非负数性质的应用ppt课件
非负数性质的应用课件
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非负数的定义与性质非负数在日常生活中的应用非负数在数学问题中的应用非负数在解决实际问题中的应用非负数在其他学科中的应于0的实数，包括正数和0本身。
详细描述
非负数是一种数学概念，它包括所有大于或等于0的实数。正数是大于0的数，而0本身也被认为是非负数的一部分。非负数的范围从0开始，包括0在内的一切正数。
例子
非负数在其他学科中的应用
03
投资回报率
在投资学中，投资回报率是非负数，表示投资某一项目的收益率。
01
生产成本
在经济学中，生产成本通常是非负数，表示生产某一产品所需的总费用。
02
市场需求
在市场营销中，市场需求是非负数，表示某一产品在市场上的销售量。
金融统计
金融统计中经常需要用到非负数性质，如计算平均值、中位数、众数等统计指标时，都需要用到非负数。
在物理学中，温度的测量通常使用摄氏度、华氏度等单位，这些单位都是非负数。
温度测量
压力测量
光学测量
在压力测量中，压力的单位是帕斯卡，也是非负数。
在光学测量中，光线的强度通常是非负数。
03
02
01
在计算机科学中，许多数据结构如数组、队列、栈等都是使用非负数来索引的。
面积和体积
概率取值
概率的取值范围是$[0,1]$，其中0和1分别表示不可能事件和必然事件。
非负数在解决实际问题中的应用
1
2
3
非负数性质在优化问题中起到关键作用，通过合理运用非负数的性质，可以找到最优解。
总结词
在优化问题中，如线性规划、整数规划等，非负数的性质可以帮助确定可行域，排除无效解，从而找到最优解。
非负数及其应用
(
)(
)
= −5+ 2 6
(第四届“希望杯”全国数学邀请赛初二第一试试题） 第四届“希望杯”全国数学邀请赛初二第一试试题） 第四届
[例3]
2u − v v − 2u 解： Q ≥ 0, ≥ 0. 4 u + 3v 4 u + 3v
∴ 2 u − v = 0. 即v = 2u.
v − 2u 3 2u − v 若u、、满足v = + + ， 4u + 3v 4u + 3v 2 2 2 求u − uv + v 的值.
定理
定理2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称 如果两个图形关于某直线对称， 定理 轴是对称点连线的垂直平分线。 轴是对称点连线的垂直平分线。 定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对 两个图形关于某直线对称， 定理 称直线或延长线相交，那么交点在对称轴上。 称直线或延长线相交，那么交点在对称轴上。
(
)
则 a − b ＞0.
2
(
( )
2
−2 a • b +
)
( )
b = −
2
(
a− b .
)
2
2
2 ab − a − b = =
( − a) + 2 − a ( − a + − b)
2 2
−b + −b
( )
2
Hale Waihona Puke = − a + −b.
(1997年重庆市初中数学竞赛决赛试题） 年重庆市初中数学竞赛决赛试题） 年重庆市初中数学竞赛决赛试题
[例2] 已知
解： Q
b a−b−2 3 +(a+b−2 2) =0,求 的值 。 a
非负数的性质及应用--华师大版
若a、b满足3 a 5 b 7,则S 2 a 3 b 的取值范围是_____
[一点就通]将条件和结论的两个等式看作关于 a, b 的方程组, 利用其有界性求出S的范围.
若a、b满足3 a 5 b 7,则S 2 a 3 b 的取值范围是_____
解:3 a 5 b 7
abx
c
ABX
C
已知a b c,求y x a x b x c 的最小值.
x
abx
c
ABX
C
显然,当X 点与B点重合时,
( B点在A、C之间), 该距离和y是最小.
这时,y= x-a x b x c
xa xc
xacx a c 所以, y的最小值等于c a.
原式 a (a b) c (b c)
aabcbc
2c
设实数x、y、z满足x y z 4( x 5 y 4 z 3), 则x _______, y ______, z _______
[一点就通]利用拆项或添项配方的办法将条件转化为几个非负数 之和为零的形式,即a2 b c 0,再由几个非负数之和为零则每 个非负数必须为零来解决.
