10-导数及其运算
新坐标2020版一轮数学：2.10-导数的概念及运
由①②可得 x30＋ax20＝－x0，即 x0(x20＋ax0＋1)＝0.④
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由③可得 3x20＋2ax0＋1＝0.⑤ 由⑤可得 x0≠0，所以④式可化为 x20＋ax0＋1＝0.⑥ 由⑤⑥可得 x0＝±1，代入②式得 xy00＝ ＝1－，1 或xy00＝ ＝－ 1. 1， 即 P(1，－1)或 P(－1,1)．故选 D.]
1 [先用“导数法”求出切线方程，然后代入点(2,7)求出 a 的值． ∵f′(x)＝3ax2＋1，∴f′(1)＝3a＋1. 又 f(1)＝a＋2， ∴切线方程为 y－(a＋2)＝(3a＋1)(x－1)． ∵切线过点(2,7)，∴7－(a＋2)＝3a＋1，解得 a＝1.]
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3．(2016·全国卷Ⅲ)已知 f(x)为偶函数，当 x≤0 时，f(x)＝e－x－1 －x，则曲线 y＝f(x)在点(1,2)处的切线方程是________．
()
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√
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12
2．(教材改编)有一机器人的运动方程为 s(t)＝t2＋3t (t 是时间，s
是位移)，则该机器人在时刻 t＝2 时的瞬时速度为( )
A.149
B.147
C.145
D.143
D [由题意知，机器人的速度方程为 v(t)＝s′(t)＝2t－t32，故当
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[规律方法] 导数运算的常见形式及其求解方法 连乘积形式 先展开化为多项式的形式，再求导
观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式 公式形式
函数，再求导 对数形式 先化为和、差的形式，再求导 根式形式 先化为分数指数幂的形式，再求导 三角形式 先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导 含待定系数 如含 f′(x0)，a，b 等的形式，先将待定系数看成常数，再
导数的概念及其意义、导数的运算
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率.( × ) (2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.( × ) (3)f′(x0)＝[f(x0)]′.( × ) (4)若f(x)＝sin (－x)，则f′(x)＝cos (－x).( × )
∵点(0，－1)不在曲线f(x)＝xln x上， ∴设切点为(x0，y0). 又f′(x)＝1＋ln x， ∴直线l的方程为y＋1＝(1＋ln x0)x. ∴由yy00＝ ＋x10＝lnx10＋，ln x0x0， 解得 x0＝1，y0＝0.
∴直线l的方程为y＝x－1，即x－y－1＝0.
命题点2 求参数的值(范围)
1.函数f(x)＝ex＋1x 在x＝1处的切线方程为__y＝__(_e_－__1_)_x_＋_2__.
f′(x)＝ex－x12， ∴f′(1)＝e－1， 又f(1)＝e＋1， ∴切点为(1，e＋1)，切线斜率k＝f′(1)＝e－1， 即切线方程为y－(e＋1)＝(e－1)(x－1)， 即y＝(e－1)x＋2.
[cf(x)]′＝ cf′(x) .
5.复合函数的定义及其导数
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x ＝ y′u·u′x ，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.
常用 结论
1.区分在点处的切线与过点处的切线 (1)在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条. (2)过点处的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条. 2.f1x′＝－[ff′x]2x(f(x)≠0).
第三章
考试要求
1.了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数. 2.通过函数图象，理解导数的几何意义 3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(形如
导数的四则运算法则高二数学教材教学课件(人教A版2019选择性)
04 课堂小结
课堂小结
新知探究
导数的运算法则3:
事实上，对于两个函数f(x)和 g(x)的商的导数，我们有如下法则：
f ( x) f ( x)g( x) f ( x)g( x)
g( x)
[g( x)]2
(g( x) 0).
即 ：两个函数的商的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,减去第一个函数 乘第二个函数的导数 ,再除以第二个函数的平方.
解：(1)∵y＝3x3－x＋5－9x－1，
2
2
∴y′＝3(x32)′－x′＋5′－9(x－12)′ ＝9x1－1＋9x－3＝9 x 1＋x12 －1.
22 2 2 2 (2)∵f(x)＝x8－1，∴f′(x)＝8x7.
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题型二 与切线有关的综合问题
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方法总结 解决有关切线问题的关注点 （1）此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素． （2）准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做 到准确． （3）分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上，则要设出切点，这是解题时的易错 点．另外有的点虽然在切线上，但是经过该点的切线不一定只有1条，即该点有可能是切 点，也可能是切线与曲线的交点，解题时注意不要漏解．
特别地，常数与函数的商的导数
新知探究
l
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导数的运算法则
两函数乘积（商）的导数运算法则的特殊情形
03 例题探究
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题型一 利用运算法则求函数的导数 例 1.根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数．
(1)y＝x2－2x－4ln x； (2)y＝x·tan x； (3)y＝exx； (4)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)； (5)y＝x＋sin xcos x.
