,由题意可得⎪ 1 ,解得⎪ lg e ,x ln10⎨k = ⎩ t ln10 ⎨k = ⎩ 100e 所以,当0 < k <lg e100e时,函数 f (x ) 有三个零点,④正确.故答案为:①②④.【点睛】思路点睛:已知函数的零点或方程的根的情况,求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题,求解此类问题的一般步骤:(1) 转化,即通过构造函数,把问题转化成所构造函数的零点问题;⎧3 343 (2) 列式,即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式;(3) 得解,即由列出的式子求出参数的取值范围.三、解答题共 6 小题,共 85 分,解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.16. 已知在 ABC 中, c = 2b cos B , C = 2π.3(1) 求 B 的大小;(2) 在下列三个条件中选择一个作为已知,使 ABC 存在且唯一确定,并求出 BC 边上 中线的长度.① c = 2b ;②周长为4 + 2 ;③面积为S ∆ABC = ; 【答案】(1) π ;(2)答案不唯一,具体见解析. 6【解析】【分析】(1)由正弦定理化边为角即可求解;(2)若选择①:由正弦定理求解可得不存在;若选择②:由正弦定理结合周长可求得外接圆半径,即可得出各边,再由余弦定理可求;若选择③:由面积公式可求各边长,再由余弦定理可求.【详解】(1) c = 2b cos B ,则由正弦定理可得sin C = 2 sin B cos B ,∴sin 2B = sin2π= 3 ,,∴ B ∈⎛ 0, π ⎫ , 2B ∈⎛ 0, 2π ⎫,3 ⎪ 3 ⎪ 32∴2B =π,解得 B =π;⎝ ⎭ ⎝ ⎭3 63 (2)若选择①:由正弦定理结合(1)可得 c = sin C= 2 = ,与c = b 2b 矛盾,故这样的 ABC 不存在; sin B 1 2若选择②:由(1)可得 A =π,6设 ABC 的外接圆半径为 R ,则由正弦定理可得a = b = 2R sin π 6= R ,c = 2R sin2π = 33R ,3 C =2π 37 21 则周长a + b + c = 2R + 3R = 4 + 2 3 ,解得 R = 2 ,则a = 2, c = 2 3 ,由余弦定理可得 BC 边上的中线的长度为:= ;若选择③:由(1)可得 A = π,即a = b ,6则 S = 1 ab s in C = 1 a 2 ⨯ 3 = 3 3 ,解得a = 3 , ABC2 2 2 4则由余弦定理可得 BC 边上的中线的长度为:= = . 217. 已知正方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 ,点 E 为 A 1D 1 中点,直线 B 1C 1 交平面CDE 于点 F .(1) 证明:点 F 为 B 1C 1 的中点;(2) 若点 M 为棱 AB 上一点,且二面角 M - C F - E 的余弦值为5 ,求A 1M的值.1 1【答案】(1)证明见解析;(2)A 1M = 1.3A 1B 1【解析】A 1B 12【分析】(1)首先将平面CDE 进行扩展,然后结合所得的平面与直线 B 1C 1 的交点即可证得题中的结论; (2)建立空间直角坐标系,利用空间直角坐标系求得相应平面的法向量,然后解方程即可求得实数λ 的值. 【详解】(1)如图所示,取 B 1C 1 的中点 F ' ,连结 DE , EF ', F 'C ,(2 3)2+ 12 - 2 ⨯ 2 3 ⨯1⨯cos π6 b 2 + ⎪ - 2 ⨯ b ⨯ ⨯cos⎛ a ⎫2a ⎝ 2 ⎭2 2π3 3 + 3 + 3 ⨯4 3 2由于ABCD -A1B1C1D1为正方体,E, F ' 为中点,故EF 'CD ,从而E, F ', C, D 四点共面,即平面CDE 即平面CDEF ',据此可得:直线B1C1 交平面CDE 于点F ' ,当直线与平面相交时只有唯一的交点,故点F 与点F ' 重合,即点F 为B1C1 中点.