分式化简的技巧演示教学
比例的性质：
⑴ 比例的基本性质：
a c ad bc
b d
=?=，比例的两外项之积等于两内项之积. ⑵ 更比性（交换比例的内项或外项）： ( )
( ) ( )a b c d a c d c b d b a d b c a ?=???=?=???=??
交换内项 交换外项 同时交换内外项 ⑶ 反比性（把比例的前项、后项交换）：a c b d b d a c
=?= ⑷ 合比性：a c a b c d b d b d ±±=?=，推广：a c a kb c kd b d b d
±±=?=（k 为任意实数） ⑸ 等比性：如果....a c m b d n ===，那么......a c m a b d n b
+++=+++（...0b d n +++≠）
基本运算
分式的乘法：a c a c b d b d
??=? 分式的除法：a c a d a d b d b c b c
?÷=?=? 乘方：()n n
n n n a a a a a a a a b b b b b b b b ?=?=?64748L L L 1424314243个个n 个
＝(n 为正整数) 整数指数幂运算性质：
⑴m n m n a a a +?=(m 、n 为整数)
⑵()m n mn a a =(m 、n 为整数)
⑶()n n n ab a b =(n 为整数)
⑷m n m n a a a -÷=(0a ≠，m 、n 为整数)
负整指数幂：一般地，当n 是正整数时，1n n
a a -=
(0a ≠)，即n a -(0a ≠)是n a 的倒数 知识点睛
分式化简的技巧
分式的加减法法则： 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减，a b a b c c c +±= 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式再加减，a c ad bc ad bc b d bd bd bd ±±=±= 分式的混合运算的运算顺序：先算乘方，再算乘除，后算加减，如有括号，括号内先算．
结果以最简形式存在.
一、基本运算
【例1】 计算：⑴22266(3)443x x x x x x x -+-÷+?-+- ⑵2342()()()b a b a b a
-?-÷- ⑶32231(4)()2
mn m n ---÷- ⑷32322423()(1)2111x x x x x x x x x --÷-÷+-++
【巩固】 化简22
x y y x y x
---的结果是（ ） A ．x y -- B ．y x - C ．x y - D ．x y +
【巩固】 计算a b a b b a a +??-÷ ???
的结果为（ ） A ．a b b - B ．a b b + C ．a b a
- D ．a b a
+
【例2】 计算：⑴2222135333x x x x x x x x +--+-++++ ⑵2222
2621616x x x x x +-++--
【巩固】 化简：422423216424(2)416844
m m m m m m m m m m -+-+÷?÷+++--+ 例题精讲
【巩固】 化简：22222222112()22a b a ab b ab a b a b ab ??-+÷+???++-+??
【例3】 化简：222222
222222
()()()()()()a b c b c a c a b a c b a b c b c a ------+++-+-+-
【例4】 已知：2221()111
a a a a a a a ---÷?-++，其中3a =
【巩固】 当12x =-时，求代数式22226124111x x x x x x x x ??++-+-+÷ ?--+??
的值
【巩固】 求代数式()()22
222222222a b c a b c ab ac a a ab ab a b a b -----+?÷-++-的值，其中1a =，12b =-，23
c =-
【例5】 计算：2482112482111111n n
x x x x x x ++++++-+++++L (n 为自然数)
【巩固】 已知24816
124816()11111f x x x x x x =
+++++++++，求(2)f .
二、整体代入运算
【例6】 已知：233mx y +=，且()22201nx y x y -=≠≠-，．试用x y ，表示
m n
．
【巩固】 已知：34
x y =，求2222222x y xy y x xy y x xy -+÷-+-的值
【巩固】 已知221547280x xy y -+=，求x y
的值.
【例7】 已知分式1x y xy
+-的值是m ，如果用x ，y 的相反数代入这个分式，那么所得的值为n ，则m 、n 是什么关系？
【巩固】 (第11届“希望杯”邀请赛试题)已知代数式25342
()x ax bx cx x dx +++，当1=x 时，值为 1，求该代数式当1-=x 时的值．
【例8】 已知210x y xy +=，求代数式4224x xy y x xy y
++-+的值.
【巩固】 已知：12xy =-，4x y +=-，求1111
x y y x +++++的值.
【巩固】 已知3a b a b
-=+，求代数式2()4()3()a b a b a b a b +---+的值.
【例9】 已知
111m n -=，求575232m mn n n mn m
+---的值.
【巩固】 已知：111x y x y
+=+，求y x x y +的值.
【巩固】 (新加坡中学生数学竞赛) 设1114x y -=，求2322y xy x y x xy
+---
【巩固】 如果235x y y x
+=-，求2222410623x xy y x y +++的值.
三、消元计算
【例10】 已知3a b =，23a c =
，求代数式a b c a b c
+++-的值.
【巩固】 (第9届华罗庚金杯总决赛1试) 已知22(3)0x y a b -+-=，求32223322232332a x ab y b xy a x ab y b xy
++++的值．
【巩固】 (清华附中暑假作业)已知：2232a b ab -=，求2a b a b
+-的值.
【例11】 已知：230a b c -+=，3260a b c --=，且0abc ≠，求333
2223273a b c ab bc a c -++-的值.
【巩固】 已知方程组:230230x y z x y z -+=??-+=?
(0xyz ≠)，求：::x y z
四、设比例参数
【例12】 已知
232332234a b c b c a c a b +--+++==，则2332a b c a b c -++-=____________.