导数的概念及其运算(解析版)
考点20 导数的概念及其运算【命题解读】从高考对导数的要求看，考查分三个层次，一是考查导数公式，求导法则与导数的几何意义；二是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；三是综合考查，如研究函数零点、证明不等式、恒成立问题、求参数范围等.除压轴题，同时在小题中也加以考查，难度控制在中等以上.应特别是注意将导数内容和传统内容中有关不等式、数列、函数图象及函数单调性有机结合，设计综合题，考查学生灵活应用数学知识分析问题、解决问题的能力.【基础知识回顾】1. 导数的概念设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，且x0∈(a，b)，若Δx无限趋近于0时，比值Δy Δx＝f（x0＋Δx）－f（x0）Δx无限趋近于一个常数A，则称f(x)在x＝x0处可导，并称该常数A为函数f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)．若函数y＝f(x)在区间(a，b)内任意一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着x的变化而变化，因而是自变量x的函数，该函数称作f(x)的导函数，记作f′(x)．2. 导数的几何意义函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，过点P 的切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．3. 基本初等函数的导数公式续表4. 导数的运算法则若f′(x)，g′(x)存在，则有：(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）＝f′（x ）g （x ）－f （x ）g′（x ）g 2（x ）(g(x)≠0)． 5. 复合函数的求导法则(1)一般地，对于两个函数y ＝f(u)和u ＝g(x)，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数y ＝f(u)和u ＝g(x)的复合函数，记作y ＝f(g(x))．(2)复合函数y ＝f(g(x))的导数和函数y ＝f(u)，u ＝g(x)的导数间的关系为y′x ＝y′u ·u ′x ，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．1、下列求导结果正确的是（ ）A ．()21'12x x -=-B ．()cos30'sin30︒=-︒C ．()1ln 2'2x x=⎡⎤⎣⎦ D ．'=【答案】D【解析】对于A ，2(1)2x x -'=-，故A 错误； 对于B ，(cos30)0︒'=，故B 错误； 对于C ，11[(2)](2)2ln x x x x'=⨯'=，故C 错误；对于D 31223()2x x '===，故D 正确．故选：D ．2、若()ln2x f x e x =，则()f x '=（ ）A ．ln 22xx e e x x+B ．ln 2xx e e x x-C ．ln 2xxe e x x+D ．12xe x⋅【答案】C【解析】()()ln2(ln2)x x f x e x e x =+⋅'⋅''ln 2xxe e x x=+．故选：C ．3、（2020·广东肇庆市·高三月考）已知函数1()e ln x f x x x -=+，则()1f '=（ ）A ．0B ．1C ．eD ．2【答案】D【解析】因为1()e ln x f x x x -=+，所以111()e ln e 1ln x x f x x x x x--'=++⨯=++， 所以11(1)e 1ln12f -'=++=， 故选：D4、 设M 为曲线C ：y ＝2x 2＋3x ＋3上的点，且曲线C 在点M 处切线倾斜角的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π，则点M 横坐标的取值范围为(D )A . [)－1，＋∞B . ⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－34C . ⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，－34D . ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，－34 【答案】D【解析】、 由题意y ′＝4x ＋3，切线倾斜角的范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫34π，π，则切线的斜率k 的范围是[)－1，0，∴－1≤4x ＋3<0，解得－1≤x<－34. 故选D . 5、下列求导过程正确的选项是( ) A.⎝⎛⎭⎫1x ′＝1x 2 B ．(x )′＝12x C ．(x a )′＝ax a －1D ．(log a x )′＝⎝⎛⎭⎫ln x ln a ′＝1x ln a 【答案】 BCD【解析】 根据题意，依次分析选项： 对于A ，⎝⎛⎭⎫1x ′＝(x －1)′＝－1x 2，A 错误；对于B ，(x )′＝12()x '＝12×12x -＝12x ，B 正确；对于C ，(x a )′＝ax a －1，C 正确；对于D ，(log a x )′＝⎝⎛⎭⎫ln x ln a ′＝1x ln a ，D 正确； 则B ，C ，D 正确．6、（江苏省南通市西亭高级中学2019-2020学年高三下学期学情调研）若曲线(1)x y ax e =+在(0,1)处的切线斜率为-1，则a =___________. 【答案】2-【解析】,((1)1)x x y y ax e ax a e '=+=++，011,2x y a a ='=+=-∴=-. 故答案为:-2.7、（江苏省如皋市2019-2020学年高三上学期10月调研）已知a R ∈，设函数()ln f x ax x =-的图象在点（1，(1)f ）处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为________ . 【答案】1 【解析】函数f (x )=ax −ln x ,可得()1'f x a x=-,切线的斜率为：()'11k f a ==-， 切点坐标(1,a ),切线方程l 为：y −a =(a −1)(x −1)， l 在y 轴上的截距为：a +(a −1)(−1)=1. 故答案为1.考向一 基本函数的导数例1、求下列函数的导数(1)()2(34)21y x x x =-+； (2) 31yx x； (3) ln x ye x ；(4) tan yx ； (5)2ln 1x y x =+； (6)2ln(15)xyx ．【解析】(1)∵y ＝(3x 2－4x )(2x ＋1)＝6x 3＋3x 2－8x 2－4x ＝6x 3－5x 2－4x ，∴218104y x x '=--.(2) 322132y x x -'=-+；(3) 1ln x y e x x ⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭；(4) 21cos y x'=；(5)y '=(ln x )′(x 2＋1)－ln x (x 2＋1)′(x 2＋1)2＝1x (x 2＋1)－2x ln x (x 2＋1)2＝x 2＋1－2x 2ln xx (x 2＋1)2； (6) 52ln 251x y x '=+-.变式1、求下列函数的导数．(1)y ＝x 2sin x ；(2)y ＝ln x ＋1x ； (3)y ＝cos x e x .【解析】、(1)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′＝2x sin x ＋x 2cos x .(2)y ′＝⎝⎛⎭⎫ln x ＋1x ′＝(ln x )′＋⎝⎛⎭⎫1x ′＝1x －1x 2.(3)y ′＝⎝⎛⎭⎫cosx e x ′＝(cos x )′e x－cos x (e x)′(e x )2＝－sin x ＋cos x e x . 变式2、求下列函数的导数： (1)f (x )＝x 2＋xe x ；(2)f (x )＝x 3＋2x －x 2ln x －1x 2； (3)y ＝x sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2.【解析】、(1)f ′(x )＝（2x ＋1）e x －（x 2＋x ）e x （e x ）2＝1＋x －x 2e x . (2)由已知f (x )＝x －ln x ＋2x －1x 2. ∴f ′(x )＝1－1x －2x 2＋2x 3＝x 3－x 2－2x ＋2x 3. (3)∵y ＝x sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝12x sin(4x ＋π)＝－12x sin 4x ， ∴y ′＝－12sin 4x －12x ·4cos 4x ＝－12sin 4x －2x cos 4x .