(2)以点D 为坐标原点,DA, DC, DD1 方向分别为x 轴,y 轴,z 轴正方形,建立空间直角坐标系D -xyz ,不妨设正方体的棱长为2,设A1M=λ(0 ≤λ≤1),A1B1则:M (2, 2λ, 2), C (0, 2, 0), F (1, 2, 2), E (1, 0, 2),从而:MC =(-2, 2 - 2λ, -2), CF =(1, 0, 2), FE =(0, -2, 0),设平面MCF 的法向量为:m =(x1, y1, z1 ),则:⎧⎪m ⋅MC =-2x1 +(2 - 2λ)y1 - 2z1 = 0⎨m ⋅C F =x + 2z = 0,⎪⎩ 1 1令z =-1可得:m =⎛2,1, -1⎫,1 1-λ⎪⎝⎭m, n=m ⋅n=m ⨯n5 +1-λ⎪⨯⎛ 1 ⎫2⎝ ⎭5⎝⎭设平面CFE 的法向量为:n =(x2 , y2 , z2 ),则:⎧⎪n ⋅FE =-2 y2 = 0⎨n ⋅C F =x + 2z= 0,⎪⎩ 2 2令z1 =-1可得:n =(2, 0, -1),⎛ 1 ⎫2从而:m ⋅n = 5, m =cos则:5 +1-λ⎪, n = 5 ,5=53,整理可得:(λ-1)2 =1,故λ=1(λ=3舍去).4 2 2【点睛】本题考查了立体几何中的线面关系和二面角的求解问题,意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力,对于立体几何中角的计算问题,往往可以利用空间向量法,通过求解平面的法向量,利用向量的夹角公式求解.18.为加快新冠肺炎检测效率,某检测机构采取“k 合1 检测法”,即将k 个人的拭子样本合并检测,若为阴性,则可以确定所有样本都是阴性的;若为阳性,则还需要对本组的每个人再做检测.现有100 人,已知其中2 人感染病毒.(1)①若采用“10 合1 检测法”,且两名患者同一组,求总检测次数;1②已知10 人分成一组,分10 组,两名感染患者在同一组的概率为11检测次数X 的分布列和数学期望E(X);,定义随机变量X 为总检测次数,求(2)若采用“5 合1 检测法”,检测次数Y 的期望为E(Y),试比较E(X)和E(Y)的大小(直接写出结果).【答案】(1)①20 次;②分布列见解析;期望为320;(2)见解析.11【解析】【分析】(1)①由题设条件还原情境,即可得解;②求出X 的取值情况,求出各情况下的概率,进而可得分布列,再由期望的公式即可得解;(2)求出E (Y ),分类即可得解.【详解】(1)①对每组进行检测,需要10 次;再对结果为阳性的组每个人进行检测,需要10 次;所以总检测次数为20 次;②由题意,X 可以取20,30,P ( X = 20) = 1 , P ( X = 30) = 1- 1= 10 ,11 则 X 的分布列:11 11所以 E ( X ) = 20⨯ + 30⨯ = ;11 11 11(2)由题意, Y 可以取 25,30,设两名感染者在同一组的概率为 p ,P (Y = 25) = p , P (Y = 30) = 1- p ,则 E (Y ) = 25 p + 30(1- p ) = 30 - 5 p , 若 p = 2时, E ( X ) = E (Y ) ;11若 p >若 p <2时, E ( X ) > E (Y ) ;11 2 时, E ( X ) < E (Y ) .1119. 已知函数 f ( x ) = 3 - 2x 2 .x + a(1)若a = 0 ,求 y = f (x ) 在(1, f (1))处切线方程; (2)若函数 f (x ) 在 x = -1 处取得极值,求 f ( x ) 的单调区间,以及最大值和最小值. 【答案】(1) 4x + y - 5 = 0 ;(2)函数 f ( x ) 的增区间为(-∞, -1) 、(4, +∞) ,单调递减区间为(-1, 4) ,最大值为1,最小值为- 1.4【解析】【分析】(1)求出 f (1) 、 f '(1) 的值,利用点斜式可得出所求切线的方程;(2)由 f '(-1) = 0 可求得实数a 的值,然后利用导数分析函数 f (x ) 的单调性与极值,由此可得出结果. 