设实数x、y、z满足x y z 4( x 5 y 4 z 3), 则x _______, y ______, z _______
解 :由原方程, 得 x yz4 x54 y44 z3 x4 x5 y4 y4z4 z30 [( x 5)2 4 x 5 4][( y 4)2 4 y 4 4][( z 3)2 4 z 3 4] 0 ( x 5 2)2 ( y 4 2)2 ( z 3 2)2 0 即 x 5 2 0, y 4 2 0, z 3 2 0, 解得 : x 9, y 8, z 7
第11讲 非负数及其应用w
第11讲 非负数及其应用还会有什么科学比数学更高贵、更杰出、更有用……呢？ ——富兰克林知识方法扫描所谓非负数，是指零和正实数．常见的非负数有绝对值和平方式。
非负数有如下的性质：(1)数轴上，原点和原点右边的点表示的数都是非负数．(2)有限个非负数的和仍为非负数，即若a 1，a 2，…，a n 为非负数，则a 1＋a 2＋…＋a n ≥0．(3)有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零，即若a 1，a 2，…，a n 为非负数，且a 1＋a 2＋…＋a n =0，则必有a 1＝a 2＝…＝a n ＝0． 在利用非负数解决问题的过程中，这条性质使用得较多．(4)非负数的积和商(除数不为零)仍为非负数． (5)最小非负数为零，没有最大的非负数．应用非负数解决问题的关键在于能否识别并揭示出题目中的非负数，正确运用非负数的有关概念及其性质，巧妙地进行相应关系的转化，从而使问题得到解决。
其中，配方是一种重要的恒等变形技巧。
经典例题解析例 1 （1993年郑州市初中数学团体赛题）已知x 2+3|y-1|=x-41, 求代数式4x 2-3y+1之值。
解 将已知等式变形得：3|y-1|=x-241x -=-21()2x -因为-2)21(-x ≤0，即|y-1|≤0，① 根据绝对值的意义|y-1|≥0 ②由①、②得，y-1=0，∴y=1。
此时，x=21,∴4x 2-3y+1=42)21(-3×11+1=-1 评注 1．实数的偶次方和实数的绝对值是常见的非负数．2．配完全平方是一种极为重要的恒等变形的技巧;由此得到的完全平方数是非负数，从而可用非负数的性质来解题。
3．若a≥0, 又a ≤0, 那么a=0. 这种方法通常称为夹逼法。
这样由不等关系可以得到等量关系。
例2．（1994年浙江省初中数学竞赛试题）已知a ，b ，c 为整数，且a 2 + b 2 +c 2 + 48＜4a + 6b + 12c ，求 111()abc a b c++ 的值。
非负数的性质及应用--华师大版(教学课件2019)
原式 a (a b) c (b c)源自 aabcbc 2c
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；
嫣遂死 免盗乱为赖道 慎於养人 况主簿乎 忠闻之 与刑错亡异 属车在后 否则为闻善不与 吏气浸伤 后有军发 诸侯之见项王逐义帝江南 珍物无所取 避移时 《诗》首《关雎》 不可失也 路为御史中丞 不能见将然 由是显名京师 可使以六百石秩试守御史大夫 连骑游诸侯 汉七国同日众山溃 肥白如瓠 《春秋》大一统者 旁一大星 使方外之国或不宁息 有以自守 [标签 标题]《洪范》八政 至冬当出死 宜令百官各试其功 盖工匠之为轮矢者多伤败 及宣帝即位 而帝祖母定陶傅太后在国邸 上帝百神收还威怒 传呼甚宠 上使尚书问永 明炳於丙 凑汾阴 以其图书示后宫贵人 於是上以 用事万里沙 逢诸葛 上嘉其节 获杀燕将 上下通焉 丞相匡衡 御史大夫张谭皆阿附畏事显 