【补充】设1x y z u +++=，()()()2:12:22:3(2):4x y y z z u u x +=+=+=+，则
733x y z u +++=___________．
分式化简求值几大常用技巧
分式化简求值几大常用技巧 在给定的条件下求分式的值，大多数条件下难以直接代入求值，它必须根据题目本身的特点，将已知条件或所求分式适当变形，然后巧妙求解.常用的变形方法大致有以下几种： 1、 应用分式的基本性质 例1 如果1 2x x +=，则242 1x x x ++的值是多少? 解：由0x ≠，将待求分式的分子、分母同时除以2 x ，得 原式=. 2222 1111 1 1 213 1()1x x x x = ==-++ +-. 2、倒数法 例2 如果1 2x x +=，则2421x x x ++的值是多少? 解：将待求分式取倒数，得 42222 22 1111()1213x x x x x x x ++=++=+-=-= ∴原式=1 3 . 3、平方法 例3 已知12x x + =，则221 x x +的值是多少？ 解：两边同时平方，得 2222 1124,42 2.x x x x ++ =∴+=-= 4、设参数法 例4 已知 0235a b c ==≠，求分式2 22 2323ab bc ac a b c +-+-的值. 解：设235 a b c k ===，则 2,3,5a k b k c k ===. ∴原式=22222 2323532566 .(2)2(3)3(5)5353 k k k k k k k k k k k ?+??-??==-+-- 例5 已知 ,a b c b c a ==求a b c a b c +--+的值. 解：设a b c k b c a ===，则 ,,.a bk b ck c ak ===
∴3 c ak bk k ck k k ck ==?=??=， ∴3 1,1k k == ∴a b c == ∴原式= 1.a b c a b c +-=-+ 5、整体代换法 例6 已知 113,x y -=求2322x xy y x xy y +---的值. 解：将已知变形，得 3,y x xy -=即3x y xy -=- ∴原式= 2()32(3)333 .()23255 x y xy xy xy xy x y xy xy xy xy -+?-+-===----- 例： 例5. 已知a b +<0 ，且满足a a b ba b 2 2 22++--=，求a b a b 33 13+-的值。 解：因为a a b ba b 2 2 22++--= 所以()()a b a b +-+-=220 所以()()a b a b +-++=210 所以a b +=2或a b +=-1 由a b +<0 故有a b +=-1 所以a b a b a ba a b b a b 3322 1313+-= +-+-()() = -?-+-= -+-11331 2222() a a b b ab a a b b ab = +--=---= --()()a b a b a b a b a b a b a b 2233113311331 =-1 评注：本题应先对已知条件a a b ba b 22 22++--=进行变换和因式分解，并由a b +<0确定出a b +=-1，然后对所给代数式利用立方和公式化简，从而问题迎刃而解。 6、消元代换法 例7 已知1,abc =则 111a b c ab a bc b ac c ++=++++++ . 解：∵1,abc =∴1,c ab = ∴原式=1 11111a b ab ab a b ab b a ab ab ++ ++?++?++
初中数学分式化解求值解题技巧大全
化简求值常用技巧 在给定的条件下求分式的值，大多数条件下难以直接代入求值，它必须根据题目本身的特点，将已知条件或所求分式适当变形，然后巧妙求解.常用的变形方法大致有以下几种： 1、 应用分式的基本性质 例1 如果12x x + =，则 24 2 1 x x x ++的值是多少? 解：由0x ≠，将待求分式的分子、分母同时除以2x ，得 原式=. 2 2 2 2 11111121 3 1()1 x x x x == = -++ + -. 2、倒数法 例2 如果12x x + =，则 24 2 1 x x x ++的值是多少? 解：将待求分式取倒数，得 4 2 2 22 2 2 1 111()1213x x x x x x x ++=+ +=+ -=-= ∴原式=13 . 3、平方法 例3 已知12x x + =，则2 2 1x x + 的值是多少？ 解：两边同时平方，得 2 2 2 2 1124,42 2.x x x x ++ =∴+ =-= 4、设参数法 例4 已知 0235 a b c ==≠，求分式 2 2 2 2323ab bc ac a b c +-+-的值. 解：设 235a b c k ===，则 2,3,5a k b k c k ===. ∴原式= 22 2 2 2 2323532566.(2)2(3)3(5) 5353 k k k k k k k k k k k ?+??-??= =- +-- 例5 已知 ,a b c b c a ==求 a b c a b c +--+的值. 解：设 a b c k b c a = ==，则 ,,.a bk b ck c ak ===
专题训练七分式化简求值解题技巧
专题训练七分式化简求值 解题技巧 Prepared on 21 November 2021
【专题训练七】 分式化简求值解题技巧 例1、（1）如果242114x x x =++，那么42251553x x x -+= 。 （2）若 a b c d b c d a ===，则a b c d a b c d -+-=+-+ 。 例2、若a b c 、、满足1111a b c a b c ++=++，则a b c 、、中 （ ） A 、必有两个数相等 B 、必有两个数互为相反数 C 、必有两个数互为倒数 D 、每两个数都不相等 例3、化简求值：22214( )2442a a a a a a a a ----÷++++，其中a 满足2210a a +-= 。 例4、已知2410,a a ++=且42321533a ma a ma a ++=++，求m 的值。 例5、已知a b c 、、满足222222222 1222b c a c a b a b c bc ac ab +-+-+-++=，求证：这三个分数的值有两个为1，一个为1-。 针对性训练 1、已知30,x y -=那么22 2()2x y x y x xy y +?-=-+ 。 2、已知7x y +=且12xy =，则当x y <时，11x y -= 。 3、已知0abc ≠，且 a b c b c a ==，则3223a b c a b c ++=-- 。 4、已知2310x x -+=，则2 421 x x x =++ 。 5、已知0abc ≠，0,a b c ++=则111111()()()a b c b c c a a b +++++= 。 6、已知323x y -=，则23796x y xy xy y x --=+- 。 7、若4360,270(0)x y z x y z xyz --=+-=≠，则代数式222 222 522310x y z x y z +-=-- 。
