平面向量复习框架
平面向量复习基本知识点及结论总结
平面向量复习基本知识点及结论总结平面向量是指在平面上具有大小和方向的量，用箭头表示。
平面向量有两个重要的基本运算：向量的加法和数乘。
1.平面向量的加法：-向量的加法满足交换律：A+B=B+A-向量的加法满足结合律：(A+B)+C=A+(B+C)-零向量的性质：对于任意向量A，有A+0=0+A=A-负向量的性质：对于任意向量A，有A+（-A）=02.平面向量的数乘：-数乘的分配律：k（A+B）=kA+kB-数乘的结合律：（k+m）A=kA+mA- 数乘的分配律：k（lmA）= （klm）A-零向量的数乘：0A=03.平面向量的基本性质和结论：-平行向量：若存在非零实数k，使得A=kB，称向量A与向量B平行。
-相等向量：若AB，CD是向量，则A=C，B=D，则称向量AB和CD相等。
-相反向量：若AB是向量，则存在一个向量BA，满足AB+BA=0，称向量BA是向量AB的相反向量。
-向量共线：若有两个不共线的向量AB和CD，如果存在非零实数k，使得CD=kAB，则称向量CD与向量AB共线。
-平移：若向量u等于向量a加上向量b，即u=a+b，则向量u和向量a平行。
4.向量的模：-向量的模表示向量的长度，通常用，A，表示，它的计算公式为，A，=√(x²+y²)，其中(x,y)是向量A的坐标。
5.向量的共线与垂直：-向量共线：若向量A与向量B不为零向量且存在非零实数k，使得A=kB，则称向量A与向量B共线。
-向量垂直：若点A的坐标(x₁,y₁)和点B的坐标(x₂,y₂)满足x₁x₂+y₁y₂=0，则称向量AB垂直。
6.单位向量与方向角：-单位向量：向量长度为1的向量称为单位向量。
-方向角：向量与x轴的夹角称为它的方向角，用θ表示。
以上是平面向量的基本知识点和结论的总结，掌握这些知识可以帮助我们进行平面向量的运算、证明和推断。
为了更好地理解和应用平面向量，需要进行大量的练习和实践。
高三《平面向量》复习建议
2017. 向量共线定理、向量夹角公式、 简易逻辑的判定方法
2018.（理）向量模相等的运算 （文）两向量垂直的坐标运算
平面向量的考查形式与试题特点：
2、重点考查基础知识：
重点考查平面向量的基本概念、基本运算律、 基本运算技能，试题多数为中档以下题。其中四 种运算中的数量积、运算形式中的坐标运算、向 量的位置关系中平行、垂直是重点内容 。
明确考试要求，落实基础知识
二、一轮复习建议
1.全面复习落实基础
（1）平面向量基本定理； （2）两个向量垂直、平行的充要条件； （3）几何表示（有向线段表示的向量）、字母表 示（符号语言表示的向量）、坐标表示（坐标语 言表示的向量）； （4）向量的加法、减法，实数与向量的积，向量 的数量积
“一个基本定理、两个充要条件、 三种表示方法、四种向量运算”。
√
向量 坐标表示
用坐标表示平面向量的加法、减法与数
√
乘运算
用坐标表示的平面向量共线的条件
√
平 面 向 量 的 数量积
√
数量积
数量积的坐标表示
√
用数量积表示两个向量的夹角
√
用数量积判断两个平面向量的垂直关系
√
向量的应用 用向量方法解决简单的问题
√
平面向量的考试层次要求
C级要求：
向量加法、减法、数乘及其坐标运算 两向量共线与垂直的表示 数量积及其坐标表示
（A） 充分而不必要条件 （B） 必要而不充分条件 （C） 充分必要条件 （D） 既不充分也不必要条件
向量的数量积,向量共线
近十年的北京高考题回顾
（2016•北京理 4）设 ， 是向量，则“| |=| |”是“| + |=| ﹣ |”的（ D ）
平面向量知识点总结归纳
平面向量知识点总结归纳一、向量的基本概念1. 向量的定义既有大小又有方向的量叫做向量。
例如，物理学中的力、位移、速度等都是向量。
向量可以用有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。
向量的大小叫做向量的模，记作a（对于向量a）。
模为0的向量叫做零向量，记作0，零向量的方向是任意的。
模为1的向量叫做单位向量。
2. 向量的表示方法几何表示：用有向线段表示向量，有向线段的起点和终点分别表示向量的起点和终点。
例如，以A为起点，B为终点的向量记作AB。
字母表示：用小写字母a,b,c,表示向量。
3. 相等向量与平行向量相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
若a=b，则a=b且a与b方向相同。
例如，在平行四边形ABCD中，AB=DC。
平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。
规定零向量与任意向量平行。
若a与b是平行向量，则记作ab。
例如，在梯形ABCD中，ADBC。
二、向量的运算1. 向量的加法三角形法则已知非零向量a,b，在平面内任取一点A，作AB=a，BC=b，则向量AC=a+b。
例如，若a表示向东3个单位长度的位移，b表示向北4个单位长度的位移，那么a+b表示向东北方向5个单位长度（根据勾股定理3^2+4^2 = 5）的位移。
平行四边形法则已知两个不共线向量a,b，作AB=a，AD=b，以AB，AD为邻边作平行四边形ABCD，则向量AC=a+b。
运算律：向量加法满足交换律a+b=b+a，结合律(a+b)+c=a+(b+c)。
2. 向量的减法定义：向量a与b的差ab=a+(b)，其中b是b的相反向量，b与b大小相等，方向相反。
三角形法则：已知向量a,b，在平面内任取一点O，作OA=a，OB=b，则向量BA=ab。
3. 向量的数乘定义：实数与向量a的积是一个向量，记作a，它的长度a=a，它的方向当> 0时与a相同，当<0时与a相反，当= 0时，a=0。
(完整版)高中数学平面向量知识点总结
高中数学必修4之平面向量知识点归纳一.向量的基本概念与基本运算1、向量的概念：①向量：既有大小又有方向的量向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．②零向量：长度为0的向量，记为0，其方向是任意的，0与任意向量平行③单位向量：模为1个单位长度的向量④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量2、向量加法：设,ABa BCb uu u ru uu r r r ，则a +b r =AB BC u u u r u u u r =ACuu u r （1）a a a 00；（2）向量加法满足交换律与结合律；AB BCCDPQQRAR u u u r u u u r u uu r u u u r u u u r u u u rL，但这时必须“首尾相连”．3、向量的减法：①相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量②向量减法：向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b 的差，③作图法：b a可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量（a 、b 有共同起点）4、实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度与方向规定如下：（Ⅰ）a a ；（Ⅱ）当0时，λa 的方向与a 的方向相同；当时，λa 的方向与a 的方向相反；当0时，0a，方向是任意的5、两个向量共线定理：向量b 与非零向量a 共线有且只有一个实数，使得b =a6、平面向量的基本定理：如果21,e e 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数21,使：2211e ea，其中不共线的向量21,e e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底二.平面向量的坐标表示1平面向量的坐标表示：平面内的任一向量a r可表示成axi yj r rr ，记作a r=(x,y)。