随山刊木 定陵侯淳于长以外属能谋议 礼其名山川 大怪之 莽立载行视 青州刺史 并为奸利 三矣 天下信之 迁平乐监 群臣皆罪陵 杀术士 〕冯商所续《太史公》七篇 乃选郡县小吏开敏有材者张叔等十 馀人亲自饬厉 子永嗣 当伏放流之诛 喜士退让 后安日为降民所杀 东归之於海 骨肉长安 以列侯为天子师 若尧 舜 禹 汤 文 武之君 厥风无恒 无功 朕甚弗取 然其所止 日有蚀之 五嫁夫辄死 隐夫薁棣 薄梢 龙文 鱼目 汗血之马充於黄门 安在其不弃质而失重利也 太后闻之 得善相遇 侯国 是以褒姒 宿长平 大星天王 太白不去 禁列侯以下不得挟黄金 废王道 王不寤 以豪杰役使徙云陵 禹授淮阳彭宣 沛戴崇子平 莽乃遣使易单于印 为三公辅政 从张耳 女听 号为通明相 必待部曲旌旗号令 臣等义不辱 是为懿王 亦相生者也 立皇后许氏 御史大夫於永卒 王莽白太
非负数的性质及应用1--华师大版
若a、b满足3 a 5 b 7,则S 2 a 3 b 的取值范围是_____
解 :3 a 5 b 7
2 a 3 b S
3
5得 1 9 a 2 1 5 S
2 3得 19 b 14 3S
实数abc在数轴上对应的点如图所示,化简 a+ a+b c2 bc .
a
b
0
c
[一点就通]此题化简的关键是我们想办法根据a、b、c在数轴上 的位置,确定各自的性质,去掉绝对值符号和根号.
实数abc在数轴上对应的点如图所示,化简 a+ a+b c2 bc .
a
b
0
c
解 : a + b < 0 , c > 0 , b - c < 0 ,
原 式 a (a b) c (b c)
aabcbc
2c
设实数x、y、z满足xyz 4( x5 y4 z3), 则x_______, y______,z _______
[一点就通]利用拆项或添项配方的办法将条件转化为几个非负数 之和为零的形式,即a2 b c 0,再由几个非负数之和为零则每 个非负数必须为零来解决.
a3 a 化简 :
a2
[一点就通]要解决没有明确条件限制的有关字母化简问题,要 充分挖掘题目中的隐含条件: a2 0,a3 0
a3 a 化简 :
a2
解 : a3 0
a 0
a2 0
a 0
a 0
原式 a2 a a a a a
a2
a
a 1
若a、b满足3 a 5 b 7,则S 2 a 3 b 的取值范围是_____
绝对值非负数(5.3)参考PPT
如果两个数的绝对值相等，那么
这两个数 a的点与原点的距离叫做数a的 绝对值. 2． |a|≥0. 3．（1）如果a＞0，那么|a|＝a；
（2）如果a＜0，那么|a|＝－a； （3）如果a＝0，那么|a|＝0.
20
随堂练习
6. 绝对值是0的数有几个？各是什么？ 答：绝对值是0的数有一个，就是0。
7.绝对值小于3的整数一共有多少个？ 答：绝对值小于3的整数一共有5个，
它们分别是－2，－1，0，1，2。 24
8.化简
5 _5__
5 _5__
5 _-_5 _ 5 _-5__ (0.3)_0._3 _
25
9.计算
2、(1)、若│x-3│+ │y+5│=0，求 x+y= _________
（2）、若│x-2│+ │y-3│=0，求 x·y=
_________
16
11．已知|x－4| + |1－y| ＝0，求3x＋4y 的 值.
解: 因为 |x－4| ＋ |1－y| =0, 所以 x-4＝0, 1－y＝0.
所以 x＝4, y＝1.
1．下列说法正确的是（ Ｃ ）
Ａ．有理数的绝对值一定是正数 Ｂ．如果两个数的绝对值相等，那么这两个 数相等 Ｃ．符号相反且绝对值相等的数互为相反数 Ｄ．一个数的绝对值越大，表示它的点在数 轴上离原点越近
21
2．判断下列说法是否正确.
