直线和圆知识点总结
(完整版)直线与圆知识归纳
直线与圆◆知识点归纳 直线与方程 1.直线的倾斜角规定：当直线l 与x 轴平行或重合时，它的倾斜角为0 范围：直线的倾斜角α的取值范围为),0[π 2.斜率：)2(tan πα≠=a k ，R k ∈斜率公式：经过两点),(111y x P ，),(222y x P )(21x x ≠的直线的斜率公式为121221x x y y k P P --=3.直线方程的几种形式能力提升斜率应用例1.已知函数)1(log )(2+=x x f 且0>>>c b a ，则cc f b b f a a f )(,)(,)(的大小关系例2.已知实数y x ,满足)11(222≤≤-+-=x x x y ，试求23++x y 的最大值和最小值两直线位置关系 两条直线的位置关系设两直线的方程分别为：222111:b x k y l +=或0:22221111=++C y B x A l ；当21k k ≠或1221B A B A ≠时它们相交，交点坐标为方程组⎩⎨⎧+=+=2211b x k y b x k y 或⎩⎨⎧=++=++00222111C y B x A C y B x A直线间的夹角：①若θ为1l 到2l 的角，12121tan k k k k +-=θ或21211221tan B B A A B A B A +-=θ；②若θ为1l 和2l 的夹角，则12121tan k k k k +-=θ或21211221tan B B A A B A B A +-=θ；③当0121=+k k 或02121=+B B A A o直线1l 到2l 的角θ与1l 和2l 的夹角α：)2(πθθα≤=或)2(πθθπα>-=；距离问题1.平面上两点间的距离公式),(),,(222111y x P y x P 则 )()(121221y y x x P P -+-=2.点到直线距离公式点),(00y x P 到直线0:=++C By Ax l 的距离为：2200BA CBy Ax d +++=3.两平行线间的距离公式已知两条平行线直线1l 和2l 的一般式方程为1l ：01=++C By Ax ，2l ：02=++C By Ax ，则1l 与2l 的距离为2221BA C C d +-=4.直线系方程:若两条直线1l ：0111=++C y B x A ，2l ：0222=++C y B x A 有交点，则过1l 与2l 交点的直线系方程为)(111C y B x A ++＋0)(222=++C y B x A λ或)(222C y B x A +++0)(111=++C y B x A λ (λ为常数)对称问题1.中点坐标公式：已知点),(),,(2211y x B y x A ，则B A ,中点),(y x H 的坐标公式为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=222121y y y x x x点),(00y x P 关于),(b a A 的对称点为)2,2(00y b x a Q --，直线关于点对称问题可以化为点关于点对称问题。
高二《直线与圆》知识点总结
高二《直线与圆》知识点总结直线与圆是高中数学中的重要内容，它们在几何学和代数学中具有广泛的应用。
掌握了直线与圆的相关知识，对于理解和解决几何和代数问题都有很大的帮助。
本文将对高二学生需要掌握的直线与圆的知识点进行总结。
一、直线与圆的基本概念和性质：1. 直线的定义和性质：直线是一条无限延伸的连续直线，具有无宽度和无端点的特点。
直线的特征是经过其中任意两点的直线上的所有点。
2. 圆的定义和性质：圆是由平面上到一个固定点的距离相等的所有点组成的集合。
圆由圆心和半径唯一确定，其中半径是圆心到圆上任意一点的距离。
3. 直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有三种情况：相离、相切和相交。
相离表示直线与圆没有任何交点；相切表示直线与圆有且仅有一个交点；相交表示直线与圆有两个交点。
4. 切线的定义和性质：切线是与圆相切且与圆的切点相同的直线，切线与半径垂直。
二、直线与圆的方程和解析几何：1. 直线的一般方程：直线的一般方程可以写为Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数。
2. 直线的斜截式方程：直线的斜截式方程可以写为y = kx + b，其中k为直线的斜率，b为直线与y轴的截距。
3. 圆的方程：圆的方程可以写为(x-a)² + (y-b)² = r²，其中(a，b)为圆心坐标，r为半径。
4. 直线与圆的位置关系的方程：要判断直线和圆的位置关系，可以将直线的方程代入圆的方程，并解方程得到判别式。
判别式小于0时，直线和圆相离；判别式等于0时，直线和圆相切；判别式大于0时，直线和圆相交。
三、直线与圆的交点和切线：1. 直线与圆的交点：若要求直线与圆的交点，可以将直线的方程代入圆的方程，并解方程得到交点的坐标。
2. 切线的判定和方程：若要确定直线是否为圆的切线，可以计算直线的斜率，然后计算圆心到直线的距离。
若斜率与圆心到直线的距离相等，则直线为圆的切线。
切线方程可以使用直线方程得出。
高三直线和圆知识点
高三直线和圆知识点直线和圆是高中数学中的重要知识点，对于理解几何图形的性质和解题能力起着至关重要的作用。
本文将为大家详细介绍高三直线和圆的相关知识。
一、直线的定义和性质直线是由无数个点按照同一方向延伸而成的图形。
直线的特点是无限延伸，并且上面的任意两点都可以用直线段相连接。
直线的性质有以下几点：1. 直线上的任意两点可以确定一条直线。
2. 直线上的任意一点，都在直线上。
二、圆的定义和性质圆是由平面上与某一点的距离相等的所有点组成的图形。
这个距离称为圆的半径，通常用字母r表示。
圆心是与所有这些点距离相等的点。
直径是通过圆心的两个点，并且是圆的最长的一条线段，长度等于半径的两倍。
圆的性质有以下几点：1. 圆上所有点到圆心的距离都相等。
2. 圆的直径是圆的最长直线段，且等于半径的两倍。
3. 圆的周长公式为C=2πr，其中C表示周长，r表示半径。
4. 圆的面积公式为A=πr²，其中A表示面积，r表示半径。
三、直线和圆的关系直线和圆是几何图形中经常会出现的组合。
它们之间的关系有以下几种情况：1. 直线与圆的位置关系：a) 直线与圆相切：直线与圆只有一个交点，此时交点为切点。
b) 直线与圆相离：直线与圆没有交点。
c) 直线与圆相交：直线与圆有两个交点。
2. 圆上的点到直线的距离：a) 圆心到直线的距离：圆心到直线的距离等于直线的垂直距离，即圆心到直线的距离是最短的。
b) 圆上任意一点到直线的距离：圆上的任意一点到直线的距离都等于它到直线的垂直距离。
3. 直线和圆的方程：a) 直线的方程：直线的方程可以用斜截式、一般式、点斜式等形式表示，根据题目给定的条件来确定具体的方程形式。
b) 圆的方程：圆的方程可以用标准方程和一般方程来表示，其中标准方程为(x-a)²+(y-b)²=r²，一般方程为Ax²+By²+Cx+Dy+E=0，其中a、b为圆心的坐标，r为半径。
圆与直线知识点总结
圆与直线知识点总结一、圆的基本概念圆是平面上与一个给定点距离相等的点的集合。
这个给定点叫做圆心，与圆心距离相等的距离叫做半径。
圆通常用“O”表示圆心，“r”表示半径。
