您的位置：360文档中心› 最新中考数学几何压轴题汇编

最新中考数学几何压轴题汇编

合集下载

2023年 九年级数学中考复习 几何图形变换综合压轴题 专题训练(含答案)

2023年 九年级数学中考复习 几何图形变换综合压轴题 专题训练(含答案)

2023年春九年级数学中考复习《几何图形变换综合压轴题》专题训练（附答案）1．如图，△ABC和△ECD都是等边三角形，直线AE，BD交于点F．（1）如图1，当A，C，D三点在同一直线上时，∠AFB的度数为，线段AE与BD的数量关系为．（2）如图2，当△ECD绕点C顺时针旋转α（0°≤α＜360°）时，（1）中的结论是否还成立？若不成立，请说明理由；若成立，请就图2给予证明．（3）若AC＝4，CD＝3，当△ECD绕点C顺时针旋转一周时，请直接写出BD长的取值范围．2．如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D、E两点分别在AC、BC上，且DE∥AB，将△CDE绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．（1）问题发现：当α＝0°时，的值为；（2）拓展探究：当0°≤α＜360°时，若△EDC旋转到如图2的情况时，求出的值；（3）问题解决：当△EDC旋转至A、B、E三点共线时，若CE＝5，AC＝4，直接写出线段AD的长．3．已知：如图1，线段AD＝5，点B从点A出发沿射线AD方向运动，以AB为底作等腰△ABC，使得AC＝BC＝AB．（1）如图2，当AB＝10时，求证：CD⊥AB；（2）当△BCD是以BC为腰的等腰三角形时，求BC的长；（3）当AB＞5时，在线段BC上是否存在点E，使得△BDE与△ACD全等，若存在，求出BC的长；若不存在，请说明理由；（4）作点A关于直线CD的对称点A′，连接CA′当CA′∥AB时，CA′＝（请直接写出答案）．4．如图1，在△ABC中，AE⊥BC于点E，AE＝BE，D是AE上的一点，且DE＝CE，连接BD，CD．（1）试判断BD与AC的位置关系是：；数量关系是：；（2）如图2，若将△DCE绕点E旋转一定的角度后，试判断BD与AC的位置关系和数量关系是否发生变化，并说明理由；（3）如图3，若将（2）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变．①试猜想BD与AC的数量关系为：；②你能求出BD与AC的夹角度数吗？如果能，请直接写出夹角度数；如果不能，请说明理由．5．如图，平面直角坐标系中O为原点，Rt△ABC的直角顶点A在y轴正半轴上，斜边BC 在x轴上，已知B、C两点关于y轴对称，且C（﹣8，0）．（1）请直接写出A、B两点坐标；（2）动点P在线段AB上，横坐标为t，连接OP，请用含t的式子表示△POB的面积；（3）在（2）的条件下，当△POB的面积为24时，延长OP到Q，使得PQ＝OP，在第一象限内是否存在点D，使得△OQD是等腰直角三角形，如果存在，求出D点坐标；如果不存在，请说明理由．6．如图1，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，点D在AB边的延长线上，且CD ＝AB．（Ⅰ）求BD的长度；（Ⅱ）如图2，将△ACD绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜360°）得到△A'CD'．①若α＝30°，A'D'与CD相交于点E，求DE的长度；②连接A'D、BD'，若旋转过程中A'D＝BD'时，求满足条件的α的度数．（Ⅲ）如图3，将△ACD绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜360°）得到△A'CD'，若点M 为AC的中点，点N为线段A'D'上任意一点，直接写出旋转过程中线段MN长度的取值范围．7．如图①，将两个等腰直角三角形纸片OAB和OCD放置在平面直角坐标系中，点O（0，0），点A（0，+1），点B（+1，0），点C（0，1），点D（1，0）．（Ⅰ）求证：AC＝BD；（Ⅱ）如图②，现将△OCD绕点O顺时针方向旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°），连接AC，BD，这一过程中AC和BD是否仍然保持相等？说明理由；当旋转角α的度数为时，AC所在直线能够垂直平分BD；（Ⅲ）在（Ⅱ）的情况下，将旋转角α的范围扩大为0°＜α＜360°，那么在旋转过程中，求△BAD的面积的最大值，并写出此时旋转角α的度数．（直接写出结果即可）8．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，过点A作直线l平行于BC，点D是直线l上一动点，连接CD，射线DC绕点D顺时针旋转α交直线AB于点E．（1）如图1，若α＝60°，当点E在线段AB上时，请直接写出线段AC，AD，AE之间的数量关系，不用证明；（2）如图2，若α＝60°，当点E在线段BA的延长线上时，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明．（3）如图3，若α＝90°，BC＝6，AD＝，请直接写出AE的长．9．有一根直尺短边长4cm，长边长10cm，还有一块锐角为45°的直角三角形纸板，它的斜边长为16cm，如图甲，将直尺的短边DE与直角三角形纸板的斜边AB重合，且点D 与点A重合．将直尺沿射线AB方向平移，如图乙，设平移的长度为xcm，且满足0≤x ≤12，直尺和三角形纸板重叠部分的面积为Scm2．（1）当x＝0cm时，S＝；当x＝12cm时，S＝．（2）当0＜x＜8（如图乙、图丙），请用含x的代数式表示S．（3）是否存在一个位置，使重叠部分面积为28cm2？若存在求出此时x的值．10．如图①，C为线段BD上的一点，BC≠CD，分别以BC，BD为边在BD的上方作等边△ABC和等边△CDE，连接AE，F，G，H分别是BC，AE，CD的中点，连接FG，GH，FH．（1）△FGH的形状是；（2）将图①中的△CDE绕点C顺时针旋转，其他条件不变，（1）的结论是否成立？结合图②说明理由；（3）若BC＝2，CD＝4，将△CDE绕点C旋转一周，当A，E，D三点共线时，直接写出△FGH的周长．11．已知，射线AB∥CD，P是直线AC右侧一动点，连接AP，CP，E是射线AB上一动点，过点E的直线分别与AP，CP交于点M，N，与射线CD交于点F，设∠BAP＝∠1，∠DCP＝∠2．（1）如图1，当点P在AB，CD之间时，求证：∠P＝∠1+∠2；（2）如图2，在（1）的条件下，作△PMN关于直线EF对称的△P'MN，求证：∠3+∠4＝2（∠1+∠2）；（3）如图3，当点P在AB上方时，作△PMN关于直线EF对称的△P'MN，（1）（2）的结论是否仍然成立，若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出∠P，∠1，∠2之间数量关系，以及∠3，∠4与∠1，∠2之间数量关系．12．（1）如图1，平面直角坐标系中A（0，a），B（a，0）（a＞0）．C为线段AB的中点，CD⊥x轴于D，若△AOB的面积为2，则△CDB的面积为．（2）如图2，△AOB为等腰直角三角形，O为直角顶点，点E为线段OB上一点，且OB＝3OE，C与E关于原点对称，线段AB交x轴于点D，连CD，若CD⊥AE，试求的值．（3）如图3，点C、E在x轴上，B在y轴上，OB＝OC，△BDE是以B为直角顶点的等腰直角三角形，直线CB、ED交于点A，CD交y轴于点F，试探究：是否为定值？如果是定值，请求出该定值；如果不是，请求出其取值范围．13．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°．（1）如图1，点P，Q在线段BC上，AP＝AQ，∠BAP＝15°，求∠AQB的度数；（2）点P，Q在线段BC上（不与点B，C重合），AP＝AQ，点Q关于直线AC的对称点为M，连接AM，PM．①依题意将图2补全；②用等式表示线段BP，AP，PC之间的数量关系，并证明．14．【问题背景】如图1，在Rt△ABC中，AB＝AC，D是直线BC上的一点，将线段AD绕点A逆时针旋转90°至AE，连接CE，求证：△ABD≌△ACE；【尝试应用】如图2，在图1的条件下，延长DE，AC交于点G，BF⊥AB交DE于点F，求证：FG＝AE；【拓展创新】如图3，A是△BDC内一点，∠ABC＝∠ADB＝45°，∠BAC＝90°，BD ＝，直接写出△BDC的面积为．15．在平面直角坐标系中，A（a，0），B（0，b）分别是x轴负半轴和y轴正半轴上一点，点C与点A关于y轴对称，点P是x轴正半轴上C点右侧一动点．（1）当2a2+4ab+4b2+2a+1＝0时，求A，B的坐标；（2）当a+b＝0时，①如图1，若D与P关于y轴对称，PE⊥DB并交DB延长线于E，交AB的延长线于F，求证：PB＝PF；②如图2，把射线BP绕点B顺时针旋转45o，交x轴于点Q，当CP＝AQ时，求∠APB的大小．16．已知：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝6，左右作平行移动的等边三角形DEF的两个顶点E、F始终在边BC上，DE、DF分别与AB相交于点G、H．（1）如图1，当点F与点C重合时，点D恰好在斜边AB上，求△DEF的周长；（2）如图2，在△DEF作平行移动的过程中，图中是否存在与线段CF始终相等的线段？如果存在，请指出这条线段，并加以证明；如果不存在，请说明理由；（3）假设C点与F点的距离为x，△DEF与△ABC的重叠部分的面积为y，求y与x的函数关系式，并写出定义域．17．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝2，点D为边AC的中点（如图），点P、Q 分别是射线BC、BA上的动点，且BQ＝BP，联结PQ、QD、DP．（1）求证：PQ⊥AB；（2）如果点P在线段BC上，当△PQD是直角三角形时，求BP的长；（3）将△PQD沿直线QP翻折，点D的对应点为点D'，如果点D'位于△ABC内，请直接写出BP的取值范围．18．定义：如图1，点M，N把线段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，MN，BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点．（1）已知点M，N是线段AB的勾股分割点，若AM＝2，MN＝3，求BN的长．（2）如图2，在等腰直角△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点M，N为边AB上两点满足∠MCN＝45°，求证：点M，N是线段AB的勾股分割点；阳阳同学在解决第（2）小题时遇到了困难，陈老师对阳阳说：要证明勾股分割点，则需设法构造直角三角形，你可以把△CBN绕点C逆时针旋转90°试一试．请根据陈老师的提示完成第（2）小题的证明过程．19．问题背景如图（1），△ABD，△AEC都是等边三角形，△ACD可以由△AEB通过旋转变换得到，请写出旋转中心、旋转方向及旋转角的大小．尝试应用如图（2），在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC，AB为边，作等边△ACD和等边△ABE，连接ED，并延长交BC于点F，连接BD．若BD⊥BC，求的值．拓展创新如图（3），在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2，将线段AC绕点A顺时针旋转90°得到线段AP，连接PB，直接写出PB的最大值．20．【教材呈现】如图是苏科版九年级下册数学教材第92页的第17题．一块直角三角形木板，它的一条直角边AC长为1.5m，面积为1.5m2．甲乙两人分别按图1、图2把它加工成一个正方形的桌面，请说明哪个正方形的面积较大．【解决问题】（1）记图1、图2中的正方形面积分别为S1，S2，则S1S2．（填“＞”、“＜”或“＝”）．【问题变式】若木板形状是锐角三角形A1B1C1．某数学兴趣小组继续思考：按图3、图4、图5三种方式加工，分别记所得的正方形面积为S3、S4、S5，哪一个正方形的面积最大呢？（2）若木板的面积S仍为1.5m2．小明：记图3中的正方形为“沿B1C1边的内接正方形”，图4中的正方形为“沿A1C1边的内接正方形”，依此类推．以图3为例，求“沿B1C1边的内接正方形DEFG”的面积．设EF ＝x ，B 1C 1＝a ，B 1C 1边上的高A 1H ＝h ，则S ＝ah ．由“相似三角形对应高的比等于相似比”易得x ＝；同理可得图4、图5中正方形边长，再比较大小即可．小红：若要内接正方形面积最大，则x 最大即可；小莉：同一块木板，面积相同，即S 为定值，本题中S ＝1.5，因此，只需要a +h 最小即可．我们可以借鉴以前研究函数的经验，令y ＝a +h ＝a +＝a +（a ＞0）．下面来探索函数y ＝a +（a ＞0）的图象和性质．①根据如表，画出函数的图象：（如图6）a… 1 2 3 4 … y … 12 9 6 4 3 3 4 4…②观察图象，发现该函数有最小值，此时a 的取值 ；A ．等于2；B ．在1～之间；C ．在～之间；D ．在～2之间．（3）若在△A 1B 1C 1中（如图7），A 1B 1＝5，A 1C 1＝，高A 1H ＝4．①结合你的发现，得到S 3、S 4、S 5的大小关系是 （用“＜”连接）． ②小明不小心打翻了墨水瓶，已画出最大面积的内接正方形的△A 1B 1C 1原图遭到了污损，请用直尺和圆规帮他复原△A 1B 1C 1．（保留作图痕迹，不写作法）参考答案1．解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC，∠BAC＝∠ACB＝60°，∵△ECD是等边三角形，∴CE＝CD，∠DCE＝60°，∴∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB+∠BCE＝∠DCE+∠BCE，即∠ACE＝∠BCD，在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE＝BD，∠CAE＝∠CBD，在△ABF中，∠AFB＝180°﹣（∠BAF+∠ABF）＝180°﹣（∠BAF+∠CBF+∠ABC）＝180°﹣（∠BAC+∠ABC）＝180°﹣（60°+60°）＝60°，∴∠AFB＝60°，故答案为：∠AFB＝60°，AE＝BD；（2）（1）中结论仍成立，证明：∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC，∠BAC＝∠ACB＝60°，∵△ECD是等边三角形，∴CE＝CD，∠DCE＝60°，∴∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB+∠BCE＝∠DCE+∠BCE，即∠ACE＝∠BCD，在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE＝BD，∠CAE＝∠CBD，∵∠AFB+∠CBD＝∠ACB+∠CAE，∴∠AFB＝∠ACB，∵∠ACB＝60°，∴∠AFB＝60°；（3）在△BCD中，BC+CD＞BD，BC﹣CD＜BD，∴点D在BC的延长线上时，BD最大，最大为4+3＝7，当点D在线段BC上时，BD最小，最小为4﹣3＝1，∴1≤BD≤7，即BD长的取值范围为1≤BD≤7．2．解：（1）∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴△ABC为等腰直角三角形，∠B＝45°，∵DE∥AB，∴∠DEC＝∠B＝45°，∠CDE＝∠A＝90°，∴△DEC为等腰直角三角形，∴cos∠C＝＝，∵DE∥AB，∴＝＝，故答案为：；（2）由（1）知，△BAC和△CDE均为等腰直角三角形，∴＝＝，又∠BCE＝∠ACD＝α，∴△BCE∽△ACD，∴＝＝，即＝；（3）①如图3﹣1，当点E在线段BA的延长线上时，∵∠BAC＝90°，∴∠CAE＝90°，∴AE＝＝＝3，∴BE＝BA+AE＝4+3＝7；由（2）知，＝．故AD＝．②如图3﹣2，当点E在线段BA上时，AE＝＝＝3，∴BE＝BA﹣AE＝4﹣3＝1，由（2）知，＝．故AD＝．综上所述，AD的长为或，故答案为：或．3．解：（1）如图2中，∵AB＝10，AD＝5，∴AD＝DB，∵CA＝CB，AD＝DB，∴CD⊥AB．（2）如图1中，当AB＜AD时，BC＝BD．设AB＝10k，则AC＝BC＝6k，∵AD＝5，∴10k+6k＝5，∴k＝，∴BC＝6k＝．如图1﹣1中，当AB＞AD时，BC＝BD，同法可得10k﹣6k＝5，解得k＝，∴BC＝6k＝，综上所述，BC的值为或．（3）如图3﹣1中，当△ADC≌△BED时，BD＝AC＝BC，由（2）可知，BC＝．如图3﹣2中，当△ADC≌△BCE时，点E与C重合，此时AB＝10k＝10，∴k＝1，BC＝6k＝6．综上所述，BC的值为或6．（4）如图3中，当CA′∥AB时，∵CA′∥AB，∴∠ADC＝∠A′CD，由翻折可知，∠A′CD＝∠ACD，∴∠ACD＝∠ADC，∴AC＝AD＝5，∴CA′＝CA＝5．故答案为5．4．解：（1）结论：BD＝AC，BD⊥AC．理由：延长BD交AC于F．∵AE⊥CB，∴∠AEC＝∠BED＝90°．在△AEC和△BED中，，∴△AEC≌△BED（SAS），∴AC＝BD，∠CAE＝∠EBD，∵∠AEC＝90°，∴∠ACB+∠CAE＝90°，∴∠CBF+∠ACB＝90°，∴∠BFC＝90°，∴AC⊥BD，故答案为：BD⊥AC，BD＝AC．（2）如图2中，不发生变化，设DE与AC交于点O，BD与AC交于点F．理由是：∵∠BEA＝∠DEC＝90°，∴∠BEA+∠AED＝∠DEC+∠AED，∴∠BED＝∠AEC，在△BED和△AEC中，，∴△BED≌△AEC（SAS），∴BD＝AC，∠BDE＝∠ACE，∵∠DEC＝90°，∴∠ACE+∠EOC＝90°，∵∠EOC＝∠DOF，∴∠BDE+∠DOF＝90°，∴∠DFO＝180°﹣90°＝90°，∴BD⊥AC；（3）①如图3中，结论：BD＝AC，理由是：∵△ABE和△DEC是等边三角形，∴AE＝BE，DE＝EC，∠BEA＝∠DEC＝60°，∴∠BEA+∠AED＝∠DEC+∠AED，∴∠BED＝∠AEC，在△BED和△AEC中，，∴△BED≌△AEC（SAS），∴BD＝AC，故答案为：BD＝AC．②能；设BD与AC交于点F，由①知，△BED≌△AEC，∴∠BDE＝∠ACE，∴∠DFC＝180°﹣（∠BDE+∠EDC+∠DCF）＝180°﹣（∠ACE+∠EDC+∠DCF）＝180°﹣（60°+60°）＝60°，即BD与AC的夹角中的锐角的度数为60°．5．解：（1）∵B、C两点关于y轴对称，且C（﹣8，0），∴点B（8，0），BO＝CO，又∵AO⊥BC，∴AC＝AB，∵∠CAB＝90°，AC＝AB，CO＝BO，∴AO＝CO＝BO＝8，∴点A（0，8）；（2）如图1，过点P作PM⊥OB于M，∵点P的横坐标为t，∴OM＝t，∴MB＝8﹣t，∵∠CAB＝90°，AC＝AB，∴∠ABO＝45°，∴∠BPM＝∠ABO＝45°，∴PM＝MB＝8﹣t，∴S△POB＝×OB×PM＝×8×（8﹣t）＝32﹣4t；（3）∵△POB的面积为24，∴32﹣4t＝24，∴t＝2，∴点P（2，6），如图2，当点Q为直角顶点时，过点Q作HG⊥y轴，过点D作DG⊥HG于点G，∵PQ＝OP，点P（2，6），∴点Q（4，12），∵∠OQD＝90°＝∠OHQ＝∠QGD，∴∠OQH+∠DQG＝90°＝∠OQH+∠HOQ，∴∠HOQ＝∠GQD，又∵OQ＝QD，∴△OHQ≌△QGD（AAS），∴OH＝QG＝12，HQ＝GD＝4，∴HG＝16，∴点D（16，8）；当点D为直角顶点时，过点Q作HG⊥y轴，过点D作DG⊥HG于点G，过点D作DN ⊥y轴于N，同理可求△QDG≌△ODN，∴ON＝QG，DN＝DG，∵DN＝QG+HQ＝4+QG，DG＝HN＝12﹣ON，∴ON＝QG＝4，DN＝DG＝8，∴点D（8，4），综上所述：点D（16，8）或（8，4）．6．解：（Ⅰ）如图1，过点C作CH⊥AB于H，∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，CH⊥AB，∴AB＝CD＝6，CH＝BH＝AB＝3，∠CAB＝∠CBA＝45°，∴DH＝＝＝3，∴BD＝DH﹣BH＝3﹣3；（Ⅱ）①如图2，过点E作EF⊥CD'于F，∵将△ACD绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜360°）得到△A′CD′，∴CD＝CD'＝6，∠DCD'＝30°＝∠CDA＝∠CD'A'，∴CE＝D'E，又∵EF⊥CD'，∴CF＝D'F＝3，EF＝，CE＝2EF＝2，∴DE＝DC﹣CE＝6﹣2；②如图2﹣1，∵∠ABC＝45°，∠ADC＝30°，∴∠BCD＝15°，∴∠ACD＝105°，∵将△ACD绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜360°）得到△A′CD′，∴AC＝A'C，CD＝CD'，∠ACA'＝∠DCD'＝α，∴CB＝CA'，又∵A′D＝BD′，∴△A'CD≌△BCD'（SSS），∴∠A'CD＝∠BCD'，∴105°﹣α＝15°+α，∴α＝45°；如图2﹣2，同理可证：△A'CD≌△BCD'，∴∠A'CD＝∠BCD'，∴α﹣105°＝360°﹣α﹣15°，∴α＝225°，综上所述：满足条件的α的度数为45°或225°；（Ⅲ）如图3，当A'D'⊥AC时，N是AC与A'D'的交点时，MN的长度最小，∵∠A'＝45°，A'D'⊥AC，∴∠A'＝∠NCA'＝45°，∴CN＝A'N＝3，∵点M为AC的中点，∴CM＝AC＝3，∴MN的最小值＝NC﹣CM＝3﹣3；如图4，当点A，点C，点D'共线，且点N与点D'重合时，MN有最大值，此时MN＝CM+CN＝6+3，∴线段MN的取值范围是3﹣3≤MN≤6+3．7．解：（Ⅰ）∵点A（0，+1），点B（+1，0），点C（0，1），点D（1，0），∴OA＝+1，OB＝+1，OC＝1，OD＝1，∴AC＝OA﹣OC＝+1﹣1＝，BD＝+1﹣1＝，∴AC＝BD；（Ⅱ）由题意知，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠AOC＝∠AOB﹣∠COB＝90°﹣∠COB，∠BOD＝∠COD﹣∠COB＝90°﹣∠COB，∴∠AOC＝∠BOD，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴AC＝BD，∠OAC＝∠OBD，如图1（注：点C在x轴上，为了不要出现误解，点C没画在x轴上），延长AC交BD 于D，连接BC，在Rt△AOB中，OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝45°，∴∠CAB+∠ABD＝∠OAB﹣∠OAC+∠ABO+∠BOD＝∠OAB+∠OBA＝90°，∴AC⊥BD，∵AC垂直平分BD，∴CD＝BC，设点C的坐标为（m，n），∴m2+n2＝1①，由旋转知，CD＝＝，∵B（+1，0），[m﹣（+1）]2+n2＝2②，联立①②解得，m＝1，n＝0，∴点C在x轴上，∴旋转角为∠AOC＝90°，故答案为：90°；（Ⅲ）如图2，∵OA＝OB＝+1，∴AB＝OA＝2+，过点O作OH⊥AB于H，∴S△AOB＝OA•OB＝AB•OH，∴OH＝＝＝＝，过点D作DG⊥AB于G，S△ABD＝AB•DG＝（2+）DG，要使△ABD的面积最大，则DG最大，由旋转知，点D是以O为圆心，1为半径的圆上，∴点D在HO的延长线上时，DG最大，即DG的最大值为D'H＝OD'+OH＝1+＝，∴S△ABD最大＝AB•D'H＝（2+）×＝，在Rt△AOB中，OA＝OB，OH⊥AB，∴∠BOH＝45°，∴旋转角∠BOD'＝180°﹣45°＝135°．8．解：（1）AC＝AE+AD．证明：连接CE，∵线段DC绕点D顺时针旋转α交直线AB于点E，α＝60°，∵AB＝AC，∠BAC＝60°，∴CB＝CA＝AB，∠ACB＝60°，∵AD∥BC，∴∠DAF＝∠ACB＝60°，∵∠FDC＝∠EAF＝60°，∠AFE＝∠DFC，∴△AFE∽△DFC，∴，∴，∵∠AFD＝∠EFC，∴△AFD∽△EFC，∴∠DAF＝∠FEC＝60°，∴△DEC是等边三角形，∴CD＝CE，∠ECD＝60°，∴∠BCE＝∠ACD，∴△BCE≌△ACD（SAS），∴BE＝AD，∴AB＝AE+BE＝AE+AD，∴AC＝AE+AD；（2）不成立，AD＝AC+AE．理由如下：在AC的延长线上取点F，使AF＝AD，连接DF，当α＝60°时，∠BAC＝∠EDC＝60°，∵AB＝AC，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC∠BCA＝60°，∵l∥BC，∴∠DAC＝∠BCA＝60°，∠EAD＝∠ABC＝60°，∵AF＝AD，∴∠ADF＝∠AFD＝60°，AD＝FD＝AF，∴∠EDC＝∠ADF＝60°，∴∠EDC﹣∠ADC＝∠ADF﹣∠ADC，即∠EDA＝∠CDF，∵AD＝FD，∠EAD＝∠AFD＝60°，∴△EAD≌△CFD（ASA），∴AE＝CF，∴AD＝AF＝AC+CF＝AC+AE；（3）AE的长为或．当点E在线段AB上，过点D作直线l的垂线，交AC于点F，如图3所示．∵△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝AB，∴∠ACB＝∠B＝45°．∵直线l∥BC，∴∠DAF＝∠ACB＝45°．∵FD⊥直线l，∴∠DAF＝∠DF A＝45°．∴AD＝FD．∵∠EDC＝∠ADF＝90°，∴∠ADE＝∠FDC．由（1）可知DC＝DE，∴△ADE≌△FDC（SAS），∴AE＝CF．∵AD＝，∴AF＝2，∵BC＝6，∴AC＝AB＝3，∴AE＝AC﹣AF＝3﹣2．当点E在线段AB的延长线上时，如图4所示．过点D作直线l的垂线，交AB于点M，同理可证得△ADC≌△MDE（SAS），∴AC＝EM＝3，∵AD＝，∴AM＝2，∴EM+AM＝3+2．综合以上可得AE的长为3+2或3﹣2．9．解：（1）当x＝0cm时，S＝4×4÷2＝8cm2；当x＝12cm时，S＝4×4÷2＝8cm2．故答案为：8cm2；8cm2．（2）①当0＜x＜4时，∵△CAB为等腰直角三角形，∴∠CAB＝45°，∴△ADG和△AEF都是等腰直角三角形，∴AD＝DG＝x，AE＝EF＝x+4，∴梯形GDEF的面积＝×（GD+EF）×DE＝×（x+x+4）×4＝4x+8．②如图所示：过点C作CM⊥AB于点M．当4＜x＜8时，梯形GDMC的面积＝（GD+CM）×DM＝（x+8）（8﹣x）＝﹣x2+32，梯形CMEF的面积＝（EF+CM）×ME＝[16﹣（x+4）+8][（x+4）﹣8]＝（20﹣x）（x﹣4）＝﹣x2+12x﹣40，S＝梯形GDMC的面积+梯形CMEF的面积＝（﹣x2+32）+（﹣x2+12x﹣40）＝﹣x2+12x ﹣8．综合以上可得，S＝．（3）当0＜x＜4时s最大值小于24，当x＝4时，S＝24cm2，所以当S＝28cm2时，x必然大于4，即﹣x2+12x﹣8＝28，解得x1＝x2＝6，当x＝6cm时，阴影部分面积为28cm2．当8＜≤12时，由对称性可知s的最大值也是小于24，不合题意舍去．∴当x＝6cm时，阴影部分面积为28cm2．10．解：（1）∵△ABC和△CDE都是等边三角形，∴∠B＝∠DCE＝60°，AB＝BC，CE＝CD，∴CE∥AB，∵BC≠CD，∴CE≠AB，∴四边形ABCE是梯形，∵点F，G分别是BC，AE的中点，∴FG是梯形ABCE的中位线，∴FG∥AB，∴∠GFC＝60°，同理：∠GHB＝60°，∴∠FGH＝180°﹣∠GFC﹣∠GHB＝60°＝∠GFC＝∠GHB，∴△FGH是等边三角形，故答案为：等边三角形；（2）成立，理由如下：如图1，取AC的中点P，连接PF，PG，∵△ABC和△CDE都是等边三角形，∴AB＝BC，CE＝CD，∠BAC＝∠ACB＝∠ECD＝∠B＝60°，又F，G，H分别是BC，AE，CD的中点，∴FP＝AB，FC＝BC，CH＝CD，PG＝CE，PG∥CE，PF∥AB，∴FP＝FC，PG＝CH，∠GPC+∠PCE＝180°，∠FPC＝∠BAC＝60°，∠PFC＝∠B＝60°，∴∠FPG＝∠FPC+∠GPC＝60°+∠GPC，∠GPC＝180°﹣∠PCE，∴∠FCH＝360°﹣∠ACB﹣∠ECD﹣∠PCE＝360°﹣60°﹣60°﹣（180°﹣∠GPC）＝60°+∠GPC，∴∠FPG＝∠FCH，∴△FPG≌△FCH（SAS），∴FG＝FH，∠PFG＝∠CFH，∴∠GFH＝∠GFC+∠CFH＝∠GFC+∠PFG＝∠PFC＝60°，∴△FGH为等边三角形；（3）①当点D在AE上时，如图2，∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，AC＝BC＝2，∵△CDE是等边三角形，∴∠CED＝∠CDE＝60°，CE＝CD＝DE＝4，过点C作CM⊥AE于M，∴DM＝EM＝DE＝2，在Rt△CME中，根据勾股定理得，CM＝＝＝2，在Rt△AMC中，根据勾股定理得，AM＝＝＝4，∴AD＝AM﹣DM＝4﹣2＝2，∵∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB，∴∠ACD＝∠BCE，连接BE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE＝AD＝2，∠ADC＝∠BEC，∵∠ADC＝180°﹣∠CDE＝120°，∴∠BEC＝120°，∴∠BEA＝∠BEC﹣∠CED＝60°，过点B作BN⊥AE于N，∴∠BNE＝90°，在Rt△BNE中，∠EBN＝90°﹣∠BEA＝30°，∴EN＝BE＝1，∴BN＝EN＝，DN＝DE﹣EN＝3，连接BD，根据勾股定理得，BD＝＝＝2，∵点H是CD的中点，点F是BC的中点，∴FH是△BCD的中位线，∴FH＝BD＝，由（2）知，△FGH是等边三角形，∴△FGH的周长为3FH＝3，②当点D在AE的延长线上时，如图3，同①的方法得，FH＝，∴△FGH的周长为3FH＝3，即满足条件的△FGH的周长为3或3．11．（1）证明：如图1中，过点P作PT∥AB．∵AB∥CD，AB∥PT，∴AB∥PT∥CD，∴∠1＝∠APT，∠2＝∠CPT，∴∠APC＝∠APT+∠CPT＝∠1+∠2．（2）证明：如图2中，连接PP′．∵∠3＝∠MPP′+∠MP′P，∠4＝∠NPP′+∠NP′P，∠APC＝∠MP′N，∴∠3+∠4＝2∠APC，∵∠APC＝∠1+∠2，∴∠3+∠4＝2（∠1+∠2）．（3）结论不成立．结论是：∠P＝∠2﹣∠1，∠4﹣∠3＝2（∠2﹣∠1）．理由：如图3中，设PC交AB于E，AP交NP′于F．∵AB∥CD，∴∠PEB＝∠2，∵∠PEB＝∠1+∠P，∴∠2＝∠P+∠1，∴∠P＝∠2﹣∠1．∵∠4＝∠P+∠PFN，∠PFN＝∠3+∠P′，∠P＝∠P′，∴∠4＝∠P+∠3+∠P，∴∠4﹣∠3＝2∠P＝2（∠2﹣∠1），∴∠4﹣∠3＝2（∠2﹣∠1）．12．解：（1）∵A（0，a），B（a，0）（a＞0），∴OA＝a，OB＝a，∵△AOB的面积为2，∴S△AOB＝×a×a＝2，∴a＝2（负值舍去），∴A（0，2），B（2，0），∵C为线段AB的中点，∴C（1，1），∴OD＝BD＝CD＝1，∴S△CDB＝×1×1＝．故答案为：．（2）连AC，过点D作DM⊥BC于M，∵△AOB是等腰直角三角形，∴AO⊥BO，AO＝BO，∠B＝∠OAB＝45°，又CO＝EO，∴AO是CE的垂直平分线，∴AE＝AC，不妨设AE、CD交于F，AO、CD交于G，∴∠CGA＝∠OAE+∠AFC＝∠OCD+∠COA，∵∠AFC＝∠COA＝90°，∴∠OAE＝∠OCD＝∠OAC，又∵∠CAD＝∠CAO+∠OAB＝∠OCD+∠B＝∠CDA，∴CD＝CA＝EA，∴△AOE≌△CMD（AAS），∴OE＝DM，∴＝＝＝3，∴＝2；（3）＝2，理由如下：作点C关于y轴的对称点N，连接BN，作DM∥BC交y轴于M，∵OB＝OC＝ON，∠BON＝90°，∴△BON等腰直角三角形，∴∠BNO＝∠BMD＝45°，∴∠MBD＝∠OBE+∠DBE＝∠OBE+∠BOE＝∠BEN，又∵BD＝BE，∴△BMD≌△ENB（AAS），∴EN＝BM，BN＝DM＝BC，又∵∠BFC＝∠DFM，∠BCF＝∠FDM，∴△BCF≌△MDF（AAS），∴BF＝MF，∴CO﹣EO＝NO﹣EO＝NE＝BM＝2BF，即＝2．13．解：（1）∵在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠C＝45°，∵∠APQ是△ABC的一个外角，∴∠APQ＝∠B+∠BAP，∵∠BAP＝15°，∴∠APQ＝60°，∵AP＝AQ，∴∠APQ＝∠AQB＝60°．（2）①图形如图2所示．②解：结论：PC2+BP2＝2AP2．理由：连接MC．∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACB＝45°，∵AP＝AQ，∴∠APQ＝∠AQP，∴∠BAP＝∠CAQ，∴△ABP≌△ACQ（SAS），∴BP＝CQ，∵点Q关于直线AC的对称点为M，∴AQ＝AM，CQ＝CM，∠CAM＝∠CAQ，∠ACM＝∠ACQ＝45°，∴AP＝AM，∠B＝∠ACM＝45°，∠BAP＝∠CAM，BP＝CM，∴∠BAC＝∠P AM＝90°，在Rt△APM中，AP＝AM，∠P AM＝90°，∴PM＝，∵∠ACQ＝∠ACM＝45°，∴∠PCM＝90°，在Rt△PCM中，∠PCM＝90°，∴PC2+CM2＝PM2，∴PC2+BP2＝2AP2．14．【问题背景】证明：如图1，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠DAB＝∠EAC，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS）．【尝试应用】证明：如图2，过点D作DK⊥DC交FB的延长线于K．∵DK⊥CD，BF⊥AB，∴∠BDK＝∠ABK＝90°，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∴∠DBK＝∠K＝45°，∴DK＝DB，∵△ABD≌△ACE，∴∠ABD＝∠ACE＝135°，DB＝EC＝DK，∴∠ECG＝45°，∵BF⊥AB，CA⊥AB，∴AG∥BF，∴∠G＝∠DFK，在△ECG和△DKF中，，∴△ECG≌△DKF（AAS），∴DF＝EG，∵DE＝AE，∴DF+EF＝AE，∴EG+EF＝AE，即FG＝AE．【拓展创新】解：如图3中，过点A作AE⊥AD交BD于E，连接CE．．∵∠ADB＝45°，∠DAE＝90°，∴△ADE与△ABC都是等腰直角三角形，同法可证△ABD≌△ACE，∴CE＝BD＝2，∵∠AEC＝∠ADB＝45°，∴∠CED＝∠CEB＝90°，∴S△BDC＝•BD•CE＝×2×2＝6．故答案为：6．15．解：（1）∵2a2+4ab+4b2+2a+1＝0，∴（a+2b）2+（a+1）2＝0，∵（a+2b）2≥0 （a+1）2≥0，∴a+2b＝0，a+1＝0，∴a＝﹣1，b＝，∴A（﹣1，0）B（0，）．（2）①证明：如图1中，∵a+b＝0，∴a＝﹣b，∴OA＝OB，又∵∠AOB＝90°，∴∠BAO＝∠ABO＝45°，∵D与P关于y轴对称，∴BD＝BP，∴∠BDP＝∠BPD，设∠BDP＝∠BPD＝α，则∠PBF＝∠BAP+∠BP A＝45°+α，∵PE⊥DB，∴∠BEF＝90°，∴∠F＝90o﹣∠EBF，又∠EBF＝∠ABD＝∠BAO﹣∠BDP＝45°﹣α，∴∠F＝45o+α，∴∠PBF＝∠F，∴PB＝PF．②解：如图2中，过点Q作QF⊥QB交PB于F，过点F作FH⊥x轴于H．可得等腰直角△BQF，∵∠BOQ＝∠BQF＝∠FHQ＝90°，∴∠BQO+∠FQH＝90°，∠FQH+∠QFH＝90°，∴∠BQO＝∠QFH，∵QB＝QF，∴△FQH≌△QBO（AAS），∴HQ＝OB＝OA，∴HO＝AQ＝PC，∴PH＝OC＝OB＝QH，∴FQ＝FP，又∠BFQ＝45°∴∠APB＝22.5°．16．解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝6，∴AC＝2，∠A＝60°，∵△DEF是等边三角形，∴∠DCE＝60°，∴∠ACD＝30°，∴∠ADC＝90°，∴CD＝AC＝3，∴△DEF的周长＝9；（2）解：结论：CF＝DG．理由：∵BC＝6，EF＝DF＝DE＝3，∴CF+BE＝BC﹣EF＝6﹣3＝3，∵△DEF是等边三角形，∴∠DEF＝60°，∵∠DEF＝∠B+∠EGB，∴∠B＝∠EGB＝∠DGE＝30°，∴EG＝BE，∵EG+DG＝CF+BE＝3，∴CF＝DG；（3）∵S△DEF＝×32＝，S△DGH＝•GH•DH＝•x•x＝x2，y＝S△DFE﹣S△DHG＝﹣x2（0≤x≤3）．17．解：（1）在Rt△ABC中，AC＝2，BC＝2，根据勾股定理得，AB＝＝＝4，∴＝，∵BQ＝BP，∴＝，∴，∵∠QBP＝∠CBA，∴△BPQ∽△BAC，∴∠BQP＝∠ACB＝90°，∴PQ⊥AB；（2）∵点D是AC的中点，∴AD＝CD＝AC＝1，由（1）知，PQ⊥AB，∴∠AQP＝90°，∴∠PQD＜90°，∵△PQD是直角三角形，∴①当∠DPQ＝90°时，如图1，在Rt△ABC中，AC＝2，AB＝4，∴sin∠ABC＝＝，∴∠ABC＝30°，∴∠QPB＝90°﹣∠ABC＝60°，∴∠DPC＝90°﹣∠BPQ＝30°，∴CP＝＝＝，∴BP＝BC﹣CP＝，②当∠PDQ＝90°时，∴∠ADQ+∠PDC＝90°，如图2，过Q作QE⊥AC于E，∴∠DEQ＝90°＝∠ACB，∴∠ADQ+∠DQE＝90°，∴∠DQE＝∠PDC，∴△EQD∽△CDP，∴，∴，设BP＝t，则CP＝BC﹣BP＝2﹣t，在Rt△BQP中，BQ＝BP cos30°＝t，∴AQ＝AB﹣BQ＝4﹣t，在Rt△AEQ中，QE＝AQ cos30°＝（4﹣t）•＝2﹣t，AE＝AQ＝2﹣t，∴DE＝AD﹣AE＝t﹣1，∴，∴t＝或t＝（大于2，舍去）∴BP＝；即BP＝或；（3）；理由：如图3，①当点D'恰好落在边BC上时，由折叠知，PD'＝PD，PQ⊥DD'，由（1）知，PQ⊥AB，∴DD'∥AB，∴∠DD'C＝∠ABC＝30°，∴CD'＝CD＝，设BP＝m，则CP＝BC﹣BP＝2﹣m，∴DP＝D'P＝CD'﹣CP＝m﹣，在Rt△CDP中，根据勾股定理得，DP2＝CP2+CD2，∴（m﹣）2＝（2﹣m）2+1，∴m＝，②当点D'落在D时，即PQ过点D，在Rt△CDP'中，∠P'＝90°﹣∠DD'P'＝30°，∴CP'＝＝＝，∴BP'＝BC+CP'＝，综上：．18．（1）解：当MN最长时，BN＝＝＝；当BN最长时，BN＝＝＝，综合以上可得BN的长为或；（2）证明：如图，把△CBN绕点C逆时针旋转90°，得到△CAN'，连接MN'，∴△AN'C≌△BNC，∴CN'＝CN，∠ACN'＝∠BCN，∠CBN＝∠CAN'，∵∠MCN＝45°，∴∠N'CA+∠ACM＝∠ACM+∠BCN＝45°，∴∠MCN'＝∠BCM，∴△MN'C≌△MNC（SAS），∴MN'＝MN，∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠B＝∠CAM＝45°，∴∠CAN'＝45°，∴∠MAN'＝∠CAN'+∠CAM＝45°+45°＝90°，在Rt△MN'A中，AN'2+AM2＝N'M2，∴BN2+AM2＝MN2，∴点M，N是线段AB的勾股分割点．19．问题背景解：∵△ABD，△AEC都是等边三角形，∴∠BAD＝60°，∠CAE＝60°，AD＝AB，AC＝AE，∴∠BAD+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，∴∠DAC＝∠BAE，∴△ACD≌△AEB（SAS），∴△ACD可以由△AEB绕点A顺时针旋转60°得到，即旋转中心是点A，旋转方向是顺时针，旋转角是60°；尝试应用∵△ACD和△ABE都是等边三角形，∴AC＝AD，AB＝AE，∠CAD＝∠BAE＝60°，∴∠CAB＝∠DAE，∴△ADE≌△ACB（SAS），∴∠ADE＝∠ACB＝90°，DE＝CB，∵∠ADE＝90°，∴∠ADF＝90°，∵∠ADC＝∠ACD＝60°，∴∠DCF＝∠CDF＝30°，∴CF＝DF，∵BD⊥BC，∴∠BDF＝30°，∴BF＝DF，设BF＝x，则CF＝DF＝2x，DE＝3x，∴；拓展创新∵∠ACB＝90°，∴点C在以AB为直径的圆上运动，取AB的中点D，连接CD，∴CD＝AB＝1，如图，过点A作AE⊥AB，且使AE＝AD，连接PE，BE，∵将线段AC绕点A顺时针旋转90°得到线段AP，∴∠P AC＝90°，P A＝AC，∵∠EAD＝90°，∴∠P AE＝∠CAD，∴△CAD≌△P AE（SAS），∴PE＝CD＝1，∵AB＝2，AE＝AD＝1，∴BE＝＝＝，∴BP≤BE+PE＝+1，当且仅当P、E、B三点共线时取等号，∴BP的最大值为+1．20．解：（1）由AC长为1.5m，△ABC的面积为1.5m2，可得BC＝2m，如图①，设加工桌面的边长为xcm，∵DE∥CB，∴△ADE∽△ACB，∴＝，即＝，解得：x＝；如图②，设加工桌面的边长为ym，过点C作CM⊥AB，分别交DE、AB于点N、M，∵AC＝1.5m，BC＝2m，∴AB＝＝＝2.5（m），∵△ABC的面积为1.5m2，∴CM＝m，∵DE∥AB，∴△CDE∽△CAB，∴＝，即＝，解得：y＝，∴x＞y，即S1＞S2，故答案为：＞．（2）①函数图象如图6所示：②观察图象，发现该函数有最小值，此时a的取值～2之间．故选D．（3）①由（2）可知，S5＜S4＜S3．故答案为：S5＜S4＜S3．②如图7，△A1B1C1即为所求作．。