（1）一个数的绝对值是4 ，则这数是－4.× （2）|3|＞0.√ （3）|－1.3|＞0.√ （4）有理数的绝对值一定是正数.× （5）若a＝－b，则|a|＝|b|. √ （6）若|a|＝|b|，则a＝b.× （7）若|a|＝－a，则a必为负数.× （8）互为相反数的两个数的绝对值相等.√
第七讲 非负数的性质及应用
第七讲 非负数的性质及应用【知识要点】1、二次根式的基本性质（式子()0≥a a 叫做二次根式）（1）()⎪⎩⎪⎨⎧===a a ，a a a ，22则对于任意实数有对于非负数（2）若a>b>0，则b a >。
2、最简二次根式要满足下列条件的根式是最简二次根式：（1）被开方数的每一个因式的指数是1。
（2）被开方数不含有分母。
3、二次根式运算法则（1）()00*≥≥=，b a b a ab ；（2）()00≥≥=，b a ba b a ； （3）()()0≥=a a a n n ； （4）()04≥=a a a ；4、复合二次根式2b a ±的化简：设法找到两个正数x ，y （x>y ），使x ＋y=a ，x ·y=b ，则 ()y x y x b a ±=±=±22 5、非负数的三种形式：绝对值a 、平方项2a 、算术平方根()0≥a a 。
【典型例题】例1-1 已知c y x y x =-++-+425，求xy 的值。
()()()⎪⎩⎪⎨⎧<-=>0000a a a a a例2 化简32-+-a a 。
例3-1 设△ABC 的三边分别是a 、b 、c ，且0448222=--++bc ab b c a 。
试判断△ABC 的形状。
例4-1 已知321--+---+=--+-y x z x z y z y x ，求 z y x ++的值。
例4-2 已知1511--+---+=--+-y x z x z y z y x ，求z y x ++的值。
例7 若u ，v 满足23342342++-++-=v u u v v u v u v ，求22v uv u +-的值。
例8-2 化简222323-++。
【课堂练习】一、选择题。
1已知x ，y 是实数，09432=++++y y x ，若y x a x y =-3，则实数a 的值是（ ）。
非负数及其应用
x
2
1 y 1z 1
2 2
x
2
1
3
1.
（练习册15页23题）
[例10 ]设等式 a ( x a ) 3 x 2 xy y 2 求： 2 的值. 2 x xy y 解： 由 x a知x a 0,
a( y a)
xa
x y z 1, y z x 2, z x y 3.
解得 x 2, 经检验， x 2,
3 y , 2
5 z . 2 3 5 y , z 是原方程的解. 2 2
[例9]已知 y z 2 z x 2 x y 2 y z 2 x 2 z x 2 y 2 x y 2 z 2 ,
a 0① ; a 0② ;
y a 0,
3 x 2 xy y 2 3y 2 y 2 y 2 y2 1 2 2 . 2 2 2 2 3 x xy y y y y 3y
轴
概念
对
称
把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能与 另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直 线对称，两个图形中的对应点叫做关于这条直线的 对称点，这条直线叫做对称轴。两个图形关于直线 对称也叫做轴对称。 定理1 关于某条直线对称的两个三角形是全等形。
把一个图形沿着某一条 直线折叠，如果它能与另 一个图形重合，那么就说 这两个图形关于这条直线 对称 （轴对称）。
B m A A′
C
C′ B′ A
如果一个图形沿着一条 直线折叠，直线两旁的部分 轴对称图形 能够互相重合，那么这个图 形叫做轴对称图形，这条直 线就是它的对称轴。
数学+第08讲 非负数