如果圆心为坐标原点(0,0)，那么圆的方程可以表示为x²+y²=r²。
圆的直径是圆上任意两点之间的最大距离，其长度为圆的半径的两倍，可以表示为d=2r。
圆的常见性质：1. 圆的周长：圆的周长叫做圆的周长，通常用C表示。
圆的周长可以用圆的直径或者半径表示。
圆的周长公式为：C=2πr或者C=πd。
其中π是一个无限不循环小数，它约等于3.14159。
2. 圆的面积：圆的面积叫做圆的面积，通常用S表示。
圆的面积公式为S=πr²。
3. 圆的弧长与扇形面积：圆的一部分叫做弧，连接两个圆周上的点的线段叫做弦，弧与弦所夹的部分叫做扇形。
弧的长度叫做圆的弧长，可以表示为l=α/180°×πr。
扇形的面积可以表示为S=1/2r²θ。
二、圆与直线的位置关系1. 直线与圆的相交：直线与圆的位置关系主要有相交、外切、内切和相离四种情况。
直线与圆相交的情况有两点相交和两点重合两种情况。
2. 判别方法：通过解析几何的方法可以判别直线与圆的位置关系。
设直线的方程为y=kx+b，圆的方程为(x-a)²+(y-b)²=r²，通过联立直线方程与圆的方程，可以求解直线与圆的交点。
根据交点的数量和位置可以判断直线与圆的位置关系。
三、圆与直线的解析几何1. 直线的方程：直线的方程通常用一般式、点斜式、斜截式等形式表示。
一般式为Ax+By+C=0，其中A、B、C为常数。
点斜式为y-y₁=k(x-x₁)，其中k是斜率，(x₁,y₁)是直线上的一个点。
斜截式为y=kx+b，其中k为斜率，b为截距。
2. 圆的方程：圆的方程通常用标准方程和一般方程表示。
标准方程为(x-a)²+(y-b)²=r²，一般方程为Ax²+By²+Cx+Dy+E=0。
高二数学直线与圆的知识点及公式
高二数学直线与圆的知识点及公式直线和圆是高二数学中的重要内容，它们在几何学和代数学中都有广泛的应用。
本文将介绍直线和圆的基本概念、性质以及相关的公式。
一、直线的知识点直线是由无数个点连成的轨迹，没有起点和终点。
在直线上可以确定无数个点，其中有一些特殊的点和直线的性质需要我们了解。
1. 直线的斜率直线的斜率是直线的重要性质之一，它表示了直线上各个点的变化率。
直线的斜率可以用以下公式表示：斜率k = (y2 - y1) / (x2 - x1)其中，(x1, y1)和(x2, y2)是直线上两个不同的点的坐标。
2. 直线的截距直线的截距也是直线的一个重要性质，它表示了直线与坐标轴的交点位置。
设直线与x轴的交点为A，与y轴的交点为B，直线的截距可以用以下公式表示：x轴截距a = -y轴截距b = -c / b其中，c是直线的常数项。
3. 直线的方程直线可以由点斜式、一般式和截距式等不同的方程表示。
根据直线上已知的条件，我们可以选择适当的方程形式来表示直线。
下面是直线方程的一般形式：Ax + By + C = 0其中，A、B和C是常数，代表直线的斜率和截距。
二、圆的知识点圆是由平面内到一个固定点距离相等的所有点的轨迹，其中固定点称为圆心，距离称为半径。
圆的性质和相关公式如下：1. 圆的方程圆的方程可以表示为：(x - h)² + (y - k)² = r²其中，(h, k)是圆心的坐标，r是半径的长度。
2. 圆的直径圆的直径是通过圆心并且两端点处于圆上的一条线段。
圆的直径长度等于半径的2倍。
3. 圆的弦圆上任意两点之间所形成的线段称为圆的弦。
圆的直径是圆的一个特殊的弦，它同时也是最长的弦。
4. 圆的切线圆上的切线是与圆只有一个交点的直线。
切线和圆的半径垂直。
5. 圆的弧长和扇形面积圆的弧长可以用下面的公式计算：弧长 = 弧度 ×半径而圆的扇形面积则可以用以下公式计算：扇形面积 = 弧度 ×半径² / 2三、综合运用直线和圆在几何学和代数学中的运用非常广泛。
高中数学直线和圆知识点总结
直线与圆的位置关系判断方法
01 总结词
比较圆心到直线的距离与圆的 半径
02 详细描述
通过比较圆心到直线的距离与 圆的半径，可以判断直线与圆 的位置关系，即相离、相切或 相交。
03
总结词
04
利用直线方程和圆的方程联立求 解
详细描述
将直线方程和圆的方程联立起来 ，消去一个变量后可以得到一个 二次方程。根据二次方程的判别 式来判断直线与圆的位置关系， 判别式大于0时相交，等于0时相 切，小于0时相离。
直线的交点坐标与距离公式
01
两条直线的交点坐标
通过联立两条直线的方程求得。
02
两条平行线之间的距离公式
利用两平行线间的距离公式d = |c2 - c1| / |a|，其中a是直线的斜率，
c1和c2是直线在y轴上的截距。
03
两条垂直线之间的距离公式
利用两垂直线间的距离公式d = h / p，其中h是两垂直线在x轴上的距
高中数学直线和圆知识点总结
汇报人： 202X-01-08
• 直线知识点 • 圆知识点 • 直线与圆的综合应用 • 解题技巧与思路总结
01
直线知识点
直线的方程
01
02
03
04
直线的点斜式方程
通过直线上的一点和直线的斜 率来表示直线方程。
直线的两点式方程
通过直线上的两点来表示直线 方程。
直线的截距式方程
相切
当直线与圆只有一个交点 时，称直线与圆相切。此 时，圆心到直线的距离等 于半径。
相离
当直线与圆没有交点时， 称直线与圆相离。此时， 圆心到直线的距离大于半 径。
03
直线与圆的综合应用
直线与圆相交的弦长问题
直线和圆的位置关系知识点归纳整理
直线和圆的位置关系知识点归纳整理直线和圆的位置知识点直线和圆有三种位置关系1.交点:当一条直线和一个圆有两个公共点时，称为直线和圆的交点。
此时直线称为圆的割线，公共点称为交点。
2.相切:当直线与圆有唯一的公共点时，称为直线与圆相切，然后直线称为圆相切。
3.分离:当一条直线和一个圆没有共同点时，称为直线和圆分离。
直线与圆的三种位置关系的判定与性质（1）数量法：通过比较圆心O到直线距离d与圆半径的大小关系来判定。
如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则有：直线l与⊙O相交d<r；直线l与⊙O相切d=r；直线l与⊙O相离d>r；(2)共点法:通过确定一条直线和一个圆的共点数来确定。
直线l与⊙O相交d<r2个公共点；直线l与⊙O相切d=r有唯一公共点；直线l与⊙O相离d>r无公共点。
切线知识点切线的定义:在平面中，与圆只有一个公共交点的直线称为圆的切线。
切线的判定定理:通过半径外端并垂直于该半径的直线为圆的切线。
切线的性质定理:圆的切线垂直于通过切点的半径。
切线长度:圆的切线上的点与切点之间的线段通过圆外一点的长度，称为该点到圆的切线长度。
切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.如图，PA，PB是⊙O的两条切线，B切点分别为A，B，则PA=PB，∠OPA=∠OPB.判断直线与圆位置关系的方法1、代数法:联立线性方程和圆方程，解方程，方程无解，直线与圆分离，方程有一组解，直线与圆相切，方程有两组解，直线与圆相交。
2、几何法:求出圆心到直线的距离d，半径为r。
d>r，则直线与圆相离，d=r，则直线与圆相切，d<r，则直线与圆相交。
如何判断直线和圆的位置关系平面内，直线Ax+By+C=0与圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是：1、由Ax+By+C=0，可得y=(-C-Ax)/B，(其中B不等于0)，代入x^2+y^2+Dx+Ey+F=0，即成为一个关于x的方程如果b^2-4ac>0，则圆与直线有2交点，即圆与直线相交。