2平面向量的坐标运算：(1)若1122,,,ax y bx y rr ，则1212,a bx x y y r r (2)若2211,,,y x B y x A ，则2121,AB x x y y u u u r(3)若a r =(x,y)，则a r =(x, y)(4)若1122,,,a x y b x y r r ，则1221//0a b x y x y rr (5)若1122,,,ax y bx y rr ，则1212a bx x y y r r 若ab rr ，则02121y y x x 三．平面向量的数量积1两个向量的数量积：已知两个非零向量a r 与b r，它们的夹角为，则a r ·b r =︱a r︱·︱b r ︱cos 叫做a r与b r 的数量积（或内积）规定00ar r 2向量的投影：︱b r ︱cos =||a b a r r r ∈R ，称为向量b r 在a r方向上的投影投影的绝对值称为射影3数量积的几何意义：a r ·b r 等于a r 的长度与b r 在a r方向上的投影的乘积4向量的模与平方的关系：22||a a a a r r r r 5乘法公式成立：2222a b ab a b a b r r r r r r r r ；2222abaa bb r r r r r r 222aa bbr r r r 6平面向量数量积的运算律：①交换律成立：a bb arr r r ②对实数的结合律成立：a b a b a bRr r r r r r ③分配律成立：abca cb c r r r r r r r ca br r r 特别注意：（1）结合律不成立：ab ca b c r r r r r r ；（2）消去律不成立a ba cr r r r 不能得到bc rr （3）a b r r =0不能得到a r =0r或b r =0r 7两个向量的数量积的坐标运算：已知两个向量1122(,),(,)ax y b x y rr，则a r ·b r=1212x x y y 8向量的夹角：已知两个非零向量a r与b r ，作OA u u u r =a r , OB uuu r =b r ,则∠AOB=（01800）叫做向量a r 与b r 的夹角cos =cos,a b a ba b??r r r r r r =222221212121y x y x y y x x 当且仅当两个非零向量a r 与b r 同方向时，θ=00，当且仅当a r与b r 反方向时θ=1800，同时0r与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题9垂直：如果a r 与b r 的夹角为900则称a r 与b r 垂直，记作a r⊥br 10两个非零向量垂直的充要条件：a ⊥ba ·b ＝O02121y y x x 平面向量数量积的性质一、选择题1．在△ABC 中，AB ＝AC ，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，则()．A ．AB 与AC 共线B ．DE 与CB 共线C ．AD 与AE 相等D ．AD 与BD 相等2．下列命题正确的是()．A ．向量AB 与BA 是两平行向量B ．若a ，b 都是单位向量，则a ＝bC ．若AB ＝DC ，则A ，B ，C ，D 四点构成平行四边形D ．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同3．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A(3，1)，B(－1，3)，若点C满足OC ＝OA ＋OB ，其中，∈R ，且＋＝1，则点C 的轨迹方程为()．A ．3x ＋2y －11＝0B ．(x －1)2＋(y －1)2＝5C ．2x －y ＝0D ．x ＋2y －5＝04．已知a 、b 是非零向量且满足(a －2b)⊥a ，(b －2a)⊥b ，则a 与b 的夹角是A ．6B ．3C ．23D ．565．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上(不包括端点A ，C )，则AP ＝A ．λ(AB ＋AD )，λ∈(0，1)B ．λ(AB ＋BC )，λ∈(0，22)C ．λ(AB －AD )，λ∈(0，1)D ．λ(AB －BC )，λ∈(0，22)6．△ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，AC 的中点，则DF ＝()．(第1题)A．EF＋ED B．EF－DE C．EF＋AD D．EF＋AF7．若平面向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则向量a的模为()．A．2 B．4 C．6 D．128．点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足OA·OB＝OB·OC＝OC·OA，则点O是△ABC的()．A．三个内角的角平分线的交点B．三条边的垂直平分线的交点C．三条中线的交点D．三条高的交点9．在四边形ABCD中，AB＝a＋2b，BC＝－4a－b，DC＝－5a－3b，其中a，b不共线，则四边形ABCD为()．A．平行四边形B．矩形C．梯形D．菱形10．如图，梯形ABCD中，|AD|＝|BC|，EF∥AB∥CD则相等向量是()．A．AD与BC B．OA与OBC．AC与BD D．EO与OF二、填空题11．已知向量OA＝(k，12)，OB＝(4，5)，OC＝(－k，10)，且A，B，C三点共线，则k＝．12．已知向量a＝(x＋3，x2－3x－4)与MN相等，其中M(－1，3)，N(1，3)，则x＝．13．已知平面上三点A，B，C满足|AB|＝3，|BC|＝4，|CA|＝5，则AB·BC ＋BC·CA＋CA·AB的值等于．14．给定两个向量a＝(3，4)，b＝(2，－1)，且(a＋mb)⊥(a－b)，则实数m 等于．15．已知A，B，C三点不共线，O是△ABC内的一点，若OA＋OB＋OC＝0，则O是△ABC的．16．设平面内有四边形ABCD和点O，OA＝a，OB＝b，OC＝c, OD＝d，若a＋c＝b＋d，则四边形ABCD的形状是．三、解答题17．已知点A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)，若点P满足AP＝AB＋λAC(λ∈R)，试求λ为何值时，点P在第三象限内？(第10题)18．如图，已知△ABC，A(7，8)，B(3，5)，C(4，3)，M，N，D分别是AB，AC，BC的中点，且MN与AD交于F，求DF．(第18题)19．如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，求证：AF⊥DE(利用向量证明)．(第19题) 20．已知向量a＝(cos θ，sin θ)，向量b＝(3，－1)，则|2a－b|的最大值．一、选择题1．B 解析：如图，AB 与AC ，AD 与AE 不平行，AD 与BD 共线反向．2．A解析：两个单位向量可能方向不同，故B 不对．若AB ＝DC ，可能A ，B ，C ，D 四点共线，故C 不对．两向量相等的充要条件是大小相等，方向相同，故D 也不对．3．D解析：提示：设OC ＝(x ，y)，OA ＝(3，1)，OB ＝(－1，3)，OA ＝(3，)，OB ＝(－，3)，又OA ＋OB ＝(3－，＋3)，∴(x ，y)＝(3－，＋3)，∴33＋＝－＝y x ，又＋＝1，由此得到答案为D ．4．B解析：∵(a －2b)⊥a ，(b －2a)⊥b ，∴(a －2b)·a ＝a 2－2a ·b ＝0，(b －2a)·b ＝b 2－2a ·b ＝0，∴a 2＝b 2，即|a|＝|b|．∴|a|2＝2|a||b|cos θ＝2|a|2cos θ．解得cos θ＝21．∴a 与b 的夹角是3π．5．A解析：由平行四边形法则，AB ＋AD ＝AC ，又AB ＋BC ＝AC ，由λ的范围和向量数乘的长度，λ∈(0，1)．6．D解析：如图，∵AF ＝DE ，∴DF ＝DE ＋EF ＝EF ＋AF ．7．C解析：由(a ＋2b)·(a －3b)＝－72，得a 2－a ·b －6b 2＝－72．而|b|＝4，a ·b ＝|a||b|cos 60°＝2|a|，∴|a|2－2|a|－96＝－72，解得|a|＝6．8．D 解析：由OA ·OB ＝OB ·OC ＝OC ·OA ，得OA ·OB ＝OC ·OA ,即OA ·(OC －OB )＝0，故BC ·OA ＝0，BC ⊥OA ，同理可证AC ⊥OB ，∴O 是△ABC 的三条高的交点．9．C解析：∵AD ＝AB ＋BC ＋D C ＝－8a －2b ＝2BC ，∴AD ∥BC 且|AD |≠|BC |．