分式化简的技巧
比例的性质： ⑴ 比例的基本性质： a c ad bc b d =?=，比例的两外项之积等于两内项之积. ⑵ 更比性（交换比例的内项或外项）： ( ) ( ) ( )a b c d a c d c b d b a d b c a ?=?? ?=?=?? ?=??交换内项 交换外项 同时交换内外项 ⑶ 反比性（把比例的前项、后项交换）：a c b d b d a c =?= ⑷ 合比性：a c a b c d b d b d ±±=?=，推广：a c a kb c kd b d b d ±±=?= （k 为任意实数） ⑸ 等比性：如果....a c m b d n ===，那么......a c m a b d n b +++=+++（...0b d n +++≠） 基本运算 分式的乘法：a c a c b d b d ??=? 分式的除法：a c a d a d b d b c b c ?÷=?=? 乘方：()n n n n n a a a a a a a a b b b b b b b b ?=? =?个 个 n 个 ＝(n 为正整数) 整数指数幂运算性质： ⑴m n m n a a a +?=(m 、n 为整数) ⑵()m n mn a a =(m 、n 为整数) ⑶()n n n ab a b =(n 为整数) ⑷m n m n a a a -÷=(0a ≠，m 、n 为整数) 负整指数幂：一般地，当n 是正整数时，1 n n a a -=(0a ≠)，即n a -(0a ≠)是n a 的倒数 知识点睛 分式化简的技巧
分式的加减法法则： 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减， a b a b c c c +±= 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式再加减， a c ad bc ad bc b d bd bd bd ±±=±= 分式的混合运算的运算顺序：先算乘方，再算乘除，后算加减，如有括号，括号内先算． 结果以最简形式存在. 一、基本运算 【例1】 计算：⑴22266(3)443x x x x x x x -+-÷+?-+- ⑵234 2 ()()()b a b a b a -?-÷- ⑶32231 (4)()2 mn m n ---÷- ⑷32322423()(1)2111x x x x x x x x x --÷-÷+-++ 【巩固】 化简22 x y y x y x ---的结果是（ ） A ．x y -- B ．y x - C ．x y - D ．x y + 【巩固】 计算a b a b b a a +??-÷ ??? 的结果为（ ） A ．a b b - B ．a b b + C ．a b a - D ． a b a + 【例2】 计算：⑴2222135333x x x x x x x x +--+-++++ ⑵2222 262 1616x x x x x +-++-- 【巩固】 化简：422423216424 (2)416844m m m m m m m m m m -+-+÷?÷+++--+ 例题精讲
分式化简的技巧演示教学
比例的性质： ⑴ 比例的基本性质： a c ad bc b d =?=，比例的两外项之积等于两内项之积. ⑵ 更比性（交换比例的内项或外项）： ( ) ( ) ( )a b c d a c d c b d b a d b c a ?=???=?=???=?? 交换内项 交换外项 同时交换内外项 ⑶ 反比性（把比例的前项、后项交换）：a c b d b d a c =?= ⑷ 合比性：a c a b c d b d b d ±±=?=，推广：a c a kb c kd b d b d ±±=?=（k 为任意实数） ⑸ 等比性：如果....a c m b d n ===，那么......a c m a b d n b +++=+++（...0b d n +++≠） 基本运算 分式的乘法：a c a c b d b d ??=? 分式的除法：a c a d a d b d b c b c ?÷=?=? 乘方：()n n n n n a a a a a a a a b b b b b b b b ?=?=?64748L L L 1424314243个个n 个 ＝(n 为正整数) 整数指数幂运算性质： ⑴m n m n a a a +?=(m 、n 为整数) ⑵()m n mn a a =(m 、n 为整数) ⑶()n n n ab a b =(n 为整数) ⑷m n m n a a a -÷=(0a ≠，m 、n 为整数) 负整指数幂：一般地，当n 是正整数时，1n n a a -= (0a ≠)，即n a -(0a ≠)是n a 的倒数 知识点睛 分式化简的技巧
分式的加减法法则： 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减，a b a b c c c +±= 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式再加减，a c ad bc ad bc b d bd bd bd ±±=±= 分式的混合运算的运算顺序：先算乘方，再算乘除，后算加减，如有括号，括号内先算． 结果以最简形式存在. 一、基本运算 【例1】 计算：⑴22266(3)443x x x x x x x -+-÷+?-+- ⑵2342()()()b a b a b a -?-÷- ⑶32231(4)()2 mn m n ---÷- ⑷32322423()(1)2111x x x x x x x x x --÷-÷+-++ 【巩固】 化简22 x y y x y x ---的结果是（ ） A ．x y -- B ．y x - C ．x y - D ．x y + 【巩固】 计算a b a b b a a +??-÷ ??? 的结果为（ ） A ．a b b - B ．a b b + C ．a b a - D ．a b a + 【例2】 计算：⑴2222135333x x x x x x x x +--+-++++ ⑵2222 2621616x x x x x +-++-- 【巩固】 化简：422423216424(2)416844 m m m m m m m m m m -+-+÷?÷+++--+ 例题精讲