方法总结：求函数导数的总原则：先化简解析式，再求导．注意以下几点：连乘形式则先展开化为多项式形式，再求导；三角形式，先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导；分式形式，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；复合函数，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元考向二 求导数的切线方程例2、(1)函数ln 2()x xf x x-=的图象在点(1,2)P -处的切线方程为__________． (2)函数f (x )＝ln x ＋ax 的图象存在与直线2x －y ＝0平行的切线，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2] B ．(－∞，2) C ．(2，＋∞)D ．(0，＋∞)【答案】 (1)x －y －3＝0 (2)B【解析】 (1)f ′(x )＝1－ln xx 2，则f ′(1)＝1，故该切线方程为y －(－2)＝x －1，即x －y －3＝0.（2）函数f (x )＝ln x ＋ax 的图象存在与直线2x －y ＝0平行的切线，即f ′(x )＝2在(0，＋∞)上有解．所以f ′(x )＝1x ＋a ＝2在(0，＋∞)上有解，则a ＝2－1x .因为x >0，所以2－1x <2，所以a 的取值范围是(－∞，2)．变式1、(1)已知曲线S ：y ＝－23x 3＋x 2＋4x 及点P(0，0)，那么过点P 的曲线S 的切线方程为____．(2)已知函数f(x)＝x ln x ，过点A(－1e 2，0)作函数y ＝f(x)图像的切线，那么切线的方程为____．【答案】（1）y ＝4x 或y ＝358x（2）x ＋y ＋1e 2＝0【解析】 (1)设过点P 的切线与曲线S 切于点Q(x 0，y 0)，则过点Q 的曲线S 的切线斜率为k ＝y ′|x ＝x 0＝－2x 20＋2x 0＋4，又当x 0≠0时，k PQ ＝y 0x 0，∴－2x 20＋2x 0＋4＝y 0x 0. ①∵点Q 在曲线S 上，∴y 0＝－23x 30＋x 20＋4x 0.②将②代入①得－2x 20＋2x 0＋4＝－23x 30＋x 20＋4x 0x 0，化简，得43x 30－x 20＝0，∴x 0＝34或x 0＝0， 当x 0＝34时，则k ＝358，过点P 的切线方程为y ＝358x.当x 0＝0时，则k ＝4，过点P 的切线方程为y ＝4x ，故过点P 的曲线S 的切线方程为y ＝4x 或y ＝358x. (2)设切点为T(x 0，y 0)，则k AT ＝f′(x 0)， ∴x 0ln x 0x 0＋1e 2＝ln x 0＋1，即e 2x 0＋ln x 0＋1＝0. 设h(x)＝e 2x ＋ln x ＋1，则h′(x)＝e 2＋1x ，当x>0时，h ′(x)>0，∴h(x)在(0，＋∞)上是单调增函数，∴h(x)＝0最多只有一个根. 又h ⎝⎛⎭⎫1e 2＝e 2×1e 2＋ln 1e 2＋1＝0，∴x 0＝1e 2.由f′(x 0)＝－1得切线方程是x ＋y ＋1e 2＝0.变式2、已知函数f(x)＝x 3＋x －16.(1)求曲线y ＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；(2)若直线l 为曲线y ＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标；(3)如果曲线y ＝f(x)的某一切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，求切点坐标与切线方程．【解析】 (1)由函数f(x)的解析式可知点(2，－6)在曲线y ＝f(x)上，∴f ′(x)＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1， ∴在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f′(2)＝13， ∴切线的方程为y －(－6)＝13(x －2)， 即y ＝13x －32.(2)(方法1)设切点为(x 0，y 0)， 则直线l 的斜率为f′(x 0)＝3x 20＋1，∴直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16. 又∵直线l 过点(0，0)，∴0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16， 整理得x 30＝－8，∴x 0＝－2， ∴y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26， f ′(－2)＝3×(－2)2＋1＝13，故直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)．(方法2)设直线l 的方程为y ＝kx ，切点坐标为(x 0，y 0)，则k ＝y 0－0x 0－0＝x 30＋x 0－16x 0. 又∵k ＝f′(x 0)＝3x 20＋1， ∴x 30＋x 0－16x 0＝3x 20＋1，解得x 0＝－2， ∴y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，k ＝3×(－2)2＋1＝13，∴直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)．(3)∵曲线f(x)的某一切线与直线y ＝－x4＋3垂直，∴该切线的斜率k ＝4.设切点的坐标为(x 0，y 0)， 则f′(x 0)＝3x 20＋1＝4，∴x 0＝±1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1，y 0＝－14或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，y 0＝－18.故切线方程为y －(－14)＝4(x －1)或y －(－18)＝4(x ＋1)，即y ＝4x －18或y ＝4x －14.方法总结： 利用导数研究曲线的切线问题，一定要熟练掌握以下三点：(1)函数在切点处的导数值是切线的斜率，即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点坐标． (2)切点既在曲线上，又在切线上，切线还有可能和曲线有其它的公共点．(3)曲线y ＝f(x)“在”点P(x 0，y 0)处的切线与“过”点P(x 0，y 0)的切线的区别：曲线y ＝f(x)在点P(x 0，y 0)处的切线是指点P 为切点，若切线斜率存在，切线斜率为k ＝f′(x 0)，是唯一的一条切线；曲线y ＝f(x)过点P(x 0，y 0)的切线，是指切线经过点P ，点P 可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．考向三 导数几何意义的应用例3、已知函数32()3611f x ax x ax =+--，2()3612g x x x =++和直线:9m y kx =+，且(1)0f '-=．(1)求a 的值；(2)是否存在k ，使直线m 既是曲线()y f x =的切线，又是曲线()y g x =的切线？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由．【解析】：(1)由已知得f ′(x )＝3ax 2＋6x －6a ， ∵f ′(－1)＝0，∵3a －6－6a ＝0，∵a ＝－2. (2)存在．由已知得，直线m 恒过定点(0,9)，若直线m 是曲线y ＝g (x )的切线，则设切点为(x 0,3x 20＋6x 0＋12)．∵g ′(x 0)＝6x 0＋6， ∵切线方程为y －(3x 20＋6x 0＋12)＝(6x 0＋6)(x －x 0)，将(0,9)代入切线方程，解得x 0＝±1.当x 0＝－1时，切线方程为y ＝9； 当x 0＝1时，切线方程为y ＝12x ＋9.由(1)知f (x )＝－2x 3＋3x 2＋12x －11， ∵由f ′(x )＝0得－6x 2＋6x ＋12＝0，解得x ＝－1或x ＝2. 在x ＝－1处，y ＝f (x )的切线方程为y ＝－18；在x ＝2处，y ＝f (x )的切线方程为y ＝9，∵y ＝f (x )与y ＝g (x )的公切线是y ＝9. ∵由f ′(x )＝12得－6x 2＋6x ＋12＝12，解得x ＝0或x ＝1. 