【详解】(1)当a = 0 时, f (x ) = 3 - 2x ,则 f '( x ) =2( x - 3) ,∴ f (1) = 1 , f '(1) = -4 ,x 2x 3此时,曲线 y = f (x ) 在点(1, f (1))处的切线方程为 y -1 = -4 ( x -1) ,即4x + y - 5 = 0 ;(2)因为 f ( x ) = 3 - 2x x 2 + a ,则 f '( x ) = -2 (x 2 + a ) - 2x (3 - 2x ) (x 2 + a )22 (x 2 - 3x - a ) (x 2 + a )2 , =5 y y由题意可得 f '(-1)= 2(4 - a ) = 0 ,解得a = 4 , (a +1)2故 f (x ) = 3 - 2x , x 2 + 4f '( x ) =2 ( x +1)( x - 4) (x 2+ 4)2,列表如下:x(-∞, -1)-1(-1, 4)4(4, +∞)f '( x )+-+f ( x )增极大值减极小值增所以,函数 f (x ) 的增区间为(-∞, -1) 、(4, +∞) ,单调递减区间为(-1, 4) . 当 x < 3 时, f (x ) > 0 ;当 x > 3时, f ( x ) < 0 . 2所以, f ( x )max 2= f (-1) = 1, f ( x )min= f (4) = - 1. 4x 2 y 2 A (0, -2) 20. 已知椭圆 E : + a 2 b2 = 1(a > b > 0) 过点 ,以四个顶点围成的四边形面积为4 5 .(1) 求椭圆 E 的标准方程;(2) 过点 P (0,-3)的直线 l 斜率为 k ,交椭圆 E 于不同的两点 B ,C ,直线 AB ,AC 交 y =-3 于点 M 、N ,直线 AC 交 y =-3 于点 N ,若|PM |+|PN |≤15,求 k 的取值范围. 【答案】(1) x 2+ = 1;(2)[-3, -1) ⋃ (1, 3]. 54【解析】【分析】(1)根据椭圆所过的点及四个顶点围成的四边形的面积可求a , b ,从而可求椭圆的标准方程.(2)设 B (x 1, y 1 ), C ( x 2 , y 2 ) ,求出直线 AB , AC 的方程后可得 M , N 的横坐标,从而可得 PM + PN ,联立直线 BC 的方程和椭圆的方程,结合韦达定理化简 PM + PN ,从而可求k 的范围,注意判别式的要求.【详解】(1)因为椭圆过 A (0, -2) ,故b = 2 ,因为四个顶点围成的四边形的面积为4 5 ,故 1⨯ 2a ⨯ 2b = 4 2,即a = ,故椭圆的标准方程为: x2 + = 1.5 45 2 2x 1 y 1 + 2 50k4 + 5k 25k 2 4 + 5k 2 ⎨4x 2 + 5 y 2= 20 M y 2 - (2)设 B ( x 1, y 1 ), C ( x 2 , y 2 ) ,因为直线 BC 的斜率存在,故 x 1x 2 ≠ 0 ,故直线 AB : y =y 1 + 2 x - 2 ,令 y = -3 ,则 x=- x 1,同理 x=- x2 . 1 y 1 + 2 N+ 2直线 BC : y = kx - 3 ,由⎧ y = kx - 3⎩可得(4 + 5k 2 ) x 2 - 30kx + 25 = 0 , 故∆ = 900k 2 -100 (4 + 5k 2 )> 0 ,解得k < -1 或 k > 1 .又 x + x = 30k, x x =25 ,故 x x > 0 ,所以 x x > 0 1 2 4 + 5k 2 1 24 + 5k 21 2 M N又 PM + PN = x + x =+ MN2kx x - ( x + x )30k 2 2 =+ = 1 2 1 2 = 4 + 5k= 5 k k 2 x x - k ( x + x ) +1 - 30k 2 + 1 2 1 2故5 k ≤ 15 即 k ≤ 3 ,4 + 5k 21综上, -3 ≤ k < -1 或1 < k ≤ 321. 定义 R 数列{a }:对实数 p ,满足:① a + p ≥ 0 , a+ p = 0 ;② ∀n ∈ N * , a< a ;pn124n -14n③ a m + n ∈{a m + a n + p , a m + a n + p + 1} , m , n ∈ N * .(1) 对于前 4 项 2,-2,0,1 的数列,可以是 R 2 数列吗?说明理由;x 2y 2 + 2 x 1 kx 1 -1 x 2 kx 2 -1 xn (2) 若{a n }是 R 0 数列,求a 5值;(3) 是否存在 p ,使得存在 R p 数列{a },对∀n ∈ N *, S ≥ S 10?若存在,求出所有这样的 p ;若不存在,说明理由.【答案】(1)不可以是 R 2 数列;理由见解析;(2) a 5 = 1 ;(3)存在; p = 2 .