直线与圆知识点总结
直线与圆知识点总结1. 直线与圆的位置关系：- 直线与圆可能相交于两个点，这种情况称为相交。
- 直线与圆可能与圆外部割线相切于一点，这种情况称为相切。
- 直线可能与圆没有交点，这种情况称为相离。
2. 判断直线与圆的位置关系：- 使用勾股定理可以判断直线与圆是否相交。
设直线的方程为ax + by + c = 0，圆的方程为(x - h)² + (y - k)² = r²，其中(h, k)为圆心的坐标，r为半径。
将直线的方程代入圆的方程，计算方程的解。
若方程的解为实数，且解满足直线的方程，则直线与圆相交；若方程的解为实数，但解不满足直线的方程，则直线与圆相离；若方程的解为复数，则直线与圆相切。
- 使用两点式可以判断直线与圆的位置关系。
设直线上两点为(x₁, y₁)和(x₂, y₂)，圆的方程为(x - h)² + (y - k)² = r²，其中(h, k)为圆心的坐标，r为半径。
计算直线的斜率m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)，若直线的斜率存在且非零，则直线与圆相交或相离；若直线的斜率不存在或为0，则直线可能与圆相切或相离。
将直线的方程代入圆的方程，计算方程的解。
若方程的解为实数，且解满足直线的方程，则直线与圆相交；若方程的解为实数，但解不满足直线的方程，则直线与圆相离；若方程的解为复数，则直线与圆相切。
3. 求直线与圆的交点：- 设直线的方程为ax + by + c = 0，圆的方程为(x - h)² + (y - k)²= r²，其中(h, k)为圆心的坐标，r为半径。
将直线的方程代入圆的方程，得到一个关于x的二次方程。
解这个方程即可得到直线与圆的交点的x坐标。
将得到的x坐标代入直线的方程，可以求得对应的y坐标。
4. 求直线与圆的切点：- 设直线的方程为ax + by + c = 0，圆的方程为(x - h)² + (y - k)²= r²，其中(h, k)为圆心的坐标，r为半径。
直线与圆的位置关系知识点总结
直线与圆的位置关系知识点总结在平面几何中，直线与圆的位置关系是一个重要且基础的知识点。
理解和掌握它们之间的关系，对于解决许多几何问题具有关键作用。
接下来，咱们就详细聊聊直线与圆的位置关系。
一、直线与圆的位置关系的定义直线与圆有三种位置关系：相交、相切、相离。
当直线与圆有两个公共点时，我们称直线与圆相交。
想象一下，就好像直线穿过了圆，与圆有两个交点。
当直线与圆只有一个公共点时，称直线与圆相切。
这时候，直线就像是轻轻触碰了一下圆，只有那一个瞬间的接触点。
当直线与圆没有公共点时，就是直线与圆相离。
直线和圆仿佛处在两个完全不同的世界，没有任何交集。
二、判断直线与圆位置关系的方法1、几何法通过比较圆心到直线的距离 d 与圆的半径 r 的大小来判断。
若 d ＜ r，则直线与圆相交。
比如，圆的半径是 5，圆心到某条直线的距离是 3，因为 3 ＜ 5，所以直线与圆相交。
若 d ＝ r，则直线与圆相切。
比如半径为 6 的圆，圆心到某直线距离恰好为 6，那这条直线就与圆相切。
若 d ＞ r，则直线与圆相离。
比如圆半径 4，圆心到某直线距离 7，因为 7 ＞ 4，所以直线与圆相离。
2、代数法将直线方程与圆的方程联立，消去其中一个变量（比如 y），得到一个关于另一个变量（比如 x）的一元二次方程。
通过判断这个一元二次方程的根的判别式Δ 的值来确定位置关系。
若Δ ＞ 0，则直线与圆相交，意味着有两个不同的交点。
若Δ ＝ 0，则直线与圆相切，只有一个交点。
若Δ ＜ 0，则直线与圆相离，没有交点。
三、直线与圆相交1、弦长公式当直线与圆相交时，所形成的线段称为弦。
弦长的计算可以通过勾股定理来推导。
设直线方程为 Ax ＋ By ＋ C ＝ 0，圆的方程为（x a)²＋（y b)²＝ r²，直线与圆的交点为 P(x₁, y₁)，Q(x₂, y₂)。
首先求出圆心（a, b) 到直线的距离 d ＝｜Aa ＋ Bb ＋ C| ／√（A²＋ B²) 。
直线与圆的位置关系与性质知识点总结
直线与圆的位置关系与性质知识点总结直线与圆是几何中常见的两种基本图形，它们的位置关系与性质对于解决几何问题非常重要。
在这篇文章中，我们将总结直线与圆的常见位置关系，并讨论它们的性质。
一、直线与圆的位置关系1. 直线与圆的相交关系当直线与圆有交点时，我们可以得出以下几种情况：- 直线与圆相交于两点：直线穿过圆的中心，此时直径是直线的特例。
- 直线与圆相交于一个点：直线与圆相切，切点称为切点。
- 直线位于圆的内部，没有交点。
- 直线位于圆的外部，也没有交点。
2. 直线与圆的位置关系特例- 切线：直线与圆相切的情况，称为切线。
与圆相切的直线垂直于半径，切点在直线上的法线与从切点到圆心的半径垂直。
- 弦：直线穿过圆，但不过圆心的情况，称为弦。
通过圆心的弦称为直径，且直径是弦中最长的一条线段。
二、直线与圆的性质1. 切线定理定理一：若一条直线与圆相切于切点A，则以切点A为顶点的两条锐角与此直线所夹的圆弧相等。
定理二：若从圆外一点作直线与圆相切于切点A，则此直线与以此点为端点的弦相交处的两个锐角是一对互补角。
2. 弦长定理定理三：若两条弦相交于切点A，则两条弦分割的圆周上的弧长乘积相等。
3. 直径定理定理四：直径是穿过圆心的弦，正好是弦分割的两条弧的半径之和。
4. 割线定理定理五：若两条割线相交于切点A，则此割线与此切点所在的直线上的弦分割的互补角是一对互补角。
三、直线与圆的应用1. 问题一：判断直线是否与圆相交或相切当我们需要解决直线与圆的位置关系问题时，可以利用以下方法：- 使用坐标系和方程：设定坐标系，写出直线和圆的方程并求解交点。
- 使用定理：利用判断圆内点的方法，或使用切线定理判断直线与圆是否相切。
2. 问题二：求解直线与圆的交点坐标当直线与圆相交于两点时，我们可以利用以下方法求解交点坐标：- 使用坐标系和方程：设定坐标系，写出直线和圆的方程，联立方程并求解交点坐标。
3. 问题三：判断两条直线是否为切线或相交于切点当我们需要判断两条直线是否为切线或相交于切点时，可以利用以下方法：- 使用切线定理：若两条直线与圆相切于同一切点，则可判断它们为切线或相交于切点。
直线圆的知识点总结
直线圆的知识点总结直线圆是指平面上一条直线和一个圆相交的情况。
在几何学中，直线和圆是两种基本的几何图形，它们的相交情况具有一定的规律和特点。
本文将从直线圆的性质、定理和应用等方面进行总结。
一、直线圆的性质1. 相交情况直线和圆有三种相交的情况：相离、相切和相交。
相离是指直线和圆没有公共点；相切是指直线和圆有且只有一个公共点；相交是指直线和圆有两个不同的公共点。
2. 相交点的位置关系当直线和圆相交时，直线上的两个交点分布在圆的两侧。
如果直线与圆的圆心相交，那么直线必定是圆的直径；如果直线与圆的中点相交，那么直线必定是圆的切线。
3. 直线圆的夹角直线圆的夹角是指直线和圆的切点之间的夹角。
根据几何知识，直线与切线的夹角等于切点到圆心的距离与切线长度的比值。
这一性质在数学教学中有很多应用。
4. 直线圆的长度关系直线和圆的长度关系也是研究的重点之一。