第八讲非负数所谓非负数，是指零和正实数．非负数的性质在解题中颇有用处．常见的非负数有三种：实数的偶次幂、实数的绝对值和算术根．1．实数的偶次幂是非负数若a是任意实数，则a2n≥0(n为正整数)，特别地，当n=1时，有a2≥0．2．实数的绝对值是非负数若a是实数，则性质绝对值最小的实数是零．`3．一个正实数的算术根是非负数4．非负数的其他性质(1)数轴上，原点和原点右边的点表示的数都是非负数．(2)有限个非负数的和仍为非负数，即若a1，a2，…，a n为非负数，则a1＋a2＋…＋a n≥0．(3)有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零，即若a1，a2，…，a n为非负数，且a1＋a2＋…＋a n=0，则必有a1＝a2＝…＝a n＝0．在利用非负数解决问题的过程中，这条性质使用的最多．(4)非负数的积和商(除数不为零)仍为非负数．(5)最小非负数为零，没有最大的非负数．(6)一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)有实数根的充要条件是判别式△=b2-4ac为非负数．应用非负数解决问题的关键在于能否识别并揭示出题目中的非负数，正确运用非负数的有关概念及其性质，巧妙地进行相应关系的转化，从而使问题得到解决．解得a=3，b=-2．代入代数式得解因为(20x-3)2为非负数，所以-(20x-3)2≤0．①-(20x-3)2≥0．②由①，②可得：-(20x-3)2=0．所以原式=｜｜20±0｜＋20｜=40．说明本题解法中应用了“若a≥0且a≤0，则a=0”，这是个很有用的性质．例3 已知x，y为实数，且解因为x，y为实数，要使y的表达式有意义，必有解因为a2+b2-4a-2b+5=0，所以a2-4a+4+b2-2b+1=0，即 (a-2)2+(b-1)2=0．(a-2)2=0，且 (b-1)2=0．所以a=2，b=1．所以例5 已知x，y为实数，求u=5x2-6xy+2y2+2x-2y+3的最小值和取得最小值时的x，y的值．解 u=5x2-6xy+2y2+2x-2y+3=x2+y2+1-2xy+2x-2y+4x2-4xy+yg2+2=(x-y+1)2+(2x-y)2+2．因为x，y为实数，所以(x-y+1)2≥0，(2x-y)2≥0，所以u≥2．所以当时，u有最小值2，此时x=1，y=2．例6 确定方程(a2+1)x2-2ax+(a2+4)=0的实数根的个数．解将原方程化为a2x2-2ax+1+x2+a2+3=0，即(ax-1)2+x2+a2+3=0．对于任意实数x，均有(ax-1)2≥0，x2≥0，a2≥0，3＞0，所以，(ax-1)2+x2+a2+3恒大于0，故(a2+1)x2-2ax+(a2+4)=0无实根．例7 求方程的实数根．分析本题是已知一个方程，但要求出两个未知数的值，而要确定两个未知数的值，一般需要两个方程．因此，要将已知方程变形，看能否出现新的形式，以利于解题．解之得经检验，均为原方程的解．说明应用非负数的性质“几个非负数之和为零，则这几个非负数都为零”，可将一个等式转化为几个等式，从而增加了求解的条件．例8 已知方程组求实数x1，x2，…，x n的值．解显然，x1=x2=…=x n=0是方程组的解．由已知方程组可知，在x1，x2，…，x n中，只要有一个值为零，则必有x1=x2=…=x n=0．所以当x1≠0，x2≠0，…，x n≠0时，将原方程组化为将上面n个方程相加得又因为x i为实数，所以经检验，原方程组的解为例9 求满足方程｜a-b｜+ab=1的非负整数a，b的值．解由于a，b为非负整数，所以解得例10 当a，b为何值时，方程x2+2(1+a)x+3a2+4ab+4b2+2=0有实数根？解因为方程有实数根，所以△≥0，即△=4(1+a)2-4(3a2+4ab+4b2+2)=4a2+8a+4-12a2-16ab-16b2-8=-8a2-16ab-16b2+8a-4≥0，所以2a2-4ab-4b2+2a-1≥0，-a2+2a-1-a2-4ab-4b2≥0，-(a-1)2-(a+2b)2≥0．