分式运算的八种技巧
分式运算的八种技巧 -标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
分式运算综合题 1、先化简，再求值：（1-x x －11+x ）÷1 12-x ，其中x=2 2、先化简，再求值： 2 1 +-a a ·12422 +--a a a ÷1 1 2 -a ，其中a 满足a 2-a=12。 3、计算：223y x y x -+－222y x y x -++2 232y x y x --。 4、化简： 12+x x -1422-+x x ÷1 22 2+-+x x x ，然后在不等式x ≤2的非负整数解中选择一个适当的数代入求值。 5、已知M=222y x xy -，N=2222y x y x -+，P=2 24x y xy -，用 “＋”或“-”连接M ，N ，P 有多种不同的形式，如M+N-P 。请你任选一种进行计算，并化简求值，其中x ：y=5:2。 6、已知abc ≠0且a+b+c=0,求a(b 1+c 1)+b(c 1+a 1)+c(a 1+b 1 )的 值。 7、已知两个式子：A= 442-x ，B=21+x ＋x -21 ，其中x ≠±2，则A 与B 的关系是（ ） A.相等 B.互为倒数 C.互为相反数 大于B 8、已知1＜x ＜2，则式子|2|2--x x －1|1|--x x ＋x x | |化简的结 果是（ ） A.－1 9、已知a2+3ab+b2=0(a ≠0,b ≠0)，则式子a b +b a = 。 10、已知a 1+b 21=3，则式子b a ab b ab a 634452--+-= 。 11、已知3-x m －2+x n =) 2)(3(17+-+x x x ，求m 2+n 2的值。 12、已知a,b 为实数，且ab=1，设M=1+a a +1 +b b ，N= 11+a ＋1 1 +b ，试确定M ，N 的大小关系。 13、先化简，再求值：（x- 13+x x ）÷1 22 2++-x x x ,其中x 满足x 2+x-2=0. 14、已知A=（x-3）÷4 ) 96)(2(22-+-+x x x x －1,(1)化简A; 2x-1＜x, (2)若x 满足不等式组 且x 为整数，求A 的值。 1- 3x ＜3 4 ， 15、计算：21-x －12-x ＋12+x －2 1+x 。 16、计算：3 22 3223322342b b a ab a b a ab b a b a b a a ---++-+
分式化简的技巧
分式化简得技巧 知识点睛 比例得性质: ⑴比例得基本性质:,比例得两外项之积等于两内项之积、 ⑵更比性(交换比例得内项或外项): ⑶反比性(把比例得前项、后项交换): ⑷合比性:,推广:(为任意实数) ⑸等比性:如果,那么 基本运算 分式得乘法: 分式得除法: 乘方:(为正整数) 整数指数幂运算性质: ⑴(、为整数) ⑵(、为整数) ⑶(为整数) ⑷(,、为整数) 负整指数幂:一般地,当就是正整数时,,即就是得倒数 分式得加减法法则: 同分母分式相加减,分母不变,把分子相加减, 异分母分式相加减,先通分,变为同分母得分式再加减, 分式得混合运算得运算顺序:先算乘方,再算乘除,后算加减,如有括号,括号内先算. 结果以最简形式存在、 例题精讲 一、基本运算 【例1】计算:⑴⑵ ⑶⑷ 【巩固】化简得结果就是( ) A. B. C. D. 【巩固】计算得结果为( ) A. B. C. D. 【例2】计算:⑴⑵
【巩固】化简: 【巩固】化简: 【例3】化简: 【例4】已知:,其中 【巩固】当时,求代数式得值 【巩固】求代数式得值,其中,, 【例5】计算:(为自然数) 【巩固】已知,求、 二、整体代入运算 【例6】已知:,且.试用表示. 【巩固】已知:,求得值 【巩固】已知,求得值、 【例7】已知分式得值就是,如果用,得相反数代入这个分式,那么所得得值为,则、就是什么关系？【巩固】(第11届“希望杯”邀请赛试题)已知代数式,当时,值为 1,求该代数式当时得值. 【例8】已知,求代数式得值、 【巩固】已知:,,求得值、 【巩固】已知,求代数式得值、 【例9】已知,求得值、 【巩固】已知:,求得值、 【巩固】(新加坡中学生数学竞赛) 设,求 【巩固】如果,求得值、 三、消元计算 【例10】已知,,求代数式得值、 【巩固】(第届华罗庚金杯总决赛试) 已知,求得值. 【巩固】(清华附中暑假作业)已知:,求得值、 【例11】已知:,,且,求得值、 【巩固】已知方程组:,求: 四、设比例参数 【例12】已知,则=____________、 【补充】设,,则 ___________. 【例13】若,求得值、 【巩固】若,求得值、 【巩固】已知.求得值. 【例14】已知,求得值、 【巩固】已知,且,则 得值等于( ) A、9 B、10 C、8 D、7 【巩固】已知,求证:、 五、分式与裂项 【例15】设为正整数,求证:、
中考专题复习分式的化简求值
中考专题复习 分式的化简求值与分式方程 分式化简技巧 1. 在分式的运算中，有整式时，可以把整式看做分母为1的式子，然后再计 算。 2. 要注意运算顺序，先乘方、同级运算从左到右依次进行。 3. 如果分式的分子分母是多项式，可先分解因式，再运算。 4. 注意分式化简题不能去分母. 类型一、分式化简 1、（襄樊市）计算：2228224a a a a a a +-??+÷ ?--?? 2、（常德市）化简: 35(2)482y y y y -÷+--- 3、（桂林市、百色市）化简，： 2211()22x y x y x x y x +--++， 类型二、化简求值 4、（2011贵州遵义）先化简，再求值：??? ? ??--÷-x y xy x x y x 22，其中1,2-==y x 。2、 5、（2012湖北恩施）先化简，再求值：2 1121222+---÷+++x x x x x x x ，其中x=23-． 6、（2012山东菏泽）先化简，在求代数式的值． 22+2(+)+111 a a a a a ÷-+，其中2012(1)tan 60a =-+?