【解析】【分析】(1)由题意考查a 3 的值即可说明数列不是 R 2 数列;(2) 由题意首先确定数列的前 4 项,然后讨论计算即可确定a 5 的值; (3) 构造数列b n = a n + p ,易知数列{b n } 是 R 0 的,结合(2)中的结论求解不等式即可确定满足题意的实数 p 的值.【详解】(1)由性质③结合题意可知0 = a 3 ∈{a 1 + a 2 + 2, a 1 + a 2 + 2 +1} = {2, 3}, 矛盾,故前 4 项2, -2, 0,1的数列,不可能是 R 2 数列.(2) 性质① a 1 ≥ 0, a 2 = 0 ,由性质③ a m +2 ∈{a m , a m +1} ,因此a 3 = a 1 或a 3 = a 1 +1 , a 4 = 0 或a 4 = 1 ,若 a 4 = 0 ,由性质②可知a 3 < a 4 ,即a 1 < 0 或 a 1 +1 < 0 ,矛盾; 若 a 4 = 1, a 3 = a 1 +1 ,由a 3 < a 4 有a 1 +1 < 1,矛盾.因此只能是a 4 = 1, a 3 = a 1 .又因为a = a + a 或a= a + a+1 ,所以a = 1 或a = 0 . 4 1 3 4 1 3 12 1 若a = 1,则a = a ∈{a + a + 0, a + a + 0 +1} = {2a , 2a +1} = {1, 2} , 122 1+1 1 1 1 1 1 1不满足a 2 = 0 ,舍去.当 a 1 = 0 ,则{a n }前四项为:0,0,0,1,下面用纳法证明a 4n +i = n (i = 1, 2, 3), a 4n +4 = n +1(n ∈ N ) : 当 n = 0 时,经验证命题成立,假设当n ≤ k (k ≥ 0) 时命题成立,当 n = k +1 时:若i = 1 ,则a 4(k +1)+1 = a 4k +5 = a j +(4k +5- j ) ,利用性质③:nj4k +5- jj 4k +6- jj4k +7- j4k +7 4k +8 {a + a∣j ∈ N *,1 ≤ j ≤ 4k + 4} = {k , k +1} ,此时可得: a = k +1;否则,若a 4k +5 = k ,取k = 0 可得: a 5 = 0 , 而由性质②可得: a 5 = a 1 + a 4 ∈{1, 2} ,与a 5 = 0 矛盾.同理可得:{a + a∣j ∈ N *,1 ≤ j ≤ 4k + 5} = {k , k +1} ,有a = k +1 ;{a + a∣j ∈ N *, 2 ≤ j ≤ 4k + 6} = {k +1, k + 2},有a= k + 2 ;j4k +8- j{a + a∣j ∈ N *,1 ≤ j ≤ 4k + 6} = {k +1} ,又因为a 4k +8< a ,有a= k +1.即当n = k +1 时命题成立,证毕. 综上可得: a 1 = 0 , a 5 = a 4⨯1+1 = 1 .(3) 令b n = a n + p ,由性质③可知:∀m , n ∈ N *, b= a+ p ∈{a + p + a + p , a + p + a + p +1} = {b + b , b + b +1} ,m +nm +nmnmnmnmn由于b 1 = a 1 + p ≥ 0, b 2 = a 2 + p = 0, b 4n -1 = a 4n -1 + p < a 4n + p = b 4n ,因此数列{b n }为 R 0 数列. 由(2)可知:若∀n ∈ N , a 4n +i = n - p (i = 1, 2, 3), a 4n +4 = n +1- p ;S 11 - S 10 = a 11 = a 4⨯2+3 = 2 - p ≥ 0 , S 9 - S 10 = -a 10 = -a 4⨯2+2 = -(2 - p ) ≥ 0 ,因此p = 2 ,此时a 1, a 2 ,⋯, a 10 ≤ 0 , a j ≥ 0 ( j ≥ 11) ,满足题意. 【点睛】本题属于数列中的“新定义问题”,“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种,然后根据此新定义去解决问题,有时还需要用类比的方法去理解新的定义,这样有助于对新定义的透彻理解.但是,透过现象看本质,它们考查的还是基础数学知识,所以说“新题”不一定是“难题”,掌握好三基,以不变应万变才是制胜法宝.4k +5 4k +6 4k +7。