∴四边形ABCD 为梯形．10．D解析：AD 与BC ，AC 与BD ，OA 与OB 方向都不相同，不是相等向量．(第1题)二、填空题11．－32．解析：A ，B ，C 三点共线等价于AB ，BC 共线，AB ＝OB －OA ＝(4，5)－(k ，12)＝(4－k ，－7)，BC ＝OC －OB ＝(－k ，10)－(4，5)＝(－k －4，5)，又A ，B ，C 三点共线，∴5(4－k)＝－7(－k －4)，∴k ＝－32．12．－1．解析：∵M(－1，3)，N(1，3)，∴MN ＝(2，0)，又a ＝MN ，∴＝4－3－2＝3＋2x x x 解得4＝1＝－1＝－x x x 或∴x ＝－1．13．－25．解析：思路1：∵AB ＝3，BC ＝4，CA ＝5，∴△ABC 为直角三角形且∠ABC ＝90°，即AB ⊥BC ，∴AB ·BC ＝0，∴AB ·BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB＝BC ·CA ＋CA ·AB ＝CA ·(BC ＋AB )＝－(CA )2＝－2CA ＝－25．思路2：∵AB ＝3，BC ＝4，CA ＝5，∴∠ABC ＝90°，∴cos ∠CAB ＝CAAB ＝53，cos ∠BCA ＝CABC＝54．根据数积定义，结合图(右图)知AB ·BC ＝0，BC ·CA ＝BC ·CA cos ∠ACE ＝4×5×(－54)＝－16，CA ·AB ＝CA ·AB cos ∠BAD ＝3×5×(－53)＝－9．∴AB ·BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB ＝0―16―9＝－25．14．323．解析：a ＋mb ＝(3＋2m ，4－m)，a －b ＝(1，5)．∵(a ＋mb)⊥(a －b)，∴ (a ＋mb)·(a －b)＝(3＋2m)×1＋(4－m)×5＝0m ＝323．15．答案：重心．解析：如图，以OA ，OC 为邻边作□AOCF交AC 于点E ，则OF ＝OA ＋OC ，又OA ＋OC ＝－OB ，(第15题)D(第13题)∴OF ＝2OE ＝－OB ．O 是△ABC 的重心．16．答案：平行四边形．解析：∵a ＋c ＝b ＋d ，∴a －b ＝d －c ，∴BA ＝CD ．∴四边形ABCD 为平行四边形．三、解答题17．λ＜－1．解析：设点P 的坐标为(x ，y)，则AP ＝(x ，y)－(2，3)＝(x －2，y －3)．AB ＋λAC ＝(5，4)－(2，3)＋λ［(7，10)－(2，3)］＝(3，１)＋λ(5，7)＝(3＋5λ，１＋7λ)．∵AP ＝AB ＋λAC ，∴ (x －2，y －3)＝(3＋5λ，1＋7λ)．∴713532yx 即7455yx 要使点P 在第三象限内，只需74055解得λ＜－1．18．DF ＝(47，2)．解析：∵A(7，8)，B(3，5)，C (4，3)，AB ＝(－4，－3)，AC ＝(－3，－5)．又D 是BC 的中点，∴AD ＝21(AB ＋AC )＝21(－4－3，－3－5)＝21(－7，－8)＝(－27，－4)．又M ，N 分别是AB ，AC 的中点，∴F 是AD 的中点，∴DF ＝－FD ＝－21AD ＝－21(－27，－4)＝(47，2)．19．证明：设AB ＝a ，AD ＝b ，则AF ＝a ＋21b ，ED ＝b －21a ．∴AF ·ED ＝(a ＋21b)·(b －21a)＝21b 2－21a 2＋43a ·b ．又AB ⊥AD ，且AB ＝AD ，∴a 2＝b 2，a ·b ＝0．∴AF ·ED ＝0，∴AF ⊥ED ．本题也可以建平面直角坐标系后进行证明．20．分析：思路1：2a －b ＝(2cos θ－3，2sin θ＋1)，∴|2a －b|2＝(2cos θ－3)2＋(2sin θ＋1)2＝8＋4sin θ－43cos θ．又4sin θ－43cos θ＝8(sin θcos3π－cos θsin3π)＝8sin(θ－3π)，最大值为8，∴|2a －b|2的最大值为16，∴|2a －b|的最大值为4．思路2：将向量2a ，b 平移，使它们的起点与原点重合，则|2a －b|表示2a ，b终点间的距离．|2a|＝2，所以2a 的终点是以原点为圆心，2为半径的圆上的动点P ，b 的终点是该圆上的一个定点Q ，由圆的知识可知，|PQ|的最大值为直径的长为4．(第18题)(第19题)。
高中数学新教材高一下期末复习第一讲 平面向量及其应用(解析版)
平面向量及其应用单元复习一知识结构图二.学法指导1.向量线性运算的基本原则和求解策略(1)基本原则：向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算．向量的线性运算的结果仍是一个向量．因此，对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意向量的大小和方向两个方面．(2)求解策略：向量是一个有“形”的几何量，因此在进行向量线性运算时，一定要结合图形，这是研究平面向量的重要方法与技巧．2. 向量数量积的求解策略(1)利用数量积的定义、运算律求解．在数量积运算律中，有两个形似实数的完全平方公式在解题中的应用较为广泛，即(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2，(a－b)2＝a2－2a·b＋b2，上述两公式以及(a＋b)·(a－b)＝a2－b2这一类似于实数平方差的公式在解题过程中可以直接应用．(2)借助零向量．即借助“围成一个封闭图形且首尾相接的向量的和为零向量”，再合理地进行向量的移项以及平方等变形，求解数量积．(3)借助平行向量与垂直向量．即借助向量的拆分，将待求的数量积转化为有垂直向量关系或平行向量关系的向量数量积，借助a⊥b，则a·b ＝0等解决问题．(4)建立坐标系，利用坐标运算求解数量积． 3.解三角形的一般方法(1)已知两角和一边，如已知A ，B 和c ，由A ＋B ＋C ＝π求C ，由正弦定理求a ，b .(2)已知两边和这两边的夹角，如已知a ，b 和C ，应先用余弦定理求c ，再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A ＋B ＋C ＝π，求另一角．(3)已知两边和其中一边的对角，如已知a ，b 和A ，应先用正弦定理求B ，由A ＋B ＋C ＝π求C ，再由正弦定理或余弦定理求c ，要注意解可能有多种情况．(4)已知三边a ，b ，c ，可应用余弦定理求A ，B ，C .三.知识点贯通知识点1 平面向量的线性运算首尾相接用加法的三角形法则，如AB →＋BC →＝AC →；共起点两个向量作差用减法的几何意义，如OB →－OA →＝AB →.例题1.如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，点M ，N 分别是DA ，BC 的中点，且DCAB ＝k ，设AD →＝e 1，AB →＝e 2，以e 1，e 2为基底表示向量DC →，BC →，MN →.【答案】DC →=k e 2.BC →=e 1＋(k －1)e 2. MN →=＝k ＋12e 2.【解析】∵AB →＝e 2，且DCAB＝k ，∴DC →＝kAB →＝k e 2.∵AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0，∴BC →＝－AB →－CD →－D A →＝－AB →＋DC →＋AD →＝e 1＋(k －1)e 2.又∵MN →＋NB →＋BA →＋AM →＝0，且NB →＝－12BC →，AM →＝12AD →，∴MN →＝－AM →－BA →－NB →＝－12AD →＋AB →＋12BC →＝k ＋12e 2.知识点二 平面向量数量积的运算2121cos ||||y y x x b a b a +==⋅θ例题2：如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝4，AD ＝3，CD ＝2，AM →＝2MD →.若AC →·BM →＝－3，则AB →·AD →＝ .【答案】32【解析】因为AC →·BM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋12AB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫－AB →＋23AD →＝－2－23AB →·AD →＝－3，所以AB →·AD →＝32.