平面向量复习框架

BA a b
a-b可以表示为从减向量b的终点指向被减向量a的终点的向量.
AB BA, 在计算中常用
AC a b BD AD AB a b
A
D
C
a b
B
a
模为
| a || || a |
数 乘 运 算
0 时, a的方向与a的方向相同，当 0 时， a的方向与a的方向相反
4.平面向量坐标实数与向量相乘的运算法则
a ( x, y) ( x, y)
则∠AOB 叫做 a b的夹角． 与
记作: =〈a , b〉

在两向量的夹角定义中，两向量必须是同起点的．
0 180
O
b
B
a
A
（1）当 0 时， 与 b 同向； （2）当 π 时， 与 b a a 反向； π （3）当 时， 与 b a 垂直， 2 我们把 a b cos 这个乘积叫做 a b 的内积(或数量积)．记做 与
对于非零向量a、b，当 0 时，有

a ∥ b a b．
a
b
a 3b



a
0a

3b

0
00


1.平面向量的直角坐标 (1)对任一个平面向量a，都存在着一对有序实数 ( x, y ) ,使得 a xi yj 有序实数对 ( x, y ) 叫做向量a的坐标，记作 a ( x, y )． （2）从原点出发的向量，其坐标在数值上与向量终点 的坐标是相同的 2.平面向量坐标 若A(x1 , y1) , B(x2 , y2)
向量的加法具有以下的性质：
a
O
a
(1) a＋0 = 0＋a=a； a＋（− a）= 0；
(2) a＋b = b＋a； (3) （a＋b）＋ c = a ＋（b＋c）．
3.向量减法三角形法则:
特点：共起点，连终点，方向指被减
a
b
b
O
BBiblioteka Baidu
a
A
OA OB BA ．
a b a b cos
两个向量的内积是一个实数，不是向量
规定 0与任何向量的内积为0． 根据向量内积的定义，我们可得到一些常用结论： 2 （1）当 a、b 同向时， b a b a a a a a
（2）当 a、b 反向时， a b a b 时， 0 （3）当 a b a b
平面向量 平面向量的概念及线性运算 平面向量的加法 平面向量的减法 线性运算
平 面 向 量
平面向量的数乘运算 向量的加法、减法、数乘的结果仍然是一个向量
实数运算中的去括号、移项、合并同类项等变形，可直接应用于向量的运算中．但 是，要注意向量的运算与数的运算的意义是不同的．
平面向量的直角坐标 平面向量的坐标表示 向量线性运算的坐标表示 共线向量的坐标表示 平面向量的内积 内积的坐标表示
j y M(x,y)
O
i
x
AB =(x2 - x1 , y2 – y1 )
3.平面向量坐标的加.减运算法则
a b =( x1 , y1) + (x2 , y2)= (x1+x2 , y1+y2) a b =( x1 , y1) - (x2 , y2)= (x1- x2 , y1-y2)


a a
（4） cos<a,b>＝
a b ． | a || b |
向量的内积满足交换律、分配律，但不满足结合律
(ab)c a(bc)
a ( x , y ) b ( x2 , y2 )
1 1


a b


＝ x1 x2＋ y1 y2
内 积 的 坐 标 表 示
设a＝(x,y) a x 2 y 2
a b cos<a,b>＝ | a || b |
x1 x2 y1 y2 x12 y12 x2 y2
2 2
．
a⊥b x1 x2＋ y1 y2＝0．
平 面 向 量
零向量
模为零的向量叫做零向量
单位向量 模为1的向量叫做单位向量
说明：零向量、单位向量的定义都只是限制 了大小,方向没有作任何限制
平行向量（共线向量）
方向相同或相反的非零向量叫做平行向量 规定零向量与任一向量平行
向量的关系
相等向量
长度相等且方向相同的向量
我们把与a 长度相等，方向相反的 相反向量 向量叫做a 的相反向量.
a ( x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ),
a ∥ b x1 y2 x2 y1 0．
平面向量的内积
向量的定义 只有大小，没有方向的量做数量（标量） ，
既有大小，又有方向的量叫做向量（矢量）
向量的概念
表示方法
向量的大小叫做向量的模． 几何方法 字母 （有向线段）
（大写字母、小写字母、印刷体）
1.向量加法三角形法则: 特点:首尾相接，首尾连
C
2.向量加法平行四边形法则:
特点:起点相同,连对角
B
a
ab b
ab
A AC AB BC.
b
C
b
A
B AB BC CD DE EF AF