自适应动态步长法求点对应的平曲线桩号

的迭代原理与二分法一样， 但速度要快些。
二分法和 "+ 7’* 法不能适用于点对应多个桩号 （一般为回头曲线或点刚好在圆心上） 的情况 ， 否则 可能导致迭代发散， 这时， 用户可预先判断一下， 给 出大致的桩号区间或者进行分段迭代，便能解决上 述问题。采用二分法，在全长为 % 的平曲线上求精 （%( ! ） 23 度为 ! 的某点对应的桩号，最多需要运算 23! 次， 举例说，若某点在 ’"" () 长的平曲线上有一个 对应桩号点， 则求精度为 ’ )) 该桩号， 最多需要运 算 != 次， 运算效率与改进穷举法相比， 又有了大幅 度提高。 " 适应动态步长法 前面所述的算法有一个共同的缺点，就是迭代 步长的大小比较盲目，不能根据上一步的情况动态 调整， 若每次迭代步长能够根据目标距离自动修正， 结果会是什么样呢？这就引出了一种新的算法—— — 自适应动态步长法。 自适应动态步长法的迭代过程是这样的：第一 步， 假定 " 点对应的桩号点在 #$ 平曲线的中间桩号 （若 !’ 刚好 !’ 处，!’ 处的坐标和平曲线切线方位角 处于直线段， 切线方位角就取该直线自身方位角） 可
是已知一条平曲线和该平曲线上某点的桩号，求该 点的坐标和该点处平曲线的切角；另一个是已知一 条平曲线和某点坐标，求该点对应于平曲线上的桩 号、 距离并判断在路线左侧还是右侧。 对于第一个问题， 解决方法很简单， 只要求解相 应的数学方程即可（缓和曲线段采用级数展开法求 解） ， 而第二个问题是要反向查桩号， 若想直接通过 方程求精确解很困难，一般实用算法是采用穷举或 迭代法。这是一个比较费时的过程，算法的好坏直
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一般穷举法可以将所有可能的桩号点找出，并 且适用于所有复杂情况的平曲线，但这种等步长穷 举法运算次数太多，一条全长为 % 的平曲线，要求 得精度为 ! 的桩号点， 至少需要运算 % & ! 次， 举例 说， 假设有一段 ’"" () 长的连续平曲线， 要在其上 面求一个精度为 ’ )) 的桩号点，至少需要运算 ’"* 次！运算效率太低。 ’+ ! 改进穷举法 由上述可知， 当 &% , ’ " &%" &% - ’ 时， 在 !% , ’ 点与 至少存在一个桩号点为 " 点所对应的 !% - ’ 点之间， 桩号， 于是， 可以采用先大步长确定桩号点范围， 再 用小步长逐级提高精度的方法查找， 如图 !。
《现代交通技术 》 !""# 年第 $ 期 文章编号： %&’! ( )**) + !""# , "$ ( ""%" ( "$
道路工程
自适应动态步长法求点对应的平曲线桩号
肖 军， 狄庆芸
（江苏省交通规划设计院， 江苏 南京 !%"""# ）
摘
要： 求点对应平曲线上的桩号是路线程序中需要解决的基本问题之一， 由于需要进行迭代计算， 算法的好坏往
・ !!・
需要注意的是， 改进穷举法在初始计算时， 若步 长过大， 有可能漏掉有对应桩号的区间， 所以每次步 长的大小很有讲究。根据实际道路平曲线设计指 标， 一般最大在 ’" ) 范围内， 不会出现多于一个桩 号点的情况， 因此， 我们可以将 ’" ) 作为第一遍穷 举的初始步长， 找出所有桩号点的区间后， 再对这些 区间进一步加密穷举，每次步长为上次步长的 "+ ’ 倍， 如此下去， 直到达到所需精度为止。 改进穷举法也适用于所有复杂情况的平曲线。 采用改进穷举法，一条全长为 % 的平曲线，若某点 有 ’ 个对应的桩号点， 要求得精度为 ! 的这些桩号
往会影响整个系统的运行效率。 本文对常见的穷举法、 二分法、 在此基础上， 提出了 "- &%* 法的算法原理进行了介绍， “自适应动态步长法 ” 一种全新的高效算法 ， 并对这几种算法的运算效率进行了分析和实例对比。 关键词： 平曲线； 桩号； 算法； 迭代； 动态步长 中图分类号： .!%!- # 文献标识码： /
《现代交通技术 》 !""# 年第 $ 期
点， 最多需要运算 . % & ’" - ’"/ 0 1 ’ , 23 ! 4 5 次， 举例 说， 若某点在 ’"" () 长的平曲线上有一个对应桩号 最多需要运算 ’" $"" 点， 则求精度为 ’ )) 该桩号， 次， 运算效率与一般穷举法相比， 得到大幅度提高。 ’+ 6 二分法、 "+ 7’* 法 二分法是最常用的迭代算法之一， 算法如下：