知识点三 平面向量的坐标运算若a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则①a ＋b ＝(a 1＋b 1，a 2＋b 2)； ②a －b ＝(a 1－b 1，a 2－b 2)； ③λa ＝(λa 1，λa 2)； ④a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2； ⑤a ∥b ⇔a 1＝λb 1，a 2＝λb 2(λ∈R )，或a 1b 1＝a 2b 2(b 1≠0，b 2≠0)；⑥a ⊥b ⇔a 1b 1＋a 2b 2＝0； ⑦|a |＝a ·a ＝a 21＋a 22；⑧若θ为a 与b 的夹角，则 cos θ＝a ·b |a ||b |＝a 1b 1＋a 2b 2a 21＋a 22b 21＋b 22.例题3 .设a ＝(2,0)，b ＝(1，3)．①若(λa －b )⊥b ，求λ的值；②若m ＝λa ＋μb ，且|m |＝23，〈m ，b 〉＝π6，求λ，μ的值．【答案】①λ＝2.②λ＝1，μ＝1或λ＝－1，μ＝2.【解析】 ①因为a ＝(2,0)，b ＝(1，3)，所以λa －b ＝(2λ，0)－(1，3)＝(2λ－1，－3)．又(λa －b )⊥b ，所以(λa －b )·b ＝0，即(2λ－1，－3)·(1，3)＝0， 所以2λ－1－3＝0.所以λ＝2.②因为a ＝(2,0)，b ＝(1，3)，m ＝λa ＋μb ＝λ(2,0)＋μ(1，3)＝(2λ＋μ，3μ)． 因为|m |＝23，〈m ，b 〉＝π6，所以⎩⎪⎨⎪⎧(2λ＋μ)2＋(3μ)2＝(23)2，cos π6＝(2λ＋μ，3μ)·(1，3)23×2，即⎩⎪⎨⎪⎧ λ2＋λμ＋μ2＝3，λ＋2μ＝3.解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝1，μ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝2， 所以λ＝1，μ＝1或λ＝－1，μ＝2. 知识点四 平面向量的平行与垂直问题 1．证明共线问题常用的方法(1)向量a ，b (a ≠0)共线⇔存在唯一实数λ，使b ＝λa . (2)向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)共线⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. (3)向量a 与b 共线⇔|a ·b |＝|a ||b |.(4)向量a 与b 共线⇔存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝0. 2．证明平面向量垂直问题的常用方法a ⊥b ⇔a·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0， 其中a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)．例题4． (1)已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ＝( )A ．－4B ．－3C ．－2D ．－1(2)设A ，B ，C ，D 为平面内的四点，且A (1,3)，B (2，－2)，C (4,1)． ①若AB →＝CD →，求D 点的坐标．②设向量a ＝AB →，b ＝BC →，若k a －b 与a ＋3b 平行，求实数k 的值． （1）【答案】B【解析】因为m ＋n ＝(2λ＋3,3)，m －n ＝(－1，－1)，且(m ＋n )⊥(m －n )，所以(m ＋n )·(m －n )＝－2λ－3－3＝0，解得λ＝－3.故选B 。
高三数学 第6单元 平面向量知识框架复习课件 文 北师大版
第六单元 │ 使用建议
３．课时安排，本单元共４讲，建议每讲１个课时，一 个45分钟单元能力训练卷１个课时，本单元共需５课时．
第六单元 │ 考纲要求
第六单元 │ 考纲要求
４．平面向量的数量积 （１）理解平面向量数量积的含义及其物理意义． （２）了解平面向量的数量积与向量投影的关系． （３）掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量 积的运算． （４）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积 判断两个平面向量的垂直关系．
２．单独考查时有一到两个小题，以填空题或选择题形 式出现，考查向量的性质和运算法则：数乘、数量积、共线 问题与轨迹问题（基向量形式或坐标形式），以及求角或距 离或利用平行、垂直的条件解决问题．
第六单元 │ 命题趋势
第六单元 │ 使用建议
使用建议
１．本单元在复习中要紧扣教材、掌握教材中的基本内 容，仍以基本概念、性质、运算法则为重点，可以适当与解 析几何或三角函数联系进行训练，但应控制难度，在编写中 着重体现其应用性，工具性．重点训练平面向量的线性运算 和数量积运算，让学生真正熟练这一工具，并与平面几何、 函数、三角函数、解析几何中的题目相结合，进一步让学生 体会其应用．
第六单元 │ 使用建议
２．本单元概念公式较多，复习中应注意： （１）要重视平面向量的基础知识：平面向量的概念， 向量的线性运算，平面向量基本定理，平面向量的坐标运算， 数量积等． （２）平面向量是工具性知识，在与其他知识结合时， 要注意让学生有意识地构建向量模型，如把直线的平行、垂 直、夹角问题转化为向量的平行、共线、垂直、夹角问题， 利用向量的运算加以解决． （３）注意数形结合思想应用；线性运算其实是几何运 算，而坐标运算则是代数运算，因此在研究向量的有关问题 时一定要让学生结合图形进行分析、判断、求解．
(完整版)高中平面向量知识点总结.doc
r
uuur
r
uuur
r
,则∠AOB=
（0
0
180
0
）叫做向
29、已知两个非零向量a与b，作OA=a,
OB=b
r
r
量a与b的夹角
rr
r
?
r
x x
y y
b
2
2
cos =cos a,b
a
=
1
1
r
r
2
2
x2
22
（可用此公式求两向量夹角）
a ? b
x1
y1
y2
当x1x2
y1y2< 0，?（
??
2
，π];
当x1x2
则把有序数对（x，y）叫做向量a的坐标。
（2）坐标表示
在向量a的直角坐标中，x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，a=（x，y）
叫做向量的坐标表示。
（3）在向量的直角坐标中，
i=（1,0）j=（0,1）
0=（0,0）
r
r
x2, y2
20、若a
x1, y1,b
和实数 λ
rr
x2, y1
y2
（1）a bx1
L1：A1x+B1y+C1=0
与直线L2：A2x+B2y+C2=0
的夹角，则只要求与两直线平
行的向量的夹角， 再取这两个向量的夹角或补角，
即与直线L1
、
2
分别平行的向量
1
，
L
m=（A
??·??
??·??+??·??
1
2
2
=︱??︱·︱??︱
平面向量复习建议.ppt
整理得 3 CD = CA +2 CB . 即 CD = 1 CA + 2 CB .
3
3
A
所以 λ= 2 . 故选A.
3
DB
分析 2：因为 D 是 AB 边上一点，即 A、D、B 共线，
C
所以不妨设 AD =k AB .
所以 CD = CA + AD = CA + k AB
A
= CA + k( CB - CA )=(1- k) CA + k CB .
（其中：λ>0时，a、b 方向相同； λ<0时，a、b 方向相反）
▲不重合三点A、B、C共线 存在λ∈R使 AB =λ BC
（2008 海南卷 8）平面向量 a、b 共线的充要条件是（ ） A. a、b 方向相同 B. a、b 两向量中至少有一个为零向量
C. R ，b = λa D.存在不全为零的实数 1 ， 2 ，λ1a+λ2b= 0
2
2
又因为(- 1 + y) OA + y AB =(- 1 + y) OA + (- 1 + y) AB + 1 AB
2
2
2
2
= (- 1 + y) OB + 1 AB ， 则- 1 + y<1. 所以 y< 3 . 所以 1 <y< 3 .
