事故树计算题

k
1 q i
•公式中的第二项 “减去各最小径集P实现的概率的和”（将 各最小径集中的基本事件不发生的概率积 相加）；但有重 复计算的情况，因此， •在第二项中 “加上每两个最小径集同时实现的概率”（将 每两个最小径集并集中的各基本事件不发生的概率积 相 加）；还有重复计算的情况， •在第三项 “减去每三个最小径集同时实现的概率” （将每 三个最小径集并集的基本事件不发生的概率积 相加） ； •以此类推，加减号交替，直到最后一项 “计算所有最小径 集同时实现的概率”
2．但当事故树含有重复出现的基本事件时， 或基本事件可能在几个最小割集中重复 出现时，最小割集之间是相交的，这时， 应按以下几种方法计算。
① 最小割集法 • 事故树可以用其最小割集的等效树来表示。这 时，顶上事件等于最小割集的并集。 • 设某事故树有 K个最小割集：E1 、E2 、…、 Er、…、Ek，则有：
二、顶上事件发生的概率 1．如果事故树中不含有重复的或相同的基本事 件，各基本事件又都是相互独立的，顶上事件 发生的概率可根据事故树的结构，用下列公式 求得。 • 用“与门”连接的顶事件的发生概率为：
P (T )

i 1
n
qi
• 用“或门”连接的顶事件的发生概率为：
P (T ) 1
(1 q
• xi基本事件的概率重要度系数：
I g i
P (T ) qi
• 式中：P（T）—顶事件发生的概率； qi —第i个基本事件的发生概率。 • 利用上式求出各基本事件的概率重要度 系数，可确定降低哪个基本事件的概率 能迅速有效地降低顶事件的发生概率。
例如：某事故树共有2个最小割集：E1=｛X1，X2｝， E2=｛X2，X3｝。已知各基本事件发生的概率为： q1=0.4； q2=0.2； q3=0.3；排列各基本事件的概率重 要度，
1、列出顶上事件 发生的概率表达式
2、展开，消除每个概率积中 的重复的概率因子 qi ·qi=qi
3、将各基本事件的概率值带 入，计算顶上事件的发生概率 如果各个最小割集中彼此不存在重复的基本事 件，可省略第2步
最小径集法
• 根据最小径集与最小割集的对偶性，利 用最小径集同样可求出顶事件发生的概 率。 • 设某事故树有k个最小径集：P1、P2、…、 Pr、…、Pk。用Dr（r=1，2，…，k）表 示最小径集不发生的事件，用 表示顶 上事件不发生。 T
P (T ) 1 (1 0.5 0.2) (1 0.2 0.5 0.5) 0.145
P (T ) 1 (1 q1 q 2 q 2 q 3 q 4 q 1 q 2 q 2 q 3 q 4 ) q1 q 2 q 2 q 3 q 4 q1 q 2 q 3 q 4 0 .5 0 .2 0 .2 0 .5 0 .5 0 .2 0 .5 0 .5 0 .5 0 .1 2 5

E 2 E3 Ek
k
qi
• 式中：r、s、k—最小割集的序号，r＜s＜k；
i — 基本事件的序号， 1≤r＜s≤k—k个最小割集中第r、s两个割集的组合 顺序；
x i E r—属于第r个最小割集的第i个基本事件； —属于第r个或第s个最小割集的第i个基 xi E r E s 本事件。
例如：某事故树共有3个最小割集：试用 最小割集法计算顶事件的发生的概率。 E1=｛X1，X2， X3 ｝， E2=｛X1，X4 ｝ E3=｛X3，X5｝ 已知各基本事件发生的概率为： q1=0.01； q2=0.02； q3=0.03； q4=0.04； q5=0.05 求顶上事件发生概率？
P (T )

k
qi
r 1 xi E r
1 r s k xi E r


Es
q i ( 1)
k 1 r 1 x i E1

E 2 E3 Ek
k
qi
E1=｛X1，X2， X3 ｝， E2=｛X1，X4 ｝ E3=｛X3，X5｝
P (T ) q1 q 2 q 3 q1 q 4 q 3 q 5 q1 q 2 q 3 q 4 q1 q 2 q 3 q 5 q1 q 3 q 4 q 5 q1 q 2 q 3 q 4 q 5 0 .0 0 1 9 0 4 8 7 2
P ( T ) 1 [(1 q 1 )(1 q 3 ) (1 q 1 )(1 q 5 ) (1 q 3 )(1 q 4 ) (1 q 2 )(1 q 4 )(1 q 5 )] [(1 q 1 )(1 q 3 )(1 q 5 ) (1 q 1 )(1 q 3 )(1 q 4 ) (1 q 1 )(1 q 2 )(1 q 3 )(1 q 4 )(1 q 5 ) (1 q 1 )(1 q 5 )(1 q 3 )(1 q 4 ) (1 q 1 )(1 q 2 )(1 q 4 )(1 q 5 ) (1 q 2 )(1 q 3 )(1 q 4 )(1 q 5 )] [(1 q 1 )(1 q 3 )(1 q 4 )(1 q 5 ) (1 q 1 )(1 q 2 )(1 q 3 )(1 q 4 )(1 q 5 ) (1 q 1 )(1 q 2 )(1 q 3 )(1 q 4 )(1 q 5 ) (1 q 1 )(1 q 2 )(1 q 3 )(1 q 4 )(1 q 5 )] (1 q 1 )(1 q 2 )(1 q 3 )(1 q 4 )(1 q 5 )
• 事故树的概率重要度分析是依靠各基 本事件的概率重要度系数大小进行定 量分析。所谓概率重要度分析，它表 示第i个基本事件发生的概率的变化引 起顶事件发生概率变化的程度。 • 由于顶上事件发生概率函数是n个基 本事件发生概率的多重线性函数 • 对自变量qi 求一次偏导，即可得到该 基本事件的概率重要度系数。
P (T )