中考数学几何压轴题及答案及答案

中考数学几何压轴题及答案及答案

中考数学几何压轴题及答案一、解答题（共30小题）1.观察猜想（1）如图①，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝3，点D与点A重合，点E在边BC上，连接DE，将线段DE绕点D顺时针旋转90°得到线段DF，连接BF，BE与BF的位置关系是，BE+BF＝；探究证明（2）在（1）中，如果将点D沿AB方向移动，使AD＝1，其余条件不变，如图②，判断BE与BF的位置关系，并求BE+BF的值，请写出你的理由或计算过程；拓展延伸（3）如图③，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点D在边BA的延长线上，BD＝n，连接DE，将线段DE绕着点D顺时针旋转，旋转角∠EDF＝α，连接BF，则BE+BF的值是多少？请用含有n，α的式子直接写出结论2.在△ABC的边BC上取B′、C′两点，使∠AB′B＝∠AC′C＝∠BAC（1）如图1中∠BAC为直角，∠BAC＝∠AB′B＝∠AC′C＝90°（点B′与点C′重合），则△ABC∽△B'BA∽△C'AC，，，进而可得AB2+AC2＝；（2）如图2中当∠BAC为锐角，图3中∠BAC为钝角时（1）中的结论还成立吗？若不成立，则AB2+AC2等于什么（用含用BC和B′C′的式子表示）？并说明理由（3）若在△ABC中，AB＝5，AC＝6，BC＝9，请你先判断出△ABC的类型，再求出B′C′的长3．（1）问题发现如图1，在Rt△ABC和Rt△CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝45°，点D是线段AB上一动点，连接BE填空：①的值为；②∠DBE的度数为．（2）类比探究如图2，在Rt△ABC和Rt△CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝60°，点D是线段AB上一动点，连接BE．请判断的值及∠DBE的度数，并说明理由；（3）拓展延伸如图3，在（2）的条件下，将点D改为直线AB上一动点，其余条件不变，取线段DE 的中点M，连接BM、CM，若AC＝2，则当△CBM是直角三角形时，线段BE的长是多少？请直接写出答案．4.（1）问题发现：如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC的中点，以点D为顶点作正方形DFGE，使点A、C分别在DE和DF上，连接BE、AF．则线段BE 和AF数量关系．（2）类比探究：如图②，保持△ABC固定不动，将正方形DFGE绕点D旋转α（0°＜α≤360°），则（1）中的结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．（3）解决问题：若BC＝DF＝2，在（2）的旋转过程中，连接AE，请直接写出AE的最大值．5.如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，以点O为顶点的∠EOF的两边分别与边AB、AD交于点E、F，且∠EOF与∠BAD互补．（1）若四边形ABCD是正方形，则线段OE与OF有何数量关系？请直接写出结论；（2）若四边形ABCD是菱形，那么（1）中的结论是否成立？若成立，请画出图形并给出证明；若不成立，请说明理由；（3）若AB：AD＝m：n，探索线段OE与OF的数量关系，并证明你的结论.6.如图（1），已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为点E，GF⊥CD，垂足为点F.（1）证明与推断：①求证：四边形CEGF是正方形；②推断：的值为：（2）探究与证明：将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图（2）所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展与运用：正方形CEGF在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长CG交AD于点H．若AG＝6，GH＝2，则BC＝．7.如图1，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，点D、E分别是AC、BC的中点，连接DE.定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．探索发现：图1中，的值为；的值为．（2）拓展探完若将△CDE绕点C逆时针方向旋转一周，在旋转过程中的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．（3）问题解决当△CDE旋转至A，D，E三点共线时，直接写出线段BE的长．8.已知△ABC是边长为4的等边三角形，边AB在射线OM上，且OA＝6，点D是射线OM上的动点，当点D不与点A重合时，将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，连接DE，设OD＝m．（1）问题发现如图1，△CDE的形状是三角形．（2）探究证明如图2，当6＜m＜10时，△BDE的周长是否存在最小值？若存在，求出△BDE周长的最小值；若不存在，请说明理由．（3）解决问题是否存在m的值，使△DEB是直角三角形？若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．9.等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝4，AE＝2，其中△ABC固定，△ADE绕点A作360°旋转，点F、M、N分别为线段BE、BC、CD 的中点，连接MN、NF．问题提出：（1）如图1，当AD在线段AC上时，则∠MNF的度数为，线段MN 和线段NF的数量关系为；深入讨论：（2）如图2，当AD不在线段AC上时，请求出∠MNF的度数及线段MN和线段NF的数量关系；拓展延伸：（3）如图3，△ADE持续旋转过程中，若CE与BD交点为P，则△BCP面积的最小值为．10．四边形是我们在学习和生活中常见的图形，而对角线互相垂直的四边形也比较常见，比如筝形、菱形、图1中的四边形ABCD等．它们给我们的学习和生活带来了很多的乐趣和美感．（1）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，则AC与BD的位置关系是，请说明理由．（2）试探究图1中四边形ABCD的两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系，请写出证明过程．（3）问题解决：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG 和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知AC＝4，AB＝5，求GE的长．11．问题发现：如图（1）在Rt△ABC和Rt△BDE中，∠A＝∠DEB＝30°，BC＝BE＝6，Rt△BDE绕点B逆时针旋转，H为CD的中点，当点C与点E重合时，BH与AE的位置关系为，BH与AE的数量关系为；问题证明：在Rt△BDE绕点B旋转的过程中，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请就图（2）的情形给出证明若不成立，请说明理由；拓展应用：在Rt△BDE绕点B旋转的过程中，当DE∥BC时，请直接写出BH2的长．12．如图1，菱形ABCD与菱形GECF的顶点C重合，点G在对角线AC上，且∠BCD＝∠ECF＝60°，（1）问题发现的值为；（2）探究与证明将菱形GECF绕点C按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜60°），如图2所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展与运用：菱形GECF在旋转过程中，当点A，G，F三点在一条直线上时，如图3所示连接CG并延长，交AD于点H，若CE＝2，GH＝，则AH的长为．13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，＝，CD⊥AB于点D，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线BC于点F．（1）探究发现：如图1，若m＝n，点E在线段AC上，则＝；（2）数学思考：①如图2，若点E在线段AC上，则＝（用含m，n的代数式表示）；②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明；（3）拓展应用：若AC＝，BC＝2，DF＝4，请直接写出CE的长．14．如图，已知点E是射线BC上的一点，以BC、CE为边作正方形ABCD和正方形CEFG，连接AF，取AF的中点M，连接DM、MG（1）如图1，判断线段DM和GM的数量关系是，位置关系是；（2）如图2，在图中的正方形CEFG绕点C逆时针旋转的过程中，其他条件不变，（1）中的结论是否成立？说明理由；（3）已知BC＝10，CE＝2，正方形CEFG绕点C旋转的过程中，当A、F、E共线时，直接写出△DMG的面积．15.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝，AC＝2，过点B作直线m∥AC，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A′B′C（点A，B的对应点分别为A'，B′），射线CA′，CB′分别交直线m于点P，Q．（1）如图1，当P与A′重合时，求∠ACA′的度数；（2）如图2，设A′B′与BC的交点为M，当M为A′B′的中点时，求线段PQ的长；（3）在旋转过程中，当点P，Q分别在CA′，CB′的延长线上时，试探究四边形P A'B′Q的面积是否存在最小值．若存在，求出四边形P A′B′Q的最小面积；若不存在，请说明理由．16.如图（1），在等边三角形ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接BE，CD，点M，N，P分别是BE，CD，BC的中点，连接DE，PM，PN，MN．（1）观察猜想，图（1）中△PMN是（填特殊三角形的名称）（2）探究证明，如图（2），△ADE绕点A按逆时针方向旋转，则△PMN的形状是否发生改变？并就图（2）说明理由．（3）拓展延伸，若△ADE绕点A在平面内自由旋转，AD＝2，AB＝6，请直接写出△PMN 的周长的最大值．17.已知△ABC，AB＝AC，D为直线BC上一点，E为直线AC上一点，AD＝AE，设∠BAD＝α，∠CDE＝β，（1）如图1，若点D在线段BC上，点E在线段AC上．∠ABC＝60°，∠ADE＝70°，则α＝°；β＝°.（2）如图2，若点D在线段BC上，点E在线段AC上，则α，β之间有什么关系式？说明理由．（3）是否存在不同于（2）中的α，β之间的关系式？若存在，请写出这个关系式（写出一种即可），说明理由；若不存在，请说明理由.18.问题提出：（1）如图1，在四边形ABCD中，连接AC、BD，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，将△ABC绕点A逆时针旋转90°，得到△ADE，点B的对应点落在点D，点C的对应点为点E，可知点C、D、E在一条直线上，则△ACE为三角形，BC、CD、AC的数量关系为；探究发现：（2）如图2，在⊙O中，AB为直径，点C为的中点，点D为圆上一个点，连接AD、CD、AC、BC、BD，且AD＜BD，请求出CD、AD、BD间的数量关系.拓展延伸：（3）如图3，在等腰直角三角形ABC中，点P为AB的中点，若AC＝13，平面内存在一点E，且AE＝10，CE＝13，当点Q为AE中点时，PQ＝.19.已知△ABC中，CA＝CB，0°＜∠ACB≤90°，点M、N分别在边CA，CB上（不与端点重合），BN＝AM，射线AG∥BC交BM延长线于点D，点E在直线AN上，EA＝ED．（1）【观察猜想】如图1，点E在射线NA上，当∠ACB＝45°时，①线段BM与AN的数量关系是；②∠BDE的度数是；（2）【探究证明】如图2点E在射线AN上，当∠ACB＝30°时，判断并证明线段BM与AN的数量关系，求∠BDE的度数；（3）【拓展延伸】如图3，点E在直线AN上，当∠ACB＝60°时，AB＝3，点N是BC 边上的三等分点，直线ED与直线BC交于点F，请直接写出线段CF的长．20.如图①，在正方形ABCD和正方形AB'C'D'中，AB＝2，AB'＝，连接CC’（1）问题发现：．（2）拓展探究：将正方形AB'C'D'绕点A逆时针旋转，记旋转角为θ，连接BB'，试判断：当0°≤θ＜360°时，的值有无变化？请仅就图②中的情形给出你的证明；（3）问题解决：请直接写出在旋转过程中，当C，C′，D'三点共线时BB′的长．21.如图1，在正方形ABCD中，点O是对角线BD的中点．（1）观察猜想将图1中的△BCD绕点O逆时针旋转至图2中△ECF的位置，连接AC，DE，则线段AC与DE的数量关系是，直线AC与DE的位置关系是．（2）类比探究将图2中的△ECF绕点O逆时针旋转至图3的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由．（3）拓展延伸将图2中的△ECF在平面内旋转，设直线AC与DE的交点为M，若AB＝4，请直接写出BM的最大值与最小值．22.如图1，点B在直线l上，过点B构建等腰直角三角形ABC，使∠BAC＝90°，且AB＝AC，过点C作CD⊥直线l于点D，连接AD．（1）小亮在研究这个图形时发现，∠BAC＝∠BDC＝90°，点A，D应该在以BC为直径的圆上，则∠ADB的度数为°，将射线AD顺时针旋转90°交直线l于点E，可求出线段AD，BD，CD的数量关系为；（2）小亮将等腰直角三角形ABC绕点B在平面内旋转，当旋转到图2位置时，线段AD，BD，CD的数量关系是否变化，请说明理由；（3）在旋转过程中，若CD长为1，当△ABD面积取得最大值时，请直接写AD的长．23．如图1，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合，三角板的一边交CD于点F．另一边交CB的延长线于点G．（1）观察猜想：线段EF与线段EG的数量关系是；（2）探究证明：如图2，移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立．请说明理由：（3）拓展延伸：如图3，将（2）中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且使三角板的一边经过点B，其他条件不变，若AB＝a、BC＝b，求的值．24．如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝2，BC＝1，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE．将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．（1）问题发现①当α＝0°时，＝；②当α＝180°时，＝．（2）拓展探究试判断：当0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明．（3）问题解决当△EDC旋转至A、B、E三点共线时，直接写出线段BD的长．25.在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD上一动点，设DE＝nEA，连接CE并延长，交AB于点F．（1）尝试探究如图（1），当∠BAC＝90°，∠B＝30°，DE＝EA时，BF，BA之间的数量关系是；（2）类比延伸如图（2），当△ABC为锐角三角形，DE＝EA时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）拓展迁移如图（3），当△ABC为锐角三角形，DE＝nEA时，请直接写出BF，BA之间的数量关系．26.古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”．请研究如下美丽的圆．如图，线段AB是⊙O的直径，延长AB至点C，使BC＝OB，点E是线段OB的中点，DE ⊥AB交⊙O于点D，点P是⊙O上一动点（不与点A，B重合），连接CD，PE，PC．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）小明在研究的过程中发现是一个确定的值．回答这个确定的值是多少？并对小明发现的结论加以证明．27．定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．（1）如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角，若∠A＝α，请用含α的代数式表示∠E．（2）如图2，四边形ABCD内接于⊙O，＝，四边形ABCD的外角平分线DF交⊙O 于点F，连结BF并延长交CD的延长线于点E．求证：∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．（3）如图3，在（2）的条件下，连结AE，AF，若AC是⊙O的直径．①求∠AED的度数；②若AB＝8，CD＝5，求△DEF的面积．28.【性质探究】如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAC，交BC于点E．作DF⊥AE于点H，分别交AB，AC于点F，G．（1）判断△AFG的形状并说明理由．（2）求证：BF＝2OG．【迁移应用】（3）记△DGO的面积为S1，△DBF的面积为S2，当＝时，求的值．【拓展延伸】（4）若DF交射线AB于点F，【性质探究】中的其余条件不变，连结EF，当△BEF的面积为矩形ABCD面积的时，请直接写出tan∠BAE的值．29．如图，已知AC为正方形ABCD的对角线，点P是平面内不与点A，B重合的任意一点，连接AP，将线段AP绕点P顺时针旋转90°得到线段PE，连接AE，BP，CE．（1）求证：△APE∽△ABC；（2）当线段BP与CE相交时，设交点为M，求的值以及∠BMC的度数；（3）若正方形ABCD的边长为3，AP＝1，当点P，C，E在同一直线上时，求线段BP 的长．30．如图1和图2，在△ABC中，AB＝AC，BC＝8，tan C＝．点K在AC边上，点M，N 分别在AB，BC上，且AM＝CN＝2．点P从点M出发沿折线MB﹣BN匀速移动，到达点N时停止；而点Q在AC边上随P移动，且始终保持∠APQ＝∠B．（1）当点P在BC上时，求点P与点A的最短距离；（2）若点P在MB上，且PQ将△ABC的面积分成上下4：5两部分时，求MP的长；（3）设点P移动的路程为x，当0≤x≤3及3＜x≤9时，分别求点P到直线AC的距离（用含x的式子表示）；（4）在点P处设计并安装一扫描器，按定角∠APQ扫描△APQ区域（含边界），扫描器随点P从M到B再到N共用时36秒．若AK＝，请直接写出点K被扫描到的总时长．参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．【解答】解：（1）如图①中，∵∠EAF＝∠BAC＝90°，∴∠BAF＝∠CAE，∵AF＝AE，AB＝AC，∴△BAF≌△CAE，∴∠ABF＝∠C，BF＝CE，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠C＝45°，∴∠FBE＝∠ABF+∠ABC＝90°，BC＝BE+EC＝BE+BF，故答案为：BF⊥BE，BC．（2）如图②中，作DH∥AC交BC于H．∵DH∥AC，∴∠BDH＝∠A＝90°，△DBH是等腰直角三角形，由（1）可知，BF⊥BE，BF+BE＝BH，∵AB＝AC＝3，AD＝1，∴BD＝DH＝2，∴BH＝2，∴BF+BE＝BH＝2；（3）如图③中，作DH∥AC交BC的延长线于H，作DM⊥BC于M．∵AC∥DH，∴∠ACB＝∠H，∠BDH＝∠BAC＝α，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB∴∠DBH＝∠H，∴DB＝DH，∵∠EDF＝∠BDH＝α，∴∠BDF＝∠HDE，∵DF＝DE，DB＝DH，∴△BDF≌△HDE，∴BF＝EH，∴BF+BE＝EH+BE＝BH，∵DB＝DH，DM⊥BH，∴BM＝MH，∠BDM＝∠HDM，∴BM＝MH＝BD•sin．∴BF+BE＝BH＝2n•sin．2．【解答】解：（1）如图1中，∵△ABC∽△B'BA∽△C'AC，∴＝，＝，∴AB2＝BB′×BC，AC2＝CC′×BC，∴AB2+AC2＝BC（BB′+CC′）＝BC×BC＝BC2，故答案为BC2．（2）不成立．理由：如图2中当∠BAC为锐角时，BB′+CC′﹣B′C′＝BC，且△ABC∽△B'BA∽△C'AC，∴∴＝，＝，∴AB2＝BB′×BC，AC2＝CC′×BC，∴AB2+AC2＝BC（BB′+CC′）＝BC2+BC•B′C′．图3中∠BAC为钝角时，BB′+CC′+B′C′＝BC．AB2+AC2＝BC（BB′+CC′）＝BC2﹣BC•B′C′．（3）当AB＝5，AC＝6，BC＝9时，则AB2+AC2＜BC2，可知△ABC为钝角三角形，由图3可知：AB2+AC2＝BC2﹣BC•B′C′，∴52+62＝92﹣9B′C′，∴B′C′＝．3．【解答】解：（1）∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝45°，∴∠ABC＝∠CAB＝45°＝∠CDE＝∠CED，∴AC＝BC，CD＝CE，∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE＝AD，∠CAB＝∠CBE＝45°，∴∠DBE＝∠ABC+∠CBE＝90°，＝1，故答案为：1，90°（2），∠DBE＝90°理由如下：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝60°，∴∠ACD＝∠BCE，∠CED＝∠ABC＝30°∴tan∠ABC＝tan30°＝＝∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝60°，∴Rt△ACB∽Rt△DCE∴∴，且∠ACD＝∠BCE∴△ACD∽△BCE∴＝，∠CBE＝∠CAD＝60°∴∠DBE＝∠ABC+∠CBE＝90°（3）若点D在线段AB上，如图，由（2）知：＝，∠ABE＝90°∴BE＝AD∵AC＝2，∠ACB＝90°，∠CAB＝90°∴AB＝4，BC＝2∵∠ECD＝∠ABE＝90°，且点M是DE中点，∴CM＝BM＝DE，∵△CBM是直角三角形∴CM2+BM2＝BC2＝（2）2，∴BM＝CM＝∴DE＝2∵DB2+BE2＝DE2，∴（4﹣AD）2+（AD）2＝24∴AD＝+1∴BE＝AD＝3+若点D在线段BA延长线上，如图同理可得：DE＝2，BE＝AD∵BD2+BE2＝DE2，∴（4+AD）2+（AD）2＝24，∴AD＝﹣1∴BE＝AD＝3﹣综上所述：BE的长为3+或3﹣4．【解答】解：（1）∵△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC的中点，∴AD＝BD＝DC，∠BDA＝90°，∵四边形DFGE是正方形，∴DE＝DF，∠EDF＝90°，∴∠BDE＝∠ADF＝90°，在△BDE和△ADF中，，∴△BDE≌△ADF（SAS），∴BE＝AF故答案为：BE＝AF；（2）成立；理由如下：当正方形DFGE在BC的上方时，如图②所示，连接AD，∵在Rt△ABC中，AB＝AC，D为斜边BC的中点，∴AD＝BD，AD⊥BC，∴∠ADE+∠EDB＝90°，∵四边形DFGE为正方形，∴DE＝DF，且∠EDF＝90°，∴∠ADE+∠ADF＝90°，∴∠BDE＝∠ADF，在△BDE和△ADF中，，∴△BDE≌△ADF（SAS），∴BE＝AF；当正方形DFGE在BC的下方时，连接AD，如图③所示：∵∠BDE＝∠BDF+90°，∠ADF＝∠BDF+90°，∴∠BDE＝∠ADF，在△BDE和△ADF中，，∴△BDE≌△ADF（SAS），∴BE＝AF；综上所述，（1）中的结论BE＝AF成立；（3）在△ADE中，∵AE＜AD+DE，∴当点A、D、E共线时，AE取得最大值，最大值为AD+DE．如图④所示：则AD＝BC＝1，DE＝DF＝2，∴AE＝AD+DE＝3，即AE的最大值为3．5．【解答】解：（1）如图1，过点O作OM⊥AB于M，ON⊥AD于N，∴∠OME＝∠ONF＝90°，∴∠BAD+∠MON＝180°，∵∠BAD+∠EOF＝180°，∴∠MON＝∠EOF，∴∠EOM＝∠FON，∵O是正方形ABCD的对角线的交点，∴∠BAO＝∠DAO，∵OM⊥AB，ON⊥AD，∴OM＝ON，∴△OME≌△ONF（AAS）∴OE＝OF；（2）（1）的结论成立；理由：如图2，过点O作OM⊥AB于M，ON⊥AD于N，∴∠OME＝∠ONF＝90°，∴∠BAD+∠MON＝180°，∵∠BAD+∠EOF＝180°，∴∠MON＝∠EOF，∴∠EOM＝∠FON，∵O是菱形ABCD的对角线的交点，∴∠BAO＝∠DAO，∵OM⊥AB，ON⊥AD，∴OM＝ON，∴△OME≌△ONF（AAS）∴OE＝OF；（3）如图3，过点O作OG⊥AB于G，OH⊥AD于H，∴∠OGE＝∠OHF＝90°，∴∠BAD+∠GOH＝180°，∵∠BAD+∠EOF＝180°，∴∠GOH＝∠EOF，∴△EOG∽△FOH，∴，∵O是▱ABCD的对角线的交点，∴S△AOB＝S△AOD，∵S△AOB＝AB•OG，S△AOD＝AD•OH，∴AB•OG＝AD•OH，∴＝，∴．6．【解答】解：（1）①∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，∠BCA＝45°，∵GE⊥BC、GF⊥CD，∴∠CEG＝∠CFG＝∠ECF＝90°，∴四边形CEGF是矩形，∠CGE＝∠ECG＝45°，∴EG＝EC，∴四边形CEGF是正方形；②由①知四边形CEGF是正方形，∴∠CEG＝∠B＝90°，∠ECG＝45°，∴＝，GE∥AB，∴＝＝，故答案为：；（2）连接CG，由旋转性质知∠BCE＝∠ACG＝α，在Rt△CEG和Rt△CBA中，＝cos45°＝、＝cos45°＝，∴＝＝，∴△ACG∽△BCE，∴＝＝，∴线段AG与BE之间的数量关系为AG＝BE；（3）∵∠CEF＝45°，点B、E、F三点共线，∴∠BEC＝135°，∵△ACG∽△BCE，∴∠AGC＝∠BEC＝135°，∴∠AGH＝∠CAH＝45°，∵∠CHA＝∠AHG，∴△AHG∽△CHA，∴＝＝，设BC＝CD＝AD＝a，则AC＝a，则由＝得＝，∴AH＝a，则DH＝AD﹣AH＝a，CH＝＝a，∴＝得＝，解得：a＝3，即BC＝3，故答案为：3．7．【解答】解：（1）如图1，连接AE，∵AB＝AC＝2，点E分别是BC的中点，∴AE⊥BC，∴∠BEC＝90°，∵AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，在Rt△ABE中，AE＝AB＝1，根据勾股定理得，BE＝∵点E是BC的中点，∴BC＝2BE＝2，∴＝＝，∵点D是AC的中点，∴AD＝CD＝AC＝1，∴＝＝，故答案为：，；（2）无变化，理由：由（1）知，CD＝1，CE＝BE＝，∴＝，，∴＝，由（1）知，∠ACB＝∠DCE＝30°，∴∠ACD＝∠BCE，∴△ACD∽△BCE，∴，（3）当点D在线段AE上时，如图2，过点C作CF⊥AE于F，∠CDF＝180°﹣∠CDE＝60°，∴∠DCF＝30°，∴DF＝CD＝，∴CF＝DF＝，在Rt△AFC中，AC＝2，根据勾股定理得，AF＝＝，∴AD＝AF+DF＝，由（2）知，，∴BE＝AD＝当点D在线段AE的延长线上时，如图3，过点C作CG⊥AD交AD的延长线于G，∵∠CDG＝60°，∴∠DCG＝30°，∴DG＝CD＝，∴CG＝DG＝，在Rt△ACG中，根据勾股定理得，AG＝，∴AD＝AG﹣DG＝，由（2）知，，∴BE＝AD＝即：线段BE的长为或．8．【解答】解：（1）证明：∵将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，∴∠DCE＝60°，DC＝EC，∴△CDE是等边三角形；故答案为：等边；（2）存在，当6＜t＜10时，由旋转的性质得，BE＝AD，∴C△DBE＝BE+DB+DE＝AB+DE＝4+DE，由（1）知，△CDE是等边三角形，∴DE＝CD，∴C△DBE＝CD+4，由垂线段最短可知，当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，此时，CD＝2，∴△BDE的最小周长＝CD+4＝2+4；（3）存在，①∵当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形，∴当点D与点B重合时，不符合题意，②当0≤m＜6时，由旋转可知，∠ABE＝60°，∠BDE＜60°，∴∠BED＝90°，由（1）可知，△CDE是等边三角形，∴∠DEB＝60°，∴∠CEB＝30°，∵∠CEB＝∠CDA，∴∠CDA＝30°，∵∠CAB＝60°，∴∠ACD＝∠ADC＝30°，∴DA＝CA＝4，∴OD＝OA﹣DA＝6﹣4＝2，∴m＝2；③当6＜m＜10时，由∠DBE＝120°＞90°，∴此时不存在；④当m＞10时，由旋转的性质可知，∠DBE＝60°，又由（1）知∠CDE＝60°，∴∠BDE＝∠CDE+∠BDC＝60°+∠BDC，而∠BDC＞0°，∴∠BDE＞60°，∴只能∠BDE＝90°，从而∠BCD＝30°，∴BD＝BC＝4，∴OD＝14，∴m＝14，综上所述：当m＝2或14时，以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形．9．【解答】解：（1）如图1中，连接DB，MF，CE，延长BD交EC于H．∵AC＝AB，AE＝AD，∠BAD＝∠CAE＝90°，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝EC，∠ACE＝∠ABD，∵∠ABD+∠ADB＝90°，∠ADB＝∠CDH，∴∠ADH+∠DCH＝90°，∴∠CHD＝90°，∴EC⊥BH，∵BM＝MC，BF＝FE，∴MF∥EC，MF＝EC，∵CM＝MB，CN＝ND，∴MN∥BD，MN＝BD，∴MN＝MF，MN⊥MF，∴∠NMF＝90°，∴∠MNF＝45°，NF＝MN．故答案为：45°（2）：如图2中，连接MF，EC，BD．设EC交AB于O，BD交EC于H．∵AC＝AB，AE＝AD，∠BAD＝∠CAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝EC，∠ACE＝∠ABD，∵∠AOC+∠ACO＝90°，∠AOC＝∠BOH，∴∠OBH+∠BOH＝90°，∴∠BHO＝90°，∴EC⊥BD，∵BM＝MC，BF＝FE，∴MF∥EC，MF＝EC，∵CM＝MB，CN＝ND，∴MN∥BD，MN＝BD，∴MN＝MF，MN⊥MF，∴∠NMF＝90°，∴∠MNF＝45°，NF＝MN．（3）：如图3中，如图以A为圆心AD为半径作⊙A．当直线PB与⊙A相切时，此时∠CBP的值最小，点P到BC的距离最小，即△BCP的面积最小，∵AD＝AE，AB＝AC，∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ACE＝∠ABD，BD＝EC，∵∠ABD+∠AOB＝90°，∠AOB＝∠CPO，∴∠CPB＝90°，∵PB是⊙A的切线，∴∠ADP＝90°，∵∠DPE＝∠ADP＝∠DAE＝90°，∴四边形ADPE是矩形，∵AE＝AD，∴四边形ADPE是正方形，∴AD＝AE＝PD＝PE＝2，BD＝EC＝＝2，∴PC＝2﹣2，PB＝2+2，∴S△BCP的最小值＝×PC×PB＝（2﹣2）（2+2）＝4．10．【解答】（1）解：AC⊥BD，理由如下：连接AC、BD，如图2所示：∵AB＝AD，∴点A在线段BD的垂直平分线上，∵CB＝CD，∴点C在线段BD的垂直平分线上，∴直线AC是线段BD的垂直平分线，∴AC⊥BD，故答案为：AC⊥BD；（2）解：AD2+BC2＝AB2+CD2；理由如下：如图1，已知四边形ABCD中，AC⊥BD，设BD、AC相交于E，∵AC⊥BD，∴∠AED＝∠AEB＝∠BEC＝∠CED＝90°，由勾股定理得，AD2+BC2＝AE2+DE2+BE2+CE2，AB2+CD2＝AE2+BE2+CE2+DE2，∴AD2+BC2＝AB2+CD2；（3）解：如图3，连接CG、BE，∵四边形ACFG和四边形ABDE是正方形，∴AC＝AG，AB＝AE，∠CAG＝∠BAE＝90°，∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，在△GAB和△CAE中，，∴△GAB≌△CAE（SAS），∴∠ABG＝∠AEC，又∠AEC+∠AME＝90°，∴∠ABG+∠AME＝90°，即CE⊥BG，由（2）得，CG2+BE2＝CB2+GE2，在Rt△ABC中，AC＝4，AB＝5，根据勾股定理得，BC2＝52﹣42＝9，∵CG和BE分别是正方形ACFG和正方形ABDG的对角线，∴CG2＝42+42＝32，BE2＝52+52＝50，∴GE2＝CG2+BE2﹣CB2＝32+50﹣9＝73，∴GE＝．11．【解答】解：问题发现：如图1中，结论：AE＝2BH，AE⊥BH．理由：在Rt△ABC中，∵BC＝6，∠A＝30°，∴AE＝2BC＝12，在Rt△CDB中，∵∠DCB＝30°，∴CD＝＝4，∵CH＝DH，∴BH＝CD＝2，∴＝＝2，∴AE＝2BH．故答案为AE⊥BH，AE＝2BH．问题证明：如图2中，（1）中结论成立．理由：延长BH到F使得HF＝BH，连接CF．设AE交BF于O．∵CH＝DH，BH＝HF，∠CHF＝∠BHD，∴△CHF≌△DHB（SAS），∴BD＝CF，∠F＝∠DBH，∴CF∥BD，∵AB＝BC，BE＝BD，∴BE＝CF，∴＝＝，∵CF∥BD，∴∠BCF+∠CBD＝180°，∵∠ABC+∠DBE＝∠ABD+∠CBD+∠CBD+∠CBE＝∠CBD+∠ABE＝180°，∴∠BCF＝∠ABE，∴△ABE∽△BCF，∴∠CBF＝∠BAE，＝＝，∴AE＝BF＝2BH，∵∠CBF+∠ABF＝90°，∴∠ABF+∠BAE＝90°，∴∠AOB＝90°，∴BH⊥AE．拓展应用：如图3﹣1中，当DE在BC的下方时，延长AB交DE于F．∵DE∥BC∴∠ABC＝∠BFD＝90°，由题意BC＝BE＝6，AB＝6，BD＝2，DE＝4，∵•BD•BE＝•DE•BF，∴BF＝＝3，∴EF＝BF＝3，∴AF＝6+3，∴AE2＝AF2+EF2＝（6+3）2+（3）2＝144+36．∵AE＝2BH，∴AE2＝12BH2，∴BH2＝12+3如图3﹣2中，当DE在BC的上方时，同法可得AF＝6﹣3，EF＝3，∴BH2＝＝（＝12﹣3．12．【解答】解：（1）如图1中，作EH⊥CG于H．∵四边形ECFG是菱形，∠ECF＝60°，∴∠ECH＝∠ECF＝30°，EC＝EG，∵EH⊥CG，∴GH＝CG，∴＝cos30°＝，∴＝2•＝，∵EG∥CD，AB∥CD，∴GE∥AB，∴＝＝．故答案为．（2）结论：AG＝BE．理由：如图2中，连接CG．∵四边形ABCD，四边形ECFG都是菱形，∠ECF＝∠DCB＝60°，∴∠ECG＝∠EGC＝∠BCA＝∠BAC＝30°，∴△ECG∽△BCE，∴＝，∵∠ECB＝∠GCA，∴△ECB∽△GCA，∴＝＝，∴AG＝BE．（3）如图3中，∵∠AGH＝∠CGF＝30°．∠AGH＝∠GAC+∠GCA，又∵∠DAC＝∠HAG+∠GAC＝30°，∴∠HAG＝∠ACH，∵∠AHG＝∠AHC，∴△HAG∽△HCA，∴HA：HC＝GH：HA，∴AH2＝HG•HC，∴FC＝2，CG＝CF，∴GC＝2，∵HG＝，∴AH2＝HG•HC＝•3＝9，∵AH＞0，∴AH＝3．故答案为3．13．【解答】解：（1）当m＝n时，即：BC＝AC，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠ABC＝90°，∵CD⊥AB，∴∠DCB+∠ABC＝90°，∴∠A＝∠DCB，∵∠FDE＝∠ADC＝90°，∴∠FDE﹣∠CDE＝∠ADC﹣∠CDE，即∠ADE＝∠CDF，∴△ADE∽△CDF，∴，∵∠A＝∠DCB，∠ADC＝∠BDC＝90°，∴△ADC∽△CDB，∴＝1，∴＝1（2）①∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠ABC＝90°，∵CD⊥AB，∴∠DCB+∠ABC＝90°，∴∠A＝∠DCB，∵∠FDE＝∠ADC＝90°，∴∠FDE﹣∠CDE＝∠ADC﹣∠CDE，即∠ADE＝∠CDF，∴△ADE∽△CDF，∴，∵∠A＝∠DCB，∠ADC＝∠BDC＝90°，∴△ADC∽△CDB，∴，∴②成立．如图，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠ABC＝90°，又∵CD⊥AB，∴∠DCB+∠ABC＝90°，∴∠A＝∠DCB，∵∠FDE＝∠ADC＝90°，∴∠FDE+∠CDE＝∠ADC+∠CDE，即∠ADE＝∠CDF，∴△ADE∽△CDF，∴，∵∠A＝∠DCB，∠ADC＝∠BDC＝90°，∴△ADC∽△CDB，∴，∴．（3）由（2）有，△ADE∽△CDF，∵＝，∴＝，∴CF＝2AE，在Rt△DEF中，DE＝2，DF＝4，∴EF＝2，①当E在线段AC上时，在Rt△CEF中，CF＝2AE＝2（AC﹣CE）＝2（﹣CE），EF＝2，根据勾股定理得，CE2+CF2＝EF2，∴CE2+[2（﹣CE）]2＝40∴CE＝2，或CE＝﹣（舍）而AC＝＜CE，∴此种情况不存在，②当E在AC延长线上时，在Rt△CEF中，CF＝2AE＝2（AC+CE）＝2（+CE），EF＝2，根据勾股定理得，CE2+CF2＝EF2，∴CE2+[2（+CE）]2＝40，∴CE＝，或CE＝﹣2（舍），③如图1，当点E在CA延长线上时，CF＝2AE＝2（CE﹣AC）＝2（CE﹣），EF＝2，根据勾股定理得，CE2+CF2＝EF2，∴CE2+[2（CE﹣）]2＝40，∴CE＝2，或CE＝﹣（舍）即：CE＝2或CE＝．14．【解答】解：（1）如图1，延长GM交AD于H，∵AD∥GF，∴∠GFM＝∠HAM，在△FMG和△AMH中，，∴△FMG≌△AMH（ASA），∴HM＝GM，AH＝FG，∵AD＝CD，AH＝FG＝CG，∴DH＝DG，∵∠HDG＝90°，HM＝GM，∴DM＝MG，DM⊥MG，故答案为DM＝MG，DM⊥MG．（2）结论成立：DM＝MG，DM⊥MG，理由：如图2中，延长GM使得MH＝GM，连接AH、DH、DG，延长AD交GF的延长线于N，交CD于O．∵AM＝MF，∠AMH＝∠FMG，MH＝MG，∴△AMH≌△FMG（SAS），∴AH＝GF＝CG，∠AHM＝∠FGM，∴AH∥GN，∴∠HAD＝∠N，∵∠ODN＝∠OGC＝90°，∠DON＝∠GOC，∴∠N＝∠OCG，∴∠HAD＝∠DCG，∵AH＝CG，AD＝CD，∴△HAD≌△GCD（SAS），∴DH＝DG，∠HDA＝∠CDG，∴∠HDG＝∠ADC＝90°，∴△HDG是等腰直角三角形，∵MH＝MG，∴DM⊥GH，DM＝MH＝MG，（3）①如图3﹣1中，连接AC．在Rt△ABC中，AC＝＝10，在Rt△ACE中，AE＝＝14，∴AF＝AE＝EF＝14﹣2＝12，∴FM＝AM＝AF＝6，在Rt△MGF中，MG＝＝2，∴S△DMG＝×2×2＝20，②如图3﹣2中，连接AC．同法可得AE＝14，AF＝16，FM＝8，MG＝＝2，∴S△DMG＝×2×2＝34，综上所述，满足条件的△DMG的面积为20或34．15．【解答】解：（1）由旋转可得：AC＝A'C＝2，∵∠ACB＝90°，AB＝，AC＝2，∴BC＝，∵∠ACB＝90°，m∥AC，∴∠A'BC＝90°，∴cos∠A'CB＝＝，∴∠A'CB＝30°，∴∠ACA'＝60°；（2）∵M为A'B'的中点，∴∠A'CM＝∠MA'C，由旋转可得，∠MA'C＝∠A，∴∠A＝∠A'CM，∴tan∠PCB＝tan∠A＝，∴PB＝BC＝，∵∠PCQ＝∠PBC＝90°，∴∠BQC+∠BPC＝∠BCP+∠BPC＝90°，∴∠BQC＝∠BCP＝∠A，∴tan∠BQC＝tan∠A＝，∴BQ＝BC×＝2，∴PQ＝PB+BQ＝；（3）∵S四边形P A'B′Q＝S△PCQ﹣S△A'CB'＝S△PCQ﹣，∴S四边形P A'B′Q最小，即S△PCQ最小，∴S△PCQ＝PQ×BC＝PQ，法一：（几何法）取PQ的中点G，∵∠PCQ＝90°，∴CG＝PQ，即PQ＝2CG，当CG最小时，PQ最小，∴CG⊥PQ，即CG与CB重合时，CG最小，∴CG min＝，PQ min＝2，∴S△PCQ的最小值＝3，S四边形P A'B′Q＝3﹣；法二（代数法）设PB＝x，BQ＝y，由射影定理得：xy＝3，∴当PQ最小时，x+y最小，∴（x+y）2＝x2+2xy+y2＝x2+6+y2≥2xy+6＝12，当x＝y＝时，“＝”成立，∴PQ＝+＝2，∴S△PCQ的最小值＝3，S四边形P A'B′Q＝3﹣．16．【解答】解：（1）结论：△PMN是等边三角形．理由：如图1中，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠ABC＝∠ACB＝60°，∵AD＝AE，∴BD＝EC，∵PB＝PC，CN＝ND，BM＝EM，∴PN∥BD，PM∥EC，PN＝BD，PM＝EC，∴PM＝PN，∠NPC＝∠ABC＝60°，∠MPB＝∠ACB＝60°，∴∠MPN＝60°，∴△PMN是等边三角形，故答案为等边三角形．（2）△PMN的形状不发生改变，仍为等边三角形，理由如下：如图2中，连接BD，CE．由旋转可得∠BAD＝∠CAE，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠ACB＝∠ABC＝60°又∵AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，∵M是BE的中点，P是BC的中点，∴PM是△BCE的中位线，∴PM＝，且PM∥CE．同理可证PN＝BD且PN∥BD，∴PM＝PN，∠MPB＝∠ECB，∠NPC＝∠DBC，∴∠MPB+∠NPC＝∠ECB+∠DBC＝（∠ACB+∠ACE）+（∠ABC﹣∠ABD）＝∠ACB+∠ABC＝120°，∴∠MPN＝60°，∴△PMN是等边三角形．（3）∵PM＝EC，∴当EC最大时，等边△PMN的周长最大，∵EC≤AE+AC，∴EC≤8，∴PM≤4，∴PM的最大值为4，∴△PMN的周长的最大值为12．17．【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠ABC＝60°，∴∠BAC＝60°，∵AD＝AE，∠ADE＝70°，∴∠DAE＝180°﹣2∠ADE＝40°，∴α＝∠BAD＝60°﹣40°＝20°，∴∠ADC＝∠BAD+∠ABD＝60°+20°＝80°，∴β＝∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝10°，故答案为：20，10；（2）设∠ABC＝x，∠AED＝y，∴∠ACB＝x，∠AED＝y，在△DEC中，y＝β+x，在△ABD中，α+x＝y+β＝β+x+β，∴α＝2β；（3）①当点E在CA的延长线上，点D在线段BC上，如图1设∠ABC＝x，∠ADE＝y，∴∠ACB＝x，∠ACE＝y，在△ABD中，x+α＝β﹣y，在△DEC中，x+y+β＝180°，∴α＝2β﹣180°，②当点E在CA的延长线上，点D在CB的延长线上，如图2，同①的方法可得α＝180°﹣2β．18．【解答】解：（1）由旋转变换的性质可知，∠CAE＝90°，AC＝AE，∴△ACE为等腰直角三角形，∴CE＝AC，∵CE＝CD+DE＝CD+BC，∴BC+CD＝AC，故答案为：等腰直角；BC+CD＝AC；（2）延长CO交⊙O于E，连接AE、BE、DE，则∠CDE＝90°，∵点C为的中点，∴点E为的中点，∴EA＝EB，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，由（1）得，DE＝（AD+BD），由勾股定理得，CD2＝CE2﹣DE2＝AD2+BD2﹣（AD+BD）2＝（AD﹣BD）2，∴CD＝（BD﹣AD）；（3）如图3，当点E在直线AC的左侧时，连接CQ、PC，∵CA＝CB，点P为AB的中点，∴CP⊥AB，∵CA＝CE，点Q为AE中点，∴CQ⊥AE，AQ＝QE＝AE＝5，∴由勾股定理得，CQ＝＝12，由（1）得，AQ+CQ＝PQ，。

填空压轴题(几何篇)-2023年中考数学压轴题专项训练(学生版)

填空压轴题(几何篇)-2023年中考数学压轴题专项训练(学生版)

2023年中考数学压轴题专项训练--填空压轴题(几何篇)一、压轴题速练1一．填空题(共40小题)1(2023•龙湾区二模)如图，在△ABC中，AB=13，BC=14，AC=15，点D是线段AC上任意一点，分别过点A、C作直线BD的垂线，垂足为E、F，AE=m，CF=n，则n+m的最大值是，最小值是．2(2023•湖北模拟)如图，正方形ABCD的对角线交于点O，AB=22，现有半径足够大的扇形OEF，∠EOF=90°，当扇形OEF绕点O转动时，扇形OEF和正方形ABCD重叠部分的面积为．3(2023•榆树市二模)如图是中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图的示意图，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成，恰好拼成一个大正方形ABCD，连结EG并延长交BC于点M．若AB=13，EF=1，则GM的长为．4(2023•道外区二模)如图，在四边形ABCD中，AB=BC，∠A=∠ABC=90°，以CD为斜边作等腰直角△ECD，连接BE，若CD=213，BE=2，则AB=．5(2023•包河区二模)Rt△ABC中，点D是斜边AB的中点．(1)如图1，若DE ⊥BC 与E ，DF ⊥AC 于F ，DE =3，DF =4，则AB =；(2)如图2，若点P 是CD 的中点，且CP =52，则PA 2+PB 2=．6(2023•庐江县三模)如图，四边形ABCD 中，AB =AC =AD ，点M 、N 分别是BC 、CD 的中点，连接MN ，若∠DAM =105°，∠BAN =75°，若AM AN=3+12，则∠ANM =°．7(2023•中山市二模)如图，△ABC 与△BDE 均为等腰直角三角形，点A ，B ，E 在同一直线上，BD ⊥AE ，垂足为点B ，点C 在BD 上，AB =4，BE =10．将△ABC 沿BE 方向平移，当这两个三角形重叠部分的面积等于△ABC 面积的一半时，△ABC 平移的距离为．8(2023•新都区模拟)青朱出入图，是魏晋时期数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理的几何证明法，即“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不动也，合成弦方之幂．开方除之，即弦也．”，若图中DF =1，CF =2，则AE 的长为．9(2023•黄埔区一模)△ABC为等腰直角三角形，AB=AC=6，∠BAC=90°，动点D在边BC上运动．以A为直角顶点，在AD右侧作等腰直角三角形△ADE(如图)．M为DE中点，N为BC三等分点，CN=13BC，连接MN，则线段MN的最小值为．10(2023•雁塔区校级模拟)如图，菱形ABCD的边长为5，将一个直角的顶点放置在菱形的中心O 处，此时直角的两边分别交边AD，CD于点E，F，当OE⊥AD时，OE的长为2，则EF的长是．​11(2023•奉贤区二模)如果四边形有一组邻边相等，且一条对角线平分这组邻边的夹角，我们把这样的四边形称为“准菱形”．有一个四边形是“准菱形”，它相等的邻边长为2，这两条边的夹角是90°，那么这个“准菱形”的另外一组邻边的中点间的距离是　2　．12(2023•吕梁一模)如图，在正方形ABCD中，点P在对角线BD上，点E，F分别在边AB和BC 上，且∠EPF=45°，若CF=2DP=4，AE=12，则AB的长度为．13(2023•蚌埠二模)如图，点E为正方形ABCD的边CD上一点，以点A为圆心，AE长为半径画弧EF，交边BC于点F，已知正方形边长为1．(1)若∠DAE=15°，则DE的长为；(2)△AEF的面积为S的最大值是．14(2023•兰考县一模)如图，方形ABCD中，AB=8，点P为射线BC上任意一点(与点B、C不重合)，连接AP，在AP的右侧作正方形APGH，连接AG，交射线CD于E，当ED长为2时，点BP的长为．15(2023•本溪一模)由4个形状相同，大小相等的菱形组成如图所示的网格，菱形的顶点称为格点，点A，B，C，D都在格点上，∠A=60°，则cos∠CDB的值为．16(2023•沂南县校级一模)如图，矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，过点B作BF⊥AC交CD 于点F，交AC与点M，过点D作DE∥BF交AB于点E，交AC于点N，连接FN、EM，则下列结论：①DN=BM；②EM∥FN；③AE=FC；④当AO=AD时，四边形DEBF是菱形．其中，正确结论的个数是．17(2023•琼海一模)如图，菱形ABCD，AE⊥BC，点E为垂足，点F为AE的中点，连接BF并延长交AD于点G，连接CG，CE=2，CG=211，则DG=，AG=，AF=．18(2023•镇江一模)如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，△BEF的顶点E在对角线AC上运动，且∠BFE=90°，∠EBF=∠BAC，连接AF，则AF的最小值为．19(2023•泉州模拟)如图，在菱形ABCD 中，∠A =60°，点E 在边AD 上，以BE 为边在菱形ABCD 的内部作等边三角形BEF ，若∠DEF =α，∠EBD =β，则α与β之间的数量关系可用等式表示为．20(2023•市南区一模)如图，正方形ABCD 中，E 、F 分别为BC 、CD 边上的点，∠EAF =45°，则下列结论中正确的有．(填序号)①BE +DF =EF ；②tan ∠AMD =CD DF； ③BM 2+DN 2=MN 2；④若EF =1.5，S △AEF =3，则．S 正方形ABCD =4．21(2023•大连一模)学习菱形时，我们从它的边、角和对角线等方面进行研究，可以发现并证明：菱形的每一条对角线平分一组对角．小明参考平行四边形、矩形判定方法的研究过程，得出下面的猜想：①一条对角线平分一组对角的四边形是菱形；②每一条对角线平分一组对角的四边形是菱形；③一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形．其中正确的是(填序号，填写一个即可)．22(2023•石景山区一模)如图，在菱形ABCD 中，点E ，F 分别在BC ，AD 上，BE =DF ．只需添加一个条件即可证明四边形AECF 是矩形，这个条件可以是(写出一个即可)．23(2023•河东区一模)已知，如图，已知菱形ABCD 的边长为6，∠ABC =60°，点E ，F 分别在AB ，CB 的延长线上，且BE =BF =13AB ，G 是DF 的中点，连接GE ，则GE 的长是．24(2023•合肥模拟)如图，点P在正方形ABCD内，∠BPC=135°，连接PA、PB、PC、PD．(1)若PA=AB，则∠CPD=；(2)若PB=2，PC=3，则PD的长为．25(2023•鄞州区一模)如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=8，作正方形CDEF，其中顶点E 在边AB上．(1)若正方形CDEF的边长为26，则线段AE的长是；(2)若点D到AB的距离是2，则正方形CDEF的边长是．26(2023•郓城县校级模拟)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．点M是BC 边的中点，连接AM、OM，作CF∥AM．已知OC平分∠BCF，OB平分∠AOM，若BD=32，则sin∠BAM的值为．27(2023•三原县二模)如图，点M是▱ABCD内一点，连接MA，MB，MC，MD，过点A作AP∥BM，过点D作DP∥CM，AP与DP交于点P，若四边形AMDP的面积为6，则▱ABCD的面积为．28(2023•和平区二模)如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E为边BC上一点，BE=3，在AE的右侧，以AE为边作正方形AEFG，H为BG的中点，则AH的长等于．29(2023•鼓楼区校级模拟)如图，在矩形ABCD中，AD=3，AB=4，B是边AB上一点，△BCE与△FCE关于直线CE对称，连接BF并延长交AD于点G，过点F作FH⊥AD，垂足为点H，设BE=a，若点H为AG的中点，则BE的长为．30(2023•呼和浩特一模)如图在菱形ABCD中，O为对角线AC与BD的交点，点P为边AB上的任一点(不与A、B重合)，过点P分别作PM⊥AC，PN⊥BD，M、N为垂足，则可以判断四边形MPNO 的形状为．若菱形的边长为a，∠ADC=120°，则MN的最小值为．(用含a的式子表示)31(2023•洛阳一模)在扇形OAB中，∠AOB=60°，点C是半径OA上一点，且OC=6，将线段OC 沿OB方向平移，当平移距离是6时，点C的对应点C'恰好落在弧AB上，则图中阴影部分的面积为．32(2023•临渭区二模)如图，正六边形纸片ABCDEF的边长为6cm，从这个正六边形纸片上剪出一个扇形(图中阴影部分)，则这个扇形的面积为cm2．(结果保留π)33(2023•桂林二模)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6，半径为1的⊙O在Rt△ABC内移动，当⊙O与∠A的两边都相切时，圆心O到点B的距离为2　．34(2023•万州区模拟)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=1，AB=2，以点B为圆心，AB为半径作圆弧交CB的延长线于点D，以点A为圆心，AC为半径作圆弧交AD于点E．则图中阴影部分的面积为．35(2023•九龙坡区校级模拟)如图，AC、AD是⊙O中关于直径AB对称的两条弦，以弦AC、AD 为折线将弧AC、弧AD折叠后过圆心O，若⊙O的半径r=4，则圆中阴影部分的面积为．36(2023•烟台一模)如图，GC，GB是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，延长GC，与BA的延长线交于点E，过点C作弦CD∥AB，连接DO并延长与圆交于点F，连接CF，若AE=2，CE=4，则CD的长度为．37(2023•历下区二模)如图，已知扇形AOB的半径OA=2，∠AOB=120°将扇形AOB绕点A顺时针旋转30°得到扇形AO′B′，则图中阴影部分的面积是．38(2023•邓州市一模)如图，在扇形AOB中，∠AOB=60°，OA=3，半径OC平分AB，点D为半径OA中点，点E为半径OC上一动点，当AE+DE取得最小值时，由AC，AE，CE围成的阴影部分的面积为．39(2023•龙口市二模)如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB 为直径的圆经过点C，D，则cos∠ADC的值为．40(2023•渝中区校级二模)如图，扇形纸片AOB的半径为2，沿AB折叠扇形纸片，点O恰好落在AB上的点C处，图中阴影部分的面积为．​。