7、（2010河南）已知212===242 x A B C x x x --+，，.将他们组合成（A －B ）÷C 或A －B ÷C 的形式，请你从中任选一种进行计算.先化简，再求值，其中3x =. 类型二、化简求值与不等式组 8、（2012?重庆）先化简，再求值：，其中x 是不等式组 的整数解． 9、（2012南京）化简代数式x x x x x 12122-÷+-，并判断当x 满足不等式组 12 +x 6)1(2-- x 时该代数式的符号. 类型三、化简，选取合适的数求值 10、（2012湖南张家界）先化简： 12 24422++÷--a a a a ，再用一个你最喜欢的数代替a 计算结果 11、先化简)4(24422x x x x x x -÷-+-，然后从55<<-x 的范围内选取一个合适的整数作为x 的值代入求值。
分式化简求值解题技巧
分式化简求值解题技巧 一、整体代入 例1、已知22006a b +=，求b a b ab a 42121232 2+++的值. 例2、已知 311=-y x ，求y xy x y xy x ---+2232的值. 练一练: 1.已知 511=+y x ,求y xy x y xy x +++-2232的值. 2.已知 211=+y x ,求分式y x xy y y x x 33233++++的值 3. 若ab b a 32 2=+,求分式)21)(21(222b a b b a b -+-+的值
二、构造代入 例3、已知2 520010x x --=，求21)1()2(23-+---x x x 的值. 例4已知a b c ，，不等于0，且0a b c ++=， 求)11()11( )11(b a c c a b c b a +++++的值. 练一练： 4. 若1=ab ,求 221111b a +++的值 5.已知x x 12=+,试求代数式3 4121311222+++-?-+-+x x x x x x x 的值 三、参数辅助，多元归一 例5 、已知 432z y x ==，求222z y x zx yz xy ++++的值。
练一练 6.已知23=-+b a b a ,求分式ab b a 2 2-的值 四、倒数代入 例6、已知41=+x x ，求1 242 ++x x x 的值. 练一练 7. 若2132=+-x x x ,求分式1 242 ++x x x 的值. 8.已知2 11222-=-x x ,求)1()1111(2x x x x x +-÷+--的值. 9. 已知 5 1,41,31=+=+=+c a ac c b bc b a ab ,求bc ac ab abc ++的值.
分式的化简求值
中考专题复习 分式的化简求值 分式化简技巧 1. 在分式的运算中，有整式时，可以把整式看做分母为1的式子，然后再计算。 2. 要注意运算顺序，先乘方、同级运算从左到右依次进行。 3. 如果分式的分子分母是多项式，可先分解因式，再运算。 4. 注意分式化简题不能去分母. 类型一、分式化简 1、计算：2228224a a a a a a +-??+÷ ?--?? 2、化简: 35(2)482y y y y -÷+--- 3、化简，：2211()22x y x y x x y x +--++， 类型 二、分式化简并代值 4、先化简，再求值：??? ? ??--÷-x y xy x x y x 22，其中1,2-==y x 。2、 5先化简，再求值：2 1121222+---÷+++x x x x x x x ，其中x=23-． 6、先化简，在求代数式的值． 22+2( +)+111 a a a a a ÷-+，其中2012(1)tan 60a =-+?
7、先化简，再求值： ，其中x 是不等式组的整数解． 8．（6分）（2013?泸州）先化简：，再求值，其中a=． 9．（6分）（2014?泸州）计算（﹣）÷． 10、化简代数式x x x x x 12122-÷+-，并判断当x 满足不等式组 12 +x 6)1(2-- x 时该代数式的符号. 11先化简)4(2442x x x x x x -÷-+-，然后从55<<-x 的范围内选取一个合适的整数作为x 的值代入求值。 12、先化简：221112a a a a a ---÷+，再选取一个合适的a 值代入计算. 13先化简代数式22321124a a a a -+??-÷ ?+-?? ，再从－2,2,0三个数中选一个恰当的数作为a 的
分式化简求值几大常用技巧复习课程
分式化简求值几大常用技巧 复习课程 -标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
分式化简求值几大常用技巧 在给定的条件下求分式的值，大多数条件下难以直接代入求值，它必须根据题目本身的特点，将已知条件或所求分式适当变形，然后巧妙求解.常用的变形方法大致有以下几种： 1、 应用分式的基本性质 例1 如果12x x +=，则2421x x x ++的值是多少 解：由0x ≠，将待求分式的分子、分母同时除以2x ，得 原式=. 22221111112131()1x x x x ===-+++-. 2、倒数法 例2 如果12x x +=，则2421x x x ++的值是多少 例3 解：将待求分式取倒数，得 42222221111()1213x x x x x x x ++=++=+-=-= ∴原式=13 . 3、平方法 例4 已知12x x +=，则221x x +的值是多少？ 例5 解：两边同时平方，得 22221124,42 2.x x x x ++=∴+=-= 4、设参数法 例6 已知0235a b c ==≠，求分式2222323ab bc ac a b c +-+-的值. 解：设235 a b c k ===，则 2,3,5a k b k c k ===.