在x ＝0处，y ＝f (x )的切线方程为y ＝12x －11； 在x ＝1处，y ＝f (x )的切线方程为y ＝12x －10； ∵y ＝f (x )与y ＝g (x )的公切线不是y ＝12x ＋9.综上所述，y ＝f (x )与y ＝g (x )的公切线是y ＝9，此时k ＝0.变式1、已知函数()()3cos2sin 2,,4f x x x x a f f x π⎛⎫''=++= ⎪⎝⎭是()f x 的导函数，则过曲线3y x =上一点(),P a b 的切线方程为__________________．变式2：若直线2y x m =+是曲线ln y x x =的切线，则实数m 的值为________． 【答案】：(1)3x －y －2＝0或3x －4y ＋1＝0 (2)－e【解析】：(1)由f (x )＝3x ＋cos 2x ＋sin 2x 得f ′(x )＝3－2sin 2x ＋2cos 2x ， 则a ＝f ′(π4)＝3－2sin π2＋2cos π2＝1.由y ＝x 3得y ′＝3x 2，当P 点为切点时，切线的斜率k ＝3a 2＝3×12＝3.又b ＝a 3，则b ＝1，所以切点P 的坐标为(1,1)． 故过曲线y ＝x 3上的点P 的切线方程为y －1＝3(x －1)，即3x －y －2＝0.当P 点不是切点时，设切点为(x 0，x 30)，∵切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)， ∵P (a ，b )在曲线y ＝x 3上，且a ＝1，∵b ＝1.∵1－x 30＝3x 20(1－x 0)，∵2x 30－3x 20＋1＝0，∵2x 30－2x 20－x 20＋1＝0，∵(x 0－1)2(2x 0＋1)＝0，∵切点为11,28⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∵此时的切线方程为131842y x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭， 综上，满足题意的切线方程为3x －y －2＝0或3x －4y ＋1＝0. (2)设切点为(x 0，x 0ln x 0)，由y ′＝(x ln x )′＝ln x ＋x ·1x ＝ln x ＋1，得切线的斜率k ＝ln x 0＋1，故切线方程为y －x 0ln x 0＝(ln x 0＋1)(x －x 0)，整理得y ＝(ln x 0＋1)x －x 0，与y ＝2x ＋m 比较得⎩⎪⎨⎪⎧ln x 0＋1＝2，－x 0＝m ，解得x 0＝e ，故m ＝－e. 变式3、(2019常州期末） 若直线kx －y －k ＝0与曲线y ＝e x (e 是自然对数的底数)相切，则实数k ＝________． 【答案】、 e 2【解析】、设切点A(x 0，e x 0)，由(e x )′＝e x，得切线方程为y －e x 0＝e x 0(x －x 0)，即y ＝e x 0x ＋(1－x 0)e x 0，所以⎩⎪⎨⎪⎧k ＝e x 0，－k ＝（1－x 0）e x 0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2，k ＝e 2.方法总结：1．利用导数的几何意义求参数的基本方法利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围．2．求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点 (1)注意曲线上横坐标的取值范围； (2)谨记切点既在切线上又在曲线上．1、【2020年高考全国Ⅰ卷理数】函数43()2f x x x =-的图像在点(1(1))f ，处的切线方程为 A ．21y x =-- B ．21y x =-+ C ．23y x =- D ．21y x =+【答案】B 【解析】()432f x x x =-，()3246f x x x '∴=-，()11f ∴=-，()12f '=-，因此，所求切线的方程为()121y x +=--，即21y x =-+. 故选：B ．2、【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知曲线e ln x y a x x =+在点（1，a e ）处的切线方程为y =2x +b ，则 A ．e 1a b ==-， B ．a=e ，b =1 C ．1e 1a b -==，D ．1e a -=，1b =-【答案】D【解析】∵e ln 1,x y a x '=++∴切线的斜率1|e 12x k y a ='==+=，1e a -∴=，将(1,1)代入2y x b =+，得21,1b b +==-. 故选D ．3、【2018年高考全国Ⅰ卷理数】设函数32()(1)f x x a x ax =+-+.若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为 A ．2y x =- B ．y x =- C ．2y x = D ．y x =【答案】D【解析】因为函数f(x)是奇函数，所以a −1=0，解得a =1，所以f(x)=x 3+x ，f′(x)=3x 2+1， 所以f′(0)=1,f(0)=0，所以曲线y =f(x)在点(0,0)处的切线方程为y −f(0)=f′(0)x ，化简可得y =x . 故选D.4、【2019年高考全国Ⅰ卷理数】曲线23()e x y x x =+在点(0)0，处的切线方程为____________． 【答案】30x y -=【解析】223(21)e 3()e 3(31)e ,x x x y x x x x x '=+++=++ 所以切线的斜率0|3x k y ='==，则曲线23()e x y x x =+在点(0,0)处的切线方程为3y x =，即30x y -=5、【2018年高考全国Ⅲ卷理数】曲线()1e xy ax =+在点()0,1处的切线的斜率为2-，则a =________．【答案】−3【解析】()e 1e xxy a ax =++'，则0|12x y a ='=+=-，所以a =−3.6、【江苏省南通市2019-2020学年高三上学期期初】给出下列三个函数：①1y x=；②sin y x =；③e x y =，则直线12y x b =+(b R ∈)不能作为函数_______的图象的切线（填写所有符合条件的函数的序号）． 【答案】①【解析】直线12y x b =+的斜率为k ＝12， 对于①1y x =，求导得：'21y x =-，对于任意x≠0，21x -＝12无解，所以，直线12y x b =+不能作为切线；对于②sin y x =，求导得：'1cos 2y x ==有解，可得满足题意； 对于③x y e =，求导得：'12x y e ==有解，可得满足题意； 故答案为：①7、【江苏省南通市通州区2019-2020学年高三第一次调研抽测】已知函数()()x f x ax b e =+，若曲线y f x =（）在点(0,(0))f 处的切线方程为310x y -+=，则(1)f 的值为_______.【答案】3e【解析】因为()()x f x ax b e =+，所以((()))++=++'=x x x ax b f x ae a e x b e a ，则(0)'=+f a b ， 又曲线y f x =（）在点(0,(0))f 处的切线方程为310x y -+=，当0x =时，1y =，即(0)1f =，所以有31a b b +=⎧⎨=⎩，解得2,1a b ==.因此()(21)x f x x e =+，所以(1)3f e =.故答案为3e8、【2020届江苏省南通市如皋市高三上学期教学质量调研(二)】如图，曲线2f x x ＝在点M t f t ，处的切线为l ，直线l 与x 轴和直线1x =分别交于点P 、Q ，点()1,0N ，则PQN 的面积取值范围为_____．【答案】80,]27（ 【解析】2f x x ＝的导数为'2f x x ,在点M t f t ，处的切线斜率为2k t ,切点为2,t t ,切线方程为2201y t t x t t （）, 令1x =可得22y t t ；令0y =,可得2t x =, 则PQN 的面积为()21112222t S PN QN t t ⎛⎫=⋅=-- ⎪⎝⎭, 由211384(2)(32)44S t t t t , 当203t ＜ 时,0S ＞ ,函数S 递增；当213t ＜＜时,0S ＜ ,函数S 递减, 可得23t = 处S 取得极大值,且为最大值827, 且0t ＝时,0S ＝；1t ＝时,14S , 可得PQN 的面积取值范围为80,]27（, 故答案为：80,]27（.。
导数的四则运算法则-高二数学课件(人教A版2019选择性必修第二册)
当 = 时， = × . .
