第3章 3.4～3.5 直线与平面的垂直关系 平面的法向量 Word版含解析

3．4～3.5直线与平面的垂直关系__平面的法向量

[读教材·填要点]

1．射影

(1)过空间任意一点P作平面α的垂线与α相交于点P0，则P0称为点P在平面α内的射影．

(2)预先给定平面α，空间任何一个图形的每一个点P在平面α上都有一个射影P0，所有这些P0在平面α上组成一个图形，称为这个空间图形在平面α上的射影．2．三垂线定理及其逆定理

(1)三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．

(2)三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直．

3．平面的法向量

与平面α垂直的非零向量称为α的法向量．

[小问题·大思维]

1．平面的法向量是唯一的吗？若不唯一，平面的法向量之间的关系是怎样的？

提示：平面的法向量不是唯一的，平面的不同法向量是共线的．

2．若直线l的一个方向向量为(1,1,1)，向量(1，－1,0)及向量(0,1，－1)都与平面α平行，则l与α有怎样的位置关系？

提示：∵(1,1,1)·(0,1，－1)＝0，

(1,1,1)·(1，－1，0)＝0，

而向量(1，－1,0)与向量(0,1，－1)不平行，∴l⊥α.

利用判定定理用向量法证明线面垂直

在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为BB1，D1B1的中点，求证：EF⊥平面B1AC.

[自主解答] 设正方体的棱长为2，建立如图所示的直角坐标系，则A (2，0,0)，C (0,2,0)，B 1(2,2,2)，E (2，2,1)，F (1,1,2)．

EF ―→＝(－1，－1,1)，AB 1―→＝(0,2，2)，AC ―→

＝(－2,2,0)． ∴EF ―→·AB 1―→＝(－1，－1,1)·(0,2,2)＝0， EF ―→·AC ―→＝(－1，－1,1)·(－2,2,0)＝0， ∴EF ⊥AB 1，EF ⊥AC .又AB 1∩AC ＝A ， ∴EF ⊥平面B 1AC .

利用判定定理，即通过证明向量数量积为0来验证直线的方向向量与平面内两条相交直线的方向向量垂直．

1．已知长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1，AB ＝2AD ，点E 是线段C 1D 1的中点，求证：DE ⊥平面EBC .

证明：建立如图所示的空间直角坐标系D -xyz ，设AD ＝1，则AA 1＝1，AB ＝2，则可得D (0,0,0)，E (0,1,1)，B (1,2,0)，C (0,2,0)，

DE ―→＝(0,1,1)，EB ―→＝(1,1，－1)， EC ―→

＝(0,1，－1)， 因为DE ―→·EB ―→＝1－1＝0， DE ―→·EC ―→＝1－1＝0， 所以DE ⊥EB ，DE ⊥EC ，

又EB ∩EC ＝E ，所以DE ⊥平面EBC .

求平面的法向量

在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，G ，E ，F 分别为AA 1，AB ，BC 的

中点，试建立适当的空间直角坐标系，求平面GEF 的法向量．

[自主解答] 以D 点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐

标系．

则G ⎝⎛⎭⎫a ，0，12a ，E ⎝⎛⎭⎫a ，12a ，0，F ⎝⎛⎭⎫1

2a ，a ，0， ∴GE ―→

＝⎝⎛⎭⎫0，12a ，－12a ， GF ―→

＝⎝⎛⎭⎫－12

a ，a ，－12a . 设平面GEF 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则 ⎩⎪⎨⎪⎧

n ·GE ―→＝0，n ·GF ―→＝0，即⎩⎨⎧

12ay －1

2az ＝0，－12ax ＋ay －12az ＝0.

令y ＝z ＝1，则x ＝1，

∴平面GEF 的一个法向量为(1,1,1)．

本例条件不变，求平面A 1EFC 1的法向量． 解：A 1(a,0，a )，E ⎝⎛⎭⎫a ，12a ，0，F ⎝⎛⎭⎫1

2a ，a ，0， ∴A 1E ―→＝⎝⎛⎭⎫0，12a ，－a ，A 1F ―→

＝⎝⎛⎭⎫－12a ，a ，－a . 设平面A 1EFC 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则 ⎩⎪⎨⎪⎧

n ·

A 1E ―→＝0，n ·

A 1F ―→＝0，即⎩⎨⎧

1

2ay －az ＝0，

－1

2ax ＋ay －az ＝0.

令y ＝2，z ＝1，则x ＝2.

∴平面A 1EFC 1的一个法向量为(2,2,1)．

求平面法向量的一般步骤为： (1)设出平面的法向量为n ＝(x ，y ，z )；

(2)找出(求出)平面的两个不共线的向量的坐标a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)；

(3)根据法向量的定义建立关于x ，y ，z 的方程组⎩

⎪⎨⎪

⎧

n ·a ＝0，n ·b ＝0；

(4)解方程组，取其中的一个解作为法向量，由于一个平面的法向量有无数多个，故可在方程组解中取一个最简单的作为平面的法向量．

2．已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A (1,2,3)，B (2,0，－1)，C (3，－2,0)，试求出平面ABC 的一个法向量．

解：设平面ABC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )． ∵A (1,2,3)，B (2,0，－1)，C (3，－2,0)， ∴AB ―→＝(1，－2，－4)，AC ―→

＝(2，－4，－3)， 由题设得： ⎩

⎪⎨⎪⎧

n ·AB ―→＝0，n ·AC ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y －4z ＝0，2x －4y －3z ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝2y ，

z ＝0，

取y ＝1，则x ＝2.

故平面ABC 的一个法向量为n ＝(2,1,0)．

利用法向量证明线面垂直

如图所示，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为AB ，

B 1

C 的中点．试用向量法判断MN 与平面A 1B

D 的位置关系．

[自主解答] 设正方体的棱长为1，以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系D -xyz .

则B (1,1,0)，A 1(1,0,1)， M ⎝⎛⎭⎫1，12，0，N ⎝⎛⎭⎫12，1，1

2， ∴DA 1―→＝(1,0,1)，DB ―→

＝(1,1,0)， MN ―→

＝⎝⎛⎭

⎫－12，12，12.