2024 年普通高等学校招生全国统一考试(新高考 1 卷)数学试卷

2024 年普通高等学校招生全国统一考试(新高考 1 卷)数学试卷

2024年普通高等学校招生全国统一考试(新高考1卷)数 学一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。

1.已知集合A ={x |-5<x 3<5},B ={-3,-1,0,2,3},则A ∩B =( )A .{-1,0}B .{2,3}C .{-3,-1,0}D .{-1,0,2}2.若z z -1=1+i ,则z =( ) A .-1-i B .-1+i C .1-i D .1+i3.已知相邻→a =(0,1),→b =(2,x ),若→b ⊥(→b -4→a ),则x =( )A .-2B .-1C .1D .24.已知cos(α+β)=m ,tan α•tan β=2,则cos(α-β)=( )A .-3mB .-m 3C .m 3D .3m 5.已知圆柱和圆锥的底面半径相等,侧面积相等,且它们的高均为3,则圆锥的体积为( )A .23πB .33πC .63πD .93π6.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-x 2-2ax -a ,x <0,e x +ln(x +1),x ≥0.在R 上单调递增,则a 的取值范围是( ) A .(-∞,0] B .[-1,0] C .[-1,1] D .[0,+∞)7.当x ∈[0,2π]时,曲线y =sin x 与y =2sin(3x -π6)的交点个数为( ) A .3 B .4 C .6 D .88.已知函数f (x )的定义域为R ,f (x )>f (x -1)+f (x -2),且当x <3时,f (x )=x ,则下列结论中一定正确的是( )A .f (10)>100B .f (20)>1000C .f (10)<1000D .f (20)<10000二、选择题:本大题共3小题,每小题8分,共18分。

在每小题给出的四个选项中,至少有两项是符合题目要求的。

2020北京高三数学高考考试大纲说明素材

2020北京高三数学高考考试大纲说明素材

数学Ⅰ.试卷结构全卷包括第Ⅰ卷和第Ⅱ卷.第Ⅰ卷为选择题;第Ⅱ卷为非选择题.全卷20题,分为选择题、填空题和解答题三种题型.选择题是四选一型的单项选择题;填空题只要求直接填写结果,不要求写出计算过程或证明过程;解答题包括计算题、证明题、应用题等,要求写出文字说明、演算步骤或证明过程.三种题型的题目个数分别为8、6、6;分值分别为40、30、80.试卷由容易题、中等难度题和难题组成,并以中等难度题为主,总体难度适当.Ⅱ.考试内容及要求一、考核目标与要求数学科高考注重考查中学数学的基础知识、基本技能、基本思想方法,考查空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力以及分析问题和解决问题的能力.根据普通高等学校对新生文化素质的要求,依据教育部2020年颁布的《普通高中课程方案(实验)》和《普通高中数学课程标准(实验)》,以及《北京市普通高中新课程数学学科教学指导意见和模块学习要求(试行)》,确定必修课程、选修课程系列2和系列4中的4—1,4-4的内容为理工类高考数学科的考试内容.关于考试内容的知识要求和能力要求的说明如下.1.知识要求对知识的要求由低到高分为了解、理解、掌握、灵活和综合运用四个层次,分别用A,B,C,D表示,且高一级的层次要求包含低一级的层次要求.了解、理解、掌握是对知识的基本要求(详见考试范围与要求层次),灵活和综合运用不对应具体的考试内容.(1)了解(A):对所列知识内容有初步的认识,会在有关的问题中进行识别和直接应用.(2)理解(B):对所列知识内容有理性的认识,能够解释、举例或变形、推断,并能利用所列的知识解决简单问题.(3)掌握(c):对所列知识内容有较深刻的理性认识,形成技能,并能利用所列知识解决有关问题.(4)灵活和综合运用(D):系统地把握知识的内在联系,并能运用相关知识分析、解决比较综合的问题.2.能力要求能力是指空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力以及分析问题和解决问题的能力.(1)空间想象能力:能根据条件作出正确的图形,根据图形想象出直观形象;能正确地分析出图形中基本元素及其相互关系;能对图形进行分解、组合与变形.(2)抽象概括能力:能在对具体的实例抽象概括的过程中,发现研究对象的本质;从给定的大量信息材料中,概括出一些结论,并能将其应用于解决问题或作出新的判断.(3)推理论证能力:会根据已知的事实和已获得的正确数学命题来论证某一数学命题的正确性.(4)运算求解能力:会根据概念、公式、法则正确地对数、式、方程、几何量等进行变形和运算;能分析条件,寻求与设计合理、简捷的运算途径;能根据要求对数据进行估计,并能近似计算.(5)数据处理能力:会依据统计中的方法对数据进行整理、分析,并解决给定的实际问题.(6)分析问题和解决问题的能力:能阅读、理解对问题进行陈述的材料;能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题,包括解决在相:关学科、生产、生活中简单的数学问题,并能用数学语言正确地加以表述;能选择有效的方法和手段对新颖的信息、情境和设问进行独立的思考与探究,创造性地解决问题.3.个性品质要求考生能以平和的心态参加考试,合理支配考试时间,以实事求是的科学态度解答试题,树立战胜困难的信心,体现锲而不舍的精神.4.考查要求(1)对数学基础知识的考查,既全面又突出重点,注重学科的内在联系和知识的综合.(2)数学思想和方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括.对数学思想和方法的考查与数学知识的考查结合进行,考查时,从学科整体意义和思想含义上立意,注重通性通法,淡化特殊技巧.(3)对数学能力的考查,以抽象概括能力和推理论证能力为核心,全面考查各种能力.强调探究性、综合性、应用性.突出数学试题的能力立意,坚持素质教育导向.(4)注重试题的基础性、综合性和层次性.合理调控综合程度,坚持多角度,多层次的考查.。