这时，求关于的导数可以看成求函数() = 与() = .
乘积的导数.
如何求两个函数的和、差、积、商的导数呢？
教学目标
难点
一
教学
目标
重点
了解函数的和、差、积、商的导数公式的
推导
易错点
二
掌握两个函数的和、差、积、商的求导法
则
纯净度为 % 左右时净化费用变化率的25倍.这说明，水的纯净度越高，
需要的净化费用就越多，而且净化费用增加的速度也越快.
小结
[() ± ()]’ = ’ () ± ’ ()
[()()]’ = ()’ () + ()()’
() ’ ()’ () − ()()’
(2)’
=
’ ( )’ − ( )’
( )=
( )
−
=
−
=
.
例题讲解
例5.日常生活中的饮用水是经过净化的.随着水的纯净度的提高，所
需净化费用不断增加.已知将 水净化到纯净度为 %时所需费用
也就是说，常数与函数的积的导数，等于常数与函数的导
数的积，即
[()]’ = ()’ .
例题讲解
例4.求下列函数的导数：
l
(1) = ；(2) =
’
.
’
解：(1) = ( )
= ( )’ + ( )’
= +
∆
∆→ ∆
=பைடு நூலகம் (∆ + + ) = +
∆→
导数的四则运算法则
法二：∵y＝(2x2－1)(3x＋1)＝6x3＋2x2－3x－1，
∴y′＝(6x3＋2x2－3x－1)′＝(6x3)′＋(2x2)′－(3x)′－(1)′＝18x2＋4x－3.
题型二 由导数值求参数 [学透用活]
[典例 2] 设 f(x)＝a·ex＋bln x，且 f′(1)＝e，f′(－1)＝1e，求 a，b 的值． [解] f′(x)＝(a·ex)′＋(bln x)′＝a·ex＋bx，
法二：设直线 l 的方程为 y＝kx，切点为(x0，y0)，则 k＝xy00－－00＝x30＋xx00－16. 又∵k＝f′(x0)＝3x20＋1，∴x30＋xx00－16＝3x20＋1，解得 x0＝－2. ∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，k＝3×(－2)2＋1＝13. ∴直线 l 的方程为 y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．
应 求在某点处的切线方程，已知切线的方程或斜率求切点，以 用 及涉及切线问题的综合应用
先求出函数的导数，若已知切点，则求出切线斜率、切线方 方 程；若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再 法 根据条件求切点坐标．总之，切点在解决此类问题时起着至
关重要的作用
[对点练清]
1．若过函数f(x)＝ln x＋ax上的点P的切线与直线2x－y＝0平行，则实数a的取值
[对点练清] 求下列函数的导数： (1)y＝x2＋xln x；(2)y＝lnx2x； (3)y＝exx；(4)y＝(2x2－1)(3x＋1)．
解：(1)y′＝(x2＋xln x)′＝(x2)′＋(xln x)′
＝2x＋(x)′ln x＋x(ln x)′＝2x＋ln x＋x·1x＝2x＋ln x＋1.
()
3．已知函数 f(x)＝ax2＋c，且 f′(1)＝2，则 a 的值为
导数的运算法则PPT教学课件
• 本节重点：导数的四则运算及其运用．
• 本节难点：导数的四则运算法则的推导．
• 1．可导函数的四则运算法则是解决函数 四则运算形式的求导法则，也是进一步学 习导数的基础，因此，必须透彻理解函数 求导法则的结构内涵，注意挖掘知识的内 在联系及规律，通过对知识的重新组合， 以达到巩固知识、提升能力的目的．
• 6 ． 函 数 y ＝ xsinx － cosx 的 导 数 为 __________________．
• [答案] 2sinx＋xcosx
• [解析] y′＝(xsinx)′－(cosx)′＝2sinx＋xcosx.
• 三、解答题
• 7．函数f(x)＝x3－x2－x＋1的图象上有两点 A得(0[函解,1析数)和] f(Bx直)(线的1,0图A)B，象的在斜在区率x＝间kABa(＝0处,－1的)1内，切f′求线(x实)＝平数3行x2a－，于2x使直
(f(x)±g(x))′＝
；
• (f(x2．)·设g函(x数))′＝f(x)、g(x)是可导函数，且 g(x)≠0．，gf((xx))′
＝
f′(x)·g(x)－f(x)·g′(x) g2(x)
.
• [例1] 求下列函数的导数：
• •
((12))(yy3)＝ ＝y＝(x1xx2＋＋sinx212x＋)；2x3(3x；－1)；
• 2．利用导数的定义推导出函数的和、差、 积的求导法则，以及常见函数的导数公式 之后，对一些简单函数的求导问题，便可 直接应用法则和公式很快地求出导数，而
• 3．应用导数的四则运算法则和常见函数 的导数公式求导数时，在可能的情况下， 应尽量少用甚至不用乘积的求导法则，应 在求导之前，先利用代数、三角恒等变形 对函数进行化简，然后再求导，这样可以 减少运算量，提高运算速度，避免差错．
导数的概念及运算
【解】 (1)设 u＝2x－3，则 y＝(2x－3)5， 由 y＝u5 与 u＝2x－3 复合而成， ∴y′＝f ′(u)·u′(x)＝(u5)′(2x－3)′＝5u4·2 ＝10u4＝10(2x－3)4.