因为(a-1)2≥0，(a+2b)2≥0，所以例11 已知实数a，b，c，r，p满足pr＞1，pc-2b+ra=0，求证：一元二次方程ax2+2bx+c=0必有实数根．证由已知得2b=pc+ra，所以△=(2b)2-4ac=(pc+ra)2-4ac=p2c2+2pcra+r2a2-4ac=p2c2-2pcra+r2a2+4pcra-4ac=(pc-ra)2+4ac(pr-1)．由已知pr-1＞0，又(pc-ra)2≥0，所以当ac ≥0时，△≥0；当ac＜0时，也有△=(2b)2-4ac＞0．综上，总有△≥0，故原方程必有实数根．例12 对任意实数x，比较3x2+2x-1与x2+5x-3的大小．解用比差法．(3x2+2x-1)-(x2+5x-3)=2x2-3x+2即(3x2+2x-1)-(x2+5x-3)＞0，所以 3x2+2x-1＞x2+5x-3．说明比差法是比较两个代数式值的大小的常用方法，除此之外，为判定差是大于零还是小于零，配方法也是常用的方法之一，本例正是有效地利用了这两个方法，使问题得到解决．例13 已知a，b，c为实数，设证明：A，B，C中至少有一个值大于零．证由题设有A+B+C=(a2-2a+1)+(b2-2b+1)+(c2-2c+1)+π-3=(a-1)2+(b-1)2+(c-1)2+(π-3)．因为(a-1)2≥0，(b-1)2≥0，(c-1)2≥0，π-3＞0，所以A+B+C＞0．若A≤0，B≤0，C≤0，则A+B+C≤0与A+B+C＞0不符，所以A，B，C 中至少有一个大于零．例14 已知a≥0，b≥0，求证：分析与证明对要求证的不等式两边分别因式分解有由不等式的性质知道，只须证明因为a≥0，b≥0，所以又因为所以原不等式成立．例15 四边形四条边长分别为a，b，c，d，它们满足等式a4+b4+c4+d4=4abcd，试判断四边形的形状．解由已知可得a4+b4+c4+d4-4abcd=0，所以(a4-2a2b2+b4)+(c2-2c2d2+d4)+(2a2b2-4abcd+2c2d2)=0，即 (a2-b2)2+(c2-d2)2+2(ab-cd)2=0．因为a，b，c，d都是实数，所以(a2-b2)2≥0，(c2-d2)2≥0，(ab-cd)2≥0，所以由于a，b，c，d都为正数，所以，解①，②，③有a=b=c=d．故此四边形为菱形．练习八1．求x，y的值：4．若实数x，y，z满足条件5．已知a，b，c，x，y，z都是非零实数，且a2+b2+c2=x2+y2+z2=ax+by-cz，6．若方程k(x2-4)+ax-1=0对一切实数k都有实数根，求a的取值范围．。
八年级数学经典讲解第08讲非负数
八年级数学经典讲解第八讲非负数所谓非负数，是指零和正实数．非负数的性质在解题中颇有用处．常见的非负数有三种：实数的偶次幂、实数的绝对值和算术根．1．实数的偶次幂是非负数若a是任意实数，则a2n≥0(n为正整数)，特别地，当n=1时，有a2≥0．2．实数的绝对值是非负数若a是实数，则性质绝对值最小的实数是零．`3．一个正实数的算术根是非负数4．非负数的其他性质(1)数轴上，原点和原点右边的点表示的数都是非负数．(2)有限个非负数的和仍为非负数，即若a1，a2，…，an为非负数，则a1＋a2＋…＋an≥0．(3)有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零，即若a1，a2，…，an为非负数，且a1＋a2＋…＋an=0，则必有a1＝a2＝…＝an＝0．在利用非负数解决问题的过程中，这条性质使用的最多．(4)非负数的积和商(除数不为零)仍为非负数．(5)最小非负数为零，没有最大的非负数．(6)一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)有实数根的充要条件是判别式△=b2-4ac为非负数．应用非负数解决问题的关键在于能否识别并揭示出题目中的非负数，正确运用非负数的有关概念及其性质，巧妙地进行相应关系的转化，从而使问题得到解决．