以直接求出， 以 !) 点为原点， 线方位角方向为 " 坐 （右手系） 标轴方向， 建立新坐标系 !) #) $ 将 %点 )， 坐标转换到该坐标系中去， 假定 % 点在 !) #) $) 坐标 （ ） 系中的坐标为 &)， 第二次迭代时， 步长大小就取 ’) ， （ !) / &)，正负号也同 &)，即第二次迭代桩号 !! . ，再在 !! 处建立新坐标系，将 % 点坐标转换到 &)） 如此循环下去， 直到 &0 1 ) # !， 这时 !0 !! #! $! 中去， 就是 % 点对应精度为 ! 的桩号。 自适应动态步长法也不能适用于回头曲线的情 况， 但实际使用时， 用户确定唯一桩号区间是很容易 的。由于动态步长法每次迭代步长的大小、方向都 是根据上一次假定桩号点与实际点在平曲线切向距 离确定的，这个收缩步长能根据目标桩号点自动实 时修正， 而且从图 $ 可以看出， 每迭代一次， 假定桩 号点与实际点径向线包含的曲线的曲率就会变得更 小， 迭代步长与平曲线长就更接近， 所以收缩速度会 越来越快， 如果点恰好落在平曲线的直线段， 只要一 步就可得到精确桩号。实际使用中， 在 )"" 2& 长的 平曲线上查某点桩号，即使精度要求达到 )" 3 ’ &， 迭代次数一般也不会超过 )# 次， 其运算速度是以上 几种常用方法不可同日而语的。
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《现代交通技术 》 !""# 年第 $ 期
道路工程 ) . -""； 左拐圆弧 4 # . ’* ()- 5 / "!4 ( . ! """； 左拐缓和 4 # . ,!"4 ( 起 . !"""4 ( 终 . 无穷大4 ) . ’""； 右拐圆弧 4 # . )* -)( 5 / ",4 ( . $ """； 直线4 # . -* !(’ 5 / "!； 右拐圆弧 4 # . )* ($- 5 / ",4 ( . $ #""； 左拐圆弧 4 # . )* !-( 5 / ",4 ( . ( """； 右拐圆弧 4 # . +* --, 5 / "!4 ( . # (""； 左拐圆弧 4 # . )* !-# 5 / ",4 ( . # """； 右拐圆弧 4 # . )* +$, 5 / ",4 ( . # #""； 左拐圆弧 4 # . !* !!" 5 / ",4 ( . # #""； 右拐圆弧 4 # . )* !,, 5 / ",4 ( . ( #""； 左拐圆弧 4 # . )* !)" 5 / ",4 ( . ( #""； 直线4 # . (* ),’ 5 / "!； （以上 # 为各段平曲线长度，( 为圆弧段半径， ) 为缓和曲线段特征值） 平曲线起始桩号 . "* "4 在大地坐标系中的定位 如下 6 桩 号 . "* "" 处 4 坐 标 " . ,* -")5 / "(4 #* ,"# 5 / "#； *.
桩号 . - """ 处 4 坐标 " . ,* -"( 5 / "(4 * . #* ,#- 5 / "#； 求 % 7 ,-"(’$"， #,(+$- 8 在平曲线上对应的桩号 9:。
根据 % 点在局部坐标系中 $ 坐标的正负号， 可以方便地判断出 % 点在平曲线线的左侧、 右侧还 是正好在平曲线上。另外，前面所述的桩号都是径 向的， 有些情况下， 需要得到点的斜交桩号， 比如在 做斜桥方案时，动态步长法可以方便地实现这一功 能，只要把局部坐标系 # 轴方向与平曲线切线方向 设置成一定角度即可。 # 实例比较 现在采用以上 $ 种桩号算法，分别编制不同的 程序， 对同一条平曲线外的点进行实例计算对比。 如图 # ， 某高速公路主线全长 )(* !(’ 2&， 平曲 线共由 )$ 段曲线组成： 左拐缓和 4 # . !$#4 ( 起 . 无穷大 4 ( 终 . ! """4
平曲线中间桩号点为 !’ ， " 点与 !’ 点的连线 若 89:!’ ;"， 与 !’ 点处平曲线切线的夹角为 "’ ， !! 点取 !’ 与 # 的中间桩号， 若 89: "’< "，!! 点取 !’ 与 $ 的中间桩号，然后再计算 !! 点切线与 " 点连 线的夹角 "! ，用上述方法判断下一个二分点的位 置， 如此下去， 当 89: "% , ’ ;" 时， !% 取 !% , ’ 与相邻小 桩号点之间的中间桩号， 当 89: "% , ’< " 时， !% 取 !% , ’ 与相邻大桩点号之间的中间桩号， 如图 6。"+ 7’* 法
"
引言 一般来说， 在路线程序中， 有两个基本问题， 一
接影响着程序的运行效率。下面就针对几种常见的 桩号算法以及一种新的算法—— — 自适应动态步长 （本文不讨论平曲线断链 法， 进行详细的分析和比较 的情况） 。 ! %- % 几种常见的求桩号的算法 一般穷举法 一般穷举法思路很简单， 如图 %， 要求 D 点对应 的桩号，可以从平曲线的起点 ! 开始，桩号以一个 固定步长累加，求得平曲线上各桩号点 "% 、"!…… 与 # 点之间的距离， 假定 # 点到 ": 点的距离为 $， 则在此过程中， 当 $: ( %" $:" $: W % 时， 则可以初步断
作者简介： 肖军（%)’$ ( ） ， 男， 工程师， 从事道路与桥梁的设计工作。 ・ !"・
道路工程 定，在精度要求不大于该步长的情况下， !% 点为 " 点对应的桩号点之一（当平曲线为回头曲线，或 " 点在平曲线的圆心上等特殊情况下时， " 点有可能 对应多个桩号） 。 按此方法， 将两个端点 #、 $ 也考虑 在内， 只要步长足够小， 就可以在平曲线 #$ 全程范 围内， 寻找到所有可能的桩号点， 再结合夹角检查， 以排除非桩号点。