2023年九年级数学中考专题：几何探究压轴题

2023年九年级数学中考专题：几何探究压轴题

2023年九年级数学中考专题：几何探究压轴题一、解答题1．如图，在ABC 中，4AC =，3BC =，90ACB ∠=︒，D 是边AC 上一动点（不与点A 、C 重合），CE BD ⊥，垂足为E ，交边AB 于点F ．(1)当点D 是边AC 中点时，求DE ，EC 的值；(2)设CD x =，AF y =，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域；(3)当EFD △与EFB △相似时，求线段CD 的长．2．【温故知新】黄金分割是一种最能引起美感的分割比例，具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值．我们知道：如图1，点C 把线段AB 分成两部分，如果BC AC AC AB=，那么称点C 为线段AB 的黄金分割点．(1)【问题发现】如图1，点C 为线段AB 的黄金分割点，且AC BC >，若2AB =，请直接写出CB 的值是__________．(2)【问题探究】如图2，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，2AC =，1BC =，在BA 上截取BD BC =，再在AC 上截取AE AD =，则AE AC的值为__________． (3)【问题解决】如图3，用边长为6的正方形纸片进行如下操作：对折正方形ABDE 得折痕MN ，连接EN ，将AE 折叠到EN 上，点A 对应点H ，得折痕CE ，试说明：C 是AB 的黄金分割点．3．定义：若连接三角形一个顶点和对边上一点的线段能把该三角形分成一个等腰三角形和一个直角三角形，我们称这条线段为该三角形的智慧线，这个三角形叫做智慧三角形．(1)如图1，在智慧三角形ABC 中，AD BC ⊥，AD 为该三角形的智慧线，1CD =，则BD 长为_____，B ∠的度数为_____．(2)如图2，ABC 为等腰直角三角形，90BAC ∠︒＝，2AB =，F 是斜边BC 延长线上一点，连接AF ，以AF为直角边作等腰直角三角形AFE （点A ，F ，E 按顺时针排列），90EAF ∠=︒, CF =AE 交BC 于点D ，连接EC ，EB ．当2BDE BCE ∠=∠时，求线段ED 的长；(3)如图3，ABC 中，5AB AC ==，BC =BCD △是智慧三角形，且AC 为智慧线，求BCD △的面积．4．【问题提出】如图1，在等边三角形ABC 内部有一点P ，3PA＝，4PB ＝，5PC ＝，求APB ∠的度数．(1)【尝试解决】将APC △绕点A 逆时针旋转60︒，得到AP B '△，连接PP '，则APP '为等边三角形． ∵3P P PA '==，4PB =，5P B PC '==，∴222=P P PB P B ''+∴BPP '为三角形∴APB ∠的度数为．(2)【类比探究】如图2，在等边三角形ABC 外部有一点P ，若∠BP A ＝30°，求证222PA PB PC +=．(3)【联想拓展】如图3，在ABC 中，90BAC ∠︒＝，AB AC ＝．点P 在直线BC 上方且45APB ∠︒＝，PC BC ==求PA 的长．5．已知正方形 ABCD 和正方形 CEFG ，连接 AF 交 BC 于点 O ，点 P 是 AF 的中点，过点 P 作 PH DG ⊥ 于 H ，2CD =，1CG =．(1)如图1，点 D ，C ，G 在同一直线上，点 E 在 BC 边上，求 PH 的长；(2)把正方形 CEFG 绕着点C 逆时针旋转 ()0180αα<<．①如图2，当点E 落在AF 上时，求CO 的长；②如图3，当DG =PH 的长．6．在ABC ∆中，点E 为AC 边上一动点，以CE 为边在CE 上方作等边CEN ．(1)如图1，EN 与AB 交于点P ，连接PC ，若tan A =，1AE =，5CN =，求PC 的长： (2)如图2．当N 与B 重合时，在BC 上取一点D ，过点D 作DF AC ∥，连接BF ，EF ，过C 作CH EF ⊥交EF 于点H ，若30FBC DFE ︒∠-∠=，求证：CH BF +=；(3)如图3，若BC AB ⊥，且4AB BC ==，过点B 作BQ AC ∥，I 为射线.BQ 上一动点，取AC 中点M ，连接MI ，过点B 作BK MI ⊥交M 于点K ，连接NK ，直接写出NK 的最小值．7．问题情境：如图1，在Rt △ABC 和Rt △BEF 中，∠ACB ＝∠EFB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，且M ，N 分别为AE ，CF 的中点．(1)猜想证明：如图2，将Rt △BEF 绕点B 按逆时针方向旋转90°，其他条件不变．试判断54AM CN =是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．(2)解决问题：如图3，将图2中的Rt △BEF 沿BF 所在直线折叠得到Rt BE F '，连接AE '，CF ，并分别取它们的中点P ，H ，连接CP ，FP ，PH ．①试判断CP 与FP 之间的数量关系，并说明理由．②若AB ＝2BE '，BC ＝2BF ，请直接写出PH 的长．8．【方法尝试】（1）如图1，矩形ABFC 是矩形ADGE 以点A 为旋转中心，按逆时针方向旋转90︒所得的图形，CB ED 、分别是它们的对角线．则CB 与ED 数量关系________，位置关系________．【类比迁移】（2）如图2，在Rt ABC 和Rt ADE △中，90,9,6,3,2BAC DAE AC AB AE AD ∠=∠=︒====．将DAE 绕点A 在平面内逆时针旋转，设旋转角BAE ∠为()0360αα︒<︒，连接,CE BD ．请判断线段CE 和BD 的数量关系和位置关系，并说明理由；【拓展延伸】（3）如图3，在Rt ABC 中，90,6ACB AB ∠=︒=，过点A 作AP BC ∥，在射线AP 上取一点D ，连结CD，使得3tan4ACD∠=，请求写出线段BD的最大值．9．如图①，在正方形ABCD中，点N、M分别在边BC、CD上，连接AM、AN、MN．∠MAN＝45°，将△AMD 绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE．易证：△ANM≌△ANE，从而得DM＋BN＝MN．【实践探究】(1)在图①条件下，若CN＝6，CM＝8，则正方形ABCD的边长是______．(2)如图②，点M、N分别在边CD、AB上，且BN＝DM．点E、F分别在BM、DN上，∠EAF＝45°，连接EF，猜想三条线段EF、BE、DF之间满足的数量关系，并说明理由．(3)【拓展应用】如图③，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点M、N分别在边DC、BC上，连接AM，AN，已知∠MAN＝45°，BN＝2，求DM的长．10．小圆同学对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了拓展探究．(1)猜测探究：在△ABC中，AB＝AC，M是平面内任意一点，将线段AM绕点A按顺时针方向旋转与∠BAC 相等的角度，得到线段AN，连接NB．①如图1，若M是线段BC上的任意一点，请直接写出∠NAB与∠MAC的数量关系是，NB与MC的数量关系是；②如图2，点E是AB延长线上点，若M是∠CBE内部射线BD上任意一点，连接MC，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由．(2)拓展应用：如图3，在△A 1B 1C 1中，A 1B 1＝8，∠A 1B 1C 1＝60°，∠B 1A 1C 1＝75°，P 是B 1C 1上的任意点，连接A 1P ，将A 1P 绕点A 1按顺时针方向旋转75°，得到线段A 1Q ，连接B 1Q ．求线段B 1Q 长度的最小值． 11．如图，在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，AB AC =，D 为AC 边上一点，连接BD ，作AP BD ⊥于点P ，过点C 作CE AC ⊥交AP 延长线于点E ．(1)如图1，求证：AD CE =；(2)如图2，以AD ，BD 为邻边作ADBF ，连接EF 交BC 于点G ，连接AG ，①求证：AG EF ⊥；②若点D 为AC 中点，EF 、AB 交于点H ，求BH AB的值． 12．如图1，在ABC 中，90ACB ∠=︒，D 为AC 边上的一点，过点D 作DE AB ⊥，垂足为E ，连接BD ，P 为BD 中点，连接PC ，PE ．(1)求证：PC PE =；(2)将图1中ADE 绕着点A 顺时针旋转如图2的位置，其他条件不变，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明：若不成立，请说明理由；(3)若10AB =，6AD =，30BAC DAE ∠=∠=︒，在平面内，将Rt ADE △绕点A 旋转一周，当A ，C ，E 三点共线时，请直接写出PCE 的面积．13．如图1，在直角坐标系中，点()2,0A ，点()0,2C ，点D ，点E 分别为OA ，OC 的中点，ODE 绕原点O 顺时针旋转α角（090α︒<<︒）得11OD E ，射线1CD ，1AE 相交于点F ．(1)求证：11OCD OAE △≌△；(2)如图2，在ODE 旋转过程中，当点1D 恰好落在线段CE 上时，求AF 的长；(3)如图3，在旋转α角从090α︒≤≤︒逐渐增大ODE 旋转过程中，求点F 的运动路线长．14．已知ABC 为等边三角形，边长为4，点D 、E 分别是BC 、AC 边上一点，连接AD 、BE ．AE CD =．(1)如图1，若2AE =，求BE 的长度；(2)如图2，点F 为AD 延长线上一点，连接BF 、CF ，AD 、BE 相交于点G ，连接CG ，已知60,∠=︒=EBF CE CG ，求证：2+=BF GE CF ；(3)如图3，点P 是ABC 内部一动点，顺次连接PA PB PC 、、++的最小值．15．【问题提出】（1）如图1，在ABC 中，90C ∠=︒，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，设CD 的长为m ，点D 到边AB 的距离为n ，则m _______n ；（填“＞”“＜”或“＝”）【问题探究】（2）如图2，在梯形ABCD 中，90A ∠=︒，AD BC ∥，(201AB =，BD 为对角线，且45BDC ∠=︒，求BCD △面积的最小值；【问题解决】（3）某景点有一个形状为菱形ABCD 的草坪，如图3，AB ==60B ∠︒，现欲将该草坪扩建为BEF △，使得点E 、F 分别在BA 、BC 的延长线上，且边EF 经过点D ，为了节省成本，要求扩建后的草坪面积（BEF △的面积）尽可能小，问BEF △的面积是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，请说明理由．16．综合与实践：数学课外小组研究了两个问题，请你帮助解答．问题一：如图1，在矩形ABCD 中，6AB =，8AD =，E ，F 分别为AB ，AD 边的中点，四边形AEGF 为矩形，连接CG ．问题二：数学小组对图形的旋转进行了拓展研究，如图4，在平行四边形ABCD 中，=60B ∠︒，6AB =，8AD =，E ，F 分别为AB ，AD 边的中点，四边形AEGF 为平行四边形，连接CG ．数学小组发现DF 与CG 仍然存在着特定的数量关系．(1)请直接写出CG 的长是______．如图2，当矩形AEGF 绕点A 旋转（如顺时针旋转）至点G 落在边AB 上时，DF =______，CG =______，DF 与CG 之间的数量关系是______．(2)当矩形AEGF 绕点A 旋转至如图3的位置时，（1）中DF 与CG 之间的数量关系是否还成立？并说明理由．(3)如图5，当平行四边形ABCD 绕点A 旋转（如顺时针旋转），其它条件不变时，数学小组发现DF 与CG 仍然存在着这一特定的数量关系．请你直接写出这个特定的数量关系是______．17．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，AD ＝CD ，O 是对角线AC 的中点，连接BO 并延长交边AD 或边CD 于点E ．(1)如图1，当点E 在AD 上时，连接CE ，求证：四边形ABCE 是矩形．(2)如图2，当点E 在CD 上时，当AC ＝4，BC ＝3时，求DAC S △与OBC S的比值．(3)若DE ＝2，OE ＝3，直接写出CD 的长．18．已知在正方形ABCD 中，E 是BC 边上一动点，作点B 关于AE 的对称点F ，BF 交AE 于点G ，连结DF ．(1)如图1，求DFB ∠的度数；(2)如图2，过点D 作DM BF ⊥交BF 的延长线于点M ，连结,CM CF ．若DF CM =，试探究四边形DFCM 的形状，并说明理由；(3)如图3，连结BD ，在AG 上截取=GT GB ，点P ，Q 分别是,AD BD 上的动点．若正方形ABCD 的面积为32，直接写出PTQ 周长的最小值．。

二次函数与几何综合压轴题(原卷版)-2024年中考数学

二次函数与几何综合压轴题(原卷版)-2024年中考数学

二次函数与几何综合压轴题几乎所有的地方都把二次函数与几何综合压轴题作为中考压轴题。

1．（2023·青海·中考真题）如图，二次函数2y x bx c =−++的图象与x 轴相交于点A 和点()1,0C ，交y 轴于点()0,3B ．(1)求此二次函数的解析式；(2)设二次函数图象的顶点为P ，对称轴与x 轴交于点Q ，求四边形AOBP 的面积（请在图1中探索）； (3)二次函数图象的对称轴上是否存在点M ，使得△AMB 是以AB 为底边的等腰三角形？若存在，请求出满足条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由（请在图2中探索）．2．（2023·内蒙古·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =−++与x 轴的交点分别为A 和()10B ,（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点()0,3C ，点P 是直线AC 上方抛物线上一动点．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，过点P 作x 轴平行线交AC 于点E ，过点P 作y 轴平行线交x 轴于点D ，求PE PD +的最大值及点P 的坐标；(3)如图2，设点M 为抛物线对称轴上一动点，当点P ，点M 运动时，在坐标轴上确定点N ，使四边形PMCN 为矩形，求出所有符合条件的点N 的坐标．3．（2023·海南·中考真题）如图1，抛物线2y x bx c =++交x 轴于A ，()3,0B 两点，交y 轴于点()0,3C −．点P 是抛物线上一动点．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)当点P 的坐标为()1,4−时，求四边形BACP 的面积；(3)当动点P 在直线BC 上方时，在平面直角坐标系是否存在点Q ，使得以B ，C ，P ，Q 为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由；(4)如图2，点D 是抛物线的顶点，过点D 作直线DH y ∥轴，交x 轴于点H ，当点P 在第二象限时，作直线PA ，PB 分别与直线DH 交于点G 和点I ，求证：点D 是线段IG 的中点．4．（2023·西藏·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =−++与x 轴交于()30A −,，()10B ,两点，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的解析式；(2)如图甲，在y 轴上找一点D ，使ACD 为等腰三角形，请直接写出点D 的坐标；(3)如图乙，点P 为抛物线对称轴上一点，是否存在P 、Q 两点使以点A ，C ，P ，Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，求出P 、Q 两点的坐标，若不存在，请说明理由．5．（2023·四川甘孜·中考真题）已知抛物线2y x bx c =++与x 轴相交于()10A −，，B 两点，与y 轴相交于点()03C −，．(1)求b ，c 的值；(2)P 为第一象限抛物线上一点，PBC 的面积与ABC 的面积相等，求直线AP 的解析式；(3)在（2）的条件下，设E 是直线BC 上一点，点P 关于AE 的对称点为点P ′，试探究，是否存在满足条件的点E ，使得点P ′恰好落在直线BC 上，如果存在，求出点P ′的坐标；如果不存在，请说明理由．6．（2023·四川达州·中考真题）如图，抛物线2y ax bx c ++过点()()()1,0,3,,00,3A B C −．(1)求抛物线的解析式；(2)设点P 是直线BC 上方抛物线上一点，求出PBC 的最大面积及此时点P 的坐标；(3)若点M 是抛物线对称轴上一动点，点N 为坐标平面内一点，是否存在以BC 为边，点B C M N 、、、为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．7．（2023·四川巴中·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线2(0)y ax bx c a ++≠经过点(1,0)A −和(0,3)B ，其顶点的横坐标为1．(1)求抛物线的表达式．(2)若直线x m =与x 轴交于点N ，在第一象限内与抛物线交于点M ，当m 取何值时，使得AN MN +有最大值，并求出最大值．(3)若点P 为抛物线2(0)y ax bx c a ++≠的对称轴上一动点，将抛物线向左平移1个单位长度后，Q 为平移后抛物线上一动点．在（2）的条件下求得的点M ，是否能与A 、P 、Q 构成平行四边形？若能构成，求出Q 点坐标；若不能构成，请说明理由．8．（2023·四川眉山·中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线2y ax bx c ++与x 轴交于点()()3,0,1,0A B −两点，与y 轴交于点()0,3C ，点P 是抛物线上的一个动点．(1)求抛物线的表达式；(2)当点P 在直线AC 上方的抛物线上时，连接BP 交AC 于点D ．如图1．当PD DB的值最大时，求点P 的坐标及PD DB 的最大值； (3)过点P 作x 轴的垂线交直线AC 于点M ，连接PC ，将PCM △沿直线PC 翻折，当点M 的对应点'M 恰好落在y 轴上时，请直接写出此时点M 的坐标．9．（2023·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c ++与x 轴交于()4,0B ，()2,0C −两点．与y 轴交于点()0,2A −．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)若点P 是直线AB 下方抛物线上的一动点，过点P 作x 轴的平行线交AB 于点K ，过点P 作y 轴的平行线交x 轴于点D ，求与12PK PD +的最大值及此时点P 的坐标； (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点M ，使得MAB △是以AB 为一条直角边的直角三角形：若存在，请求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由．10．（2023·湖北黄冈·中考真题）已知抛物线212y x bx c =−++与x 轴交于,(4,0)A B 两点，与y 轴交于点(0,2)C ，点P 为第一象限抛物线上的点，连接,,,CA CB PB PC ．(1)直接写出结果；b =_____，c =_____，点A 的坐标为_____，tan ABC ∠=______；(2)如图1，当2PCB OCA ∠=∠时，求点P 的坐标； (3)如图2，点D 在y 轴负半轴上，OD OB =，点Q 为抛物线上一点，90QBD ∠=°，点E ，F 分别为BDQ △的边,DQ DB 上的动点，QE DF =，记BE QF +的最小值为m ． ①求m 的值；②设PCB 的面积为S ，若214S m k =−，请直接写出k 的取值范围．11．（2023·湖北武汉·中考真题）抛物线21:28=−−C y x x 交x 轴于,A B 两点（A 在B 的左边），交y 轴于点C ．(1)直接写出,,A B C 三点的坐标；(2)如图（1），作直线()04=<<x t t ，分别交x 轴，线段BC ，抛物线1C 于,,D E F 三点，连接CF ．若BDE 与CEF △相似，求t 的值；(3)如图（2），将抛物线1C 平移得到抛物线2C ，其顶点为原点．直线2y x =与抛物线2C 交于,O G 两点，过OG 的中点H 作直线MN （异于直线OG ）交抛物线2C 于,M N 两点，直线MO 与直线GN 交于点P ．问点P 是否在一条定直线上？若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由．12．（2023·湖南郴州·中考真题）已知抛物线24y ax bx ++与x 轴相交于点 1,0A ，()4,0B ，与y 轴相交于点C ．(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，点P 是抛物线的对称轴l 上的一个动点，当PAC △的周长最小时，求PAPC的值； (3)如图2，取线段OC 的中点D ，在抛物线上是否存在点Q ，使1tan 2QDB ∠=若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．且与直线:1l y x =−−交于D E 、两点（点D 在点E 的右侧），点M 为直线l 上的一动点，设点M 的横坐标为t ．(1)求抛物线的解析式．(2)过点M 作x 轴的垂线，与拋物线交于点N ．若04t <<，求NED 面积的最大值．(3)抛物线与y 轴交于点C ，点R 为平面直角坐标系上一点，若以B C M R 、、、为顶点的四边形是菱形，请求出所有满足条件的点R 的坐标．在此抛物线上，其横坐标分别为,2(0)m m m >，连接AP ，AQ ．(1)求此抛物线的解析式．(2)当点Q 与此抛物线的顶点重合时，求m 的值．(3)当PAQ ∠的边与x 轴平行时，求点P 与点Q 的纵坐标的差．(4)设此抛物线在点A 与点P 之间部分（包括点A 和点P ）的最高点与最低点的纵坐标的差为1h ，在点A 与点Q 之间部分（包括点A 和点Q ）的最高点与最低点的纵坐标的差为2h ．当21h h m −=时，直接写出m 的值．15．（2023·青海西宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线l 与x 轴交于点()6,0A ，与y 轴交于点()0,6B −，抛物线经过点A ，B ，且对称轴是直线1x =．(1)求直线l 的解析式； (2)求抛物线的解析式；(3)点P 是直线l 下方抛物线上的一动点，过点P 作PC x ⊥轴，垂足为C ，交直线l 于点D ，过点P 作PM l ⊥，垂足为M ．求PM 的最大值及此时P 点的坐标．16．（2023·湖南·中考真题）如图，二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，其中()10B ,，()0,3C ．(1)求这个二次函数的表达式；(2)在二次函数图象上是否存在点P ，使得PAC ABC S S =△△？若存在，请求出P 点坐标；若不存在，请说明理由；(3)点Q 是对称轴l 上一点，且点Q 的纵坐标为a ，当QAC △是锐角三角形时，求a 的取值范围．17．（2023·辽宁营口·中考真题）如图，抛物线()210y ax bx a +−≠与x 轴交于点 1,0A 和点B ，与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴交x 轴于点()3,0D ，过点B 作直线l x ⊥轴，过点D 作DE CD ⊥，交直线l 于点E ．(1)求抛物线的解析式；(2)如图，点P 为第三象限内抛物线上的点，连接CE 和BP 交于点Q ，当57BQ PQ =时．求点P 的坐标； (3)在（2）的条件下，连接AC ，在直线BP 上是否存在点F ，使得DEF ACD BED ∠=∠+∠？若存在，请直接写出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．18．（2023·湖南湘西·中考真题）如图（1），二次函数25y ax x c =−+的图像与x 轴交于()4,0A −，(),0B b 两点，与y 轴交于点()0,4C −．(1)求二次函数的解析式和b 的值．(2)在二次函数位于x 轴上方的图像上是否存在点M ，使13BOM ABC S S =△△？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．(3)如图（2），作点A 关于原点O 的对称点E ，连接CE ，作以CE 为直径的圆．点E ′是圆在x 轴上方圆弧上的动点（点E ′不与圆弧的端点E 重合，但与圆弧的另一个端点可以重合），平移线段AE ，使点E 移动到点E ′，线段AE 的对应线段为A E ′′，连接E C ′，A A ′，A A ′的延长线交直线E C ′于点N ，求AA CN′的值．19．（2023·辽宁盘锦·中考真题）如图，抛物线23y ax bx ++与x 轴交于点()10A −，，()30B ，，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的解析式．(2)如图1，点Q 是x 轴上方抛物线上一点，射线QM x ⊥轴于点N ，若QM BM =，且4tan 3MBN ∠=，请直接写出点Q 的坐标．(3)如图2，点E 是第一象限内一点，连接AE 交y 轴于点D ，AE 的延长线交抛物线于点P ，点F 在线段CD 上，且CF OD =，连接FA FE BE BP ，，，，若AFE ABE S S =△△，求PAB 面积．20．（2023·重庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线22y ax bx ++过点()1,3，且交x 轴于点()1,0A −，B 两点，交y 轴于点C ．(1)求抛物线的表达式；(2)点P 是直线BC 上方抛物线上的一动点，过点P 作PD BC ⊥于点D ，过点P 作y 轴的平行线交直线BC 于点E ，求PDE △周长的最大值及此时点P 的坐标；(3)在（2）中PDE △周长取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线CB M 为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平面内确定一点N ，使得以点A ，P ，M ，N 为顶点的四边形是菱形，写出所有符合条件的点N 的坐标，并写出求解点N 的坐标的其中一种情况的过程．21．（2023·四川广安·中考真题）如图，二次函数2y x bx c =++的图象交x 轴于点A B ，，交y 轴于点C ，点B 的坐标为()1,0，对称轴是直线=1x −，点P 是x 轴上一动点，PM x ⊥轴，交直线AC 于点M ，交抛物线于点N ．(1)求这个二次函数的解析式．(2)若点P 在线段AO 上运动（点P 与点A 、点O 不重合），求四边形ABCN 面积的最大值，并求出此时点P 的坐标．(3)若点P 在x 轴上运动，则在y 轴上是否存在点Q ，使以M 、N C Q 、、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．22．（2023·湖北十堰·中考真题）已知抛物线28y ax bx ++过点()4,8B 和点()8,4C ，与y 轴交于点A ．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，连接,AB BC ，点D 在线段AB 上（与点,A B 不重合），点F 是OA 的中点，连接FD ，过点D 作DE FD ⊥交BC 于点E ，连接EF ，当DEF 面积是ADF △面积的3倍时，求点D 的坐标；(3)如图2，点P 是抛物线上对称轴右侧的点，(),0H m 是x 轴正半轴上的动点，若线段OB 上存在点G （与点,O B 不重合），使得GBP HGP BOH ∠=∠=∠，求m 的取值范围．23．（2023·四川·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数24y ax bx ++的图象与x 轴交于点()2,0A −，()4,0B ，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的解析式；(2)已知E 为抛物线上一点，F 为抛物线对称轴l 上一点，以B ，E ，F 为顶点的三角形是等腰直角三角形，且90BFE ∠=°，求出点F 的坐标； (3)如图2，P 为第一象限内抛物线上一点，连接AP 交y 轴于点M ，连接BP 并延长交y 轴于点N ，在点P 运动过程中，12OM ON +是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．24．（2023·黑龙江绥化·中考真题）如图，抛物线21y ax bx c =++的图象经过(6,0)A −，(2,0)B −，(0,6)C 三点，且一次函数6y kx =+的图象经过点B ．(1)求抛物线和一次函数的解析式．(2)点E ，F 为平面内两点，若以E 、F 、B 、C 为顶点的四边形是正方形，且点E 在点F 的左侧．这样的E ，F 两点是否存在？如果存在，请直接写出所有满足条件的点E 的坐标：如果不存在，请说明理由．(3)将抛物线21y ax bx c =++的图象向右平移8个单位长度得到抛物线2y ，此抛物线的图象与x 轴交于M ，N 两点（M 点在N 点左侧）．点P 是抛物线2y 上的一个动点且在直线NC 下方．已知点P 的横坐标为m ．过点P 作PD NC ⊥于点D ．求m 为何值时，12CD PD +有最大值，最大值是多少？25．（2023·四川德阳·中考真题）已知：在平面直角坐标系中，抛物线与x 轴交于点(4,0)A −，(2,0)B ，与y 轴交于点(0,4)C −．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，如果把抛物线x 轴下方的部分沿x 轴翻折180°，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象．当平面内的直线6y kx =+与新图象有三个公共点时，求k 的值； (3)如图2，如果把直线AB 沿y 轴向上平移至经过点D ，与抛物线的交点分别是E ，F ，直线BC 交EF 于点H ，过点F 作FG CH ⊥于点G ，若DF HG=F 的坐标．26．（2023·辽宁锦州·中考真题）如图，抛物线2y bx c ++交x 轴于点()1,0A −和B ，交y 轴于点(C ，顶点为D ．(1)求抛物线的表达式；(2)若点E 在第一象限内对称右侧的抛物线上，四边形ODEB 的面积为E 的坐标；(3)在（2）的条件下，若点F 是对称轴上一点，点H 是坐标平面内一点，在对称轴右侧的抛物线上是否存在点G ，使以E ，F ，G ，H 为顶点的四边形是菱形，且60EFG ∠=°，如果存在，请直接写出点G 的坐标；如果不存在，请说明理由．27．（2023·辽宁鞍山·中考真题）如图1，抛物线253y ax x c =++经过点()3,1，与y 轴交于点()0,5B ，点E 为第一象限内抛物线上一动点．(1)求抛物线的解析式．(2)直线243y x =−与x 轴交于点A ，与y 轴交于点D ，过点E 作直线EF x ⊥轴，交AD 于点F ，连接BE ．当BE DF =时，求点E 的横坐标．(3)如图2，点N 为x 轴正半轴上一点，OE 与BN 交于点M ．若OE BN =，3tan 4BME ∠=，求点E 的坐标．28．（2023·辽宁丹东·中考真题）抛物线24y ax bx +−与x 轴交于点()4,0A −，()2,0B ，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的表达式；(2)如图，点D 是抛物线上的一个动点，设点D 的横坐标是()42m m −<<，过点D 作直线DE x ⊥轴，垂足为点E ，交直线AC 于点F ．当D ，E ，F 三点中一个点平分另外两点组成的线段时，求线段DF 的长；(3)若点P 是抛物线上的一个动点（点P 不与顶点重合），点M 是抛物线对称轴上的一个点，点N 在坐标平面内，当四边形CMPN 是矩形邻边之比为1:2时，请直接写出点P 的横坐标．。

中考数学平面几何压轴(三角形与四边形)训练15题(精选无答案)

中考数学平面几何压轴(三角形与四边形)训练15题(精选无答案)

中考平面几何压轴（三角形与四边形）训练15题（精选）1.如图，四边形ABCD 是平行四边形，且对角线AC , BD 交于点O ，点M , N 分别在AD , BC 上，且AM = CN ,点E ，F 分别是BD 与AN ，CM 的交点.(1)求证:OE = OF ;(2)连接BM 交AC 于点H ,连接HE ，HF ;(i)如图2，若HE ∥AB ,求证: FH ∥AD ;(ii)如图3,若四边形ABCD 为菱形且DM = 2AM ,∠EHF=60°，求AC BD 的值.2.(1)如图①，在矩形ABCD 的AB 边上取一点E ，将ΔADE 沿DE 翻折，使点A 落在BC 上的A′处，若AB =6，BC =10，求AEEB 的值；(2)如图②，在矩形ABCD 的BC 上取一点E ，将四边形ABED 沿DE 翻折，使点B 落在DC 的延长线上B′处，若BC ·CE =24，AB =6，求BE 的值；(3)如图③，在ΔABC 中，∠BAC =45°，AD ⊥BC ，垂足为点D ，AD =10，AE =6，过点E 作EF ⊥AD 交AC 于点F ，连接DF ，且满足∠DFE =2∠DAC ，直接写出BD+53EF 的值.3. 在正方形ABCD 中，AB =10, AC 是对角线，点O 是AC 的中点，点E 在AC 上，连接DE ，点C 关于DE 的对称点是C',连接DC' ,EC'.(1) 如图1，若DC'经过点O ,求证:OC ′CE = √22. (2) 如图2，连接CC'，BC',若∠ADC' = 2∠CBC',求CC'的长;(3) 当点B , C', E 三点共线时，直接写出CE 的长.4.如图，正方形ABCD中，点M在边BC上，点E是AM的中点，连接ED，EC．（1）求证：ED= EC；（2）将BE绕点E逆时针旋转，使点B的对应点B′落在AC上，连接MB′．当点M在边BC上运动时（点M不与B，C 重合），判断△CMB′的形状，并说明理由．（3）在（2）的条件下，已知AB= 1，当∠DEB′=45°时，求BM的长．5.如图，在正方形ABCD中，点M、N在直线BD上，连接AM，AN并延长交BC、CD于点E、F，连接EN.(1)如图1，若M，N都在线段BD上，且AN = NE，求∠MAN;(2)如图2.当点M在线段DB 延长线上时,AN = NE,(1)中∠MAN的度数不变，判断BM，DN，MN之间的数量关系并证明;(3)如图3,若点M在DB的延长线上,N在BD的延长线上,且∠MAN=135°(i)AB=√6,MB=√3,求DN.(ii)求证:2AM2 - MB 2= MN2 - BN2.6.如图，在RtΔABC与RtΔBDE中,∠BAC=∠BDE=90°,∠ABC=∠DBE=α.（1)如图1,当α= 60°,且点E为BC的中点时,若AB=2,连接AD.求AD的长度；（2)如图2,若α≠ 60°,且点E为BC中点时,取CE中点F,连接AF、DF。

选择压轴题(几何篇1)-2023年中考数学压轴题专项训练(全国通用)(解析版)

选择压轴题(几何篇1)-2023年中考数学压轴题专项训练(全国通用)(解析版)

2023年中考数学压轴题专项训练选择压轴题(几何篇1)一、压轴题速练1一．选择题(共40小题)1(2023•朝阳区校级三模)如图，AB是⊙O的直径，将OB绕着点O逆时针旋转40°得到OC，P是⊙O上一点，且与点C在AB的异侧，连结PA、PC、AC，若PA=PC，则∠PAB的大小是()A.20°B.35°C.40°D.70°【答案】B【分析】由圆周角定理求出∠P=70°，由等腰三角形的性质求出∴∠PAC=55°，由三角形外角的性质求出∠CAO=20°，即可得到∠PAB=∠PAC-∠CAO=35°．【详解】解：∵∠AOC+∠BOC=180°，∠BOC=40°，∴∠AOC=140°，∴∠P=12∠AOC=70°，∵PA=PC，∴∠PAC=∠PCA=12×(180°-∠P)=55°，∵OA=OC，∴∠OAO=∠ACO，∵∠BOC=∠OAO+∠ACO=2∠CAO，∴∠CAO=12∠BOC=20°，∴∠PAB=∠PAC-∠CAO=35°．故选：B．【点睛】本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质，旋转的性质，关键是由圆周角定理，求出∠P的度数．2(2023•河北区二模)如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A在x轴上，且∠COA=45°，OA=4，则点B的坐标为()A.(4+22，22)B.(22，22)C.(2+22，2)D.(2，2)【答案】A【分析】作BD⊥x轴于点D，由菱形的性质得AB∥OC，AB=OA=4，则∠BAD=∠COA=45°，可求得AD=BD=AB•sin45°=22，所以OD=4+22，则B(4+22，22)，于是得到问题的答案．【详解】解：作BD⊥x轴于点D，则∠ADB=90°，∵四边形OABC是菱形，∠COA=45°，OA=4，∴AB∥OC，AB=OA=4，∴∠BAD=∠COA=45°，∴∠ABD=∠BAD=45°，∴AD=BD=AB•sin45°=4×22=22，∴OD=4+22，∴点B的坐标为(4+22，22)，故选：A．【点睛】此题重点考查图形与坐标、菱形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．3(2023•奉贤区二模)如图，矩形ABCD中，AB=1，∠ABD=60°，点O在对角线BD上，圆O经过点C．如果矩形ABCD有2个顶点在圆O内，那么圆O的半径长r的取值范围是()A.0<r≤1B.1<r≤3C.1<r≤2D.3<r≤2【答案】B【分析】解直角三角形得到BD=2AB=2，AD=3，如图，当圆O的半径长r=1时，A、B、C、D四个点都在圆O上，当圆O的半径长r=3时，A、B在圆内，C在圆上，D点在圆外，观察图形即可得到结论．【详解】解：矩形ABCD中，AB=1，∠ABD=60°，∴BD=2AB=2，AD=3，∵矩形的对角线相等且平分，∴当圆O的半径长r=1时，A、B、C、D四个点都在圆O上，当圆O的半径长r=3时，A、B在圆内，C在圆上，D点在圆外，∴如果矩形ABCD有2个顶点在圆O内，那么圆O的半径长r的取值范围是1<r≤3，故选：B ．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，矩形的性质，解直角三角形，正确的作出图形是解题的关键．4(2023•广灵县模拟)如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =3，AC =6，点O ，D ，E 是AB 边上的点，以点O 为圆心，DE 长为直径的半圆O 与AC 相切于点M ，与BC 相切于点N ，则图中阴影部分的面积为()A.5B.9-2πC.9-πD.5-π【答案】D【分析】连接ON ，OM ，根据切线的性质得到∠ONC =∠OMC =90°，根据正方形的性质得到ON =OM =CN =CM ，∠NOM =90°，根据相似三角形的性质得到OM =2，根据三角形和正方形以及扇形的面积公式即可得到结论．【详解】解：连接ON ，OM ，∵半圆O 与AC 相切于点M ，与BC 相切于点N ，∴∠ONC =∠OMC =90°，∵∠C =90°，ON =OM ，∴四边形CMON 是正方形，∴ON =OM =CN =CM ，∠NOM =90°，∴∠BON +∠AOM =90°，∵∠AMO =∠C =90°，∴OM ∥BC ，∴△AOM ∽△ABC ，∴OM BC =AM AC ，∴OM 3=6-OM 6，∴OM =2，∴图中阴影部分的面积=12×3×6-90⋅π×22360-2×2=5-π，故选：D ．【点睛】本题考查了切线的性质，扇形面积的计算，相似三角形的判定和性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键．5(2023•普陀区二模)如图，△ABC 中，∠BAC =60°，BO 、CO 分别平分∠ABC 、∠ACB ，AO =2，下面结论中不一定正确的是()A.∠BOC =120°B.∠BAO =30°C.OB =3D.点O 到直线BC 的距离是1【答案】C【分析】由角平分线的定义求出∠OBC +∠OCB =12(∠ABC +∠ACB )=60°，由三角形内角和定理求出∠BOC 的度数，由三角形内心的性质求出∠BAO 的度数是30°，OB 的长在变化不一定等于3，由直角三角形的性质得到ON =1，由角平分线的性质得到OM =ON =1，得到O 到BC 的距离是1．【详解】解：作OM ⊥BC 于M ，ON ⊥AB 于N ，∵BO 、CO 分别平分∠ABC 、∠ACB ，∴∠OBC =12∠ABC ，∠OCB =12∠ACB ，∴∠OBC +∠OCB =12(∠ABC +∠ACB )=12×(180°-∠BAC )=60°，∴∠BOC =180°-(∠OBC +∠OCB )=120°，故A 正确；∵BO 、CO 分别平分∠ABC ，∴O 是△ABC 的内心，∴AO 平分∠BAC ，∵∠BAC =60°，∴∠BAO =12∠BAC =30°，故B 正确；OB 的长在变化不一定等于3，故C 不一定正确；∵∠ANO =90°，∠NAO =30°，∴ON =12AO =12×2=1，∴OM =ON =1，∴O 到BC 的距离是1，故D 正确．故选：C ．【点睛】本题考查角平分线的性质，关键是掌握角平分线的性质．6(2023•瓯海区模拟)如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD 与正方形EFGH ，连结DH 并延长交AB 于点K ，若DF 平分∠CDK ，则DH HK=()A.233B.65C.5-1D.457【答案】C【分析】过点K 作KM ⊥AH ，设DE =a ，AE =b ，先证得∠KHA =∠KAH ，可得KH =KA ，再证△EHD ∽△EDA ，可得HE DE =DE AE，即b -a a =a b ，解出b =5+12a ，再证△HED ∽△HMK ，列比例式求解即可．【详解】解：过点K 作KM ⊥AH ，设DE =a ，AE =b ，∵DF 平分∠CDK ，∴∠CDF =∠EDH ，∵四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD 与正方形EFGH ，∴∠CDF =∠ABH ，DE =AH ，∠DEA =∠EHB ，∴DF ∥HB ，∴∠EDH =∠BHK ，∴∠KBH =∠KHB ，∴KH =KB ，∵∠AHB =90°，∴∠KBH +∠KAH =90°，∠KHB +∠KHA =90°，∴∠KHA =∠KAH ，∴KH =KA ，∴HM =12AH =12a ，∵∠HED =∠DEA ，∠HDE =∠EAD ，∴△EHD ∽△EDA ，∴HE DE =DE AE ，即b -a a =a b，解得：b =5+12a ，∵DE ∥KM ，∴△HED ∽△HMK ，∴DH HK =EH HM =b -a 12a =5+12a -a 12a =5-1，故选：C ．【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题．7(2023•花溪区模拟)勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题的最重要工具也是数形结合的组带之一，如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE=1m，将它往前推6m至C处时(即水平距离CD=6m)，踏板离地的垂直高度CF=4m，它的绳索始终拉直，则绳索AC的长是()A.152mB.92mC.6mD.212m【答案】A【分析】设绳索AC的长是xm，则AB=xm，求出AD=AB+BE-DE=(x-3)m，然后在Rt△ACD中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【详解】解：设绳索AC的长是xm，则AB=xm，∵DE=FC=4m，BE=1m，∴AD=AB+BE-DE=x+1-4=(x-3)m，在Rt△ACD中，由勾股定理得：AC2=AD2+CD2，即x2=(x-3)2+62，解得：x=15 2，即绳索AC的长是152m，故选：A．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理得出方程是解题的关键．8(2023•承德一模)如图，在菱形ABCD中，AC、BD(AC>BD)相交于点O，E、F分别为OA和OC上的点(不与点A、O、C重合)．其中AE=OF．过点E作GH⊥AC，分别交AD、AB于点G、H；过点F作IJ⊥AC分别交CD、CB于点J、I；连接GJ、HI，甲、乙、丙三个同学给出了三个结论：甲：随着AE长度的变化，GH+IJ=BD始终成立．乙：随着AE长度的变化，四边形GHIJ可能为正方形．丙：随着AE长度的变化，四边形GHIJ的面积始终不变，都是菱形ABCD面积的一半．下列选项正确的是()A.甲、乙、丙都对B.甲、乙对，丙不对C.甲、丙对，乙不对D.甲不对，乙、丙对【答案】C【分析】连接HJ，GI，交于点M，根据轴对称的性质得出GE=EH，JF=FI，MG=MH，MJ=MI，GJ=HI，EO=FC，过点G作GK⊥BD于点K，过点J作JT⊥BD于点T，证明△DTJ≌△GEA，△DKG≌△JFC得出GH+IJ=BD，即可判断甲，进而得出四边形AHJD是平行四边形，四边形HJBC是平行四边形，即可判断丙，反证法证明四边形GHIJ不可能是正方形，即可求解．【详解】解：如图所示，连接HJ，GI，交于点M，∵四边形ABCD是菱形，GH⊥AC，IJ⊥AC，∴GH∥JI，根据菱形是轴对称图形，AC是GH，IJ，BD的垂直平分线，∴GE=EH，JF=FI，MG=MH，MJ=MI，GJ=HI，∵AE=OF，OA=OC，∴EO=FC，如图所示，过点G作GK⊥BD于点K，过点J作JT⊥BD于点T，则四边形GEOK，TJFO是矩形，∴GK=EO=FC，KO=GE=12GH，TJ=OF=AE，TO=JF=12JI，∵四边形ABCD是菱形，∴∠DAO=∠DCO，∵GK∥AO，TJ∥OC，∴∠DJT=∠DCA=∠GAE，∠DGK=∠DAC=∠JCF，∴△DTJ≌△GEA(ASA)，△DKG≌△JFC(ASA)，∴DJ=AG，JC=GD，GE=DT，JF=DK，∴12DB=DO=DT+TO=GE+JF=12(GH+JI)，即GH+IJ=BD，故甲正确，∵DJ=AG，又AG=AH，∴JD=AH，∴四边形AHJD是平行四边形，∴S△HCJ=12S四边形AHJD，HJ∥AD，HJ=AD，∴四边形HJBC是平行四边形，∴S△HIJ=12S四边形BHJC，∴S四边形GHIJ =S△HCJ+S△HIJ=12S四边形BHJC+12S四边形AHJD=12S菱形ABCD，即四边形GHIJ的面积始终不变，都是菱形ABCD面积的一半，故丙正确；同理可得四边形AGBI，CDGI是平行四边形，∴GI∥CD，HJ∥AD，∵当四边形GHIJ是正方形时，则GI⊥HJ，∴AD⊥DC，则四边形ABCD是正方形，∵AC>BD，∴四边形ABCD不是正方形，即四边形GHIJ不可能是正方形，故乙错误，故选：C．【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，菱形的性质，正方形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．9(2023•石家庄二模)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E，F分别是OB与OD的中点，依连接点A，E，C，F，A，当四边形AECF是矩形时，与线段BE相等的线段有()​A.4条B.5条C.6条D.7条【答案】B【分析】由平行四边形的性质得OB=OD，由E，F分别是OB与OD的中点，得OE=BE=12OB，OF=DF=12OD，则OE=OF=DF=BE，由矩形的性质得，OA=OC=12AC，OE=OF= 12EF且AC=EF，OA=OC=OE=OF=DF=BE，可知与线段BE相等的线段有5条，于是得到问题的答案．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD交于点O，∴OB=OD，∵E，F分别是OB与OD的中点，∴OE=BE=12OB，OF=DF=12OD，∴OE=OF=DF=BE，∵四边形AECF是矩形，∴OA=OC=12AC，OE=OF=12EF，AC=EF，∴OA=OC=OE=OF=DF=BE，∴与线段BE相等的线段有5条，故选：B．【点睛】此题重点考查平行四边形的性质、矩形的性质、线段中点的定义等知识，证明OB=OD、OA =OC且AC=EF是解题的关键．10(2023•青山区二模)如图，边长为2的正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E是BC边上一点，F是BD上一点，连接DE，EF．若△DEF与△DEC关于直线DE对称，则OF的长为()A.22B.22-2C.2-2D.2-1【答案】C【分析】根据正方形的性质和轴对称的性质得出DF=DC和DB=2DC，进而解答即可．【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，DC=2，∴DB=2DC=22，OD=OB，∴OD=2∵△DEF与△DEC关于直线DE对称，∴DF=DC=2，∴OF=DF-OD=2-2，故选：C．【点睛】此题考查正方形的性质，关键是根据正方形的性质得出DB和OD解答．11(2023•柳城县一模)七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．(清)陆以活《冷庐杂识》卷中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余，体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之．如图，是一个用七巧板拼成的装饰图，放入长方形ABCD内，装饰图中的三角形顶点E，F分别在边AB，BC上，三角形①的边GD在边AD上，则BFBE的值为()A.1+22B.22C.2+24D.2+22【答案】D【分析】设七巧板正方形的边长为x ，根据正方形的性质、矩形的性质分别表示出BF ，BE 的长，即可求解．【详解】解：设七巧板正方形的边长为x ，∴2BE 2=x 2，∴BE 2=x 22，∴BE =22c ，∴BF =12x +22x ，∴BF BE =1+22x 22x =1+22=2+22，故选：D ．【点睛】本题考查了矩形的性质，七巧板，勾股定理，正方形的性质，表示出BF ，BE 的长是解题的关键．12(2023•泉州模拟)如图，在矩形ABCD 中，AB =2，BC =4，将△ABC 沿BC 的方向平移至△A 'B 'C '，使得A ′E =A ′F ，其中E 是A ′B ′与AC 的交点，F 是A ′C ′与CD 的交点，则CC ′的长为()A.52-52B.112-5C.5-5D.92-5【答案】C【分析】由矩形的性质得AB ∥CD ，由平移得AB ∥A ′B ′，AC ∥A ′C ′，所以A ′B ′∥CD ，而A ′E =A ′F ，即可证明四边形A ′ECF 是菱形，因为∠EB ′C =∠ABC =90°，AB =2，BC =4，EB 'B 'C =AB BC =tan ∠ACB =12，则B ′C =2EB ′，由勾股定理得A ′E =CE =EB '2+B 'C 2=5EB ′，则EB ′+5EB ′=2，得EB ′=5-12，所以B ′C =5-1，即可求得CC ′=BB ′=5-5，于是得到问题的答案．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ∥CD ，由平移得AB ∥A ′B ′，AC ∥A ′C ′，∴A ′B ′∥CD ，A ′F ∥CE ，∴A ′E ∥CF ，∴四边形A ′ECF 是平行四边形，∵A ′E =A ′F ，∴四边形A ′ECF 是菱形，∵∠EB ′C =∠ABC =90°，AB =2，BC =4，∴EB 'B 'C =AB BC=tan ∠ACB =24=12，∴B ′C =2EB ′，∴A ′E =CE =EB '2+B 'C 2=EB '2+(2EB ')2=5EB ′，∴EB ′+5EB ′=A ′B ′=AB =2，∴EB ′=5-12，∴B ′C =2×5-12=5-1，∴CC ′=BB ′=BC -B ′C =4-(5-1)=5-5，故选：C ．【点睛】此题重点考查矩形的性质、平移的性质、平行四边形的判定、菱形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，证明四边形A ′ECF 是菱形是解题的关键．13(2023•定远县二模)如图，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =3，BC =5，点P 为BC 边上任意一点，连接PA ，以PA ，PC 为邻边作平行四边形PAQC ，连接PQ ，则PQ 长度的最小值为()A.3B.2.5C.2.4D.2【答案】C【分析】以PA ，PC 为邻边作平行四边形PAQC ，由平行四边形的性质可知O 是AC 中点，PQ 最短也就是PO 最短，所以应该过O 作BC 的垂线P ′O ，然后根据△P ′OC 和△ABC 相似，利用相似三角形的性质即可求出PQ 的最小值．【详解】解：∵∠BAC =90°，AB =3，BC =5，∴AC =BC 2-AB 2=52-32=4，∵四边形APCQ 是平行四边形，∴PO =QO ，CO =AO ，∵PQ 最短也就是PO 最短，∴过O 作BC 的垂线OP ′，∵∠ACB =∠P ′CO ，∠CP ′O =∠CAB =90°，∴△CAB ∽△CP ′O ，∴CO BC =OP 'AB ，∴25=OP '3，∴OP ′=65，∴则PQ 的最小值为2OP ′=2.4，【点睛】本题考查了勾股定理的运用、平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质以及垂线段最短的性质，解题的关键是作出高线构造出相似三角形．14(2023•烟台一模)如图，在矩形ABCD中，AB=12，AD=10，点E在AD上，点F在BC上，且AE=CF，连结CE，DF，则CE+DF的最小值为()A.26B.25C.24D.22【答案】A【分析】先连接BE，将CE+DF转化为CE+BE，再利用将军饮马解决问题即可．【详解】解：如图，连接BE，∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，∠BAE=∠DCF=90°，∵AE=CF，∴△ABE≌△CDF，∴BE=DF，∴CE+DF=CE+BE，如图，作点B关于A点的对称点B'，连接CB'，CB'即为CE+BE的最小值，∵AB=12，AD=10，∴BB'=24，BC=10，∴CB'=BB'2+BC2=26，∴CE+DF的最小值为26，故A正确．故选：A．【点睛】本题考查矩形的性质、勾股定理、将军饮马问题、全等三角形的判定与性质等内容，综合性较强，将CE+DF转化为CE+BE是解题的关键．15(2023•郯城县一模)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，BC=10，点P为BC边上任意一点，连接PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ长度的最小值为()A.4.8B.5C.2.4D.4【分析】利用勾股定理得到BC 边的长度，根据平行四边形的性质，得知OP 最短即为PQ 最短，利用垂线段最短得到点P 的位置，再证明△CAB ∽△CP 'O 利用对应线段的比得到OP '的长度，继而得到PQ 的长度．【详解】解：∵∠BAC =90°，AB =6，BC =10，∴AC =BC 2-AB 2=8，∵四边形APCQ 是平行四边形，∴PO =QO ，CO =AO ，∵PQ 最短也就是PO 最短，∴过O 作BC 的垂线OP '，∵∠ACB =∠P 'CO ，∠CP 'O =∠CAB =90°，∴△CAB ∽△CP 'O ，∴CO BC =OP 'AB ，∴410=OP '6，∴OP '=125，∴则PQ 的最小值为2OP '=245=4.8．故选：A ．【点睛】本题考查了平行四边形性质和相似三角形的判定与性质，垂线段最短的知识，解答此题的关键是利用垂线段最短求解．16(2023•白云区一模)如图，正方形ABCD 的面积为3，点E 在边CD 上，且CE =1，∠ABE 的平分线交AD 于点F ，点M ，N 分别是BE ，BF 的中点，则下列结论错误的是()A.FD =2MNB.△DEF 是等腰直角三角形C.BN =1D.tan ∠FBE =3【答案】D【分析】根据正方形ABCD 的面积为3，可得正方形的边长为3，根据正方形的性质可得∠A =∠ABC =∠C =∠D =90°，BC =AB =CD =AD =3，根据tan ∠CBE =CE CB=33，可知∠CBE =30°，根据tan ∠ABF =AF AB=33，可得AF =CE =1，可得DF =DE ，即可判断B 选项；根据勾股定理和三角形中位线定理可判断A 选项；求出BF 的长，进一步可得BN 的长，即可判断C 选项；根据∠FBE =30°，tan ∠FBE =33，即可判断D 选项．【详解】解：∵正方形ABCD的面积为3，∴正方形的边长为3，在正方形ABCD中，∠A=∠ABC=∠C=∠D=90°，BC=AB=CD=AD=3，∴tan∠CBE=CECB=3 3，∴∠CBE=30°，∴∠ABE=60°，∵BF平分∠ABE，∴∠ABF=∠FBE=30°，∵tan∠ABF=AFAB=33，AB=3，∴AF=1，∴AF=CE，∴DF=DE，∵∠D=90°，∴△DEF是等腰直角三角形，故B不符合题意；根据勾股定理，得EF=DE2+DF2=2DF，∵M，N分别是BE，BF的中点，∴MN是△BEF的中位线，∴MN=12EF，∴MN=22DF，即DF=2MN，故A不符合题意；在△ABF中，根据勾股定理，得BF=(3)2+12=2，∴BN=1，故C不符合题意；∵∠FBE=30°，∴tan∠FBE=33，故D符合题意，故选：D．【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形中位线定理，等腰直角三角形的判定，角平分线，勾股定理，解直角三角形等，本题综合性较强，熟练掌握这些知识是解题的关键．17(2023•九龙坡区校级模拟)如图，在正方形ABCD中，O为AC、BD的交点，△DCE为直角三角形，∠CED=90°，OE=32，若CE•DE=6，则正方形的面积为()A.20B.22C.24D.26【答案】C【分析】过点O 作OM ⊥CE 交EC 延长线于M ，作ON ⊥DE 于N ，判断出四边形OMEN 是矩形，根据矩形的性质可得∠MON =90°，再求出∠COM =∠DON ，根据正方形的性质可得OC =OD ，然后利用“角角边”证明△COM 和△DON 全等，根据全等三角形对应边相等可得OM =ON ，CM =DN ，然后判断出四边形OMEN 是正方形，根据CE •DE =6即可解决问题．【详解】解：如图，过点O 作OM ⊥CE 交EC 延长线于M ，作ON ⊥DE 于N ，∵∠CED =90°，∴四边形OMEN 是矩形，∴∠MON =90°，∵∠COM +∠DOM =∠DON +∠DOM ，∴∠COM =∠DON ，∵四边形ABCD 是正方形，∴OC =OD ，在△COM 和△DON 中，∠COM =∠DON ∠N =∠CMO =90°OC =OD，∴△COM ≌△DON (AAS )，∴OM =ON ，CM =DN ，∴四边形OMEN 是正方形，∵OE =32，∴2NE 2=OE 2=(32)2=18，∴NE =ON =3，∵DE +CE =DE +EM +MC =DE +EM +DN =EN +EM =2EN =6，设DE =a ，CE =b ，∴a +b =6，∵CE •DE =6，CD 2=a 2+b 2=(a +b )2-2ab =62-2×6=24，∴S 正方形ABCD =24．故选：C ．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．18(2023•杭州一模)如图，有两张矩形纸片ABCD 和EFGH ，AB =EF =2cm ，BC =FG =8cm ．把纸片ABCD 交叉叠放在纸片EFGH 上，使重叠部分为平行四边形，且B 点D与点G 重合，当两张纸片交叉所成的角α最小时，tan α等于()A.14B.815C.12D.817【答案】B【分析】由“ASA ”可证△CDM ≌△HDN ，可证MD =DN ，即可证四边形DNKM 是菱形，当点B 与点E 重合时，两张纸片交叉所成的角a 最小，由勾股定理求出MD 的长，即可得出答案．【详解】解：如图，∵四边形ABCD 和四边形EFGH 是矩形，∴∠ADC =∠HDF =90°，CD =AB =2cm ，∴∠CDM =∠NDH ，且CD =DH ，∠H =∠C =90°，∴△CDM ≌△HDN (ASA )，∴MD =ND ，且四边形DNKM 是平行四边形，∴四边形DNKM 是菱形，∴KM =MD ，∵sin α=sin ∠DMC =CD MD，∴当点B 与点E 重合时，两张纸片交叉所成的角a 最小，设MD =KM =acm ，则CM =8-a (cm )，∵MD 2=CD 2+MC 2，∴a 2=4+(8-a )2，∴a =174(cm )，∴tan α=tan ∠DMC =CD CM =28-174=815，故选：B ．【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质以及三角函数定义等知识；求MD 的长是本题的关键．19(2023•高明区二模)矩形ABCD 和直角三角形EFG 的位置如图所示，点A 在EG 上，点D 在EF 上，若∠2=55°，则∠1等于()A.155°B.135°C.125°D.105°【答案】C【分析】由图形可知∠ADC=90°=∠GEF，即可得出∠EAD+∠ADE=90°，∠2+∠ADE=90°，从而求得∠DAE=∠2=55°，根据平角的定义即可求得∠1=180°-∠DAE=125°．【详解】解：∵∠ADC=90°=∠GEF，∴∠EAD+∠ADE=90°，∠2+∠ADE=90°，∴∠DAE=∠2=55°，∴∠1=180°-∠DAE=125°，故选：C．【点睛】本题考查了矩形的性质，直角三角形两锐角互余，平角的定义，证得∠DAE=∠2=55°是解题的关键．20(2023•余姚市一模)如图，由两个正三角形组成的菱形内放入标记为①，②，③，④的四种不同大小的小正三角形5个，其中编号①的有2个．设未被覆盖的浅色阴影部分的周长为C1，深色阴影部分的周长为C2，若要求出C1-C2的值，只需知道其中两个小正三角形的边长，则这两个小三角形的编号为()A.①②B.②③C.①③D.②④【答案】C【分析】设标记为①，②，③，④的小正方形的边长分别是m、n、x、y，表示出C1和C2，即可解决问题．【详解】解：设标记为①，②，③，④的小正方形的边长分别是m、n、x、y，由题意得：C1=4x+m+2n=2(x+n)+2x+m，C2=2y+4m=2(y+m)+2m，∵x+n=y+m，∴C1-C2=2x-m，∴只需知道编号是①③的两个小正三角形的边长，即可求出C1-C2的值．故选：C．【点睛】本题考查菱形的性质，等边三角形的性质，关键是由菱形、等边三角形的性质，用m、n、x、y 表示出C1和C2．21(2023•衡水二模)如图，点P是正方形ABCD的边BC上一点，点M是对角线BD上一点，连接PM并延长交BA的延长线于点Q，交AD于点G，取PQ的中点N．连接AN．若AQ=PC，有下面两个结论：①DM=DG，②AN⊥BD，则这两个结论中，正确的是()A.①对B.②对C.①②都对D.①②都不对【答案】B【分析】延长AN交BD于H，在AB上取点K，使AK=AQ，由正方形ABCD，可得AB=BC，∠CBA=90°，∠DBA=45°，根据AQ=PC，AK=AQ，有BK=PB，∠BKP=45°，而AN是△QPK的中位线，知AN∥PK，故∠NAK=∠PKB=45°，即得∠AHB=180°-∠NAK-∠DBA= 90°，AN⊥BD，②正确；因∠DGM=∠AGQ=90°-∠Q，∠DMG=90°-∠HNM=90°-∠ANQ，∠Q与∠ANQ不一定相等，可得∠DGM与∠DMG不一定相等，从而DM与DG不一定相等，①错误．【详解】解：延长AN交BD于H，在AB上取点K，使AK=AQ，如图：∵正方形ABCD，∴AB=BC，∠CBA=90°，∠DBA=45°，∵AQ=PC，AK=AQ，∴PC=AK，∴AB-AK=BC-PC，即BK=PB，∴△BPK是等腰直角三角形，∴∠BKP=45°，∵N是PQ中点，AQ=AK，∴AN是△QPK的中位线，∴AN∥PK，∴∠NAK=∠PKB=45°，∴∠AHB=180°-∠NAK-∠DBA=180°-45°-45°=90°，∴AN⊥BD，故②正确；∵∠DGM=∠AGQ=90°-∠Q，∠DMG=90°-∠HNM=90°-∠ANQ，而∠Q与∠ANQ不一定相等，∴∠DGM与∠DMG不一定相等，∴DM与DG不一定相等，故①错误；故选：B．【点睛】本题考查正方形性质及应用，涉及等腰直角三角形判定与性质，三角形中位线定理等知识，解题的关键是作辅助线，构造等腰直角三角形解决问题．22(2023•新乡二模)如图，在矩形ABCD中，点B(0，4)，点C(2，0)，BC=2CD，先将矩形ABCD沿y轴向下平移至点B与点O重合，再将平移后的矩形ABCD绕点O逆时针旋转90°得到矩形EOMN，则点D的对应点N的坐标为()A.(3，3)B.(4，4)C.(3，4)D.(4，3)【答案】C【分析】过点D 作DF ⊥x 轴于点F ，如图所示，先证明△BOC ∽△CFD ，得到OB FC =OC FD =BC CD =2，进而求出FC =2，FD =1，则点D (4，1)．由题意知矩形ABCD 向下平移了4个单位长度，将点D 向下平移4个单位长度到点D '(4，-3)，连接OD '，DD '，则点F 在线段DD '上，过点N 作NP ⊥x 轴于点P ，连接ON ，如图所示证明△OD 'F ≌△NOP ．得到OP =D 'F =3，NP =OF =4，则点N 的坐标为(3，4)．【详解】解：过点D 作DF ⊥x 轴于点F ，如图所示，由题意得，∠BOC =∠BCD =∠CFD =90°，∴∠OCB +∠OBC =90°=∠FCD +∠OBC ，∴∠OBC =∠FCD ，∴△BOC ∽△CFD ，∵BC =2CD ，∴OB FC =OC FD =BC CD=2．∵B (0，4)，C (2，0)，∴OB =4，OC =2，∴FC =2，FD =1．∴点D (4，1)．由题意知矩形ABCD 向下平移了4个单位长度，将点D 向下平移4个单位长度到点D '(4，-3)，连接OD '，DD '，则点F 在线段DD '上，过点N 作NP ⊥x 轴于点P ，连接ON ，如图所示．由旋转的性质可得∠D 'ON =90°，OD ′=ON ．又∵∠D 'FO =∠OPN =90°，∴∠D 'OF +∠NOP =90°=∠D ′OF +∠OD 'F ．∴∠OD 'F =∠NOP ．∴△OD 'F ≌△NOP (AAS )．∴OP =D 'F =3，NP =OF =4．∴点N 的坐标为(3，4)，故选C ．【点睛】本题主要考查了矩形的性质，平移的性质，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，坐标与图形，等等，正确作出辅助线构造相似三角形和全等三角形是解题的关键．23(2023•荆门一模)如图，菱形ABCD 各边的中点分别是E 、F 、G 、H ，若EH =2EF ，则下列结论错误的是()A.EH ⊥EFB.EH =ACC.∠B =60°D.AB =5EF【答案】C【分析】由中位线的性质可知AC =2EF ，结合EH =2EF 可得EH =AC ，可判断B 选项；由菱形的性质可知AC ⊥BD ，用勾股定理解Rt △AOB 可验证选项D ；先证四边形AHFB 是平行四边形，再用勾股定理的逆定理证明△FEH 是直角三角形，可判断选项A ；假设∠B =60°成立，则△FEB 是等边三角形，EF =BE =12AB ，与AB =5EF 矛盾，可判断选项C ．【详解】解：如图，连接AC ，BD 交于点O ，连接FH ，∵菱形ABCD 各边的中点分别是E 、F 、G 、H ，∴EF =HG =12AC ，EH =FG =12BD ，∴AC =2EF ，BD =2EH ，∵EH =2EF ，∴EH =AC ，故B 选项结论正确，不合题意；由菱形的性质可知AC ⊥BD ，∴OA 2+OB 2=AB 2，∵EF =12AC =OA ，EH =12BD =OB ，∴AB 2=EF 2+EH 2=EF 2+4EF 2=5EF 2，∴AB =5EF ，故D 选项结论正确，不合题意；∵AH =12AD ，BF =12BC ，AD =BC ，∴AH =BF ，又AH ∥BF ，∴四边形AHFB 是平行四边形，∴AB =HF ，∴EF 2+EH 2=AB 2=HF 2，∴△FEH 是直角三角形，∴EH ⊥EF ，故A 选项结论正确，不合题意；由已知条件可知BE =BF ，若∠B =60°，则△FEB 是等边三角形，则EF =BE =12AB ，与AB =5EF 矛盾，因此∠B =60°不成立，故C选项结论错误，符合题意．故选：C．【点睛】本题考查菱形的性质，勾股定理及其逆定理，三角形中位线的性质，平行四边形的判定与性质等，解题的关键是综合运用上述知识点，逐步进行推导论证．24(2023•中原区校级二模)如图，在Rt△ABO中，AB=OB，顶点A的坐标为(2，0)，以AB为边向△ABO的外侧作正方形ABCD，将组成的图形绕点O逆时针旋转，每次旋转45°，则第98次旋转结束时，点D的坐标为()A.(1，-3)B.(-1，3)C.(-1，2+2)D.(1，3)【答案】B【分析】过D作DH⊥x轴于H，由在Rt△ABO中，AB=OB，OA=2，得AB=OA2=2，∠BAO=45°，根据四边形ABCD是正方形，可得D(3，1)，又将组成的图形绕点O逆时针旋转，每次旋转45°，知每旋转8次回到初始位置，第98次旋转结束，相当于将D(3，1)旋转90°，即可得到答案．【详解】解：过D作DH⊥x轴于H，如图：∵在Rt△ABO中，AB=OB，OA=2，∴AB=OA2=2，∠BAO=45°，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB=2，∠BAD=90°，∴∠DAH=45°，∴△ADH是等腰直角三角形，∴AH=DH=AD2=1，∴OH=OA+AH=3，∴D(3，1)，∵将组成的图形绕点O逆时针旋转，每次旋转45°，∴每旋转8次回到初始位置，∵98÷8=12......2，∴第98次旋转结束，相当于将D(3，1)旋转90°，∴第98次旋转结束时，点D的坐标为(-1，3)，故选：B．【点睛】本题考查正方形的性质及应用，涉及旋转变换，解题的关键是掌握正方形的性质，找到旋转的规律．25(2023•中原区模拟)如图，▱ABCD 的边BC 在x 轴的负半轴上，点B 与原点O 重合，DE ⊥AB ，交BA 的延长线于点E ，已知∠ABC =60°，AB =4，BC =6，则点E 的坐标为()A.(-2，-，23)B.(-3，33)C.-72，723D.-523，52【答案】C【分析】过点E 作EF ⊥y 轴于点F ，由平行四边形的性质得AD =BC =6，AD ∥BC ，再由含30°角的直角三角形的性质得AE =3，EF =72，然后由勾股定理得OF =723，即可得出结论．【详解】解：如图，过点E 作EF ⊥y 轴于点F ，则∠EFO =90°，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD =BC =6，AD ∥BC ，∴∠EAD =∠ABC =60°，∵DE ⊥AB ，∴∠AED =90°，∴∠ADE =90°-∠EAD =30°，∴AE =12AD =3，∴BE =AB +AE =4+3=7，∵∠EOF =90°-∠ABC =30°，∴EF =12OE =72，∴OF =OE 2-EF 2=72-72 2=723，∴点E 的坐标为-72，723 ，故选：C ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、坐标与推出性质、含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的性质和含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．26(2023•武邑县二模)如图，N 是正六边形ABCDEF 对角线CF 上一点，延长FE ，CD 相交于点M ，若S △ABN =2，则S 五边形ABCMF =()A.10B.12C.14D.16【答案】C【分析】根据正六边形的性质得出S △ABN =S △AOB =16S 正六边形ABCDEF=S △DEM 即可．【详解】解：如图，正六边形的中心为O ，则点O 在CF 上，由正六边形的性质可知，AB ∥CF ，∴S △ABN =S △AOB =16S 正六边形ABCDEF =2=S △DEM ，∴S 五边形ABCMF =7S △AOB=14，故选：C ．【点睛】本题考查正六边形和圆，三角形面积的计算，掌握正六边形的性质以及三角形、正六边形面积的计算方法是正确解答的前提．27(2023•承德一模)如图，正六边形的两条对角线AE 、BE 把它分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三部分，则该三部分的面积比为()A.1：2：3B.2：2：4C.1：2：4D.2：3：5【答案】A【分析】根据正多边形的性质，三角形中线的性质即可求解．【详解】解：如图，连接AD ，CF 交BE 于点O ，CF ，AE 交于点P ，∵正六边形，∴△AOF ≌△EOF ≌△DOE ≌△DOC ≌BOC ≌AOB (SSS )，∵△AEF 和△AEO 是等腰三角形，FO 分别是∠AFE 和∠AOE 的角分线，∴FO ⊥AE ，AP =EP (三线合一)，∴Rt △APF ≌Rt △EPF ≌Rt △EPO ≌Rt △APO (HL )，∴S △AEF =S △AOE =12S 四边形AOEF =S △AOF ，∴S △AFE =S △AOE =S △AOB =S △COB =S △COD =S △DOE ，∴Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三部分的面积比为1：2：3，故选：A ．【点睛】本题考查了正多边形，三角形中线的性质，熟记图形的性质并准确识图是解题的关键．28(2023•罗湖区二模)如图，AB 为圆O 的直径，C 为圆O 上一点，过点C 作圆O 的切线交AB 的延长线于点D ，DB =13AD ，连接AC ，若AB =8，则AC 的长度为()A.23B.25C.43D.45【答案】C【分析】根据DB =13AD ，AB 为圆O 的直径可得OA =OB =DB ，结合DC 是圆O 的切线即可得到∠OCD =90°，即可得到CB =OB ，根据勾股定理即可得到答案．【详解】解：连接OC ，BC ，∵DB =13AD ，AB 为圆O 的直径，∴OA =OB =DB ，∠ACB =90°，∵DC 是圆O 的切线，∴∠OCD =90°，∵OB =DB ，∴CB =OB ，∵AB =8，∴BC =4，在Rt △ABC 中，AC =82-42=43，故选：C ．【点睛】本题考查圆周角定理，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边一半，解题的关键是求出BC ．29(2023•杭州一模)如图，过⊙O 外一点A 作⊙O 的切线AD ，点D 是切点，连结OA 交⊙O 于点B ，点C 是⊙O 上不与点B ，D 重合的点．若∠A =α°，则∠C 的度数为()A.45-12α °B.12α°C.2α°D.45+12α°【答案】A【分析】由切线的性质定理，得到∠ADO =90°，由直角三角形的性质得到，∠AOD =90°-α°，由圆周角定理得到∠C =12∠AOD =45-12α °．【详解】解：∵AD 切圆于D ，∴半径OD ⊥AD ，∴∠ADO =90°，∵∠A =α°，∴∠AOD =90°-α°，∴∠C =12∠AOD =45-12α °．故选：A ．【点睛】本题考查切线的性质，圆周角定理，关键是掌握切线的性质定理，圆周角定理．30(2023•西宁一模)如图，扇形纸片AOB 的半径为3，沿AB 所在直线折叠扇形纸片，圆心D 恰好落在AB 上的点C 处，则阴影部分的面积是()A.3π-932B.3π-332C.2π-332D.2π-932【答案】A【分析】根据折叠变换的性质得到AC =AO ，BC =BO ，推出四边形AOBC 是菱形，连接OC 交AB 于D ，根据等边三角形的性质得到∠CAO =∠AOC =60°，求得∠AOB =120°，根据菱形和扇形的面积公式即可得到结论．【详解】解：沿AB 折叠扇形纸片，点O 恰好落在AB 上的点C 处，∴AC =AO ，BC =BO ，∵AO =BO ，∴四边形AOBC 是菱形，连接OC 交AB 于D ，∵OC =OA ，∴△AOC 是等边三角形，∴∠CAO =∠AOC =60°，∴∠AOB =120°，∵AC =3，∴OC =3，AD =32AC =332，∴AB =2AD =33，∴图中阴影部分的面积=S 扇形AOB -S 菱形AOBC =120π×32360-12×3×33=3π-932，故选：A ．【点睛】本题考查了扇形面积的计算，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．31(2023•太原一模)如图，在扇形纸片OAB 中，∠AOB =105°，OA =6、点C 是半径OA 上的点、沿直线BC 折叠△OBC 得到△DBC ，点O 的对应点D 落在AB 上，图中阴影部分的面积为()。

