巧求幻方—三阶幻方

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小学奥数专题巧解三阶幻方A

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方案二
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方案一
五、练习
1、在图1中3×3的阵列里，第一行第三列的位置上填5，第二行第一列的位置上填6，请你在其它方格中填上适当的数，使方阵横、纵、斜三个方向的三个数之和为36。 3、写出一个三阶幻方，使其幻和为24
5 6
图1 2、将
1 1 1 1 2 3 1 5 7 ，，，，，，，，这九 2 3 4 6 3 4 12 12 12
1、幻和=中间数×3 2、中间数=与中间数同一直线上(含对角线)相邻两数的和÷ 2 M= （A+F）÷2 =（D+C）÷2 =（H+E）÷2 =（G+B）÷2 3、A=（B+C）÷2 E=（B+D）÷2 F=（G+D）÷2 H=（C+G）÷2
A G E反三阶幻方是在3×3的方格子里（即三行三列），按一定的要求填上九个数，使每行、每列、及两条对角线上各自三数之和均不相等，这样的 3×3的数阵阵列称为反三阶幻方
4 5
图2
6、用1～9这九个数补全图1中的幻方，并求幻和。
8
8、在图3的空格中填入不大于15且互不相同的自然数使每一横行、竖行和对角线上的三个数之和都等于30。
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图1
图3
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赵老师教你学奥数
小学奥数专题
第一讲三阶幻方
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一、三阶幻方的定义
有关幻方问题的研究在我国已流传了两千多年，它是具有独特形式的填数字问题.宋朝的杨辉将幻方命名为“纵横图.”并探索出一些解答幻方问题的方法.随着历史的进展，许多人对幻方做了进一步的研究，创造了许多绚丽多彩的幻方. 据传说在夏禹时代，洛水中出现过一只神龟，背上有图有文，后人称它为“洛书”。洛书所表示的幻方是在3×3的方格子里（即三行三列），按一定的要求填上1～9这九个数，使每行、每列、及两条对角线上各自三数之和均相等，这样的3×3的数阵阵列称为三阶幻方，又称九宫算。一般地说，在n×n（n行n列）的方格里，既不重复又不遗漏地填上n2 个连续的自然数（一般从1开始，也可不从1开始）每个数占一格，并使排在任一行、任一列和两条对角线上的n个自然数的和都相等，这样的数表叫做n阶幻方.这个和叫做幻和，n叫做阶. .

3阶幻方规律

3阶幻方规律
三阶幻方是最简单的幻方，又叫九宫格，把1-9这九个数字填入九宫格，使每行、每列、对角线的和都相等，和称为幻和。

规律1 幻和=中间数⨯3
每行、每列、2条对角线的和加起来，其中中间数多计算了3次，得到幻和⨯4=九数之和+中间数⨯3
九数之和=幻和⨯3
∴幻和⨯4=幻和⨯3+中间数⨯3
∴幻和=中间数⨯3
规律2 关于中心位置对称的两数，两数和是中心数的2倍。

即c a b +=2
幻和=中间数⨯3
∴b c b a 3=++
∴c a b +=2
规律3 2倍角格的数=不相邻的2个边格数之和。

即c b a +=2
过a 有3条线，计算它们的和，得到
幻和⨯3=九数之和c b a --+2
九数之和=幻和⨯3
∴02=--c b a
因此c b a +=2
优秀小达人
1、在下面方格里填入适当的数，使它成为一个三阶幻方。