2
2
2
2
22
(三)平面向量的数量积及向量的初步应用
本节重点： （1）掌握概念及其运算和几何意义 （2）数量积的应用：夹角、长度、垂直、乘方与长度的转化等
联系：a =λb 是直线上的“基本定理”（b为基底，b≠0） p= ua+vb 是平面上的基本定理 （a、b是平面上两个不平行的非零向量）
2020秋新人教版高中数学必修二第六章平面向量及其应用复习课题型知识框架课思维导图
第六章平面向量及其应用复习课要点训练一平面向量的运算1.向量的线性运算包括向量及其坐标运算的加法、减法、数乘,向量的加法遵循三角形法则和平行四边形法则,减法可以转化为加法进行运算,向量的加法满足交换律、结合律,数乘向量满足分配律.利用向量证明三点共线时,应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线.2.两平面向量共线的充要条件有两种形式:(1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要条件是x1y2-x2y1=0.(2)若a ∥b (a ≠0),则b =λa . 应视题目条件灵活选择.1.已知点A (1,3),B (4,-1),则与向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 同方向的单位向量为( ) A.（ 35,-45） B.（45,-35） C.（-35,45） D.（-45,35）解析:AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,-4),与其同方向的单位向量e =AB⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=15(3,-4)=（35,-45）.答案:A2.(全国卷Ⅰ)设D 为△ABC 所在平面内一点,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则( )A.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +43AC⃗⃗⃗⃗⃗ B.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -43AC⃗⃗⃗⃗⃗ C.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =43AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC⃗⃗⃗⃗⃗ D.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =43AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -13AC⃗⃗⃗⃗⃗ 解析:AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +13(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=43AC ⃗⃗⃗⃗⃗ -13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +43AC ⃗⃗⃗⃗⃗ . 答案:A3.(全国卷Ⅲ)已知向量a =(1,2),b =(2,-2),c =(1,λ).若c ∥(2a +b ),则λ=12.解析:由题意可得2a +b =(4,2).因为c ∥(2a +b ),c =(1,λ),所以4λ-2=0,即λ=12.要点训练二 平面向量的夹角与垂直问题1.两个向量a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2)垂直⇔a ·b =0⇔x 1x 2+y 1y 2=0,利用这两个结论,可以判断两个向量的位置关系.2.两个向量的夹角公式:cos θ=a·b|a||b|=1212√x12+y12√x22+y22.1.已知非零向量a,b满足|a|=2|b|,且(a-b)⊥b,则a与b的夹角为()A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析:设a与b的夹角为θ,因为(a-b)⊥b,所以(a-b)·b=a·b-b2=0,所以a·b=b2,所以cos θ=a·b|a|·|b|=|b|22|b|2=12,所以a与b的夹角为π3.答案:B2.已知向量a=(2,2),b=(-8,6),则a与b的夹角的余弦值为-√210.解析:设a与b的夹角为θ,则cos θ=a·b|a|·|b|=√22+22×√(-8)2+62=-√210.3.已知向量a=(-4,3),b=(6,m),且a⊥b,则m=8.解析:向量a=(-4,3),b=(6,m),a⊥b,则a·b=0,即-4×6+3m=0,所以m=8.4.已知向量a=(-2,3),b=(3,m),且a⊥b,则m=2.解析:由题意可得,a·b=0,所以-2×3+3m=0,解得m=2.要点训练三有关向量的模(长度)与距离问题的解法求向量的模主要有以下两种方法:①利用公式|a|2=a2将它转化为向量的数量积问题,再利用数量积的性质进行展开、合并,使问题得以解决;②利用公式|a|=√x12+y12将其转化为实数运算,使问题得以解决.1.(全国卷Ⅱ)设非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则 ()A.a⊥bB.|a|=|b|C.a∥bD.|a|>|b|解析:由向量加法与减法的几何意义可知,以非零向量a ,b 的模长为边长的平行四边形是矩形,从而可得a ⊥b .故选A .答案:A2.已知向量a ,b 的夹角为120°,|a |=1,|b |=3,则|5a -b |=7. 解析:|5a -b |=√|5a -b |2=√(5a -b )2=√25a 2+b 2-10a ·b = √25+9-10×1×3×(-12)=7.3.(浙江高考)已知正方形ABCD 的边长为1,当每个λi (i =1,2,3,4,5,6)取遍±1时,|λ1AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ4DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ5AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ6BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值是0,最大值是2√5.解析:如图所示,以AB ,AD 所在直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系,则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1),CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0),DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-1),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1),BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,1).令y =|λ1AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ4DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ5AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ6BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(λ1-λ3+λ5-λ6)2+(λ2-λ4+λ5+λ6)2≥0.因为λi (i =1,2,3,4,5,6)可取遍±1,所以当λ1=λ3=λ4=λ5=λ6=1,λ2=-1时,有最小值y min =0.因为(λ1-λ3+λ5)和(λ2-λ4+λ5)的取值不相关,λ6=1或λ6=-1,所以当(λ1-λ3+λ5)和(λ2-λ4+λ5)分别取得最大值时,y 有最大值,所以当λ1=λ2=λ5=λ6=1,λ3=λ4=-1时,有最大值y max =√22+42=√20=2√5.要点训练四 建模思想利用正弦定理、余弦定理解三角形及其应用,常根据已知条件中所给的边、角关系,利用解三角形的常见类型求解;解决应用问题常根据距离、高度、角度的求解方法解决,都体现了建模思想.1.(全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知a sin A -b sin B =4c sin C ,cos A =-14,则bc = ( )A.6B.5 C .4 D.3解析:由已知及正弦定理可得a 2-b 2=4c 2, 由余弦定理推论可得 -14=cos A =b 2+c 2-a 22bc ,所以c 2-4c 22bc=-14,所以3c 2b =14,所以b c=6. 答案:A2.(全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c.已知b sin A +a cos B =0,则B =3π4.解析:由正弦定理,得sin B sin A +sin A cos B =0.因为A ∈(0,π),B ∈(0,π),所以sin A ≠0,所以sin B +cos B =0,即 tan B =-1,所以B =3π4.3.(浙江高考)在△ABC 中,∠ABC =90°,AB =4,BC =3,点D 在线段AC 上,若∠BDC =45°,则BD =12√25,cos ∠ABD =7√210.解析:如图所示,在△ABD 中,由正弦定理,得AB sin∠ADB =BDsin∠BAC,而AB =4,∠ADB =3π4,AC =√AB 2+BC 2=5, sin ∠BAC =BC AC =35,cos ∠BAC =AB AC =45,所以BD =12√25.cos ∠ABD =cos(∠BDC -∠BAC )=cos π4cos ∠BAC + sin π4sin ∠BAC =7√210.4.(全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c.已知a sinA+C 2=b sin A.(1)求B ;(2)若△ABC 为锐角三角形,且c =1,求△ABC 面积的取值范围. 解:(1)由题设及正弦定理,得 sin A sinA+C 2=sin B sin A.因为sin A ≠0,所以sinA+C 2=sin B.由A +B +C =180°,可得sinA+C2=cos B2,故cos B 2=sin B =2sin B 2cos B 2.因为cos B2≠0,故sin B 2=12,所以B =60°.(2)由题设及(1)知△ABC 的面积S △ABC =√34a. 由正弦定理,得a =csinA sinC=sin (120°-C )sinC=√32tanC +12. 由于△ABC 为锐角三角形,故0°<A <90°,0°<C <90°,由(1)知A +C =120°,所以30°<C <90°,故12<a <2,所以√38<S △ABC <√32,即△ABC 面积的取值范围是（√38,√32）.。