几何最值问题-2023年中考数学压轴题专项训练(全国通用)(解析版)

几何最值问题-2023年中考数学压轴题专项训练(全国通用)(解析版)

12023年中考数学压轴题专项训练1.几何最值问题一、压轴题速练1一、单选题1(2023·山东烟台·模拟预测)如图，在矩形ABCD 中，AB =8，AD =4，点E 是矩形ABCD 内部一动点，且∠BEC =90°，点P 是AB 边上一动点，连接PD 、PE ，则PD +PE 的最小值为()A.8 B.45 C.10 D.45-2【答案】A【分析】根据∠BEC =90°得到点的运动轨迹，利用“将军饮马”模型将PE 进行转化即可求解．【详解】解：如图，设点O 为BC 的中点，由题意可知，点E 在以BC 为直径的半圆O 上运动，作半圆O 关于AB 的对称图形(半圆O ')，点E 的对称点为E 1，连接O 'E 1,则PE =PE 1，∴当点D 、P 、E 1、O '共线时，PD +PE 的值最小，最小值为DE 1的长，如图所示，在Rt △DCO '中，CD =8，CO '=6，∴DO '=82+62=10，又∵O 'E 1=2，∴DE 1=DO '-O 'E 1=8，即PD +PE 的最小值为8，故选：A ．【点睛】本题考查线段和最短问题、轴对称的性质、勾股定理及圆周角定理，利用“将军饮马”模型将PE 进行转化时解题的关键．2(2023·安徽黄山·校考模拟预测)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y =32x 2-32x -3的图象与x 轴交于点A ，C 两点，与y 轴交于点B ，对称轴与x 轴交于点D ，若P 为y 轴上的一个动点，连接PD ，则12PB +PD 的最小值为()2A.334B.32C.3D.543【答案】A【分析】作射线BA ，作PE ⊥BA 于E ，作DF ⊥BA 于F ，交y 轴于P ，可求得∠ABO =30°，从而得出PE =12PB ，进而得出PD +12PB =PD +EP ，进一步得出结果．【详解】解：如图，作射线BA ，作PE ⊥BA 于E ，作DF ⊥BA 于F ，交y 轴于P ，抛物线的对称轴为直线x =--322×32=12，∴OD =12，当x =0时，y =-3，∴OB =3，当y =0时，32x 2-32x -3=0，∴x 1=-1，x 2=2，∴A (-1,0)，∴OA =1，∵tan ∠ABO =OA OB =13=33，∴∠ABO =30°，∴PE =12PB ，∴12PB +PD =PD +PE ≥DF ，当点P 在P 时，PD +PE 最小，最大值等于DF ，在Rt △ADF 中，∠DAF =90°-∠ABO =60°，AD =OD +PA =12+1=32，∴DF =AD ⋅sin ∠DAE =32×32-334，∴12PB +PD 最小=DF =334，故选：A ．【点睛】本题以二次函数为背景，考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，解直角三角形等知识，解决问题的关键是用三角函数构造12PB ．3(2023秋·浙江金华·九年级统考期末)如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 是正方形ABCD 内的动点，点P 是BC 边上的动点，且∠EAB =∠EBC ．连结AE ，BE ，PD ，PE ，则PD +PE 的最小值为()3A.213-2B.45-2C.43-2D.215-2【答案】A【分析】先证明∠AEB =90°，即可得点E 在以AB 为直径的半圆上移动，设AB 的中点为O ，作正方形ABCD 关于直线BC 对称的正方形CFGB ，则点D 的对应点是F ，连接FO 交BC 于P ，交半圆O 于E ，根据对称性有：PD =PF ，则有：PE +PD =PE +PF ，则线段EF 的长即为PE +PD 的长度最小值，问题随之得解．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ABC =90°，∴∠ABE +∠EBC =90°，∵∠EAB =∠EBC ，∴∠EAB +∠EBA =90°，∴∠AEB =90°，∴点E 在以AB 为直径的半圆上移动，如图，设AB 的中点为O ，作正方形ABCD 关于直线BC 对称的正方形CFGB ，则点D 的对应点是F ，连接FO 交BC 于P ，交半圆O 于E ，根据对称性有：PD =PF ，则有：PE +PD =PE +PF ，则线段EF 的长即为PE +PD 的长度最小值，E∵∠G =90°，FG =BG =AB =4，∴OG =6，OA =OB =OE =2，∴OF =FG 2+OG 2=213，∴EF =OF -OE =213-2，故PE +PD 的长度最小值为213-2，故选：A ．【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，正方形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线，得出点E 的运动路线是解题的关键．4(2022秋·安徽池州·九年级统考期末)如图，Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =4，BC =3，点P 为AC 边上的动点，过点P 作PD ⊥AB 于点D ，则PB +PD 的最小值为()4 A.154 B.245 C.5 D.203【答案】B【分析】作点B 关于AC 的对称点B ，过点B 作B D ⊥AB 于点D ，交AC 于点P ，点P 即为所求作的点，此时PB +PD 有最小值，连接AB ，根据对称性的性质，可知：BP =B P ，△ABC ≅△AB C ，根据S △ABB =S △ABC +S △AB C =2S △ABC ，即可求出PB +PD 的最小值．【详解】解：如下图，作点B 关于AC 的对称点B ，过点B 作B D ⊥AB 于点D ，交AC 于点P ，连接AB ，点P 即为所求作的点，此时PB +PD 有最小值，根据对称性的性质，可知：BP =B P ，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°,AC =4,BC =3，∴AB =AC 2+BC 2=5，根据对称性的性质，可知：△ABC ≅△AB C ，∴S △ABB =S △ABC +S △ABC =2S △ABC ，即12×AB ⋅B D =2×12BC ⋅AC ，∴5B D =24，∴B D =245，故选：B ．【点睛】本题考查了轴对称一最短路线问题，解题的关键是掌握轴对称的性质．5(2023秋·甘肃定西·八年级校考期末)如图所示，在△ABC 中，∠ABC =68°，BD 平分∠ABC ，P 为线段BD 上一动点，Q 为 边AB 上一动点，当AP +PQ 的值最小时，∠APB 的度数是()A.118°B.125°C.136°D.124°【答案】D【分析】先在BC 上截取BE =BQ ，连接PE ，证明△PBQ ≌△PBE SAS ，得出PE =PQ ，说明AP +PQ =AP +PE ，找出当A 、P 、E 在同一直线上，且AE ⊥BC 时，AP +PE 最小，即AP +PQ 最小，过点A 作AE ⊥BC 于点E ，交BD 于点P ，根据三角形外角的性质可得答案．【详解】解：在BC 上截取BE =BQ ，连接PE ，如图：∵BD 平分∠ABC ，∠ABC =68°，∴∠ABD =∠CBD =12∠ABC =34°，∵BP =BP ，∴△PBQ ≌△PBE SAS ，∴PE =PQ ，∴AP +PQ =AP +PE ，∴当A 、P 、E 在同一直线上，且AE ⊥BC 时，AP +PE 最小，即AP +PQ最小，过点A作AE ⊥BC 于点E ，交BD 于点P ，如图：∵∠AEB =90°，∠CBD =34°，∴∠APB =∠AEB +∠CBD =124°．故选：D ．5【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形全等的判定和性质，垂线段最短，三角形内角和定理与三角形的外角的性质，解题的关键是找出使AP +PQ 最小时点P 的位置．6(2022秋·重庆沙坪坝·八年级重庆市凤鸣山中学校联考期末)如图，E 为正方形ABCD 边AD 上一点，AE =1，DE =3，P 为对角线BD 上一个动点，则PA +PE 的最小值为()A.5B.42C.210D.10【答案】A【分析】连接EC 交BD 于P 点，根据“两点之间线段最短”，可知PA +PE 的最小值即为线段EC 的长，求出EC 的长即可.【详解】连接EC ，交BD 于P 点∵四边形ABCD 为正方形∴A 点和C 点关于BD 对称∴PA =PC∴PA +PE =PC +PE =EC根据“两点之间线段最短”，可知PA +PE 的最小值即为线段EC 的长.∵AE =1，DE =3∴AD =4∴DC =4∴CE =DE 2+CD 2=32+42=5∴PA +PE 的最小值为5故选：A【点睛】本题主要考查了正方形的性质和两点之间线段最短，这是一个将军饮马模型.熟练掌握正方形的性质并且能够识别出将军饮马模型是解题的关键.7(2023春·湖南张家界·八年级统考期中)如图，正方形ABCD 的边长为4，点M 在DC 上，且DM =1，N 是AC 上一动点，则DN +MN 的最小值为()A.4B.42C.25D.5【答案】D【分析】由正方形的对称性可知点B 与D 关于直线AC 对称，连接BM 交AC 于N ′，N ′即为所求在Rt △BCM 中利用勾股定理即可求出BM 的长即可．【详解】∵四边形ABCD 是正方形，∴点B 与D 关于直线AC 对称，6连接BD ，BM 交AC 于N ′，连接DN ′，∴当B 、N 、M 共线时，DN +MN 有最小值，则BM 的长即为DN +MN 的最小值，∴AC 是线段BD 的垂直平分线，又∵CD =4，DM =1∴CM =CD -DM =4-1=3，在Rt △BCM 中，BM =CM 2+BC 2=32+42=5故DN +MN 的最小值是5．故选：D ．【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题及正方形的性质，先作出D 关于直线AC 的对称点，由轴对称及正方形的性质判断出D 的对称点是点B 是解答此题的关键．8(2022秋·浙江杭州·九年级杭州外国语学校校考开学考试)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y =-x 2+bx +3的图像与x 轴交于A 、C 两点，与x 轴交于点C (3,0)，若P 是x 轴上一动点，点D 的坐标为(0,-1)，连接PD ，则2PD +PC 的最小值是()A.4B.2+22C.22D.32+232【答案】A【分析】过点P 作PJ ⊥BC 于J ，过点D 作DH ⊥BC 于H ，根据2PD +PC =2PD +22PC =2PD +PJ ，求出DP +PJ 的最小值即可解决问题．【详解】解：连接BC ，过点P 作PJ ⊥BC 于J ，过点D 作DH ⊥BC 于H ．∵二次函数y =-x 2+bx +3的图像与x 轴交于点C (3,0)，∴b =2，∴二次函数的解析式为y =-x 2+2x +3，令y =0，-x 2+2x +3=0，解得x =-1或3，∴A (-1，0)，令x =0，y =3，∴B (0，3)，∴OB =OC =3，∵∠BOC =90°，∴∠OBC =∠OCB =45°，∵D(0，-1)，∴OD =1，BD =4，∵DH ⊥BC ，∴∠DHB =90°，设DH =x ，则BH =x ,∵DH 2+BH 2=BD 2，7∴x =22，∴DH =22，∵PJ ⊥CB ，∴∠PJC =90°，∴PJ =22PC ，∴2PD +PC =2PD +22PC =2PD +PJ ，∵DP +PJ ≥DH ，∴DP +PJ ≥22，∴DP +PJ 的最小值为22，∴2PD +PC 的最小值为4．故选：A ．【点睛】本题考查了二次函数的相关性质，以及等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，得到∠OBC =∠OCB =45°，PJ =22PC 是解题的关键．9(2022·山东泰安·统考中考真题)如图，四边形ABCD 为矩形，AB =3，BC =4．点P 是线段BC 上一动点，点M 为线段AP 上一点．∠ADM =∠BAP ，则BM 的最小值为()A.52 B.125 C.13-32 D.13-2【答案】D【分析】证明∠AMD =90°，得出点M 在O 点为圆心，以AO 为半径的圆上，从而计算出答案．【详解】设AD 的中点为O ，以O 点为圆心，AO 为半径画圆∵四边形ABCD 为矩形∴∠BAP +∠MAD =90°∵∠ADM =∠BAP∴∠MAD +∠ADM =90°∴∠AMD =90°∴点M 在O 点为圆心，以AO 为半径的圆上连接OB 交圆O 与点N∵点B 为圆O 外一点∴当直线BM 过圆心O 时，BM 最短∵BO 2=AB 2+AO 2，AO =12AD =2∴BO 2=9+4=13∴BO =13∵BN =BO -AO =13-2故选：D ．【点睛】本题考查直角三角形、圆的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形和圆的相关知识．810(2022·河南·校联考三模)如图1，正方形ABCD 中，点E 是BC 的中点，点P 是对角线AC 上的一个动点，设AP =x ，PB +PE =y ，当点P 从A 向点C 运动时，y 与x 的函数关系如图2所示，其中点M 是函数图象的最低点，则点M 的坐标是()A.42，35B.22,35C.35,22D.35,42【答案】A【分析】根据图像，当P 与C 重合时，PB +PE =9即CB +CE =9，从而确定正方形的边长为6，根据将军饮马河原理，连接DE 交AC 于点G ，当点P 与点G 重合时，PE +PB 最小，且为DE 的长即点M 的纵坐标，利用相似三角形，计算AG 的长即为横坐标．【详解】如图，根据图像，当P 与C 重合时，PB +PE =9即CB +CE =9，∵点E 是BC 的中点，∴BC =6，连接DE 交AC 于点G ，当点P 与点G 重合时，PE +PB 最小，且为DE 的长即点M 的纵坐标，∵四边形ABCD 是正方形，AB =6，∴CE ∥AD ，AC =62+62=62，DE =62+32=35，∴△CGE ∽△AGD ，∴CG AG =CE AD =12，∴AC AG=32，∴AG =42，故点M 的坐标为(42，35)，故A 正确．故选：A ．【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形相似的判定和性质，函数图像信息的获取，将军饮马河原理，熟练掌握正方形的性质，灵活运用三角形相似，构造将军饮马河模型求解是解题的关键．2二、填空题11(2023春·江苏宿迁·九年级校联考阶段练习)如图，矩形ABCD ，AB =4，BC =8，E 为AB 中点，F 为直线BC 上动点，B 、G 关于EF 对称，连接AG ，点P 为平面上的动点，满足∠APB =12∠AGB ，则DP 的最小值．【答案】210-22【分析】由题意可知，∠AGB =90°，可得∠APB =12∠AGB =45°，可知点P 在以AB 为弦，圆周角∠APB =45°的9圆上，(要使DP 最小，则点P 要靠近蒂点D ，即点P 在AB 的右侧)，设圆心为O ，连接OA ，OB ，OE ，OP ，OD ，过点O 作OQ ⊥AD ，可知△AOB 为等腰直角三角形，求得OA =22AB =22=OP ，AQ =OQ =22OA =2，QD =AD -AQ =6，OD =OQ 2+QD 2=210，再由三角形三边关系可得：DP ≥OD -OP =210-22，当点P 在线段OD 上时去等号，即可求得DP 的最小值．【详解】解：∵B 、G 关于EF 对称，∴BH =GH ，且EF ⊥BG∵E 为AB 中点，则EH 为△ABG 的中位线，∴EH ∥AG ，∴∠AGB =90°，∵∠APB =12∠AGB ，即∠APB =12∠AGB =45°，∴点P 在以AB 为弦，圆周角∠APB =45°的圆上，(要使DP 最小，则点P 要靠近蒂点D ，即点P 在AB 的右侧)设圆心为O ，连接OA ，OB ，OE ，OP ，OD ，过点O 作OQ ⊥AD ，则OA =OB =OP ，∵∠APB =45°，∴∠AOB =90°，则△AOB 为等腰直角三角形，∴OA =22AB =22=OP ，又∵E 为AB 中点，∴OE ⊥AB ，OE =12AB =AE =BE ，又∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAD =90°，AD =BC =8，∴四边形AEOQ 是正方形，∴AQ =OQ =22OA =2，QD =AD -AQ =6，∴OD =OQ 2+QD 2=210，由三角形三边关系可得：DP ≥OD-OP =210-22，当点P 在线段OD 上时去等号，∴DP 的最小值为210-22，故答案为：210-22．【点睛】本题考查轴对称的性质，矩形的性质，隐形圆，三角形三边关系，正方形的判定及性质，等腰直角三角形的判定及性质，根据∠APB =12∠AGB =45°得知点P 在以AB 为弦，圆周角∠APB =45°的圆上是解决问题的关键．12(2023春·江苏连云港·八年级期中)如图，在边长为8的正方形ABCD 中，点G 是BC 边的中点，E 、F 分别是AD 和CD 边上的点，则四边形BEFG 周长的最小值为．【答案】2410【分析】作点G 关于CD 的对称点G ，作点B 关于AD 的对称点B ，连接B G ，根据两点之间线段最短即可解决问题．【详解】作点G 关于CD 的对称点G ，作点B 关于AD 的对称点B ，连接B G∵EB =EB ,FG =FG ，∴BE +EF +FG +BG =B E +EF +FG +BG ，∵EB +EF +FG ≥B G ，∴四边形BEFG 的周长的最小值=BG +B G ，∵正方形ABCD 的边长为8∴BG =4，BB =16，BG =12，∴B G =162+122=20，∴四边形BEFG 的周长的最小值为=4+20=24．故答案为：24．【点睛】本题考查轴对称求线段和的最短问题，正方形的性质，勾股定理，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题．13(2022·湖南湘潭·校考模拟预测)如图，菱形草地ABCD 中，沿对角线修建60米和80米两条道路AC <BD ，M 、N 分别是草地边BC 、CD 的中点，在线段BD 上有一个流动饮水点P ，若要使PM +PN 的距离最短，则最短距离是米．【答案】50【分析】作M 关于BD 的对称点Q ，连接NQ ，交BD 于P ，连接MP ，当P 点与P 重合时，MP +NP =MP +NP =NQ 的值最小，根据菱形的性质和勾股定理求出BC 长，即可得出答案．【详解】解：作M 关于BD 的对称点Q ，连接NQ ，交BD 于P ，连接MP ，当P 点与P 重合时，MP +NP =MP +NP =NQ 的值最小，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，∠QBP =∠MBP ，即Q 在AB 上，∵MQ ⊥BD ，∴AC ∥MQ ，∴M 为BC 中点，∴Q 为AB 中点，∵N 为CD 中点，四边形ABCD 是菱形，∴BQ ∥CD ，BQ =CN ，∴四边形BQNC 是平行四边形，∴NQ =BC ，设AC 与BD 的交点为点O ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD，OC =12AC =30米，OB =12BD =40米，∴BC =OB 2+OC 2=50米，∴PM +PN 的最小值是50米．故答案为：50．11【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，平行四边形的性质和判定，菱形的性质，勾股定理的应用，解此题的关键是能根据轴对称找出P 的位置．14(2023春·江苏·九年级校考阶段练习)如图，正方形ABCD 的边长为4，⊙B 的半径为2，P 为⊙B 上的动点，则2PC -PD 的最大值是．【答案】2【分析】解法1，如图：以PD 为斜边构造等腰直角三角形△PDM ，连接MC ，BD ，连接PM 、DM ，推得2PC -PD=2PC -22PD =2PC -PM ，因为PC -PM ≤MC ，求出MC 即可求出答案．解法2：如图：连接BD 、BP 、PC ，在BD 上做点M ，使BM BP =24，连接MP ，证明△BMP ∼△BPD ，在BC 上做点N ，使BN BP=12，连接NP ，证明△BNP ∼△BPC ，接着推导出2PC -PD =22MN ，最后证明△BMN ∼△BCD ，即可求解．【详解】解法1如图：以PD 为斜边构造等腰直角三角形△PDM ，连接MC ，BD ，∴∠PDM =45，DM =PM =22PD ，∵四边形ABCD 正方形∴∠BDC =45°，DB DC=2又∵∠PDM =∠PDB +MDB ，∠BDC =∠MDB +MDC∴∠PDB =∠MDC在△BPD 与△MPC 中∠PDB =∠MDC ，DB DC=DP DM =2∴△BPD ∼△MPC∴PB MC=2∵BP =2∴MC =2∵2PC -PD =2PC-22PD =2PC -PM ∵PC -PM ≤MC ∴2PC -PD =2PC -PM ≤2MC =2故答案为：2．解法2如图：连接BD 、BP 、PC根据题意正方形ABCD 的边长为4，⊙B 的半径为2∴BP =2，BD =BC 2+CD 2=42+42=42∵BP BD =242=2412在BD 上做点M ，使BM BP=24，则BM =22，连接MP 在△BMP 与△BPD 中∠MBP =∠PBD ，BP BD =BM BP∴△BMP ∼△BPD∴PM PD =24，则PD =22PM ∵BP BC =24=12在BC 上做点N ，使BN BP=12，则BN =1，连接NP 在△BNP 与△BPC 中∠NBP =∠PBC ，BN BP =BP PC∴△BNP ∼△BPC∴PN PC=12，则PC =2PN ∴如图所示连接NM ∴2PC -PD =2×2PN -22PM =22PN -PM ∵PN -PM ≤NM ∴2PC -PD =22PN -PM ≤22NM在△BMN 与△BCD 中∠NBM=∠DBC ，BM BC =224=28，BN BD =142=28∴BM BC=BN BD ∴△BMN ∼△BCD∴MN CD=28∵CD =4∴MN =22∴22MN =22×22=2∴2PC -PD ≤22NM =2故答案为：2．【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形，勾股定理等知识，难度较大，熟悉以上知识点运用是解题关键．15(2023秋·广东广州·九年级统考期末)如图，四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AC ⊥BC ，∠DAB =60°，AD =CD =4，点M 是四边形ABCD 内的一个动点，满足∠AMD =90°，则△MBC 面积的最小值为．【答案】63-4【分析】取AD 的中点O ，连接OM ，过点M 作ME ⊥BC 交BC 的延长线于点E ，过点O 作OF ⊥BC 于F ，交CD 于G ，则OM +ME ≥OF ，通过计算得出当O ,M ,E 三点共线时，ME 有最小值，求出最小值即可．【详解】解：如图，取AD 的中点O ，连接OM ，过点M 作ME ⊥BC 交BC 的延长线于点E ，过点O 作OF ⊥BC 于F ，交CD 于G ，则13OM +ME ≥OF ，∵AB ∥CD ，∠DAB =60°，AD =CD =4，∴∠ADC =120°，∵AD =CD ，∴∠DAC =30°，∴∠CAB =30°，∵AC ⊥BC ，∴∠ACB =90°∴∠B =90°-30°=60°，∴∠B =∠DAB ，∴四边形ABCD 为等腰梯形，∴BC =AD =4，∵∠AMD =90°，AD =4，OA =OD ，∴OM =12AD =2，∴点M 在以点O 为圆心，2为半径的圆上，∵AB ∥CD ，∴∠GCF =∠B =60°，∴∠DGO =∠CGF =30°，∵OF ⊥BC ，AC ⊥BC ，∴∠DOG =∠DAC =30°=∠DGO ，∴DG =DO =2，∴OG =2OD ⋅cos30°=23，GF =3，OF =33，∴ME ≥OF -OM =33-2，∴当O ,M ,E 三点共线时，ME 有最小值33-2，∴△MBC 面积的最小值为=12×4×33-2 =63-4．【点睛】本题考查了解直角三角形、隐圆、直角三角形的性质等知识点，点M 位置的确定是解题关键．16(2023春·全国·八年级专题练习)如图，在等边△ABC 中，BD ⊥AC 于D ，AD =3cm ．点P ,Q 分别为AB,AD 上的两个定点且BP =AQ =1cm ，点M 为线段BD 上一动点，连接PM ,QM ，则PM +QM 的最小值为cm ．【答案】5【分析】如图所示，作点P 关于BD 的对称点P ，且点P 在BC 上，则PM +QM =P M+QM ，当P ,M ,Q 在同一条直线上时，有最小值，证明四边形PP QA 是平行四边形，P Q =AP =AB -BP ，由此即可求解．【详解】解：如图所示，作点P 关于BD 的对称点P ，∵△ABC 是等边三角形，BD ⊥AC ，∴∠ABD =∠DBC =12∠ABC =12×60°=30°，14∴点P 在BC 上，∴P M =PM ，则PM +QM =P M +QM ，当P ,M ,Q 在同一条直线上时，有最小值，∵点P 关于BD 的对称点P ，∠ABD =∠DBC =30°，∴PP ⊥BM ，BP =BP =1cm ，∴∠BP P =60°，∴△BPP 是等边三角形，即∠BP P =∠C =60°，∴PP ∥AC ，且PP =AQ =1cm ，∴四边形PP QA 是平行四边形，∴P Q =AP =AB -BP ，在Rt △ABD 中，∠ABD =30°，AD =3，∴AB =2AD =2×3=6，∴AP =P Q =P M +QM =PM +QM =AB -BP =6-1=5，故答案为：5．【点睛】本题主要考查动点与等边三角形，对称-最短路径，平行四边形的判定和性质的综合，理解并掌握等边三角形得性质，对称-最短路径的计算方法，平行四边形的判定和性质是解题的关键．17(2022秋·山东菏泽·九年级校考阶段练习)如图，在周长为12的菱形ABCD 中，DE =1，DF =2，若P 为对角线AC 上一动点，则EP +FP 的最小值为．【答案】3【分析】作F 点关于BD 的对称点F ，连接EF 交BD 于点P ，则PF =PF ，由两点之间线段最短可知当E 、P 、F 在一条直线上时，EP +FP 有最小值，然后求得EF 的长度即可．【详解】解：作F 点关于BD 的对称点F ，则PF =PF ，连接EF '交BD 于点P ．∴EP +FP =EP +F P ．由两点之间线段最短可知：当E 、P 、F '在一条直线上时，EP +FP 的值最小，此时EP +FP =EP +F P =EF ．∵四边形ABCD 为菱形，周长为12，∴AB =BC =CD =DA =3，AB ∥CD ，∵AF =2，AE =1，∴DF =AE =1，∴四边形AEF D 是平行四边形，∴EF =AD =3．∴EP +FP 的最小值为3．故答案为：3．【点睛】本题主要考查的是菱形的性质、轴对称--路径最短问题，明确当E 、P 、F 在一条直线上时EP +FP 有最小值是解题的关键．18(2023春·上海·八年级专题练习)如图，直线y =x +4与x 轴，y 轴分别交于A和B ，点C 、D 分别为线段AB 、OB 的中点，P 为OA 上一动点，当PC +PD 的值最小时，点P 的坐标为．15【答案】(-1,0)【分析】直线y =x +4与x 轴，y 轴分别交于A 和B ，可求出点A ，B 的坐标，点C 、D 分别为线段AB 、OB 的中点，可求出点C 、D 的坐标，作点C 关于x 轴的对称点C ，连接C D 与x 轴的交点就是所求点P 的坐标．【详解】解：直线y =x +4与x 轴，y 轴分别交于A 和B ，∴当y =0，x =-4，即A (-4,0)；当x =0，y =4，即B (0,4)，∵点C 、D 分别为线段AB 、OB 的中点，∴C (-2,2)，D (0,2)，如图所示，过点C 关于x 轴的对称点C，∴C (-2,-2)，∴直线C D 的解析式为：y =2x +2，当y =0，x =-1，即P (-1,0)，故答案为：(-1,0)．【点睛】本题主要考查一次函数与最短线段的综合，掌握对称中最短线段的解题方法是解题的关键．19(2023秋·黑龙江鸡西·九年级统考期末)如图，抛物线y =x 2-4x +3与x 轴分别交于A ,B两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C ，在其对称轴上有一动点M ，连接MA ,MC ,AC ，则△MAC 周长的最小值是．【答案】32+10【分析】根据“将军饮马”模型，先求出A 1,0 ,B 3,0 ,C 0,3 ，由二次函数对称性，A ,B 关于对称轴对称，从而C △MAC =CA +CM +MA =CA +CM +MB ，AC =OA 2+OC 2=10，则△MAC 周长的最小值就是CM +MB 的最小值，根据两点之间线段最短即可得到CM +MB 的最小值为C ,M ,B 三点共线时线段CB 长，从而得到CB =OC 2+OB 2=32，即可得到答案．【详解】解：∵抛物线y =x 2-4x +3与x 轴分别交于A ,B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C ，16∴当y =0时，0=x 2-4x +3解得x =1或x =3，即A 1,0 ,B 3,0 ；当x =0时，y =3，即C 0,3 ，由二次函数对称性，A ,B 关于对称轴对称，即MA =MB ，∴C △MAC =CA +CM +MA =CA +CM +MB ，∵AC =OA 2+OC 2=10，∴△MAC 周长的最小值就是CM +MB 的最小值，根据两点之间线段最短即可得到CM +MB 的最小值为C ,M ,B 三点共线时线段CB 长，∵CB =OC 2+OB 2=32，∴△MAC 周长的最小值为CA +CB =32+10，故答案为：32+10．【点睛】本题考查动点最值问题与二次函数综合，涉及“将军饮马”模型求最值、二次函数图像与性质、解一元二次方程、勾股定理求线段长等知识，熟练掌握动点最值的常见模型是解决问题的关键．20(2023秋·浙江温州·九年级校考期末)如图所示，∠ACB =60°，半径为2的圆O 内切于∠ACB．P 为圆O 上一动点，过点P 作PM 、PN 分别垂直于∠ACB 的两边，垂足为M 、N ，则PM +2PN 的取值范围为．【答案】6-23≤PM +2PN ≤6+23【分析】根据题意，本题属于动点最值问题-“阿氏圆”模型，首先作MH ⊥NP 于H ，作MF ⊥BC 于F ，如图所示，通过代换，将PM +2PN 转化为PN +12PM =PN +HP =NH ，得到当MP 与⊙O 相切时，MF 取得最大值和最小值，分两种情况，作出图形，数形结合解直角三角形即可得到相应最值，进而得到取值范围．【详解】解：作MH ⊥NP 于H ，作MF ⊥BC 于F ，如图所示：∵PM ⊥AC ，PN ⊥CB ，∴∠PMC =∠PNC =90°，∴∠MPN =360°-∠PMC -∠PNC -∠C =120°，∴∠MPH =180°-∠MPN =60°，∴HP =PM ⋅cos ∠MPH =PM ⋅cos60°=12PM ，∴PN +12PM =PN +HP =NH ，∵MF =NH ，∴当MP 与⊙O 相切时，MF 取得最大和最小，①连接OP ，OG ，OC ，如图1所示：可得：四边形OPMG 是正方形，∴MG =OP =2，在Rt △COG 中，CG =OG ⋅tan60°=23，∴CM =CG +GM =2+23，在Rt △CMF 中，MF =CM ⋅sin60°=3+3，∴HN =MF =3+3，即PM +2PN =212PM +PN =2HN =6+23；②连接OP ，OG ，OC ，如图2所示：可得：四边形OPMG 是正方形，17∴MG =OP =2，由上同理可知：在Rt △COG 中，CG =OG ⋅tan60°=23，∴CM =CG -GM =23-2，在Rt △CMF 中，MF =CM ⋅sin60°=3-3，∴HN =MF =3-3，即PM +2PN =212PM +PN =2HN =6-23，∴6-23≤PM +2PN ≤6+23．故答案为：6-23≤PM +2PN ≤6+23．【点睛】本题考查动点最值模型-“阿氏圆”，难度较大，掌握解决动点最值问题的方法，熟记相关几何知识，尤其是圆的相关知识是解决问题的关键．3三、解答题21(2022春·江苏·九年级专题练习)综合与探究如图，已知抛物线y =ax 2+bx +4经过A -1,0 ，B 4,0 两点，交y 轴于点C ．(1)求抛物线的解析式，连接BC ，并求出直线BC 的解析式；(2)请在抛物线的对称轴上找一点P ，使AP +PC 的值最小，此时点P 的坐标是；(3)点Q 在第一象限的抛物线上，连接CQ ，BQ ，求出△BCQ 面积的最大值．【答案】(1)y =-x 2+3x +4；y =-x +4(2)32,52(3)8【分析】(1)将A -1,0 ，B 4,0 两点，代入抛物线解析式，可得到抛物线解析式，从而得到C 0,4 ，再设直线BC 的解析式为y =kx +b k ≠0 ，把点B 、C 的坐标代入，即可求解；(2)连接BC ，PB ，根据题意可得A 、B 关于抛物线的对称轴直线x =32对称，从而得到当P 在直线AB 上三点共线时，AP +CP 的值最小，把x =32代入直线BC 的解析式，即可求解；(3)过Q 作QD ⊥x 轴，交BC 于D ，设Q d ,-d 2+3d +4 ，其中0≤d ≤4，则D d ,-d +4 ，可得QD =-d 2+4d ，从而得到S ΔBCQ =12OB ×QD =-2d -2 2+8，即可求解；【详解】(1)解：(1)∵抛物线y =ax 2+bx +4经过A -1,0 ，B 4,0 两点，∴a -b +4=016a +4b +4=0，解得：a =-1b =3 ，18∴抛物线的解析式为y =-x 2+3x +4；∵抛物线与y 轴的交点为C ，∴C 0,4 ，设直线BC 的解析式为y =kx +b k ≠0 ，把点B 、C 的坐标代入得：4k +b =0b =4 ，解得：k =-1b =4 ，∴直线BC 的解析式为y =-x +4；(2)如图，连接BC ，PB ，∵y =-x 2+3x +4=-x -32 2+74，∴抛物线的对称轴为直线x =32，根据题意得：A 、B 关于抛物线的对称轴直线x =32对称，∴AP =BP ，∴AP +CP =BP +CP ≥BC ，即当P 在直线AB 上时，AP +CP 的值最小，∴当x =32时，y =-32+4=52，∴P 32,52 ，故答案是：32,52 ；(3)过Q 作QD ⊥x 轴，交BC 于D ，设Q d ,-d 2+3d +4 ，其中0≤d ≤4，则D d ,-d +4 ，∴QD =-d 2+3d +4 --d +4 =-d 2+4d ，∵B 4,0 ，∴OB =4，∴S ΔBCQ =12OB ×QD =-2d 2+8d =-2d -2 2+8，当d =2时，S ΔBCQ 取最大值，最大值为8，∴△BCQ 的最大面积为8；【点睛】本题主要考查了二次函数的图像和性质，利用数形结合思想和分类讨论思想是解题的关键．22(2023秋·江苏淮安·八年级统考期末)如图1，直线AB :y =-x +6分别与x ,y 轴交于A ,B 两点，过点B 的直线交x 轴负半轴于点C -3,0 ．(1)请直接写出直线BC 的关系式：(2)在直线BC 上是否存在点D，使得S △ABD =S △AOD 若存在，求出点D 坐标：若不存请说明理由；(3)如图2，D 11,0 ，P 为x 轴正半轴上的一动点，以P 为直角顶点、BP 为腰在第一象限内作等腰直角三角形△BPQ ，连接QA ,QD ．请直接写出QB -QD 的最大值：．19【答案】(1)y =2x +6(2)当D 185,665 或D -185,-65时，S △ABD =S △AOD (3)37【分析】(1)根据直线AB 与y 轴的交点，可求出点B 的坐标，再用待定系数法即可求解；(2)设D (a ,2a +6)，分别用含a 的式子表示出出S △AOD ,S △ABD ，由此即可求解；(3)△BPQ 是等腰直角三角形，设P (m ,0)(m >0)，可表示出QB ，再证Rt △BOP ≌Rt △PTQ (AAS )，如图所示，当点B ,R ,Q 在一条直线上时，QB -QD 的值最大，最大值为BR 的值，可求得点R 的坐标，根据勾股定理即可求解．【详解】(1)解：∵直线AB :y =-x +6分别与x ,y 轴交于A ,B 两点，令x =0，则y =6，∴B (0,6)，且C -3,0 ，设直线BC 的解析式为y =kx +b ，∴b =6-3k +b =0，解得，k =2b =6 ，∴直线BC 的解析式为y =2x +6，故答案为：y =2x +6．(2)解：由(1)可知直线BC 的解析式为y =2x +6，直线AB 的解析式为y =-x +6，∴A (6,0),B (0,6),C (-3,0)，∴OA =6,BO =6,OC =3，如图所示，点D 在直线BC 上，过点D 作DE ⊥x 轴于E ，∴设D (a ,2a +6)，E (a ,0)，∴S △ABC =12AC ·OB =12×(6+3)×6=27，S △ADC =12AC ·DE =12×(6+3)×a =92a ，S △AOD =12OA ·DE =12×6×a =3a ，∴S △ABD =S △ABC -S △ADC =27-92a ，若S △ABD =S △AOD ，则27-92a =3a ，当a >0时，27-92a =3a ，解得，a =185，即D 185,665 ；当a <0时，27+92a =-3a ，解得，a =-185，即D -185,-65 ；综上所述，当D 185,665 或D -185,-65时，S △ABD =S △AOD ．(3)解：已知A (6,0),B (0,6),D (11,0)，设P (m ,0)(m >0)，∴在Rt △BOP 中，OB =6,OP =m ，∵△BPQ 是等腰直角三角形，∠BPQ =90°，∴BP =QP ；如图所示，过点Q 作QT ⊥x 轴于T ，20在Rt △BOP ,Rt △PTQ 中，∠BOP =∠PTQ =90°，∠BPO +∠QPA =∠QPA +∠PQT =90°，∴∠BPO =∠PQT ，∴∠BPO =∠PQT∠BOP =∠PTQ BP =QP，∴Rt △BOP ≌Rt △PTQ (AAS )，∴OP =TQ =m ，OB =PT =6，∴AT =OP +PT -OA =m +6-6=m ，∴AT =QT ，且QT ⊥x 轴，∴△ATQ 是等腰直角三角形，∠QAT =45°，则点Q 的轨迹在射线AQ 上，如图所示，作点D 关于直线AQ 的对称点R，连接QR ,BR ,AR ，A (6,0)，B (0,6)，D (11,0)，∵△ATQ 是等腰直角三角形，即∠QAT =45°，根据对称性质，∴∠QAR =45°，∴RA ⊥x 轴，且△DQA ≌△RQA ，∴AR =AD =11-6=5，则R (6,5)，如图所示，当点B ,R ,Q 在一条直线上时，QB -QD 的值最大，最大值为BR 的值；∴由勾股定理得：BR =62+(6-5)2=37，故答案为：37．【点睛】本题主要考查一次函数，几何的综合，掌握待定系数法求解析式，将军饮马问题，等腰直角三角形的性质，勾股定理是解题的关键．23(2023春·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考阶段练习)△ABC 中，∠B =60°．(1)如图1，若AC >BC ，CD 平分∠ACB 交AB 于点D ，且AD =3BD ．证明：∠A =30°；(2)如图2，若AC <BC ，取AC 中点E ，将CE 绕点C 逆时针旋转60°至CF ，连接BF 并延长至G ，使BF =FG ，猜想线段AB 、BC 、CG 之间存在的数量关系，并证明你的猜想；(3)如图3，若AC =BC ，P 为平面内一点，将△ABP 沿直线AB 翻折至△ABQ ，当3AQ +2BQ +13CQ 取得最小值时，直接写出BPCQ的值．【答案】(1)见解析(2)BC =AB +CG ，理由见解析(3)213+33913【分析】(1)过点D 分别作BC ，AC 的垂线，垂足为E ，F ，易得DE =DF ，由∠B =60°，可得DE =DF =32BD ，由AD =3BD ，求得sin A =DE AD=12，可证得∠A =30°；(2)延长BA ，使得BH =BC ，连接EH ，CH ，易证△BCH 为等边三角形，进而可证△BCF ≌△HCE SAS ，可得BF =HE ，∠BFC =∠HEC ，可知∠AEH =∠CFG ，易证得△AEH ≌△CFG SAS ，可得AH =CG ，由BC =BH =AB +AH =AB +CG 可得结论；(3)由题意可知△ABC 是等边三角形，如图，作CM ⊥CA ，且CM =32CA ，作CN ⊥CQ ，且CN =32CQ ，可得CM CA=CN CQ =32，QN =CQ 2+CN 2=132CQ ，可知△ACQ ∽△MCN ，可得MN =32AQ ，由3AQ +2BQ +13CQ =232AQ +BQ +132CQ =2MN +BQ +QN ≥2BM 可知点Q ，N 都在线段BM 上时，3AQ +2BQ+13CQ 有最小值，过点C 作CR ⊥BM ，过点M 作MT ⊥BC 交BC 延长线于T ，可得CR =CQ ⋅sin ∠CQN =313CQ ，QR =CQ ⋅cos ∠CQN =213CQ ，可证△CBR ∽△MBT ，得BR CR =BT MT ，设BC =a 由等边三角形的性质，可得CM =32a ，进而可得CT =CM ⋅cos30°=334a ，MT =CM ⋅sin30°=34a ，结合BR CR=BTMT 可得：BQ +213CQ 313CQ =a +334a 34a ，可得BQ CQ =213+33913，由翻折可知，BP =BQ ，可求得BP CQ的值．【详解】(1)证明：过点D 分别作BC ，AC 的垂线，垂足为E ，F ，∵CD 平分∠ACB ，DE ⊥BC ，DF ⊥AC ，∴DE =DF ，又∵∠B =60°，∴DE =BD ⋅sin60°=32BD ，则DE =DF =32BD ，又∵AD =3BD ，∴sin A =DE AD =32BD3BD=12，∴∠A =30°；(2)BC =AB +CG ，理由如下：延长BA ，使得BH =BC ，连接EH ，CH ，∵∠ABC =60°，BH =BC ，∴△BCH 为等边三角形，∴CB =CH ，∠BCH =60°，∵CE 绕点C 逆时针旋转60°至CF ，∴CE =CF ，∠ECF =60°，则∠BCH -∠ACB =∠ECF -∠ACB ，∴∠ECH =∠FCB ，∴△BCF ≌△HCE SAS ，∴BF =HE ，∠BFC =∠HEC ，则∠AEH =∠CFG ，∵BF =FG ，∴BF =HE =FG ，又∵E 为AC 中点，∴AE =CE =CF ，∴△AEH ≌△CFG SAS ，∴AH =CG ，∴BC =BH =AB +AH =AB +CG ；(3)∵∠ABC =60°，AC =BC ，∴△ABC 是等边三角形，如图，作CM ⊥CA ，且CM =32CA ，作CN ⊥CQ ，且CN =32CQ ，则CM CA=CN CQ =32，QN =CQ 2+CN 2=132CQ ，∴sin ∠CQN =CN QN =313，cos ∠CQN =CQ QN =213，则∠ACM =∠QCN =90°，∴∠ACM -∠ACN =∠QCN -∠ACN ，则∠ACQ =∠MCN∴△ACQ ∽△MCN ，∴MN AQ =CM CA=32，即：MN =32AQ ，∴3AQ +2BQ +13CQ =232AQ +BQ +132CQ =2MN +BQ +QN ≥2BM即：点Q ，N 都在线段BM 上时，3AQ +2BQ +13CQ 有最小值，如下图，过点C 作CR ⊥BM ，过点M 作MT ⊥BC 交BC 延长线于T ，则∠BRC =∠BTM =90°，CR =CQ ⋅sin ∠CQN =313CQ ，QR =CQ ⋅cos ∠CQN =213CQ ，又∵∠CBR =∠MBT ，∴△CBR ∽△MBT ，∴BR CR=BT MT ，∵△ABC 是等边三角形，设BC =a ∴∠ACB =60°，AC =BC =a ，则CM =32a ，∵∠ACM =90°，∴∠MCT =30°，则CT =CM ⋅cos30°=334a ，MT =CM ⋅sin30°=34a ，则由BR CR=BT MT 可得：BQ +213CQ 313CQ =a +334a34a ，整理得：133BQ CQ +23=4+333，得BQ CQ=213+33913，由翻折可知，BP =BQ ，∴BP CQ =BQ CQ=213+33913．【点睛】本题属于几何综合，考查了解直角三角形，等边三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，旋转的性质以及费马点问题，掌握费马点问题的解决方法，添加辅助线构造全等三角形和相似三角形是解决问题的关键．24(2023春·江苏·八年级专题练习)定义：既相等又垂直的两条线段称为“等垂线段”，如图1，在Rt △ABC 中，∠A =90°，AB =AC ，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，AD =AE ，连接DE 、DC ，点M 、P 、N 分别为DE 、DC 、BC 的中点，且连接PM 、PN ．(1)观察猜想线段PM 与PN 填(“是”或“不是”)“等垂线段”．(2)△ADE 绕点A 按逆时针方向旋转到图2所示的位置，连接BD ，CE ，试判断PM 与PN 是否为“等垂线段”，并说明理由．(3)拓展延伸把△ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若DE =2，BC =4，请直接写出PM 与PN 的积的最大值．。