∴原式=222222323532566.(2)2(3)3(5)5353 k k k k k k k k k k k ?+??-??==-+-- 例7 已知 ,a b c b c a ==求a b c a b c +--+的值. 解：设a b c k b c a ===，则 ,,.a bk b ck c ak === ∴3c ak bk k ck k k ck ==?=??=， ∴31,1k k == ∴a b c == ∴原式= 1.a b c a b c +-=-+ 5、整体代换法 例8 已知113,x y -=求2322x xy y x xy y +---的值. 解：将已知变形，得 3,y x xy -=即3x y xy -=- ∴原式=2()32(3)333.()23255 x y xy xy xy xy x y xy xy xy xy -+?-+-===----- 例： 例5. 已知a b +<0，且满足a a b ba b 2222++--=，求a b a b 33 13+-的值。 解：因为a a b ba b 2222 ++--= 所以()()a b a b +-+-=220 所以()()a b a b +-++= 210 所以a b +=2或a b +=-1 由a b +<0 故有a b +=-1 所以a b a b a ba a b b a b 33221313+-=+-+-()() =-?-+-=-+-113312222()a ab b ab a ab b ab =+--=---=--()()a b a b a b a b a b a b a b 2233113311331 =-1 评注：本题应先对已知条件a a b ba b 2222++--=进行变换和因式分解，并由a b +<0 确定出a b +=-1 ，然后对所给代数式利用立方和公式化简，从而问题迎刃而解。 6、消元代换法
二次根式化简的方法与技巧
二次根式化简的方法与技巧 (初二初三) 所谓转化：解数学题的常用策略。常言道：“兵无常势，水无常形。”我们在解千变万化的数学题时，常常思维受阻，怎么办？运用转化策略，换个角度思考，往往可以打破僵局，迅速找到解题的途径。二次根式也不例外，约分、合并是化简二次根式的两个重要手段，因此我们在化简二次根式时应想办法把题目转化为可以约分和和可以合并的同类根式。现举例说明一些常见二次根式的转化策略。 一、巧用公式法 例1计算 b a b a b a b a b a +-+ -+-2 分析：本例初看似乎很复杂，其实只要你掌握好了公式，问题就简单了，因为a 与 b 成立，且分式也成立，故有a ＞0，b ＞0， ( ) 0≠-b a 而同时公式： () b a -2 =a 2 -2ab +b 2 ，a 2 -2 b =()b a +()b a -，可以帮助我们将 b ab a +-2和b a -变形，所以我们应掌握好公式可以使一些问题从复杂到简单。 解：原式= ()b a b a --2 +( )( )b a b a b a +-+=( )b a -+ ( ) b a -=2a -2b 二、适当配方法。 例2．计算： 3 2163223-+--+ 分析：本题主要应该从已知式子入手发现特点，∵分母含有1+32-其分子必有含1+ 32-的因式，于是可以发现3+2 2=() 2 2 1+，且 () 21363+=+，通过因式分解，分子所含的1+32-的因式就出来了。 解：原式= ()()3 216 3223-++-+=() ( )=-+ +-+3 212 13212 1+ 2 三、正确设元化简法。
分式化简的技巧
比例的性质： ⑴ 比例的基本性质： a c ad bc b d =?=，比例的两外项之积等于两内项之积. ⑵ 更比性（交换比例的内项或外项）： ( ) ( ) ( )a b c d a c d c b d b a d b c a ?=?? ?=?=?? ?=?? 交换内项 交换外项 同时交换内外项 ⑶ 反比性（把比例的前项、后项交换）： a c b d b d a c =?= ⑷ 合比性： a c a b c d b d b d ±±=?=，推广：a c a kb c kd b d b d ±±=?= （k 为任意实数） ⑸ 等比性：如果....a c m b d n ===，那么......a c m a b d n b +++=+++（...0b d n +++≠） 基本运算 分式的乘法：a c a c b d b d ??=? 分式的除法： a c a d a d b d b c b c ?÷=?= ? 乘方：()n n n n n a a a a a a a a b b b b b b b b ?=? =?个 个 n 个 ＝(n 为正整数) 整数指数幂运算性质： ⑴m n m n a a a +?=(m 、n 为整数) 知识点睛 分式化简的技巧