例如，如果一条直线与一个圆相交，那么这条直线的长度可以通过圆的半径和直线与圆心的距离来表示。
5. 直线圆的对称性直线圆具有一定的对称性。
当直线与圆相交时，直线和圆的交点具有对称性。
通过对称性，可以研究出一些相交点的性质和定理。
二、直线圆的定理1. 切线定理切线定理是研究直线与圆相切的性质和定理。
根据切线的定义和性质，可以得出一些切线定理，如切线与半径的垂直关系、一条直线同时是两个圆的切线等。
2. 弦定理弦定理是研究直线与圆相交的性质和定理。
根据弦的定义和性质，可以得出一些弦定理，如弦的长度与角度的关系、弦的对称性等。
3. 直径定理直径定理是研究直线与圆直径的性质和定理。
根据直径的定义和性质，可以得出一些直径定理，如直径的长度关系、直径的对称性等。
4. 圆心角定理圆心角定理是研究直线与圆心角的性质和定理。
根据圆心角的定义和性质，可以得出一些圆心角定理，如圆心角与弦的关系、圆心角的对称性等。
5. 切割定理切割定理是研究直线如何切割圆的性质和定理。
根据切割的定义和性质，可以得出一些切割定理，如切线如何切割圆、切线截线定理等。
直线与圆的知识点总结
直线与圆的知识点总结1. 直线的基本性质直线是没有宽度和厚度的，只有长度的几何图形。
直线上的任意两点可以确定一条直线，直线也可以延伸到无穷远。
直线有无穷多条平行直线。
直线和直线之间可以相交，也可以平行。
2. 圆的基本性质圆是由平面上与一个固定点的距离恒定的所有点组成的集合。
这个固定点叫做圆心，恒定的距离叫做半径。
圆的直径是通过圆心并且两端点在圆上的线段。
圆有无穷多条切线，切线与半径的夹角是直角。
圆周上的任意两点与圆心的连线组成的角叫做圆心角，这个角的弧长等于圆周上它所对的圆弧的长度的角叫做圆心角。
3. 直线与圆的关系直线与圆之间有着丰富的关系，包括直线和圆的相交，直线和圆的切线，以及圆的切线定理等。
3.1 直线和圆的相交直线和圆有三种可能的相交关系：相离、相切和相交。
相离是指直线和圆不相交，相切是指直线和圆只有一个公共的切点，相交是指直线和圆有两个公共的交点。
这些相交关系在解决一些几何问题的时候非常重要。
3.2 直线与圆的切线直线与圆的切线是指直线与圆只有一个公共的切点，并且这个切点是切线与圆的切点，切线与半径的夹角是直角。
切线的存在定理指出，直线与圆相交于两点，在这两点中可以找到一条切线。
切线与圆的切点处的切线定理为切线与圆的切点处切线的性质提供了重要的条件。
3.3 圆的切线定理圆的切线定理是指直线与圆相交于两点，则切线与直线的两切点连线的对角线相交于圆心。
这个定理在解决一些几何问题的时候有着重要的作用，它是几何学中重要的基本定理之一。
除了以上提到的基本性质和关系以外，直线与圆的知识还涉及到诸如圆心角、圆锥曲线、圆锥曲线的性质、圆锥曲线的方程、圆锥曲线的应用等方面的内容。
因此，掌握直线与圆的知识是极为重要的，它不仅可以帮助我们更好地理解和应用数学知识，还可以为我们解决实际问题提供有力的工具和方法。
高二数学知识点汇总-直线与圆
直线与圆知识点1直线的方程1、直线的倾斜角（1）定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.（2）范围：直线l 倾斜角的取值范围是[0，π)．2、直线的斜率（1）定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即k ＝tan_α，倾斜角是π2的直线没有斜率．（2）过两点的直线的斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1x 2－x 1.3、直线方程的五种形式形式几何条件方程适用范围点斜式过一点(x 0，y 0)，斜率k y －y 0＝k (x －x 0)与x 轴不垂直的直线斜截式纵截距b ，斜率k y ＝kx ＋b 与x 轴不垂直的直线两点式过两点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1与x 轴、y 轴均不垂直的直线截距式横截距a ，纵截距bx a ＋y b＝1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax ＋By ＋C ＝0（A 2＋B 2≠0）平面直角坐标系内所有直线【注意】“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正、可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．知识点2两条直线的位置关系1、两条直线平行与垂直的判定（1）两条直线平行①对于两条不重合的直线l 1，l 2，若其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2.②当直线l 1，l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2.（2）两条直线垂直①如果两条直线l 1，l 2的斜率存在，设为k 1，k 2，则有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l 1⊥l 2.2、两条直线的交点的求法直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 1，B 1，C 1，A 2，B 2，C 2为常数)，则l 1与l 21x ＋B 1y ＋C 1＝0，2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解．3、三种距离公式（1）平面上的两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式|P 1P 2|＝ x 2－x 1 2＋ y 2－y 1 2.特别地，原点O (0,0)与任一点P (x ，y )的距离|OP |＝x 2＋y 2.（2）点P (x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.（3）两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.4、直线系方程的常见类型（1）过定点P (x 0，y 0)的直线系方程是：y －y 0＝k (x －x 0)(k 是参数，直线系中未包括直线x ＝x 0)，也就是平常所提到的直线的点斜式方程；（2）平行于已知直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线系方程是：Ax ＋By ＋λ＝0(λ是参数且λ≠C )；（3）垂直于已知直线Ax ＋By ＋C ＝0的直线系方程是：Bx －Ay ＋λ＝0(λ是参数)；（4）过两条已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程是：A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R ，但不包括l 2)．知识点3圆的方程1、圆的定义及方程2点M (x 0，y 0)，圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.