中考数学模拟题汇总《几何综合压轴题》练习

中考数学模拟题汇总《几何综合压轴题》练习

中考数学模拟题汇总《几何综合压轴题》练习（含答案解析）一、倍长八字共5小题1.在△ABC中，D是BC的中点，且∠BAD≠90°，将线段AB沿AD所在直线翻折，得到线段AB′，作CE//AB交直线AB′于点E．（1）如图，若AB>AC，①依题意补全图形；②用等式表示线段AB,AE,CE之间的数量关系，并证明；（2）若AB<AC，上述结论是否仍然成立？若成立，简述理由；若不成立，直接用等式表示线段AB,AE,CE 之间新的数量关系（不需证明）．2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，EF垂直平分CD，分别交AC，BC于点E，F，连接DE，DF．（1）求∠EDF的度数；（2）用等式表示线段AE，BF，EF之间的数量关系，并证明．3.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,点D为AB边上一点（不与点A，B重合），作射线C D，过点A作AE⊥CD于E，在线段AE上截取EF=EC，连接BF交CD于G.(1)依题意补全图形；(2)求证：∠CAE=∠BCD(3)判断线段BG与GF之间的数量关系，并证明.4.如图，在△ABC中，∠BAC=α,点D在边BC上（不与B,C重合），连接AD,以点A为中心，将线段AD逆时针旋转180°-α得到线段AE,连接BE.（1）∠BAC+∠DAE= °（2）取CD的中点F，连接AF，用等式表示线段AF与BE的数量关系，并证明。

5.如图，△ACB中，AC=BC，∠ACB=90°，D为边BC上一点（不与点C重合），CD＜BD，点E在AD的延长线上，且ED=AD，连接BE，过点B作BE的垂线，交边AC于点F．（1）依题意补全图形；（2）求证：BE=BF；（3）用等式表示线段AF与CD的数量关系，并证明．二、一线三垂直共1小题 6.如图，在Rt △ACB 中， ∠ACB =90°，AC =BC ．点D 是BC 延长线上一点，连接AD ．将线段AD 绕点A 逆时针旋转90°，得到线段AE ．过点E 作EF //BD ，交AB 于点F ．（1）①直接写出∠AFE 的度数是____________；②求证：∠DAC =∠E ；（2）用等式表示线段AF 与DC 的数量关系，并证明．三、三线合一共1小题 7.已知：如图，OB =BA ，∠OBA =150°，线段BA 绕点A 逆时针旋转90°得到线段AC .连接BC ，OA ，OC ，过点O 作OD ⊥AC 于点D .（1）依题意补全图形；（2）求∠DOC 的度数.A B C D A B C D四、手拉手共5小题8.如图，在三角形ABC 中，AB =AC ，∠BAC <60°，AD 是BC 边的高线，将线段AC 绕点A 逆时针旋转60°得到线段AE ，连接BE 交AD 于点F ．（1）依题意补全图形，写出∠CAE= °（2）求∠BAF+∠ABF 和∠FBC 的度数；（3）用等式表示线段AF ，BF ，EF 之间的数量关系，并证明．9.如图，在等边△ABC 中，将线段AC 绕点A 顺时针旋转α(0∘<α<60∘)，得到线段AD ，连接CD ，作∠BAD 的平分线AE ，交BC 于E ．（1）① 根据题意，补全图形；② 请用等式写出∠BAD 与∠BCD 的数量关系，并证明．（2）分别延长CD 和AE 交于点F ，用等式表示线段AF ，CF ，DF 的数量关系，并证明．10.已知：等边△ABC ，过点B 作AC 的平行线l ．点P 为射线AB 上一个动点（不与点A,B 重合），将射线PC 绕点P 顺时针旋转60°交直线l 于点D ．（1）如图1，点P 在线段AB 上时，依题意补全图形；①求证：∠BDP =∠PCB ；②用等式表示线段BC,BD,BP 之间的数量关系，并证明；（2）点P 在线段AB 的延长线上，直接写出线段BC,BD,BP 之间的数量关系．A B C A B C AB C11.在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=30°，D为边BC上一动点，点E在边AC上，CE=CD．点D关于点B 的对称点为点F，连接AD，P为AD的中点，连接PE,PF,EF．（1）如图1，当点D与点B重合时，写出线段PE与PF之间的位置关系与数量关系；（2）如图2，当点D与点B,C不重合时，判断（1）中所得的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请举出反例。

2023年九年级中考数学复习：几何探究压轴题(角度问题)(附答案)

2023年九年级中考数学复习：几何探究压轴题(角度问题)(附答案)

2023年九年级中考数学复习：几何探究压轴题（角度问题）1．已知：正方形ABCD ，以A 为旋转中心，旋转AD 至AP ，连接BP DP 、．(1)若将AD 顺时针旋转30︒至AP ，如图1所示，求BPD ∠的度数？ (2)若将AD 顺时针旋转α度()090α︒<<︒至AP ，求BPD ∠的度数？(3)若将AD 逆时针旋转α度()0180α︒<<︒至AP ，请分别求出090α︒<<︒、90α=︒、90180α︒<<︒三种情况下的BPD ∠的度数（图2、图3、图4）．2．如图1所示，将一个长为6宽为4的长方形ABEF ，裁成一个边长为4的正方形ABCD 和一个长为4、宽为2的长方形CEFD 如图2．现将小长方形CEFD 绕点C 顺时针旋转至CE F D '''，旋转角为a ．(1)当点D 恰好落在EF 边上时，求旋转角a 的值；(2)如图3，G 为BC 中点，且0°＜a ＜90°，求证：GD E D ''=；(3)小军是一个爱动手研究数学问题的孩子，他发现在小长方形CEFD 绕点C 顺时针旋转一周的过程中，DCD '与CBD '△存在两次全等，请你帮助小军直接写出当DCD '与CBD '△全等时，旋转角a 的值．3．图1是边长分别为a 和()b a b >的两个等边三角形纸片ABC 和CDE 叠放在一起（C 与C '重合）的图形．(1)操作：固定ABC ，将CDE 绕点C 按顺时针方向旋转20°，连结AD ，BE ，如图2，则ECA ∠=___ ___度，并直接写出线段BE 与AD 的数量关系____ ．(2)操作：若将图1中的CDE ，绕点C 按顺时针方向旋转120°，使点B 、C 、D 在同一条直线上，连结AD 、BE ，如图3．①线段BE 与AD 之间是否仍存在（1）中的结论？若是，请证明；若不是，请直接写出BE 与AD 之间的数量关系；②求APB ∠的度数．(3)若将图1中的CDE ，绕点C 按逆时针方向旋转一个角()0360αα<<︒，当α等于多少度时，BCD △的面积最大？请直接写出答案．4．我们定义：如图1，在△ABC 中，把AB 绕点A 顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到AB '，把AC 绕点A 逆时针旋转β得到AC ′，连接B 'C '，当a +β＝180°时，我们称△AB 'C '是△ABC 的“旋补三角形”，△AB 'C 边B 'C '上的中线AD 叫做△ABC 的“旋补中线”．(1)[特例感知]在图2，图3中，△AB 'C ′是△ABC 的“旋补三角形”，AD 是△ABC 的“旋补中线”． ①如图2，当△ABC 为等边三角形，且BC ＝6时，则AD 长为 ． ②如图3，当∠BAC ＝90°，且BC ＝7时，则AD 长为 ．(2)[猜想论证]在图1中，当△ABC 为任意三角形时，猜想AD 与BC 的数量关系，并给予证明．（如果你没有找到证明思路，可以考虑延长AD 或延长B 'A ，…）(3)[拓展应用]如图4，在四边形ABCD 中，∠BCD ＝150°，AB ＝12，CD ＝6，以CD 为边在四边形ABCD 内部作等边△PCD ，连接AP ，BP ．若△P AD 是△PBC 的“旋补三角形”，请直接写出△PBC 的“旋补中线”长及四边形ABCD 的边AD 长．5．如图，已知正方形ABCD ，点E 为AB 上的一点，EF AB ⊥，交BD 于点F ．(1)如图1，直按写出DFAE的值____ ___； (2)将△EBF 绕点B 顺时针旋转到如图2所示的位置，连接AE 、DF ，猜想DF 与AE 的数量关系，并证明你的结论；(3)如图3，当BE =BA 时，其他条件不变，△EBF 绕点B 顺时针旋转，设旋转角为(0360)αα︒<<︒，当α为何值时EA =ED ?请在图3或备用图中画出图形并求出α的值．6．如图，已知正方形ABCD ，将AD 绕点A 逆时针方向旋转(090)n n ︒<<到AP 的位置，分别过点C D 、作,CE BP DF BP ⊥⊥，垂足分别为点E 、F ．(1)求证：CE EF =；(2)联结CF ，如果13DP CF =，求ABP ∠的正切值；(3)联结AF ，如果AF AB =，求n 的值．7．把两个等腰直角△ABC 和△ADE 按如图1所示的位置摆放，将△ADE 绕点A 按逆时针方向旋转，如图2，连接BD ，EC ，设旋转角α（0°＜α＜360°）．（Ⅰ）当DE ⊥AC 时，旋转角α＝ 度，AD 与BC 的位置关系是 ，AE 与BC 的位置关系是 ；（Ⅱ）当点D 在线段BE 上时，求∠BEC 的度数； （Ⅲ）当旋转角α＝ 时，△ABD 的面积最大．8．已知：在Rt ABC 中，90ABC ∠=︒，30BAC ∠=︒，将ABC 绕点A 顺时针旋转一定的角度α得到AED △，点B 、C 的对应点分别是E 、D ．（1）如图1，若60α=︒时，连接BE ，求证：AB BE =； （2）如图2，当点E 恰好在AC 上时，求CDE ∠的度数；（3）如图3，点B 、C 的坐标分别是()0,0，()0,2，点Q 是线段AC 上的一个动点，点M 是线段AO 上的一个动点，是否存在这样的点Q 、M 使得CQM 为等腰三角形且AQM 为直角三角形？若存在，请求出满足条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．9．把边长分别为4和6的矩形ABCO 如图放在平面直角坐标系中，将它绕点C 顺时针旋转a 角，旋转后的矩形记为矩形EDCF ．在旋转过程中，（1）如图①，当点E 在射线CB 上时，E 点坐标为；（2）当△CBD 是等边三角形时，旋转角a 的度数是（a 为锐角时）； （3）如图②，设EF 与BC 交于点G ，当EG=CG 时，求点G 的坐标；（4）如图③，当旋转角a=90°时，请判断矩形EDCF 的对称中心H 是否在以C 为顶点，且经过点A 的抛物线上．10．如图，ABC 是等边三角形，点D 是BC 边的中点，以D 为顶点作一个120︒的角，角的两边分别交直线AB AC 、于M 、N 两点，以点D 为中心旋转MDN ∠（MDN ∠的度数不变）(1)如图①，若DM AB ⊥，求证：BM CN BD +=；(2)如图②，若DM 与AB 不垂直，且点M 在边AB 上，点N 在边AC 上时，（1）中的结论是否成立？并说明理由；(3)如图③，若DM 与AB 不垂直，且点M 在边AB 上，点N 在边AC 的延长线上时，（1）中的结论是否成立？若不成立，写出BM CN BD 、、之间的数量关系，并说明理由．11．如图1，在Rt ABC △中，90,ACB AC BC ∠==，点D 为AB 边上的一点，将BCD △绕点C 逆时针旋转90得到ACE △，易得BCD ACE ≌，连接BE ．(1)求BCE ACD ∠∠+的度数．(2)当5,BC BD ==BE CE 、的长．(3)如图2，在(2)的条件下，取AD 中点F ，连接CF 交BE 于H ，试探究线段BE CF 、的数量关系和位置关系，并说明理由．12．如图①，ABC 和ADE 是有公共顶点的等腰直角三角形，90BAC DAE ∠=∠=︒，点P 为射线,BD CE 的交点．(1)如图②，将ADE 绕点A 旋转，当C 、D 、E 在同一条直线上时，连接BD 、BE ，求证：BD CE =且BD CE ⊥．(2)若8,4AB AD ==，把ADE 绕点A 旋转， ①当90EAC ∠=︒时，求PB 的长；②旋转过程中线段BP 长的最小值是_____ __．13．如图1，ABC 中，90,30,ACB B AD ∠=︒∠=︒是角平分线，点E 、F 分别在边AC 、BC 上，45,CEF CF CD ∠=︒<、将CEF △绕点C 按逆时针方向旋转，使得EF 所在直线交线段AD 于点M ，交线段AB 于点N ．(1)当旋转75°时，如图2，直线EF 与AD 的位置关系是____ __，ANM ∠=__ ____°； (2)在旋转一周过程中，试探究：当CE 旋转多少度时，AMN 中有两个角相等．14．菱形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ．(1)如图1，过菱形ABCD 的顶点A 作AE BC ⊥于点E ，交OB 于点H ，若6AB AC ==，求OH 的长； (2)如图2，过菱形ABCD 的顶点A 作AF AD ⊥，且AF AD =，线段AF 交OB 于点H ，交BC 于点E ．当D ，C ，F 三点在同一直线上时，求证：2OH OA +=； (3)如图3，菱形ABCD 中，=45ABC ∠︒，点P 为直线AD 上的动点，连接BP ，将线段BP 绕点B 逆时针旋转60°得到线段BQ ，连接AQ ，当线段AQ 的长度最小时，直接写出BAQ ∠的度数．15．（1）阅读理解利用旋转变换解决数学问题是一种常用的方法．如图1，点P 是等边三角形ABC 内一点，P A ＝1，PB PC ＝2．求∠BPC 的度数．为利用已知条件，不妨把△BPC 绕点C 顺时针旋转60°得AP C '△，连接PP '．利用这种变换可以求∠BPC 的度数，请写出推理过程； （2）类比迁移如图2，点P 是等腰Rt △ABC 内一点，∠ACB ＝90°，P A ＝2，PB PC ＝1．求∠APC 的度数．16．ABC 为等边三角形，AB ＝8，AD ⊥BC 于点D ，E 为线段AD 上一点，AE =AE 为边在直线AD 右侧构造等边三角形AEF ，连接CE ，N 为CE 的中点．(1)如图1，EF 与AC 交于点G ，连接NG ，BE ，直接写出NG 与BE 的数量关系；(2)如图2，将AEF △绕点A 逆时针旋转，旋转角为α，M 为线段EF 的中点，连接DN ，MN ．当30120α︒<<︒时，猜想∠DNM 的大小是否为定值，如果是定值，请写出∠DNM 的度数并证明，如果不是，请说明理由；(3)连接BN，在AEF△绕点A逆时针旋转过程中，请直接写出线段BN的最大值．17．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6．D、E分别是AB、AC边的中点，连接DE．现将△ADE绕A点逆时针旋转，连接BD，CE并延长交于点F．(1)如图2，点E正好落在AB边上，CF与AD交于点P．①求证：AE•AB＝AD•AC；②求BF的长；(2)如图3，若AF恰好平分∠DAE，直接写出CE的长．18．如图①，在ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝1，D为ABC内部的一动点（不在边上），连接BD，将线段BD绕点D逆时针旋转60°，使点B到达点F的位置；将线段AB绕点B顺时针旋转60°，使点A到达点E的位置，连接AD，CD，AE，AF，BF，EF．(1)求证：BDA≌BFE；(2)当CD+DF+FE取得最小值时，求证：AD∥BF．(3)如图②，M，N，P分别是DF，AF，AE的中点，连接MP，NP，在点D运动的过程中，请判断∠MPN 的大小是否为定值．若是，求出其度数；若不是，请说明理由．参考答案：1．(1)135︒(2)135︒(3)45︒，45︒，45︒2．(1)30°(3)135°，315°3．(1)40，BE ＝AD(2)①存在，②60°(3)当α＝150°或330°时，BCD △的面积最大4．(1)①3；②3.5(2)AD ＝12BC ，(3)339=AD5．2(2)2DF AE =，(3)α的值为30°或150°，6．(2)23；(3)307．（Ⅰ）45；垂直；平行；（Ⅱ）90BEC ∠=︒；（Ⅲ）90︒或270︒8．（2）15°；（3）存在，23,03M ⎫⎪⎭或()423,0- 9．（1）E （4，13；（2）60°；（3）13(4,)3G ； （4）点H 不在此抛物线上．10．(2)成立，(3)不成立，BM CN BD -=，11．(1)180BCE ACD ∠+∠=︒(2)BE =CE =(3)2BE CF =；BE CF ⊥，12．(2)①PB =；②413．(1)垂直，60(2)当CE 旋转45°，90°，270°，315°时，△AMN 中有两个角相等14．(3)75︒15．（2）90°16．(1)2BE NG =(2)∠DNM 的大小是定值，为120°(3)17．(1)②18．(3)∠MPN 的值为定值，30°．。

中考数学几何压轴题汇编

中考数学几何压轴题汇编

中考数学几何压轴题汇编(总43页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除2中考28汇编1．如图，在四边ABCD 中，BC=DC ，∠BAD+∠BCD=180°，AC ⊥BC ，O 是AB 的中点 （1） 如图1，求证：∠OCD=∠OBC（2） 如图2，E 是AC 上一点，连接OE 并延长交AD 于点F ，连接BD ，分别交AC 、OC于点M 、N ，若∠FOC=3∠CBD ，BN DM 76，试探究线段OE 和EF 之间的数量关系，并证明你的结论。

DCAO NMFEDCBA（图1）（图2）32．△ABC ，∠ACB=90°，点D 在BC 上，点E 在AD 上，∠CEB=90°，∠CED=∠CBA ，CE 的延长线交AB 于点F ，连接DF 。

（1） 如图1，求证：∠EFD=∠DBE ；（2） 如图2，若32cos =∠CAB ，DF 与BE 交于点G ，猜想GF 与DB 之间的数量关系并证明。

FEDCBGFEDCB（图1）（图2）3．已知，如图1，等腰直角△ABC中，AC=BC，等腰直角△CDE中，CD=DE，AD∥BC，CE与AB相交于点F，AB与CD相交于点O，连接BE（1）求证：F为CE中点；（2）如图2，过点D作DG⊥BE于G，连接AE交DG于点H，连接HF，请探究线段HF与BC之间的数量及位置关系，并证明你的结论。

OF EDC B A（图1）OGHFEDC BA（图2）454如图在四边形ABCD 中，连结BD 、AC 相交于F ，AB=BC ，AD=DE=DC ，∠ABC+∠EDC=180°，且AB AE AD ⋅=2。

（1） 如图1，求证：∠ADE=2∠DCA ；（2） 如图2，过点B 作BH ⊥CD 于点H ，交AC 于点G ，连结EC 交BD 于点P ，交BH 于点Q ，若31tan =∠ACD ，试探究线段PE 与PQ 之间的数量关系，并证明你的结论。

(完整版)中考数学几何压轴题

(完整版)中考数学几何压轴题

1．（1)操作发现·如图,矩形ABCD中，E是AD的中点,将△ABE沿BE折叠后得到△GBE,且点G在矩形ABCD内部．小明将BG延长交DC于点F，认为GF＝DF，你同意吗？说明理由．（2)问题解决Array AD的值；保持（1）中的条件不变，若DC＝2DF,求AB（3）类比探究AD的值．保持（1）中的条件不变,若DC＝n·DF，求AB2．如图1所示，在直角梯形ABCD中,AD∥BC，AB⊥BC，∠DCB＝75º，以CD为一边的等边△DCE的另一顶点E在腰AB上．求 错误!的值．3。

如图①,在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AE ⊥BC 于点E ，DF ⊥BC 于点F ．AD ＝2cm ，BC ＝6cm ，AE ＝4cm ．点P 、Q 分别在线段AE 、DF 上，顺次连接B 、P 、Q 、C ，线段BP 、PQ 、QC 、CB 所围成的封闭图形记为M ．若点P在线段AE 上运动时，点Q 也随之在线段DF 上运动,使图形M 的形状发生改变，但面积始终．．为10cm 2．设EP ＝x cm ，FQ ＝y cm,解答下列问题： （1)直接写出当x ＝3时y 的值;（2)求y 与x 之间的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围； (3）当x 取何值时,图形M 成为等腰梯形?图形M 成为三角形？ （4）直接写出线段PQ 在运动过程中所能扫过的区域的面积．ABCDE 图1ABCDE图2FADA DP4．如图①，将一张矩形纸片对折,然后沿虚线剪切，得到两个（不等边）三角形纸片△ABC ,△A 1B 1C 1．（1）将△ABC ，△A 1B 1C 1如图②摆放，使点A 1与B 重合，点B 1在AC 边的延长线上,连接CC 1交BB 1于点E ．求证：∠B 1C 1C ＝∠B 1BC ．（2）若将△ABC ，△A 1B 1C 1如图③摆放,使点B 1与B 重合，点A 1在AC 边的延长线上，连接CC 1交A 1B 于点F ．试判断∠A 1C 1C 与∠A 1BC 是否相等，并说明理由．图 ①ABC A 1B 1C 1C 1C B 1B A(A 1)E图 ②5．将一副三角尺如图拼接:含30°角的三角尺（△ABC ）的长直角边与含45°角的三角尺(△ACD )的斜边恰好重合．已知AB ＝32，P 是AC 上的一个动点．（1）当点P 运动到∠ABC 的平分线上时，连接DP ，求DP 的长; （2）当点P 在运动过程中出现PD ＝BC 时，求此时∠PDA 的度数； （3）当点P 运动到什么位置时，以D ，P ，B ,Q 为顶点的平行四边形的顶点Q 恰好在边BC 上？求出此时□DPBQ 的面积．A BCD6．如图1，已知长方形ABED ，点C 是边DE 的中点，且AB ＝2AD ． （1）判断△ABC 的形状，并说明理由;（2）保持图1中ABC 的固定不变,绕点C 旋转DE 所在的直线MN 到图2中的位置（当垂线段AD 、BE 在直线MN 的同侧），试探究线段AD 、BE 、DE 长度之间有什么关系？并给予证明；(3）保持图2中△ABC 的固定不变，继续绕点C 旋转DE 所在的直线MN 到图3中的位置(当垂线段AD 、BE 在直线MN 的异侧)．试探究线段AD 、BE 、DE 长度之间有什么关系?并给予证明．AB CDE图1ABC D E图3NM ABCDE图2NM7．如图1，梯形ABCD 中,AD ∥BC ，AB ＝AD ＝CD ，∠BAD ＝120°，∠MAN ＝60°,将图1中的∠MAN 绕点A 按逆时针方向旋转α角（0°＜α＜120°),边AM 、AN 分别交直线BC 、CD 于E 、F 两点． （1）当0°＜α≤60°时，其他条件不变,如图2、如图3所示．①如图2，判断线段BE 、DF 、EF 的数量关系,并直接写出结论；②如图3，①中的结论是否依然成立?若成立，请利用图3证明；若不成立，说明理由． （2）当60°＜α＜120°时，其他条件不变,请在图4中画出一个．．符合条件的图形，直接写出所画图形中线段BE 、DF 、EF 的数量关系．图1 AB C DMN 图2 ABC DMNE F图3ABCD M FEN图4ABCD。

最新九年级中考数学复习：几何探究压轴题(面积问题)

最新九年级中考数学复习：几何探究压轴题(面积问题)
14．（1）如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，点O为AB的中点，点M为AC上一点，将射线OM绕点O顺时针旋转90°交BC于点N，则OM与ON的数量关系为；
（2）如图2，在等腰三角形ABC中，∠C＝120°，点O为AB的中点，点M为AC上一点，将射线OM绕点O顺时针旋转60°交BC于点N，则OM与ON的数量关系是否改变，请说明理由；
9．在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝a，将△CAD绕点C按逆时针方向旋转角a得到△CBE，点A，D的对应点分别为点B，E．
(1)如图1，若A，D，E三点在同一直线上，则∠CDE=（用含a的代数式表示）；
(2)如图2，若A，D，E三点在同一直线上，a=60°，过点C作CF⊥AE于点F，然后探究线段CF，AE，BE之间的数量关系，并证明你的结论；
(3)拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=3，AB=7，请直接写出△PMN面积的最大值．
18．如图1，在等腰三角形ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，点D、E分别在边AB、AC上，AD＝AE，连接BE，点M、N、P分别为DE、BE、BC的中点．
(1)观察猜想：图1中，线段NM、NP的数量关系是，∠MNP的大小为；
(2)在三角板旋转的过程中，边 与AB所在直线交于点D，过点D作DE∥ 交 边于点E，连接BE．
①当 时，设AD= ，BE= ，求 与 之间的函数解析式及自变量 的取值范围；
②当 时，求AD的长．
13．在中 中． ， ，点E在射线CB上运动．连接AE，将线段AE绕点E顺时针旋转90°得到EF，连接CF．
②如图3，连接AF，若AC＝3，CD＝1，求S△ADF的取值范围．
2．如图，矩形 中， 为等边三角形．点E，F分别为 边上的动点，且 ，P为 上一动点，连接 ，将线段 绕点B顺时针旋转 至 ，连接 ．

中考数学专练14(几何压轴大题)(30题)(解析版)

中考数学专练14(几何压轴大题)(30题)(解析版)