2、在下面方格里填入适当的数，使它成为一个三阶幻方。

九宫格三阶幻方的解法

九宫格三阶幻方的解法九宫格三阶幻方是一种非常古老、有趣又具有挑战性的数学游戏。

它也被称为“阿基米德火锅”，它由九个小格子组成，每个小格子上都有一个数值，数值从1到9，要求每一行、每一列、以及每一个斜线都必须等于15。

九宫格三阶幻方是一个非常有趣的游戏，由它的普遍性和有趣性吸引着越来越多的年轻人和老年人。

解决九宫格三阶幻方的过程可以帮助它们消除焦虑，放松心情，培养动手能力，增强解决问题的能力。

九宫格三阶幻方的解法是通过发现已有的数字推测未知数字来解决的，这种方法也叫“猜测发现”。

首先，你需要在九宫格寻找已有的数字，然后根据已有的数字来依次计算其他的数字。

这也是一个解决这样的问题的轨迹。

一般来说，首先要确定九宫格里的元素，然后根据已知数字来推断未知数字，并在行列和对角线上保持每一行每一列每一对角线之和都等于15。

下面给大家介绍一些解题技巧：1、根据行、列以及对角线之和来推算未知数字，然后在已知数字中进行比较；2、可以利用未知数字较少的一组数据，从中发现规律，用这一规律来推断剩余未知数字；3、当你观察九宫格的时候要根据每一行、每一列、以及每一对角线之和都等于15的原则来进行推断；4、要注意每一行、每一列、以及每一对角线都不能重复；5、根据九宫格中已知的数字，找出空缺的数字；6、仔细检查每一行、每一列以及每一对角线之和都是否等于15；7、确定好数字的位置，根据九宫格的放置位置、行、列及对角线的和推断是否符合；8、根据数字的位置进行判断；9、最后，把匹配的数字放到指定的九宫格中去，当数字完全匹配的时候，即可求出九宫格三阶幻方的解法。

九宫格三阶幻方是一个非常有趣的游戏，它不仅可以让我们消磨时间，而且还能让我们体会到解决问。

--三阶幻方

1第六讲三阶幻方三阶幻方就是将九个自然数填在3×3（三行三列）的正方形内，使每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数的和都相等。

三阶幻方是一种特殊的数阵图。

1、将1~9这九个数填入下图，使它成为一个三阶幻方。

随堂练习用0到8这9个数构成一个三阶幻方。

2、将1、3、5、7、…、17填入3×3的方格中，使它成为一个三阶幻方。

随堂练习将2、4、6、8…18填入3×3的方格中，使它成为一个三阶幻方。

3、如果1、4、7、10、13、16、19、22、25这9个数组成的三阶幻方，那么2每一行、每一列、每一条对角线的和是多少？中央的那个数是多少？随堂练习如果2、6、10、11、15、19、20、24、28可以组成一个三阶幻方，那么每一行、每一列、每一条对角线的和是多少？中央的那个数是多少？4、右图是一个三阶幻方，已知3个数，请根据幻方的性质填出其他的数。

随堂练习右图是一个三阶幻方，已知3个数，请根据幻方的性质填出其他的数。

5、右图已知每一行、每一列、每条对角线上 3个数的乘积都相等，请填出其他的数。

6 28 1515 4231 1263随堂练习右图已知每一行、每一列、每条对角线上3个数的乘积都相等，请填出其他的数。

4 10 2526、已知右图是一个三阶幻方，每一行、每一列、每条对角线的和都等于2037，求画有“？”的格子填的数是多少，并写出其他格子中的数。

447 ？894读一读：幻方起源于中国，传说在大禹治水时有神龟在洛水出现，背上有图，称34为洛书.课后练习1、用3、6、9、12、15、18、21、24、27这9个数作一个三阶幻方. 2、用0、2、4、6、8、10、12、14、16这9个数作一个三阶幻方.3、在空格中填数，使每一行、每一列、每条对角线的和都等于30.4、在空格中填数，使每一行、每一列、每条对角线的和都等于30.5、下图是一个三阶幻方，求“？”是多少.第（3）题第（4）题第（5）题6、用9个连续自然数组成三阶幻方，使每一行、每一列、每条对角线的和都是60.7、从1~13这13个数中选出12个数填到下图，使每一横行的4个数的和相等，使每一竖列的3个数的和也相等.这时所选的12个数是哪12个数？每一行的和是多少？每一列的和是多少？并完成下图。

三阶幻方的讲解

三阶幻方的讲解在3×3（三行三列）的正方形方格中，既不重复又不遗漏地填上1～9这9个连续的自然数，使每行、每列、每条对角线上的三个自然数的和均相等，通常这样的图形叫做三阶幻方。

如果是在4×4（四行四列）的方格中进行填数，就要不重不漏地在4×4方格中填上16个连续的自然数，并且使方格的每行、每列及每条对角线上的四个自然数之和均相等，这样填出的图形就叫做四阶幻方。