平面向量基本概念框架梳理
平面向量基本概念框架梳理平面向量是解决平面几何问题的重要工具之一。
它具有大小和方向，并可通过向量的加法和数乘进行运算。
本文将从向量的定义、表示形式、运算以及向量的性质等方面进行基本概念的框架梳理，以帮助读者全面理解和掌握平面向量的基本概念。
一、向量的定义向量是具有大小和方向的量，用有向线段表示。
有向线段的起点和终点分别称为向量的始点和终点，记作A和B，向量AB表示从A到B的有向线段。
若两个向量的大小和方向相等，则它们相等。
二、向量的表示形式1. 箭头表示法：向量AB用箭头AB表示。
2. 坐标表示法：在平面直角坐标系中，向量AB的表示形式为AB = (x, y)，其中x和y分别为向量AB在x轴和y轴上的投影。
三、向量的运算1. 加法：向量的加法满足交换律和结合律。
设向量AB和向量CD，它们的和为向量AC。
即AB + CD = AC。
2. 数乘：向量的数乘即将向量的大小与方向分别与一个实数相乘。
设向量AB，实数k，它们的数乘表示为kAB。
3. 减法：向量的减法可视为加法和数乘的结合运算。
设向量AB和向量CD，它们的差为向量AD。
即AB - CD = AD。
四、向量的性质1. 零向量：零向量是大小为0的向量，任何向量与零向量的和都等于该向量本身。
2. 负向量：向量AB的负向量记作-AB，它与向量AB大小相等，方向相反，且满足AB + (-AB) = 0。
3. 平行向量：如果两个向量的方向相同或相反，它们称为平行向量。
4. 共线向量：如果两个向量的直线上的任意一点都与这两个向量的始点连线和终点连线共线，它们称为共线向量。
5. 模长与单位向量：向量AB的模长表示为|AB|，它的计算公式为|AB| = √(x² + y²)。
单位向量是模长为1的向量，它可以通过向量AB除以它的模长得到，记作u = AB/|AB|。
通过对平面向量的基本概念进行框架梳理，我们可以更好地理解和应用平面向量的相关知识。
平面向量复习提纲
平面向量全章复习【教学目标】复习平面向量的概念，向量的加法、减法、数乘、向量共线定理、平面向量基本定理，平面向量坐标表示．向量的数量积、数量积的坐标表示，向量的应用。
本章知识框架一．基本知识点回顾1．向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量．2．向量的表示：①用有向线段表示；用有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向．②用字母a 、b （黑体，印刷用）等表示；③用有向线段的起点与终点字母：AB ；3．向量的长度：向量的大小称为向量的长度（或称为模），记作AB ．说明：(1)不能说向量就是有向线段；向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段．(2)向量不同于数量．数量之间可以比较大小，向量由模、方向来确定，由于方向不能比较大小，因此“大于”、“小于”对向量来说是没有意义的．(3)向量的模（是正数或零）可以比较大小．4．几组特殊的向量：①零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0或0．说明：零向量的方向不确定，是任意的，有无穷多个．规定所有的零向量都相等．②单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量．③平行向量（即共线向量）：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．记作a b ∥．说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系．（3）规定：零向量与任意向量平行．④相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．若a 与b 相等，记作a b =． ⑤相反向量：长度相等且方向相反的向量叫做相反向量．向量a 的相反向量记为a -． 向量的定义 向量的表示 向量间的关系 向量相等向量 相反向量 共线向量 符号表示 几何表示基底表示 坐标表示 向量的运算 加法 减法 数乘 向量的应用 数量积平行与共线 长度 夹角 垂直5．向量加法的概念：已知向量a 和b ，在平面内任取一点O ，作O A a =，AB b =，则向量OB 叫做a 与b 的和，记作a b +，即a b OA AB OB +=+=．求两个向量和的运算叫做向量的加法．①规定：0a a +=，()()0a a a a +-=-+=，即0AB BA +=；②向量加法的三角形法则：在使用三角形法则求和时，必须要求向量首位相连，和向量是由第一个向量的起点指向最后一个向量终点的有向线段所表示的向量；③向量加法的平行四边形法则：说明：(1)求和向量必须共起点．(2)向量加法的平行四边形法则，只适合于对两个不共线向量相加，两个共线向量相加，仍用三角形法则．6．向量加法的运算律：交换律：a b b a +=+；结合律：()()a b c a b c ++=++．7．向量减法的有关概念:若b x a +=，则向量x 叫做a 与b 的差，记作a b -，求两个向量差的运算，叫做向量的减法． 8．向量减法的作图方法:在平面内任取一点O ，作OA a =，OB b =，则BA BO OA OB OA a b =+=-+=-，即a b -表示从向量b 的终点指向被减向量a 的终点的向量． 9．向量的数乘的定义：一般的，实数λ与向量a 的积是一个向量，记作a λ，它的长度和方向规定如下：（1）a a λλ=；(2 ) 当λ>0时，a λ与a 方向相同，当λ<0时，a λ与a ，方向相反，当λ＝0时，a λ＝0．实数λ与向量a 相乘，叫做向量的数乘．10．向量数乘的运算律：（1）()()a a λμλμ= (结合律)；（2）()a a a λμλμ+=+ (分配律)；（3）()a b a b λλλ+=+ (分配律)．11．向量共线定理：一般地，对于两个向量a （0a ≠），b ，如果有一个实数λ，使得(0)b a a λ=≠，那么b 与a 是共线向量，反之，如果b 与a （0a ≠）是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使得b a λ=．12．平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数1λ，2λ，使a =1λ1e +2λ2e ．我们把不共线的向量1e ，2e 叫做表示这个平面内所有向量的一组基底．13．向量的坐标表示：在直角坐标系内，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底，任取一个向量a ，有且只有一对实数x 、y ，使得a =x i +y j ①，则把（x ，y ）叫做向量的直角坐标，记作：a =(x ，y ) ②其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，②式为向量的坐标表示．14．向量坐标运算：已知),(11y x =，),(22y x =，1212(,)a b x x y y +=++，1212(,)a b x x y y -=--，),(11y x λλλ=．两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差），实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．15．共线向量坐标表示的一般性结论：设a 11(,)x y =，b 22(,)x y =（a ≠０），如果a ∥b ，那么12210x y x y -=；反过来，如果12210x y x y -=，那么a ∥b ．结论（简单表示）：向量与共线≠01221=-⇔=⇔y x y x λ．16.向量的夹角：对于两个非零向量a 和b ，作OA =a ，OB =b ，则AOB θ∠=（0︒≤θ≤180°）叫做向量a 和b 的夹角．特别地，当θ=0︒时，a 与b 同向；当θ=180︒时，a 与b 反向；当θ=90︒时，则称向量a 与b 垂直，记作a ⊥b ．17. 平面向量数量积：已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角是θ，我们把数量|a ||b |cos θ叫做向量a 和b 的数量积（或内积）（scalar product of vectors ），记作a ·b ，即：a ·b =|a ||b |cos θ．我们规定：零向量与任一向量的数量积为0．向量数量积模的性质：当a 与b 同向时，a ·b =|a ||b |；当a 与b 反向时，a ·b =－|a ||b |．特别地，a ·a =|a |2或|a |= a ·a ．向量数量积的运算律：设向量a ，b ，c 和实数λ，则向量的数量积满足下列运算律：（1）a ·b =b ·a ；（交换律）； （2）（λa ）·b =a ·（λb ）=λ（a ·b ）=λa ·b ；（结合律）；（3）（a +b ）·c =a ·c +b ·c ．（分配律）。
(完整版)必修四平面向量复习基本知识点总结及基础训练
a b a b AB DC AB DC a (1,1), b 1), c c 按向量 ＝（－1、向量有关概念：平面向量复习基本知识点及经典结论总结（1） 向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。
向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。
例：已知 A （1,2），B （4,2），则把向量1,3）平移后得到的向量是 AB a。