理论依据点到圆心的距离与半径的大小关系三种情况(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2⇔点在圆上(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2⇔点在圆外(x 0－a )2＋(y 0－b )2<r 2⇔点在圆内3、二元二次方程与圆的关系不要把形如x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的结构都认为是圆，一定要先判断D 2＋E 2－4F 的符号，只有大于0时才表示圆．若x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆，则有：（1）当F ＝0时，圆过原点．（2）当D ＝0，E ≠0时，圆心在y 轴上；当D ≠0，E ＝0时，圆心在x 轴上．（3）当D ＝F ＝0，E ≠0时，圆与x 轴相切于原点；E ＝F ＝0，D ≠0时，圆与y 轴相切于原点．（4）当D 2＝E 2＝4F 时，圆与两坐标轴相切．知识点4直线与圆、圆与圆的位置关系1、直线与圆的位置关系及判断（1）三种位置关系：相交、相切、相离．（2）两种判断方法：①代数法――――――――――――――――联立方程得方程组消去x 或y得一元二次方程，Δ＝b 2－4ac ＞0⇔相交＝0⇔相切＜0⇔相离②几何法――――――――――――圆心到直线的距离为d半径为r＜r ⇔相交＝r ⇔相切＞r ⇔相离2、圆的切线与切线长（1）过圆上一点的圆的切线①过圆x 2＋y 2＝r 2上一点M (x 0，y 0)的切线方程是x 0x ＋y 0y ＝r 2.②过圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上一点M (x 0，y 0)的切线方程是(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2.（2）过圆外一点的圆的切线过圆外一点M (x 0，y 0)的圆的切线求法：可用点斜式设出方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜率k ，从而得切线方程；若求出的k 值只有一个，则说明另一条直线的斜率不存在，其方程为x ＝x 0.（3）切线长①从圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)外一点M (x 0，y 0)引圆的两条切线，切线长为x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F .②两切点弦长：利用等面积法，切线长a 与半径r 的积的2倍等于点M 与圆心的距离d 与两切点弦长b 的积，即b ＝2ar d.【注意】过一点求圆的切线方程时，要先判断点与圆的位置关系，以便确定切线的条数．3、圆的弦长直线和圆相交，求被圆截得的弦长通常有两种方法：（1）几何法：因为半弦长L2、弦心距d 、半径r 构成直角三角形，所以由勾股定理得L ＝2r 2－d 2.（2）代数法：若直线y ＝kx ＋b 与圆有两交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋1k2|y 1－y 2|.4、圆与圆的位置关系(两圆半径为r 1，r 2，d ＝|O 1O 2|)相离外切相交内切内含图形量的关系d ＞r 1＋r 2d ＝r 1＋r 2|r 1－r 2|＜d ＜r 1＋r 2d ＝|r 1－r 2|d ＜|r 1－r 2|【注意】涉及两圆相切时，没特别说明，务必要分内切和外切两种情况进行讨论．一、直线的倾斜角与斜率范围的求法1、求倾斜角的取值范围的一般步骤（1）求出斜率k ＝tan α的取值范围．（2）利用三角函数的单调性，借助图象，确定倾斜角α的取值范围．求倾斜角时要注意斜率是否存在．2、斜率取值范围的2种求法（1）数形结合法：作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性确定；（2）函数图象法：根据正切函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可三、由一般式方程确定两直线位置关系的方法直线方程l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0(A 21＋B 21≠0)，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 22＋B 22≠0)l 1与l 2垂直的充要条件A 1A 2＋B 1B 2＝0l 1与l 2平行的充分条件A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C 2(A 2B 2C 2≠0)l 1与l 2相交的充分条件A 1A 2≠B 1B 2(A 2B 2≠0)l 1与l 2重合的充分条件A 1A 2＝B 1B 2＝C 1C 2(A 2B 2C 2≠0)四、两条直线的交点与距离问题1、求过两直线交点的直线方程的方法求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程，也可借助直线系方程，利用待定系数法求出直线方程，这样能简化解题过程．2、点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件（1）求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式．（2）求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x ，y 的系数对应相等．五、对称问题的求解方法1、点关于点：点P (x ，y )关于点Q (a ，b )的对称点P ′(x ′，y ′)′＝2a －x ，′＝2b －y .2、线关于点：直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决．3、点关于线：点A (a ，b )关于直线Ax ＋By ＋C ＝0(B ≠0)的对称点A ′(m ，n )，六、求圆的方程的两种方法1、几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．2、待定系数法：（1）若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a ，b ，r 的方程组，从而求出a ，b ，r 的值；（2）若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择设圆的一般方程，依据已知条件列出关于D ，E ，F 的方程组，进而求出D ，E ，F 的值．七、解决有关弦长问题的常用方法及结论1、几何法：如图所示，设直线l 被圆C 截得的弦为AB ，圆的半径为r ，圆心到直线的距离为d ，则有关系式：|AB |＝2r 2－d 22、代数法：若斜率为k 的直线与圆相交于A (x A ，y A )，B (x B ，y B )两点，则|AB |＝1＋k 2· x A ＋x B 2－4x A x B ＝1＋1k2y A －y B |(其中k ≠0)．