幻方实际上就是一种填数游戏，它不仅限于三阶、四阶，还有五阶，六阶，……，直到任意阶。

一般地，在n×n（n行n列）的方格里，既不重复也不遗漏地填上n×n个连续的自然数（注意，这n×n个连续自然数不一定非要从1开始），每个数占1格，并使排在每一行、每一列以及每条对角线上的n个自然数的和都相等，我们把这个相等的和叫做幻和，n叫做阶，这样排成的数的图形叫做n阶幻方。

这里我们主要学习三阶幻方。

例1用1～9这九个数编排一个三阶幻方。

分析与解先求幻和再添数！雪帆提示：先求总和，看看有几个幻和，常把中间数填入中间先用a，b，c，…，i分别填入图1的九个空格内，以代表应填的数，如图2。

（1）审题首先我们应知道幻和是多少才好进行填数。

同时我们可以看到图2中e是一个很关键的数，因为它分别要与第二行、第二列以及两条对角线上的另外两个数进行求和运算，结果都等于幻和；其次是三阶幻方中四个角上的数：a，c，g，i，它们各自都要参加一行、一列及一条对角线的求和运算。

如果e以及四个角上的数被确定之后，其他的数字便可以根据幻和是多少填写出来了。

（2）求幻和幻和=（1+2+3＋4＋5+6＋7＋8＋9）÷3=45÷3=15（3）选择解题突破口突破口显然是e，在图2中，因为a＋e+i=b＋e＋h=c＋e＋g=d＋e＋f=15，所以（a＋e＋i）+（b+e+h）＋（c＋e+g）＋（d+e＋f）=15+15＋15＋15=60，也就是：（a＋b+c+d＋e＋f+g＋h＋i）＋3×e=60。

三年级第9讲三阶幻方

3. 用2、4、6、12、14、16、22、24、26编制一个三阶幻方．
课后巩固练习
4. 将9个连续自然数填入3X3的方格内，使得每行、每列以及每条对角线上的3个数的和都等于66.
5. 将图中的数重新排列，使得每行、每列以及每条、对角线上的3个数的和都相等。
6. 一个三阶幻方，每行、每列、每条对角线上的3 个数的和都等千300. 幻方中央是多少？为什么？
●●●● 随堂练习 3
（1）如果 2、6 、10 、11 、15 、19 、20 、24 、28 可以组成一个三阶幻方，那么每一行、每一列、每条对角线的和是多少？中央的那个数是多少？
（1）用9个连续的自然数组成三阶幻方，是每一行、每一列、每条对角线的和都是60.
【例 4】
【例4】图9-4是一个三阶幻方，已知3个数，请根据幻方的性质填出其他的数.
➢ 知识拓展
三阶幻方的历史. 幻方起源于中国．传说在大禹治水时有神龟在洛水出现，背上有图，称为“洛书”.宋代学者朱熹在所著的《周易本义》卷首画出如下的洛书图，它与例（1）排列实际上是一样的。
➢ 知识拓展
洛书所表示的幻方是在3×3的方格子里（即三行三列），按一定的要求填上1-9这九个数，使每行、每列、及两条对角线上各自三数之和均相等，这样的3×3的数阵阵列成为三阶幻方，又称九宫格.
早在公元1275年，宋朝的杨辉就对幻方进行了系统的研究.他称这种图为“纵横图”. 并总结出了构造三阶幻方的口诀：
九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出.
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三阶幻方的方法和其中的数字规律

三阶幻方的方法和其中的数字规律嘿，朋友们！今天咱来聊聊三阶幻方。

三阶幻方啊，就像是一个神秘的数字魔法阵。

你看哈，三阶幻方就是把九个数字填进一个3×3 的方格中，让每行、每列以及两条对角线上的数字之和都相等。

这听起来是不是挺神奇的？先来说说填三阶幻方的方法。

咱可以先把中间的数字确定下来，一般来说，中间这个数字就像是整个幻方的核心呐！那怎么确定呢？可以找这九个数字的中间数呀。

然后呢，再根据其他数字和中间数字的关系慢慢填。

这就好像是搭积木，一块一块地往上放，可有意思啦！再讲讲其中的数字规律。

你想想，九个数字在那方格中，怎么就能那么巧妙地达成那种神奇的平衡呢？这其中的规律可多着呢！每行、每列、对角线上的数字相互关联，就像一群小伙伴手牵手，谁也不能掉队。