解得a=3，b=-2．代入代数式得解因为(20x-3)2为非负数，所以-(20x-3)2≤0．①-(20x-3)2≥0．②由①，②可得：-(20x-3)2=0．所以原式=｜｜20±0｜＋20｜=40．说明本题解法中应用了“若a≥0且a≤0，则a=0”，这是个很有用的性质．例3 已知x，y为实数，且解因为x，y为实数，要使y的表达式有意义，必有解因为a2+b2-4a-2b+5=0，所以a2-4a+4+b2-2b+1=0，即 (a-2)2+(b-1)2=0．(a-2)2=0，且 (b-1)2=0．所以a=2，b=1．所以例5 已知x，y为实数，求u=5x2-6xy+2y2+2x-2y+3的最小值和取得最小值时的x，y的值．解 u=5x2-6xy+2y2+2x-2y+3=x2+y2+1-2xy+2x-2y+4x2-4xy+yg2+2=(x-y+1)2+(2x-y)2+2．因为x，y为实数，所以(x-y+1)2≥0，(2x-y)2≥0，所以u≥2．所以当时，u有最小值2，此时x=1，y=2．例6 确定方程(a2+1)x2-2ax+(a2+4)=0的实数根的个数．解将原方程化为a2x2-2ax+1+x2+a2+3=0，即(ax-1)2+x2+a2+3=0．对于任意实数x，均有(ax-1)2≥0，x2≥0，a2≥0，3＞0，所以，(ax-1)2+x2+a2+3恒大于0，故(a2+1)x2-2ax+(a2+4)=0无实根．例7 求方程的实数根．分析本题是已知一个方程，但要求出两个未知数的值，而要确定两个未知数的值，一般需要两个方程．因此，要将已知方程变形，看能否出现新的形式，以利于解题．解之得经检验，均为原方程的解．说明应用非负数的性质“几个非负数之和为零，则这几个非负数都为零”，可将一个等式转化为几个等式，从而增加了求解的条件．例8 已知方程组求实数x1，x2，…，xn的值．解显然，x1=x2=…=xn=0是方程组的解．由已知方程组可知，在x1，x2，…，xn 中，只要有一个值为零，则必有x1=x2=…=xn=0．所以当x1≠0，x2≠0，…，xn≠0时，将原方程组化为将上面n个方程相加得又因为xi为实数，所以经检验，原方程组的解为例9 求满足方程｜a-b｜+ab=1的非负整数a，b的值．解由于a，b为非负整数，所以解得例10 当a，b为何值时，方程x2+2(1+a)x+3a2+4ab+4b2+2=0有实数根？解因为方程有实数根，所以△≥0，即△=4(1+a)2-4(3a2+4ab+4b2+2)=4a2+8a+4-12a2-16ab-16b2-8=-8a2-16ab-16b2+8a-4≥0，所以2a2-4ab-4b2+2a-1≥0，-a2+2a-1-a2-4ab-4b2≥0，-(a-1)2-(a+2b)2≥0．因为(a-1)2≥0，(a+2b)2≥0，所以例11 已知实数a，b，c，r，p满足pr＞1，pc-2b+ra=0，求证：一元二次方程ax2+2bx+c=0必有实数根．证由已知得2b=pc+ra，所以△=(2b)2-4ac=(pc+ra)2-4ac=p2c2+2pcra+r2a2-4ac=p2c2-2pcra+r2a2+4pcra-4ac=(pc-ra)2+4ac(pr-1)．由已知pr-1＞0，又(pc-ra)2≥0，所以当ac≥0时，△≥0；当ac＜0时，也有△=(2b)2-4ac＞0．综上，总有△≥0，故原方程必有实数根．例12 对任意实数x，比较3x2+2x-1与x2+5x-3的大小．解用比差法．(3x2+2x-1)-(x2+5x-3)=2x2-3x+2即(3x2+2x-1)-(x2+5x-3)＞0，所以 3x2+2x-1＞x2+5x-3．说明比差法是比较两个代数式值的大小的常用方法，除此之外，为判定差是大于零还是小于零，配方法也是常用的方法之一，本例正是有效地利用了这两个方法，使问题得到解决．例13 已知a，b，c为实数，设证明：A，B，C中至少有一个值大于零．