特别地，当k ＝0时，|AB |＝|x A －x B |；当斜率不存在时，|AB |＝|y A －y B |，八、求过一点(x 0，y 0)的圆的切线方程的方法1、几何法：当斜率存在时，设为k ，则切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，即kx －y ＋y 0－kx 0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可求出k 的值，进而写出切线方程，当斜率不存在时，要进行验证；2、代数法：当斜率存在时，设为k ，则切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，即y ＝kx －kx 0＋y 0，代入圆的方程，得到一个关于x 的一元二次方程，由Δ＝0，求得k ，切线方程即可求出，当斜率不存在时，要进行验证九、求与圆有关的轨迹问题的方法1、直接法：直接根据题目提供的条件列出方程；2、定义法：根据圆、直线等定义列方程；3、几何法：利用圆的几何性质列方程；4、代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式。
高一直线与圆的知识点总结
高一直线与圆的知识点总结直线和圆是几何学中的基本概念和重要对象，它们在高一数学课程中占据了重要的位置。
本文将对高一直线与圆的相关知识点进行总结，包括直线的性质、直线与圆的关系以及解题技巧等内容。
一、直线的性质直线是最简单的几何对象之一，具有以下性质：1. 直线没有端点，可以无限延伸。
2. 直线上的两点可以确定一条直线。
3. 直线上任意三点不共线。
4. 直线可以垂直于另一条直线。
垂直直线之间的夹角为90度。
5. 直线可以平行于另一条直线。
平行直线之间的夹角为零度。
二、圆的性质圆是由平面上所有与圆心的距离相等的点组成的集合，具有以下性质：1. 圆心到圆上任意一点的距离相等。
2. 圆上任意两点可确定圆心的连线，称为弦。
3. 圆心到圆弧的距离称为半径，全等圆的半径相等。
4. 圆上的弦垂直于弦所对应的弧。
5. 圆的弧度表示圆弧的长度与半径的比值。
一个圆的弧度为2π。
三、直线与圆的关系1. 直线与圆相切：直线与圆仅有一个公共点。
2. 直线与圆相交：直线与圆有两个不重合的交点。
3. 直线与圆相离：直线与圆没有公共点。
4. 切线的性质：与圆相切的直线称为切线，切线与以切点为圆心的圆相切于切点。
四、解题技巧在解决与直线和圆相关的问题时，以下是一些常用的解题技巧：1. 利用直线和圆的性质进行推导和证明。
2. 利用圆的切线性质求解问题。
3. 利用角的概念和相关定理进行证明和计算。
4. 利用勾股定理和相似三角形的性质进行计算和推理。
5. 运用代数的工具，如坐标系和方程，进行解题。
五、实例分析为了更好地理解直线与圆的知识点，以下是一个示例问题的分析：问题：已知直线AB与圆O相交于点C，连接CO并延长至点D，若∠CAB=60度，求证∠COD=120度。
解析：根据题目信息，我们可以得知∠CAB为60度，即直线AB与圆O相交于点C的切线。
我们希望证明∠COD为120度。
首先，连接OA和OD，因为OC是圆O的半径，所以OC=OD。
直线与圆知识归纳
直线与圆知识归纳直线和圆是几何中常见的基本元素，它们之间的关系和性质对于几何问题的解决至关重要。
在本文中，我们将对直线与圆的基本概念、关系以及一些重要的定理进行归纳总结。
一、直线的基本知识直线是几何中最简单的图形，它没有起点和终点，可以无限延伸。
直线由无数个点组成，我们可以通过两个点确定一条直线，这两个点称为直线上的两个端点。
直线不同于线段，线段是直线的一部分，它有起点和终点，长度是有限的。
二、圆的基本知识圆是一个平面图形，由一条曲线组成，这条曲线上的任意两点到圆心的距离都相等。
圆心是圆的中心点，半径是从圆心到任意一点的距离。
一个圆由圆心和半径唯一确定。
圆内的所有点到圆心的距离都小于半径，而到圆心的距离等于半径的点在圆上。
三、直线与圆的位置关系1. 直线与圆的位置关系分为三种情况：相离、相切和相交。
2. 当直线与圆没有交点时，称直线和圆相离。
当直线与圆有且仅有一个交点时，称直线与圆相切。
当直线与圆有两个交点时，称直线与圆相交。
四、直线与圆的性质1. 切线的性质：- 直线与圆只有一个交点时，这条直线称为圆的切线。
- 切线和半径垂直。
2. 弦的性质：- 直线与圆有两个交点时，这条直线称为圆的弦。
- 弦的中点与圆心连线垂直于弦。
3. 弧的性质：- 弦所对的弧是两个相交圆内部的部分，它们所对的弧长相等。
五、直线与圆的重要定理1. 切线定理：切线与半径的关系- 切线与半径的夹角等于该切线所对的弧所对圆心角的一半。
2. 切割定理：一条直线同时切割两个相交圆的两个切点，这两个切点的线段乘积等于这条直线与两个相交圆的切点之间的线段乘积。
3. 集中定理：多条切线共点- 若两个相离的圆内切于某一点P，那么连接圆心的线段与这个点P以及切点的两条切线共点。
4. 同位角定理：切线与弦的夹角- 同位角相等：若一条切线与一条弦相交，那么切线与弦的夹角等于这两个弧所对的圆心角的一半。
总结：直线与圆的知识是几何学的基础，掌握它们的基本概念、位置关系、性质和定理，可以帮助我们解决各类几何问题，提升几何思维能力。
数学直线圆知识点总结
数学直线圆知识点总结一、直线的定义和性质直线是由无数个点组成的一条无限延伸的几何图形，它具有以下几个重要的性质：1. 直线上的任意两点可以确定一条唯一的直线。
这是直线的基本性质，也是它和其他几何图形的最大区别之一。
2. 直线上的任意一点都只有一个坐标。
在数学坐标系中，直线上的任意一点可以通过一个坐标来唯一确定。
3. 直线可以分为有限直线和无限直线。
有限直线是指有两个端点的直线，而无限直线是指没有端点的直线。
4. 直线的斜率是直线的一个重要性质。
斜率可以用来描述直线的倾斜程度，如果两条直线的斜率相等，那么它们是平行的。
5. 直线可以通过方程来表示。
在数学中，我们通常使用一般式方程、点斜式方程或截距式方程来表示直线。
二、圆的定义和性质圆是由一个固定点到平面上任意一点的距离等于一个常数的全部点构成的集合，它具有以下几个重要的性质：1. 圆的直径是圆的一个重要性质。
直径是连接圆上任意两点并通过圆心的线段，它的长度恰好等于圆的半径的两倍。
2. 圆的周长是圆的另一个重要性质。
圆的周长等于两倍的π乘以半径，即C=2πr。
3. 圆的面积是圆的重要性质之一。
圆的面积等于π乘以半径的平方，即A=πr^2。
4. 圆的切线是圆的一个重要性质。
切线是与圆相切的一条直线，它的斜率恰好等于圆的半径。
5. 圆可以通过方程来表示。
在数学中，我们通常使用标准方程或一般方程来表示圆。
三、直线和圆的相关知识直线和圆作为数学中最基本的图形之一，它们之间有着许多重要的关系和性质，下面我们来总结一下它们的相关知识点：1. 直线与圆的位置关系。
直线与圆可以有三种不同的位置关系，即相离、相切和相交。
当直线与圆没有任何公共点时，它们是相离的；当直线与圆有且仅有一个公共点时，它们是相切的；当直线与圆有两个公共点时，它们是相交的。
2. 直线与圆的相交性质。
如果直线与圆相交，那么它们会有两个交点；如果直线经过圆，那么它们会有两个共同的交点，即切点；如果直线和圆只有一个交点，那么它们是相切的。
直线与圆的位置关系知识点总结