【错解】 ∵y′＝2x， ∴过点 P(1,0)的切线的斜率 k＝y′|x＝1＝2， ∴所求切线方程为 y－0＝2(x－1)， 即 2x－y－2＝0.
求抛物线 y＝x2 过点 P(1,0)的切线方程．
【错因分析】
本题的错误在于把求过点 P 的切线方程， 【正确解答】 设抛物线 y＝x2 与过点 P(1,0)的切线切于 点 A(x0，y0)，则切线斜率 k＝2x0，
(2)直线与曲线公共点的个数不是切线的本质特征，直线与 曲线只有一个公共点，则直线不一定是曲线的切线；同样，直 线是曲线的切线，则直线也可能与曲线有两个或两个以上公共 点．
解：(1)∵A 在曲线 y＝x2 上， ∴过 A 与曲线 y＝x2 相切的直线只有一条，且 A 为切点． 由 y＝x2，得 y′＝2x，∴y′|x＝2＝4， 因此所求直线的方程为 y－4＝4(x－2)， 即 4x－y－4＝0.
(4)y＝1－1
x＋1＋1
x＝11＋－
x＋1－ x1＋
xx＝1－2 x，
∴y′＝1－2 x′＝－211－－xx2′＝1－2 x2.
初等函数复合而成的复合函数的导数，要仔 构特征，将函数分成几个初等函数的结构从
求下列复合函数的导数． (1)y＝(2x－3)5；(2)y＝ 3－x； (3)y＝sin2(2x＋π3)．
高中数学第二章函数、导数及其应用 第10节导数与导数的运算课件
【小题快练】
1.思考辨析 静心思考 判一判
(1)求f′(x0)时,可先求f(x0)再求f′(x0). ( ) (2)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点. ( )
(3)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线. ( ) (4)若f(x)=f′(a)x2+lnx(a>0),则f′(x)=2xf′(a)+ 1 .( )
①函数f(x)在x=x0处的导数:
(ⅰ)定义：称函数y=f(x)在x0点的瞬时变化率为函数y=f(x)在点x0的
导数，通常用f′(x0)表示,记作
f′(x0)=
lim f (x1) f (x0 ) =
x1x0 x1 x0
lim f (x0 x) f (x0 )
x0
x
.
(ⅱ)几何意义:
函数y=f(x)在x0处的导数，是曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处的切线 的斜率.相应地，切线方程为_y_-_f_(_x_0_)_=_f_′__(_x_0)_(_x_-_x_0_)_.
③[
f x
g(x)
f (x)g(x) f (x)g(x)
]′＝
［g(x)］2
(g(x)≠0).
(5)复合函数的导数:
复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为 yx′=_y_u_′_·__u_x_′__.
2.必备结论 教材提炼 记一记 (1)曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线是以点P(x0,y0)为切点,以 f′(x0)为斜率的直线,而曲线y=f(x)过点P(x0,y0)的切线,点P(x0,y0) 不一定是切点. (2)函数y=f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势,其正 负号反映了变化的方向,其大小|f′(x)|反映了变化的快 慢,|f′(x)|越大,曲线在这点处的切线越“陡”.
导数的概念及其运算
5.(2010·新课标全国)曲线y=x3-2x+1在点(1,0)处的切线方程为
()
A.y=x-1
B.y=-x+1
C.y=2x-2
D.y=-2x+2
解析:由题可知,点(1,0)在曲线y=x3-2x+1上,求导可得y′=3x2-2, 因此在点(1,0)处的切线的斜率k=1,切线过点(1,0),根据直线 的点斜式可得切线方程为y=x-1,故选A.
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3
y
(lnx)( x 2
1) (x2
lnxo(x2 1)2
1)
1 (x2 1) lnx 2x x (x2 1)2
x2 1 2x2 lnx x(x2 1)2 ;
4 y 3sin2x 2 ?sin2x 6sin2 2xcos2x.
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类型三
导数的几何意义及应用
式求导. (2)以根式或分式形式出现的函数求导问题,先化成指数的形
式再运用公式求导. (3)比较复杂的函数,往往需要先化简再求导. (4)对于某些没有给出求导公式的函数,能够先化为有求导公
式的函数表达再求导.
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补充作业：
1.求下列函数的导数 :
(1) y 1 1 ;(2) y sin x (1 2 cos2 x );(3) y e x 1.
解题准备:求曲线切线方程的环节是:
①求导数f′(x);
②求斜率k=f′(x0);
③写出切线方程y-y0=f′(x0)(x-x0).但是要注意,当函数 f(x)在x=x0处不可导时,曲线在该点处并不一定没有切 线,同时还必须明确P(x0,y0)为切点.
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导数公式及其运算法则
导数公式及其运算法则导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在特定点处的变化率。
导数的公式及其运算法则包括如下几类：基本导数公式、常数倍法则、和差法则、乘法法则、除法法则、复合函数法则、反函数法则和链式法则。
一、基本导数公式：1.常数函数：对于常数函数f(x)=c，其导数为f'(x)=0。
例如，f(x)=7的导数为f'(x)=0。
2.幂函数：对于幂函数f(x)=x^n，其中n是任意实数，其导数为f'(x)=n*x^(n-1)。
例如，f(x)=x^3的导数为f'(x)=3*x^23. 指数函数：对于指数函数 f(x) = a^x，其中 a 是任意正常数且a≠1，其导数为 f'(x) = ln(a)*a^x。
例如，f(x) = 2^x 的导数为 f'(x) = ln(2)*2^x。
4. 对数函数：对于对数函数 f(x) = log_a(x)，其中 a 是任意正常数且a≠1，其导数为 f'(x) = 1/(x*ln(a))。
例如，f(x) = log_2(x)的导数为 f'(x) = 1/(x*ln(2))。
5. 三角函数：对于三角函数 f(x) = sin(x)，其导数为 f'(x) =cos(x)。
同样地，cos(x) 的导数为 -sin(x)，tan(x) 的导数为sec^2(x)，cot(x) 的导数为 -csc^2(x)。
二、常数倍法则：若函数 f(x) 和 g(x) 都是可导函数，c 是常数，则 (cf(x))' =cf'(x)。
三、和差法则：若函数f(x)和g(x)都是可导函数，则(f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)和(f(x)-g(x))'=f'(x)-g'(x)。
四、乘法法则：若函数f(x)和g(x)都是可导函数，则(f(x)*g(x))'=f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)。
导数的四则运算法则课件
【错因】忽略 f′(x)与 f′(x0)的区别，f′(x)是导数，而 f′(x0)是函数值， 即常量，题中 f′－31是函数 f(x)的解析式中一次项 x 的系数，应用多项式 的求导法求导时，一次项部分的导数是一个常数．
【正解】因为 f(x)＝x2＋2f′－13x， 所以 f′(x)＝2x＋2f′－31， 所以 f′－13＝2×－31＋2f′－31， 所以 f′－13＝－2×－13＝23， 即 f′－31的值为23.