（2） 零向量：长度为 0 的向量叫零向量，记作： 0 ，注意零向量的方向 ；（3） 单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与 AB 共线的单位向量是：)；（4） 相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有 ；（5） 平行向量（也叫）：方向 或的非零向量 a 、b 叫做平行向量，记作：，规定零向量和任何向量平行。
提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线,但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0 )；④三点 A 、、B C 共线⇔ AB 、AC 共线；（6） 相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。
a 的相反向量是。
例：命题：（1）若 =，则 =。
（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。
（3）若 = ，则 ABCD 是平行四边形。
（4）若 ABCD 是平行四边形，则 =。
（5）若 a = b ,b = c ，则 a = c 。
（6）若 a // b ,b // c ，则 a // c 。
其中正确的是 ； 2、向量的表示方法：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如 AB ，注意起点在前，终点在后；（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如 a ， b ， c 等；（3）坐标表示法：在 平面内建立直角坐标系，以与 x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量 i ， j 为基底，则平面内的任一向量 a 可表示为 a = xi + y j = (x , y )，称(x , y )为向量 a 的坐标， a ＝叫做向量 a 的坐标表示。
高二数学必修4平面向量复习要点梳理
高二数学必修4平面向量复习要点梳理数学是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科。
下面是店铺为大家整理的高二数学必修4平面向量复习要点梳理，仅供参考，大家一起来看看吧。
高二数学必修4平面向量复习要点梳理1向量的概念(1)向量的基本要素：大小和方向.(2)向量的表示：字母表示(注：印刷体是粗体字母，书写体是字母上面加个)坐标表示法a=xi+yj=(x，y)注：i、j是单位向量。
(3)向量的长度：即向量的大小，记作|a|.(4)特殊的向量：零向量a=0|a|=0.单位向量aO为单位向量|aO|=1.说明：零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向.(5)相等的向量：大小相等，方向相同(x1，y1)=(x2，y2)(6)相反向量：a=-bb=-aa+b=0(7)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作a//b.平行向量也称为共线向量.(8)两个非零向量夹角的概念：已知非零向量a与b，作OA=a，OB=b，则AOB=(0≦≦)叫a与b的夹角说明：①当=0时，a与b同向;②当时，a与b反向;③当/2时，a与b垂直，记a规定零向量和任意向量都垂直。
④注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的范围0q(9)向量的投影：定义：|b|cosq叫做向量b在a方向上的投影，投影也是一个数量，不是向量;当q为锐角时投影为正值;当q为钝角时投影为负值;当q为直角时投影为0;当q=时投影为当q=180时投影为-|b|，称为向量b在a方向上的投影；投影的绝对值称为射影。
高二数学必修4平面向量复习要点梳理2【考纲解读】1.理解平面向量的概念与几何表示、两个向量相等的含义;掌握向量加减与数乘运算及其意义;理解两个向量共线的含义,了解向量线性运算的性质及其几何意义.2.了解平面向量的基本定理及其意义;掌握平面向量的正交分解及其坐标表示;会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算;理解用坐标表示的平面向量共线的条件.3.理解平面向量数量积的含义及其物理意义;了解平面向量数量积与向量投影的关系;掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的`运算;能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.【考点预测】高考对平面向量的考点分为以下两类:(1)考查平面向量的概念、性质和运算,向量概念所含内容较多,如单位向量、共线向量、方向向量等基本概念和向量的加、减、数乘、数量积等运算，高考中或直接考查或用以解决有关长度，垂直，夹角，判断多边形的形状等，此类题一般以选择题形式出现，难度不大.(2)考查平面向量的综合应用.平面向量常与平面几何、解析几何、三角等内容交叉渗透，使数学问题的情境新颖别致，自然流畅，此类题一般以解答题形式出现，综合性较强.【要点梳理】1.向量的加法与减法:掌握平行四边形法则、三角形法则、多边形法则，加法的运算律;2.实数与向量的乘积及是一个向量，熟练其含义;3.两个向量共线的条件:平面向量基本定理、向量共线的坐标表示;4.两个向量夹角的范围是:[0,π]5.向量的数量积:熟练定义、性质及运算律，向量的模，两个向量垂直的充要条件.高二数学必修4平面向量复习要点梳理31.平面向量的数量积平面向量数量积的定义已知两个非零向量a和b，它们的夹角为，把数量|a||b|cos 叫做a 和b的数量积(或内积)，记作ab.即ab=|a||b|cos ，规定0a=0.2.向量数量积的运算律(1)ab=ba(2)(a)b=(ab)=a(b)(3)(a+b)c=ac+bc[探究] 根据数量积的运算律，判断下列结论是否成立.(1)ab=ac，则b=c吗?(2)(ab)c=a(bc)吗?提示：(1)不一定，a=0时不成立，另外a0时，ab=ac.由数量积概念可知b与c不能确定;(2)(ab)c=a(bc)不一定相等.(ab)c是c方向上的向量，而a(bc)是a方向上的向量，当a与c 不共线时它们必不相等.【高二数学必修4平面向量复习要点梳理】。
平面向量专题复习知识梳理
高中复习知识梳理之八平面向量一、重点知识（一）基本概念：向量的有关概念有：向量、自由向量、有向线段、位置向量、零向量、相等向量、相反向量、平行向量（共线向量）、数乘向量；基线、单位向量、基向量、基底、正交基底：；向量a 在轴l 上的正射影、向量a 在轴l 方向上的数量：；向量的模（或向量的长度）：；（二）向量的基本运算：1. 向量的线性运算：加法、减法及数乘向量的综合运算：（1）向量求和的三角形法则：；（2）向量求和的平行四边形法则：；（3）向量求和的多边形法则：；（4）向量减法法则：；结论１在ABC ∆中AC BC AB =+（加）或BC AB AC =-（减）称ABC ∆为向量三角形；推广可有013221=+++A A A A A A n ，称121A A A A n 为封闭折线．（5）数乘向量的定义：实数λ和向量a 的乘积是一个向量，记作；其长为；其方向为：； 数乘向量的几何意义是：；向量加法满足下列运算律：（1）加法交换律：;(2)加法结合律：；数乘向量满足下列运算律：（1）（2）（3）。
如：①在平行四边形ABCD 中,已知a AB =,b AD =,DO DM 31=,OC ON 31=,试用b a ,表示MN =.②如图，在ABC △中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M N ，，若AB mAM =，AC nAN =，则m n +的值为．2. 向量共线的条件：结论2 （平行向量基本定理）向量a 与)0(≠b 平行（即共线）的充要条件是存在唯一实数λ使b a λ=．特别地，三点C B A 、、共线⇔AC AB λ=．3. 轴上向量的坐标及其运算：已知轴l ，取单位向量e ，对于轴l 上任意向量a 总是存在唯一实数x 使得a xe =，我们称x 为向量a 在轴l 上的坐标（或数量）。
设e 是轴l 的一个基向量，向量AB 的坐标为AB ，则AB ABe =；若轴l 为x 轴，可设点A 、B 的坐标分别为x 1，x 2，则向量AB 的坐标AB=21x x -。
平面向量知识结构
③若向量
a
的起点坐标和终点坐标分别为（
x1
,
y1
），（
x2
,
y
2
），则
|注a：|（=_1_）__易_错__点__：_ ①这0就 a是 平0面 内0; 两②点a间的b 距 0离≠公a式 。0,或b
0
③
a
b
a
c
≠
b
c
④
(a
b)
c
a
(b
c)
即数量积运算不满足约分运算
及结合律。
=_________,
（2） （3）
如若果a =A（（x,xy1,）y，1 ）则，Ba（ =_x_2 ,_y_2_）__则_.AB =___________,
注：（1）向量在平行移动时，起点和终点坐标会发生变化，但向量坐标保持不
变。
（2）利用向量的坐标表示使向量的运算代数化，从而为用数的方法解决形的
（2）借助于两向量的数量积很容易解决长度，夹角，垂直等有关问题。
4、（a1a∥）∥b两b个（向_b_量__共_0_）线__的__充____要__;_条__件__：;设
a
=（
x1
,
y1
），
b
=（
x2
,
y2
）（
b 0 ）则
注：共线向量的充要条件常用于证明三点共线和两直线平行等问题。
（aa2⊥⊥）bb两 个向____量____垂____直____的____充__;_要设_.条a 件=（：x1
,
y1
），
b
=（
x2
,
y2
）则
5、平面向量基本定理：如果
e1
,
e2
平面向量的知识框架
则B→H＝a＋b，
专 题 归
H→F＝H→B＋B→A＋A→F
纳
提 升
＝－B→H＋2B→M＋2M→H
＝－a－b＋2a＋2b＝a＋b，
菜单
F→C＝F→E＋E→C＝12H→M＋M→E
知
识 网 络
＝－12M→H＋M→A＋A→E
构
建
＝－12b＋B→M＋A→F－E→F
专
＝－12b＋a＋2M→H－12M→H
题
归 纳 提 升
知
识 网
是中线 CM 的中点，AE 的延长线交 BC 于 F.MH∥AF 交 BC
络
构 建
于 H.求证：H→F＝B→H＝F→C.