中考考点必杀500题专练14（几何压轴大题）（30道）1．（2022·浙江杭州·一模）如图，已知扇形AOB 的半径8OA =，90AOB ∠=︒，点C ，D 分别在半径OA ，OB 上（点C 不与点A 重合），连结CD ．(1)当4sin 5ODC ∠=，BD CD =时，求OC 的长． (2)点P 是弧AB 上一点，PC PD =．①当点D 与点B 重合，点P 为弧AB 的中点时，求证：PC PD ⊥．②当4OC =，90PDO ∠=︒时，求PCD OCD S S △△的值． 【答案】(1)3；(2)①证明见解析；②2；【解析】(1)解： Rt △ODC中，4sin 5ODC ∠=OC =4a ，CD =5a ，则OD3a =，sin ∠OCD =OD CD =35， 设OD =x ，则BD =CD =（8-x ），则385x x =-，解得：x =3， ∴OC 的长为3；(2)解：①如图，连接OP ，AP ，∵P 是弧AB 的中点，∴∠POB =12∠AOB =45°，PB =PA ，△OPB 中，OP =OB ，则∠OPB =∠OBP =12（180°-∠POB ）=67.5°，△OPA 中，OP =OA ，则∠OAP =∠OPA =12（180°-∠POA ）=67.5°，∴∠APB =∠OPA +∠OPB =135°，∵PB =PB =BA ，∴∠PAC =∠PCA =67.5°，△PAC 中，∠APC =180°-∠PAC -∠PCA =45°，∴∠CPB =∠APB -∠APC =90°，∴PC ⊥PD ；②如图，连接OP ，过C 作CE ⊥PD 于E ，∵∠COD =∠ODP =∠DEC =90°，∴四边形CODE 是矩形，∴DE =OC =4，CE =OD ，设PC =PD =x ，则PE =（x -4），Rt △PEC 中，222CE CP PE =-，Rt △POD 中，222OD OP PD =-，∴22CP PE -=22OP PD -，()222464x x x --=-，解得：4x =±，∵x ＞0，∴4x =-， ∵△PCD 面积=12PD CE ⋅，△OCD 面积=12OD OC ⋅，CE =OD ， ∴PCD OCD S S △△=PD OC=2； 【点睛】本题考查了解直角三角形，圆心角、弧、弦之间的关系，等腰三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理等知识；此题综合性强，正确作出辅助线是解题关键． 2．（2022·河北保定外国语学校一模）如图，点P 在射线AB 的上方，060PAM ︒<∠<︒、4PA =，点M 是射线AB 上的动点（点M 不与点A 重合），现将点P 绕点A 按顺时针方向旋转60︒到点Q ，将点M 绕点P 按逆时针方向旋转60︒到点N ，连接,,AQ PM PN ，作直线QN ．(1)求证：AM QN =；(2)直线QN 与以点P 为圆心，PN 的长为半径的圆是否存在相切的情况？若存在，请求出此时APN ∠和PAM ∠的关系，若不存在，请说明理由；(3)若50PAB ∠=︒，当以点P 为圆心，PN 长为半径的圆经过点Q 时，直接写出劣弧NQ 与两条半径所围成的扇形的面积．【答案】(1)见解析(2)存在，150APN PAM ∠+∠=︒ (3)329π (1)证明：如图1，连接PQ ，由点P 绕点A 按顺时针方向旋转60︒到点Q ，可得，,60AP AQ PAQ =∠=︒，∴APQ 为等边三角形，∴,60PA PQ APQ =∠=︒，由点M 绕点P 按逆时针方向旋转60︒到点N ，可得，,60PM PN MPN =∠=︒，∴APM QPN ∠=∠，则()APM QPN SAS ≌，∴AM QN =．(2)存在，如图2，由（1）中的证明可知，APM QPN ≌，∴AMP QNP ∠=∠，∵直线QN 与以点P 为圆心，PN 的长为半径的圆相切，∴90AMP QNP ∠=∠=︒，∵90,60APM PAM MPN ∠=︒-∠∠=︒，∴60APN APM MPN APM ∠=∠+∠=∠+︒．∴()6090150APN PAM APM APM ∠+∠=∠+︒+︒-∠=︒ (3)329π， 如图3，由（1）知，APQ 是等边三角形，∴,60PA PQ APQ =∠=︒，∵以点P 为圆心，PN 的长为半径的圆经过点Q ，∴PN PQ PA ==，∵PM PN =，∴PA PM =，∵50PAB ∠=︒，∴80APM ∠=︒，∴20MPQ APM APQ ∠=∠-∠=︒，∵60MPN ∠=︒，∴80QPN ∠=︒，∴劣弧NQ 与两条半径所围成的扇形的面积是扇形QPN 的面积，而此扇形的圆心角80QPN ∠=︒，半径为4PN PM PQ ===，∴劣弧NQ 与两条半径所围成的扇形的面积2804323609ππ⨯==．【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，切线的性质，扇形的面积公式，解(1) 的关键是得出PA = PQ ，解(2)的关键是得出PN ⊥QN ，解(3)的关键是得出PN = PQ = PA ，解本题的难点是画出符合题意的图形． 3．（2022·河北保定外国语学校一模）在ABC 中，10AC BC ==，4sin 5A =，点D 是线段AB 上一点，且不与点A 、点B 重合．(1)当点D 为AB 中点时，AD 的长为__________；(2)如图1，过点D 作DM AC ⊥于点M ，DN BC ⊥于点N ．DM DN +的值是否为定值．如果是请求出定值；如果不是，请说明理由；(3)将B Ð沿着过点D 的直线折叠，使点B 落作AC 边的点P 处（不与点A 、C 重合），折痕交BC 边于点E ；①如图2，当点D 是AB 的中点时，求AP 的长度；②如图3，设AD a =，若存在两次不同的折痕，使点B 落在AC 边上两个不同的位置，直接写出a 的取值范围．【答案】(1)6(2)是定值，485 (3)①365；②2063a << 【解析】(1)解：∵点D 为AB 中点又10AC BC ==∴CD ⊥AB ∵4sin 5A = ∴CD =41085⨯=∴6AD ===故答案为：6；(2)解：DM DN +的值是定值，连接CD ，过点C 作CH AB ⊥于H ．∵CA CB CH AB =⊥，，∴6AH HB ==，∵ABC ACD BCD S S S =+△△△，DM AC DN BC ⊥⊥，，由（1）得62128AB CH =⨯====，， ∴111222AB CH AC DM BC DN ⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅， ∴1111281010222DM DN ⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯， ∴485DM DN +=， 即DM DN +的值是定值，定值为485． (3)解：①如图2中，连接PB CD ，，∵CA CB AD DB ==，，∴CD AB ⊥，由（2）可知，8CD =，∵DP DA DB ==，∴90APB ∠=︒，即BP AC ⊥，∵1122AB CD AC BP ⋅⋅=⋅⋅， ∴485BP =，∴365AP ===．②2063a <<， 如图3中，过点C 作CH AB ⊥于H ，过点D 作DP AC ⊥于P ．∵CA CB CH AB =⊥，，∴6AH HB ==，∴8CH ===，当BD PD =时，设BD PD x ==，则12AD x =-， ∵sin CH PD A AC AD ==， ∴81012x x=-， ∴163x =， ∴203AD AB BD =-=， 观察图形可知当2063a <<时，存在两次不同的折叠，使点B 落在AC 边上两个不同的位置．【点睛】本题考查翻折问题，涉及的知识点有等腰三角形的性质，翻折的性质，勾股定理求直角三角形以及等面积法．4．（2022·四川成都·二模）已知在正方形ABCD 中，E 是BC 边上一动点，作点B 关于AE 的对称点F ，BF 交AE 于点G ，连结DF ．(1)如图1，求DFB ∠的度数；(2)如图2，过点D 作DM BF ⊥交BF 的延长线于点M ，连结,CM CF ．若DF CM =，试探究四边形DFCM 的形状，并说明理由；(3)如图3，连结BD ，在AG 上截取=GT GB ，点P ，Q 分别是,AD BD 上的动点．若正方形ABCD 的面积为32，直接写出PTQ 周长的最小值．【答案】(1)135∠=︒DFB(2)四边形DFCM 是平行四边形，理由见解析(3)【解析】(1)如图1，连结AF ，∵点B ，F 关于AE 对称，∴AF AB =．∵正方形ABCD ，∴,90AD AB DAB =∠=︒．∴AD AF AB ==．∴12,34∠=∠∠=∠．∵在四边形ABFD 中，有1234360∠+∠+∠+∠+∠=︒DAB ， ∴()1233601352︒∠︒+∠=-∠=DAB ．即135∠=︒DFB ．(2)四边形DFCM 是平行四边形，理由如下：如图2，连接DB ，∵135∠=︒DFB ，∴45∠=︒DFM ．∵DM BF ⊥，∴90DMF ∠=︒．在Rt DMF △中，45∠=∠=︒MDF DFM ，∴=DM DF ．又∵正方形,=DC ABCD BD ， ∴=DM DC DF BD． 又∵45∠=∠=︒-∠MDC FDB CDF ，∴ ∽DMC DFB ．∴135∠=∠︒=DMC DFB ．∵90DMF ∠=︒，∴45∠=︒=∠CMF DFM ，∴∥DF MC ．又∵DF MC =，∴四边形DFCM 是平行四边形．(3)PTQ周长的最小值为解：如图3，作点T 关于AD 的对称点T ''，作点T 关于BD 的对称点''T ，连结,,'''DT DT DT ，连结'''T T 交AD 于点P ，交BD 于点Q ，连结TP 、TQ ，则PQT △周长的最小值为'''T T 的长，由对称知,,,'''==∠=∠∠=∠'''DT DT DT DT ADT ADT TDB T DB ，∴,290''''''=∠=∠=︒DT DT T DT ADB ．∴''==''T T ．由⊥BG GA 且=GT GB ，有==∠=∠BT BD CBG DBT GB BC， ∴ ∽DTB CGB ．∴==DT TB CG GB ．∴DT ．∵BF AE ⊥于点G ，∴点G 在以AB 为直径的圆弧上运动．取AB 中点N ，则==NG 当C 、N 、G 三点共线时CG 最小()≥-CG CN GN ．CG 最小值为∴DT ．∴PQF △周长的最小值为．【点睛】本题考查了正方形的性质、平行四边形的判定、轴对称的性质和相似三角形的判定和性质，利用轴对称的性质得到相等的边和角，找出相似三角形是解题的关键． 5．（2022·安徽芜湖·二模）在△ABC 中．∠C =90°，点D ，E 分别在BC 边和AC 边上，AD ，BE 相交于点F ．(1)图1，若∠AEF=∠BDF，求证：CD AC CE BC=；(2)如图2．若D为BC的中点，AE=EF．求证：AC=BF；(3)如图3．若AE=CD，BD=AC．求∠AFE的度数．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)∠AFE的度数为45°．【解析】(1)证明：连接DE，∵∠AEF=∠BDF，即∠AEB=∠BDA，∴A、E、D、B四点共圆，∴∠ABD+∠AED=180°，∵∠CED+∠AED=180°，∴∠CED=∠ABD，又∠C公共，∴△CED∽△CBA，∴CD AC CE BC=；(2)证明：延长AD到G，使DG=AD，∵D为BC的中点，∴BD=CD，又∠BDG=∠CDA，∴△BDG≌△CDA，∴∠G=∠CAD，BG= CA，∵AE=EF，∴∠AFE=∠CAD，∵∠AFE=∠BFG，∴∠G=∠BFG，∴BF=BG=AC，即AC=BF；(3)解：过点A作AM∥BC，在AM上截取点M，使AM=AC，再过点M作MN⊥BC于点N，连接出BM，ME，如图：∵AM∥BC，∠C=90°，MN⊥BC，∴四边形AMNC是矩形，又AM=AC，∴四边形AMNC是正方形，∴AM=MN=AC=CN，∵BD=AC，则BD= CN，∴BN= CD，∵AE=CD，∴AE= BN=CD，∵AM=MN=AC，∠MAE=∠MNB=∠ACD=90°，∴△MAE≌△MNB≌△ACD，∴EM=MB=AD，∠AME=∠BMN，∵∠NME+∠AME =90°，∴∠NME+∠BMN=90°，即∠BME=90°，∴△MEB是等腰直角三角形，∴∠MBE=45°，∵AM∥BD，AM=CN=BD，∴四边形AMBD是平行四边形，∴∠AFE=∠MBE=45°，∴∠AFE的度数为45°．【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．6．（2022·安徽合肥·二模）已知，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，CD是AB边上的中线，点E为CD上一点，连接BE，作FB⊥BE，且FB=EB，连接FE和FC，FE交BC于点G．(1)如图1，若点E与点D重合，求证：点G是BC的中点；(2)如图2，求证：CF//AB；(3)如图3，若BE平分∠DBC，AB=2，求CG：BC的值．【答案】(1)见解析(2)见解析1-【解析】(1)证明： 在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∴ACB△是等腰直角三角形CD是AB边上的中线，∴=⊥，,CD BD CD BDFB⊥BE，FBD∴∠=︒，90∴CD FB∥，FB=EB，∴ 是等腰直角三角形，DBFDB BF∴=,∴=，BF CD∴四边形CDBF是平行四边形，90∠=︒，FBD∴四边形CDBF是矩形，CD BD=，∴四边形CDBF是正方形，FE交BC于点G．∴G是正方形对角线交点，∴点G是BC的中点；(2)证明：如图，过点F 作FH BD ⊥，交DB 延长线于点H ，,CD BD FH DB ⊥⊥，90EDB BHF ∴∠=∠=︒，CD EH ∥，90DEB DBE ∴∠+∠=，EB BF ⊥，90,90EBF EBD FBH ∴∠=︒∠+∠=︒，DEB HBF ∴∠=∠，EB EF = ，EDB BHF ∴ ≌，DB HF ∴=，DC DB =Q ，DC FH ∴=，又CD EH ∥，∴四边形CDHF 是平行四边形，FH DB ⊥，∴四边形CDHF 是矩形，FC DH ∴∥；(3)解：如图，CBD 是等腰直角三角形，45CBD ∴∠=︒，CB =，BE 平分∠DBC ，11222.52DBC ∴∠=∠=∠=︒， CF DB ∥ ，45FCG CBD ∴∠=∠=︒，BEF 是等腰直角三角形，45,BEF EF ∴∠=︒=，FEB FCG ∴∠=∠，又CGF EGB ∠=∠，23∴∠=∠，1322.5∴∠=∠=︒，534522.567.5BCF ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒，4180367.5ECF ∴∠=︒-∠-∠=︒，45∴∠=∠，CE CG ∴=，13,90EDB ECF ∠=∠∠=∠=︒ ，ECF EDB ∽，EC EF ED EB ∴==EC ED∴=设,EC =则ED a =，(1DC a ∴=，(2CB a ∴==+，1CG BC ∴==. 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，正方形的性质与判定，矩形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．7．（2022·江苏南通·一模）如图，矩形ABCD 中，12,9AB BC ==．P 是边BC 上一动点（不与点B 重合），延长CB 到Q ，使1,,2=BQ BP AP DQ 交于点E ，连接BE 并延长交AD 于点F ．(1)若6BP =，求证：ADE PQE ∆∆≌；(2)探究：当点P 运动时，点F 的位置是否发生变化？请说明理由；(3)求C ，E 两点距离的最小值．【答案】(1)见解析(2)点F 的位置不发生变化，理由见解析(3)185(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，12,9AB BC ==，∴9AD BC ==，AD BC ∥，∴DAE QPE ∠=∠，ADE PQE ∠=∠，∵6BP =，∴132BQ BP ==， ∴369PQ BQ BP =+=+=，∴AD PQ =，∴()ADE PQE ASA ∆∆≌．(2)解；点F 的位置不发生变化．理由为：∵12BQ BP =， ∴13BQ PQ =， ∵四边形ABCD 是矩形，∴AD BC ∥，∴DAE QPE ∠=∠，ADE PQE ∠=∠，又∵AED PEQ ∠=∠，DEF QEB ∠=∠，∴ADE PQE ∆∆∽，DEF QEB ∆∆∽， ∴DE AD EQ PQ =，DE DF EQ BQ =， ∴DF AD BQ PQ =，即13BQ DF PQ AD ==， ∵9AD BC ==， ∴133DF AD ==， ∴当点P 运动时，点F 的位置是不发生变化．(3)由（2）得，当点P 运动时，点F 的位置是不发生变化，即3DF =，∴点E 在线段BF 上随着点P 的运动，而位置发生改变，连接CE ，当CE BF ⊥时，可知C ，E 两点之间的距离最小，如图所示，∵四边形ABCD 是矩形，∴90DAB ∠=︒，∵9AD =，3DF =，12AB =，∴Rt ABF ∆中，BF === ∵AD BC ∥，∴CBE BFA ∠=∠，∵90DAB ∠=︒，CE BF ⊥，∴90DAB CEB ∠=∠=︒，∴BCE FBA ∆∆∽，∴BC CE BF AB =12CE =，解得CE =∴C ，E 两点距离的最小值是185 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质，勾股定理的运用等，第（3）中能分析出点E 在什么位置时，C ，E 两点距离最小是解题的关键． 8．（2022·四川眉山·二模）如图ABC 和ADE 是有公共顶点的等腰直角三角形，90BAC DAE ∠=∠=︒．(1)如图1连结BE 、CD ，BE 的延长线交AC 于点F ，交CD 于点P ，求证：①ABE ACD △≌△；②BP CD ⊥(2)如图2把ADE 绕点A 顺时针旋转，当点D 落在AB 上时，连结BE 、CD ，CD 的延长线交BE 于点P ，若3BC AD ==，①求证：BDP CDA △∽△；②求PDE △的面积．【答案】(1)①见解析；②见解析(2)①见解析；②2710【解析】(1)①证明∵ABC 和ADE 是有公共顶点的等腰直角三角形．∴90,,BAC DAE AD AE AB AC =∠=︒==BAC EAF EAD EAF ∠-∠=∠-∠即BAE CAD ∠=∠在ABE △和ACD △中AB AC BAE CAD AE AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ABE ACD SAS ∴V V ≌②∵()ABE ACD SAS △≌△∴ABE ACD ∠=∠∵90ABE AFB ACD CFP ∠+∠=∠+∠=︒∴90CPF ∠=︒∴BP CD ⊥(2)①证明：在ABE △和ACD △中，AE AD EAB DAC AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()ABE ACD SAS △≌△∵,ABE ACD BE CD ∠=∠=∵PDB ADC ∠=∠，∴90BPD CAB ∠==︒∴BDP CDA △∽△②∵90,3EPD BC AD ∠=︒==∴6DE AB ==∴633BD =-=，CD ==∵BDP CDA △∽△，∴BD PD PB CD AD AC ==36PD PB ==，∴PD =PB∴PE BE BP =-==∴127210PDE S == 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质及勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．9．（2022·吉林长春·一模）阅读理解：辅助线是几何解题中沟通条件与结论的桥梁，在众多类型的辅助线中，辅助圆作为一条曲线型辅助线，显得独特而隐蔽．例如：在图(1)中，AB AC AD ==，求证：2BAC BDC ∠=∠．(请写出证明过程)证明：方法运用：如图(1)已知AB AC AD ==，2BAC BDC ∠=∠，44BAC ∠=︒，则∠CAD 的度数为______．方法拓展：如图(2)在矩形ABCD 中，4AB =，6AD =，E 是AB 边的中点，F 是线段BC 边上的动点，将EBF △沿EF 所在直线折叠得到EB F '△，连结B D '，则B D '的最小值是______．【答案】88°；2．【解析】(1) 证明：以A 点为圆心，AB 为半径画圆，∴AB =AC =AD ，∴B 、C 、D 点都在圆A 上，∴∠DBC =12∠DAC ，∠BDC =12∠BAC ．(2)解：∵AB AC AD ==，∴B ，C ，D 三点在以A 为圆心，AB 为半径的圆上，∴∠CAD =2∠CBD ，2BAC BDC ∠=∠，∵∠CBD =2∠BDC ，∠BAC =44°，∴∠CAD =2∠BAC =88°∠CAD 的度数为88°．(3)如图，当∠BFE =∠B FE '，点B '在DE 上时，此时B D '的值最小，根据折叠的性质△EBF ≌△FB F ',∴EB '⊥B F '，∴EB '=EB ，∵E 是AB 边的中点，AB =4，∴AE =EB '=2，∵AD =6，∴DE = ∴2DB '=-．B D '的最小值是2．【点睛】本题主要考查圆周角定理、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、两点之间线段最短的综合运用，确定点B '在何位置时，B D '的值最小，注意得到B ,C ,D 在以A 为圆心，AB 为半径的圆上是解决问题的关键．10．（2022·辽宁·黑山县教师进修学校一模）阅读材料：如图①，ABC 与DEF 都是等腰直角三角形，90ACB EDF ∠=∠=︒，且点D 在AB 边上，AB 、EF 的中点均为O ，连接BF 、CD 、CO ，显然，点C 、F 、O 在同一条直线上，可以证明BOF COD V V ≌，所以BF CD =．解决问题：（1）将图①中的Rt DEF △绕点O 旋转到图②的位置，猜想此时线段BF 与CD 的数量关系，并证明你的结论．（2）如图③，若ABC 与DEF 都是等边三角形，AB 、EF 的中点均为O ，上述（1）中结论仍然成立吗？如果成立，请说明理由；如果不成立，请求出BF 与CD 之间的数量关系．（3）如图④，若ABC 与DEF 都是等腰三角形，AB 、EF 的中点均为O ，且顶角ACB EDF α∠=∠=，请直接写出BF 与CD 之间的数量关系（用含有α的式子表示出来）．【答案】（1）BF CD =；（2）不成立，BF CD =（3）tan 2BF CD α= 【解析】解：（1）猜想：BF CD =．理由如下：如答图②所示，连接OC 、OD ，∵ABC 为等腰直角三角形，点O 为斜边AB 的中点，∴OB OC =，90BOC ∠=°，∵DEF 为等腰直角三角形，点O 为斜边EF 的中点，∴OF OD =，90DOF ∠=︒，∵90BOF BOC COF COF ∠=∠+∠=︒+∠，90COD DOF COF COF ∠=∠+∠=︒+∠，∴BOF COD ∠=∠，在BOF 与COD △中，OB OC BOF COD OF OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴BOF COD V V ≌（SAS ）∴BF CD =；（2）不成立．如答图③所示，连接OC 、OD ，∵ABC 为等边三角形，点O 为边AB 的中点，∴tan 30OB OC =︒=90BOC ∠=°， ∵DEF 为等边三角形，点O 为边EF 的中点，∴tan 30OF OD =︒=90DOF ∠=︒，∴OB OF OC OD =， ∵90BOF BOC COF COF ∠=∠+∠=︒+∠，90COD DOF COF COF ∠=∠+∠=︒+∠，∴BOF COD ∠=∠，在BOF 与COD △中，∵OB OF OC OD =，BOF COD ∠=∠， ∴BOF COD V V ∽∴BF CD =；∴BF CD =；（3）tan 2BF CD α=．理由如下： 如答图④所示，连接OC 、OD ，∵ABC 为等腰三角形，点O 为底边AB 的中点， ∴tan 2OB OC α=，90BOC ∠=°， ∵DEF 为等腰三角形，点O 为底边EF 的中点， ∴tan 2OF OD α=，90DOF ∠=︒， ∴tan 2OB OF OC OD α==， ∵90BOF BOC COF COF ∠=∠+∠=︒+∠，90COD DOF COF COF ∠=∠+∠=︒+∠，∴BOF COD ∠=∠，在BOF 与COD △中， ∵tan 2OB OF OC OD α==，BOF COD ∠=∠， ∴BOF COD V V ∽ ∴tan 2BF CD α=．【点睛】本题是几何综合题，考查了旋转变换中相似三角形、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的三线合一的性质、锐角三角函数．解题关键是：第一，善于发现几何变换中不变的逻辑关系，即BOF COD V V ≌或BOF COD V V ∽；第二，熟练运用等腰直角三角形、等边三角形、等腰三角形的相关性质．本题（1）（2）（3）问的解题思路一脉相承，体现了由特殊到一般的解题思想方法．11．（2022·浙江嘉兴·一模）转化是解决数学问题常用的思想方法之一，它可以在数与数、数与形、形与形之间灵活应用．请解答下面的问题：如图1，在AOB 中，OA OB =，90AOB ∠=︒．【基础巩固】（1）将图1中AOB 绕点B 按顺时针方向旋转60°得到DCB （如图2），连结OC ．求证：OC OB =．【思考探究】（2）将图1中AOB 绕点B 按顺时针方向旋转60°并缩小得到DCB （如图3），使12BC BO =，连结OC ，AD ． ①求证：OBC ABD △△②用等式表示AD 与AB 之间的数量关系，并说明理由．【拓展延伸】（3）将图1中AOB 绕点B 按顺时针方向旋转某个角度（小于180°）并缩小得到DCB（如图4），使12BC BO =，连结OC ，AC ，AD ．当OC OB =时，求AC AD 的值．【答案】（1）证明见解析 ；（2）① 证明见解析；②AD AB =，理由见解析；（3）． 【解析】（1）证明：由旋转的性质得60OBC ∠=︒，OB CB =，∴OBC 为等边三角形，∴OC OB =．（2）①∵AOB 和DCB 都为等腰直角三角形∴OB BC AB BD ==60OBC ABD ∠=∠=︒ ∴OBC ABD △△∽．②AD AB =，理由如下：作CF OB ⊥于点F ，∵60OBC ABD ∠=∠=︒，∴12BF BC =，CF =， ∵12BC OB =，∴CF OF =， ∴30COF ∠=︒，∴90OCB ∠=︒∵OBC ABD △△∽，∴90OCB ADB ∠==︒， ∴sin 60AD AB ︒=，∴AD AB =．（3）解：延长AC 交BD 于点E ．∵OBC ABD ∠=∠，∴OB BC AB BD == ∴OBC ABD △△∽，∵OB OC =，∴AB AD =．∵BC DC =，AC AC =，∴ABC ADC △△≌，∴135ACD ACB ∠=∠=︒∴45BCE DCE ∠=∠=︒，∴90CEB ∠=︒设2BC a =，4OB a =，则AB =，CE BE ==，AE ==∴AC AD = 【点睛】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用以及勾股定理的知识，根据题意作出适当的辅助线是解题的关键．12．（2022·山东济南·一模）图1是边长分别为a 和()b a b >的两个等边三角形纸片ABC 和CDE △叠放在一起（C 与C '重合）的图形．(1)操作：固定ABC ，将CDE △绕点C 按顺时针方向旋转20°，连结AD ，BE ，如图2，则ECA ∠=______度，并直接写出线段BE 与AD 的数量关系____．(2)操作：若将图1中的CDE △，绕点C 按顺时针方向旋转120°，使点B 、C 、D 在同一条直线上，连结AD 、BE ，如图3．①线段BE 与AD 之间是否仍存在（1）中的结论？若是，请证明；若不是，请直接写出BE 与AD 之间的数量关系；②求APB ∠的度数．(3)若将图1中的CDE △，绕点C 按逆时针方向旋转一个角()0360αα<<︒，当α等于多少度时，BCD △的面积最大？请直接写出答案．【答案】(1)40，BE ＝AD(2)①存在，理由见详解；②60°(3)当α＝150°或330°时，BCD △的面积最大【解析】(1)∵△ABC 和△CDE 是等边三角形，∴BC ＝AC ，CE ＝CD ，∠BCA =60°，∵旋转20°∴∠BCE ＝∠ACD ＝20°，∴△CBE ≌△CAD （SAS ），∴BE ＝AD （全等三角形的对应边相等），∵ECA ∠=∠BCA －∠BCE∴ECA ∠=60°-20°=40°故答案为：40，BE ＝AD(2)如图1，①（1）中结论仍然成立，理由如下：∵△ABC 和△CDE 是等边三角形，BC ＝AC ，CE ＝CD ，∵∠BCE ＝∠ACD ＝120°，∴△CBE ≌△CAD （SAS ），∴BE ＝AD ；②∵△CBE≌△CAD，∴∠CBE＝∠CAD，又∠AOP＝∠BOC，∴∠APB＝∠ACB＝60°；(3)如图2，当D运动到D1或D2，即BC⊥D1D2S△BCD最大12BC CD =⋅12=ab，此时旋转角是60°+90°＝150°，或360°﹣30°＝330°，∴当α＝150°或330°．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质以及旋转等知识，解决问题的关键是找全等的对应边和对应角，题目属于中考常考题型．13．（2022·重庆·一模）在 ABC中，点D在边AB上，AE CD⊥于F交BC于E，AE CD=，2ACD BAE∠=∠．(1)如图1，若 ACE为等边三角形，2CD=，求AB的长；(2)如图2，作EG AB ⊥，求证：AD =；(3)如图3，作EG AB ⊥，当点D 与点G 重合时，连接BF ，请直接写出BF CE 的值．【答案】(2)见解析【解析】(1)∵△ACE 为等边三角形，∴∠CAE ＝∠ACB ＝∠CEA ＝60°，∵AE CD ⊥∴∠CAE +ACD ∠＝90°，∵2ACD BAE ∠=∠，∴∠CAE +2∠BAE ＝90°，∴∠BAE ＝15°，∴∠CBA ＝∠CEA ﹣∠BAE ＝60°﹣15°＝45°，如图，过点A 作AN ⊥BC 于点N ，∴△ABN 为等腰直角三角形，在等边△ACE 中，AN ＝sin 60°•AE 2∴AB ．(2)证明：如图，过点C 作CM ⊥AB 于点M ，设∠EAB ＝α，∵∠CAE +2∠BAE ＝90°，∴∠CAE ＝90°﹣2α，∵AE ⊥CD ，∴∠ACD ＝2α，∴∠CAB ＝90°﹣2α+α＝90°﹣α，∴∠ACM ＝α，∴CM 平分∠ACD ，∴AM ＝DM ＝12AD ，AC ＝CD ＝AE ，在△ACM 和△EAG 中， EGA AMC EAG ACM AE AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACM ≌△EAG （AAS ），∴EG ＝AM ，∴AD ＝2AM ＝2EG ，∵AC ＝AE ，∠CAE ＝90°﹣2α，∴∠CEA ＝45°+α，又∵∠CEA ＝∠B +∠EAG ，∴∠B ＝45°，∵EG ⊥AB ，∴△EBG 为等腰直角三角形，∴BEAMAD ． ∴AD．(3)如图，BF 与EC之间的数量关系为CE BF =过点F作FH⊥AB于点H，过点C作CM⊥AB于点M，设BD＝a，由（2）可知DE＝a，AD＝2a，AM＝DM＝a，∵DE∥CM，BD＝DM，∴BE＝CE，∵DE＝a，AD＝2a，∠ADE＝90°，∴AE，∵CD⊥AE，DE⊥AB，∴∠EFD＝∠ADE＝90°∴∠EDF＝∠DAE，∴△DEF∽△AED，∴DE AE EF DE=，∴a EF=∴EF a，∴AF，∴14 EFAF=，∴45 AFAE=．∵FH∥DE，∴△AFH∽△AED，∴45 FH AH AFDE AD AE===，∴FH＝48,55a AH=a，∴DH ＝2a ﹣85a ＝25a ， ∴BH ＝a +2755a =a ， ∴BF．∴BF CE == 【点睛】本题是三角形综合题，涉及特殊三角形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，锐角三角函数的运用，解题的关键是针对每一小问的条件构造合适的辅助线利用图形的性质和判定去证明．14．（2022·江苏·连云港市新海初级中学一模）将正方形ABCD 绕点A 逆时针旋α 到正方形AEFG ．(1)如图1，当0°＜α＜90°时，EF 与CD 相交与点H ．求证：DH ＝EH ；(2)如图2，当0°＜α＜90°，点F 、D 、B 正好共线时，①求∠AFB 度数；②若正方形ABCD 的边长为1，求CH 的长：(3)连接DE ， EC ，FC ．如图3，正方形AEFG 在旋转过程中，是否存在实数m 使AE 2＝DE 2＋mFC 2－EC 2总成立？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)见解析(2)②30°；1(3)存在，m =12【解析】(1)如图，连接AH ，正方形ABCD 绕点A 逆时针旋α 得到正方形AEFG ，,,AE AD D E AH AH ∴=∠=∠=，()Rt Rt HL AHE AHD ∴ ≌，HD HE ∴=，(2)①如图，连接AC ，交BD 于点O ，连接BE ，EC ，正方形ABCD 绕点A 逆时针旋α 到正方形AEFG ，AF AC ∴=，12AO AC =，AO OD ⊥， 12AF AF ∴=， 点F 、D 、B 共线，AO OF ∴⊥，1sin sin 2AO AFB AFO AF ∴∠=∠==，30AFB ∴∠=︒，②如图，过点E 作EK CD ⊥，交DC 于点K ，交AB 于点L ，则四边形ALKD 是矩形，45ADB AFD FAD ∠=︒=∠+∠ ，30AFB ∠=︒，15FAD ∴∠=︒，45FAE ∠=︒ ，30DAE ∴∠=︒，60EAB ∴∠=︒，AE AB =Q ，AEB ∴ 是等边三角形，LE AE ∴==12AL LB DK KC ====，1EK LK LE ∴=-= 由（1）可得EH HD =，设DH a =，则1,2EH a HK a ==-， Rt EKH 中，222EH HK EK =+，即222112a a ⎛⎛⎫=-+ ⎪ ⎝⎭⎝，解得2a =， ∴2DH =，(121CH DC DH =-=-=∴，(3) 存在，12m =，理由如下，如图，连接,,,,AC AF BE FC DE ，过点E 作MN BC ∥，交AB 于点N ，交CD 于M ， 正方形AEFG 是由正方形ABCD 旋转而成，,AF AC AB AE ∴==，BAE CAF ∠=∠BAE CAF ∴ ∽BE AB CF AC ∴==2212BE CF ∴= 90ENB EMC ∴∠=∠=︒∴四边形BCMN 是矩形，四边形ANMD 是矩形BN MC ∴=，AN DM =∴,NBE EMC 是直角三角形∴222BE NE NB =+222BE NE MC ∴=+222222222,,AE AN NE DE EM DM EC EM MC =+=+=+ ，DM AN =222AE EC DE ∴+-()222222AN NE EM MC EM DM =+++-+222222AN NE EM MC EM DM =+++--22NE MC =+22NE NB =+=2BE2212BE FC = 222AE EC DE ∴+-212FC =即222212AE DE FC EC =+- AE 2＝DE 2＋mFC 2－EC 2∴12m = 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，根据特殊角的三角函数值求角度，相似三角形的性质与判定，勾股定理，全等的性质与判定，等边三角形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键．15．（2022·安徽六安·一模）如图1，在正方形ABCD 中，E 为AD 边上一点，CO ⊥BE 交AB 于F ．EF 交CB 延长线于G ．(1)当E 为AD 中点时，求证：BC ＝2BG ；(2)如图2，当BG ＝BC 时，求证：2AE AF AB =⋅；(3)在（2）的条件下，连接OD ，求tan ∠EOD 的值．【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】(1)证明：∵四边形ABCD 为正方形，∴∠A ＝∠ABC =90°，AB =BC ，∵CF ⊥BE ，∴∠FCB +∠EBC ＝∠EBC +∠ABE =90°，∴∠FCB ＝∠ABE ，又AB ＝BC ，∠A ＝∠FBC ，∴AEB BFC △△≌（ASA ），∴BF ＝AE ，∵E 为AD 中点， ∴12AE AD =， ∴F 为AB 中点，∴AE ＝AF ，∴∠AFE ＝45°，∴∠GFB =∠AFE ＝45°，∴∠G ＝90°-45°＝45°， ∴12BF BG BC ==， 即BC ＝2BG ；(2)证明：∵BG ＝BC ，BF ⊥CG ，∴FG ＝FC ，∴∠G ＝∠FCG ，∵AE CG ∥，∴∠AEF ＝∠G ，∴∠AEF ＝∠FCG ，又∠A ＝∠ABC =90°，∴AEF BCF △△∽， ∴AF AE BF BC=， ∴AE •BF ＝AF •BC ，由（1）可知，AEB BFC △△≌，∴AE ＝BF ，AB ＝BC ，∴2AE AF AB =⋅；(3)解：如图，延长OE 、CD 交于P 点，连接CE ，∵∠PDE ＝∠POC =90°，又∠P ＝∠P ，∴PDE POC △△∽， ∴PD PE PO PC=， 又∠P ＝∠P ，∴POD PCE △△∽，∴∠EOD ＝∠ECD ，设AE ＝x ，AB ＝1，则AF ＝1-x ，由（2）可得2AE AF AB =⋅，∴()211x x =-⨯，解得1x =2x =，∴1DE AF ===，∴tan DE ECD DC ∠==即tan EOD ∠=． 【点睛】本题考查正方形的几何综合，涉及的知识点有全等三角形的判定和性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，正切值的求解等知识点，综合性较强，属于压轴类题目． 16．（2022·辽宁沈阳·一模）如图1，在ABC 中，AB AC =，AO BC ⊥于点O ，5AB =，6BC =，在ABC 的外部以AB 为边作等边ABD △，点E 是线段AO 所在直线上一动点（点E 不与点A 重合），将线段BE 绕点B 顺时针方向旋转60°得到线段BF ，连接EF ．(1)求AO 的长；(2)如图2，当点E 在线段AO 上，且点F ，E ，C 三点在同一条直线上时，求BF 的长；(3)连接DF ，若BDF 的面积为3，请直接写出BF 的长．【答案】(1)4(2)或(1)AB AC = ，AO BC ⊥，6BC =13,902OB BC AOB ∴==∠=︒ 5AB =4OA ∴==(2)将线段BE 绕点B 顺时针方向旋转60°得到线段BF ,60BE BF EF EBF ∴==∠=︒BEF ∴∆是等边三角形BE EF ∴=，60F BEF ∠=∠=︒,OA BC OB OC ⊥=OA ∴是线段BC 的垂直平分线BE CE ∴=BE CE EF ∴==30ECB EBC ∴∠=∠=︒90CBF ∴∠=︒6BC =tan 6tan 306BF BC BCF ∴=⋅∠=⨯︒==(3)①当点E 在线段AO 上时，将线段BE 绕点B 顺时针方向旋转60°得到线段BF ,60BE BF EF EBF ∴==∠=︒BEF ∴∆是等边三角形,60BE BF EBF ∴=∠=︒ABD △为等边三角形,60BA BD ABD ∴=∠=︒ABE DBF ∴∠=∠()ABE DBF SAS ∴∆≅∆ABE BDF S S ∆∆∴=BDF 的面积为3132ABE S OB AE ∆∴==⋅⋅ 3OB =2AE ∴=422OE OA AE ∴=-=-=在Rt OBE ∆中，由勾股定理得BE ==BF ∴=②当点E 在线段OA 延长线上时，同①可得2AE =426OE OA AE ∴=+=+=在Rt OBE ∆中，由勾股定理得BE ===BF ∴=③当点E 在线段AO 延长线上时，同①可得2AE =，不合题意，舍去综上，BF ．【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、解直角三角形等，熟练掌握并能够灵活运用知识点是解题的关键．17．（2022·安徽芜湖·二模）如图．P 是菱形ABCD 的对角线BD 上一点，E 是BC 边上一点，EAP ABD AE ∠=∠，交BD 于点F ．(1)求证： ∽ABP FBE ；(2)过点P 作PH AE ⊥于点H ，若34=AP AD ，求AH BD的值．【答案】(1)证明见解析(2)38(1)证明：∵四边形ABCD 是菱形∴ABD CBD ∠=∠∵EAP ABD ∠=∠∴EAP CBD ∠=∠∵AFP BFE ∠=∠，180EBF BFE BEF ∠+∠+∠=︒，180FAP AFP APF ∠+∠+∠=︒ ∴BEF APF ∠=∠∵PBA EBF ∠=∠，BPA BEF ∠=∠∴ ∽ABP FBE ．(2)解：如图，作AM BD ⊥∵四边形ABCD 是菱形∴AB AD =，12BM DM BD ==，90BMA ∠=︒ ∵PH AE ⊥∴90AHP BMA ∠=︒=∠∵HAP MBA ∠=∠∴APH BAM ∽ ∴AP AH AB BM = ∴34AP AH AP AB BM AD === ∴1332248AH AH BD BM ==⨯= ∴AH BD 的值为38． 【点睛】 本题考查了菱形的性质，对顶角相等，三角形内角和定理，相似三角形的判定与性质等知识．解题的关键在于熟练掌握菱形的性质，相似三角形的判定与性质．18．（2022·广东广州·一模）如图，矩形ABCD中AB=10，AD=6，点E为AB边上的动点（不与A，B重合），把△ADE沿DE翻折，点A的对应点为G，延长EG交直线DC于点F，再把△BEH沿EH翻折，使点B的对应点T落在EF上，折痕EH交直线BC于点H．(1)求证：△GDE∽△TEH；(2)若点G落在矩形ABCD的对称轴上，求AE的长；(3)是否存在点T落在DC边上？若存在，求出此时AE的长度，若不存在，请说明理由．【答案】(1)见解析(2)AE的长为；(3)不存在这样的点T落在DC边上．理由见解析【解析】(1)证明：由折叠的性质可知：∠DAE=∠DGE=90°，∠EBH=∠ETH=90°，∠AED=∠GED，∠BEH=∠TEH，∴∠DEG+∠HET=90°．又∵∠HET+∠EHT=90°，∴∠DEG=∠EHT，∴△GDE∽△TEH；(2)解：当点G落在如图的矩形ABCD的对称轴MN上时，∵直线MN是矩形ABCD的对称轴，∴点G是EF的中点，即GE=GF，在△GDE和△GDF中90DG DG DGE DGF GE GF =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△GDE ≌△GDF （SAS ），∴DE =DF ，∠FDG =∠EDG ，又∵△ADE ≌△GDE ，∠ADF =90°．∴∠ADE =∠EDG =∠FDG =30°，∴AE =AD当点G 落在如图的矩形ABCD 的对称轴PQ 上时，P 、Q 分别是AB 、CD 的中点，∴DQ =AP =5，DG =AD =PQ =6，∴QG=，∴PG，设AE =a ，则GE =a ，PE =5-a ，∴GE 2=PE 2+PG 2，即a 2=(5-a )2)2，解得：aAE； 综上，AE 的长为(3)解：假设存在点T 落在DC 边上，此时点T 与点F 重合，过点T 作TI ⊥AB 于点I ，如图：设AE =x ，则GE =x ，BE =TE =10-x ，TI =AD =DG =6，∴GT =10-2x ，∴DT 2= DG 2+TG 2，即DT∵∠IET =∠GTD ，∴sin ∠IET =TI DG ET DT=，即610x =-，10x =-，整理得3x 2-20x +36=0，∵()224204336b ac =-=--⨯⨯= -32<0，∴不存在这样的点T 落在DC 边上．【点睛】本题考查翻折变换、相似三角形证明、全等三角形的判定和性质、勾股定理、解直角三角形，矩形的性质等知识，解（2）题的关键是要注意分类讨论．19．（2022·上海市进才中学一模）已知：AB =5，tan ∠ABM =34，点 C 、D 、E 为动点，其中点 C 、D 在射线 BM 上（点 C 在点 D 的左侧），点 E 和点 D 分别在射线 BA 的两侧，且 AC =AD ，AB =AE ，∠CAD =∠BAE ．(1)当点 C 与点 B 重合时（如图 1），联结 ED ，求 ED 的长；(2)当 EA BM 时（如图 2），求四边形 AEBD 的面积；(3)联结 CE ，当△ACE 是等腰三角形时，求点 B 、C 间的距离．【答案】(1)485(2)15(3)3 【解析】 (1) （1)如图1中，图一延长BA 交DE 于F ，作AH ⊥BD 于H ．在Rt ΔABH 中，∵∠AHB =90°，∴sin ∠ABH =35AHAB =∴AH =3， BH=4，∵AB = AD ， AH ⊥BD ，在ΔABE 和ΔABD 中，AE ADBAE BADAB AB=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ΔABD ≌ΔABE ，∴BE =BD ，∵∠ABE =∠ABD ，∴BF ⊥DE ， EF =DF ，∵∠ABH = ∠DBF ，∠AHB =<BFD ，∴ΔABH ≌ΔDBF ， ∴AH ABDF BD =,∴DF =245，∴DE =2DF =485．(2)如图2中，图二作AH ⊥BD 于H ，∵AC =AD ， AB =AE ，∠CAD = ∠BAE ，∴∠AEB =∠ABE =∠ACD =∠ADC ，∵AE //BD ，∴∠AEB +∠EBD =180°，∴∠EBD +∠ADC =180°，∴EB ∥AD ，∵AE ∥BD ，∴四边形ADBE 是平行四边形，∴BD =AE =AB =5，AH =3，∴ADBE S 平行四边形=BD ·AH =15．(3)由题意AC ≠AE ，EC ≠AC ，只有EA =EC ，图三∵∠ACD =∠AEB (已证），∴A 、C 、B 、E 四点共圆，∵AE =EC =AB ，∴ EC AB =，∴ EB AC =，∴∠AEC =∠ABC ，。

中考数学几何压轴题及答案及答案

中考数学几何压轴题及答案及答案

中考数学几何压轴题及答案一、解答题（共30小题）1.观察猜想（1）如图①，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝3，点D与点A重合，点E在边BC上，连接DE，将线段DE绕点D顺时针旋转90°得到线段DF，连接BF，BE与BF的位置关系是，BE+BF＝；探究证明（2）在（1）中，如果将点D沿AB方向移动，使AD＝1，其余条件不变，如图②，判断BE与BF的位置关系，并求BE+BF的值，请写出你的理由或计算过程；拓展延伸（3）如图③，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点D在边BA的延长线上，BD＝n，连接DE，将线段DE绕着点D顺时针旋转，旋转角∠EDF＝α，连接BF，则BE+BF的值是多少？请用含有n，α的式子直接写出结论2.在△ABC的边BC上取B′、C′两点，使∠AB′B＝∠AC′C＝∠BAC（1）如图1中∠BAC为直角，∠BAC＝∠AB′B＝∠AC′C＝90°（点B′与点C′重合），则△ABC∽△B'BA∽△C'AC，，，进而可得AB2+AC2＝；（2）如图2中当∠BAC为锐角，图3中∠BAC为钝角时（1）中的结论还成立吗？若不成立，则AB2+AC2等于什么（用含用BC和B′C′的式子表示）？并说明理由（3）若在△ABC中，AB＝5，AC＝6，BC＝9，请你先判断出△ABC的类型，再求出B′C′的长3．（1）问题发现如图1，在Rt△ABC和Rt△CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝45°，点D是线段AB上一动点，连接BE填空：①的值为；②∠DBE的度数为．（2）类比探究如图2，在Rt△ABC和Rt△CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝60°，点D是线段AB上一动点，连接BE．请判断的值及∠DBE的度数，并说明理由；（3）拓展延伸如图3，在（2）的条件下，将点D改为直线AB上一动点，其余条件不变，取线段DE 的中点M，连接BM、CM，若AC＝2，则当△CBM是直角三角形时，线段BE的长是多少？请直接写出答案．4.（1）问题发现：如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC的中点，以点D为顶点作正方形DFGE，使点A、C分别在DE和DF上，连接BE、AF．则线段BE 和AF数量关系．（2）类比探究：如图②，保持△ABC固定不动，将正方形DFGE绕点D旋转α（0°＜α≤360°），则（1）中的结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．（3）解决问题：若BC＝DF＝2，在（2）的旋转过程中，连接AE，请直接写出AE的最大值．5.如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，以点O为顶点的∠EOF的两边分别与边AB、AD交于点E、F，且∠EOF与∠BAD互补．（1）若四边形ABCD是正方形，则线段OE与OF有何数量关系？请直接写出结论；（2）若四边形ABCD是菱形，那么（1）中的结论是否成立？若成立，请画出图形并给出证明；若不成立，请说明理由；（3）若AB：AD＝m：n，探索线段OE与OF的数量关系，并证明你的结论.6.如图（1），已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为点E，GF⊥CD，垂足为点F.（1）证明与推断：①求证：四边形CEGF是正方形；②推断：的值为：（2）探究与证明：将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图（2）所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展与运用：正方形CEGF在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长CG交AD于点H．若AG＝6，GH＝2，则BC＝．7.如图1，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，点D、E分别是AC、BC的中点，连接DE.定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．探索发现：图1中，的值为；的值为．（2）拓展探完若将△CDE绕点C逆时针方向旋转一周，在旋转过程中的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．（3）问题解决当△CDE旋转至A，D，E三点共线时，直接写出线段BE的长．8.已知△ABC是边长为4的等边三角形，边AB在射线OM上，且OA＝6，点D是射线OM上的动点，当点D不与点A重合时，将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，连接DE，设OD＝m．（1）问题发现如图1，△CDE的形状是三角形．（2）探究证明如图2，当6＜m＜10时，△BDE的周长是否存在最小值？若存在，求出△BDE周长的最小值；若不存在，请说明理由．（3）解决问题是否存在m的值，使△DEB是直角三角形？若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．9.等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝4，AE＝2，其中△ABC固定，△ADE绕点A作360°旋转，点F、M、N分别为线段BE、BC、CD 的中点，连接MN、NF．问题提出：（1）如图1，当AD在线段AC上时，则∠MNF的度数为，线段MN 和线段NF的数量关系为；深入讨论：（2）如图2，当AD不在线段AC上时，请求出∠MNF的度数及线段MN和线段NF的数量关系；拓展延伸：（3）如图3，△ADE持续旋转过程中，若CE与BD交点为P，则△BCP面积的最小值为．10．四边形是我们在学习和生活中常见的图形，而对角线互相垂直的四边形也比较常见，比如筝形、菱形、图1中的四边形ABCD等．它们给我们的学习和生活带来了很多的乐趣和美感．（1）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，则AC与BD的位置关系是，请说明理由．（2）试探究图1中四边形ABCD的两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系，请写出证明过程．（3）问题解决：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG 和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知AC＝4，AB＝5，求GE的长．11．问题发现：如图（1）在Rt△ABC和Rt△BDE中，∠A＝∠DEB＝30°，BC＝BE＝6，Rt△BDE绕点B逆时针旋转，H为CD的中点，当点C与点E重合时，BH与AE的位置关系为，BH与AE的数量关系为；问题证明：在Rt△BDE绕点B旋转的过程中，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请就图（2）的情形给出证明若不成立，请说明理由；拓展应用：在Rt△BDE绕点B旋转的过程中，当DE∥BC时，请直接写出BH2的长．12．如图1，菱形ABCD与菱形GECF的顶点C重合，点G在对角线AC上，且∠BCD＝∠ECF＝60°，（1）问题发现的值为；（2）探究与证明将菱形GECF绕点C按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜60°），如图2所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展与运用：菱形GECF在旋转过程中，当点A，G，F三点在一条直线上时，如图3所示连接CG并延长，交AD于点H，若CE＝2，GH＝，则AH的长为．13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，＝，CD⊥AB于点D，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线BC于点F．（1）探究发现：如图1，若m＝n，点E在线段AC上，则＝；（2）数学思考：①如图2，若点E在线段AC上，则＝（用含m，n的代数式表示）；②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明；（3）拓展应用：若AC＝，BC＝2，DF＝4，请直接写出CE的长．14．如图，已知点E是射线BC上的一点，以BC、CE为边作正方形ABCD和正方形CEFG，连接AF，取AF的中点M，连接DM、MG（1）如图1，判断线段DM和GM的数量关系是，位置关系是；（2）如图2，在图中的正方形CEFG绕点C逆时针旋转的过程中，其他条件不变，（1）中的结论是否成立？说明理由；（3）已知BC＝10，CE＝2，正方形CEFG绕点C旋转的过程中，当A、F、E共线时，直接写出△DMG的面积．15.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝，AC＝2，过点B作直线m∥AC，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A′B′C（点A，B的对应点分别为A'，B′），射线CA′，CB′分别交直线m于点P，Q．（1）如图1，当P与A′重合时，求∠ACA′的度数；（2）如图2，设A′B′与BC的交点为M，当M为A′B′的中点时，求线段PQ的长；（3）在旋转过程中，当点P，Q分别在CA′，CB′的延长线上时，试探究四边形P A'B′Q的面积是否存在最小值．若存在，求出四边形P A′B′Q的最小面积；若不存在，请说明理由．16.如图（1），在等边三角形ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接BE，CD，点M，N，P分别是BE，CD，BC的中点，连接DE，PM，PN，MN．（1）观察猜想，图（1）中△PMN是（填特殊三角形的名称）（2）探究证明，如图（2），△ADE绕点A按逆时针方向旋转，则△PMN的形状是否发生改变？并就图（2）说明理由．（3）拓展延伸，若△ADE绕点A在平面内自由旋转，AD＝2，AB＝6，请直接写出△PMN 的周长的最大值．17.已知△ABC，AB＝AC，D为直线BC上一点，E为直线AC上一点，AD＝AE，设∠BAD＝α，∠CDE＝β，（1）如图1，若点D在线段BC上，点E在线段AC上．∠ABC＝60°，∠ADE＝70°，则α＝°；β＝°.（2）如图2，若点D在线段BC上，点E在线段AC上，则α，β之间有什么关系式？说明理由．（3）是否存在不同于（2）中的α，β之间的关系式？若存在，请写出这个关系式（写出一种即可），说明理由；若不存在，请说明理由.18.问题提出：（1）如图1，在四边形ABCD中，连接AC、BD，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，将△ABC绕点A逆时针旋转90°，得到△ADE，点B的对应点落在点D，点C的对应点为点E，可知点C、D、E在一条直线上，则△ACE为三角形，BC、CD、AC的数量关系为；探究发现：（2）如图2，在⊙O中，AB为直径，点C为的中点，点D为圆上一个点，连接AD、CD、AC、BC、BD，且AD＜BD，请求出CD、AD、BD间的数量关系.拓展延伸：（3）如图3，在等腰直角三角形ABC中，点P为AB的中点，若AC＝13，平面内存在一点E，且AE＝10，CE＝13，当点Q为AE中点时，PQ＝.19.已知△ABC中，CA＝CB，0°＜∠ACB≤90°，点M、N分别在边CA，CB上（不与端点重合），BN＝AM，射线AG∥BC交BM延长线于点D，点E在直线AN上，EA＝ED．（1）【观察猜想】如图1，点E在射线NA上，当∠ACB＝45°时，①线段BM与AN的数量关系是；②∠BDE的度数是；（2）【探究证明】如图2点E在射线AN上，当∠ACB＝30°时，判断并证明线段BM与AN的数量关系，求∠BDE的度数；（3）【拓展延伸】如图3，点E在直线AN上，当∠ACB＝60°时，AB＝3，点N是BC 边上的三等分点，直线ED与直线BC交于点F，请直接写出线段CF的长．20.如图①，在正方形ABCD和正方形AB'C'D'中，AB＝2，AB'＝，连接CC’（1）问题发现：．（2）拓展探究：将正方形AB'C'D'绕点A逆时针旋转，记旋转角为θ，连接BB'，试判断：当0°≤θ＜360°时，的值有无变化？请仅就图②中的情形给出你的证明；（3）问题解决：请直接写出在旋转过程中，当C，C′，D'三点共线时BB′的长．21.如图1，在正方形ABCD中，点O是对角线BD的中点．（1）观察猜想将图1中的△BCD绕点O逆时针旋转至图2中△ECF的位置，连接AC，DE，则线段AC与DE的数量关系是，直线AC与DE的位置关系是．（2）类比探究将图2中的△ECF绕点O逆时针旋转至图3的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由．（3）拓展延伸将图2中的△ECF在平面内旋转，设直线AC与DE的交点为M，若AB＝4，请直接写出BM的最大值与最小值．22.如图1，点B在直线l上，过点B构建等腰直角三角形ABC，使∠BAC＝90°，且AB＝AC，过点C作CD⊥直线l于点D，连接AD．（1）小亮在研究这个图形时发现，∠BAC＝∠BDC＝90°，点A，D应该在以BC为直径的圆上，则∠ADB的度数为°，将射线AD顺时针旋转90°交直线l于点E，可求出线段AD，BD，CD的数量关系为；（2）小亮将等腰直角三角形ABC绕点B在平面内旋转，当旋转到图2位置时，线段AD，BD，CD的数量关系是否变化，请说明理由；（3）在旋转过程中，若CD长为1，当△ABD面积取得最大值时，请直接写AD的长．23．如图1，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合，三角板的一边交CD于点F．另一边交CB的延长线于点G．（1）观察猜想：线段EF与线段EG的数量关系是；（2）探究证明：如图2，移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立．请说明理由：（3）拓展延伸：如图3，将（2）中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且使三角板的一边经过点B，其他条件不变，若AB＝a、BC＝b，求的值．24．如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝2，BC＝1，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE．将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．（1）问题发现①当α＝0°时，＝；②当α＝180°时，＝．（2）拓展探究试判断：当0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明．（3）问题解决当△EDC旋转至A、B、E三点共线时，直接写出线段BD的长．25.在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD上一动点，设DE＝nEA，连接CE并延长，交AB于点F．（1）尝试探究如图（1），当∠BAC＝90°，∠B＝30°，DE＝EA时，BF，BA之间的数量关系是；（2）类比延伸如图（2），当△ABC为锐角三角形，DE＝EA时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）拓展迁移如图（3），当△ABC为锐角三角形，DE＝nEA时，请直接写出BF，BA之间的数量关系．26.古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”．请研究如下美丽的圆．如图，线段AB是⊙O的直径，延长AB至点C，使BC＝OB，点E是线段OB的中点，DE ⊥AB交⊙O于点D，点P是⊙O上一动点（不与点A，B重合），连接CD，PE，PC．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）小明在研究的过程中发现是一个确定的值．回答这个确定的值是多少？并对小明发现的结论加以证明．27．定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．（1）如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角，若∠A＝α，请用含α的代数式表示∠E．（2）如图2，四边形ABCD内接于⊙O，＝，四边形ABCD的外角平分线DF交⊙O 于点F，连结BF并延长交CD的延长线于点E．求证：∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．（3）如图3，在（2）的条件下，连结AE，AF，若AC是⊙O的直径．①求∠AED的度数；②若AB＝8，CD＝5，求△DEF的面积．28.【性质探究】如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAC，交BC于点E．作DF⊥AE于点H，分别交AB，AC于点F，G．（1）判断△AFG的形状并说明理由．（2）求证：BF＝2OG．【迁移应用】（3）记△DGO的面积为S1，△DBF的面积为S2，当＝时，求的值．【拓展延伸】（4）若DF交射线AB于点F，【性质探究】中的其余条件不变，连结EF，当△BEF的面积为矩形ABCD面积的时，请直接写出tan∠BAE的值．29．如图，已知AC为正方形ABCD的对角线，点P是平面内不与点A，B重合的任意一点，连接AP，将线段AP绕点P顺时针旋转90°得到线段PE，连接AE，BP，CE．（1）求证：△APE∽△ABC；（2）当线段BP与CE相交时，设交点为M，求的值以及∠BMC的度数；（3）若正方形ABCD的边长为3，AP＝1，当点P，C，E在同一直线上时，求线段BP 的长．30．如图1和图2，在△ABC中，AB＝AC，BC＝8，tan C＝．点K在AC边上，点M，N 分别在AB，BC上，且AM＝CN＝2．点P从点M出发沿折线MB﹣BN匀速移动，到达点N时停止；而点Q在AC边上随P移动，且始终保持∠APQ＝∠B．（1）当点P在BC上时，求点P与点A的最短距离；（2）若点P在MB上，且PQ将△ABC的面积分成上下4：5两部分时，求MP的长；（3）设点P移动的路程为x，当0≤x≤3及3＜x≤9时，分别求点P到直线AC的距离（用含x的式子表示）；（4）在点P处设计并安装一扫描器，按定角∠APQ扫描△APQ区域（含边界），扫描器随点P从M到B再到N共用时36秒．若AK＝，请直接写出点K被扫描到的总时长．参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．【解答】解：（1）如图①中，∵∠EAF＝∠BAC＝90°，∴∠BAF＝∠CAE，∵AF＝AE，AB＝AC，∴△BAF≌△CAE，∴∠ABF＝∠C，BF＝CE，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠C＝45°，∴∠FBE＝∠ABF+∠ABC＝90°，BC＝BE+EC＝BE+BF，故答案为：BF⊥BE，BC．（2）如图②中，作DH∥AC交BC于H．∵DH∥AC，∴∠BDH＝∠A＝90°，△DBH是等腰直角三角形，由（1）可知，BF⊥BE，BF+BE＝BH，∵AB＝AC＝3，AD＝1，∴BD＝DH＝2，∴BH＝2，∴BF+BE＝BH＝2；（3）如图③中，作DH∥AC交BC的延长线于H，作DM⊥BC于M．∵AC∥DH，∴∠ACB＝∠H，∠BDH＝∠BAC＝α，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB∴∠DBH＝∠H，∴DB＝DH，∵∠EDF＝∠BDH＝α，∴∠BDF＝∠HDE，∵DF＝DE，DB＝DH，∴△BDF≌△HDE，∴BF＝EH，∴BF+BE＝EH+BE＝BH，∵DB＝DH，DM⊥BH，∴BM＝MH，∠BDM＝∠HDM，∴BM＝MH＝BD•sin．∴BF+BE＝BH＝2n•sin．2．【解答】解：（1）如图1中，∵△ABC∽△B'BA∽△C'AC，∴＝，＝，∴AB2＝BB′×BC，AC2＝CC′×BC，∴AB2+AC2＝BC（BB′+CC′）＝BC×BC＝BC2，故答案为BC2．（2）不成立．理由：如图2中当∠BAC为锐角时，BB′+CC′﹣B′C′＝BC，且△ABC∽△B'BA∽△C'AC，∴∴＝，＝，∴AB2＝BB′×BC，AC2＝CC′×BC，∴AB2+AC2＝BC（BB′+CC′）＝BC2+BC•B′C′．图3中∠BAC为钝角时，BB′+CC′+B′C′＝BC．AB2+AC2＝BC（BB′+CC′）＝BC2﹣BC•B′C′．（3）当AB＝5，AC＝6，BC＝9时，则AB2+AC2＜BC2，可知△ABC为钝角三角形，由图3可知：AB2+AC2＝BC2﹣BC•B′C′，∴52+62＝92﹣9B′C′，∴B′C′＝．3．【解答】解：（1）∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝45°，∴∠ABC＝∠CAB＝45°＝∠CDE＝∠CED，∴AC＝BC，CD＝CE，∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE＝AD，∠CAB＝∠CBE＝45°，∴∠DBE＝∠ABC+∠CBE＝90°，＝1，故答案为：1，90°（2），∠DBE＝90°理由如下：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝60°，∴∠ACD＝∠BCE，∠CED＝∠ABC＝30°∴tan∠ABC＝tan30°＝＝∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝60°，∴Rt△ACB∽Rt△DCE∴∴，且∠ACD＝∠BCE∴△ACD∽△BCE∴＝，∠CBE＝∠CAD＝60°∴∠DBE＝∠ABC+∠CBE＝90°（3）若点D在线段AB上，如图，由（2）知：＝，∠ABE＝90°∴BE＝AD∵AC＝2，∠ACB＝90°，∠CAB＝90°∴AB＝4，BC＝2∵∠ECD＝∠ABE＝90°，且点M是DE中点，∴CM＝BM＝DE，∵△CBM是直角三角形∴CM2+BM2＝BC2＝（2）2，∴BM＝CM＝∴DE＝2∵DB2+BE2＝DE2，∴（4﹣AD）2+（AD）2＝24∴AD＝+1∴BE＝AD＝3+若点D在线段BA延长线上，如图同理可得：DE＝2，BE＝AD∵BD2+BE2＝DE2，∴（4+AD）2+（AD）2＝24，∴AD＝﹣1∴BE＝AD＝3﹣综上所述：BE的长为3+或3﹣4．【解答】解：（1）∵△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC的中点，∴AD＝BD＝DC，∠BDA＝90°，∵四边形DFGE是正方形，∴DE＝DF，∠EDF＝90°，∴∠BDE＝∠ADF＝90°，在△BDE和△ADF中，，∴△BDE≌△ADF（SAS），∴BE＝AF故答案为：BE＝AF；（2）成立；理由如下：当正方形DFGE在BC的上方时，如图②所示，连接AD，∵在Rt△ABC中，AB＝AC，D为斜边BC的中点，∴AD＝BD，AD⊥BC，∴∠ADE+∠EDB＝90°，∵四边形DFGE为正方形，∴DE＝DF，且∠EDF＝90°，∴∠ADE+∠ADF＝90°，∴∠BDE＝∠ADF，在△BDE和△ADF中，，∴△BDE≌△ADF（SAS），∴BE＝AF；当正方形DFGE在BC的下方时，连接AD，如图③所示：∵∠BDE＝∠BDF+90°，∠ADF＝∠BDF+90°，∴∠BDE＝∠ADF，在△BDE和△ADF中，，∴△BDE≌△ADF（SAS），∴BE＝AF；综上所述，（1）中的结论BE＝AF成立；（3）在△ADE中，∵AE＜AD+DE，∴当点A、D、E共线时，AE取得最大值，最大值为AD+DE．如图④所示：则AD＝BC＝1，DE＝DF＝2，∴AE＝AD+DE＝3，即AE的最大值为3．5．【解答】解：（1）如图1，过点O作OM⊥AB于M，ON⊥AD于N，∴∠OME＝∠ONF＝90°，∴∠BAD+∠MON＝180°，∵∠BAD+∠EOF＝180°，∴∠MON＝∠EOF，∴∠EOM＝∠FON，∵O是正方形ABCD的对角线的交点，∴∠BAO＝∠DAO，∵OM⊥AB，ON⊥AD，∴OM＝ON，∴△OME≌△ONF（AAS）∴OE＝OF；（2）（1）的结论成立；理由：如图2，过点O作OM⊥AB于M，ON⊥AD于N，∴∠OME＝∠ONF＝90°，∴∠BAD+∠MON＝180°，∵∠BAD+∠EOF＝180°，∴∠MON＝∠EOF，∴∠EOM＝∠FON，∵O是菱形ABCD的对角线的交点，∴∠BAO＝∠DAO，∵OM⊥AB，ON⊥AD，∴OM＝ON，∴△OME≌△ONF（AAS）∴OE＝OF；（3）如图3，过点O作OG⊥AB于G，OH⊥AD于H，∴∠OGE＝∠OHF＝90°，∴∠BAD+∠GOH＝180°，∵∠BAD+∠EOF＝180°，∴∠GOH＝∠EOF，∴△EOG∽△FOH，∴，∵O是▱ABCD的对角线的交点，∴S△AOB＝S△AOD，∵S△AOB＝AB•OG，S△AOD＝AD•OH，∴AB•OG＝AD•OH，∴＝，∴．6．【解答】解：（1）①∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，∠BCA＝45°，∵GE⊥BC、GF⊥CD，∴∠CEG＝∠CFG＝∠ECF＝90°，∴四边形CEGF是矩形，∠CGE＝∠ECG＝45°，∴EG＝EC，∴四边形CEGF是正方形；②由①知四边形CEGF是正方形，∴∠CEG＝∠B＝90°，∠ECG＝45°，∴＝，GE∥AB，∴＝＝，故答案为：；（2）连接CG，由旋转性质知∠BCE＝∠ACG＝α，在Rt△CEG和Rt△CBA中，＝cos45°＝、＝cos45°＝，∴＝＝，∴△ACG∽△BCE，∴＝＝，∴线段AG与BE之间的数量关系为AG＝BE；（3）∵∠CEF＝45°，点B、E、F三点共线，∴∠BEC＝135°，∵△ACG∽△BCE，∴∠AGC＝∠BEC＝135°，∴∠AGH＝∠CAH＝45°，∵∠CHA＝∠AHG，∴△AHG∽△CHA，∴＝＝，设BC＝CD＝AD＝a，则AC＝a，则由＝得＝，∴AH＝a，则DH＝AD﹣AH＝a，CH＝＝a，∴＝得＝，解得：a＝3，即BC＝3，故答案为：3．7．【解答】解：（1）如图1，连接AE，∵AB＝AC＝2，点E分别是BC的中点，∴AE⊥BC，∴∠BEC＝90°，∵AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，在Rt△ABE中，AE＝AB＝1，根据勾股定理得，BE＝∵点E是BC的中点，∴BC＝2BE＝2，∴＝＝，∵点D是AC的中点，∴AD＝CD＝AC＝1，∴＝＝，故答案为：，；（2）无变化，理由：由（1）知，CD＝1，CE＝BE＝，∴＝，，∴＝，由（1）知，∠ACB＝∠DCE＝30°，∴∠ACD＝∠BCE，∴△ACD∽△BCE，∴，（3）当点D在线段AE上时，如图2，过点C作CF⊥AE于F，∠CDF＝180°﹣∠CDE＝60°，∴∠DCF＝30°，∴DF＝CD＝，∴CF＝DF＝，在Rt△AFC中，AC＝2，根据勾股定理得，AF＝＝，∴AD＝AF+DF＝，由（2）知，，∴BE＝AD＝当点D在线段AE的延长线上时，如图3，过点C作CG⊥AD交AD的延长线于G，∵∠CDG＝60°，∴∠DCG＝30°，∴DG＝CD＝，∴CG＝DG＝，在Rt△ACG中，根据勾股定理得，AG＝，∴AD＝AG﹣DG＝，由（2）知，，∴BE＝AD＝即：线段BE的长为或．8．【解答】解：（1）证明：∵将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，∴∠DCE＝60°，DC＝EC，∴△CDE是等边三角形；故答案为：等边；（2）存在，当6＜t＜10时，由旋转的性质得，BE＝AD，∴C△DBE＝BE+DB+DE＝AB+DE＝4+DE，由（1）知，△CDE是等边三角形，∴DE＝CD，∴C△DBE＝CD+4，由垂线段最短可知，当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，此时，CD＝2，∴△BDE的最小周长＝CD+4＝2+4；（3）存在，①∵当点D与点B重合时，D，B，E不能构成三角形，∴当点D与点B重合时，不符合题意，②当0≤m＜6时，由旋转可知，∠ABE＝60°，∠BDE＜60°，∴∠BED＝90°，由（1）可知，△CDE是等边三角形，∴∠DEB＝60°，∴∠CEB＝30°，∵∠CEB＝∠CDA，∴∠CDA＝30°，∵∠CAB＝60°，∴∠ACD＝∠ADC＝30°，∴DA＝CA＝4，∴OD＝OA﹣DA＝6﹣4＝2，∴m＝2；③当6＜m＜10时，由∠DBE＝120°＞90°，∴此时不存在；④当m＞10时，由旋转的性质可知，∠DBE＝60°，又由（1）知∠CDE＝60°，∴∠BDE＝∠CDE+∠BDC＝60°+∠BDC，而∠BDC＞0°，∴∠BDE＞60°，∴只能∠BDE＝90°，从而∠BCD＝30°，∴BD＝BC＝4，∴OD＝14，∴m＝14，综上所述：当m＝2或14时，以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形．9．【解答】解：（1）如图1中，连接DB，MF，CE，延长BD交EC于H．∵AC＝AB，AE＝AD，∠BAD＝∠CAE＝90°，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝EC，∠ACE＝∠ABD，∵∠ABD+∠ADB＝90°，∠ADB＝∠CDH，∴∠ADH+∠DCH＝90°，∴∠CHD＝90°，∴EC⊥BH，∵BM＝MC，BF＝FE，∴MF∥EC，MF＝EC，∵CM＝MB，CN＝ND，∴MN∥BD，MN＝BD，∴MN＝MF，MN⊥MF，∴∠NMF＝90°，∴∠MNF＝45°，NF＝MN．故答案为：45°（2）：如图2中，连接MF，EC，BD．设EC交AB于O，BD交EC于H．∵AC＝AB，AE＝AD，∠BAD＝∠CAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝EC，∠ACE＝∠ABD，∵∠AOC+∠ACO＝90°，∠AOC＝∠BOH，∴∠OBH+∠BOH＝90°，∴∠BHO＝90°，∴EC⊥BD，∵BM＝MC，BF＝FE，∴MF∥EC，MF＝EC，∵CM＝MB，CN＝ND，∴MN∥BD，MN＝BD，∴MN＝MF，MN⊥MF，∴∠NMF＝90°，∴∠MNF＝45°，NF＝MN．（3）：如图3中，如图以A为圆心AD为半径作⊙A．当直线PB与⊙A相切时，此时∠CBP的值最小，点P到BC的距离最小，即△BCP的面积最小，∵AD＝AE，AB＝AC，∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ACE＝∠ABD，BD＝EC，∵∠ABD+∠AOB＝90°，∠AOB＝∠CPO，∴∠CPB＝90°，∵PB是⊙A的切线，∴∠ADP＝90°，∵∠DPE＝∠ADP＝∠DAE＝90°，∴四边形ADPE是矩形，∵AE＝AD，∴四边形ADPE是正方形，∴AD＝AE＝PD＝PE＝2，BD＝EC＝＝2，∴PC＝2﹣2，PB＝2+2，∴S△BCP的最小值＝×PC×PB＝（2﹣2）（2+2）＝4．10．【解答】（1）解：AC⊥BD，理由如下：连接AC、BD，如图2所示：∵AB＝AD，∴点A在线段BD的垂直平分线上，∵CB＝CD，∴点C在线段BD的垂直平分线上，∴直线AC是线段BD的垂直平分线，∴AC⊥BD，故答案为：AC⊥BD；（2）解：AD2+BC2＝AB2+CD2；理由如下：如图1，已知四边形ABCD中，AC⊥BD，设BD、AC相交于E，∵AC⊥BD，∴∠AED＝∠AEB＝∠BEC＝∠CED＝90°，由勾股定理得，AD2+BC2＝AE2+DE2+BE2+CE2，AB2+CD2＝AE2+BE2+CE2+DE2，∴AD2+BC2＝AB2+CD2；（3）解：如图3，连接CG、BE，∵四边形ACFG和四边形ABDE是正方形，∴AC＝AG，AB＝AE，∠CAG＝∠BAE＝90°，∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，在△GAB和△CAE中，，∴△GAB≌△CAE（SAS），∴∠ABG＝∠AEC，又∠AEC+∠AME＝90°，∴∠ABG+∠AME＝90°，即CE⊥BG，由（2）得，CG2+BE2＝CB2+GE2，在Rt△ABC中，AC＝4，AB＝5，根据勾股定理得，BC2＝52﹣42＝9，∵CG和BE分别是正方形ACFG和正方形ABDG的对角线，∴CG2＝42+42＝32，BE2＝52+52＝50，∴GE2＝CG2+BE2﹣CB2＝32+50﹣9＝73，∴GE＝．11．【解答】解：问题发现：如图1中，结论：AE＝2BH，AE⊥BH．理由：在Rt△ABC中，∵BC＝6，∠A＝30°，∴AE＝2BC＝12，在Rt△CDB中，∵∠DCB＝30°，∴CD＝＝4，∵CH＝DH，∴BH＝CD＝2，∴＝＝2，∴AE＝2BH．故答案为AE⊥BH，AE＝2BH．问题证明：如图2中，（1）中结论成立．理由：延长BH到F使得HF＝BH，连接CF．设AE交BF于O．∵CH＝DH，BH＝HF，∠CHF＝∠BHD，∴△CHF≌△DHB（SAS），∴BD＝CF，∠F＝∠DBH，∴CF∥BD，∵AB＝BC，BE＝BD，∴BE＝CF，∴＝＝，∵CF∥BD，∴∠BCF+∠CBD＝180°，∵∠ABC+∠DBE＝∠ABD+∠CBD+∠CBD+∠CBE＝∠CBD+∠ABE＝180°，∴∠BCF＝∠ABE，∴△ABE∽△BCF，∴∠CBF＝∠BAE，＝＝，∴AE＝BF＝2BH，∵∠CBF+∠ABF＝90°，∴∠ABF+∠BAE＝90°，∴∠AOB＝90°，∴BH⊥AE．拓展应用：如图3﹣1中，当DE在BC的下方时，延长AB交DE于F．∵DE∥BC∴∠ABC＝∠BFD＝90°，由题意BC＝BE＝6，AB＝6，BD＝2，DE＝4，∵•BD•BE＝•DE•BF，∴BF＝＝3，∴EF＝BF＝3，∴AF＝6+3，∴AE2＝AF2+EF2＝（6+3）2+（3）2＝144+36．∵AE＝2BH，∴AE2＝12BH2，∴BH2＝12+3如图3﹣2中，当DE在BC的上方时，同法可得AF＝6﹣3，EF＝3，∴BH2＝＝（＝12﹣3．12．【解答】解：（1）如图1中，作EH⊥CG于H．∵四边形ECFG是菱形，∠ECF＝60°，∴∠ECH＝∠ECF＝30°，EC＝EG，∵EH⊥CG，∴GH＝CG，∴＝cos30°＝，∴＝2•＝，∵EG∥CD，AB∥CD，∴GE∥AB，∴＝＝．故答案为．（2）结论：AG＝BE．理由：如图2中，连接CG．∵四边形ABCD，四边形ECFG都是菱形，∠ECF＝∠DCB＝60°，∴∠ECG＝∠EGC＝∠BCA＝∠BAC＝30°，∴△ECG∽△BCE，∴＝，∵∠ECB＝∠GCA，∴△ECB∽△GCA，∴＝＝，∴AG＝BE．（3）如图3中，∵∠AGH＝∠CGF＝30°．∠AGH＝∠GAC+∠GCA，又∵∠DAC＝∠HAG+∠GAC＝30°，∴∠HAG＝∠ACH，∵∠AHG＝∠AHC，∴△HAG∽△HCA，∴HA：HC＝GH：HA，∴AH2＝HG•HC，∴FC＝2，CG＝CF，∴GC＝2，∵HG＝，∴AH2＝HG•HC＝•3＝9，∵AH＞0，∴AH＝3．故答案为3．13．【解答】解：（1）当m＝n时，即：BC＝AC，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠ABC＝90°，∵CD⊥AB，∴∠DCB+∠ABC＝90°，∴∠A＝∠DCB，∵∠FDE＝∠ADC＝90°，∴∠FDE﹣∠CDE＝∠ADC﹣∠CDE，即∠ADE＝∠CDF，∴△ADE∽△CDF，∴，∵∠A＝∠DCB，∠ADC＝∠BDC＝90°，∴△ADC∽△CDB，∴＝1，∴＝1（2）①∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠ABC＝90°，∵CD⊥AB，∴∠DCB+∠ABC＝90°，∴∠A＝∠DCB，∵∠FDE＝∠ADC＝90°，∴∠FDE﹣∠CDE＝∠ADC﹣∠CDE，即∠ADE＝∠CDF，∴△ADE∽△CDF，∴，∵∠A＝∠DCB，∠ADC＝∠BDC＝90°，∴△ADC∽△CDB，∴，∴②成立．如图，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠ABC＝90°，又∵CD⊥AB，∴∠DCB+∠ABC＝90°，∴∠A＝∠DCB，∵∠FDE＝∠ADC＝90°，∴∠FDE+∠CDE＝∠ADC+∠CDE，即∠ADE＝∠CDF，∴△ADE∽△CDF，∴，∵∠A＝∠DCB，∠ADC＝∠BDC＝90°，∴△ADC∽△CDB，∴，∴．（3）由（2）有，△ADE∽△CDF，∵＝，∴＝，∴CF＝2AE，在Rt△DEF中，DE＝2，DF＝4，∴EF＝2，①当E在线段AC上时，在Rt△CEF中，CF＝2AE＝2（AC﹣CE）＝2（﹣CE），EF＝2，根据勾股定理得，CE2+CF2＝EF2，∴CE2+[2（﹣CE）]2＝40∴CE＝2，或CE＝﹣（舍）而AC＝＜CE，∴此种情况不存在，②当E在AC延长线上时，在Rt△CEF中，CF＝2AE＝2（AC+CE）＝2（+CE），EF＝2，根据勾股定理得，CE2+CF2＝EF2，∴CE2+[2（+CE）]2＝40，∴CE＝，或CE＝﹣2（舍），③如图1，当点E在CA延长线上时，CF＝2AE＝2（CE﹣AC）＝2（CE﹣），EF＝2，根据勾股定理得，CE2+CF2＝EF2，∴CE2+[2（CE﹣）]2＝40，∴CE＝2，或CE＝﹣（舍）即：CE＝2或CE＝．14．【解答】解：（1）如图1，延长GM交AD于H，∵AD∥GF，∴∠GFM＝∠HAM，在△FMG和△AMH中，，∴△FMG≌△AMH（ASA），∴HM＝GM，AH＝FG，∵AD＝CD，AH＝FG＝CG，∴DH＝DG，∵∠HDG＝90°，HM＝GM，∴DM＝MG，DM⊥MG，故答案为DM＝MG，DM⊥MG．（2）结论成立：DM＝MG，DM⊥MG，理由：如图2中，延长GM使得MH＝GM，连接AH、DH、DG，延长AD交GF的延长线于N，交CD于O．∵AM＝MF，∠AMH＝∠FMG，MH＝MG，∴△AMH≌△FMG（SAS），∴AH＝GF＝CG，∠AHM＝∠FGM，∴AH∥GN，∴∠HAD＝∠N，∵∠ODN＝∠OGC＝90°，∠DON＝∠GOC，∴∠N＝∠OCG，∴∠HAD＝∠DCG，∵AH＝CG，AD＝CD，∴△HAD≌△GCD（SAS），∴DH＝DG，∠HDA＝∠CDG，∴∠HDG＝∠ADC＝90°，∴△HDG是等腰直角三角形，∵MH＝MG，∴DM⊥GH，DM＝MH＝MG，（3）①如图3﹣1中，连接AC．在Rt△ABC中，AC＝＝10，在Rt△ACE中，AE＝＝14，∴AF＝AE＝EF＝14﹣2＝12，∴FM＝AM＝AF＝6，在Rt△MGF中，MG＝＝2，∴S△DMG＝×2×2＝20，②如图3﹣2中，连接AC．同法可得AE＝14，AF＝16，FM＝8，MG＝＝2，∴S△DMG＝×2×2＝34，综上所述，满足条件的△DMG的面积为20或34．15．【解答】解：（1）由旋转可得：AC＝A'C＝2，∵∠ACB＝90°，AB＝，AC＝2，∴BC＝，∵∠ACB＝90°，m∥AC，∴∠A'BC＝90°，∴cos∠A'CB＝＝，∴∠A'CB＝30°，∴∠ACA'＝60°；（2）∵M为A'B'的中点，∴∠A'CM＝∠MA'C，由旋转可得，∠MA'C＝∠A，∴∠A＝∠A'CM，∴tan∠PCB＝tan∠A＝，∴PB＝BC＝，∵∠PCQ＝∠PBC＝90°，∴∠BQC+∠BPC＝∠BCP+∠BPC＝90°，∴∠BQC＝∠BCP＝∠A，∴tan∠BQC＝tan∠A＝，∴BQ＝BC×＝2，∴PQ＝PB+BQ＝；（3）∵S四边形P A'B′Q＝S△PCQ﹣S△A'CB'＝S△PCQ﹣，∴S四边形P A'B′Q最小，即S△PCQ最小，∴S△PCQ＝PQ×BC＝PQ，法一：（几何法）取PQ的中点G，∵∠PCQ＝90°，∴CG＝PQ，即PQ＝2CG，当CG最小时，PQ最小，∴CG⊥PQ，即CG与CB重合时，CG最小，∴CG min＝，PQ min＝2，∴S△PCQ的最小值＝3，S四边形P A'B′Q＝3﹣；法二（代数法）设PB＝x，BQ＝y，由射影定理得：xy＝3，∴当PQ最小时，x+y最小，∴（x+y）2＝x2+2xy+y2＝x2+6+y2≥2xy+6＝12，当x＝y＝时，“＝”成立，∴PQ＝+＝2，∴S△PCQ的最小值＝3，S四边形P A'B′Q＝3﹣．16．【解答】解：（1）结论：△PMN是等边三角形．理由：如图1中，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠ABC＝∠ACB＝60°，∵AD＝AE，∴BD＝EC，∵PB＝PC，CN＝ND，BM＝EM，∴PN∥BD，PM∥EC，PN＝BD，PM＝EC，∴PM＝PN，∠NPC＝∠ABC＝60°，∠MPB＝∠ACB＝60°，∴∠MPN＝60°，∴△PMN是等边三角形，故答案为等边三角形．（2）△PMN的形状不发生改变，仍为等边三角形，理由如下：如图2中，连接BD，CE．由旋转可得∠BAD＝∠CAE，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠ACB＝∠ABC＝60°又∵AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，∵M是BE的中点，P是BC的中点，∴PM是△BCE的中位线，∴PM＝，且PM∥CE．同理可证PN＝BD且PN∥BD，∴PM＝PN，∠MPB＝∠ECB，∠NPC＝∠DBC，∴∠MPB+∠NPC＝∠ECB+∠DBC＝（∠ACB+∠ACE）+（∠ABC﹣∠ABD）＝∠ACB+∠ABC＝120°，∴∠MPN＝60°，∴△PMN是等边三角形．（3）∵PM＝EC，∴当EC最大时，等边△PMN的周长最大，∵EC≤AE+AC，∴EC≤8，∴PM≤4，∴PM的最大值为4，∴△PMN的周长的最大值为12．17．【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠ABC＝60°，∴∠BAC＝60°，∵AD＝AE，∠ADE＝70°，∴∠DAE＝180°﹣2∠ADE＝40°，∴α＝∠BAD＝60°﹣40°＝20°，∴∠ADC＝∠BAD+∠ABD＝60°+20°＝80°，∴β＝∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝10°，故答案为：20，10；（2）设∠ABC＝x，∠AED＝y，∴∠ACB＝x，∠AED＝y，在△DEC中，y＝β+x，在△ABD中，α+x＝y+β＝β+x+β，∴α＝2β；（3）①当点E在CA的延长线上，点D在线段BC上，如图1设∠ABC＝x，∠ADE＝y，∴∠ACB＝x，∠ACE＝y，在△ABD中，x+α＝β﹣y，在△DEC中，x+y+β＝180°，∴α＝2β﹣180°，②当点E在CA的延长线上，点D在CB的延长线上，如图2，同①的方法可得α＝180°﹣2β．18．【解答】解：（1）由旋转变换的性质可知，∠CAE＝90°，AC＝AE，∴△ACE为等腰直角三角形，∴CE＝AC，∵CE＝CD+DE＝CD+BC，∴BC+CD＝AC，故答案为：等腰直角；BC+CD＝AC；（2）延长CO交⊙O于E，连接AE、BE、DE，则∠CDE＝90°，∵点C为的中点，∴点E为的中点，∴EA＝EB，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，由（1）得，DE＝（AD+BD），由勾股定理得，CD2＝CE2﹣DE2＝AD2+BD2﹣（AD+BD）2＝（AD﹣BD）2，∴CD＝（BD﹣AD）；（3）如图3，当点E在直线AC的左侧时，连接CQ、PC，∵CA＝CB，点P为AB的中点，∴CP⊥AB，∵CA＝CE，点Q为AE中点，∴CQ⊥AE，AQ＝QE＝AE＝5，∴由勾股定理得，CQ＝＝12，由（1）得，AQ+CQ＝PQ，。