比如说，相对的两个数字之和可能会相等，或者每行数字的间隔可能有某种规律。

咱举个例子哈，比如有这么一组数字1、2、3、4、5、6、7、8、9。

咱把 5 放在中间，然后试着填其他数字。

哎呀，你会发现，随着数字的填入，它们之间的关系越来越清晰，就像一幅神秘的画卷慢慢展开。

这感觉，就像在探索一个未知的宝藏一样刺激！三阶幻方可不只是个数学游戏哦，它在很多地方都有用呢！比如在一些谜题中，或者在设计图案的时候。

它就像是一把神奇的钥匙，可以打开很多奇妙的大门。

你说这三阶幻方是不是特别神奇？它就像一个小小的数字宇宙，充满了奥秘和惊喜。

咱可得好好研究研究，说不定能发现更多有趣的东西呢！所以啊，别小看了这小小的三阶幻方，它里面蕴含的智慧和乐趣可多着呢！大家都快来试试吧，感受一下数字魔法的魅力！。

三阶幻方的10种解法

三阶幻方的10种解法《三阶幻方的10种解法》三阶幻方是一种古老的数学游戏，它由9个单元组成，每个单元上都有一个1-9的数字，要求每一行、每一列和每一个正方形中的数字都是不同的，而且每行、每列和每个正方形的数字之和都是相同的。

三阶幻方有10种解法，它们分别是：1. 旋转法：把整个幻方旋转180度，把每一行的数字按顺序排列，把每一列的数字调换位置，把每一个正方形的数字按照某种规律排列，从而达到目的。

2. 调换法：把每一行的数字按顺序排列，把每一列的数字调换位置，把每一个正方形的数字按照某种规律排列，从而达到目的。

3. 交换法：把每一行的数字按顺序排列，把每一列的数字进行交换，把每一个正方形的数字按照某种规律排列，从而达到目的。

4. 排列法：把每一行的数字按照某种规律排列，把每一列的数字按照某种规律排列，把每一个正方形的数字按照某种规律排列，从而达到目的。

5. 对称法：把每一行的数字按照某种规律排列，把每一列的数字按照某种对称规律排列，把每一个正方形的数字按照某种规律排列，从而达到目的。

6. 尝试法：尝试把每一行的数字排列成某种规律，尝试把每一列的数字排列成某种规律，尝试把每一个正方形的数字排列成某种规律，从而达到目的。

7. 反转法：把每一行的数字反转，把每一列的数字反转，把每一个正方形的数字反转，从而达到目的。

8. 合并法：把每一行的数字合并，把每一列的数字合并，把每一个正方形的数字合并，从而达到目的。

9. 翻转法：把每一行的数字翻转，把每一列的数字翻转，把每一个正方形的数字翻转，从而达到目的。

10. 拼接法：把每一行的数字拼接，把每一列的数字拼接，把每一个正方形的数字拼接，从而达到目的。

三阶幻方的10种解法虽然不同，但都是为了达到同样的目的，即把9个单元上的数字按照某种规律排列，从而使每一行、每一列和每一个正方形的数字都是不同的，而且每行、每列和每个正方形的数字之和都是相同的。

这就是三阶幻方的10种解法。

三阶幻方的N种构造方法

三阶幻方的N种构造方法说起幻方，许多人见惯不怪了。

最简单的莫过于三阶幻方或者说四阶幻方，三阶幻方是由1到9这9个数填进3×3的九宫图中，使每行，每列和对角线的三个数之和相等（3阶，幻和为15）。

三阶幻方最早起源于我国，古代人们将三阶幻方称之为“河图”和“洛书”我国宋代数学家杨辉称之为“纵横图”。

好了，其他的不多说了，让我们直奔主题吧。

第一种：变形法将1~9数依顺序填入下框；2和6对调，4和6对调；将2、4、6、8向四个角外移。

这样就快速完成3阶幻方了。

第二种：楼梯法在第一行的中间填上1.，然后依次在“右上角”填上2（下一个数），再在2的“右上角”（相对的）填上3，依次类推。

当遇到“右上角”已经有数的时候，就填在原地的下一个格，再运用楼梯法继续填，知道填到最后一个数。

由于3的右上角已经有数了，所以4要填在3的下一个格。

再填5在4的右上角，就这样以此类推。

就这样就完成了。

还有，这种方法适用于所有的奇数幻方。

第三种：推理法①1～9个数填入九宫图，容易推出幻和为15，而用1～9个数有以下的算式组合。

1+5+9=152+5+8=153+5+7=154+5+6=152+6+7=152+5+8=152+4+9=154+3+8=158+1+6=15观察上面9条算式容易知道，5出现了4次，1、3、7、9出现了2次，2、4、6、8出现了3次。

