黑龙江大庆实验中学高三上学期第一次月考数学(理)试题含答案
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（i）建立 关于 的回归方程；
（ii）用所求的回归方程估计该公司应投入多少营销费，才能使得该产品一年的收益达到最大？
（收益=销售利润-营销费用，取 ）.
参考公式：对于一组数据 ，其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 ， .
22.（本题12分）已知正实数a，函数 ， ．
（1）讨论函数 的单调性；
（2）该公司为了解年营销费用 （单位：万元）对年销售量 （单位：万件）的影响，对近5年的年营销费用 ，和年销售量 数据做了初步处理，得到的散点图（如图2）及一些统计量的值.
16.30
24.87
0.41
1.64
表中 ， ， ， .
根据散点图判断， 可以作为年销售量 （万件）关于年营销费用 （万元）的回归方程.
D．对于任意向量 ，必有
7．若 ，则 （ ）
A． B． C． 或 D． 或
8．函数 图象大致为( )
A． B．
C． D．
9．若把单词“error"的字母顺序写错了，则可能出现的错误写法的种数为（ ）
A．17B．18C．19D．20
10．已知函数 ， ， ，若 的最小值 ，且 的图象关于点 对称，则函数 的所有对称轴中，离原点最近的对称轴方程为（ ）
4．对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其线性相关系数比较，正确的是（ ）
线性相关系数为 线性相关系数为 线性相关系数为 线性相关系数为
A． B．
C． D．
5．已知在等比数列 中， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
6．下列说法中正确的是（ ）
A．平行向量不一定是共线向量
B．单位向量都相等
C．若 满足 且 与 同向，则
令 ， ， ，则 ，由表中数据可得，
则 ，
所以， ，
即 ，
因为 ，所以
（ii）设年收益为 万元，则 ，
设 ， ，
则 ，
当 时， ， 在 单调来自百度文库增，
当 时， ， 在 单调递减，
所以，当 ，即 时， 有最大值为768，
即该厂应投入256万元营销费，能使得该产品一年的收益达到最大768万元.
22.【答案】（1）当 时， 在 上单调递减；当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增；（2） ．
产品的性能指数在 的适合托班幼儿使用（简称A类产品），在 的适合小班和中班幼儿使用（简称B类产品），在 的适合大班幼儿使用（简称C类产品），A，B，C，三类产品的销售利润分别为每件1.5，3.5，5.5（单位：元）.以这100件产品的性能指数位于各区间的频率代替产品的性能指数位于该区间的概率.
（1）求每件产品的平均销售利润；
【解析】（1） . ， ， .
①当 ，即 时， ， 在 上单调递减；
②当 ，即 时，
当 时， ；当 时， ，
在 上减，在 上增.
综上：当 时， 在 上减；
当 时， 在 上减，在 上增.
（2） 是 的极值点， ，即 ，
解得： 或 （舍），此时 ， .
方程为： ，
令 ，得： ；同理可得： .
， ，整理得： ， ，
14．已知向量 ，则 在 方向上的投影为_______________.
15．在 展开式中， 的偶数次幂项的系数之和为8，则 ______.
16．函数 满足 ，当 时，方程 恰有两个不等的实根，则实数 的取值范围为_______．
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17.（本题10分）在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为
.
所以，随机变量 的分布列如下表所示：
因此，随机变量 的数学期望为 .
20．【答案】（1） .（2）
【解析】（1）由题意可得：最小正周期 ，由 ，解得： ，
∵ ，∴ ， 且 ，∴ ， ，又∵ ，∴ ，
∴ .
（2）∵ ，而 ∴ ，
又∵ ， ，∴ ，
∵ ，∴ ， ，
∴
，
∵ ，∴ ， ，即周长 .
21．【答案】（1）每件产品的平均销售利润4元（2）（i） （ii）该厂应投入256万元营销费.