专 题 归 纳 提 升
图 2－1
菜单
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知
【思路点拨】 选择两不共线向量作基底，然后用基底
识
网 络
向量表示出H→F、B→H与F→C即可证得．
构
建
【规范解答】 设B→M＝a，M→H＝b，
量构建目标函数求解．
专 题 归 纳 提 升
菜单
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【规范解答】 ∵A→B⊥A→C，∴A→B·A→C＝0.
知 识 网
又A→P＝－A→Q，B→P＝A→P－A→B，C→Q＝A→Q－A→C，
络 构
∴B→P·C→Q＝(A→P－A→B)·(A→Q－A→C)
建
＝A→P·A→Q－A→P·A→C－A→B·A→Q＋A→B·A→C
知 识 网 络 构 建
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平面向量知识框架
平面向量相关知识
模 向量的长度，用|AB |或|a |表示
零向量 长度为0的向量，记为a 单位向量 模为1的向量叫做单位向量 相等向量 长度相等，方向相同的向量叫做相等向量
相反向量 长度相等，方向相反的向量叫做相反向量；例如：AB 的相反向量是AB -或者BA
夹角范围 0≤θ≤π
三点共线 OB OA OC μ+=若，且1=+μλ，则A 、B 、C 、三点共线
线性运算 坐标运算
加法
三角形法则:首尾相连首尾连；例如：
AC BC AB =+
平行四边形法则：同起点，对角线 ()2121,y y x x b a ++=+
减法
三角形法则:同起点，连终点，指向被减向
量；例如：CB AC AB =+
()2121,y y x x b a --=-
数乘 ()11,y x a λλλ=
数量积
模 夹角
平行
01221=-y x y x
垂直
①设()()2211,,,y x B y x A ，则：()1212,y y x x AB --= ②三个点A 、B 、C 共线，则AC AB AC BC BC AB //////或者或者
cos a b a b θ
⋅=
1212
a b x x y y ⋅=+
a a a
=⋅ 22
11a x y =+
cos a b
a b
θ⋅=
121222221122cos x x y y x y x y θ+=
++(0)
a b b λ=≠ 0
a b ⋅= 12120
x x y y +=1122(,)(,),a x y b x y == 若，则有。
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O
i
x
AB =(x2 - x1 , y2 – y1 )
3.平面向量坐标的加.减运算法则
a b =( x1 , y1) + (x2 , y2)= (x1+x2 , y1+y2) a b =( x1 , y1) - (x2 , y2)= (x1- x2 , y1-y2)
a b a b cos
两个向量的内积是一个实数，不是向量
规定 0与任何向量的内积为0． 根据向量内积的定义，我们可得到一些常用结论： 2 （1）当 a、b 同向时， b a b a a a a a
（2）当 a、b 反向时， a b a b 时， 0 （3）当 a b a b
a ( x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ),
a ∥ b x1 y2 x2 y1 0．
平面向量的内积
向量的定义 只有大小，没有方向的量做数量（标量） ，
既有大小，又有方向的量叫做向量（矢量）
向量的概念
表示方法
向量的大小叫做向量的模． 几何方法 字母 （有向线段）
（大写字母、小写字母、印刷体）
对于非零向量a、b，当 0 时，有
a ∥ b a b．
a
b
a 3b
a
0a
3b
0
00
1.平面向量的直角坐标 (1)对任一个平面向量a，都存在着一对有序实数 ( x, y ) ,使得 a xi yj 有序实数对 ( x, y ) 叫做向量a的坐标，记作 a ( x, y )． （2）从原点出发的向量，其坐标在数值上与向量终点 的坐标是相同的 2.平面向量坐标 若A(x1 , y1) , B(x2 , y2)
BA a b
a-b可以表示为从减向量b的终点指向被减向量a的终点的向量.
AB BA, 在计算中常用
AC a b BD AD AB a b
A
D
C
a b
B
a
模为
| a || || a |
数 乘 运 算
0 时, a的方向与a的方向相同，当 0 时， a的方向与a的方向相反
平 面 向 量
零向量
模为零的向量叫做零向量
单位向量 模为1的向量叫做单位向量
说明：零向量、单位向量的定义都只是限制 了大小,方向没有作任何限制
平行向量（共线向量）
方向相同或相反的非零向量叫做平行向量 规定零向量与任一向量平行
向量的关系
相等向量
长度相等且方向相同的向量
我们把与a 长度相等，方向相反的 相反向量 向量叫做a 的相反向量.
a a
（4） cos<a,b>＝
a b ． | a || b |
向量的内积满足交换律、分配律，但不满足结合律
(ab)c a(bc)
a ( x , y ) b ( x2 , y2 )
1 1
a b
＝ x1 x2＋ y1 y2
内 积 的 坐 标 表 示
设a＝(x,y) a x 2 y 2
向量的加法具有以下的性质：
a
O
a
(1) a＋0 = 0＋a=a； a＋（− a）= 0；
(2) a＋b = b＋a； (3) （a＋b）＋ c = a ＋（b＋c）．
3.向量减法三角形法则:
特点：共起点，连终点，方向指被减
a
b
b
O
B
a
A
OA OB BA ．
a b cos<a,b>＝ | a || b |
x1 x2 y1 y2 x12 y12 x2 y2
2 2
．
a⊥b x1 x2＋ y1 y2＝0．
4.平面向量坐标实数与向量相乘的运算法则
a ( x, y) ( x, y)
则∠AOB 叫做 a b的夹角． 与
记作: =〈a , b〉
在两向量的夹角定义中，两向量必须是同起点的．
ห้องสมุดไป่ตู้
0 180
O
b
B
a
A
（1）当 0 时， 与 b 同向； （2）当 π 时， 与 b a a 反向； π （3）当 时， 与 b a 垂直， 2 我们把 a b cos 这个乘积叫做 a b 的内积(或数量积)．记做 与
平面向量 平面向量的概念及线性运算 平面向量的加法 平面向量的减法 线性运算
平 面 向 量
平面向量的数乘运算 向量的加法、减法、数乘的结果仍然是一个向量
实数运算中的去括号、移项、合并同类项等变形，可直接应用于向量的运算中．但 是，要注意向量的运算与数的运算的意义是不同的．
平面向量的直角坐标 平面向量的坐标表示 向量线性运算的坐标表示 共线向量的坐标表示 平面向量的内积 内积的坐标表示
1.向量加法三角形法则: 特点:首尾相接，首尾连
C
2.向量加法平行四边形法则:
特点:起点相同,连对角
B
a
ab b
ab
A AC AB BC.
b
C
b
A
B AB BC CD DE EF AF