2020年北京市高考数学试卷(附答案解析)

2020年北京市高考数学试卷(附答案解析)
(2)多面体 表面积是各个面的面积之和;组合体的表面积应注意重合部分的处理.
(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面,计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算,而表面积是侧面积与底面圆的面积之和.
5.已知半径为1的圆经过点 ,则其圆心到原点的距离的最小值为( ).
A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】A
1.已知集合 , ,则 ( ).
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据交集定义直接得结果.
【详解】 ,故选:D.
【点睛】本题考查集合交集概念,考查基本分析求解能力,属基础题.
2.在复平面内,复数 对应的点的坐标是 ,则 ( ).
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】先根据复数几何意义得 ,再根据复数乘法法则得结果.
【点睛】本题考查圆周率 的近似值的计算,根据题意计算出单位圆内接正 边形和外切正 边形的周长是解答的关键,考查计算能力,小题,每小题5分,共25分.
11.函数 的定义域是____________.
【答案】
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】首先确定几何体的结构特征,然后求解其表面积即可.
【详解】由题意可得,三棱柱的上下底面为边长为2的等边三角形,侧面为三个边长为2的正方形,
则其表面积为: .故选:D.
【点睛】(1)以三视图为载体考查几何体的表面积,关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析,从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系.
【点睛】本题主要考查抛物线的定义的应用,属于基础题.
8.在等差数列 中, , .记 ,则数列 ( ).
A. 有最大项,有最小项B. 有最大项,无最小项
C. 无最大项,有最小项D. 无最大项,无最小项

2023高考数学北京卷知识板块

2023高考数学北京卷知识板块

首先呢,我们要明确这篇文章的主题是围绕着2023年高考数学北京卷的知识板块展开的,那么我们就需要对2023年高考数学北京卷的知识板块进行系统地分析和总结。

在撰写这篇文章时,我们需要注意以下几点:一、知识板块的概述介绍2023年高考数学北京卷的知识板块主要包括哪些内容,以及这些内容在数学学科中的重要性和应用。

可以通过对历年高考数学试题的分析和相关教学大纲的了解,来总结出2023年高考数学北京卷的知识板块有哪些。

二、各知识点的详细内容1. 高中数学基础知识- 直线和圆的性质- 函数与方程- 数列与数学归纳法2. 概率与统计- 事件与概率- 随机变量与分布- 统计图表的解读与分析3. 解析几何- 二维几何图形的性质- 三角函数与三角形- 平面向量的运算4. 数学建模与实际问题- 数学模型的建立与求解- 实际问题的数学描述与分析- 模型的合理性和应用以上,就是对2023年高考数学北京卷知识板块的主要内容进行了概括和分类,并对各个知识点进行了简要的介绍。