①如果“似周期函数” 的“似周期”为 ，那么它是周期为2的周期函数；
②函数 是“似周期函数”；
③如果函数 是“似周期函数”，那么 或 ．
以上正确结论的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．若命题“ 使 ”是假命题，则实数 的取值范围为_____.
又 ，则 ，解得： ，
.
令 ，则 ，
设 ， ，
在 上单调递增，又 ，
即 的取值范围为
（2）若 是函数 的极值点，曲线 在点 ， 处的切线分别为 ，且 在 轴上的截距分别为 ．若 ，求 的取值范围．
大庆实验中学2020—2021学年度上学期第一次月考
高三数学（理）试题参考答案
四、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
DCBBD DCCCC CC
五、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
(1)求n;
(2)求所选3人中男生人数ξ的分布列及数学期望.
20．（本题12分）若函数 ( ， ， )满足下列条件： 的图像向左平移 个单位时第一次和原图像重合，对任意的 都有 成立.
（1）求 的解析式；
（2）若锐角△ 的内角 满足 ，且角B的对边 ，求△ 的周长 的取值范围.
21．（本题12分）某公司研发了一种帮助家长解决孩子早教问题的萌宠机器人.萌宠机器人语音功能让它就像孩子的小伙伴一样和孩子交流，记忆功能还可以记住宝宝的使用习惯，很快找到宝宝想听的内容.同时提供快乐儿歌、国学经典、启蒙英语等早期教育内容，且云端内容可以持续更新.萌宠机器人一投放市场就受到了很多家长欢迎.为了更好地服务广大家长，该公司研究部门从流水线上随机抽取100件萌宠机器人（以下简称产品），统计其性能指数并绘制频率分布直方图（如图1）：
大庆实验中学2020—2021学年度上学期第一次月考
高三数学（理）试题
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．已知集合 = ， = ， ，则 等于（ ）
A．（1,2）B． C． D．
2．复数 （i为虚数单位），则z等于（ ）
A． B． C． D．
3．函数 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
13． 14． 15． 16．
六、解答题（本大题共6小题，共70分）
17.（本题10分）
【答案】（1）直线 的普通方程为 ，曲线 的参数方程为 ；（2）最大值为 ；最小值为 .
【解析】（1）直线 的参数方程为 （ 为参数），故其普通方程为： ；
曲线 的极坐标方程为 ，故可得 ，曲线 的直角坐标方程为： ，曲线 的参数方程为
【解析】（1）设每件产品的销售利润为 元，则 的所有可能取值为1.5，3.5，5.5，
由直方图可得， ， ， 三类产品的频率分别为0.15、0.45、0.4，
所以， ， ， ，
所以随机变量 的分布列为：
1.5
3.5
5.5
0.15
0.45
0.4
所以， ，
故每件产品的平均销售利润为4元；
（2）（i）由 得， ，
（1）写出直线 的普通方程和曲线 的参数方程：
（2）P为曲线 上任一点，Q为直线 上任一点，且直线PQ与 所成角为30°，求 的最大值与最小值.
18．（本题12分）已知向量 ， ，函数 .
（1）求 的最小正周期；
（2）求 的单调递增区间.
19．（本题12分）从某小组的5名女生和n名男生中任选3人去参加速滑比赛.
A． B． C． D．
11．魏晋时期数学家刘徽在他的著作 九章算术注 中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”（如图），刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为 ：4. 在棱长为2的正方体内任取一点，此点取自“牟合方盖”的概率为
12．设函数 的定义域为 ，如果存在非零常数 ，对于任意 ，都有 ，则称函数 是“似周期函数”，非零常数 为函数 的“似周期”．现有下面四个关于“似周期函数”的命题：
（2）由（1）不妨设点 坐标为 ，点 到直线 的距离为 ，根据题意可得 ，
故可得 .
18．（本题12分）
【答案】（1） ；（2）
【解析】（1） ， ，
.
即
∴ 的最小正周期是 .
（2）
19．（本题12分）
【答案】（1）4；（2）见解析.
