直线和圆知识点总结

知识梳理

1．直线的倾斜角α的范围是 ；求直线斜率的两种方法：①定义：k = ()2πα≠； ②斜率公式：k =2121

y y x x --12()x x ≠．答案)0,180︒︒⎡⎣ 2．直线方程的几种形式：

①点斜式 ，适用范围：不含直线0x x =；

特例：斜截式 ，适用范围：不含垂直于x 轴的直线；

②两点式 ，适用范围：不含直线112()x x x x =≠和直线112()y y y y =≠； 特例：截距式 ，适用范围：不含垂直于坐标轴和过原点的直线；

③一般式 ，适用范围：平面直角坐标系内的直线都适用．

3．求过111(,)P x y ，222(,)P x y 的直线方程时：

（1）若12x x =，且12y y ≠时，直线垂直于x 轴，方程为1x x =；

（2）若12x x ≠，且12y y =时，直线垂直于y 轴，方程为1y y =；

（3）若120x x ==，且12y y ≠时，直线即为y 轴，方程为0x =；

（4）若12x x ≠，且120y y ==时，直线即为x 轴，方程为0y =。

4．已知直线1l ：11y k x b =+，直线2l ：22y k x b =+，则

①1l 与2l 相交⇔ ； ②1l 与2l 平行⇔ ；

③1l 与2l 重合⇔ ； ④1l 与2l 垂直⇔ ．

5．已知直线1l ：1110A x B y C ++=，直线2l ：2220A x B y C ++=，则

①1l 与2l 相交⇔ ； ②1l 与2l 平行⇔ ；

③1l 与2l 重合⇔ ； ④1l 与2l 垂直⇔ ．

6．两点111(,)P x y ，222(,)P x y 之间的距离12=PP ；

点(,)P x y ︒︒到直线l ：0Ax By C ++=的距离d = ；

两平行直线1l ：10Ax By C ++=与2l ：20Ax By C ++=之间的距离d = ．

7．圆的标准方程为222

()()(0)x a y b r r -+-=>，其中 为圆心， 为半径 ；

圆的一般方程为22

0x y Dx Ey F ++++=表示圆的充要条件是2240D E F +->， 其中圆心为 ，半径为 ．

8．点与圆的位置关系

圆的标准方程为222

()()x a y b r -+-=，点00(,)M x y ，

（1）点在圆上：22200()()x a y b r -+-=；

（2）点在圆外：22200()()x a y b r -+->；

（3）点在圆内：22200()()x a y b r -+-<。 9．直线与圆的位置关系

判断直线与圆的三种位置关系常用的两种判断方法：

（1）代数法：直线方程和圆的方程联立方程组消去x 或y 整理成一元二次方程后，

计算判别式①240b ac ∆=->⇔ ； ②240b ac ∆=-=⇔ ；

③240b ac ∆=-<⇔ 。

（2）几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆半径的大小关系

①d r <⇔ ；②d r =⇔ ；d r >⇔ 。

10．圆的切线方程

①若圆的方程为222x y r +=，点00(,)P x y 在圆上，则过P 点，且与圆222

x y r +=相

切的切线方程为200xx yy r +=； ②经过圆222

()()x a y b r -+-=上的00(,)P x y 的切线方程为： 200()()()()x a x a y b y b r --+--=。)(00x x k y y -=-

点00(,)P x y 在圆外，则可设切线方程为,利用直线与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出k 。

11．计算直线被圆截得的弦长的两种方法：

（1）几何法：运用弦心距、弦长的一半及半径构成直角三角形计算。

（2）代数法：利用韦达定理及弦长公式

2221(1)()4A B A B A B AB k x k x x x x ⎡⎤=+-=++-⎣⎦12．设圆1C ：222111()()x x y y r -+-=，圆2C ：222222()()x x y y r -+-=，则有两圆

①相离12C C ⇔> ；②外切12C C ⇔= ；③内切12C C ⇔= ；

④相交⇔ 12C C << ；⑤内含12C C ⇔< ．

13．对称问题

①点关于点的对称：利用中点坐标公式。

②直线关于点对称：利用取特殊点法或转移法。

③点关于直线对称：利用垂直和平分。

④直线关于直线对称：转化为点关于直线对称问题解决。如果是平行直线，还可以利用平行直线之间距离。如果是相交直线，可以利用已知交点，夹角相等的方法。

常用的对称关系：点(a,b)

点(a,b)关于原点的对称点(-a,-b), 点(,)a b 关于点00(,)a b 的对称点的坐标为00(2,2)a a b a --

点(a,b)关于x 轴的对称点(a,-b)， 点(a,b)关于y 轴的对称点为(-a,b)， 点(a,b)关于直线y=x 的对称点为(b,a)， 点(a,b)关于直线y= -x 的对称点(-b,-a)，

点(a,b)关于直线y=x+m 的对称点为(b-m,a+m), 点(a,b)关于直线y= -x+m 的对称点(m-b,m-a).

练习题（第一部分）

1．直线的倾斜角为,α若3sin 5

α=

，则此直线的斜率是（ ） A ．43 B ．34 C ． 43± D ． 3

4± 2.直线过点（-1，2）且与直线x y 32=垂直，则的方程是

A ．0123=-+y x B.0723=++y x C. 0532=+-y x D.0832=+-y x

3．已知两条直线2y ax =-和(2)1y a x =++互相垂直，则a 等于（ ）

A ．2

B ．1

C ．0

D ．1-

解析：两条直线2y ax =-和(2)1y a x =++互相垂直，则(2)1a a +=-，∴ a =－1，选D. 点评：直线间的垂直关系要充分利用好斜率互为负倒数的关系，同时兼顾到斜率为零和不存在两种情况

4．已知(2,3)A -、(3,2)B --，直线l 过(1,1)P 且与线段AB 有交点，设直线l 的斜率为k ，则k 的取值范围（ ）

A ．34k ≥或4k ≤-

B ．334k -≤≤

C ． 34k ≥或14k ≤-

D ．344

k -≤≤ 解析：过点(3,2)B --、(1,1)P 的直线斜为11(2)31(3)4k --=

=--，过点(2,3)A -、(1,1)P 的直线斜率为21(3)412

k --==--，画图可看出过点(1,1)P 的直线与线段AB 有公共点可