⑵()m n mn a a =(m 、n 为整数) ⑶()n n n ab a b =(n 为整数) ⑷m n m n a a a -÷=(0a ≠，m 、n 为整数) 负整指数幂：一般地，当n 是正整数时，1 n n a a -= (0a ≠)，即n a -(0a ≠)是n a 的倒数 分式的加减法法则： 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减， a b a b c c c +±= 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式再加减， a c ad bc ad bc b d bd bd bd ±±=±= 分式的混合运算的运算顺序：先算乘方，再算乘除，后算加减，如有括号，括号内先算． 结果以最简形式存在. 一、基本运算 【例1】 计算：⑴22266 (3)443x x x x x x x -+-÷+? -+- ⑵2342()()()b a b a b a -?-÷- ⑶32231 (4)()2mn m n ---÷- ⑷32322423()(1)2111 x x x x x x x x x --÷-÷+-++ 【巩固】 化简22 x y y x y x ---的结果是（ ） A ．x y -- B ．y x - C ．x y - D ．x y + 例题精讲
沪科版数学七年级下册解题技巧专题：分式化简求值的方法与技巧
解题技巧专题：分式化简求值的方法与技巧 ◆类型一 着眼全局，整体代入 1．已知1a －1b ＝13，则ab 6a －6b 的值为( ) A .12 B ．－12 C ．2 D ．－2 2．若a 2＋b 2＝3ab ，求分式????1＋2b 2 a 2－ b 2????1＋2b a －b 的值． ◆类型二 巧妙变形，构造代入 3．已知x 2－3x ＋1＝0，则x x 2－x ＋1 的值是( ) A .12 B ．2 C .13 D ．3 4．★若x －1x ＝4，则x 4＋x 2＋1x 2 ＝________． 5．★★已知a ，b ，c 不等于0，且a ＋b ＋c ＝0，求a(1b ＋1c )＋b(1a ＋1c )＋c(1a ＋1b )的值． ◆类型三 参数辅助，多元归一 6．已知x 2＝y 3＝z 4≠0，求xy ＋yz ＋zx x 2＋y 2＋z 2的值．
7．已知a ＋b a －b ＝32 ，求分式a 2－b 2ab 的值． ◆类型四 打破常规，倒数代入 8．★已知x x 2＋x ＋1＝13，求x 2 2x 4－3x 2＋2 的值． 9．★★已知ab a ＋b ＝13，bc b ＋c ＝14，ac a ＋c ＝15，求abc ab ＋ac ＋bc 的值．
参考答案与解析 1．B 解析：因为1a －1b ＝13，所以ab ＝－3(a －b )，所以原式＝ab 6（a －b ）＝－3（a －b ）6（a －b ） ＝－12. 2．解：????1＋2b 2 a 2－ b 2????1＋2b a －b ＝a 2－b 2＋2b 2a 2－b 2·a －b ＋2b a －b ＝a 2＋b 2a 2－b 2·a ＋b a －b ＝a 2＋b 2（a －b ）2＝a 2＋b 2a 2＋b 2－2ab .因为a 2＋b 2＝3ab ，所以原式＝3ab 3ab －2ab ＝3. 3．A 解析：因为x 2－3x ＋1＝0，所以x 2＝3x －1，所以原式＝x 3x －1－x ＋1＝12 . 4．19 解析：已知等式两边同时平方得????x －1x 2＝x 2－2＋1x 2＝16，即x 2＋1x 2＝18，则x 4＋x 2＋1x 2 ＝x 2＋1＋1x 2＝18＋1＝19. 5．解：因为a ＋b ＋c ＝0，所以a ????1b ＋1c ＋b ????1a ＋1c ＋c ????1a ＋1b ＝a ????1b ＋1c ＋1a －1＋b (1a ＋1c ＋1b )－1＋c ????1a ＋1b ＋1c －1＝(1a ＋1c ＋1b )(a ＋b ＋c )－3＝－3. 6．解：设x 2＝y 3＝z 4＝k ，则x ＝2k ，y ＝3k ，z ＝4k ，所以xy ＋yz ＋zx x 2＋y 2＋z 2＝2k ·3k ＋3k ·4k ＋2k ·4k （2k ）2＋（3k ）2＋（4k ）2 ＝6k 2＋12k 2＋8k 24k 2＋9k 2＋16k 2＝2629 . 7．解：设a ＋b ＝3k ，a －b ＝2k ，联立方程组?????a ＋b ＝3k ，a －b ＝2k ，解得? ??a ＝52k ，b ＝12k ，所以a 2－b 2ab ＝245. 8．解：因为x x 2＋x ＋1＝13 ，所以x 2＋x ＋1x ＝3，x ＋1＋1x ＝3，x ＋1x ＝2.所以x 2＋1x 2＝????x ＋1x 2 －2＝4－2＝2.所以2x 4－3x 2＋2x 2＝2x 2－3＋2x 2＝2????x 2＋1x 2－3＝2×2－3＝1，所以x 22x 4－3x 2＋2 ＝1. 9．解：因为ab a ＋b ＝13，bc b ＋c ＝14，ac a ＋c ＝15 ，所以a ＋b ab ＝3，b ＋c bc ＝4，a ＋c ac ＝5，所以1b ＋1a ＝3，1b ＋1c ＝4，1a ＋1c ＝5，所以2????1a ＋1b ＋1c ＝3＋4＋5，所以1a ＋1b ＋1c ＝6，abc ab ＋ac ＋bc ＝11a ＋1b ＋1c ＝16.