直线与圆的位置关系知识点总结直线与圆的位置关系是几何学中一个重要的概念，涉及到直线和圆的交点、相切等不同情况。
本文将对直线与圆的位置关系进行总结，包括直线与圆的相交、相切以及不相交三种情况。
一、直线与圆的相交关系1. 直线与圆相交于两个交点：当直线与圆的位置关系是相交时，直线将穿过圆的两个交点。
这种情况通常出现在直线与圆的直径、弦或切线相交的情况下。
2. 直线与圆相交于一个交点：当直线与圆的位置关系是相切时，直线与圆仅有一个交点。
这种情况通常出现在直线是圆的切线的情况下。
二、直线与圆的相切关系1. 切线：当直线与圆的位置关系是相切时，直线与圆仅有一个交点，并且直线与圆的切点处的切线垂直于半径。
切线是圆上某一点的切线，它与半径的长度相等。
2. 外切线：当一条直线与圆的位置关系为外切时，直线与圆仅有一个交点，并且切点处的切线垂直于半径。
外切线的一个特点是切点处的切线与直线的延长线垂直。
3. 内切线：当一条直线与圆的位置关系为内切时，直线与圆仅有一个交点，并且切点处的切线垂直于半径。
内切线的一个特点是切点处的切线与直线的延长线垂直。
三、直线与圆的不相交关系当直线与圆的位置关系不相交时，即直线与圆没有交点。
总结：直线与圆的位置关系可以分为相交、相切以及不相交三种情况。
在相交的情况下，直线与圆相交于两个交点或一个交点。
在相切的情况下，直线与圆仅有一个交点，并且切点处的切线垂直于半径。
而不相交的情况下，直线与圆没有交点。
以上是对直线与圆的位置关系知识点的总结。
了解并掌握这些知识点对于解决相关几何问题非常重要。
希望本文能够帮助您更好地理解和应用直线与圆的位置关系。
直线与圆知识点总结
直线与圆知识点总结(总5页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--直线和圆知识点总结1、直线的倾斜角：（1）定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线l ，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向转到和直线l 重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角。
当直线l 与x 轴重合或平行时，规定倾斜角为0；（2）倾斜角的范围[)π,0。
如（1）直线023cos =-+y x θ的倾斜角的范围是____（答：5[0][)66，，πππ）；（2）过点),0(),1,3(m Q P -的直线的倾斜角的范围m 那么],32,3[ππα∈值的范围是______（答：42≥-≤m m 或）2、直线的斜率：（1）定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k ，即k ＝tan α(α≠90°)；倾斜角为90°的直线没有斜率；（2）斜率公式：经过两点111(,)P x y 、222(,)P x y 的直线的斜率为()212121x x x x y y k ≠--=；（3）直线的方向向量(1,)a k =，直线的方向向量与直线的斜率有何关系（4）应用：证明三点共线： AB BC k k =。
如(1) 两条直线钭率相等是这两条直线平行的____________条件（答：既不充分也不必要）；（2）实数,x y 满足3250x y --= (31≤≤x )，则xy 的最大值、最小值分别为______（答：2,13-） 3、直线的方程：（1）点斜式：已知直线过点00(,)x y 斜率为k ，则直线方程为00()y y k x x -=-,它不包括垂直于x 轴的直线。
（2）斜截式：已知直线在y 轴上的截距为b 和斜率k ，则直线方程为y kx b =+,它不包括垂直于x 轴的直线。
（3）两点式：已知直线经过111(,)P x y 、222(,)P x y 两点，则直线方程为121121x x x x y y y y --=--，它不包括垂直于坐标轴的直线。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
知识梳理1．直线的倾斜角α的范围是 ；求直线斜率的两种方法：①定义：k = ()2πα≠； ②斜率公式：k =2121y y x x --12()x x ≠．答案)0,180︒︒⎡⎣ 2．直线方程的几种形式：①点斜式 ，适用范围：不含直线0x x =；特例：斜截式 ，适用范围：不含垂直于x 轴的直线；②两点式 ，适用范围：不含直线112()x x x x =≠和直线112()y y y y =≠； 特例：截距式 ，适用范围：不含垂直于坐标轴和过原点的直线；③一般式 ，适用范围：平面直角坐标系内的直线都适用．3．求过111(,)P x y ，222(,)P x y 的直线方程时：（1）若12x x =，且12y y ≠时，直线垂直于x 轴，方程为1x x =；（2）若12x x ≠，且12y y =时，直线垂直于y 轴，方程为1y y =；（3）若120x x ==，且12y y ≠时，直线即为y 轴，方程为0x =；（4）若12x x ≠，且120y y ==时，直线即为x 轴，方程为0y =。
4．已知直线1l ：11y k x b =+，直线2l ：22y k x b =+，则①1l 与2l 相交⇔ ； ②1l 与2l 平行⇔ ；③1l 与2l 重合⇔ ； ④1l 与2l 垂直⇔ ．5．已知直线1l ：1110A x B y C ++=，直线2l ：2220A x B y C ++=，则①1l 与2l 相交⇔ ； ②1l 与2l 平行⇔ ；③1l 与2l 重合⇔ ； ④1l 与2l 垂直⇔ ．6．两点111(,)P x y ，222(,)P x y 之间的距离12=PP ；点(,)P x y ︒︒到直线l ：0Ax By C ++=的距离d = ；两平行直线1l ：10Ax By C ++=与2l ：20Ax By C ++=之间的距离d = ．7．圆的标准方程为222()()(0)x a y b r r -+-=>，其中 为圆心， 为半径 ；圆的一般方程为220x y Dx Ey F ++++=表示圆的充要条件是2240D E F +->， 其中圆心为 ，半径为 ．8．点与圆的位置关系圆的标准方程为222()()x a y b r -+-=，点00(,)M x y ，（1）点在圆上：22200()()x a y b r -+-=；（2）点在圆外：22200()()x a y b r -+->；（3）点在圆内：22200()()x a y b r -+-<。
9．直线与圆的位置关系判断直线与圆的三种位置关系常用的两种判断方法：（1）代数法：直线方程和圆的方程联立方程组消去x 或y 整理成一元二次方程后，计算判别式①240b ac ∆=->⇔ ； ②240b ac ∆=-=⇔ ；③240b ac ∆=-<⇔ 。
（2）几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆半径的大小关系①d r <⇔ ；②d r =⇔ ；d r >⇔ 。
10．圆的切线方程①若圆的方程为222x y r +=，点00(,)P x y 在圆上，则过P 点，且与圆222x y r +=相切的切线方程为200xx yy r +=； ②经过圆222()()x a y b r -+-=上的00(,)P x y 的切线方程为： 200()()()()x a x a y b y b r --+--=。