【解析】（1）n=4
（2）随机变量 的可能取值有 、 、 、 ，
， ， ，
（ii）用所求的回归方程估计该公司应投入多少营销费，才能使得该产品一年的收益达到最大？
（收益=销售利润-营销费用，取 ）.
参考公式：对于一组数据 ，其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 ， .
22.（本题12分）已知正实数a，函数 ， ．
（1）讨论函数 的单调性；
（2）该公司为了解年营销费用 （单位：万元）对年销售量 （单位：万件）的影响，对近5年的年营销费用 ，和年销售量 数据做了初步处理，得到的散点图（如图2）及一些统计量的值.
16.30
24.87
0.41
1.64
表中 ， ， ， .
根据散点图判断， 可以作为年销售量 （万件）关于年营销费用 （万元）的回归方程.
D．对于任意向量 ，必有
7．若 ，则 （ ）
A． B． C． 或 D． 或
8．函数 图象大致为( )
A． B．
C． D．
9．若把单词“error"的字母顺序写错了，则可能出现的错误写法的种数为（ ）
A．17B．18C．19D．20
10．已知函数 ， ， ，若 的最小值 ，且 的图象关于点 对称，则函数 的所有对称轴中，离原点最近的对称轴方程为（ ）
4．对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其线性相关系数比较，正确的是（ ）
线性相关系数为 线性相关系数为 线性相关系数为 线性相关系数为
A． B．
C． D．
5．已知在等比数列 中， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
6．下列说法中正确的是（ ）
A．平行向量不一定是共线向量
B．单位向量都相等
C．若 满足 且 与 同向，则
令 ， ， ，则 ，由表中数据可得，
则 ，
所以， ，
即 ，
因为 ，所以
（ii）设年收益为 万元，则 ，
设 ， ，
则 ，
当 时， ， 在 单调来自百度文库增，
当 时， ， 在 单调递减，
所以，当 ，即 时， 有最大值为768，
即该厂应投入256万元营销费，能使得该产品一年的收益达到最大768万元.
22.【答案】（1）当 时， 在 上单调递减；当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增；（2） ．
产品的性能指数在 的适合托班幼儿使用（简称A类产品），在 的适合小班和中班幼儿使用（简称B类产品），在 的适合大班幼儿使用（简称C类产品），A，B，C，三类产品的销售利润分别为每件1.5，3.5，5.5（单位：元）.以这100件产品的性能指数位于各区间的频率代替产品的性能指数位于该区间的概率.
（1）求每件产品的平均销售利润；
【解析】（1） . ， ， .
①当 ，即 时， ， 在 上单调递减；
②当 ，即 时，
当 时， ；当 时， ，
在 上减，在 上增.
综上：当 时， 在 上减；
当 时， 在 上减，在 上增.
（2） 是 的极值点， ，即 ，
解得： 或 （舍），此时 ， .
方程为： ，
令 ，得： ；同理可得： .
， ，整理得： ， ，
14．已知向量 ，则 在 方向上的投影为_______________.
15．在 展开式中， 的偶数次幂项的系数之和为8，则 ______.
16．函数 满足 ，当 时，方程 恰有两个不等的实根，则实数 的取值范围为_______．
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17.（本题10分）在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为
.
所以，随机变量 的分布列如下表所示：
因此，随机变量 的数学期望为 .
20．【答案】（1） .（2）
【解析】（1）由题意可得：最小正周期 ，由 ，解得： ，
∵ ，∴ ， 且 ，∴ ， ，又∵ ，∴ ，
∴ .
（2）∵ ，而 ∴ ，
又∵ ， ，∴ ，
∵ ，∴ ， ，
∴
，
∵ ，∴ ， ，即周长 .
21．【答案】（1）每件产品的平均销售利润4元（2）（i） （ii）该厂应投入256万元营销费.
①如果“似周期函数” 的“似周期”为 ，那么它是周期为2的周期函数；
②函数 是“似周期函数”；
③如果函数 是“似周期函数”，那么 或 ．
以上正确结论的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．若命题“ 使 ”是假命题，则实数 的取值范围为_____.