再回来想想九宫格的位置特性，中间的格一定要满足4条算式（中间行，中间列，2对角线）成立，故中间应该填的是5；四个角的格也要各满足3条算式成立，故四个角的格应该填的是2、4、6、8。

（其实不用下面步骤都可以构造出来了，因为幻和为15，可以推算出。

）同理，1、3、7、9应该填在前行前列的中间。

这样的话，就很容易构造出3阶幻方。

所以得出的3阶幻方如下：第四种：推理法②前提条件：已知幻和=15，中间是5。

分析：三个数构成幻和为15的等式，这三个数必定是“3个奇数”或者“2个偶数和一个奇数”。

三阶幻方例题和解法

三阶幻方例题和解法
三阶幻方是一个3x3的方阵，其中填充了1到9的数字，使得每一行、每一列和对角线上的数字之和都相等。

下面是一个三阶幻方的例题及解法：
例题：
2 7 6。

9 5 1。

4 3 8。

解法：
1. 首先，我们可以计算每一行、每一列和对角线的和。

根据幻方的定义，它们应该相等。

行和，2 + 7 + 6 = 15。

列和，2 + 9 + 4 = 15。

对角线和，2 + 5 + 8 = 15。

2. 接下来，我们可以观察幻方中已经填充的数字，找出缺失的数字。

缺失的数字为 1, 3, 4, 5, 6, 7, 9。

3. 由于幻方中的数字范围是1到9，我们可以尝试填充缺失的数字，使得每一行、每一列和对角线的和都等于15。

填充1到9的数字，确保每个数字只出现一次。

一种可能的解法如下：
2 7 6。

9 5 1。

4 3 8。

这个解法满足每一行、每一列和对角线的和都等于15。

需要注意的是，这只是一个例题的解法，幻方有多个解。

通过不同的排列和旋转，可以得到其他满足条件的幻方。

三阶幻方的解题方法

三阶幻方的解题方法嘿，朋友们！今天咱来聊聊三阶幻方的解题方法，这可有意思啦！三阶幻方呢，就像是一个神秘的小魔法阵。

你看啊，它就像是一个九宫格，要把一些数字巧妙地放进去，让每行、每列以及对角线上的数字之和都相等。

这可不是随便乱放就能行的哦！咱先来说说怎么开始。

就好像你要搭积木，得先找到那个最关键的基石。

在三阶幻方里，中间那个格子就特别重要。

一般来说，先把中间的数字确定好，就像是给这个魔法阵找到了中心一样。

然后呢，你可以试着从一些比较特殊的数字入手。

比如说，最小的数字或者最大的数字，把它们放在合适的位置。

这就好比你挑衣服，先选一件最喜欢的，其他的再慢慢搭配嘛。

接着呀，你得不断地尝试和调整。

这可不是一蹴而就的事儿，就跟你走路一样，可能会走几步弯路，但最后总能找到正确的方向。

有时候你觉得这个数字放这儿挺好，可再一看，哎呀，不行，得换个地方。

别着急，慢慢来，就像解开一个小谜题。

你想想看，这三阶幻方不就像是一个小小的智力挑战游戏吗？每次尝试都是一次冒险，每次调整都是一次探索。

当你终于找到了那个完美的组合，哇，那种成就感，简直比吃了蜜还甜！比如说，你看这个三阶幻方，一开始可能乱七八糟的，数字们就像调皮的小孩子到处乱跑。

但你耐心地哄着它们，让它们一个个找到自己的位置，最后整整齐齐的，多棒呀！而且哦，解三阶幻方还能锻炼你的大脑呢！让你的思维变得更敏捷，就像给大脑做了一次健身操。

这多好呀，既能玩得开心，又能变得更聪明。

所以啊，大家别害怕三阶幻方，大胆地去尝试吧！别觉得它很难，只要你用心，肯定能搞定它。

就像爬山一样，虽然过程有点累，但当你站在山顶俯瞰风景的时候，一切都值得啦！三阶幻方就是这样一个有趣又有挑战的东西，等着你们去征服它呢！。

三阶幻方(含答案)-

三阶幻方(含答案)-编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（三阶幻方(含答案)-）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为三阶幻方(含答案)-的全部内容。