2023年中考数学真题汇编几何综合压轴问题专项练习(共40题)(解析版)

2023年中考数学真题汇编几何综合压轴问题专项练习(共40题)(解析版)

几何综合压轴问题专项练习答案（40题）(1)将CDE 绕顶点C 旋转一周，请直接写出点M ，N 距离的最大值和最小值；(2)将CDE 绕顶点C 逆时针旋转120︒（如图2），求MN 【答案】(1)最大值为3，最小值为1(2)7【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线，得出,CM CN 解；（2）过点N 作NP MC ⊥，交MC 的延长线于点P ，根据旋转的性质求得进而可得1CP =，勾股定理解Rt ,Rt NCP MCP ，即可求解．【详解】（1）解：依题意，112CM DE ==，12CN AB =当M 在NC 的延长线上时，,M N 的距离最大，最大值为（2）解：如图所示，过点N 作NP MC ⊥，交MC 的延长线于点∵CDE 绕顶点C 逆时针旋转∴120BCE ∠=︒，∵45BCN ECM ∠=∠=︒，∴MCN BCM ECM ∠=∠-∠=∴60NCP ∠=︒，∴30CNP ∠=︒，∴112CP CN ==，在Rt CNP 中，2NP NC =-在Rt MNP △中，MP MC CP =+∴2234MN NP MP =+=+【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，旋转的性质，含(1)如图1，求证：DE BF =；(2)如图2，若2AD BF =，的延长线恰好经过DE 的中点【答案】(1)见解析(2)22BE =+△∵点G 是DE 的中点，∴GH 是FCD 的中位线，∴11122GH CD AD ===，设BE a =，则CH EH ==(1)如图1，求AB边上的高CH的长．''．(2)P是边AB上的一动点，点,C D同时绕点P按逆时针方向旋转90︒得点,C D①如图2，当点C'落在射线CA上时，求BP的长．△是直角三角形时，求BP的长．②当AC D''∴90C PQ PC Q '∠+∠='︒∵90C PQ CPH ∠+∠='︒∴PC Q CPH ∠=∠'．由旋转知PC PC '=，设C D ''与射线BA 的交点为作CH AB ⊥于点H ．∵PC PC ⊥'，∴90CPH TPC ∠'+∠=︒，∵C D AT ''⊥，∴90PC T TPC ∠'+∠='︒，【答案】（1）①见解析；②AD DF BD =+，理由见解析；【分析】（1）①证明：ABE CBD ∠=∠，再证明ABE ≅△可得DF DC =．证明AE DF =，从而可得结论；（2）如图，过点B 作BE AD ⊥于点E ，得90BED ∠=︒，证明2DE BD =，证明2AB BC =，ABE CBD ∠=∠，可得②AD DF BD=+．理由如下：∵DF和DC关于AD对称，=．∴DF DC=，∵AE CD∴AE DF=．∴AD AE DE DF BD=+=+∵DF 和DC 关于AD 对称，∴DF DC =，ADF ADC ∠=∠．∵CD BD ⊥，∴45ADF ADC ∠=∠=︒，∴45EBD ∠=︒．∴2DE BD =．∵AB AC AF ==，∴()11222HF BF BD DF ==-=，222262210BC BD CD =+=+=∴2221022AF AC BC ===⨯=25HF (2)知识应用：如图2Y是菱形；①求证：ABCD②延长BC至点E，连接OE交【答案】(1)见解析5∴1BG BO GC OD==，∴115222CG BC AD ===，∴552OF GC ．处从由60PC P C PCP ''=∠=︒，，可知PCP '△为①三角形，故PP PC '=，又P A PA ''=，故PA PB PC PA PB PP A B '''++=++≥，由②可知，当B ，P ，P '，A 在同一条直线上时，PA PB PC ++取最小值，如图2，最小值为(3)如图5，设村庄A ，B ，C 的连线构成一个三角形，且已知4km 23km AC BC ==，，建一中转站P 沿直线向A ，B ，C 三个村庄铺设电缆，已知由中转站P 到村庄A ，B ，C 元/km ，a 元/km ，2a 元/km ，选取合适的P 的位置，可以使总的铺设成本最低为___________用含的式子表示）∵ACP A CP ''∠=∠，∴ACP BCP A CP BCP ∠+∠=∠+∠''又∵60PCP '∠=︒过点A '作A H BC '⊥，垂足为H ，∵60ACB ∠=︒，90ACA '∠=︒，∴30A CH '∠=︒，1猜想证明：(1)如图2，试判断四边形AEDG的形状，并说明理由．问题解决；(2)如图3，将图2中左侧折叠的三角形展开后，重新沿MN折叠，使得顶点B与点∵1122 CHGS CH HG=⋅=∴154302CG HE⋅=⨯=，①求证：PD PB =；②将线段DP 绕点P 逆时针旋转，化时，DPQ ∠的大小是否发生变化？请说明理由；③探究AQ 与OP 的数量关系，并说明理由．【答案】（1）①见解析；②不变化，（2）AQ CP =，理由见解析【分析】（1）①根据正方形的性质证明②作,PM AB PN AD ⊥⊥，垂足分别为点∵四边形ABCD 是正方形，∴45DAC BAC ∠=∠=︒，∴四边形AMPN 是矩形，∴90MPN ∠=︒，∵四边形ABCD 是正方形，∴45BAC ∠=︒，90AOB ∠=∴45AEP ∠=︒，四边形OPEF=作PM AB⊥于点M，则QM MB=，∴QA BE=．∴AQ CP（1）求BCF ∠的度数；（2）求CD 的长．深入探究：（3）若90BAC ∠<︒，将BMN 绕点B 顺时针旋转α，得到BEF △，连接AE ，CF 满足0360α︒<<︒，点,,C E F 在同一直线上时，利用所提供的备用图探究BAE ∠与ABF ∠的数量关系，并说明理由．【答案】初步尝试：（1）1MN AC =；MN AC ∥；（2）特例研讨：（1）30BCF ∠=︒；（2）CD∵MN 是BAC 的中位线，∴MN AC ∥，∴90BMN BAC ∠=∠=︒∵将BMN 绕点B 顺时针旋转α∴,BE BM BF BN ==；BEF ∠=∵点,,A E F 在同一直线上时，2∵,ADN BDE ANB BED ∠=∠∠=∠∴ADN BDE ∽,∴2222DN AN DE BE ===,设DE x =，则2DN x =，在Rt ABE △中，2,2BE AE ==在Rt ADN △中，22AD DN AN =+∵AB AC =，∴A ABC CB =∠∠，设ABC ACB θ∠=∠=，则1802BAC θ∠=︒-，∵MN 是ABC 的中位线，∴MN AC∥∴MNB MBN θ∠=∠=，∵将BMN 绕点B 顺时针旋转α，得到BEF △，∴EBF MBN ≌，MBE NBF α∠=∠=，∴EBF EFB θ∠=∠=∴1802BEF θ∠=︒-，∵点,,C E F 在同一直线上，∴2BEC θ∠=∴180BEC BAC ∠+∠=︒，∴,,,A B E C 在同一个圆上，∴EAC EBC αθ∠=∠=-∴()()1802BAE BAC EAC θαθ∠=∠-∠=︒---180αθ=︒--∵ABF αθ∠=+，∴180BAE ABF ∠∠=+︒；如图所示，当F 在EC 上时，∵,BEF BAC BC BC∠=∠=∴,,,A B E C 在同一个圆上，设ABC ACB θ∠=∠=，则1802BAC BEF θ∠=∠=︒-，将BMN 绕点B 顺时针旋转α，得到BEF △，设NBF β∠=，则EBM β∠=，则360αβ+=︒，∴ABF θβ∠=-，∵BFE EBF θ∠=∠=,EFB FBC FCB∠=∠+∠∴ECB FCB EFB FBC θβ∠=∠=∠-∠=-，∵ EBEB =∴EAB ECB θβ∠=∠=-∴BAE ∠ABF=∠综上所述，BAE ABF ∠=∠或180BAE ABF ∠∠=+︒【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形对角互补，相似三角形的性质与判定，旋转的性质，中位线的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．10．（2023·湖北黄冈·统考中考真题）【问题呈现】CAB △和CDE 都是直角三角形，90,,ACB DCE CB mCA CE mCD ∠=∠=︒==，连接AD ，BE ，探究AD ，BE 的位置关系．(1)如图1，当1m =时，直接写出AD ，BE 的位置关系：____________；(2)如图2，当1m ≠时，（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．【拓展应用】(3)当3,47,4m AB DE ===时，将CDE 绕点C 旋转，使,,A D E 三点恰好在同一直线上，求（2）解：成立；理由如下：∵90DCE ACB ∠=∠=︒，∴DCA ACE ACE ∠+∠=∠+（3）解：当点E 在线段AD设AD y =，则AE AD DE =+根据解析（2）可知，DCA △∴3BE BC m AD AC===，勾股定理，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法，画出相应的图形，注意分类讨论．(1)若点P 在AB 上，求证：A P AP '=；(2)如图2．连接BD ．①求CBD ∠的度数，并直接写出当180n =时，x 的值；②若点P 到BD 的距离为2，求tan A MP '∠的值；∵PM 平分A MA '∠∴90PMA ∠=︒∴PM AB∥∴DNM DBA V V ∽∴DN DM MN DB DA BA ==∵8,6,90AB DA A ==∠=︒，∴2226BD AB AD =+=+∴2103sin 3BQ BP DBA ===∠，∵90PQB CBD DAB ∠=∠=∠=︒，∴90QPB PBQ DBA ∠=︒-∠=∠，∵A MP AMP ' ≌，∴90PA M A '∠=∠=︒，（2）如图②，在矩形ABCD 的BC 边上取一点E ，将四边形ABED 沿DE 翻折，使点B '处，若24,6BC CE AB ⋅==，求BE 的值；（3）如图③，在ABC 中，45,BAC AD BC ∠=︒⊥，垂足为点,10,D AD AE ==于点F ，连接DF ，且满足2DFE DAC ∠=∠，直接写出53BD EF +的值．∵EF BC ∥，∴2CDF DFE ∠=∠=∴CDH FDH ∠=∠，又∵DH DH =，CHD ∠∴(ASA CHD FHD ≌【点睛】本题考查矩形的性质、翻折性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、锐角三角函数等知识，综合性强，较难，属于中考压轴题，熟练掌握相关知识的联系与运用，添加辅助线求解是解答的关键．13．（2023·湖南郴州·=，连接点E，使CE AD(1)如图1，当点D在线段AB上时，猜测线段CF与BD的数量关系并说明理由；(2)如图2，当点D在线段AB的延长线上时，①线段CF与BD的数量关系是否仍然成立？请说明理由；②如图3，连接AE．设4AB=，若AEB DEB∠=∠，求四边形BDFC的面积．【答案】(1)1CF BD=，理由见解析∴60,ADG ABC AGD ∠=∠=︒∠=∠∴ADG △为等边三角形，∴AD AG DG ==，∵AD CE =，AD AB AG AC -=-∴DG CE =，BD CG =，于点由①知：ADG △为等边三角形，∵ABC 为等边三角形，∴4,AB AC BC BH CH =====∴2223AH AB BH =-=，(1)若正方形ABCD 的边长为2，E 是AD 的中点．①如图1，当90FEC ∠=︒时，求证：AEF DCE ∽△△；②如图2，当2tan 3FCE ∠=时，求AF 的长；(2)如图3，延长CF ，DA 交于点G ，当1,sin 3GE DE FCE =∠=时，求证：，可得结论；正方形ABCD 中，①ADC BAD ∠=∠ ∴AEF CED ∠+∠=AEF ECD ∴∠=∠，延长DA ，CF 交于点G ，作GH CE ⊥，垂足为H ，90EDC EHG ∠=∠=︒ 且∠问题探究：(1)先将问题特殊化，如图（2），当90α=︒时，直接写出GCF ∠的大小；(2)再探究一般情形，如图（1），求GCF ∠与α的数量关系．问题拓展：(3)将图（1）特殊化，如图（3），当120α=︒时，若12DG CG =，求BE CE 的值．故答案为：45︒．（2）解：在AB上截取ANABC BAE AEB∠+∠+∠=∠=∠，ABC AEF22⎝⎭（3）解：过点A作CD的垂线交CD的延长线于点【点睛】此题考查菱形性质、三角形全等、三角形相似，解题的关键是熟悉菱形性质、三角形全等、三角形相似．16．（2023·山西·统考中考真题）问题情境：“综合与实践沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为∠=∠=︒∠=∠．将ABCACB DEF A D90,和DFE△(1)数学思考：谈你解答老师提出的问题；(2)深入探究：老师将图2中的DBE绕点B逆时针方向旋转，使点问题．∠①“善思小组”提出问题：如图3，当ABE②“智慧小组”提出问题：如图AH的长．请你思考此问题，直接写出结果．【答案】(1)正方形，见解析(2)①AM BE=，见解析；【分析】（1）先证明四边形形；∠（2）①由已知ABE【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角函数、勾股定理等知识点，适当添加的辅助线、构造相似三角形是解题的关键．17．（2023·湖北十堰·统考中考真题）过正方形E ，连接AE ，直线AE 交直线(1)如图1，若25CDP ∠=︒，则DAF ∠=___________(2)如图1，请探究线段CD ，EF ，AF 之间的数量关系，并证明你的结论；(3)在DP 绕点D 转动的过程中，设AF a =，EF 【答案】(1)20︒。

2024年中考数学重难点押题预测《几何最值问题综合》含答案解析

2024年中考数学重难点押题预测《几何最值问题综合》含答案解析

几何最值问题综合1、2、3、4、题型一1.“两定一动”型将军饮马：①异侧型→直接连接，交点即为待求动点；后用勾股定理求最值②同侧型→对称、连接；后续同上2.“两定两动”型：①同侧型→先水平平移(往靠近对方的方向)、再对称、最后连接；也可先对称、再水平平移(往靠近对方的方向)、最后连接；后续同上。

