专题训练(八)解直角三角形常见的七种方法

专题训练(八) 解直角三角形常见的七种方法►方法一已知两边解直角三角形

1．在△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，根据下面的条件解直角三角形．

(1)b＝6，c＝2 2；(2)a＝4，b＝4 3.

2．如图8－ZT－1，已知AD为△BAC的角平分线，且AD＝2，AC＝3，∠C＝90°，求BC的长及AB的长．

图8－ZT－1

►方法二已知一边和一个锐角解直角三角形

3．在△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，根据下列条件解直角三角形．

(1)∠A＝60°，a＝6；

(2)∠A＝30°，b＝10 3.

4．已知：如图8－ZT －2，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，D 为BC 边上一点，且BD ＝2AD ，∠ADC ＝60°，求△ABC 的周长．(结果保留根号)

图8－ZT －2

► 方法三 已知一边和一锐角的三角函数值解直角三角形

5．2018·自贡改编如图8－ZT －3，在△ABC 中，CH ⊥AB 于点H ，BC ＝12，tan A ＝3

4，

∠B ＝30°；求AC 和AB 的长．

图8－ZT －3

6．如图8－ZT －4，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，sin A ＝4

5，BC ＝8，D 是AB 的中点，

过点B 作直线CD 的垂线，垂足为E .

(1)求线段CD 的长； (2)求cos ∠DBE 的值．

图8－ZT －4

►方法四“化斜为直法”解三角形

7．如图8－ZT－5，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝2 3.求AB的长．

图8－ZT－5

8．如图8－ZT－6，在△ABC中，CD是边AB上的中线，∠B是锐角，且sin B＝

2

2，tan A

＝1

2，AC＝3 5.

(1)求∠B的度数及AB的长；

(2)求tan∠CDB的值．

图8－ZT －6

► 方法五 “参数法”解直角三角形

9．2018·马鞍山一模如图8－ZT －7，在△ABD 中，AC ⊥BD 于点C ，BC CD ＝3

2，E 是AB

的中点，tan D ＝2，CE ＝1，求sin ∠ECB 的值和AD 的长．

图8－ZT －7

► 方法六 “等角代换法”解直角三角形

10．2018·当涂县六校联考如图8－ZT －8，在四边形ABCD 中，AC ，BD 是它的对角线，相交于点O ，∠ABC ＝∠ADC ＝90°，∠BCD 是锐角，BD ＝BC .求证：sin ∠BCD ＝BD AC

.

图8－ZT －8

► 方法七 “等比代换法”解直角三角形

11．如图8－ZT －9所示，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点B ，A ，与反比例函数的图象交于点C ，D ，CE ⊥x 轴于点E ，tan ∠ABO ＝1

2，OB ＝4，OE ＝

2.

(1)求该反比例函数的表达式；

(2)求直线AB对应的函数表达式．

图8－ZT－9

教师详解详析

1．解：(1)在Rt △ABC 中，由勾股定理，得a ＝c 2－b 2＝8－6＝ 2. ∵tan B ＝b a ＝6

2＝3，∴∠B ＝60°，

∴∠A ＝90°－∠B ＝30°.

(2)∵在△ABC 中，∠C ＝90°，a ＝4，b ＝4 3， ∴c ＝a 2＋b 2＝8.

∵sin A ＝a c ＝48＝1

2，∴∠A ＝30°，

∴∠B ＝90°－∠A ＝60°.

2．解：∵AD ＝2，AC ＝3，∠C ＝90°， ∴cos ∠CAD ＝AC AD ＝3

2，∴∠CAD ＝30°.

∵AD 为△BAC 的角平分线， ∴∠BAC ＝2∠CAD ＝60°，

∴BC ＝AC ·tan ∠BAC ＝3×tan60°＝3×3＝3. ∵△ABC 是直角三角形，

∴AB ＝BC 2＋AC 2＝9＋3＝2 3.

3．解：(1)∠B ＝90°－∠A ＝90°－60°＝30°. ∵sin A ＝a c ，∴c ＝6sin60°＝63

2＝4 3.

∵sin B ＝b

c

，

∴b ＝4 3×sin30°＝4 3×1

2＝2 3.

(2)∠B ＝90°－∠A ＝90°－30°＝60°. ∵tan A ＝a

b

，

∴a ＝10 3×tan30°＝10 3×

3

3

＝10. ∵sin A ＝a c ，∴c ＝10sin30°＝10

1

2

＝20.

4．解：在Rt △ADC 中，∵sin ∠ADC ＝AC

AD ，

∴AD ＝

AC sin ∠ADC ＝3

sin60°

＝2，

∴BD ＝2AD ＝4. ∵tan ∠ADC ＝AC

DC ，

∴DC ＝

AC tan ∠ADC ＝3

tan60°

＝1，

∴BC ＝BD ＋DC ＝5.

在Rt △ABC 中，AB ＝AC 2＋BC 2＝2 7，

∴△ABC 的周长＝AB ＋BC ＋AC ＝2 7＋5＋ 3. 5．解：在Rt △BCH 中，∵BC ＝12，∠B ＝30°， ∴CH ＝1

2BC ＝6，BH ＝BC 2－CH 2＝6 3.

在Rt △ACH 中，tan A ＝34＝CH

AH ，

∴AH ＝8，

∴AC ＝AH 2＋CH 2＝10，