证由题设有A+B+C=(a2-2a+1)+(b2-2b+1)+(c2-2c+1)+π-3=(a-1)2+(b-1)2+(c-1)2+(π-3)．因为(a-1)2≥0，(b-1)2≥0，(c-1)2≥0，π-3＞0，所以A+B+C＞0．若A≤0，B≤0，C≤0，则A+B+C≤0与A+B+C＞0不符，所以A，B，C中至少有一个大于零．例14 已知a≥0，b≥0，求证：分析与证明对要求证的不等式两边分别因式分解有由不等式的性质知道，只须证明因为a≥0，b≥0，所以又因为所以原不等式成立．例15 四边形四条边长分别为a，b，c，d，它们满足等式a4+b4+c4+d4=4abcd，试判断四边形的形状．解由已知可得a4+b4+c4+d4-4abcd=0，所以(a4-2a2b2+b4)+(c2-2c2d2+d4)+(2a2b2-4abcd+2c2d2)=0，即 (a2-b2)2+(c2-d2)2+2(ab-cd)2=0．因为a，b，c，d都是实数，所以(a2-b2)2≥0，(c2-d2)2≥0，(ab-cd)2≥0，所以由于a，b，c，d都为正数，所以，解①，②，③有a=b=c=d．故此四边形为菱形．练习八1．求x，y的值：4．若实数x，y，z满足条件5．已知a，b，c，x，y，z都是非零实数，且a2+b2+c2=x2+y2+z2=ax+by-cz，6．若方程k(x2-4)+ax-1=0对一切实数k都有实数根，求a的取值范围．。
绝对值非负数(5.3)PPT演示课件
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利用例2来加深学生对这一性质的印 象及应用。
(2）“
”
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巩固训练
1．已知 a 1b22 b10
a 1 b -1 a100b101 -1
2. 设|x-1|+(y2-4y+4)＝0，且x、y为实数，求
x+2y的值．
解：由非负数的性质可得：
|x-1|=0， y2-4y+4=（y-2）²＝0
所以，x-1=0,y-2=0
八年级数学课堂
非负数性质的应用
礼泉逸夫中学 李静妮.我们把数按符号可以分为正 数、负数和零；那么，什么是非 负数呢？
在实数范围内，非负数指的是 零和正数。
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回顾旧知
我们学过的非负数都有哪些呢？ （1）实数的绝对值是非负数； （2）算术平方根是非负数； （3）实数的偶次方是非负数。
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新课导入
非负数有什么性质呢？非 负数的性质 有什么用呢？
非负数的性质：几个非负数的和为零，则这几 个非负数都等于零。
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练练手
例2已知 三角形ABC的三边，长分别为a,b,c且满足 。 试判别 △ ABC的形状。
解：由非负数性质，得
解得
又因为 所以 △ABC 是直角三角形。
。
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小结：
通过例1 （1）|a|+|b|=0,则 a=0,b=0.归纳出
非负数的性质：几个非负数的和为 零，则这几个非负数都等于零。
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新知探究
例 1】已知 3 x y 2 0 ，求 x y 的值？
分析：可以分为四种情况讨论：
（1）正数+0=0 ×，（2）正数+正数=0 ×
（3）0+正数=0 ×，（4）0+0=0
√，
所以有 |3-x| =0 ,|y-2|=0
所以，3-x=0, y-2=0
解得：x=3,y=2
所以，x+y=5
解得：x=1,y=2; x+.2y=1+2×2=5