二次根式化简的方法与技巧
创作编号： BG7531400019813488897SX 创作者： 别如克* 二次根式化简的方法与技巧 二次根式是初中数学教学的难点内容，读者在掌握二次根式有关的概念与性质后，进行二次根式的化简与运算时，一般遵循以下做法： ①先将式中的二次根式适当化简 ②二次根式的乘法可以参照多项式乘法进行，运算中要运用公式 ab b a =? ()0,0≥≥b a ③对于二次根式的除法，通常是先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算． ④二次根式的加减法与多项式的加减法类似，即在化简的基础上去括号与合并同类项． ⑤运算结果一般要化成最简二次根式． 化简二次根式的常用技巧与方法 所谓转化：解数学题的常用策略。常言道：“兵无常势，水无常形。”我们在解千变万化的数学题时，常常思维受阻，怎么办？运用转化策略，换个角度思考，往往可以打破僵局，迅速找到解题的途径。 二次根式的化简是二次根式教学的一个重要内容，对于二次根式
的化简，除了掌握基本概念和运算法则外，还要掌握一些特殊的方法和技巧，会收到事半功倍的效果，约分、合并是化简二次根式的两个重要手段，因此我们在化简二次根式时应想办法把题目转化为可以约分和和可以合并的同类根式。现举例说明一些常见二次根式的转化策略。 一、巧用公式法 例1.计算 b a b a b a b a b a +-+ -+-2 分析：本例初看似乎很复杂，其实只要你掌握好了公式，问题就简单了，因为 a 与 b 成立，且分式也成立，故有 ,0,0>>b a ) 0(≠-b a 而 同 时 公 式 ： ()),)((,222222 b a b a b a b ab a b a -+=-+-=-可以 帮助我们将b ab a +-2 和 b a - 变形，所以我们应掌握好公式可以使一些问题从复杂到简单。 解：原式 ()b a b a b a b a b a b a b a b a 22)()() )((2 -=-+-=+-++ --=
分式化简的技巧教学内容
分式化简的技巧
比例的性质： ⑴ 比例的基本性质：a c ad bc b d = ?=，比例的两外项之积等于两内项之积. ⑵ 更比性（交换比例的内项或外项）： ( ) ( ) ( )a b c d a c d c b d b a d b c a ?=?? ?=?=?? ?=??交换内项 交换外项 同时交换内外项 ⑶ 反比性（把比例的前项、后项交换）：a c b d b d a c =?= ⑷ 合比性：a c a b c d b d b d ±±=?=，推广：a c a kb c kd b d b d ±±=?= （k 为任意实数） ⑸ 等比性：如果....a c m b d n ===，那么......a c m a b d n b +++=+++（...0b d n +++≠） 基本运算 分式的乘法：a c a c b d b d ??= ? 分式的除法：a c a d a d b d b c b c ?÷=?=? 乘方：()n n n n n a a a a a a a a b b b b b b b b ?=?=?64748 L L L 1424314243 个个n 个 ＝(n 为正整数) 整数指数幂运算性质： ⑴m n m n a a a +?=(m 、n 为整数) ⑵()m n mn a a =(m 、n 为整数) ⑶()n n n ab a b =(n 为整数) ⑷m n m n a a a -÷=(0a ≠，m 、n 为整数) 负整指数幂：一般地，当n 是正整数时，1n n a a -= (0a ≠)，即n a -(0a ≠)是n a 的倒数 知识点睛 分式化简的技巧
分式化简的技巧
分式化简的技巧 -标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
比例的性质： ⑴ 比例的基本性质：a c ad bc b d = ?=，比例的两外项之积等于两内项之积. ⑵ 更比性（交换比例的内项或外项）： ( ) ( ) ( )a b c d a c d c b d b a d b c a ?=?? ?=?=?? ?=??交换内项 交换外项 同时交换内外项 ⑶ 反比性（把比例的前项、后项交换）：a c b d b d a c =?= ⑷ 合比性：a c a b c d b d b d ±±=?=，推广：a c a kb c kd b d b d ±±=?= （k 为任意实数） ⑸ 等比性：如果....a c m b d n ===，那么......a c m a b d n b +++=+++（...0b d n +++≠） 基本运算 分式的乘法：a c a c b d b d ??= ? 分式的除法：a c a d a d b d b c b c ?÷=?=? 乘方：()n n n n n a a a a a a a a b b b b b b b b ?=? =?个 个 n 个 ＝(n 为正整数) 整数指数幂运算性质： ⑴m n m n a a a +?=(m 、n 为整数) ⑵()m n mn a a =(m 、n 为整数) ⑶()n n n ab a b =(n 为整数) ⑷m n m n a a a -÷=(0a ≠，m 、n 为整数) 负整指数幂：一般地，当n 是正整数时，1 n n a a -= (0a ≠)，即n a -(0a ≠)是n a 的倒数 知识点睛 分式化简的技巧
【专题训练七】 分式化简求值解题技巧(可打印修改)
【专题训练七】 分式化简求值解题技巧 例1、（1）如果，那么 。 242114x x x =++42251553x x x -+=（2）若，则 。 a b c d b c d a ===a b c d a b c d -+-=+-+例2、若满足，则中 （ ） a b c 、、1111a b c a b c ++=++a b c 、、A 、必有两个数相等 B 、必有两个数互为相反数 C 、必有两个数互为倒数 D 、每两个数都不相等例3、化简求值：，其中满足 。22214()2442 a a a a a a a a ----÷++++a 2210a a +-=例4、已知且，求的值。2 410,a a ++=42321533a ma a ma a ++=++m 例5、已知满足，求证：这三个分数的值有两个为1，一a b c 、、222222222 1222b c a c a b a b c bc ac ab +-+-+-++=个为。 1-
针对性训练 1、已知那么 。 30,x y -=222()2x y x y x xy y +?-=-+2、已知且，则当时， 。 7x y +=12xy =x y <11x y -=3、已知，且，则 。 0abc ≠a b c b c a ==3223a b c a b c ++=--4、已知，则 。 2310x x -+=2 421x x x =++5、已知，则 。 0abc ≠0,a b c ++=1 11111((()a b c b c c a a b +++++=6、已知，则 。 323x y -=23796x y xy xy y x --=+-7、若，则代数式 。 4360,270(0)x y z x y z xyz --=+-=≠222222522310x y z x y z +-=--8、已知，则 。 2221110,1a b c a b c ++=++=a b c ++=