在撰写这篇文章时,需要务必保持客观、清晰、流畅的语言,确保读者能够清晰地了解到2023年高考数学北京卷的知识板块内容。

还可以在文章中加入相关的案例分析和解题技巧,帮助读者更好地掌握这些知识点,为备战高考做好充分的准备。

三、各知识点的详细内容(续)2. 概率与统计(1)事件与概率在概率与统计这一知识板块中,事件与概率是一个非常重要的概念。

学生需要掌握如何计算事件发生的概率,并且能够运用概率的理论解决实际问题。

除了基本的概率公式外,还需要了解条件概率、独立事件、贝叶斯公式等概念,以及相关的计算方法和应用技巧。

掌握了这些内容,学生就能够更加准确地评估各种事件发生的可能性,为未来的学习和工作做好准备。

(2)随机变量与分布随机变量和分布是概率与统计中的另一个重要内容。

学生需要掌握随机变量的概念及其性质,了解不同类型的分布,如离散型分布(如二项分布、泊松分布)和连续型分布(如正态分布、指数分布),并能够应用这些分布解决实际问题。

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2016年高考北京卷《考试说明》近期将公布。

北京教育考试院相关部门负责人介绍,与往年相比,北京卷《考试说明》稳中有变。

语文
2016年语文学科在总体基本稳定的基础上,为更好地适应当前高中语文课程改革的形势,在考试内容等方面略有调整。

1.现代文阅读,在以往要求考生对“文中信息的分析、筛选、整合”基础上,增加信息的“运用”“对多个信息的比较、辨析”。

2.增加对阅读经典的要求。

在现代文阅读和古诗文阅读中,提出“对中外文学经典”“对中国古代文化和文学经典”的“理解、感悟和评价”。

具体调整:
“附录”在保持原有“古诗文背诵篇目”不变的同时,增加“经典阅读篇目例举”,包括古今中外12部文学和文化经典,分别是:《论语》、《三国演义》、《红楼梦》、《呐喊》、《边城》、《四世同堂》、《红岩》、《平凡的世界》、《雷雨》、《欧也妮·葛朗台》、《巴黎圣母院》、《老人与海》。

经典阅读篇目主要依据《普通高中语文课程标准(实验)》“关于课外读物的建议”,并结合实际情况确定。

“例举”二字,旨在鼓励考生在阅读这些篇目的基础上,能够更广泛地阅读。

阅读经典是目前语文课程改革的重点,在2015年高考“微写作”选作题中,就涉及了《三国演义》《平凡的世界》《四世同堂》和《巴黎圣母院》。

但考虑到本届毕业生在高中三年的学习及复习的实际情况,2016年这12部经典阅读篇目暂不列入考生必须作答的范围,2017年、2018年逐步将这些篇目纳入考生必须作答的范围。

3.调整参考样题。

具体调整:
①删除考查点、题型有重复的样题,如删除原样题中测试题第5-9题、测试题第26题等;
②将旧的高考试题或测试题替换为2015年的高考题,如文言文阅读将2013年第6-10题替换为2015年的文言文第9-14题,将多文本阅读测试题《天坛之美》替换为2015年第1-8题等;
③增加2015年出现的新题,如散文《说起梅花》,作文“二选一”试题等。

调整后,参考样题由2015年的70个小题变为73个小题。

数学
理科数学更换4道参考样题;文科数学更换2道参考样题。

新换题目均选自2015年高考北京卷。

具体调整:
理科数学更换题目的位置信息如下:
【试题5】(2013年第7题)更换为(2015年第7题);【试题7】(2011年第6题)更换为(2015年第6题);【试题12】(2006年第8题)更换为(2015年第8题);【试题26】(2013年第18题)更换为(2015年第18题)。