3．已知函数f(x)＝xln x，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x) 相切，则直线l的方程为__________．
【答案】x－y－1＝0 【解析】因为点(0，－1)不在曲线 f(x)＝xln x 上，所以设切点为(x0， y0)．又因为 f′(x)＝1＋ln x，所以直线 l 的方程为 y＋1＝(1＋ln x0)x.所以由 yy00＝ ＋x10＝ln(x10＋，ln x0)x0，解得 x0＝1，y0＝0，所以直线 l 的方程为 y＝x－1， 即 x－y－1＝0.
B．(x2ex)′＝(x2)′ex＋x2(ex)′＝2xex＋x2ex＝(2x＋x2)ex
C．lnx2x′＝(ln
x)′x2－(ln (ln x)2
x)(x2)′＝1x·x2－(ln(lxn)2x)·2x＝x－ln2x2xln
x
D．x3－1x′＝(x3)′－(x－1)′＝3x2＋x12
【答案】C
【解析】对于 A，(x2＋2x)′＝(x2)′＋(2x)′＝2x＋2xln 2，正确；对于 B，
在求导时，对于简单的和、差、商、积可以直接求导；但有些函数 表面形式为函数的商或积，直接求导比较烦琐且易出错，可先将函数化 简，然后再求导．
1．求下列函数的导数：
高考数学难点突破_难点34__导数的运算法则及基本公式应用
高考数学难点突破_难点34__导数的运算法则及基本公式应用导数的运算法则是研究导数的基本运算规则和规律，包括加法、减法、乘法、除法、复合函数等运算法则。
基于这些运算法则，我们可以快速准确地求出导数。
一、加法法则（1）导数的加法法则：设函数f(x)和g(x)都在点x处可导，则它们的和函数(f+g)(x)在点x处的导数等于f(x)在点x处的导数与g(x)在点x处的导数的和。
即：(f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)（2）减法法则：设函数f(x)和g(x)都在点x处可导，则它们的差函数(f-g)(x)在点x处的导数等于f(x)在点x处的导数减去g(x)在点x处的导数。
即：(f-g)'(x)=f'(x)-g'(x)二、乘法法则（1）导数的乘法法则：设函数f(x)和g(x)都在点x处可导，则它们的积函数(f·g)(x)在点x处的导数等于f(x)在点x处的导数乘以g(x)，再加上f(x)乘以g(x)在点x处的导数。
即：(f·g)'(x)=f'(x)·g(x)+f(x)·g'(x)三、除法法则（1）导数的除法法则：设函数f(x)和g(x)都在点x处可导，且g(x)≠0，则它们的商函数(f/g)(x)在点x处的导数等于[f'(x)·g(x)-f(x)·g'(x)]/(g(x))^2即：(f/g)'(x)=[f'(x)·g(x)-f(x)·g'(x)]/(g(x))^2四、复合函数的求导法则记y=f(u)，u=g(x)，即y=f(g(x))，其中f(u)和g(x)都是可导函数，则复合函数y的导数可以通过链式法则求得。
链式法则：若y = f(u)，u = g(x)，则dy/dx = dy/du · du/dx，即d y/dx = f'(u) · g'(x)以上是导数的基本运算法则及其应用。
2.10 导数的概念及其运算法则
问题探究（一）：利用函数在点处的导数求值 例1. 已知f ( x0 ) 10，求下列各式的值： f ( x0 3x) f ( x0 x) (3) lim . x 0 x
问题探究（二）：利用导数求曲线的切线方程 例2. 利用函数的导数求下列各曲线的切线方程：
(1)求函数f ( x) x 3 2 x 2 2 x 1在点P (1 2)的切 ， 线方程；
问题探究（一）：利用函数的根求函数的零点 例1. 利用函数的根求函数的零点：
(3)已知函数f ( x) x 3 4 x 2 x 6的一个零点为 1 ，求函数f ( x)的其它零点.