同侧型异侧型②异侧型→先水平平移(往靠近对方的方向)、再连接；后续同上。

【1(2023•泸州)如图，E，F是正方形ABCD的边AB的三等分点，P是对角线AC上的动点，当PE+PF取得最小值时，APPC的值是　27　．【分析】找出点E 关于AC 的对称点E '，FE '与AC 的交点P '即为PE +PF 取得最小值时P 的位置AP P C的值即可．【E 关于AC 的对称点E '，FE '交AC 于点P '，PE '，∴PE =PE '，∴PE +PF =PE '+PF ≥E 'F ，故当PE +PF 取得最小值时P 位于点P '处∴当PE +PF 取得最小值时AP PC的值AP P C 的值即可．∵正方形ABCD 是关于AC 所在直线轴对称∴点E 关于AC 所在直线对称的对称点E '在AD 上AE '=AE ，过点F 作FG ⊥AB 交AC 于点G ，则∠GFA =90°，∵四边形ABCD 是正方形∴∠DAB =∠B =90°，∠CAB =∠ACB =45°，∴FG ∥BC ∥AD ，∠AGF =∠ACB =45°，∴GF =AF ，∵E ，F 是正方形ABCD 的边AB 的三等分点∴AE '=AE =EF =FB ，∴GC =13AC ，AE GF =AE AF=12，∴AG =23AC ，AP P C =AE GF =12，∴AP '=13AG =13×23AC =29AC ，∴P 'C =AC -AP '=AC -29AC =79AC ，∴AP P C =29AC 79AC =27，故答案为27．2(2023•德州)如图，在四边形ABCD 中，∠A =90°，AD ∥BC ，AB =3，BC =4，点E 在AB 上，且AE =1．F ，G 为边AD 上的两个动点，且FG =1．当四边形CGFE 的周长最小时，CG 的长为　154　．【分析】先确定FG 和EC 的长为确定的值，得到四边形CGFE 的周长最小时，即为CG +EF 最小时，平移CG 到C 'F ，作点E 关于AD 对称点E '，连接E 'C '交AD 于点G '，得到CG +EF 最小时，点G 与G '重合，再利用平行线分线段成比例求出C 'G '长即可．【解答】解：∵∠A =90°，AD ∥BC ，∴∠B =90°，∵AB =3，BC =4，AE =1，∴BE =AB -AE =3-1=2，在Rt △EBC 中，由勾股定理，得EC =BE 2+BC 2=22+42=25，∵FG =1，∴四边形CGFE 的周长=CG +FG +EF +EC =CG +EF +1+25，∴四边形CGFE 的周长最小时，只要CG +EF 最小即可．过点F 作FC '∥GC 交BC 于点C '，延长BA 到E '，使AE '=AE =1，连接E 'F ，E 'C '，E 'C '交AD 于点G '，可得AD 垂直平分E 'E ，∴E 'F =EF ，∵AD ∥BC ，∴C 'F =CG ，CC '=FG =1，∴CG +EF =C 'F +E 'F ≥E 'C '，即CG +EF 最小时，CG =C 'G '，∵E 'B =AB +AE '=3+1=4，BC '=BC -CC '=4-1=3，由勾股定理，得E 'C '=E B 2+BC 2=42+32=5，∵AG '∥BC '，∴C G E C =AB E B ，即C G 5=34，解得C 'G '=154，即四边形CGFE 的周长最小时，CG 的长为154．故答案为：154．3(2023•绥化)如图，△ABC 是边长为6的等边三角形，点E 为高BD 上的动点．连接CE ，将CE 绕点C 顺时针旋转60°得到CF ．连接AF ，EF ，DF ，则△CDF 周长的最小值是　3+33　．【分析】分析已知，可证明△BCE≌△ACF，得∠CAF=∠CBE=30°，可知点F在△ABC外，使∠CAF= 30°的射线AF上，根据将军饮马型，求得DF+CF的最小值便可求得本题结果．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC=6，∠ABC=∠BCA=60°，∵∠ECF=60°，∴∠BCE=60°-∠ECA=∠ACF，∵CE=CF，∴△BCE≌△ACF(SAS)，∴∠CAF=∠CBE，∵△ABC是等边三角形，BD是高，∴∠CBE=12∠ABC=30°，CD=12AC=3，过C点作CG⊥AF，交AF的延长线于点G，延长CG到H，使得GH=CG，连接AH，DH，DH与AG交于点I，连接CI，FH，则∠ACG=60°，CG=GH=12AC=3，∴CH=AC=6，∴△ACH为等边三角形，∴DH=CD•tan60°=33，AG垂直平分CH，∴CI=HI，CF=FH，∴CI+DI=HI+DI=DH=33，CF+DF=HF+DF≥DH，∴当F与I重合时，即D、F、H三点共线时，CF+DF的值最小为：CF+DF=DH=33，∴△CDF的周长的最小值为3+33．故答案为：3+33．【中考模拟练】4(2024•衡南县模拟)已知：如图，直线y=-2x+4分别与x轴，y轴交于A、B两点，点P(1，0)，若在直线AB上取一点M，在y轴上取一点N，连接MN、MP、NP，则MN+MP+NP的最小值是()A.3B.1+255+855C.2855D.10【分析】作点P关于y轴的对称点E，点P关于AB的对称点F，连接EN，EM，EF，FM，FP，设FP交AB 于C，过点F作FD⊥x轴于D，则EN=NP，FM=MP，FP⊥AB，OE=OP，FC=PC，MN+MP+ NP=MN+FM+EN，根据“两点之间线段最短”得MN+FM+EN≥EF，则MN+MP+NP≥EF，因此MN+MP+NP的最小值为线段EF的长；先求出点A(2，0)，点B(0，4)，则OA=2，OB=4，再由点P (1，0)得OP=1，则OE=OP=1，PA=OA-OP=1，再求出AB=25，证△PAC∽△BAO得PC：OB=PA：AB，由此得PC=255，则PF=455，再证△PFD∽△BAO得FD：OA=PD：OB=PF：AB，由此可得FD=45，PD=85，则ED=OE+OP+PD=185，然后在Rt△EFD中由勾股定理求出EF即可得MN+MP+NP的最小值．【解答】解：作点P关于y轴的对称点E，点P关于AB的对称点F，连接EN，EM，EF，FM，FP，设FP交AB于C，过点F作FD⊥x轴于D，如图所示：则EN=NP，FM=MP，FP⊥AB，OE=OP，FC=PC，∴MN+MP+NP=MN+FM+EN，根据“两点之间线段最短”得MN+FM+EN≥EF，∴MN+MP+NP≥EF，∴MN+MP+NP的最小值为线段EF的长，对于y=-2x+4，当x=0时，y=4，当x=0时，x=2，∴点A(2，0)，点B(0，4)，∴OA=2，OB=4，又∵点P(1，0)，∴OP=1，∴OE=OP=1，PA=OA-OP=2-1=1，在Rt△OAB中，OA=2，OB=4，由勾股定理得：AB=OA2+OB2=25，∵FP⊥AB，FD⊥x轴，∠BOA=90°，∴∠PCA=∠BOA=∠PDF=90°，又∵∠PAC=∠BAO，∴△PAC∽△BAO，∴PC：OB=PA：AB，∠APC=∠ABO，即PC：4=1:25，∴PC=255，∴FC=PC=255，∴PF=FC+PC=455，∵∠APC=∠ABO，∠BOA=∠PDF=90°，∵△PFD∽△BAO，∴FD：OA=PD：OB=PF：AB，即FD：2=PD：4=455:25，∴FD=45，PD=8 5，∴ED=OE+OP+PD=1+1+85=185，在Rt△EFD中，ED=185，FD=45，由勾股定理得：EF=ED2+FD2=285 5．故选：C．5(2023•龙马潭区二模)如图，抛物线y=-x2-3x+4与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C．若点D为抛物线上一点且横坐标为-3，点E为y轴上一点，点F在以点A为圆心，2为半径的圆上，则DE+EF的最小值　65-2　．【分析】先求出点A(-4，0)，点D(-3，4)，作点D关于y轴对称的点T，则点T(3，4)，连接AE交与轴于M，交⊙A于N，过点T作TH⊥x轴于H，连接AF，当点E与点M重合，点F与点N重合时，DE+EF为最小，最小值为线段TN的长，然后可在Rt△ATH中由勾股定理求出TA，进而可得TN，据此可得出答案．【解答】解：对于y=-x2-3x+4，当y=0时，-x2-3x+4=0，解得：x1=-4，x2=1，∴点A的坐标为(-4，0)，对于y=-x2-3x+4，当x=-3时，y=4，∴点D的坐标为(-3，4)，作点D关于y轴对称的点T，则点T(3，4)，连接AE交与轴于M，交⊙A于N，过点T作TH⊥x轴于H，连接AF，当点E与点M重合，点F与点N重合时，DE+EF为最小，最小值为线段TN的长．理由如下：当点E与点M不重合，点F与点N不重合时，∴DE+EF=TE+EF，根据“两点之间线段最短”可知：TE+EF+AF>AT，即：TE+EF+AF>TN+AN，∵AF=AN=2，∴TE+EF>TN，即：DE+EF>TN，∴当点E与点M重合，点F与点N重合时，DE+EF为最小．∵点T(3，4)，A(-4，0)，∴OH=3，TH=4，OA=4，∴AH=OA+OH=7，在Rt△ATH中，AH=7，TH=4，由勾股定理得：TA=AH2+TH2=65，∴TN=TA-AN=65-2．即DE+EF为最小值为65-2．故答案为：65-2．6(2024•碑林区校级一模)(1)如图①，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，点D是边AC 的中点．以点A为圆心，2为半径在△ABC内部画弧，若点P是上述弧上的动点，点Q是边BC上的动点，求PQ+QD的最小值；(2)如图②，矩形ABCD是某在建的公园示意图，其中AB=2003米，BC=400米．根据实际情况，需要在边DC的中点E处开一个东门，同时根据设计要求，要在以点A为圆心，在公园内以10米为半径的圆弧上选一处点P开一个西北门，还要在边BC上选一处点Q，在以Q为圆心，在公园内以10米为半径的半圆的三等分点的M、N处开两个南门．线段PM、NE是要修的两条道路．为了节约成本，希望PM+NE最小．试求PM+NE最小值及此时BQ的长．【分析】(1)作点D关于BC的对称点D′，连接D′Q、AP，过点D′作D′E⊥AB交AB的延长线于E，则QD =QD′，DK=D′K，当A、P、Q、D′在同一条直线上时，PQ+QD=AD′-AP取得最小值，由DK∥AB，可得△CDK∽△CAB，运用相似三角形性质可得DK=3，CK=4，再由勾股定理即可求得答案；(2)连接MQ，NQ，过点Q作QK⊥MN于K，作点A关于直线MN的对称点A′，将E向左平移10米得到点E′，过点E′作E′L∥AB，过点A′作A′L⊥E′L于L，连接A′M、A′E′、E′M，由题意得随着圆心Q在BC上运动，MN在平行于BC且到BC距离为53的直线上运动，再运用勾股定理可得PM+NE最小值=A′E-AP=(201011-10)米；设E′L与GH的交点为T，过点Q作QK⊥MN于K，由E′L∥AA′，可得△E′MT∽△A′MG，即可求得BQ的值．【解答】解：(1)如图①，作点D 关于BC 的对称点D ′，连接D ′Q 、AP ，过点D ′作D ′E ⊥AB 交AB 的延长线于E ，则QD =QD ′，DK =D ′K ，∴PQ +QD =PQ +QD ′=AQ -AP +QD ′，当A 、P 、Q 、D ′在同一条直线上时，PQ +QD =AD ′-AP 取得最小值，∵∠ABC =90°，AB =6，BC =8，∴AC =AB 2+BC 2=62+82=10，∵点D 是边AC 的中点，∴CD =12AC =5，∵DK ∥AB ，∴△CDK ∽△CAB ，∴DK AB =CK BC =CD AC，即DK 6=CK 8=510，∴DK =3，CK =4，∴D ′K =3，BK =4，∵∠E =∠EBK =∠BKD ′=90°，∴四边形BED ′K 是矩形，∴D ′E =BK =4，BE =D ′K =3，∴AE =AB +BE =6+3=9，∴AD ′=AE 2+D E 2=92+42=97，∵AP =2，∴PQ +QD 的最小值=97-2；(2)如图②，连接MQ ，NQ ，过点Q 作QK ⊥MN 于K ，作点A 关于直线MN 的对称点A ′，将E 向左平移10米得到点E ′，过点E ′作E ′L ∥AB ，过点A ′作A ′L ⊥E ′L 于L ，连接A ′M 、A ′E ′、E ′M ，∵M 、N 是半圆Q 的三等分点，且半径为10，∴△QMN 为等边三角形，且MN ∥BC ，MN =10，∵QK ⊥MN ，QM =10米，∴QK =53米，∴随着圆心Q 在BC 上运动，MN 在平行于BC 且到BC 距离为53的直线上运动，∵EE ′∥MN 且EE ′=MN =10米，∴四边形EE ′MN 是平行四边形，∴NE =ME ′，∴PM +NE =PM +ME ′≥AM -AP +ME ′=AM +ME ′-10，∵E 是CD 的中点，∴DE =12CD =1003，∴E ′L =AA ′-DE =2(AB -QK )-DE =2×(2003-53)-1003=2903(米)，A ′L =BC -E ′E =400-10=390(米)，在Rt △A ′E ′L 中，A ′E ′=A L 2+E L 2=3902+2903 2=201011，∴PM +NE 最小值=A ′E -AP =(201011-10)米；此时△MNQ 在如图③的△M ′N ′Q 位置，设E′L与GH的交点为T，过点Q作QK⊥MN于K，′∵∠CBG=∠BGK=∠GKQ=90°，∴四边形BGKQ是矩形，∴BQ=GK，∵E′L∥AA′，∴△E′MT∽△A′MG，∴MT MG =E TA G，∵MT=390-MG，E′T=EH=1003-53=953(米)，A′G=AG= 2003-53=1953(米)，GT=390米，∴390-MGMG =953 1953，∴MG=760529(米)，∴GK=GM+MK=760529+5=775029(米)，∴BQ=GK=775029米，∴当PM+NE取最小值时，BQ的长为775029米．7(2023•卧龙区二模)综合与实践问题提出(1)如图①，请你在直线l上找一点P，使点P到两个定点A和B的距离之和最小，即PA+PB的和最小(保留作图痕迹，不写作法)；思维转换(2)如图②，已知点E是直线l外一定点，且到直线l的距离为4，MN是直线l上的动线段，MN=6，连接ME，NE，求ME+NE的最小值．小敏在解题过程中发现：“借助物理学科的相对运动思维，若将线段MN 看作静线段，则点E在平行于直线l的直线上运动”，请你参考小敏的思路求ME+NE的最小值；拓展应用(3)如图③，在矩形ABCD中，AD=2AB=25，连接BD，点E、F分别是边BC、AD上的动点，且BE= AF，分别过点E、F作EM⊥BD，FN⊥BD，垂足分别为M、N，连接AM、AN，请直接写出△AMN周长的最小值．【分析】(1)作点A的对称点，由两点之间线段最短解题即可；(2)将M、N看作定点，E看作动点，由(1)作法可解；(3)由相似得出MN为定值，再根据(2)作法求出AM+AN的最值，即可解答．【解答】解：(1)如图①，则点P为所求．连接A′B交l于点P，由对称得AP=A′P，∴AP+BP=A′P+BP，∵两点之间线段最短，∴A′P+BP最短，即PA+PB的和最小．(2)如图②，过点E作直线l1∥l，作点N关于l1的对称点N′，连接MN′，交l1于点P，则PM+PN的值即是EM+EN的最小值，∵点E到直线l的距离为4，∵NN′=8，∵MN=6，∴MN′=62+82=10，∴PM+PN=10，即ME+NE的最小值为10．(3)如图③，过A作l∥BD，AH⊥BD于点H，作点M关于l的对称点M′，连接M′N，由(2)得M′N为AM+AN的最小值，∵AB=5，AD=25，∴BD=52=5，2+25∴AH=5×25=2，5∴MM′=4，设ME=x，由△ABD∽△BME得，BM=2x，BE=5x，∴AF=5x，∴DF=25-5x，由△DNF∽△ABD得，DN=4-2x，∴MN=5-2x-(4-2x)=1，∵l∥BD，MM′⊥l，∴MM′⊥BD，∴M′N=42+12=17，∴△AMN周长的最小值为17+1．题型二：辅助圆类几何最值动点的运动轨迹为辅助圆的三种形式：1、定义法--若一动点到定点的距离恒等于固定长，则该点的运动轨迹为以定点为圆心，定长为半径的圆(或圆弧)2、定边对直角--若一条定边所对的“动角”始终为直角，则直角顶点运动轨迹是以该定边为直径的圆(或圆弧)3．定边对定角--若一条定边所对的“动角”始终为定角，则该定角顶点运动轨迹是以该定角为圆周角，该定边为弦的圆(或圆弧)【中考真题练】8(2023•黑龙江)如图，在Rt△ACB中，∠BAC=30°，CB=2，点E是斜边AB的中点，把Rt△ABC 绕点A顺时针旋转，得Rt△AFD，点C，点B旋转后的对应点分别是点D，点F，连接CF，EF，CE，在旋转的过程中，△CEF面积的最大值是　4+3　．【分析】线段CE为定值，点F到CE距离最大时，△CEF的面积最大，画出图形，即可求出答案．【解答】解：∵线段CE为定值，∴点F到CE的距离最大时，△CEF的面积有最大值．在Rt△ACB中，∠BAC=30°，E是AB的中点，∴AB =2BC =4，CE =AE =12AB =2，AC =AB •cos30°=23，∴∠ECA =∠BAC =30°，过点A 作AG ⊥CE 交CE 的延长线于点G ，∴AG =12AC =3，∵点F 在以A 为圆心，AB 长为半径的圆上，∴AF =AB =4，∴点F 到CE 的距离最大值为4+3，∴S △CEF =12CE ⋅4+3 =4+3，故答案为：4+3．【中考模拟练】9(2023•永寿县二模)如图，在正方形ABCD 中，AB =4，M 是AD 的中点，点P 是CD 上一个动点，当∠APM 的度数最大时，CP 的长为　4-22　．【分析】因为同弧所对的圆外角小于圆周角，因此过点A 、M 作⊙O 与CD 相切于点P '，当点P 运动到点P '处时，∠AP 'M 的度数最大，记AM 的中点为N ，可以证出四边形OP 'DN 是矩形，在Rt △MON 中，利用勾股定理求出ON ，从而得出DP '的长，进而求出CP 的长．【解答】解：过点A 、M 作⊙O 与CD 相切于点P '，记PM 与⊙O 交于点Q ，连接AP ′，MP ′，OM ，OP ′，AQ ，则∠AP 'M =∠AQM >∠APM ，∠OP ′D =90°，∴当点P 运动到点P '时，∠AP 'M 最大，作ON ⊥AD 于点N ，则MN =AN =12AM ，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠D =90°，∴四边形OP 'DN 是矩形，∵AB =4，M 是AD 的中点，∴AM =DM =2，MN =1，∴OM =OP '=DN =DM +MN =3，在Rt △MON 中，ON =OM 2-MN 2=32-12=22，∴DP '=ON =22，∴CP '=DC -DP '=4-22，∴当∠APM 的度数最大时，CP 的长为4-22．故答案为：4-22．10(2023•营口一模)如图，等边三角形ABC 和等边三角形ADE ，点N ，点M 分别为BC ，DE 的中点，AB =6，AD =4，△ADE 绕点A 旋转过程中，MN 的最大值为　53　．【分析】分析题意可知，点M 是在以AM 为半径，点A 为圆心的圆上运动，连接AN ，AM ，以AM 为半径，点A 为圆心作圆，反向延长AN 与圆交于点M ′，以此得到M 、A 、N 三点共线时，MN 的值最大，再根据勾股定理分别算出AM 、AN 的值，则MN 的最大值M ′N =AN +AM ′=AN +AM ．【解答】解：连接AN ，AM ，以AM 为半径，点A 为圆心作圆，反向延长AN 与圆交于点M ′，如图，∵△ADE 绕点A 旋转，∴点M 是在以AM 为半径，点A 为圆心的圆上运动，∵AM +AN ≥MN ，∴当点M 旋转到M ′，即M 、A 、N 三点共线时，MN 的值最大，最大为M ′N ，∵△ABC 和△ADE 都是等边三角形，点N ，点M 分别为BC ，DE 的中点，AB =6，AD =4，∴AN ⊥BC ，AM ⊥DE ，BN =3，DM =2，在Rt △ABN 中，由勾股定理得AN =AB 2-BN 2=33，在Rt △ADM 中，由勾股定理得AM =AD 2-DM 2=23，根据旋转的性质得，AM ′=AM =23，∴M ′N =AN +AM ′=53，即MN 的最大值为53．故答案为：53．11(2023•定远县校级一模)如图，半径为4的⊙O 中，CD 为直径，弦AB ⊥CD 且过半径OD 的中点，点E 为⊙O 上一动点，CF ⊥AE 于点F ．当点E 从点B 出发顺时针运动到点D 时，点F 所经过的路径长为　23π3　．【分析】由∠AFC =90°，得点F 在以AC 为直径的圆上运动，当点E 与B 重合时，此时点F 与G 重合，当点E 与D 重合时，此时点F 与A 重合，则点E 从点B 出发顺时针运动到点D 时，点F 所经过的路径长为AG 的长，然后根据条件求出AG 所在圆的半径和圆心角，从而解决问题．【解答】解：∵CF ⊥AE ，∴∠AFC =90°，∴点F 在以AC 为直径的圆上运动，以AC 为直径画半圆AC ，连接OA ，当点E 与B 重合时，此时点F 与G 重合，当点E 与D 重合时，此时点F 与A 重合，∴点E 从点B 出发顺时针运动到点D 时，点F 所经过的路径长为AG的长，∵点G 为OD 的中点，∴OG =12OD =12OA =2，∵OG ⊥AB ，∴∠AOG =60°，AG =23，∵OA =OC ，∴∠ACG =30°，∴AC =2AG =43，∴AG 所在圆的半径为23，圆心角为60°，∴AG 的长为60π×23180=23π3，故答案为：23π3．12(2024•兰州模拟)综合与实践【问题情境】在数学综合实践课上，“希望小组”的同学们以三角形为背景，探究图形变化过程中的几何问题，如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =90°，点D 为平面内一点(点A ，B ，D 三点不共线)，AE 为△ABD 的中线．【初步尝试】(1)如图1，小林同学发现：延长AE 至点M ，使得ME =AE ，连接DM ．始终存在以下两个结论，请你在①，②中挑选一个进行证明：①DM =AC ；②∠MDA +∠DAB =180°；【类比探究】(2)如图2，将AD 绕点A 顺时针旋转90°得到AF ，连接CF ．小斌同学沿着小林同学的思考进一步探究后发现：AE =12CF ，请你帮他证明；【拓展延伸】(3)如图3，在(2)的条件下，王老师提出新的探究方向：点D 在以点A 为圆心，AD 为半径的圆上运动(AD >AB )，直线AE 与直线CF 相交于点G ，连接BG ，在点D 的运动过程中BG 存在最大值．若AB =4，请直接写出BG 的最大值．【分析】(1)利用SAS 证明△ABE ≌△MDE ，可得AB =DM ，再结合AB =AC ，即可证得DM =AC ；由全等三角形性质可得∠BAE =∠DME ，再运用平行线的判定和性质即可证得∠MDA +∠DAB =180°；(2)延长AE 至点M ，使得ME =AE ，连接DM ．利用SAS 证得△ACF ≌△DMA ，可得CF =AM ，再由AE =12AM ，可证得AE =12CF ；(3)延长DA 至M ，使AM =AD ，设AM 交CF 于N ，连接BM 交CF 于K ，取AC 中点P ，连接GP ，可证得△ACF ≌△ABM (SAS )，利用三角形中位线定理可得AE ∥BM ，即AG ∥BM ，利用直角三角形性质可得GP =12AC =12AB =2，得出点G 在以P 为圆心，2为半径的⊙P 上运动，连接BP 并延长交⊙P 于G ′，可得BG ′的长为BG 的最大值，再运用勾股定理即可求得答案．【解答】(1)证明：①∵AE 为△ABD 的中线，∴BE =DE ，在△ABE 和△MDE 中，BE =DE ∠AEB =∠MED AE =ME，∴△ABE ≌△MDE (SAS )，∴AB =DM ，∵AB =AC ，∴DM =AC ；②由①知△ABE ≌△MDE ，∴∠BAE =∠DME ，∴AB ∥DM ，∴∠MDA +∠DAB =180°；(2)证明：延长AE 至点M ，使得ME =AE ，连接DM ．由旋转得：AF =AD ，∠DAF =90°，∵∠BAC =90°，∠DAF +∠BAC +∠BAD +∠CAF =360°，∴∠BAD +∠CAF =180°，由(1)②得：∠MDA +∠DAB =180°，DM =AB =AC ，∴∠CAF =∠MDA ，在△ACF 和△DMA 中，AF =AD ∠CAF =∠MDA AC =DM，∴△ACF ≌△DMA (SAS )，∴CF =AM ，∵AE =12AM ，∴AE =12CF ；(3)如图3，延长DA 至M ，使AM =AD ，设AM 交CF 于N ，连接BM 交CF 于K ，取AC 中点P ，连接GP ，由旋转得：AF =AD ，∠DAF =90°，∴AF =AM ，∠MAF =180°-90°=90°，∵∠BAC =90°，∴∠MAF +∠CAM =∠BAC +∠CAM ，即∠CAF =∠BAM ，在△ACF 和△ABM 中，AC =AB ∠CAF =∠BAM AF =AM，∴△ACF ≌△ABM (SAS )，∴∠AFC =∠AMB ，即∠AFN =∠KMN ，∵∠ANF=∠KNM，∴∠FAN=∠MKN=90°，∴BM⊥CF，∵E、A分别是DB、DM的中点，∴AE是△BDM的中位线，∴AE∥BM，即AG∥BM，∴AG⊥CF，∴∠AGC=90°，∵点P是AC的中点，∴GP=12AC=12AB=2，∴点G在以P为圆心，2为半径的⊙P上运动，连接BP并延长交⊙P于G′，∴BG′的长为BG的最大值，在Rt△ABP中，BP=AB2+AP2=42+22=25，∴BG′=BP+PG′=25+2，∴BG的最大值为25+2．题型三：瓜豆原理类几何最值大概动点问题符合瓜豆原理的模型时，也可以和几何最值结合【中考真题练】13(2022•沈阳)【特例感知】(1)如图1，△AOB和△COD是等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°，点C在OA上，点D在BO的延长线上，连接AD，BC，线段AD与BC的数量关系是AD=BC；【类比迁移】(2)如图2，将图1中的△COD绕着点O顺时针旋转α(0°<α<90°)，那么第(1)问的结论是否仍然成立？如果成立，证明你的结论；如果不成立，说明理由．【方法运用】(3)如图3，若AB=8，点C是线段AB外一动点，AC=33，连接BC．①若将CB绕点C逆时针旋转90°得到CD，连接AD，则AD的最大值是　8+36　；②若以BC为斜边作Rt△BCD(B，C，D三点按顺时针排列)，∠CDB=90°，连接AD，当∠CBD=∠DAB=30°时，直接写出AD的值．【分析】(1)证明△AOD≌△BOC(SAS)，即可得出结论；(2)利用旋转性质可证得∠BOC =∠AOD ，再证明△AOD ≌△BOC (SAS )，即可得出结论；(3)①过点A 作AT ⊥AB ，使AT =AB ，连接BT ，AD ，DT ，BD ，先证得△ABC ∽△TBD ，得出DT =36，即点D 的运动轨迹是以T 为圆心，36为半径的圆，当D 在AT 的延长线上时，AD 的值最大，最大值为8+36；②如图4，在AB 上方作∠ABT =30°，过点A 作AT ⊥BT 于点T ，连接AD 、BD 、DT ，过点T 作TH ⊥AD 于点H ，可证得△BAC ∽△BTD ，得出DT =32AC =32×33=92，再求出DH 、AH ，即可求得AD ；如图5，在AB 下方作∠ABE =30°，过点A 作AE ⊥BE 于点E ，连接DE ，可证得△BAC ∽△BTD ，得出DE =92，再由勾股定理即可求得AD ．【解答】解：(1)AD =BC ．理由如下：如图1，∵△AOB 和△COD 是等腰直角三角形，∠AOB =∠COD =90°，∴OA =OB ，OD =OC ，在△AOD 和△BOC 中，，∴△AOD ≌△BOC (SAS )，∴AD =BC ，故答案为：AD =BC ；(2)AD =BC 仍然成立.证明：如图2，∵∠AOB =∠COD =90°，∴∠AOB +∠AOC =∠AOC +∠COD =90°+α，即∠BOC =∠AOD ，在△AOD 和△BOC 中，，∴△AOD ≌△BOC (SAS )，∴AD =BC ；(3)①过点A 作AT ⊥AB ，使AT =AB ，连接BT ，AD ，DT ，BD ，∵△ABT 和△CBD 都是等腰直角三角形，∴BT =2AB ，BD =2BC ，∠ABT =∠CBD =45°，∴BT AB=BD BC =2，∠ABC =∠TBD ，∴△ABC ∽△TBD ，∴DT AC =BT AB=2，∴DT =2AC =2×33=36，∵AT =AB =8，DT =36，∴点D 的运动轨迹是以T 为圆心，36为半径的圆，∴当D 在AT 的延长线上时，AD 的值最大，最大值为8+36，故答案为：8+36；②如图4，在AB 上方作∠ABT =30°，过点A 作AT ⊥BT 于点T ，连接AD 、BD 、DT ，过点T 作TH ⊥AD 于点H ，∵BT AB =BD BC =cos30°=32，∠ABC =∠TBD =30°+∠TBC ，∴△BAC ∽△BTD ，∴DT AC=BD BC =32，∴DT =32AC =32×33=92，在Rt △ABT 中，AT =AB •sin ∠ABT =8sin30°=4，∵∠BAT =90°-30°=60°，∴∠TAH =∠BAT -∠DAB =60°-30°=30°，∵TH ⊥AD ，∴TH =AT •sin ∠TAH =4sin30°=2，AH =AT •cos ∠TAH =4cos30°=23，在Rt △DTH 中，DH ===652，∴AD =AH +DH =23+652；如图5，在AB 上方作∠ABE =30°，过点A 作AE ⊥BE 于点E ，连接DE ，则BE AB=BD BC =cos30°=32，∵∠EBD =∠ABC =∠ABD +30°，∴△BDE ∽△BCA ，∴DE AC =BE AB =32，∴DE =32AC =32×33=92，∵∠BAE =90°-30°=60°，AE =AB •sin30°=8×12=4，∴∠DAE =∠DAB +∠BAE =30°+60°=90°，∴AD ===172；综上所述，AD 的值为23+652或172．【中考模拟练】14(2023•金平区三模)如图，长方形ABCD 中，AB =6，BC =152，E 为BC 上一点，且BE =32，F 为AB 边上的一个动点，连接EF ，将EF 绕着点E 顺时针旋转45°到EG 的位置，连接FG 和CG ，则CG 的最小值为　32+32　．【分析】如图，将线段BE 绕点E 顺时针旋转45°得到线段ET ，连接DE 交CG 于J ．首先证明∠ETG =90°，推出点G 的在射线TG 上运动，推出当CG ⊥TG 时，CG 的值最小．【解答】解：如图，将线段BE 绕点E 顺时针旋转45°得到线段ET ，连接DE 交CG 于J ．∵四边形ABCD 是矩形，∴AB =CD =6，∠B =∠BCD =90°，∵∠BET =∠FEG =45°，∴∠BEF =∠TEG ，∵EB =ET ，EF =EG ，∴△EBF ≌△ETG (SAS )，∴∠B =∠ETG =90°，∴点G 在射线TG 上运动，∴当CG ⊥TG 时，CG 的值最小，∵BC =152，BE =32，CD =6，∴CE =CD =6，∴∠CED =∠BET =45°，∴∠TEJ =90°=∠ETG =∠JGT =90°，∴四边形ETGJ 是矩形，∴DE ∥GT ，GJ =TE =BE =32，∴CJ ⊥DE ，∴JE =JD ，∴CJ =12DE =32，∴CG =CJ +GJ =32+32，∴CG 的最小值为32+32，故答案为：32+32．15(2023•苍溪县一模)如图，线段AB 为⊙O 的直径，点C 在AB 的延长线上，AB =4，BC =2，点P 是⊙O 上一动点，连接CP ，以CP 为斜边在PC 的上方作Rt △PCD ，且使∠DCP =60°，连接OD ，则OD 长的最大值为　23+1　．【分析】如图，作△COE ，使得∠CEO =90°，∠ECO =60°，则CO =2CE ，OE =23，∠OCP =∠ECD ，由△COP ∽△CED ，推出OP ED =CP CD=2，即ED =12OP =1(定长)，由点E 是定点，DE 是定长，推出点D 在半径为1的⊙E 上，由此即可解决问题．【解答】解：如图，作△COE ，使得∠CEO =90°，∠ECO =60°，则CO =2CE ，OE =23，∠OCP =∠ECD ，∵∠CDP =90°，∠DCP =60°，∴CP =2CD ，∴CO CE =CP CD=2，∴△COP ∽△CED ，∴OP ED =CP CD =2，即ED =12OP =1(定长)，∵点E 是定点，DE 是定长，∴点D 在半径为1的⊙E 上，∵OD ≤OE +DE =23+1，∴OD 的最大值为23+1，故答案为23+1．16(2023•海淀区校级三模)在平面直角坐标系xOy 中，给定图形W 和点P ，若图形W 上存在两个点M ，N 满足PM =3PN 且∠MPN =90°，则称点P 是图形W 的关联点．已知点A (-23，0)，B (0，2)．(1)在点P 1(-3，-1)，P 2(-3，3)，P 3(-23，-2)中，P1，P 2　是线段AB 的关联点；(2)⊙T 是以点T (t ，0)为圆心，r 为半径的圆．①当t =0时，若线段AB 上任一点均为⊙O 的关联点，求r 的取值范围；②记线段AB 与线段AO 组成折线G ，若存在t ≥4，使折线G 的关联点都是⊙T 的关联点，直接写出r 的最小值．【分析】(1)根据关联点的定义，结合勾股定理进行判断即可；(2)①根据题意推得三角形PMN 为含30度角的直角三角形，根据瓜豆原理可得求得点O 到点P 的最大距离为3+12r ，最小距离为3-12r ，推得⊙O 的所有关联点在以O 为圆心，3+12r 和3-12r 为半径的两个圆构成的圆环中，结合图形求得半径r 的取值范围；②结合①中的结论，画出满足条件的关联点的范围，进行求解即可．【解答】解：(1)∵∠MPN =90°，∴△MPN 为直角三角形，∴满足MN 2=PM 2+PN 2，根据勾股定理可得：，，，；，，；P3A=2，，，∵，且，∴是线段AB的关联点；∵，且，∴是线段AB的关联点；∵P3A=7P3B，且P3A2+P3B2≠AB2，∴∠BAO=30°，P3A⊥OA，∴∠P3AB=90°+30°=120°，∴对于线段AB上的任意两点M、N，当时，∠P3NM>90°，如图，则∠MPN必是锐角，不可能是直角，∴不是线段AB的关联点；故答案为：P1，P2．(2)①由(1)可得：∵∠MPN=90°，∴△MPN为直角三角形，∴MN2=PM2+PN2=4PN2，即MN=2PN，即三角形PMN为含30度角的直角三角形，如图：则点P是以MN为斜边且含30度角的直角三角形的直角顶点．在圆O上取点M，N，则对于任意位置的M和N，符合的关联点有2个，如图：以点P 为例，当点M 在半径为r 的⊙O 上运动时，点N 为圆上一定点，且MN =2PN ，∠PNM =60°，则点M 的运动轨迹为圆，故点P 的轨迹也为圆，令点P 的轨迹为圆R ，如图：当M ，O ，N 三点共线，P ，R ，N 三点共线时，∠PNM =60°，∴OR =32r ，RN =12r ，则点O 到点P 的最大距离为3+12r ，最小距离为3-12r ，当点N 也在⊙O 上运动时，⊙R 也随之运动，则⊙R 扫过的区域为3+12r 和3-12rr 为半径围成的圆，即⊙O 的所有关联点在以O 为圆心，3+12r 和3-12r 为半径的两个圆构成的圆环中，∴当线段AB 与半径为3+12r 交于点A 时，r 最小，如图：则3+12r =23，解得r =6-23，当线段AB 与半径为3-12r 的圆相切时，r 最大，过点O 作OH ⊥AB ，如图：则，即，解得，则，解得，∴②当关联点在线段AB上时，满足条件的关联点所在范围如图阴影部分：当关联点在线段AO上时，满足条件的关联点所在范围如图阴影部分：当关联点在不同线段上时，满足条件的关联点在点O和点B上的范围如图阴影部分：综上，所有区域叠加一起为：由①可知，满足T的所有关联点所在范围为圆环，故若使得圆环能够完整“包住”关联点，圆环中外圆的必须经过点G1，∵∠GBA=30°，∠G=90°，∠OBA=60°，∠O=90°，∴四边形AOBG为矩形，∴，则，即，解得r=42(负值舍去)；综上，r的最小值为42．17(2024•昆山市一模)如图1，在平面直角坐标系中，直线y=-5x+5与x轴，y轴分别交于A、C两点，抛物线y=x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为B．(1)求抛物线解析式；(2)若点M为x轴下方抛物线上一动点，当点M运动到某一位置时，△ABM的面积等于△ABC面积的35，求此时点M的坐标；(3)如图2，以B为圆心，2为半径的⊙B与x轴交于E、F两点(F在E右侧)，若P点是⊙B上一动点，连接PA，以PA为腰作等腰Rt△PAD，使∠PAD=90°(P、A、D三点为逆时针顺序)，连接FD．求FD长度的取值范围．【分析】(1)将点A(1，0)，C(0，5)代入y=x2+bx+c，即可求解；×4×(-m2+6m-5)，(2)设M(m，m2-6m+5)，先求AB=4，则S△ABC=10，再由题意可得S△AMB=6=12即可求M(2，-3)或M(4，-3)；(3)将点B绕A点顺时针旋转90°到B'，连接AB'，PB，B'D，可证明△ADB'≌△APB(SAS)，则可得D在以B'为圆心，2为半径的圆上运动，又由B'(1，-4)，F(7，0)，则B'F=213，所以DF的最大值为61+ 2，DF的最小值为61-2，即可求213-2≤DF≤213+2．【解答】解：(1)令x=0，则y=5，∴C(0，5)，令y=0，则x=1，∴A(1，0)，将点A(1，0)，C(0，5)代入y=x2+bx+c，得，∴，∴y=x2-6x+5；(2)设M(m，m2-6m+5)，令y=0，则x2-6x+5=0，解得x=5或x=1，∴B(5，0)，∴AB=4，∴S△ABC=1×4×5=10，2∵△ABM的面积等于△ABC面积的35，∴S△AMB=6=1×4×(-m2+6m-5)，2解得m=2或m=4，∴M(2，-3)或M(4，-3)；(3)将点B绕A点顺时针旋转90°到B'，连接AB'，PB，B'D，∵∠B'AD+∠BAD=90°，∠PAB+∠BAD=90°，∴∠B'AD=∠PAB，∵AB=AB'，PA=AD，∴△ADB'≌△APB(SAS)，∴BP=B'D，∵PB=2，∴B'D=2，∴D在以B'为圆心，2为半径的圆上运动，∵B(5，0)，A(1，0)，∴B'(1，-4)，∵BF=2，∴F(7，0)，∴B'F=213，∴DF的最大值为213+2，DF的最小值为213-2，∴213-2≤DF≤213+2．题型四：其他类几何最值除了常见的模型与几何最值结合外，还有一些几何问题，应用直接的最值原理，比如：点到直线的距离垂线段最短等【中考真题练】18(2023•锦州)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=4，按下列步骤作图：①在AC和AB上分别截取AD，AE，使AD=AE．②分别以点D和点E为圆心，以大于12DE的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点M．③作射线AM交BC于点F．若点P是线段AF上的一个动点，连接CP，则CP+12AP的最小值是　23　．【分析】根据题目中所给的条件，判断AF为角平分线，由问题可知，需要利用胡不归模型构建直角三角形，转化两条线段和为一条线段，利用三角函数求出线段长度．【解答】理由如下：由作图步骤可知，射线AM为∠CAB的角平分线，∵∠ABC=90°，∠B=30°，∴∠CAB=60°，∵AM平分∠CAB，∴∠CAF=∠BAF=12∠CAB=30°，过点C作CN⊥AB于N，交AF于P，在Rt△APN中，∠BAF=30°，∴PN=12AP，∴CP+12AP=CP+PN=CN，根据点到直线的距离，垂线段最短，此时CP+PN值最小在Rt△ACN中，∠CAN=60°，AC=4，∴sin60°=CNAC，∴CN=sin60°×AC=4×32=23，∴CP+12AP=CP+PN=CN=23，故答案为：23．19(2023•德阳)如图，在底面为正三角形的直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=23，AA1=2，点M为AC的中点，一只小虫从B1沿三棱柱ABC-A1B1C1的表面爬行到M处，则小虫爬行的最短路程等于　19　．【分析】利用平面展开图可总结为3种情况，画出图形利用勾股定理求出B1M的长即可．【解答】解：如图1，将三棱柱ABC-A1B1C1的侧面BB1C1C和侧面CC1A1A沿CC1展开在同一平面内，连接MB1，∵M是AC的中点，△ABC和△A1B1C1是等边三角形，∴CM=12AC=12×23=3，∴BM=CM+BC=33，在Rt△MBB1中，由勾股定理得：B1M=BM2+B1B2=31，如图2，把底面ABC和侧面BB1A1A沿AB展开在同一平面内，连接MB1，过点M作MF⊥A1B1于点F，交AB于点E，则四边形AEFA1是矩形，ME⊥AB，在Rt△AME中，∠MAE=60°，∴ME =AM •sin60°=3×32=32，AE =AM •cos60°=32，∴MF =ME +EF =32+2=72，B 1F =A 1B 1-A 1F =332，在Rt △MFB 1中，由勾股定理得：B 1M =MF 2+B 1F 2=19，如图3，连接B 1M ，交A 1C 1于点N ，则B 1M ⊥AC ，B 1N ⊥A 1C 1，在Rt △A 1NB 1中，∠NA 1B 1=60°，∴NB 1=A 1B 1•sin60°=3，∴B 1M =NB 1+MN =5，∵19<5<31，∴小虫爬行的最短路程为19．故答案为：19．20(2023•常州)如图，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =4，D 是AC 延长线上的一点，CD =2．M 是边BC 上的一点(点M 与点B 、C 不重合)，以CD 、CM 为邻边作▱CMND ．连接AN 并取AN 的中点P ，连接PM ，则PM 的取值范围是　22≤MP <5　．【分析】先根据题意确定点P 的运动轨迹，即可确定MP 的最大值和最小值，从而解答．【解答】解：∵AB =AC =4，∴AD =6，∵△ABC 是等腰直角三角形，四边形CNMD 是平行四边形，∴DN ∥BC ，DN =BC ，CD ∥MN ，CD =MN ，∴∠ADN =∠ACB =45°=∠ABC =∠CMN ，当M 与B 重合时，如图M1，N 1，P 1，∠ABN 1=90°，∴AN 1=42+22=25，∵P 1是中点，∴MP 1=12AN 1=5，当MP ⊥BC 时，如图P 2，M 2，N 2，∵P 1，P ，P 2是中点，∴P 的运动轨迹为平行于BC 的线段，交AC 于H ，∴CH =3-2=1，∵∠ACB =45°，∴PH 与BC 间的距离为P2M 2=22CH =22，∵M不与B、C重合，∴22≤MP<5．【中考模拟练】21(2024•济南一模)如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，E为AB上一点，连接DE，将△ADE 沿DE折叠，点A落在A1处，连接A1C，若F、G分别为A1C、BC的中点，则FG的最小值为1．【分析】连接A1B，由F、G分别为A1C、BC的中点可得FG=12A1B，在△A1BD中有A1B+A1D≥BD，由勾股定理可得BD，由折叠性质和矩形性质可得A1D=AD=BC，即可求解．【解答】解：如图，连接A1B，BD，∵F、G分别为A1C、BC的中点，∴FG=12A1B，当FG的最小时，即A1B最小，∵四边形ABCD为矩形，AB=4，BC=3，∴AD=BC=3，∠A=90°，∴BD=AB2+AD2=5，∵△ADE沿DE折叠，∴A1D=AD=3，在△A1BD中有A1B+A1D≥BD，∴A1B≥BD-A1D，即A1B≥2，∴FG=12A1B≥1，∴FG的最小值为1，故答案为：1．22(2024•郾城区一模)如图，在矩形ABCD中，AD=63，AB=6，对角线AC，BD相交于点O，点E在线段AC上，且AE=4，点F为线段BD上的一个动点，则EF+12BF的最小值为4．【分析】过点E作EG⊥BC于点G，过点F作FH⊥BC于点H，首先根据题意将12BF用FH表示，再将EF+FH的最小值用EG表示，进而求出EG的长即可解决问题．【解答】解：过点E作EG⊥BC于点G，过点F作FH⊥BC于点H，如图，∵四边形ABCD是矩形，AD=63，AB=6，。

2024年中考数学压轴题(全国通用)：以相似为载体的几何综合问题(教师版含解析)

2024年中考数学压轴题(全国通用)：以相似为载体的几何综合问题(教师版含解析)
挑战 2023 年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（全国通用）
专题 27 以相似为载体的几何综合问题
21．（2022·四川内江·中考真题）如图，在矩形 ABCD 中，AB＝6，BC＝4，点 M、N 分别在 AB、AD 上，且 MN⊥MC，点 E 为 CD 的中点，连接 BE 交 MC 于点 F．
(1)当 F 为 BE 的中点时，求证：AM＝CE； (2)若퐸퐵 ＝2，求퐴 的值； (3)若 MN∥BE，求퐴 的值．
（1）问题解决：如图①，若
AB//CD，求证：��12
=
�퐶⋅� �퐴⋅�퐵
（2）探索推广：如图②，若퐴퐵与퐶 不平行，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；
若不成立，请说明理由．
（3）拓展应用：如图③，在�퐴上取一点 E，使�퐸 = �퐶，过点 E 作퐸 ∥퐶 交� 于点
F，点 H 为퐴퐵的中点，� 交퐸 于点 G，且� = 2
=
�퐶⋅� �퐴⋅�퐵
=
5�⋅5� 6�⋅9�
∴ 퐸 = � ⋅ sin∠ �퐸，퐵 = �퐵 ⋅ sin∠퐵� ，
∴�△�퐶
=�1=
1 2
�퐶
⋅
�△퐴�퐵=�2=
1 2
�퐴
⋅
퐵
퐸=
1 2
�퐶
⋅
�
⋅ sin∠ �퐸，
=
1 2
�퐴
⋅
�퐵
⋅
sin∠퐵�
，
∵∠DOE=∠BOF，
∴sin∠ �퐸 = sin∠퐵� ；
∴�1
�2
=
12�퐶⋅� ⋅sin∠ �퐸 12�퐴⋅�퐵⋅sin∠퐵�
(3)首先利用同角的余角相等得
∠CBF＝
∠CMB，则
相关主题
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

中考28汇编1．如图，在四边ABCD 中，BC=DC ，∠BAD+∠BCD=180°，AC ⊥BC ，O 是AB 的中点 （1） 如图1，求证：∠OCD=∠OBC（2） 如图2，E 是AC 上一点，连接OE 并延长交AD 于点F ，连接BD ，分别交AC 、OC 于点M 、N ，若∠FOC=3∠CBD ，BN DM 76，试探究线段OE 和EF 之间的数量关系，并证明你的结论。

O DCBAO NMFEDCBA（图1）（图2）2．△ABC ，∠ACB=90°，点D 在BC 上，点E 在AD 上，∠CEB=90°，∠CED=∠CBA ，CE 的延长线交AB 于点F ，连接DF 。

（1） 如图1，求证：∠EFD=∠DBE ； （2） 如图2，若32cos =∠CAB ，DF 与BE 交于点G ，猜想GF 与DB 之间的数量关系并证明。

EDCBAGEDCBA（图1）（图2）3．已知，如图1，等腰直角△ABC中，AC=BC，等腰直角△CDE中，CD=DE，AD∥BC，CE与AB 相交于点F，AB与CD相交于点O，连接BE（1）求证：F为CE中点；（2）如图2，过点D作DG⊥BE于G，连接AE交DG于点H，连接HF，请探究线段HF与BC 之间的数量及位置关系，并证明你的结论。

OF EDC B A（图1）OGHFEDC BA（图2）4如图在四边形ABCD 中，连结BD 、AC 相交于F ，AB=BC ，AD=DE=DC ，∠ABC+∠EDC=180°，且AB AE AD ⋅=2。

（1） 如图1，求证：∠ADE=2∠DCA ；（2） 如图2，过点B 作BH ⊥CD 于点H ，交AC 于点G ，连结EC 交BD 于点P ，交BH 于点Q ，若31tan =∠ACD ，试探究线段PE 与PQ 之间的数量关系，并证明你的结论。

PG H QFEDCBAFEDCBA（图1）（图2）5．在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，54sin =B ，作CH ⊥AB 于点H ，D 、K 分别为边AB 、AC 上的点，连接CD 、DK ，在射线DK 上取一点E ，使∠DCE=∠B ，且CE CD CK BC ⋅=⋅54。

（1） 如图，求证：∠CED=90°；（2） 连接AE 并延长交直线BC 于点G ，探究线段BC 、BG 、DH 之间的数量关系，并证明你的结论。

KH ED CBAHCB AHC B A6．如图，等腰△ABC 中，AB=AC ，点D 在BC 边上，连接AD ，点E 在直线AC 上，直线DE 交直线BA 于点F ，且∠BDA=∠CDE （1） 求证：2AB CE BF =⋅；（2） 当∠BAC=120°时，作射线CF ，在射线CF 上确定一点G ，使∠BGC=∠ABC ，直线BG 交直线AC 于H ，请你猜想AB 、CE 、AH 这三条线段之间的数量关系，并且证明你的猜想。

FEDCBA7．已知，△ABC 中，54sin =∠A ，点D 为AB 中点，点E 、F 分别是射线AC 、CB 上的点，连接DE 、EF 、DF ，∠EDF=90°，∠A=∠EFD （1） 求证：∠ACB=90°；（2） 若点D 关于EF 的对称点为N ，连接CN ，过点F 作FH ⊥CN 交直线CN 于点H ，试探究CE 、CN 、FH 三者之间的关系，并证明你的结论。

FEDAFEDA备用图2备用图18．如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点M ，AC 平分∠BAD ，∠ABD 的角平分线交AC 于点E ，∠CBD=∠CAD ，点A 关于直线BE 的对称点F 在BD 上，连接AF 。

（1） 如图①，求证：∠BCE=2∠CAF ；DBB备用图（2） 如图②，过C 作BD 的垂线分别交BD 、BE 于点P 、G ，过E 作AB 的垂线交AB 于点H ，若∠BCE=4∠GCE ，BE=3AE ，22:15: BD BH ，试探究线段BD 、CG 、DF 之间的数量关系，并证明你的结论。

MFEDC BAGMHPFEDC BA图1图29．在△ABC 与△ADE 中，点E 在BC 边上，AE AD 54=，AG 为△ADE 的中线，且∠EAG=∠ACB ， ∠DAG=∠B（1） 如图1，求证：AC AB 54=； （2） 如图2，点F 是AC 中点，连接DF ，∠AFD=∠DAE ，连接CD 并延长交AB 于点K ，过点D作DQ ∥BC 交BK 于点Q ，①求证：点Q 为BK 的中点；②试探究线段BE 与DQ 的数量关系，并证明你的结论。

GQKFDCBAGDCBA图1图210．如图，△ABC 中，∠CAB=45°，点D 在△ABC 内部，∠ADC=135°，点E 在△ABC 外部，EA=EB ，DE 平分∠ADB（1） 如图1，求证∠DBA=∠ACD ；（2） 如图2，若CB ⊥AB ，猜想线段CD 与AC 之间的数量关系并证明。

EDCB A 图1图2D C BA11．△ABC 中，AB=AC ，D 是BC 边上一点，连接AD ，E 为△ABC 外一点，连接DE 、AE 和BE ，AD=DE ，BE ∥AC 。

（1） 如图1，求证：∠BED=∠DAB ；（2） 如图2，当D 为BC 中点时，作DF ⊥AC 于F ，连接BF 交DE 于点H ，作AK ⊥BF 分别交BF 、DF 于点G 、K ，AF= 4DK ，试探究线段DH 和AE 之间的数量关系，并证明你的结论。

ED AGHK FEDCBA12．△ABC ，点D 在AB 上，AD=AC ，连接CD ，点E 、F 分别在线段BC 、射线CA 上， ∠EDF=∠ACB ，点G 在DF 上，DE AD BC DG ⋅=⋅ （1） 如图，求证：∠DGE=∠BAC ； （2） 若AD=3BD ，87cos =∠BAC ，射线CG 交AB 于点H ，探究线段DH ，FA ，FC 之间的数量关系，并证明你的结论。

GFE DCBA (1)问图DC ADCA备用图备用图13．如图，在△ABC 中，BC AC 3=，点D 在AB 边上，∠ADC=∠ACB ，BA BD BC ⋅=2（1） 求证：∠A=30°；（2） 点E 在线段AB 上，连接CE ，把射线EC 绕点E 顺时针针旋转30°，所得射线与过点C 且垂直EC 的直线相交于点F ，取EF 的中点G ，连接BG 并延长，交射线AC 于点H ，请探究线段CH 、CD 、BE 之间的数量关系，并证明你的结论。

D C B A DCB A 备用图C备用图14．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，tan∠ABC=2，BD为AC边上的中线，点F在线段BD上，且DF=2BF，连接CF并延长，交AB边于点E（1）求证：∠CEA=90°；（2）点P在线段CA上，过点P作PH∥CE，交线段AB于点G，交射线BD于点H，请探究线段PC、PD、GH之间的数量关系，并证明你的结论。

15．如图，在△ABC 中，BD 平分∠ABC ，交AC 边于点D ，CE 平分∠ACB ，交AB 边于点E ，BDFE D C BA FE D C BA备用图与CE 交于点F ，且CA CD CE CF ⋅=⋅ （1） 求证：∠A=60°；（2） 点G 在射线AF 上，点H 在线段AC 上，GH ⊥AC ，若FC=3DF ，请探究线段AG 、DH 、EF之间的数量关系，并证明你的结论。

FEDCBA FEDCBA备用图16．如图，在△ABC 是中，∠ACB=90°，AC=BC ，点D 在射线AC 上，点E 在线段BD 上，点F 是线段AB 的中点，连接EF ，且BD BE BF ⋅=22（1） 求证：∠BEF=45°；（2） 过点A 作AH ⊥BD ，垂足为点H ，连接HC ，延长FE ，交HC 于点G ，请探究线段GE 、EF 、BH 之间的数量关系，并证明你的结论。

F EDCBA CBA 备用图17．已知：正方形ABCD 中，点E 在射线BC 上，作射线DE ，其中0°<∠CDE<45°，过点B 作DE 的垂线分别交射线DC 、射线DE 于点F 、H ，作射线AE 交射线DC 于点G （1） 如图，求证：AGGEAB CF； （2） 作射线AC 交射线BF 于点Q ，点P 是线段AG 上不与点A 、G 重合的一点，连接CP 、PQ 、GH ，若∠CPQ=∠GHQ+∠CED ，探究线段PQ 、PC 、PG 之间的数量关系，并证明你的结论。

HG F E D CB A (1)问图DC B A 备用图18.如图，在△ABC 中，∠ABC=120°，AB=CB ，BH ⊥AC 于H ，D 是射线BH 上一点，连接AD ，以点A 为旋转中心，将射线AD 顺时针旋转ABH 21，交射线BH 于E ，在射线AE 上取一点F ，连接FC ，点D 在AF 的垂直平分线上 （1） 如图1，求证：∠BCF=90°；（2） 连接BF ，取BF 的中点G ，连接DG ，探究线段FC 、DG 、BH 三条线段间的数量关系，并证明你的结论。

H FE D B A H B A H BA19.已知△ABC 为等边三角形，点D 为AB 边的中点，点E 在过B 点且平行于AC 的直线上，点F 在射线DA上，连接EF 、CF 、CE ，EF=CF （1）如图，求证：△CEF 为等边三角形；（2）将线段CE 沿着线段CF 翻折，交过D 点且平行于BC 的直线于点G ，请探究线段BE 、DG 、AB 之间的数量关系，并证明你的结论。

图1备用图备用图B(1)问图C B ACB A备用图备用图20.如图，在正方形ABCD 中，点E 在AD 边上，点F 在BC 边的下方，且∠BCF=45°，AE CF 2 ，连接AF ，交线段BE 于点G ，交BC 边于点H（1）求证：∠AGE=45°；（2）过点G 作GM ⊥AN ，交直线CD 于点M ，请探究线段BN 、DM 和AB 之间的数量关系，并证明你的结论。

N GEDCB ADC B ADCB A1.证明：（1）过点C 作CT ⊥AB 于点T ，CR ⊥AD ，交AD 延长线于点R ，∴∠CRD=∠CTB=90° 设∠BAC=a ，∵AC ⊥BC ，∴∠ACB=90° ∠B=90°— a 又∵O 是AB 的中点，∴OC=OB=OA ， ∴∠OCA= a ，∠OCB=90°— a ∵∠BAD+∠BCD=180°，∴∠B+∠ADC=180°，∵∠ADC+∠CDR=180°，∴∠CDR=∠B=90°— a ∵CD=CB ，∴△CRD ≌△CTB ，∴CR=CT ， ∴∠CAR=∠CAB= a ∴∠CAR=∠ACO= a ∴AD ∥OC ，∴∠OCD+∠ADC=180°， ∵∠OBC+∠ADC=180°，∴∠OCD=∠OBC （2）线段OE 与EF 之间的数量关系是：1011=EO EF 连接OD 交AC 于点H ，过点D 作DL ∥AB 交AC 延长线于点L ∴∠L=∠LAB=∠DAL ， ∠LDB=∠DBA ，∴DL=DA ，△MDL ∽△MBA ， ∴ABADAB LD MB MD == ∵∠BAD=2 a ， ∴∠BCD=180°a 2- ∵CD=CB ，∴∠CDB=∠CBD= a ∵OC=OB ，∴∠OBC=∠OCB=∠OCD ∴OC ⊥BD ，BN=DN ，∴OD=OB=OC=OA ∴∠ODA=∠OAD=2 a ，由（1）AD ∥OC ，∴∠DOC=∠ODA=2 a ，∠BOC=∠OAD=2 a ，∵∠FOC=3∠CBD=3 a ，∠FOD= a ， ∴∠FOD=∠HCO= a ∴△OFD ≌△CHO ，∴FD=OH 设BN=7k ，∵BN DM 76=，∴DM=6k MN=k ，∴BM=8k ∴43862====k k OC AD AB AD MB MD ，∴23=OC AD ∵∠DAC=∠OCA ， ∠AHD=∠CHO ，∴△HAD ∽△HCO ∴23==OH DH OC AD 设AD=3m ， 则OA=OC=OD=2m ，∴m OH 54=，∴m FD 54=，∴m m m FD AD AF 511543=-=-= ∵∠OCA=∠DAC ，∠FEA=∠OEC ， ∴△AEF ∽△CEO ∴10112511===m mOC AF EO EF2. 证明：（1）∵∠CED=∠CBA ∠ECD=∠BCF ∴△ECD ∽△BCF ∴CFCDBC EC =∵∠FCD=∠BCE ∴△ECB ∽△DCF ∴∠EFD=∠DBE ； （2）GF BD 5=延长BE 交AC 于点H ∵∠CEB=90°，∠HCB=90°，∴∠HCE+∠ECB=∠ECB+∠CBE=90° ∴∠HCE=∠HBC ∵∠CHE= ∠BHC ∴△HCE ∽△HBC ∴HCHE HB HC =∴HB HE HC ⋅=2∵∠EFD=∠DBE=∠ECH ∴FD ∥AC ∴∠HAE=∠FDE ∵∠FDE+∠EFD=∠CED ∠FBG+∠EBD=∠CBA ∴∠FDE=∠EBF ∴∠HAE=∠EBFRT O NMHLFEDCBAR T DCA∵∠EHA=∠AHB ∴△HAE ∽△HBA ∴HA HEHB HA =∴HB HE HA ⋅=2 ∴HC=AH ∵DF ∥HC ∴△DGB ∽△CHB ∴HB GB CH DG = 同理HB GB AH FG = ∴AHFGCH DG =∴DG=FG 由△DGB ∽△CHB 得CH DG CB DB = ∴CHCBDG DB =∴CH CB GF DB = ∴∠ACB=90° 32cos =∠CAB 设AC= 2k 则AB= 3 k ∴k BC 5= k AC CH ==21 ∴5=CH BC ∴5=GFDB ∴GF BD 5=3. 证明：（1）连接DF ∵AD ∥BC ∴∠DAO=∠ABC=45° 又∵∠DCF=45°，∴∠DAO=∠DCF 又∵∠AOD=∠COB ∴△AOD ∽△COF ∴OF OD CO AO = ∴OFOCOD OA =又∵∠AOC=∠DOF ∴△AOC ∽△DOF ∴∠CAO=∠CDF=45° ∴∠CFD=90°，又∵CD=DE ∴CF=EF（2）过C 作CE 的垂线交ED 的延长线于K ，连接KA 可证△EBC ≌△KAC ∴CE=CKGH F E D C B∠CKA=∠CEB ∴∠CKD=45°，即∠CEB+∠AKD=45° 又∵DG ⊥BE ∴∠DGE=90° ∴∠DEG+∠DGE=90° 又∵∠DEC=45° ∴∠EDG+∠BEC=45° ∴∠AKD=∠GDE ∴DH ∥AK ∴HA EH DK ED =∴EH=EA ∴HF ∥AC ，AC HF 21= 又∵BC=AC ∴BC HF 21=延长HF 交BC 于点N ， ∵HN ∥AC ，AC ⊥BC ∴∠ACB=∠HNB=90° ∴HF ⊥BC4.证明（1）过点D 作DM ⊥AB 于点M ，DN ⊥BC 于点N ∴∠DME=∠DNC=90°∵∠ABC+∠EDC=180° ∴∠BED+∠BCD=360°— 180°= 180° ∵∠BED+∠AED=180° ∴∠AED=∠BCD ∵AD=DE=DC ∴∠ADM=∠EDM ∴∠ADE=2∠MDE ∴△DME ≌△DNC （AAS ） ∴DM=DN ∠MDE=∠NDC ∴BD 平分∠ABC ∵AB AE AD ⋅=2∴ADABAE AD =∵∠EAD=∠BAD ∴△AED ∽△ADB ∴∠AED=∠ADB=∠EAD ∴AB=BD=BC ∴AC ⊥BD ∠BDC=∠BCD ∴∠ACD=∠NDC=∠MDE ∴∠ADE=2∠DCA （2）58=PQ PE 由（1）得：∠ABD=∠CBD ∵DE=DC ∴∠DEC=∠DCE ∵∠ABD+∠CBD+∠EDC=180° ∠DEC+∠DCE+∠EDC=180°∴∠ABD=∠CBD=∠DEC=∠DCE ∵BD=BC BH ⊥CD ∴∠DBC=2∠DBH ∵AC ⊥BD ∴∠DBH+∠BDC=90°∠DCF+∠BDC=90° ∴∠DBH=∠DCF ∵∠ADE=2∠DCF ∴∠DCE=2∠DCF ∴∠DCF=∠FCP ∴∠FPC=∠FDC ∴PC=DC ∴PF=DF=AM=EM ∵在Rt △GHC 中，31tan ==∠CH GH ACD ∴设GH=k 则CH=DH=3k ∴CD=DE=CP=6k 在Rt △CHG 中 k GH CH GC 1022=+=∵∠DFC=∠GHC=90° ∠GCH=∠GCH ∴△GHC ∽△DFC ∴DCGCCF CH DF GH == ∴k k CF k DF k 6103== ∴k DF PF 1053== k CF 1059= ∴k DF PD 10562== ∵∠EDB=∠EDP ∴△EPD ∽△BED ∴ED PD BD ED = ∴k kBD k610566= ∴k BD BC 103== ∴k k k PB 10591056103=-=k k k BF 105121053103=-= ∴△QHC ∽△CFB ∴BF CHBC CQ =∴k k k CQ 105123103= ∴k CQ 415= ∴k k k PQ 494156=-= ∵∠EPD=∠BPC ∴△EPD ∽△BPC ∴BC ED PB PE = ∴k k k PE 10361059= ∴k PE 518= ∴5849518==k kPQ PEN M FEDC B A PN MG HQF ED CB A5. 证明：（1）如图1，∵CH ⊥AB ∴∠BHC=90° 又∵∠ACB=90° ∴∠B=∠ACH ∵∠DCE=∠B ∴∠DCE=∠ACH ∴∠DCH=∠KCE 又∵54sin ==BC CH B CH BC 45= CE CD CK BC ⋅=⋅54 ∴CE CD CK CH ⋅=⋅ 即CDCKCH CE =∴△CEK ∽△CHD ∴∠KEC=∠DHC=90° ∴∠CED=90°（2）①如图2 当点D 在线段BH 上时，过点D 作DC 的垂线交CE 的延长线于点M ，连接AM 由（1）可知∠DCM=∠ACH ∴cos ∠DCM=cos ∠ACH ∴ACCHCM CD =又∵∠DCH=∠MCA ∴△CDH ∽△CMA ∴53==AC CH AM DH ∠MAC=∠DHC=90° ∴∠MAC+∠BCA=90°+90°=180°∴MA ∥BC∴∠AME=∠GCE 又∵∠AEM=∠CEG ∴△AME ∽△GCE ∴ECMEGC AM =又∵34tan tan =∠=∠MDE DCE ∴34==DE ME CE DE ∴916=EC ME ∴916=GC AM∴DH GC 1615= ∴DH BG BC 1615=-② 如图3 当点D 在线段AH 上时同理可得DH BC BG 1615=-MGKH EDC BAGKH ED CBA MGKH EDCBA6. 证明：（1） 方法1：如图1，过A 作DF 的平行线交BC 于K ，∵AK ∥DF ，∴BDBKBF AB =∵AK ∥DE ，∴CKCDAC CE =∵∠BDA=∠CDE ，∴∠AKC=∠ADB ，∵AB=AC ，∴∠B=∠C ∴△ABD ≌△ACK ，∴BD=CK ，BK=CD ，∴CK CD BD BK =，∴ACCEBF AB =，∴AC AB CE BF ⨯=⨯∵AB=AC ，∴2AB CE BF =⨯方法2：如图2，∵AB=AC ，∴∠B=∠C ，∵∠ADB=∠FDC ，∴∠BDF=∠CDA ，∴△BDF ∽△CDA ∴CD BD AC BF =，∵∠B=∠C ，∠ADB=∠FDC ，∴△ABD ∽△ECD ，∴CD BD CE AB =，∴CEABAC BF =，∴2AB AC AB CE BF =⨯=⨯（2）∵∠BGC=∠BCH ，∠GBC=∠CBH ，∴△GBC ∽△CBH ，∠BHC=∠BCG ，∵∠FBC=∠HCB ，∴△BHC ∽△FCB ，∴BFBC BC CH =，∴BF CH BC ⨯=2，过点A 作BC 的垂线，垂足是K ， ∵∠BAC=120°，则︒=︒-︒=∠=∠302120180ACB B ，2BCCK BK ==，∵∠AKB=90°， ∴232cos ===∠AB BC AB BK ABK ∴223AB BC = ，由（1）得2AB CE BF =⨯， ∴CE BF BF CH ⨯=⨯3 ∴CH=3CE 。

相关文档
最新文档