k
qi
r 1 xi E r
1 r s k xi E r


Es
q i ( 1)
k 1 r 1 x i E1

E 2 E3 Ek
k
qi
公式中的第一项 “求各最小割集E的发生概率的和”（将各最 小割集中的基本事件的概率积 相加）；但有重复计算的情况， 因此， 在第二项中 “减去每两个最小割集同时发生的概率”（将每两 个最小割集并集的基本事件的概率积 相加）；还有重复计算 的情况， 在第三项 “加上每三个最小割集同时发生的概率” （将每三 个最小割集并集的基本事件的概率积 相加） ； 以此类推，加减号交替，直到最后一项 “计算所有最小割集同 时发生的概率”
P ( T ) PP 1 PP 2 [1 (1 q 1 )(1 q 2 )][(1 (1 q 2 )(1 q 3 )] ( q 1 q 2 q 1 q 2 )( q 2 q 3 q 2 q 3 ) q1 q 2 q1 q 3 q1 q 2 q 3 q 2 q 2 q 2 q 3 q 2 q 2 q 3 q1 q 2 q 2 q1 q 2 q 3 q1 q 2 q 2 q 3 q1 q 2 q1 q 3 q1 q 2 q 3 q 2 q 2 q 3 q 2 q 3 q1 q 2 q1 q 2 q 3 q1 q 2 q 3 q1 q 3 q1 q 2 q 3 q 2 0 .5 0 . 5 0 .5 0 .2 0 .5 0 .2 0 .4
1 r s k x i Pr Ps
1 q 1
i
k 1
r 1 x i P1 P2 P3 Pk

k
1 q i
式中：Pr —最小径集（r=1，2，……k）； r、s—最小径集的序数，r<s； k—最小径集数； （1-qr）—第i个基本事件不发生的概率； x i p r —属于第r个最小径集的第i个基本事件；
1、列出定上事件 发生的概率表达式
2、展开，消除每个概率积中的重 复的概率因子 (1-qi )·(1-qi)=1-qi
3、将各基本事件的概率值带 入，计算顶上事件的发生概率 如果各个最小径集中彼此不存在重复的基本事 件，可省略第2步
例如：某事故树共有2个最小径集：P1=｛X1，X2｝， P2=｛X2，X3｝。已知各基本事件发生的概率为： q1=0.5； q2=0.2； q3=0.5；求顶上事件发生概率？
x i p r p s —属于第r个或第s个最小径集的第i个
基本事件
P (T ) 1
1 q
i r 1 x i Pr
k
1 r s k x i Pr Ps
1 q 1
i
k 1
r 1 x i P1 P2 P3 Pk
T .
P1 + P2 +
X1
X2
X2
X3
三、基本事件的概率重要度
• 基本事件的重要度：一个基本事件对顶 上事件发生的影响大小。 • 基本事件的结构重要度分析只是按事故 树的结构分析各基本事件对顶事件的影 响程度，所以，还应考虑各基本事件发 生概率对顶事件发生概率的影响，即对 事故树进行概率重要度分析。
例如：某事故树共有4个最小径集， P1=｛X1，X3 ｝， P2=｛X1，X5 ｝, P3=｛X3，X4｝, P3=｛ X2， X4，X5｝ 已知各基本事件发生的概率为： q1=0.01； q2=0.02； q3=0.03； q4=0.04； q5=0.05 试用最小径集法求顶上事件发生概率？
P (T ) 1
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T
• 顶上事件发生概率为：
E
r 1
r
P (T ) P E r r 1
k
• 化简，顶上事件的发生概率为：
P (T )

k
qi
r 1 xi E r
1 r s k xi E r


Es
q i ( 1)
k 1 r 1 x i E1
i 1
n
i
)
• 式中：qi——第i个基本事件的发生概率（i=1， 2，……n）。
例如：某事故树共有2个最小割集： E1=｛X1，X2｝， E2=｛X2，X3，X4 ｝。 已知各基本事件发生的概率为： q1=0.5； q2=0.2； q3=0.5； q4=0.5； 求顶上事件发生概率？
T
+
E1
E2
1 q
i r 1 x i Pr
k
1 r s k x i Pr Ps
1 q 1
i
k 1
r 1 x i P1 P2 P3 Pk

k
1 q i
P1=｛X1，X3 ｝， P2=｛X1，X5 ｝, P3=｛X3，X4｝, P3=｛ X2， X4，X5｝
.
X1 X2 X2
.
X3 X4
P (T ) 1 (1 PE i ) 1 (1 PE 1 ) (1 PE 2 )
i 1
2
1 (1 q i ) (1 q i )
i 1 i 1
2
3
1 (1 q 1 q 2 ) (1 q 2 q 3 q 4 )
• 由最小径集定义可知，只要k个最小径集 中有一个不发生，顶事件就不会发生， 则：
k
T
D
r 1
r
1 P (T ) P D r r 1
k
• 故顶上事件发生的概率：
P (T ) 1
1 q
i r 1 x i Pr
k