三阶幻方同学们：在（三行三列）的正方形方格中,既不重复又不遗漏地填上1—9这9个连续的自然数，使每行、每列、每条对角线上的三个自然数的和均相等，这样的图形叫做三阶幻方.如果在(四行四列）的正方形方格中进行填数，就要不重复，不遗漏地在方格内填上16个连续自然数,且使每行、每列、每条对角线的四个自然数之和均相等,这样的图形叫四阶幻方。

一般地，在几×几（几行几列）的方格里，既不重复又不遗漏地填上几×几个连续自然数，（注意这几×几个连续自然数不一定非要从1开始），每个数占一个格，且每行、每列、每条对角线上的几个自然数和均相等，我们把这个相等的和叫做幻和，几叫做阶,这样排成的数的图形叫做几阶幻方。

(一）思路指导与解答例1。

用1～9这九个数编排一个三阶幻方。

分析：我们先用a 、b 、c 、d 、e 、f 、g 、h 、i 分别填入九个空格内以代表应填的数。

看图（2）：（1）通过审题，我们知道幻和是多少才好进行填数.同时可以看到图（2）中，e 是一个中间数，也是关键数。

因为它分别要与第二行、第二列以及两条对角线上的另外两个数进行求和运算,结果都等于幻和；其次是三阶幻方中四个角上的数:a 、c 、g 、i 它们各自都要参加一行，一列及一条对角线的求和运算。

如果e 以及四个角上的数被确定之后，其它的数字便可以根据幻和是多少填写出来了. （2）求幻和：幻和（3)选择突破口，显然是e ，看图2。

三阶幻方特点和规律

三阶幻方特点和规律
三阶幻方的规律：任何一个角上的数都等于与这个数不在同一横行、竖列及对角线上的两个数之和的一半。

三阶幻方中的一个规律及其证明三阶幻方就是在一个3行3列的九宫格中，横行、竖列及对角线的3个数之和都相等，816357492。

求三阶幻方的特点：
1、每一个数放在前一个数的右上一格。

2、如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列。

3、如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行。

4、如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内。

5、由1、2、3、……等连续自然数生成的幻方为基本幻方，在此基础上各数再加或减一个相同的数，可组成由零或负数组成的新幻方，新幻方的幻和也随之变化，不再与原幻方幻和同。

三阶幻方的9条规律规律

三阶幻方的9条规律引言幻方是一种古老的数学游戏，是一种$n\t i me sn$（nx n）矩阵，其中每个数字都是独一无二的，并且所有行、列、对角线上的数字之和都相等。