文科数学更换题目的位置信息如下:
【试题13】(2014年第8题)更换为(2015年第8题);【试题26】(2011年第18题)更换为(2015年第19题)。

英语
英语“参考试卷”更换2道题,总分值为35分。

具体调整:
新换试题均选自2015年高考北京卷,新换试题位置均在第四部分“书面表达”。

新换试题具有以下特点:
1.以“巩固成果,稳步推进”为目标。

新换试题不突破考试范围,在题型结构、分值设定、能力要求上保持稳定。

2.注重基础考查。

试题任务具体,要求明确,对考生完成写作所需要的词汇、句式等要求均比较基础,题目中还给出了关键的提示词以帮助考生顺利完成写作任务。

书信和稿件是考生比较熟悉的写作体裁,考生在英语学习过程中都应该有过类似的写作经历,有利于考生发挥自身真实的语言水平。

3.体现开放性。

试题命制注重考查考生分析问题、解决问题的能力,引导考生独立思考,摆脱单一方法、唯一答案的思维模式,鼓励考生最大限度地调动其语言运用能力,展现其丰富多彩的思维活动。

书面表达部分第一节采用了考生熟悉的应用文形式,题目中规定了写作任务包含的范围,但是对于写作的具体内容并未一一罗列,需要考生自己展开积极、合乎逻辑的想象完成写作任务,为不同程度的考生提供了充分的思维发散空间。

4.体现了语言工具性与人文性的统一。

书面表达部分第一节的写作任务涉及具有强烈中华民族文化色彩的娱乐活动划龙舟,第二节通过写稿件的形式,宣传优秀民间艺术。

试题要求运用英语完成真实的交际任务,很好地体现了语言的工具性;与此同时,写作内容强调中华文化的传承与传播,使以划龙舟和面人艺术为代表的中华文化在年轻一代中得以传承并走向世界。

这对学生情感、态度和价值观都是一次正面的引导,使考生在考试的同时也经历了一次潜移默化的受教育过程。

物理
物理学科《考试说明》中,“试卷结构”和“考试内容与要求”均无变化。

参考样题有所调整。

具体调整:
1.将2015年《考试说明》中第50、53题分别替换为2015年北京高考理综卷第19、20题。

2.将2015年《考试说明》中第86题替换为2015年北京高考理综卷第21题。

化学
化学学科在考核目标、考试内容、范围及要求上,与往年保持稳定,但随着课改的进一步深入,高考试题从选材到题目的呈现方式等方面在逐年发生变化,因此,“参考样题”在保持原有题型数量和结构的基础上,做出部分调整。

“参考样题”的变化体现了高考化学试题注重考查基础性和综合性,既突出主干知识和基本方法的考查,又加强创新实践思维历程和思维脉络的考查。

具体调整:
“参考样题”替换了2道选择题和3道非选择题。

生物
生物学科“试卷结构”和“考试内容及要求”部分保持不变。

“参考样题”部分删除4道原样题,增补5道题。

具体调整:
选择题将3道原样题更换为2015年高考理科综合能力测试第2、4、5题;
非选择题删除1道原样题,增补2015年高考理科综合能力测试第29、30题。

历史
历史学科“试卷结构”和“考试内容与要求”部分保持不变。

“参考样题”有部分更新。

具体调整:
2015年考试说明“参考样题”的第13、14、18、19和34题,分别代之以2015年高考试题的第13、12、20、22和37题。

地理
地理学科的“考查目标与要求”和“考试范围”保持不变。

更换了5道参考样题,新换题目均选自2015年高考北京卷。

具体调整:
新换的选择题有第1、2、3、11题,非选择题有第36题。

更换题目的位置信息如下:【试题5】(2013年第5题)更换为2015年第11题;
【试题6、7】(2013年第10、11题)更换为2015年第1、2题;
【试题8】(2014年第8题)更换为2015年第3题;
【试题32】(2014年第36题)更换为2015年第36题。

政治
政治学科“考试范围”根据新教材的变化进行了一定调整,比如《政治生活》部分的“我国的国家行政机关”“政府的权威”“中国共产党依法治国、依法执政”等,《国家和国际组织常识》中“坚持中国共产党的领导”“保证和发展人民当家作主”“全面推进依法治国”等。

具体调整:
“参考样题”更换了8道试题。

选择题部分:
【试题21】(2013年第29题)和【试题22】(2013年第30题)更换为2015年第32题和第34题,【试题23】(2009年第33题)更换为2015年第25题,【试题27】(2011年第30题)更换为2015年第28题。

【试题28】(2012年第31题)更换为2015年第30题。

【试题29】(2012年第32题)更换为2015年第31题。

主观题部分:
将2013年第38题更换为2015年第38题,【试题37】(2014年第39题)更换为2015年第39题。

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