问题探究（二）：利用函数的零点求参数的值 例2. 已知函数f ( x) ( m 1) x 2 2mx m 1. (1)若函数f ( x)有且仅有一个零点，求实数m的 值；
问题探究（二）：利用导数求曲线的切线方程 例2. 利用函数的导数求下列各曲线的切线方程： 2 (2)求函数f ( x) 1过点P(2， )的切线方程. 1 x
问题探究（一）：利用函数的根求函数的零点 例1. 利用函数的根求函数的零点：
( 2)已知函数f ( x) ( 2m 1) x 2 3mx m 5的一 个零点为1 ，求函数f ( x )的所有的零点；
问题探究（四）：判定函数的零点所在区间 例5. 根据下列表格中的数据，可以判定函数f ( x)
e x 2的一个零点所在区间：
x
x ex
1 0.37
0 1 2
1 2.72 3
2 7.39 4
3 20.9 5
x2 1
问题探究（四）：判定函数的零点所在区间 1 x 例6. 已知函数f ( x) ( ) log 2 x. 2 (1)试判定函数f ( x)的零点的个数；
导数的概念与基本运算
导数的概念与基本运算导数是微积分学中的重要概念，用以描述函数在某一点的变化率。
导数的概念和基本运算是学习微积分的基础，本文将介绍导数的定义、求导法则以及一些常见函数的导数，帮助读者掌握导数的概念与基本运算。
一、导数的定义函数的导数描述了函数在某一点附近的变化率，可以用数学符号表示为f'(x)。
在微积分中，导数的定义是：f'(x) = lim[∆x→0] (f(x+∆x) - f(x))/∆x其中，∆x表示自变量x的一个增量。
这个定义意味着当∆x无限趋近于0时，函数f(x)在点x处的变化率就可用导数f'(x)来表示。
二、求导法则对于常见的函数形式，可以利用求导法则来求导。
以下是一些常见的求导法则：1. 常数法则：如果f(x)是一个常数，那么它的导数f'(x)等于0。
2. 幂函数法则：如果f(x) = x^n (n为实数)，那么它的导数f'(x) =nx^(n-1)。
3. 指数函数法则：如果f(x) = a^x (a>0, a≠1)，那么它的导数f'(x) =a^x ln(a)。
4. 对数函数法则：如果f(x) = ln(x)，那么它的导数f'(x) = 1/x。
5. 三角函数法则：如果f(x) = sin(x)，那么它的导数f'(x) = cos(x)，同样适用于cos(x)和tan(x)等三角函数。
6. 反函数法则：如果g(x)是函数f(x)的反函数，那么g'(x) =1/f'(g(x))。
以上是一些常见的求导法则，通过应用这些法则，可以求得更复杂函数的导数。
三、常见函数的导数除了常见的求导法则，还有一些特殊函数的导数需要记住。
以下列举了一些常见函数及其导数：1. 多项式函数：- f(x) = a0 + a1x + a2x^2 + ... + anx^n，其中a0, a1, ..., an为常数。
- f'(x) = a1 + 2a2x + 3a3x^2 + ... + nanx^(n-1)2. 指数函数：- f(x) = e^x- f'(x) = e^x3. 对数函数：- f(x) = ln(x)- f'(x) = 1/x4. 三角函数：- f(x) = sin(x)- f'(x) = cos(x)- f(x) = cos(x)- f'(x) = -sin(x)- f(x) = tan(x)- f'(x) = sec^2(x)通过记住这些函数的导数公式，可以简化函数的求导过程。
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1 (a, b Z ) ，曲线 y f ( x) 在点 (2, f (2)) 处的切线 xb
方程为 y 3 。 （1）求 y f ( x) 的解析式； （2）证明：曲线 y f ( x) 的图像是 一个中心对称图形，并求其对称中心； （3）证明：曲线 y f ( x) 上任一点处的 切线与直线 x 1 和直线 y x 所围三角形的面积为定值，并求出此定值。
2
题型二： 利用导数公式求导数 例：求下列函数的导数 （1） y x 2 sin x （2） y
ex 1 ; ex 1
y
lnx x 1
（3） y (3x3 4 x)(2 x 1) （4） y ln(3x 2) e2 x1
教 学 过 程 变式：求函数 y
2
x 在 x 1 处的导数。
f ( x0 k ) f ( x0 ) __________ 2k
3. 一质点 的运动 方程 s 5 3t ，则 在一段 时间 [ 1,1 t ] 内相应的 平均速 度为 ______；质点在 t=1 的瞬时速度为_____________. 4. 已知可导函数 f ( x ) 的导函数 f '( x) ，且满足 f ( x) 3x2 2 xf '(2) ，则 f '(5) ＝ _____________
2. 已知曲线 y
1 x2 3Inx 的一条切线的斜率为 ，则切点的横坐标为_______ 2 4
3. 设 P 为曲线 C： y x2 2x 3 上的点，且曲线 C 在点 P 处切线的倾斜角的取值 范围是 [0,
4
] ，则点 P 的横坐标的取值范围为_____________
教 4. 过原点作曲线 y e x 的切线，则切点的坐标为_______；切线方程为_______ 学 过 程 例 2．设函数 f ( x) ax
y = x
无限趋近于一个常数 A ,则称 f(x) 在 x=x0 处
,
并称常数 A 为函数 f(x)在点 x=x0 处的 时，
,记作 f '( x0 ) .可表示为“当 Δx →0
f ( x0 x) f ( x0 ) A” ． x
教 学 过 程
(2)几何意义 函 数 f(x) 在 点 x0 处 的 导 数 f′ (x0) 的 几 何 意 率． 3．导函数 若 f(x)对于区间(a，b)内任一点都可导，则 f(x)在各点的导数也随着自变量 x 的变化 而变化，因而也是自变量 x 的函数，该函数称为 f(x)的导函数，记作 f′ (x)． 4．基本初等函数的导数公式
1 3 1 2 5 x＋ x 在点 T(1, )处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 3 2 6
_________. 4.求下列函数的导数： (1)y＝(1- x )(1＋
1 )，则 y′=_______； x
(2)y＝
ln x ，则 y′=________； x
(3)y＝tanx，则 y′=_________; (4)y=xe1-cosx，则 y′=________. 题型一： 利用导数的定义求导函数 例 1：利用导数的定义求函数 y 教 学 过 程 变式： 1.函数 f ( x) 2 x b 在区间[m,n]上的平均变化率为___________ 2.若 f '( x0 ) 2 ，则当 k 无限趋近于 0 时，
5.导数运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′ ＝ (2)[cf(x)]′ ＝ (3)[f(x)· g(x)]′ ＝
； (c 为常数)； ； (g(x)≠0)．
f ( x) (4) ＝ g ( x)
'
1
基础自测: 1.已知函数 f(x)＝sinx＋lnx，则 f′(1)的值为______. 2.已知 f(x)=x2+3xf′(2),则 f ′(2)=______. 3.曲线 y＝
1 1 的导数 1 x 1 x
题型三：导数的几何意义用在几何上的应用 例 1：已知曲线 y
1 3 4 x 3 3
.
(1)求曲线在点 P(2,4)处的切线方程； (2)求曲线过点 P(2,4)的切线方程； (3)求满足斜率为 1 的曲线的切线方程.
3
变式：1.求曲线 y ln(2 x 1) 上的点到直线 2 x y 3 0 的最短距离。
课题
导数的概念及运算
编号
10
了解导数的概念，理解导数的几何意义，能用导数定义，求函数 y＝c，y＝x， 教学目标 y＝x2，y＝
1 的导数，能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则 x
求简单函数的导数． 教学方法 教学重、难点 讲练结合 同上 方法提炼
教材回顾: 1．平均变化率 函数 f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为 . 2．导数及其几何意义 (1)定义 设函数 y＝f(x) 在区间(a，b) 上有定义, x0 (a，b),当 Δx 无限趋近于 0 时，比 值
变 式 ： 若 曲 线 y x2 ax b 在 点 （ 0.b ） 处 的 切 线 方 程 是 x y 1 0 ， 则 a=_________, b=____________
作 业 教 学 反 思
配套练习
课 堂 小 结
4