三阶幻方是其中的一种特殊形式，指的是$3\t im es3$（3x3）的矩阵。

本文将介绍三阶幻方的九条规律，帮助读者更好地理解和解决这种数学谜题。

1.规律一：幻方矩阵中的数字范围在三阶幻方中，每个格子中的数字范围是1到9，且每个数字只能在幻方的矩阵中出现一次。

2.规律二：幻方矩阵的行、列、对角线之和相等在三阶幻方中，每行、每列、以及两条对角线（正对角线和反对角线）上的数字之和都相等，该和被称为幻方的常数。

这是幻方的核心特征。

3.规律三：中心格的数字在三阶幻方中，中心格的数字是常数的一半加一。

例如，如果幻方的常数是15，那么中心格的数字就是$(15+1)/2=8$。

4.规律四：对角线上的数字之和对于任意一个三阶幻方，其两条对角线上的数字之和必然等于常数的一半。

这是因为两条对角线上的数字都是幻方中的唯一数字。

5.规律五：对称性三阶幻方具有镜像对称性。

即，将幻方矩阵沿着中心竖直线进行翻转，得到的幻方矩阵仍然是一个有效的幻方。

6.规律六：角落和边上的数字在三阶幻方中，角落和边上的数字之和等于所有数字之和的三分之一。

这是因为幻方中的每个数字都在三行三列中出现了三次，而角落和边上的数字没有重复。

7.规律七：幻方的变体在三阶幻方中，存在多种变体。

人们可以通过改变三阶幻方中的数字排列顺序，得到多个不同的解。

这些变体仍然满足幻方的所有规律。

8.规律八：幻方的解法解决三阶幻方的常见方法是通过试错法。

从幻方中的一个已知数字开始，逐步填充其他格子，遵循幻方的规则，直至填满所有的格子。

9.规律九：幻方的意义三阶幻方不仅仅是数学谜题，它还具有一定的文化和历史意义。

在古代，幻方被视为一种神秘的数学游戏。

人们相信幻方可以带来好运和祈福，因此它广泛应用于建筑、雕塑和绘画等艺术形式中。

“幻方”的口诀

“幻方”的口诀“幻方”的口诀小学时，老师或者数学竞赛时经常会出现魔方的题目，记得金庸先生写的著名的武侠小说《射雕英雄传》里面的瑛姑就是被一个三阶的幻方给困住了十几年，而黄蓉不到一分钟就完成那个幻方，那么有没有什么诀窍呢？后来，在一些书上看到，对于奇数阶的幻方，有如下的口诀：一居首列正中央，依次斜填左上方；左出框时向右写，上出框时往下放；遇到重合无处填，退居原数右邻行。

举例（3阶幻方）：注：*表示还没有填数字的空位置步骤（1）：即“一居首列正中央”* * ** * *步骤（2）：即“依次斜填左上方，左出框时向右写（上一行最右列）”* * 21 * ** * *步骤（3）：即“上出框时往下放（左一列最下一行）”* * 21 * ** 3 *步骤（４）：即“遇到重合无处填”，（也就是左上方已经写有数字），“退居原数右邻行”，（将要填写的数字放到本行靠右一列）* * 21 * *步骤（５）：* * 21 5 ** 3 4步骤（６）：6 * 21 5 ** 3 4步骤（７）：注意：左上角位置的左上方位置是右下角，即６的左上方是已经填写了数据的４的位置，根据口诀“遇到重合无处填”，此时6 7 21 5 ** 3 4步骤（８）：即“上出框时往下放（左一列最下一行）”6 7 21 5 *8 3 4步骤（９）：即“依次斜填左上方，左出框时向右写（上一行最右列）”6 7 21 5 98 3 4只要是奇数阶魔方，都可根据此“口诀”构造。

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－双偶阶幻方n为偶数，且能被4整除(n=4，8，12，16，20……) (n=4k，k=1，2，3，4，5……) 先说明一个定义：互补：如果两个数字的和，等于幻方最大数和最小数的和，即n*n+1，称为互补。

先看看4阶幻方的填法：将数字从左到右、从上到下按顺序填写：1 2 3 45 6 7 89 10 11 1213 14 15 16这个方阵的对角线，已经用蓝色标出。

4 三阶幻方(精英)

第四讲三阶幻方教室姓名学号【知识要点】三阶幻方就是将九个自然数填在3×3（三行三列）的正方形内，每一行，每一列以及每一条对角线上的三个数的和都相等，三阶幻方是一种特殊的数阵图。

方法：九子斜排，上下对易，左右相更，四维突出。

【例题精讲】例1、将1~9这九个数填入图中，使它成为一个三阶幻方。

根据口诀：九子斜排，上下对易，左右相更，四维突出。

例2、将1，3，5，7，……，17填入3×3的方格中，使它成为一个三阶幻方。

例3、如果1、4、7、10、13、16、19、22、25这9个数组成三阶幻方，那么每一行、每一列、每条对角线的和是多少？中央的那个数是多少？1+4+7+……+25=（1+25）×9÷2=117117÷3=39两条对角线、第二列的总和是39×3，它也是第一行加第三行再加中央那个数的3倍，所以中央的那个数是（39×3-39×2）÷3=13例4、如下图是一个三阶幻方，已知3个数，请根据幻方的性质填出其他的数。

已知每一行（每一列、对角线）的和是中央那个数的3倍，因此，现在每一行的和是：15×3=45这样，就可以得出第三行第一个数是45-6-28=11第三行第三个数是45-6-15=24第三行第二个数是45-11-24=10例5、已知下图中，每一行、每一列、每条对角线上3个数的乘积都相等。