又 ，则 ，解得： ，
.
令 ，则 ，
设 ， ，
在 上单调递增，又 ，
即 的取值范围为
（2）若 是函数 的极值点，曲线 在点 ， 处的切线分别为 ，且 在 轴上的截距分别为 ．若 ，求 的取值范围．
大庆实验中学2020—2021学年度上学期第一次月考
高三数学（理）试题参考答案
四、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
DCBBD DCCCC CC
五、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
(1)求n;
(2)求所选3人中男生人数ξ的分布列及数学期望.
20．（本题12分）若函数 ( ， ， )满足下列条件： 的图像向左平移 个单位时第一次和原图像重合，对任意的 都有 成立.
（1）求 的解析式；
（2）若锐角△ 的内角 满足 ，且角B的对边 ，求△ 的周长 的取值范围.
21．（本题12分）某公司研发了一种帮助家长解决孩子早教问题的萌宠机器人.萌宠机器人语音功能让它就像孩子的小伙伴一样和孩子交流，记忆功能还可以记住宝宝的使用习惯，很快找到宝宝想听的内容.同时提供快乐儿歌、国学经典、启蒙英语等早期教育内容，且云端内容可以持续更新.萌宠机器人一投放市场就受到了很多家长欢迎.为了更好地服务广大家长，该公司研究部门从流水线上随机抽取100件萌宠机器人（以下简称产品），统计其性能指数并绘制频率分布直方图（如图1）：
大庆实验中学2020—2021学年度上学期第一次月考
高三数学（理）试题
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．已知集合 = ， = ， ，则 等于（ ）
A．（1,2）B． C． D．
2．复数 （i为虚数单位），则z等于（ ）
A． B． C． D．
3．函数 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
13． 14． 15． 16．
六、解答题（本大题共6小题，共70分）
17.（本题10分）
【答案】（1）直线 的普通方程为 ，曲线 的参数方程为 ；（2）最大值为 ；最小值为 .
【解析】（1）直线 的参数方程为 （ 为参数），故其普通方程为： ；
曲线 的极坐标方程为 ，故可得 ，曲线 的直角坐标方程为： ，曲线 的参数方程为
【解析】（1）设每件产品的销售利润为 元，则 的所有可能取值为1.5，3.5，5.5，
由直方图可得， ， ， 三类产品的频率分别为0.15、0.45、0.4，
所以， ， ， ，
所以随机变量 的分布列为：
1.5
3.5
5.5
0.15
0.45
0.4
所以， ，
故每件产品的平均销售利润为4元；
（2）（i）由 得， ，
（1）写出直线 的普通方程和曲线 的参数方程：
（2）P为曲线 上任一点，Q为直线 上任一点，且直线PQ与 所成角为30°，求 的最大值与最小值.
18．（本题12分）已知向量 ， ，函数 .
（1）求 的最小正周期；
（2）求 的单调递增区间.
19．（本题12分）从某小组的5名女生和n名男生中任选3人去参加速滑比赛.
A． B． C． D．
11．魏晋时期数学家刘徽在他的著作 九章算术注 中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”（如图），刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为 ：4. 在棱长为2的正方体内任取一点，此点取自“牟合方盖”的概率为
12．设函数 的定义域为 ，如果存在非零常数 ，对于任意 ，都有 ，则称函数 是“似周期函数”，非零常数 为函数 的“似周期”．现有下面四个关于“似周期函数”的命题：
（2）由（1）不妨设点 坐标为 ，点 到直线 的距离为 ，根据题意可得 ，
故可得 .
18．（本题12分）
【答案】（1） ；（2）
【解析】（1） ， ，
.
即
∴ 的最小正周期是 .
（2）
19．（本题12分）
【答案】（1）4；（2）见解析.
【解析】（1）n=4
（2）随机变量 的可能取值有 、 、 、 ，
， ， ，