)(00x x k y y -=-点00(,)P x y 在圆外，则可设切线方程为,利用直线与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出k 。
11．计算直线被圆截得的弦长的两种方法：（1）几何法：运用弦心距、弦长的一半及半径构成直角三角形计算。
（2）代数法：利用韦达定理及弦长公式2221(1)()4A B A B A B AB k x k x x x x ⎡⎤=+-=++-⎣⎦12．设圆1C ：222111()()x x y y r -+-=，圆2C ：222222()()x x y y r -+-=，则有两圆①相离12C C ⇔> ；②外切12C C ⇔= ；③内切12C C ⇔= ；④相交⇔ 12C C << ；⑤内含12C C ⇔< ．13．对称问题①点关于点的对称：利用中点坐标公式。
②直线关于点对称：利用取特殊点法或转移法。
③点关于直线对称：利用垂直和平分。
④直线关于直线对称：转化为点关于直线对称问题解决。
如果是平行直线，还可以利用平行直线之间距离。
如果是相交直线，可以利用已知交点，夹角相等的方法。
常用的对称关系：点(a,b)点(a,b)关于原点的对称点(-a,-b), 点(,)a b 关于点00(,)a b 的对称点的坐标为00(2,2)a a b a --点(a,b)关于x 轴的对称点(a,-b)， 点(a,b)关于y 轴的对称点为(-a,b)， 点(a,b)关于直线y=x 的对称点为(b,a)， 点(a,b)关于直线y= -x 的对称点(-b,-a)，点(a,b)关于直线y=x+m 的对称点为(b-m,a+m), 点(a,b)关于直线y= -x+m 的对称点(m-b,m-a).练习题（第一部分）1．直线的倾斜角为,α若3sin 5α=，则此直线的斜率是（ ） A ．43 B ．34 C ． 43± D ． 34± 2.直线过点（-1，2）且与直线x y 32=垂直，则的方程是A ．0123=-+y x B.0723=++y x C. 0532=+-y x D.0832=+-y x3．已知两条直线2y ax =-和(2)1y a x =++互相垂直，则a 等于（ ）A ．2B ．1C ．0D ．1-解析：两条直线2y ax =-和(2)1y a x =++互相垂直，则(2)1a a +=-，∴ a =－1，选D. 点评：直线间的垂直关系要充分利用好斜率互为负倒数的关系，同时兼顾到斜率为零和不存在两种情况4．已知(2,3)A -、(3,2)B --，直线l 过(1,1)P 且与线段AB 有交点，设直线l 的斜率为k ，则k 的取值范围（ ）A ．34k ≥或4k ≤-B ．334k -≤≤C ． 34k ≥或14k ≤-D ．344k -≤≤ 解析：过点(3,2)B --、(1,1)P 的直线斜为11(2)31(3)4k --==--，过点(2,3)A -、(1,1)P 的直线斜率为21(3)412k --==--，画图可看出过点(1,1)P 的直线与线段AB 有公共点可看作直线绕点(1,1)P 从PB 旋转至PA 的全过程。
5．直线l 经过点(2,1)P ，且与两坐标轴围成的三角形的面积为S ，如果符合条件的直线l 能作且只能作三条，则S =（ ）A ．3B ．4C ．5D ．8解析：设直线方程为1x y a b +=，则有211a b +=，当,0a b >时，211a b +=≥ 得8ab ≥，即l 与两坐标轴正半轴围成的三角形的面积的最小值为4，显然与两坐标轴围成的三角形在二、四象限时各有一个面积为4，共可作且只可作三条符合条件的直线l 。
6．已知直线l ：10x y --=，1l ：220x y --=，若直线2l 与1l 关于l 对称，则2l 的方程为（ ）A ．210x y -+=B ．210x y --=C ．10x y +-=D ．210x y +-=解析：在1l 上取两点(0,2),(1,0)-，则它关于直线l 的对称点为(1,1),(1,0)--，所以2l 的方程为210x y --=。
7．已知点)1,0(-M ，点N 在直线01=+-y x 上，若直线MN 垂直于直线032=-+y x ， 则点N 的坐标是（ ）A ．)1,2(--B ．)3,2(C ． )1,2(D ．)1,2(- 二、填空题8．过点（1，2）且与直线210x y +-=平行的直线方程是_250x y +-=_ .9．已知两条直线12:330,:4610.l ax y l x y +-=+-=若12//l l ，则a = ____. 解：两条直线12:330,:4610.l ax y l x y +-=+-=若12//l l ，233a -=-，则a =2． 10．若过点)1,1(a a P +-和)2,3(a Q 的直线的倾斜角为钝角，那么实数a 的取值范围是 .(2,1)a ∈-11．如果,0>ab 直线0=++c by ax 的倾斜角为,α且,sin 1sin 12sin ααα--+=则直线的斜率为___________.解析：由sin sin cos sin cos 22222ααααα==+--，因为,0>ab 直线0=++c by ax 的倾斜角为,α所以tan 0a b α=-<，又[)0,απ∈， 所以(,)2παπ∈，(,)242αππ∈，所以0cos sin 22αα<<， 所以sin (sin cos )(sin cos )2cos 222222αααααα=+--=， 所以tan 22α=，22tan 42tan 31tan 2k ααα===--。
三、解答题12.已知直线l 经过直线3420x y +-=与直线220x y ++=的交点P ，且垂直于直线210x y --=.（Ⅰ）求直线l 的方程；（Ⅱ）求直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积S .解：（Ⅰ）由3420,220.x y x y +-=⎧⎨++=⎩ 解得2,2.x y =-⎧⎨=⎩ 由于点P 的坐标是（2-，2）.则所求直线l 与直线210x y --=垂直，可设直线l 的方程为 20x y C ++=.把点P 的坐标代入得 ()2220C ⨯-++= ，即2C =.所求直线l 的方程为 220x y ++=.（Ⅱ）由直线l 的方程知它在x 轴、y 轴上的截距分别是1-、2-，所以直线l 与两坐标轴围成三角形的面积11212S =⨯⨯=. 13.求经过直线1l ：3450x y +-=与直线2l ：2380x y -+=的交点M ，且满足下列条件①经过原点；②与直线3l ：250x y ++=平行；③与直线4l ：250x y +-=垂直的直线方程。
答案：250x y -+=14.在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的长为2，宽为1，AB 、AD 边分别在x 轴、y 轴的正半轴上，A 点与坐标原点重合，将矩形折叠，使A 点落在线段DC 上，若折痕所在的直线的斜率为k ，试写出折痕所在直线的方程。
解：（1）当0=k 时，A 、D 重合，折痕所在直线方程为21=y （2）当0≠k 时，设折叠后A 落在线段上的点为)1,(a G ，所以A 与G 关于折痕所在直线对称。