请填出其他的第一列的第二个数是：3×6×12÷12÷1=18第二列的第二个数是：3×6×12÷18÷3=4第二列的第三个数是：3×6×12÷1÷6=36第三列的第二个数是：3×6×12÷4÷6=9第三列的第三个数是：3×6×12÷18÷6=2例6、已知下图是一个三阶幻方，每一行、每一列、每条对角线的和都等于2037。

三阶幻方

C=(A+B)÷2 a=（12+18）÷2
=30÷2 =15
在下图的每个方格里填上适当的数，使每
行、每列、每条对角线上的三个数的和都
相等。
（3+7）÷2=5
幻和=8×3=24
11
6
24-8-3=13
13
24-8-7=9
10 9 5
24-9-5=10 24-10-8=6
习题精练1~8
3 13 11 17 9 1 7 5 15
◆例4 在下图的每个方格里填上不大于11且互不相同的八个自然数，使每行、每列、每条对角线上的三个数的和都等于21。
中间数=21÷3=7 21-7=14
11+3 10+4 9+5
3 10 975 4 11 6
3 10
中间数=21÷3=7
9 75
4 11 6
三阶幻方：在三行三列的正方形方格中，既不重复又不遗漏地填上3×3个连续的自然数，使每一行、每一列、每条对角线上的三个数的和均相等。通常这样的图形叫做三阶幻方。在三阶幻方中有：（1）幻和=九个数之和÷3，（2）中间数=幻和÷3. （3）C=(A+B)÷2 （如右图）
九个连续的自然数中，第五个数是中间数，第二、四、六、八个数是四角上的数。
3、4、5、 6、7、8、9、10、11
94
3 7 11
10 5 6
在下图的每个方格里填上不同的自然数，使每行、每列、每条对角线上的三个数的和都等于27。
中间数=27÷3=9 9
5、6、7、8、9、10、11、12、13
◆例5 下图中，a～g 7个字母，各代表7个数字，要使三阶幻方成立，“a”所代表的数字是多少？

第五讲三阶幻方

第五讲、三阶幻方幻方起源于中国. 传说在大禹治水时，有只神龟在洛水中浮起，龟背上有奇特的图案，如右图. 人们称之为洛书.如果将龟背上的数字翻译出来，如下图.观察，你发现了什么？观察发现，上图的每行每列，斜着的三个数之和都是15. 像这样，将九个不同的自然数填在3×3（三行三列）的正方形内，使每行、每列以及每条对角线上的三个数和都相等，这样的图形就叫三阶幻方. 三阶幻方是一种特殊的数阵图.上面的三阶幻方中，15是这个幻方的和，简称幻和. 5是幻方最中心的数字，简称中心数.三阶幻方的规律：（1）幻和= 九个数之和 ÷3；（2）中间数=幻和÷3（3）四个角上的数字 2=（3+1）÷2,8=（9+7）÷2例题1 在图中填上合适的数，使每行、每列、每一条对角线的三个数的和都相等。

巩固练习：在下图的方格中填上适合的数，使每行、每列、每一条对角线的三个数的和都等于21。

73 84 63 二、例题讲解 672159834例题2 在下图中填上适当的数，使每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等。

巩固练习：根据三阶幻方的特点，完成下列幻方。

例题3 在下图的每个空格中填入小于12且互不相同的九个自然数，使得每行、每列及每条对角线上的三个数之和都等于21。

巩固练习：在下列右图空着的方格内填上合适的数，使得每一横行、每一竖列和对角线上的三个数之和都等于27。

例题4 将1～9这九个自然数填在下面图中的九个方格里，使每行、每列、两条对角线上的三个数的和都相等。

19 1410 18 812介绍杨辉法：介绍公式法：口诀：九子斜列，上下对易，左右相更，四维挺出。

想一想还有没有其他填法：第一种：816 357 492第二种：618 753 294第三种：492357816第四种：294753618第五种：672159834第六种：834159672第七种：276951438第八种：438951276巩固练习：用3-11构造一个三阶幻方课堂练习1、把4～12九个数填入方格中，使每行、每列、每一条对角线的三个数的和都相等。